RESISTENCIA DE MATERIALES II

L CURVA ELASTICA

D2y/dx2= ecuacion diferencial

1era integración: ecuacion de la pendiente

Constante de integración

2da integración: ecuacion de la curva elástica

Condiciones de límite

x=0 y=0

x=L Y=0

METODO DE SUPERPOSICION

Llamado también por partes

Vigas estáticamente determinadas

L

ƟA=ƟA(W) +ƟA(P)=WL3/24EI+WL2/6EI

L

P

w

w

w

ƟB=ƟB(W)+ƟB(P)

Yc=yc(w)+yc(p) flecha máxima

L yc= 5wl2/384EI+PL3/48EI

Vigas estáticamente indeterminadas

P

L l/4

P

L l/4

Método energético

La relación entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura y las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Esta relación carga-deformación se puede determinar y expresar de varias maneras.La conservación de la energía es un concepto útil en muchas áreas de la ciencia. La aplicación más frecuente de las técnicas energéticas está en el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas, marcos, armaduras, y otras estructuras. Las deformaciones de los miembros curvos, el análisis de cargas de impacto, y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas técnicas ofrecen una clara ventaja sobre las técnicas analíticas alternativas.Hay muchas técnicas que caen bajo la amplia clasificación de métodos energéticos. El trabajo real, el trabajo virtual, y el teorema de Castigliano son los más importantes.

MÉTODOS ENERGÉTICOS

w

w

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos de campo.

METODO AREA-MOMENTO

Es como el método:

Integración y superposición. Ɵ

Área momento deformación

Viga conjugada ϝ

EI=rigidez a flexión

En el método de área momento se considera el diagrama de momento.

P

3/4 l/4

L

P RA= P

M=PL

DIAGRAMA DE MOMENTO

M=PL/EI

ʆB

Teorema 1

El Angulo es igual al área del diagrama de momento

A=PL/EI.L.1/2= AREA

A=PL2/2EI cuando es una viga en volado

ƟB/A=ƟB-ƟA=A1 GIRO

ƟB=A1=PL2/2EI

TEOREMA 2

Debemos considerar al diagrama de momento

Y=A1.X1

Y=PL2/2EI X 2/3L DEFORMACION

Y=PL3/3EI

Vigas simplemente apoyadas con carga repartida

Semiparabola

A=2/3.l/2.pl2/8EI

L A=PL3/24EI

5/16L CARGA SIMETRICA

ƟB=-PL3/24EI

Mmax=pl2/8EI ƟA= PL3/24EI

DEFORMACION

ʆmax=A1.X1

= PL3/24EI*5/16L

=5PL4/384EI

También se lo puede resolver por partes

q

X1

Ql2/2EI

QL2/2EI

X2

ƟA=A1+A2=ql2/2EI*l/2+ql2/2EI*1/2

ʆc=A1.X1+A2.X2

VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA

El método de la Viga Conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.El método de LA VIGA CONJUGADA ó método de la viga imaginaria, que en lugar de hallar directamente la pendiente y la flecha, se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia, imaginaria ó conjugada. Cálculo de reacciones redundantes, flechas y pendientes en vigas con la ayuda de tablas, utilizando el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

W

WL/2

WL/2

WL2/8

WL2/8EI

L

WL3/24EI

Ymax=5wl4/384EI

Real conjugada

WL3/24EI

Viga ficticia

L

PL2/16EI

Fc=pl3/48EI

Ymax

Ejercicios

Wa2/2 ƟA=7WA2/12EI

ƟA=7WA2/12EI

7wa2/12EI

Gráficos

Pl/4

PL2/16EI

MA=0MB=0

PL3/48EI

Wa2/2

7wa2/12EI

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN

La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

Donde:

, son las componentes del tensor tensión.

, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

TEOREMA DE CASTIGLIANO

Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

PRIMER TEOREMA

Sea un cuerpo elástico   sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos   a la energía potencial elástica opotencial interno donde   es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

SEGUNDO TEOREMA

Sea un cuerpo elástico   sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos   a la energía potencial elástica opotencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:

METODO DE VERESCHAGUIN

El defecto principal de la determinación de los desplazamientos por la formula de Mohr consiste en la necesidad de plantear las expresiones analíticas de las funciones integrando.Esta incomodidad se agrava cuando se determinan los desplazamientos en barras de muchos tramos. Sin embargo, cuando la barra constade tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos lasimplificación se basa en el hecho de que los gráficos de los factores de  fuerza unitarios en los tramos rectos de la barra, resultan ser lineales.Sin embargo, cuando la barra consta de tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos la operación de integración se puede simplificar.

TEOREMA DE BETTY Y MAXXWELL

El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.

Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:

En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).

Se verifica el Principio de superposición.

La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.

Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.

Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose   al desplazamiento del punto i al

aplicar en j una fuerza  . En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

Sea   la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada en

él,  , cuando se aplica en j una carga unitaria  . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como

el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo  , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de  , de la siguiente manera:

A los coeficientes   se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de  .

La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.

VIGAS CONTINUAS

Son vigas con varios apoyos y varias secciones

Método de coeficiente ( vigas con tramos iguales), que no tengan menos del 80% de luz.

Metodo de Cross (HARDY CROSS) se los puede analizar con cualquier tipo Método de la ecuacion de los tres momentos carga.

Método de coeficiente

L1 L2

8

11 11

Diagrama de momento cuando tiene más apoyos

10 10

11 15 11

Método de Cross: diseñada para todo tipo de pórticos

Para una viga continua

P

I I I

L1 L2 L3

DETERMINAMOS UN COEFICIENTE

A B C D

M=ql2/11

C

0.5 0.5 0.511

-El coeficiente de distribución debe ser igual a la unidad.

-El coeficiente de transmisión es igual a .5.

Viga continua se necesita tener un peralte reducido

Momentos + y -

Viga simplemente apoyada se necesita un peralte mas grande

Permanentes van a estar durante toda la vida

Cargas

Accidentales vientos, sismos

Ocasionales son los que aparecen de vez en cuando

Para que no se desplace un edificio se coloca un aislador

Ejercicios w=2.5tn/m

6 6 6

10 10

11 15 11

M1=M4

M34=M12=WL2/11=8181.82KG/M

M23=WL2/15=6000KG/M

M2=M3=WL2/10=9000KG/M

Viga 1-2

2500

EMA=

6.00 -R2.6+2500*36/2=0

R2=9000

6.00 2500 EFy=

R1=6000

6000

9000

7500 9000 6000

6.00

2500

5.5 5.5 5.5 5.5

10 12 10

11 15 15 11

M1=M5=0

M12=M45=WL2/11=4125KG/M

M23=M34=WL2/15=3025kg/m

M2=M4=WL2/10=4537.5kg/m

M3=WL2/12=3781.25kg/m

2842.5

4657.5 3578.75

Metodo de Cross

Autor Hardy Cross

Este Metodo se basa en calcular una viga continua.

El Método de redistribución de momentos o método de Cross1 es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado porHardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o nodo de la

estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos

4373.9

4626.04 5256

Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el

extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros

adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en

términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas

de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de

desplazamiento del análisis estructural

15tn/m

P=50 25

2I 3I 1.5I

9.00 6.00 12.00

Factor de rigidez

Fr(1-2)=2/9=0.22

Fr(2-3)=3/6=.5

Fr(3-4)=1.5/12=.125

Factor de distribución

Fd= Fr/EFr

F2=0.22/.22+.5=.31

1.00

Fd2=.5/.22+.5=.69

Fd3=.5/.5+.125=0.8

1.00

Fd3=.125/.5+.125=.2

C

1 .31 .89 .8 .2 1

-1.7 3.42 0 84.3

2 3

-7.6 -3.8 -20.4 -40.8 -75 75

10.2 -5.01 -12.6 0

2.5I 4I 3I

2.00 5.00 3.00 3.00 4.00

Factor de rigidez

Kab= 2.5/5=0.5

Kbc=4/6=0.66

Kcd=3/4=.75

Coeficiente de distribución

Nudo A

0.5/0.5=1

Nudo b

Ba= 0.5/0.5+0.66=.43

Bc=.666/.5+.66=.57

Nudo c

Cb=.66/.66+.75=.47

Cd=.75/.66+.75=.53

Nudo d

Dc= .75/.75=1

Momento de empotramiento

Ma= ql”/2= 8000kg/m

Mab= q.l2/12=4000*25/12=8333kg/m

Mbc=5ql2/192=3750kg/m

3 3 mcb=11ql2/192=8250kg/m

Mbc=mcb=pl/8=750kg/m

4000kg/m1000kg/m

4000kg/m

1

1

4000

1000