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TEMAS DE MATEMÁTICAS IV

1.- CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

2.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

3.- ARITMÉTICA CON NÚMEROS ENTEROS

4.- NÚMEROS RACIONALES Y SUS PROPIEDADES

5.- LEYES DE LOS EXPONENTES

6.- RADICALES

7.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

8.- LOGARÍTMOS

9.- OPERACIONES CON POLINOMIOS

10.- FACTORIZACIÓN

11.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.- ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

13.- SISTEMAS DE ECUACIONES

14.- CONJUNTOS

15.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN

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EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Clasificación de los números

Los números al igual que en la historia del ser humano, han sufrido cambios importantes, los cuáles podemos

resumir de la siguiente manera:

Números naturales ℕ

Los primeros números de los que se tiene conocimiento que el hombre usó por primera vez fueron los

números naturales (el símbolo que los representa es ℕ), sin lugar a dudas, dónde sólo se podía hablar de números como el uno, dos, tres, cuatro y así sucesivamente, es decir, no había significado para los números negativos, o con punto decimal e incluso ni para el cero, los números naturales son entonces: ℕ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,…,∞}

Cabe mencionar que estos números así como los conocemos no tenían inicialmente esta apariencia, sino que

se fueron modificando hasta tomar la forma actual.

Números enteros ℤ

El conjunto de los números enteros (el símbolo que los representa es ℤ) está formado por todos los números

naturales y los negativos (un número negativo es un número natural precedido de un signo menos [–]) junto

con el cero.

ℤ= {–∞,…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…, ∞}

Números Racionales ℚ

Los números racionales es el conjunto de números que tienen la siguiente forma:

con , y 0p

p q qq

Formalmente tenemos: , , 0p

p q qq

Ejemplos: Encontrar por lo menos 10 números racionales.

Veamos que un número racional se forma de un número entero entre otro número entero no cero

( número enteronúmero entero 0 )

5 8 3 31, , , ,3 7 2 7 4

23 No es racional, pues 2

5 , ya que 5 10 20

51 2 4

y muchas más fracciones equivalentes

recuerda que significa “pertenece”

Es igual que 53

Es igual que 32

4

12 , , 0.28 , 5.25

3

En el ejemplo anterior 2

3 no se considera racional, pues claramente 2 no es un número entero. Se

consideró a 13

como racional, ya que tanto 1 como 3 son enteros, pero veamos que sucede si consideramos su

representación decimal:

1 3 13 realicemos la división

0.3333 1.0

1010

Esto se sigue infinitamente

1 0.33333

Es decir, a cualquier número periódico le corresponde un número racional.

Ejemplo: Encontrar la representación racional para los siguientes números a) 0.18éste número representa 18 centésimos

0.18 = 18100

ahora simplificando 18 9100 50

, por lo tanto 90.1850

ahora tenemos un número periódico, el cual encontraremos su representación racional como sigue

b) 0.212121

entonces se divide a 21 por un número formado por sólo 9’s, tantos como dígitos se repiten (2), es decir:

21

99 simplificando tercera

21 7

99 33 o sea 70.212121

33

verifica lo anterior dividiendo 7 entre 33 y te saldrá 0.212121

c) 0.102102102102

Ahora se tiene un número con 3 dígitos el cual se está repitiendo

0.102102102

1020.102102102999

simplificando 102 34999 333

, o sea 340.102102102333

Ejercicios: Encontrar la forma racional para los siguientes números

a) 8 b) 0.25 c) 3.8

d) 12.5 e) 0.484848 f) 0.630630630

g) 2.1212 h) 4.66666 i) 12.515151

se repite infinitamente el 3 (número periódico)

décimos centésimos

son dos los dígitos que forman a la repetición: 21

3 dígitos, se dividirá por 999

3 “9’s”

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Números Irracionales 𝕀

Los números irracionales, como el nombre lo dice, son números que no son racionales, o sea, NOse pueden

escribir como un quebrado, por ejemplo el antes mencionado 2 .

Con ayuda de una calculadora podrás ver que 2 1.414213562

lo cual es una aproximación (≃) de 2 , pues si encontramos 2 con otra calculadora más avanzada o una

computadora nos daría 2 1.4152135623730950488016887242097 , lo cual sigue siendo una

aproximación. Por tal motivo 2 tiene una expansión decimal infinita que no es periódica como pasa con 13

0.333 , por lo tanto no es posible encontrar una representación en forma racional para 2 , es decir, es un

número irracional

Otros ejemplos de números irracionales son: 3, 5, , , 7, 11,e etc

Todo número cuya expansión decimal sea infinita (nunca termina) y no periódica NO es posible escribirlo

como un quebrado, es decir, es un número irracional

Números Reales ℝ

Para finalizar, la clasificación de los números queda así:

ℕ = Números Naturales

ℤ = Números Enteros

ℚ = Números Racionales

i = Números Irracionales

ℝ = Números Reales

I

Observación: I

EJERCICIOS Escribir falso (F) ó verdadero (V)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) I = ( )

I ( ) I ( ) I ( )

aproximadamente

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Logarítmos

El logaritmo de un número A en la base b, es un número x tal que al multiplicar la base bx veces por ella

misma resulta A, matemáticamente se tiene:

logb

xA x b A

A,b,xℝ, A,b> 0 y b≠1

Ejemplos.- 3

2Si log 8 3 entonces 2 8

Literalmente podemos decir que el logaritmo de un número es ver cuantas veces multiplico la base por ella

misma para obtener el número dado.

¿cuánto vale 3log 81? es decir cuantas veces multiplico la base por ella misma para obtener 81

81

4 veces

3 3 3 3 3 3 3 3 81 , entonces 4

3log 81 4 pues 3 81

GRUPO DE EJERCICIOS 1 Encontrar el valor de los siguientes logarítmos

a) 3log 9 b) 2log 16 c)

5log 25 d) 7log 343

e) 12

1log

8 f)

32

27log

8 g)

15

1log

125 h) 4log 64

i) 5

1log

125 j)

1

2

log 16 k) 13

log 27 l) 34

16log

9

m) 3log 1 n)

7log 1 o) 4

1log

64 p)

6

1log

36

Recuerda una potencia negativa de un número es igual al recíproco de la potencia positiva del mismo

número.

Si 32 = 9 , entonces 2 13

9

Si 43=64 , entonces 3 1

464

Si 2

2 43 9

, entonces 2

923 4

1n

na

a

“si y sólo si” BASE

7

Propiedades De Los Logarítmos

Ejemplos.-Simplificar

a) 2log xy

primero observamos que xy2 es una multiplicación, entonces aplicamos la propiedad (a)

2 2log log logxy x y

Ahora y2 es una potencia, entonces aplicamos la propiedad (b) y nos queda

2 2log log log log 2logxy x y x y

Es decir:

2log log 2logxy x y

GRUPO DE EJERCICIOS 2

1.- Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos.

a) 4log z y b) 3 2

2log

a b

c

c) 3 5log x y d)

3

2log

x y

z

e)

13

4 3log

a

b c f)

12

5 4log

d

b c

2.- Escribir en la forma logarítmica equivalente

a) 20.01 10 b) 01 e c) 312

8

d) 141

813

e) 30.001 10 f) 0

11

2

g) 151

322

h) 11 121 i) 7 49

log log log

log log log

log log

log 1

log 1 0

b b b

b b b

n

b b

b

b

a A B A B

Ab A B

B

c A n A

d b

e

Cuando a un logaritmo no se le indica la base sobreentenderemos que su base es 10, es decir

10log logA A

8

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

(a) 2 2 2

2a b a a b b

(b) 2 2 2

– – 2a b a a b b

(c) 3 3 2 2 3

3 3a b a a b a b b

(d) 3 3 2 2 3

– – 3 3 –a b a a b a b b

(e) 2 2

– –a b a b a b

(f) 2x a x b x a b x a b

PRODUCTOS NOTABLES

Un producto notable (multiplicación) es aquel que se puede obtener su resultado sin necesidad de realizar exactamente la multiplicación, por ejemplo al tener:

2)32( x , un error común es pensar que es igual a 94)3()2()32( 2222 xxx ¡¡ERROR!! Ya que si

fuera cierto lo anterior, sería cierto lo siguiente: 34259)5()3()53( 222

¿Cuadrado de 8, 28 es igual a 34?

Recuerda entonces, si tienes una multiplicación (no suma o resta)

3 3 3( ) ( ) ( )a b a b pero 3 3 3( )a b a b

Bueno pues veamos entonces a que es igual a 2)32( x sabes que:

23 3 3 9 y 35 5 5 5 125

Luego entonces:

)32)(32()32( 2 xxx

o sea:

2

2

2 32 3

4 6

6 9

4 12 9

xx

x x

x

x x

Es decir:

9124)32( 22 xxx

OJO:Recuerda que al multiplicar dos

binomios (x+2)(x+3) no es igual a x2 + 6

9

Ahora, las 6 reglas antes mencionadas te ayudan a encontrar este resultado sin necesidad de realizar la

multiplicación en sí: 222 )3()3)(2(2)2()32( xxxx

La primera regla 2 2 2( ) 2a b a ab b

9124)32( 22 xxx

Ejemplos, desarrollar los siguientes productos notables:

a) 2 2(5 4)x

“primera regla 2 2 2( ) 2a b a ab b ” 25xa

4b 222222 )4()4)(5(2)5()45( xxx

164025 24 xx

b) 2 3(3 2 )y

“Cuarta regla 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ”

3a 22yb

322222332 )2()2)(3(3)2()3(3)3()23( yyyy

)8()4)(3(3)2)(9(327 642 yyy 642 8365427 yyy

c) 1 2 2( )x ya b 1 xaa 2 ybb

222121221 )())((2)()( yyxxyx bbaaba los exponentes se multiplican 422122 2 yyxx bbaa

Bases diferentes no se suman los exponentes

EJERCICIOS

a) 2 3 2(3 )a b

b) 2 3(4 )xy a

c) 1 2 2(2 3 )x by a

d) ( 3)( 3)ab ab

e) 3 4 3(7 3 )a b

f) 2 2(4 5)(4 5)x x

g) 2. 2(6 3)ab

h) 2 2( 4)( 7)x x

i) ( 14)( 20)y y

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El Binomio de Newton Primero recordemos los productos notables ya estudiados:

2 2 22a b a ab b

, 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

como podrás observar , por ejemplo en el desarrollo de 3

a b el comportamiento de las literales (sus

exponentes) es:

3 2 2 3a a b ab b

Ahora los coeficientes los puedes obtener de la manera siguiente:

3 2 1 2 33 3a a b a b b

Analicemos ahora el desarrollo de 4

a b para que nos quede más claro

empezamos con 4a

4 4 3 2 2 3 4las literalesa b a a b a b ab b

terminamos con 4b .

Ya habíamos comentado que los exponentes de “a” van disminuyendo 4 3 2, , , ,sina a a a a

2 3 4sin , , ,b b b b

y los exponentes de b van aumentando.

Ahora los coeficientes quedan:

4 3 2 2 1 3 44 6 4a a b a b a b b

Es decir tenemos:

4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b

Finalmente el binomio de Newton se escribiría como:

1 2 2 3 3( 1) ( 1)( 2)...

1 2 1 2 3

n n n n n nn n n n na b a na b a b a b b

la b no aparece en el primer término, aparce

en el segundo y va aumentendo hasta b3

la a empieza con exponente 3 y va bajando de

exponente 3, 2, 1 hasta que desaparece

2 3 63

2 2

(3)(1)1

3

dos término escritos 3 2

3a a b

tres término escritos

3 2 23 3a a b ab

(3)(4) 126

2 2

(6)(2) 124

3 3

Recuerda que se divide entre el número

de términos anteriores

(1)(4)1

4

Observación: El desarrollo antes mencionado sólo considera el caso en

que el binomio es una suma, para cuando es una resta más adelante se

vera que sucede

11

Ejemplo 1.- Desarrollar con el binomio de Newton 5

22 1x

5

2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 5

5 5 4 3 2 2 3 4 5

2 1 (2 ) 5(2 ) (1) 10(2 ) (1) 10(2 ) (1) 5(2 )(1) (1)

( ) 5 10 10 5

ba

x x x x x x

a b a a b a b a b ab b

Ahora, desarrollando las potencias antes de multiplicar

5

2 10 8 6 4 22 1 32 5 16 1 10 8 1 10 4 1 5 2 1 1x x x x x x

5

2 10 8 6 4 22 1 32 80 80 40 10 1x x x x x x

Ejemplo 2.- Desarrollar 4

3 23 2a b

43 2

4 4 3 2 2 3 4

3 2

4 6 4

a b

a b a b a a b a b ab b

4 4 3 2 2 3 4

3 2 3 3 2 3 2 3 2 23 2 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 2a b a a b a b a b b

ahora primero desarrollamos las potencias

4

3 2 12 9 2 6 4 3 6 8

12 9 2 6 4 3 6 8

3 2 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 16

81 216 216 96 16

a b a a b a b a b b

a a b a b a b b

Ejercicios Encuentra el desarrollo de los siguientes binomios utilizando el desarrollo del binomio de Newton

a) 6

23x y b) 5

3 42 4x y

c) 7

51 2a d) 4

2 33a b a

e) 6

3 53 5a a f) 8

41 3b

Observación: Si al desarrollar un binomio elevado a una potencia, el signo

es menos n

a b , los términos son los mismos que en la potencia positiva

n

a b , sólo que los signo se van alternando, empezando con +

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 10 10 5

5 10 10 5



Los signos se alternan

no se pone 2

2b

12

Factorización

Factorizar un número consiste en escribirlo como un producto de números primos (números que ya no se

pueden descomponer).

Por ejemplo al factorizar el número 20 nos queda:

5

2

2

1

5

10

20

es decir la factorización de 20 es 20

)5)(2)(2(20

delfactorialcióndescomposi

Cabe mencionar que aunque 20=(4)(5) ésta no es su descomposición factorial pues 4 no es primo (es decir se

puede descomponer como 4=(2)(2) ).

RECUERDA.- El número 1 NO es considerado como número primo

Factorización De Una Expresión Algebraica

Factorizar una expresión algebraica al igual que en los números, consiste en escribirla como un producto de

dos o más expresiones algebraicas que ya no pueden ser factorizadas. Para factorizar una expresión

algebraica ya no es tan fácil como en los números, sin embargo considerando 8 casos y un caso especial

podemos lograrlo de la siguiente manera.

Caso I.- Factor Común

FACTOR COMÚN.- Éste caso se presenta cuando todos los términos de dicha expresión tienen un factor

en común.

Factorizar : a) 2a2

+ 4a = 2a ( a +2) ésto es un producto

(2)(a)(a) (2)(2)(a) 2a es el factor común

2 3 3 4 2 218 12 24x y z x y z xy

Si vemos detalladamente la factorización de cada término de la expresión anterior tenemos:

18x2y

3z = (2)(3)(3)(x)(x)(y)(y)(y)(z)

12x3y

4z

2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) Factor común : (2)(3)(x)(y)(y)6xy

2

24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y)

Como podrás observar, 6 es el M.C.D. de 18,12 y 24 y además se toma la letra común en cada expresión

pero con MENOR exponente es decir de x2 , x

3yx se toma ax y de y

3 , y

4 y y

2 se toma y

2 .

Entonces podemos escribir

2 3 3 4 2 2 2 2 2 218 12 24 6 3 2 4x y z x y z xy xy xyz x y z

18x2y

3z = (2)(3)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(z) = 6xy

2 (3xyz)

12x3y

4z

2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) = 6xy

2 (2x

2y

2z

2)

24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y) = 6xy

2 (4)

13

EJEMPLO1.- Factorizar 23432 121824 yayaya

Ahora factoricemos más directo sin ser tan explícitos, es decir tomemos a la vez sólo a los

números(coeficientes) 24, 18 y 12 para encontrar su factor común(M.C.D).

3

2

234

6912

121824

(2)(3) = 6 es el factor común

En cuanto a las letras debemos tomar a las letras COMUNES Y DE MENOR EXPONENTE:

2243

32

ytomaremosyeyypara

atomaremosayaapara

Nuestra factorización queda:

)234(6121824 22223432 ayayayyayaya

EJERCICIOS.- Factorizar las siguientes expresiones.

a) 2 22 6a x ax b)

2 3 335 70m n m c) 2 22 2 3a x ax ax

d) 2 3 4x x x x e) 3 215 20 5y y y f) 2 2 2 424 36a xy x y

g) 2 296 48 144mn n h)

6 4 3 23 8 4a a a a a)

Caso II.- Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

Este caso se presenta cuando tenemos una expresión de tres términos de los cuales dos son positivos y tienen

raíz cuadrada exacta y el tercer término (no necesariamente esta al centro) esta compuesto por el doble

producto de las raíces de los dos términos. Por los productos notables ya vistos un T.C.P. se puede escribir

como el cuadrado de un binomio (a + b)2, compuesto por las raíces antes mencionadas y el signo del término

que no tuvo raíz cuadrada.

Factorizar: 4x2–12xy + 9y

2

Como se puede observar

22

23

2 24 12 9

xy

x xy y y además 2 2 3 12 x y xy , es decir la expresión si es un T.C.P.

Entonces tenemos Signo del término que no tuvo raíz cuadrada –12xy

22 24 –12 9 2 – 3 x xy y x y

14

Ejercicios: Factorizar

a) 2 22a ab b b)

2 – 2 1x x c) 4 21 2y y

d) 2 –10 25a a e)

29 – 6x x f)

2 416 40 25x x

g) 21 49 –14a a h)

2 436 12m m i)

3 61– 2a a

j) 8 418 81a a b) c)

Caso III.- Diferencia De Cuadrados

En este caso es sencillo identificar el caso, ya que sólo tiene dos términos que tiene raíz cuadrada exacta y

entre ellos hay un signo menos (necesariamente), al igual que en un T.C.P. por productos notables la

diferencia de cuadrados se escribe como el producto de dos binomios, uno con la suma de las raíces y el otro

con la diferencia de las raíces.

Factorizar: 10 12– 49 a b

como podemos ver se trata de la diferencia de dos cantidades y tiene raíz cuadrada exacta, entonces

)7)(7(49 65651210

67

2

5

2

bababa

ba


a) 216 – n b)

2 – 25a c) 21– y

d) 24 – 9a e)

425 – 36a f) 2 21– 49a b

g) 2 44 – 81x y

h) 2 8 2–a b c i)

2 6100 – x y

j) 10 12– 49a b d) e)

CasoI V.- Trinomios De La Forma x2 + bx +c

Para este caso debe de haber de nuevo como en el Caso III 3 términos , un cuadrático x2 , uno lineal bx y

otro constante o independiente c, dichos trinomios por el 5° producto notable:

2x a x b x a b x a b

Es decir al tener un trinomio de la forma 2x bx c se factoriza como sigue.

2 donde: y x bx c x p x q p q b p q c

Factorizar: 2 – 7 – 30x x

ésta expresión es un trinomio de la forma 2 x bx c , por tanto hay que encontrar dos números que

multiplicados den –30 y sumados den–7.

15

5

3

2

1

5

15

30

(2)(5) = 10 2 – 7 – 30 –10 3x x x x , ya que (–10)(3) = –30 y –10+(3) = –7

Ejercicios.-Factorizar

a) 2 – 2 – 35a a b)

2 14 13x x c) 2 33–14a a

d) 2 13 – 30m m e)

2 –13 –14c c f) 2 15 56x x

g) 2 –15 54x x h)

2 7 – 60a a i) 2 –17 – 60x x

j) 2 8 –180x x k)

2 – 20 – 300m m l) 2 –132x x

Caso V.- Trinomios De La Forma ax2 + bx +c

La diferencia entre el caso V y el caso VI es que en el caso VI el término cuadrático ax2 tiene coeficiente “a”

diferente de uno como en el caso V, por tanto también se factoriza de una manera similar.

ax2 + bx +c = (px + q)(rx+s) donde :

(p)(r) = a (q)(s) = c

(p)(s) + (q)(r) = b

Factorizar :25 4 –12x x

Como podrás observar ya no se trata de un trinomio de la forma que menciona el caso V, ya que el

coeficiente de x2 (5x

2) , es 5.

Apliquemos el caso VI

5x2 +4x–12 = (5x ) (x ), ahora busquemos dos números que den multiplicados –12

(5)(1) = 5

(3)(4) = 12 (6)(2) = 12

5x2 + 4x – 12 = (5x + 3 ) (x –4 ) , como puedes ver (3)(–4) = –12 pero (5)(–4)+(3)(1) 4

Ahora probemos con 6 y 2, es decir

25 4 –12 5 – 6 2x x x x , que cumple (5)(1) = 5 , (2)(6) = 12 y (5)(2)+(–6)(1) = 4


a) 22 3 – 2x x b)

23 –12 – 35x x c) 26 7 2x x

d) 25 13 – 6x x e) 26 – 6 – 5x x f) 212 – – 6x x

g) 24 15 9a a h) 23 11 10a a i) 212 –13 – 35m m

j) 220 –1y y k) 28 –14 –15a a l) 27 – 44 – 35 x x

(3)(1

) (5)(–4)

16

Caso VI.- Suma De Cubos

Una suma de cubos como su nombre lo dice es una expresión compuesta por dos términos que tiene raíz

cúbica exacta y se encuentran sumando, no confundirse con el cubo de una suma que es (a+b)3 , es decir

a3+b

3 (a + b)

3 , la suma de cubos se factoriza como el producto de un binomio por un trinomio los cuales se

forman de la siguiente manera

33

33 ba = ( a + b) ( a2– (a)(b) + b

2)

a b (a)2 (b)

2

Factorizar: 27a6 + 8

23 6 327 aa 283 Entonces

2 26 2 2 227 8 3 2 3 – 3 2 2a a a a

6 2 4 227 8 3 2 9 – 6 4a a a a


a) 3 27a b) 664 a c) 3 38x y

d) 3 68 27a b e) 9512 27a f) 31 343n

g) 3 6 125x y f) g)

Caso VII.- Diferencia De Cubos

De la misma manera que en la suma de cubos tenemos.

33

33 ba = ( a – b) ( a

2 + (a)(b) + b

2)

a b (a)2 (b)

2

Factorizar: 8b9– 1

33 9 28 bb

113 Entonces

8b9– 1 = (2b

3– 1) ( (2b

3)

2+ (2b

3)(1) +(1)

2 )

8b9– 1 = (2b

3– 1) (4b

6 + 2b

3 + 1)


a) 3 – 27y b) 98 – a c) 3 38 –a b

d) 3 68 – 27z y e) 9512 – 27a f) 31– 343n

g) 3 6 27 – x y h) i)

17

Descomponer en factores:

1. 25a a 2. 2 22m mx x 3. 1282 xx

4. 827 3 x 5. 2 29 – 6x xy y 6. 1125 6 x

7. 26 – – 2x x 8. 916 2 x 9. 30112 yy

10. 3 2 2– 3 5a a b ab 11. 3264 24916 baba 12. 21– 4 4b b

13. 1572 2 xx 14. 44152 xx 15. 2 – – 30a a

16. 215 11 –14m m 17. 28136 2 xx 18. 6322 yy

19. 2 216 – 24 9a ab b 20. 2332 2456 yxyx 21. 21– m

22. 4 24 – 21x x 23. 1562 xx 24. 64 8164 yx

25. 2 3 2 28 16 – 24a b a b a b 26. 6938 cba

18

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de Fracciones Algebraicas

Como podrás recordar, en fracciones numéricas

5

18,

5

3,

2

1 para simplificarlas era muy sencillo, pues por

ejemplo para simplificar 18

12 se tenía:

12 6 2

18 9 3

mitad tercera

Es decir la simplificación de 18

12 es

3

2 (al mencionar mitad o tercera se refiere a ambas partes de la fracción,

numerador y denominador), esto lo realizamos en general muy fácil, pero veamos la razón formal del porque

se puede realizar así la simplificación.

18

12 Si factorizamos a 12 y 18 tenemos:

3

2

2

1

3

6

12

3

3

2

1

3

9

18

o sea 12 (2)(2)(3) ( 2

18 (2)(3)(3)

)(2)( 3 )

( 2 )( 3

2

3)(3)

Ahora si comencemos a simplificar una fracción algebraica.

Ejemplo 1. Simplificar 22

22

2 yxyx

yx

OJO: El tipo de simplificación antes hecha es posible gracias a la propiedad fundamental de los

números racionales, es decir, porque en el numerador (arriba) y el denominador (abajo) hay productos

(multiplicaciones).

Recuerda que si no hubiera multiplicación, la simplificación no es posible:

Diferente, o sea, no es lo mismo

xx

2

2

No es válida pues hay una suma

19

OBSERVACIÓN

22

a

a pero

2

1

2

a

a queda 1

arriba

Ya que 2 2 2

1

a a a

a a

1 a2

1 1

2 2

a a a

a a

2 a

1

2

Es decir:

22

22

2 yxyx

yx

x y

x y

Ejemplo 2. Simplificar 107

202

2

aa

aa

Ejemplo 3. Simplificar 32 22

2

axa

a

Esto ya es un producto

2 3 2

2 2 2

2 2 2 ( )

a a

a x a a x a

2

a2

1

( )( ) a x aa x a

Factor común Esto ya es un producto

2

2

a2 32 3 22

a

a x aa x a

Recuerda no se puede ya que el numerador (2a) si es un producto pero )2( 32 axa no es un

producto.

Siempre debe haber multiplicaciones arriba y abajo.

Caso V

2

2

( 5)20

7 10

aa a

a a

( 4)

( 5)

a

a

4

2( 2)

a

aa

Caso V

Caso IV (diferencia de cuadrados)

2 2

2 2 2

( )( )( )

2 ( )

x yx y x y x y

x xy y x y

( )

( )

x y

x y

( )

x y

x yx y

Caso III ( T.C.P. )

OJO: no es igual a x y x

x y

y

x

y

yy

20

Ejercicios.- Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a) 2 2 3

3x x

x

b)

2

2 2

m n

m n

c)

2 2

3 3

x y

x y

d) 3

3 2

8 1

8 4 2

n

n n n

e)

3 2

2

6

12 36

x x

x x

f)

2

2

6

15 2

x x

x x

Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Para empezar a sumar o restar fracciones algebraicas recordemos lo que se hacia en fracciones numéricas.

Realizar: 6

1

3

2 , como podrás estar de acuerdo en la suma y resta de fracciones hay que tener el mismo

denominador (siempre es posible), en este caso hay que convertir a sextos.

6

5

6

1

6

4

6

1

3)2(

2)2(

6

1

3

2 sextosasconvertimo

Lo anterior también lo aplicamos a fracciones algebraicas.

Ejemplos:

a)2

)4(

3

)2(

xx = convertimos a sextos los denominadores

6

165

6

12342

6

123

6

42

)3(2

)3)(4(

3)2(

)2)(2(

xxxxxxx

b)5

3

5

22

x

x

x

En este caso es un poco más complicado tener el mismo denominador, sin embargo la regla o sugerencia para

lograrlo será SIEMPRE, FACTORIZAR a los denominadores.

5

3

5

22

x

x

x o sea

)5)(5(

3

5

2

xx

x

x

Factorizando Para que ambas fracciones tengan el mismo denominador hay que multiplicar (arriba y abajo) a la fracción

5

2

x por )5( x

)5)(5(

105

)5)(5(

3102

)5)(5(

3

5)5(

2)5(

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

Esto es permitido, pues su valor es uno. No realices la multiplicación pues regresarías

a lo anterior que tenías 252 x

21

)5)(5(

)2(5

)5)(5(

105

25

3

5

22

xx

x

xx

x

x

x

x

Recuerda que una fracción se tiene que simplificar (factorizar arriba y abajo)

c)2

2 3 4 7

3 2 6

x

x x x x

Factorizando denominadores

6

74

2

3

3

22

xx

x

xx

)2)(3( xx

Como podrás observar el común denominador será )2)(3( xx

)2)(3(

)74()3(3)2(2

)2)(3(

74

2)3(

3)3(

3)2(

2)2(

xx

xxx

xx

x

xx

x

xx

x

Una vez que se obtiene el denominador común ya no se hace ninguna operación con este salvo al final se

podrá simplificar algún factor con un factor igual del numerador.

)2)(3(

749342

)2)(3(

)74()3(3)2(2

xx

xxx

xx

xxx

2x

( 3) ( 2)x x

1

3x

OJO: NO queda 3x

Observa las siguientes simplificaciones:

22

x

x

2

1

2

x

x

Ejercicios Realizar

a) mmnm

n 232

b) 2

2

62

2

5

3

x

x

x

x

c)

1

1

22

1

33

12

xxx

d) yx

yx

yx

yx

e)

22

22

9

3

3 ax

xa

ax

ax

f)

22

22

bababa

g) y

yx

x

xy

24

3

20

2

h)

6

3

4

2

3

1

xxx i)

1

3

1

2

1

12

2

2

x

x

x

x

x

j) 44

4

22

1

1

32

a

a

a

a

a

a j) k)

Ojo son necesarios los paréntesis por el signo

menos que aparece antes

22

Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

Para multiplicar o dividir, fracciones algebraicas, es más sencillo que la suma y resta, pues sólo hay que

factorizar a todos los numeradores y denominadores involucrados, aplicar la regla (multiplicación o división)

y simplificar los factores en común del numerador y denominador del resultado.

Regla de la multiplicación Regla de la división

))((

))((

db

ca

d

c

b

a

))((

))((

cb

da

d

c

b

a

Ejemplo 1.Realizar 2 3

2 3

10 9

5 3

x y a m

m x

2 3 3 2 3 3

2 3 2 3

10 9 (10)(9) (2)(3) 6

5 3 (5)(3)

x y a m a x m y a y y

m x m x mx mx

Observa:

2)5(

)2)(5(

5

10

mmm

m

m

m 1

))((

)(2

xxxx

xx

x

x 1

))()((

))((3

2

En el ejemplo anterior no hay necesidad de factorizar a los numeradores y denominadores, ya que, ya eran

multiplicaciones.

Ejemplo 2. Realizar 22

2

2 nm

n

nmn

nm

Ahora sí, factoricemos a todos los numeradores y denominadores

))(()(

)( 2

22

2

2 nmnm

n

nmn

nm

nm

n

nmn

nm

))()((

))(( 2

nmnmnmn

nnm

No se multiplica sólo se representa

2

2 2 2

( )m nm n n

mn n m n

2(n )

n ( ) ( )m n m n 2( )( )

n

m nm n


4

3

2

14

10

7

5

an

m

n

m

Como tanto los numeradores como los denominadores involucrados ya son productos (multiplicaciones),

apliquemos la regla de la división.

OJO:2)())(( nmnmnm

23

43

24

4

4

3

2

)10)(7(

)14)(5(

14

10

7

5

mn

mna

an

m

n

m Observa que no se realiza (5)(14) = 70, sólo se expresa

2243

24

2

2

)10)(7(

)14)(5(

m

na

m

na

mn

mna


64

1515

302023

2

x

x

xx

xx

Ahora en este caso si hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores

xx 3020 2 )32(2 x

)1(

)32(2

)1(15

)32(10

1

64

1515

3020223

2

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

23 1515 xx Ya esta factorizado

)32)(2)(1(15

)1)(32(10

1

64

1515

3020223

2

xxx

xxx

x

x

xx

xx Se aplica la regla de la división expresando las

multiplicaciones sin realizarlas

xxx 3

1

)2)()(3)(5(

)2)(5(

)2)((15

10

Ejercicios.

a)5010

77

14

255

x

xx b)

10

3252

b

b

a

a c)

32

3

2

222

2

2

2

xx

xx

x

xx

d) 33

54

502

22 2

2

a

aa

a

a e) 32

2

2

5

3ba

x

ba f)

7

11

49

12 2

2

3

x

xx

x

xx

g) 245

352

5615

562

2

2

2

aa

aa

aa

aa h)

56

255

64

1252

23

2

3

xx

xxx

x

x i)

6

22

3

1

xx

j) 222

33

1

12

2

aa

aa

a

a

a

a k)

454

42

1

36

3011

782

2

2

2

2

2

aa

aa

a

a

aa

aa

OJO:2

1

)2)(5(

)5(

10

5

nn

nn

n

n

)(

))((3

3

3

4

24

EJERCICIOS VARIOS

1.- Simplifica las siguientes fracciones complejas:

a)

y

xx

y

xx

b)

ba

ba

1

1

c)

y

yxx

yx

d)

yx

yx

yx

yx

e)

d

c

b

ad

c

b

a

f)

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

g)

42

mn

nm

m

n

n

m

h)

ba

a

a

1

1

25

RADICALES Un radical es una expresión de la forma:

INDICE DE LA RAIZ RADICAL

n a RADICANDO

Además sabemos lo siguiente.

9)3)(3(,39 quepor

8)2)(2)(2(,383 quepor

16)2)(2)(2)(2(,2164 quepor es decir, obtener raíz de un número consiste en encontrar otro número que multiplicado por el mismo tantas

veces como indique el índice de la raíz de el radicando

Para los radicales tenemos las siguientes propiedades.

baba ))((

b

a

b

a

Para simplificar un radical, primero factorizamos al radicando y después aplicamos la propiedad de radical

como se muestra a continuación en los ejemplos.

EJEMPLO1.- Simplificar los siguientes radicales.

a)

20

20

20 2

10 2

5 5

1

FACTORIZANDO AL

20 (4)(5) 4 5 2 5

b)

48

48 (4)(4)(3) 4 4 3 (2)(2) 3 4 3

48 2

24 2

12 248 4 3

6 2

3 3

1

FACTORIZANDO AL

OJO. No confundir con : baba

Cuando en un radical hay una suma NO se puede separar la

raíz

26

c)

200

200 (4)(25)(2) 4 25 2 (2)(5) 2 10 2

200 2

100 2

50 2200 10 2

25 5

5 5

1

FACTORIZANDO AL

EJERCICIOS.- Simplificar los siguientes radicales 1)180 2)216 3)144 4)96 5)21

6) 147 7)1000 8)3600

Racionalización Cuando al dar un resultado en matemáticas y éste es una fracción, en el denominador (parte de abajo) NO

debe haber radicales, para lograr esto veamos lo siguiente:

122 2 entonces

1 1 1 1 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

y en general ; 0x x x x (x cero ó positivo), entonces si tenemos la expresión 3

5, como es una fracción

podemos multiplicar al numerador y al denominador por una misma cantidad sin que se altere, claramente

como queremos que no haya radicales en el denominador la multiplicamos por 5

3 5 3 5

55 5

Ahora consideremos una expresión un poco más complicada para racionalizarla, por ejemplo 3

1 2, en este

caso para lograr que no haya radicales en el denominador no es tan fácil sólo multiplicar por 2 , ya que

tendríamos:

3 2 3 2

1 2 2 2 2

Cuando en el denominador tenemos un binomio con radicales (1 2 ), no se multiplica simplemente por la

raíz que contiene 2 , si no que se multiplica por el binomio conjugado que tenemos (del binomio 1 2 su

conjugado es 1 2 ).

22

3 1 2 3 3 2 3 3 2 3 3 23 3 2

1 2 11 2 1 2 1 2

ya no hay radicales

aún hay radicales en el denominador

Recuerda: 2

2 1 2 2 2 2 2 2

Recuerda: 1 2 1 2 es un producto de dos binomios conjugados y el

resultado es una diferencia de cuadrados, verifica el cuarto caso de factorización

o el tercer caso de productos notables.

27

Ejemplos:

1. Racionalizar 2x

y

2x

y multiplicamos arriba y abajo por y

22 y x yxyy y

observa que lo importante de racionalizar es que no se tengan raíces en el denominador, no importando si las

hay en el numerador.

2. Racionalizar 2

2 x

Ahora multiplicamos por el conjugado de2 x

arriba y debajo de la fracción dada.

2 2 4 2

42 2

x xxx x

Ejercicios: Racionalizar

a) 1

1 3 b) 2

2

x

x

c) 2 3

1 2

d) 4

3 1

e) 5 2

5 2

f) 7

3 g) 4 3

x

h) 1

1 y

i) 3

1 2 j) 7 3

7 3

EJERCICIOS

1.- Simplificar las siguientes expresiones:

a) 6 4x b) 72 c) 318x

d) 12 8y e) 3 54 f) 5

3

g) 3 2

3

2

10

x

x h) 4

12

48

16c

ba i)

b

a

3

4 3

j) n

m

2

9 5

k) 3 yx

yx

l)

3 2)(

1

yx

m) 3 53 32 32 yxyx n) 8 66 )(2 yx

28

2.- Realiza las siguientes operaciones y simplifica.

a) 7 3 +2 3 b) xx 94 c) 331224 d) 50548 36

e) 207754804272 f) 45263212582435

g) 32499282443 h) 4 75548121254274

i) 80428636452

j) 9315533273 25734 yxxyyxyyxxyyxx

k) 3 5243 22233 543 24 19233681224 yxyxyxyxyxxyyxx

l) ( 2 + 3 )( 2 – 3 ) m) ( 5 + 2 )( 5 – 2 )

n) (4 3 –1)(3 3 –2) ñ) ( x – y )( x + y )

o) ( 2 + 3 + 5 )( 2 + 3 – 5 ) p) ( 6 – 3 – 2 )( 6 – 3 + 2 )

3.- Racionaliza el denominador en cada uno de las siguientes expresiones.

a) 23

23

b)

37

37

c)

523

532

d)

523

2210

e) 25

1

f)

3y

y g)

a

a

23

5

h)

yx

yx

54

32

29

Números complejos o imaginarios Hasta ahora conoces el conjunto de números llamado “números reales” que se denotan como ℝ, sin embargo existen más números que no se consideran reales, los cuales estudiaremos sólo en éste caso y posteriormente sólo trabajaremos con números reales, ya que el estudio completo de los números imaginarios o complejos forma parte de cursos estudiados a nivel Licenciatura. Los números complejos o imaginarios surgieron de intentar resolver la ecuación 2 1 0x , pues si tú intentas resolver ésta ecuación, lo más seguro es que procederías de la siguiente manera:

2

2

1 0

1

1

x

x

x

pero 1 no tiene un resultado real, pues no tenemos en los números reales un número que multiplicado por él mismo resulte -1.

Es decir no hay resultado real para 1 , pero en la antigüedad por tener un resultado para 1 se

creó (imaginó) una solución para 1 , que fue el número “imaginario” i, el cual entonces tiene que cumplir:

1 i , o sea 1i i pero por los conceptos que ya tenemos

2i i i Por lo tanto tenemos 2 relaciones importantes:

21 e 1i i Entonces ahora ya podemos hablar de la raíz cuadrada de números negativos:

2 24 2 ya que 2 2 4 pero 1 4 1 4i i i i i

2 29 3 ya que 3 3 9 pero 1 9 1 9i i i i i

Si la raíz de un número no es exacta, sólo se deja expresada, por ejemplo:

25 5 ya que 5 5 5 5 5 1 5i i i i

Todos los números que contengan a la unidad imaginaria i solamente, se llaman números imaginarios puros.

En general un número imaginario o complejo tiene la forma #real #real i , por ejemplo 2 3i , 5 4i ,

7 2i , 312 4

i , 3i imaginario puro.

sacando raíz cuadrada en ambos lados

Recuerda: 4 2 pues 2 2 4

1 no es 1, pués 1 1 1 no 1

1 no es 1, pués 1 1 1 no 1

1 no es 0, pués 0 0 0 no 1

Definición: Un número complejo o imaginario es un número que tiene

la forma a bi con ,a b e 1i . A la parte a se le llama “parte

real del número complejo” y a la parte bi se le llama “parte imaginaria”.

30

A los números complejos los denotamos con el símbolo ℂ y por la definición anterior podemos observar lo

siguiente: 2 3

5 2

5 pues 5 5 0

2 pues 2 0 2

i

i

i

i i i

Si recordamos la clasificación de los números reales, ahora la situación queda de la siguiente manera:

Operaciones con números complejos Para realizar operaciones con números complejos sólo basta considerar a la unidad imaginaria i como si fuera

una x o una y y proceder como si estuviéramos haciendo operaciones algebráicas.

Suma y resta de números complejos Consideremos a los números complejos 2 3i y 5 6i , al sumarlos tenemos:

2 3 5 6 2 5 3 6 3 3i i i i i

como podrás observar, el resultado también es un número complejo con parte real y parte imaginaria.

Ahora consideremos a 3 números complejos que denotaremos como 1 1 2Z i , 12 2

Z i , 3 4 5Z i y

encontremos: 1 2Z Z , 3 12Z Z y 2 34Z Z

a)

1 2

11 2

2

1 11 2

2 2

Z Z i i

i i i

b) 3 12 2 4 5 1 2

8 10 1 2

8 1 10 2

7 8

Z Z i i

i i

i i

i

imaginario puro

31

c) 2 3

14 4 4 5

2

116 20

2

116 20

2

3119

2

Z Z i i

i i

i i

i

Multiplicación y División de números complejos

Sigamos considerando los 3 números imaginarios anteriores 1 1 2Z i , 1

2 2Z i ,

3 4 5Z i y

encontremos

a) 1 3Z Z

1 3

2

1 2 4 5

4 5 8 10

4 10 5 8

6 13

Z Z i i

i i i

i i

i

b) 2 3Z Z

2 3

2

14 5

2

52 4 5

2

52 5 4

2

133

2

Z Z i i

i i i

i i

i

c) 2 32 3Z Z

2 3

2

12 3 2 3 4 5

2

1 2 12 15

12 15 24 30

12 30 15 24

18 39

Z Z i i

i i

i i i

i i

i

Finalmente realicemos las siguientes divisiones

d) 6 131 2

ii

para realizar la división, recuerda que 1i , entonces, en la división anterior es como si se

tuviera:

6 13

1 2 1

i

OJO: 2 1i

210 10 1 10i

se multiplican como expresiones algebráicas

1 44 2

2 2

5 1 5

RECUERDA: en una fracción NO debe

haber radicales en el denominador y para

lograr esto hay que racionalizar.

32

entonces, cuando se dividen 2 números complejos la sugerencia es multiplicar al numerador y denominador por el conjugado del denominador.

6 131 2

ii

1 2i

2

2 2

6 13 1 2 6 12 13 26 20 25 20 25 20 254 5

1 2 1 2 5 5 51 41 2

i i i i i i i ii

i i i

e) 2 61 2

ii

su conjugado 1 2i

2

2 2

2 6 1 2 2 4 6 12 2 12 4 6 14 2 14 21 2 1 2 5 5 51 41 2

i i i i i i i ii

i i i

Ejercicios 1.- Realiza las siguientes operaciones con números complejos

a) 3 4 3 2i i

b) 2

2 3 1i i

c) 2 233 2

ii

d) Si 1 2 33 2 , 4 y 2 3Z i Z i Z i , encuentra el valor de la operación 1 2 32 3Z Z Z

e) Si 1 21 y 1Z i Z i , encontrar 2 2

1 2Z Z

f) 7 12 62 4 7i i i

g) 11 21 2012 13 12i i i

h) 7 16 7 127 9 3i i i i

i) 2 4 3 9

j) 2 16 3 25

k) 4 1 3 4

2.- Realiza las operaciones indicadas y escribe el resultado en la forma a+bi:

a. 4295 b. 251299 c. 43492

d. 1295 e. 43258 f. 3

45

g. 92

1

h.

i5

2 i.

i

i

2

31

j. 2

646 k. 932232

2 ii

su conjugado es

multiplicación de

complejos

diferencia de cuadrados

2 2

a b a b a b

21i

sólo se cambia el

signo de en medio

Recuerda: 2 1i , entonces

2 3

3 2 4

1

1 1 1

i i i i i i

i i i i i i

33

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Ecuación: Es una expresión algebraica en la que debe aparecer el símbolo de igualdad =, y la cual resolverla,

consiste en encontrar los valores que hacen verdadera dicha igualdad.

Ecuaciones Lineales

Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno.

Ejemplos:

152 x 74

2

y

y

Ahora resolvamos una ecuación lineal.

Ejemplo 1. Resolver y comprobar:

a) 2535 xx

Para resolver una ecuación lineal, basta “despejar” a la variable que aparece en la ecuación.

2535 xx “pasemos” las “x” del lado derecho ya que si lo hacemos

hacia el izquierdo queda “x” negativa

Reducimos o simplificamos x220

El “2” multiplica con x

x5

20

x10 el valor de x es 10, ahora verifiquemos

25)10(3510

25305

55

x

2535 xx xx 3255

25

OJO: Despejar una variable consiste en dejarla de un solo lado

de la igualdad (izquierdo o derecho), pero donde esté o donede

quede POSITIVA.

exponente 1

exponente 1

34

Estos signos si se pueden

eliminar

La misma ecuación quitamos signos de agrupación

reduciendo términos semejantes “pasando” las “x” a la

derecha

Ejemplo 2. Resolver y verificar:

Ahora en este ejemplo primero hay que eliminar los signos de agrupación, los cuales recuerda hay que

quitarlos de adentro hacia fuera o lo mismo que decir que un signo de agrupación podrá ser eliminado a

menos que dentro de él NO exista otro signo de agrupación.

)3()2(61015 xxxx

3261015 xxxx

141015 xx

15 4 1 10

11 11

11 111

1

x x

x

x

x

15 10 6 ( 2) ( 3)

15 10 6 2 3

15 10 4 1

10 1 4 15

11 11

x x x x

x x x x

x x

x x

x

Ahora fíjate, para que finalmente quede despejada “x” hay que -11 que está multiplicando con ella, por tanto

“pasará” dividiendo del lado izquierdo con todo y su signo (NO SE CAMBIA).

1111

1

x

x

Ejemplo 3. Resolver y comprobar:

OJO: Recuerda que la SUGERENCIA al “pasar” las “x”, es que queden

del lado donde sean positivas, sin embargo puedes pasarlas de cualquier

lado.

15 10 6 ( 2) ( 3)x x x x

Reduciendo poco ahora nos conviene “pasar” las “x” del lado

izquierdo, ya que xxx 11415 positivo por que de “pasarlas”

del lado derecho queda xxx 11154 negativo

observa como el símbolo de la igualdad se conserva al mismo nivel,

esto es una buena sugerencia para que todo te salga mejor y no

cometer errores.

3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)x x x x x

Primero quitamos estos signos de agrupación, pues

dentro de ellos NO existen otros signos de

agrupación.

35

958]35[3 xxxxx

Ya se pueden quitar

958353 xxxxx

Se reduce un poco

9333 xx

Pasamos las “x” a la derecha

xx 3339

x66 x6

6

1x

Ejemplo 4. Resolver y comprobar

Recuerda cuando existen sumas y restas de fracciones, conviene tener un mismo denominador, en éste caso

convertimos a veintavos.

20

3

)5(4

)5(5

)20(1

)20(2

)4(5

)4(1

)5(4

)5(3 xxx

Ya son veintavos

20

3

20

25

20

40

20

4

20

15 xxx

Si multiplicamos toda la ecuación por 20 tenemos

3x

xxx 32540415

4

55 3 25 4

58 29

2958

12

x x

x

x

x

Comprobación:

3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)

3(1) [ 5(1) (1 3)] 8(1) ( 5(1) 9)

3 [ 5 (4)] 8 ( 5 9)

3 [ 9] 8 ( 14)

6 6

x x x x x

3 5 31 24 5 4 20x xx

Comprobación:

3 5 31 24 5 4 20

1 13 32 251 12

4 5 2 4 20

3 32 251 14 5 4 20

3 32 251 14 5 4 201 1

3 5 31 18 5 4 40

x xx

3(5) 1(8) 1(40) 5(10) 38(5) 5(8) 1(40 4(10) 40

15 8 40 50 340 40 40 40 40

47 4740 40

Convertimos a cuarentavos

36

Ejemplo 5. Despejar a y de.

xxy 43

Al despejar a “y” se recomienda que quede en el lado donde sea positiva, y en éste caso es positiva en el lado

izquierdo donde esta, por tanto quitemos al +4 del lado izquierdo donde esta.

x

xy

xxy

dividiendopasandomultiplicaestax

3

4

43

3

Ejemplo 6. Despejar y de:

546 xxyy

Ahora, observa que hay dos términos que contienen a “y”, en éste caso deben quedar de un solo lado y el

lado contrario lo que no contiene “y”, o sea:

x

xy

xxy

xxyy

xxyy

dividiendopasandomultiplicaesta

yadofactorizanahora

dorespasa

46

5

5)46(

546

546

""

tan

37

EJERCICIOS

1.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales (despejar x)

a) 1) 013 x 2)

235 x

3)x

x1

3

2

4)1

2

13 x

5)

o

xx

x

2

3

4

52

5

1

4

3

6)5

4

4

3

3

2

xxx

7)

37 yxxy

8)

3

2xy

9)

yxyy 143 2 10)

1

2

xy

11)

2 xy

12) 2

x

xy

13)

2444 yxyxy 14)

21

xy

15) xy

2

13

16)

xxy 56

17)

yxyx 242 18)

7342 xx

2.- Resolver y comprobar:

a) 147348 xxxx

b) 17231535130158 xxxxxx

c) )3()2(61015 xxxx

d) )38()65()45()6(30 xxxxx

e) )]3()23([30)]96(3[16 xxxxxx

f) 36535 xxxx

g) 05

1

3

2

5

3

xx

38

h) 053

4

x

i) 2

5

12

2 xxx

j) 5

4

4

3

3

2

xxx

k) )3(24

3810

x

xx

l) 110

57)15(

xxx

Ecuación cuadrática o de segundo grado Una ecuación cuadrática en general tiene la forma 2 0a x b x c

a los términos se les denomina

IndependienteCuadrático o constanteLineal

2 0ax bx c

Para resolver una ecuación de 2º grado utilizaremos alguno de los tres métodos siguientes: Factorización

Completando un T.C.P.

Utilizando la fórmula de 2º grado

Recuerda que resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de la variable, en este caso por ser

de segundo grado serán dos o uno pero repetido (más adelante se explica esto).

Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización.

Resolver 2 4 0x

Como se puede observar del lado izquierdo de la ecuación ( 2 4x ) se puede

factorizar: Caso IVDiferencia de cuadrados

2 4 0x

Multiplicación

2 2 0x x

Para que una multiplicación (lado izquierdo) dé como resultado cero (lado derecho), uno de los dos factores

debe de ser cero, es decir:

2 2 0 2 0 ó 2 0x x x x

y si resolvemos las ecuaciones lineales anteriores tenemos:

a, b, c ∈ ℝ y a≠0

OJO: Lado izquierdo de la ecuación

2

Lado derecho de la ecuación

4 0x

Esto quiere decir que al multiplicar 2

números 2 2x x el resultado debe

ser cero

39

2 0 2 0

2 2

x x

x x

Las soluciones de la ecuación son: 2x y 2x , comprobemos las soluciones:

? ?2 2

? ?

2 4 0 (2) 4 0

4 4 0 4 4 00 0 0 0

b) 2 7 12 0x x

Nuevamente factorizando el lado izquierdo

2

Caso V7 12 0 4 3 0x x x x

O sea 4 0 ó 3 0

4 3

x x

x x

c)22 5 3 0x x

Factorizando

2

Caso VI2 5 3 0 2 1 3 0x x x x

O sea

12

2 1 03 0

2 1 ó3

xx

xx

x

Ejercicios: Resolver y Comprobar las siguientes ecuaciones de 2º grado (cuadráticas) por factorización

a) 22 5 3 0x x b)

2 81 0x

c) 22 4 0x d)

26 3 0x x

e) 23 17 10 0x x f)

2 5 14 0x x

g) 2 72 0x x h)

216 4 0x x

i) 2 2

25 2 7 81x x j) 2 2

2 3 5 23x x

Comprobación:

2 2

Si 4 Si 3

4 7 4 12 0 3 7 3 12 0

16 28 12 0 9 21 12 0

16 12 28 0 9 12 21 0

28 28 0 21 21 0

0 0 0 0

x x

–6

+1 –5

Comprobación:

12

2 21 12 2

514 2

524 2

102 124 4 4

12 124 4

Si Si 3

2 5 3 0 2 3 5 3 3 0

2 3 0 2 9 15 3 0

3 0 18 15 3 0

18 3 15 00

15 15 00

0 00 0

x x

40

Solución de ecuaciones de 2º grado completando un T.C.P.

Cuando en una ecuación de 2º grado no se puede factorizar, se procede a completar un T.C.P., por ejemplo

veamos el siguiente caso:

2 8 3 0x x si intentas factorizar nos queda

? ? 0x x

Como podras darte cuenta no encontraste dos números que al multiplicarse dieran 3 y sumados dieran –8, por

lo tanto completaremos un T.C.P. 2 8 3 0x x

Primero quitamos el término independiente del lado izquierdo 2 8 __ 3x x

El espacio es para completar un T.C.P.

2 8 16 3 16x x Sumamos 16 de ambos lados

Se puede ver que del lado izquierdo ya hay un T.C.P., es decir, si se factoriza

2

4 13x Esta situación del cuadrado de un binomio es igual a 13, siempre la vamos a tener cuando

completemos un T.C.P. de donde despejaremos a la variable para obtener las soluciones de la ecuación de 2º

grado.

2

4 13x obteniendo raíz cuadrada de ambos lados

2

4 13x

4 13x

4 13x ó 4 13x propiedad del valor absoluto si ó x a x a x a

Ahora, resolviendo las dos ecuaciones lineales antes obtenidas se tiene:

1 2

4 13 4 13

4 13 4 13

x x

x x

Para la comprobación sólo sustituimos por separado cada solución, recuerda que al elevar al cuadrado un

binomio tienes que 2 2 2( ) 2a b a ab b , o sea,

2 224 13 4 2 4 13 13 ;

2

4 13 16 8 13 13 29 8 13

Mitad de –8 al cuadrado 2

82

16

Para la solución 1 4 13x

2

22

4 13 8 4 13 3 0

4 2 4 13 13 32 8 13 3 0

16 8 13

13 32 8 13 3 0

16 13 32 3 0

29 3 32 0

0 0

Para la solución 2 4 13x

2

22

4 13 8 4 13 3 0

4 2 4 13 13 32 8 13 3 0

16 8 13

13 32 8 13 3 0

16 13 32 3 0

29 3 32 0

0 0

recuerda 2x x x

41

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Al tener una expresión algebraica (expresión que contiene letras, números y signos de operación ,,, ),

ésta toma diferentes valores, dependiendo del valor que asuman las variables involucradas en dicha

expresión.

Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica2

13

x

xsi 2;3 yx es de :

2

5

4

10

2)2(

1)3(3

Pero si 5;4 yx entonces su valor es:

3

13

2)5(

1)4(3

Claramente los valores son diferentes.

Ejemplo1.- Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas si 2;1 yx :

a)

3

2

21

1)1(3

2

13valoresdosustituyen

x

x

3

2

b)

1

2

1

2

12

1)1(

1

1 22

valoresdosustituyeny

x 2

c) 44)1(4)4)(1()1)(2(2)2)(1(2 2222 valoresdosustituyenyxxy 0

d)

0

3

22

)1(3

2

3valoresdosustituyen

y

xEXISTENOÓERROR !!¡¡

VERIFICA ÉSTOS VALORES CON TU CALCULADORA

e) 1212)1( 22 valoresdosustituyenyx EXISTENOÓERROR !!¡¡

f)

11

1

1)1(

1

1

122

valoresdosustituyenx 2

1

Ejercicios.- Encuentra el valoR numérico de la expresión algebraica dada, si 0;2;3 zyx :

1) 2

32

y

x 2) yx 52 3)

32 x

x 4) x

xy

2

2

5) 2

3

z

yxz 6)

y

xz

2

)3( 7) 12 y 8)

25 x

9) 153 yx

xy 10)

xy

yx

11)

22 )()( xyyx

42

1,2

SOLUCIÓN

DESIGUALDADES Ó INEACIONES

Cuando tenemos una ecuación lineal 012 x ó ecuación cuadrática 042 x y cambiamos el signo de

“=” por cualquiera de los símbolos de desigualdad , se obtiene una desigualdad lineal y una

cuadrática respectivamente.

04012 2 xx

Para resolver una desigualdad procedemos como una ecuación, con la aclaración de NO PODER

MULTIPLICAR O DIVIDIR POR NÚMEROS NEGATIVOS “pasar un negativo que esta dividiendo al otro

lado multiplicando”.

Resolviendo primero la desigualdad 012 x :

2

1

12

""012

x

x

xadespejamosx

21

21 )(

2

1 quemayorNOquemenor

Menor que menor ó igual que mayor que mayor ó igual que

RECUERDA:

HAY MENOS

HAY MÁS

derechaaizquierdadeleemos

QUEMENOR

"

43

!¡00

04)2(

!¡00

04)2(

2

2

cierto

cierto

Ahora para 042 x tenemos que, como podrás darte cuenta “x” esta al cuadrado, y para resolver una

ecuación de segundo grado, sabemos que se tiene que factorizar, es decir

22

0

0)2)(2(

042

óserpuedesix

CONTRARISIGNOCONTOMANSE

xx

dofactorizanx

),2[]2,2[]2,(

Sólo falta ver si la solución está entre -2 y 2 “ ]2,2[ ”, ó fuera de éste intervalo.

Tomemos un punto del intervalo ]2,2[ , por ejemplo x=0.

!!¡¡04

040

04)0( 2

FALSO

Es decir la solución no esta entre -2 y 2, si no fuera de éste intervalo, s o sea la solución es:

),2[]2,(

De haber obtenido algo cierto, entonces la solución sería: ]2,2[

EJERCICIOS.- Resuelve las siguientes desigualdades y da tu solución en notación de intervalos.

1) 43125 xx 2)

xx 8216 3)

1033

52

xx 4)

22

5

443

xxx

5) 0862 xx 6)

32122 xx 7) 3072 xx 8)

02142 xx

9) 092 x 10)

0162 x 11) 0322 xx 12)

042 2 x

13) 036 2 x 14)

048 2 x

44

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

En estos momentos ya debes saber que una ecuación es una igualdad en la que puede haber una o más

variables con exponente uno para las lineales y exponente 2 para las cuadráticas. Nosotros estudiaremos

primero estudiaremos los sistemas (dos o más ecuaciones) de ecuaciones lineales con 2 variables, por

ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales

con 2 variables

Resolver un sistema consiste en encontrar el valor de las 2 variables consideradas (en éste caso x e y) que

hagan verdaderas las 2 ecuaciones que forman el sistema, por ejemplo, para el sistema anterior la solución es:

1, 2x y , ya que:

2 1 3 2 2 6 4

5 1 6 2 5 12 17

Para resolver un sistema de ecuaciones de dos variables tenemos 5 métodos: por Igualación

por Sustitución por Suma y Resta (Reducción)

por Determinantes (Regla de Cramer)

Gráfico

Método por Suma y Resta (reducción)

Consideremos el siguiente sistema: 3 4 11

3 2 7

x y

x y

Éste método consiste en sumar las ecuaciones dadas de tal manera que una de las variables se elimine, si en

un principio no se eliminan hay que multiplicar una o ambas ecuaciones por un número conveniente, en

nuestro caso se tiene:

3 4 11

3 2 7

0 2 4 Despejando a

x y

x y

y y

42

2

y

y

Ahora se sustituye el valor de 2y en cualquiera de las ecuaciones originales

3 4 2 11

3 8 11

3 11 8

3 3 1

x

x

x

x x

Solución:1

2

x

y

2 3 4

5 6 17

x y

x y

45

Ejemplo 1: Resolver 2 3 11

7 4 6

x y

x y

Sumando ambas ecuaciones: 2 3 11

7 4 6

9 7 17

x y

x y

x y

hay que multiplicar a una o ambas ecuaciones por 7

por 2

2 3 11 14 21 77

7 4 6 14 8 12

13 65

6513

5

x y x y

x y x y

y

y

y

ahora sustituimos en 2 3 11x y

2 3 5 11

2 15 11

2 11 15

2 4

42

2

x

x

x

x

x

x

Solución: 2

5

x

y

Por Determinantes (regla de Cramer) Para resolver un sistema de ecuaciones de 2 variables podemos usar el concepto de determinante que es el

No se elimina ninguna variable

Definición.- Dado un arreglo de números en 2 filas y 2 columnas

11 12

21 22

a a

a a

21a

Se defina la determinante de 11 12

21 22

a a

a a

como:

11 12

11 22 12 21

21 22

deta a

a a a aa a

Columnas

Filas

segunda fila, primera columna

46

siguiente:

Ahora, para resolver un sistema de ecuaciones de dos variables tenemos.

Resolver por determinantes.

2 3 4

5 6 17

2 3

5 6

x y

x y

primero encontramos el valor de tres determinantes:

Determinante del sistema (del arreglo de coeficientes)

Determinante para

Determinante para

x

y

x

y

2 3

12 15 12 15 275 6

2 3 4

5 6 17

4 324 51 24 51 27

17 6x

x y

x y

2 3 4

5 6 17

2 434 20 34 20 54

5 17y

x y

x y

Finalmente para obtener el valor de x e y tenemos:

27 127

xx

54 227

yy

1

solución:2

x

y

Términos independientes

arreglo de coeficientes

siempre menos

–12 15

se cambian los

coeficientes de x por los

términos independientes

–24 –51

se cambian los coeficientes de y por los

términos independientes

–34 20

siempre menos

siempre menos

47

Ejercicios Resolver por el método de Suma y Resta los siguientes sistemas

a) 3 24 5

4 5 5sol: ,

10 4 7

x yx y

y x

b) 5 7 1

sol: 4, 33 4 24

x yx y

x y

c) 5 8

sol: 7, 37 8 25

x yx y

x y

Resolver por el método de determinantes o regla de Cramer

d) 5 2 24

sol: 2, 74 29 3

x yx y

x y

e) 5,3:205

1442

yxsol

yx

yx

f) 2 3 1

sol: 17, 113 4 7

x yx y

x y

g) 1 13 5

171 12 4 4

3sol: 6, 5

x yx y

x y

48

TEORÍA DE CONJUNTOS

La idea intuitiva de un conjunto la entendemos como la colección de ideas u objetos que están bien definidos

de tal manera que se puede decidir si pertenecen o no a dicho conjunto.

Las ideas u objetos que forman al conjunto se denominan elementos del conjunto.

Generalmente se usan letras mayúsculas para determinar a los conjuntos y letras minúsculas para denotar a

sus elementos.

Si , , , ,A a b c d e

El conjunto A está formado por las letras del abecedario y entonces:

a ∈ Asignifica que a es elemento del conjunto A

b∈Asignifica que b es elemento del conjunto A

y para denotar que un elemento no forma parte de un conjunto utilizamos el símbolo∉

f ∉ Arepresenta que f no es elemento del conjunto A.

Para escribir o representar conjuntos existen dos formas: Forma enumerativa o por extensión

Forma descriptiva o por comprensión

La forma enumerativa consiste en escribir a todos y cada uno de los elementos que forman al conjunto.

1, 2, 3, 4B , rojo, azul, amarillo, verdeE , $, %, /,F

La forma descriptiva consiste en escribir al conjunto por medio de una oración abierta, la cual se llama así

por que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo.

es una de las estaciones del añoT x x

A la oración “x es una de las estaciones del año”, se llama oración abierta y la línea horizontal “ | ” se lee “tal

que”.

Una oración abierta es, toda la oración en la que interviene alguna variable “x”, al conjunto que nos

proporciona los elementos para remplazar a la variable lo llamamos conjunto de reemplazamiento y

finalmente al conjunto de valores del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera a la oración abierta

se llama conjunto de verdad.

Ejemplo.- Considere al conjunto de reemplazamiento 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8E , encontrar el conjunto de verdad

para el conjunto B si es un número par mayor de 5B x E x . El conjunto es 6, 8B

ya que de los elementos de E, 6 y 8 son los números pares mayores de 5 .

49

Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto, si es posible determinar

la cardinalidad de un conjunto, entonces se dice que dicho conjunto es finito, en caso contrario se dirá que es

un conjunto infinito.

La notación de la cardinalidad de un conjunto A es:

#n A A cardinalidad del conjunto A

Conjunto Universal El conjunto universal se entenderá como el conjunto formado por todos los elementos considerados para

determinad fin. U conjunto universal

Conjuto Vacío Es un conjunto el cual carece de elementos y su notación es:

Conjuntos Iguales Dos conjuntos son iguales entre si A B , si cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y

cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.

Conjuntos Ajenos O Disjuntos Dos conjuntos son ajenos o disjuntos si no comparten elementos en común. Por ejemplo el conjunto formado

por los números pares y el conjunto formado por los números impares son ajenos o disjuntos.

Conjuntos Equivalentes Dos conjuntos son equivalentes A B , si tienen la misma cardinalidad.

Operaciones Entre Conjuntos

Unión

La unión de dos conjuntos A y B A B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto

A y/o B.

yó A B x x A x B

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B A B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al

conjunto A y B.

y A B x x A x B

Diferencia De Conjuntos

La diferencia entre un conjunto A y un conjunto B A B , es un conjunto formado por elementos que

pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.

y A B x x A x B

Complementos De Un Conjunto

El complemento de un conjunto A 'cA A , es un conjunto formado por elementos que no pertenecen al

conjunto A pero si pertenecen al conjunto universal.

y Uc

A x x A x

50

Propiedades De Los Conjuntos

c c c

c c c

cc

A B B AA B B AA B B A

A B A B

A B A B

A A

Ejemplos De Operaciones Con Conjuntos

EJEMPLO 1 Sea S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} el conjunto de reemplazamiento. Hallar el conjunto de verdad para:

a) A S es un número parx x

Como se puede ver el enunciado “x es un número par” se hace verdadero si x toma los valores de 2,4,6,8,10 y

12 que se encuentran en el conjunto S, por tanto el conjunto de verdad para A es:

A= { 2,4,6,8,10, 12 }

b) B S 6 Sx x

Ahora el enunciado “(x+6) ∈S” nos dice que x deberá de ser un número que sumado con 6, el resultado

pertenecerá a S, por ejemplo si x es 2 queda. 2+6 = 8 y 8 si pertenece a S, pero si x es 8 nos queda 8+6 = 14,

lo cual claramente se ve que 14 no pertenece a S, por lo anterior se tiene que el conjunto de verdad para B es:

B={2,4,6}

EJEMPLO2 Sea el conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sea H={1,2,3,4}, J={3,4,5}, K={7,8,9} y

L={5,6,7,8,9,10}. Encontrar:

a) H J

Recuerda que ∩ representa la intersección de 2 conjuntos, es decir los elementos que están en el primer y

segundo conjunto, por ejemplo del conjunto H={1,2,3,4} que elementos también tiene J={3,4,5}, como

podrás observar fácilmente tienen en común al 3 y 4.

H={1,2,3,4}J={3, 4,5},

Entonces tenemos que

H J= 3, 4

b) K L

En éste caso el símbolo∪ representa la unión de dos conjuntos, es decir elementos que están en el primer

conjunto y/o en el segundo conjunto. Una manera fácil de unir dos conjuntos es hacer lo que entendemos de

unir (juntar) , es decir juntos los elementos de ambos conjutos.

Al juntar los elementos de K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}, se tiene:

{7,8,9,5,6,7,8,9,10}

LK

, pero recuerda que en conjuntos NO se acostumbra repetir elementos y como podrás ver

el conjunto anterior tiene por ejemplo repetido el 7, basta entonces escribir la solución sin repetir elementos o

sea:

K L ={5,6,7,8,9,10}

51

c) (L–K)c⋂J

Ahora en este caso primero se hace L–K, es decir los elemento que SI pertenecen al conjunto L pero que NO

están en K.

L– K={5,6,10}

Enseguida encontremos (L–K)c, lo cual representa el complemento del conjunto L– K, o sea los elementos

que no están en el conjunto que ya se había encontrado L– K={5,6,10}.

(L–K)c ={1,2,3,4,7,8,9}

Recuerda que el complemento de un conjunto son los elementos que NO están en el conjunto pero SI están

en el conjunto universal.

Finalmente encontremos (L–K)c⋂J que será la intersección del conjunto

(L–K)c

={1,2,3,4,7,8,9} y el conjunto J={3,4,5}, es decir elementos en común para ambos conjuntos,

quedándonos:

(L–K)c⋂J={3,4}

EJEMPLO 3

Encontrar A×B, si A = {–4, –2, 0, 2} y B = {–3, –1, 1}

DEFINICIÓN.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (A×B) es un conjunto formado por parejas

ordenadas (x,y) donde “x” es un elemento del primer conjunto A y “y” es un elemento del segundo conjunto

B.

A×B={(x,y) | x∈ A , y∈ B}

Ahora encontremos A×B

A ={–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}

(–4,–3) (–4,–1) (–4,1) (–2,–3) (–2,–1) (–2,1)

B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}

A = {–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}

(0,–3) (0,–1) (0,1) (2,–3) (2,–1) (2,1)

B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}

A×B={(–4,–3),(–4,–1),(–4,1), (–2,–3),(–2,–1),(–2,1), (0,–3),(0,–1),(0,1), (2,–3),(2,–1),(2,1)}

52

EJERCICIOS.-

1.- Si S = {x, y, z} y T = {x2, y

2, z

2}, encuentre SxT.

2.- Si una central de teléfonos tiene m aparatos conectados, el número posible de llamadas

que puede atender es 2

)1( mm . Encuentre las parejas ordenadas formadas por el número de

teléfonos y el número posible de llamadas que puede atender para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 teléfonos.

3.- En cada uno de los siguientes incisos encuentre el producto cartesiano que se indica y

represéntalo gráficamente.

a) CxC, si C={0, 2

1 ,1}

b) DxE, si D={-2,4} y E={x | -1 x 3}

c) Ax si A={x | 4 x 6 }

4.- Para cada una de las representaciones o diagramas de Venn-Euler que se dan (fig.1, fig. 2

y fig. 3), sombrear el área que representa el conjunto que se indica en cada inciso.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a) AB

b) BC

c) A (UC)

d) A (BC)

e) (AB)C

f) (AB)C

g) (AcB

c)C

h) (AB)Cc

53

5.- Una agencia automotriz vendió 42 automóviles en un mes: 23 de ellos tenían barra

estabilizadora; 26 eran de transmisión automática; 23 tenían reproductor de compactos; 5

tenían barra estabilizadora, transmisión automática y reproductor de compactos; 12 tenían barra

estabilizadora y transmisión automática, pero no tenían reproductor de compactos; 7 tenían

transmisión automática y reproductor de compactos pero no tenían barra estabilizadora; 4 tenían

barra estabilizadora y reproductor de compactos pero no tenían transmisión automática .

¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios?

6.-En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 les gusta

español; a 1200 les gusta biología; a 1350 les gusta ciencias sociales; a 250 les gusta español y

biología, a 550 les gusta biología y ciencias sociales; a 300 les gusta ciencias sociales y español;

a 100 les gustan español, biología y ciencias sociales. Indique a cuántos de estos 2500

estudiantes les gusta:

a) sólo un de estas materias

b) exactamente dos de estas tres materias

c) ninguna de las tres materias

d) cuando mucho dos de estas tres materias.

7.- Se hizo una encuesta a 100 actores de televisión sobre las operaciones estéticas que se han

realizado: 41 se operaron la nariz; 47 los párpados; 46 liposucción; 27 nariz y parpados; 19

nariz y liposucción; 20 párpados y liposucción; y 15 nariz, párpados y liposucción. ¿Cuántos no

están operados?

8.- En una clase de 30 estudiantes de matemáticas, 15 obtuvieron 10 en el examen de lógica; 14

obtuvieron 10 en el examen de conjuntos; 20 obtuvieron 10 en el examen de desigualdades; 5

obtuvieron 10 en lógica y conjuntos; 9 obtuvieron 10 en lógica y desigualdades y 7 en conjuntos

y desigualdades. No hubo ninguno sin un 10. ¿Cuántos de ellos obtuvieron 10 en los tres

exámenes?

9.- En una muestra de 75 amas de de casa, 35 tenían aspiradora; 48 abrelatas eléctrico, y 35,

tostadora. Además, 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas; 15, aspiradora y

tostadora, y 25, abrelatas y tostadora. 10 amas de casa tenían los tres aparatos. ¿Cuántas de ellas

no tenían ninguno de estos tres aparatos?

10.- De 200 maestros de una universidad, 115 tienen su doctorado, y 60 son investigadores de tiempo completo.

De los doctores 33 son investigadores de tiempo completo. Indique cuántos de estos maestros:

a) tienen su doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo

b) no tienen su doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo

11.- Al interrogar a un batallón del ejército formado por 300 soldados sobre su preferencia a la comida, se

encontró que 118 prefieren los tacos; 172 prefieren las enchiladas; 165 las tortas; 100 tacos y enchiladas; 78

tacos y tortas; 72 enchiladas y tortas y 35 tenían las tres preferencias. Determine cuántos de estos 300 soldados

tienen:

a) al menos una de estas tres preferencias b) ninguna de estas tres preferencias

54

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, los cuales tienen dos valores diferentes: 1) lo que

representan por su forma y 2) lo que representan por la posición en la que se encuentran.

Sistema decimal

Nuestro sistema tiene este nombre, ya que son diez los símbolos utilizados, a saber

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Estos símbolos representan un valor por su forma:

Pero por su posición representa otro valor:

Los diez símbolos antes mencionados reciben el nombre de dígitos o guarismos del sistema decimal. Con éstos

símbolos y sus posiciones del sistema decimal se pueden realizar operaciones, como son la suma, la resta, la

multiplicación y la división.

Sistema Quinario

Éste sistema utiliza cinco símbolos a saber: 0, 1, 2, 3, 4. Y en éste caso los ORDENES del sistema base cinco

son:

Etc. 54 5

3 5

2 5

1 5

0

Claramente sabemos

Ahora bien, por ejemplo, la numeración en base “cinco” es:

5 éste símbolo no existe para el sistema base “cinco”, por

lo tanto sería el cinco en base cinco = 10, el cuál nosotros lo

conocemos como el número “diez”, sin embargo 10 en base

cinco lo tenemos que representar como:

5 cinco

Etc. 104

103 10

2 10

1 10

0

Etc. 10000 1000 100 10 1

5 3 8

Por su posición representa

5 centenas, o sea, quinientos

Etc. 54

53 5

2 5

1 5

0

Etc. 625 125 25 5 1 órdenes en base cinco

Etc. 53 5

2 5

1 5

0

Etc. 125 25 5 1

0 cero

1 uno

2 dos

3 tres

4 cuatro

10cinco se lee “uno cero en base cinco”

Nombre de la base

en la que está escrito

55

Por lo anterior tenemos ahora que:

5 1

1 2cinco = 7

2 1 22 5 7

1 5 5

Bien, ahora aplicarás lo anterior para operaciones con números en base cinco.

Suma y resta en base cinco Realizar las siguientes operaciones:

a)

1 1*

234323

1112

cinco

cinco

cinco

Etc. 53 5

2 5

1 5

0

Etc. 125 25 5 1

0

1

2

3

4

1 0 cinco Representa al número 5





etc.

El número siete en base cinco es 12cinco, se pone por

eso el 2 y llevamos 1*

25 5 1

1 2cinco = 7

1 1 cinco = 6

4+3=7

1+3+2=6 El número seis en base cinco se escribe 11cinco, se

pone el uno y llevamos 1

1+2+3=6 Como es la última operación se escribe el seis en

base cinco completo.

234cinco+323cinco = 1112cinco

56

b) 4432444

cinco

cinco

1

443 244 4

3

cinco

cinco

cinco

1

44 324 44

33

cinco

cinco

cinco

1

4 432444

433

cinco

cinco

cinco

25 5 1

1 2cinco = 7

1 3 cinco = 8

1 4 cinco = 9

Al 2 no le puedo quitar 4, por lo tanto, el 2 “pide” 1 y se

convierte en 12cinco o sea 7

Si a 7 le resto 4 quedan 3

El uno que llevamos se lo sumaremos a 4, o sea, ten-

dremos 5

Al 3 no le puedo restar 5, por lo tanto, el 3 “pide” y se

convierte en 13cinco, o sea 8.

Si a 8 le resto 5, quedan 3 y llevo 1

Al 4 no le puedo restar 5=4+1, entonces “pide” 1 y se

convierte en 14cinco, o sea 9.

Al 9 le resto 5 y quedan 4, llevando uno

Si al 4 le resto uno quedan

3

Resultado:

4432444

3433

cinco

cinco

cinco

57

Multiplicación y División

c)

2

32 423

2

cinco

cinco

cinco

2

3 2 42 3

2

cinco

cinco

cinco

1*

324

23

32

cinco

cinco

cinco

32423

2032

cinco

cinco

cinco

Ahora multiplicamos 2 por cada uno de los elementos de 324

32423

2032

cinco

cinco

cinco

*1

32 423

20323

cinco

cinco

cinco

cinco

3 por 4 = 12, el 12 en base cinco es: 5 1

2 2cinco 12

2×3=6 más 2 que llevamos dan 8 el ocho en base 5 es:

5 1

1 3cinco 8

Se pone 3 y se lleva 1*

3×3=9 más uno que llevamos, nos da 10, o sea 20cinco

2×4=8, que se escribe 13cinco, ponemos 3 y llevamos 1*

2×2=4, más 1 que llevamos 5=10cinco

58

1

32 423

203203

cinco

cinco

cinco

cinco

32423

20321203

cinco

cinco

cinco

cinco

Finalmente 2×3=6, más uno que llevamos: 7=12cinco

Para concluir, realizamos la suma. Recuerda que es en base cinco:

32 423

20321203

2

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

El 2 baja tal cual

32 423

20321203

12

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

3+3=6 que se escribe como 11cinco, se pone 1 y llevo 1

32 423

20321203

1 12

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

0+0 = 0+1 (que llevaba) =1

32 423

20321203

14112

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

Ésta última suma es sencilla, pues no necesita transformación a base cinco

324cinco×23cinco = 14112cinco

59

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

1.- El número 10102 es un número en base________ y se pronuncia_______________

______________________________.

2.- El número 342 7 es un número en base_________ y se pronuncia_______________

______________________________.

3.- Convierta los siguientes números binarios a sus decimales equivalentes:

a) 00001110 b) 11100000 c) 10000011 d) 10011010

4.- Convierta los siguientes números decimales a sus equivalentes binarios:

a) 143 b) 248 c) 129 d) 342 e) 567 f) 94 g) 342

5.- Convierta los siguientes números decimales al sistema octal (base 8).

a) 345 b) 1234 c) 968

6.-Convierta los siguientes números decimales a los sistemas base 4, 5, 6, y 7

a) 342 b) 729 c) 1987 d) 2634

7.-Convierta los siguientes números decimales a los sistemas base 8, 12, 13 y 16

a) 125 b) 350 c) 568 d) 180

8.- Realizar la suma y el producto de los siguientes números binarios:

a) 111000 y 1100001 b) 10101010 y 111011011

c) 100100111 y 101111001 d) 1000011101 y 10110011001

9.-Realizar las siguientes operaciones binarias

111110011 1010100011100 110101111

101010 - 101011100111 x 111001

+ 1110011

1100

1100 111000111101011 1011 101100111101

101011111 1111101

- 1011001 x 10001

15.-Realizar las siguientes operaciones

a) 23456 + 123416 b) 26749 x 369 c) 1428 + 3578

d) 24527 - 13147 f) 32134 - 12134 g) 647358 - 36358

h) 3425 /125

i) 5468 / 238 j) 32134 / 314

k) 3426 / 216 l) 34345 / 225 m) 2347 / 247

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