teoría de conjuntos, ii - tlacuatl.mx · de la teoria de conjuntos: después de establecer el...

Teoría de conjuntos,

lógica y temas afines

II

Universidad Autónoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa


Dr. Eduardo Abel Peñalosa Castro

Rector General

Dr. Jose Antonio de los Reyes Heredia

Secretario General

UNIDAD IZTAPALAPA

Dr. José Octavio Nateras Domínguez

Rector

Dr. Miguel Ángel Gómez Fonseca

Secretario

Dr. José Gilberto Córdoba Herrera

Director de Ciencias Básicas e Ingeniería

Teoría de conjuntos, lógica y temas

afines

II

Max Fernández de Castro

Luis Miguel Villegas Silva

Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II

Primera Edición 2017

Los derechos de reproducción de esta obra pertenecen al autor

© UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-

IZTAPALAPA Av. San Rafael Atlixco No. 186, Col. Vicentina, Del. Iztapalapa, C. P. 09340, México, D. F.

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

División de Ciencias Básicas e Ingeniería

División de Ciencias Sociales y Humanidades

ISBN Colección: 978-607-477-998-1

ISBN Volumen: xxxxxxxx

Se prohíbe la reproducción por cualquier medio, sin el

consentimiento de los titulares de los derechos de la obra

Impreso en México / Printed in Mexico

Teoría de conjuntos, lógica y

temas afines

II

Max Fernández de Castro

Departamento de Filosofía

Luis Miguel Villegas Silva

Departamento de Matemáticas


Iztapalapa

Annus

Zur Ehre unseren Elternund zulässiger Ergötzungdes Geistes

A Vera

A Enriqueta, Emilio y Nicolás

A Sergio Villegas Silva1953-2017

Der Mensch ist erst wirklich tot,wenn niemand mehr an ihn denkt.

Bertolt Brecht

Es un mal sueño largo,una tonta película de espanto,un túnel que no acaballeno de piedras y de charcos.¡Qué tiempo éste, maldito,que revuelve las horas y los años,el sueño y la conciencia,el ojo abierto y el morir despacio!

Algo le falta al mundo, y tú te has puestoa empobrecerlo más, y a hacer a solastus gentes tristes y tu Dios contento.

Jaime Sabines

San niualayokoya, niknotlamati. Ayokik, ayok, ken- He venido a estar triste, me aflije que ya no estás aquí, ya no, en la region

manian, titechyaitakiu in tlaltipak, ika nontiya. donde de algún modo se existe, nos dejaste sin provisión en la tierra por

esto, a mí mismo me desgarro.

Nezahualcóyotl

Der Tod ist kein Unglück für den, der stirbt, sondern für den, der überlebt

K. Marx

Prefacio Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II ii

Prefacio

En este segundo volumen de Tecolote continuamos con el estudio de las lógicas no clásicas, la teoría deconjuntos y la teoría de modelos. La disertación inicia con un análisis detallado de la metamatemáticade la teoria de conjuntos: después de establecer el lenguaje y los axiomas apropiados para la teoríade Zermelo-Fraenkel-axioma de elección (ZFE), introducimos las nociones de relativización y absolutez.Dado que buena parte de la disertación está basada en la hipótesis de que ZFE es consistente, hechoque no podemos corroborar en ninguna teoría de la que podamos estar seguros de su consistencia,como se comprobó [FerVill13], es adecuado presentar una demostración de incompletud de ZFE enZFE; además, la prueba es sencilla y da pie para introducir numerosos conceptos que serán de utilidadposteriormente. Esto se efectúa en el segundo apartado. Y si de consistencia se trata, pues qué mejor queseguir en este tenor y establecer el método de modelos internos para pruebas de consistencia relativa,esto es, suponiendo la consistencia de ZF (o ZFE) mostrar que otras teorías más fuertes son tambiénconsistentes, por ejemplo, ZF + HC o ZF + V = L. Aquí entran en juego la aritmetización dellenguaje y la noción de definibilidad, centrales en buena parte de la obra.El siguiente tema son los grandes cardinales. Si ya confirmamos la imposibilidad de probar, dentro

de ZFE, la consistencia de ZF mismo, ¿qué ocurre si suponemos la existencia de grandes cardinales?Dada la trascendencia de esta cuestión, trataremos de enfrentarla investigando a los grandes cardinalesdesde el punto de vista de las propiedades combinatorias que de ellos se derivan, las relaciones queguardan entre sí y cómo modifican el universo en que vivimos. Es importante resaltar que, en buenamedida la clasificación, y el tratamiento de los grandes cardinales están predispuestos por nuestro in-terés en la teoría de modelos núcleo. Así que en esta obra solo consideramos, y les llamamos pequeños,a algunos grandes cardinales que pueden vivir, en caso de existir, en el modelo núcleo más sencillo, elmodelo primigenio: el universo construible L de Gödel; estudiaremos primero cardinales inaccesiblesdébiles, inaccesibles, Mahlo e indescriptibles. Puesto que nuestra selección de grandes cardinales estádeterminada porL, justo es que introduzcamos este modelo interno y establezcamos varias de sus propie-dades y repercusiones en el universo de todos los conjuntos, motivando, en buena medida, este trabajo,otra vez, por nuestro interés en modelos núcleo más complejos; por ello es que, si bien nuestro primerencuentro con L será a través de la operaciónDef (que reporta los conjuntos definibles en una cierta es-tructura), rápidamente incursionamos en otro método de elaboración del universo construible. Con estefin aparecen las funciones rudimentarias y sus tías, las funciones de conjunto primitivo recursivas. Comosu nombre lo indica, las funciones rudimentarias tienden a comportarse, digamos, un tanto incivilizadas,por lo que los estratos de L, que son cerrados respecto a ellas, no propician un arrebato desmedido, puesson pocos los axiomas de ZFE que se convalidan en ellos. Pero ellas resultan maravillosas en cuantoal estudio detallado de la forma en que aparecen nuevos conjuntos, por lo que son la base de todo eldesarrollo posterior de los modelos núcleo y es imposible sobrestimar su trascendencia, razón por la

i

Prefacio Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II ii

cual dedicamos una porción de este trabajo a su estudio. Más loable es, en cambio, el comportamientode los estratos de L cerrados respecto a las funciones de conjunto primitivo recursivas que nos permitendemostrar resultados de la magnitud del lema de condensación y el teorema de estabilidad; de hecho,dan la impresión de que es poco lo que les falta para equipararse con ZFE. Resulta ser que al tratar deremediar esta deficiencia, logramos una definición de enorme relevancia: la de los conjuntos admisibles,que en particular son cerrados respecto a funciones de conjunto primitivo recursivas, pero no sólo eso:en ellos podemos generalizar la teoría ordinaria de recursión y obtener numerosos resultados de la teoríade modelos. Más aún, mediante la noción de ordinal admisible desplegamos un amplio estudio de losestratos admisibles o primitivo recursivo cerrados del universo construible L, y estamos en posición deintroducir un principio combinatorio enormemente poderoso: una semimorass. Este complejo sistemapropicia construcciones sumamente elaboradas, por ejemplo, un árbol de Kurepa, algunas variacionesdel diamante y otras más. Por lo anterior, una pregunta natural es si son realmente distintas las clasesde los conjuntos admisibles y la de los primitivo recursivo cerrados. Formalmente: ¿existen conjuntosprimitivo recursivo cerrados que no sean admisibles? Constestaremos afirmativamente esta pregunta,mostraremos (Jensen) que si α es un ordinal primitivo recursivo cerrado, el ordinal β > αmás pequeñoque sea primitivo recursivo cerrado no puede ser admisible.A propósito de la teoría de modelos, parecería que la hubiésemos olvidado, pero no es así; en todo

este desarrollo ha estado presente desde los modelos de ZFE hasta los modelos admisibles, pasando porlos modelos internos de subteorías de ZFE. A pesar del entusiasmo que podamos haber adquirido encuanto a las posibilidades de la teoría demodelos de primer orden [FerVill13], lamentablemente quedaronmuchos objetivos inasequibles por diversas carencias mostradas en cuanto a expresividad se trata. Porello es que, en un intento por mejorar este escenario, aparecen ciertas lógicas no clásicas: introducimoslos lenguajes (o lógicas) infinitarias, y más general, introducimos los llamados fragmentos de lenguajesinfinitarios, entre los cuales destacan los generados por conjuntos admisibles y por conjuntos primitivorecursivo cerrados. En particular, los fragmentos determinados por conjuntos admisibles numerablesadmiten un teorema de compacidad. Súbitamente adquirimos una capacidad de expresión envidiable,pero de inmediato enfrentamos problemas ciertamente graves: perdemos compacidad (con las excep-ciones señaladas) y los teoremas de Löwenheim-Skolem, aunque podemos rescatar diversos resultadosde la teoría de modelos de primer orden. Más aún, podemos apelar a teorías que ya habremos tratadopara entonces: la de los grandes cardinales y la de las estructuras admisibles; ambas pueden aportar, enciertos casos, un ingrediente esencial: cierto grado de compacidad y algunas variantes del teorema deLöwenheim-Skolem creciente. Otro posible remedio para la ausencia de compacidad se discutirá am-pliamente: las propiedades de consistencia y el teorema de existencia de modelos. Una figura principalen ese contexto es el método de ida y vuelta, para mostrar equivalencia elemental respecto a lenguajesinfinitarios.De este devenir surgen nuevas clases de grandes cardinales: los compacto débiles; los inefables

y sus primos los sutiles, los casi inefables y otros más. Presentamos numerosas caracterizaciones paracardinales compacto débiles; los cardinales inefables impulsan diversas representaciones, estableciendoun límite para la validez de ciertos principios combinatorios como la hipótesis de Kurepa, ♦∗

κ y ♦#κ .

Aquí jugarán un papel escencial las semimorasses. Entre muchas caracterizaciones, describiremos a loscardinales compacto débiles en L en términos de gráficas, relaciones de partición, etc.En seguida aparecen otras lógicas no clásicas: el siguiente capítulo está consagrado a los aspectos

modelo-teóricos de la lógica modal proposicional. A diferencia de los enfoques tradicionales que siguen

iii Universidad Autónoma Metropolitana Prefacio

el orden histórico y presentan primeramente sistemas axiomáticos modales y solo entonces introducenla semántica, este capítulo inicia con la definición de modelos de Kripke y la definición de verdad paralenguajes que contienen operadores modales. El énfasis recae en cómo el lenguaje modal se vuelveasí una herramienta para describir estructuras muy sencillas, gráficas dirigidas en que puede haberdiversos tipos de flechas uniendo los nodos de la estructura y en que cada nodo contiene una ciertainformación. La ventaja de tomar un lenguaje sencillo como los lenguajes modales proposicionales es lagran variedad de fenómenos que pueden ser descritos por este tipo de representaciones y, por lo tanto,que pueden bosquejarse mediante el lenguaje modal correspondiente: el conocimiento de un individuoo un grupo, autómatas, las relaciones temporales y el flujo de información son algunos ejemplos. Lapregunta central del capítulo es qué tipo de estructuras pueden ser descritas por el lenguaje modalproposicional o, dicho de otra forma, dadas dos gráficas del tipo mencionado, en qué casos el lenguajepuede distinguirlas. Esta pregunta se desdobla en otras dos, dependiendo de si estamos describiendomodelos o sólamentemarcos. En el primer caso, el lenguajemodal puede ser visto como un fragmento dellenguaje de primer orden clásico, gracias a la traducción estándar que permite obtener para cada fórmulamodal una fórmula de primer orden equivalente (en cierto sentido). En una sección mostramos que losmodelos puntuados que tienen entre sí la relación de bisimilaridad son modalmente indistinguibles, yesto comprende, como casos particulares, modelos que se obtienen unos de otros por aplicación deciertas construcciones modelo-teóricas clásicas. Enseguida demostramos una propiedad central de unagran variedad de lenguajes modales: si una fórmula es satisfacible, entonces es verdadera en un modelopuntuado finito, lo que abre la puerta a los resultados de decidibilidad. En las siguientes secciones nosconcentramos en el teorema de caracterización de Van Benthem, que delimita precisamente el fragmentodel lenguaje de primer orden que es equivalente a la traducción de una fórmula modal. En lo quesigue, pasamos al segundo tema anunciado: el tipo de marcos que pueden ser descritos por fórmulasmodales. En este escenario, el lenguaje modal puede ser considerado como una sección del lenguajede segundo orden clásico, incomparable en riqueza descriptiva con el lenguaje de primer orden. Elteorema central de esta sección es el de Goldblatt-Thomason, que acota precisamente las clases demarcos definibles en primer orden que también son modalmente definibles. El capítulo que sigue esun suplemento al anterior. Presenta cuatro temas hasta cierto punto independientes, pero que guardanrelación entre sí. En la primera parte del capítulo hacemos una breve generalización de tipos de pruebasde completud de sistemas axiomáticos formales (que ya hemos expuesto en otro volumen) y probamosla incompletud de algunos sistemas. Con ello complementamos no solo los temas semánticos antestratados, sino que destacamos su interés al exhibir la insuficiencia de la sintaxis. Después de todo, fueel descubrimiento de la incompletud una de las grandes motivaciones para el desarrollo de la lógicamodal en los años setentas del siglo pasado. Las tres secciones siguientes tienen como objetivo ilustrarlos métodos del capítulo anterior y la utilidad que aportan variaciones de la semántica de Kripke paramodelar situaciones epistémicas y el condicional del lenguaje ordinario. La segunda parte del capítuloestá dedicada a la lógica del conocimiento común, es decir, a estudiar un operador cuya contrapartesemántica es la cerradura reflexiva y transitiva de la unión de todas las relaciones de accesibilidad.Aunque se introduce por motivaciones epistémicas, el tema es más general. La siguiente sección presentalos sistemas AGM para modelar el cambio racional de creencias. Tres grupos de axiomas restringen loque puede ser considerado, respectivamente, una expansión, una contracción o una revisión del conjuntode creencias de un agente racional cuando este recibe nueva información, sea consistente o no con loque hasta entonces creía. Presentamos algunos resultados de caracterización de estas operaciones en

Prefacio Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II iv

términos de teoría de conjuntos y de un operador de consecuencia lógica. El resto del capítulo estáconsagrado al uso de sistemas modales para tratar diversos tipos de condicionales. Una sección introducelas lógicas condicionales propuestas por Stalnaker y D. Lewis, y algunas variantes de las mismas paramodelar ciertos usos del condicional del lenguaje ordinario para el cual no son válidas ciertas leyes quela lógica clásica autoriza. Estudiamos allí las ventajas y desventajas de estas propuestas. En el capítulonos interesa mostrar que los sistemas modales no solo tienen aplicaciones en la modelación de cierto tipode fenómenos, sino que las herramientas a las que recurren (como la semántica relacional de Kripke)pueden generalizarse para producir otras aplicaciones interesantes (el análisis de los condicionales, porejemplo). Con esto esperamos generar el interés del lector en esta clase de sistemas.Como ya mencionamos en [FerVill13], los ejercicios conforman una parte indispensable del libro,

y lo mismo podemos decir en esta ocasión, aunque esta vez es necesario remarcar aún más este punto,pues la mayor parte de los ejercicios están encaminados a incorporar métodos, resultados, nociones,etc., que por falta de espacio no pudimos describir en el texto, pero que son indispensables para uncorrecto desarrollo de las teorías arriba bosquejadas. Algunos ejercicios se relacionan entre sí, aquellosse requieren para resolver estos; ciertos ejercios presentan un resultado particular, que en otro apareceen forma más general. Hemos permitido esta situación pues puede resultar provechoso para los lectorestratar la situación particular antes de involucrarse con procedimientos más generales que pueden ocultarfácilmente ideas relevantes o inhibir razonamientos intuitivos, especialmente para aquellas personas querecién se inician en estas áreas.La bibliografía representa las obras que hemos consultado para elaborar este volumen; como siem-

pre, son el origen de los resultados presentados. Debe quedar claro que es enorme, inmensa nuestradeuda con estas obras y que, como se disertará en el texto, hemos procurado corregir algunas ine-xactitudes presentes en la literatura. Esta vez hemos sido más ambiciosos y expandimos consider-ablemente el material, por lo que una porción de los resultados aparece publicado por primera vez.Una mención especial merecen los trabajos del Prof. Ronald Jensen que hemos empleado desde aque-llos trabajos (pocos) publicados, como los manuscritos que aparecen en http://www.mathematik.hu-berlin.de/~raes h/org/jensen.html, algunos que nos ha proporcionado personalmente y di-versos Skripten de sus Vorlesungen, es decir, notas de clase. Más aún, también es importante remarcarque numerosos resultados en algunos libros de texto, y sus demostraciones (varios de ellos se empleanen esta obra), se deben al Prof. Jensen, aunque no se le atribuyen explícitamente.Una consideración de suma importancia radica en una parte esencial de la teoría de modelos nú-

cleo: la llamada teoría de estructura fina. El lector encontrará en el texto numerosas referencias a ella,mismas que podrían causar la impresión de que se trata de una teoría superflua o que queremos evitara toda costa. Nada mas alejado de nuestra intención; se trata de una parte indispensable en cualquierdesarrollo futuro de la obra, y dada su enorme importancia, requiere de un espacio que en esta ocasiónno podemos concederle, por lo que hemos preferido posponer su introducción a un volumen posterior.Hemos procurado evitar presentar resultados que la requieren, o incluso desarrollar pruebas alterna-tivas de algunas afirmaciones, que prescindan del uso de esa teoría, simplemente por el hecho de quela complejidad de la estructura fina exige un alto grado de madurez por parte del lector, y es nuestraintención suscitar esta condición mediante el desarrollo que presentamos en este tomo. Por ello es quecualquier comentario en el texto al respecto debe entenderse como una muestra del enorme respeto quetenemos por dicha teoría, para la que reservamos un lugar muy especial en nuestra escritura.Versiones preliminares de este libro se han utilizado en varios cursos y seminarios. Los autores

v Universidad Autónoma Metropolitana Prefacio

agradecen los comentarios, sugerencias y correcciones de los estudiantes involucrados Homines, dumdocent discunt, especialmente a Kinrha Aguirre, Cecilia Hernández, Oscar Rendón, Édgar Valenzuela,y Alejandro Zavaleta. Ni tianguis sin ratas, ni libro sin erratas. Cualquier error es responsabilidadexclusiva de los autores. El segundo autor agradece al departamento de lógica matemática (mathema-tische Logik Abteilung) de la Universidad Albert-Ludwig, Freiburg, Alemania, su hospitalidad durante laprimera etapa de la elaboración de este libro, en particular a Heike Mildenberger y Jörg Flum por suapoyo.Sería de enorme ayuda para los autores conocer las opiniones de colegas, lectores, estudiantes, etc.

acerca de este libro, por lo que mucho agradeceríamos que nos enviaran sus comentarios a la direcciónde correo electrónico Floreat nostra schola:

te olote.librosgmail. om

Queremos expresar nuestro agradecimiento a los arbitros que tuvieron la enorme paciencia ysabiduría de revisar este trabajo. Recibimos numerosas sugerencias de ellos, lo que ha mejorado sensi-blemente el contenido y la presentación de este libro.Este libro se elaboró en el marco del proyecto CONACyT "Los problemas del conocimiento y la

comprensión en matemáticas" (13611289), el Programa de Estancias Sabáticas (186412) y el proyectoColaboración Interinstitucional sobre Temas de Álgebra de PROMEP (convocatoria 2011), por lo que losautores agradecemos el apoyo recibido por parte de CONACyT y SEP.

Notación

ϕ(A) es el conjunto definido por la fórmula ϕ en la estructura A.

κµ =

∑

λ<µλ cardinal

κλ

N+ = N− 0

A significa que la afirmación es un problema abierto, al menos en cuanto al conocimiento pre-sente de los autores.

En el caso de definiciones, hemos privilegiado el uso de si en lugar de si y sólo si, utilizado en otrosidiomas, pero innecesario en español.

Es hba h Ho hs hwarzwald-Ciudad de Mexi o, septiembre

de 2017

vi Universidad Autónoma Metropolitana

Índice

I La teoría de Zermelo-Fraenkel y el axioma de elección 1I.1 El lenguaje de la teoría de conjuntos (LTC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Los axiomas de ZFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3 Fórmulas Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.4 Subteorías de ZFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.5 Buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.6 Relaciones bien fundadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.7 La jerarquía de Zermelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.8 La relativización de una fórmula respecto a un LTC-término . . . . . . . . . . . . . . . . . 39I.9 Absolutez de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.10 Relativización de términos respecto a términos clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50I.11 Absolutez de LTC-términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56I.12 Relativización y absolutez de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66I.13 Los principios de reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71I.14 La jerarquía de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.15 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

II Aritmetización e incompletud de ZFE 99II.1 Aritmetización del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II.2 La veracidad no se puede definir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111II.3 Los teoremas de incompletud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112II.4 Definibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115II.5 Gödelización del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124II.6 Pruebas de consistencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132II.7 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

III Grandes cardinales: los pequeños 163III.1 Los pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165III.2 Cardinales Mahlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173III.3 Combinatoria infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183III.4 Los teoremas de Silver y Solovay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184III.5 El teorema de Erdös-Rado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229III.6 Cardinales indescriptibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232III.7 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

vii

viii Universidad Autónoma Metropolitana

IV El universo construible 275IV.1 La jerarquía construible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275IV.2 El principio ♦ y algunas de sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287IV.3 La hipótesis de Kurepa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301IV.4 El diamante en otras cardinalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308IV.5 Generalizaciones del ♦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334IV.6 El diamante débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340IV.7 El principio 2∗

κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354IV.8 El principio 2κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359IV.9 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

V Admisibilidad, recursión y constructibilidad rudimentaria 413V.1 Conjuntos admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414V.2 Funciones y relaciones primitivo recursivas y rudimentarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 427V.3 Funciones de conjunto primitivo recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439V.4 Aritmetización primitivo recursiva de lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455V.5 Definibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467V.6 Un teorema de recursión para las funciones primitivo recursivas . . . . . . . . . . . . . . 470V.7 El universo construible de Gödel y las funciones primitivo recursivas . . . . . . . . . . . . 474V.8 Estabilidad y condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479V.9 La jerarquía construible y admisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491V.10 Semimorasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496V.11 Otra vez L y admisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518V.12 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

VI Lenguajes infinitarios 587VI.1 Lenguajes infinitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587VI.2 Clasificación de morfismos mediante fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604VI.3 El teorema de Löwenheim-Skolem decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608VI.4 Primeras aplicaciones: álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614VI.5 Grupos abelianos y lógica infinitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629VI.6 Teoría de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642VI.7 El teorema de isomorfismo de Scott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647VI.8 Buen orden en Lω1ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653VI.9 El teorema de omisión de tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659VI.10 Incompacidad de los lenguajes infinitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666VI.11 Ultraproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670VI.12 Ida y vuelta en lógica infinitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673VI.13 Aproximaciones numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693VI.14 El teorema de compacidad de Barwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696VI.15 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

Teoría de conjuntos lógica y temas afines II ix

VII Cardinales compacto débiles y similares 739VII.1 Cardinales compacto débiles y Π1

n(Σ1n)-indescriptibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

VII.2 Aplicaciones al álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756VII.3 Cardinales inefables y sutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774VII.4 Particiones arbóreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788VII.5 El principio ♦∗

κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803VII.6 Tiempo de echarnos unos “volados” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805VII.7 Más aplicaciones de las semimorasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812VII.8 Más caracterizaciones de cardinales compacto débiles y resultados relacionados . . . . . 825VII.9 Sucesores de cardinales singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836VII.10 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

VIII Lógica modal proposicional desde una perspectiva semántica 901VIII.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903VIII.2 Teoría de la correspondencia I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916VIII.3 La Propiedad del modelo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935VIII.4 Teoría de la correspondencia II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947VIII.5 Definibilidad de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959VIII.6 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967

IX Completud, incompletud y aplicaciones de los sistemas modales 971IX.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971IX.2 Completud e incompletud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972IX.3 La lógica del conocimiento común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992IX.4 Revisión de creencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003IX.5 Una introducción al problema de los condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021IX.6 Ejer i ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

1043

Índices 1052

Índice

I

La teoría de Zermelo-Fraenkel y el axioma de elección

En este primer capítulo formalizaremos diversas nociones importantes en la teoría de conjuntos,como son el lenguaje, los axiomas, la relativización de fórmulas, la absolutez, modelo interno, etc. Enbuena medida, desarrollaremos lo que suele llamarse la metamatemática de la teoría de conjuntos, puesse procura “formalizar” diversos aspectos de la misma desde “fuera”, es decir, apelando al metalenguaje.De ninguna manera es nuestra intención desarrollar desde sus inicios la teoría ZFE (para ello recomen-damos al lector consultar [Le02]); por el contrario, supondremos conocida buena parte de la misma(aritmética ordinal y cardinal, cofinalidad, etc.) y disertaremos sobre temas que son indispensables en elestudio del método de forcing y de modelos internos; si bien iniciamos formulando los axiomas de ZFEy destacando algunas subteorías, rápidamente avanzamos en el desarrollo de la misma.Como ya mencionamos, emplearemos el sistema axiomático ZFE y no solo lo utlizaremos, es en rea-

lidad el motivo de nuestro trabajo. Es sabido que los modelos de este sistema solo consideran conjuntos,y no clases propias (colecciones de conjuntos demasiado “grandes” para clasificarse como conjuntos);así, la colección de los números cardinales u ordinales no son conjuntos; por supuesto, la colección detodos los conjuntos, V , no es un conjunto. Pero no queremos prescindir de la noción de clase, por lo queprocuraremos formalizar nuestro trabajo con ellas, lo cual es posible con cierto tipo de clases, a saber,aquellas clases definibles, esto es, de la forma

x : ϕ(x)

que representa a la colección de aquellos conjuntos x que tienen la “propiedad” ϕ, donde ϕ es unafórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos con una variable libre. Debe quedar claro que tales clasesson solo abreviaciones útiles para las fórmulas asociadas a ellas. Siempre que hablemos de una clase (otérmino clase) estaremos pensando en clases definibles en el sentido recién descrito.Por supuesto, no se puede cuantificar sobre clases, pues estas no son elementos de ninguna estruc-

tura apropiada para ZFE. Entre las repercusiones originadas por esta carencia se puede mencionar queal formular ciertos axiomas de ZFE, como el de comprensión o el de remplazo, habremos de intoducir unaxioma para cada fórmula, por lo que en realidad tendremos un esquema de axiomas; algo similar ocurrecon ciertos teoremas y definiciones. El capítulo es, por tanto, de una naturaleza un tanto cuanto peculiar,en el sentido recién descrito, y requiere del lector enorme paciencia, constancia y atención en los detallesque pueden ser demasiado sutiles en una primera lectura, pero que deben ser apreciados, aunque paralograrlo tuviese que acudir a numerosas relecturas. Empezaremos por describir los axiomas de ZFE en

1

304 Universidad Autónoma Metropolitana

El ordinal η′ es el mayor η′ ≤ η que permite tal construcción. En Lf(α) sea π′ν : N ′

ν∼= Lβ(ν)

(ν < η′). Así, (β ′(ν) : ν < η′) ∈ Lf(α). Como ν < η implica Nν Nη Lω2 , en la definición de laparte inicial de (Nν : ν < η) de esta sucesión podemos utilizar Nη en lugar de Lω2 ; esto es, para ν < ηtenemos

N0 = el menor N Nη

Nν+1 = el menor N Nη tal queNν ∪ Nν ⊆ N

Nδ =⋃

ν<δ

Nν lim(δ).

Ahora, π : Nη∼= Lβ y por indución se comprueba que para cada ν < η (π Nν) : Nν

∼= N ′ν . La

etapa sucesor usa el lema IV.3.2. En consecuencia, η′ = η, y para cada ν < η, las estructuras Nν y Nν′

tienen el mismo colapso transitivo, es decir,

ν < η → β(ν) = β ′(ν).

Por lo tanto,(β(ν) : ν < η) ∈ Lf(α),

lo que pretendíamos demostrar. d

Al igual que en el caso de los árboles de Souslin, podemos formular el principio ♦+ (en aquel casofue ♦) que se cumple en L y nos permite obtener un árbol de Kurepa. Es nuestra intención desarrollaresta idea, pero antes vale la pena enunciar un principio “intermedio” ♦∗ y mostrar su validez en L, puesesta demostración puede servir de ejemplo en otros ámbitos. El principio ♦∗ es

♦♦♦∗ Existe una sucesión (Sα : α < ω1) tal que Sα es un subconjunto numerable dePot(α), y para cualquier X ⊆ ω1 existe un club C ⊆ ω1 tal que X ∩ α ∈ Sα para todaα ∈ C .

W IV.3.4 (V = L).

♦∗ es cierto.

Teorema

Demostración. Defina una función f : ω1 → ω1 mediante f(α) = el menor γ > α tal que Lγ |= α esnumerable. Sea

Sα = Pot(α) ∩ Lf(α) α < ω1.

Con esto hemos definido una ♦∗-sucesión (Sα : α < ω1) como a continuación comprobamos.Es claro que cada Sα es un subconjunto numerable de Pot(α), por lo que resta probar que si

X ⊆ ω1, existe un club C ⊆ ω1 tal que X ∩ α ∈ Sα para todo α ∈ C .

La hipótesis de Kurepa

828 Universidad Autónoma Metropolitana

Definición VII.8.9. Si F es una familia de conjuntos y existe una función de elección inyectiva para F ,decimos que F posee fei. Una familia F es casi ajena si

|F ∩ F ′| < min|F |, |F ′|

para cualesquier F, F ′ ∈ F con F 6= F ′.

Lema VII.8.10. Sea κ un cardinal compacto débil y F una familia de subconjuntos acotados de κque no posee fei. Entonces existe una subfamilia F ′ ⊆ F con |F ′| < κ que tampoco tiene fei.

Demostración. F es una familia de subconjuntos acotados de κ; si z ∈ F , entonces z ⊆ κ, por lo quez ∈ Vκ, pues z es acotado y κ es inaccesible (en consecuencia, Vκ = Hκ), podemos entonces considerara F como un predicado y formar la estructura A = 〈Vκ,∈,F〉. Note que f es una función de eleccióninyectiva par F se expresa como

ψ(f) ≡Fun(f) ∧ ∀x(x ∈ dom(f)→ F(x))

∧ ∀y ∈ dom(f)(F(f(y)))∧ ∀y1, y2 ∈ dom(f)(y1 6= y2 → f(y1) 6= f(y2)).

Por consiguiente,〈Vκ,∈,F〉 |= ∀f(¬ψ(f))

︸︷︷︸

Π11

;

ahora apelamos a que un cardinal compacto débil es Π11-indescriptible, y detectamos un α < κ tal que

〈Vα,∈ F ∩ α〉 |= ∀f(¬ψ(f))

con |F ∩ α| < κ, de donde se sigue que F ∩ α no tiene fei. d

La propiedad fei nos permite dar otra caracterización de los cardinales compacto débiles en L. Alque le apura el hambre, atiza el fogón.

W VII.8.11.

Sea κ un cardinal regular y suponga que se cumple J (κ, λ). Entonces existe unafamilia casi ajena F ⊆ [κ]λ que no tiene fei, pero cada subfamilia F ′ ⊆ F con|F ′| < κ tiene fei.

Teorema

Demostración. Suponga que E genera J (κ, λ); para cada α ∈ E escogemos un subconjunto cofinal Fαde α con tipo ordinal λ y corroboremos que F = Fα : α ∈ E posee las propiedades que requerimos.Por supuesto, F es casi ajena: tomamos α, β ∈ E , α < β , podemos asegurar que Eα es cofinal en αcon tipo ordinal λ y algo similar para Fβ . Elegimos una cola de β que parte de α+ 1 que no intersectea E ∩ β . Entre α + 1 y β hay λ puntos, Fβ tiene tipo ordinal λ, así que los puntos en común de Fα yFβ deben ser menos que λ, por lo que |Fα ∩ Fβ| < λ.

Más caracterizaciones de cardinales compacto débiles y resultados relacionados

Literatura

[Abr74] S. Abraham, Projective and Admissible Set Theory with respect to ω-cofinal Cardi-nals, Dissertation, University California, 1974.

[AHKZ77] F. G. Abramson, L. A. Harrington, E. M. Kleinberg, W. S. Zwicker, Flipping properties:a unifying thread in the theory of large cardinals, Ann. Math. Logic 12(1977), 25-59.

[Ada76] A. Adamson, Admissible sets and the saturation of structures, Dissertation, Univer-sity of California, 1976.

[Ag11] K. Aguirre, El universo construible L, semi morasses y una aplicación, tesis demaestría, Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa, 2011.

[Ag14] K. Aguirre, LógicasM-finitas, propuesto para publicación.

[AGM85] C. E. Alchurrón, P. Gardenfords, D. Makinson, On the logic of theory change: partialmeet contraction and revision functions, J. Symbolic Logic 50(1985), 510-530.

[AvDeSh78] U. Avraham, K. Devlin, S. Shelah, The consistency with CH of some consequencesof Martin’s Axiom plus ℵ1 < 2ℵ0 , Israel J. Math. 31(1978), 19-33.

[Ba83] S. Baldwin, Generalizing the Mahlo hierarchy, with applications to the Mitchellmodels, Ann. Pure App. Logic 25(1983), 103-127.

[Bar77] J. Barwise (Ed.), Handbook of Mathematical Logic, North-Holland, 1977.

[BarFef85] J. Barwise, S. Feferman (Eds.), Model-Theoretic Logics, Springer-Verlag, 1985.

[Bau73] J. Baumgartner, Ineffability properties of cardinals I, en A. Hajnal et. al., (Eds.) Colloq.Math. Soc. Janos Bolyai 10, Infinite and finite sets, Vol. III (North-Holland, Amster-dam, 1973), 109-130.

[Bau77] J. Baumgartner, Ineffability properties of cardinals II, en Butts, Hintikka, eds.Logic, Foundations of Mathematics and Computation Theory, Reidel, Dordrecht, TheNetherlands, 1977), 87-106.

[BeLi80] A. Beller, A. Litman, A strengthening of Jensen’s 2 principles J. Symb. Logic45(1980), 251-264.

1043

Bibliografía Universidad Autónoma Metropolitana 1044

[BenKet74] M. Benda, J. Ketonen, On regularity of ultrafilters, Israel J. Math. 17(1974), 231-240.

[Ben10] J. van Benthem, Modal Logic for Open Minds, CSLI Publications, 2010.

[BlBeWo06] P. Blackburn, J. van Benthem, F. Wolter, (Eds.), Handbook of Modal Logic, Elsevier,2006.

[BlRiVe02] P. Blackburn, M. de Rijke, Y Venema,Modal Logic, Cambridge University Press, 2002.

[Bo93] G. Boolos, The Logic of Provability, Cambridge University Press, 1993.

[Bo75] W. Boos, Lectures on large cardinals axioms, FISILC Logic Conference (Kiel 1974),Lecture Notes Math. 499, Springer-Verlag, 1975, 25-88.

[Bur77] P. Burgess, Forcing, en [Bar77], 403-452.

[Ch68] C. C. Chang, Some remarks on the model theory of infinitary languages, en TheSyntax and Semantics of Infinitary Languages, Berlin, Springer-Verlag, 1968.

[CK93] C. Chang, H. J. Keisler, Model Theory, Third Ed., North-Holland, The Netherlands,1993.

[Che76] G. Cherlin, Model Theoretic Algebra, Lecture Notes Math. 521, Springer-Verlag,Berlin, 1976.

[Cho84] C. T. Chong, Techniques of admissible recursion theory, Lect. Notes Math. 1106,Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[CoFr08] N. Cocchiarella, M. Freund,Modal Logic. An Introduction to its Syntax and Seman-tics, Oxford University Press, 2008.

[CuFoMa01] J. Cummings, M. Foreman, M. Magidor, Squares, scales, and stationary reflection, J.Math. Log. 1(2001), 35-98.

[CuKa80] N. Cutland, M. Kaufmann,Σ1-well founded compactness, Ann. Math. Logic 18(1980),318-324.

[Dev73] K. Devlin, Aspects of Constructibility, Lect. Notes Math. 354, Springer-Verlag, 1973.

[Dev73b] K. Devlin, Some weak versions of large cardinal axioms, Ann. Math. Logic 5(1973),291-325.

[Dev74] K. Devlin, The Souslin Problem, Lect. Notes Math. 405, Springer-Verlag, 1974.

[Dev74b] K. Devlin, Order-types, trees and a problem of Erdös and Hajnal, Periodica Math.Hung. 5(1974), 153-160.

[Dev78] K. Devlin, ℵ1-trees, Ann. Math. Logic 13(3)(1978), 267-330.

1045 Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II Bibliografía

[Dev79] K. Devlin, Variations on ♦, J. Symb. Logic 44(1979), 51-58.

[Dev84] K. Devlin, Constructibility, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[Dev93] K. Devlin, The joy of sets, 2nd Ed., Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[DePa73] K. Devlin, J. Paris, More on the free subset problem, Ann. Math. Logic 5(1973), 327-336.

[DeJo74] K. Devlin, H. Johnsbråten, The Souslin Problem, Lecture Notes Math. 405, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[DeSh78] K. Devlin, S. Shelah, A weak version of ♦ which follows from 2ℵ0 < 2ℵ1 , Israel J.Math. 29(1978), 239-247.

[DeSh79] K. Devlin, S. Shelah, A note on the normal Moore space conjecture, Canadian J.Math. 31(1979), 241-251.

[Di75] M. A. Dickmann, Large Infinitary Languages, North-Holland, Amsterdam, TheNetherlands, 1975.

[DiHoKo08] H. van Ditmarsch, W. van der Hoeke, B. Kooi, Dynamic Epistemic Logic, Springer-Verlag, 2008.

[Do82] A. Dodd, The core model, London Math. Soc., Lecture Notes, no. 61, CambridgeUniversity Press, 1982.

[Do77] H. D. Donder, Einige kombinatorische Ergebnisse in L, Inagural-Dissertation, Uni-versität Köln, 1977.

[Do81] H. D. Donder, Coarse morasses en L, Set Theory and Model Theory, Lecture NotesMath. 872, 1981, 37-54.

[DoKoLe88] H. D. Donder, P. Koepke, J. P. Levinski, Some stationary subsets of P(λ), Proceed.Am. Math. Soc. 102(1988), 1000-1004.

[Dr74] F. Drake, Set Theory, An Introduction to Large Cardinals, North-Holland, TheNetherlands, 1974.

[DuFo04] D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd Ed., Wiley and Sons, 2004.

[EkHu80] P. Eklof, M. Huber, On the rank of Ext, Math. Zeitsch. 74(1980), 159-185.

[EkMe02] P. Eklof, A. Mekler, Almost free modules, revised ed., North-Holland, 2002.

[EkShe94] P. Eklof, S. Shelah, A combinatorial principle equivalent to the existence of non-freeWhitehead groups. In Abelian group theory and related topics, Oberwolfach, 1993,Vol. 171 Contemp. Mathematics, 79-98, Amer. Math. Soc. 1994.


[ErHa66] P. Erdös, A. Hajnal, On Chromatic numbers of grafics and set-systems, Acta Math.Acad. Sci. Hungr. 17(1966), 61-99.

[ErHa71] P. Erdös, A. Hajnal, Unsolved problems in Set Theory, In Axiomatic Set Theory,Proc. Symp. Pure Math. 23(1971) Part I, 17-48.

[Esc00] G. Escudero Machin, Funciones de conjunto primitivo recursivas, Tesis de licen-ciatura inconclusa, Departamento de matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

[Fe98] E. Fermé, On the logic of the theory of change: contraction without recovery, Jour-nal of Logic, language, and Information, Vol. 7, No. 2. Thematic Issue on Belief Revi-sion (April, 1998), pp. 127-137.

[FerVill11b] M. Fernández De Castro Tapia, L. M. Villegas Silva, Lógica Matemática: II Lógicaclásica, Intuicionista y Modal, UAMI, 2010.

[FerVill13] M. Fernández De Castro Tapia, L. M. Villegas Silva, Teoría de conjuntos, lógica ytemas afines I, UAMI, 2013.

[FerVill14] M. Fernández De Castro Tapia, L. M. Villegas Silva, Lógica Matemática: I LógicaProposicional, Intuicionista y Modal, UAMI, primera reimpresión 2014.

[Fitt07] M. Fitting, Incompletness in the Land of Sets, Studies in Logic 5, College Publications,2007.

[FoMa97] M. Foreman, M. Magidor, A very weak square principle, J. Symb. Logic 62(1)(1997),175-196.

[FuMa93] L. Fuchs, M. Magidor, Butler Groups of arbitrary cardinality, Israel J. Math. 84(1993),239-263.

[FuSa00] L. Fuchs, L. Salce,Modules over Non-Noetherian Domains, Amer. Math. Soc., 2000.

[Gro12] R. Grossberg, A course in Model theory I: Introduction, preliminary draft, versionFebruary 12, 2012.

[Ha61] A. Hajnal, Proof of a conjecture of S. Ruziewicz, Fund. Math. 50(1961), 123-158.

[Ha61b] A. Hajnal, Some results and problems on set theory, Acta Math. Acad. Sci. Hungr.11(1961), 277-298.

[HaJuSh86] A. Hajnal, I. Juhasz, S. Shelah, Splitting strongly almost disjoint families, Trans. Am.Math. Soc. 295(1986), 369-387.

[Ha93] S. Hansson, Theory contraction and base contraction unified, J. Symbolic Logic,58(1993)(2), 602-625.

[Haus14] F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Veit and Company, Leipzig, 1914.


[Haus91] K. Hauser, Indescribable cardinals and elementary embeddings, J. Symb. Logic56(1991), 439-457.

[Hell03] A. Hellesten, Diamonds on large cardinals, Ann. Acad. Sc. Fenn. Mathematica, Dis-sertationes 134, Academia Sc. Fennica, 2003, Finland.

[Hod97] W. Hodges, Model Theory, Cambridge Univ. Press, 1993.

[HoSh81] W. Hodges, S. Shelah, Infinite Games and reduced products, Ann. Math. Logic20(1981), 77-108.

[HuCr68] G. E. Hughes, M. J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic, Mthuen and Co. Ltd.,1968.

[HuCr96] G. E. Hughes, M. J. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, Routledge, 1996.

[Hy90] T. Hyttinen, Model theory for infinite quantifier language, Fund. Math. 134(1990),125-142.

[Hy91] T. Hyttinen, Preservation by homomorphisms and infinitary languages, NotreDame J. Formal Logic 32(1991), 167-172.

[Hy92] T. Hyttinen, On κ-complete reduced products, Arch. Math. Logic 31(1992), 193-199.

[Hy02] T. Hyttinen, A remark on weakly compact cardinals, Math. Logic Quarterly,48(2002), 397-402.

[Jech73] T. Jech, Some combinatorial problems concerning uncountable cardinals, Ann.Math. Logic 5(1972/73), 165-198.

[Jen67] R. B. Jensen, Modelle der Mengenlehre, Lecture Notes Math. 37, Springer-Verlag,Berlín, 1967.

[JenKun] R. Jensen, K. Kunen, Some Combinatorial Properties of L and V , unpublished,http://www.mathematik.hu-berlin.de/~raes h/org/jensen.html.

[Jen72] R. B. Jensen, The fine structure of the constructible hierarchy, Ann. Math. Logic4(1972), 229–308.

[Jen17] R. B. Jensen, Fine structure up to a Woodin Cardinal, Book in prepara-tion, https://www.mathematik.hu-berlin.de/~raes h/org/jensen/pdf/TheSkript.pdf.

[Jo90] C. A. Johnson, Some partition relations for ideals on Pκλ, Acta Math. Hungar.56(1990), 269-282.

[Jor71] M. A. Jorgensen, Images of ultrafilters and cardinality of ultrapowers, Notices AMS18(1971), 826.


[Ju80] I. Juhasz, Cardinal Functions in Topology– ten years later, Mathematical CenterTracts 123, Amsterdam, The Netherlands, 1980.

[Kan75] A. Kanamori, Ultrafilters over measurable cardinals, Doctoral Diss, Univ. of Cam-bridge, 1975.

[Kan82] A. Kanamori, Morass-level Combinatorial Principles, en Metakides (Ed.), PatrasLogic Symp, North-Holland, 1982, 339-358.

[Kan82b] A. Kanamori, On Silver’s and Related Principles, in D. Van Dalen, et. al. (Eds.) LogicColloquium 80, North-Holland, 1982, 153-172.

[Kan83] A. Kanamori, Morasses in Combinatorial Set Theory, en [Mat83] 167-196.

[Kan09] A. Kanamori, The Higher Infinite, Springer-Verlag, 2nd Ed., 2009.

[Kar68] C. Karp, An algebraic proof of the Barwise compactness theorem, en the syntaxisand semantic of infinitary languages, J. Barwise (Ed.), Lect. Note Math. 72, Springer-Verlag, Berlin, 1968, 80-95.

[Kar84] M. Karttunen, Model theory for infinitely deep languages, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.A I Diss. 50(1984).

[Ka81] M. Kaufmann, On existence of Σn end extensions, Lecture Notes Math. 859(1981),92-103.

[Kei68] H. J. Keisler, Formulas with linearly ordered quantifiers, in The syntaxis and Se-mantics of Infinitary Languages, Springer-Verlag, Berlin, 1968, 96-130.

[Kei71] H. J. Keisler, Model theory for infinitary logic, North-Holland, 1971.

[Ke72] J. Ketonen, Strong compactness and other cardinals sins, Ann. Math. Log. 5(1972),47-76.

[Ke73] J. Ketonen, Ultrafilters over measurable cardinals, Fund. Math. 77(1973), 257-269.

[Ke76] J. Ketonen, Non-regular ultrafilters and large cardinals, Trans. Amer. Math. Soc.224(1976), 61-73.

[Kue72] D. Kueker, Löwenheim-Skolem and interpolations theorems in infinitary lan-guages, Bull. AMS 78(1972), 211-215.

[Kue75] Infinitary Logic: In Memoriam Carol Karp, . D. Kueker (Ed.), Lecture Notes Math. #492, Springer-Verlag, 1975.

[Kun09] K. Kunen, The Foundations of Mathematics, College Publications, 2009.

[Kun13] K. Kunen, Set Theory, Revised Edition, College Publications, 2013.


[Lam99] T. Lam, Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

[Lang93] S. Lang, Algebra, 3rd Ed., Addison-Wesley, 1993.

[La80] R. Laver, An (ℵ2,ℵ2,ℵ0)-saturated ideal on ω1, en D. van Dalen, D. Lascar and J.Smiley, eds., Logic Colloquium ’80 (North-Holland, Amsterdam, 1982), 173-180.

[Le09] R. Ledezma, Sobre las Relaciones de Implicación entre los Postulados AGM bajológicas no-clásicas, tesis sostenida en la UDLA, 2009.

[Le71] A. Levy, The sizes of indescribable cardinals, En Axiomatic Set Theory, Proc. Symp.Pure Math. 13(1971), 205-218, Amer. Math. Soc. Providence RI.

[Le02] A. Levy, Basic Set Theory, Dover,2002.

[Le73] D. Lewis, Counterfactuals, Balckwell, 1973.

[Ma71] M. Magidor, On the role of supercompact and extendible cardinals in logic, IsraelJ. Math. 10(1971), 147-157.

[Ma74] M. Magidor, Combinatorial characterization of supercompact cardinals, Proc.Amer. Math. Soc. 42(1974), 279-285.

[Mat83] A. R. D. Mathias (Ed.), Surveys in Set Theory, London Math. Soc., Lecture NotesSeries 87, Cambridge Univ. Press, 1983.

[Mek77] A. Mekler, The number of κ-free abelian groups and the size of Ext, In AbelianGroup Theory A. Arnold, R. Hunter and E. Walker (Eds.), Lecture Notes Math. 616,Springer-Verlag, 1977, 323-331.

[Me76] T. Menas, A combinatorial property of Pκλ J. Symbolic Logic 41(1976), 225–234.

[MeNiVi09] P. Mendoza, J. Nido, L. M. Villegas, Weakly compatc cardinals and κ-torsionlessmodules, Rev. Colombiana de Matemáticas, 2009.

[MeHo95] J. Meyer, W. van der Hoek, Epistemic Logic for AI and Computer Science, Cam-bridge University Press, 1995.

[Mi73] W. Mitchell, Aronszajn trees and the independence of the transfer property, Ann.Math. Logic 5(1972/73), 21-46.

[MoVa59] R. M. Montague, R. L. Vaught, Natural models of set theories, Fund. Math. 47(1959),219-242.

[Na72] M. Nadel, Model theory in admissible sets: the theory of snake, Dissertation, Uni-versity of Wisconsin, 1972.

[NaSt78] M. Nadel, J. Stavi, L∞λ-equivalence, isomorphism and potential isomorphism,Trans. Amer. Math. Soc. 216(1978), 51-74.


[Pr01] G. Priest, An Introduction to Non-Classical Logics, Cambridge University Press,2001.

[Pr70] K. Prikry, On a problem of Gillman and Keisler, Ann. Math. Logic 2(2)(1970), 179-187.

[Pr73] K. Prikry, Kurepa’s hypothesis and σ-complete ideals, Proceed. AMS 38(1973), 617-620.

[Pr73b] K. Prikry, On descendingly complete ultrafilters, Lect. Notes Math. Vol. 337, 459-488,Springer-Verlag, 1973.

[Ra05] T. Räsch, On the Equi-Consistency of the Failure of the GAP-1 Transfer Pro-perty and an Inaccessible Cardinal, Dissertation, Humboldt Universität zu Berlin,Deutschland, 2005.

[Ri09] A. Rinot, Surprisingly short, Preprint, 2009.

[Ri10] A. Rinot, A relative of the approachability ideal, diamond and non-saturation, J.Symb. Logic 75(2010), 1035-1065.

[Ri11] A. Rinot, Jensen’s Diamond principle and its relatives, Set Theory and its Applica-tions, Cont. Math. 533(2011), 125-156.

[Sakai1] H. Sakai, TP and weak squares, Preprint.

[Sakai2] H. Sakai, Improper ω1-stationary preserving poset of size ω1, Preprint.

[Schi95] E. Schimmerling, Combinatorial principles in the core model for one Woodin car-dinal, Ann. Pure App. Logic 74(1995), 153-201.

[SchZe10] E. Schindler, M. Zeman, Fine Structure, M. Foreman, A. Kanamori (Eds.), Handbookof Set Theory, Springer-Velag, 2010, 605-656.

[She79] S. Shelah, On successors of singular cardinals, in Logic Colloquium ’78, North-Holland, 1979, 357-380.

[She91] S. Shelah, Reflecting stationary sets and successors of singular cardinals, Arch.Math. Logic 31(1991), 25-53.

[She94] S. Shelah, Cardinal Arithmetic, Oxford University Press, New York, 1994.

[She98] S. Shelah, Proper and Improper Forcing, Springer-Verlag, 2nd ed., 1998.

[Sil66] J. Silver, Some Applications of Model Theory in Set Theory, Doctoral Dissertation,University California, 1966.


[Sil71] J. Silver, The independence of Kurepa’s conjecture and two-cardinal conjecturesin model theory, in D. Scott, ed., Axiomatic Set Theory, Proceed. Symp. Pure Math.13(1), AMS, Providence R. J., 1971, 383-390.

[St68] R. Stalnaker, A theory of conditionals, Studies in Logical Theory, American Philo-sophical Quarterly, Monograph: 2, Blackwell, 1968, 98-112.

[Sta87] L. J. Stanley, Review of the Book K. Devlin Constructibility J. Symbolic Logic52(3)(1987), 864-867.

[Ta77] F. D. Tall, Set-theoretic consistency results and topological theorems concerning thenormal Moore space conjecture and related problems, DissertationesMathematicae,CXLVIII, Warzawa, 1977.

[Tar31] A. Tarski, Ideale in vollständigen Mengen Körper, Fund. Math. 23(1931), 45-63.

[Tod00] S. Todorčević, A dichotomy for P -ideals of countable sets, Fund. Math. 166(2000),251-267.

[Tod11] S. Todorčević, Combinatorial dichotomies in set theory, Bull. Symb. Logic 17 (2011),1-72.

[Vi00] L. M. Villegas Silva, F. E. Miranda Perea, et. al. Conjuntos y Modelos: un curso avan-zado, Universidad Autónoma Metropolitana, 2000.

[Vi06] L. M. Villegas Silva, A gap 1 cardinal transfer theorem, Math. Logic Quarterly 52,340-350.

[Vi07] L. M. Villegas Silva, Combinatoria Infinita, UAM-Plaza y Valdes, 2007.

[Vi14] L. M. Villegas Silva, A κ-Weak Morass under 2κ = κ and some applications, pro-

puesto para publicación.

[We97] G. Weaver, Henkin-Keisler Models, Kluwer, 1997.

[Wei95] V. Weispfenning, Algebraische Modelltheorie, Skriptum einer Vorlesung gehalten imWintersemester 1995/96. Ausgearbeitet von M. Aschenbrenner.

[Welch10] P. Welch, Σ∗-fine structure, en Handbook of Set Theory, Springer-Verlag, 2010, 657-736.

[Wei10] C. Weiß, Subtle and Ineffable Tree Properties, Dissertation, Ludwig-Maximilians-Universität München, Deutschland, 2010.

[Wi82] E. Wimmers, Interactions between quantifiers and admissible sets, Dissertation,University of Wisconsin, 1982.

[Wo80] K. Wolfrdoff, Der Beweis einer Satzes von G. Choodnovsky, Arch. Math. Logik20(1980), 161-171.


[Ze10] M. Zeman,Diamond, GCH and weak square, Proceed. Am. Math. Soc. 138(5) (2010),1853-1859.

Índice de símbolos

(M,~a) ∼0 (N,~b), 647(M,~a) ∼α (N,~b), 647(a0, . . . , an−1) ∼2 (b0, . . . , bn−1), 674(t(~x) :

~xϕ(~x)), 9

4, 9834n, 9965n, 996<L, 282<α, 553<λ, 281<Lν , 282Aν , 508BO(A,R), 18BOF (A,R), 18B ≤wα A, 553B+, 577Bν , 508CM(α(x)), 956CT (x), 431Cκ[Reg], 890C2, 1036Con(A), 10Con(Γ), 1004Const, 456Constu, 456D, 988D(p, n, A), 639D = f∗(U), 388Def , 474E ′, 5E1, 2E1 ~A, 3E2, 5Eα, 994

Emα, 994Eκα, 225

Ep, 992Eqcp(α), 989Exp(p, n, A), 639F : A↔ B, 9F : A

1−1→ B, 9

F : A→ B, 9F : A։ B, 9FR, 905FR α, 914FRul, 951Fα(A,B), 724Fml, 458Fml(LTC), 2Fml(Lκλ(L)), 589Fmlu, 458Fn(κ, λ, ξ), 255Fr(ϕ), 2, 459Fun(f), 8G(Q,A), 726G(Qϕ,A), 726G = A(I, J,W ), 734GL, 979GM(α), 905GT , 735H , 986H(⊛), 1018H(κ, λ), 485HK , 301HKκ, 321, 322HKκ,γ , 323HPκ, 322Hκ, 34

1053

Índices Universidad Autónoma Metropolitana 1054

I : A ∼=2 B, 673I : A ∼=κ B, 677I[κ], 894I S , 252K , 972K4, 983KB, 981KCn, 994KD, 988KH , 986KHκγ , 328, 335KΣ, 972Kα, 972K−1i (w), 997

Kη , 536L, 276L(⊖), 1018LM(PROP, τ), 904LM(τ), 904LS2, 920LTC(A1, . . . , An), 3L[A], 324L1T , 917

L1τ , 917

Lα, 276Lα[A], 324Lκλ(L), 588L∞∞, 588M,w B M

′, z, 921M,w n M

′, z, 928M,w M ′, z, 921M,w! M ′, w′, 925M,w!Σ M

′, w′, 925MA, 987MK , 978M M ′, 921M B M

′, 921M W ′, 932M α, 914M w Σ, 908M w α, 908M∗

KB , 982M+, 980

M+S , 981

M1, 918MA, 1000M, 997Mdw , 938Meq , 946Mg , 942Mp, 942M t

Σ, 944Mul , 951MGL, 980Mh, 977Mod(A), 463NDκ, 317NSκ, 318OLE(A,R), 18Or, 10PC(T, λ), 662PC(λ, µ), 662PCδ , 662PFmlu, 457PHκκ, 727POT (A), 1004PRC(α), 483PRED, 917PROP , 903PROP (α), 904Pκ(ρ, τ), 258P ∗κ (ρ, τ), 258Pκ,γ , 323Pfml, 457Qr(ϕ), 684REL, 917R[A], 7R P , 7R A, 7R∗, 916R−1[A], 7R1i , 917

R∗E , 994

RG, 994S(A, ϕ), 723S4Cn, 996

1055 Teoría de conjuntos, lógica y temas afines II Índices

S5Cn, 996SC∞ω(L), 605S1, 1021S2, 1029S3, 1031S ′1, 1023Sw, 1038SkB(X), 267SubF ∗(ϕ), 1000Subf(Σ), 905Subfp(α), 904T , 973TCn, 996TEC , 12TE2

x[α], 920TEx(τ), 918TH(F ), 259THκ+ , 258TP (κ, λ), 256T n, 996T t, 213TEx(α), 917TEx[Σ], 918Teoκλ(A), 591Tex, 918Tf(p, n, A), 639Th(w), 925ThM(w), 925Tm, 3Tm ~A, 3Trans(A), 10Triv, 988U(FR), 905U(p, n, A), 639Un(A), 464V (w), 908V = L, 279V ar, 456V ar(ϕ), 459V aru, 456V er, 988We, 536ZF ′, 15

ZFE−, 17ZF−, 12[v]nΣ, 939[x1, . . . , xn], 481A ⋐ B, 605A ⋐f B, 605A ∼=α

κ B, 681A ∼=s

κ B, 679A ≡κλ B, 591A Γ B, 605A Γ

κλ B, 605A(I, J,W ), 7352, 9042(X), 9502(λ,< κ), 2562−1(Γ), 9752nα, 9772κ, 3082κ(E), 3082∗κ, 356

2κ,λ, 360Γ⊥α, 1007G, 243L∞λ, 589L∞∞, 589M, 517M(W ), 179Mκ(W ), 180ΦS , 341Φκ, 341S(K), 625U <RK V , 388Z(p∞), 632Z(p), 632Zpk , 632α ∈ Con(Γ), 1004iα(κ), 208⊎

j∈JMj , 931⊛, 1006⊛δ , 1012α, 483an(α, β), 492♣∗S , 345


♣−S , 345

ν κ ν , 813∼=, 957∼=2, 673∼=κ, 677∼=ακ , 681

2>, 264♦, 291, 904♦(I), 253♦S , 345♦∗S , 345♦κ, 351♦′κ, 351♦′′κ, 885♦κ(A), 893♦∗κ, 803♦∗κ(E), 315♦+κ (E), 315♦∗, 304♦+, 305, 307♦#0 , 548♦1, 298♦2, 298♦3, 298♦4, 298♦κ, 308, 311♦′κ, 314♦κ(E), 308, 334♦∗κ, 335♦+κ , 314♦+κγ , 323♦♦+κ+ , 508♦′κ, 507♦(X), 950♦+κ , 507♦♯κ, 507÷f , 1010∃=1xϕ, 7∃x ∈ Aϕ, 9∀x ∈ Aϕ, 9β −→ (α)mλ , 206β −→ (α)m, 206Γ, 448

Γ∨, 604Γ∧, 604α∗, 531α+, 577ϕ(x/t), 462ϕa, 694ϕφα, 595ϕ<α (v0), 593ϕM~a,α(~v), 647ω, 10σ1cf(α, a), 555σncfα(ρ), 537σnp(α), 5372κ(E), 318, 403ιxϕ, 8λ, 1034〈CG〉α, 992〈i〉α, 992limσ h(σ, x), 556|=2, 232|=Σ0 ϕ, 466|=N α, 1030|=R α, 1031¬ΦS , 341¬Φκ, 341⊖, 1005⊕, 1004∏

D C , 389∏

D Ai,F727∏

i∈IMi, 957eA = B, 553∼, 1008τ , 903τ(α), 904η

λ, 861

⊢Sα, 973

j, 266an, 480cln(x), 492congsκ, 679d(w, v), 908dom(R), 7


f ∗ g, 589f g, 223fld(R), 7fm1, 917gm1, 917h, 977ht(X), 189l(γ), 452ql(Γ), 718r(γ), 452r(f, g), 615ran(R), 7rk(x), 431rkT (x), 189rudA, 438v ρ, 588w n z, 928wC(κ+), 259wCC(κ+), 259w!n

Σ v, 939w! w′, 925xRnv, 977

BF (A), 91BO(R,A), 18BOF (R,A), 18

CS, 195CT (x), 26

∆Tn , 78

Fin, 426

HA, 90HA, 90HC, 90HF , 90HOD , 137, 138HOD(M), 145HS, 195

LTC, 2

OD , 137

OD(M), 145OLE(R,A), 18OS, 200

vW , 39Φ((x)0, ~z), 82ϕ((x)1, ~z), 82ϕ((x)ni , ~z), 82ϕ(x(y), ~z), 82Πn, 78πR, 36ΠTn , 78

RBF (R,A), 24(Remp)

loc, 73

rk(·), 33

Σn, 78ΣTn , 78SSC, 196Subf, 713

Trans(x), 26tW , 50

Vα, 31V (α,A), 91V , 32, 136

Z, 90ZF, 12

Índice alfabético

Aabsolutez– de cardinales, 66– de fórmulas, 48– de un término, 56, 61, 66– del rango, 65α-fórmulas, 981altura de un árbol, 190altura ordinal, 32anticadena, 191T -aproximación, 735(κ, λ, ξ)-árbol, 256λ,κ-árbol, 735árbol, 189, 935– anticadena, 191– de Aronszajn, 191– de Aronszajn especial, 355– de Kurepa, 301, 305, 517– de Souslin, 196, 287– de Souslin bueno, 201– delgado, 256– localmente finito, 190– normal, 191, 205, 356– puro, 723– ramificado, 214– (θ, λ), 204aritmética– consistencia de la, 132– números naturales, 592Aussonderung, 11axioma– de fundación, 136– de comprensión, 11– de constructibilidad, 279

– de elección, 11– de existencia, 5, 11– de extensionalidad, 11– de fundación, 11– de infinito, 11– de par, 5, 11– de potencia, 11– de regularidad, 11– de remplazo, 11– de remplazo fuerte, 527– de remplazo local, 73– de unión, 5, 11axiomas– árboles, 600– aritmética de Peano, 592– conjuntos

Hκ, 598– conjuntos bien ordenados, 593– de conjuntos transitivos, 598– grupos simples, 597– jerarquía Zermelo, 599– para grupos de torsión, 597axiomatización– infinitaria

de G1(K), 620– finita, 76– infinitaria

de Gm(K), 622

Bbisimilaridad, 920bisimulación, 921– entre marcos puntuados, 922buen orden– A-finito, 578

1058


– en Lω1ω , 653– en conjuntos admisibles, 655– fórmula de LTC, 19– fuerte, 18

Ccajas, 903camino– entre mundos, 907

longitud, 907cardinal– n-casi inefable, 800– E-sutil, 875– hiperinaccesible, 241– inaccesible, 92, 881– inaccesible fuerte, 171– inefable, 886– n-inefable, 800– límite, 92– Π1

m-indescriptible débil, 794– Π1

n, 233– regular, 92– Σ1

n, 233– subcompacto, 369– n-sutil, 800– n-sutil, 876α-cardinal, 537cerradura– admisible, 484– p.r, 436– relación, 916– rud, 436– transitiva, 26, 91cerradura p.r. de un ordinal, 483clase– de marcos

operación, 962– – operación, 962– – modalmente definibles, 962– reflejo, 72– relación de orden, 18clasificación de Szmiliew, 641Σn(Lα)-código maestro, 540

Σn(Lα)-cofinalidad, 537colapso de Mostowski, 37, 90color, 215fórmula, 905conjunto– admisible, 414– Σn-admisible, 532, 548– Σn-admisible fuerte, 532– admisible fuerte, 527– α-finito, 536– α-r.e., 536– α-r.e. en A, 553– α-recursivo, 536– α-recursivo débil, 553– β-modelo, 579– bien ordenado, 18– subfórmulas, 905– creencia, 1004– α–fórmulas

S-α–máximo consistente, 981– – S–consistente, 981– fórmulas

S–consistente, 974– – S–máximo consistente, 974– definible por ordinales, 137– delgado, 188– ρ-dirigido, 718– estable, 578– ηα, 679, 709– finito satisfacible, 914– hiperregular, 555– n-casi inefable, 879– máximo de Γ que no implica α, 1007– p.r. cerrado, 435– recursivamente inaccesible, 577– reflejante, 225– rud cerrado, 435– satisfacible, 914– semibueno, 724– viable, 534– Σn-viable, 534consecuencia– lógica modal, 914


general, 915consistencia– relativa, 132

de ZF − Fund + ¬AE , 91– – de la aritmética, 132– – de ZFE , 137– – del axioma de fundación, 136– – principio de, 140constructibilidad relativa, 324continuo– de Souslin, 195– super Souslin, 196contracción, 1005– full meet contraction, 1008– intersección completa, 1008– maxi-choice, 1010– meet parcial, 1012criterio de Tarsky, 721cuadro lábil, 266

Ddefinición– de una clase

fórmulas, 931– – fórmulas, 931– – fórmulas, 931desenredo de un modelo, 938diagrama, 718diamante, 291– débil, 341diamantes, 903dicotomía del P -ideal, 221distancia– entre mundos, 908

Eenunciado– Π1

n, 233– Σ1

n, 233enunciado de Scott, 691equivalencia– modal

entre mundos o modelos, 925(λ+, ~µ)-escala, 361

λ+-escala buena, 362λ+-escala mejor, 362esferas de similaridad de mundos, 1037esquema– de prueba, 728– inductivo

∈, 26estrictamente equivalente, 1023estructura– dócil, 525– A-prima, 664– A-tómica, 664– uniformada, 519– Σn-uniformada, 519estructuras– κ-parcialmente isomorfas, 677– fuertemente κ-isomorfas, 679– parcialmente κ-isomorfos hasta α, 681∈-término, 39existencia de modelos extendida, 647expansión, 1004– de Γ por α, 1005extensión– ultrafiltro

de un modelo, 951extensión ultrafiltro de un marco, 951

Ffórmula– ΣTEC0 , 49– ∆0, 92– ∆n, 91– relativizada, 39familia– de Kurepa, 301– κ-Kurepa, 321filtración, 940filtro, 951– compacto débil, 884– normal, 263– (λ, κ)-regular, 726– semibueno, 724fórmula, 903


– h, 977– r-válida, 1031– aproximación, 694– constante, 989– de Horn, 726– común, 992– en modo normal negación, 910– equivalente CP, 989– A-completa, 662– A-completable, 664– A-incompletable, 664– infinitaria, 588– invariante respecto a bisimulaciones, 955– N-válida, 1030– rango cuantificable, 684– RT -válida, 1032– Σ0, 12función– aproximación, 29– colapso, 36– rango, 33

propiedades, 33función– α-recursiva, 536– α−A-recursiva parcial, 555– de Ackermann, 480– de Skolem, 520– Σn-de Skolem, 520– inicial, 427– manejable, 470– p.r., 427– parcial meet contraction, 1012– pareja de Gödel, 448– principal, 557– regresiva, 877– rud, 427– rud en A, 438– rudimentaria, 427– selección, 1020– simple, 431– uniformadora, 519– Σn-uniformadora, 519función de Skolem, 708

– incorporada, 708función o.p.r., 444funciones Gödel inversas, 452

GΓ-morfismo, 604Γ menos α, 1007grado modal, 905gráfica– coloración, 223– Erdös-Rado, 223grupo– p-longitud acotada, 638– puro, 268, 635– reducido, 633– sistema p-independiente, 635– Szmiliew, 633– Szmiliew estricto, 638grupos– abelianos, 632– exponente acotado, 637

Hhipótesis– de Kurepa, 301– de Prikry, 322– de Souslin, 195, 222– transversal, 258HK, 301homomorfismo, 35homorfismo– fuerte, 933

Iida y vuelta, 673ideal, 251, 793– compacto débil, 884– κ-completo, 251, 793– κ-normal, 264– no trivial, 793– normal, 251, 793– numerablemete completo, 251– P, 221– principal, 251


– propio, 251, 793– saturado, 252– trivial, 251identidad– de Harper, 1014– de Levy, 1006implica estrictamente, 1023independencia de Pot, 171intersección diagonal, 251intervalo, 195invariante– Szmiliew, 639– Ulm-Kaplansky, 639

Jjerarquía– acumulativa, 71– construible, 276– de Zermelo, 31, 45juego– S(A, ϕ), 723– cerrado, 735– de Ehrefeucht-Fraisse, 724– e, 734– sa, 734∞,κ − a-juego, 735a-juego– estándar, 734

Llema– de relativización, 50– caracterización de ∼, 1008– de condensación, 489– de correspondencia, 975– de estabilidad, 485, 547– de Lindenbaum, 974– del modelo, 39– fundamental de modelos internos, 132lenguaje– PL, 726– de correspondencia de segundo orden, 920– incompacto, 666– teoría de conjuntos, 2

longitud de un árbol, 190longitud finita– de un marco, 916– de un modelo, 916LTC, 2

Mmarco, 905– i, j, k, l convergente, 977– del modelo, 908– inverso

bien fundado, 959– inverso bien fundado, 979– irreflexivo, 979matriz– de Jensen, 266– de Jensen débil, 266matriz de Sylvester, 615método– de modelos internos, 133– de ida y vuelta, 673modalidades, 903modelo– puntuado

de tipo τ , 908– anormal, 1030– arbóreo, 935– canónico, 975

para S5Cn, 997– canónico aumentado, 981– coherente, 993– contracción, 923– enraizado, 933– inverso

bien fundado, 959– lema del, 39– m-saturado, 949– puntuado, 908– transitivo numerable, 140– ultraproducto, 957S4n–modelos, 996S5n–modelos, 996T n–modelos, 996


módulo– delgado, 892– κ-libre, 891– κ-libre fuerte, 892– localmente libre, 892– separable, 892modus ponens– estricto, 1022Lκλ(L)-morfismo, 605morfismo acotado, 934mundos– aislados, 907– conectados, 907

Nn-bisimulación, 928números Beth, 208

Ooperación– Mahlo, 242orden de Souslin, 200ordinal– admisible, 525

sucesor, 577– aproximable, 894– reflejante, 557

Pp.r. cerradura, 436paradojas– implicación material, 1021partición semibuena, 724PC clase, 662PID, 221prejuego, 726principio– de Prikry, 385– de reflexión de Levy, 73producto– reducido, 727

límite, 727propiedad– de consistencia, 642

– de extensión de Keisler, 741– de Hennessy-Milner, 949– árbol, 205– del modelo finito, 983propiedad del árbol, 212Σn(Lα)-proyección, 538proyección de un conjunto, 578proyecto, 531, 537∆n(Lα)-proyecto, 556Σ1(Lα, A)-proyecto, 555Σn-proyecto, 537prueba por ∈-inducción, 421

Rrama, 190– de Ackermann, 480, 491rango, 33– absolutez del, 65– cuantificable, 684– de Scott, 649recovery, 1006recursión– en ordinales, 30– sobre CT , 425reflexión, 418– para LTC, 72– principio de, 74– principio de Levy, 73– principio restringido, 75– principios de, 71regla– de Becker, 1030regla min acotada, 445relación– bien fundada, 24– de equivalencia acotada, 255– flecha, 214– o.p.r, 444– p.r., 428– rud, 428relativización, 39– cofinalidad, 69– de cardinales, 66


– de un término, 50resultante, 615, 617retracción, 1005– de Γ por α, 1006revision– revisión

maxi-choice, 1011revisión, 1006– de Γ por α, 1006– meet parcial, 1012rud cerradura, 436

Ssatisfacción fórmulas infinitarias, 590seudo buen orden, 578Σ-fórmula, 468signatura, 903sistema, 972– completo, 986– de escalas, 340

uniformable, 340, 345– incompleto, 986– normal, 972

adecuado respecto clase de marcos, 973– – completo con respecto a una clase de mar-cos, 973

– normal axiomatizado por Σ, 972– Ω, 440– Υ, 439subfórmula, 904– de un conjunto, 905– propia, 904subgrupo– balanceado, 269– casi ω-cerrado, 270– σ-balanceado, 269submodelo, 932– determinado por un subconjunto, 932– generado, 933– generado por un conjunto, 933subtipo, 903(n,A)-Sucesión, 800sucesión

– creciente fuerte, 361– cuadro, 254– S-cuadro, 254

Ttérmino– Σ0-cerrado, 133– absoluto, 56, 61, 66– casi universal, 133técnica del desenredo, 936teoría– de Zermelo, 90– consistente, 132teorema– de Łoś, 671– caracterización de van Benthem, 958– de compacidad singular, 259– de condensación, 284– de continuidad, 915– de Engleking-Karlowicz, 220– Erdös-Dushnik-Miller, 215– de Goldblatt-Thomason, 963– de Hennessy–Milner, 948– de inducción en relaciones bien fundadas, 28– de isomorfismo

primer, 36– – segundo, 36– de isomorfismo de Scott, 650– de König (árboles), 213– de Karp, 682, 684– König, 190– de Kueker, 676– de Kurepa (en árboles), 213– bisimulación, 926– de la completud proposicional de D, 989– de la existencia de filtraciones menor y mayor,942– través de conjuntos finitos, 939– traducción a primer orden, 918– traducción a segundo orden, 920– de omisión de tipos, 659– de Ramsey, 206– de recursión, 423


en relaciones bien fundadas, 28– de recursión en N, 20– de recursión para Or, 30– representación 1., 1012– de Sabbagh, 722– de Silver, 184– de Solovay, 188– de Szmiliew, 631– árbol, 937– del colapso de Mostowski, 90– del encaje, 958– del homomorfismo fuerte suprayectivo, 934– del ultrafiltro incompleto, 958– Erdös-Rado, 230– existencia de modelos, 644– Löwenheim-Skolem decreciente, 608– Löwenheim-Skolem fragmentos, 613– modelo finito vía filtraciones, 943– modelo finito vía sustracción, 939teoría, 1004– completa, 1011– de un modelo, 925– de un mundo, 925– E1, 2– E2, 5– E ′, 5– A-atómica, 665– A-completa, 662teoría– ω-inconsistente, 155término, 3– clase, 3tipo, 903– fórmula, 904– básico, 904– principal, 662Tm, 3

Uultrafiltro, 951– normal débil, 388– numerablemente incompleto, 958– regular, 329, 384

– uniforme, 384ultraproducto, 671unión– disjunta de modelos, 931unión diagonal, 251universo– constructivo, 139

VV=L, 279validez en una clase de modelos, 914verdad– fórmula en un modelo, 908– en un marco, 914– en un modelo, 914verdad fórmula modelo anormal, 1030

El centro y los cuatro rumbos del mundoCódice Fejérváry-Mayer

Lob der Dialektik

Das Unrecht geht heute einher mit sicherem Schritt.Die Unterdrücker richten sich ein auf zehntausend Jahre.

Die Gewalt versichert: So, wie es ist, bleibt es.Keine Stimme ertönt auSSer der Stimme der Herrschenden

Und auf den Märkten sagt die Ausbeutung laut:Jetzt beginne ich erst.

Aber von den Unterdrückten sagen viele jetzt:Was wir wollen, geht niemals.

Wer noch lebt, sage nicht - niemals!Das Sichere ist nicht sicher.

So, wie es ist, bleibt es nicht.Wenn die Herrschenden gesprochen haben

Werden die Beherrschten sprechen.Wer wagt zu sagen: niemals?

An wem liegt es, wenn die Unterdrückung bleibt? An uns.An wem liegt es, wenn sie zerbrochen wird? Ebenfalls an uns.

Wer niedergeschlagen wird, der erhebe sich!Wer verloren ist, kämpfe!

Wer seine Lage erkannt hat, wie soll der aufzuhalten sein?Denn die Besiegten von heute sind die Sieger von morgen

Und aus Niemals wird: Heute noch!

Lob des RevolutionärsViele sind zuviel

Wenn sie fort sind, ist es besser.Aber wenn er fort ist, fehlt er.

Er organisiert seinen KampfUm den Lohngroschen,Um das TeewasserUnd um die Macht im Staat.Er fragt das Eigentum:Woher kommst du?Er fragt die Ansichten:Wem nützt ihr?

Wo immer geschwiegen wirdDort wird er sprechenUnd wo Unterdrückung herrschtund von Schicksal die Rede istWird er die Namen nennen.

Wo er sich zu Tisch setztSetzt sich die Unzufriedenheit zu

TischDas Essen wird schlechtUnd als eng wird erkannt die Kammer.

Wohin sie ihn jagen, dorthinGeht der Aufruhr, und wo er verjagtistBleibt die Unruhe doch.

B. Brecht

¿Qué relación guardan los comunistas con los proletarios engeneral? Los comunistas no forman un partido aparte de los demáspartidos obreros. No tienen intereses propios que se distingan de losintereses generales del proletariado. No profesan principios especialescon los que aspiren a modelar el movimiento proletario. Los comunistasno se distinguen de los demás partidos proletarios más que en esto: enque destacan y reivindican siempre, en todas y cada una de las accionesnacionales proletarias, los intereses comunes y peculiares de todo elproletariado, independientes de su nacionalidad, y en que, cualquiera quesea la etapa histórica en que se mueva la lucha entre el proletariado yla burguesía, mantienen siempre el interés del movimiento enfocado ensu conjunto.

Es ist nicht das Bewusstsein der Menschen, das ihr Sein, sondernumgekehrt ihr gesellschaftliches Sein, dass ihr Bewusstsein bestimmt.

In einer höheren Phase der kommunistischen Gesellschaft, nach-dem die knechtende Unterordnung der Individuen unter die Teilung derArbeit, damit auch der Gegensatz geistiger und körperlicher Arbeit ver-schwunden ist; nachdem die Arbeit nicht nur Mittel zum Leben, sondernselbst das erste Lebensbedürfnis geworden nachdem mit der allseitigenEntwicklung der Individuen auch ihre Produktivkräfte gewachsen undalle Springquellen des genossenschaftlichen Reichtums voller fliessen, erstdann kann der enge bürgerliche Rechtshorizont ganz überschrittenwerden und die Gesellschaft auf ihre Fahnen schreiben: Jeder nachseinen Fähigkeiten, jedem nach seinen Bedürfnissen.

K. Marx

Según la concepción materialista de la historia, el factor que enúltima instancia determina la historia es la producción y la reproducciónde la vida real. Ni Marx ni yo hemos afirmado nunca más que esto.Si alguien lo tergiversa diciendo que el factor económico es el únicodeterminante, convertirá aquella tesis en una frase vacua, abstracta,absurda. La situación económica es la base, pero los diversos factores

de la superestructura que sobre ella se levanta, las formas políticasde la lucha de clases y sus resultados, las constituciones que, despuésde ganada una batalla, redacta la clase triunfante, etc., las formasjurídicas, e incluso los reflejos de todas estas luchas reales en elcerebro de los participantes, las teorías políticas, jurídicas, filosóficas,las ideas religiosas y el desarrollo ulterior de estas hasta convertirlas enun sistema de dogmas, ejercen también su influencia sobre el curso delas luchas históricas y determinan, predominantemente en muchos casos,su forma. Es un juego mutuo de acciones y reacciones entre todosestos factores, en el que, a través de toda la muchedumbre infinita decasualidades (es decir, de cosas y acaecimientos cuya trabazón internaes tan remota o tan difícil de probar, que podemos considerarla comoinexistente, no hacer caso de ella), acaba siempre imponiéndose comonecesidad el movimiento económico. De otro modo, aplicar la teoría auna época histórica cualquiera sería más fácil que resolver una simpleecuación de primer grado.

F. Engels

Que al Gobierno americano, como amigo, no se le debe cansarcon lo que es solo de nuestro interés y, como a poderosos, se ledebe tratar con tal delicadeza, que nada debemos hacer que en lo másmínimo indique algo de humillación de nuestra causa.

Después de la victoria sobre los agresores extranjeros el 15 dejulio de 1867: lo han alcanzado los buenos hijos de México combatiendosolos, sin auxilio de nadie, sin recursos, sin los elementos necesariospara la guerra. Han derramado su sangre con sublime patriotismo,arrostrando todos los sacrificios antes que consentir en la pérdida dela República y de la libertad.

Esta insistencia del Gobierno americano o mejor dicho, del Go-bierno de los Estados Unidos del Norte, dará en qué pensar al lobogrande de las Tullerías y lo obligará a retirar de México sus fuerzas,diciendo como la Zorra de la fábula, que no (porque), están verdes,porque como usted dice muy bien, no es Napoleón el que ha deemprender una guerra con ese Gobierno. Los lobos no se muerden, serespetan.

Afortunadamente para mí, yo no me llevo chasco, porque hacemucho, muchísimo tiempo tengo la convicción que de ese Gobierno nohemos de recibir ningún auxilio directo en fuerzas ni en dinero. Niaún de los particulares, si no es alguna cosa insignificante y a costade grandes sacrificios; pero como la generalidad no ha participado deesa convicción sino que ha creído, halagada por las buenas palabras decuanto yankee habla de nuestros negocios, que no era más que pediry se nos facilitaría todo, me resolví, para que no se me inculpara deno haber procurado la salvación del país, solicitando auxilios en esaRepública, me resolví, repito, a acceder a las vivas instancias de Vega,Carbajal, Sánchez Ochoa y Zambrano.

B. Juárez

EINHEITSFRONTLIED

Und weilder Mens ein Mens ist,drum braut er was zum Essen, bittesehr.Es mat ihn ein Geswätz nit satt,das safft kein Essen her.Drum links,zwei, drei!Drum links, zwei, drei!Wo dein Platz, Genosse, ist!Reih Di ein in die Arbeitereinheits-front,weil au Du ein Arbeiter bist.Und weilder Mens ein Mens ist,drum braut er au no Kleider undSuhe.Es mat ihn ein Geswätz nit warmund au kein Trommeln dazu.Drum links,zwei, drei!Drum links, zwei, drei!Wo dein Platz, Genosse, ist!Reih Di ein in die Arbeitereinheits-front,weil au Du ein Arbeiter bist.Und weilder Mens ein Mens ist,drum hat er Stiefel im Gesit nit gern,er will unter si keine Sklaven sehnund über si keinen Herrn.

Drum links,zwei, drei!Drum links, zwei, drei!Wo dein Platz, Genosse, ist!Reih Di ein in die Arbeitereinheits-front,weil au Du ein Arbeiter bist.

Und weilder Prolet ein Prolet ist,drum wird ihn kein anderer befrein,es kann die Befreiung der Arbeiter nurdas Werk der Arbeiter sein!

Drum links,zwei, drei!Drum links, zwei, drei!Wo dein Platz, Genosse, ist!Reih Di ein in die Arbeitereinheits-front,weil au Du ein Arbeiter bist.

teoría de conjuntos, ii - tlacuatl.mx · de la teoria de conjuntos: después de establecer el...

Documents