resistencia de materiales-timoshenko-tomo ii
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S . T I M O S H E N K O PROFESOR DE MECÁNICA TEÓRICA Y PRÁCTICA DE LA UNIVERSIDAD
DE STANFORD
R E S I S T E N C I A
D E
MATERIALES
SEGUNDA PARTE TEORÍA Y PROBLEMAS MÁS
COMPLEJOS
TRADUCIDO DEL INGLÉS por
TOMÁS DELGADO PÉREZ DE ALBA
INGENIERO INDUSTRIAL Y AERONÁUTICO
E S P A S A - C A L P E , S . A . M A I ) R I 1 )
1 9 5 7
xn NOTACIONES
N O T A C I O N E S
„ az Fatigas normales ligadas a planos perpendiculares al
eje x, y o z. a„ Fatiga normal ligada a un plano
perpendicular a la dirección n. aFl Fatiga normal en el
punto de fluencia. ot Fatiga normal de trabajo. t Fatiga
cortante. xzx Fatigas cortantes paralelas a los ejes y, 2, x,
y ligadas a planos perpendiculares a ios ejes x, y, z. t<
Fatiga cortante de trabajo.
8 Alargamiento total, flecha total, e
Alargamiento unitario.
Alargamiento unitario en las direcciones x, y. z. y
Distorsión unitaria, peso por unidad de volumen.
E Módulo de elasticidad en tracción y compresión.
O Módulo de elasticidad por cortadura, p.
Relación de Poisson.
A Dilatación.
K Módulo de elasticidad por volumen.
M, Momento torsor.
M Momento flector en una viga.
V Fuerza cortante en una viga.
A Área de sección recta. ly, Iz Momentos de inercia de
una figura plana con relación a los ejes y y z.
*v>
ky, h. Radios de giro correspondientes a Iu) /s.
h Momento de inercia polar. z Momento resistente.
C Rigidez a la torsión. l Longitud de una barra, luz de una viga.
P , Q Fuerzas concentradas.
t Temperatura, espesor.
ü Energía de deformación.
e Distancia, longitud de un arco.
Q Carga por unidad de longitud.
xn NOTACIONES
Í N D I C E
Páginas Capítulos -------- ,—
i.—PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 1
1. Vigas sobre fundación elástica .................................... 1 2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica 12 3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elás
tica ....................................................................................... 16 4. Carga lateral y compresión axial combinadas 27 5. Vigas continuas con acciones axiales y transver
sales ..................................................................................... 37 6. Tirantes con carga transversal .......................................... 41 7. La elástica mediante series trigonométricas .................. 46 8. Flexión de vigas en un plano principal que no es
plano de simetría. Centro de torsión ............................ 53 9. Anchura efectiva de alas delgadas .................................... 59
10. Limitaciones del método de superposición ..................... 62
II.—PIEZAS CURVAS .............................................................................................................................................. 68
11. ................................................................................................ Fatigas de flexión en barras curvas ................................. ... 68 12. Casos particulares ................................................................ 72 13. Deformación de barras curvas ........................................... 82 14. Arco articulado en los extremos ........................................ 97 15. Fatigas en un volante ......................................................... 100 16. Elástica de una barra con una linea media circular. 104 17. Deformación de barras con una pequeña curvatura
inicial ................................................................................ 107 18. Flexión de tubos curvos ..................................................... 110 19. Flexión de una barra curva fuera del plano de cur
vatura inicial ................................................................... 115
III. —PLACAS y ENVOLVENTES ................................. DELGADAS
121
20. Flexión de una placa en superficie cilindrica ............... 121 21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud
cargada uniformemente ................................................ 123 22. Deformación de nlacas rectangulares que tienen una
pequeña curvatura inicial ............................................ 129 23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares 133 24. Fatigas de origen térmico en las placas ......................... 137
XIV ÍNDICE
C a pi t ul o * PAg i n a*
25. Flexión de placas circulares cargadas simétricamen te respecto al centro ..................................................... 138
26. Placa circular cargada uniformemente ....................... 142 27. Placa circular cargada en el centro .............................. 149 28. Placa circular cargada concéntricamente ................... 152 29. Deformación de una placa circular que tiene un
agujero en su centro y está cargada simétricamente 154 30. Flexión de placas rectangulares ..................................... 159 31. Depósitos de pared delgada sometidos a presión in
terior ................................................................................. 163 32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared
delgada ............................................................................. 168 33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas ................ 178 34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido
uniformemente a lo largo de su línea media 181
IV. ....................................................................................................................... —PANDEO DE BABEAS, PLACAS y OÁSOABAS ....................................................................... 189
35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de elasticidad ................................................ 189
36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica ............................................................................. 204
37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuer zas axiales uniformemente distribuidas ................... 209
38. Pandeo de barras de sección variable ........................... 211 39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica 214 40. Pandeo de vigas entramadas ........................................... 216 41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión
externa ............................................................................. 220 42. Pandeo de placas rectangulares ..................................... 228 43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales ............................. 234
V.—DEEOBMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE un E J E . . . 241
44. Cilindro de pared gruesa .................................................. 241 45. Fatigas producidas por zunchado .................................. 245 46. Disco giratorio de espesor uniforme .............................. 249 47. Disco giratorio de espesor variable ................................ 258 48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran lon
gitud .................................................................................. 263
VI.—TORSIÓN .................................................................................................. 270
49. Ejes de sección no circular ............................................... 270 50. Analogía de la membrana ................................................. 272 51. Torsión de perfiles laminados ......................................... 279 52. Torsión de tubos delgados ................................................ 282 63. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas
secciones no pueden alabear libremente 286 54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared
delgada ............................................................................. 298 65. Fatigas secundarias en la torsión ................................... 302 56. Resorte helicoidal de espiras abiertas ........................... 308
VII. ..................................................................................................................... —CONCENTRACIÓN DE FATIGAS ..................................................................................... 316
57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas.................................................................... 316
68. Fatigas en una placa con un agujero circular 318 Capítulos Páginas
ÍNDICE XV
59. Otros casos de concentración de fatigas en piezas extendidas ........................................................................ 323
60. Concentración de fatiga en torsión ................................. 329 61. Eje circular de diámetro variable .................................... 334 62. Concentración de fatiga en flexión .................................. 340 63. Investigación de la concentración de fatiga con mo
delos .................................................................................. 347 64. Método fotoelástico para la medida de fatigas 351 65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga 356 66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos ...................... 359
VIII. ....................................................................................................................... —Dio FORMACIONES PLÁSTICAS ..................................................................................... 366
67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de Hooke ........................................................................... 366
68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales. . 376 69. Fatigas residuales en la flexión plástica ......................... 383 70. Torsión plástica ................................................................. 387 71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa
sometidos a presión interior ............... . ....................... 392
IX.—PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ................................. 398
72. Ensayos de tracción ............................................................ 398 73. Ensayo de compresión ........................................................ 405 74. Endurecimiento por deformación ................................... 408 75. Endurecimiento por deformación y fatigas resi
duales ................................................................................ 414 76. Tipos de rotura .................................................................. 420 77. Tiempo de efecto e histéresis ............................................ 425 78. La fatiga alterna en los metales ....................................... 431 79. Diversos factores que afectan al límite de tole
rancia ................................................................................ 437 80. Fatiga variable y concentración de fatiga ..................... 443 81. Propiedades mecánicas de los metales a temperatu
ras elevadas ..................................................................... 458 82. Diversas teorías de la rotura............................................. 468 83. Fatigas de trabajo ............................................................... 477
Indice DE AUTORES .............................................................................................. 495
RESISTENCIA DE MATERIALES
S E G U N D A P A R T E
CAPÍTULO PRIMERO PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN
DE VIGAS
1. Vigas sobre fundación elástica.—Consideremos una viga
prismática apoyada en toda su longitud sobre una fundación elástica
continua, tal que cuando la viga se deforma la intensidad de la
reacción distribuida de modo continuo es en cada sección
2 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A
TETtT\T,ER
proporcional a la flecha de dicha sección L Con esta hipótesis, la
reacción por unidad de longitud de la barra puede representarse por
la expresión ky, donde y es la flecha y k una constante denominada
corrientemente módulo de la fundación. Esta constante representa
la reacción por unidad de longitud cuando la flecha es igual a la
unidad. La sencilla hipótesis de que la reacción por unidad de
longitud es proporcional a la flecha da resultados satisfactorios en
muchos casos prácticos. Por ejemplo, en el caso de carriles sobre
traviesas la solución obtenida con esta hipótesis está de acuerdo con
las determinaciones reales 1.
1 Véase S. Timoshenko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E., volumen 54,
pág. 277, 1932. La teo-ía de la flexión de una barra sobre fundación elástica ha sido desarrollada por E. Winkier, Die Lehre v. d. Elastizat u. Festigkeit, Praga, 1867, pág. 182. Véase también A. Zim- mermann, Die Berechnung des Eisenbahn -Oberbaues, Berlín, 1888. Los Ultimos estudios de la teoría pueden verse en las siguientes publicacio-
i¿lfiSlSlLi\CiA DE MATE¡UALE8. — i. Ü
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 3
AI estudiar la elástica de una viga, se obtuvo 2
EI*^=q, (a)
donde q representa la intensidad de la carga que obra sobre la viga.
En un trozo descargado, la única fuerza sobre la viga es la
reacción de intensidad ky. Por consiguiente,
q = — ky, y la ecuación (a) será:
EI^ = -ky. (1) dx4
Empleando la notación
4
y—
\ i E l ,
la solución general de la ecuación (1) puede escribirse
y = (A eos ¡3x -f- B sen fix) + e - P* (C eos [3a; + D sen (3x) (b)
lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la ecuación (1). En
cada caso particular se hallarán las constantes A, B, C y D por las
condiciones especiales del mismo.
Sea, por ejemplo, el caso de una sola carga
concentrada que actúa sobre una
(o) viga de longitud infinita
(fig. 1). Tomemos 2 como origen de coordenadas el punto de
Fin. l aplicación de la fuerza. Por simetría, basta
considerar el trozo de viga a la derecha de la
carga —fig. 1 (b)—. Para aplicar a este caso la solución general
(ó), empezaremos por determinar las
constantes. Es lógico
suponer que en puntos situados sobre la viga a distancia infinita de
P la flecha y el giro de la sección correspondiente sean nulos. Esta
condición puede satisfacerse únicamente si las constantes A y B de
la ecuación (6) son nulas. Por consiguiente, la elástica para la parte
de viga que se considera será
2 Véase Strenght oj Materials, primera parte, pág. 131,
P V7Z7r WJWM/‘7?7Z7/. ~ y M
M.
4 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A
TETtT\T,ER
y = e~$x ((7 eos fke -f D sen pa;). (c)
Las dos constantes que quedan, G y D, las encontraremos por las
condiciones en el origen, * = 0. En este punto, la elás tica debe tener
una tangente horizontal; luego
utilizando para y la expresión (c).
e~ 3* (G eos $x + D sen fix - G sen ¡3a;—D eos Pa;) x _ o = 0; de
donde
La ecuación (c) será, por tanto,
y = Ce~ x (eos pa; + sen pa;). (d)
Las derivadas consecutivas de esta ecuación son:
-- = — 2 p(7e sen Pa;, dx
= 2 p2Oe (sen pa; — eos Pa;) (e) dx2
= 4 BnCe ~ ?x eos pa;. (/) dx3
La constante G la determinaremos ahora,puesto que para
* = 0 la fuerza cortante en el trozo de viga queconsidera-
p mos —fig. 1 (6)— es —r-, El signo — procede del convenio esta- ¿¡
blecido para el signo de la fuerza cortante (véase página 68, Primera
'parte). Por consiguiente,
4 RESISTENCIA T)E MATERIALES
empleando la ecuación (/),
EL ■ 4 p3C = 2
de donde <7 í_
sps/,
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (d) y (e), se obtiene
F jPR ^ — ----------- e~'f-x (eos{3a; +sen ¡3a;)= — e_h* (eos pz -f- sen fia;) (3)
8 %PEIt 2 k
M = — El. —==—■ — e“P* (sen8a; — cospz). (4) da;2 4 (3
Las ecuaciones (3) y (4) tienen la forma de ondas, cuya am
plitud decrece gradualmente. La longitud de onda a es igual al
período de las funciones eos {ix y sen jix; es decir,
o=— = 2 7, i/i—-1 m p I t
Para simplificar la determinación de la flecha, el momento flector y
la fuerza cortante, se emplea la tabla numérica que se
PROBLEMAS ESPECIALES EN' LA ELEXFÓN PE VTOAS 6
inserta a continuación, en la que se emplean las notaciones si-
guientes:
<p = e ~3* (eos pa: 4- sen $x)', \
\J» = — e~ (sen $x — eos pa;; > '
G)
0 = e~ P* eos pa;; ^ = e _ 3* sen pa;. )
En la figura 2 se dan gráficamente las funciones <¡> y
TABLA I FUNCIONES 9 , (|(, 0 Y 5
pa: 9
* 0
5 pa: 9
+ 0
=
0 1,0000 1,0000 1,0000 0 3,6 — 0,0366 — 0,0124 — 0,0245 — 0,0121 0,1 0,9907 0,8100 0,9003 0,0903 3,7 — 0,0341 — 0,0079 — 0,0210 — 0,0131 0,2 0,9651 0,6398 0,8024 0,1627 3,8 — 0,0314 — 0,0040 — 0,0177 — 0,0137 0,3 0,9267 0,4888 0,7077 0,2189 3,9 — 0,0286 — 0,0008 — 0,0147 — 0,0140 0,4 0,8784 0,3564 0,6174 0,2610 4,0 — 0,0258 0,0019 — 0,0120 — 0,0139 0,5 0,8231 0,2415 0,5323 0,2908 4,1 — 0,0231 0,0040 — 0,0095 — 0,0136 0,6 0,7628 0,1431 0,4530 0,3099 4,2 — 0,0204 0,0057 — 0,0074 — 0,0131 0,7 0,6997 0,0599 0,3798 0,3199 4,3 — 0,0179 0,0070 — 0,0054 — 0,0125 0,8 0,6354 — 0,0093 0,3131 0,3223 4,4 — 0,0155 0,0079 — 0,0038 — 0,0117 0,9 0,5712 — 0,0657 0,2527 0,3185 4,5 — 0,0132 0,0085 — 0,0023 — 0,0108 1,0 0,5083 — 0,1108 0,1988 0,3096 4,6 — 0,0111 0,0089 — 0,0011 — 0,0100 1,1 0,4476 — 0,1457 0,1510 0,2967 4,7 —■ 0,0092 0,0090 0,0001 — 0,0091 1,2 0,3899 — 0,1716 0,1091 0,2807 4,8 — 0,0075 0,0089 0,0007 — 0,0082 1,8 0,3355 — 0,1897 0,0729 0,2626 4,9 — 0,0059 0,0087 0,0014 — 0,0073 1,4 0,2849 — 0,2011 0,0419 0,2430 5,0 — 0,0046 0,0084 0,0019 — 0,0065 1,5 0,2384 — 0,2068 0,0158 0,2226 5,1 — 0,0033 0,0080 0,0023 — 0,0057 1,6 0,1959 — 0,2077 — 0,0059 0,2018 5,2 — 0,0023 0,0075 0,0026 — 0,0049 1,7 0,1570 — 0,2047 — 0,0235 0,1812 5,3 — 0,0014 0,0069 0,0028 — 0,0042 1,8 0,1234 — 0,1985 — 0,0376 0,1610 5,4 — 0,0006 0,0064 0,0029 — 0,0035 1,9 0,0932 — 0.1S99 — 0,0484 0,1415 5,5 0,0000 0,0058 0,0029 — 0,0029 2,0 0,0667 — 0,1794 — 0,0563 0,1230 5,6 0,0005 0,0052 0,0029 — 0,0023 2,1 0,0439 — 0,1675 — 0,0618 0,1057 6,7 0,0010 0,0046 0,0028 — 0,0018 2,2 0,0244 — 0,1548 — 0,0652 0,0895 5,8 0,0013 0,0041 0,0027 — 0,0014 2,3 0,0080 — 0,1416 — 0,0668 0,0748 5,9 0,0015 0,0030 0,0026 — 0,0010 2,4 — 0,0056 — 0,1282 — 0,0669 0,0613 0,0 0,0017 0,0031 0,0024 — 0,0007 2,5 — 0,0166 — 0,1149 — 0,0658 0,0492 6,1 0,0018 0,0026 0,0022 — 0,0004 2,6 — 0,0254 — 0,1019 — 0,0636 0,0383 6,2 0,0019 0,0022 0,0020 — 0,0002 2,7 — 0,0320 — 0,0895 — 0,0608 0,0287 6,3 0,0019 0,0018 0,0018 + 0,0001 2,8 — 0,0369 — 0,0777 — 0,0573 0,0204 6,4 0,0018 0,0016 0,0017 0,0003 2,9 — 0,0403 — 0,0660 — 0,0534 0,0132 6,5 0,0018 0,0012 0,0015 0,0004 3,0 — 0,0423 — 0,0563 — 0,0493 0,0070 6,6 0,0017 0,0009 0,0013 o,ooor» 8,1 —■ 0,0431 — 0,0469 — 0,0450 0,0019 6,7 0,0016 0,0006 0,0011 0,0006 3,2 — 0,0431 — 0,0383 — 0,0407 — 0,0024 6,8 0,0015 0,0004 0,0010 0,0006 3,3 — 0 0422 — 0,0306 — 0,0364 — 0,0058 0,9 0,0014 0,0002 0,0008 0,0006 3.4 3.5
— 0,0408 — 0,0389
— 0,0237 — 0,0177
— 0,0323 — 0,0283
— 0,0085 — 0,0106
7,0 0,0013 0,0001 0,0007 0,0006
7 RESISTIA CIA RE MATERIALES
Empleando la notación (6) y las ecuaciones (d) a (/), se obtiene
F==“<p(P*)> Óf==~ ' 2 k dx h
(7)
F = — Elfit = — -6(p*). da;3 2
Usando estas ecuaciones junto con la tabla I, se calculan
fácilmente las flechas, el giro, el momento flector y la fuerza
cortante para cualquier sección recta de la vita. La flecha máxima
y el momento flector máximo acontecen en el origen y valen,
respectivamente,
* = (y),-o=^’ (8) 2k
M0= (M)^0= (9) 4£
Utilizando la expresión (3) y el principio de superposición, se
puede calcular fácilmente la flecha producida en una viga de
longitud infinita sobre fundación elástica por
cualquier clase de carga.
Como ejemplo, consideraremos el caso de
una carga uniforme repartida sobre una
longitud l de una viga infinitamente larga
(fig. 3). Consideraremos un punto cualquiera
A y sean c y b las distancias desde
este punto a los extremos de la parte cargada.
La flecha en A,producida por un elemento de carga qdx, se
obtendrá sustituyendo qdx en lugar de P en la ecuación (3) y será
t „jipBr
L i [* y/'///// y//
Fia. 3
8 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES
(10')
La flecha producida en A por toda la carga valdrá
__ fg _px ^CQg ax _|_ gen ax-j _j_ í _9^_ e -P* (cos
Rx y Jo sm Jo 8PEI, P
+ sen ¡3a:) = — (2 — e~?b eos $b — e-!2* eos pe). (g) 2 k
Si c y b son grandes, los valores de e~$b y e~°c
son pequeños
y laflecha (¡7) será igual, aproximadamente, a es decir, en
fC
puntos alejados de los extremos y pertenecientes a la parte car-
gada, puede despreciarse la flexión de la barra y suponerse que la
carga uniforme q se transmite directamente a la fun 1 ación
elástica. Tomando el punto A en uno de los extremos de la parte
cargada se tiene c = 0, b — l, e~ c eos pe = 1 Suponiendo que l es
grande, tendremos también e~$b eos p6 = 0. Por tanto,
y = JJp es decir, la flecha ahora es la mitad de la encontrada
anteriormente.
De modo parecido, y utilizando la ecuación (4), puede deducirse
la expresión del momento flector en A. Si el punto A se toma en la
viga, fuera de la parte cargada, y suponemos que b y c representan
la mayor y la menor de las distancias de dicho punto a los
extremos de la parte cargada de la viga, la flecia en A será
y — [ e ~ P* (eos p# -f sen Bx) — f —-^X - e ~ (eos Bx Jo 8P*EI, Jo
+ sen p#) = — (e~eos pe — e~Pb eos ptí). (h) 2 k
Cuando c = 0 y 6 = 1 es una cantidad grande, se obtiene
para la flecha el valor , que coincide con el hallado anterior- z te
mente. A medida que 6 y c aumentan, la flecha (h) disminuye y
tiene a cero para valores crecientes de b y c.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 9
El caso de que la solicitación sea un par —fíg. 4 (a)—, puede
analizarse utilizando la solución (3) correspondiente a una carga
aislada. La acción del par es equivalente a la de las dos fuerzas P
de la figura 4 (ó), si Pe vale Mo, cuando e tiende hacia cero.
Utilizando la primera de las ecuaciones (7), la flecha a una
distancia x del origen, valdrá
9ÍP*) — <prp(®+*ii {<p(Pzj — <p[p(x + e)]}
2& 2 k
M0Qdq>
2k dx
Deducido de las ecuaciones (7),
dx
por lo que la elástica que produce el par MQ responde a la
ecuación
V = -
k
Diferenciando esta ecuación, se obtiene: dy
dx
M = — —°0(pa:), dx2 2
y
1c
d3y ' dxs
M0{i o (¡3a:).
Y — — El.
10 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES
(10')
Utilizando estas ecuaciones junto con la tabla I, puede cal-
cularse rápidamente la flecha, el giro, el momento flector y la
tuerza cortante en cualquier sección de la viga.
Consideraremos ahora el caso de que sobre la viga actúen
varias cargas concentradas. Veremos, como ejemplo, la flexión de
un carril producida por las acciones contra él de las ruedas de una
locomotora. Para aplicar los resultados de nuestro análisis, es
necesario admitir que el carril está embebido de modo continuo en
una fundación elástica. Esta hipótesis es aceptable \ puesto que
la distancia entre traviesas es pequeña comparada con la longitud
de onda a de la elástica dada por la ecuación (5). Para, obtener el
valor del módulo de la fundación le, se divide la carga necesaria
para hundir a la traviesa la unidad de longitud entre la
separación de traviesas. A este efecto, se suponeque la traviesa está solicitada por dos cargas correspondientes a la presión de los carriles. Supongamos, por
ejemplo, que la traviesa se hunde 1 cm. en los puntos de apli-
cación de dos cargas de 5.000 kg. y que la separación entre
traviesas es 50 cm., tendremos
¿ _ JbQM =100 kg./cm.* 1 X 50
Para el caso de una sola rueda cuya carga es P, se utilizan
las ecuaciones (8) y (9) para el cálculo de la flecha máxima y del
momento flector máximo. La fatiga máxima debida a la flexión del
carril será
_ -Mmáx _ P _ P |/4E/j ^
máx Z 4(5Z iZ ’ k donde Z representa el momento resistente del
carril3. Para com
. " Al escribir la ecuación (i) se ha supuesto que la fórmula obtenida
en la teoría elemental de vigas puede aplicarse en la sección de aplicación de la carga P. Un análisis más profundo de la cuestión jnuestra que, debido a las fatigas locales, el resultado es muy distinto del que da la ecuación elemental (i).
11 RESISTE'N'CTA T>E MATEHTALES
parar las fatigas en carriles cuyas secciones son semejantes geo-
métricamente, la ecuación (i) se pone en la forma siguiente:
(?)
siendo A el área de la sección del carril. Como el segundo factor
del segundo miembro de la ecuación (?) permanece constante para
secciones geométricamente semejantes, y como el tercer factor no
depende de las dimensiones del carril, se deduce que la fatiga
máxima es inversamente proporcional al área de la sección recta;
es decir, inversamente proporcional al peso del carril por unidad
de longitud.
El valor
aproximado de la
presión i?máx sobre una
traviesa se obtiene multiplicando la flecha máxima por la
separación entre traviesas l y por el módulo de la fundación. De la
ecuación (8),
(k)
De aquí se deduce que la acción sobre la traviesa depende
principalmente de la separación entre traviesas l. Debe señalarse
que k influye con su raíz cuarta en las ecuaciones (?) y (&). Por
consiguiente, un error en la determinación de k vendrá muy
reducido al influir sobre amáx y /¿máx.
Cuando son varias las cargas que actúan sobre el carril, se
emplea el método de superposición. Veamos, como ejemplo, un
caso numérico. Sea un carril de Iz = 1.800 cm.* y supongamos una
separación de traviesas tal que k = 100 kg./cmA De la ecuación (2),
y de la ecuación (5), 2*71
a = — = 684 cm.
Tomaremos, por ejemplo, un sistema de cuatro ruedas igua* les
separadas a 165 cm. Escogiendo el origen de coordenadas en el
12 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES
punto de contaot» de la primera rueda, los valores de fix para
PRORT,TOMAR TOSPTOCTALTOR TON LA TOLEXIÓN T)TO VTOAS 1]
las demás serán los de la tabla II y los de las funciones 9 y <Ji de la
tabla de la página 5, los que también se indican.
Superponiendo los efectos de las cuatro ruedas que actúan sobre
el carril, el momento flector en el punto de apoyo de la primera
rueda, en virtud de la ecuación (4), será
P P M, = — (1 — 0,207 — 0,053 + 0,008) = 0,75 — >
4p 43
es decir, el momento es un 25 por 100 menor que el que produce una
carga aislada P. Procediendo en forma análoga, se obtiene para el
punto de contacto de la segunda rueda
P P M2 = — (1 — 2 x 0,207 — 0,053) = 0,533 —
43 43
Puede observarse que, debido a la acción de las ruedas adya-
centes, el momento bajo la segunda rueda es mucho menor que
debajo de la primera. Este resultado ha sido comprobado en
multitud de determinaciones experimentales. Utilizando la ecua-
ción (3) y los valores de la última fila de la tabla II, se haya la flecha
bajo la primera rueda:
8, = ^ (I + 0,234 — 0,042 — 0,012) = 1.18 2 ¿ 21c
Las flechas, en los otros puntos, pueden obtenerse de modo
análogo.
Se ve, por tanto, con qué facilidad puede aplicarse el método de
superposición y obtener el efecto debido a una combinación de
cargas cuando se conoce su disposición y su separación.
El estudio realizado ha sido hecho suponiendo que la fundación
es capaz de desarrollar reacciones negativas. Puesto que existe
juego entre el carril y los pernos, hay una pequeña resis
T A B L A I I
Cargas i 2 3 4
0 1,51 -
0,207 0,234
3,03 — 0,053 — 0,042
4,55
0,008 —
0,012
i 1
14 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES
tencia en el movimiento hacia arriba del carril, lo que tiende a
aumentar el momento flector debajo de la primera y última rueda.
En el problema intervienen, además, otros elementos que pueden
afectar al resultado del análisis. Sin embargo, en general, la teoría
expuesta para la flexión del carril, en virtud de cargas estáticas,
está en satisfactorio acuerdo con los experimentos realizados. Problemas
1. Utilizando loa datos de la tabla II, construir el diagrama de
momentos flectores para el carril, suponiendo que la acción de cada
rueda es igual a 20.000 kg. Este diagrama mostrará que los momentos
son negativos para las secciones medias entre ruedas, ¡o que indica que
durante el movimiento de la
locomotora el carril está sometido a un
cambio en la acción de las fatigas de
flexión, lo que puede ocasionar roturas
por fatiga alterna.
2. Encontr
ar el momento flector en el centro de
la parte cargada de la viga de la figura
3, y el giro en Fia. 5 ¡a
elástica correspondiente al extre
mo izquierdo del mismo trozo.
3. Encontrar la flecha en un punto cualquiera A, bajo la carga
triangular que obra sobre la viga infinitamente larga, apoyada de modo
continuo y elástico, de la figura 5.
Respuesta:
Procediendo del mismo modo que al deducir la ecuación ((/), página
7, se tiene
y " T$k 1[WC) ~ W6) ~ 2 Í3W(P6) + 4 P<5]
2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica. — Si una
viga larga embebida en una fundación elástica
se flexa por la acción de una fuerza P y de un
momento M0 aplicados en su extremo (fig. 6), podremos utilizar la
solución general (b) del artículo anterior. Puesto que
flechas y momento-flector tienden hacia cero, a
medida que x aumenta deberá tomarse A — B = 0, y tendremos
y = e~P* (C eos p* + D sen $x).
i 1
Fio. 6
(a)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 15
Para determinar las constantes de integración C y D, dis-
ponemos de las condiciones en el origen; es decir, bajo la carga P:
El, = ~ M a \dx2! xs*0
Elt = — V = P. UW*-0
Sustituyendo la expresión (o) en estas ecuaciones, se obtienen dos ecuaciones lineales en C y D, de las que
1 M C = —i— (P — plf0); D =
2 fPEIz 2 [PEI,
con estos valores la ecuación (a) se escribe
Q — {3& y = y;Ej tp cos $x ~ (cos P* ~sen ^)1
= ^ {Pe^) - pif0 [0(p*) - £(?*)]}. (11)
Sustituyendo en (11) x = 0, se obtiene la flecha bajo la carga
'ir>
La expresión del giro se obtiene diferenciando la ecuación (11).
En el extremo (x = 0), este giro vale
ldñ ~ 1 (P- 2 pif0). (12) 2p *EIZ
Empleando estas ecuaciones y el método de superposición,
pueden resolverse problemas más complejos.
Si una viga larga uniformemente cargada, apoyada sobre fun-
dación elástica, tiene un extremo simplemente apoyado —figura 7
(a)—, la reacción R se encuentra estableciendo que la flecha en el
apoyo es nula. Observando que la flexión de la viga es despreciable
a distancia grande del apoyo y que su depresión en la
16 RESISTENCIA DE MATERIALES
fundación será igual a y, se calcula el valor de R sustituyendo IC
M0 = 0 y á = yr en la ecuación (11')- Así se obtiene; «c
La elástica se obtiene restando las flechas dadas por la ecuación
(11) paraP = R, M0— 0, de la depresión uniforme de
viga p y así se obtiene:
q e~$x „ y = ----------------- Ji eos Ba4 * 2 33E/2
= - (1 — e-P*cospa;). (14) k
En el caso de extremo
empotrado —fig. 7 (ó)—, los
valores de la reacción R y del
momento M0 se obtienen
estableciendo que en el apoyo la flecha y el giro son nulos. q
Observando que a distancia grande del apoyo la flecha vale ^, y
empleando las ecuaciones (11') y (12), se obtienen para el cálculo de
R y Ma las ecuaciones siguientes b
k 2 $*EIt
1
(R + 2p3/0) 2¡y EI,
de donde
(15)
El signo menos de M0 indica que el momento tiene la dirección
indicada por la flecha de la figura 7 (b).
4 En las ecuaciones (11') y (12) se sustituye P = — R, ya que la
L 2P*
R = 2 PS#/,- = k (13)
la
(R + pJ/0)
0
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 17
Problemas
1. Encontrar la elástica de una viga semiinfinita sobre fundación
elástica articulada en el extremo y solicitada por el par Mu (fig. 8).
Solución: La reacción en la ar
ticulación se obtiene por la ecuación
(11'), teniendo en cuenta que 8 = 0; lo que
da p=
Sustituyendo este valor de P en la ecuación (11) se obtiene
■ e — 3* sen $x 2 QPEI,
Por diferenciaciones sucesivas se obtiene
dy dx
dh) V = - EIz ¿5 = ~ 3-^0 ' 9(3*)'
1. Encontrar el momento flector M0 y la fuerza P, que actúan en «i
extremo de una viga semiinfinita sobre fundación elástica (figu- la 11), ai
se conocen la flecha 8 y el giro i en dicho extremo.
SoTnc'Jn: Loa valores Ma y P se obtienen de las ecuaciones (11')
S 1121 sustituyendo las cantidades dadas en lugar
de 8
. ^ Encontrar la elástica para una viga semiinfinita sobre fundación
elástica producida por una carga P, aplicada a la distancia o del extremo
A de la viga (fig. 10).
Fio. 8
(16)
<P
y
dxa '
M = — El, (6) : - 9(3*),
18 RESISTENCIA DE MATERIALES
Solución: Supongamos que la viga continúa a la izquierda de A,
tal y oomo se representa en la figura por línea de trazos lia esto caso
la ecuación (3) da la elástica para x >
0, y en la sección A de la viga infinita
ficticia, en virtud de la simetría y
empleando las ecuaciones (7),
tendremos
M=4-p«Po), P = Je«3c). (e)
Para obtener la elástica deseada es
evidentemente necesario superponer a
las flechas de la viga v ficticia infinita
las flechas que en una viga semiinfinita
producen las cargas de la figura 10 (6).
Utilizando las ecuaciones (3), (11) y (c)
se obtiene para x > 0
y = <p(fte) + ¡ VQifrx + C)j + m<$mx + c)J ~ + c] j
<d)
o sea
v = TÍ +T> i 0(3c)0W(:r + C)1 +
-(-1 lj/(Pc)0[P(^ + c)] — + c>] j.
Esta expresión es también válida para — c < x < 0; en este caso debe
emplearse el valor absoluto de x; en lugar de x en <p(Px).
3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elástica.—La
flexión de una viga de longitud finita embebida en una fundación
elástica puede estudiarse mediante la solución (3), correspon-
diente al caso de viga de longitud infinita unida al método de
superposición L Consideremos, por ejemplo, el caso de una viga
de longitud finita con los extremos libres solicitada por dos fuer-
zas P simétricamente aplicadas —fig. 11 (a)—. Este caso de carga
corresponde al de una traviesa bajo la acción de las presiones de
los carriles. A cada una de las tres porciones de la viga puede
1 Este método de análisis ha sido desarrollado por M. Hetenyi, Final Report of the Second Congrega of the. International Aaaoc. f. Bridge and, Structural Engineering, Berlín, 1938.
CA\
p
0
\\//A
(T'''
y
0
\(t>) y
PlG. 10
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 19
aplicarse la solución general (ó) del artículo 1.° y calcular las
constantes de integración por las condiciones en los extremos y en los
puntos de aplicación de las cargas. Puede, sin embargo, obtenerse la
solución de modo mucho más sencillo, superponiendo las soluciones
correspondientes a los dos casos de carga, sobre una viga de longitud
infinita, que muestran las figuras 11 (b) y 11 (c)-
En la figura 11 (b) actúan sobre la viga de longitud infinita las dos
fuerzas P. En la figura 11 (c) dicha viga está cargada con
las fuerzas Q0 y momentos $T0. aplicados fuera del trozo A B de la
viga e infinitamente próximos a los puntos A y B extremos de la viga
dada —fig. 11 (a) — . Se ve fácilmente que escogiendo de modo
conveniente las fuerzas Q0 y los momentos M0, puede anularse la
fuerza cortante y el momento flector producidos por las fuerzas P en
las secciones A y B de la viga de longitud infinita, representada en la
figura 11 (ó). Por consiguiente, la parte central de la viga infinita
estará en las mismas condiciones que la viga finita representada en
la figura 11 (a), y, por tanto, todo aquello referente a la flexión de esta
última viga puede deducirse superponiendo los casos que muestran
las figuras 11 (ó) y ll (c). DESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n
A rí P - C ♦
B Ji m
«i A
y/////////////,
V 1
'///A Ca)
B
jP
&
zz/z/zz/zz/zA
y
A B
Wi ¡(ó)
0. .'«M.
pí
h— ¡ — i
Fio. 11
RESTSTEWCTA BE MATERIALES
Para establecer las ecuaciones que determinan los valores
apropiados de M0 y Q0, consideraremos la sección en A de la viga
infinitamente larga. Tomando el origen de coordenadas en este punto
y empleando las ecuaciones (7), calculemos el momento flector M' y la
fuerza cortante F' producidas en este punto por las fuerzas P.
(o)
= 0[Mj. ¿á
El momento M” y la fuerza cortante V" producidos en el mismo
punto por las fuerzas indicadas en la figura 11 (c), se obtienen
mediante las ecuaciones (7) unidas a las (10'); lo que da
M" = 9° fl + W0] + ^ [i + 6(PQ], 43 ¿
^ (b)
v=- %ci - e(W] -^[i - <?mi Z A
Los valores apropiados de Ma y Qü se obtienen de las ecua-
ciones M' + M” = 0, V'+V” =0, \ (c)
que se resuelven en cada caso con facilidad empleando la tabla I.
Conocidos Ma y Q0, la flecha y momento flector en cualquier
sección de la viga dada —figura 11 (o)- se obtienen utilizando las
ecuaciones (7), (10) y (10'), junto
con el método de superposición. El
caso particular de la figura 12 se
resuelve en la forma expuesta,
haciendo c — 0.
De esta forma, se obtiene para
valor de la flecha en los extremos y en el centro de la viga las
expresiones siguientes:
PBOBLEMAS ESPECIALES Eli LA FLEXIÓN DE VIDAS 19
2 Pj3 ChpZ eos p/
k ShpZ + sen pZ
nu ¡il >il
Ch —
eos— 4Pp 2 2
Ve
k ShpZ -4- sen
pZ El momento flector en el centro es
QUP5 P* Sh— sen -
2 P ¡3 ShpZ -f sen pZ
5 El método
empleado para
el caso de carga
simétrica —
figura 11 (a)—
puede aplicarse
también para el
caso de carga
anti- eunétrica
—fig. 14 (a)—.
Q0 y M0
constituyen en
este caso un .
sistema
antisimétrico —
fig. 14 (c)—. Los
valores de Q0 y
M0 se
(d) ■■yb =
(«)
(/) Ma
20 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES
El caso de una carga aislada en el centro (fig. 13), puede
deducirse también del estudiado
—fig. 11 (a)—. Basta
hacer c — ~ y escribir P en 2 J
lugar de 2 P.
De esta forma, se obtiene para
el valor de las
flechas en los extremos y centro las expresiones siguientes:
P? pZ Ch - eos —
2 Pp y a = Vb •
ShpZ-
sen pi 2
_ Pp ChpZ + eos pZ -f ^c
2k ShpZ -f sen pZ
El momento flector en el punto de aplicación de la carga vale P
ChpZ— eos pZ
Me 4p ShpZ -f sen pZ
(9)
ih)
(i)
determinan mediante un sistema de ecuaciones establecido de
modo análogo a como se han escrito las ecuaciones (a), (b) y (c).
Conocidos Qü y M0. todos los resultados concernientes a la
flexión de la viga de la figura 14 (a) pueden obtenerse superpo-
niendo los casos correspondientes a las figuras 14 (ó) y 14 (c).
Teniendo las soluciones correspondientes a los casos de carga
simétrica y de carga antisimétrica, puede resolverse con facilidad
cualquier otro caso de carga utilizando el principio de
superposición. Sea, por ejemplo, el caso de carga asimétrica de la
figura 15 (a). Su solución puede encontrarse superponiendo los
casos de carga simétrica y antisimétrica de las figuras 15 (ó) y 15
(c). El problema de la figura 16 puede resolverse de modo análogo.
En cada caso, el problema se reduce a la determinación de valores
apropiados de las fuerzas Q0 y momentos M0, mediante las
ecuaciones (c).
Al analizar la flexión de vigas de longitud finita se observa que
la influencia de fuerzas aplicadas en un extremo de la viga sobre
la flecha en el otro extremo depende del valor de ¡5L Esta cantidad
aumenta al crecer la longitud de la viga. Al mismo tiempo (vcase
tabla I), las funciones y, y 0 decrecen rápida'
Fio. 14
22 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES
PROBT/BINTAS ESPBCTAPES T?N PA FLEXIÓN DE VIGAS
mente, y por encima de cierto valor de ¡31 puede suponerse que las
fuerzas que actúan en un extremo de la viga tienen una influencia
despreciable sobre las deformaciones del otro extremo. En este
caso, la viga puede considerarse como infinitamente larga, ya que
las cantidades <p (¡31), (¡3!) y 6(¡31) son desprecia-
bles comparadas con la unidad en las ecuaciones (b), lo que sim-
plifica considerablemente las ecuaciones (c).
En general, el análisis de la flexión de vigas de longitud finita
se Jiace clasificándolas en tres grupos:
I. Vigas cortas, (31 < 0,60.
II. Vigas de longitud media, 0,60 < ¡3?<5.
III. Vigas largas, (31 > 5.
Al examinarse el caso de vigas delprimer grupo, puede des
preciarse por completo la flexión y considerar la viga como ab-
solutamente rígida, por ser la flecha que origina muy pequeña
comparada con la depresión de la fundación. Sea, por ejemplo, el
caso de una carga aislada en el centro (fig. 13) y supongamos =
0,60, encontraríamos, mediante las fórmulas dadas anteriormente
para ya e ye, que la diferencia entre la flecha en el
21
FIG. 15 Fio. 16
23 RESISTENOTA EE TVTATERT AT.ES
centro y la flecha en el extremo es alrededor del 6/2 por 100 de la
flecha total. Esto indica que la flecha de la fundación se obtiene
con gran aproximación considerando infinitamente rígida la viga y
empleando para la flecha la fórmula P
y = — ¡el
La característica esencial de las vigas del segundo grupo es
que una fuerza que actúa en un extremo produce un efecto
considerable en el otro. Estas vigas deben estudiarse según lo
expuesto para vigas de longitud finita.
En las vigas del tercer grupo puede suponerse, al estudiar un
extremo de la viga, que el otro extremo está infinitamente alejado.
Puede considerarse, por consiguiente, la viga como infinitamente
larga.
En todo lo estudiado se ha supuesto a la viga embebida de
modo continuo en la fundación; pero los resultados obtenidos
pueden aplicarse también a casos en que la viga está apoyada en
un gran número de apoyos elásticos equidistantes. Como un
ejemplo de esta clase, expondremos el caso de una viga horizontal
AB (fig. 17), que sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales
equidistantes, cargadas uniformemente a razón de q kg./cm.1.
Todas las vigas están articuladas en los extremos. Sean EI1 y lx la
rigidez a la flexión y la longitud de las vigas verticales. La flecha
en su centro será 5 ql\ Rl\ ,.
y = ------- — --------- — (?) 384 El, 48 EI1
Donde R es la acción mutua entre la viga horizontal AB y la
vertical considerada. Resolviendo en R la ecuación (/), se ve que la
viga horizontal AB está bajo la acción de una fuerza concentrada
—fig. 17 (c)—, cuyo valor es
p 5 / 48 EI\ m #=-3*1 ------------------------------------------------ (¿)
6 Diversos problemas de esta naturaleza se presentan en las es
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 24
Suponiendo que la distancia a entre las vigas verticales es
pequeña comparada con la longitud l de la viga horizontal y
sustituyendo las fuerzas concentradas por una carga uniforme
equivalente —fig. 17 (c)~, puede también reemplazarse la dis-
tribución de carga indicada en la figura con línea de trazos por
una carga distribuida continuamente de intensidad.
9i ~ % Donde
ñql, 4SEI, Vi — ó K '
8 a
La ecuación diferencial de la elástica de la viga A B es, por
consiguiente,
WTd*y - a EIdx*~ h
Se ve que la viga horizontal está en análogas condiciones que
una viga cargada uniformemente y embebida en una fundación
elástica.
La intensidad de la carga y el módulo de la fundación están
dados por las expresiones (l). Para estudiar la deformación de la
viga, puede utilizarse el método de superposición expuesto
////////y////////////// , ¿
FIG. 17
(i!) ap
■ky. {m)
25 RESISTENCIA T>E M ATEPT AT.ES
anteriormente o integrar directamente la ecuación (m). "Esco-
giendo el último camino, escribiremos la integral general de ia
ecuación (m) en la forma siguiente:
sen ¡3xShPyx + C2 sen (3rCh(3x + C3 eos (3x h / (n)
X Sil ¡3x + C4 eos ¡3:rCh ¡3x.
Tomando en el centro el origen de coordenadas —fig. 17 (c)—,
se deduce por simetría que
0.
Sustituyendo en la ecuación (n) y utilizando las condiciones an
los extremos articulados (d2y\
2
2 sen — Sh— 2
<71 = k eos (314- Ch¡3í
P?, 2
2 eos —Ch —
Q __ 71 4 fc eos [31 + Ch[3í
La elástica será, por consiguiente,
o 2 sen — Sb —
sen ¡3xSh¡ia; eos ¡31-¡-Ch[31
2 eos —Cb— 2 2 eos [3xCh¡3x
eos ¡31 -fi Cb¡31
La flecha en el centro se obtiene haciendo x = 0, y vale / 2
eos — Cb
(y) =^1 ^ W
*“° ¿\ cospl+Chpi/
se encuentran
7:
v = t
fe)
26 RESISTENCIA DE MATERIALES
Sustituyendo este valor en la ecuación (k), se halla la reacción
en el apoyo central de la viga vertical correspondiente al punto
medio de AB.
Es interesante subrayar que esta reacción puede ser negativa,
lo que indica que la viga horizontal actúa como soporte de las
vigas verticales cuando es suficientemente rígida. En caso con-
trario, puede aumentar la flexión de algunas vigas verticales.
Problemas
1. Encontrar la expresión general de la elástica para el caso de
figura 12.
ütvputala: 2 P¡i Chpx eos |i(l — x) + Ch3 (l— x) eos ¡la:
y ~~ k Shpl + senpl
2. Encontrar las flechas en los extremos y el momento en la seo-
Fio. 18 Fia. 19
ción central de una viga flexada por dos pares iguales y opuestos Mt
(figura 18).
•¿¿espites ta:
2 MJ13 w Sh|31 —
sen(3Z y“ yb k X Sh (31 +•
sen ¡lí’
Sh eos v. -p Ch sen Mc = 2 M0 .■
Shpl-f sen pt
3. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central
de una viga apoyada sobre fundación elástica, que tiene sus extremos
art. arlados y que está cargada en su punto medio (fig. 19).
¿tnupuanla:
_ P$ Shpí — sen ¡lí Vc
~ 2* Chpi + eos 01*
P Shjlf + senfll Me~4& Chpr+cosp‘
A
P
—1
r
y
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 27
4. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central de
una viga sobre fundación elástica, con los extremos articulados y
sometida a una carga uniformemente repartida (fig. 20).
Respuesta:
2 Chacos|
Chpí + cospí,
oh 7- sen -r 9 2 2
W2 Ch¡3¿ + eos¡3Z
6. Encontrar los momentos Sectores en los extremos de la viga de la
figura 21, que descansa sobre una fundación elástica, está cargada
_L a <7
r •</
de modo uniforme y con una carga concentrada en ese punto medio y
tiene perfectamente empotrados los extremos.
Respuesta:
Sh — sen — P 2 2 q Sh(3Z—sen
P Shpi + sen pí2 (5a Shpl + sen ¡il
Fio. 23
6. Encontrar la elástica de una viga sobre fundación elástica soli-
citada por una carga concentrada que actúa en un extremo (fig. 22).
Respuesta:
2PP —-—j—y- | ¡Sh|3í eos p.xOh¡3(2 — ®) — sen SíCh^a; eos P(i — *)]•
Me =
Fio. 21
A
Fio. 20
Mo = — s
fc(Sh2(3í —sen* (37)
28 RESISTENCIA DE MATERIALES
7. Una viga sobre fundación elástica con los extremos articulados
PROBLEMAS ESPECIALES TW LA ELEXT<VNr LE VTOAS 29
está flexada por un par Ma, aplicado en un extremo (iig. 23). Hallar la
elástica.
Respuesta:
[Chpi sen |5xSh(5(Z — x) — cos pZShpx sen ¡5(Z — *)).
4. ---------------------------------------------------------- Carga lateral y
compresión axial combinadas.—Comenzaremos por el problema
sencillo de una pieza con los extremos articulados solicitada por
una fuerza aislada P — ----------------------------- rt/WM■WV"\1/IA rt1 f. 1 wv AT» 4* A P
y comprimida axialmente por dos fuerzas S iguales
y opuestas (fig. 24). Suponiendo que la fuerza P ac-
túa en uno de los planos
principales de la pieza, tendremos flexión en el mismo
plano. Las ecuaciones diferenciales de la elástica para los dos
trozos en que P divide a la pieza son
pueden expresarse las soluciones generales de las ecuaciones (a) y
(ó), en la forma siguiente:
= Cj cos px + C2 sen px — ^ x,
y = (?3 cos px + C4 sen px — — --------- — (l — a:). (d) SI
Puesto que en los extremos de la pieza la flexión es nula, se
tiene Cl = 0,
C3 = — C4 tg pl.
= 2Af„p» fc(Ch2|3i — eos2 (51)
Fio. 24
(a)
(¿)
í17)
Sy — P^- C)- (l ~ x).
S_
El = P\:
Eid^y=~ dx2
Empleando la notación
n T dfy ci
El -E = — Sy x, dx2 l
(c)
30 RESISTENCIA DE MATERIALES
Las otras dos constantes se deducen de la continuidad de la
elástica en el punto de aplicación de la carga P, lo que obliga a que
las ecuaciones (c) y [d) den la misma flecha y el mismo giro para x =
l — c. Tendremos
C2 sen p(l — c) = C4 [sen p(l — c) — tg pl eos p(l — c)], P
C¿p eos p(l — c) = C\p [eos p(l — c) + tg pl sen p(l — c)] + —» S
de donde P sen pe ,, Psenp(l—c)
(y2 " ------------ j O4 =----------------------------- Sp sen pl Sp tg pl
Sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene para el trozo iz-
quierdo de la pieza P sen pe Pe
y — — -------- sen px x. -------- (18)
Sp sen pl - SI
Diferenciando, tendremos
dy P sen pe Pe — — —eospx ----- dx S sen pl SI
d2y Pp sen pe sen px. dx2 S sen pl
Las expresiones que corresponden al trozo de la derecha se
obtienen escribiendo l — a; en lugar de a:; l — c, en vez de c, y
cambiando el signo de en las ecuaciones (18) y (19). De este
modo, se obtiene
P sen p(l — c) n . P(l — c) y = ----- ----------- r- sen p(l — x) 5_—' (l — x), (20)
Sp sen pl oí
dy P sen p(l—c) , . P(l—c) . Jl — 1eosp(l— as) -------------------------- -1 (21) dx S sen pl SI
dy2 Pp sen p(l — c) . . 7 , ---------------------- 7, 7- sen p(l — x).
(19)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 31
---------------- (22)
iíx¿ o sen
32 RESISTENCIA DE MATERIALES
En el caso particular de que la carga se aplique en el centro
de la pieza, se escribe c — e introduciendo la notación z
_ pw _ f
4 El 4 de !a
ecuación (18), deducimos
P l pl pl\ PP tg u — u
» * “ s s ( i , , - ¡ = ^ ( “ r r 5 ü T r ' ‘ 1 - w
El primer factor de la expresión (24) representa la flecha que
produciría ia carga P actuando sola. El segundo factor indica en qué
proporción crece esa flecha por la acción de las fuerzas S de
compresión axial.
Cuando S es pequeña comparada con la carga de Euler
S„ = —p—), la cantidad u es pequeña y el segundo factor de
la ecuación (24) se aproxima a la unidad, lo que indica que en este
caso el efecto sobre la flecha de la fuerza axial de compresión es
despreciable. Cuando S se aproxima al vaior de Euler, ia 71
cantidad u tiende a — —véase ecuación (23)— y ei segundo ZJ
factor de la expresión (24) crece indefinidamente, de acuerdo con el
análisis ya efectuado de la carga crítica (véase página 238, primera
parte).
El valor máximo del momento flector acontece bajo la carga y su
valor, deducido de la segunda de las ecuaciones (19), es
' x 2
También el primer factor de la expresión (25) representa el
momento flector producido por la carga P actuando sola, mientras
que el segundo factor, denominado «factor de amplificación»,
representa la influencia sobre el momento flector máximo de las
fuerzas axiales S.
JLiesuelto el problema para una carga transversal P (fig. 24),
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 33
se puede con facilidad obtener la solución para el caso de una pieza
solicitada por un par aplicado en su extremo (fig. 25). Basta suponer
en el análisis anterior que c disminuye y tiende hacia cero, mientras
que Pe permanece constante e igual a M0.
Haciendo Pe = M0 y sen kc = Ice en la ecuación (18), se obtiene para
la elástica la expresión
M0[,enpx x\
S \ sen pl i) de donde
dy _ M0 fp eos px 1\
dx S \ sen pl 1/
Los giros de la viga en los extremos son
dy\ 1 _________ J\ (27)
dx}x^0 S \senpi 1} 6Pl 1211860211 (2w)2/
dy\ ¡jp 1\ _ MJ, 31 1 ________ 1_
dxjx^¡ S \tgpl l) 2>EI \2wtg2M (2w)2
De nuevo los primeros factores de las expresiones (27) y (28)
representan los giros que produciría el par M0 actuando solo (véase
pág. 151, Primera parte), y los segundos factores representan el
efecto de las fuerzas axiales S.
Examinando las ecuaciones (18) y (26), se ve que la fuerza
transversal P y el par M0 figuran en ellas linealmente, mientras que
la fuerza axial S figura de modo más complejo, ya que p también
depende de S (véase ecuación 17). De esto se deduce que si en el
punto G (fig. 24) se aplican dos fuerzas P y Q, la flecha en cualquier
punto puede obtenerse superponiendo la flecha producida por la
carga Q y las fuerzas axiales S a la flecha producida por la carga P y
las mismas fuerzas axiales.
34 RESISTENCIA DE MATERIALES
Una consecuencia análoga se obtiene para el caso referente a pares
aplicados en un extremo de la viga.
Esta superposición especial puede generalizarse fácilmente en el
caso de varias cargas (fig. 26). Para cada porción de la pieza puede
escribirse una ecuación análoga a las ecuaciones (a) y (b), y
obtenerse una solución semejante a las ecuaciones (c) y (d). Las
constantes de la integración pueden encontrarse de las condiciones
de continuidad en los puntos de aplicación de las cargas y de las
condiciones de apoyo de los extremos de la pieza. De esta forma se
vería que la flecha en cualquier punto de la pieza es una función
lineal de las cargas P1, P%y que
la flecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo las
flechas producidas en dicho punto por cada una de las cargas la-
terales, obrando siempre la fuerza axial S. Consideremos el caso
general de n fuerzas, de las que m están aplicadas a la derecha de la
sección recta para la que se quiere calcular la flecha. La expresión
de esta flecha se obtiene empleando la ecuación (18) para las fuerzas
Pv P2,.... Pm y la ecuación (20) para las fuerzas, Pm+1, Pm+2,.... Pn. La
flecha buscada será
sen px *-*» x <-m ------------ S P< sen pct — — S P¡c4 Sp sen pl i -1 SI i -1
sen — x) i—» + o ------------- r 2 P,-senp(/—c¿)-
¿psenpl i-m + i l X’_-”
■ —S PS-Ci). (29) o í t - m + 1
5
"A. .
Fia. 26
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 35
7 Diversos casos particulares de piezas comprimidas cargadas la-
teralmente han sido estudiados pox A. P. Vander Fleet, Buíl. Soc. oj
STBiJClA I» MATEMÁ1E8.—T. 11 8
de Pp en la ecuación (29) y reemplazando sumas por integra ciones,
se obtiene la siguiente expresión para la elástica:
x C7~x SÍ .L
aenpx /**-* y = I q senpede—— J ---------------- qede
Sp sen pl
sen p(l — x) ir Jl — X
I—X ri - I q{l — c)dc. Jl—m
q sen p(l — c)dc + Sp sen pl
Integrando
SI
( f - H cos
x(¡—x) (30) Sp2 pl 2 8
eos
36 RESISTENCIA DE MATERIALES
u
cos u
— u 24
Diferenciando la ecuación (30), se obtienen fácilmente las ex-
presiones del giro y del momento flector. El giro en el extremo
izquierdo de la pieza es
pl
6 ql* 384 El
u
~~~2 Ü/)r iy).
'“2 Sp2\cosu
(31)
qls tg u — u * X - --------- (32) sí 28
( - ) - \dxfx _ „
24 El pl -u*
El momento flector máximo acontece en el centro y vale
i, Pl\ ,3o í l-ws-
v
2 S coa ~
ql2 2(1 — COS U)
8 u2cos u Mmix = -Ellpt\ =EI
(33)
Empleando la solución (26) para el caso de un par junto con la
solución (29) para cargas transversales y utilizando el método
T’ROBTj'EMAS ESPECUAEES EX EA EEEXTÓX BE
VTOAS 37
de superposición, pueden resolverse fácilmente diversos casos
liiperestáticos de flexión de piezas. Sea, por ejemplo, el caso de
una pieza empotrada en un extremo y cargada de modo uniforme
(fig. 27). El momento flector M0 en el empotramiento se deduce de
la condición de que esta sección no gira en la
deformación. Utilizando las ecuaciones (28) y (32), la condición se
escribiré
qP tg u —« M0l I 3 3 0,
24 El
de donde
ql2 4 tg 2u(tg u— u)
8 u(tg2u— 2 u)
En el caso de una pieza uniformemente cargada con ambos
extremos empotrados, los momentos M0 en los extremos se ob-
tienen de la ecuación
ql8 tgu — u M0l f 3
8 El [_2 u tg 2 u
FIG. 27
3EI\2utg2u (2 u)2
M0 = - (34)
■—1
(2«)2
J 24 El 1
38 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES
I
6 El' \2u sen 2u (2 «)*
ql2 tgu — u
12 i , , -u3 tgu 3
De las expresiones (34) y (35) se deduce que los valores de los
momentos hiperestáticos se deducen multiplicando los momentos
obtenidos en la teoría elemental de vigas por ciertos factores de
amplificación. Los cálculos necesarios pueden simplificarse
preparando tablas numéricas que dan los factores de amplificación
\
0,
de donde
Mn (35)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 39
Obtenido el momento máximo para una pieza esbelta la fatiga
máxima numéricamente se encuentra combinando las ta- tigas de
compresión y flexión, lo que da
8 , Á + ~z
donde A y Z son el área de la sección recta y el módulo de la
sección, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de una pieza
comprimida con los extremos articulados y cargada lateralmente
de modo uniforme,
mediante la ecuación
(33) se obtiene
,_l " , ^ ,ts
T +7T^ * ñ -------------------------------------- (f)
Al escoger las dimensiones apropiadas para la sección recta de
una pieza de esta clase, es necesario tener en cuenta que el
segundo miembro de la ecuación (/) no es lineal en 8, puesto que la
cantidad u también depende de S, según se ve en la ecuación (23).
Debido a esto, la fatiga máxima aumenta en mayor grado que la
fuerza 8. Por tanto, el método corriente de determinar las
dimensiones de una sección, tomando 10
|Cmaxl = ---------- > (9)
n
donde n es el coeficiente de seguridad, falla en este caso.
Si la pieza comprimida debe proyectarse de suerte que co-
mience la fluencia cuando las fuerzas 8 y q se hagan n veces
mayores, la sección debe escogerse de modo que omáx sea algo
menor que — , de suerte que quede satisfecha la ecuación »
1*1 = ® 2(1 —eos ^ ^
n A 8 Z u\ eos tq
siendo u1 = nu.
bien definido.
10 Se supone que el material de la pieza tiene un punto de fluencia
8 ql9 2(1 — eos u)
A 8 Z u2 eos u
40 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES
Multiplicando los dos miembros de (h) por n, se obtiene
nS nql2 2(1 — cos «,) O t'i = ------- 1 ------------------------------- , (i)
A 8 Z u\ cos ux
lo que indica que la fatiga máxima alcanza al punto de fluencia
cuando S y q se han hecho n veces mayores. En otros casos de
carga puede aplicarse un procedimiento análogo para el proyecto
de piezas comprimidas. Se deduce de lo expuesto anteriormente
que para contar con un coeficiente de seguridad n en el proyecto
de piezas comprimidas 1, debe utilizarse, en lugar de la ecuación
(g) una ecuación análoga a la (A), en la que el parámetro u se
sustituye por el u1 =ynu.
Problemas
1. Encontrar el giro en el extremo izquierdo de una pieza com-
primida con los extremos articulados y cargada en el centro con la
fuerza P.
Respuesta: (dy\ _ P 1 — cos u _ Pl2 1 — cos u \dx)x=o 2S cos u 16 Él 1
2 w2 cos u
2. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida
con carga triangular (fig. 28).
Soluc-ióv: Sustituyendo en la ecuación (29) —en lugar de y
reemplazando las sumas por integrales, se obtiene
1 Este método para el proyecto de piezas comprimidas fué desarrollado por
K. S. Zavriev. Memoirs of the Institule of Engiueers oj Ways of Communicatiun, 1913,
San Petorsburgo. •*,
41 RESISTENCIA DE MATERIALES
sen px ¡l~xQnO , x Ií~xq0ci , y = o —7 ~r sen pedo — -y- de
Sp sen pl jo l SI Jo l
, sen p(l — x) (l qac .. ,1 — x C 1 q„c . , + o , ~ sen p{l — c)dc — ~{l — o)do
Sp sen pl Ji—x lc SI Ji—x l
derivando respecto a x, se halla
(J)*_0 = 6^kr(p-1)
{£),-, = ~ 6p*EI(a “ !)*
donde a y son las funciones dadas por las expresiones (361 (véase
página 37).
3. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida
cargada simétricamente con dos fuerzas P, tal como indica la figura
23.
Respuesta:
(dy) = _ _ p /eos pb t \dx)x=0 \dx) x _ j 'S’LogP?
4. Una pieza comprimida con los extremos empotrados está car-
gada tal como indica la figura 29. Encontrar los momentos Sectores Ma
en los extremos.
Solución: Los momentos Mn seencuentran por la condición de
que
los extremos de la pieza comprimida no giren. Utilizando la solución
del problema anterior, y las ecuaciones (27) y (28), se puede escribir la
ecuación siguiente, que sirve para obtener M0:
a+ P(*2LPb_ i\ = 0, &EI + 3í;íP + S¡ _ pl *
de donde 2 PEI u feos pb
= SI tg u \ eos u
p ó
- - - - - - - - - - 26 —
P d
k J c —
— c —
l JfiG. 29
>)•
42 RESISTENCIA T)E MATERIALES
5 Vigas continuas con acciones axiales y transversales.—
En el caso de una viga continua con acciones axiales se procede
como en el caso elemental de viga continua (véase pág. 192,
Primera parte) y se consideran dos tramos adyacentes (fig. 30) 11,
empleando las ecuaciones (23), (27) y (28) e introduciendo las
notaciones siguientes para el tramo n:
. . . . sji Un 4, El'
- e l — i - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 L2 un sen 2 u„ (2 un)12J
p » = s f — - - - - - - - - - - - - - - ] L(2m„)2 2w„ tg 2 un\
tg un — un Y» = —: ------------------ -
3 "
Se deduce que el giro en el extremo derecho del tramo n —
figura 30 (a)—, producido por los momentos que actúan en los
extremos Mn_ x y Mn, es
q M nln Mn— / i -‘W.—’Ts/r (a>
11 Esta teoría se debe a H. Zimmermann, Sitzungsb. Akad. Wiss.,
Berlín, 1907 y 1909.
(36)
(37)
PKOBLEMAS ESPECIALES M LA FLEXIÓN DE VIGAS 43
El giro correspondiente al extremo izquierdo del tramo » + 1.
producido por ios momentos Mn y Mn + 1, es
Mn+i^n + i , r¡Mr,ln + \ ,, %
+ (b>
Si no existe carga transversal en ninguno de los dos tramos
considerados, las expresiones (a) y (b) deberán ser iguales, y se
obtiene
°^‘ifn_1 + 2f e n¿ ; + P n + 1^W„
\ in +1*
+ + M n + X = 0 . (38) *n +1
Esta expresión constituye la ecuación de los tres momentos
para una viga continua con acciones axiales, si no existen cargas
transversales en los dos tramos considerados.
Si existe carga lateral, deben añadirse a las expresiones ( a ) y
(ó) los giros producidos por dicha carga. Sea, por ejemplo, el caso
de que sobre los tramos n y n 1, y en dirección hacia abajo, actúen
cargas uniformes de intensidades q„ y qn T. Los giros
correspondientes se obtendrán por la ecuación (32), y en lugar de
las expresiones ( a ) y (ó), tendríamos:
n Mnln yln qr$n / \ P n -------------- an ------- ------ Y» ---------- ; (c)
3 EI„ 6E/„ 24 EIn
Mn + Lln + i , a M„ln + j q„ + 1l^ + j j
+ + (i>
Igualando estas dos expresiones, se obtiene
*^Mn_x + 2 k n ± + ? n + l lf±l)Mn + «n+1 £±I Hf„+1 1» \ -i» ín + v
j *» + l
..Qn + ^n + i
,ofn
~ Yn — ----------------- Yn + 1 — -• ----------------------------------- (39)
41» 41j
Esta ecuación es la de los tres momentos para el caso de carga
44 RESISTENCIA T)E MATERIALES
uniforme en cada tramo. En ei caso de que las fuerzas axia
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 45
les S sean nulas, las funciones a, [3 y y valen la unidad y
volvemos a tener los resultados de la teoría elemental de vigas
continuas.
Para otra clase de carga transversal, lo único que cambia en la
ecuación (39) es su segundo miembro, que depende del giro que en
el extremo común a los dos tramos considerados produce la carga
transversal. Sea, por ejemplo, el caso de la carga trapezoidal de la
figura 31.
Dividiendo la carga en dos partes,
carga uniforme y carga triangular,
utilizaremos los términos del segundo
miembro de la ecuación (39) para
tener en cuenta la carga uniforme. A
estos términos deben añadirse los términos co-
rrespondientes a las cargas triangulares. Utilizando los resultados
del problema 2 del artículo precedente, se halla que los dos
términos que deben añadirse al segundo miembro de la ecuación
(39), en el caso de la carga de la figura 31, son
( <? »— 1 2») ^ » , . . 1\ %{Qn <ln + l)ln+i,a
■ >/. > --------------------------------------------------------- ( e )
donde a„ y (3n son los valores definidos por las expresiones (36).
Cuando actúan fuerzas concentradas sobre los tramos conside-
rados, los giros apetecidos se encuentran fácilmente por la ex-
presión general de la elástica, ecuación (29).
El cálculo de los momentos a partir de las ecuaciones de los
tres momentos puede simplificarse considerablemente empleando
tablas numéricas de las funciones a, p y y 13.
Al deducir la ecuación (39), se supuso que el momento Mn en el
apoyo enésimo tiene el mismo valor en los dos tramos adyacentes.
Hay casos, sin embargo, en los que un momento exterior se aplica
al apoyo, tal como se indica en la figura 30 (c); en estos casos hay
que distinguir entre el valor del
13 Tablas de esta clase se encuentran en el libro de A. S. Niles y J.
S. Newell, Airplane Structures, vol. 2, 1938; véase también el libro del autor, Theory oj Elastic Stability, 1936.
¿ 3* 23*
Pía. 31
46 RESISTENOTA DE MATERIALES
momento flector a la izquierda y a la derecha del apoyo. La ro-
lación entre los dos momentos es, naturalmente 14,
de donde Mí = Mn — Mo. (f)
La ecuación (39), en este caso, se reemplaza por la siguiente:
— + 2lf Mn + 2 +, lf^ M‘% + a„ +, M. +,
1» L» +1 -*» + l
--T.ff-Y (»)
Si los apoyos de una viga continua con carga axial no están en
línea recta,es preciso añadir a los segundos miembros de las
ecuaciones (39) o (40) los términos adicionales debidos a
la di
ferencia en el nivel de los tres apoyos consecutivos. Estos términos
no están influidos por la presencia de las fuerzas axiales y son los
mismos que en el caso de una viga continua elemental (véase pág.
195, Primera parte).
Problemas
1. Escribir el segando miembro de la ecuación do los tres
momentos en el caso de existir una fuerza concentrada P en el tramo
n ■+■ 1, a una distancia c* + x del apoyo n -f- 1.
Respuesta:
— Pw+icn-H _________________ fíP /sen __ Cw+1 Y ^»+l\aen Pn-fi/m + i i / + + ’Pn + J'n + i
2. Escribir el segundo miembro de la ecuación de los tres
momentos si el tramo n está cargado en la forma que indica la figura
29, página 36, y en el tramo » + 1 no existe carga.
Respuesta: Empleando la solución del problema 3, página 36, se
obtiene la siguiente expresión:
6PE ¡eospnbn j\ _ ® P / c o s P r f i n _ i S» ^cos J P»1» ^cos
3. Escribir el segundo miembro de la ecuación de los tres
momentos si la carga es la que indica la figura 32.
14 La dirección de Ma
n> indicada en la figura 30 c, se toma como positiva para el momento exterior.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 47
6. Tirantes con carga transversal.—Si un tirante está sometido
a ia acción de fuerzas extensoias S y de una carga concen-
-2b„
wzw
FIG. 32
trada transvorsal P (fig. 33), podremos escribir la ecuación dife-
rencial de la elástica de cada porción del tirante del mismo modo
que se hizo para una pieza comprimida (art. 4). Basta cambiar el
signo de 8. En este caso, en lugar de las cantidades p2 y u2, defi-
nidas por las expresiones (17) y (23), respectivamente, se tendrá
— V2 Y — Y en logar de p y u tendremos p V— 1 = pi y u V — 1 ==
ui. Sustituyendo —S, pi y ui, en lugar de S, p y u, en las fórmulas
obtenidas para la pieza comprimida de la figura 24, se obtendrán
las aplicables al caso del tirante de la figura 33. Haciendo la
sustitución y teniendo en cuenta las conocidas relaciones sen ui =
i Sh u, cos ui = Ch u, tg ui = i Th u.
Se obtiene para el trozo izquierdo del tirante de la figura 33,
derivadas de las ecuaciones (18) y (19), las expresiones siguientes:
cos pnbn r ~ b „
VnJn
Vn!n V„
CO!
Respuesta:
r-~f
i.-
FIG. 33
(41) V =
dys
dx
d%y
dx2
»V. (42)
Shpa;.
PShpc Pe — Shnz A x, SpSh.pl SI
SShpl SI
PpShpc
' SShpl
48 RESISTENCIA DE MATERIALES
(45)
Para ]a parte derecha del tirante, y utilizando las ecuaciones
(20) y (22), puede obtenerse fórmulas análogas. Teniendo las
elásticas para el caso de una carga aislada P, puede obtenerse
fácilmente la elástica para cualquier otra clase de carga aplicando
el método de superposición.
Sea, por ejemplo, un tirante uniformemente cargado. Apli-
cando las ecuaciones (30) y (31), se obtiene
y la flecha máxima será
donde
1
Chu~
(¿)
El giro de la elástica, en el extremo izquierdo, deducido de la
ecuación (32), es
El momento flector máximo, que en este caso acontece en el
centro de la luz, deducido de la ecuación (33), vale
8 a2Chw 8
donde
2(Ch u — I) a2 Cha
Ch l — — px 2
-f — x(l — x), 2
S y = pl Sp2 Ch
1 +
9i (u), (43) (3* 384 El
5 ql* Ch u
(y)x — I 384 El
•1 +
qla u — Tha
24 El |Ij Ma
ñ - \dxfx^ o
(44)
^i(u)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 49
Se ve que la flecha y el momento flector máximo se obtiene
multiplicando los valores correspondientes de la teoría elemental de
vigas por los factores 9 j (w) y 4q («)> que dependen del valor de la
fuerza axial extensora 8. Los valores numéricos de estos factores se
dan en la tabla III 1.
En el caso de flexión de un tirante por un par aplicado en su
extremo derecho, la elástica se deduce de la ecuación (26), de donde
Mn ¡x Shpa;\ Sh plj
Si se aplican dos pares iguales y opuestos a los extremos de un
tirante, se puede obtener la elástica por el método de super-
posición Mr ¡x ShpaA Ml — x Shp(l— x)l
_ M c ¡x ShpaA M { ,y V ~
~8 \l~ SShpl) + ~S [
Chp — x
De esta ecuación se deduce que la flecha en el centro y el giro
en el extremo izquierdo del tirante valen
El momento flector en el centro es
Mn
Ch u
En las publicaciones de A. P. Van der Fleet, mencionadas anteriormente (véase pág. 33), se
estudian diversos casos de flexión de tirantes, y también en el libro de I. G. Boobnov, Theory of Structure of Ships, vol. 2, 1914, San Petersburgo. De este último libro se ha tomado la tabla 3.
Mol* S U (46)
l Sh.pl
Mü Ch u — 1 MJ2 Chw — 1 (íí).-4 = —® ---------------------------------------- = — ----------------------------- >
2 S Ch u
—°pThw = ^- • —. 82 El u
8EI 1 20L
¿r M2Ch u ¿i
(48)
fiy\
\dx)x-o
iM)
(49)
50 RESISTENCIA DE MATERIALES
Una vez halladas las elásticas de un tirante de extremos ar-
ticulados flexado por cargas transversales y por pares en ios
extremos, se pueden resolver fácilmente casos hiperestáticos de
flexión de tirantes, aplicando el método de superposición. Sea, por
ejemplo, el caso de un tirante cargado uniformemente, con los
extremos empotrados. Empleando las expresiones (44) y (48), los
momentos M0 en los extremos se deducen de la ecuación
ql3 u — Thií M0l Thw ----------------------- 1_ ___ _ o,
24jS7 1 „ 2 El u
3 “ _ _ _ g P u - T h u q f i 12 1 - 12 ^
- u 2 lhw o
, , , u — Thu 4>2 («) = -----------------------------------
-u 3 Thtt ó
Los valores numéricos de la función < p 2 (w) figuran en la ta-
bla III. Utilizando las expresiones (45) y (49), se obtiene el mo-
mento M v en el centro
_ q l 2 2 ( C h u —1) ql2 u — Th«
8 u2Chu 121 90, - m2Suií O
= g e ( S h . - « ) _ g
24 u2Shu 24
La flecha en el centro se obtiene mediante las ecuaciones (43)
y (48), y vale u2
■1 + . . 5 ql1 Ch u 2
|lp-
_ («j-Th.Hgh«-i) = (52)
16 El u*Shtt384
El"
de donde (50)
siendo
PROBLEM
AS
ESPECIAL
ES EN LA
FLEXIÓN
DE VIGAS
donde
')•
15 Encontrar los momentos Sectores M0 en los extremos de un
con dos
fuerzas
P, tal
como
indica la
figura 29.
24 ¡u15 uChu—■ ti'
:16 \ 2 Shw
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
TABLA III CONSTANTES P A R A LA DETERMINACIÓN DE FLECHAS Y MOMENTOS
FLECTOSES MÁXIMOS EN TIRANTES CON CARGA TRANSVERSAL
Todas estas funciones valen la unidad para u = 0; es decir, cuando
solamente actúa la carga transversal. A medida que la fuerza
extensora aumenta, las funciones disminuyen; es decir, las fuerzas
extensoras disminuyen las flechas y los momentos Sectores en los
tirantes cargados transversalmente. Al estudiar la flexión de placas
delgadas (véase pág. ,124), haremos aplicación de la tabla anterior,
*
Problemas
u ?1 92 +1
<h>
U <Pl ?2
^2
0 1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
6,5 0,054 0,197 0,047 0,39] 0,139 0,5 0,908 0,976 0,905 0,984 0,972
7,0 0,047 0,175 0,041 0,367 0,121 1,0 0,711 0,909 0,704 U,939 0,894
7,6 0,041 0,156 0,036 0,347 0,106 1,5 0,523 0,817 0,511 0,876 0,788 8,0 0,036 0,141 0,031 0,328 0,093 2,0 0,380 0,715 0,367 0,80
6 0,673
8,5 0,032 0,127 0,028 0,311 0 083 2,6 0,281 0,617 0,268 0,736 0,563
9,0 0,029 0,115 0,025 0,296 0,074 3,0 0,213 0,629 0,20
0 0,672 0,467
9,5 0,026 0,105 0,022
0,283 0,066 3,5 0,166 0,453 0,153 0,614 0,386 10,0 0,024 0,096 0,02
0 0,270 0,060
4,0 0,132 0,388 0,120
0,563 0,320 10,5 0,02
1 0,088 0,018 0,259 0,054
4,5 0,107 0,335 0,097 0,519 0,267 11,0 0,020
0,081 0,017 0,248 0,050 6,0 0,088 0,291 0,079 0,480 0,224
11,5 0,018 0,075 0,015 0,238 0,045 6,5 0,074 0,254 0,066 0,446 0,189 12,0 0,016 0,069 0,014 0,229 0,042
6,0 0,063 0,223 0,055 0,417
0,162 — — — — — —
46 RESISTEN CIA DE ’VTA TERT.A T ES
Solución: Losmomentos enlosextremossededucen
de la ecua
ción
P / Ch pb\ M0i Th u __
~S\ < * % ) “
3. Hallar los momentos flectores en los extremos de un tirante, que
los tiene empotrados, y sufre una carga triangular como la de la figura
28.
Idea: Emplear la solución del problema 2 de la página 35, junto
con la ecuación (46).
7. La elástica mediante series trigonométricas.—Al estudiar la
deformación de las vigas, es muy útil a menudo representar la
elástica por una serie trigonométrica L Esto tiene la ventaja de que
con una sola expresión matemática se representa la ecuación de la
curva a todo lo largo de la luz. Sea, por ejemplo, el caso de la viga con
los extremos apoyados 17 representada en la figura 34. La flecha en
cualquier punto puede representarse por
la serie siguiente: nx , 2TZX
y = ax sen j- a2 sen ------------- l l
‘¿7iX , / \ -f a3 sen — -f . . .(a)
EIQ. 34 El significado geométrico de
esta
representación analítica equivale a suponer que la elástica, como
curva, puede obtenerse superponiendo curvas sinusoidales, tales
como las (ó), (c), (d), etcétera, de la figura 34. El primer término de la
serie (a) representa la primera curva; el segundo término, la
segunda; etc. Los coeficientes ax> ct2, a3 representan las ordenadas
máximas de estas curvas sinusoidales, y los números 1, 2, 3 . . . , el
número de ondas. Determinando adecuadamente los coeficientes av
a2 ...
17 En otros casos el estudio resulta complicado desde el punto de vista
práctico.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN BE VIGAS 47
la serie (a) puede representar cualquier elástica 18 con un grado de
exactitud que depende del número de términos que se empleen. La
determinación de estos coeficientes se hace considerando la energía
de deformación de la viga (ecuación 188, página 290, Primera parte),
dada por la ecuación
u . a p t m ' * . o,
La segunda derivada de y, deducida de (a), es
d19y n'¿ %x te2 2 izx te2 3 TCX —- = — a, — sen -------------------- a9 2Z — sen a« 32 — sen —- . . . dx2 l2 l l2 l l2 l
La ecuación (ó) se refiere al cuadrado de esta derivada, en el que
hay términos de dos clases:
n47E4 „ nnx „ rfirrfl7e4 nnx mizx
sen2 y 2 anam sen sen
l* l l* l l
Por integración directa, se ve que
H . mzx , l Cl IIT.X WTX ,
1 sen2 dx = - y / sen —- sen dx = 0,
Jo i 2 * Jo i i
donde w t » ,
Por consiguiente, en la integral (b) desaparecen los términos de
la forma an,am, y solamente quedan los que contienen cuadrados de
los coeficientes:
ü“ (1 •a" + 24(12 + 34a’ + • • •> = C“ní<- (53>
En un estudio anterior —véase ecuación ( a ) , pág. 332, Primera
parte— se vió que si un sistema elástico experimenta un pequeño
desplazamiento a partir de su posición de equilibrio, compatible con
las ligaduras, el aumento de la energía potencial del sistema es igual
al trabajo suministrado por las fuerzas ex
18 Véase Bierly, Fourier Series and Spherical Harmónica, §§ 19-24.
Véase también Osgood, Advanced Catculus, 1928, pág. 391.
2
48 RESISTENCIA DE MATERIALES
teriores a lo largo del desplazamiento. Cuando la elástica se
representa por la serie (a), se pueden obtener desplazamientos de la
naturaleza del indicado, dando pequeñas variaciones a
los coeficientes av a2, a3 Si, en general, al coeficiente an se
le da un incremento dan, tendremos el término (an + dan) sen
en la serie (a), en lugar del an sen -y-. Los demás términos i v
no varían. Este aumento dan del coeficiente o„ representa un
desplazamiento adicional dado por la curva sinusoidal dan sen TbTZCC
, superpuesto a la elástica primitiva. A lo largo de este des-
v
plazamiento, las fuerzas exteriores trabajan. En el caso de una carga
aislada P, aplicada a la distancia c del apoyo izquierdo, el punto de
aplicación de la carga experimenta un desplazamiento
vertical dan sen y la carga realiza el trabajo
<Lan |sen P- (c)
Veamos ahora el aumento de la energía de deformación,
dada por la ecuación (53) cuando an se incrementa en dan. Será
JTT SU , Eln* . j ...
dU = — dan = n4andan. (a) 8a„ 2 13
Igualándolo al trabajo realizado (c),
El n4 . _ nizo -—— »4a. = P sen -—, 2 l3 l
de donde 2 Pl3 1 nnc
a. = ------------- sen --- • El TI* n* l
Deducido de aquí el valor de cada uno de los coeficientes de la
serie (a), la ecuación de la elástica será
2 Pl3 f TZC TZX 1 2 KC 2 nx \ y = -------- Isen—sen sen sen 1- , . .) y Eln* \ l l 2* l l I
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
Expresión por la que puede calcularse la ñecha para cualquier
valor de x.
Por ejemplo, la flecha en el centro cuando la carga está en
Tomando solamente el primer término de esta serie, se ob tiene
8 - - PP Eln* 48,7 El
Comparando con la ecuación (90), página 137, Primera parte, se
ve que se ha obtenido 48,7 donde allí era 48; de modo que el error que
supone emplear el primer término de la serie en lugar de la serie
completa es alrededor de 11 /2 por 100. Esta aproximación es
suficiente en la mayoría de los casos prácticos y veremos más
ejemplos en los que usando solamente el primer término de (a) se
obtiene una aproximación suficiente.
Conocida la solución para una carga aislada (ecuación 54) y
empleando el método de superposición, se pueden resolver problemas
más complejos. Sea, por ejemplo, una viga cargada de modo uniforme
e intensidad q.
Cada elemento de carga qde situado a una distancia c del apoyo
izquierdo, produce una flecha dada por la ecuación (54), poniendo P =
qde:
nizx l
Integrando esta expresión con relación a c desde e = 0 a c = l, la
flecha total será
(55)
RESISTMCIA DE MATERIALES.—T. II
nm sen
1 nnx — sen —— ■
4
50 RESISTENCIA DE MATERIALES
Tomando solamente el primer término y refiriéndonos al
centro de la viga, se obtendrá para la flecha el valor
4 qP ElrP
'
Comparándolo con la solución exacta 5
ql* ql* S =
384157 76,8157
se ve que el error cometido al tomar solamente el primer término
es menor en este caso del x/2 Por 1Ó0. La sene trigonométrica (a) es
especialmente útil cuando la viga está sometida a la acción de una
compresión o extensión, además de una carga
transversal. En el caso de la figura 35, la articulación B se apro-
xima a la articulación fija A durante la deformación por flexión en
una cantidad igual a la diferencia entre la longitud de la elástica y
la longitud de la cuerda A B L Para curvaturas pequeñas, esta
diferencia es (véase pág. 170, Primera parte)
1 'W*, \dx}
Dado y por la serie (a), el cuadrado de su derivada
contiene términos de las formas nmn2 nnx m-nx 2 anam ------------------- cos cos • m l* l l
Integrando, se ve que
Cl „ nnx, l p / eos2 ax = / Jo l 2 J0
nnx mrzx , cos cos ax = 0. n ± m.
I l
qP
76,5 El
-Ur
Fig. 35
(56)
* nhr2 „ nnx a eos8 --------------
“ P l
PBOBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 61 Por tanto, ei valor de 1 será
7t2 ^ x = - s «*0l . (57)
4/ n -1
Para calcular los coeficientes av a2, a3 ... de las series (a),
consideraremos el trabajo realizado por las fuerzas exteriores
para un desplazamiento da„ sen desde la posición de equi-
v
librio. En el caso de la figura 35, tanto la fuerza P como las fuerzas
axiales S realizan trabajo. El incremento de A, debido al dan
experimentado por el coeficiente an, será
di = — da„ = — n2audan.
$an 21
Por consiguiente, el trabajo realizado por las fuerzas S vale
7t2
8 — n2a„dan. 21
Este trabajo debe añadirse al (c) correspondiente a la fuerza
transversal y la suma igualarse al aumento de la energía de de-
formación —ecuación (d)—. De esta manera se obtiene
D ncn , „ 7r2 , Ehz* P sen — dan -f- o — n*andan — -------------------
l 21 2 i3
De donde 2 Pl3 1 nnc
an — ------------------------------- sen -—■ • Bit* A . ÍPl l
\ EInV
Si la relación de la carga longitudinal a su valor crítico (véase
pág. 2») se representa por
SU
El Tí2
se obtiene
2 Pl3 1 vno cu = --------------------- — sen — •
Eln4, ri1 (n- — a) l Sustituyendo en la serie (a), la elástica será
52 RESISTENCIA DE MATERIALES
2 Pls I 1 ttc tzx 1 2 7tc 2 rea; \ y = — — / sen — sen -------------------------------- sen ---- sen ------- )-...)
EW\ 1 —a l l 22 (22 —■ a) 1 l I 2 Pl3 * 1 wtcc mtz /KO,
= S ------------- -------------- sen sen (58)
EIiz* n = i n2 (n2 — a) 1 i
Comparando este resultado con la ecuación (54), correspon-
diente a) caso de que actúe solamente la carga P, se ve que la
deformación de la barra aumenta por efecto de las fuerzas de
compresión 8.
Hemos visto que el primer término de la serie (a) representa
una buena aproximación de la elástica; por consiguiente, el au-
mento de flecba producido por las fuerzas axiales variará con la
relación -—-—•
1 — a
Esta conclusión es válida también para el caso de que sean
varias las cargas transversales que actúan sobre la viga o de que
actúe una carga transversal distribuida. Representando por 80 la
flecha máxima producida cuando solamente actúan las cargas
transversales, puede suponerse, con aproximación suficiente, que
bajo la acción combinada de las fuerzas de compresión S y dichas
cargas transversales la flecha máxima es
S = (59) 1 — a
Esta expresión de la flecha máxima puede utilizarse para un
cálculo aproximado del momento flector. Sea, por ejemplo, el caso
de una
piezacon los extremos
articulados y
uniformemente cargada.
El momento flector máximo valdrá, en este caso,
aproximadamente,
- M íS8« ' mor -‘“máx = + ------------------------------------------------------- (uOJ
8 1 — a
Si la fuerza axial es extensora, en lugar de compresora, el
método empleado es válido sustituyendo — a en vez de a en la
expresión de la elástica (58). Tomando solamente el primer tér
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA ELEXTÓN T)E VTGAS 54
mino de esta expresión, la fórmula aproximada que da la
flecha en el centro será
8=-^-, (61) 1 + a
donde §0 representa la flecha producida por las cargas trans-
versales únicamente. Conviene subrayar que en el caso de fuerzas
axiales de extensión a puede ser mayor que la unidad y que el
grado de exactitud de la ecuación aproximada (61) disminuye al
aumentar a. Refiriéndonos, por ejemplo, a una carga transversal
uniformemente repartida, el error de la ecuación (61) para a = 1 es
alrededor del 0,3 por 100. Para a = 2, el error es 0,7 por 100, y
para « = 10 el error se eleva al 1,7 por 100.
En el caso de una pieza con los extremos empotrados se puede
deducir una ecuación análoga a la (61) para el cálculo aproximado
de la flecha en el centro. Dicha ecuación es
Donde 80 es la flecha en el centro producida por las cargas trans-
versales actuando solas y a tiene el mismo significado que an-
teriormente.
Más adelante veremos aplicaciones de estas ecuaciones apro-
ximadas al estudiar la deformación de placas rectangulares. El
método de las series trigonométricas puede emplearse también en
el análisis de vigas de sección variable 20.
20 E] efecto de la fuerza cortante en la deformación de las alas se
desprecia en este estudio.
4
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
8. Flexión de vigas en un piano principal que no es plano de
simetría. Centro de torsión.—Al analizar la flexión pura (véase
página 84, Primera parte), se encontró que el plano de la elástica
coincide con el plano de los pares Sectores siempre que dichos
pares actúen en uno de los dos planos principales de flexión. Esto
no es válido, sin embargo, en el caso de que la viga esté solicitada
a flexión por un sistema coplanar de fuerzas transversales. Si el
plano en que estas fuerzas actúan no es un plano de simetría de la
viga, la flexión viene acompañada de ordinario de una torsión de
la viga. A lo largo de nuestro análisis, veremos cómo esta torsión
puede eliminarse y establecerse una flexión simple mediante un
corrimiento adecuado del plano en que obran las fuerzas
paralelamente a sí mismo.
Comenzaremos por los casos sencillos en los que la sección de
la viga tiene un eje de simetría (eje z) y las fuerzas actúan en un
plano perpendicular a este eje (fig. 36). Sea, por ejemplo, el caso
de la figura 36 (a) y vamos a determinar la posición del plano
vertical para el que, al obrar las cargas, se produce únicamente
flexión de la viga en un plano vertical. De los estudios
realizados sobre la distribución
de las fatigas cortantes
verticales ? (véase página 105,
Primera parte), se deduce que
prácticamente la totalidad de la
fuerza cortante V la equilibran
las alas solamente. Si
consideramos las alas como dos vigas separadas cuyas secciones
tienen momentos de inercia l'z e /”, respectivamente, sus
curvaturas y sus flechas, al flexar, serán iguales si las cargas se
reparten sobre ellas en la relación l't: /" Las fuerzas cortantes en
dichas alas también estarán en la misma relación.
Esta condición se cumple si las cargas transversales obran en
el plano vertical que pasa por el punto 0 —fig. 36 (a)—, tal
que
A K 1'
donde h1 y h2 son las distancias de 0 a los centros de gravedad de
las secciones de las alas. Se ve, pues, que en el caso de alas de
espesor pequeño, el punto 0 no coincide con el centro de gravedad
G de la sección total y que se desplaza hacia el ala cuya sección
Fio. 36
h,
56 RESTRTEXCTA DE MATERTAT.ES
tiene mayor momento de inercia. En el caso límite —figura 36
(b)—, en el que desaparece una de las alas, puede suponerse con
suficiente aproximación que el punto 0 coincide con el centro de
gravedad del ala y que las cargas transversales
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
deben actuar en el plano vertical que pasa por este punto si se
quiere tener solamente flexión. El punto 0, que goza de esta pro-
piedad, se denomina centro de torsión. Consideremos ahora una
sección en U —fig. 36 (c)—, y vamos a determinar la posición del
plano en el que deben actuar las cargas verticales, a fin de
producir únicamente flexión con el eje z como línea neutra.
Veamos la distribución de fatigas cortantes sobre la sección en
la flexión simple. Para calcular las fatigas cortantes verticales ten
el alma, puede utilizarse el método empleado para vigas en 1 (pág.
114, Primera parte) y suponerse con suficiente aproximación que
la fuerza cortante vertical v es absorbida solamente por el alma.
En las alas existen fatigas cortan-
tes horizontales que represen-
taremos por rxz. Para encontrar el
valor de estas fatigas, separaremos
del ala un elemento mediante dos
secciones rectas a distancia dx y
un plano vertical mn m1nl paralelo
al alma (fig. 37). Si la viga flexa
con la convexidad hacia abajo, el
ala superior estará comprimida y las fuerzas de compresión N y N
+ dN que obran sobre el elemento indicado valdrán
+ — dx) N =—f ydA> y N + dN= ' ^—IjydA,
donde la integración se extiende a la porción rayada de la sección
del ala. La integral representa el momento del área rayada
respecto al eje z. La diferencia de las fuerzas N y N + dN debe ser
igual a la suma de las fatigas cortantes zzx que obran sobre la cara
mn m1n1 del elemento. Suponiendo que estas fatigas se
distribuyen uniformemente sobre la cara, y representando por t al
espesor del ala, se obtiene la ecuación siguiente, que sirve para ei
cálculo de , , dM dx C . .
x^tdx = dN = --------- — • — I ydA, dx
FIG. 37
58 RESISTENCIA DE MATERIALES
e ~ V ~ 41 '
De donde
-u
El momento del área rayada es proporcional a la distancia u
desde el borde del ala; por consiguiente, Ta es proporcional a u.
Según se ha visto anteriormente (véase pág. 106, Primera parte),
deben actuar horizontalmente en la sección recta del ala y a lo
largo de la línea nnl unas fatigas cortantes TXZ iguales a las ~zx.
Por consiguiente, las fatigas xa no se distribuyen uniformemente
sobre la sección del ala, sino ~z proporcionalmente a la distancia
u. En la unión del ala y el alma, la distribución - de fatiga
cortante es complicada. Nosotros, en este cálculo aproximado, su-
pondremos que la ecuación (a) es válida desde u = 0 hasta u = b.
Representando por h la distancia entre los centros de gravedad de
las alas y observando que el momento de la sección
recta
bt del ala respecto al eje z es bt\, se deduce, de la ecuación (a), ¿i
La resultante R de las*fatigas cortantes xx sobre
la sección de área bt del ala es
La suma de las fatigas cortantes TXZ que actúan sobre la sec-
ción del ala inferior será, evidentemente, una fuerza igual y de
dirección opuesta. De aquí se deduce que las fatigas cortantes que
actúan sobre la sección en U se reducen a las fuerzas de la figura
38. Este sistema de fuerzas equivale estáticamente a una fuerza V
aplicada en un punto 0 a una distancia del centro del alma:
_ Rk mn
ydA. (a)
T'IG. 38
(b) = (T: zz) máx ' zx/ máx Vbh
2 /. ‘ distribuidas
Vb*h
t 4:1,
*
Vbh
2L
bt
2 ' R {c)
PBOBLEMAS especiales ex la flexióx de vigas 59
Por consiguiente, si se quiere obtener flexión simple con el eje
3 como línea neutra, es necesario que el plano vertical que
contenga las cargas transversales pase por el punto 0, denominado
centro de torsión. Para cualquier otra posición de este plano, la
flexión de la viga viene acompañada de torsión y las fatigas no
siguen la sencilla ley por la que a t es proporcional a y y, por tanto,
es independiente de la coordenada z. En el caso
de un angular (fig. 39), la fatiga cortante t en puntos a lo largo ae
mu tiene la dirección de la figura y vale 21
donde la integral representa el momento del área rayada respecto
al eje z. Estas fatigas cortantes dan una resultante de la dirección
señalada en la figura 39 (6) y de valor
3/.V2*
Una fuerza del mismo valor se obtendría para el ala inferior.
La resultante de estas dos fuerzas es igual a V y pasa por el punto
21 El problema de la determinación del centro de torsión ha sido
estudiado por diversos autores. Véanse, por ejemplo, A. A. Griffith y G. I. Taylor, Technical Reports of the Advisory Committee for Aero- nautios, Inglaterra, vol. 3, pág. 950, 1917; R. Maillart, Schweiz. Bu>tr., vol. 77, pág. 197; vol. 79, pág. 254, y vol. 83, págs. 111 y 176; C. Weber, Zeitschr. f. angew. Math u. Mech., vol. 4, 1924, pág. 334; A. Eggensch- wyler, Proc. of the Second Internat. Congress for Appl. Mech., Zurich, 1926, pág. 434. Ultimamente ha crecido la importancia del problema en el proyecto do aviones. La nota bibliográfica correspondiente figura en la publicación de P. Kuhn, Techn. Notes, Nat. Adv. Comm., núm. 691.
Fio. 39 Fio. 40
60 RESISTENCIA DE MATERIALES
de intersección de las líneas medias de las alas 0, que en este caso
es, por consiguiente, el centro de torsión.
En el caso de una sección en Z (fig. 40), suponiendo flexión
simple en un plano vertical y procediendo como en el caso de
sección en u, encontraríamos que las fuerzas cortantes R tienen
en ambas alas la misma dirección. Su resultante pasa, por con-
siguiente, por el centro de gravedad C. Sumando vectorialmente a
esta resultante la fuerza cortante vertical V, se obtiene la di-
rección del plano inclinado en el que deben aplicarse las fuerzas
transversales para producir flexión simple de la viga en el plano
vertical. El punto C es, en este caso, el centro de torsión.
Suponiendo que las secciones analizadas pertenecen a vigas en
voladizo empotradas por un extremo y cargadas en el otro con una
fuerza concentrada P, puede deducirse que si la carga P se aplica
en el centro de torsión, produce flexión del voladizo sin torsión
alguna. Mediante el teorema de reciprocidad de los trabajos (véase
pág. 324, Primera parte), se deduce que si se aplica un par torsor
en el mismo extremo de la viga y en un plano perpendicular al eje
del voladizo, no se produce durante la torsión flecha alguna del
centro de torsión. Por tanto, durante la torsión cada sección recta
de la viga en voladizo gira con relación al eje que pasa por el
centro de torsión y es paralelo al eje de la viga.
El método expuesto para la determinación del centro de torsión
en los casos sencillos examinados puede generalizarse y
extenderse a secciones asimétricas formadas por elementos de
pequeño espesor, con tal de que dicho espesor sea lo suficiente-
mente pequeño y, por tanto, pueda admitirse con exactitud que la
distribución de fatigas cortantes a lo largo de dicho espesor es
uniforme h
. En el artículo 53 (pág. 296) se hará un estudio más detenido de
este problema.
Cuando todas las dimensiones de la sección son del mismo
orden, el problema de la determinación del centro de torsión es
PROBLEMAS ESPECÍALES E\T LA ELEXTÓX DE VTGAS 61
mucho más complicado; la solución exacta de este problema se
conoce en solamente pocos casos L
9. Anchura efectiva de alas delgadas.—La fórmula de la
flexión simple (véase ecuación 55, pág. 86, Primera parte) muestra
que las fatigas de flexión en una viga son proporcionales a la
distancia del punto considerado al eje neutro. Esta deducción es
correcta en tanto que nos refiramos
a vigas en las que
las dimensiones de la sección
recta son pequeñas comparadas
con su longitud y estudiemos
puntos a considerables distancias
de los extremos.
En las aplicaciones prácticas
se usan con frecuencia vigas con
alas anchas, para las que la
fórmula de la flexión simple no puede aplicarse con suficiente
exactitud. Sea, por ejemplo, el caso de una viga apoyada en los
extremos y cargada en su plano central xy. La viga consta de un
nervio y de un ala ancha (fig. 41). Se observa que existen fatigas
cortantes que obran entre las alas y el nervio en las superficies de
unión mn —fig. 41 (a)— y dirigidas como indica la figura 41 (ó). Se
ve que estas fatigas tienden a disminuir la deformación del nervio;
es decir, a hacerle más rígido. Al mismo tiempo producen
compresión en las alas. Considerando el trozo de ala a un lado del
nervio, como una placa rectangular sometida a la acción de
fuerzas cortantes a lo largo de un borde —fig. 41 (c)—, se ve que
las fatigas de compresión no se distribuirán uniformemente sobre
el ancho del ala y un estudio detenido muestra 22 que la
22 El estudio de la solución rigurosa, obtenida por Th. von Kar-
man, puede verse en l'heory of Elasticity, pág. 156, Í934. Véanse también
-i 1 j m
-d T~ A~~l
m 1 f
(a) t
1 >
< '//AA/A/A/S/AA 1 ‘Án 1 L ' _i—í
t t 1
( 1 X
1 TrnÍTfíí ItíTrnT
l-A.-j t
1 1 \ 1 1
{-A.-j 1 t t 1 1 1
l
Fia. 41
62 RESISTENCIA DE MATERIALES
distribución es la que indica el área rayada, en la que la fatiga
máxima en el ala es igual a la que corresponde a las fibras de la
cara superior del nervio.
W. Metzer, Luftjahr. Forschung, vol. 4, pág. 1, 1929; K. Girk- mann, Der Stahlbau, vol. 6, pág. 98, 1933; N.Keissner, Z. angew. Math.Mech., vol. 14, pág. 312, 1934; E. Reissner, DerStahlbau, vol. 7, pág. 206, 1934; E. Chwalla, Der Stahlbau, vol. 9, pág. 73, 1936.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
De esta variada distribución de la fatiga se deduce que para
aplicar a la viga de la figura 41 (a) la fórmula de la flexión simple,
debe usarse una anchura reducida 2 Xx, en lugar de la real 2 b de
las dos alas, si se quiere obtener un valor correcto para la fatiga
máxima. Esta anchura reducida se denomina corrientemente
ancho efectivo y puede calcularse si se conoce la distribución de
fatigas representada por el área rayada de la figura 41 (c). Basta
para ello igualar el área del rectángulo dibujado de trozos en la
figura al área rayada. Su valor 2 \ varía corrientemente a lo largo
de la luz de la viga; depende de las dimensiones de la viga y
también de la forma del diagrama de momentos flectores.
En el caso particular de que el ancho del ala sea muy grande
(por ejemplo, 2 b 7 l) y el diagrama de momentos flectores esté
dado por ia curva sinusoidal
M = M¡ sen (a)
la anchura reducida es constante e igual a
21x = — ,
7t(l + (JL) (3 ------------------------- (i)
donde p. es el módulo de Poisson. Para p = 0,3 se obtiene
2X* = 0,363 l. (63)
Por tanto, en este caso particular, la viga real puede susti-
tuirse por una viga en 1 equivalente de sección constante y en la
que el ancho del ala es 0,363 1. Aplicando a esta viga las
64 RESISTENCIA DE MATERIALES
fórmulas de la flexión simple se obtiene la misma fatiga máxima y
la misma rigidez a la flexión que corresponde a la viga real.
En el caso de carga transversal cualesquiera, el diagrama de
momentos flectores puede representarse por una
serie de senos:
Mr = hMn sen
donde los coeficientes Hn pueden calcularse mediante las co-
nocidas fórmulas 23
Mn = - f Mx sen —dx. IJo l
Por ejemplo, en el caso de carga uniforme, se tiene
23 Véase artículo 7.
nnx ~T‘
(b>
(c)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
qx(l — x) 2
4# Mn = -
nó
donde n — 1, 3, 5 ...
Conocidos los coeficientes Mn de la serie (b), se obtiene la
anchura efectiva mediante la solución rigurosa; la que, en el caso
de alas de gran anchura, da
ti donde 0 = ¡-r es la relación del área ti al área de la sección del
dh nervio, y
k = (x + ^ <3 ü) = 0;878 para ^ = o,3. 4
Tomando, por ejemplo, el caso de una carga uniformemente
distribuida y sustituyendo, en lugar de Mn, en la fórmula (64)f
y la fórmula (c) da (d)
Mr (64) — 4
2X, mzx T M„ sen
S n = 1, 3, 5, ...
4 + - rnz P
66 RESISTENCIA DE MATERIALES
el valor (d), se ve que para diversos valores de ¡3 la variación del
ancho efectivo a lo largo de la luz de la viga es la indicada en la
figura 42. Se observa que en la porción central de la luz el ancho
efectivo varía muy lentamente y es, aproximadamente, el mismo
que el correspondiente a un diagrama de momentos flectores
sinusoidal (véase ecuación 63). Conocido el ancho efectivo por la
fórmula (64), la fatiga máxima y la flecha máxima se
calculan aplicando las fórmulas de
la flexión simple a la viga
equivalente.
Hemos analizado el caso en
que las alas de la viga tienen una
gran anchura. Existen también
soluciones rigurosas para el caso
de que las alas no sean muy
anchas y para el caso de una placa rectangular reforzada por un
sistema de nervios iguales y equidistantes. En todos estos casos, el
problema se reduce al cálculo de fatigas y deformaciones de la viga
equivalente 24.
10. Limitaciones del método de superposición.—Al estudiar la
flexión de vigas (véase pág. 138, Primera parte), se vió que el cálculo
de las' deformaciones puede simplificarse en alto grado utilizando el
método de superposición. Este método se aplica siempre que la
flexión de la viga no introduzca modificaciones en el modo de actuar
las fuerzas exteriores. Por ejemplo, las pequeñas flechas que las
cargas transversales producen en una viga no modifican los
diagramas de momentos flectores de estas cargas y el método de
superposición se puede aplicar de modo sucesivo. Pero si tenemos
flexión combinada con extensión o compresión axial, la deformación
producida por las cargas transversales modifica la acción de las
fuerzas axiales y estas últimas
24 Estas soluciones exactas son de aplicación en las instrucciones
para el cálculo de losas de hormigón reforzadas con nervios. En el pro-yecto de aviones la distribución variada de las fatigas en las alas anchas se tiene en cuenta mediante una teoria aproximada, cuyo análisis puede verse en las publicaciones de P. Kuhn, National Adv. Com- mittee for Aeronáutica Reporta, núin. 608, 1937; núm. 636, 1938. Véase también lí. Ebner, Lutfhahrt-Fortschuny, vol. 14, pág. 93, 1937, y volumen 15, pág. 527, 1938.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
producen, además de extensión o compresión axial, una flexión
adicional de mayor o menor importancia. En estos casos (véase
artículo 4.°) existen limitaciones para el método de superposición.
Puede usarse este método únicamente con relación a las cargas
transversales, suponiendo que la fuerza axial permanece siempre
presente. Hay otros casos en los que las pequeñas deformaciones de
las vigas pueden introducir cambios conside-
rables en la acción de las fuerzas. En estos casos,
ei método de superposición falla. A conti- ^
nuación examinaremos algunos
casos de esta naturaleza. fí
Como primer ejemplo, consi- -
Fia. 43
deraremos la flexión de un voladizo AB (fig. 43), que durante la
flexión toma contacto gradualmente con una superficie cilindrica
rígida AC, que le sirve
de apoyo. La curvatura constante de esta superficie es y en A tiene
una tangente horizontal.
Se ve que mientras la curvatura de la viga en el extremo A, dada
por la fórmula
1 _ M _ Pl r~ El,
ElJ
es menor que la curvatura del apoyo, el voladizo toca a la superficie
AG en el punto A únicamente, y la. flecha § en el extremo B viene
dada por la conocida fórmula p73
S = —. (b) 3 El,
De la ecuación 1 Pl 1 , , - = — = — (c) r El, R '
puede obtenerse el valor límite de la carga P, para el que la viga
empieza a tomar contacto con la superficie cilindrica que
El la sirve de apoyo más allá del punto A. Sea Pí = -j—, este va
£ i • h-
68 RESISTENCIA DE MATERIALES
lor límite de la carga; por consiguiente, para P > Px un trozo AD de la viga apoyará tal como se indica con la línea de trazos en la figura 43. La longitud x de la parte libre del voladizo se obtiene
estableciendo que la curvatura - en D es igual a la de la super- r
ficie sustentadora; por consiguiente,
Px
El] R
y se obtiene
Elt — w
La flecha total en el extremo B del voladizo consta de tres partes:
1.a Flecha de la parte DB de la viga como un voladizo simple. Su
valor es
= w. 3 Elt 3 P2R3 W
2.a Flecha debida al giro en D,
x{l ~ x) EIt f EIt\ Sí-~ir=Rm{l~PBr {,)
Y 3.a La flecha que representa la distancia del punto D a la tangente
horizontal en A.
„ü — x? /, EIÁ2 1 8 - ~ V L = l ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (g)
3 2 R \ PRJ 2 R Vi"
Sumando las tres partes, se obtiene para el valor de la flecha
total * „ * . 1 (El;)2 8 = 8, +8, + 8.-» W
i -r z t s 2R 6 p2^3 \ )
Se ve ahora que cuando P > Pv la flecha no es proporcional a P.Si
además
de
P, existe otra
carga Q aplicada
en
el
extremo
B
del voladizo,
la flecha
PROBLEMAS ESPERTALES EX LA FLEXIÓN OE VTGTAS 69
total
no será igual a
la
suma de
las flechas producidas por P y por Q si ambas se consideran que
actúan solas. Por consiguiente, el método de superposición no es
válido en este caso.
70 RESISTENCIA DE MATERIALES
Como segundo ejemplo, consideraremos el caso de una viga
uniformemente cargada con los extremos empotrados (fig. 44). Se
supone que durante la flexión la parte central de la viga se apoya
sobre una fundación horizontal rígida, de modo que a lo f
largo de dicha parte la flecha es ¿
constante e igual a 8. Se ve que
si la flecha en el centro es menor p1(, 44
que 8, estaremos en el caso ordinario de flexión de una viga de
extremos empotrados. El valor límite de la carga se obtiene de la
conocida ecuación
-i. = S. (i) 384 EIt
Si la intensidad de la carga es mayor que qv una parte de lí, viga
apoyará en la fundación en la forma indicada en la figura. En esta
parte la curvatura es nula ; por lo que deducimos que también será
nulo el momento flector en el trozo de viga CD, y la carga se
equilibra por la reacción uniformemente distribuida. En los
extremos G y D no existirá más que una fuerza cortante X. La
longitud a de los trozos de la viga que no apoyan y el valor de X
puede encontrarse considerando el trozo AC de la viga como un
voladizo solicitado por la carga uniforme y por la fuerza concentrada
X aplicada en su extremo. Observando que la sección en C no debe
girar en la deformación y que su flecha debe ser 8, y empleando las
ecuaciones (94) y (100) de la Primera parte (véanse págs. 141 y 143),
se obtiene
qaá Xa25
6EIZ 2 El,
de donde
25 Encontrar la expresión de la flecha en el centro de una viga
apoyada en dos superficies cilindricas idénticas, de radio P, y cargaba
en el centro (fig. 45).
Solución: A medida que la carga P aumenta, los puntos de con
tacto de la viga con las superficies de apoyo se mueven hacia dentro y la
luz disminuye; por consiguiente, la flecha aumenta en menor pro-
porción que lo hace la carga P.
El ángulo a, que define la posición de los puntos de contacto, se
encuentra por la condición de que en esos puntos la elástica ha de ser
c b
PROBLEMAS ESPERTALES EX LA FLEXIÓN OE VTGTAS 71
3
Calculando ahora la flecha, tendremos
qai Xa3
= S. (k) 8 El, 3 El,
RüSTSTlBlfOTA T>« MATBBIALB8,—T. II
72 RESISTENCIA DE MATERIALES
Resolviendo las ecuaciones (j) y (k), será
a = y'ZX = ^- 8 EIzq\ (l)
Se ve inmediatamente que la reacción X no es proporcional a la
carga. El momento flector máximo en valor absoluto acontece en los
extremos empotrados y es
\Ma\=\Mt\=^-Xa, &
o sea,
M. = ^ = V2BE7J. M 6
Nuevamente se ve que el momento flector no aumenta en la
misma proporción que la carga. Es decir, el método de superposición
no puede aplicarse.
Problemas
1. Encontrar la flecha del voladizo de la figura 43, si en lugar de la
fuerza P está solicitado por una carga uniforme de intensidad q.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
P(l — 2 Rol)* Rol* 48 EIt + 2
'
3. Resolver el problema anterior, suponiendo que la viga está
empotrada en los puntos A y B.
4. Resolver el problema 2, si la carga no está en el centro de la luz
A B.
6. Una viga uniformemente cargada se apoya sobre una funda
ción horizontal rígida (fig. 46). Hallar el ángulo *, que gira el extremo A,
y la longitud x, flexada cuando se aplica el momento Ma en el extremo.
Solución: La longitudx seencuentrapor la
ecuación
qx* M0x 24 El 6 El'
El ángulo de rotación en el extremo A es
Mux qx? “ 3 El 24 Eí .
CAPÍTULO II
P I E Z A S C U R V A S
11. Fatigas de flexión en barras curvas.—En el estudio que sigue
supondremos que la línea media 1 de la pieza es una curva plana y
que las secciones rectas de la barra tienen un eje de simetría en este
plano. La pieza está solicitada por fuerzas situadas en este plano de
simetría. Consideraremos primeramente el caso de una barra de
sección constante en flexión pura, producida por pares aplicados en
los extremos (fig. 47). La distri
tangente a las superficies de apoyo; por tanto, para pequeños vaio-
Conocido a, la flecha en el centro será
Fia. 46
bución de fatigas en este caso se obtiene utilizando la misma
hipótesis que en el caso de piezas rectas; es decir, que las secciones
rectas de la pieza primitivamente planas y normales a la línea
media de la barra quedan en estas condiciones después de la flexión a. Sean ab y cd dos secciones rectas de la barra infini-
1 La línea media es la línea que une los centros de gravedad de las distintas secciones de la barra.
! Esta teoría uproximada fuó desarrollada por H. Rósal, Aúnales des Mines, pág. 617, 1862, y por E. Winkler, Der Civilingenieur, vo!. 4, pág. 232, 18o8, véase también su libro Die Lehre von der Elostizüát und
FIE ZAS CURVAS 75
tamente próximas y representemos con dtp el ángulo que forman antes de la flexión. Al flexar la pieza la sección cd gira respecto a la ab. Representemos con Ad<p este ángulo de rotación. Las fibras longitudinales del lado convexo de la barra estarán comprimidas y las del lado cóncavo, extendidas. Si n — n representa la superficie neutra, la extensión de una fibra situada a la distancia 1 y de esta superficie es yAd<f y el alargamiento unitario sera
yAdy (a)
{r — y)dip
donde r representa el radio de la superficie neutra y el denominador
de la ecuación (a) es la longitud de la fibra entre las dos secciones
consideradas antes de la flexión. Suponiendo que no hay acción
lateral entre las fibras longitudinales 26, la fatiga de flexión a la
distancia y de la superficie neutra será
(t¡
(r—y)<b
Se ve que la distribución de fatigas no sigue upa ley lineal, como
en el caso de piezas rectas, sino que sigue la ley hiperbólica que
muestra la figura 47 (c). Como la suma de las fuerzas normales
distribuidas sobre la sección debe ser nula, se deduce que la línea
neutra no pasa por el centro de gravedad y está desplazada hacia el
centro de curvatura de la pieza. En el caso de una sección
rectangular, el área rayada —fig. 47 (c)— ex-
26 La teoría exacta muestra que existe cierta presión radial, pero
que no tiene efecto apreciable sobre la fatiga ox y puede, por tanto, despreciarse.
La presión lateral en dirección perpendicular al plano de curvatura puede tener importancia en el caso de ñexión de placas (véase artículo 20).
76 RESISTENCIA DE MATERIALES
(65)
tendida debe ser igual a la comprimida, por lo que en el lado
cóncavo de la pieza actuarán fatigas de flexión más elevadas. Para
lograr la igualdad de fatigas para las fibras más alejadas de las
dos zonas es necesario utilizar formas que tengan el centro de
gravedad más próximo al lado cóncavo de la barra.
La ecuación (ó) contiene dos incógnitas: el radio r de la su-
perficie neutra y el ángulo A<¿9 que representa el desplazamiento
angular debido a la flexión. Para determinarlas, emplearemos las
dos ecuaciones de la estática. La primera ecuación expresará que
la suma de las fuerzas normales ligadas a la sección es nula. La
segunda equivaldrá a la condición de que el momento de dichas
fuerzas normales es el momento flector M. Las ecuaciones son:
(d)
La integral en ambas ecuaciones se extiende al área total de la
sección recta. La integral de la ecuación (d) se simplifica del modo
siguiente:
La primera integral del segundo miembro de (e) representa el
momento del área de la sección recta respecto a la línea neutra, y
la segunda, como indica la ecuación (c), es nula. Por consiguiente,
(/)
donde c representa la distancia de la línea
neutra al centro de gravedad de la sección.
La ecuación (d) será entonces y la ecuación (6) da
EAdy _ M
d(p Ae My
PIEZAS CURVAS 77
Las fatigas en las fibras más alejadas, que son las máximas,
valen
/ v Mh-i / V JMJln (er27)máx = -—y K)míu = ------------------------------------------------------------------------------------ (66)
Aea Aec
donde h, y h2 son las distancias de la línea neutra a las fibras más
alejadas y a y c los radios interior y exterior de la pieza. El radio r
se determina por la ecuación (c). De este cálculo veremos varios
ejemplos en el artículo siguiente.
Si la altura de la sección recta es pequeña comparada con el
radio R de la línea media de la barra, y puede despreciarse
comparada con r en las ecuaciones (c) y (d). Por consiguiente, de la
ecuación (c) se obtiene
jydA =0,
es decir, la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la
sección. Mediante la ecuación (d),
= (h) d<p R W
Sustituyendo en la ecuación (ó)
My
Por consiguiente, en el caso de una altura relativamente pequeña, la distribución de fatigas ílectoras ax se aproxima a la
ley lineal y la ecuación empleada para piezas rectas es válida
también para piezas curvas.
De 1a ecuación (h), en el caso de piezas delgadas, se
obtiene
. 7 MRda> Mds Adro =~ = , El, El,
donde ds representa el elemento de la línea media comprendido
entre dos secciones infinitamente próximas. Esta ecuación es
análoga a la ecuación (a), (pág. 139, Primera parte), para barras
rectas, y se usa corrientemente para el cálculo de deformaciones
27 Esta hipótesis está de acuerdo con la solución exacta
correspondiente a una sección rectangular estrecha; véase Theory oj Elastictly, página 73, 1934.
(67)
78 RESISTENCIA DE MATERIALES
(65)
en piezas curvas delgadas.
En un caso más general, cuando la pieza curva está sometí-
79 RESISTENCIA DE MATERIALES
da a la acción de un sistema coplanario de fuerzas en el plano
de simetría de la pieza, las fuerzas que obran a uno de los lados de
cualquier sección pueden reducirse a un par y a una fuerza apli-
cados en el centro de gravedad de la sección. Las fatigas produ-
cidas por el par se obtienen del modo explicado anteriormente. La
fuerza se descompone en dos: una fuerza longitudinal N en la
dirección de la tangente a la línea media de la pieza y una fuerza
cortante V situada en el plano de la sección recta. La fuerza
longitudinal produce fatigas de extensión o compresión
uniformemente distribuidas sobre la sección recta e iguales N a —. Debido a estas fatigas, la línea media de la barra expe- A
rimenta alargamiento o contracción y el ángulo d<j> entre las dos
secciones adyacentes varía en la cantidad
La fuerza transversa] V produce fatigas cortantes y la dis-
tribución de estas fatigas sobre la sección es la misma que en las
piezas rectas b
12. Casos particulares.—Se ha visto en el artículo anterior
(ecuación 66) que las fatigas de flexión en
las piezas curvas se
calculan fácilmente
J con tal de que se
conozca la posición de la
línea neutra.
A continuación veremos varios casos
particulares del cálculo de la distancia e de
la línea neutra al centro de gravedad de la
sección.
Sección rectangular.—El valor del radio r de
la superficie neutra se determina por la
ecuación (c) del artículo anterior, de la que
[ y ±i = o. J r — y
Nds
AE
l ~R
Ajácp = (68)
Fio. 4 8
a)
80 RESISTENCIA DE MATERIALES
(73)
Representando con v (fig. 48) el radio del elemento rayado dA, se
tiene v—r— y o y — r — v.
Sustituyendo en la ecuación (a) '{r
— v) dA r = 0,
de donde
A rdA r =
(69)
En el caso de la figura 48, A = bh, dA = bdv, y la integral se
extiende desde v — a a v — c, siendo o y c los radios interior y
exterior de la pieza curva.
Sustituyendo en la ecuación (69), tendremos
bh h
r = íe bdv la V
(70) l°gn -
a Utilizando conocidos desarrollos en serie
B +
l h log„ log„ log„
R
(b)
se tiene
R R — r —R —
1 /A\2 1 ( M4 i
3I2W 5\2i¿; 1
Una primera aproximación para e se obtiene tomando solamente
dos términos en el denominador del segundo miembro. Tendremos
PIEZAS OTTRVAS 81
1 h2
Utilizando tres términos de las series (6), se
obtiene, en segunda aproximación
(72)
Se ve fácilmente que la distancia e de la línea neutra al cen-
tro de gravedad disminuye a medida que la relación decrece.
Para valores pequeños de esta relación, la distancia e es pequeña
y puede suponerse con bastante aproximación que la distribución
de fatigas sigue una ley lineal en lugar de la hiperbólica. En la
tabla siguiente se comparan los valores obtenidos para la fatiga
máxima, suponiendo leyes de distribución lineal e hiperbólica
(ecuación 66). TABLA IV
COMPARACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE FATIGA LINEAL E HIPERBÓLICA
n
Se ve que para > 10 puede suponerse lineal la distribución de
fatigas y aplicar con suficiente aproximación las fórmulas de
piezas rectas.
Sección trapezoidal.—La longitud de una tira eiementai si-
tuada a la distancia v del eje 0-0 (fig. 49) es
6 = 6f + (&1_6i)ÍLIi?. c — a
Sustituyendo en la ecuación (69), se obtiene A A
J bdv
h* 12 R
Distribución de fatiga hiperbólica Distribución de fatiga lineal ¡ Error en am4x debido j a suponer la ley lineal
I Vmáx ttmín
M M M 3 1 Por cien!'' A R A R A R A R
i 9,2 -4,4 6 — 6 35 2 14,4 — 10,3 12 — 12 17 3 20,2 — 16,1 8 — 18 10,9 4 26,2 — 22,2 1 24
— 24 9,2
10 62,0 — 58,0
60 — 60
3,2
r — b,c — ó»a , c
iog„ - h a
(b i — bz)
PIEZAS CTTRVAS 7B
filando bl = bt = b, la ecuación anterior coincide con la ecuación
(70), correspondiente a un rectángulo. Cuando bt = 0, ee obtiene el
caso de una sección triangular.
Sección en T.—En este caso, la ecuación (69) da (fig.
50)
r = Vi + Va _ Vi + Va
a í*dv 1 a íedv ai d 1 a 1 c
M - + M - Ój logn- + óülogn- J a V J a V a d
Sección en I.—De la ecuación (69) (fig. 51), Vi
+ V2 + Va
r = ¿>1 log„ - + ó2 log„ ? -f ó3 log„ - ad g
se ve que escogiendo convenientemente las dimensiones en el caso
de secciones en T y en I, puede lograrse
situar el centro de gravedad de modo que
las ecuaciones (66) den el mismo valor
numérico para amix y amm
Este dimensionamiento es aconsejable en
materiales tales como el acero, que resisten
de igual manera a extensión y compresión.
Hasta ahora, la distancia e del centro de
gravedad a la línea neutra se ha obtenido
por la diferencia R
ve el valor de e decrece, y para, determinarle con aproximación
suficiente es preciso calcular con gran exactitud. Para salvar esta
(74)
(75)
h
r. A medida que -5 disminuir
-
f u
— C
1 . r «[ c
i—*,—• 1*
Pío. 50
—
_C fT ó
1 f,
TI
45-
1 Q
c
H
11
FIG. 51
76 RESISTENCIA DE MATERIALES
dificultad y obtener e directamente, se emplea el método siguiente.
Sea y í la distancia de cualquier punto de la sección al eje que
pasando por su centro de gravedad es paralelo a la línea neutra. Se
tendrá yx — y -j- e, y la ecuación (a) que da la posición de la línea
neutra podrá escribirse
CiVi — e)dA _ Cjh'lA _ g í dA __ ^ J R — y\ J B — yi J R — y^
La primera integral del segundo miembro representa un
área y puede escribirse como sigue en función del área A de la
sección
VldA = mA, (d) R — Vi
donde m representa un número a determinar en cada caso par-
ticular.
La segunda integral del segundo miembro de la ecuación (c)
puede transformarse
f-AL. = L f/i +. -J>±^\dA=*-(l + m).
J R~y, Rj\ R — yj A Sustituyendo (d) y (e) en la ecuación (c), se obtiene
R de donde
e = 7 í - A L _ . (76) 1 -f- m
Para calcular m en la ecuación (dj, se desarrolla en serie el 1 le)
factor a - » , ’
—3— = ’ ( i + -,J + -1 + ■•■)•
R—yx R\ R R¡¡ I
(O
h
PIEZAS CITRVAS 77
■V\ Por tanto,
f { L + R + R + - h d A ‘ ^
1 . v, í/? m =
AR
78 RESISTENCIA DE MATERIALES
Fea, por ejemplo, una sección rectangular A — bh,dA = bdyx y
sustituyendo en (77),
I f ! ( 1 + » . + 2 d + J
2
i (Ar + . . 7\2 Rj
m
Esta serie es muy convergente y m
puede obtenerse con gran aproximación.
Sustituyendo m en la ecuación (76), se obtiene la distancia e. En el
caso de una sección circular (fig. 52), Fio. 52
JA = - y\dyx
Sustituyendo, en la ecuación (e),
de donde, desarrollando en serie
/ h2 \2 ]/ h2
\a
U-B2/ 16 \4iü2/
y se obtiene
l t h \ * 5 / h + - ( — ) + - ( - - ) + - (78)
8\2 R! 6 4 \ 2 R!
Serie muy convergente, por la que m puede calcularse có-
modamente. Sustituyendo m en la ecuación (76), se obtiene la
posición de la línea neutra. Se observa que al calcular m por la
ecuación (e), el valor de m no cambia si todos los elementos dA se
D:\
= 1 / A \ 2 + I / l i 4 + 3 \2i?/ 5\2Rf
(/)
A
B f R2 + m) — 2 (g)
“ y\dv i i —-------- --- 2711R — — 2/i \
1 h2
2 4fí2
5 / \4
128 \4 i¿2, 1 / h
\ 2 m = - | — 4 \ 2 Ü
/
PIEZAS CITRVAS 79
multiplican por una constante, ya que tanto la integral del primer
miembro de la ecuación (e) como el área A del segundo miembro de
la misma ecuación crecen en la misma proporción. Pe aquí se
deduce que el valor (78) obtenido para m en una sec
80 RESISTENCIA DE MATERIALES
ción circular puede utilizarse en una elipse de ejes h y hv puesto
que en este caso cada área elemental (/) puede obtenerse de la
correspondiente del círculo multiplicándola por la relación cons-
tante
h
El cálculo de la integral que figura en el primer miembro de la
ecuación (e) puede simplificarse a veces dividiendo la sección en
varias partes, integrando para cada parte y sumando los re-
sultados de las integraciones. Sea, por ejemplo, una sección en
forma de anillo circular, de diámetro exterior Ti e interior á,.
Empleando la ecuación (<7) para los círculos exterior e interior,
obtendremos para la sección anular
h ’ — h ’ f UU-W 8U B l 1
- « í + s f e ) V - - j r
De modo análogo pueden hallarse fórmulas para las secciones
de las figuras 50 y 51.
Calculado m, se halla e por la ecuación (70), y las fatigas má-
ximas por las ecuaciones (66).
Si, siguiendo el camino emprendido, sustitu’'mos y por el valor
?/j — e en la ecuación (g) (pág. 70), se obtiene
at = KíUlZZlL = /-^l- —1\, (80) Ae(R— í/j) AR \mv f
donde v es la distancia desde el punto considerado al eje que pasa
por el centro de curvatura del eje de la barra (fig. 48).
La ecuación (d) sirve de base para una determinación gráfica
de la cantidad m en los casos en que la forma de la sección no
tiene una expresión analítica sencilla. Se ve que para calcular el
área modificada de la ecuación (d), cada área elemental se
reduce en la relación -=-^1—. Esta reducción puede hacerse! R~Vx
conservando el ancho de las tiras elementales y disminuyendo su
longitud en la relación expresada (fig. 53). De este modo, se
obtiene el área rayada de la figura.
PrEZAS CURTAS 81
La diferencia entre las áreas CDF y ABO da el área modi-
ficada mA. Conocida ésta, pueden calcularse fácilmente m ye.
La teoría de las piezas curvas desarrollada se aplica al pro-
yecto de ganchos x. En la figura 54 se ve la parte que trabaja en un
gancho de sección circular constante. Se
supone que la fuerza vertical P pasa por el
centro de curvatura del eje del gancho. Las
fatigas máximas de flexión acontecen en la
sección recta per
pendicular a la carga P. Procediendo como se ha indicado en el
artículo anterior, se ve que en la sección horizontal del gancho
obran una fuerza extensora P centrada y el momento flector M
PR. Combinando las fatigas de ambas clases y utilizando la
ecuación (80) para las de flexión, se obtiene
, = *Ll3L l. A AR \mv
Aplicando esta fórmula para los puntos más alejados, en los
que í/j == di ^ se encuentra que
1 Recientemente han sido hechas investigaciones teóricas y expe-
rimentales sobre ganchos por el National Physical Laboratory de In-glaterra. Véase la publicación de H. J. Gough, H. L. Cox y D. G. Sop- with, Proc. Inst. Mech. Engrs., diciembre, 1934. La comparación de las fatigas teóricas en ganchos de sección rectangular con resultados experimentales ha sido publicada por K. Bbttcher, Forsohungaarbeiten, Heft 337, Berlín, 1931.
P (ax)m&x — ~
A
h (^z)mín — (81)
A $ m{E + 1
h
82 RESISTENCIA DE MATERIALES
Se ve que la fatiga mayor en valor absoluto acontece en el P
intradós, es de extensión y se obtiene multiplicando la fatiga -j por ei
factor de fatiga
k = ---------------- • (82)
**■(*-1
euva magnitud depende de la relación —•
Jj Xt Utilizando para m la expresión (78), se ve que Je varía de
13,5 a 15,4 cuando la relación lo hace de 0,6 a 0,4 2 K
Problemas
1. "Determinar la relación de los valores absolutos de amáx y <imIn en una
pieza curva de sección rectangular, solicitada a flexión pura, si R = 12,5 era. y h
=> 10 cm. ^
Solución: Deducida de la ecuación (66), la relación es ~ . La dis- fl-yCt
tancia de la linea neutra al centro de gravedad, ecuación (72), es 10
I". 4 /10\* [ X 15(25)
por tanto, k, = 5 — 0,695 = 4,305 cm.; = 5 + 0,695 = 5,695 , 4,305 x 17,5
La relación anterior es ■ _ = 1,75. 5,695 X 7,5
2. Resolver el problema anterior, suponiendo circular la sección. Respuesta:
e = 0,52 cm; ^ ^ = 1,89. OmlnUjü» dd
3. Determinar las dimensiones b, y bt de la sección
en I de la figura 61, tales que y crmín tengan el mismo valor absoluto al
solicitar la pieza a flexión pura. Datos: /, = 2,5 cm., /? = 6 cm., ft = 2,5 cm., o = 7,5
cm., bt = 2,5 cm., 6, + bs = 12,5 cm.
Solución: Por las ecuaciones (66),
h, h. r — a o — r — = — o sea, --------------------------- = --------- , a c a e
1 Para = 0,6 el factor h toma su valor mínimo. ¿t Ib
= 0,695 cm. 10 X 12 X 12,5
PTEZAS CURVAS 83
de donde
_ 2a c 2 X 7,5 X 17,5
a + c 7,5 -f- 17,5
Sustituyendo en la ecuación (75),
43,75 10,5 =
K logB + 2,5 log„i? + (12,5 - bx) logn ]^5
de donde b, = 9,17 cm: b3 = 12,5 — 9,17 = 3,33 cm.
4. Determinar la dimensión b1 de la sección en T de la figura 50,
de modo que a11)áx y crmfn sean iguales en valor absoluto en el caso de
flexión pura. Datos: /, = 2,5 cm., /2 = 7,5 cm.,
6, = 2,5 cm., a = 7,5 cm.
Respuesta: 6] = 7,72 cm.
5. Determinar amáx y amín para la sección
trapecial mn del gancho de la figura 55, si P = 2,250
kg. bj = 4,06 cm., b.¿ = 0,94 cm., a — 3,12 cm., c = 12,5 cm.
Solución: De la ecuación (73),
r — 5,93 cm.
El radio de la línea media
bj + 2b, h 6,83 cm. b, + b.¿ 3
Por consiguiente, e = R — r = 0,9 cm., h — r
— o = 5,93 — 3,12 2,81 cm.,
h — c — r =12,5 — 5,93 = 6,57 cm., Ae = 21,09; M = P.R = 15,375
kilogramos cm. Las fatigas de flexión por las ecuaciones (66) son
, , 15,375 x 2,81 , , . (a*W = 21,09 x 3,12 ~ 656 kg'/0m-
, , 15,375 X 6,57 _______ _ (o,)mill 21>09 x 12>5 384 kg./cm.
A estas fatigas de flexión debe superponerse una fatiga de exten-
sión uniforme igual a
= 9b kg./cm.2. Las fatigas totales son:
<Wi = 656 -f 96 = 752 kg./cm.2.
<bn,„ = — 384 + 96 = — 288 kg./cm.2.
RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. u
= 10,5 cm.
R = « +
84 RESISTENCIA DE MATERIALES
6. Hallar la fatiga máxima en un gancho de sección circular, si el
diámetro de la sección recta es h = 2,5 cm., el radio de la línea media B
— 2,5 cm. y P = 500 kg.
Bespuesta :
k = 13,9, cm4x = 13,9 = 1,416 kg./cm.28.
7. Hallar amáx y a1Q(n para la barra curva de sección circular, re-
presentada y solicitada como indica la figura 56, si h = 10 cm., B = 10
centímetros, e = 10 cm. y? = 2,500 kg.
Bespuesta :
am4, = 852 kg./cm.2; om,D = — 326 kg./cm.2.
8. Resolver el problema anterior, suponiendo que la sección recta
mn tiene la forma de la figura 50, con las dimensiones siguientes: o = 5
cm., d = 7,5 cm., c = 22,5 cm., bx = 10 cm., b2 = 2,5 cm., e = 10 cm. y P = 2,000 kg.
28 El caso de secciones transversales de grandes dimensiones se
estudiará en el problema 6, página 91.
PTEZAS CURVAS 85
<W = 280 kg./cm.2; omln = — 144 kg./cm.2.
9. Resolver el problema 7, suponiendo que
la sección mn es trapecial, tal como la de la
figura 49, y de dimensiones a = 5 cm., c = 10,62
cm., &! = 5 cm., b.¿ = 2,5 cm., e = 0yP= 625 kg. Bespuesta:
<W = 317 kg./cm.2; cmln = — 226 kg./cm.2.
13. Deformación de barras curvas.—Las deformaciones de una
pieza curva se calculan corrientemente por el teorema de
Castigliano L Los casos sencillos son aquellos en que las dimen-
siones de la sección recta de la barra son pequeños comparados con
el radio de curvatura de su línea media 2. Entonces el des-
plazamiento angular de dos secciones adyacentes viene dado por la
ecuación (67), análoga a la ecuación (a) (pág. 139, Primera 'parte),
relativa a piezas rectas, y la energía de deformación por flexión
vale
(83)
donde la integración se extiende a la longitud total s de la pieza.
FIG. 56
iP Bespuesta:
PIEZAS CURVAS 86
La ecuación (83) es análoga a la (187) (véase Primera parte), relativa
a vigas rectas 29 y la flecha del punto de aplicación de cualquier carga
P, que actúa sobre la barra, en la dirección
de la carga, es
óU
dP’
Como ejemplo,
estudiaremos el caso de una pieza curva de
sección uniforme, cuya línea media sea un
cuadrante (figura 57). El extremo A está
empotra- FIG. 57
do y la tangente en él es vertical y el
otro extremo está solicitado por la carga vertical P. El momento
flector en una sección general mnes M = PR cos 9. Sustituyendo en la
ecuación (83), el corrimiento vertical del punto B será
<1P Jo ’¿E1, El,), dP
29 La energía de deformación debida a las fuerzas longitudinales y
8 =
87 RESTSTmOTA T)F WATEUT AT/ES
Véase página 84.
cortantes puede despreciarse en el caso de piezas curvas delgadas.
Tt - r
El, Jo
TC
PR30 4
El'
PR3 cos31q>d<p
88 RESTSTmOTA T)F WATEUT AT/ES
Si se quiere conocer el corrimiento horizontal del punto B, se
introduce la carga ficticia Q representada de trazos en la figura.
Entonces
M = PR cos 9 + QR( 1 — sen 9)
iü(l — sen 9).
El corrimiento horizontal es
dM JQ
M Rdrn. dQ
«i = T77 = [dQlQ =0
s r 2 M2Rdq> _ 1 r óQJo
2EIZ EIzJo
89 RESTSTmOTA T)F WATEUT AT/ES
En la expresión de M debe hacerse Q = O, y se obtiene,
finalmente.
Anillo delgado.—Como ejemplo segimdo, consideraremos el
caso de un anillo circular delgado sometido a la acción de dos
fuerzas P iguales y opuestas, actuando en los extremos del diá-
metro vertical (fig. 58). Debido a
la simetría, basta considerar un
cuadrante del anillo —figura 58
(6)—, y puede deducirse que en la
sección mn la fuerza
extensora vale — y no existe 2
fuerza cortante. El valor del
momento M0 en esta sección es
una magnitud hiperestática que
puede encontrarse mediante el teorema de Castigliano. Por
simetría, la sección mn no gira en la deformación; es decir, el
desplazamiento correspondiente a M0 es nulo; luego
dü dM, (a)
donde U es la energía de deformación correspondiente al cua-
drante considerado. El momento flector en una sección general
m^ix, definida por el ángulo 9, vale 32
32 Se toman como positivos los uioinentus que tienden a
disnnuuir la curvatura inicial de la barra.
PE3
2
El,'
si Jo PE3 eos 9(1 — sen 9)^9 =
0,
90 RESTSTmOTA T)F WATEUT AT/ES
Sustituyendo estos valores en la expresión (83) de la energía
potencial y utilizando la ecuación (a), tendremos
M0 - F R( 1 u
dM dM„
M eos 9) (b)
= 1.
MEZAS CURVAS 91
R d , > dMu
rr l : ¡ £ [M. ~ ~ R ( 1 - eos 9)j Rd?,
E L de donde
P R l 9\ M0 = — 1 — -J = 0,182 PR. (84)
Sustituyendo en la ecuación (6),
„ PR I 2\ M = Icos 9 — (c)
El momento flector para cualquier sección del anillo puede
calcularse por esta expresión. El momento flector máximo acontece en
el punto de aplicación de las fuerzas P. Haciendo 9 = - en la ecuación
(c), se obtiene ^ P 7?
M = ----- — = — °’318 P R - (85)
El signo menos indica que el momento flector en los puntos de
aplicación de las fuerzas P tiende a aumentar lacurvatura,
mientras que el momento M0 de la sección mntiende a dismi
nuir la curvatura del anillo. La forma del anillo después de la flexión
es la indicada de trazos en la figura.
El incremento del diámetro vertical del anillo se obtiene aplicando
el teorema de Castigliano. La energía de deformación almacenada en
la totalidad del anillo es
JJ _ A n M2Rdcp
2 El, donde M viene dado por la ecuación (c). Por consiguiente, el in-
cremento del diámetro vertical vale
92 RESISTENCIA DE MATERIALES
Para calcular el acortamiento del diámetro horizontal en el anillo
de la figura 58, se introducen las dos fuerzas ficticias Q, iguales y
opuestas, aplicadas en los extremos del diámetro ho-rizon- tal.
Calculando el valor de
(-) \ ¿Q I Q =O
se encuentra que el acortamiento de dicho diámetro es
Anillo grueso.—Cuando las dimensiones de la sección recta de
una pieza curva no son pequeñas comparadas con el radio de su
línea media, es necesario tener en cuenta no
solamente la energía de deformación por
flexión, sino también la debida a las fuerzas
longitudinales y cortantes. El giro angular
entre dos secciones adyacentes (figura 59) vale,
en este caso (ecuación 65)
Mdíp Mds Adcp
AEe AEeR
y la energía de deformación elemental debida a la flexión es
dU, = -MMo =
La fuerza longitudinal produce un alargamiento del
elemento comprendido entre dos seccioñes adyacentes en la
dirección de
Nds la línea media de la barra igual a —— y aumenta el ángulo ¿9
Nds ^ en (ecuación 68). El trabajo suministrado por las fuerzas N
AER N2ds
durante su aplicación es Durante la aplicación de las fuer- 2AE *
zas N, los pares M realizan un trabajo negativo • i*01,
AER
consiguiente, la energía total almacenada por ei elemento durante
la aplicación de las fuerzas N es
N2ds MNds 2AE AER ' («>
0,137 (87) El,
^2_ l \ P ^ = r ,^PR3
2/ El,
Fio. 59
M2ds 2
AEeR'
(d)
MNds
dU,
PIEZAS CURVAS 93
La fuerza cortante V produce un deslizamiento de una seo- oc V ds
oión respecto de la otra, de valor -.y, , donde a es un coeficiente
iiu
que depende de la forma de la sección (véase pág. 163, Primera
parte). La energía de deformación correspondiente es
a V2ds dü 3 = --------- . (/
2AO W
Sumando (d), (e) y (/) e integrando a lo largo de la pieza, se
tiene para la energía de deformación total de la barra la expresión
siguiente:
f / M2 , JV* MN , aF2 \ , — I „—y —yy— t T1 t, “i yy) • (fifi)
2AEeR 2AE AER 2 AGI
Volvamos ahora al problema representado por la figura 57 y
consideremos la expresión completa de la energía de deformación
(ecuación 88). Tomando como positivos los sentidos indicados en la
figura 59, se obtiene
M = — PR cos <p; N = — P cos <p; V = P sen <p,
donde R es el radio de la línea media. Sustituyendo en la ecuación
(88) y aplicando el teorema de Castigliano, el corrimiento vertical
del punto B será
j, dü PR n IR eos2 © CLE \ o - — = — I I ------------------- :• — eos2 ----------- as H -----------------------sen2 ® | dm
dP AE J \ e G 7
7t PR IR aE \ ~±AE\l ~G~~ )
Si la sección de la barra es un rectángulo de anchura b y altura h,
empleando para e el valor aproximado (71) y tomando
E
* = 1,2, ^ = 2,6,
s _ y y / i 2^ |
áAE\ A* /
Cuando h es pequeño comparado con R, el segundo término del
paréntesis que representa la influencia en el corrimiento de
94 RESISTENCIA DE MATERIALES
N y V, puede despreciarse, y se obtendría la ecuación ya conocida
(véase pág. 80).
La teoría expuesta para piezas curvas se aplica para el cálculo
de elementos de maquinaria, tales como eslabones y extremos de
barras en forma de ojo (fig. 60). En estos casos, la dificultad reside
en la determinación de la distribución de la carga
sobre la superficie de la barra curva.
Esta distribución depende del juego
existente entre el perno y la barra
curva. Una solución satisfactoria del
problema se obtiene solamente
combinando los métodos analíticos con
la investigación experimental x.
En una publicación reciente 33 se
estudia el caso —fig. 60 ( ó ) — de un ojo
de sección rectangular. En el análisis se
supone que no hay juego y que el perno es absolutamente rígido.
La fatiga máxima de extensión acontece en el intradós y en las
secciones perpendiculares al eje de la barra; su valor viene dado
por la fórmula
8F , \ ffmax — a > \9)
K rat
donde P es la fuerza extensora total transmitida por la barra, T
a es un factor numérico dependiente de la relación — de los radios
exterior e interior del ojo y t es el espesor del ojo en sen-
T tido perpendicular al plano de la figura. Para — igual a 2 y 4,
G
33 H. Reissner y Fr. Strauch, Ingenieur Archio, vol. 4, página 481,
1933.
PIEZAS CURVAS 95
los valores de a son 4,30 y 4,39, respectivamente. Los resultados
obtenidos mediante la fórmula (g) están de acuerdo con los ex-
perimentales L
Problemas
1. Determinar el corrimiento vertical del extremo B de la barra
curva de la figura 61, cuya línea media es un semicírculo y cuya sec-
ción es uniforme.
iSolución: La energía de deformación por flexión es
8. Determinar el corrimiento horizontal del extremo B en el pro-
blema anterior.
Reapuesta:
2 P1P
8 = El,
3. Determinar el incremento de la distancia existente entre los
extremos A y B de una barra delgada de
sección uniforme, compuesta de una parte semicircular CD y dos
trozos rectos AO y BD (fig. 62). Respuesta: „ 2 P [1* !+ %IR 4
rn M2Rd<p _ f
Jo ~TET;~JO ü ■■
3 re Pfí3
2 El, ’
2 El,
la flecha en el extremo es
dtl _ PR? n dP~
El, o
M2Rd<p _ fie -P21Í2( 1 - eos y)ai¿rf<p
El,
(1 — eos <p)ad<p =
O]- ' El
96 RESISTENCIA DE MATERIALES
4. Un eslabón consta de dos trozos semicirculares y de dos trozos
rectos, y está solicitado por dos fuerzas iguales y opuestas que actúan
en la dirección del eje vertical de simetría (fig. 63). Determinar el
momento flector máximo, suponiendo que las dimensiones del eslabón
son pequeñas comparadas con el radio R.
Solución: Considerando solamente un cuarto del eslabón —
figu
ra 63 (b)—, se encontrará el momento hiperestático Mn, por la condi-
ción de que La sección en la que actúa no gira durante la
deformación. Por consiguiente, dü
= 0. dM,
Puesto que para la parte recta M = M„, y para el trozo
curvado PR
(1 — eos <p), sustituyendo en la expresión de la energía
\ = dk+ zirjo [ M a - ¥ ( 1 “ c o s 4 ! = ° *
PR34
34 21 7c R
M = M,
de deformación por flexión, se tendrá
71 dü
dM, de donde
Ma =
PIEZAS CURVAS 97
Para l = 0, esta expresión coincide con la ecuación (84), obtenida
en el caso de un anillo circular. El momento máximo acontece en ¡os
puntos de aplicación de las fuerzas P y vale
PR
5. Resolver el problema anterior, suponiendo que las
fuerzas P se aplican como indica la figura 63 (c).
Respuesta: El momento flector enlospuntos A es
P IP( 7T—2) +2 i» + Ia
2 nR+21
M,
98 6ESISTF,N-Ct> t)E MATETÍTAT.TN
Para 1=0, la ecuación coincide con la de un anillo circular. Para Pl
R = 0, M¡ — j , como en el caso de una pieza con los extremos em-
potrados.
6. Determinar el momento flector M0 y el alargamiento del diá-
metro vertical del anillo circular representado en la figura 58, supo-
niendo que la sección recta del anillo es un rectángulo de anchura b y
altura h, cuyas dimensiones no son pequeñas comparadas con el radio
R de la línea media.
Solución: Usando la ecuación (88) para la energía de
deformación,
y la ecuación (b) para el momento flector, la expresión por la que se
determina M„ es
dü (\( M N \ j
dM0 Jo \AEe AE) p’
de donde Pi?/, 2 . 2e\
Comparando este resultado con la ecuación (84) se ve que el tercer
término del paréntesis representa el efecto de la fuerza axial y de la
distribución no lineal de la fatiga. El valor del error al emplear la
ecuación aproximada (84), en lugar de la encontrada últimamente, vale
T == 1 1,52 3 h
= 0,090 0,038 0,021 0,009 H
error en % = 15,8 6,73,7 1,6
Se ve que en la mayoría de los casos puede usarse la ecuación apro-
ximada (84) paracalcular M0, y que el error esimportante solamente
cuando h seaproxima a R o es mayor que R. Elalargamiento del
diámetro vertical del anillo se obtiene por la ecuación
Empleando la ecuación (88) para U, y sustituyendo en dicha ecuación
PR P P M — M0 ¡j- (1 — cos <¡>); N = -¡r cos <p; V = — — sen 9,
¿t z z
se obtiene
. PR3 (7t 2/, e3\ , 2ef2 e\
«1 , na E e) A AEe\4 ni B !) + B M R¡
8J +4G'pÍ ‘
Comparando este valor con la ecuación (86) se ve que el efecto de las
fuerzas axial y cortante en el valor de S es corrientemente muy
pequeño *.
PIEZAS CURVAS 99
ción, pág. 493, París, 1880. Véase también H. Résal, Journal de Math. (Liouville) (3), vol. 3, 1877; M. Marbec, Bulletin de l’Association Tech- ñique Maritime, vol. 19, 1908; M. Goupil, Anuales des Ponts et Chaus- sées, vol. 2, pág. 386, 1912, y Mayer Mita, V. D. /., vol. 58, pág. 649, 1914; VY. F, Jiurkt, A al, Adv. Coin. Aeron. Techn. Notes, 444, 1933.
p(a — x)35 py2 +
<g)
(h)
Sustituyendo en la ecuación = 0, se tiene 0
( » . - ? , * + ! í , + v - o .
siendo s la longitud del cuadrante del anillo,
lx = Jo y2dS 6 Iy = í X*<la' Por consiguiente,
Si el anillo tiene la forma del eslabón de la figura 63, poniendo R =
a y l + R = b , tendremos
1
7. Determinar los momentos Héctores en un anillo delgado coil dos ejes de
simetría, sometido a la acción de una presión interior uniforme p.
Solución: Consideremos un cuadrante del anillo (fig. 64) de semi
ejes ay b. Si ilí0 representa el momento hiper-
estático en A, el momento flector en cualquier
sección O de coordenadas x e y es
3 (6 — o)36 + ( b — a ) ‘ + - a3 + 2a2(fc — a);
2
_ U P“2 4- px* 4- py2
2~ 2 + T-
M — M„ — pa(a — x) +
dü
I y = (b-a)a2 + -f-
Sustituyendo en la ecuación (h),
100 6ESISTF,N-Ct> t)E MATETÍTAT.TN
(6-o)* + \ o3 + 3a2(6 — a) + ~a(b~o)2].
El momento flector en cualquier otra
sección puede obtenerse por la ecuación (g).
En el caso de un anillo elíptico los cálculos son más complicados *.
_____________ [i 2 6- f - ( 7 c — 2 ) a[ 3
P
PTEZAS CURVAR 101
Usando las notaciones Ix + lv = cea* b, M0 = — (3pa3, y el momento en fí ífilí.
64) = M, = ypoa, los valores de a, (3 y y, para diferentes
valores de la relación son los de la tabla siguiente:
TABLA V
8. Un resorte delgado en
espiral (fig. 65) está unido en el centro a un eje C. En este eje se aplica
un par M„ para apretar elresorte.Se
equilibra mediante la fuerza horizontal P, aplicadaen el extremo A
del resorte y la reacción en el eje. Hallar la relación existente entre M„ y
el ángulo que gira el eje, conocidas todas las dimensiones del resorte. Se
supone que el ángulo de torsión es lo
suficientemente pequeño para que las
espiras no toquen entre sí.
Solución: Tomando el origen de coor
denadas en A, el momento flector en un
punto del muelle situado a la distancia y de
la fuerza P es M — Py. La deformación an-
gular o giro entre dos secciones adyacentes
en el punto considerado es, ecuación (67),
Mds Pyds 4i*-í77-T&r
El giro total de mi extremo del resorte,
respecto del otro durante la torsión, es
f" Pyds P f8 9 -J *
La integral del segundo miembro de esta ecuación rep senta el
momento de la línea media del muelle respecto al eje x. El valor de
este momento será la longitud total s del muelle multiplicada por la
CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE ANILLOS ELÍPTICOS
a b = 1
0,9 0,» 0.7 0,6
0,5 0,4 0,3
a ........... 1,571 1,663 1,795 1,982 2,273 2,736 3,559 5,327 f¡ ........... 0 0,057 0,133 0,237 0,39 0,629 1,049 1,927 V ....................
0 0,060 (',148 0,283 0,498 0,870 1,576 3,128
yds. (*)
102 RESISTENCIA DE MATERIALES
distancia de su centro de gravedad al eje x. Esta distancia vale, apro
ximadamente, r, y de la ecuación (k) se deduce
Prs _ M0s : El, ~ EL,' (l)
Si el extremo A está unido a un eje, el momento M0, aplicado
en o, produce una reacción P en el extremo fijo A del muelle. Si el
espesor del muelle es muy pequeño, el número de espiras grande y las
espiras no se tocan entre sí, puede considerarse suficientemente
aproximada la hipótesis anterior de que la fuerza P permanece
horizontal y darse por válida 37 la ecuación (l).
9. Suponiendo que el resorte representado en la figura 65 está en
estado natural y unido a un eje en A, determinar la fatiga máxima
producida y la energía almacenada en el muelle al dar tres vueltas
completas a la espiga c. El muelle es de acero, tiene 1,25 cm. de ancho,
5/8 mm. de grueso y 3 m. de longitud.
Solución: Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación (¿), 0 2 x 10e X 1,25 x 538
de donde M0 = 3,20 kg. cm.
La energía almacenada es
2 El \ T 4 / 8 E
La fatiga máxima de flexión acontece en el punto B, donde el mo-
mento flector vale aproximadamente 2 Pr = 2 Ma, por consiguiente 3,20 x 2 x 6 X 8> x 10* _oat . . .
*■“* = ---- 1£5TX~5* --------- = 7864 kg-/Cm’
10. Un segmento cuyo perímetro exterior es circular, tiene una
sección rectangular de anchura 6 constante y
altura h variable (fig. 66). Determinar la ley de
variación de la altura h, a fin de obtener un
segmento que, cuando se monte con el émbolo en
el cilindro, produzca una presión uniforme sobre
la pared del cilindro.
iSolución: Sea r el radio del cilindro, y r + 8 el
radio exterior del segmento en su estado natural.
Escribiendo la variación de cur- ' vaturaen el perímetro exterior del segmento i lugar de la que acontece en su línea media, se obtiene una
37 En el libro de A. Castigliano, Theorie d. Biegungs-u-Toraiona
1930, y J. A. Van den Broek, Trans. A. S. M. E., vol, 53, pág. 247, 1931. Federn, Viena, 1888, puede verse un estudio más completo del problema. Véanse también E. C. Wadlow, Engineer, vol. 150, pág. 474,
<P
300 x 12 X 83 x 103 6ti = M„
T7 [> M39ds P2 [>, P2 / , , sr*\ 5M*s , Jo 2 El 2 ElJoV 2 El \r + 4/~8 E' 37,74 kg. cm.
PIEZAS CURVAS 103
solución aproximada del problema. Mediante la ecuación (67) ten-
dremos Adtp 1 1 M ds r r + S El
El momento flector M, producido en una sección general mn
del
segmento por la presión p distribuida uniformemente sobrelasuper-
ficie exterior del segmento, es
M = —2 pór2 sen2 (b) ¿i
bJi3 Si sustituimos este valor en la ecuación (a), ponemos -r~- en lugar
Sil
de I, y —a en vez de - — fqTjj (Para valores pequeños de 8), se obtiene
la ecuación siguiente, que sirve para el cálculo de h:
8 p 24 r2 m
T2~E sen 2’ de donde
fe3 = l“rsen2I- w
Para 9 = n se obtiene el valor máximo de h; representándole por he, se
tiene
, , p 24 r*
"° — E _8~’ (6)
La fatiga máxima de flexión en la sección mn es
12 pr2 sen21 o = — = M 2. (/)
De las ecuaciones (/) y (d) se deduce quela fatiga máxima de fle
xión acontece para 9 = 7t; es decir, en la sección opuesta al corte del
segmento. Escribiendo h = h0 y 9 = 71 en la ecuación (/) se obtiene
12 pr* . , ®m*ir— 5 » (9r)
donde puede calcularse h0, dados la presión p y la fatiga de trabajo. El
valor de 8 se encuentra sustituyendo h0 en la ecuación (e).
Puede verse que si en el corte del segmento se aplican tangencial-
mente dos fuerzas extensoras P, iguales y opuestas, producen en la
sección mn el momento flector
— Pr (1 — eos 9) = — 2 Pr sen2 % 2
es decir, el momento flector varía con 9 con ley análoga a la dada por la
ecuación (6). Por consiguiente, si los extremos de un anillo abierto se
juntan, y en esta forma se le da un radio exterior r, este anillo o
(a)
9G RESTSTJWf!TA DP! M.AT'F’TtTAT.T'0
segmento, al montarle, producirá una presión uniforme contra las pa-
redes del cilindro 40.
Determinar, por ejemplo, 8 y h0 para un segmento de fundición, si r =a 25 cm., at = 350 kg./cm.*, p = 0,11 kg./cm.2 y E = 10® kg./cm.*
Sustituyendo en la ecuación ( g ) , se obtiene h0
= 1,53 cm. De la ecuación (c) se deduce 8 = 0,29
cm.
11. Deducir la expresión (87), dada en la
página 86.
12. Experimentalmente se ha visto que
reforzando transversa Imente un eslabón se
aumenta considerablemente su resistencia.
Hallar el momento flector M, en los puntos de
aplicación de las cargas P, y la fuerza axial de
compresión 2H en el travesano, para el eslabón
de la figura 63.
Solución: Puesto que en el caso de
un travesaño la sección horizontal —figura 63
(6)— no se mueve horizontalmente y no gira,
las cantidades hiperestáticas y H se deducen de las ecuaciones
dU „ dZJ = 0, C’M0 de donde
— T- donde
(to -{- 2) ¡ro3 + 6 m2 + 12 (4 — x) m + 48 (x —
3)] m4 -(- 4 tito3 + 48 to* + 24 tito 24 (x* — 8)
’
12 (to + 2) [(x — 2) to + 2 (4 — x)] m4 -j- 4 xto3 -f- 48 to* -f- 24 xto + 24 (x* — 8)
l m = w
13. Hallar el momento fiector M„ y la fuerza extensora B en la
sección A del anillo circular, simétricamente cargado, representado en
la figura 67.
40 Véanse publicaciones de H. J. Gough, H. L>. Cox y D. G. ¡8op- with,
ya citadas, pág. 75.
oH
-a)
PIEZAS CURVAS 97
Respuesta:
tg a ,
DD
M„ = — -s - [1 + seo » — (w — a) tg a] , ¿ TC
14. Arco articulado en los extremos.—Sea el arco de extremos
articulados representado en la figura 68 solicitado por fuerzas
verticales y con los apoyos al mismo nivel. Las componentes
verticales de las reacciones en A y B pueden determinarse por las
ecuaciones de la estática, del mismo modo que en una viga apoyada,
y las componentes horizontales serán iguales y opuestas. El valor H
de estas componentes se denomina empuje del
arco. No puede obtenerse estáticamente; pero se determina em-
pleando el teorema de Castigliano.
En el caso de un arco rebajado los dos últimos términos de la
expresión general (88) de la energía de deformación pueden
despreciarse y para arcos de dimensiones normales puede reem-
plazarse el producto AeR por el momento de inercia lz de la sección.
La ecuación para el cálculo de H será, por consiguiente,
^ = + — ) * - o - («)
dH dH Jo \2EIt 2AJS)
El momento flector en cualquier sección mn del arco será
M = M0 — Hy, (6)
donde M0 es el momento flector correspondiente a la sección
correlativa de la dada en una viga simplemente apoyada, de la
misma luz y con la misma solicitación que el arco. El segundo
término de la integral que figura en la ecuación (a) representa la
energía de deformación debida a la compresión en dirección
tangencial y tiene importancia secundaria. Para arcos
rebajados RüSXSIiSCU Di HATLHIALAS.—1'. U
7
98 RESISTENCIA DE MATERIALES
se obtiene una buena aproximación, suponiendo esta, compresión igual al empuje H. Sustituyendo la expresión (6) y A = 77 en la ecuación (a), se obtiene
_ P ( M ° ~ ~ Ey)yds , f'EÉí = o Jo El, Jo AE Cs M0yds
H = i?— ----------------------------------------------------------- (89) í'ytds nds_
Jo EIz Jo AE
Para un arco de sección recta constante y empleando la notación
A* = ^ > la ecuación (89) se escribe
I M0yds
# =7^ -------------------- Ji * (90)
Jo y2d3 + ¿2io * El segimdo término del denominador representa el efecto de
acortamiento de la línea media del arco, debido a la compresión
longitudinal. En muchos casos, es pequeño y puede despreciarse. Por
tanto, C M 0yds
fl=7^r m
Sea, por ejemplo, un arco parabólico con carga uniformemente
distribuida a lo largo de la luz, cuya línea media tiene por ecuación 4 fx(l — x)
y — -J-Ar0 (e)
Tendremos
Sustituyendo (c) y (d) en la ecuación (91), se obtiene
de donde
PIEZAS CURVAS 99
El empuje real H será menor que el que da la ecuación (e). A tí
Para dar idea del error posible se da este valor en la tabla VI tí
para diversas proporciones de arcos x. Para el cálculo de esta ta
bla se ha utilizado la ecuación (88), para expresión de la energía de
deformación y supuesto que para cualquier sección del arco
EIX = COS <p
donde Ag y EIa son, respectivamente, el
área de la sección y la rigidez a la flexión del arco en la clave. <p es
el ángulo que forma cada sección con el eje y y h es la altura de la
sección en la clave.
A H El valor de H en la relación se ha deducido de la ecuación (e).
tí
Se ve que el error de la ecuación (e) tiene un valor apreciable
solamente en el caso de arcos rebajados de espesor considerable.
Como los estribos del arco son fijos, las variaciones de tem-
peratura pueden producir fatigas de consideración. Para calcular el
empuje debido a un aumento de t grados en la temperatura,
supondremos móvil uno de los extremos. En este caso, la dilatación
produciría un incremento en la luz del arco de valor la.t, siendo a el
coeficiente de dilatación del material que forma el arco. El empuje se
encontrará estableciendo que su valor es el necesario para producir
una disminución de la luz igual a cdt. Mediante el teorema de
Castigliano, se obtiene
dü d r» ¡ M* N2 \ , = — I 1 ds ----- v.lt. (/)
dH Jo \2EIZ 2AE dH
TAB LA V I
/
i
i
i
l 12 8 4
h i 1 ' i i 1 1 1 1 l l 10 20 30 10 20 30 10 20 30
AH 0,1771 0,0513 0,0235 0,0837 0,0224 0,0101 0,0175 0,0044
4 0,0019
8 tí
A = COS <
100 RESISTENCIA DE MATERIALES
Considerando solamente el efecto térmico y poniendo Mü =
0 y N = H, se deduce mediante la ecuación (/)
H =
En libros dedicados expresamente a teoría de estructuras,
pueden verse estudios más detallados de las fatigas en arcos 41,
15. Fatigas en un volante.—Debido al efecto de los brazos, la
llanta de un volante experimenta al girar, no sólo extensión,
sino también flexión. Aislemos un trozo de la llanta —figura 69 (b)—
mediante dos secciones bisectoras de ios auguios entre brazos. Sea
R — el radio de la línea media de la llanta.
. A = el área de la sección de la llanta.
A1 — el área de la sección de un brazo.
I = el momento de inercia de la sección de la llanta.
2a — el ángulo entre dos brazos consecutivos. q = el peso de la llanta
por unidad de longitud de la línea media. ql = el peso de un brazo por
unidad de longitud, oo = la velocidad angular del volante.
Por simetría en las secciones A y B, no existen fatigas cortantes y
las fuerzas internas en dichas secciones se reducen a la
41 Johnson, Bryan y Turneare, Modem Framed Structures, segunda
parte. Véase también Weyrauch, Theorie d. Elastichen Bodentrager, en E. Morscli. Schweizerische Bauzeitung, vol. 47.
' Se supone que el espesor de ia llanta es pequeño comparado con R , y
qUe se tiene en cuenta solamente la energía de flexión y tracción.
(92)
FIG. 69
MEZAS CURVAS 101
fnprzia longitudinal Nü y al momento flector M0. Siendo X la acción
ejercida por el brazo sobre la llanta, la ecuación de equilibrio del
trozo A B de la llanta es
2 iV0 sen a -(- X — 2 E42 sen a - w2 = 0, 9
de donde
N0 = ? w2i¿2 ----------- —. (a) g 2 sen a
La fuerza longitudinal N en la sección general mn es
m Ar , 9c°2-Rod a? gw2-#2 X C O S 9
N = N0 eos 9 -j- -------- 2R sen2 -t = -------------------------- --i. (o)
<7 2 g 2 sen a
El momento flector en dicha sección es
M = MÜ—NÜR(\ — eos9) + 2 sen2 - —Mn +sen2 -• (c)
g 2 sena 2
La fuerza X y el momento M0 no pueden determinarse por las
ecuaciones de la estática; pero se calculan mediante el teorema del
trabajo mínimo. La energía de deformación del trozo AB de la llanta
es 1
m + 2 rí
J„ i El J„ i 2EA
Tja fuerza extensora Nl en una sección general del brazo, situada
a la distancia r del centro de la rueda, es a
Nl = X + — (E2 — r2); 2 9
Por tanto, la energía de deformación del brazo será
ri r Nídr , \ v' =1 ¡2? (e)
42 La longitud del brazo se toma igual a ü; en ia realidad es algo
menor que R.
102 RESISTENCIA DE MATERTAT/E9
Las ecuaciones por las que se calculan M9 y X son
¿i (U\ + Ua) — 0, dM.
■J- {Ux + u2) = 0. 0 A
Sustituyendo los valores (d) y (e), se obtiene, mediante las
ecuaciones (/) y ( g ) ,
= — — (— - - - - - - - - - i) , 2 \ s e n a a /
2 qcü43R2 A = —
3 9 ~ h ( o + I A t
lumen 46, pág. 267, 1901, y H.. Brauer, Dirigiera Polytechn. Journ., página 353, 1908; véanse también J. G. Longbottom, Inst. Mech. Eng. Proc. London, pág. 43, 1924, y K. Reinhardt, Forschungsarbeiten, número 226, 1920. Un problema análogo se presenta al calcular las fatigas en los anillos de retención de los grandes turbogeneradores; véase 1£. Hcliwerin, Electrolechn. Ztschr., pág. 40, 1931.
(/)
(9)
(93)
(94)
i
PIEZAS CURVAS 103
donde
2 sen2 a \ 4
__ 1 /sen 2a a\ 1
2sen2a \ 4 2 / 2 a
En la tabla VII se dan los valores de las funciones /x y /2 para
diversos números de brazos.
Con esta tabla se determina el valor de la fuerza X mediante
la ecuación (94) y el momento flector M 0 por la ecuación (93). De
este modo, y mediante las ecuaciones (a), (b ) y (c), se determina la
fuerza longitudinal y el momento flector para cualquier sección
m n de la llanta *.
/2(«)
TABLA VII
n = 4 6 8
/ i (* ' 0,643 0,957 1,274
h (a) 0,00608 0,00169 0,00076
104 RESISTENCIA DE MATERTAT/E9
Sea por ejemplo, un volante de acero que hace 600 revoluciones
por minuto, de radio i? = 150 cm.; la sección de la llanta es
cuadrada, de 30 X 30 cm., y tiene seis brazos de sección 150 cm.2.
Considerada la llanta como anillo giratorio que puede dilatar
libremente, la fatiga de extensión que correspondería en virtud de
la fuerza centrífuga es (ecuación 115, Primera parle) a0 = 720
kg./cm.2. En el caso de seis brazos, a = 30°, /j (a) = 0,957, /2 (a) =
0,00169. La fuerza en cada brazo, ecuación (94), será
X = * ± ______________ 0.0893 . 3 0 é*L 0.00169 + 0,957 + — 9
I A,
La fuerza longitudinal en la sección que biseca el ángulo entre
brazos es, ecuación (a),
s, = 321? _ 0.0893«í¿í _ 0,911 «EE. 9 9 9
El momento flector en la misma sección (ecuación 93) es M0=
— 0,605
9
La fatiga máxima en esta sección es
= ~ ~ ^ = 750 kg./cm.*. A Z
Para la sección de la llanta situada en el eje del brazo, las
ecuaciones (6) y (c) dan
(iV) = 0,923 (M) =1,19^-^. 9 9
La fatiga máxima para esta sección es
cmáx = 845 kg./cm.* .
105 RESISTENCIA DE MATERIALES
En este caso, el efecto de la flexión de la llanta sobre la fatiga
máxima es pequeño y el cálculo de las fatigas en dicha llanta,
considerándola como anillo giratorio libre, da resultado
satisfactorio.
16. Elástica de una barra con una línea media circular.—
En el caso de una pieza curva delgada con línea media circular, la
ecuación diferencial de la elástica es análoga a la de una pieza
recta (ecuación (a), pág. 130, Primera parte). Sea ABCD (figura 70)
la línea media de un anillo circular después de la defor
mación y representemos con u el pequeño corrimiento radial
durante la deformación. La variación de la curvatura de la línea
media durante la flexión puede estudiarse considerando un
elemento del anillo mn y el correspondiente mpiy del anillo de-
formado comprendido entre los mismos radios —fig. 70 (b)—. La
longitud inicial y la curvatura inicial del elemento mn son
ds = iMcp; ^ = i. (a) ds Rdy R v
Para deformaciones pequeñas, la curvatura del mismo ele-
mento después de la deformación puede tomarse igual a la curva-
tura del elemento m^nx> Esta última viene dada por la ecuación
1 dq A drp (b)
R¡ ds Ads
donde d<p + Adcp representa el ángulo que forman las secciones
106 RESISTENCIA DE MATERIALES
PR3
normales en m1 y n1 de la barra deformada y ds ~ Ads la longitud
del elemento mxnv El corrimiento u se considera positivo hacia el
centro del anillo y se supone muypequeñocomparado
con el radioR. El ángulo queforman la tangente en m1
a la lí
nea media y la normal al radio mxo es El ángulo correspondiente
en la sección nx vale
du , d2u 7 1 ds. ds ds2
Por consiguiente, . , d2u , Adcp = — ds. (c)
ds2
La longitud del elemento mxnx, despreciando cantidades de
segundo orden, puede tomarse igual a (R — u) dip y, por tanto,
A ds = — ud'o = — (d)
Sustituyendo (c) y (d) en la ecuación (b), se obtiene
1 ds2 Rx
‘Mí
despreciando cantidades de orden superior, sale
= — = I / i + M + ^, Rx ds\ Rf ds2 R\ Rl ds2
de donde 1 1 _ u d2u J1~R~R2 ds2’ W
La relación que liga el cambio de curvatura con el valor del
momento flector para piezas delgadas, deducida de ia ecuación
(67), es
PIEZAS CUEVAS 107
1 1 M
El signo menos del segundo miembro se debe a que se toma el
momento flector como positivo cuando produce una disminución de
la curvatura inicial de la pieza (fig. 47). De las ecuaciones (e) y (/)
se deduce que
+ (95, da2 R2 El
La ecuación (95) es la ecuación diferencia] de la elástica co-
rrespondiente a una pieza curva delgada con línea media cir cular.
Para un valor infinitamente grande de i?, esta ecuación coincide
con la ecuación (79), Primera 'parte, correspondiente a piezas
rectas.
Como ejemplo de aplicación de la ecuación (95), considera-
remos el problema de la figura 58. El momento flector en una
sección general mínx es, ecuación (c), pág. 85:
M PR< PR ¡ 2\
= ----- | eos ® - |> 2 \ n)
y la ecuación (95) será
d2u u PR 12 ----------- == ------ 1 ------ eos da* R2 2 ElV
d2u PR312 \ — 4-u = --------- ( ----- eos®).
dep2 2 El\* }
La solución general de esta ecuación es
, _ PR3 PR3
t = A eos ® 4- B sen ® 4 ® sen ®.
EIn 4 El '
Las constantes de integración A y B se determinan por las
condiciones de simetría.
<?)
108 RESISTENCIA DE MATERIALES
PR3
dU rv A n
— = 0, paraip = 0ypara <p = —
d<p 2
Las que se satisfacen tomando
PIEZAS .CURVAS
Por consiguiente,
PRa eos ©. 4 El
/ i _PRall 1\ . .
( U ) v = ° ~^/\n~4) ’ ( U ) < P
Estos resultados están de completo acuerdo con las ecuaciones
(86) y (87), obtenidas con anterioridad empleando el teorema de
Castigliano 44.
17. Deformación de barras con una pequeña curvatura inicial.—
Si una pieza con pequeña curvatura inicial se flexa solamente por
fuerzas transversales, pueden calcularse las flechas por el método
utilizado para una barra recta. Las condiciones, sin embargo, son
diferentes si existen fuerzas longitudinales, además de las
transversales. Una curvatura inicial pequeña cambia de gran
manera el efecto de las fuerzas longitudinales en la deformación. La
solución de este problema se simplifica utilizando las series
trigonométricas para expresar analíticamente la forma inicial de la
pieza y la elástica debida a la flexión 2.
Se supone, como anteriormente, que la pieza curva tiene un
plano de simetría en el que obran las fuerzas externas y que los
extremos de la pieza están simplemente apoyados. Sea y0 la or-
denada inicial de la línea media de la pieza medida desde la cuerda
que une los centros de gravedad de las secciones extremas e y1 las
flechas producidas por las fuerzas exteriores. Las ordenadas totales
después de la flexión son
y = yo + Vv
44 Véase la publicación del autor, Fetschrift zurrí siebzigsten Ge- burstage
A. Foppl, pág. 74.
PR3 PR3
PR3 ' 7C == __________
2 El
(a)
108 RESISTENCIA T>E M ATEPT AT.ES
La expresión analítica de la forma inicial o estado natural de la
barra es nx 2nx ,
!h — Ben b 2 sen b • • • (0)
í l
y la flecha producida por la carga será
nx 27ix
U\ == ai sen - . + «2 sen — b • • • fe) l I
En este caso puede utilizarse la ecuación (53), que da la energía
de deformación para barras rectas. Suponiendo la pieza cargada en
la forma que indica la figura 35, es necesario, al calcular el trabajo
que dan las fuerzas longitudinales S, reemplazar la cantidad X
(véase ecuación 56) por
, / r v l - ; . ( D " —2 y n = oc n — oc \
- (2E n2anbn -f 2 n2aí\, (96) 41 \ n = l ti=l I
que representa el corrimiento de uno de los extremos de la barra
hacia el otro durante la deformación.
Procediendo como en el caso de piezas rectas (pág. 51), y TbTZCC
dando a la barra una deformación virtual dan sen —j- , el trabajo de
las fuerzas 8 para este corrimiento será „ ¿(Xj — Xu) , 0 n 2 7t2 8 ---- — da„ = 8 (an + bn)dan.
can 21
El trabajo realizado por la carga P es
P sen dan l
y el incremento de la energía de deformación, deducido de la
ecuación (53), vale EIni 4 A ——
n*andan.
2l3
La ecuación para el cálculo de an será
EIn45 , , „ TITZC 7 , fIr¿%2 , , ,
45
Vx = —: ------------
1 — a
FIEZAS CURVAS 109
, ,
dan = 1 sen dan -4- S — (an 4- b,.) dan, 2 ¿s L 2¿ .
Las ordenadas totales de la línea media después de la flexión son
TZX
xb sen — 1 , TZX b TZX
V*=yx + Ve = — ---------------- V b sen — = --------- sen —. (98) 1 — a l 1 — a L
Debido a las fuerzas S de compresión axial, las ordenadas
de ia línea media aumentan en la relación -—; es decir, que I — x
110 RESISTENCIA DE MATERIALES
de donde 2 PP sen ^ + Sn*TzV.2bn
l
a* ~~ EITZH* — Sn*rPP
Sustituyendo en la expresión (c) y empleando la notación
SP --= a, EIv*
(7re T Z X 2nc 2 T Z X
sen — sen — sen sen ------------------- ti, l l
— + +
+ « ■ - - - - ( 9 7 )
El primer
término del
segundo miembro de la ecuación (97) representa la deformación de
una pieza recta (véase ecuación 58), mientras que el segundo
expresa la deformación adicional debido a la curvatura inicial.
Sea, por ejemplo, una barra de curvatura inicial yn= b 7Z X
sen ~j . La flecha en el centro de su cuerda es igual a 6. Si actuasen
solamente las fuerzas longitudinales (P = 0), la deformación en
dicha sección central producida por aquellas fuerzas se obtendría
mediante la ecuación (97), haciendo P = 0; b1 = 6; b<¡ — ó3 = • • •
=0. Por consiguiente, , T Z X
a o sen —
FIEZAS CURVAS 111
el aumento de las ordenadas depende del valor « de la relación entre
la fuerza longitudinal y la carga crítica. Si en lugar de fuerzas de
compresión actúan fuerzas longitudinales extensoras sobre la barra,
basta sustituir — a en vez de a en las ecuaciones anteriores. 7VCC
En el caso particular y Q — b sen las ordenadas de la lí- l
nea media, después de la deformación, serán
b y = — sen — • (99)
1 + a 1
Se ve que la fuerza longitudinal extensora disminuye las or-
denadas iniciales. Tomando, por ejemplo, a = 1, es decir, suponiendo
que la fuerza longitudinal extensora es igual ai valor crítico, se
tiene
1 , 7X X
y = - o sen —> 2 l
es decir, en este caso la fuerza longitudinal reduce a la mitad las
ordenadas iniciales de la barra.
18. Flexión de tubos curvos.—Al analizar la distribución de las
fatigas de flexión en piezas curvas (artículo 11), se supuso que la
forma de las secciones rectas permanece invariable. Tal suposición
está justificada para piezas macizas, puesto que los pequeños
desplazamientos que acontecen en el plano de la sección, debidos a
la contracción y expansión transversal, no tienen efecto apreciable
en la distribución de las fatigas. El fenó- meno es muy diferente
cuando se flexan tubos delgados. La experiencia prueba que los
tubos curvos de pared delgada solicitados a flexión son más flexibles
que lo que se desprende de aplicar la teoría corriente de barras
curvas 46. En este caso, es necesario considerar el cambio de forma
de la sección durante la flexión 47. Consideremos un elemento
comprendido entre dos
46 Multitud de trabajos experimentales sobre flexibilidad de tubos a
flexión han sido realizados por A. Bartlin, V. U. /., vol. 54, pág. 45, 1910, y Forschungsarbeiten, núm. 96. Véanse también W. Hovgaard, Journal of Maíh. and Phys. Mass. Institute oj Technology, vol. 7, 1928, y A. M. Wahl, Trans. Amar. Soc. Mech. Eng., vol. 49, 1927.
47 Este problema para tubos de sección circular fué analizado por Til. Karman, V. D. I., vol. 55, pág. 1889, 1911. El caso de tubos cui-
112 RESISTENCIA DE MATERT V DES
secciones adyacentes de un tubo curvo (fig. 71) flexado por pares
de la dirección indicada. Puesto que tanto las fuerzas extensoras del
lado convexo del tubo como las compresoras del lado cóncavo tienen
resultantes hacia la línea neutra, las secciones rectas
primitivamente circulares se convierten en elípticas. Esta
flexibilidad de las secciones afecta a la deformación de las fibras
longitudinales del tubo. La fibra exterior ab toma la posición a1ó1
después de la flexión; representemos su desplazamiento hacia el eje
neutro con 8. El alargamiento total de la fibra es alb1 — ab = albl — axex — (ab — a^). (a)
El ángulo que forman las secciones ac y bd se representa por
d<p; su variación en virtud de la flexión, por Adrp; el radio de la
línea media, por R, y el radio de la superficie media del d
tubo, por a. Se supone que la relación — es lo suficientemen-
R
te pequeña para que pueda suponerse que la línea neutra pasa por
el centro de gravedad de la sección recta. De la figura se deduce
axbx — axex = (a — 8) Ad<p^ aAdtp 48.
El alargamiento total de la fibra ab, dado por la ecuación (a), es
aAdrp — Sdqj y
el alargamiento unitario
aAd<p — 8d<p a Adqp 8
(R -f- a)d<f, R -f- a d cp R -j- a
El primer término del segundo miembro de esta ecuación re-
presenta la deformación de la fibra debida al giro de la sección bd
respecto a la ac. Este alargamiento es el que hemos considerado en
la flexión de piezas macizas. El segundo término de dicho segundo
miembro de la ecuación (ó) representa el efecto de la flexibilidad de
la sección. Se ve que este efecto puede tener considerable
importancia. Sea, por ejemplo, tí -f a = 150 cm. y
á 1 f 8 =s 0,05 cin. Tendremos 7J = y la fatiga corres-
tí -f- a 3000
pondiente para un tubo de acero de E = 2,1 X lü6 kg./cm.2 valdrá 700
kg./cm.2. Por consiguiente, un ligero aplastamiento de la sección
produce una disminución considerable en la fatiga correspondiente
48 El corrimiento 8 se supone muy pequeño comparado con el radio
a.
PIEZAS CURVAS 113
a la fibra más alejada ab. La misma conclusión
se deduciría para la fibra cd del lado cóncavo. Si el momento flector
cambia de dirección, se origina un cambio de signo en las fatigas
normales y, por consecuencia, en lugar de un aplastamiento del
tubo en dirección radial, acontece un aplastamiento de dirección
perpendicular al plano de la figura 71, y la fibra ab, debido a este
aplastamiento se desplaza hacia afuera. Mediante ün razonamiento
análogo al expuesto, se vería que nuevamente el aplastamiento del
tubo produce una disminución de la fatiga en las fibras más
alejadas de la línea neutra. Se deduce, por consiguiente, que las
fibras del tubo más alejadas de la línea neutra no alcanzan la fatiga
que indica la teoría ordinaria de la flexión. Acontece igual que si
hubiese disminuido el momento de inercia de la sección. En lugar
de la ecuación (67) deducida para piezas macizas, puede emplearse
la siguiente cuando se quieren calcular deformaciones de tubos
delgados:
A d<? = MRd9 (100)
* LEI,
114 RESISTENCIA DE MATERT V DES
donde I: es utv factor numérico menor que la unidad y cuyo valor
depende dei aplastamiento. En función de las dimensiones del tubo,
puede calcularse por la fórmula aproximada siguiente x: 9
ife = 1 io+12g)’ COI)
donde t es el espesor del tubo. Se ve que el efecto del aplasta- tü
miento depende, por consiguiente, del valor de la relación •
El estudio realizado por Karman muestra que la distribución Jtyf ?/
de fatigas normales no sigue la sencilla ley 2 a = , en la que y ¿Z
representa la distancia a la línea neutra, sino que debe emplearse
la ecuación siguiente:
" ~ w, Y
donde 6
La fatiga máxima, deducida de (c), es
®ináx ~ ^1 _’
(1^2)
2 tz
donde d es el diámetro exterior del tubo y
Je —: ^ 1 3¿V3|
un factor numérico que depende de las dimensiones del tubo. En la
tabla VHI se dan algunos valores de kv
&XSISTES0IA DI MATEBIAIJIS.—1. 11 8
(c)
TABLA VIII
t R
^=°>3 0,6 1,0
¿i = 1,98
t - - i .. ■ i,—, 1,30 0,88
1 Véase la publicación de Th. Karman, ya citada, pág. 110. 8 Se supone que R es grande comparado con o, y que la distribución lineal de fatigas da resultados suficientemente exactos.
PIEZAS CITRVAS 115
tH Se ve que cuando —¿ es pequeño, la fatiga máxima real es
Cb
muy superior a la que se obtiene por la teoría corriente, despre-
ciando el aplastamiento de la sección.
Una teoría análoga a la expuesta ha sido desarrollada para el
caso de un tubo de sección rectangular L En el caso de que el tubo
delgado tenga sección cuadrada, el coeficiente le de la ecuación (100)
depende del valor de la relación b*
n = ------- , RH*
donde t es el espesor de la pared; R, el radio de la línea media del
tubo, y b, la longitud del lado de la sección. El valor de k es
k _ 1 + 0,0270 a ~ 1 + 0,0656»
Por ejemplo, si — = 0,1 y ^ = 50, se obtiene n = 25, y R *
por la ecuación (103), k = 0,63. La fatiga máxima en tubos de
sección rectangular aumenta en la misma proporción que la fle-
xibilidad; es decir, que en el ejemplo anterior el aplastamiento de la
sección aumenta la fatiga máxima en un 60
por 100, aproximadamente.
Si la sección de una pieza curva tiene
alas de anchura considerable, nuevamente
tiene importancia práctica la distorsión de
la sección. Este problema se presenta, por
ejemplo, al estudiar las fatigas de flexión en
un ángulo de un pórtico con sección en I —
fig. 72 (a)—. Considerando un elemento del
pórtico entre dos secciones consecutivas mn y m1a1, se ve que las
fatigas longitudinales de flexión o en las alas dan componentes en
dirección radial que tienden a flexar las alas —fig. 72 (b)—. De esta
flexión se origina una disminución de la fatiga longitudinal de
flexión a en los trozos de las alas a distancia considerable del alma.
Para tener en cuenta este hecho se utiliza un ancho efectivo ab del
ala al emplear la fórmu
(103)
116 RESISTENCIA DE MATERIALES
la (75) para la sección en I. El valor del factor a depende, como es
natural, déla flexibilidad de las alas, cuyo valor puede expresarse
por la cantidad (d)
donde t es el espesor del ala y r su radio de
curvatura. Para el ala del intradós, r — a, y para el ala exterior, r =
c. Los cálculos muestran que si (3 < 0,65, la flexión de las alas puede
despreciarse y se puede aplicar directamente la teoría desarrollada
en el artículo 11. Para valores mayores de fü se emplea la fórmula
(«)
que da 49 el ancho efectivo de un ala.
Sea, por ejemplo, el ancho de un ala, ó = 15 cm.; el radio
correspondiente, r = 20 cm., y el espesor, t = 2,5 cm. Por la fórmula
(d) se obtiene (3 = 2,80, y la anchura efectiva del ala, 0,35 X 15 =
5,25 cm.
19. Flexión de una barra curva fuera del plano de curvatura
inicial.—En lo anteriormente expuesto se ha supuesto siempre que
la flexión de la pieza curva acontecía en su plano inicial de
curvatura. Hay casos, sin embargo, en los que las fuerzas que
solicitan una barra curva no obran en el plano de la línea media de
la barra 50.
49 Para deducir esta fórmula, véase la tesis doctoral de Otto Stein-
hardt, Darmstadt, 1938. Los- experimentos realizados por Steinhardt están de acuerdo con la fórmula.
50 Varios problemas de este género han sido analizados por I. Stutz, Zeitschrift. d. Ósterr. Arch. v. Ing. Ver., pág. 682, 1904; H. Müller Bres- lau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, 2.a ed., pág. 258, 1913, y 4.a ed., pág. 265, y B. G. Kannenberg, Der Eisenbau, pág. 329, 1913. Ei caso de un anillo circular apoyado en varios puntos y solicitado por fuerzas perpendiculares al plano del anillo, ha sido analizado por E. Düsterbehn, Der Eisenbau, pág. 73, 1920, y por G. Unold, Fors- chungsarbeiten, núm. 255, Berlín, 1922. El mismo problema ha sido es-tudiado por C. B. Biezeuo, utilizando el método del trabajo mínimo (De lngenieur, 1927, y Zeitschrift. f. angew. Math. u. Mech,., vol. 8, página 237, 1928). La aplicación de las series trigonométricas al mismo caso ha sido expuesta por C. B. Biezeno y J. J. Koch, Zeitsehr. f. angew. Math. u. Mech., vol. 16, pág. 321, 1936. El problema tiene importancia práctica en el proyecto de tuberías para conducción de vapor. La bibliografía correspondiente figura en la publicación de H. E. May- rose, Journal of Ayylled Meehanics, Trans. A. S. M. E., vol. 4, pági-
PIEZAS CITRVAS 117
En este caso, es necesario considerar la deformación de la barra
en dos planos perpendiculares y también su torsión. Un ejemplo
sencillo de este género se ve en la figura 73 (a), en
la que un trozo de anillo circular horizontal, empotrado en A,
está
solicitado por una fuerza vertical P
aplicada en el extremo B l.
Considerando una sección general
de la barra D y tomando los ejes
coordenados como indican las figuras
73 (ó) y 73 (c) 2, se ve que los momentos
de la fuerza exterior P respecto a
dichos ejes son
Mediante estas expresiones se
calculan fácilmente las fatigas de
flexión y torsión para cualquier sección
de la pieza. Para el cálculo
de la flecha en el extremo B aplicaremos el teorema de Castigliano.
Suponiendo que las dimensiones de la sección recta de la pieza son
pequeñas comparadas con el radio R y aplicando las fórmulas de las
barras rectas (véanse págs. 285 y 289, Primera parte), la expresión
de la energía de deformación será, en nuestro caso,
tb)
donde O representa la rigidez a la torsión de la pieza 3. La flecha
pedida será, por consiguiente,
na 89, 1937. Véase también el libro de A. H. Gibson y E. G. Ritchie, A Study of the Circular-Aro Bow-Oirder, Londres, 1914.
1 Este problema fue estudiado por Saint-Venant, Comptes Ren- dus, vol. 17, París, 1843.
* Se ha supuesto que el eje horizontal x y el vertical y son los ejes de simetría de la sección, y que el eje z es tangente a la línea media del anillo en D.
3 El cálculo de C, para formas diversas de la sección transversal, se verá en el capítulo VL
0
B
Fio. 73
Mx — —PE sen (a—<p), Mv = 0,
■PIEZAS CURVAS 118
Poniendo, en vez de U, la expresión (ó) v observando que
c>M.r „ . . ¿M, = R [1 — eos (a ■— rp)], óP
dP
se obtiene
7Z
Eu el caso particular, a — será Z
EIX /3 tc (?-)}
Si la sección del anillo es circular, G = GIp = 2(7/x;
tomando P = 2,6 tí, se tiene
PP3
EL!
Como ejemplo de casos hiperestáticos, consideraremos
una pieza semicircular horizontal con los extremos empotrados y
cargada en su sección central —figura 74 (a).
Teniendo en cuenta solamente las
pequeñas deformaciones verticales de
la pieza, operamos con suficiente
aproximación, pues los corrimientos
horizontales, que despreciamos, son
cantidades de orden superior respecto
de las primeras. No hay, por
consiguiente, flexión del anillo en su
plano y no existirán momentos ni
fuerzas en
este plano en los extremos A y B. Considerando el extremo em-
potrado B, se deduce de las condiciones de equilibrio que en él
actuará una reacción vertical — y el momento Mx0 Z
bién existirá el momento Mz0, que impide girar a la
sección extrema B alrededor del eje z0% El valor de este momento
no pue-
■ R sen (a — <p) y
¡3 p|
* Jo | PR? É l sen2 (a 8 = ■ cos (« — ?)]2'd?. (104)
(e) ¿7
(105)
FIG. 74
PR . Tam
PIEZAS CURVAS 119
de determinarse por la estática; lo encontraremos aplicando el
principio del trabajo mínimo. De este modo, tendremos
— = 0. (d) éMt0
Para obtener la energía de deformación de la pieza, repre-
sentaremos los momentos aplicados en el extremo B por los PR
vectores —y y Mz0, tal como indica la figura 74 (6). Por tanto,
los momentos Mx y Mz, en la sección general D, serán
™ PR PR Mx = coscp — iue0sen9 sen<p, (e)
2 2
PR PR Mz = -- sen <p + M,0 eos © ------------ (1-— eos <p), (/)
2 2
y la expresión de la energía de deformación es
ü=2 Í l^- +^*)Rd9. (g) Jo \2EI, 20/
Sustituyendo este valor en la ecuación (d) y observando que
dMx ¿Mz — sen ©, = eos ©
dMz0 se obtiene
•K i n t P R , , ,P R \ ,
I i —- sen2 <p -f- Mz, sen2 ¡p sen <p eos <p ( d tp Pl* J o \ 2 2 /
7T
1 /*2 rPR PR i — I I — sentp COS9 -j- üfZ0cos2® ----------- (1 —coscp) eos ©d © = 0,
CJ0 L 2 2 J
de donde Mz, = ™ —1 j = — 0,182 PR.(106)
El signo menos indica que la dirección de Mz, es opuesta a la que
representa la figura 74 (a). Conocido Mz{¡, se calcula el momento
flector y el torsor para cualquier sección mediante las expresiones (e)
y (/).
120 RESISTENCIA DE MATERIALES
La flecha máxima acontece, evidentemente, bajo la carga y se
obtiene con facilidad mediante el teorema de Castigliano:
8 = — • (h) óP
Sustituyendo la expresión (g) en lugar de U, y observando que dMx R
- ------ =— (eos <p — sen cp), cP 2
¿>MZ R ..
= — (sen <p -f eos 9 — 1), (*) óP 2
Al calcular las derivadas parciales (i), no se ha terftdo en
cuenta el hecho de que el momento torsor Mz0 no es una cantidad
independiente, sino que es una función de P, tal como indica la
expresión (106).
Al tomar esto en consideración, el segundo miembro de la
ecuación (h) deberá escribirse en la forma
*ü *ü_ ,
dP sMl0 dP
Pero como el segundo término de esta expresión es nulo, en virtud
de la ecuación (d), el cálculo realizado para hallar el valor de Ó
resulta correcto.
Problemas
1. Una pieza curva con eje circular y abertura « = ~ (fig. 73)
está solicitada por un par torsor Mz = T, aplicado en el extremo B.
Hallar la flecha vertical del punto B.
¡¡■expuesta: Suponiendo EIX : G — 1,3,
se obtiene
PR3 (2_0,363,(í-I)+f[,2-0.363,g + í)
+ * — 4 + 0,363jj =0,514^1. (107)
8 = 2EIX
2 I 2 EIr
PIEZAS CURVAS 121
2. Resolver el problema anterior, suponiendo aplicado en el ex-
tremo B un par flector Mx = Ma en el plano vertical tangente a la línea
media en B.
Respuesta:
,M„Ra 8 = 1.150
KIr
3. Una pieza semicircular, con la línea media en un plano hori-
zontal, está empotrada en A y B, y cargada simétricamente con las
fuerzas P en G y D (fig. 7o). Hallar los mo-
*//, __________ *•' ///* mentos torsores Mz(¡ en los
empotramientos.
Respuesta:
|PIi g — eos ¡3 — ¡
4. Res
olver el problema anterior para el caso de una carga
vertical uniforme de intensidad q, distribuida sobre la longitud total
de la pieza.
Respuesta: =-0,32ÍR>.
5. La barra semicircular horizontal de la
figura 75 está cargada del modo indicado en el problema anterior y,
además, apoyada en la sección central P. Hallar la reacción vertical de
dicho apoyo F. Respuesta: N = 2 Rg.
>).
M„
CAPÍTULO III
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS
20. Flexión de una placa en superficie cilindrica.—Supon-
gamos que una placa rectangular de espesor uniforme h se flexa
en forma de superficie cilindrica 51 (figura 76).
En este caso basta considerar una tira de
anchura unidad, tal como A B, como una viga
de sección rectangular y luz l. De la condición
de continuidad de la placa se deduce que la
sección transversal de la tira no sufre la
distorsión indicada en la figura 77 (6), página
85,
Primera parte. Por consiguiente, una fibra longitudinal de la tira,
tal como ss (fig. 77), sufre, no solamente la fatiga extensora
longitudinal ax, sino otra fatiga <sz de direc
ción transversal tal que impida la contracción lateral de la fibra.
Supondremos como anteriormente (véase pág. 84, Primera parte),
51 Una flexión de esta naturaleza se presenta en el caso de placas
rectangulares largas, si las fuerzas que actúan no varían a lo largo de la placa y se considera únicamente un trozo de la placa a suficiente distancia de los extremos.
122 RESISTENCIA DE MATERIALES
que las secciones de la tira permanecen planas durante la flexión.
De esto se deduce que los alargamientos unitarios en las
direcciones x y z son
Las fatigas correspondientes en las direcciones x y z se obtienen
mediante las fórmulas del estado elástico doble (véanse ecuaciones
38, pág. 50, Primera parte), SzE Ey [iezE pJSy
- — — - • ------------------ a, = ------------ —
1 —¡r2 (1— ¡x2)r 1 —(X2 (1 — íxa) r
Procediendo como en el caso de flexión de una viga y calculando
el momento flector en una sección general de la tira, se tiene h h
* + S Z7» /*+ ó
M = f 2 axydy = ------------ - ------------- f
h " ~ 12(1 — y?)r 2
de donde
1 M r~ D siendo
D = ------- — ---------------------------------- (109) 12(1 —p2)
Esta cantidad se denomina rigidez a la flexión de una placa y
sustituye al valor Elz, utilizado en el estudio de vigas. Comparando
la ecuación (108) para una tira con la ecuación (56),
Primera parte, correspondiente a M ¡*i— ¿
Ti una rága, se ve que la rigidez de ■■■■■ J' ^\a la tira en la
placa es mayor que si
1/ yestuviese aislada
y que la relación
FIG. 78 de lasrigideces es 1: (1 —
p2).
Por vía experimental, se ha
visto que en el caso de flexión de una tira delgada aislada de
considerable anchura b, se presenta la distorsión de las secciones
únicamente en las proximidades de los bordes —fig. 78 (6)— y que
la parte central de la tira aa se flexa en forma cilindrica puede, por
tanto, aplicarse la ecuación (108) en el cálculo de las deformaciones
de la pletina, que será más rígida de lo que indican las fórmulas
(108)
'Cr
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 123
corrientes de vigas.
124 RESISTENCTA DE MATERIALES
1 + a = x . (/)
Para deformaciones pequeñas de la tira AB (fig. 77), la cur-
vatura * puede reemplazarse por su valor aproximado ~ y la
ecuación diferencial de la elásticade la tira es
D^y= — M. (110) dx2 '
El estudio de la flexión de una placa que, deformada, es una
superficie cilindrica, requiere la integración de esta ecuación. Un
caso particular de este tipo de flexión, cuando la carga está uni-
formemente distribuida, se estudia en el artículo siguiente.
21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud, cargada
uniformemente.—Si una placa rectangular cuya longitud es grande
comparada con su ancho, está uniformemente cargada, puede
suponerse que en la región central, donde la flecha y las fatigas
son máximas, la superficie elástica es, aproximadamente,
cilindrica y que puede emplearse la ecuación (110) para su cálculo
L Resolveremos este importante problema 2 para dos condiciones
en los bordes: 1.° Los bordes de la placa están apoyados y pueden
girar libremente durante la flexión, y 2.° Los bordes están
empotrados. En ambos casos se supone que no hay corrimientos de
los bordes en el plano de la placa. Con esta hipótesis, una tira
elemental tal como la AB (fig. 76) está en las mismas condiciones
que una varilla con carga uniforme (véase artículo 6.°) y fuerzas
tensoras 8. El valor de las fuerzas S se encuentra estableciendo
que el alargamiento de la tira es igual a la diferencia entre la
longitud de su elástica y la longitud l de la cuerda AB (fig. 76).
Bordes simplemente apoyados.—En este caso se obtiene nn
valor bastante aproximado para S, suponiendo que ia elástica es
una curva
í nx / *
y = o sen —, (a)
donde 8
representa
la
flecha
en el centro. Empleando
la
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 125
ecuación
(56),
página
50,
el
alargamiento de
la línea
de
centros de
gravedad de la tira es
1 /W<b= 2 Jo \dx)
Tomando para la flecha en el centro el valor aproximado de la
ecuación (59), se tiene
8 - - A-. (O 1 + a
de donde S0 = JL^ y x = S:8er = ~-, (111)
384 D Dn*
sustituyendo en la ecuación (6), se obtiene
X (d) 41(1 + a)2
La contracción lateral de la tira en el plano de la placa durante
la flexión se supone nula; por tanto, y en virtud de las ecuaciones
(109) y (111), el alargamiento de la línea media de la tira producido
por las fuerzas 8 es
, Slll — u2) e2«P A = ------------------------------------= --------------- • (e)
Eh 121
Igualando (d) y (e), se obtiene la ecuación siguiente para a y,
por tanto, para determinar 8:
382 a(l + «)2 = -TT* (H2)
Si se da la carga qy las
dimensiones de la placa, se conocerá
el segundomiembrode la ecuación (112). Suresolución se sim
plifica poniendo
126 RESISTENCIA DE MATERIALES
«a 2 3So ¡r3 —
a:2 = —-
es decir, la cantidad x es tal que se conoce la diferencia entre su
cubo y su cuadrado, por lo que puede averiguarse con facilidad en
una tabla apropiada y después deducirse a por la relación (/). La
flecha y fatigas de la tira AB se calculan empleando la tabla dada
para varillas (véase pág. 45). Para emplear esta tabla es necesario
recordar que, de las ecuaciones (23) y (111),
u = - = - Va. 1113) 2 2
Sea, porejemplo, una placa de aceroE = 2 X10® kg./cm.2,
de dimensiones l =108,5 cm. y h — 1 cm., cargada uniforme
mente a razón de q = 1 kg./cm.2.
La ecuación (112) será
a(l + a)2 = 290, (g) de donde
a = 5,97 y u = - Va = 3,83. 2
La fatiga de extensión
producida por la fuerza longitudi-
nal 8 es , _ S a.SCf 7.tt2D ~ h ~ ~h ~hP~
y el momento flector máximo en el centro de la lira, de la ecuación
(45), vale d»i(«¿). (h)
O
Empleando la tabla III, mencionada anteriormente, se en-
cuentra por interpolación, para u = 3,83, (u) = 0,131. Esto
muestra que por la acción de la fuerza longitudinal S, el momento
flector ha disminuido en gran parte y vale alrededor del 13 por 100,
del que correspondería a la carga transversal aislada. Empleando
la ecuación (h),
Entonces la ecuación será
913 kg. por cm.2
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 127
La fatiga máxima correspondiente a la flexión es
6 Mmix 6 x 1 9 3 1 1 K O , ax = ----------- = ----------------= 1,158 kg. por cm.2.
á2 l2
Superponiendo las dos clases de fatiga, se obtiene la fatiga
máxima
CTmáx = sí + «á = 913 + 1,158 = 2,071 kg. por cm.2.
Puede verse que, debido a la acción de la fuerza longitudinal, la
fatiga máxima no crece proporcionalmente a la intensidad de la
carga. Por ejemplo, supongamos, en el caso anterior, que sea q = 2
kg. por cm.2. De (g):
a(l + a)2 = 290 X 4 = 1,160, de donde
a = 9,85; u = 4,93.
La fatiga de extensión producida por la fuerza longitudinal S es a'x — - — 1,505 kg. por cm.2 h
(u) para u = 4,93 vale 0,082; luego
= = 6 x 2 X ÍO^2 = 1
45Q cm2
á2 8 X l2
La fatiga máxima total será g„„iv = GÍ -f- a"x — 1.505 +
1.450 = 2.955 kg. por cm.2.
Dicho de otro modo, debido a la acción de las fuerzas lon-
gitudinales 8, las fatigas aumentan menos rápidamente que la
carga. Cuando en nuestro caso la carga se duplica, la fatiga máxima
aumenta solamente en un 42 por 100.
Bordes empotrados.—En el caso de bordes empotrados, la
ecuación (a) se sustituye por la ecuación 52
S / 2 n x\ y = - 11 — eos , U 2l l )
52 Véanse las publicaciones del autor mencionadas anteriormente
página 46.
(Je)
128 RESISTENCIA DE MATERIALES
la cual satisface a la condición de bordes empotrados, ya que la
flecha y y el giro son nulos para x = 0 y x = l.
Sustituyendo (Je) en la ecuación (b), el alargamiento de la
línea media de la tira es
2 J0 \dx) 41
Para la flecha en el centro emplearemos la ecuación aproximada
(62)
s _ So
y entre (l) y (e) deduciremos la siguiente ecuación para a:
a\2 38?, ■ M - S -
(‘ + í) - '• se obtiene
x? — x2 = - — • (m) 4 h2
En el ejemplo numérico anterior, con q = 1 kg. por
centímetro cuadrado, la ecuación (m) será
x? — x2 — 2,90
de donde
x = 1,849 y « = 3,40.
Por consiguiente, la fuerza extensora es menor que en el caso de
bordes apoyados que antes hemos considerado en la relación
y obtenemos 0,97
O 4A o' = —— X 913 = 520 kg. por cm.2.
5,97
Para el cálculo de las fatigas de flexión se emplea la tabla III de
la página 45. En nuestro caso, u — ^ Va = 2,89, y la tabla,
Y poniendo
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 129
por interpolación, da <i2 = 0,686, = 0,488. El momento flec
tor en cada borde empotrado es
M = — 0,686 — = — 674 kg. cm. 12
La fatiga máxima por flexión será
a'í — 4045 kg. por cm.2.
La fatiga máxima total es 53
ffmáx 54= ax + = 520 -f- 4045 = 4.565 kg. por em.z.
Comparando estas fatigas con las obtenidas anteriormente
para la misma placa con los bordes apoyados, se observará que al
empotrar los bordes aumenta la fatiga máxima. Este resultado se
explica del modo siguiente: Debido a estar los bordes empotrados,
la flecha de la placa es menor y, por tanto, la fuerza longitudinal 8
y su efecto sobre el momento flector se amortiguan. En el caso de
bordes apoyados, el momento flector máximo era solamente 0,131
del producido por la carga transversal sola. Pero en el caso de
bordes empotrados, el momento flector en estos bordes es 0,686
del que produce la carga transversal aislada; es decir, el efecto de
la fuerza longitudinal se acusa más en el caso de bordes apoyados.
Este método aproximado puede utilizarse en el cálculo de las
fatigas en las planchas del casco de un barco sometidas a la
presión hidrostática.
La fatiga máxima depende, evidentemente, de la intensidad
• de la carga q y de la relación La magnitud de esta fatiga para el
caso de bordes apoyados y diversos valores de la relación j, viene
dada mediante curvas2, en la figura 79. Se ve que a
tí
causa de las fuerzas de extensión 8, que aumentan con la carga, la
fatiga máxima no es proporcional a q; para valores grandes de q
esta fatiga no varía mucho con el espesor de la placa.
53 Véase el artículo del autor en el libro Festschrifl zurn Siebzigsten
Oeburtstage Auguet Fóppl, pág. 74, Berlín, 1923.
fiESISTESOIA I» MATlltlAMS.—T. II
54 Estas curvas están tomadas del estudio de S. Way, presentado a la reunión de Mecánica aplicada, A. S. M. E., New Haven, junio 1932.
130 RESISTENCIA DE MATERIALES
En la figura 80 se dan las curvas de fatiga máxima para el caso
de placas con los bordes empotrados. Se ve que para pequeños
valores de la intensidad de la carga q, cuando el efecto de la fuerza
axial en las flechas de la tira es pequeño, la fatiga máxima crece,
aproximadamente, en la misma proporción que q.
Para valores mayores de q, la relación entre la carga y la fatiga
máxima no es lineal.
22. Deformación de placas rectangulares que tienen una pequeña
curvatura cilindrica inicial h—En este problema pueden utilizarse los
resultados anteriormente obtenidos para la flexión de vigas con una
pequeña curvatura inicial (pág. 109). Los bordes de la placa se
suponen apoyados y los ejes coordenados y la tira elemental se
toman tal como indica la figura 76. Sea
7T3J
2/o=6 sen (a) ¥
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3.500
J 2JS00
7 00
0.7 2J
Carga an Á'g./cm*
Fio. 79
|
«5 t.voo
1SÓ fiESISTEUCÍA t>E MATERTARE9
la flecha inicial de la placa, cuya flecha máxima en el centro es b. Si
se la aplica una carga uniforme q, se produce una deformación
adicional acompañada de una extensión de la superficie media 1 de
la placa.
Sea, como anteriormente, 8 la fuerza extensora para la
Grrya m /(gs./c*»*
Fio. 80
tira AB de ancho de unidad y a la relación de esta fuerza a la
carga crítica 8a = —p-. La flecha adicional producida por la carga q
es 80 TZX a.b TZX
a.b TZX
sen — < 1 + a í
El primer término del segundo miembro
representa la expresión aproximada de la flecha en urna tira de
línea media recta, usado anteriormente para placas delgadas; el
segundo miembro representa el efecto de la curvatura inicial —
véase ecuación (d), página 109.
sen 1 -1- a l
Vi
PLACAS Y EITVOLVENTES DELGADAS 131
1 ■+ a = x;
Sumando (a) y (6), se obtiene la flecha total
, nx S„ nx <xó nx 5+8n nx , . y=y0 + yi=bBen — +:—sen-— sen— = - °sen— ... (c) í 1+a I 1 + a t 1+a l
La magnitud de a se determina considerando el alargamiento
de la tira AB. Con el mismo razonamiento del artículo anterior, se
obtiene para este alargamiento la expresión
í=i rm’dx-1- rm'ix. 2 J0\dx) 2 \dxf
Sustituyendo (a) y (c) en esta expresión e integrando, se
obtiene ¡b 8n\2
41
Igualando este valor a la extensión producida por la fuerza
longitudinal S —ecuación (e), pág. 124—, tendremos
\(b + M* H - 4¿ L\ 1 + a/ J 12/
o bien
(115)
Si 5 = 0, esta expresión se reduce a la ecuación (112) para la
placa delgada plana.
Sea, por ejemplo, una placa de acero de las dimensiones del
artículo anterior:
l = 108,5 cm., 5 = 1 cm., 2=1 kg. por cm.2
y supongamos 6=1 cm. Tendremos
5 ol:^ 8„ = ____ — = 9,85 cm., 0 384 £
y la ecuación (115) da
«(1 + a)2 = 353,2 — 3 (1 + a)2. (d)
Haremos, como anteriormente,
Sustituyendo, será
132 RESISTENCIA DE MATERIALES
+ 2 a;2 = 353,2,
de donde
x = 6,45, a =5,45.
La fatiga de extensión producida por la fuerza longitudinal S
es S 0C7C 2D .
o* = — = --------- = 833 kg. por cm.2. h hl2 5 *
Esta fatiga es algo menor que la fatiga correspondiente para la
placa plana (véase pág. 125). Al calcular las fatigas por flexión,
debe tenerse en cuenta que la flecha dada por la ecuación (6)
consta de dos partes. La primera tiene la forma de la
correspondiente a una placa plana, y la segunda <x6 TZX
sen —, 1 -f- oc l
representa el efecto de la curvatura inicial. La fatiga máxima por
flexión correspondiente a la primera parte de la flecha para
a = 5,45; u = - Va = 3,67 y = 0,142 (tabla III, pág. 45), 2
es 1.250 kg. por cm.2. El momento flector correspondiente a la
segunda parte de la flecha es _ d2 I ab TZZ\ cuz2bD TZX , .
—D—| ---------------- sen — 1 = --------------- sen—• (e) dx2 \ 1 + a l } (1 + a) l2 l
Este momento tiene signo negativo y la fatiga máxima de
compresión que le corresponde es 6 oc7z2bD .
-------------------- = — 775 kg./cm.2. h2 (1 -{- a) i2
La unión de esta fatiga a la a' calculada anteriormente v a la
fatiga de 1.250 kg./cm.2 obtenida considerando a la placa como
plana, da la fatiga total ax = 833 -j- 1.250 — 775 = 1.308 kg. por cm.2.
Comparando este resultado con el deducido anteriormente para
una placa plana, se ve que ahora las fuerzas extensoras ¿J
SOD algo más pequeñas y que la fatiga de flexión en el centro es
mucho menor, debido al signo negativo del momento (e). Por efecto
de la curvatura inicial, la fatiga total se ha reducido desde el valor
de 2.071 kg. por cm.2, al de 1.308 kg. por cm.2. En nuestro caso, la
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 133
flecha inicial ha sido igual al espesor de la placa. Aumentando la
flecha inicial, puede reducirse en mayor grado la fatiga máxima.
23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares.—Consi-
deremos primeramente una placa rectangular flexada por mo-
mentos distribuidos uniformemente a lo largo de sus bordes (figu-
ra 81). representa el momento flector por unidad de longi
tud en los bordes paralelos al eje y, y M2 es el momento por unidad
de longitud en los bordes paralelos al eje x.
El plano equidistante de las caras de la placa denominado
plano medio le tomaremos por plano xy, y el eje z, perpendicular a
este plano, le orientaremos hacia abajo. Consideremos un
elemento de la placa (fig. 82) aislado mediante dos pares de planos
paralelos a los xz e yz. La flexión pura de la placa se basa en la
hipótesis de que durante la flexión las caras laterales del elemento
permanecen planas y giran alrededor de las lineas neutras n-n. Si el sentido de los momentos es el de la figura 81, la parte
superior del elemento queda comprimida y la inferior extendida.
El plano medio n-n no experimenta deformación alguna durante la
flexión y es, por tanto, la superficie neutra. Sean
las curvaturas de dicha superficie neutra en secciones paralelas a
los planos zx y zy, respectivamente; ios alargamientos unita
FIG. 81 Fia. 82
134 RESISTENCIA DE MATERIALES
rios en las direcciones x e y de una hoja elemental abcd situada a
la distancia z de la superficie neutra, por analogía al caso de una
viga (pág. 85, Primera parte), serán
s* = p % = («) r\ ' 2
Mediante las ecuaciones (38) (pág. 50, Primera parte), las fati-
gas correspondientes valen
^=-r1”2(1 + íx1)’
1 — ¡J.2 \rj r2l Ez
,, . , , (c)
( Í + , 1 ) . V2 rj
Estas fatigas son proporcionales a la distancia z
a la superficie neutra. Los momentos de las fuerzas internas que
obran sobre las caras igualados a los momentos exteriores, dan las
siguientes ecuaciones:
axzdydz = Mxdyf (d) h
üyzdxdz = M2dx. (e) h
2
Sustituyendo, en vez de ax y ay, las expresiones (b) y (c), y
teniendo en cuenta que
E r i -t2L
Siendo D la rigidez a la flexión de la placa
(ecuación 109), se tiene D(I + |i-) = Jfp
(116)
Vi rJ
Z ) ( - + f x ± ) = (117)
[X2
h + 2
I
£
n 12(1 —¡x2 2
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 135
Vi rj
expresiones análogas a la ecuación (56) (pág. 87, Primara parte),
correspondiente a la flexión pura de una barra recta.
136 RESISTENCIA DE MATERIALES
Llamando w a las flechas de la placa, aproximadamente
tendremos 1 éhv 1 _ ¿hjo
r, óx2 r9 ¿'y2 r j w*, t g
Sustituyendo en (116) y (117), sale
\ x2 o y *
i2w . óho\
¡iho , ¿¿w\
D ( ^ + ^ - s ) = J Í -
Análogas a la ecuación (79) (pág. 130, Primera parte), que da la
ecuación diferencial de la elástica de una pieza recta. En el caso
particular de que M1 = M2 = M, la curvatura de la elástica de la
placa en dos direcciones perpendiculares es la misma y dicha
elástica es, por tanto, esférica. La curvatura de esa superficie
esférica deducida de la ecuación (116) es
M
D( 1 + ¡x)
Esta elástica, en forma de superficie esférica, corresponde a
una placa plana de cualquier forma, si está solicitada por un mo-
mento flector M uniformemente distribuido a lo largo de su borde.
Hasta ahora hemos supuesto que la superficie media de la
placa no experimenta deformación alguna; es decir, es una su-
perficie neutra. Esta condición puede satisfacerse únicamente de
modo riguroso si la elástica de la placa es una
superficie desarrollable: por ejemplo, la
superficie cilindrica del artículo anterior.
Para superficies no desarrollables solamente
es una aproximación, y para que resulte
suficiente es preciso que la flecha w de la
placa sea pequeña comparada con el espesor
h. Para ver esto, consideremos la
flexión de una placa circular producida por pares M repartidos
uniformemente a lo largo de su borde. De lo expuesto se deduce
que la elástica es una esfera de radio dado por la ecuación (120).
(118)
(119)
1 (120)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 137
Sea AOB (fig. 83)la sección diametral de la placa flexada; a, su
138 RESISTENCIA DE MATERIALES
radio exterior, y 5, la flecha en el centro. Supongamos primera-
mente que no hay deformación en el plano medio de la placa en
sentido transversal; se tendrá
En este caso, la flexión de la placa viene forzosamente acompa-
ñada de deformación en sentido circunferencial. El valor de esta
deformación en el borde de la placa es
a — aí r 9 — r sen 9 r 9
Para una flecha 8 pequeña, el ángulo 9 es
pequeño y puede escribirse
con suficiente aproximación, teniéndose
(f) Ahora bien,
Este valor representa el límite superior de la deformación
circunferencial en el borde. Se ha obtenido suponiendo nula la
deformación transversal. En realidad, existe cierta deformación
transversal y la deformación circunferencial verdadera es menor
que la dada por la ecuación (k) 55.
La teoría expuesta de la flexión de placas desprecia por com
55 Si las flechas no son pequeñas, y se considera la deformación de
la superficie inedia, se ve que en el caso do flexión pura de una placa circular de radio a =» 2 Mi la fatiga circunferencial de compresión en el bordo de la superficie media vale el 18 por 100 de la fatiga máxima por flexión cuando ia flecha en el centro es igual a seis décimos del espesor de la placa. Véase la publicación del autor en Memoirs of the Institute of Ways of Oommunication, San Petersburgo, 1915. Véase tam-bién Theory of Platea and Shella, 1940.
e a
6
e S_
3r (h)
de donde
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 139
pleto la deformación en el plano medio y considera solamente la
deformación dada por las ecuaciones (a), cuyo valor máximo
en el ejemplo expuesto sería Se deduce, por tanto, que la
deformación dada por (k) puede despreciarse y considerar como
neutra la superficie media cuando — sea pequeño comparado h con —; es decir, si la flecha 8 es pequeña comparada con el
espesor h de la placa. Solamente en esta hipótesis los resultados
que después obtendremos para casos concretos pueden utilizarse
con la aproximación deseada.
24. Fatigas de origen térmico en las placas.—La ecuación (120)
del artículo anterior se utiliza mucho para el cálculo de fatigas
debidas a un calentamiento irregular de una placa. Sea t la
diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de
una placa y a el coeficiente de dilatación lineal del material que la
forma. Suponiendo que la variación de temperatura a lo largo del
espesor de la placa sigue una ley lineal, las dilataciones
correspondientes también la seguirán, y si el borde de la placa
está libre, la elástica que tomará la placa será una superficie
esférica 56. La diferencia entre la dilatación imitaría
máxima y la dilatación en la superficie media es ^ y la cur- ¿i
vatui'a debida a esta dilatación variada la dará la ecuación
orí h
T ~ 2V
de donde ai
r ( n i )
Esta flexión de la placa no produce fatiga alguna con tal de
que el borde de la placa esté libre y que la flecha sea pequeña
comparada con el espesor.
Si, por el contrario, el borde de la placa está empotrado, el
calentamiento producirá momentos flectores a lo largo del borde.
56 Se supone que las flechas son pequeñas comparadas con el espe-
sor A de la placa.
140 RESISTENCIA DE MATERIALES
El valor de este momento deberá eliminar la curvatura debida al
calentamiento irregular dada por la ecuación (121), para de este
modo satisfacer la condición de empotramiento. De las ecuaciones
(121) y (120), se obtiene para valor del momento por unidad de
longitud en el borde empotrado:
y.t(\ -j- [L)D h
Puesto que M obra sobre una sección rectangular de ancho
unidad y altura h, la fatiga máxima correspondiente será
Esta fatiga es proporcional al coeficiente de dilatación a, a la
diferencia de temperatura t57 entre las dos caras de la placa y al
módulo de elasticidad. La diferencia de temperatura t crece al
aumentar el espesor de la placa y, por consiguiente, las fatigas de
origen térmico son mayores en las placas gruesas que en las
delgadas. Conviene hacer notar que la ecuación (122), deducida
para placas planas, es válida también con suficiente aproximación
para chapas de forma esférica y cilindrica (véase pág. 267).
25. Flexión
de placas circulares cargadas simétricamente
respecto del centro ®. — En este caso, la
superficie elástica es simétrica respecto al
eje perpendicular a la placa en su centro, y
para estudiar las fatigas y deformaciones
basta considerar una seo- ción diametral
que pase por dicho eje. La figura 84
representa esa sección después de la deformación con su eje de
simetría oz. Sea w la flecha de la placa en un
57 t representa la diferencia de temperatura entre las dos caras de
la placa, y no entre los líquidos o gases en contacto con dichas caras. Esta última, debido al cambio brusco de temperatura en la superficie de la placa, puede ser mucho mayor que í.
M
6 M
h2 (122) ■)máx
h3 6a£(l + \i)D <xt E ~~ 2
1 — fX
FIG. 84
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 141
punto cualquiera maciones,
representa el eiro de la superficie elástica en dicho punto. La
curvatura de la placa en la sección diametral xz es
1 dhjo d© , . — = ------------- = (a)
r, dx2 dx
Para determinar el radio de curvatura r2 en dirección perpen-
dicular al plano xz, es necesario observar que después de la defor-
mación las secciones planas tales como nm, forman una superficie
cónica de vértice B, punto de intersección de nm con el eje oz. Por
tanto, AB es el valor del radio r% y de la figura se deduce
1 © - = ‘ - - (b) r2 x
Suponiendo que las relaciones establecidas entre curvaturas y
momentos flectores para el caso de flexión pura de una placa
(artículo 23) son válidas para el problema que nos ocupa, y sus-
tituyendo las expresiones (a) y (b) en las ecuaciones (116) y (117),
se V
obtiene - ------- ~CAJ&%zZ2r\- -----------
M1 = Dp + n (123) "La, ¿LJllT~r \dx xl
J,,_I>(? + |1|?). (124, ! ------------ \x dxI — "
Fio. 85
Igual que anteriormente Mx y M2 representan momentos
flectores por unidad de longitud, Mx, a lo largo de secciones
circunferenciales tales como mn, y M2, a lo largo de secciones
diametrales xz. Las ecuaciones (123) y (124) contienen solamente
una variable, <p, que se determina estableciendo el equilibrio de
un elemento de la placa abcd (fig. 85), separado mediante dos
secciones cilindricas ab y cd, y dos secciones diametrales ao y bo.
El par que obra sobre la cara cd del elemento es
MxxdQ. (c)
dw
dx
142 RESISTENCIA DE MATERIALES
El par correspondiente en la cara ab es
(M1 + —58 dx) (x + dx)d%. (d) dx
Los pares sobre las caras ad y be valen cada uno M2dx y su
resultante en el plano xz es
M2dxdQ (e)
Además de estos pares, tendremos en las caras ab y cd las
fuerzas cortantes V x. Si V representa la fuerza cortante por
unidad de longitud, la total correspondiente a la cara cd del ele-
mento es VxdQ. Despreciando cantidades de orden superior, la
fuerza cortante sobre la cara ab tendrá el mismo valor. Estas dos
fuerzas dan un par en el plano xz igual a
VxdMx. (/)
Sumando los momentos (c), (d), (e) y (/), con sus signos, la
ecuación de equilibrio del elemento abed es
(Mx + dx) (x + dx)dQ — MxxdQ — M2dxdQ + VxdxdQ = 0, dx
de donde, despreciando cantidades de orden superior, se obtiene
M1 + d^x- Jf2 + Vx=0. (g)
dx
Sustituyendo, en vez de M í y M2, en la ecuación (g), los valores
(123) y (124), se obtiene
+ = (125)
dx2 x dx x2 D
En cada caso particular de carga simétrica sobre placa cir-
cular, se determina la fuerza cortante V mediante las ecuaciones
de la estática, y después, usando la ecuación (125), el giro 9 y la
flecha w de la placa. Sea, por ejemplo, una placa circular solicitada
por una carga uniforme de intensidad q y una fuerza concentrada
P aplicada en el centro. Cortando la placa por una su
58 Se deduce por simetría que sobre las caras be y ad del elemento
no actúa fuerza cortante alguna.
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 143
perficie cilindrica de eje oz y radio ox, la fuerza cortante V por
unidad de longitud se hallará estableciendo el equilibrio de la
parte interna de la placa. La carga exterior que actúa sobre dicho
trozo es P + rzx2q. Esta carga será igual a la resultante de las
fuerzas cortantes distribuidas sobre la sección cilindrica, y, por
tanto, 2nxV = P -f nx2q,
de donde
F = — -f —. (126) 2 2toc
Sustituyendo en la ecuación (125),
d‘¿(p 1 dcp 9 1f qx
dx2 xdx x2 D
j^ri d
dx
\x dx J D \ 2 2 TZX/
de donde, integrando
- j (*?) = ~ y. i~- + ~ log„ x\ -f Gv (h)
xdx D \ 4 2 7t /
siendo O, una constante de integración. Integrando (h), se obtiene qx4 P [x2 logn x x2 •A/y — - 1 — - —
o sea,
’“=-£>-8-S(2")g-I-1, + ^ + T <I2,)
Siendo O, una segunda constante de integración. Para de-
formaciones pequeñas (fig. 84),
dw
y sustituyendo en (127),
( f + £ )
)ÍÜ?£LÍ_Í\ + C1?! + C, 16Z> 2 tzD \ 2 4/ 1 2 *
144 RESISTENCIA DE MATERIALES
64 D 32 D
de donde, integrando,
qx* , Px2 G,x2 w = nñ + ¿r~¿( l o£n X~ ^--------------------------- 2 !°g« * + C¡¡- f128)
64 A> 8 7ZJU 4
Las constantes de integración Gv C2 y C3 se determinan, en
cada caso particular, por las condiciones en el borde de la placa.
En todo lo expuesto se ha admitido que la superficie media de
la placa es una superficie neutra; es decir, que no existe de-
formación en ese plano. Esta hipótesis es válida solamente si el
borde de la placa está libre de tensiones en la superficie media de
la placa y si las flechas son pequeñas comparadas con el espesor
de la placa.
26. Placa circular cargada uniformemente.—Borde empotra-
do.—El giro y la flecha se obtienen haciendo P = 0 en las ecua-
ciones (127) y (128). Al estar el borde empotrado, 9 = 0 para x = a y
para x = 0, siendo a el radio exterior de la placa, obteniéndose de
este modo las ecuaciones siguientes
derivadas de la (127):
(i l — -=0,
y sustituyendo estos valores en la ecuación (127), se obtiene
9 = -q—(a* — x2). (129) 16 D
Las flechas se calculan mediante la ecuación(128).Poniendo
en esta ecuación P = 0 y los valores (ct) delasconstantes C,
y C2, tendremos qx4 qa2x2
w — ------------------- - -- \- GV (o) 64 D 32 D *
qx3 Gl x
16 D 2 ~~ x j
' qx? C-jX
.16 D 2 Xi
') ■ / % =0
de donde C2 = 0 y G. = 9—, (a)
2 1 8 D
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 145
Puesto que en el borde la flecha es nula tendremos
f f ° ‘ + o 1 = o ,
146 RESISTENCIA DE MATERIALES
64 D 32 D
de donde
64 D
Sustituyendo en la ecuación (ó) se tiene
w = (a2 — x2)2. (130) 64 D
La flecha máxima, correspondiente al centro de la placa, vale
*=*£. (131) 64 D
Esta flecha es s/8 de la flecha de una tira (fig. 76) empotrada en
los extremos y de longitud igual al diámetro de la placa. Los
momentos flectores se obtienen por las ecuaciones (123)
y (124), sustituyendo en ellas, en vez de 9, el valor (129). Se
obtiene J/1 = -^[a2(l + (x)-x2(3 + p)], (c)
lo
[a2 (1 + p) — x2 (1 + 3 g)]. (d) 16
En el borde (x = a), estas ecuaciones dan o o
En el centro (x = 0),
Ml=M3 = í-±Pqa*. (/) 10
La fatiga máxima acontece en el borde y su valor es
, , _ 6 g o 2^3?a2 Mmáx - ¿2 g 4
Borde simplemente apoyado.—Utilizaremos para resolver este
caso el método de superposición. Se ha visto —ecuación (e)— que
en el caso de borde empotrado existen en él momentos ne- 2
gativos de valor Mx = — — —fig. 86 (a)—. Si este caso se 8
147 RESISTENCIA BE MATERIALES
1 16 qa\
combina con la flexión pura de la figura 86 (b), con objeto de eli-
minar el momento flector del borde, tendremos la flexión de una
placa con el borde simplemente apoyado. La deformación debida
a la flexión pura se obtiene por la
ecuación (120). Sustituyendo en esta
ecuación
*■ 8.0(1 + fi)
La flecha correspondiente en el centro de un casquete esférico
es (véase pág. 90, Primera parte)
a2 qa4,
2r 160(1 + (i)*
Sumando esta flecha a la (131), obtendremos la flecha total
Para fi = 0,3 esta flecha es unas cuatro veces mayor que la que
corresponde a borde empotrado.
Para el cálculo de los momentos flectores es necesario super-
poner a los momentos (c) y (d), encontrados para el caso de borde
empotrado, el momento constante
qa% 8
Se obtiene
^i = 4(3 + ^(a2-a:^ 16
= -£[«*(3 + (z)-^a + 3,1)]. ib
El momento flector máximo acontece en el centro y vale
Fia. 86
\M, se tiene
8
PLACAS Y ENVOI/VWTES DELGADAS 148
La fatiga máxima correspondiente es
Para comparar las fatigas de flexión ax y <t„ en la cara inferior
de la placa, según que el borde esté empotrado o apoyado, se ha
representado en la figura 87 la variación de estas fatigas a lo
largo del radio de la placa. Midiendo las ordenadas desde el eje
horizontal que pasa por el punto 0, se obtienen las fatigas para
el caso de borde empotrado. Añadiendo a estas fatigas el valor
constante es decir, midiendo las ordenadas desde el eie 4/r J
horizontal que pasa por el punto O j de la figura 87, se obtienen
las fatigas para una placa simplemente apoyada. Se observará
que la distribución de fatigas en el caso de borde empotrado es
más favorable.
Hasta ahora hemos despreciado el efecto de la fuerza cortante
en la deformación. Cuando el espesor de la placa es maycr de lo
corriente, comparado con su radio, esta influencia puede ser
considerable y debe tenerse en cuenta L La flecha adicional por
cortadura se encuentra de modo análogo a lo hecho para
qa2 ~h2 (134)
8
6üfj 3(3 + (X)
á2
10
149 ■RESISTENCIA DE MATERIALES
(136)
vigas (artículo 39, Primera parte). En el caso de carga uniforme, la
fuerza cortante (ecuación 126) es
Si se supone sobre el espesor de la placa la misma distribución
de fatiga cortante que en el caso de una barra de sección
rectangular, la fatiga es máxima en la superficie media y su valor
a una distancia x del centro de la placa es
_ 3 F _ 3 qx 2
h 4 h La distorsión correspondiente será
T 3 qx y ~G~ iOh
y la flecha adicional debida a esa distorsión en el elemento abcd
(figura 85) es
Sumando estas flechas a lo largo del radio de la placa v te-
niendo en cuenta que en el borde la flecha es nula, se obtiene
Uniéndola a la flecha (130) debida a ios momentos flectores, se
tendrá la flecha total
o, utilizando la ecuación (109),
La flecha en el centro es
150 RESISTENCIA DE MATERIALES
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 151
En el caso de placas gruesas, el segundo término del parén-
tesis, que representa el efecto de la fatiga cortante, puede ser de
importancia práctica.
La teoría expuesta sobre placas circulares está basada en que
las flechas son pequeñas comparadas con el espesor. Para flechas
grandes debe tenerse en cuenta la deformación de la superficie
media. De este modo puede verse que para grandes flechas la
placa resulta más rígida de lo que indica la teoría expuesta 59 y las
flechas no son proporcionales a la carga. En el caso de una placa
circular cargada uniformemente y con el borde empotrado, la
flecha puede calcularse por la ecuación siguiente a:
que está de acuerdo con los resultados experimentales. En las
aplicaciones se emplean a veces placas muy delgadas. En estos
casos, las fatigas de flexión son pequeñas comparadas con las co-
rrespondientes a la deformación de la superficie media y la placa
puede considerarse como una membrana sin rigidez a la flexión s.
La flecha en el centro de una membrana circular cargada
uniformemente viene dada por la ecuación
(138)
El mismo resultado se obtiene despreciando 8 en la ecuación
(137) frente al término 860. Los experimentos realizados con
membranas están de acuerdo con la ecuación (138) 61.
En el caso de una placa circular uniformemente cargada, de
espesor variable, la variación del espesor con la distancia radial
puede expresarse con suficiente exactitud por la ecuación fie»
e 6a’
59 Véase la publicación del autor, ya citada, pág. 133. Véase tam-
bién Theory of Piales and Shells, 1940. ’ Véase H. Hencky, Zeitschr. f. Math. u. Physik., vol. 63, página 311,
1915. 61 Bruno Eck, Zeitschr. ). angew. Math. und Mech., vol. 7, página 498,
1927. Para información y diagramas, véase Techn. Notes, 738, 1939, en Nat. Adv. Cotnm. Aeron.
h
152 RESISTENCIA DE MATERIALES
donde — es la relación entre el espesor a la distancia x y el es- n0
pesor h0 en el centro, y p una constante. La forma de ia sección
diametral de la placa para diversos valores de la constante 8 se ve
en la figura 88. La fatiga máxima por flexión aT en dirección
radial a la distancia x del centro, viene dada por ia expresión
3aa2 °x = ÍT*
donde y es un factor que varía con la distancia radial x. Los valores de este factor 62 para una placa con el borde em-
62 Estos valores están tomados del trabajo de O. Piehler, Die Bieguny
Kreiwymmeirischer Dlutten von Veranderlicher Dicke, Berlín, 1928.
Fia. 88
Fia. 89
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 153
pofrrado vienen dados por las curvas de la figura 89. Para borde
simplemente apoyado, las curvas son las de la figura 90.
27. Placa circular cargada en el centro.—Borde empotrado. En
este caso liaremos q = 0, en la ecuación (127), y se obtiene . CjX 0„ = -—-(2 log„ « — 1) + -r- + —■ onD 2 x
Las constantes de integración Gx y C2 se hallan
estableciendo que <p es nulo en el borde empotrado y en el
centro de la placa. Por consiguiente,
+ T + TL = 0'
Como (x logw x)x=0 = 0, los valores de las constantes, deducidos
de las ecuaciones (ó), serán
Gi = - — (2logn a— 1); 4 nD
y la ecuación (a) quedará de
la forma 9
Sustituyendo los valores (c) de las constantes y haciendo
FIG. 90
*-
(a)
(6)
C2 = 0, (c)
Px , o 4nD
x (d)
154 RESISTENCIA DE MATERIALES
q = 0 en la ecuación (128), se obtiene para la superficie elástica la
expresión iv = / log„x — -1] + C3. (e)
8tZD\ a 2/
La constante C3 se calculapor la condición de que la flecha Pa%
es nula en el borde empotrado y su valor resulta Os =
Sustituyéndolo en la ecuación (e), se obtiene
P/Ü T P «>= — l0g»' + 7 ^ r W
SnD a 16 nD
La flecha en el centro de la placa es 8 \&izD
Esta flecha es cuatro veces mayor que la que produciría una
carga del mismo valor distribuida uniformemente (ecuación 131).
Los momentos Sectores se calculan por las expresiones (123) y
(124), utilizando la ecuación (d):
^,= — [ (1 + 1* ) log„ - - l ] ,
4tc 1 x J
„ P f„ , , a il/2
(?)
”1(1 + ?) l°gn ---- !*]• (h)
4 7T [ x \
En el borde (x = a) estos momentos son
P P
Ml ------------ ; M% = — jx —, (140) 4 71 471
y las fatigas máximas correspondientes,
3 P 3 ^ P = - • —> <rM = — --------------------------------- (141)
2 uá2 2 7zh2
Comparando estos valores con la ecuación (132), se ve que una
carga concentrada produce en la placa circular con borde empotrado
(139)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 155
fatigas dobles que las que origina otra del mismo valor distribuida
uniformemente sobre la placa.
En el centro de la placa, las ecuaciones (g) y (h) dan valo
156 RESISTENCIA DE MATERIALES
res infinitos para los momentos flectores y fatigas. Este resultado se
debe a la suposición hecha de concentración de la carga en dicho
punto 63. Si se supone que la carga está distribuida sobre un pequeño
círculo, las fatigas son finitas (véase página 154).
Para determinar las dimensiones apropiadas de una placa
circular cargada en el centro, podemos limitamos al cálculo de la
fatiga extensora máxima por flexión en la cara inferior de la placa.
Ya se ha dicho que las ecuaciones (g) y (h) no sirven para ello y,
mediante estudios más detallados 2, se ha visto que la fórmula
apropiada para el cálculo de la fatiga mencionada es
^ i1 + [J.) (o,485 log^ + 0,52j (142)
aunque la fatiga de compresión en la cara superior de la placa puede
ser varias veces este valor cuando la concentración de la carga es
muy acusada, dado su carácter de fatiga muy localizada no Bupone
peligro desde el punto de vista de la resistencia de la placa. La
fluencia local en el caso de un material dúctil no afecta a la
deformación general de la placa si las fatigas en su cara inferior
quedan por debajo del límite de seguridad. La resistencia a la
compresión en un material quebradizo es varias veces mayor que su
resistencia a extensión de modo que las placas formadas por
materiales de esta clase responden también a las condiciones de
seguridad si las fatigas en la cara inferior de la placa quedan por
debajo del límite de seguridad.
Borde apoyado.—La deformación de una placa apoyada se
obtiene por el método de superposición. A las flechas (/), corres-
pondientes al caso de borde empotrado, se superponen las pro-
p ducidas en la placa por los momentos Mx = -—, distribuidos
4TC
uniformemente a lo largo del borde, y de este modo se obtienen
63 Las fatigas locales en el punto de aplicación de una carga con-
centrada han sido estudiadas por ri. Hencky, Der Spannungszustand in reohteckigen Platten, Darmstadt, pág. 54, 1913. Véase también A. Na- dai, Elastische Platten, pág. 97, 1925.
* Este caso está desarrollado cu Theory oj Plates and Shells, página 75, 1 El efecto de las fatigas cortantes que produciría discontinuidad en
el giro para la circunferencia x = b se desprecia en este caso; véase la publicación de G. A. Garabedian, J. de l'École Polytechnique, 2.* serie, C, núm. 26, 1927.
157 RESISTENCIA DE MATERIALES
las correspondientes al caso de borde apoyado. La curvatura p
producida por ios momentos M1 = — (ecuación 120; es 4r7T
1 P
r 4tt(1 + \L)D y la flecha
correspondiente en el centro será * a2 Pa2 6 i= =
2r 8tt(1 -f- fx)D
Añadiendo este valor a la ecuación (139) se obtiene como flecha
correspondiente al centro de la placa con borde apoyado,
8 = W + _ ^ _ ^ x Ü J í . (143) 16tcD 8tc(1 + [i.)ü 16tcD 1 -f- p
Esta flecha es alrededor de 2,5 veces mayor que la corres-
pondiente al caso de placa empotrada.
Las expresiones de los momentos flectores se encuentran
P añadiendo — a los momentos (g) y (h) obtenidos en el caso
de borde empotrado. La fatiga máxima extensora se obtiene 6 P añadiendo —— a la dada por la fórmula (142).
47Cft*
28. Placa circular cargada concéntricamente.—Comenzaremos
por el caso en que la carga está distribuida uniformemente
sobre una circunferencia de radio b (figu- .-I
ra 91). En este caso, estudiaremos por
separado la parte de placa anterior a esta 91
circunferencia y la exterior. Para
ambos
trozos se utiliza la ecuación general (128),
haciendo g = 0 en los dos y P = 0 en el trozo interior. Las constantes
arbitrarias se calculan de modo que satisfagan a las condiciones de
continuidad en la circunferencia x = b 64. Representando por P la
carga total, se obtienen los resultados siguientes *:
64 Véase la nota al artículo 45 de la traducción, debida a St. Venant,
del libro de Clebsch, Theorie der Elasticilát festcr Kórper, París.
158 RESISTENCIA DE MATERIALES
Borde empotrado.—Para el trozo interior (x < ó),
v> - f- (*2 + b2) logn~ + (x2—b2) + ^(l + (a2— ¡r2)]. (a) 87rZ>L b 2\ a2/ J
Para el trozo exterior (x > b),
w = —[— (x2 + ó2) log« - + ¡1 + (a2 — x2)]. (b) 87tZ>L x 2\ a2! J
Borde apoyado.—Para el trozo interior (x < b),
w = [— (x2 + 6») logB ^ + (x2 — 62) 8nD L b
l
2(1 +(<)<•• 1 Para el trozo
exterior (x > 6), [_ (a;2 + ¿2) iogB ® + (3±J¿) a2 - H ~j¿) W (a2 _ _ ^.2)1 {d]
87cP|_ * 2 (1 + (r)a2 J
Utilizando estas ecuaciones y el método de superposición,
pueden resolverse casos variados de Dlaca circular careada si-'Af*- c ~*t*~ e “d v,
métricamente. ------------------------------------------------------------------------------- (¡
---------------------------------------------------------------------- MIUIWIHIIWIHHimil
Sea, por ejemplo, el caso de ¿
la figura 92, en el que la carga pIO, 92
está distribuida uniformemente
sobre la parte interna de la placa definida por la circunferencia
de radio c. Poniendo en la ecuación (a) 2 nbqdb en lugar de P, la
flecha producida en el centro de la placa por el anillo elemental de
carga señalado en la figura será
dw = — b2 log„ ^ — b2 + l(a2+
ó2)j bdb. (e)
La flecha producida por la carga total es S = fo^ = áP Jo [~62^ l~b2 +^(a2 + fc2)]bdb
o I c4, a 3 o^2! = ~r logn C4 -1 ------------------------- . (144)
1D[ 4 c 16 4 |
)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 159
Si c — a, esta ecuación coincide con la ecuación (131), co-
rrespondiente a una placa uniformemente cargada. Poniendo en la
ecuación (144), c = 0 y nc2q = P, se obtiene la ecuación (139), que da
la flecha para una carga concentrada. Para determinar los
momentos flectores y fatigas en el centro de la placa, tomaremos la
derivada segunda con relación a a; de la expresión (a). Haciendo x =
0 y P = 2 nbqdb en esta derivada, la curvatura en el centro,
producida por la carga anular elemental (fig. 92) será
La curvatura en el centro producida por la carga total es
& _ - L £ ( _ ! b g . í + 1_ 3« \dx2lx^0 4 D %
+ (145) 1 \ c 4 a2'
El momento flector correspondiente en el centro,
en virtud de las ecuaciones (118) y (119), es
.. ,,,, , .d'Mv i + u „a, c2 \ = + -■■ qc2 l o g „ - + — ) dx2 4 \ c 4 a2!
Representando por P la carga total nc2q, y calculando las
fatigas máximas por flexión en el centro, se obtiene
Mmi* = K)más = l (i + fi) (log» - -f —J. (147) 2 h2 \ c 4a2l
O bien
(°T)mái = (CTi/)máx = “ (1 + !*■)“, (l°g»~ + ' “) • (148) 2 nh,2 \ c 4 a2/
Disminuyendo el radio c del círculo sobre el que está distribuida
la carga, nos aproximamos al caso de carga concentrada. Las fatigas
en el centro aumentan a medida que c disminuye; pero son finitas
mientras lo es c.
29. Deformación de una-placa circular que tiene un agujero en su
centro y está cargada simétricamente.—Flexión por pares.—Sean Mla
y Mu los momentos flectores por unidad de longitud en los bordes
exterior e interior, respectivamente —figu
4 D\
(146)
160 RESISTENCIA DE MATERIALES
ra 93 (a)—. Para este caso, P — q = 0, en las ecuaciones (127) y
(128), y se tiene G, x G, --- +-
C2 logn h ^3-
(a)
(b) w ■
Las constantes arbitrarias se determinan por las condiciones en los
bordes. Sustituyendo (a) en la ecuación (123), se obtiene ci + ^)
Haciendo r = a y después x = 6, se obtienen las ecuaciones
siguientes para determinar Gx y C2:
(1 + \L)D(UZ —- 62)
La constante G3 se determina considerando la deformación
de la placa. Supongamos, por ejemplo, que la placa está apoya-
da en el borde exterior; la flecha
en ese borde será nula y C3 se
calculará mediante la expresión
siguiente, deducida de (ó): Cxaz
La superficie elástica de la placa se o b t i e n e
sustituyendo Fio. 93
Gv C2 y C3 en la ecuación (b).
Como segundo ejemplo, consideremos el caso de flexión de la placa
por los pares Mla, cuando el borde interno está empotrado —fig. 93
(6)—. Las constantes arbitrarias Gx y C2 de la ecuación (a) se
determinan por las condiciones
< p = 0 para x = b y Mx = Mla para x = a.
a*b*(Mla - Mlb) (1
— (x)H(a2 — bz)
■ * >
] =
(4)j = de donde
1&>
0.
M,
(C)
D ^ ( l + p ) -
b*Mlb)_
- % a - a2
Sa- n M
C, (d)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 161
Tendremos, por tanto, de las ecuaciones (a) y (c)
M + -7^ = 0, +
de donde 2 a2M.
10
ZW1 + (i) + 63(1 — (x)]
Z)[a2(l + + — {*)]
Sustituyendo en (a) y (c),
a2M,0 9 =
X>[«2(1 + ia) H- 62(1 — n)]
a2M — [ i + | 1y .
Flexión para una carga uniformemente
distribuida a lo largo de los bordes interno y externo.—Si la flexión
está originada por
una carga uniformemente distribuida a lo largo de los bordes —fig.
94 (a)—, g = 0 y ? e s igual a la carga total sobre el borde interno.
Estos valores se sustituyen en las ecuaciones (127) y (128), y de la
ecuación (127) se deduce
Pa: ... , C.x C2 <P = — — (2 log„ *— 1) + + -S, oní) 2x
Las constantes arbitrarias Ct y C\ se determinan por las
ia D’
( e)
( /)
a2(l + (i) + 62(1
fr,;.Vr uw/%v/Á 1 (0)
Fio. 94
(9)
162 RESISTENCIA DE MATERIALES
condiciones en los bordes. Por ejemplo, si la placa está empotrada
en los bordes —fig. 94 (6)—, las constantes se encuentran por ser 9
= 0 para x = a y x = b. Entonces, de la ecuación (g) se deduce POj _ , , (y -mCt . C2 A
__ <2 log.a-U + J - + - = , ) ,
_ « p b g . t - D + a í + a . o . 8 TZD 2 ó
La expresión de 9 se obtiene una vez calculados los valores C, y
C» sustituyéndolos en la ecuación (g). Los momentos flectores
pueden calcularse entonces mediante las ecuaciones (123) y (124).
En el caso de una carga uniformemente distribuida —figura 95
(a)—, la fuerza cortante F en un punto a la distancia x del centro es F = — nq(x3 — ó2) = —
2 -KX 2 2 a:
Esta cantidad debe sustituirse en la ecuación (125), y las
ecuaciones (127) y (128) son entonces
qx3 qb3x . . C.x C’2
,= -M U t ~x
7rF)~b'^-(loSn^~í)~~' — G2]ognx+Cs. 641) 8X> 4
Para determinar las constantes arbitrarias, se utilizan las
condiciones en los bordes. Por ejemplo, si la placa tiene los bordes
empotrados, las ecuaciones que determinan Oj y Cz son qa3 qab2 C^a C2
-b+M{2log65a-1)+h + «=*
qb3 qb3 Cjb C2 + ~ (2 iogn b — 1) -f -L +-2 = 0.
16 D 8D 2 b
Mediante la combinación de soluciones estudiadas en este
articulo pueden resolverse problemas prácticos tales como la
65 Problemas variados de este género pueden verse en la obra de
M. Ensslin, Dinglers Polytech. Journal, 1903 y 1904. Véase también Pfleiderer, Forschungsarbeiten, núm. 97, 1911. Diversos experimentos realizados con émbolos se describen en el artículo de C. Codron, Revue de Mécanique, vol. 13, pág. 340, 1903. M. Schilhansl ha estudiado las placas circulares reforzadas con nervios; véanse Zeiíschrif. /. angew. Mathem. und Mech., vol. 6, pág. 434, 1926, y F. D. /., vol. 71, página 1154, 1927. Un estudio completo de las placas circulares puede verse en Theory of Platea and Shells, 1940.
* Véase la publicación de A. M. Wahl y G. Lobo, Trans. A. S. M. E.. vol. 52. 1929.
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 163
flexión de los émbolos de las máquinas de vapor y la flexión de las
aletas 1 de los cilindros y tubos. Por ejemplo, combinando los casos
de las figuras 94 (6) y 95 (a), se obtiene una solución
aproximada del problema de la flexión de un pistón —figura 95
( ó ) — por la acción de la presión del vapor 2.
En la figura 96 se ven varios casos de importancia práctica 3.
Caso 3
Wmax
Fia. 96
164 RESISTENCIA DE MATERIALES
ED todos ellos la fatiga máxima viene dada por una fórmula
dd tÍP° qa* , JfcP ^máx ” ^ “T” 0 ^máx “ ‘7T’ (149)
h*
según que la carga esté distribuida uniformemente sobre la su-
perficie o concentrada a lo largo del borde. Los valores numéricos
del factor k, calculado para diversos valores de la relación ^ y para
= 0,3 se dan en la tabla IX.
Las flechas máximas en los mismos casos se calculan por fór-
mulas del tipo qa* , Pa*
W’mAx = O W’máx = • (1®0) An8 Eh3
Los coeficientes ¡c1 figuran también en la tabla IX.
30. Flexión de placas rectangulares.—La teoría de flexión de
placas rectangulares es más complicada que la de las placas
circulares, y solamente daremos los resultados finales concer-
nientes a momentos flectores y deformaciones 1. Para obtener estos
resultados, se supone que las flechas son pequeñas comparadas con
el espesor de la placa y que durante la flexión los bordes pueden
desplazarse libremente en el plano de la placa; es decir, no hay
fatigáis en el plano medio de la placa.
TABLA IX COEFICIENTES k V DE LAS ECUACIONES (149 Y 150), PARA LOS OCHO CASOS DE LA
FIGURA 96
« b
1,25 1,6 2 8 4 5
Caso k kx k k t k kx k
k
*
1 1,10 0,341 1,26 0,519 1,48 0,672 1,88 0,734 2,17 0,724 2,34 0,704 2 0,66 0,202 1,19 0,491 2,04 0,902 3,34 1,2
20 4,30 1,300 5,10 1,310
S 0,135 0,00231 0,410 0,0183 1,04 0,0938 2,15 0,293 2,99 0,448 3,69 0,564 4 0,1
22 0,00343 0,336 0,0313 0,74 0,1250 1,21 0,291 1,45 0,417 1,59 0,402
6 0,090 0,00077 0,273 0,0062 0,71 0,0329 1,54 0,110 2,23 0,179 2,80 0,234 6 0,115 0,00129 0,220 0,0064 0,405 0,0237 0 703 0,062 0,933 0,092 1,13 0,114 7 0,592 0,184 0,976 0,414 1,440 0,664 1,380 0,824 2,08 0,830 2,19 0,813 8
0,227 0,00510 0,428 0,0249 0,753 0,0877 1,205 0,209 1,514 0,293 1,745 0,350
1 El análisis completo de la flexión de placas rectangulares puede Verse en Theory of Platea and, Shells, 1940.
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 165
Placa apoyada en los bordes.—En el caso de una carga q uni-
formemente distribuida, la flecha máxima acontece en el centro de
la placa (fig. 97) y su valor es
8 = *^, (151) Eh*
siendo a el lado más corto de la placa; h, el espesor de la misma, y
a, un factor numérico que depende de la relación b¡a. Como
anteriormente, llamaremos Mt y a los momentos flectores por
unidad de longitud en las secciones paralelas a
los ejes y y x, respectivamente. Los momentos
flectores máximos acontecen en el centro de la
placa y valen
(^i)máx = = M®2. (152)
lr donde y ps son factores numéricos que
Fio. 97 dependen de la relación ^. Los valores de
los coeficientes a, y (32 figuran en la tabla X. Se han calcula
do suponiendo que el coeficiente de Poisson es igual a 0,3.
TABLA X CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE PLACAS RECTANGULARES CARGADAS
UNIFORMEMENTE CUYO BORDE ESTÁ APOYADO
ó 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,0 1,7
a * Pi *=
0,0443 0,0479 0,0479
0,0530 0,0553 0,0494
0,0616 0,0626 0,0501
0,0697 0,0693 0,0504
0,0770 0,0753 0,0506
0,0843 0,0812 0,0500
0,0906 0,0862 0,0493
0,0964 0,0908 0,0486
b = 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0 oc
a = Pi = Ps ^
0,1017 0,0948 0,0479
0,1064 0,0985 0,0471
0,1106 0,1017 0,0464
0,1336 0,1189 0,0404
0,1400 0,1235 0,0384
0,1416 0,1246 0,0375
0,1422 0,1250 0,0375
De la tabla expuesta se deduce que si ^ > 3, la flecha máxima y el
momento flector máximo no se diferencian de modo apreciable de
los que corresponden al caso - = ce. Esto indica
166 RESISTENCIA DE MATERIALES
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 167
que en una placa rectangular larga > 3j el efecto de los lados
cortos puede despreciarse y aplicar para su cálculo con aproxi-
mación suficiente las fórmulas obtenidas en los artículos 20, 21 y
22, para la deformación en forma de superficie cilindrica.
Placa con el borde empotrado.—La flecha máxima acontece en el
centro de la placa y puede expresarse por la misma ecuación (151)
utilizada para una placa con el borde apoyado. El momento flector
máximo en valor numérico se presenta en el centro de los lados
largos y viene dado por la ecuación
- Pga*. (153)
En la tabla XI, que sigue, se dan diversos valores de los
coeficientes « y p.
Se ve que el hecho de empotrar el borde disminuye conside-
rablemente la flecha máxima y que sobre la fatiga máxima por
flexión el efecto no se acentúa tanto. La fmpotnatb
flecha máxima y el momento flector máxi- ¿ ^
mo para ~ = 2 casi coinciden con los que
se obtienen para -*»«. Pueden, por tan- •*" “ ° Fio. 98
to, utilizarse los resultados del artículo 21
correspondientes a la flexión en forma de superficie cilindrica para
el cálculo de placas rectangulares con el borde empotrado cuando - 7
2. a
Placa con dos lados opuestos apoyados, un tercer lado empotrado
y d cuarto lado libre (fig. 98). En este caso, y para sarga
uniformemente distribuida, la flecha máxima acontece &SSI8TBV0IA DI MAmiALIS.—T. II II
en el punto medio A del lado libre. Esta flecha puede calcula por
la ecuación 8 = a • (154)
Ehs
TABLA XI
CONSTANTES PARA PLACAS RECTANGULARES UNIFORME MENTE CARGADAS CON EL BORDE
5
O
3 5
O
a b ~ 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 oc
0 =* 0,0138 0,0199 0,0240
0,0264 0,0277 0,0284 P- 0,0513 0,0665 0,075
7 0,0806 0,0829 0,0833
168 RESISTENCIA DE MATERIALES
Los valores del factor numérico a se dan a continuación. El
momento flector máximo M1 acontece también en ei punto ¿l y su
valor es
Wmfa = Pi?a2. (155)
El momento flector máximo M2 corresponde al punto 8, medio
del lado empotrado, y viene dado por la ecuación
( ^ ) má x = - ( 15 6)
En la tabla XIT, que a continuación se inserta, íiguran diversos
valores de ios coeficientes y (3a.
TABLA XII
De estos valores se deduce que cuando es grande a comparada
con b, la tira central AB está, aproximadamente, en las condiciones
de un voladizo empotrado en B y cargado uniformemente.
Placa cargada uniformemente y apoyada en varios puntos
equidistantes (fig. 99).—En este caso puede obtenerse una buena
aproximación para la fatiga máxima y para la distribución de
fatigas en las proximidades de un apoyo, procediendo del modo
siguiente: Un trozo de la placa alrededor del apoyo, limitado por
una circunferencia de radio a = 0,22c (siendo c la distancia entre
apoyos), se considera como una placa circular apoyada en su borde
externo y cargada en el interno con la carga P = qc* dirigida hacia
arriba y solicitada, además, por una carga uni
CONSTANTES PARA PLACAS RECTANGULARES CARGADAS UNIFORMEMENTE CON LOS
BORDES EN LAS CONDICIONES QUE INDICA LA FIGURA 98
a 0
1 1 2 1 b * 3 2 3
a = 1,37 1,03 0,635 0,360 0,123 Pi = 0 0,0078 0,0293 0,0558 0,0972 P2 = 0,500 0,428 0,319 0,227 0.119
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 169
formemente distribuida de intensidad q dirigida, hacia abajo —
figura 99 (b)— h El problema puede resolverse mediante los
métodos explicados en el artículo 29. También ha sido estudiado
por H. M. Wester- gaard 2 la flexión de placas
rectangulares sobre fundación elástica para su
aplicación al estudio de fatigas en carreteras de
hormigón.
31. Depósitos de pared delgada sometidos a
presión interior.—El estudio lo reduciremos al
caso de depósitos en forma de superficies de
revolución sometidos a una presión interior de
valor p simétricamente distribuida con relación
al eje de revolución 0-0 (fig. 100). No es necesario
que la presión p sea constante para todo el
depósito; pero sí que varíe de modo continuo. Si
el espesor de la pared es pequeño comparado con
sus radios de curvatura y no existen
discontinuidades bruscas en la forma del meridia no, pueden
calcularse las fatigas en la pared del depósito des-
Pío. 100
preciando su flexión y suponiendo que las fatigas extensoras en
dicha pared se reparten uniformemente a lo largo del espe
1 Véase la publicación de H. M. Westergaard y A. ¡álater, l'ro- ceedings of the Amer. Concrete Inst., vol. 17, 1921. Véase también \ • Lewe, Die strenge Lósung dea Pilzdeeken problema, Berlín, 1922.
* Véase su publicación en Ingenioren, Copenhague, Dinamarca, página 513, 1923, y también en Public líoada, voJ. 7, pág. 25, 1926.
+ + + + +
+JS + -b-
+ -b “b + -b
-b -b + -b
H— a -* Fio. 99
170 RESISTENCIA DE MATERIALES
sor *. Los valores de las fatigas se calculan fácilmente por las
ecuaciones de la estática.
Consideremos un elemento mnsq, separado de la pared del
depósito por dos secciones meridianas tales como mn y sq y por dos
secciones normales a las meridianas ms y nq. Por simetría, se
deduce que sobre las caras de este elemento actúan solamente
fatigas normales.
Sea
<jj La fatiga de extensión en dirección del meridiano.
at La fatiga de extensión en dirección de la sección normal.
h El espesor uniforme de la pared.
dsl La dimensión del elemento en dirección del meridiano.
dst La dimensión del elemento en dirección de la sección normal,
fj El radio de curvatura en la dirección meridiana.
ra El radio de curvatura de la sección normal al meridiano.
Las fuerzas totales de extensión que obran sobre las caras del
elemento son ha1ds% y ha,2ds1. Las fuerzas hds2a1 que obran sobre
las caras ms y nq del elemento dan una componente en dirección
normal al mismo igual a —véase fig. 100 (b)
hds2a1dQ1 = (a) ri
Del mismo modo, las fuerzas extensoras de los lados mn y sq
tienen una componente normal
Msl(j2d02 = (6) r¡¡
La soma de estas componentes normales estáen equilibrio
con la presiónnormal sobre el elemento. Por tanto,
hojdsjdsz + AffgdMg, = pd3ids¿¡ (c)
ri r% o sea,
— + ~ (157)
1 Las paredes que no resisten a flexión se denominan algunas veces «membranas», y las fatigas calculadas despreciando la flexión, «fatigas de membrana». Se supone que las fuerzas exteriores, distribuidas de modo uniforme a lo largo del borde de la pared, son tangentes a los meridianos.
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 171
A continuación se exponen algunas aplicaciones de esta
ecuación.
Depósito esférico.—En este caso, fj = r2 = r y ox = <j2 = a. La
ecuación (157) da pr
o — —— ‘2 h
Depósito cónico.—Consideremos un depósito cónico que contiene
un líquido (fig. 101). En este caso, la curvatura del meridiano es —
= 0 y la fatiga cr2, a lo largo de la ri
sección normal, debida a la presión del líquido se
calcula por la ecuación (157). La presión interna
en los puntos m — n a distancia d — y de la
superficie del líquido es p = y(d— y),
siendo y el peso por unidad de volumen del líquido. El radio de
curvatura ra en dichos puntos es
, _ ytg* r2 * eos a
Sustituyendo en la ecuación (157), se deduce eos
a y(d — y)
C2 -------- = , y tg a h
de donde — y) y tg *
cós a
El valor máximo de esta fatiga acontece en los puntos donde
y (d — y) es máximo; es decir, a d
V = ~2
y la fatiga correspondiente es
, , vd2 tg a (<Ia)máx ~ ~r ■ (e)
4h eos a
La fatiga <r, al nivel m-n se calcula igualando la suma de las
componentes verticales de las fuerzas extensoras dirigidas según
(d)
172 RÉSISTÉNOTA DÉ MATÉTÍTAT.E^
los meridianos que sufre la pared al peso del volumen de líquido
tmons (fig. 101). Por tanto, 2 ny tg <xha1 cos a = ny2 tg2 a — y ^ yjy,
de donde
yt g'
2 fe cos a 3
Esta fatiga es máxima para y = - d. Sustituyendo en la ecuación
(/), tendremos (n\ = 3 ¿2y tgQ[ 1 16 fe cosa'
Las ecuaciones (d) y (/) resuelven por completo el problema
cuando se desprecian las fatigas de flexión en las paredes del
depósito.
En el caso de un depósito cilindrico de diámetro d, sometido a
una presión uniforme p, encontraríamos, según ya se vió (página 41,
Primera parte), „ - V*1- „ - Va G| f íTn *“ *
1 4fe 2A
Problemas
1. El depósito de la figura 102 contiene un liquido basta el nive’
indicado.
Determinar las fatigas máximas o, y a, en
las partes cilindrica
(t>¡
y esférica, y la fuerza compresora en el anillo de refuerzo mn.
Solución: El peso del líquidoexistente en
eldepósito es
ti 1 3/
(/)
(?)
-í
PLAGAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 173
Para la parte cilindrica del depósito,
01 “ ra = const
En la parte esférica la fatiga máxima se presenta en el punto más
bajo del fondo, donde la presión del líquido es
ydi-R 2 h
li» fuerza extensora en la parte esférica del depósito, por unidad de 1
. La componente radial de esta 2 tzr sen a
tuerza, que es la compresora del anillo —fig. 102 (ó)—, vale
¿cotg a,
y la fuerza de la compresión en la sección recta del anillo será, por
tanto,
Q cotg a.
Esta solución corresponde a la hipótesis de que las paredes del de-
pósito son membranas y no trabajan a flexión. Para el cálculo de la
fatiga de compresión en el anillo deben añadirse a la sección del
mismo las partes adyacentes cilindrica y esférica de la
pared.
2. Determinar las fatigas en los puntos mn de un
depósito cilindrico, con fondo semiesférico, lleno de
líquido hasta el nivel señalado (fig. 103).
Solución: De la ecuación (157) se deduce, para
todo punto de la parte esférica situado a
distancia *
-de ia superficie del líquido, que
yx
h'
Puesto que las fuerzas meridianas a lo largo de la sección mn equi-
libran a.1 peso del volumen del líquido smont, se tiene como segunda
ecuación - sen66 a\
(b) yRfd — R R 1
2 + 3 eos2
y la ecuación (a) da
yR /<! — R I¡ sen3 a + 3 sen a eos2 a — 1
h \ 2 3 eos2 a
66 Encontrar en la figura 104 la relación que debe existir entre el
diámetro exterior del depósito, el diámetro del anillo-soporte mn y la
dyr :~TT
Q longitud del anillo mn, es
FIG. 103 (a)
o - yR( - 7, {
n3
a\ a
)
174 RESISTEHC5IA DE MATERIALES
altura d del liquido para que el anillo mn sufra únicamente una acción
vertical. La parte central del fondo del depósito es una superficie esfé-
rica de ángulo en el centro jj. El mis-
mo ángulo corresponde a la parte cónica
mminn1.
Idea: La relación necesaria puede
encontrarse estableciendo que las accio-
nes ejercidas sobre el anillo por el fondo
esférico y la superficie cónica lateral,
indinadas ambas a 45°, den componente
horizontal nula. De ello se deduce que el
volumen de líquido representado en la
figura por el área rayada debe ser igual al
volumen mnst.
4. Determinar las fatigas máxi- mas en el depósito de la figura 102,
siendo R = 3 m., r = 2,40 m., d = 6 m., y = 1000 kg./m.8 y h = 1,25 cm.
5. Determinar las fatigas ct cr2 en la pared de una superficie tórica
sometida a una presión interna p (fig. 105).
Solución: La condición de equilibrio respecto a fuerzas vertica
les del trozo mnmjHj, separado del depósito por una superficie cilin-
drica vertical de radio a y por la superficie oónica «KWij, da
jc(ra — oa)p — cji Znr sen a = 0, de donde
p(ra —a2) 1 2 rh sen a
La fatiga at puede calcularse después por la fórmula (157).
6. Determinar la fatiga máxima en la pared del recipiente de la
figura 105, si o = 3 m., 6 = 3,6 m., h = 6,25 mm. y p = 4 kg./cm.a.
32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared delgada.—En
lo anteriormente expuesto se ha despreciado la fle
FIG. 104
PLAGAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 175
xión de la pared del depósito y calculando solamente las fatigas
denominadas fatigas de membrana. Los corrimientos debidos a las
fatigas de membrana originan una flexión de la pared y, por tanto,
fatigas de flexión que en algunos casos pueden ser de importancia
práctica. Este defecto se acusa en los puntos de cambio brusco de la
curvatura del meridiano. Cuando el meridiano está formado por
curvas no tangentes, se dispone un anillo de refuerzo en la forma
que indica la figura 102, a fin de evitar la flexión acusada de la
pared del depósito. También pueden ser elevadas las fatigas en los
puntos de unión, aunque las curvas que
forman el meridiano sean tangentes.
Las fatigas adicionales en esos puntos
se denominan fatigas por
discontinuidad.
El método de cálculo lo expondremos
considerando el caso sencillo
de un depósito cilindrico con cabezas
semiesféricas sometido a una presión interna uniforme (fig. 106).
Considerando primero las fatigas de membrana, tendremos
para la parte cilindrica, siendo r el radio del cilindro y de las cabe-
zas semiesféricas y h el espesor de la pared. En el trozo
esférico,
c, = a9 = a —
Las deformaciones radiales
correspondientes en las partes cilindrica y
esférica son
(1-p)
respectivamente.
Si supusiésemos separadas las partes cilindrica y esférica de la
pared -fig. 106 (b)—, la diferencia de los radios debida a las fatigas
de membrana sería
á = (6) 2 hE
Fia. 106
pr
2 ti
pr <J9 ——9
2 Ti
(a)
pr
2
h
pr*
2hE
176 RESTSTENOTA T>E MATERIALES
En la realidad, la cabeza y la parte cilindrica están unidas por
la acción de las fuerzas cortantes P0 y momentos flectores M0 —
figura 106 (6)—, por unidad de longitud de la circunferencia de la
superficie media del depósito. Esta solicitación produce flexión en
las zonas próximas. Para analizar la flexión en la parte cilindrica,
puesto que la deformación es simétrica con relación al eje, basta
considerar la flexión de una tira
elemental (figura 107) y la flecha de
esta tira será radial. Supondremos,
para simplificar, que el ancho de la
tira es la unidad. Representando por
y el desplazamiento radial de una
sección cualquiera * * y
11 de la tira, - será la deformación Fig. 107 r
unitaria de compresión en di-
rección circunferencial originada en el cilindro por el acortamiento
y en el radio. La fatiga de compresión correspondiente
es —. Por consiguiente, cuando la tira flexa hacia el eje del
cilindro, se producen unas fuerzas compresoras T —fig. 107 (c)—,
cuyo valor por unidad de longitud de la tira es
T-Í>h.
Puesto que el ángulo 0 es igual a -, estas fuerzas dan una
resultante radial 67
Eyh e _ Eyh r r2
que se opone a la deformación de la tira. Estas fuerzas reacti-
vas están distribuidas a lo largo de la tira y son proporcionales
a y, por lo que la tira está, respecto a la flexión, en las mismas
condiciones que una viga sobre fundación elástica (art. i), siendo
, Eli k = — •
67 ¡áe supone que 0 es un ángulo pequeño.
(c)
(d)
P f j A OAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 177
Como la deformación transversal de la tira está impedida por las
tiras adyacentes, de modo análogo a lo visto en placas (página
122), deberá usarse la expresión
z ) = m 12(1 — p2)
en lugar de la rigidez a la flexión. La ecuación diferencial de la
elástica de la tira será, por consiguiente (véase ecuación 1), „ dfiy Eh D — = y.
dx4 r2
introduciendo, como anteriormente, la notación
■ <>»>
ia elástica de la tira será (véase ecuación 11, pág. 13)
g—(3* y ZWb [ P °
eos $x— (3-Mn( cos $x — sen $x)~). (é)
Es, portanto, una curva oscilatoria con fuerteamortigua
miento, de longitud de onda
(/) P r 3( i —p*)
cuyo valor es pequeño comparado con r, si h lo es.
i )e lo expuesto se deduce que la flexión producida tiene un
carácter local y que su efecto sobre las fatigas es sólo apreciable en
una zona estrecha alrededor de la junta. Esta zona, en la parte
correspondiente a la cabeza es, aproximadamente, cilindrica y, por
tanto, la ecuación (e) puede servir también para el cálculo de las
deformaciones y fatigas correspondientes a la cabeza semiesférica
L
178 RESISTENCIA DE MATERIALES
Cuando la pared cilindrica y la cabeza esférica tienen el mismo
espesor, las flechas y los giros producidos en los bordes de dichas
partes por las fuerzas P0 son iguales. Las condiciones de
continuidad en la junta se satisfacen si M0 = 0 y P0 tiene el valor
necesario para que la flecha en el borde cilindrico sea ^
¿i
Haciendo M0 = 0 y x = 0 en la ecuación (e), la fórmula para obtener
Pft será P0 s
2 ¡33Z> 2
P0= -= JL. f159) 2MUpr68 8^
Conocido P0, la flecha y el momento flector para
cualquier sección de la tira puede calcularse por la
ecuación (e). Las fatigas de discontinuidad correspondientes deben
añadirse a las de membrana dadas por las ecuaciones (a). Si la
cabeza y la parte cilindrica del depósito tienen diferente espesor,
además de la fuerza cortante P0, existirá en la junta un momento
flector M0. Estas dos cantidades se calculan estableciendo: 1.° Que
la suma de las flechas correspondientes a las partes esférica y
cilindrica sea igual a 8 —fig. 106 (b)—. 2.° Que los ángulos de giro
en los dos bordes sean iguales.
El método expuesto se emplea también en el caso de que las
cabezas no tengan forma esférica L Si el espesor de la pared de los
depósitos no es pequeño, las fatigas de flexión adquieren una
importancia primordial y es necesario un estudio más detenido de
la distribución de fatigas *.
* Véase Theory of Platea and SheUs, 1940.
de donde
FLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 179
ii>
Problemas
1. Determinar las fatigas de discontinuidad en el depósito de la
figura 106, ai p — 12 kg./cm.8, r = 62,5 cm., h - 12,5 rom., p = 0,3.
Solución: De la ecuación (158), ¡3 = 0,146 ero.-1, y por la ecua
ción (159),
12 P» “8^0046 = 10’3kg‘1)01 Cm'
El momento flector en la tira elemental es
y utilizando la ecuación (e) y sustituyendo
se obtiene Af = — ^ e—P* sen fia:.
El momento máximo en valor absoluto corresponde a P* = y es
A£míix = 56,75 kg. cm. La fatiga máxima correspondiente es
—= 87,2 kg./cm.».
Esta fatiga debe añadirse a la fatiga de membrana,
O! = |£ = 12 X 25 = 300 kg./cm.».
La flexión de la tira produce también fatigas circunferenciales,
que pueden dividirse en dos grupos: 1.°, fatigas que impiden la
distorsión de la sección de la tira (véase pág. 122) (el valor máximo de
estas fatigas en una sección cualquiera es ± ~rv~)> y 2.°, fatigas de
valor —
ti T
debidas al acortamiento de la circunferencia.
Sustituyendo en las expresiones anteriores los valores de Af e y, la
fatiga por discontinuidad que debe añadirse a la fatiga de membrana
tjj será
— -°P e—p* eos 8* + e-P* sen 8* 2fi*Dr ‘ pá*
6 (iP —:~ * e~P* (sen ¡3*— 1,83 cos pr).
180 RESISTENCIA T)E MATERIALES
El valor máximo de esta fatiga se obtiene fácilmente. Es pela fatiga
circunferencial de una membrana, pr
cuyo valor es ~ = 600 kg./m.L
2. Una membrana cilindrica enlazada a dos discos
macizos gira alrededor del eje 0-0 (figura 108) con velocidad periférica
v. Determinar las fatigas de flexión locales en la membrana si se
supone empotrada a lo largo de los bordes mn y m¡nt.
Solución: Si separamos la membrana de los discos,
el incremento
del radio de la membrana, debido a la fuerza centrífuga, será —véase
ecuación (15), Primera parte— - 1 — E l incremento del radio de ios dia- gl4
eos sería —véase ecuación (223)
1 — ¡r x v3r
4 gE'
La diferencia de estas dos cantidades es
3 + (X yv*r
4 gE'
Aplicando el método del problema anterior, y considerando una
tira de anchura unidad, se encuentra la fuerza cortante P0 y el
momento flector en el borde mn mediante las ecuaciones (11) y (12).
Supondremos los discos suficientemente rígidos, comparados con la
membrana, a fin de despreciar la deformación que en ellos producen
las fuerzas P„ y los pares Mu. Las ecuaciones para el cálculo de P„ y Mü
son
í2_(pq-Pmo) = í.
^5(P0-2W = 0,
de donde P0 = 4 8psD; M, = 2 S(3aD.
Conocidas estas cantidades, las flechas y las fatigas de flexión se cal-
culan por expresiones análogas a la ecuación (11).
3. Determinar la fatiga flectora máxima en
la membrana del problema anterior, si r — 65 cm.,
h=¡ 12 mm., v — 150 m./seg. y el material es acero.
4.
Determinar las fatigas producidas en una tubería por un anillo
delgado que actúa zuncha- EIG. 109 do
(fig. 109).
Solución: Considerando una tira longitudinal de anchura unidad,
y representando por P la acción mutua entre anillo y tubería por uai-
queño comparado con
T r
FIG. 108
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 181
do69! de longitud del perímetro de la tubería, podemos estudiar la tira
como una viga sobre fundación elástica solicitada por la carga con-
centrada P (art. 1). El acortamiento del radio de la tubería, debido a P
P Pr* —ecuación (8)—, es sxvjv ® alargamiento del radio del anillo es 1 -^-=,
opáU A.£i donde A es el área de la sección del anillo. Representando por 8 el juego
del zunchado puede escribirse
4. S
o utilizando la ecuación (158) y tomando p = 0,3,
3 Plr\ 2 Pr*
“■643®© +3S-8- <’>
P se determina por esta ecuación, y el momento flector máximo en la
tira por la ecuación (9) a. La fatiga máxima por flexión en la tira es
_3P i/ r*h*
° 2 h* V 3(1 —p2)'
Este método se aplica también al caso de un tubo cilindrico con
anillo de refuerzo, sometidos ambos a una presión uniforme externa e
interna. Si la distancia entre anillos es lo suficientemente grande
para que el efecto de las deformaciones producidas por cada uno
pueda despreciarse al estudiar las de los demás, puede obtenerse P
mediante la
ecuación (g), sustituyendo 8 por jL-. Esta cantidad representa la mo-
dificación del radio de la tubería, debido a la presión uniforme *.
5. Resolver el problema anterior, suponiendo que la longitud l de
la tubería no es grande y que el anillo está situado en el centro de
dicha longitud.
Idea: Para calcular la presión P por unidad de longitud de
anillo
se utilizan los resultados del problema correspondiente a la figura 13,
página 19. La flecha producida eq la tubería por las fuerzas P es
Pp Ch pZ + eos pZ -f- 2 P Ch pZ + eos pZ -f- 2 2 k
Sh pZ + sen p! 8 pSh pZ + sen pZ La ecuación para el cálculo de P es, por consiguiente,
P Ch ¡3/ 4- eos p? + 2 Pr* 03ñ «¡v, «7 í.™ 07 r Tv?
69 La dimensión del anillo en sentido radial se supone pequeña
comparada con r. * Un ejemplo de esta clase de cálculos puede verse en la publica-
ción de G. Cook, en Engineering, vol. 116, pág. 479, 1923. Véanse tam-bién R. Lorenz, V. D. I., vol. 52, pág. 1706, 1908; M. Wesphal, V. D. I., vol. 41, pág. 1036, 1897.
182 RESISTENCIA DE MATERIALES
8 03Z> Shpi + senpi AE
Hallar P para una tubería de acero si r = 62,5 cm., h = 12,5 mm., { =
125 cm., A =25 cm.* y 8 = 1 70/t mm.
6. Una tubería cilindrica, con los bordes simplemente apoyados,
está sometida a una presión interna uniforme p. Hallar la fatiga de
flexión y la flecha en el centro de la tubería (fig. 110). Las dimensiones
son iguales a las del problema anterior.
Idea: Por los resultados del problema representado en la figura
20,
página 26, la flecha y el momento flector por unidad de longitud en la
circunferencia de la sección central c — o son
7. Resolver el problema anterior, suponiendo que los bordes de
la tubería están empotrados de modo perfecto.
Idea: Emplear los resultadosdelproblemarepresentado en la
figura 21, página 26.
8. Una tubería circular de acero está reforzada por anillos espa-
ciados a distancia l —fig. 111 (o)— y sometida a una presión interna p.
Hallar la presión P producida por unidad de longitud en la cir-
cunferencia interna de un anillo. Hallar la fatiga máxima por flexión
en la tubería.
Solución: Consideremos primeramente el trozo de tubería com
prendido entre dos anillos 1, bajo la acción de fuerzas oortantes Vt —
figura 111 (6)— y momentos flectores Mt —fig. 111 (c)—, por unidad
70 La anchura del anillo se supone despreciable al lado de la dis-
tancia l entre anillos.
Fio. 110 Fio. 111
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 183
de longitud en la circunferencia de la tubería. Considerando una tira
longitudinal de anchura unidad como una viga sobre fundación elás-
tica, y utilizando los resultados de la figura 12, página 18, y
figura 18,
página 25, seencuentra para la flecha y el giro en el extremo
izquierdo
de la tira, en el caso de la figura 111 (6),
1 _ _ 2V°Pr2 Ch pl + cos [31 Eh Sh pZ + sen fil’ ( )
IdwA _ 2FoPar2 Sh pZ— sen pZ ...
\ lhí}^~~Eh~ Sh pZ + senil?' W
Para el mismo extremo, en el caso de la figura 111 (c) se obtiene
, , 2-MopVSh pZ — sen pi
W'-o ~ Eh~ Sh pZ + senpí’
ldw2\ 4M„PV Ch pZ — cos pZ
175-Eh Sh pZ + sen pi' W
Por definición de P se deduce que
r.--J
Sustituyendo en la ecuación (i), y observando que en latubería
—figura 111(o)-— la tangente a la tira debe ser paralela aleje dela tu
bería, se obtiene
(£) -•
de donde
jt __ P Sh pZ — sen pZ tn 0 “ ip Ch pZ - eos pZ ‘ ( )
Para calcular P supondremos primeramente que los anillos son
absolutamente rígidos. En este caso, la flecha que en la tubería produ-
cirían las fuerzas P en el sitio de los anillos debería ser igual a la dila-
tación radial que tendría la tubería sin la presencia de los anillos
de refuerzo. La ecuación para el cálculo de P es, por consiguiente,
(«hU + (^U = ^
o
Ppr2 Ch pZ 4- eos GZ Ppr2 (Sh pZ — sen PZ)J _prs .
Eh ' SlTPZ + sen pZ “ 2Eh (ShpZ + señpZ) (Chpl — cos pZ) ~ Eh
En cada caso particular se resolverá fácilmente esta ecuación en
P, y sustituyendo el valor de P en la expresión (Z) se obtiene el valor
del momento flector Mg.
RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 12
m +
184 RESISTENCIA DE MATERIALES
Para tener en cuenta la dilatación de los anillos de refuerzo basta
observar que las fuerzas P producen un aumento del radio interior
del anillo igual a -rj,, donde A es el area de la sección recta del anillo.
A.ÍL
La flecha de la tubería disminuye, por tanto, en esa cantidad. Por con-
siguiente, para obtener P basta en este caso
escribir
pr2 Pr8 É h ~~ A E
fpf 2 en lugar de ~r en la ecuación (m).
Íí/h 9. Hallar
el momento flector M„ y la fuerza cortante
V0 por unidad de longitud en la
circunferencia de fondo del tanque
cilindrico, lleno de líquido, de la figura 112. ixavw ouli. . — ^ iu., — 7,80
m., h = 35 cm., y = 1.16 kg./dm.a y p => 0,25.
10. Resolver el problema 5, suponiendo que el anillo está zun-
chado en el extremo izquierdo de la tubería. Se despreciará la resis-
tencia del anillo a la torsión.
Idea: Utilícese el resultado obtenido para el problema represen-
tado en la figura 22, página 26.
33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas.—Si una en-
volvente cilindrica con los bordes libres experimenta un cambio
uniforme de temperatura, no se producen fatigas de origen
térmico. Pero si los bordes están apoyados o empotrados, la di-
latación libre de la envolvente está impedida y acontecen fatigas
locales de flexión en los bordes. Supongamos, por ejemplo, que los
bordes de una tubería cilindrica de gran longitud estén
empotrados. En este caso, al variar la temperatura de modo
uniforme, las fuerzas cortantes y momentos flectores en los bordes
pueden obtenerse como indica el problema 2 del artículo anterior.
Basta sustituir 8 por raí, que representa el aumento radial de la
envolvente, debido a la expansión térmica. Si la longitud de la
tubería no es grande y es preciso estudiar simultáneamente ambos
extremos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores se
determinan mediante los resultados obtenidos en el problema 8
del artículo anterior.
Consideremos ahora el caso en que la temperatura varía en
dirección radial. Sean í, y í2 las temperaturas uniformes de las
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 185
paredes cilindricas interior y exterior de la tubería y supongamos
la variación de la temperatura con el espesor lineal. En este caso,
para puntos situados a gran distancia de los extremos de la
envolvente, no hay flexión y las fatigas pueden calcularse por la
ecuación (122) (pág. 138), obtenida para una placa con borde
empotrado. La fatiga flectora máxima será
a£(q—i2) , , = 2(1 —pl) ‘ (a)
Se ha supuesto t1 > t2. Por consiguiente, la fatiga extensora
actuará sobre la superficie exterior de la envolvente.
Cerca de los extremos de la envolvente existe alguna flexión y
las fatigas térmicas totales se obtienen superponiendo las (a) con
las fatigas debidas a dicha flexión. Consideremos, por ejemplo, las
fatigas en el extremo libre de una tubería cilindrica larga. Para
calcular las fatigas en este caso, observaremos que en el borde las
fatigas representadas por la ecuación (a) se traducen en momentos
M0 distribuidos
uniformemente —figura 113 (o)-
valor — t2)h2
M0 = 12 (1 - p)
Para obtener un borde libre, es necesario
superponer otros momentos del mismo
valor, pero de dirección opuesta —figura
113 (ó)—. Por consiguiente, las fatigas
térmicas en el borde libre se obtienen
superponiendo a las fatigas (a) las fatigas
producidas por los
momentos representados en la figura 113 (b). Estas últimas fati-
gas pueden obtenerse fácilmente considerando la flexión de una
tira elemental y empleando la solución (11) (pág. 13). Se obtiene
e~P*(cos fix — sen ¡3a;),
donde (3 viene dado por la ecuación (158). La flecha máxima co-
rresponde ai borde libre (a; = 0), y es
M9 2$2D
de
FIG. 113
(b)
(c) y
(d) y
186 RESISTENCIA DE MATERIALES
Las fatigas circunferenciales correspondientes son
—°- - = Vl=^. (e) 2p2D r 2V3(1 — p)
El momento flector que obra sobre el extremo de la tira ele-
mental viene dado por la expresión (ó). Losmomentos flectores
que impiden ladistorsión de las secciones rectas de la tira du
rante la flexión son ,, aE^ — t2)h2 ,
íiM0 = ¡i—-A . (/)
12(1 —(i)
La fatiga térmica máxima actúa sobre la superficie exterior de
la tubería en dirección circunferencial y consta de tres partes:
1. a, fatigas (a); 2.a. fatigas (e), y 3.a, fatigas producidas por ios
momentos (/). Por consiguiente,
(160) 2(1 — f i ) L V3 j
Para u. = 0,3 esta fatiga es, aproximadamente, un 25 por 100
mayor que la fatiga (a) correspondiente a puntos a gran distancia
de los extremos. Se deduce, por consiguiente, que si acontece la
rotura de una envolvente de material quebradizo, tal como vidrio,
debido a una diferencia de temperatura tl —12, comenzará en el
borde y tendrá dirección axial. De un modo análogo pueden
calcularse las fatigas correspondientes a los casos en que el borde
está empotrado o apoyado x.
Problemas
1. Hallar las fatigas de origen térmico producidas en una larga
tubería de acero con los extremos empotrados. Datos: r = 60 cm., h = 12
mm., ¡i = 0,3; el coeficiente de dilatación, a = 126 X 10~7,
y el aumento uniforme de la temperatura de la tubería, 55° ^ G, E = 2,1
x 10* kg./cm.a.
PLACAS Y ENVOLVENTES BELDABAS 187
Solución: Con los datos de referencia se encuentra
|3 = 0,152 cm.-71, D = 332 x 103 kg. cm.
La dilatación libre del radio de la tubería debida a la elevación de
temperatura es
8 = ar(í — í0) = 126 x 60 x 55 ^ X 10-7 = 42 X 10-8 cm. 18
Sustituyendo en las ecuaciones del problema 2, del artículo ante-
rior, encontramos la fuerza cortante y el momento flector por unidad
de longitud sobre la circunferencia del extremo empotrado, P0 = 48p3D = 195 kg./cm. Mü = 28p72£> = 641 kg.
Conocidos los valores de P0 y M0, se pueden hallar fácilmente las
fatigas de dirección circunferencial y axial correspondientes al
extremo empotrado.
2. Resolver el problema anterior, suponiendo que los extremos
están simplemente apoyados.
3. Un tubo de acero de dimensiones iguales a las del estudiado
en el problema 1 tiene sus superficies interior y exterior a las
temperaturas í, y t-2, respectivamente. Hallar la fatiga máxima en el
tubo s¡ q — q = 55° ~¿ C, y los extremos están libres.
1 O
Respuesta: cmáx = 1312 kg./cm.2.
4. Resolver el problema anterior, suponiendo que se hubiesen
empotrado los extremos del tubo cuando éste tuviese una temperatura uniforme igual a Ííjtli?.
34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido
uniformemente a lo largo de su línea media.—Se presentan casos en
los que un anillo circular de sección constante está solicitado a
torsión por un par distribuido uniformemente sobre su línea media 1. Considerando medio anillo —fig. 114 (a)— como un cuerpo libre,
de su equilibrio se deduce, al tomar momentos respecto al
diámetro ox que en las secciones m y n debe existir un momento
flector de valor
M = Mta, (a)
71 Varios ejemplos de este tipo pueden verse en la publicación de
C. II. Kent, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., vol. 53, pág. 167, 1931. El caso de un gradiente de temperatura en dirección axial puede verse en Theory oj Piales and Shells, pág. 48. en los anillos. Un caso análogo se presenta al analizar las fatigas.
188 RESISTENCIA DE MATERIALES
siendo a el radio de la línea media y Mt el momento torsor por
unidad de longitud de dicha línea media. Consideremos ahora la
deformación del anillo. Por simetría se deduce que durante la
torsión cada sección gira en su propio plano el mismo ángulo 0 que
supondremos pequeño 73. Sea C el
centro de rotación —figura 114 (ó)— y
B un punto de la sección a distancia p
de G. Debido a la rotación de la sección,
el punto B describe un arco pequeño
]1B¡ = p0. Por ello, la
fibra anular
perpendicular a la sección
en el punto B aumenta su
radio en B2B1. Si tomamos
los ejes coordenados tal como se indica,
tendremos, por la semejanza de los
triángulos BBXB% y BDC,
tiy. (b)
Veamos primeramente el caso en que las dimensiones de la
sección del anillo son pequeñas comparadas con el radio a de su
línea media. Entonces el radio f,e todas las fibras circulares del
anillo puede tomarse igual a a sin gran error }' el alargamiento
unitario de la fibra que pasa por B, debido al desplazamiento dado
por la ecuación (b) es a
Si no bay presión la teral entre las fibras anulares, la fatiga
debida a este alargamiento s es EQy on
c =—(d) a
Ahora bien, para el equilibrio del semianillo, la suma de todas
las fuerzas normales ligadas a la sección del anillo debe ser nula y
el momento de las mismas fuerzas respecto al eje x debe igualar a
73 La discusión general de este problema, cuando 0 no es
pequeño, ha sido realizada por R. Grammel, Zeitschr. /. nnyew. Malh. u. Mech., vol. 3, pág. 429, 1923, y vol. 7, pág. 19S, 1927.
y
<«)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 189
M —véase ecuación (a).
Si con dA representamos un elemento de área de dicha t-eo-
ción, las ecuaciones de equilibrio son
(EJydA = o; fW Ja a JA a
dA = M, fe)
190 RESISTENCIA DE MATERIALES
La primera de estas ecuaciones muestra que el O de G de la
sección debe estar sobre el eje x, y de la segunda se deduce . Ma Mta2 „ , 0= = —, (161
Eh EIX
donde Tt es el momento de inercia de la sección del anillo respecto al
eje x. Sustituyendo en la ecuación (d), encontramos M ,ay „ .
a = (162) ‘ X
es decir, la distribución de fatigas normales sobre la sección del
anillo es la misma que en el caso de flexión deuna barra recta;
la fatiga es proporcional a la distancia de la fibra considerada al eje
neutro a; y la fatiga máxima acontece en los puntos más
alejados de dicho eje.
Como segundo ejemplo, consideraremos un anillo de
sección rectangular (figura 115), cuyo ancho b no es
peque- fig. 115
ño comparado con el radio a de la línea
media. Sean c y d los radios interior y exterior del anillo, respec-
tivamente, y r el radio general correspondiente a una fibra. Su-
pondremos, como anteriormente, que la deformación del anillo
consiste en una rotación de su sección 74 de un valor angular 0. El
alargamiento unitario de la fibra de radio r y la fatiga corres-
pondiente son c-t»; (/)
r r
La ecuación de equilibrio, análoga a la segunda
de las ecuaciones (e), será
U l
E integrando, EQh\ d
74 La posible distorsión de la sección se desprecia en este estudio. El
error correspondiente es pequeño con tal de que d/c < 1,5. Véase A. M. Wahi, Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., 1929.
Ij -Jy
dE%yidrdy ^ ^
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 191
de donde
12 M 12 M.a e = -------------- - = ----------------------------------- (163)
Eh3 loge “ Eh3 log, - c c
Sustituyendo en la segunda de las ecuaciones (/), tenemos
12 My a = ------- : ------ .
h'¿r loge -c
La fatiga máxima acontece en los ángulos interiores del anillo,
donde r — c e y =
¿i
_ 6 M __ 6 Mta ^máx j— J (164)
Wc log, - h2c loge -
Si b es pequeño, la ecuación (163) puede ponerse fácilmente
en la forma(161). Hagamos d = a + ^ y c = a — entonces, Z z
o -f- log, - = loge aá log, (1 + -) .
c b \ al
Para valores pequeños de la relación el último logaritmo vale,
aproximadamente, Sustituyendo dicho valor en la ecuación (163), se
obtiene la ecuación (161).
Estos resultados pueden utilizarse para calcular las fatigas que se
producen en la unión de una tubería y una brida 1 por las fuerzas B
(fig. 116). R es la fuerza por unidad de longitud en la circunferencia
interior del tubo. La fuerza por unidad de lon-
Rc
gitud en la circunferencia exterior de la aleta es Por la
1 Otro método para el cálculo de estas fatigas ha sido dado por 13. O. Waters, Journal Appl. Mech., vol. 59, pág. 161, 1937. Véanse también J. D. Mattimore, N. O. Smitli Petersen y H. C. Bell, Tratui. A. S. M. E., vol. 60,
192 RESISTENCIA DE MATERIALES
pág. 297, 1938,
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 193
acción de dichas fuerzas, la sección recta de la brida gira el ángulo 0
y la pared de la tubería flexa como indica la figura 116 (ó) con línea
de puntos. Sean M0 y P0 el momento flector y la fuerza cortante en la
unión por unidad de longitud de la circunferencia
interior de la tubería. El valor de dichas
cantidades puede encontrarse de la condición de
continuidad en la unión de tubería y brida. Como
ordinariamente la brida es muy rígida en el plano
perpendicular al eje de la tubería, el corrimiento
radial producido en la brida por las fuerzas P0 es
despreciable y la flecha en el extremo de la tubería
puede considerarse nula. El giro en el extremo de
la tube- Fio. 116
ría es igual a 0; es decir, al ángulo de rotación de
la sección recta de la brida. Utilizando las ecuaciones (11) y (12) se
obtienen las ecuaciones siguientes para el cálculo de Pa y M0:
— ( P 0 — pjf0) = o, 2 ¡33Z> 0 0
(P0 — 2(JJf0) = 0. 2 p2D
De la primera de estas ecuaciones se deduce
(g) Por consiguiente,
M0 = 2 ffD0 y P0 = 2 ¡52Z)0.
Para una tubería de espesor hx y radio interior c, 3 viene dado 75 por la ecuación (158)
-A2). í cVi'l
75 Si el espesor de la tubería es pequeño, puede despreciarse la
diferencia entre el radio de su superficie interior y el de su superficie media.
(h)
(*)
194 RESISTENCIA DE MATERIALES
El momento torsor por unidad de longitud de línea media de la
brida, producido por las fuerzas de la figura, es
Sustituyendo en la ecuación (163), se obtiene el ángulo 0, y por
la primera de las ecuaciones (h),
12 c M0 = 2¡iD. ------- —-
Eha logf - c
M0 = R(d—c)
Mediante las ecuaciones (165) y (gr), pueden calcularse las
cantidades M0 y P0 conocidas las dimensiones de la tubería, el
módulo de Poisson y las fuerzas R. Pueden, por consiguiente,
siguiendo el método expuesto en el artículo 32, calcularse las
fatigas por flexión en la tubería.
Problemas
1. Determinar el momento flector M0 y la fuerza cortante P0 en la
tubería de la figura 116, si d, = 15 cm., c = 7,95 cm., h = 3,45 cm., hx =
1,95 cm., e- = 0,3, E => 2,1 X 106 kg./cm.2.
Solución: Por la ecuación (k),
P = 0,327 cm.-»
loge - = 0,635; ^ = 0,564. C A
Sustituyendo en la ecuación (165), se tiene
M0 = 0,459 R(d — c); Pü = [iM0 = 0A5R(d - c).
La fatiga fleetora máxima en la tubería sera
6 ¿M0
R(d^c)—M0—P0h-1 = ~\R(d—C)
2j a|_
-ifo-Jf * ¿l
p2(ci — c)
Eh\ se obtiene
12(1 —¡i2)’ Reemplazando D por su valor
(165) 1
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 195
2. Hallar la expresión de la pequeña flecha correspondiente al
anillo cónico de la figura 117, que representa un elemento de un re-
sorte Belleville. R es la carga por unidad de longitud en el borde inte-
rior del anillo.
S.olución: Tómense, como anteriormente, las coordenadas x e y,
con el origen en el centro de rotación G. El alargamiento unitario y la
fatiga, para una fibra de radio r, vienen dados por las ecuaciones (/).
Del equilibrio de medio anillo se deduce
(m)
La posición del centro de rotación G se determina por la prime-
ra Ue estas ecuaciones. Sea a el radio en el punto G, y supongamos
que el ángulo (3 del cono es lo suficientemente pequeño para que
pueda tomarse sen (3 = ¡3, cos ( 3 = 1 . Tomando los ejes x-¡ e yv para-
lelos a-los lados de la sección rectangular, y teniendo en cuenta que y
=3/, -I- (32:, => y% + ¡3 (r — o), la primera de las ecuaciones (m) se
escribirá |"yi + P(r —a) drdyx = Efiflh jr — a loge
0
- d
FIG. 117 h + 5
2
196 RESISTENCIA DE MATERIALES
de donde
(n)
La segunda de las ecuaciones (m) será
m [í2 '°gec ----- 2o(d—c) -j-aHog^jj -= Rc(d-c),
d — o
a
_ J C 2
RESISTENCIA DE MATERIALES
y sustituyendo el valor (n), obtenido para a, la flecha del borde superior del
cono, respecto del inferior, será
S - 6(d — c)
Esta expresión nos da 8, si se conocen las dimensiones del anillo, e)
módulo de elasticidad del material y la carga R. El procedimiento seguido
desprecia el efecto de la variación de ¡i, debida al giro 0
(P) Rc(d— c)
CAPÍTULO III
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS76
35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de
elasticidad.—El estudio de la compresión y flexión simultáneas de
piezas rectas (pág. 238, Primera parte) mostró que existe un cierto
valor de la carga compresora denominado carga crítica, para el que
puede producirse una gran flecha, aunque la carga transversal sea
muy pequeña. Para una pieza prismática con ios extremos
articulados la carga crítica es
p "2EI / i p"=—¡yr- <“>
Experimentalmente, se ve que cuando la fuerza compresora de
una pieza, esbelta 77 se aproxima a este valor, comienza a curvarse
la pieza, y esta deformación lateral aumenta con tal rapidez al
crecer la fuerza compresora, que una carga igual a la crítica es
corrientemente suficiente para producir el colapso completo de la
estructura. Por consiguiente, la carga crítica debe considerarse
como carga de rotura para columnas esbeltas.
De la expresión (a) se deduce que la carga crítica no depende
de la resistencia del material, sino solamente de las dimensiones de
la pieza y del módulo de elasticidad del material. Dos piezas
igualmente esbeltas, una de acero de alta resistencia y la otra de
acero corriente, pandean para el mismo valor de la fuerza
76 Para grandes flechas debe considerarse la variación del ángulo p. En
dichos casos la flecha deja de ser proporcional a la carga. Véase la publicación de W. A. Brecht y A. M. Wahl, Journal Appl. Mech. Trans. A. S. M. E., vol. 52, pág. 52, 1930. Véanse también las publicaciones de J. O. Almen y A. Laszlo, Trans. Am. Soc. Mech. Engrs., vol. 58, pág. 305, 1936, y Siegfried Gross, V. D. 1., vol. 79, página 865, 1935.
77 Cuando la pieza no es suficientemente esbelta, el pandeo acontece para una fatiga de compresión superior al límite de proporcionalidad. Este caso puede verse en Theory of Elastic Stability, página 166, 1936.
190 RESISTENCIA DE MATERIALES
compresora, aunque el material sea muy diferente en los dos casos.
Por la ecuación (a) se ve que puede aumentarse la resistencia al
pandeo de una pieza incrementando I, lo que puede lograrse sin
modificar el área de la sección recta, distribuyendo el material tan
lejos como sea posible de los ejes principales de la sección. Por esto,
las secciones tubulares son más económicas que las macizas para
piezas comprimidas. Disminuyendo el espesor de la pared y
aumentando las dimensiones transversales se aumenta la
estabilidad de estas formas tubulares. Existe, sin embargo, un límite
inferior del espesor de la pared para el que la pared resulta
inestable por sí misma, y en lugar de pandear la pieza como un todo,
se presenta el pandeo de sus elementos longitudinales, lo que
origina la abolladura de la pared.
De todo lo expuesto se deduce que el pandeo de las piezas
comprimidas, es decir, su estabilidad elástica, es un problema de
gran importancia práctica, especialmente en aquellas estructuras
para las que las dimensiones de las secciones se han ido
disminuyendo por el empleo de materiales cada vez más resistentes
y el deseo de quitar peso. En muchos casos, el colapso
de una estructura debe atribuirse a
inestabilidad elástica y no a falta de
resistencia por parte del material.
En la discusión anterior (pági- 233,
Primera parte), el valor de la carga crítica
se obtuvo considerando la acción
simultánea de fuerzas compresoras y
flectoras. Se obtiene el mismo resultado
suponiendo que la pieza está solicitada
únicamente por una carga compresora aplicada axialmente x.
Consideremos el caso de una viga prismática esbelta empotrada en
su extremo inferior y cargada axialmente en el superior (fig. 118). Si
la. can* ga P es menor que su valor crítico, la pieza conserva la
forma recta y sufre solamente compresión axial. La forma recta es
estable en el equilibrio elástico; es decir, si se aplica una fuerza
lateral y se produce una flecha pequeña, esta flecha desaparece
cuando se quita la fuerza lateral y la pieza recobra la forma recta.
Aumentando P de modo gradual, se llega a un estado para el que la
forma recta de equilibrio es inestable y una ligera fuerza lateral
FIG.118
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 191
produce una flecha que no desaparece al desaparecer la causa que
la produce. La carga crítica se define ahora como la carga axial
necesaria para que la pieza tome una forma ligeramente flexada —
fig. 118 (b)—.
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 192
Esta carga se calcula mediante la ecuación diferencial de la
elástica (ecuación 79, Primera parte). Los ejes se toman como
indica la figura 118 (b). Por consiguiente, el momento en la sección
mn es P (8 — y) y la ecuación de la elástica es 78
Como es natural, al estar libre el extremo superior, el pandeo se
presentará en el plano de menor rigidez a la flexión, la que
denominaremos El. Sea ^
* - T i w La ecuación (b) será
^ + P79y = P2 S. (&')
La solución general de esta ecuación es
y = S -f Gx eos px + C2 sen px, (d)
donde 01 y C2 son constantes que deben satisfacer a las condiciones
en el extremo empotrado
(</)*=o = 0; = 0. \dxjx=o
78 Para la deformación indicada en la figura 118 (6) ^ es positivo,
por lo que debe ponerse signo positivo en el segundo miembro de la ecuación (6).
201 RESISTENCIA DE MATERIALES
pl = (2n + 1) ™ ¿i
donde n es nn número entero. El valor menor de pl y, por con-
siguiente, de P, que satisface a la ecuación (/), se obtiene haciendo n
= 0. Por tanto, mediante la ecuación (c),
de donde
Este es el valor de la carga crítica para la pieza de la figura 118
(a)\ es decir, el valor menor de la carga para el que la barra puede
tomar forma curva por flexión.
Con n = 1, n = 2 . .., la ecuación (/) nos da
Las elásticas correspondientes se ven en las figuras 118 (c) y 118
(d). Para obtener la indicada en la figura 118 (c) es necesaria una
fuerza nueve veces mayor que la carga crítica, y para la
representada en 118 (d) es preciso que sea veinticinco veces mayor.
Estas formas de pandeo son inestables y no tienen interés, ya que la
estructura sufre el colapso cuando la carga alcanza el valor (166).
La carga crítica para algunos otros casos se obtiene fácilmente
mediante la solución supuesta. Por ejemplo, en el caso
(/)
(e)
9EPr2 P =
4 ¿2
25 Ehz2 412~
FALDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 193
de una pieza con los extremos articulados (fig. 119), es evidente, por
simetría, que cada mitad de la pieza está en las mismas condiciones
que la barra completa de la figura 118. Por consiguiente, la carga
crítica para este caso se obtiene escribien- 7
do - en lugar de l, en la ecuación (166), se obtiene
= ( 1 6 7 )
El caso de una pieza con los extremos articulados es muy
frecuente en las aplicaciones prácticas y se denomina caso
fundamental de pandeo de una barra prismática. En el caso
de una pieza con los extremos empotrados (fig. 120) existen
momentos de Fig. 119 reacción sobre los extremos durante el
pandeo. La combinación de la fuerza compresora y dichos
momentos equivale a aplicar excéntricamente la fuerza compresora
P (figura 120). Los puntos de intersección de la linea de acción de P
con la elástica lo son de inflexión para ésta, ya que en ellos el
momento es nulo. Estos puntos y el punto medio de la pieza dividen
a la barra en cuatro trozos, cada uno de los cuales está en las
mismas condiciones que la barra de la figura 118. Por consiguiente,
la carga crítica para una pieza con los extremos empotrados se
deduce de la ecuación (166), l poniendo - en lugar de l, se obtiene 4
_ ájz 2E 1 cr~~ P
En todo lo expuesto se supone que la pieza es
muy esbelta y que la fatiga, cuando se produce el
pandeo, queda por debajo del limite de proporcionalidad.
Solamente en estas condiciones puede aplicarse- la
ecuación (ó). Para establecer el límite de aplicación de las
expresiones anteriores que dan las cargas 'críticas,
consideraremos el caso fundamental (figura 119).
Dividiendo la ecuación (167) por el área A de la seo*
ción de la pieza, y llamando k — j j L al menor radio de
giro,
&E8ISTEK01A DE UATBEIABES—T. U
(168)
13
194 RESISTENCTA DE MATERIALES
se obtiene como valor crítico de la fatiga de compresión la expresión
P /£\a
^ = *2E (j)- <169>
Esta ecuación es aplicable mientras sea inferior al límite de
proporcionalidad. Conocido este límite y también el módulo E del
material, puede calcularse fácilmente el valor límite de la
relación 7 (el cual caracteriza la esbeltez de la pieza) para cada k
caso particular.
Procediendo del mismo modo en los casos de las figuras 118 y
120, se encuentra
.c„=n*E^‘- (170) /Í-V (171)
La fórmula del caso fundamental (169) puede emplearse tam-
bién en otros casos si se usa una longitud reducida l1 en lugar de la
longitud de la pieza. En el caso de una barra prismática con un
extremo empotrado y el otro libre, la longitud reducida es el doble
de la real Zx = 21. En el caso de una barra prismática con los dos
extremos empotrados, la longitud reducida es la
mitad de la real l1 — ^ l. La ecuación que da la fatiga crítica ¿i
puede, por consiguiente, ponerse en la forma
k\2 OT,/¿\2 acr = ^EÍ^\ =7^r), (172)
\$ll Vv
donde (3 depende de las condiciones de apoyo de los extremos y se
denomina corrientemente coeficiente de longitud.
Cuando estudiamos el proyecto de columnas (pág. 243, Primera
parte), se consideró el caso de una columna con los extremos
articulados. Todo lo allí expuesto puede aplicarse a columnas con
otras condiciones en los extremos, con tal de emplear la longitud
reducida lv en lugar de la longitud real l. En cada caso particular,
el proyecto de una columna se reduce a determinar el valor
apropiado del coeficiente de longitud.
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 195
Hallando las constantes Cx y C2, por la primera y tercera de
estas ecuaciones, y sustituyendo en la segunda, se tiene
tg pl = pl.
Para resolver esta ecuación trigonométrica se emplea el mé-
todo gráfico. En la figura 122 tenemos las curvas que dan tg pl como
función de pl. Dichas curvas tienen por asíntotas las verti- TU 3 7U cales pl = , puesto que para estos valores de pl, tg pl
L ¿i
se hace infinito. Las raíces de la ecuación (?) se obtienen como
intersección de las curvas indicadas con la línea recta y — pl. La
menor de las raíces así obtenidas es
pl = 4,493.
Como ejemplo de cálculo de este coeficiente, consideraremos
el caso de una pieza comprimida axialmente que tiene empotra-
do el extremo inferior y articulado el superior (fig. 121). El valor
crítico de la carga compresora es aquel para el que la pieza
puede tomar una forma ligeramente curva por fle-
xión. Se ve que en este caso, durante el pandeo, se
produce una reacción lateral Q, y la ecuación dife-
rencial de la elástica será
EIp>=-Pt, + Q(l. dx2 x). (9)
La solución general de esta ecuación con la notación
(c) es
y = Gx eos px + C2 sen px -f — (l — x). (h) FIG. 121
Para determinar las constantes Gx y C2, y la reacción desconocida Q, se
tienen las siguientes condiciones en los extremos:
Í-) \dx/x=o
(y)*-o = 0, (y)x=i = 0,
Utilizando el valor de y dado por (h), se tiene
C1 + 1=0, Q Cx eos pl -j- C2 sen pl = 0, pC 2 —- = 0.
(;i)
(173)
196 RESISTENCIA DE MATERIALES
Por consiguiente,
20,162?/ re ZEI
(0,7Z)>
Es decir, la carga crítica es la misma que para una pieza
con los extremos articulados y de
longitud Zj = 0,7 L.
Como ejemplo segundo, con-
sideraremos una viga sobre tres
apoyos comprimida axialmente por las
fuerzas P (fig. 123). Para calcular el
valor crítico de la fuer- PL za
compresora, utilizaremos su de-
3 P X"*
FIG. 123
finición y supondremos que Pcr es la fuerza para la que la viga
puede tomar una forma ligeramente curva por flexión. Como
consecuencia del pandeo, aparecerá un momento flector M2 en el
apoyo central x, para cuyo cálculo podemos utilizar la ecuación (38),
obtenida para vigas continuas. Como en nuestro caso, los extremos
están articulados J/1=J/3=0, y la ecuación (38) será
(¡>i ‘f + fe ’f) = »• ti)
Esta ecuación queda satisfecha y el pandeo de la pieza es
posible si
& £ + ( > . £ = « • t i ) 1! 12
Per = V2EI l2
P l
PANDEO DE BARRAS. PLACAS Y CÁSCARAS 197
donde j3t y ¡32 son —véanse expresiones (36), pág. 37
a Z f — --------------------------------- 1 p2 =■-■ -------------------------- 3 í— -------------------------------------------- 1 (k) l.(2w1)80 2 iq tg 2 ux\ l(2 m2)2 2 w2 tg 2
u.J
- I / — - (l) 2 I EL, 1 2 I El, " 2 I EL,
Si se conocen las dimensiones de la viga, puede determinarse n j
: u2 por las expresiones (l) y la relación [i,: [32 por la ecuación (j),
que da
h = (m}
P s h h
Utilizando ahora una tabla numérica de la función ¡3, se puede
con facilidad resolver esta ecuación para valores apropiados de ux y
u2, y obtener, mediante las expresiones (l), el valor crítico de P.
Sea, por ejemplo, I, = /2 = I y l2 = 2 lx. Por tanto,
u 2 = 2«, y ~ = —2- (») P -2
Para resolver esta ecuación es necesario encontrar un valor 2 u
x de la variable 2 u tal que cuando le dupliquemos la función ¡3
cambiede signo y reduzca su valor numérico a lamitad del que
tenía para el valor 2 ux. Utilizando la tabla de valoresnuméricos
de (3 *, se encuentra fácilmente que esta condición queda satisfecha
si 2 u,= 1,93.
Por consiguiente, por las ecuaciones (l)
1,932EL 3,72 EL 14,9 El
Se ve que el valor de la carga crítica queda comprendido entre
los dos valores —S-- y que, por separado, corres-
í j í 2 ponderían a los tramos, si cada uno se considerase independien- teniente con los extremos articulados. La estabilidad del tramo corto se ha reducido por la influencia del tramo más largo, mientras que la estabilidad de este último ha aumentado.
Stability.
' i > .. [p
u.
198 RESISTENCIA DE MATERIALES
Al deducir la ecuación (e) para la elástica, dejamos indeter-
minada la flecha máxima S; es decir, para la carga crítica la barra
puede tener una flecha pequeña cualesquiera.
Esta indeterminación proviene de utilizar la expresión apro-
ximada para la curvatura, en lugar de la expresión exacta
d?y
dx81 FSíF
La solución de la ecuación diferencial exacta correspondiente a
la elástica se ha encontrado para varios casos 82 y muestra que no
existe en la flecha la indeterminación obtenida anteriormente. Por
ejemplo, para una pieza con los extremos articulados, la flecha
máxima puede representarse por la ecuación 2
(174)
lo que muestra que la flecha aumenta muy rápidamente para
valores de la carga superiores a la crítica. Suponiendo, por ejemplo,
una carga superior en el 1 por 100 a la Pcr, se vería, por la ecuación
(174), que la flecha es alrededor del 9 por 100 de la longitud l de la
barra 83.
La relación entre la carga y la flecha puede representarse
gráficamente tal como indica la figura 124 por la curva OAB, en la
que la carga se toma en ordenadas y la flecha en abscisas. Cuando la
carga es menor que P„, la flecha es nula. Por encima de este límite,
la flecha aumenta rápidamente con la
* Véase R. v. Mises, Zeitschr. f. Angew. Math. u. Mech. vol. 4, (1924),
pág. 435. Véase también O. Domke, Die Bautechnik, vol. 4, (1926), pág. 747, y R. W. Burges, Phys. Rev. (1917).
82 Cuando comienza la fluencia, la curva AB no es válida y el pandeo va siguiendo la curva de trazos BG (fig. 124).
83 Se supone que la deformación permanece por debajo del limite de proporcionalidad.
RAKTVTCO T>R BARRAS, BBACAS Y CÁSCARAS 199
carga ’. En los ensayos de pandeo, la relación entre la flecha y la
carga depende en alto grado de la exactitud con que se ha centrado
la carga, así como del grado de
enderezamiento y homogeneidad
de la barra. La curva carga-flecha
es corrientemente análoga a la
curva OD de la figura 124. Debido
a inexactitudes de una u otra cla-
se, la flecha comienza para cargas
pequeñas, pero progresa
lentamente mientras que el valor
de la carga está lejos del de
la carga crítica, y lo hace muy rápidamente cuando la carga se
aproxima a dicho valor crítico. Cuanto más cuidadosamente se
prepara la barra y cuanto más cuidadosamente se carga, más se
aproxima la curva obtenida a la teórica OAB 84.
Problemas
1. / Una barra de acero de sección rectangular 2,4 X 4,8 cm., con los
extremos articulados, se comprime axialmente. Determinar la longitud
mínima para la que puede aplicarse la ecuación (167), si E = 2,1 X 10®
kg./cm.2, y el límite de proporcionalidad es 2,100 kg./cm.85. Determinar el
valor de la fatiga crítica si la longitud es 144 cm. 2 4
Solución: El radio de giro mínimo es k — — c m . ; la longitud mínima
deducida de la ecuación (169) es ^ ^
240 t =* 100 k = ------ = 69,4 cm.
2 V3
La fatiga crítica para l = 144 cm. —ecuación (169)- es aer = re86
x 2,1 x 106 x yo-^rqjp = 479)5 kg-/cm-a-
84 Una coincidencia casi absoluta entre los valores experimentales
y los teóricos ha sido obtenida por Th. v. Karman, Forschungsarbei- ten, núm. 81, Berlín, 1910; véase también K. Memmler, Proceedings
200 RESISTENCIA DE MATERIALES
2. Resolver el problema anterior, suponiendo una barra de sección
circular de 2,4 cm. de diámetro con los extremos empotrados.
Respuesta: Longitud mínima = 120 centí
metros. Para l = 144 cm., acr — 1456 kg./cm.a.
3. Determinar la carga compresora crítica
correspondiente a una I standard de 175 cm. de
longitud y 16 cm. de altura, de extremos articulados.
4. Resolver el problema 1, suponiendo que uno
de los extremos de la barra está empotrado y el otro
articulado, tal como indica la figura 121.
5. Determinar el valor crítico de las fuerzas P,
que comprimen las barras verticales del cuadro
representado en la figura 125.
Solución: El pandeo produce los momentos
de reacción M0, que se oponen al libre giro de las
piezas verticales. La ecuación diferencial de la elástica de una barra vertical
es
La solución general de esta ecuación es
M y =(7j eos px + C.¿ sen px +
Las constantes de integración y M0 se determinarán por las condiciones
siguientes, basadas en la forma simétrica del cuadro (fig. 125):
M0l i
(2/)*=o 0; \ ai)xJ_ °í (a¿)a_# 0 2 ElC
Utilizando la expresión general de y, sale
Ct + ^=r = — Oip sen ^ + C> eos j = 0; C2p =
De donde se obtiene la ecuación trascendente siguiente, que sirve para
determinar p, y, por tanto, la carga crítica
tgí+2
o, empleando la notación (c),
pl I h pl tg \ + Ix l 2 °*
Cuando y y es grande, es decir, cuando la resistencia de las barras 1 pl
horizontales del cuadro al pandeo de las verticales es pequeña, tg (o)
PANDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 201
es un número negativo de gran valor absoluto, y ^ se aproxima
a La carga crítica se aproxima entonces al valor — o b t e n i - 2 I
do anteriormente para una barra con los extremos articulados —ecuación
(167)—.
Cuando ^ • y es pequeño, es decir, cuando la resistencia de las ba- li l
rras horizontales del cuadro al pandeo de las barras verticales es muy
grande, tg ~ es un número negativo de pequeño valor absoluto, y ^ se
aproxima a n. Entonces la caiga crítica se aproxima al valor , obtenido
anteriormente —ecuación (168)— para una barra con
V
los extremos empotrados.
En el caso de un cuadro de forma cuadrada, con todas las barras de la
misma sección, l — lu I = i y, la ecuación que determina la carga crítica es
de donde
gr = 2,029.
16,47 El
tz2EI (077741)2
La longitud reducida es, por consiguiente, en este caso, = 0,774 l.
6. Resolver el problema anterior, suponiendo que además de las
fuerzas verticales P existen dos pares de fuerzas horizontales Q, que
comprimen las barras horizontales del cuadro.
Idea: Puesto que las barras horizontales están comprimidas, el
ángulo representado por 0 en la figura 125 es a
_ Mgl\ tg u 2
Eli u ’
donde 2 Ql\
u ~ 4Eli'
La ecuación para el cálculo del valor crítico de P se obtiene po- X i w ido en lugar de Ilt en la ecuación (o) del problema anterior.
7. Una barra con los extremos articulados AB (fig. 126) está comprimida por las fuerzas Pi y P„. Hallar el valor crítico de la fuerza Px + Pt, si (Px + Pi) : Pi = m, It : i, ==> n, ^ = r.
87 Se deduce mediante la ecuación (48), sustituyendo ui en lugar de u.
/n nnÁ i\287 tP)
202 RESISTENCIA DE MATERIALES
li
Solución: Suponiendo que la pieza pandea en la forma que indica
la figura 126 con línea de puntos, se producirán durante el pandeo
S-P * reaccioneshorizontales Q — . Lasecuaciones di-
% ferenciales de los trozos superior e inferior de laelás-
tica son
. WT d*V l - P « Sf>2 (1 rrí
^z E I l~dx*~~ P l V í r{ l ~x ) > ^ ' (r)
h <s F* Empleando las notaciones
~El\~P*’ Eli P*’ 'Eli 2=:^’ EIt ~P*’ W A _____
y se obtiene como solución de las ecuaciones (r):
§ ^ j/i = Ci sen -pix + Ci cos pi* — j ~ (l — x)
l px
Vi = Ga sen pg» + 04 cos paa; + ~ z. f í*3
Las constantes de integración se
obtienen por las condiciones en los extremos de los dos trozos de la pieza
que pandea:
(2/i)x”í = O- (í/i)*—fe = 8, — §> (2/*)a-=0 “O*
De aquí se deduce
r __________ 8(p?Z + plM r _ c . , 1 p|l(sen pxli — tg piZ cos pi¿2) ’ * 1
c *(p¡l~plh) c 0 Ci~ plisen p3h’ *
Sustituyendo estos valores en la ecuación de continuidad
ldyi\ = ityA \dx) x = i t
\dx! x = i t
se obtiene la siguiente ecuación trascendente, que sirve para el cálculo de
las cargas críticas
8 TI l.
P-P
< 'i
FIG. 126
PATOJO DE BABEAS, FLACAS Y CISCABAS 203
la <Mia? puede resolverse en cada caso particular por tanteos, o bien
representando gráficamente ambos miembros de la ecuación y determinando
los puntos de intersección de las dos curvas. Sea, por ejemplo, l¡ => ¿2, =
I2 =I y Pt = P2; se obtiene
TZ iEI (P¡ + P2)CT = (0,87 Z)a*
8. Hallar la carga crítica para una columna empotrada en su base y libre
en la cabeza, formada por dos trozos prismáticos de momentos de inercia Ix e
12 (fig. 127).
Soltición: Si 8 es la flecha en la cabeza durante el pandeo, las
ecuaciones diferenciales para los dos trozos de elástica son
-re -»» .
Haciendo uso de las notaciones (s), Jas soluciones de estas
ecuaciones son
y1 $ + C eos P\X + D sen pxx, y2 = 8(1 — eos %>iX).
Las constantes de integración se obtienen por las condiciones
(l/dz-í = (yi)x—h ~ (yúx=h, lo que da
8 + (7 eos pil + D sen pxl = 8,
8 4- C eos pih + D sen pih = 8(1 — eos p2l2), de donde
eos p2l2 eos pil C = — D tg pil,
Puesto que los dos trozos de la elástica tienen la misma tangente para x =
1%, se tiene la ecuación
8p2 sen p2l2 = — Cpl sen pil2 + Dpx eos pxl2.
Poniendo en lugar de C y D los valores anteriores se obtiene finalmente la
ecuación siguiente, que sirve para obtener Pcr;
Pl tg pxlx tg Pth “ — •
P»
En ei caso particular de que
11 ÍP
FIG. 127
sen pili
204 RESISTENCIA DE MATERIALES
**•(!)/
l-V—=* 2 f El 4
y _*EI *«■ -~4¡r‘
Valor igual a la carga crítica obtenida para una columna de sección
constante.
36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica x.—La
fórmula de Euler, dada en el artículo 35, se dedujo resolviendo la
ecuación diferencial de la elástica de la pieza comprimida con
ciertas condiciones en los extremos. Hay casos en los que esta
ecuación es complicada y la solución exacta difícil de encontrar. Se
puede emplear entonces un método aproximado, basado en la
consideración de la energía del sistema. Como ejemplo, vamos a
examinar el caso de una columna empotrada en su base y con una
carga axial en la cabeza —fig. 118 (a) y (6)—. La forma recta para el
equilibrio elástico de la pieza comprimida es estable si la fuerza
compresora P es pequeña; pero se hace inestable desde que P
alcanza su valor crítico y comienza el pandeo. Este valor crítico de
P puede hallarse comparando la energía del sistema en los dos
casos: 1.° Cuando la barra está comprimida únicamente, y 2.°
Cuando está comprimida y flexada. La energía de de formación en
la barra flexada es mayor que en la forma recta comprimida, debido
a que debe añadirse la energía de flexión a la energía de
compresión, que puede considerarse constante para deformaciones
pequeñas. Consideremos ahora la energía potencial de la carga P: la
deformación de la barra viene acompañada de un descenso del
punto de aplicación de la carga P, por lo que la energía potencial de
ésta disminuye. Sea U la energía potencial de flexión y U1 la
disminución de la energía potencial de la carga. Si í/x es menor que
U, la deformación de la barra viene acompañada de un aumento en
la energía potencial del sistema; esto indica que
se obtiene p El
PANDEO DE BABEAS, PLACAS Y CÁSCABAS 205
será necesario aplicar alguna fuerza lateral adicional para producir
la flexión. En este caso, la forma recta es de equilibrio estable. Por
el contrario, cuando U1> U, la deformación de la pieza viene
acompañada de una disminución de la energía potencial del sistema
y la flexión acontecerá sin necesidad de aplicar fuerza lateral
alguna; es decir, la forma recta lo es de equilibrio inestable. El valor
crítico de la fuerza compresora se obtiene, por consiguiente, cuando (175)
Para calcular el valor de la carga crítica mediante esta ecua-
ción, es preciso obtener las expresiones de U y Uv La elástica de la
barrabajo la acción de una fuerza compresora igual a la
carga crítica= ^j, ecuación (e) (pág. 192), es
y= sji—cos^j. (a)
Con este valor para y, la energía de deformación por flexión
será
rr 1 T.T C88 t&VV J S27T* U — -El I ~ dx=-—El. (b
2 Jo \dx2] 64 (3
El descenso del punto de aplicación de la carga durante la fle-
xión es (véase pág. 50)
fW<i*=ÜIÍ. (c)
2 Jo \dx) 16 l Por consiguiente,
ü1=px = ?JL£. (d) 1 161
Sustituyendo (b) y (d) en la ecuación fundamental (175), se
tiene
El TI2, ~4¡2’
que coincide con la ecuación (166) obtenida anteriormente.
En este caso se conocía la elástica (a), y por la ecuación (175)
hemos obtenido el valor exacto de la carga crítica. En los casos en
que se desconoce la elástica puede obtenerse un valor aproximado
de la carga crítica suponiendo que la elástica responde a la
ecuación de una curva apropiada (una cualquiera que satis
88 Véanse las publicaciones del autor en los boletines del Instituto
Politécnico de Kiew, 1910, y Annales des Ponls et Chaussées, París, 1913.
Per =
206 RESISTENCIA DE MATERIALES
faga a las condiciones en los extremos) y procediendo como an-
teriormente.
Para ver qué aproximación puede obtenerse por este método,
consideraremos nuevamente el problema anterior. Supongamos, por
ejemplo, que en el caso de la figura 118 (6), la elástica es la misma
que la de una ménsula con una carga transversal Q concentrada en
su extremo. Por la ecuación (97), Primera
parte, y —W-FT? (3i — x). Sustituyendo este valor en la expre- o Mil
sión (6) de la energía U de deformación por flexión, y en la expresión
(d) de Uly
Comparando este resultado con la fórmula exacta (166), se ve
que el error del valor aproximado es alrededor del 1 por 100.
Este error puede reducirse
considerablemente y obtenerse una aproximación
mejor si se toma para la
energía de deformación
la expresión se tiene
ü P282 171
2 El 35
La disminución de la energía potencial de la carga P es
P QW 3 P 8*
P C7, = PX = - 2
Sustituyendo en la ecuación (175),
Sustituyendo en esta expresión
2 El 15
3 Z
TANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CASCARAS 207
Sustituyendo en la ecuación (175), se obtiene
P*8* 17 Z SP S2 2
El 35_ 5 i’ de donde
Pe,= — • — = 2,4706 17 Z2 Z2 El valor exacto es
7T2 El P7 Pw = --------------- = 2,4674 -------
4 P Z2
Por consiguiente, el error de la solución aproximada es sola-
mente el 0,13 por 100. Utilizando la ecuación (e) en lugar de la (6), se
introduce en los cálculos la flecha y de la curva escogida en
lugar de la derivada -=-|. Como y viene dada por la curva es- y/2
cogida con mucha más aproximación que , el segundo método de
cálculo da un resultado mucho más aproximado para P„.
El método de la energía da corrientemente buenas aproxi-
maciones con tal de que se escoja la curva acertadamente. Algunas
veces el resultado es aceptable, aunque hayamos hecho una
hipótesis grosera sobre la forma de la curva. Por ejemplo,
supongamos que la elástica, en el caso que examinamos, sea una
parábola de ecuación Sx2 y =
—— Z2
Por consiguiente,
f ‘ M V * = P ‘ » ( ' I l * ' i b w . r w 8 Jo 2 El 2 El Jo \
P¡
2 J„ \ixl Sustituyendo en la ecuación (175), P282 _8 = 2 S2
J
20á RESISTENCIA Í>E MATERIALES
be ve que con la curva parabólica supuesta se obtiene también
una buena aproximación, a pesar de que la curva ha sido muy mal
escogida. Tiene la curvatura casi constante a lo largo de la longitud
de la pieza, mientras que en la curva real la curvatura es
proporcional al momento flector, y este último es nulo en la cabeza
y máximo en la base de la barra.
Aplicando el método de la energía con una curva apropiada que
satisfaga las condiciones en los extremos, se obtiene siempre un
valor para la carga crítica mayor que el verdadero. Esto se debe a
que la elástica real que toma la barra al pandear es la que
corresponde a la menor resistencia de la barra.
En la mayoría de los casos la curva escogida será diferente de
esta curva de resistencia mínima y obtendremos valores por
¿exceso para las cargas críticas.
Problemas
1. Resolver el problema representado en la figura 121, suponiendo que
la elástica tiene la forma de la que corresponde a una viga cargada
uniformemente, con un extremo empotrado y ei otro articulado.
2. Resolver, por el método de la energía, eJ problema 7 del artículo
anterior (pág. 201), suponiendo í, = l7 = jj*
Solución: Suponiendo que la elástica es una sinusoide,
el momento flector en los dos trozos de la curva ea
Af,= P^q-—*(!—*).
M2 = ( P , +
La energía de deformación por flexión es
M\dx
o
'§ M\dx _ 8*
2 El2 ~ 2 El
rT i jxi \UX u ~ j i ¡nh; 2
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 209
La disminución de la energía potencial debida al descenso de los puntos de
aplicación de las cargas Pt y Pa, es
Tj _ £} /*V^ 12 dx 4- — [ 89* l ^ 8 d x - — > P + - p )
1_ 2 J [ d x + 2 J ( d x 4 1 V 1+ 2 o o
Sustituyendo en la ecuación (175) y utilizando las notaciones ya
establecidas, se obtiene
(Pl + P 2 )cr (** ( m + !) V 1 (176)
. m / m — Ia 8. r 1 , —1\* 8w — 1
m + — [ ----------------- „ (m— 1)+ n — + — --------------------------- -f 6 \ m / tt2 ' i m 6' m /
3. Resolver el problema 8 del artículo anterior por el método de la
energía.
Respuesta: Suponiendo la elástica
se obtiene
. + 7 y T ~ 1 sen -~ l l ij n 11 ) I
37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuerzas axiales
uniformemente distribuidas.—Suponiendo que bajo la acción de
la carga axial uniforme acón- T~ — tece un ligero pandeo
(fig. 128), puede obtenerse el valor crítico de la carga
integrando la ecuación diferencial de la elástica. En este
caso la ecuación no es tan sencilla como en los anteriores y su in-
tegración requiere el empleo de las funciones de Bessel1.
Una solución aproximada se encuentra por el método de
la energía. Tomemos como expresión de la elástica la
curva y = s | 1 — cos^J (a)
que, como sabemos, es la verdadera elástica correspondiente al caso
de pandeo por una carga compresora concentrada en la
89 Véase Theory of Elastic StabiUty, pág. 115.
RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n 14
7r m
P T-a Plj _________________________ 1 ________________________________ /, nn\ 41* k l1I2 1 ít ,\ *h’
si n.
rV
’f’—
Fig. 128
210 RESISTENCIA DE MATERIALES
cabeza de la pieza. El momento flector debido a la parte de carga
anterior a la sección mn y correspondiente a esta sección es
M = j q(r¡ — y)d\.
Poniendo en vez de y el valor (a) y escribiendo 7)
= 811 — cos
se obtiene, después de integrar con relación a Jf =
Ss[(!-*) eos íí - _ Sen
Sustituyendo este valor en la expresión de la energía de de-
formación por flexión, se obtiene rl MUx _ 8 2q2l3 11 9 32\ J o 2 E I ~ ' 2 E I \ 6 ñ 2 ~ W ' ( )
Para calcular la disminución de la energía
potencial de la carga distribuida, durante el pandeo, observaremos
que, debido a la inclinación del elemento de la elástica
correspondiente a la sección mn, la parte superior de la carga
experimenta un desplazamiento hacia abajo igual a
* _ ix „ 1 (dJ\\ 2 \dx)
y la reducción correspondiente de la energía potencial es
1 ¡dy\ 2 x)dx.
2 \dxj
La disminución total de la energía potencial de la carga du-
rante el pandeo será
Sustituyendo las expresiones (6) y (c) en la ecuación (175), se
obtiene 8 2q2l3 / I 9 32\ _ Tt282g /I 1 \
2 El \6 7t2 ir3/ 8 \4 7c2/ de donde
7,89 El = —-—
U =
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 211
La solución exacta para este caso es
7,83 El 7i ¿ E l (Ql)cr = '1,122 l)2
Por consiguiente, el error de nuestra solución aproximada es
menor que el 1 por 100.
Problema
I. Una barra prismática, con los extremos articulados
(fig. 129), está solicitada por una carga uniformemente
distribuida de intensidad q y por una fuerza compresora
axial P. Hallar el valor crítico de P, suponiendo para la
elástica la ecuación
. nx y = o sen -j •
Respuesta:
38. Pandeo de barras de sección variable.—Sea
la pieza de sección variable simétrica con relación a su centro y con
dos planos axiales de simetría de la figura 130.
La parte central es de sección uniforme con un momento de inercia
J0. Hacia los extremos, la sección varía y su momento de inercia
sigue la ley Fio. 129
(a)
donde xy a son distancias tomadas desde un cierto punto fijo
(figura 130) y m un número que depende del tipo de
columna.
Cuando la parte central es un cilindro macizo y los
extremos conos macizos, 1 varía con la cuarta
potencia de x y m = 4
en la ecuación (a).
Cuan- Fig 130 d° Ia columna tiene un espesor constante en
dirección perpendicular al plano de la figura 130, los
momentos de inercia I respecto a ejes paralelos al plano
de la figura son proporcionales a x, y ni = 1 en la
ecuación (a). Cuan
Í178) l2
ql 2*
v? El P„ = P+ql
/ = /
212 RESISTENCIA DE MATERIALES
do la columna está formada por cuatro angulares triangulados,
como indica la figura 131, el área de la sección permanece constante
e 1 puede tomarse proporcional a x2. Por tanto, m = 2 en la ecuación
( a ) . Los cáloulos realizados para m — 1, 2, 3, 4 muestran 90 que la
carga crítica por debajo del límite elástico puede representarse por
la ecuación Tp T
^ = «-=5. (179)
donde a es un factor numérico que depende de las relaciones y,
I ' /M m e —, siendo = I0 el momento de inercia en las secciones
extremas. Suponiendo articulados los extremos de la columna a
viene dado por la tabla que a continuación se expone. Puede
verse que a medida que la relación y o la y1 se aproximan a la o
unidad, el factor a tiende a n2 y la ecuación (179) tiende a la (167),
que corresponde a una pieza prismática.
Como ejemplo de aplicación de la tabla XIII, consideraremos una
pieza de madera de 187,2 cm. de longitud y sección rectangular. El
espesor de la pieza permanece constante e igual a 1,8 cm. El
ancho varía, de acuerdo con una ley lineal,
y es 9,6 cm., en el centro, y 5,76 cm. en los extremos. De
terminar PCT si E = 8,4 x 101 kg./cm.2. En este caso,
- = 0, m — \ y ll = ÍÜiZ® = 0.6.
I /„ 9,6
De la tabla xra se deduce a = 8,60, y la carga crítica,
deducida de la ecuación (179), es
r]"’! Pcr = 8,60*^-*-1- X 9’6 X .Lg3 = 96,4 kgs.
: i 12 x 187,22 _#Al
Fig. 131 Como segundo ejemplo, consideraremos la columna piramidal
de la figura 131, cuya sección cuadrada está formada por cuatro
angulares de 8,4 x 8,4 x 0,9 cm. El ancho exterior de la columna en
los extremos es 28,8 cm., y en el centro,
90 Véase A. Dinnik, Westnilc Ingenerov, Rusia, 1927. La tabla numérica
de la página siguiente se' ha tomado de esta publicación.
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 213
49,2 cm. La longitud de la columna es 18,72 m. Determinar la carga
crítica para esta columna, tomando para su acero E — 2,1 X 106
kg./cm.2, y suponiendo que las horizontales y diagonales de enlace
son lo suficientemente rígidas para que se pueda aplicar la
ecuación (179), obtenida para barras macizas. El área de la sección
recta es A = 57,14 cm.2; /j — 8590 cm.4; 10 -- 28540 cm.4. Tomando y1' = 0,3,
aproximadamente, m = 2, y - = 0, se en- i o *
cuentra mediante interpolación en la tabla precedente a Por consiguiente,
mediante la ecuación (179),
v _ 2,1 X 10s X 28540 ' A nnn ,
P„ = 7 x — ------------------------------ = 120.000 kgs. 18722
7.
TABLA XIII C O EFI C I EN T E « D E L A EC UA C I Ó N ( 1 7 9)
r - L I . h — se* i
0 0,2 0,4 0,6 0,8 I
0, 1
m = 1 m = 2 m
= 3 m — 4
6, 48
5, 40
5, 01
4, 81
7, 58
6, 67
6, 32
6, 11
8, 68
8, 08
7, 84
7, 68
9, 46
9, 25
9, 14
9, 08
9, 82
9, 79
9. 77
9. 77
7T2
m = 1 7, 01 7, 99 8, 91 9, 63 9, 82
m = 2 6, 37 7, 49 8, 61 9, 44 9, 81
0, 2 m = 3 6, 14 7, 31 8, 49 9, 39 9, 81 7t2 m = 4
6, 02 7, 20 8, 42 9, 38 9, 80
m = 1 7, 87 8, 60 9, 19 9, 70 9, 84
n A m = 2 7, 61 8, 42 9, 15 9, 63 9, 84
U. 4 i m = 3 . 7 , 52 8, 38 9, 10 9, 63 9, 84
m = 4 7, 48 8, 33 9, 10 9, 62 9, 84
m = 1 8, 60 9, 12 9, 55 9, 74 9, 85
0, 6 | m = 2 8, 51 9, 03 9, 48 9, 74 9, 85
- | m = 3 8, 50 9, 02 9, 47 9, 74 9, 85
m = 4 8, 47 9, 01 9, 45 9, 74 9, 85
m = ^ 9, 27 9, 54 9, 69 9, 83 9, 86
0, 8 | m = 2 9, 24 9, 50 9, 69 9, 82 9, 86
w = 3 9, 23 9, 50 9, 69 9, 81 9, 86
w i = 4 9, 23 9, 49 9, 69 9, 81 9, 86
I
TC* T72 7C2 n 2 T : 2 7l2
214 RESISTENCIA DE MATERIALES
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 215
39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica. -Para obtener
la carga crítica se ha empleadol a ecuación diferencial de la elástica
(véase pág. 191), que desprecia la influencia de la fuerza cortante en
la deformación. Cuando acontece el pandeo, las secciones
de la pieza dejan de ser perpendiculares a la fuerza
compresora y se presentan, por tanto, fuerzas cortantes. El
efecto de estas fuerzas puede hallarse mediante el método
de la energía desarrollado en el artículo 36. Para emplear
este método, debe añadirse la energía de deformación por
cortadura a ¡a energía por flexión al calcular la energía de
deformación U debida al pandeo. Sea AB (fig. 132) una
pieza maciza con los extremos articulados, pandeada por la
acción de la fuerza compresora P. Los valores del momento
flector y de la fuerza cortante en la sección mn son
M = Pv: F = P ^ . (a) dx
Según resultados anteriores (véase artículo 66, Primera parte),
la energía potencial almacenada en un elemento de la barra es
M2dx , aV2dx dU= =-H 1 ib)
2E\ 20A w
donde A es el área de la sección recta, y
a, un coeficiente que depende de la forma de la sección, y tal que
aF ■7=—. es el valor de la distorsión en la línea neutra (artícu- OA
lo 39, Primera parte).
El corrimiento de la sección mv respecto a m Anx, debido a aF esta distorsión, es dx, y el segundo término del segundo
nrembro de (6) representa la energía potencial por cortadura
almacenada en el elemento. Mediante {a) y (b), la energía alma-
cenada en la pieza durante el pandeo es
ü = r ? v ^ + (e) J o 2 El J o 20A\dxj w
216 RESISTENCIA DE MATERIALES
La disminución de la energía potencial de la carga P será
u'=l4Mdx- w
Suponiendo que la elástica de la pieza pandeada es una curva
sinusoidal, * TZX
y = 8 sen —» (e) il
y poniendo este valor en (c) y (d), se tiene
u = + (/) áEl 4 GA l* 1
Pir2 U, = 8 2—•
1 4 1
Sustituyendo en la ecuación (175), obtendremos p 7i2El 1
12 i + (g) GA 12
Comparando esteresultado con la fórmula de Eider (167),
se ve que, debido a laacción de la fuerza cortante, iacarga crí
tica disminuye en ia relación 1
. El air2* (180)
' + GA T
Sea TU2/?/ „ GA
= P¿ — = P¿ ' (h)
?2 a
la ecuación (g) se escribe
P =P 1 A Af ~ ■*
' \ + P . (18D
P *
Para piezas macizas Pd es muy grande, comparada con Pe> y el
efecto de la fuerza cortante puede despreciarse. En el caso de piezas
entramadas, especialmente cuando sólo se usan mon
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 217
tantes —figura 134 (a)—, Pd puede ser del mismo orden que Pe, en
cuyo caso no puede despreciarse el efecto de la fuerza cortante. A
continuación examinaremos estos casos.
40. Pandeo de piezas entramadas \—Las piezas entramadas se
usan con gran frecuencia en las estructuras de acero. Su capacidad
de resistencia es siempre menor que la de una columna maciza que
tuviese la misma área en la sección recta y
la misma esbeltez Depende, en gran parte, de los detalles
de unión, tales como pletinas de unión, diagonales y montantes.
Esta pérdida de resistencia se debe principalmente a que en el caso
de columnas entramadas las fuerzas cortantes producen un ef cto
mucho mayor en las deformaciones que en el caso de piezas
macizas. Para calcular el efecto de la fuerza cortante sobre la carga
crítica, puede adaptarse la ecuación (181), deducida para piezas
macizas, al caso de piezas entramadas.
Sea, como anteriormente, Pe la carga crítica
obtenida por la ecuación (167); Pd tiene, en el
caso de piezas macizas, un
V significado físico sencillo, puesto que -p-
representa el giro adicional y que en la
deformación producen las fuerzas cortantes. Pd,
en el caso de piezas entramadas, tiene un
significado análogo, con tal de que el número
de tramos sea grande.
Para determinar Pd en cualquier caso
particular, debe, por consiguiente, analizarse el
corrimiento lateral producido por la fuerza
cortante.
Consideremos el tramo de la pieza triangulada
representado en la figura 133 (a). El corrimiento debido a la
cortadura es el debido al alargamiento y contracción de las
diagonales y montantes en cada tramo —figura 133 (b)—.
Suponiendo articulados los nudos, el alargamiento de la diagonal
producido por la fuerza cortante V es
/ 1> /
A v
0 / / '1 /7 - 1 1 / 7
/V
/
r i i
V N
FIG.133
0
218 RESISTENCIA DE MATERIALES
Va ___________ sen v eos vEAd ’
V donde 9 es el ángulo entre el montante y la diagonal; —— es
a ^ la fuerza extensora en la diagonal; es la longitud de la diasen 9
gonal, y Ad es el área de la sección recta de dos diagonales. El corrimiento lateral correspondiente —fig. 133 (6)— es
------------------------------------------ (a) sen 9 eos2 <pEAd
El acortamiento del montante y el corrimiento transversal co-
rrespondiente —fig. 133 (c)— es
8, = -^. (6)
b es la longitud del montante. Ab es el área de la sección recta de dos montantes.
El corrimiento angular producido por la fuerza cortante V,
deducido de (a) y (6), es 8X + S, V , Vb
Y = -i = -------------------------------------------------------- 1 •
a sen 9 eos2 9EAb aEAb
V
Empleando la definición anterior ^- = y, se obtiene Ed
1 1 + 6
Pd sen cp eos2 9EAd aEAb
Sustituyendo en 1a ecuación (181),
P„ = (182) “ ! + = * / i + _ u
l2 \sen 9 eos2 9EAd aEA-J
Si las áreas Ad y Ab son muy pequeñas comparadas con el área de
la sección de las U —fig. 133 (a)—, la carga crítica (182) puede ser
considerablemente menor que la obtenida por la fórmula de Euler
(107).
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 219
La ecuación (182) puede emplearse también en el caso de la
figura 133 (d), si se mide el ángulo <p como indica la figura y se su-
prime el término correspondiente a la deformación del montante.
En el caso de una pieza entramada que sólo tiene montantes —
figura 134 (a)—, para obtener el corrimiento lateral
debido a la fuerza cortante V debemos
considerar la deformación de un
elemento de la pieza separado por las
secciones mv y mín1. Suponiendo que
las elásticas de las U tienen puntos de
inflexión en dichas secciones, el estado
de flexión será el que indica la figura
134 (b) 91. La deformación consta de dos
partes: el corrimiento 8X, debido a la
flexión del montante, y el corrimiento
82> debido a ia flexión de las U. En los
extremos del montante actúan los pa-
V& res — y el ángulo 0, que giran dichos extremos del montante es z (véase ecuaciones (103) y (104), Primera parte),
Va b Va b Vab fi =
2 3 EIa 2 6E/2 12 EI2
donde b es la longitud de los montantes y EI2 su rigidez a la flexión.
El corrimiento lateral 8, producido por esta flexión de los montantes
es
a, = e2 = -™ 2 24 Eh
91 Las fuerzas extensoras y compresoras que obran sobre las ba
(c)
220 RESISTENCIA DE MATERIALES
El corrimiento 8a puede calcularse por la fórmula de la ménsula
Va3 (d)
2 3 EIj 48 EIt
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 221
El corrimiento angular total producido por la fuerza cortante V
es ^ _ Sj + 82 _ V u b _|_ P®2
f 12 El 2 24Elx
2
y puesto que ~ = y, se obtiene Jr
1 ab a2
Pd 12 EI2 2á El* y la
ecuación (181, que da la carga
crítica, será Ehc2 1 12 i _f_ / a6 i ®2 \ (183^
EITZ2
donde, como anteriormente, representa la carga crítica
calculada por la fórmula de Euler. Se ve que cuando la rigidez a la
flexión de los montantes es pequeña, la carga crítica real es mucho
menor que el valor dado por la fórmula de Euler.
De las ecuaciones (182) y (183) se deduce que para el cálculo de
cargas críticas en columnas entramadas debe reemplazarse ja
longitud real por una longitud reducida, que en el caso de columnas
trianguladas (fig. 133) se calcula por la expresión
i - i V i \ n 2 E I i 92 i 1 \ l2 \sen 9 eos2 9EAa aEAb}
y en el caso de una columna con sólo montantes (fig. 134), por ia
ecuación
+ 5W / _ 2» _ + _ £ I 1 I \ 1 2 EI2 24 ElJ
Calculada la longitud reducida de una columna entramada, la
tatiga de trabajo se calcula como para una columna maciza
de esbeltez igual a Si el proyecto se realiza por el método de
las inexactitudes supuestas (véase artículo 56, Prim,era parte), el
procedimiento propuesto da un coeficiente de seguridad que
92 Este estudio puede examinarse con detalle en la publicación de D. H.
Young, Proc. Am. Soc. Civil. Eng., diciembre 1934, y otra del mismo autor en Pub. Inlern. Assoc. Bridge and Structural Éng., volumen 2, pág. 480, Zurich, 1934. Véase también Theory of Elastic Stabi• lity, pág. 197.
/ aó a2 \
(12 EI2 2AEIJ
222 RESISTENCIA DE MATERIALES
resulta algo más elevado para la columna entramada. En el pro-
yecto de columnas entramadas es de gran importancia práctica
dimensionar de modo adecuado las barras de enlace. Como base
para determinar las fatigas en dichos detalles, deberá suponerse
cierta excentricidad en la aplicación de las fuerzas compresoras
para el proyecto de columnas cortas h Si la excentricidad en los dos
extremos es igual a e, pero tiene sentido contrario en cada uno, las
fuerzas compresoras P forman un par de valor 2 Pe, el cual produce
en los extremos de la pieza fuerzas cortantes:
V = --p- (184)
El valor máximo de V se obtiene poniendo, en vez de P, en esta
ecuación, la carga máxima que puede solicitar a la columna. La
excentricidad e se toma corrientemente como fracción del g
radio r del núcleo; por ejemplo, - = 0,3. Las piezas de enlace
deberán proyectarse de modo que las fatigas máximas producidas
en ellas por Fmáx no sobrepasen el punto de fluencia.
En el caso de una pieza comprimida que forma parte de una
estructura con nudos rígidos, se producen momentos flectores de
alguna entidad en los extremos de la pieza al cargar la estructura.
Si por medio del cálculo de las fatigas secundarias se determinan
los valores Mx y M2 de dichos momentos, se conoce-
M M rán las excentricidades ex = y e2 = con que se aplican
las fuerzas compresoras P y el valor de su suma algebraica deberá
ponerse en la ecuación (184), en lugar de 2e.
41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión externa.
Pandeo de un anillo circular.—Se sabe perfectamente- que un anillo
circular o un tubo pueden perder la estabilidad de su forma y
abollarse por la acción única de una presión exterior, y si la rigidez
a la flexión del anillo es insuficiente, tal colapso puede presentarse
para fatigas muy por debajo del límite de
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 223
elasticidad del material. Este fenómeno debe tenerse en
cuenta en problemas tales como el proyecto de tubos
sometidos a presión externa y el de anillos de refuerzo para
submarinos.
La presión para la que la forma circular resulta inestable y
para la que se produce la abolladura, se denomina presión
crítica.
Su valor se obtendrá empleando la ecuación general (95) (página
106) de la elástica. Supongamos que bajo una presión
exterior, el anillo (fig. 135) se ha abollado en forma elíptica, tal
como se indica con líneas de puntos. Representemos con
q, la presión externa por unidad de longitud, de línea media: R, el
radio de la línea media del anillo; u, el corrimiento radial durante
la abolladura; u0, el corrimiento radial para la sección A; M0, el momento flector en la sección A;
N0=q(R — u0), la fuerza longitudinal compresora en la sección A.
El momento flector en una sección cualquiera B del anillo
abollado es _______ ________
M = M0 -1- qA O AD — - ÁBK (a)
En el triángulo AOR,
Puesto que u es pequeño comparado con R, los términos
en u2 6 UQ pueden despreciarse, y queda
1 ÁB% — AX)AD = R(un — u).
2
Sustituyendo este valor en la ecuación (a), se obtiene
224 RESISTENCIA DE MATERIALES
M = M0 — qR(u0 — u).
La ecuación (95) (pág. 106) da
d2u R2
+ u = — — [(Jf0 — qR(u0 — «)] aq>¿
El o
dH l s(l I qB3\ ,b)
d^+ \ + El) ( )
La solución general de esta ecuación es
n i n i — MÜR2 + qR3u9 .
u= C. sen p© + CL cos p© ----------------------------- - ------ 2, (c)
x 2 - r r 2 trr El + qR*
dondey <72 son constantes a determinarpor las condiciones
en las secciones A y F del anillo abollado, y
p‘ = 1+w (d)
Por simetría, se deduce que
(*) =0; /*) =0. (.) wp/cp-o xdcp/c
Por la primera de estas condiciones se obtiene C1 = 0, y de la
segunda, sen — = 0. (/)
2
La menor de las raíces de esta ecuación es
®7C
t— = 7C
2
o p = 2.
PARDEO DP PARRAS. PLACAS Y CX SO ARAS 225
Sustituyendo este valor en (d), se obtiene el valor de la presión
crítica 93 3 El
(185) R94
Las otras raíces de la ecuación (/), tales como — 2iz, ^ —
37t, etc., corresponden a un número mayor de ondas en el anillo
abollado y dan valores mayores para la presión q. La figura 135 (b)
muestra la forma abollada para ~ = 2n. Estos
¿i
altos grados de abolladura interesan al estudiar la estabilidad de
tubos cilindricos cortos con los extremos ondulados.
Abolladura de un arco circular.—Si un arco circular con los
extremos articulados se somete a una presión uniforme, puede
abollarse tal como se indica con
línea de puntos en la figura 136. El
valor crítico de la presión depende
del valor del ángulo a y puede
calcularse por la ecuación 95
asa,
El problema de la abolladura
de un anillo en dirección per-
pendicular a su plano también ha sido resuelto 3.
Abolladura de tubos circulares.—La teoría de la abolladura
desarrollada anteriormente para un anillo circular puede em-
plearse también en el caso de un tubo circular largo sometido
93 Este problema fué resuelto por M. Bresse, Cours de Méccmique
Appliquée, primera parte, pág. 334, París, 1866. 94 Véase E. L. Nicolai, Zeitschrif. f. angew. Math. u. Mech., vol. 3, pág.
227, 1923. Véase también la publicación del autor, Zeitschr. /. angew. Math. u. Mech., vol. 2, pág. 358, 1923.
95 Véase la publicación del autor sobre Estabilidad de los sistemas elásticos, en Boletín del Instituto Politécnico de Kiew, 1910. Traducción francesa, Anuales des Ponts et Ohaussées, 1913. Véanse también E. Hurl- brink, Schiffbau, vol. 9, pág. 640, 1907-1908; E. Chwalla y C. F. Koll- brunner, Der Stahlbau, 1937 y 1938, y el libro reciente de A. N. Dinnik, Pandeo de piezas, Moscú, 1939.
Qcr
226 RESISTENCIA DE MATERIALES
a una presión externa uniforme. Consideremos un anillo elemental
separado del tubo por dos secciones rectas separadas poi ia unidad.
El momento de inercia de la sección de este anillo es
1 h3 1 = - - - - - 9
12
donde h, representa el espesor de la pared del tubo. Como la sección
del anillo no se distorsiona al íiexar, deberemos tomar
E
1 --- fJL2
en lugar de E. La ecuación (185), que da la presión crítica, será en
este caso Eh3
Ver ------------------------------------------------------- (187) 4(1 — ¡x2)E3
Esta ecuación puede usarse mientras que la fatiga de com-
presión correspondiente en el tubo sea menor que el límite de
proporcionalidad del material. Por encima del límite elástico, la
verdadera presión crítica será menor que la dada por la ecuación
(187), y debe emplearse esta otra ecuación x:
h an Ver =
R l +4^1 ( 1 8 8 ) E ’’h96
donde Gf, representa el punto de fluencia del material a compresión.
A medida que se reduce el espesor, la presión crítica se
Eh aproxima al valor límite — l i g e r a m e n t e menor que el dado
por la ecuación (187), y en todos los casos su valor es menor que hcm ——; es decir, menor que la presión correspondiente al punto
de fluencia 2. El colapso de tubos bajo una presión externa uniforme
depende mucho de las diversas imperfecciones que pue
96 Diversos experimentos de colapso de tubos cortos por presión exterior
han sido descritos por G. Cook, Phil. Mag., pág. 51, 1914. Del mismo autor puede verso en Erit. Assoc. Bep. (Birmingham, 1913) una nota bibliográfica sobre este problema.
PANDEO DE BABEAS, PLACAS Y CÁSCABAS 227
den presentar. La más importante es una elipticidad inicial cuyo
valor límite para cada clase de tubo es de ordinario bien conocida
por numerosas medidas de comprobación. Es conveniente, por
tanto, tener una fórmula en la que dicha elipticidad aparezca de
modo explícito. Para obtener una fórmula tal97, supondremos que la
desviación de la forma inicial del tubo, desde la forma circular,
representada en la figura 137 con línea de
trazos, viene dada por la ecuación
= u0 eos 2cp,
donde u0 es la desviación radial inicial
máxima, que supondremos pequeña
comparada con R, y <p es el ángulo en el
centro medido, como indica la figura. La
forma inicial del tubo está indicada con
línea llena en la figura 137. Si a este tubo no
circular se le aplica una presión exterior, se deformará. Repre-
sentando el corrimiento radial, debido a la deformación por u2 y
considerando un anillo elemental de anchura unidad, se deduce
mediante la ecuación (95),
<Pu. , (6) ■p Ha = MR98
dep2 2 D
donde
D = 12(1— (jt2)
es la rigidez a la flexión del anillo elemental. En cuanto al momento
flector M, vemos que, debido a la presión p, la curvatura disminuye
en los trozos A B y GD del anillo elemental; por lo que M será en
ellos positivo, mientras que en los trozos restantes del anillo el
momento es negativo. En los puntos A, B, G y D el momento flector
es nulo, y la acción mutua entre las partes del anillo elemental viene
dada por las fuerzas S tangentes a la circunferencia de trazos que
representa la forma ideal del tubo 2.
97 Véase la publicación del autor, Trans. A. S. M. E., Journal of Applied
Mechanics, vol. 1. pág. 173, 1933. 98 La acción de las fuerzas S sobre el trozo AB del anillo se indica en la
figura.
&E818TMM01A DJt MATERIALES.—X. IX
(a)
15
Eh*
228 RESISTENCIA DE MATERIALES
Esta circunferencia puede considerarse como curva funicular de la
presión exterior uniforme p. La fuerza compresora a lo largo de esta
curva permanece constante e igual a S = plí. Por tanto, el momento
flector en cualquier sección puede obtenerse multiplicando 8 por la
desviación radial total ul -J- u2 de dicha sección. Por consiguiente,
M — pR(u2 + u0 eos 2<p), (c)
y la ecuación (6) será
+ m2 = — ^-pR*(u2 -f eos 2<p) acp2
D
o
d2u2 . /, . R3 R3\ 1 1 + V ~D I = _ D pR3u° C0S %q>' dep2
La solución de esta ecuación que satisface las condiciones de
continuidad en los puntos A, B, C y D es
u2 = —- eos 29, H 89)
Per — P
donde p^ viene dada por la fórmula (187). Se ve que en los puntos A,
B, G y D el corrimiento u2 y su segunda derivada se anulan. Por
consiguiente, los momentos flectores en esos puntos son nulos, como
se había supuesto anteriormente. El momento flector máximo
acontece para 9 = 0 y 9 = 7t, donde
\ Pcr—Pl i_JL ' '
Per rp
Se ve que para pequeños valores de la relación — la modifí- Per
cación de la elipticidad del tubo puede despreciarse, y que el
momento flector máximo se obtiene multiplicando la fuerza com-
presora S = pR por la desviación inicial íí0. Si la relación — Per
no es pequeña, debe considerarse la modificación de la elipticidad
inicial y calcularse ü/máx mediante la ecuación (190). La fatiga
máxima de compresión se obtiene sumando a la fatiga máxima de
compresión debida al momento flector máximo Mm4X la fatiga
producida por la fuerza compresora pR,
De este modo se encuentra
(
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 229
pR t 6 pRu0 1
h h2 p (d)
Ver
El valor peligroso de la presión p es aquel para el que comienza
la fluencia del material. Representando dicho valor por Vn y
poniendo aF en lugar de se tiene
pF¡R 6 pF¡Ru0 1 °bi — —; ------- r -
h h2 1 — pF, (e)
Ver
de donde puede deducirse el valor de la presión peligrosa pFl,
conocidos aFl y la desviación inicial uQ. Utilizando las notaciones
— = m v — = n, (/) h R K
la ecuación (e) para el cálculo de pFl será
P$7 — I ~ + (1 + 6 mn)pCJ.l pFl -1—FJP-- = 0. (191) L m J m
Mediante esta ecuación pueden trazarse curvas que den la fatiga
compresora media VFI~J¿ como función de jr para diversos valores
de la relación y para diversos valores de aFl. Con tales curvas y un
coeficiente de seguridad apropiado, puede calcularse fácilmente el
espesor de pared apropiado para una tubería.
Conviene observar que la presión pFl, así determinada, es menor
que la presión para la que acontece el colapso completo del tubo;
utilizando pFt, tedremos, por consiguiente, mayor seguridad.
En el estudio realizado se ha supuesto que la longitud l del tubo
es grande comparada con su radio; es decir, 4 > 20. Para tubos coitos,
si los extremos están empotrados o apoya
230 RESISTENCIA DE MATERIALES
dos, el valor de pcr es mayor que el dado por la ecuación (187) y
depende de la relación La teoría de la abolladura de esta
clase de tubos es más difícil 99, puesto que el tubo se divide durante
la abolladura en varias ondas a lo largo de la circunferencia y el
número de ondas depende de la relación 4 8.
n
El problema de la abolladura de tubos cerrados en los extremos
y sometidos a presión uniforme en ambas caras extremas y en la
superficie lateral 100 también ha sido resuelto 101.
42. Pandeo de plaeas rectangulares.—El problema del pandeo de
placas rectangulares comprimidas es de gran importancia
99 Para estudiar este problema, véase el libro del autor Theory of Elastic
Stability, pág. 445. 8 Este problema se presenta al estudiar la estabilidad de un submarino.
101 Véase la publicación de R. v. Mises en Festschrift von Pro]. A.
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 231
práctica al examinar la estabilidad elástica por compresión de
piezas con secciones compuestas (cajón, simple o doble T, etc.), tan
frecuentes en las estructuras de acero (fig. 138). El colapso de tales
piezas acontece generalmente por pandeo del alma o caras laterales
de las piezas, en lugar de deberse al pandeo del conjunto. Por
ejemplo, en los casos de la figura 138 puede presentarse el pandeo
de las planchas tal como se indica con líneas de trazos, si el espesor
de las planchas no se escoge adecuadamente. Como la longitud de la
pieza comprimida es generalmente grande, comparada con las
dimensiones de su sección, el problema se reduce a estudiar el
pandeo de una placa larga comprimida (fig. 139). Los lados cortos de
la placa pueden considerarse simplemente apoyados; las
condiciones en los otros dos bordes dependen de la forma de la
sección de la pieza. Por ejemplo, en una sección de cajón —fig. 138
(c)—, de forma
FIG. 139
'T'
(a)
Ce)
Fio. 138
r i
M
232 RESISTENCIA DE MATERIALES
cuadrada, en la que todas las planchas tengan el mismo es-
pesor, la tendencia a pandear es igual para todas y cada cara puede
considerarse como una placa rectangular comprimida con los
cuatro bordes simplemente apoyados. En los casos de las figuras
138 (a) y 138 ( ó ) , los bordes inferiores de las almas verticales están
libres y los superiores empotrados elásticamente h
La solución rigurosa del problema del pandeo para condiciones
diversas en los bordes longitudinales de una placa, tal como la de la
figura 139, se ha encontrado 102. Nosotros daremos solamente los
valores de las fatigas críticas deducidas de dichas soluciones.
Placa rectangular apoyada en los cuatro lados.—Una placa de
este tipo sometida a compresión uniforme en la dirección del eje x
(fig. 139) pandea, subdividiéndose en cuadrados o rectángulos casi
cuadrados.
El vaior crítico de la fatiga viene dado por la ecuación 103
(192)
(193)
h es el espesor de la placa; b, su ancho, y
102 Véase Theory of Elastic Stability, 1936.
103 La solución de este problema se debe a G. H. Bryan; véase London Math. Soc. Proc., vol. XXII, pág. 54, 1891. Otros casos de pandeo de placas rectangulares se han estudiado por el autor. Véanse las publicaciones del mismo: 1.°, sobre la estabilidad de placas comprimidas, Bull. of the Polyt. Int. in. Kiev, 1907; 2.°, Z. f. Mathematik und Physilc, vol. 58, 1910; 3.°, Der Eisenbau. vol. 12, 1921: Proceedings Arm. Soc. C. E., vol. 55, pág. 855, 1929. Véase también H. Reissner, Zentralbl. d. Bauverw., pág. 93, Berlín, 1909.
12 62(1 — fjt2) *
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 233
(a)
234 RESISTENCIA DE MATERIALES
representa un coeficiente que depende del valor de la relación j.
m es el número entero de ondas en que la placa se divide al
pandear. Debe escogerse de modo que (3 sea mínimo V En la tabla
XIV se dan diversos valores de este coeficiente.
TABLA XIV
Para placas largas ¡3= 4 da siempre una buena
aproximación. Los valores de dados poi la tabla anterior están
calculados en la hipótesis de que E = 2,1 x 10® kg./cm.104,
(x = 0,3 l\ = 0,01. La fatiga crítica para cualquier otro valor
de la relación ^ puede hallarse multiplicando los valores de ia
tabla por 104 •
Sea, por ejemplo, una placa larga de acero, cuyo punto de
fluencia es 2.800 kg./cm.2. Y supongamos que se desee determinar el
valor de la relación ^ para el que la fatiga crítica es igual a la fatiga
de fluencia. Supongamos ¡3 = 4. Por la tabla XIV,
á2
aCT = 7 63 X 104 - = 2800 kg./cm.2,
de donde
b - = 52,2.
______________________________ h Para valores mayores de» la relación ^ el colapso acontece
por pandeo para una fatiga menor que el punto de fluencia del
material. TABLA XV
a = m¿>, es decir, cuando la placa se subdivide al pandear en cua
CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN PLACAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE APOYADAS
a b~
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3
P = 8,41 5,14
4,20 4,00
4,13
4,47
4,20
4,04
4,00
4,04
4,13 4,04
4.00
acr 1,596
980 798 763 784 847 798 770 763 770 784 770 763
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 235
En este caso, para determinar la fatiga de trabajo se toma como
referencia la fatiga crítica y no el punto de fluencia.
Tres bordes de la flaca apoyados y el cuarto libre.—Si uno de los
bordes longitudinales tal como y = b (véase fig. 139) está libre, la
ecuación (192) puede emplearse para calcular la fatiga compresora
crítica, tomando el coeficiente £¿ de la tabla XV.
Dos lados opuestos simplemente apoyados, el tercero empotrado y
el cuarto libre.—Los bordes a; = 0ya; = ade la figura 139, se
consideran simplemente apoyados y el borde y — 0 empotrado.
Puede emplearse la ecuación (192). Los valores del coeficiente ¡3
vienen dados por la tabla XVI.
TABLA XVT
Para valores mayores de la relación -, una buena aproximación
es ¡3 = 1,33.
CONSTANTE S PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA CORRESPONDIENTE A UNA PLACA RECTANGULAR CON TRES BORDES APOYADOS Y EL CUARTO
( y = b ) LIBRE
a b = 0,5 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0
P =
c: ... .
4,40 1,440
1,135
0,952 0,835 0,755 0,698 0,610 0,564
0,516
0,506
CONSTANTE (3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR CON DOS BORDES OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS, EL TERCERO EMPOTRADO Y EL CUARTO
( y = b ) LIBRE
a b = 1,0 1,1 1,2 1,3 1,1 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3
P = 1,70
1,56
1,47
1.41
1,36
1,34
1,33
1,33
1,34
1,36
1,38
1,45
1,47
1,41
1,36
1,34
236 RESISTENCIA DE MATERIA!,ES
Dos bordes opuestos simplemente apoyados y otros dos empo-
trados 105.—Los bordes a; — 0 y as — a se consideran simplemente
apoyados. Los valores correspondientes del coeficiente [3, en ia
ecuación (192), vienen dados por la tabla siguiente:
TABLA XVII
Placa rectangular apoyada en los cuatro bordes y solicitada
por fatigas cortantes uniformemente
i—|—* distribuidas a lo largo de las mismas
1 b (figura 140).—El valor crítico de la
t | fatiga cortante que produce la abo
lladura de la placa es
Tcr = (194)
Los valores del coeficiente numérico 3 figuran en la tabla
siguiente:
TABLA XVIII
Esta tabla puede utilizarse para escoger el espesor del alma en
una viga compuesta. Cerca de los apoyos la fuerza cortante
105 Este caso se presenta cuando dos de las caras opuestas de la pieza de
la figura 138 c son muy rígidas y solamente las otras dos pueden pandear.
CONSTANTE (3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR QUE TIENE DOS BORDES OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS Y LOS OTROS DOS
EMPOTRADOS
©•
i e
II
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,1
3 = 9,44
7,69
7,05
7.U0
7,29 7,83
7,69
7,05
7,00
7,29
7,05
7,00
FIG. 140
CONSTANTE 3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR APOYADA EN LOS CUATRO BORDES Y SOMETIDA A UNA
CORTADURA UNIFORME
a i 1,2
b = 1,4 1,5 1,6 1,8
2,0 2,5 3 oc
0 = 9,42 8,0 7,3 7,1 7,0 6,8 6,6 6,3 6,1 5,4
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 237
es el factor más impor tante. Por consiguiente, la parte de alma
situada entre dos refuerzos puede considerarse como una placa
rectangular de bordes apoyados solicitada únicamente por fatiga
cortante. Por ejemplo: si la distancia entre refuerzos es 1,44 m., E =
2,1 X 106 kg./cm.2 y ¡i = 0,3, se obtienen los valores siguientes para la
fatiga crítica en kg./cm.2, correspondiente a planchas de espesor h y
altura b h
TABLA XIX
El espesor necesario para las placas de acero utilizadas en
piezas de secciones compuestas (fig. 138) se obtiene mediante las
tablas XIV a XIX. Si las caras de. la sección —fig. 138 (c)—- se
consideran como placas rectangulares simplemente apoyadas, la
fatiga crítica será
-* • (e) acr = 4 ae =
3 62 1
h Tomando, por ejemplo, ^ = 0,01, se halla
acr = 763 kg./cm.a.
Esta fatiga queda muy por debajo del límite de proporcio-
nalidad del acero. Si los bordes longitudinales de la misma placa se
suponen empotrados, se encuentra
7 <rc, = 7 ae = - x 763 = 1,337 kg./cm.2.
4
En los casos (a) y (b) (fig. 138), las placas verticales pueden
considerarse como placas largas empotradas 2 a lo largo del borde
superior y libres en el borde inferior. La fatiga crítica es, por
consiguiente, , 1,33 7r2 h2 E
acr = 1,33 (d)
12 ¿>2 1 — fi2
106 Esta hipótesis da un límite superior para la fatiga crítica. La
verdadera fatiga crítica es algo menor, debido a que el cosido del borde superior no es absolutamente rígido.
1 Este problema se examina en Theory of Elastic Stability. página 385, 1936.
b U = 0,y cm. h = 1,05 cm. h 106= 1,2
cm. k — 1,35 cm.
1,44 m. 700 950 1240 1570
2,016 •> 540 735 960 1220
2,88 » 490 665 870 1100
238 RESISTENCIA DE MATERIALES
De nuevo la estabilidad de la placa depende de la relación
Suponiendo que el punto de fluencia del acero es 2.100 kg./cm.2,
el valor de para el que aer alcanzaría dicho punto, deducido de (d),
es
b l/ 1,33 ti2 v 2,1 x 106 k ~ V 12 x 2,100
0,91 ~
Por tanto, si ^ > 35, la fatiga crítica resulta menor que el
punto de fluencia del material. Esta circunstancia debe tenerse en
cuenta al fijar el coeficiente de trabajo La estabilidad de la placa
puede aumentarse reforzando el borde libre.
En todos los casos se ha supuesto que la fatiga crítica era
inferior al límite de proporcionalidad. Para fatigas que sobrepasen
este límite las ecuaciones expuestas dan valores exagerados para la
fatiga crítica L
43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales.—Es bien sabido que si
no existen apoyos laterales, las vigas en I cargadas en el mismo
plano del alma pueden no ser suficientemente estables en dirección
transversal. Si la carga alcanza un cierto límite crítico, la viga
pandea lateralmente y cargas superiores causan su colapso 2. Este
límite puede determinarse por el método de la energía.
I
PANDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 239
Como ejemplo, consideraremos una viga AB (fig. 141) de sección
rectangular estrecha sometida a una carga concentrada P que actúa
en la sección central y en el plano longitudinal vertical de simetría.
Si esta fuerza es pequeña, la deformación de la viga acontece
solamente en el plano vertical y esta forma plana de flexión resulta
estable. Si deformamos la viga lateralmente por la acción de una
fuerza, esta deformación desaparece al quitar la fuerza y la viga
recobra su forma inicial. Si aumentamos P, se llega a un valor
límite, para el que la forma plana de flexión resulta inestable. La
viga pandea entonces lateralmente
y pueden presentarse deformaciones grandes con incrementos muy
pequeños de la carga. Este valor límite de P se denomina carga
crítica. Se determina considerando la energía potencial del sistema.
Cualquier deformación lateral de la viga viene acompañada de un
aumento de la energía de deformación. Después de un pequeño
pandeo lateral, tendremos no solamente energía de deformación por
flexión en el plano vertical, que supondremos invariable, sino
también energía de deformación por flexión en dirección lateral y
energía de deformación por torsión. Al mismo tiempo, la energía
potencial de la carga disminuye, debido a que el pandeo viene
acompañado de un descenso de su punto de aplicación.
Representemos con Ul la disminución de la energía potencial de la
carga; con U, la energía de deformación debida a la flexión en
dirección lateral, y con U2 la debida a la torsión. Por consiguiente,
la carga crítica se determina por la ecuación (175) (pág. 205), que
en este caso es
U+U2=Ul
(a)
240 RESISTENCIA DE MATERIALES
Ahora debemos calcular las cantidades que intervienen en esta
ecuación. El momento flector en el plano vertical para cualquier
sección a distancia x del apoyo izquierdo (véase fig. 141) PX
es En el pandeo lateral, debemos considerar el momento ¿\
flector respecto al eje Zx —fig. 141 (c)—. Este momento es
±CC(D igual a —, siendo 9 el pequeño ángulo de torsión, variable
a lo largo de la longitud de la viga. Por tanto, para una deformación
lateral pequeña 1 tendremos la ecuación diferencial siguiente: d*y Px
EI Z -? = -------------------9. (6
dx* 2
La energía de deformación por flexión correspondiente es
U = EIZ fl p)2 dx = P x\Hx. (c) Jo \dx*l 4 El'Jo
La energía de deformación por torsión es (véase ecuación 210,
Primara ¡jarte)
U2=c£(^J2dx, (d)
donde C es la rigidez a la torsión de una sección rectangular
(ecuación 156, Primera parte). Veamos ahora el descenso del punto
de aplicación de la carga P.Tomemos dos
elementos dx
de la viga,simétricamente situados —fig. 141 (b) y (c)—, y
con
sideremos solamente el efecto de la flexión en el plano xyx de estos
dos elementos.
La deformación angular debida a esta flexión es igual a (Ptf — ckd2 ^X' ^omo esta flexi°n acontece en ei plano xyv Inclinado
un ángulo 9 respecto al horizontal —fig. 141 (c)—, se origina un
(P'U descenso de la carga P igual a — xcp dx.
1 En este caso es válido tomar como valor déla curvatura, en J <Py. dxi vez de
dx*
El descenso total de P debido a la flexión, de todos los elementos
de la viga por el pandeo, será
» i107 d'¿y
107 Un estudio más detenido del problema muestra que el error de
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 241
6 — — | x<p —— dx,
J o dx108 o, mediante la ecuación (ó),
S = —f x2(p2dx. 2 El t J0
Por consiguiente,
U. = PB— ^ f r'2cf)2dx. (e) 2 El, J
Sustituyendo (c), (d) y (e), en la ecuación (a), se tiene
iE i- cH(í P2 x ________ ' .
' f\ cr (*L •> '
/ x2y2dx
Tomando para valor de <p una función de x escogida de modo
apropiado y tal que satisfaga a las condiciones en los límites, se
deducirá de la ecuación (/) un valor aproximado de la carga crítica.
Supongamos, por ejemplo, que
nx cp = a sen —
( c r ) 21
Esta función es nula en los extremos de la viga, para los que el
ángulo de torsión es nulo, y máxima en ei centro (x = l).
Sustituyendo (g) en la ecuación (/), se tiene 1
P ^-A^lLí. (195) (21)2
El valor crítico de la carga depende, pues, del producto de las
rigideces a torsión y flexión de la viga.
Hemos supuesto que la carga P se aplicaba en ei centro de
esta solución aproximada es de 11/2 por 100. Por consiguiente, la ecuación (196) es válida para las aplicaciones.
242 RESISTENCIA DE MATERIALES
gravedad de la sección central de la viga. Si eJ punto de aplica-
ción está a una distancia a de dicho punto, el segundo miembro de la
ecuación (195) debe multiplicarse por
Si la carga está distribuida uniformemente a lo largo del eje de
la viga (fig. 141), su valor crítico es
._ A 28,3 \JCEIZ „no. (2ql)er = —-— -------------------------------------------- (196)
(2 1)2
Para una ménsula de luz Z cargada en el centro del extremo
libre, la carga crítica es
(197) Z 109
En el caso de una viga en I, las ecuaciones que dan la carga
crítica tienen la forma obtenida anteriormente parauna viga
de sección rectangular estrecha, excepto que el factor numérico del
numerador del segundo miembro no es constante, sino que depende
del valor de la expresión 2
mAhj
Por ejemplo: Si una viga en I está apoyada como indica la figura
141 y cargada de modo uniforme a lo largo de su eje, el valor crítico
de la carga total es
{2ql\.r = ^GEíz.. (198) (2 Z)2
Los valores del coeficiente p en función de los que toma a se dan
en la tabla siguiente: TABLA XX
109 La rigidez a la torsión C, para vigas en I, se examinará en el artículo
51, pág. 280.
PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 243
Se ve que a medida que a crece, la constante ¡3 se aproxima al
valor correspondiente a una viga de sección rectangular. En la
tercera línea se dan los valores de la fatiga flectora crítica
correspondiente, suponiendo que la cantidad
Y=f;(^r=° 110-
~ es la relación de las rigideces a la flexión lateral y vertical, y —. ly ¿i
la relación entre la altura de la viga y su luz. Si la viga tiene otras
dimensiones, la fatiga crítica se obtiene multiplicando las
cantidades de la tercera línea por el número 10111 y.
La cuarta y quinta línea de dicha tabla dan la fatiga crítica
cuando la carga se aplica sobre el ala superior o sobre la inferior de
la viga, respectivamente. Todos los cálculos están hechos su-
poniendo el material perfectamente elástico 1. Sea, por ejemplo, una viga de las dimensiones siguientes:
Longitud 21 — 5,76 m.
Altura h = 57,6 cm.
Ancho del ala b = 16,8 cm.
Espesor del alma Sj = 1,2cm.
Espesor medio de las alas 8 = 2,09 cm.
Área de la sección A = 134,2 cm.2.
Rigidez EIV = 69250 E kg./cm.3.
» EIZ = 1417 E kg./cm.2.
110 Si se quiere estudiar con más detalle este problema, véanse la
Die Kipp-Stabüitátgerader Trager, Berlín, 1939.
FATIGAS CRÍTICAS EN FUNCIÓN DE LA CONSTANTE «, PARA y = 0,0001 F E = 2,1 X 106 KG./CM.2, CARGA UNIFORME (FATIGAS EN KG./CM.2)
a = 0,1 1 2 4 6 8 12
6 = 143,0 53,0 * 42,6 36,3 33,8 32,6 31,5
G c r — 595 695 790 950 1.090 1.210 1.420
a 'cr ~ 385 475 565 720 855 965 1.175
cr = 925 1.015 1.105
1.260 1.400 1.505 1.715
« = 16 20 32 50 70 90 100
30,5 30,1 29,4 29,0 28,8 28,6 28,6
°l”f = 1.610 1.765 2.185 2.700 3.170 3.570 3.760
® cr = 1.360 1.510 1.930 2.450 2.910 3,320 3.500 ®"cr = 1.905
2.060 2.470 2.980 3.445 3.855 4.030
244 RESISTENCIA T)E MATERIALES
Mediante la ecuación (256) (pág. 280)
O 683 + ~h^ = 135 G.
Por la ecuación (h), suponiendo E = 2,6 O,
a = 3,67,
y de la ecuación (k) 1417
y = ---------- — ------------- = 205 X 10~8. 69,250 X 100
La tabla XX da, por interpolación, para cu — 3 67,
aCT = 790 + - (950— 790) x 1,67 = 924 kg./cm.2. 2
Esta es la fatiga crítica para y = 0,0001.
La fatiga crítica en el ejemplo considerado será
924*y -104 = 1.883 kg./cm.2.
La carga correspondiente a esta fatiga debe considerarse como
la de rotura de la viga. Este resultado numérico muestra que el
pandeo lateral puede acontecer para fatigas muy alejadas de la
fatiga de rotura del material a compresión directa y hasta menores
que el límite de elasticidad. Para determinar la fatiga de trabajo,
debe tomarse como base la fatiga crítica y no el punto de fluencia.
Por ejemplo, con un coeficiente de seguridad 3, la fatiga de trabajo
sería 1883/3 = 628 kg./cm.2.
CAPÍTULO V
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE UN EJE
44. Cilindro de pared gruesa.—Si un cilindro circular cuya pared
tiene un espesor constante está sometido a la acción de unas
presiones, interna y externa, uniformemente distribuidas, la
deformación que se produce es simétrica alrededor del eje dei
cilindro y no varía a lo largo de su longitud. Consideraremos
un anillo separado del cilindro mediante dos planos perpendiculares
a su eje y separados por la unidad de distancia (fig. 142). Por
simetría, en las caras de un elemento de este anillo mnm1nl (figura
142) separado por dos planos axiales y dos superficies cilindricas
concéntricas, no existen fatigas cortantes. Sea o, la fatiga tangencial
normal a las caras mm1 y nn1 del elemento, y a, la fatiga radial
normal en la cara mn. Esta fatiga es función
del radio r y varía en ^ dr cuando r varía en dr. La fatiga radial en la
cara m1n1 es, por tanto,
RESISTENCIA DE MATERIALES.—X. L1
Fio.142
10
242 ■RESISTW-NTCTA DE MATERTAEES
(199)
Sumando las proyecciones de las fuerzas que actúan sobre el
elemento en dirección de la bisectriz del ángulo dcp, se
obtiene la ecuación de equilibrio siguiente h
arrd<p + atdrd<p— (ar -\ r dr\ (r -f dr)dcp = 0, \ dr I
O bien, despreciando cantidades de orden superior,
(b)
Esta ecuación contiene dos incógnitas: las fatigas a, y ar. Es
necesario, pues, otra ecuación, y se obtiene considerando la
deformación del cilindro. La deformación es simétrica respecto al
eje y consiste en un corrimiento radial de todos los puntos de la
pared del cilindro. Este corrimiento es constante en dirección
circunferencial, pero varía a lo largo del radio; es decir, es una
función del radio. Representando con u al corrimiento de la
superficie cilindrica de radio r, el corrimiento para la superficie de
radio r -(- dr será
Por consiguiente, un elemento tal como experimenta
en sentido radial un alargamiento total ^ dr y su alargamiento
unitario en dicha dirección es
El alargamiento unitario del mismo elemento en dirección
tangencial es iguai al alargamiento unitario del radio correspon-
diente; es decir, u
(d) r
Mediante las ecuaciones (38) (pág. 50, Primera parte}, las ex-
presiones de las fatigas en función de la deformación son
(a)
DEFORMAOTONES STMÉTRTCA? ALREDEDOR DE UN EJE 243
1 El peso del elemento se desprecia en este estudio.
244 RESISTENCIA DE MATEP.TAT.ES
DEFORMAOTONES STMÉTRTCA? ALREDEDOR DE UN EJE 245
Las fatigas normales a, y es. dependen, por consiguiente, del
corrimiento u. Sustituyendo las expresiones (199} en xa ecuación
(6}, se obtiene la ecuación siguiente en u: d2u , 1 du u , , 1 ------------------------ — o. (e) dr2 r dr ra
La solución general de esta ecuación es
u = Gxr -f (/) r
lo que puede comprobarse sustituyendo. Las constantes Cx y C2 se
determinan por las condiciones en las superficies interior y exte-
rior del cilindro en las que las presiones, es decir, las fatigas nor-
males <sr, son conocidas. Sustituyendo (/) en las ecuaciones (199), se
obtiene F r i __ i = — [ o l ( 112 + l í ) - c a— í 1 } ( i )
= [ c ' ( 1 + 1 * > + '7/ }
Si p,- y p0 representan las presiones interna y externa,
respectivamente, las condiciones en las superficies exterior e
interior del
cilindro son . . , . (a r ) r« b = — p0 y {ar)r = a = —p i . (I )
El signo del segundo miembro de cada ecuación es negativo,
debido a que se toman como positivas las fatigas normales de ex-
tensión. Sustituyendo la expresión (h) de ar en las ecuaciones (/), se
obtienen dos ecuaciones para determinar las constantes C\ y Ca, y,
de ellas, C = 1 ~ Ia a*Vi ~ bW Q = 1 + iiaWjPi — y0)
1 E ó2 — a2 2 E b2 — a2
Con estos valores de las constantes, las ecuaciones (h) y (k) que
dan las fatigas normales esr y at serán 1
a2Pi — b2p0 (Pi — Po)«262
~ b2 — a2 r2(b2 — a2) ■
20Q)
c = a‘¿Pl ~~ b¿Po 4. (P< ~ Pe)a3fc2
Cí 62 — a2 r\b2 — a2)
112 Esta solución fué dada por primera vez por Lamé y Clapeyron,
Mémoire sur l’équilibre intérieur des corps solides homo yenes, Mémovres présentés por divers savants, vol. 4, 1833.
( k )
246 RESISTENCIA DE MATEP.TAT.ES
Conviene observar que ia suma de las dos fatigas permanece constante, de modo que la
deformación de todos los elementos en la dirección del eje dei cilindro es ia misma, y las
secciones rectas del cilindro permanecen planas después de la deformación.
Consideremos el caso particular p0 = 0, es decir, el cilindro sometido únicamente a
presión interna. Las ecuaciones (200) serán
(201)
(202)
Estas ecuaciones muestran que or es siempre una fatiga de compresión, mientras que at
es una extensión. Esta última es máxima en ia superficie interior del eilindro, donde
(cft)máx es siempre numéricamente mayor que la presión interna y se aproxima a ella según
crece b. El valor mínimo de ot acontece en la superficie exterior del cilindro. La relación
(<*«) máx ^ a2 + b2
(at)mlu 2 a2
aumenta al aumentar el espesor de la pared del cilindro. Si el espesor es pequeño, no hay gran
diferencia entre los valores máximo y mínimo de at. Si, por ejemplo, b — 1, 1 a, (at)máX excede
a (cr{)niíu en un 10 x/2 por 100. Se ve, por consiguiente, que no se comete grave error
suponiendo que la fatiga ac se distribuye uniformemente a lo largo del espesor de ia pared.
Y, empleando la ecuación
que coincide con la de la página 166, dada para cilindros delgados. La fatiga cortante es
máxima en ia supeificie in tenor del cilindro, donde
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TEST E.TE 247
Cuando actúa solamente sobre el cilindro una presión exterior,
Pi = 0, y las ecuaciones (200) dan
P°b'! '¡ -“!)■ (204) ó2 — a2
— ¡SKI
En este caso a, y at son ambas fatigas de compresión, y at ei
siempre numéricamente mayor <rr. La fatiga compresora máxima
acontece en la superficie interior dei cilindro, donde
(2o«) o2 — a2
Debe subrayarse que cuando la relación - aumenta, esta f&-
a
tiga compresora máxima tiende a un valor doble que el de la
presión exterior que actúa sobre el cilindro.
Consideremos ahora la deformación del cilindro. Sustituyendo
las expresiones (m) de las constantes arbitrarias en la ecuación (/),
tenemos
u = 1 ~ E °LEÍ ~ÜE? , i 1 + t* a2b2(p% pp) E b2 — a2 ' E (b2 — a")r
Esta ecuación da el corrimiento radial de cualquier pumo de la
pared dei cilindro. En el caso particular de un cilindro sometido
solamente a presión interna, p0 = 0, y el corrimiento radial en la
superficie interior, deducido de la ecuación (207), es api a2 + b2 , \ = ~ ----------------- : t u ■ E \b2 — a2
Cuando el cilindro está sometido a presión externa
solamente, Pi — 0, y el corrimiento radial en la superficie exterior
es
El signo menos indica que el corrimiento es hacia el eje del
cilindro.
45. Fatigas producidas por zunchado.—Si se necesita originar
una presión de contacto entre una polea y un eje o entre
(208)
248 RJCSTSTTWCTA or ATATEBTAT.KS
p(b2 4- c2)
dos anillos montados uno dentro de otro, corrientemente se haee el
radio interno de la parte externa menor que el radio exterior de la
parte interna y se monta el conjunto después de calentar
previamente la parte externa. Al enfriarse, se produce una presión
entre las dos partes denominada presión de zunchado. El valor de
esta presión y las fatigas producidas por ella se calculan fácilmente
por las ecuaciones del artículo anterior. Supongamos, por ejemplo,
que el radio exterior del cilindro interno, en estado natural, exceda
al radio interior del cilindro externo (figura 143) en ia cantidad 8.
Después del montaje, se produce
una presión p entre ambos cilindros; su valor se encuentra es-
tableciendo que el incremento del radio interno del cilindro ex-
terno más la disminución de! radio externo del cilindro interno,
producidos por p, debe ser igual a 8. Por consiguiente, mediante las
ecuaciones (208) y (209),
Conocido p, las ecuaciones (201) y (202) dan las fatigas en el
cilindro externo, y las ecuaciones (204) y (205), las fatigas en el
cilindro interno. Las fatigas que ordinariamente intervienen en un
proyecto son la de la superficie interna del cilindro externo. Dichas
fatigas son
Z9V0
- 736 Fio. 143
de donde
(210) a¿
#\C2__¿>2 7 #U2 —«2 7
E8 (62 — a2) (c2 —62)
2 ó2(c2 V =
DEEORM A OTONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTNT EJE 249
La fatiga cortante máxima en esta superficie es ^vease ecuación
n, página 244) ,
pe* Tmáx —
C2 — 62
o, sustituyendo el valor (210) de p,
j£8c2(62 —a2) 2 b3(c2 — a2)
En el caso particular de un eje macizo y un volante, se tiene a —
ó; por lo que
1,2 M\ p = ---------- (c2 — o2), 2 6c2
En Tmáx “ 26
es decir, la fatiga cortante máxima es la misma que en
una vari-
lia que experimentase mi alargamiento unitario igual a ^ •
La discusión anterior supone que ambos cilindros tienen la
misma longitud. En el caso de un volante y un eje (fig. 144), las
partes del eje exteriores al volante se oponen a la compresión, y por
ello resulta un aumento de presión sobre los bordes del volante, tal
como indican las áreas rayadas L Si un cilindro
zunchado, como el de la figura 143 se somete a
presión interna, las fatigas que se producen por
esta presión son las correspondientes a un
cilindro único con un espesor de pared igual a c
— a. Estas fatigas se superponen a las fatigas de
zunchado. El zunchado produce una fatiga
tangencial de compresión en la superficie
interna del cilindro, cuyo efecto es reducir la fatiga
En la publicación de A. Huggenberger, Technische Blátt.er. Schweiz. Lokomotiv. und Maschinenfabrik, Winterthur, 1926, pueden verse resultados experimentales sobre fatigas de zunchado. Uno de los últimos estudios sobre este tema puede verse en la publicación de W. Jamcki, Schweiz. Bauz.. vol. 88, pág. 93, 1926, y vol. 90, pág. 127, 1927. Véanse también J. W. Baugher, Trans. A. S. M. E., vol. 52, 1930, y O. J. Horger y C. W. Nelson, Journal oj Appl. Mech., vol. 4, pág. 183, 1937, y vol. 5, pág. 32, 1938.
(211) 'tmáx —
(212)
(213)
M
ymrn|
FIG. 144
257 RESISTENCIA DE MATERIALES
máxima extensora en este punto producida por la presión interna,
con lo que se obtiene una distribución más favorable de fatigas que
en el caso de un tubo único (véase problema 2, pág. 248). Debido a
esto, se emplean cilindros zunchados compuestos de varios tubos
en los ca -os de presiones internas muy elevadas, como acontece en
los cañones.
Una distribución de fatigas análoga a la descrita en el caso de
cilindros zunchados puede obtenerse con un solo tubo aplicándole
una elevada presión interna tal, que produzca una deformación
permanente en la parte interior del tubo. Ai dejar de actuar esta
presión, quedan fatigas residuales en el tubo debidas a la
deformación permanente, de modo que la parte interna de él queda
comprimida, y la externa, extendida 113.
Problemas
1. Determinar las fatigas tangenciales en las superficies interna y
externa, y en el centro de la pared de un cilindro cuyo radio interior es 10 cm. y
el exterior 20 cm., sometido a una presión interna Pi = 2400 kg./cm.114.
Respuesta: Por la ecuación (202),
(<*í)>=iocm. = 3,500 kg./cm.2.
(®í)r=u 5 om. = 2.200 kg./cm.2; (at)r^20CU). 1.600 kg. /cm*.
2. Determinar las fatigas en un cilindro zunchado (fig. 143) sometido a
una presión interior = 2,100 kg./cm.2, si a = 9,6 cm., b = 14,4 cm., c = 19,2 cm. y
el zunchado S = 0,012 cm.
Solución. Determinaremos primeramente las fatigas iniciales debidas al
zunchado. Por la ecuación (210),
113 Un estudio más detenido de este tema puede verse en el ar
tículo 71.
258 RESISTENCIA DE MATERIALES
2,1 X 106 x 0,01 2 (14,42 — 9,62) (19,22— 14,42) 14,4
x 2 x 14,42 (19,22 — 973a)
Las fatigas tangenciales producidas por esta presión en el cilindro interno —
ecuación (205)— son
2 pb2 2 x 283 X 14.42
62^a2 l4^2—7,62
(°i )
= 283 kg./cm.2. V =
= —1.020 kg./cm.2. (aí)/--^D,6 cm. —
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 249
La distribución de las fatigas iniciales o¿, a lo largo del espesor de la pared, sé
representa en la figura 143 (6) por las líneas de trazos mn y Las fatigas
producidas por la presión interior son las mismas
que en el problema anterior y están representadas en la figura por la línea de
puntos ss. Superponiendo las dos distribuciones de fatigas indicadas se obtiene la
distribución representada por el área rayada. Se ve que, debido a las fatigas de
montaje, la fatiga máxima cuando e! cilindro está sometido a la presión interior se
reduce de 3.500 a 2.940 kg./cm.*.
3. Hallar en la figura 143 las fatigas de zunchado ot, en puntos de la pared
para los que r = 14,4 cm. y r — 24 cm., si a => 9,6 cm., b = 19,2 cm., c = 28,8 cm. El
factor de zunchado
| = 0,001 y £7=2,1 x 10® kg./cm.®.
Respuesta:
Las fatigas en el cümdro exterior —ecuación (202)— son
= 1.015 kg./cm.*.
— — 945 kg./cm.a.
= 962 kg./cm.®.
(at)r=14.4 cu.
(aí)r= 24 cm.
r=l4.4 cni.
4. Hallar la‘presión uniforme p entre el eje y el volante de la figura 144, si
el radio del eje es 14,0 cm. y el radio exterior del volante 28,0 cm. La diferencia
inicial de los diámetros de volante y eje es 0,028 cm. Tómese E ■— 2,1 X 10®
kg./cm.*.
46. Disco giratorio de espesor uniforme.—Cuando un disco
circular gira alrededor del eje de simetría perpendicular al disco, las
fuerzas de inercia originan fatigas que toman valores considerables a
altas velocidades. Estas fatigas están distribuidas simétricamente
respecto al eje de rotación y pueden calcularse por el método expuesto
en el artículo 44. Se supone que las fatigas no varían a lo largo del
espesor del disco y que este espesor es igual a la unidad. Las ecuaciones
de equilibrio de un elemento tal como mnm1n1 (fig. 142), se deduce
sumando a las fuerzas consideradas en el artículo 44 la fuerza de
inercia correspondiente al elemento
250 RESISTENCIA DE MATERIALES
Donde y es el peso por unidad de volumen y ÍÜ la velocidad angular del
disco. El resto de la notación es la empleada en ei artículo 44. La
ecuación de equilibrio es ahora
da, vío2r2 „ at-af — r- = 0. (b)
dr g
Escribiendo, en lugar de estas fatigas, sus expresiones en función
del corrimiento u (ecuaciones 199, pág. 242), se obtiene la ecuación
siguiente:
^ + (2H) dr2 r dr r2 gE
La solución general de esta ecuación se obtiene añadiendo
cualquier solución particular a la solución general de la ecuación
homogénea correspondiente —véase ecuación (/), pág. 24h—. Una
solución particular es
gE s
Por consiguiente, mediante la notación
^ = (1-^)1^, (c) gE
La solución general de la ecuación (214) es
U = —N- + C,r + % (d) 8 r
donde, como anteriormente, y C2 son constantes a determinar de modo
que satisfagan las condiciones en los bordes del disco. Para un disco
con un orificio en el centro (fig. 142), y sobre el que no actúan fuerzas
en sus bordes, dichas condiciones son (®r)r-a = (»r)r-6 = °- (e)
La expresión general de ar se obtiene sustituyendo el valor (d) en
la primera de las ecuaciones (199) (pág. 242), lo que da
[- Nr'‘+ (1 - </>
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE UN F.TE 251
Las ecuaciones que expresan las condiciones (e) serán ahora
_ L±Jf Na? + (l + - (1 - \i)C21 = 0,
8 a? . >
(9) _ 1±+ Nb* + (1 + jx)6\ - (1 - ii)C21 = 0,
8 o® de donde
a = -!+-£. (aa + ¿2)^; c„ = JL±JLa2ftaj\r. $) 8(1 + { i ) 8( 1— f i )
La expresión general de u se obtiene poniendo estos valores en la
ecuación (d). Sustituyendo dicha expresión de u en las ecuaciones
(199) (pág. 242), tendremos
g ENÍa* +b*~ r* — —( 2 1 5 )
8(1 - fx2) \ r* I
a, = 3+P EN [a2 + 62 _ Ltlif r2 + a^8\. (216)
8(1 — ¡x2) \ 3 + g r* ! K ' Reemplazando N por su valor —ecuación (c)— y poniendo
a r U - = a; - = x; bu> = v. (k) 6 b
Las ecuaciones (215) y (216) se escribirán
yv2 3 + }x / a2\ cr = ------------------- (1 + a2 — x2 ), g 8 \ W
r£ i+j. / _ i+^j, ^ «y ff 8 \3 + p. xV
Se ve que la fatiga radial ar se anula en los bordes, donde x = 1 ó x =
a, y que es positiva para cualquier otro valor de x, así como que es
máxima en los puntos
x = Va. =
es decir, donde
r — Vab (l)
Para este valor de r, la. ecuación (217) da
= — 11^ (1 — a)2. (219)
9 8
(217)
la
V
252 TtBSTSTENCIA DE MATERTAT/TCS
La fatiga tangencial at es máxima en ei borde interior del disco, donde x = a. Por la
ecuación (218) se obtiene
Se ve que (^mAx es siempre mayor que ( C^máX115
En la figura 145 se. han llevado en ordenadas los valores de los paréntesis de las
ecuaciones (217) y (218), tomando ios de x
como abscisas; las líneas llenas corresponden a! caso a es
4'
decir, el radio interior igual a la cuarta parte del
radio exterior. Las líneas de trazos representan
los valores del paréntesis de la ecuación (218)
para otros valores de a. La ecuación (220) muestra
que la fatiga (c7t)máx en el borde interior varía
respecto a a según una ley parabólica. Está
representada en ¡a figura 145 por la curva mn.
Conviene hacer notar que cuando el radio
interior es muy pequeño (es decir, a tiende hacia
cero), existe un salto brusco en la fatiga at
próximo al orificio. Lo pone de manifiesto la curva
rnpq, en la que ^ __ yr2 3 + p
(221) 9
En el otro caso extremo, cuando el radio interior se aproxima al exterior, a
tiende, hacia la unidad y ia ecuación (220) da
(®t)máx —
Este valor coincide con la ecuación (15), primera parte, obtenida para un anillo que gira.
Puede verse que, en el caso del disco con un agujero en el centro, la fatiga máxima varía poco
con el radio del agujero; el valor para un anillo muy delgado es
115 La distribución de fatigue en discos gruesos se analiza en Theory oí
tilasticity, pág. 319.
(2 2 0 ) (Pi) máx — \ 3 + n /
yl>2 3 + (X g 4 \ 3 + p
(of, i/máx
DEEORMAOTO'N'ES SIMÉTRICA^ ALREDEDOR DR UN EJE 253
solamente un 20 por 100 mayor que el correspondiente al caso de un
agujero muy pequeño.
En el caso de un disco macizo u = 0 para r = 0; por lo que la
constante C2 de la solución general (d) debe tomarse igual a cero. La
constante C, se encuentra por la condición de que ar debe ser nula
en el bor de exterior del disco. Por tanto, de la segunda de las
ecuaciones (</),
c _ (TO) 8(1 + (x:
Este valor de Gx y el nulo de C2 se introducen en la expresión
general del corrimiento u —ecuación (d)— y se sustituye en ias
ecuaciones (199) (pág. 242). De esta forma se obtiene
,222,
g 8 \ 3 + q /
T
donde, como anteriormente, x = Las dos fatigas son siempre
positivas y aumentan al disminuir x; es decir, según nos
aproximamos ai centro. En el centro, x = 0, y yv¿ 3 4- a
(CT£/máx “ (°r)máx ~ ~ 116 (224) 9 8
Comparando este valor con la ecuación (221), se ve que, debido a
la concentración de fatiga, la que corresponde al borde de un
agujero central pequeño es el doble de la correspondiente ai centro
de un disco macizo. La variación de la fatiga a, a lo largo del radio
de un disco macizo viene representada en la figura 145 por la línea
de trazos pxpq.
Las ecuaciones obtenidas anteriormente para discos que gi ran
se emplean también para el caso de cilindros relativamente largos
como en el caso de rotores de máquinas eléctricas. En gran número
116 Esta cuestión ha sido estudiada por C. Honegger, Brown Bo- wery C.
Mitteilungen, noviembre 1919. 8 Las fatigas residuales en discos giratorios, debidas a la fluencia del
material, han sido estudiadas por A. Nadai y L. N. Donnell; véase Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., Applied Mechanics División, 1928. Véanse también Mech., vol. 4, pág. 331, 1924, y F. LaszJo, ZeUschr. j. angew, Math. u. Mech., vol. 5, pág. 281, 1925.
DEEORMAOTO'N'ES SIMÉTRICA^ ALREDEDOR DR UN EJE 254
de máquinas la velocidad periférica es muy grande. Lo expuesto
muestra que las fatigas producidas por las
255 RESISTENCIA DE MATERTAEES
fuerzas de inercia son proporcionales al cuadrado de la velo-
cidad periférica y, por consiguiente, juegan un papel principal en
tales casos. Por consiguiente, para un material de resistencia dada
y fijada la velocidad angular del rotor, existe un límite definido
para el diámetro del rotor, del cual es peligroso pasar. Al fijar la
fatiga de trabajo en tales rotores es preciso tener en cuenta que la
mayoría de las veces existen defectos del material en el centro, que
es precisamente el lugar donde se producen las fatigas máximas a
causa de las fuerzas de inercia. Para eliminar dudas, es corriente
practicar un agujero central a lo largo del eje del rotor. La fatiga
máxima se duplica, debido al agujero; pero esto se compensa por la
posibilidad de investigar.
256 ■RESTST'TCIcrTA T>TH MATTiTÍTAT^TCS
También es frecuente someter el rotor a un cierto exceso de
velocidad 1 antes de ponerle en servicio, de modo que las fatigas
alrededor del agujero sobrepasen el punto de fluencia del material.
Al parar el rotor, las fatigas no desaparecen por completo, debido a
la deformación permanente del material próximo al agujero. La
parte interna del rotor queda comprimida por la exterior, y la
exterior extendida por la interior 2. El estado de fatigas iniciales es
análogo al de un cilindro de pared gruesa sometido a sobrepresión
interior (pág. 248). Las fatigas residuales producidas en el agujero
son de sentido opuesto a las que originan las fuerzas de inercia, por
lo que se favorece la distribución final de fatigas en el rotor 3.
Conviene notar que las ecuaciones obtenidas para las fatigas
(véanse ecuaciones 217 y 218) contienen solamente a v y a las
relaciones a y a : ; por consiguiente, para un material y una
velocidad periférica dados, las fatigas son iguales en puntos
análogamente situados de rotores geométricamente semejantes.
Esta propiedad puede simplificar el cálculo de fatigas en discos
geométricamente semejantes. También puede usarse para
establecer la resistencia de grandes rotores mediante el ensayo de
modelos.
En el estudio anterior se ha supuesto que los bordes de los
discos están libres de fuerzas exteriores. Si existen fuerzas de ex-
tensión o compresión distribuidas uniformemente a lo largo de los
bordes del disco, las fatigas que originan se encuentran por la
teoría del cilindro de pared gruesa (artículo 44). Dichas fatigas
(véase ecuación 200) pueden escribirse en Ja forma siguiente:
n a. — k ,
r2 (»)
7 I n
® H—r> * 2
donde Je y n son constantes que dependen de las dimensiones del
disco y del valor de las fuerzas exteriores que actúan en los bordes.
Las fatigas (n) se superpondrán a las dadas por las ecuaciones (217)
y (218), y las fatigas totales pueden representarse en la forma D ar = A -j- - PjtoV2,
D (225)
nEFO-RMACTONES STMÍíTRTCAS AIjEEDEDOR DE TFNT EJE 257
at = A ---------------(3cú2r2, r2
donde
(226) 9 8 g 8
y A y B son constantes que se calculan, en cada caso particular
mediante las ecuaciones (200), (217) y (218). Empleando La notación 8 = o. -f- Bi(ú2r2,
l ft 2 2 (22?)
t = <3t + pC0V2
y w = (228)
r2
las ecuaciones (225) serán
8 — A + Bw\ t = A — Bw. (229)
Si se conocen s y t para un punto del disco, pueden obtenerse con
facilidad para otro punto mediante el método gráfico si-
258 ■RESTST'TCIcrTA T>TH MATTiTÍTAT^TCS
guíente *: Sean «1 y t1 los valores de * y t para el puní.
(véase fig. 146). Los valores s2 y í2 de s y t para otro punto
w = w2, se obtienen por la intersección de la vertical que pasa por w2 con las líneas
rectas svs2 y ítí2, cuyo punto de intersección está en el eje vertical de coordenadas (w = 0) y
que forman án- n gulos iguales con este eje. Estas líneas representan gráficamente Jas
ecuaciones (229). Tienen común la ordenada A correspondiente al eje w = 0 e iguales y
opuestos los coeficientes angulares (i B). Esta construcción gráfica es de aplicación corriente
para el cálculo de fatigas en discos giratorios de espesor variable, como veremos más
adelante.
f.O w
Problemas
w,
2n x 40 Jr=40 <7
1 por 2 je x
x 40 g
1. Determinar (as fatigas debidas a las fuerzas centrífugas en un
rotor de 65 cm. de radio exterior y 10 cm. de radio interior. La parte
exterior de] rotor tiene practicadas ranuras de 25 cm. de profundidad
para practicar e) devanado (fig. 147). El rotor es de acero y gira a
1.800 revoluciones por minuto. El peso de los arrollamientos alojados en
las ranuras es equivalente al del material quitado.
Solución: Debido a las ranuras radiales, la
parte de rotor comprendida entre los radios exte-
rior y ei de 40 cm. no sufre fatiga tangencial. La
fuerza centrífuga debida a este anillo giratorio se
transmite, en forma de fatiga extensora radial,
sobre Ja superficie del cilindro da 40 cm. de radio.
El valor de esta fatiga es
Pa =
'■65
1
Con y = 7,8 kg./dm.3 y q = 981 cm./seg.a se obtiene pn — 586 kilogramos por cm.!.
1 Este método ha sido desarrollado por R. Grammel, Dingl&rc Puiytechnical Jourruil, vol. 338, pag. 217, 1923.
nEFO-RMACTONES STMÍíTRTCAS AIjEEDEDOR DE TFNT EJE 259
T>EEOTtMACTOXE8 SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TIN EJE 251
La tátiga tangencial máxima en el borde interno producida por la fatiga
extensora p0, detfticida de la ecuación (206), es
La fatiga tangencial máxima en el mismo borde, debida a la masa existente
entre los radios de 10 cm. y 40 cm., calculada por la ecuación (220) como disco
giratorio, es a" = 446 kg./cm.2. La fatiga circunferencial máxima en el borde
interno es, por consiguiente,
(<*iW = a'i + °¡ = 1256 + 446 « 1,700 kg./cm.2.
2. Un anillo de acero se zuncha sobre un disco
de fundición (figura 143). Determinar el cambio que producen en la presión de
zunchado las fuerzas de inercia si el conjunto gira a 3.600 revoluciones por mi-
nuto: a = 2,4 cm., 6 = 12 cm., c = 24 cm., Ea = 2,1 X 10a kg./cm.*, E, = 11,2 X 105
kg./cm.2, = 7,8 kg./dm.s, yf = 7,05 kg./dm.3.
Snlueixin Sea pu el aumento de presión entre anillo y disco. Las constantes
arbitrarias de la ecuación (/) para el anillo exterior se determinan por las
ecuaciones [- nr m2 +(1 + v)Gl - a ¿1“ ~ Po-
Ai aplicar las ecuaciones (/) en el disco interior llamaremos G', O, y N' a las
constantes definidas por la ecuación (c), y obtendremos como ecuaciones para
determinar G{ y C'2,
[ - 4P N'b2 +(1 + M ~(1 ~ P] - ~ Po’ T~r^ [~ N'a2 + ( 1 + ~( 1 “
M ¿] ~ °‘
De las ecuaciones (p) y (r) pueden deducirse las cuatro constantes C,, 0,,,
G[ y G'it como funciones de pu. El valor de p„ puede averiguarse entonces
estableciendo que en la superficie de contacto son iguales los corrimientos
radiales del disco y del anillo. Empleando la ecuación (d), la expresión que
determina p() será
(«)
Los cálculos numéricos se dejan a cargo del lector.
3. Hallar la variación que experimenta la presión p, calculada en el
problema 4 del artículo anterior, si el conjunto eje-polea giran a 1.800
revoluciones por minuto, y = 7,8 kg./dm.8, E = 2,1 X 106 kg./cm.2.
RESISTENCIA DE MATERIALES.- T. II
= 1,256 km./cm.2.
(:V)
(r)
17
258 RESISTENCIA DE MATERIALES
47. Disco giratorio de espesor variable.—En el caso de un disco
de espesor variable, el problema de determinación de fatigas es más
complicado 1. Nosotros expondremos un método aproximado de
resolución de este problema, basado en sustituir el perfil dado por
un sistema de discos de espesor uniforme (fig. 148) *. Las fatigas
para cada disco se calculan por las ecuaciones dadas en el artículo
46. Es necesario considerar las solicitaciones en las superficies de
separación de los discos; es decir, en las secciones tales como 2, 3, 4
(fig. 148), donde se producen cambios bruscos en las fatigas. Si y e y -
+- Ay representan los espesores del disco en los lados opuestos de la
sección considerada, la variación A<rr correspondiente de la fatiga
radial ar se encuentra por la ecuación
<*ry = (°r + A<rr) (y + Ay),
suponiendo, como anteriormente, que las fatigas se distribuyen
uniformemente según el espesor del disco. Por consiguiente,
----------------------------- °r> («)
y + Ai/
La variación A<rt de la fatiga tangencial en la misma sección
puede hallarse estableciendo que el alargamiento circunferencial
unitario debe ser igual a ambos lados de la sección. Por consi-
guiente,
at — po, = (at + Aut) — ja (a, -f A®,),
de donde
_____________ Acrt = piAcrr.
1 La ecuación general correspondiente a este caso, junto con un estudio sobre los diferentes métodos de resolverla, puede verse en el bien conocido libro de A. Stodola, Dampf und Oasturbinen, 6.a edición, págs. 312-340, 1924. H. M. Martin ha estudiado un disco de perfil cónico; véase Engineering, vol. 115, pág. 1, 1923. El mismo problema ha sido tratado por B. Hodkinson, Engineering, vol. 116, pá-gina 274, 1923, y por A. Fischer, Zeitschrift. d. Oesterr. Ing. u. Arch. Vefeines, vol. 74, pág. 46, 1922. Véase también el libro de I. Malkin, Festigkeitsberechnung rotierender Scheiben, Berlín, 1935.
* Este método fué desarrollado por M. Donath, Die Berechnung rotierender Scheiben und Ringe, 1912, Berlín. Ha sido explicado en inglés por H. HearJe, en Engineering, vol. 106, pág. 131, 1918. Otros desarrollos del método se deben a R. Grammel, ya citado, pág. 251, y el ejemplo numérico que damos está tomado de su publicación. Véanse también el trabajo de M. G. Driessen, Trans. Anier. Soc. Mech. Eng., 1928, Sección de Mecánica aplicada; R. Grammel, Ing. Arch., vol. 7, pág. 136, 1936; R. G. Olsson, Ing. Arch., vol. 8, págs. 270 y 373, 1937; A. Held, Ing. Arch., vol. 10, pág. 339, 1939.
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 259
(230)
Las ecuaciones (226), (227), (228) y
(230), unidas a la solución gráfica
dada en la figura 146, bastan para el cálculo
de un disco de espesor variable.
Sea, por ejemplo, el disco de la figura 148, que gira a una velocidad
de 3.000 revoluciones por minuto. Todas las dimen
siones figuran en la tabla XXI. Se supone que las fuerzas cen-
trífugas aplicadas en el borde exterior (por ejemplo, las fuerzas
debidas a los álabes, en el caso de un rotor de turbina) son fales que
en ei borde exterior
(ar)j = 100 kg./cm.2.
También se ha supuesto que ¡i = 0,3 y y = 7,8 kg./dm.3. Con estos
datos y los de la figura 148 se han llenado las ocho primeras
columnas de la tabla anterior.
Comenzaremos el cálculo de fatigas por el borde exterior del
disco, donde se conoce (ar)i- El valor de ia fatiga tangencial (a,)-¡ se
desconoce generalmente y puede atribuírsele un valor arbi-
Aa =
A t = Actí = fjiA>“.
Pe las ecuaciones (227),
ry em*
FIG. 143
260 RESISTENCIA DE MATERIALES
trario para comenzar. La hipótesis más sencilla es escoger (at)„ de
« 6 I ©i
CD t> TÍ 6
23
700
651
602 00
00 US 6
02
| 665
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09 N
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PH r- 3
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res
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 261
modo que sean iguales s y t (véase ecuación 227), en cuyo caso,
= (»r)i + Pi«2í*f — pwVf,
o, empleando los números de la quinta y sexta columnas de la tabla, (<rt)i = 100 + 813 - 468 = 445 k g . / c m * .
Por las ecuaciones (227),
s í = (a t) l + í^to2»"2 = 100 -j- 813 = 913 kg./cm.2.
¿i — (°í)i + fltó2rf = 445 + 468 = 913 kg./cm.2.
Como Sj = tx, las líneas rectas s y t coinciden en la construcción
expuesta en la figura 146. En la figura 149, s y t se toman
en ordenadas, y w = ^ en abscisas, y las líneas de referencia
vienen representadas por la línea a-a, paralela al eje w. La longitud
de esta línea, correspondiente a la distancia radial 1-2 del disco (fig.
149) se determina por los números de la cuarta columna de la tabla.
De esta forma, obtenemos para la sección 2 (fig. 148), ó‘2 = t2 — 913 kg./cm.2.
De donde, mediante las ecuaciones (227),
(ar)2 = s2 — ¡3-,co2rl = 91 3 — 659 = 254 kg. /cm.2.
(a t)2 = #2 — 0co2r¡ = 913 — 380 = 533 kg./cm.2.
En la sección 2 se presenta un cambio brusco del espesor del
disco. Para tenerlo en cuenta se emplean las ecuaciones (230) junto
con los números de la octava columna de la tabla. Tendremos
(As)2 = (Aa,X = ( ---------------- —or) = l’B X 254 = 381 kg./cm.a. y + &y
(At),¿ = (Aat)s = p. (As)2 = 0,3 X 381 = 114,3 kg./cm.2.
Estas cantidades se añaden a la ordenada del punto a en la
figura 149, obteniéndose los puntos 6 y c; las líneas 66 y cc se trazan
tal como se explicó en la figura 146. De este modo se encuentran s3 y
í3 para la sección 3. Repitiendo el proceso ex
262 RESISTENCIA DE MATERIALES
puesto, se encuentran los resultados correspondientes a la seo- eión
3, y así sucesivamente. De esta forma, pueden calcularse todos los
valores que figuran en las columnas novena a duodécima de la tabla
anterior (líneas superiores).
Como la fatiga (crj,, en la periferia del disco, se escogió de modo
arbitrario, generalmente no quedarán satisfechas las condiciones en
el borde interior y la fatiga (aja obtenida no será
Fia. 149
igual a la fatiga real que actúa sobre dicho borde. Para satisfacer
dicha condición en el borde interior, se efectúa un cálculo
complementario. Suponemos (cr,)! = 0, &> = 0, y tomamos un valor
arbitrario para (<it)j —en los cálculos se ha tomado (atj j igual a 50
kg./cm.2—, y se obtiene la distribución de fatigas del mismo modo
que anteriormente. Para este caso, de las ecuaciones (227), 3 = ar y t
= at.
Los resultados de estos cálculos se dan en las columnas novena
a duodécima, en las líneas inferiores y las construcciones
correspondientes se ven en la figura 149 (líneas t' y $'). La solución
que satisface al estado real de solicitación de) borde interior del
disco se obtiene combinando las dos distribuciones
V cm 1
/.vio s.t
1.260
Y ff
/.OSO
<>
Ó 8 ¡io.
63o
Vio
no.
A 0'
7
1 y V'
V
b~rtr
. 9 Ht
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 263
de fatigas del modo siguiente: Sean (or)0 y (crr)9' las fatigas radiales
en el borde interior del disco, obtenidas en el primero y segundo
cálculos, respectivamente, y (crr)° la fatiga real en el borde interior.
La solución real se obtiene superponiendo a la distribución de
fatigas del primer caso las del segundo, multiplicadas por
(<by
Los resultados de estos cálculos para el caso de que la fatiga
radial en el borde interno sea nula figuran en las dos últimas
columnas de la tabla anterior y se representan gráficamente por las
dos curvas de la figura 148.
48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran longitud.—
Cuando la pared de un cilindro no se calienta de modo uniforme,
sus elementos no se dilatan igualmente, y por esta causa se originan
fatigas. En el estudio siguiente supondremos que la temperatura se
distribuye simétricamente respecto al eje del cilindro; es, por
consiguiente, simétrica alrededor del eje, y podremos utilizar el
método desarrollado en el artículo 44. Separaremos del cilindro un
anillo mediante dos secciones perpendiculares al eje a la unidad de
distancia. Durante la deformación, puede suponerse que dichas
secciones permanecen planas, si las tomamos a distancia suficiente
de los extremos del cilindro 117, ya que los alargamientos unitarios
en la dirección del eje son constantes. Llamemos eje z al eje del
cilindro y representemos con w el corrimiento en ia dirección del
eje z, conservando en cuanto al resto la notación del artículo 44 y
figura 142.
117 En los extremos las fatigas en la dirección del eje del cilindro son
nulas, y la distribución de fatigas es rnás complicada.
Las fatigas medias en las secciones donde el espesor cambia
bruscamente pueden calcularse del modo siguiente;
264 RESISTENCIA DE MATERIALES
Los alargamientos unitarios en las tres direcciones perpendiculares
son dw
z> — — — const. dz
du , . e, = —, (a)
dr
u Z, =
r
Estos alargamientos pueden escribirse como funciones de las
fatigas at, ar, GZ y de la dilatación térmica. Sea a el
coeficiente
de dilatación lineal y t el incrementodetemperatura, variable
con la distancia radial r. Las ecuaciones (43) (véase pág. 62, Primera
parte) serán E2 — ~ G^ ^
Zf = -= ^ (d¿ + <J<) + «í, (&)
E E
tt=<E~Ei<yz +
Representando por A la dilatación cúbica,
A = zz + zr + £j = ------------ ——- (g z -¡- ar -j- CTj) -J- 3aí. (c)
E
Con este valor y’las ecuaciones (b) se encuentra E ¡x .,
crtE
(s¿ H A) 1 + (X 1 — - 2¡x 1 —2 ¡ x
E . tx . . y.tE -
ct — (zr d ------------------------- A) — -------------- 1 ------------------------------------- (d)
1 + ¡x 1 — 2(1 1 — 2 ( 1
E [ x .. <xtE G = ------------- (g + —^— A ---------------------
1 + [x 1 — 2¡x l — 2(i
Estos valores se sustituyen en la ecuación de equilibrio del
elemento mnmln1 de la figura 142 —ecuación (6), pág. 242,
y se obtiene, después de emplearlas ecuaciones (a),
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 265
d'¿U 1 du U 1 + (X dt ,nni\ _|_ — — rrr ----------------- a —’ • (It 31 ) dr2 r dr r2 1 — p dr
Esta ecuación determina el corrimiento u para cualquier dis-
tribución particular de la temperatura. Puede escribirse en la
forma d H d , ,1 1 + p dt (ru) = ------------------------ a — dr\_rdr J 1 — p dr
integrando respecto a r, da
— (ru) = ——-aír -(- 2 Cxr. dr 1 — p
integrandopor segunda vez, se obtiene la solución
u — \ í atrdr + C\r -f C2 -» (/) r 1 — p Ja r
donde Cx y C2 son constantes de integración a determinar, de modo
que se satisfagan las condiciones reales en las superficies del
cilindro. Si estas superficies se suponen sin solicitación, Gx y C2 se
determinan por las condiciones
(°v)r = a = 0; (or),-6 =0. (g)
La expresión general de ar se obtiene sustituyendo en la se-
gunda de las ecuaciones (d) zr y zt por ^ y respectivamente, y dando
a u el valor de la ecuación (/), será
= —- /— - Coitrdr + —2 + —L A (h) l-fp\ 1 —p r2 Ja 1 —2p r2 1—2p /
Por las ecuaciones (g), se obtiene
266 RESISTENCIA DE MATERIALES
Sustituyendo estos valores en la expresión (h), se obtiene el
valor general de
f yjrdr + — --------- — ■ f" <úrdr\ (232) 1 — fx r2 J„ r2(b2 — a2} }a J
La expresión general de <ytse obtiene de la ecuación de
equili
brio (e) y es E n r r2 4-a2 p 1 I xtrdr-i ! |atrdr—atl. (233) I - P L r2Jn r2(b2~ a2) Ja J
Conocida la
distribución de la temperatura a lo largo del espesor de la pared, se
pueden calcular fácilmente las integrales que figuran en las
ecuaciones (232) y (233), y obtener ar y at.
Consideremos el caso de un cilindro de pared delgada, en el que
la temperatura de la superficie interior es lt y en ia superficie
exterior es nula 118. Para paredes delgadas, la distribución
estacionaria de temperatura es prácticamente lineal; por
canto,
- ■ ( ' - a
118 Cualquier estado de temperatura en las superficies del cilindro puede
obtenerse super poniendo al que se estudia un calentamiento o enfriamiento uniforme, que, como sabemos, no produce fatigas.
E
dar E TI P , . *"■ « j ( - = o f + r — = dr
(234)
DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 267
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (232) y (233), e inte-
grando, se obtiene ó3 — a31
= Ecfii \r °3 /l
3(1 — fi) (b — a)[ r2 \ r2j
To . ®3 /, , a2\ b3 — a3l i — ---------------------------- 12r -f- ---------- (1 -f- — 1 I- (236) 3(1—p) (b — o)[ r2 \ r2) b2—a21
Las fatigas tangenciales en las superficies interior y exterior son
„ / \ / o o ^ — a \
(Pt)r —a == --------------------------- ----------------------- 3a — 2 ,
3(1 — p) (6 — a) \ b2 — a2)
, , Ext i r , a3 I a2\b3 — a3l
3(1 — p ) ( & — o ) ! / £ “ ( + b ’ 2) t > '
— a 2 ] '
Estas ecuaciones pueden representarse en forma sencilla, me-
diante la notación - = 1 + m a ) a
í 2 35)
b2 — a2
EOLL a, =
DEFORMACIONES SIMETRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 268
dónele m es una cantidad pequeña, en el caso de un cilindro del-
gado. Dichas ecuaciones serán
En el caso de una pared muy delgada, el segundo término de los
paréntesis de estas ecuaciones es despreciable y las ecuaciones
coinciden con las obtenidas al estudiar el calentamiento no
uniforme de una placa (véase ecuación 122).
Cuando la pared no es de pequeño espesor, la distribución es-
tacionaria de temperatura no es una función lineal de r, pero puede
representarse por la expresión
(239)
El máximo de at acontece en la superficie interior o en la exterior
del cilindro. Sustituyendo en la ecuación última, r=aj
r— b.
Eati
2(1 - p j l o g , - a
(at)r - 6 —
2(1 — t O l o g , - a
TTasta ahora sólo nos hemos ocupado de ar y at, y se ha visto que no
dependen del alargamiento unitario e2 en la dirección del
(®*)r = *
(»*)» - « = ■
a Con esta expresión de t, las ecuaciones (232) y (233) son
(®í)r-a
DEFORMA OTONES ‘UTVlETRTCAS ALREDEDOR DE TTN EJE 269
eje del cilindro, o puede calcularse por la primera de las ecua-
d/ZC TJt ciones (d). Sustituyendo zr — -j-, st = dando a u el valor (/)
y a las constantes arbitrarias el de las ecuaciones (k), se ve que la
expresión general de contiene el alargamiento unitario s. en
dirección del eje del cilindro. Si suponemos que el cilindro puede
dilatar libremente, el valor de ez se calcula estableciendo que la
suma de las fuerzas normales distribuidas sobre la sección del
cilindro perpendicular al eje z es nula. Efectuado este cálculo, se
obtiene, finalmente,como valor de a2, la expresión
siguiente:
Ea.l% /. „. b 2 a? . b\ = ---------------------------- l — 2 loge - — ----------- loge - . -------------------------- (244)
o / i m r 6 a — a? a 2 (1 — p) logg -
a
Puede verse que en las superficies interior y exterior del ci-
lindro la fatiga az es igual a at. Un estudio más detallado del
problema de las fatigas térmicas en cilindros ha sido realizado por
C. H. Lees L Para el cálculo rápido de fatigas, según las ecuaciones
(240), (241) y (244), ha construido unos gráficos L. H. Barker 2.
En el caso de un disco de espesor uniforme sin agujero en el
centro, suponiendo el espesor pequeño comparado con el radio b
del disco, las fatigas radial y tangencial vienen dadas por las ex-
presiones siguientes: 1 fb i fr OLE l — I trdr / trdr
= aE I — í 4- - f trdr 4- — I trdr 1 • (n)
1ó 2 J o r 2 ' 119
119 Un estudio sobre las fatigas térmicas en cilindros sobre los que la
temperatura varía a lo largo del eje ha sido realizado por A. Stodola, ya citado, Appendix, pág. 253. Véase también G. Eichelberg, For- schungsarbeiten, núms. 220 y 263, 1923. Para fatigas térmicas en discos, véase H. Quednau, V. D. /., vol. 72, pág. 522, 1928. El mismo problema se estudia en Theory of Elasticity, pág. 366, 1934.
Véanse R. Zulzer, Temperature Variation and Heat Stresses in Diesel Engines, en Engineering, vol. 121,- pág. 447, 1926; A. Nágel, The. Transfer of Heat in Reciprocating Engines, en Engineering, volumen 127, pág. 282, 1929, y W. Nusselt, V. D. vol. 70, pág. 468, 1926; J. N. Goodier, Journal
( m )
270 RESISTENCIA DE MATERIALES
En cada caso particular, conocida la temperatura t como
función de r, pueden practicarse las integraciones y obtener fácil-
mente las fatigas térmicas.
Las fatigas de origen térmico tienen gran importancia práo-
tica, especialmente en el caso de cilindros gruesos tales como
rotores de turbinas de vapor, ejes pesados o grandes discos.
Appl. Mech., vol. 4, pág. 33 A, 1937.
DEFORMA OTONES ‘UTVlETRTCAS ALREDEDOR DE TTN EJE 271
Ed todos estos casos, el calentamiento o enfriamiento debe hacerse
de modo gradual para reducir el gradiente de la temperatura en
dirección radial h Las fatigas térmicas tienen también importancia
en ios motores Diesel 2.
Problema
1. Determinar las fatigas térmicas en un cilindro para el que . Tld 2o = 9 mm., 2b = 3 cm., , = 43, si la temperatura interior es
i (X
= — Io C. y la temperatura exterior es cero.
Solución. Por las ecuaciones (242) y (243),
(®t)r - a -= (az)r -= a = 29 kg./cm.120,
(°í)r-é “ (a*)r = ¿> = — 13,5 kg./cm.*.
£11 máximo de csr —ecuación (240)— acontece para r = 7,2 mm. y
vale 6 kg./cm.*. La distribución de las fatigas a lo largo del espesor de la pared
se ve en la figura 150.
120 L. H. Barker, Engineering, vol. 124, pág. 443, 1927. El ejemplo
numérico dado a continuación está tomado de esta publicación.
I
C A P Í T U L O VI
TORSION
49. Ejes de sección no circular.—El problema de la torsión
de ejes circulares ha sido ya examinado (véace pág. 254, Pri-
mera parte), y allí se dieron fórmulas para determi-
nar la fatiga máxima y el ángulo de torsión. Tam-
bién se yió la torsión de ejes de sección rectangular.
Existen, sin embargo, otras formas de sección para
las que interesa resolver los problemas de distri-
bución de fatigas y conocimiento del ángulo de
torsión. A continuación se dan los resultados co-
rrespondientes a formas de interés práctico.
Sección elíptica 1.—La fatiga cortante máxima acontece en
los extremos del eje menor (fig. 1 5 1 ) , y e s
1 6 Mt Tm¡ix —
7ib2h
la sección (véase Apéndice, Primera parte, pág. 339), yi = es el área
de la sección.
Triángulo equilátero.—La fatiga cortante máxima acontece
1 La solución de este problema y de los siguientes se debe a Saint Venant, Mém. des Savants étrangers, vol. 14, 1855. La obtención de las fórmulas dadas puede verse en Theory oj Elasticity (véase pág. 234).
JA
— 6 —,
FIG. 151
(245)
FIG. 152
E l ángulo de torsión por unidad de longitud es 4 7
6 (246) A*G
donde Ip — (bh3 -f b3h) es el momento polar de inercia de
iróá 4
TORSIÓN 271
en el centro de los lados (puntos m de la figura 152) y puede calcu-
larse por la expresión oo M W - (247)
o6
El ángulo de torsión por unidad de longitud es
0 = - jf| = 4-6-;2 M*. (248) 0,0 Glv b*G
Hexágono regular 121.—Para este caso,
T“ " ¡¡¿bz (249)
M e = fil , (250)
0,133 AcPG
donde <J eR el diámetro del círculo inscrito y A el área de la
sección.
Octógono regular a.—Para este caso,
Tmáx = —^ ------------------------------------------- (251) 0,223 Ad
M 0 =----------------------------------------------------- (252)
0,13 Ad122G
donde A y d tienen el mismo significado que anteriormente.
Trapecio 123.—En el caso de un trapecio isósceles pueden ob-
tenerse unos valores aproximados para la fatiga máxima y el ángulo
de torsión reemplazando el trapecio por un rectángulo
«equivalente», obtenido como indica con líneas de trazos la
figura 153. Desde el G de G del trapecio se trazan las
perpendiculares BG y CD a los lados laterales y después se
trazan las verticales que pasan por B y D. Fia. 153
Las ecuaciones (155) y (156) dadas en la Primera parte (véase pág.
262), aplicadas a la sección rectangular obtenida, dan,
aproximadamente, los valores de Tn»** y 6 correspondientes al
trapecio de la figura 153.
121 Véase C. Weber, Die Lehre von der Drehungsfestigkeit, Berlín, 1921. 122 Véase C. Weber, ref. 2. 8 Véase C. Weber, ref. 2.
272 RESISTENCIA DE MATERIALES
Para cualquier eje macizo (no tubular) se obtiene un valor
aproximado del ángulo de torsión reemplazando la sección por otra
elíptica «equivalente» de la misma área A y del mismo momento
polar de inercia /p. Por consiguiente, el valor aproximado de 0 viene
dado por la fórmula (246).
50. Analogía de la membrana \—Esta analogía establece ciertas
relaciones entre la superficie elástica de una membrana
uniformemente cargada y la distribución de fatigas en una pieza
sometida a torsión. Supongamos una membrana homogénea del
mismo contorno que la pieza solicitada a torsión, sometida a una
extensión uniforme a lo largo del borde y solicitada por una presión
transversal uniforme. Puede verse que la ecuación diferencial de la
elástica 124 de esta membrana tiene la misma forma que la ecuación
que determina la distribución de fatigas sobre la sección recta de la
pieza solicitada a torsión. Si S es la fuerza extensora por unidad de
longitud sobre el contorno de la membrana; p, la presión
transversal por unidad de área, y 0 el ángulo de torsión de la pieza
por unidad de longitud, las dos ecuaciones mencionadas son
idénticas si
? = 2 OQ. (a) S
Cumplida esta condición, son válidas las siguientes relaciones
entre la superficie de la membrana y las fatigas cortantes de la
torsión: 1.° La tangente a una línea de nivel en cualquier punto de
la membrana deformada da la dirección de la fatiga cortante en el
punto correspondiente de la sección de la pieza sometida a torsión.
2.° La pendiente máxima de la membrana en cualquier punto es
igual al valor de 1a, fatiga cortante en el punto correspondiente de
la pieza. 3.° El doble del volumen comprendido entre la superficie
deformada de la membrana y el plano de su contorno es igual al
momento torsor quesoüeita a la pieza.
* Se supone que las deformaciones son pequeñas.
TORSIÓN 273
Todas estas correspondencias pueden probarse fácilmente en el
caso de un eje circular. Sea (fig. 154) una membrana circular
estirada uniformemente por las fuerzas 8 y cargada con la presión
uniforme p que actúa hacia arriba. Considerando un trozo
concéntrico mn de radio r —fig. 154 (a)—, se observa que la acción
total sobre este trozo es nr2p. Esta presión se equilibra por las
fuerzas extensoras 8 distribuidas uniformemente a lo largo del
círculo de radio r y de dirección tangente a la membrana deformada.
Representando con w las flechas de la membrana, se tiene
nr2p = — 2 izrS — dr
V
Sustituyendo en esta ecuación el valor de ~ dado por la
fórmula (a), se obtiene
( o )
El segundo miembro de esta ecuación es la conocida expresión
de la fatiga en un eje circular sometido a torsión —véase ecuación
(ó), pág. 256, Primera parte—. Por tanto,
la pendiente de la membrana deformada
nos da el valor buscado de la fatiga a
torsión.
La pendiente máxima de la membrana
en cada punto acontece en dirección del
meridiano, y la fatiga de torsión tiene en
cada punto dirección perpendicular al
radio. Para determinar el momento
torsor que producen las fatigas dadas
por la ecuación (c), calcularemos el volu-
men comprendido entre la membrana deformada —fig. 154 (a)— y el
plano del contorno AB. La integración de la ecuación (c) da para
elástica de la membrana:
ñ,
RESISTENCIA di MATERIALES.—T. II
dw
dr pr
2S'
(b)
dr
18
274 RESISTENCIA DE MATERIALES
y el volumen buscado es
V = fa 2 7zrdrw = GQ — = - GQIP. Jo 4 2
Comparando este valor con la fórmula del momento tor- sor
(véase ecuación 147, Primera parte), se deduce que en la analogía
de la membrana el doble del volumen da el valor del momento
torsor. Quedan, por consiguiente, fácilmente probadas las tres
propiedades de la analogía en el caso de un eje circular.
Para otros tipos de sección la forma de la superficie deformada
de la membrana es fácil de imaginar y, por tanto, se de-
ducen fácilmente propiedades cualitativas referentes a la distri-
bución de las fatigas en la torsión. Por ejemplo, en una sección
rectangular —fig. 155 (a)—, la superficie deformada de la membrana
es como la representada por sus curvas de nivel. La fatiga es
inversamente proporcional a la distancia entre dichas líneas; por
tanto, es mayor donde las líneas están más apretadas. La fatiga
máxima acontece en los puntos m-m, para los que la pendiente de la
membrana es máxima. En los ángulos a, b, c, d la superficie de la
membrana coincide con el plano del contorno abcd; la pendiente
de dicha superficie es nula y, por tanto, la fatiga cortante en esos
puntos también lo es.
Consideremos ahora una sección rectangular estrecha —figura 155
(6)—. La elástica de la membrana en las partes algo ale*
FIG. 155
M CO
TORSIÓN 275
jadas de los lados cortos del rectángulo puede considerarse cilindrica.
Con esta hipótesis, cada tira mm de la superficie se comporta como una
cuerda cargada uniformemente y su flecha máxima viene dada por la
ecuación
pe*
8~S 8 (b)
o,utilizando la ecuación (a),
8 = -G9. 4 (c)
La fatiga máxima es igual a la pendiente en los puntos m-m.
Esta pendiente es 4 - para una curva parabólica. Por tanto, c
— = cCQ. (d) Tmáx
El momento torsor es dos veces el volumen comprendido por la
membrana. Despreciando el efecto de los lados cortos del rectángulo en
la deformación de la membrana y calculando el volumen como un
cilindro parabólico de longitud b, se tiene
- bc3GQ. 3
Mt— 2 ■ -Sbc 3 (e) CM.
De donde Mt
0 = (253) rndx
bc3G
Sustituyendo en la ecuación (<i), se obtiene - —
EL. (254) C,
Fio. 156
kiuax
- be2
Estas fórmulas coinciden con las ecuaciones (155) y (156), dadas en
la Primera parte (véase pág. 262), si suponemos el rectángulo de sección
muy estrecha.
Si en lugar de un rectángulo estrecho tenemos un trapecio estrecho
(fig. 156), se puede obtener una solución aproximada suponiendo que la
elástica de la membrana en las partes algo alejadas de los lados cortos
es una superficie cónica. El doble
276 RESISTENCIA DE MATERIALES
del volumen correspondiente a un elemento mm de la sección se
obtiene por la ecuación (e) y es
- GQc3dx, (/) 3
donde c es el ancho variable de la sección dado por la ecuación
, C2 C1 c = ci + *■ (9)
o
Sustituyendo este valor en la expresión (/), e integrando, se ob-
tiene n ] ¡>eo M,= I 3 a^eHx = 72" <c‘ + c*)<í¡ +
El ángulo de torsión es, por tanto,
M 0 = ----------------------------------------------------------------- (255)
¿¿(Cx + c2) (cf + c¡)0
Cuando = c2 = c, esta expresión coincide con la fórmula (253),
correspondiente al rectángulo estrecho.
En casos más complicados, para los que la forma de la elástica
de la membrana no puede obtenerse fácilmente de modo analítico,
puede investigarse experimentalmente utilizando una película de
jabón por membrana y midiendo la pendiente de su elástica por
métodos ópticos. Para ello se emplea el aparato que muestra la
figura 157 125. Una placa de aluminio con dos orificios, uno circular y
el otro de la forma en estudio, está sujeta entre las dos mitades de
una caja de fundición A. La parte inferior de la caja está apoyada
por tornillos nivelantes. Introduciendo aire mediante una bomba en
la parte inferior de la caja, se produce la deformación de las
películas de jabón que cubren los mencionados orificios. El trazado
de las líneas de nivel de las superficies de las películas de jabón se
realiza mediante el tornillo B que pasa a través de un orificio
practicado en una lámina de cristal suficientemente grande para
cubrir por completo la caja en cualquier posición. El extremo
inferior del tornillo está provisto de una punta de acero duro, cuya
distancia a la lámina de cristal se gradúa mediante el tornillo. La
punta se aproxima a la película, moviendo la lámina de cristal hasta
que al distorsionarse la imagen de la película se acusa el contacto.
125 Véase la publicación de G. I. Taylor y A. A. Griffith, ya citada, pág.
272.
TORSIÓN 277
Este contacto
se refiere a una hoja de papel unida a la tapa E que puede girar
alrededor de un eje horizontal situado a la misma altura que la
punta de una aguja de acero D. Para referir cualquier posición del
tomillo, basta picarla en el papel, girándole hasta que tome contacto
con la aguja D. Cuando la punta ha tocado a la película en varios
puntos, se unen las referencias del papel por una
Fig 157
278 RESISTENCIA DE MATERIALES
línea seguida, que será una línea de nivel. Actuando sobre el tornillo
B, pueden repetirse las operaciones y trazarse cuantas líneas de
nivel se juzguen precisas. Trazadas dichas líneas, puede obtenerse
el volumen de la membrana y el momento torsor equivalente. Las
pendientes y las fatigas correspondientes se obtienen midiendo las
distancias entre líneas de nivel sucesivas. Mejores resultados se
obtienen midiendo las pendientes por la desviación que, al
reflejarse, experimenta un rayo de luz que incide sobre la superficie
de la película. Para establecer la relación entre la pendiente y la
fatiga, se comparan las dos películas
que cubren los dos orificios y que han
sido sometidas a la misma presión de
aire. Como ambas películas tienen la
misma relación
los ejes correspondientes tienen
valores iguales de (?0 —véase ecuación
(a)—. Por consiguiente, midiendo las
pendientes de las dos películas de
jabón, se pueden comparar las fatigas
en el eje de sección dada con las del
circular de diámetro conocido siempre
que tengan el mismo ángulo de torsión
0 por unidad de longitud v el mismo módulo transversal O. La
relación correspondiente n entre los momentos torsores está
determinada por la relación entre los volúmenes comprendidos por
las películas de jabón y el plano de la placa. Esta relación da,
evidentemente, la relación entre las rigideces a la torsión de los dos
ejes. La figura 158 representa las líneas de nivel obtenidas para un
trozo de viga en I (larguero de madera de un avión). Dado el
agrupa- miento de líneas de nivel en los ángulos entrantes y en el
centro de la cara superior, se deduce que en estos puntos se
producen fatigas cortantes elevadas. Las partes restantes del ala
están solicitadas muy ligeramente. La fatiga máxima en la parte
central del alma es prácticamente constante a lo largo de su
longitud e igual a la correspondiente a una sección rectangular
estrecha para el mismo ángulo de torsión.
TORSIÓN 279
51. Torsión de perfiles laminados.—Las ecuaciones (253) y (254).
deducidas para una sección rectangular estrecha, pueden aplicarse
en forma de solución aproximada para otros tipos de secciones
estrechas. Por ejemplo, en el caso de las secciones de espesor
constante representadas en la figura 159 (a) y (b), el ángulo de
torsión se obtiene por la ecuación (253), escribiendo en esta
ecuación, en lugar de b, el desarrollo de la línea media; es decir, b =
9r, en el caso de la figura 159 (a), y b — 2a, — c, en el de la figura 159
(b). La fatiga máxima para la primera de las dos secciones se
obtendrá por la ecuación (254). Para el angular —figura 159 (ó)—, la
fatiga máxima acontece en el án-
guio entrante. Esta fatiga máxima se obtiene multiplicando la fatiga
dada por la ecuación (254) por un factor mayor que la unidad; el
valor de este factor se analizará más adelante (véase artículo 60,
pág. 334).
Todo esto se deduce de la analogía de la membrana expuesta en
el artículo anterior. El lector habrá adivinado que si el espesor c de
la sección representada en la figura 159 (a) es pequeño comparado
con el radio r, la curva parabólica de la figura 155 (b), que define la
elástica de la película, es válida con aproximación suficiente x. En
este caso, la pendiente máxima de la película y la fatiga máxima
correspondiente para la sección de la figura 159 (a) serán,
aproximadamente, las mismas que en el caso de un rectángulo
estrecho.
En el caso de una sección en U —fig. 159 (c)—, el ángulo de
torsión se obtiene subdividiendo la sección en los tres rectángu-
FIG. 159
280 RESISTENCIA DE MATERIALES
126 La elástica en este caso no es cilindrica; pero si c es pequeño,
comparado con r, la curvatura de la película en dirección tangencial es pequeña, comparada con la de dirección radial, y puede despreciarse.
(blCf + 2 b2c\)G
Para calcular las fatigas correspondientes al centro de los lados b2
de las alas, basta, tal como se deduce de las ecuaciones (253) y (254),
multiplicar 0 por c2G. Tendremos
los mostrados en la figura y sustituyendo en la ecuación (253) ÓjCj -j- 2
b2c3, en lugar de be3. Por consiguiente,
3 Mt (256)
T = --------------------- : ---------------------------------------------------------- (257)
6xcf + 2 b2c%
Estás mismas ecuaciones son válidas como solución aproximada
para vigas en I 126 con alas de espesor constante —figura 160 (a)—.
En el caso de vigas en I con alas en pendientes —fig. 160 (ó)—,
representando con ca el espesor del ala en los bordes y con c8 el espesor
máximo del ala, definido por la ecuación
c3 = c2 + \ h tg a,
y empleando la ecuación (255) para las alas, se ve que el ángulo de
torsión 0 se deduce de la ecuación (256), sustituyendo en ella la
b,
_____ if” I t
3 Mtc2
1 La fatiga máxima acontece en los ángulos entrantes y se estudiará detalladamente más adelante (véase art. 60, pág. 329).
e =
cantidad - (c2 + c3) (c| + c*),
en lugar de c3.
L
a fatiga máxima acon-
tece, de ordinario, en los
acuerdos y tiene un carác-
ter local. Su valor se exami-
nará en el artículo 60. Tam-
bién pueden presentarse
fatigas crecidas en los pun-
tos m de la figura 160 (ó) (centro de la superficie externa de las
alas). Esta última fatiga se obtiene multiplicando el ángulo de
torsión 0 por czG, siendo c3 el espesor máximo del ala.
Debe notarse que para obtener la ecuación (256) se usó la
fórmula correspondiente a un rectángulo estrecho y que despre-
1. r
TT"'|' ' i
C,
b, H
i 1
(o)
FIG. 160
b, -C.
(b)
TORSIÓN 281
282 RESISTENCIA DE MATERIALES
ciamos por completo la influencia de los lados cortos del rectángulo de
la figura 155 sobre el valor del volumen determinado por la película de
jabón. Debido a la presencia de los lados cortos, el volumen disminuirá
en alguna cantidad. Al mismo tiempo, en los ángulos de la sección en U
—fig. 159 (c)—, donde se enlazan dos rectángulos, la deformación
adicional aumentará en algo el volumen. Estos dos factores,
despreciados al obtener la ecua ción (256), actúan en sentido
contrario, por lo que tienden a neutralizar sus efectos, resultando la
ecuación (256) suficientemente aproximada, en especial para secciones
delgadas 127.
Para el caso de torsión de perfiles laminados en I y U cuyo espesor
no es pequeño y varía a lo largo del ancbo del ala, se ha encontrado
otra fórmula para la rigidez a la torsión, cuyos resultados están de
completo acuerdo con ios experimentales 128.
Problemas
1. Hallar la relación entre los ángulos de
torsión correspondientes a un tubo delgado y a uno
hendido de iguales dimensiones geométricas (fig. 161), bajo la acción de igual
momento torsor.
Solución: Usando las ecuaciones (151), Primera parte, y (253) se ob
tiene, respectivamente,
6 = 32 M,
nd129 1
0! =
2 M 2
La relación de los ángulos de torsión es
6 2 (d — d0)* 0, ~ 3 d2 + d20
127 La torsión de piezas tubulares fué estudiada por R. Bredt, F. D. /., vol.
40, pág. 815, 1896. Véase también T. Prescott, Phil. Mag., vol. 60, 1920. 128 Los ensayos básicos para la obtención de esta fórmula han sido
tion, vol. 9, 1935.
i—4>—H
O
3 Mt
O
TORSIÓN 283
Para tubos muy delgados (d2 + d\) » 2d2, y la relación de los án- gulos de
torsión es
2. Determinar el ángulo de torsión por centímetro en una □ —figura 159 (c)—
, si Mt = 20,000 kg. cm., ó, = 25 cm., = 9 cm., Oj =a 1 cm., c2 = 1,5 cm., 6 = 9 X 105
kg./cmA Solución:
3 X 20.00° 0 = (25 x I3 + 18 X 1,5^) X 9 X 106 = 0’00°77 radlane8/Cm-
3. Determinar la relación entre las fatigas cortantes máximas en los tubos del
problema 1, si los momentos torsores son iguales para ambos tubos.
4. Determinar la rigidez a la torsión C para la viga en I, considerada en la
página 280, si la pendiente de las alas se toma en consideración del modo explicado
en la página 280.
52. Torsión de tubos delgados.—Para estudiar la torsión de piezas
tubulares delgadas, puede utilizarse nuevamente la analogía de la
membrana en este caso, los contornos exterior e interior de la sección
deben colocarse en diferentes planos horizontales, tales como m-m y n-
n (fig. 162). Si el espesor del tubo es pequeño, la
curvatura de la membrana puede despreciarse; es
decir, las líneas mn pueden suponerse rectas. La
pendiente de la membrana es, por tanto,
constante a lo largo del espesor de la pared g
e igual a -, donde 8 es la diferencia de ni-
tb
vel entre los dos contornos y h el espesor del tubo, variable a lo largo
de la línea media de la sección. La analogía de la membra-_ na indica
que en este caso las fatigas cortantes se distribuyen uniformemente
sobre el espesor de la pared y vienen dadas por la pendiente t = (a )
n
La fatiga a lo largo de la línea media es, por consiguiente, inver-
samente proporcional al espesor de la pared. El volumen com
284 RESISTENCIA DE MATERIALES
prendido entre las superficies mm y nn se calcula mediante la línea
media de la sección anular, indicada de trazos en la figura. Si A es el
área encerrada por esta línea, el volumen mmnn es y, por la analogía
de la membrana, se obtiene
Mt = 2A§. (b)
De las ecuaciones (a) y (b) sale
M,
(258) 2 Ah
Esta ecuación es válida si el espesor de las piezas tubulares
solicitadas a torsión es pequeño, la variación del espesor no es brusca
y no existen ángulos entrantes.
El ángulo de torsión 0 por unidad de longitud correspondiente a
una pieza tubular puede calcularse mediante la energía de
deformación por torsión. La energía de deformación por unidad de
longitud será
u. r** Jo 2(?
donde s es la longitud de la línea media de la sección anular re-
presentada en la figura 162 con línea de trazos. Sustituyendo el valor
de T (ecuación 258) en esta expresión e igualando la energía de
deformación al trabajo suministrado por el momento torsor, se obtiene
ML í'- = lMte, (c) 8A 2 Gj f í h 2
de donde f* Í? = r xds. (259)
4 A2Gj0 h 2AGjo
En el caso de un tubo de espesor uniforme, T es constante y la
ecuación (259) será G = (260)
2 AG
Mediante esta ecuación se calcula fácilmente el ángulo de torsión,
dadas las dimensiones de la sección y determinada T por la fórmula
(258).
La ecuación (259), obtenida considerando la energía de de-
T =
0 =
TORSIÓN 285
formación de la pieza tubular, puede obtenerse también por la
analogía de la membrana. Considerando el equilibrio del plano n-n
de la figura 162, se deduce que la presión pA 130 que actúa sobre este
plano se equilibra por las fuerzas extensoras que actúan sobre la
membrana. La fuerza extensora Sds que actúa sobre un elemento ds
del contorno tiene una pequeña pendiente igual a T; por tanto, la
componente vertical de esta fuerza es tSds y la condición de
equilibrio del plano n-n es
pA — / zSds
Observando que la tensión S en la membrana es constante OQ
y que 20% —véase ecuación (a), artículo 50—, se deduce de la
ecuación (d):
P = l fSrds=2Ge.
S A j o
Resolviendo en 0 esta ecuación, se obtiene la fórmula (259),
encontrada anteriormente.
Algunas veces se desean calcular las fatigas de torsión en una
pieza tubular con paredes intermedias —fig. 163 (a)—.
El contorno de la sección está formado en este caso por tres curvas
cerradas. Aplicando la analogía de la membrana, las tres curvas
quedarán colocadas en tres planos horizontales
diferentes nn, pp y mm, tal como indica la figu-
ra 163 (b). La película de jabón que* enlaza
estas tres curvas forma una superficie estrecha, cuya sección
está re- presentada por las líneas mn, np y pm.
Supondremos nuevamente que los espesores de pared
hv h2 y h% son pequeños y despreciaremos la curvatura
de la membrana en dirección normal a los contornos; es decir,
supondre
130 En el caso de piezas de pared delgada, puede considerarse el área A,
limitada por la línea de trazos, en lugar de) área del plano n-n.
(d)
A A
~h, h s -h,
(a)
P\l m * ♦ m (b)
FIG. 163
286 RESISTENCIA DE MATERIALES
mos rectas las líneas mn, np y pm. En este caso las pendientes de la
membrana que dan las fatigas en la pared de la pieza tubular son
El valor del momento torsor que produce estas fatigas se obtiene
duplicando el volumen del espacio mnnppm de la figura 163 (b). Si
representamos las áreas limitadas por las líneas de trazos en la figura
163 (a) por Aí y A2, este momento torsor es
Mt=2(A18, +4&), (g)
mediante las ecuaciones (e) se obtiene
Mt — 2 A1h^r1 + 2 A2h2x2. (h)
Aplicando la ecuación (259) a las dos curvas cerradas indicadas de
trazos en la figura 163 (a) se obtienen nuevas ecuaciones necesarias
para la resolución del problema. Suponiendo que el trozo BGD de
pared tiene un espesor constante hl y que los trozos DEB y DB tienen
unos espesores constantes h2 y h3, respectivamente, la ecuación (259)
será
Vi + Va = 2 GBA1, (i)
"Va T3®3 = ^ GQA,,. (j)
Las longitudes s1# s2 y sa se miden a lo largo de las líneas de trazos
BGD, DEB y DB, respectivamente. Al aplicar la integral (259) a las
curvas cerradas BGDB y DE BD, se recorre el trozo DB de longitud s3
en dos direcciones opuestas. Por ello los segundos términos de los
primeros miembros de las ecuaciones (i) y (?) tienen signos contrarios.
El ángulo de torsión 0 que interviene en los segundos miembros de
las ecuaciones (i) y (j) es el mismo, como ángulo de torsión
correspondiente a la pieza tubular entera. Las cuatro ecuaciones (/),
(h), (i) y (j) contienen las cuatro incógnitas t x , t 2 , t 3 y 0, que pueden
calcularse fácilmente. Eliminando 0, se obtiene para las fatigas
cortantes las fórmulas siguientes:
^ __ KS2^-1 + + ^2) > ,
131 Las pequeñas fatigas, correspondientes al cambio de pendiente de la
membrana a lo largo del espesor del alma, se desprecian.
1
L 131 «r
¡ i¡
V 2 1 h2
S1 ---- _ hlxl — h2x,
5^
co
1
h3
TORSIÓN 287
M
1 1 2 [AxA3s2.áf + hJi^s^A132 + \h2s2(Ax + A 2 ) 2 ]
T = Mt ----------------------- + At) ----------------------------------------------- , (¿) 2 [h.Jizs2A2 + h^s^Al + hlh2s2{A1 + A2)2]
„ h,svA.—AoS.^4,, , .
t, = M, ---------------------------- —— ---------- —— ------------------------------- (m) 2 [hxhzs2Ax + ^2^3,si^Í + ^M3(4, + -42)2]
Si la pared DB de la sección de la figura 163 (a) es el plano de
simetría de la sección, tendremos sx = s2, Aj = A, y At= A2,
y la ecuación (m) da r3 = 0. En este caso, el momento torsor lo absorbe
por completo la pared exterior del tubo y el alma queda sin solicitar x.
Para obtener el ángulo de torsión de la pieza tubular, sus-
tituiremos los valores calculados para las fatigas en las ecuaciones (i)
o (j).
Vemos, pues, que la torsión de una pieza tubular, tal como la
representada en la figura 163, puede resolverse fácilmente, con
suficiente aproximación, si el espesor de la pared es pequeño
comparado con las dimensiones generales de la sección.
; 53. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas secciones no
pueden alabear libremente.—En el estudio realizado sobre torsión de
vigas en I y U (pág. 280), se ha supuesto que el momento torsor se
aplica en los extremos de la pieza y que todas las secciones tienen
libertad completa para alabear. Hay casos, sin embargo, en que una o
varias secciones están obligadas a permanecer planas, y el problema
que ahora tratamos de resolver consiste en averiguar de qué modo este
alabea- miento impedido influye sobre el ángulo de torsión y la distri-
bución de fatigas. Para piezas sin alas, tales como secciones elípticas o
rectangulares, dicha restricción solamente produce un efecto
despreciable sobre el ángulo de torsión 2, siempre que las
132 Para examinar esta cuestión, véase Theory of Elasticity, página 273.
TORSIÓN 288
dimensiones de la sección de la pieza sean pequeñas comparadas con
su longitud. Con vigas en I o en U y otras piezas de pared delgada, la
restricción de alabeamiento de algunas secciones durante la torsión
viene acompañada de flexión en las alas y
puede influir considerablemente en el ángulo de torsión, según el valor
de la rigidez de las alas. Como caso sencillo, consideraremos una viga
en I solicitada a torsión por un par aplicado en su sección central y
apoyada 1 en los extremos (fig. 164). Por simetría, la sección mn debe
permanecer plana durante la tor
sión y la rotación de esta sección respecto a las secciones extremas
viene acompañada de flexión de las alas. El par torsor en el extremo
queda equilibrado en cualquier sección parcialmente por las fatigas
cortantes debidas a torsión y en parte por las fatigas cortantes debidas
a la flexión de las alas 2. La figura 165 (a) representa la mitad de la viga
de la figura 164. La sección cen-
1 Los apoyos se suponen tales que los extremos de la viga no pueden girar alrededor de un eje longitudinal, pero pueden alabear libremente.
8 Véanse la publicación del autor, Bull. Pólyt. Inst. St. Peters- burg, 1905-1906, y Ztschr. f. Math. u. Phys., vol. 58, pág. 361, 1910. Véanse también K. Huber, Dissertation München., 1922, y C. Weber, Ztschr. /. angew. Math. u. Mech., vol. 6, pág. 85, 1926. Otros estudios de este problema, para diversas formas de piezas de pared delgada.
tral mn permanece plana por simetría y podemos considerar la media
viga como empotrada en ella y solicitada en el otro extremo por el
momento torsor. Sea 9 el ángulo de torsión para una
FIG. 164
TORSIÓN 289
(i)
dtp sección general de la viga. ^ = 0 será el ángulo de torsión por
unidad de longitud de la viga. La parte M\ del momento torsor que
equilibran las fatigas cortantes debidas a la torsión se determina por
la ecuación
M\ = Cd, (a)
donde C es la rigidez a la torsión de la barra (véase pág. 263, Primera
parte). Para determinar la parte del momento torsor M" equilibrado
por las fuerzas cortantes en las alas, debidas a la flexión,
examinaremos la flexión de un ala —fig. 165 (c)—.
Representando por h la distancia entre los centros de gravedad en
las alas —fig. 165 (b)—, la flecha para una sección del ala superior es
Y, diferenciando, se obtiene
d3z h dstp ______ h d2 6 .
dx3 2 dx3 2 dx2
Si representamos con D la rigideza la flexión de un ala en
el plano xz y observamos que 2 es positiva —fig. 165 (c)—, la expresión
de la fuerza cortante en el ala debida a la flexión será
— (d) dx dx3 2 dx2
Considerando V en su dirección positiva —fig. 165 (c)—, tendremos Dh2 d2Q
M'¡ = — Vh = -------------------------------------------------- le) 2 dx2
y el momento torsor total es
Dh2 d2 fi Mt = M't + M"t (261)
_____________________________________________ 2 dx2
han sido realizados por A. Ostenfeld, Laboratorium /. Baustatik d. techn. Hochschule, Kopenhagen, Mitteilung, núm. 6, 1931. El caso da piezas tubulares de sección rectangular ha sido estudiado por H. Reiss- ner, Zeitschr. f. Flugtechnik u. Motorluftschiffahrt, vol. 17, pág. 385, 1926, y vol. 18, pág. 153, 1927.
290 RESISTENCIA DE MATERIALES
En nuestro caso, M, es constante a lo largo de la longitud l de la
viga, y ia solución general de la ecuación (261J es
donde
Dh* 2(7"
Como la rigidez a la flexión D y la rigidez a la torsión G se
miden en las mismas unidades (kg. x cm.2), la ecuación (g) muestra
que a tiene las dimensiones de una longitud y depende de las
proporciones de la viga.
Conocido 0, pueden calcularse, mediante las ecuaciones (a) y
(e), las partes M¡ y del momento torsor total Mt. Para la sección
empotrada x — 0, 0 = 0, y por la ecuación (a), M't — 0. Por
consiguiente, en este punto la totalidad del momento torsor se
equilibra con el momento de las fuerzas cortantes debidas
M a la flexión de las alas, que valen V = --------------
En ei otro extremo x = l, y por la ecuación (/),
0 = G
Si la longitud de la viga es grande comparada con las dimensiones
de la sección, l es grande comparada con a, y el segundo término del
paréntesis de la ecuación (h) resulta despreciable;
por tanto, 0 se aproxima al valor
La ecuación (d) da la fuerza cortante en las alas, y de ella
se deduce que el momento flector en el ala es
Dhdti 2 dx RESISTENCIA DE MATERIAL ES.—T. II
(f) 1 —
l\ ' Ch
V = ¥J o
(<7)
(h) Cb
Mt
G ‘
M 19
TORSIÓN 291
(i)
poniendo, en vez de 0, su valor (/) y utilizando la notación (<7),
\ai \ar
El momento ñector en el extremo empotrado será
Cuando I es varias veces mayor que a, Th - tiende hacia la a
unidad y puede escribirse
-^máx —
l - x\ Sh
Dh Mt M = — -- 2 aC (?)
i1— S h / L l f ) \ a I a \ a I
Ch i1] h Ch 11 = - M,
m
aMt
h (D
es decir, que el momento flector máximo en el ala es el mismo que
correspondería a una ménsula de longitud a, oargada en el extremo
con la fuer- M za ~. Para una viga muy corta l es peque-
ño comparado con a, Th (-) tiende a - y la
ecuación (k) sería Mt / *
■^máx = ~ (m) h
zi
2*8 -084
— 1.30
1-T-
Fig. 1(56 Sea, por ejemplo, una viga standard en I
de 28,8 cm. de altura, cuya sección tiene la forma
aproximada representada en la figura 166, constituida por tres
rectángulos de áreas equivalentes a las de las alas y el alma Mediante la
ecuación (256), se tiene
C= - (26,2 x 0,843 + 2 X 12 x 1,303) G = 22,96 G. (n) 3
El valor de D se obtiene 2 tomando la mitad del momento de inercia de
la sección standard alrededor del eje vertical y
1 Mejor aproximación para el valor de C puede obtenerse teniendo en cuenta la pendiente de las alas del modo indicado en la página 276.
* El momento de inercia de la sección del alma se desprecia en este cálculo.
292 RESISTETEOTA OE MATERIALES
Por consiguiente si la viga está cargada como indica la figura
164, el momento flector máximo en el ala, por la ecuación (l), es,
aproximadamente, el triple del momento torsor Mt, con tal
de que la viga sea lo suficientemente larga para que Th /-j tienda l \a' n\
a 1 Por ejemplo: Si - = 2, l aproximadamente 6h, Th (-)
o>
\(l
J
— 0,96 y el error del cálculo precedente es el 4 por 100.
Para calcular el ángulo de torsión <p se utiliza la ecuación (/).
Recordando que 6 = integrando la ecuación (/) y determinando la
constante de integración por la condición <p = 0 cuando x, = 0, se
obtiene
El segundo término del paréntesis representa el efecto de la flexión de
las alas sobre el ángulo de torsión. Para vigas largas,
Th. (^) « 1 y la ecuación (q) es
a).
■ El efecto de la flexión de las alas sobre el ángulo de torsión
equivale, por consiguiente, a disminuir la longitud l en la cantidad a.
El método desarrollado para un momento torsor constante puede
aplicarse también cuando varía a lo largo de la longitud
157,1’ E, y por la ecua-
157,6 x 2,6 22,96 x
2
= 2,99 h. (o)
multiplicando por E. Por tanto, D ción
(g), ( _____
a = h \ ¡ r c ~ h ]
«Sh Mt
C (! a
«Th x + (P) l\
Ch
Haciendo x
extremo será
l en esta ecuación, el ángulo de torsión en el M,
[' _ “Th (á) (?)*-! (2)
G
(r)
TORSIÓN 293
de la viga. Basta sustituir en la ecuación (261), en lugar de M„ su valor
en función de x.
En el estudio realizado sobre torsión de vigas en I (fig. 165), se ha
deducido por simetría que las secciones giran alrededor del eje de la
viga. Por consiguiente, sólo se ha considerado la flexión de las alas. Se
ve también que esta flexión no interfiere con la torsión del alma,
puesto que en los puntos de unión del alma y las alas las fatigas
(lectoras en las alas son nulas. En el caso de secciones asimétricas o
con un solo eje de simetría, el problema es más complicado, puesto que
durante la torsión se producirá, no sólo flexión de las alas, sino
también del alma.
Como ejemplo de esta naturaleza consideraremos la torsión de una
sección en LI (fig. 167). Se vió anteriormente (pág. 53), que en este caso
cada sección gira alrededor dél centro de torsión O situado sobre el eje
horizontal de simetría a una distancia (página 56)
(«) e =
Uz
del plano central del alma. De ello se deduce que las flechas de las alas
y del alma en sus planos respectivos son
V = c<p,
donde 9 es, como anteriormente, el ángulo de torsión. Se ha su-
puesto que el espesor de las alas y del alma son pequeños; de modo que
las fatigas debidas a la flexión de estas partes en direcciones
perpendiculares a sus superficies pueden despreciarse. En tal caso, la
acción entre el ala superior y el alma está representada solamente por
las fatigas cortantes (t1¿)0 mostradas en
L,1 h V
(o) 7 - > 1
Fio. 167
(t)
294 RESISTETEOTA OE MATERIALES
la figura 168. Estas fatigas producen flexión y compresión del ala.
Si 8 es el valor de !a fuerza compresora en el ala a la distancia x del
extremo empotrado, se tiene
_ dS ^xz) 0 — ~
dx
El valor de la fuerza S se determina ahora por la condición de
que la deformación zx en dirección longitudinal en la unión del
alma y el ala es igual para ambas partes. Calculando las cur-
T h
& Fio. 16S
vaturas de las elásticas por las expresiones (t), se encuentra que
esta condición está representada por la ecuación _ dcp h h dhp b 8
~ 6 dx2 ' 2 ~ 2 dx2 2 ~btE
De donde, mediante la expresión (s), y con la notación
tji3 bth?
12 2 se obtiene
Teniendo esta expresión de S, puede calcularse fácilmente las
fatigas cortantes en el alma y las alas y también la parte M"t del
momento torsor equilibrado por estas fatigas. Comenzaremos por
las fatigas cortantes en el alma. Tomando dos secciones adyacentes
mn y m,», —fig. 169 (a)—, y considerando como de ordinario el
equilibrio del elemento rayado, se obtiene la ecuación dS 7 , dM Q t,.J,dx dx +
J" i'T:zz\dx. S= /
(«)
EblhHtx
48/, d2
cp
dx2
8 (»)
dx = 0
295 RESISTENCIA BE MATERIALES
donde Q es el momento respecto al eje z de la parte rayada de
£ ^
la sección del alma —fig. 169 (b)—, /' = es él momento de inercia de
la sección del alma respecto al eje z y M es el mo-
■i£
mentó flector en el alma tomado positivo, si produce extensión en el
borde superior e igual a
M = E/le — = Sh. dx2
La expresión para las fatigas n;xy será, por tanto,
dS /. Qh\ d&_ L Qh\
txdx \ I'J
Observando que la variación de Q, a lo largo de la altura de
la sección sigue ley parabólica, se ve que la distribución de
es tal como indica el área *■y
rayada de la figura 169 (c) y que
la fuerza cortante resultante en
el alma es nula. Esta última
conclusión era de esperar, ya
que las fuerzas cortantes en el
alma y en las dos alas deben contrarrestar
la parte M”del momento torsor y ello es posible solamente si la
fuerza cortante totalen el alma es nula y las fuerzas cortantes
en las dos alas forman un par.
Para calcular las fatigas cortantes TXÍ en el ala —fig. 170 (a)—,
'■xv
z m
m, 1 t
tr.^dx t ■
—r z *
f b
1
n — dx— n. 60
FIG. 170
296 RESISTENCIA DE MATERIALES
observaremos que en una sección mn actúan una fuerza compresora
& y un momento flector 133
u = D*2. • * w dx* 2
Considerando el equilibrio del elemento rayado situado entre
dos secciones adyacentes, se tiene
• b— + = 0 dx b dx /,
donde Qx e I x deben calcularse para el ala del mismo modoque Q
e /' parael alma. Poniendo, en lugar de M, su expresión (w),
tendremos 1 dSb — z E <¿3<p hQx
= t dx b t dx3 2
Los dos términos del segundo miembro de esta ecuación están
representados en la figura 170 (ó) por las áreas rayadas de un
triángulo y de un segmento parabólico, respectivamente. La suma
de estas dos áreas, multiplicadas por t, da la fuerza cortante total en
el ala *.
T7 bdS „ htb3 d3m V = ---------- 1- E ---------- L
2 dx 24 dx?
Sustituyendo 8 por su expresión (v), y teniendo en cuenta que
b = se obtiene
F & ^ / 1+ W * e (x)
24 \ 4 ijdx*
Por consiguiente, el momento torsor equilibrado por las fuerzas
cortantes en las alas es
= - Vh = - ^ (l + *?. (y) 2 \ 41J dx*
Esta expresión es la que se debeusar en lugar de la (e), ob
tenida en el caso de una viga en I, para el cálculo del ángulo de
torsión de la sección en U de la figura 167. Por consiguiente,
133 D =<= representa, como anteriormente, la rigidez a la flexión
14
del ala en su plano. a La dirección positiva de V es la indicada en la figura 165 (c).
TORSIÓN 297
todas las conclusiones obtenidas para la viga en I son válidas para
una sección enU, si la cantidad a2, dada por la expresión (g), se
sustituye por la cantidad
at = DȒ i 20\ ilj
El método empleado para estudiar la torsión de una ü simétrica
(fig. 167) puede aplicarse también en el caso más general de una
sección en U asimétrica (fig. 171). Comenzaremos por determinar el
centro de torsión 0. Suponiendo que la U está empotrada en un
extremo y cargada en el otro, R de tal modo que acontece la
flexión sin tor-
sión en el plano del alma, encontraríamos del h modo
ordinario (véase pág. 56) las fuerzas
cortantes Rv R2 y V, que actúan sobre las alas y el alma de la
U. La resultante de estas fuerzas debe pasar por el centro
de torsión O y* (véase artículo 8). Se obtiene otra
línea que
FIG. 171 pasa por dicho punto, suponiendo que
la U
se flexa en el plano horizontal y calculando
nuevamente las tres fuerzas que corresponden a las alas y el alma.
El punto de intersección de la resultante de estas tres últimas
fuerzas con la resultante anteriormente determinada de las fuerzas
i?1# R2 y V es el centro de torsión 0 de la sección asimétrica.
Conocido este centro y procediendo como anteriormente —véanse
ecuaciones (t)—, expresaríamos las elásticas de las alas y del alma
en función del ángulo de torsión cp. Las fuerzas xSj y S.¿ de
extensión y compresión en las alas se determinan después por las
condiciones de que en las uniones la deformación longitudinal es la
misma para el alma y el ala adyacente. Calculadas las fuerzas 85 y
S2, se encuentra la distribución de fatigas cortantes, como en el caso
ya examinado de U simétrica, y puede comprobarse 134 que la fuerza
cortante total en el alma es nula y que las fuerzas cortantes R en las
dos alas dan un par que equilibra la parte M" del momento torsor.
134 El desarrollo de los cálculos puede verse en la publicacióo de A.
Osleníeld, ya citada, pág. 283.
t-
JÍ1 O'
TORSIÓN 298
Problemas
1. Una ménsula de sección en Z (fig. 172) está empotrada en un extremo, y
sometida a torsión por la acción de un par Mt aplicado en el otro extremo. Hallar
el ángulo de torsión y el momento flector máximo en las alas.
Solución: En este caso el centro de torsión coincide con el centro
de gravedad C de la sección. No habrá, por tanto, flexión del alma. Las fuerzas S
son en este caso idénticas para ambas alas, y la distribu-
1~ fc~Tl
" í I *>,——! FIG. 173
ción de fatigas cortantes tal como
representa la tigura 172 (6). La fuerza
cortante en el alma es nula, y las fuerzas cortantes V en las alas, iguales y opuestas, serán Eb3ht / i —— I 2
3 bl
12 V
El par que forman vale M" = - Vh 2 bt + htx) dr?
c?3q> — Dh? (2 — , ,
\ 2 bt ht x ] dx 3
donde D es la rigidez a la flexión de un ala. El ángulo de torsión y el momento
flector máximo en las alas se calculan por las ecuaciones (k) y ( l ) , en las que,
en este caso,
a* _ D h*Í2 - 3 bt G \ 2bt + htx
2. Resolver el problema anterior, suponiendo que la sección tiene la forma
representada en la figura 173.
Bespvesta: Las fuerzas cortantes en las alas son ,d\
V = ± Dd dx3
donde Et, b3
D =
12 h — d b\tx El momento torsor MI, equilibrado por ia flexión de las alas, es
FIG. 172
* — d
1
r
0
i1*'
3 bt
TORSION 299
El valor de a, que debe sustituirse en las ecuaciones (k ) y (l ) , es
, Ddh a“ =
~0~'
3. Resolver el problema 1 para las secciones representadas en
la figura 174.
Respuesta: En ambos casos el cen
tro de torsión 0 está en la unión de las alas. La
rotación alrededor de este punto no produce
flexión alguna de las alas en su plano, y la
totalidad del momento torsor es absorbida
exclusivamente por fatigas de torsión.
54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared del* gada.
— Del estudio realizado en el artículo 51 se
deduce que la rigidez a la torsión C en secciones
abiertas de pared delgada disminuye con el cubo
del espesor de la pared, mientras que las
rigideces a la flexión disminuyen en proporción
menor. Por consiguiente, una pieza de pared
delgada es más flexible a torsión que a flexión. Si
una pieza de esta clase se somete a una
compresión axial, puede acontecer un pandeo
por torsión 135 para una carga menor que la de
Euler, estudiada en el artículo 35. El valor
aproximado de la carga para el que acontece este
colapso por torsión puede obtenerse fácilmente
empleando en cada caso una ecuación,
equivalente a la ecuación (261) del artículo
anterior, que define la torsión de una pieza de
pared delgada en la que está impedido el
alabeamien- to de una sección. Como ejemplo,
consideraremos una columna con sección en L1, empotrada en la
base y cargada axialmente en
135 El pandeo por torsión fue estudiado por H. Wagner, Technische
Huchschule, Danzig, 25.° aniversario, 1904-1929. Véanse también H. Wagner y W. Pretschner, Luftfahrtforschung, vol. 11, pág. 174, 1934, y R. Kappus, Luftfahrtforschung, vol. 14, pág. 444, 1937. La traducción inglesa de esta última publicación puede verse en Tech. Mem., núm. 851, 1938; Nat. Adv. Com. Acrn. Para ensayos sobre pandeo por torsión, véase la publicación de A. tí. Niles, Tech. Notes, número 733, 1939; Nat. Adv. Gom. Aern.
FIG. 175
300 RESISTENCIA DE MATERIALES
la cabeza —fig. 175 (a)—. Si la columna pandea lateralmente, como
se indica en la figura con línea de trazos, la fuerza com-
presora vertical P da para cada sección una componente P ■—
que actúa en el plano de la sección y pasa por su centro de gra-
vedad. La acciónde esta fuerza p uede reemplazarse por la acción
flectora de una fuerza igual que pase por el centro de torsión O —
fig. 175 (ó)—- y por el momento torsor
ilf, - cP^ = c2P^? = c2PB, (a) dx dx
donde c representa la distancia del centro de torsión 0 al centro de
gravedad de la sección y <p es el ángulo de torsión. Si la fuerza
compresora P esvarias veces menorque la carga de Euler
para elpandeo de la columna en el plano xyla acciónflectora
mencionada anteriormente puede despreciarse y considerar sola-
mente la torsión L En este caso puede aplicarse la ecuación (261).
Escribiendo, en lugar de Mt, la expresión (a), y en vez de M¡ la
expresión {y), obtenida para una sección en LJ, se obtiene
<A«)=ce—— 5 +^3) — 2 \ 4 Ijdx*
o d2 6
+ m = o (t) dx2
donde
* = (c)
fKD
Como el extremo inferior de la columna está empotrado y en el
superior no actúa momento flector sobre las alas, las condiciones en
los extremos que ha de satisfacer 0 son
(9),-»= 0, (“) =0- (<*)
3UU RESISTENCIA DE MATEETAT/ES
Para satisfacer la primera de estas condiciones, tomaremos la
solución de ia ecuación (6) en la forma siguiente.
0 — A sen kx. (e)
Esta solución satisfará también a la segunda de Jas condiciones
(d) si hacemos
71 & = *=-■ ( / )
2 21
Poniendo, en vez de k2, su valor (c), se obtiene
£ . ^ _ 2 / 1 + « + £ (262) U2 2c2 \ 4ij c2
El primer término del segundo miembro de esta,
ecuación se debe a la resistencia local a la flexión en
el extremo empotrado, y el segundo, independiente de la longitud l,
se debe a la resistencia a la torsión.
Si en lugar de una L! tuviésemos una sección abierta de pared
delgada de otra forma, bastaría cambiar el primer término de la
expresión (262), tal como se indicó en el artículo precedente. En el
caso particular de una sección en T o de un angular (figura 174), el
centro de torsión coincide con el punto de unión de las alas y no
existe flexión de las alas en sus planos respectivos durante la
torsión. Por ello, el primer término de la expresión (262) se anula, y
se tiene 3 J ~
Per = -• (263) c2
Debe notarse que en el estudio del artículo anterior se ha
supuesto muy pequeño el espesor de las alas y que se ha despre-
ciado la rigidez a la flexión de las mismas en dirección perpen-
dicular a ellas. Si esta rigidez se toma en consideración, aparece un
término adicional en el segundo miembro de la ecuación (263), cuyo
valor para un angular de lados iguales es
7t2 2 btzE
12(1 —(i2) 412
y expresa la suma de las cargas de Euler correspondientes a las dos
alas. Disminuye rápidamente al aumentar la longitud l por lo que la
expresión (263) da resultados satisfactorios en colum-
Per = 4 l2
TORSIÓN 301
(264)
Se ve que el primer término del segundo miembro disminuye a
medida que la longitud l aumenta, de modo que para piezas re-
lativamente largas la estabilidad está prácticamente controlada por
el segundo término de la expresión (264).
La fórmula se ha obtenido suponiendo que las secciones ter-
minales de la pieza pueden alabear libremente. Si alguna ligadura
impide este libre alabeamiento de las secciones extremas, se
originará un aumento en el primer término de la ecuación (264).
Si los extremos están empotrados, debe ponerse ^ en
lugar de l,
en la fórmula (264), y se obtendría para este caso
(265)
obtenida para la carga crítica, si se desprecia la resistencia a la
flexión, puede deducirse por el examen de la energía. Como du-
ñas largas 1. Conocido el valor de la carga crítica a la torsión
para una columna con un extremo empotrado y el otro libre,
se puede obtener fácilmente la correspondiente a una pieza
con los
lugar de l. De esta forma se obtiene, deducida de la ecuación (262), la
expresión siguiente para una LJ con los extremos articulados:
Es interesante notar que la fórmula
302 RESISTENCIA DE MATERIALES
rante la torsión las secciones giran alrededor de su centro de torsión,
la línea media de la pieza se transforma en una hélice cuya tangente
forma un ángulo 0c con la forma recta inicial del eje de la pieza. Debido
a este ángulo, las fuerzas compresoras P 02c2¿
recorren un camino ——. Igualando el trabajo correspondiente ¿i
a la energía de deformación por torsión, se tiene
2 2
de donde G
Cr 2
55. Fatigas secundarias en la torsión.—Al estudiar la torsión de ejes
circulares (artículo 58, Primera parte), se supone ordinariamente que
la distancia entre dos secciones cualesquiera de
un eje no cambia durante la torsión. Veremos
a hora que esta hipótesis es muy acertada
para materiales tales como el acero, en los
que la distorsión durante la torsión es muy
pequeña. Pero para un material como la
goma la distorsión máxima durante la torsión
Fin. 176 puede ser considerable.
Entonces debe
tomarse en consideración la variación de
distancias entre las secciones del eje si deseamos obtener valores
correctos para las fatigas. Lo mismo sucede al someter a torsión piezas
de acero de sección rectangular estrecha o secciones de pared delgada,
tales como las representadas en la figura 159.
Examinaremos primeramente un eje macizo circular y su-
pondremos por ahora que la distancia entre dos secciones consecutivas
(fig. 176) no varía durante la torsión. Si y es la distorsión en la
superficie del eje, el alargamiento de la fibra longitudinal ac se deduce
del triángulo accx del modo siguiente:
\ = a C ‘ ( l + 2 4 cos y
ac ac =
TORST <“)N 303
Expresando y en función del ángulo de torsión por unidad de
longitud 6, se tiene ;
2 (2 ) 1 y el alargamiento unitario de ia fibra ac es
tMi=?£lZüa = lr. = _136W*=-1^. (a)
ac, 2 8 2 O1
La fatiga de extensión correspondiente es
F — E T¡Ímax ^max ®máx ■“ ,,,,
2 O y
Para otra fibra a distancia r del eje, la distorsión es ^ r y la fatiga
extensora es -
9. r\2 2 f2
T2
<¿ / d2 £2
La hipótesis hecha de que la distancia entre las secciones es
invariable durante la torsión, lleva, sin embargo, a la conclusión de que
debe aplicarse una fuerza extensora longitudinal en los extremos de la
pieza, tal que produzca las fatigas extensoras (b), a fin de que su
longitud no varíe.
Si no se aplica esta fuerza, sino solamente un momento torsor, la
torsión viene acompañada de un acortamiento del eje. Sea e0 el
acortamiento unitario correspondiente. Entonces, en lugar de la
ecuación (6), se obtiene
( C )
d2 O2
e„ se determina estableciendo que en la distribución de fatigas (c) la
fuerza longitudinal total debe ser nula. Dividiendo la sección en anillos
elementales y sumando las fuerzas correspondientes a las fatigas (c), se
obtiene 1
Jj 2 rzradr = — e0#Jrdr
7MPE h%aáx — | __o
4 \4Ga
136 be supone que los cosenos de los ángulos que forman las fibras $ el eje de
ia barra pueden tomarse iguales a la unidad.
(
(266)
304 RESISTENCIA DE MATERIALES
1 ruax
4G2
y la distribución de fatigas de la ecuación (c) será
i& r 2
en- La fatiga máxima acontece en la superficie exterior,
donde
r = Í ’ y e B n ^
En el centro de la sección se obtiene una fatiga compresora del
mismo valor.
Interesa notar que la fatiga es proporcional a xVáxi por io por lo
que la importancia de esta fatiga aumenta al crecer Tmax, es decir, con
el crecimiento del ángulo de torsión. Para materiales como el acero
TmáX es siempre muy pequeña comparada con G, y el valor de nmáx es,
por consiguiente, pequeño comparado con Tmáx y puede despreciarse.
En otros materiales, tales como goma, Tmáx puede ser del mismo orden
que G, crmáX ya no será pequeña comparada con xm4X y deberá tomarse
en consideración.
Si, en lugar de una sección circular, tenemos una rectangular
estrecha, puede verse 137 que aun para materiales como el acero, las
fatigas a pueden tener el mismo orden de magnitud que xm4X. Si el lado
largo de la sección b es grande, comparado con el corto c, el
alargamiento máximo de la fibra más alejada, debido únicamente a la
torsión, se deduce de ia ecuación (a), sustituyendo d por b, y es
®mix = ~ Q*.
8
Para otra fibra a distancia y del eje. el alargamiento es £máx |•
Combinando este alargamiento con ia contracción unitaria e0, se
obtienen
G 2y 2 2
137 Véase la publicación de Buckley, Phil. Mag., pág. 778, 1914. Véase
asimismo C. Weber, Die Lehre der Verdrehungsfestigkeif, Berlín, 1921, y también su publicación en A. Foeppl. Festschrift, Berlín, 1924
de donde
4 CP
TORSIÓN 305
La fatiga extensora correspondiente es
<7 = E - t<1). (d)
La constante s0 sedetermina igual que
anteriormente, estableciendo que es nula la
fuerza extensora total; por tanto,
j\ mdy =eE J\ (f~E")iy =cB (i T¡ ~ =0> 2
de donde 02 b2
t o = — • —, 2 12
y, sustituyendo en (á),
/ 2 fe2\ ^
r - iJ - ( e )
2
La fatiga extensora máxima para la fibra más alejada es
E%2b2 íis
= — (/) 1 Z
La fatiga compresora máxima en el centro (y — 0) es
EW
<W = --------- —— { g ) 24
Para comparar estas fatigas con TmáX, utilizaremos las ecuaciones
(253) y (254). En una sección rectangular muy estrecha se tiene
0 = T-HÉÍ. (h) cG
Sustituyendo este valor en las expresiones (/) y (g), será
Axínáx rr — _____________ Ó2 /OfiíU T"“ 7^7*' °m" ---------------------------------------------------------------------- <268>
Se ve que cuando - es un número grande, las fatigas cmA% c
y Omm pueden no ser pequeñas comparadas con Tmáx- La distribución
de las fatigas —véase ecuación (e)— está representada1
1 Esta distribución de fatigas se establece a alguna distancia de los extremos. Cerca de los extremos la distribución de fatigas es más
RESISTENCIA DA MATEBIAISS.—x. II 20
306 RESISTEN OIA DE MATERIALES
complicada que la expresión (e) y tal que, al Hogar a las secciones extremas, éstas aparezcan libres de fatigas normales. Este tipo de distribución de fatigas se estudia en Theory of Elasticity, pág. 152.
en la figura 177. Estas fatigas tienen la dirección de las fibras
longitudinales de la pletina sometida a torsión y están inclinadas con
relación a su eje un ángulo Qy. Sus proyecciones sobre un plano
perpendicular al eje de la pieza son
•*-T ( - 3 ) -
( k )
La componente (1c) de la fatiga a correspondiente al ele-
mento cdy de la sección da un momento, respecto
al eje de la pieza, igual a
™ La _ m
2 \ 12,
Fio. 177
cydy.
Por consiguiente, el momento torsor resultante de las
fatigas a es
A EB138 i
J_» 2 V
Ecb*
360
n ) cydy 03. r
Combinando este momento torsor con el debido a las
fatigas cortantes y determinado por i a ecuación (253), se obtiene para
el momento torsor total la expresión siguiente:
W(l + - L - - 0a\. (269) \ 120 O c2 /
Mt = - bc3OQ EcbW - bc30 3 360
TOBSIÓN 307
Puede verse que en el caso de una sección rectangular muy
estrecha y deformada, hasta un ángulo de torsión relativamente
grande, las fatigas a pueden absorber una parte importante del
momento torsor, ya que esta porción representada por el segundo
miembro de la ecuación (269) varía con 03, mientras que la parte que
equilibran las fatigas cortantes x dependen sólo de 9. Dado el valor del
momento torsor, el ángulo de torsión correspondiente se calcula por la
ecuación (269). La fatiga cortante máxima Tmáx se deduce de la
ecuación (h) y amiK y omín por las
308 RESISTENCIA DE MATERIALES
ecuaciones (268). Sea, por ejemplo, b = 9,6 cm., c = 0,12 cm.,
^ = 2,6, O = 8,05 X 10s kg./cm.2 y Mt = 1/3 be2 x 1,050 kilo- (jf
gramos-cm. Si se desprecian las fatigas normales <r, la ecuación (254)
da Tmáx = 1,050 kg./cm.2, y de la ecuación (253) se o b cieñe 6 — = 0,0109.
cQ
Tomando en consideración las fatigas longitudinales y usando la
ecuación (269), se tiene
0,0109 = 6(1 + 12,79 02),
de donde 8 = 0,00683
Se ve, por consiguiente, que para un importante ángulo de torsión
las fatigas normales en una pletina metálica son del mismo orden que
las fatigas cortantes T y no pueden despreciarse al calcular el ángulo
de torsión.
De lo expuesto se deduce que una tensión uniforme longitudinal
tiene gran influencia sobre el ángulo de torsión de una pletina.
Supongamos, por ejemplo, que se aplica a la pletina considerada una
fatiga extensora uniforme cr0. En este caso, la ecuación para el cálculo
de e0 es
Tmáx— 8 • c• 6r = 660 kg./cm.2;
y el momento torsor correspondiente es
TORSIÓN 309
Para la expresión dei momento torsor total, en lugar de la
ecuación (269), se obtiene
1 Mt = - bc*GQ /l + — - - 92 + - 3 \ 120 G
c2 4 G
Se ve que cuando - es un número grande (es decir, en el
c
caso de una pletina delgada), la fatiga extensora puede reducir
considerablemente el ángulo de
torsión 0.
’ 56. Resorte helicoidal de es
piras abiertas.—En el estudio rea-
lizado sobre resortes helicoidales
(véase pág. 263, Primera parte) se
supuso que el ángulo que formaban
las espiras y el plano perpendicular al
eje de la hélice era muy pequeño. Al
despreciar este ángulo, la
deformación era solamente una
torsión. En los resortes de espiras
abiertas, el ángulo no es pequeño y la
deformación producida por las
fuerzas axiales P consta de torsión y
flexión (figura 178). En cualquier
punto A la tangente a la hélice media
del resorte no es perpendicular a la
fuerza P y esta fuerza produce en la sección A torsión y flexión
alrededor del eje nv Descompondremos P en sus dos componentes P
eos ay P sen a, perpendicular y paralela, respectivamente, a la
tangente en A. En esta sección, la componente P eos a produce el
momento torsor M, — PR eos a, (a)
donde R es el radio de la hélice, y la componente P sen a produce el
momento flector
M = PR sen a. (b)
La fatiga máxima combinada es (v. pág. 270, Primera parte)
<W = ~(M + VM^+W) = (1 + sen a), (271) raí3 jtd3
b2\
(270)
310 RESISTENCIA DE MATERIALES
donde d es el diámetro del alambre. La fatiga cortante máxima es 1
Tffi4x = ^ V^2 + Mf = 1- -. (272)
7ids izd
Consideremos ahora ia deformación del resorte suponiendo que está sujeto por su
extremo superior y cargado axialmente con la fuerza P en su extremo inferior. Un elemento ds
comprendido entre Ay la sección adyacente, por la acción del momento torsor Mt, se
deforma en el ángulo
7 PR cos a 7 .. dep= — ds. (c)
(xlp
Debido a esta torsión, la parte inferior del resorte gira alrededor de la tangente en A el
ángulo d<p. Esta pequeña rotación está representada en la figura por el vector n de dirección
tangencial, cuyo sentido se toma de tal modo que entre el sentido del vector y el sentido de la
rotación exista la misma relación que entre el desplazamiento y la rotación de un sacacorchos.
La pequeña rotación n se descompone en dos: 1.° Una rotación n cos a alrededor de un eje
horizontal, y 2.° Una rotación n sen a alrededor de un eje vertical. La última rotación no
produce descenso delextremo
B del resorte, por lo quepuede no considerarse ahora. El descenso del extremo B del resorte debido a la
rotación n cos a se examina de modo análogo a como se hizo en el caso de un resorte de
espiras cerradas. Debido a esta rotación, el punto B corre a Bx —fig.
178 (c)—, y tenemos jBif, = ÁBn
cos a. Lacomponente vertical de este corrimiento es
D BB„ = BBi • -=r = Rn cos a. (d)
2 AB
La flecha total del extremo B debida a la torsión, deducida de la ecuación (d), será re
Sj = I Rn cos a, (e) J a
1 Si el diámetro del alambre no es muy pequeño comparado con el diámetro 2R de la hélice, el valor hallado debe multiplicarse por un factor de corrección, que para a < 20° puede tomarse igual al correspondiente a un resorte de espiras cerradas (Primera parte, pág. 2/2). Un estudio más detenido de este problema ha sido realizado por O. Gohner, V. D. I., vol. 76, pág. 269, 1932.
TORSIÓN 311
donde la integración se toma a io largo de la longitud del resorte
desde el extremo inferior B al superior fijo C.
La flecha debida a la flexión puede calcularse de modo análogo.
La deformación angular debida a la flexión del elemento da por el
momento M (ecuación b) es
, PR sen a , *Pi = --------- ——ds. (f)
til
La rotación correspondiente de la parte inferior del resorte está
representada en la figura por el vector nv JDei mismo modo que
anteriormente se vería que sólo su componente horizontal nx sen a
contribuye al corrimiento vertical del extremo B y que el valor de
este corrimiento es
re ^2 = I Rni sen <*• (ff)
J B
Sumando (e) y (g) se obtiene la flecha total de B,
re
8 = Si + 82 = R I (n eos sen a). J B
Poniendo, en vezde n y nv sus valores(c) y (/), se obtiene
8 = PR¿ fC I da JB \ GIP El j
como la expresión entre paréntesis es constante, representando por
a la longitud completa del alambre del resorte, se
tiene
8 = PR*S + S^\. \ Grlp El I
Si el diámetro d del alambre no es pequeño 2R, la
rigidez a la torsión GIV, que figura en la debe
multiplicarse por el factor de corrección
(273)
comparado con
ecuación (273),
312 RESISTENCIA DE MATERIALES
TORSIÓN 313
El mismo factor puede usarse también para un resorte de
sección cuadrada L
Las ecuaciones (271). (272) y (273) resuelven por completo el
problema referente a un resorte helicoidal de espiras abiertas
sometido a la acción de una fuerza axial 139.
La extensión del resorte viene acompañada de rotación del
extremo B respecto al eje vertical de la hélice. Para determinar esta
rotación, consideremos nuevamente la deformación del elemento ds
de la figura 178 (a). Debido a la torsión de este elemento, la porción
inferior del resorte girará un ángulo 140: M,ds
n sen a = sen a. OI„
Debido a la flexión del mismo elemento de valor angular n1 —
figura 178 (a)—, la rotación de la parte inferior del resorte respecto
al eje vertical es Mds
— n, eos a = eos a. 1 El
Por consiguiente, la rotación total alrededor del eje de la hélice
de la parte inferior del resorte debido a la deformación de un
elemento ds es , ¡M. sen a M eos /7, ds f— í— - ------------- —— I • Qi) OIP El
La suma de todas estas rotaciones elementales da el
ángulo cp, que gira el extremo B con
relación al otro extremo fijo G:
¡Mt sen ce Mooaoc\ ^ <p = «s I ----------------------------- ) = sPR sen a eos a —1, (274) GIV El
donde s es la longitud total del alambre del resorte.
En el caso de que el alambre tenga otra forma de sección, debe
sustituirse en la ecuación (274) GIP por el valor correspondiente G
de la rigidez a la torsión.
139 La teoría de los resortes helicoidales fué desarrollada por St. Ve-
nant; véase G. B., vol. 17, pág. 1020, 1843. Una serie de casos particulares han sido estudiados por Thompson y Tait, Nat. Pliil., segunda parte, pág. 139; I. Perry, Applied Mechantes, pág. 613, New-York, 1907, y G. W. Shearer, Engineering, vol. 93, pág. 206, 1912.
* ¡Se supone el alambre de sección circular.
-I -
«( - - - )■ w, EII
314 RESISTENCIA DE MATERIALES
Torsión axial.—Supongamos que el vector AD representa el
momento torsor Mz
aplicadoenel extremo B del resorte (figura 179). Sobre el elemento ds en A actuarán los momentos flec
tor y torsor M Mz cos a, Mt = Mz sen a.
La rotación del extremo B del resorte alrededor del eje z debida
a la deformación del elemento ds es
ds I sen a 4 ---------- ---- cos a QIP El
, /sen2 a , eos2 a ds M, I ------------- f- 01.
La rotación total del extremo B del resorte
respecto al eje z producida por el momento torsor Mz
es /sen2 a , cos2a\
= SM, —— + —- • (275) , OIv ' El I
Como la fuerza extensora P produce la rotación
<p en el extremo B del resorte, puede deducirse,
según el teorema de la reciprocidad (página 324,
Primera parte), el alargamiento 8 que el momento
torsor Mz producirá en el resorte. El valor de 8 se deducirá de la
ecuación
jPS = Mzcp, de donde
Flexión axial.—A veces es necesario considerar la flexión pura
de un resorte helicoidal en su plano axial (fig. 180). Sea Mb,
representado por el vector AB —fig. 180 (b)— el valor de los pares
flectores en el plano yz. Considerando un elemento ds del resorte en
un punto A, definido por el ángulo 0, se puede resolver el vector AB
en dos componentes: AC = Mb cos 0 y AD = Mb sen 0. La primera
componente representa un par en el plano tangente a la superficie
cilindrica de radio R, el cual produce flexión del alambre en este
plano. La segunda componente representa un par que actúa en el
plano axial del resorte y que
El
1
GL
1
El (276)
M 8 = —- <p = MaSR sen a cos a
TORSIÓN 315
puede resolverse en el torsor, Mb sen 0 eos a, y en el momento
flector en el plano de la espira, Mb sen 0 sen a. Por consiguiente, el
elemento ds experimenta flexión por un momento flector com-
binado igual a
V Mb eos2 0 -}- M\ sen2 0 sen2 a, (?)
y torsión por un par igual a Mb sen 0 eos a. La energía de defor-
mación del elemento, suponiéndole de sección circular, es
ir7 7 fMI (eos2 0 + sen2 0 sen2 a) . dU = ífe — ------------------------------------------ - -f
L 2 El
M\ sen2 0 eos2 al 2GTP ]'
BdQ Sustituyendo ds = ——, e integrando desde 0 = 0 a 0 = 21m, eos oc
donde n es el número de espiras, se tiene
iznR \M|(1 4- sen2 a) Jf|cos2a]
eos a L 2 El 2 OIv
La deformación angular de un extremo del resorte respecto
del otro es -, donde l es la longitud del resorte —fig. 180 (a)—, P determinada por la expresión
, 2 izRn l = s sen a = sen a,
eos a
y o el radio de curvatura de la elástica. Igualando el trabajo
suministrado por los pares Mb a la energía de deformación (l), se
obtiene
Mb 2
de donde 1 fl 4- sen2 oc eos2 a"|
(D
l_
P U,
TlJf
316 RESISTENCIA DE MATERIALES
Por consiguiente, la cantidad
sen a B
eos2 a YoK
1 -|- sen2 a
2EÍ (W)
(278) 1 +
U 2 El 2 El
Al estudiar la flexión de un
resorte helicoi-
dal por una carga transversal (fig. 181), debe-
mos considerar, no solamente las deformaciones producidas por
los momentos flectores, sino también las producidas por la fuer-
za cortante. Suponiendo que el extremo 0 del resorte está fijo y
que a es pequeño, la flecha S, en el extremo superior A, produ-
cida por el momento flector, puede obtenerse
por la fórmula corriente para la ménsula, es-
cribiendo, en vez de la rigidez a la flexión, el
valor (278). Por consiguiente,
~ •( 1+ :~V M
3 2 Eli \ 2 0)
Para estudiar el efecto de la fuerza cortante en las flechas,
examinaremos ia distorsión de una espira en su plano 1 producida por
la fuerza cortante V (fig. 182). El momento flector producido por V en
cualquier punto A es VR sen 0, y la energía de deformación
correspondiente a una espira es
’2Tt M* Rd§ F2 R3 7t
debe tomarse como rigidez a la flexión en el caso de flexión axial
de un resorte helicoidal de sección circular. Si el ángulo a es
pequeño, podemos suponer con aproximación
suficiente que sen2 a = 0 y eos2 a — 1. Sustitu-
yendo también sen a = -, puede representarse
la rigidez a la flexión de un resorte helicoidal por la
fórmula 2 Eli 1
- i :
E
2 0
B
El ángulo a se supone pequeño MI este estudio.
TORSTÓTT 317
El corrimiento correspondiente es, por tanto,
SU izVRs
¿>V El
Dividiendo este corrimiento por el paso h de la hélice, se obtiene
ia pendiente adicional y de la elástica producida por la acción de la
fuerza cortante:
_ e _ 71 VR3n Y ~
~h~~ Elf'
OíV Esta expresión debe usarse en lugar de la —^ usada para el
estudio de las deformaciones producidas en vigas macizas por la
fuerza cortante (véase artículo 39, Primera parte), cuando sea preciso
adaptar aquellas fórmulas al cálculo de flechas transversales en
resortes helicoidales. En el caso representado en la figura 181, la
fuerza cortante es constante a lo largo de l e igual a P; por
consiguiente, la flecha por cortadura será
nnPR3 S2 = Yl = (p)
Sumando las expresiones (n) y (p), y suponiendo a = 2 ~Rn, se
obtiene
8 = 8I + Í , = =™5 1 2 3 El
U + J L + 1**). (279, \ 2 OP I
El último término del paréntesis representa el efecto de la
fuerza cortante. Esdespreciable si el radio R de la hélice es pe
queño comparado con la longitud l 141.
141 El pandeo de resortes helicoidales, comprimidos axialmente, puede
verse en Theory oj Elastic Stability, pág. ltío.
CAPITULO vn
CONCENTRACION DE FATIGAS
57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas.—
Al analizar la extensión o compresión simple se supuso que la pieza
tenía forma prismática. Por consiguiente, al aplicar las fuerzas
axialmente, las fatigas se distribuirán de modo uniforme sobre la
sección. En el caso de una pieza de sección variable, también se
supuso que la distribución de fatigas era uniforme (véase fig. 14,
Primera 'parte)', pero esto es solamente una aproximación que da
buenos resultados cuando la variación de la sección es gradual. Los
cambios bruscos de sección originan grandes irregularidades en la
distribución de fatigas. Estas irregularidades
tienen importancia especial en el proyecto de
órganos maquinales solicitados por fuerzas
externas variables y a fatiga alterna. La
distribución irregular de fatigas origina que en
ciertos puntos la fatiga es muy distinta de la
media y que bajo la acción de fatigas variables
se produzcan con facilidad fisuras en dichos
puntos. La mayor parte de las roturas de
órganos de máquinas en servicio debe atribuirse al desarrollo de
tales fisuras.
Para fijar las ideas respecto a la distribución de fatigas en una
pieza de sección variable sometida a extensión consideraremos una
cuña simétrica de espesor constante h, cargada del modo
representado en la figura 183. En este caso, se conoce la solución
exacta del problema 142, que es una extensión radial sim-
142 Véase la publicación de A. Mesnager, Anuales des Ponts et Chema- sées,
1901. Véase también 1. 11. Michell, London Math. Soc. Proc., vo-
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 319
pie El valor de esta fatiga de extensión radial en un punto A viene
dado por la ecuación P eos 6
a, — k > (a)
hr
donde B es el ángulo que forman el eje a; y el radio O A, r es la
distancia desde A al punto O y k = ----------------- —^ ----------- es un factor
a -f- | sen 2 a que depende del ángulo 2a de la cuña. ¿
La distribución de fatigas normales ax sobre cualquier sección
mn perpendicular al eje de simetría de la cuña no es uniforme.
Utilizando la ecuación (17) (véase pág. 35, Primera parte)
v naciendo r = —--k en la ecuación anterior (a), se tiene J eos 0
2 o kP eos4 0 ax = ar eos2 0 = -------- (6) ah
Se ve que la fatiga normal es máxima en el centro de la sección (0
=0) y mínima para 0 = a. La diferencia entre las fatigas máxima y
mínima crece al aumentar el ángulo a. Para a = 10°, esta diferencia es
alrededor del 6 por 100 de la fatiga media obtenida dividiendo P por
el área de la sección mn. En el caso de una pieza cónica se obtienen
análogas consecuencias. Se ve que la distribución de fatigas
normales sobre una sección es tanto más uniforme cuanto más
pequeño es el ángulo del cono.
El estudio realizado muestra que la hipótesis de distribución
uniforme de fatigas normales sobre la sección de una pieza no
prismática da resultados satisfactorios si la variación de sección a lo
largo de la barra no es rápida.
Las condiciones, sin embargo, son muy diferentes cuando existen
cambios bruscos en la sección. La distribución de las fatigas en el
lugar de ia variación está muy lejos de ser uniforme y los resultados
obtenidos con la hipótesis de distribución uniforme de fatigas son
completamente falsos.
En los dos artículos que siguen se estudiarán varios ejemplos de
cambios bruscos de sección.
lumen 32, 1900, y vol. 34, 1902. Este problema puede verse asimismo en Theory o) Elasticity, pág. 93, 1934.
320 RESISTENCIA DE MATERIALES
58. Fatigas en una placa con un agujero circular.—Si en
una placa sometida a una fatiga extensora uniforme a se practica un
agujero circular pequeño 1, se produce en los puntos nn —figura 184
(o)— una gran concentración de fatiga. La teoría exacta2 muestra que
la fatiga extensora en estos puntos es igual a 3a. Se ve también que
esta concentración de fatiga tiene un carácter muy local y está
limitada a ia vecindad del agujero. Si trazamos una circunferencia
concéntrica con el agujero y de un radio c relativamente grande, tal
como indica con línea de
trazos la figura 184 (a), puede suponerse que el estado de
fatigas en esta circunferencia no viene afectado por la
presencia del agujero. Consideremos
—figura 184 (6)— un anillo circular
separado de la placa por una
superficie cilindrica circular de radio
c. En cada punto de la superficie
exterior de este anillo aplicaremos
fatigas dirigidas verticalmente y de
valor a sen <p; es decir, iguales a la
fatiga correspondiente en el área elemental A de
la placa (véase ecuación 16, Primera parte). Por consiguiente, las
fatigas en el interior del anillo serán, aproximadamente, las mismas
que en el trozo de placa limitada por el círculo de radio c —fig. 184
(a)—. De este modo el problema de la distribución de fatigas en las
proximidades del agujero queda reducido al de calcular dicha
distribución en un anillo circular de sección rectangular solicitado
por fuerzas verticales conocidas de intensidad a sen 9 distribuidas de
modo continuo sobre su contorno exterior 3.
Este último problema puede resolverse por el método estudiado
en la página 84. Considerando un cuadrante del anillo, las fatigas
ligadas a la sección mn pueden reducirse a una fuerza
143 El espesor de la placa se supone igual a la unidad.
,143%
- h i i r 1 n \ \
\ J n
/ y
— C
3— 1
i i i . i
(cú
-te1
(ti) Fio. 184
CONO ENTR A CTÓX DE FATIGAS 321
extensora longitudinal N0 aplicada en el C. de G. de la sección y a
un par flector M{). La fuerza longitudinal se determina por las
condiciones de la estática y es
N0 — <re (a)
El momento ikf0 es estáticamente indeterminado v se calcula por
el teorema del trabajo mínimo. Se emplea la ecuación (88) (página
87), como expresión de la energía de deformación y en ella la fuerza
longitudinal y el momento flector para la sección general del anillo
caracterizada por el ángulo <p —fig. 184 (b)— son
N = ere eos2 9; M — M0 -j- ac (1 — cos 9)^ (1— cos 9) ~ cos9j
(c — (i — 9),{b)
donde h es la altura de la sección rectangular. La. ecuación para
el cálculo de M0 es
d U C 2 Mdq> f 2 Ndq>
d M n ~ Jo AEe j0 AE
De donde, después de integrar,
2crc2ri 3 h i 1 \ ere . R . 1
M0 = ----------- 1 ------ tc -------- 1 -------- tuH ----------- ----- ( i r — 2) . c
0 rr L 8 2c\ 4 / 4c 2c
J
R es el radio de la línea media y e la distancia a la línea neutra desde
el C. de G. de la sección.
La fatiga en el punto n de la sección mn del anillo consta de dos
partes: 1.a La fatiga extensora producida por la fuerza longitudinal
N o e igual a N0 ac
"‘"T“T w y 2.a La fatiga de flexión producida por M0, cuyo valor (ecuación tí tí)
es lh Mn e, M()hA = \2 / = Mo [1__2e]
2 Aea Aea 2 ea\ h
donde a es el radio del agujero.
La distancia e se calcula por la ecuación (70) para diversos
ac
- 0.
(«)
322 RESISTENCIA DE MATERIALES
c valores de la relación y después ar y c2 se determinan por las
Cb
ecuaciones (d) y (e). La fatiga máxima es
® máx = d
Los resultados de estos cálculos se dan en la tabla siguiente:
Comparando los números de la última línea de la tabla anterior con
la solución exacta para un agujero pequeño crmax — 3a,
£
se ve que para 5 < - < 8, los resultados del cálculo aproximado están
de completo acuerdo con la solución exacta. Cuan- do - < 5, el agujero
no puede considerarse como muy pequeño,
Cb
por lo que tiene una influencia apreciable en la distribución de
fatigas sobre la circunferencia de radio c —fig. 184 (a)— y la hipótesis
establecida sobre la solicitación en el borde exterior del anillo —fig.
184 (b)— no es suficientemente exacta. La dis-
crepancia con la teoría exacta para ^ > 8 se debe a la exactitud
insuficiente de la teoría elemental de piezas curvas cuando el radio
interior es muy pequeño comparado con el exterior.
Para un punto cualquiera de la sección mn —fig. 184 (¿>)—, a
distancia r del centro del agujero, la fatiga normal es
TABLA XXII
c a ~
3 4 & 6 8 10
2 e 0, 17 9 6 0, 22 3 8 0. 25 7 4 0, 28 3 8 0, 32 3 9 0, 35 3 6 h
® i 1, 50 1, 33 1, 25 1, 20 1, 14 1. 11
a
o r 2 2, 33 1, 93 1, 83 1, 83 1, 95 2, 19 a
O Vi , 3, 83 3. 26 3, 08 3, 03 3, 09 3, 30
a
CONCENTRACIÓN DE FATTOAS 323
donde a es la fatiga extensora uniforme aplicada en los extremos de
la placa. Esta distribución de fatigas se representa en la figura 184 (a)
por las áreas rayadas. Se ve que la concentración de fatigas está muy
localizada en este caso en los puntos n.
La fatiga disminuye rápidamente a medida que r aumenta, y para
un punto situado a una distancia del borde del agujero igual al radio
del mismo, es decir, para r — 2a, de la expre-
7
sión (/), se deduce que la fatiga normal es 1 — a. o A
También disminuye rápidamente la fatiga al crecer c p —figu-
ra 184 (b)—, y para c p = —, es decir, para la sección paralela a
las fatigas o aplicadas, la fatiga normal
ligada al borde del agujero es una
compresión de valor igual a la fatiga
extensora or aplicada en los extremos
de la placa.
Si, en lugar de extensión, tenemos
compresión de la placa —figura 185
(a)—, basta cambiar el signo a las fatigas
obtenidas en el estudio anterior y
deduciremos que en los puntos n existe
una fatiga compresora de valor 3a y una extensora de valor a en los
puntos m. En el caso de un material quebradizo, tal como el vidrio,
fuerte en compresión y débil atracción, la grieta se produce
generalmente en los puntos m del modo que indica la figura 185 (6).
Conocida la distribución de fatigas para la extensión o compresión
simple de la placa y empleando el método de superposición, se puede
obtener con facilidad la que corresponde a los casos de extensión o
compresión combinadas en dos direcciones perpendiculares. Por
ejemplo, en el caso de la figura 186 a, se ve que la fatiga tangencial en
los puntos n es 3ay — ax y que en los puntos m la fatiga es 3ux — c„. En
el caso particular de fatiga cortante pura se tiene a x = — a y = a
y en los puntos n la fatiga es — 4 a, mientras que vale 4- 4 a en los
puntos m; por tanto, en este caso la fatiga maxima es cua-
RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 21
I I I H I I H
l-'l 1 i M t f (a) ( tí
Fio.185
RESISTENCIA RE Af ATERÍA!,ES
tro veces mayor que la fatiga aplicada en los bordes de la placa. Este estado de solicitación se presenta en la torsión de un tubo circular de pared delgada con un pequeño agujero circular —figura 186 b—. Si el momento torsor aplicado tiene la dirección in-
dícada en la figura, la fatiga máxima
extensora cuatro veces mayor que las fatigas cortantes aplicadas en
los extremos se presenta en el borde del agujero en los puntos que
llevan signo más. En los puntos señalados con signo
menos 1er existe una fatiga compresora del mismo
valor. El método aproximado empleado para el cálculo
de fatigas en las proximidades de un agujero circular
puede emplearse también en el caso de un agujero con
reborde (fig. 187). Este
cálculo realizado 144 para j = 11, = 0,01, dados 11 u Of
c valores siguientes para omáx : a en función de -;
a
4 a
FIG. 187 — = 2,56 2,53 2,56 <T
En el caso estudiado, —— varía ligeramente con por O Cb
lo que los cálculos restantes se han realizado solamente para = = 5 . La
influencia del área de la sección recta del reborde
a
144 La resolución de este problema se debe al autor; Journal of the
Franklin lnstitute, vol. 197. pág. 505, 1924. Se supone efectiva la totalidad de la sección del reboide.
FIG. 186 b
6
CO-NTOENTRACIÓN DE FATIGAS 323
sobre Omáx puede estudiarse haciendo variar la dimensión 6. Si A i —
2¿ta representa la disminución de sección de la placa debida al
agujero y A2 = (b — ít) t el área del reborde, la relación en función de
varía del modo siguiente: cAa
^ = 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 ¿i
--= 2,53 2,17 1,90 1,69 1,53
Los números anteriores pueden emplearse también en el caso de
otras formas do reborde, con tal de que la dimensión t en dirección
radial pueda considerarse pequeña comparada con el radio a del
agujero.
59. Otros casos de concentración de fatigas en piezas extendidas.—
Existen pocos casos para los que,
como en el de un agujero circular,
puede resolverse teóricamente el problema de la concentración de
fatiga. En la mayoría de ellos los datos que post emos referentes a las
fatigas máximas en los puntos de cam-
bio brusco de sección se han obtenido experimentalmente L En
lo que sigue daremos únicamente los resultados finales de las
investigaciones teóricas o experi-
mentales que puedan tener
aplicación práctica.
En el caso de un pequeño
agujero elíptico en una placa 145 ■—figura 188 (a)—, la fatiga máxima
acontece en los extremos del eje horizontal del agujero y viene dada
por la ecuación
_ „ ( l + 2 “ ) .
145 Véase G. Kolosoff, Dissertation, San Petersburgo, 1910; véanse también
O. E. Inglis, Engineering, vol. 95, pág. 415, 1911, y Trans. lnst. of Naval Architects, 1913.
tJJ H I . ) H
TrmiiiTmn .ca
i K m rr-rn ¿a)
FIG.188
(a)
324 RESISTENCIA DE MATERIALES
donde a es la fatiga extensora aplicada en los extremos de la placa.
Esta fatiga aumenta con la relación^, de modo que un agujero
muy estrecho perpendicular a la dirección de la tensión produce
una concentración de fatiga muy elevada. Esto explica la tendencia
a producirse fisuras perpendiculares a la dirección de las fuerzas.
Esta tendencia puede limitarse, una vez localizada
la fisura, practicando agujeros en los extremos de la fisura para
eliminar los ángulos bruscos que producen la elevada concen-
tración de fatigas.
Las gargantas semicirculares en una placa sometida a exten-
sión —fig. 188 (ó)— producen también una gran concentración de
fatiga. Experimentalmente 146, se ve que en los puntos m y n las
fatigas son alrededor de tres veces las fatigas aplicadas en los
extremos de la placa, si el radio de la garganta r es muy pequeño
comparado con el ancho d de la sección mínima. En general, la
fatiga máxima en los puntos m y w e s una función de la Y
relación La relación entre la fatiga máxima y la fatiga media
146 Véase M. M. Frocht, Journal of Applied Mechanvcs, vol. 2, página 67,
1935.
FIG. 189
conoetctractón de fatigas 325
en la sección mínima, tal como la sección mn, se denomina co-rrientemente factor de concentración de fatiga y se representa
por k. Los valores de k para diversos valores de la relación^ vienen
dados en la figura 189 por la curva II 147. En la misma
figura se dan también los factores de concentración de fatiga para el
caso de un agujero circular (curva I) y para el caso de curvas de
acuerdo (curva III). En la figura 190 se da más información referente
a concentración de fatiga en acuerdos.
En la figura 191 se dan los factores k para gargantas de diversa
147 Las curvas dadas en la discusión que sigue están tomadas del artículo
de M. M. Frocht, Journal oj Applied Mechanics, vol. 2, página 67. 1935.
326 RESISTENCIA DE MATERIALES
altura con el fondo circular. Se ve que los factores de concentración
de fatiga son mayores en gargantas profundas que T
para gargantas semicirculares del mismo
El caso de una placa de gran anchura con gargantas hiperbólicas
(fig. 192) puede resolverse teóricamente L La solución muestra que el
factor de concentración de fatiga (es decir, la
relación de la fatiga máxima en los puntos m y n a la fatiga extensora
media sobre la sección mn) puede representarse por ia fórmula
aproximada siguiente 148:
k = ]/o,8^ + 1,2 — 0,1 (b)
donde d es el ancho de la sección mínima y r es el radio de curvatura
en el fondo de la garganta. Los valores de k obtenidos por esta
fórmula están también de acuerdo con los resultados
obtenidos experimentalmente para ranuras con garganta = 4:j
semicircular en el fondo (fig. 191).
148 El móduiO de Poisson se toma igual a 0,3 en las fórmulas (ó),
(c) y {d).
CONCENTRACIÓN DE FATTOAS 327
Supongamos ahora que la figura 192 representa una sección axial
de un cilindro circular de gran diámetro con ranuras en garganta de
perfil hiperbólico sometido a extensión axial. La fatiga extensora
máxima acontece nuevamente en el fondo de la garganta y el vaior
del factor de concentración de fatiga es 149
k = ]/ 0,5 -r -f 0,85 + 0,08. (c)
Comparando esta fórmula con la (b), se ve que en el caso de un
cilindro con garganta la concentración de fatiga es menor que en el
caso de una placa. Más adelante examinaremos con más detalle esta
comparación (véase artículo 62).
En el caso de un cilindro extendido que tiene una cavidad
elipsoidal en el eje, del que la figura 188 (a) puede considerarse como
una sección axial, la fatiga extensora máxima acontece en los puntos
m. Su valor está dado por
la fórmula aproximada
siguiente:
donde a es la fatiga de
extensión aplicada uniformemente en los extremos del
cilindro y r es el radio de curvatura de la elipse en los
puntos m.
La probeta de hormigón que se utiliza para los ensayos a
tracción (fig. 193) es otro ejemplo de una pieza
extendida con cambio brusco da sección. Ex-
perimentalmente se ha visto que la fatiga máxima
acontece en los puntos my n, y que esta fatiga es 1,75
veces la fatiga media sobre la sección mn.
La figura 194 representa un enlace a cola de FIG. 193 milano muy
utilizado en máquinas eléctricas para unir los polos magnéticos al
borde del rotor. La fuerza centrífuga que actúa sobre el polo produce
grandes fatigas de extensión sobre la sección mn. La distribución de
estas fatigas se ve en la figura 194 (6) 150. Debido al cambio brusco de
sección, se produce en los puntos myn una gran concentración de fatiga. Las fatigas
extensoras ax vienen acompañadas de fatigas ay de dirección lateral. La distribución de estas
149 H. Neuber, ya citado, pág. 320. 150 Véase la publicación de E. G. Coker, Journal of the Pranklin Inst., vol.
199, pág. 289, 1925. Cabezas en T, de aplicación frecuente en maquinaria, han sido ensayadas por M. Hetényi, Journal of Applied Mechanics, vol. 6, pág. 151, 1939,
1/0,8® + 0,05 + 0,7sJ (d)
328 RESISTENCIA DE MATERIALES
fatigas a lo largo de la sección mn se ve en la figura 194 (b) y su distribución a lo largo del
plano vertical de simetría en la figura 194 (a).
CONCENTRACIÓN DE FATTOAS 329
Todas estas deducciones respecto de la distribución de fatigas están hechas a base de que
la fatiga máxima sea inferior al límite de proporcionalidad del material. Pasado este límite, la
distribución de fatigas depende de la ductibilidad del material. Un material dúctil puede
someterse a una deformación consi
derable, pasada la fluencia sin gran aumento de fatiga. Debido a esto, la distribución de fatigas,
pasado el punto de fluencia, se aproxima cada vez más a una distribución uniforme a medida que
la deformación aumenta. Esto explica por qué con materiales dúctiles los orificios y cuellos no
rebajan la fatiga de rotura, cuando las piezas se ensayan estáticamente. Por el contrario, al
ensayar probetas de acero dulce con ranuras se obtiene un cierto aumento en la fatiga de rotura,
debido a que las gargantas evitan la formación del cuello en la sección de rotura de la probeta
(véase pág. 423).
En el caso de un material quebradizo, tal como vidrio, la concentración de fatiga permanece
hasta la rotura. Esto origina un importante debilitamiento, que se comprueba por disminución de
la fatiga de rotura en una barra de material quebradizo con entalladuras. Es interesante subrayar
que las fisuras muy finas en la superficie de una probeta de vidrio no producen debilitamiento,
aunque la concentración de fatiga en el
330 RESISTENCIA T)E MATERT4T.ES
fondo do la fisura sea muy grande 151. La explicación de este fenómeno se atribuye a la
constitución natural del vidrio corriente. Dadas las diversas fisuras internas microscópicas que
presenta, vna. pequeña fisura superficial adicional no influye sobre la resistencia de la probeta.
La discusión anterior prueba que el uso de cuellos y ángulos entrantes en el proyecto de
piezas es un problema delicado. En el caso de un acero dúctil, la concentración de fatiga no es
peligrosa con tal de que no existan fatigas alternas. Por ejemplo, en el caso de la figura 194, las
fatigas pueden llegar a ocasionar la fluencia en los puntos m y n\ pero esta fluencia no es
peligrosa, ya que la estructura está solicitada por una fuerza constante. En el caso de un
material quebradizo, los puntos en que se manifiesta la concentración de fatiga son puntos
débiles y deben eliminarse o reducir la concentración de fatiga empleando acuerdos de gran
radio.
En piezas solicitadas por fatigas alternas, el efecto de la concentración de fatiga debe
tenerse siempre en cuenta. En los puntos en que aquélla se produce se presentan con facilidad
fisuras, aunque el material sea dúctil (véase artículo 80).
60. Concentración de fatiga en torsión.—Al estudiar
la torsión de barras de secciones diversas (véanse artículos 50 y 51), se
dijo que los ángulos entrantes u otras irregularidades en la FM. 195 línea
de contorno de la sección originaban una alta concentración de fatiga.
Los orificios longitudinales producen un efecto análogo.
Como primer ejemplo, consideraremos el caso de un agujero circular pequeño en un eje
circular sometido a torsión 152 (fig. 195). Para examinar este problema es muy útil la analogía
hidrodinámica 8. El problema de la torsión de barras de sección uniforme es matemáticamente
idéntico al del movimiento de un flúido sin viscosidad que se mueve con velocidad angular
constante dentro de una pared cilindrica de la misma sección que la barra. La velocidad de
circulación del flúido en cualquier punto representa la fatiga cortante en dicho punto de la
sección de la barra cuando ésta se somete a torsión. El efecto de un pequeño agujero en un eje
de sección circular es análogo al de introducir un cilindro fijo del mismo tamaño en la corriente
del modelo hidrodinámico. Un cilindro tal cambia grandemente la velocidad del flúido en sus
proximidades. Las velocidades en los puntos frontal y posterior son nulas mientras que en los
puntos laterales m y n se duplican. Una pequeña garganta semicircular en la superficie
paralela al eje del cilindro (fig. 195) produce el mismo efecto. La fatiga cortante en las
proximidades del punto m será, aproximadamente, doble de la calculada para puntos de la
superficie del eje alejados de la garganta.
151 Este fenómeno ha sido estudiado por A. A. Griffith, Phil. Trans. (A),
vol. 221, pág. 163, 1920. 152 Este caso fué estudiado por J. Larmour, Phil. Mag., vol. 33
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 331
La misma analogía hidrodinámica explica el efecto de un agujero de forma elíptica o de una
garganta de sección semi- elíptica. Si uno de los ejes a de la elipse tiene dirección radial y el otro
eje es b, las fatigas en los bordes del agujero para los extremos del eje a crecen en la relación
J^l + : 1. La fati
ga máxima depende, por tanto, de la relación El efecto
de un agujero elíptico sobre la fatiga es mayor cuando el eje mayor de la elipse tiene dirección
radial que cuando está dirigido circunferencialmente. Esto explica el por qué una fisura de
dirección radial debilita extraordinariamente la resistencia de un eje.
En el caso de un alojamiento de chaveta con ángulos bruscos (fig. 196), la
analogía hidrodinámica indica velocidad nula para el flúido circulante FIG.
196 en los ángulos exteriores (puntos m-m); por tanto, la fatiga cortante, en
el caso de torsión, será nula en dichos puntos. En n-n, vértices de los
ángulos entrantes, la velocidad del flúido es teóricamente infinita. Al someter
a tor-
analogía, véase la publicación de J. P. Den Hartog y J. G. Me. Givern, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 40, 1936,
332 RESISTENCIA T)E MATERT4T.ES
sión al eje, la fatiga cortante en los puntos n-n será también infinita, lo que indica que un momento torsor pequeño producirá deformación permanente en dichos puntos. Esta concentra-ción de fatiga puede reducirse redondeando los ángulos n-n.
Los experimentos realizados 153 con un eje hueco de diámetro exterior 10 pulgadas,
diámetro interior 5,8 pulgadas, altura de la chaveta 1 pulgada, ancho de la misma 2,5 pulgadas, y
radio del acuerdo en los ángulos r, muestran que la fatiga máxima en los ángulos redondeados
es igual a la fatiga máxima en un eje análogo sin chaveta, multiplicada por el factor k de la tabla
siguiente:
TABLA XXIII
Se ve que la concentración de fatiga puede disminuirse en alto grado aumentando el radio
en los ángulos n.
La pérdida de resistencia de un eje por la concentración de fatiga debida a agujeros y
gargantas depende, sobre todo, de que el material sea o no dúctil, y pueden aplicarse a este caso
las conclusiones del artículo anterior.
Si una pieza tubular tiene ángulos entrantes se presenta en ellos una concentración de
fatiga que depende del radio de los ángulos. El valor aproximado de esta fatiga máxima puede
obtenerse por la analogía de la membrana. Consideremos el caso sencillo de un tubo de espesor
constante y supongamos que el acuerdo está limitado por dos
circunferencias concéntricas (fig. 197), de centro O y radios ri y ra.
La superficie de la membrana en la sección mn puede suponerse que
es una superficie de revolución de eje perpendicular al plano de la
figura en O 154. Se ha visto que la pendiente de la membrana en un
punto M es numéricamente igual a la fatiga cortante. En la
153 Véase The, Mechanical Properties of Fluids, trabajos de varios, página
245; D. Van Nostrand Co., New-York, 1924. * Esta hipótesis es aceptable con tal de que r< no sea pequeño comparado
con r„.
r pulg. = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 k = 5,4 3,4 2,7 2,3 2,1 2,0 1,9
333 RESISTENCIA DE MATEP.TAT.ES
figura 198, que muestra una sección meridiana por mn, las curvaturas principales de la
membrana en este punto son
Sea T0 la fatiga cortante media deducida de la ecuación (258). Mediante la ecuación (259) se
tiene
dx 2GQ =
A
donde s es la longitud de la línea media de la sección de la pieza tubular.
La solución general de la ecuación (6) es
G x0sr X — b r 2 A
La constante de integración C se obtiene por la condición 155,
xdr = xJi.
155 Esta condición se deduce de la analogía hidrodinámica (página 330).
Si un flúido circula por un canal cuya forma es la sección recta de una pieza tubular, la cantidad de flúido que pasa por cada sección del canal debe permanecer constante.
ck
p
d
a
dx
dr
^ + I = ü f o . dr r
para la sección perpendicular al meridiano. La ecuación
de equilibrio de ia membrana —ecuación (157)— es
dx t p
dr r S
o utilizando la ecuación (a), art. 50,
( d )
para el meridiano (se toma un elemento de meridiano
ds igual a dr), y
1_
R,
X
r
(b) , + ' dr r
(c)
f Jn
CONCENTRACIÓN- DE FATIGAS 334
(280)
En los ángulos entrantes r = r4, y por sustitución, se puede calcular la concentración de
fatiga en dichos ángulos 156. Sea, por ejemplo, un tubo cuadrado de dimensiones exteriores 10
X 10 centímetros, de un espesor h = 1 cm. y radios en los ángulos = 0,5 cm., ra = 1,5 cm. (fig.
199):
A = 9 x 9 — l157 (4 — 7r) = 80,14 cm.2,
5 = 9 x 4 — 1(8 — 2tc) = 36 — 1,72 = 34,28 cm.
La fatiga media t0 viene dada por la ecuación (258). La fatiga en los ángulos, por la ecua- ción (280), será
t = 1,54 T0.
El factor de concentración de fatiga es en
este caso 1,54. Se ve que este factor aumenta al
dismi- ^
nuir el radio interior La ecuación (280) es válida también para
el caso de que solamente se redondee la parte interior del ángulo —
fig. 199 (6)—. Para ello se supone ra = h -f- tal como se indica en la figura con línea de trazos.
En el caso de perfiles laminados —figs. 159 (b) y 159 (c)— (página 279), la fatiga máxima
acontece en los ángulos entrantes. Su valor se obtiene multiplicando la fatiga calculada por
156 Esta ecuación ha sido dada por C. Weber en su publicación, ya
citada, pag. 304.
Sustituyendo el valor (c) de T, se tiene
X fai
FIG. 199
335 RESISTENCIA DE MATERIALES
las fórmulas (254) o (257) (véase pág. 280) por el factor de con-
centración de fatiga que da la expresión siguiente 158:
k= 1,74'j/? (281)
donde c es el espesor del ala y r el radio del acuerdo.
61. Eje circular de diámetro variable 159.—Si el diámetro de un
eje varía gradualmente según su longitud, puede aplicarse con
suficiente exactitud la ecuación (149) (véase pág. 257, Primera
parte). Pero si el cambio de diámetro es brusco (fig. 200),
se presenta una gran concentración de fatiga
en los puntos m — m, en que comienza el
acuerdo. El valor de la fatiga máxima depende
de las relaciones ^ y ^, don-
FIG. 200 de p es el radio del
acuerdo, y d y D son
los diámetros de los dos trozos cilindricos
del eje. Esta fatiga local, no peligrosa para el caso de carga
constante de un material dúctil, puede debilitar al eje en el caso de
fatiga variable, circunstancia corriente en cigüeñales y ejes
propulsores en general. Muchos casos de rotura en servicio se han
originado por esta causa. El cálculo teórico de la fatiga máxima en
el acuerdo es demasiado complicado 160 y puede sustituirse por un
método experimental. Se usa para ello una analogía entre la
distribución de fatiga en un eje sometido a torsión y la distribución
del potencial eléctrico en una placa 161.
158 E. Trefftz, Z. angew. Math. Mech., vol. 2, pág. 263, 1922. La ecuación
(281) se obtiene para un ángulo —fig. 159 (h)—■ con alas de igual espesor. En el caso de dos espesores diferentes y c2 —fig. 159 (c)—, se emplea el mayor de ellos al aplicar la ecuación (281). Un estudio más profundo de este problema ha sido dado por H. M. Westergaard y R. D. Mindlm, Amer. Soc. C. E. Proceedings, pág. 509, 1935.
* La solución general de este problema se debe a J. H. Michell, Proc. London Math. Soc., vol. 31, 1899, y A. Fóppl, Sitzungsber. d. Bayer. Akad. d. Wis3&nsch., vol. 35, pág. 249, 1905. El caso de la figura 200 ha sido estudiado por A. Fóppl; véase V. D. I., pág. 1032, 1906. Una bibliografía completa sobre este problema puede verse en Theory of Elasticity, pág. 276, 1934.
160 Este cálculo ha sido realizado por F. A. Willers mediante un método de integración aproximada; Zeitschr. f. Math. u. Phys., volumen 55, pág. 225, 1907. Véase también R. Sonntag, Dissertation, Mün- chen, 1926.
161 Esta analogía ha sido desarrollada por L. S. Jacobsen; véase Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., vol. 47, pág. 619, 1926.
336 RESISTENCIA DE MATERTARES
Comenzaremos estudiando la analogía en un eje circular de
diámetro constante. Imaginemos al eje dividido en tubos ele-
mentales, de modo que cada tubo absorba igual porción del
momento torsor total Mt. Por ejemplo, en la figura 201 el eje se ha
dividido en cinco trozos, cada uno de los cuales equilibra ^ Mt. Estos
tubos se denominan tubos de igual momento,
y las líneas correspondientes en una sección diametral del eje,
líneas de igual momento. Sea A Mt el torsor por tubo, y supon
gamos que el espesor de cada tubo es pequeño. El ángulo de torsión
por unidad de longitud es el mismo para todos los tubos y vale
donde r es el radio medio del tubo y h su espesor. Puesto que LM, y
0 1 son iguales para todos los tubos, su espesor variará en razón
inversa del cubo del radio medio. La fatiga cortante media en un
tubo es —ecuación (258)
En la figura 201 se ve un segundo sistema de líneas. Estas líneas
son normales a las líneas de igual momento y se denominan líneas
equiangulares. Corresponden a secciones del eje producidas por las
denominadas superficies equiangulares, determi-
0 es el ángulo de torsión para un eje macizo.
A M, 6 - (a)
GIP G2nrah
A M,
A Mtr
”77
Ailf,
2 T =
CONCENTRACIÓN DE PATICAS 337
nadas de modo que el ángulo de torsión entre dos superficies equiangulares consecutivas es
constante a lo largo del eje. Sea A<p este ángulo. En nuestro caso particular las superficies
equiangulares son planos equidistantes. Sea a la distancia entre ellos. En un punto a distancia
r del eje la distorsión vale
Acp • r Y = —
a y la fatiga correspondiente,
£A ?-r T ------------------------------------------------------------------ (C)
a
Los dos sistemas de líneas ortogonales, de igual momento e igual ángulo, dividen la
sección longitudinal del árbol en los rectángulos de la figura, cuyas dimensiones pueden servir
para comparar las fatigas cortantes en los puntos correspondientes del árbol. Utilizando la
ecuación (ó), y comparando las fatigas cortantes Tj y T2 a las distancias rx y rz,
respectivamente, tenemos
- 'CÉ*. (d) t2 r\hl
mediante la ecuación (c), de modo análogo,
r2a,
En nuestro caso, a, = a2 = a. Por la ecuación (d) se ve que la relación de fatigas depende
de la relación de distancias
hx
entre las líneas de igual momento, mientras que por la ecuación (e) dicha relación depende de
las de distancias entre líneas
. , ^2 equianguiares
ax
Sea ahora, el eje de diámetro variable de la figura 200. Las irregularidades en la
distribución de fatiga, producidas por los acuerdos, tienen un carácter local. A suficiente
distancia de la unión la distribución de fatiga es prácticamente igual a la correspondiente a un
árbol de sección constante y puede, por tanto, construirse con facilidad en una sección
longitudinal del árbol los dos sistemas de líneas anteriormente descritos (figu
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 338
ra 202). En las proximidades de la sección de acuerdo la distribución de fatigas es más
complicada, y las líneas equiangulares v de igual momento se curvan. El estudio del problema
muestra 162 que, aun curvadas, estas líneas siguen siendo ortogonales y dividen a la sección
longitudinal en rectángulos curvilíneos, tales como los de áreas rayadas. Las ecuaciones (d) y
(e), obtenidas para un árbol de sección constante, son también válidas si h y a son las
dimensiones tomadas en el centro de cada rectángulo curvilíneo. Por consiguiente, las dos
familias de líneas dan una representación completa de la distribución de fatigas en el árbol.
Considerando, por ejemplo; las líneas de igual
momento y mediante la ecuación (d), se ve que las
fatigas crecen al disminuir el radio y el espesor de los
tubos de igual momento. De la figura se deduce que la
fatiga es máxima en los acuerdos, sitio donde el
espesor h de los tubos de igual momento es menor. A
la misma conclusión se llega examinando las líneas
equiangulares. De la figura se deduce que la distancia
a entre dichas líneas al llegar a los acuerdos es muy
pequeña; por consiguiente, por las ecuaciones (d) y
(e) se puede determinar la relación de la fatiga máxima
en el acuerdo con la fatiga en cualquier otro punto,
con tal de haber trazado las líneas equiangulares y de
igual momento.
La analogía eléctrica anteriormente mencionada
permite medir las distancias a entre líneas equiangulares. Estas distancias se miden en la
superficie del árbol de menor diámetro d, primero en un punto apartado de la sección de
discontinuidad y después en el acuerdo. La relación de estas dos distancias da —véase
ecuación (e)— el factor por el que se debe multiplicar la fatiga calculada por la fórmula usual
para obtener la fatiga máxima
162 Véase la publicación de F. A. Willers, ya citada, pág. 334. Resistencia de
materiales.—T. II 2-¿
CONCENTR A OTÓN DE FATIGAS 339
en el acuerdo. Para estudiar la analogía eléctrica comenzaremos con el caso de una placa
rectangular de espesor uniforme (figura 203). Si los extremos de la placa se mantienen a
diferencia de potencial constante, atravesará la placa una corriente eléctrica uniformemente
distribuida sobre su sección recta. Dividiendo el flujo eléctrico en partes iguales se obtiene un
sistema de líneas de corriente equidistantes. El sistema de líneas equipotenciales es
perpendicular a él.
Con una placa homogénea de sección uniforme la caída de potencial será uniforme a lo
largo de la dirección de la corriente y las líneas verticales equidistantes. Para que estos dos
sis-
temas de líneas sean análogos a los de la figura 201, el espesor de la placa debe variar como
el cubo de la distancia r, tal como indica la figura 204 (b). La distancia entre las líneas
de corriente será inversamente proporcional 1 al cubo de r, y la distancia entre las líneas
equipotenciales verticales será constante como anteriormente. De esta forma obtendremos el
mismo sistema de familias ortogonales de la figura 201. El borde O - O de la placa
corresponde al eje del árbol. Las líneas equipotenciales se corresponden con las líneas
equiangulares, y las líneas de corriente con las líneas de igual momento en el problema de
torsión. Se ha visto 2 que esta analogía es válida para el caso de una placa de dos anchos
diferentes, cuyo espesor varía como el cubo de la distancia r (fig. 205). De esta forma es
posible investigar la concentración de fatiga en el acuerdo de un árbol sometido a torsión
mediante un método eléctrico. Se mantiene una diferencia de potencial constante en los
extremos de la placa y se mide el
1 Se supone que el flujo por unidad de área de la sección recta es constante en dicha sección.
* Véase la publicación de L. S. Jacobsen, ya citada, pág. 334.
/
¿«Mf
f/ujo
FIG. 203
(°)
O
FIG 204
340 RESISTENCIA DE MATEP.TAT.ES
gradiente del potencial a lo largo del borde mnp. Las distancias ar y a2, entre las líneas
equipotenciales, en un punto alejado m
y en el acuerdo n, se obtienen fácilmente, y la relación — de
estas distancias da el factor de concentración de fatiga para el acuerdo en n.
Se han realizado experimentos con un modelo de acero de 60 cm. de largo, 15 cm. de
ancho en el extremo mayor y 2,5 centímetros de espesor máximo en el borde pq. El gradiente
del potencial a lo largo del borde mnpq del modelo se determinó mediante un galvanómetro
muy sensible, cuyos terminales es-
M
FIG. 205
taban conectados con dos agujas aisladas,
alojadas en un bloque y separadas por 2 mm. Tocando en la placa con las agujas, el galvanómetro
da la caída de potencial para la distancia que separa la punta de las agujas. Moviendo las agujas a
lo largo del acuerdo es fácil encontrar el lugar donde el gradiente del potencial es máximo y medir
su valor. La relación de este máximo al gradiente del potencial, en un punto alejado m (figura 205),
da el valor del factor de concentración de fatiga k en la ecuación
16 Mt (282)
El resultado de estos ensayos para un caso particular puede verse en la figura
206, donde el gradiente del potencial medido en cada punto está representado por la longitud de la
normal al borde de la placa en este punto.
De dicha figura se deduce que el factor de concentración de fatiga es 1,54. Los valores de
este factor obtenidos para árboles de distintas proporciones se ven en la figura 207, en la
FIG. 206
a ,
d
1
k Tmáx
2p
341 RESISTENCIA CE MATERIALES
que se han llevado en abscisas las relaciones del radio del acuerdo al radio menor del árbol, y
en ordenadas al factor k. Cada curva corresponde a un valor de la relación
62. Concentración de fatiga en flexión.—Las fórmulas que dan las fatigas
flexoras y cortantes para una viga prismática se aplican también frecuentemente al caso de vigas
de sección recta variable. Para dar una idea de la seguridad de este método de cálculo
consideraremos la flexión de una ménsula en forma de cuña (fig. 208). La solución exacta de este
problema 163 muestra que el estado elástico, en un punto cualquiera A de la viga, es
163 Véase I. II. Michell, Proceedinys oj the London Math. ¿>oc., volumen 32,
I90U.
FIG. 207
342 RESISTENCIA DE MATERIALES
nna extensión o compresión simple en la dilección radial A O y
que su valor es
P eos 0 9
rb ( a )
¿ y.
a = a, sen*
sen 2 0 = 2 bh h2 2a
donde
bh\
12 ’ /* = M =
una constante que depende del valor del
ángulo de la cuña.
Mediante las ecuaciones (17)
y (18) (pág. 35, Primera parte), las componentes normal y tangencial de la fatiga ligada a
un plano perpendicular al eje x, serán
donde r es la distancia O A; b, el espesor de la cuña; 0, el ángulo
que forma el radio A O y la di-
rección de la fuerza P, y
2
q My 4 tg3 a sen4 0
Iz 3(2a — sen 2a)’
e n P 1 6^2 t g 3 a sen4 6
- sen 2 a
Px.
sen 2a
11 k =
(b)
Para a = 5o, 10°, 15° y 20° el factor p toma los valores 1,00, 0,970, 0,947 y 0,906,
respectivamente. Se ve que la fatiga normal máxima ax —ecuación (c)— tiene,
aproximadamente, el mismo valor que el correspondiente a la fórmula usual con tal
ximas para 0 = ^ -j- a. Calculadas mediante las ecuaciones (ó), se obtiene Mh P
(or*)mdx — P T~T> (Tj/¿)ináx = 3(3 - (c) 21. bh
7T En el plano neutro de la cuña, 0 = - y la fatiga normal y
z
tangencial son nulas. Las fatigas normal y tangencial son má
4 tg3 a eos4 a P — - • ----------- — --------- •
3 2 a — sen 2 a
donde
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 343
en los puntos más alejados de la línea neutra, lo que está en franca contradicción con los
resultados obtenidos para piezas prismáticas (pág. 105, Primera parte). En la mayoría de
los casos las fatigas tangenciales no tienen gran importancia y sólo se consideran las fatigas
flectoras normales; por ello la fórmula que da la fatiga flectora máxima para vigas prismáticas
puede utilizarse con suficiente aproximación en el caso de piezas de sección recta variable,
con tal de que la variación de la sección no sea demasiado rápida.
En los cambios bruscos de sección se presenta una perturbación en la distribución de
fatigas, y en las secciones correspondientes la fatiga máxima es mucho mayor que la que da la
fórmula de la viga prismática. La representaremos por la expresión
(d)
donde a es la fatiga en el punto considerado obtenido por la fórmula de la viga prismática, y k
el factor de concentración de fatiga. Solamente en pocos casos puede obtenerse este factor
mediante las ecuaciones de la teoría de la elasticidad L
La placa de gran ancho con gargantas hiperbólicas (figura 192) es uno de los casos para
los que se tiene solución exacta de la distribución de fatiga. Esta solución muestra que, en
el caso de flexión pura de la placa por pares que actúan en su plano medio, las fatigas
máximas acontecen en los puntos m y n, y el factor de concentración de fatiga de la expresión
(d) puede representarse por la fórmula aproximada siguiente:
donde d es el ancho mínimo de la placa y r el radio de curva' tura en el vértice de la garganta.
de que a sea pequeño. Para a = 20°, el error correspondiente, dado el valor que alcanza [3, es
alrededor de un 10 por 100. La fatiga cortante máxima, dada por la segunda de las fórmulas (c),
lea
344 RESISTENCIA DE MATERIALES
En el caso de un eje circular con garganta hiperbólica, del que la figura 192 puede
representar una sección longitudinal, el factor de concentración de fatiga en el caso de flexión
pura es
¿ + j ) [ i - ( i - + 164+ 165+ " ]
donde
* -» [i +1) + (i + M j/^M + - m
l + Ur + l
d es el diámetro de la sección recta mínima y r el menor de los radios de curvatura en el fondo
de la garganta. Para valores
d grandes de la relación —, la expresión (/) puede sustituirse, con
¿ÁT
aproximación suficiente, por la fórmula
3 1 <h)
La mayoría de los datos conocidos sobre el valor del coefi-
ciente k, de la ecuación (d), se han obtenido por vía experimental mediante los métodos de la
fotoelasticidad x. Los factores de concentración de fatiga en flexión pura de placas con gargan-
tas semicirculares y con acuerdos en forma de cuadrantes de círculo (D = d + 2r), pueden
verse en la figura 209. La figura 210 da los valores de k correspondientes a diversos valores
de la relación Lafigura
211 muestra los factores de concentración de fatiga, enflexión
pura, para gargantas de alturava
riable.
Las curvas de la figura 212 sirven para comparar los factores de concentración de fatiga
en la extensión y flexión de placas y ejes circulares 166. Las curvas 1 y 2 dan los factores de
concentración de fatiga para una placa con garganta hiperbólica y
164 Las curvas que se exponen a continuación están tomadas del ar
R. E. Peterson y A. M. Wuhl, Journal of Applied Mechantes, vol. 3, página 15, 193tí. tículo de M. M. Frocht, ya citado, pág. 324.
(/)
CONCENTRACIÓN- DE FATIGAS 345
para un eje circular con garganta hiperbólica, sometidos a extensión y calculados por las
fórmulas (b) y (c) del artículo 59.
Las curvas 3 y 4 dan los valores correspondientes del factor de concentración de fatiga para
las mismas piezas cuando están
solicitadas a flexión pura. Su cálculo se ha realizado por las fórmulas (e) y (/) (pág. 342). Se ve
por dichas ourvas que los iac-
346 RESISTENCIA DE MATERIALES
tores ele concentración de fatiga son más elevados para placas que para ejes circulares,
acentuándose la diferencia en el caso
de extensión. En flexión pura, caso más frecuente en la práctica, la düerencia es pequeña:
alrededor del 6 u 8 por 100 para
v 36
< 18
«5
o
u
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CONCENTRACIÓN- DE FATIGAS 347
gargantas de dimensiones corrientes. Las curvas de trazos (5) y (6) de la figura 212 se han
deducido de las curvas de las figuras 191 y 211, extrapolando estas curvas para valores mayores
de la relación Se ve que las curvas (5) y (6) están de acuerdo
con las curvas (1) y (3), correspondientes a cuellos hiperbólicos,
T
para relaciones ^ comprendidas entre 0,15 y 0,50. Esto indica
que en el caso de cuellos el factor de concentración de fatiga de-
V ■
■
pende principalmente del valor ^ y poco de la forma general del cuello.
La curva de trazos (7) se deduce de las curvas de la figura 210 y representa los factores de
concentración de fatiga en
los acuerdos de una placa solicitada a flexión pura para ~ — 2.
(h
Se ve que ei factor de concentración de fatiga es algo menor en el caso de acuerdos que en el de
ranuras (curvas 4 y 6) para ei
mismo valor
a
Los laboratorios de investigación de la Westinghouse han realizado 1 multitud de experiencias
para determinar experimentalmente el valor del factor de concentración de fatiga en
1 K. E. Peterson y A. M. YVahi, ya citado, (pág. 343). acuerdos para — 1,5. Los valores de estos factores obtenidos
midiendo directamente la deformación en los acuerdos se dan por puntos en la figura 213. En la
348 RESISTENCIA DE MATERIALES
misma figura se dan, mediante las curvas 1 y 2 167, los resultados obtenidos por métodos foto-
elásticos sobre modelos de poco espesor para ^ = 2 y ~ — 1,5.
De estos experimentos se deduce que el factor de concentración de fatiga para ejes circulares está
de acuerdo con los valores que se obtienen por fotoelasticidad.
63. Investigación de la concentración de fatiga con mode los.—Ya se ha
dicho que la solución teórica completa en un problema de distribución de fatiga por discontinuidad
de la sección se conoce solamente en pocos y sencillos casos, tales como orificios cilindricos o
elípticos y cuellos hiperbólicos. En la mayoría de los casos los datos que se poseen referentes a la
concentración de fatiga se han obtenido experimentalmente. Para ello se mide, a veces, la
deformación en la sección de discontinuidad mediante extensómetros ultrasensibles 168. La
dificultad reside en el carácter altamente local de la distribución de fatiga en el sitio en cuestión. Es
necesario una gran amplificación para obtener resultados satisfactorios 169.
Puede obtenerse una estimación grosera del factor de concentración de tensión cargando las
probetas o modelos de estructuras con cargas crecientes, hasta provocar la fluencia en los puntos
de fatiga máxima. Esta fluencia puede observarse claramente en probetas de acero dulce, con la
superficie bien pulimentada. La figura 214 es una fotografía de las líneas de fluencia en una pletina
de acero dulce. Estas líneas de fluencia (líneas de Lueder) (véase pág. 417) aparecen primeramente
en
los sitios donde acontece la fatiga máxima. La distribución de estas líneas da una valiosa
información con referencia a las fatigas en los sitios de discontinuidad de la sección b
La figura 215 muestra las líneas de Lueder en el acuerdo para un modelo de acero dulce (fig. 190),
de dimensiones
167 Estas curvas se han construido con los datos de la figura 210.
* Véanse E. Preuss, V. D. I., vol. 56, pág. 1349, 1912, y vol. 57, página 664, 1913, y Forschungsarbeiten, núm. 134, 1913. Véanse también Th. Wyss, Proc. Intern. Gongress por Applied Mechanics, pág. 354, 1924, y su Dissertation, Zurich, 1923; F. Rótscher y J. Crumbiegel, V. D. I., vol. 76, pág. 508, 1932.
169 En diversos casos se han utilizado modelos de goma para aumentar las deformaciones en la sección de discontinuidad; véanse las publicaciones de A. Stodola, F. D. I., vol. 51, pág. 1272, 1907; Hum- mel, Schweizerische Bauzeitung, pág. 143, 1924; L. Chitty y A. J. S. Pip- pard, Proc. Roy. Soc., vol. 156, pág. 518, 1936.
CONCENTRACIÓN- DE FATIGAS 349
r D \ -g s= 0,157 y — 2,5. La línea arranca del punto del acuerdo
para el que el experimento fotoelástico indicaba la concentración máxima de fatiga. El factor de
concentración de fatiga dado por la curva de la figura 190 es 1,85. De acuerdo con esto, la fluen-
cia debe comenzar en la parte más débil, cuando la fatiga media de extensión en la parte- más
estrecha del modelo es solamente
—de la necesaria para producir líneas de Lueder en una l,oO
barra prismática (fig. 214) del mismo material. Experimental
FIG. 214 Fio. 215
CONOENTRACIÓN T)E FATIGAS 350
mente se vi6 que lá carga necesaria para producir fluencia en el
acuerdo fué de la correspondiente a la pieza prismática.
La figura 216 representa las líneas de Lueder en el borde de un orificio circular practicado en una
plancha de acero dulce. De nuevo se presentan las líneas aproximadamente en los puntos de
concentración máxima de fatiga. La fatiga media en las sec-
ciones extremas de la placa, cuando se presentó la fluencia, fué
de la necesaria para producir fluencia en una plancha de
sección constante.
En ambos casos, la fluencia en el lugar de fatiga máxima acontece para una fatiga media mayor
que la indicada por los verdaderos factores de concentración de fatiga. Este fenómeno se explica
por el hecho de que la pequeña región donde la fatiga es máxima está rodeada por otras donde las
fatigas no sobrepasan el límite de proporcionalidad. De este modo se evita el deslizamiento
indicado en la figura 214, a lo largo de superficies perpendiculares al plano de la figura e inclinadas
45° respecto a la dirección de la tensión. En los casos de las figuras 215 y 216, las líneas de Lueder
aparecen en las superficies pulidas de las placas en dirección perpendicular a la fatiga máxima
extensora, lo que indica que el deslizamiento acontece a lo largo de planos que pasan por esas
líneas y forman 45° con el plano de las placas. En estos casos, el espesor de la placa es un factor
muy importante. Este espesor debe ser muy pequeño comparado con el radio de los orificios o
acuerdos para obtener líneas bien marcadas. Como la superficie de deslizamiento que comienza en
los puntos de fatiga máxima debe propagarse a través de una región menos solicitada, se explica1
el retardo con que aparecen las líneas de Lueder. En el caso anterior del orificio circular,'el ancho de
la placa fué 15 cm. y el diámetro del orificio 2,5 cm., mientras que el espesor de la placa fué 3 mm.
FIG. 216
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 351
solamente. Cuando se ensayan modelos en los que el espesor y el diámetro del orificio, son del
mismo orden, es imposible acusar ninguna variación substancial, debida a la concentración de
fatiga, sobre el valor de la carga que produce las líneas de Lueder. Otra razón justificativa del
retraso con que aparecen las líneas de Lúe- der es el hecho de tener que producirse una cierta
cantidad de deformación permanente antes de que dichas líneas resulten visibles.
El método de las líneas Lueder para investigar los puntos débiles de las estructuras no está
ligado a ningún tipo particular de problema y presenta la ventaja sobre el método fotoelástico,
descrito en el artículo siguiente, de ser aplicable a problemas de tres dimensiones. Para hacer
visible la fluencia del material en el caso de ser rugosa la superficie, se recubre ésta con una
pintura quebradiza. Este método se ha usado para investigar fatigas en cabezas de calderas 2 y en
piezas comprimidas de sección compuesta 3.
352 RESISTENCIA DE MATERIALES
Cortando las probetas y tratando químicamente, por un procedimiento especial, las superficies
nuevas, es posible determinar las regiones interiores de la probeta en las que se había presentado
la fluencia a causa de la concentración de fatiga170.
64. Método fotoelástico para la medida de fatigas.—Existen muchos
problemas de distribución de fatigas en los que la deformación es esencialmente paralela a un
plano. Estos problemas se denominan problemas de dos dimensiones y son, por ejemplo: la
flexión de vigas de sección rectangular estrecha; la flexión de jácenas, arcos, dientes de
engranajes y, en general, placas de cualquier forma y espesor constante solicitados por fuerzas o
pares en el plano de la placa. Estas formas pueden ser tales que hagan muy difícil el estudio
analítico del problema, y para estos casos el método fotoelástico ha dado resultados muy aprecia
bles. Para ello se utilizan modelos semejantes a la placa constituidos de material transparente tal
como vidrio, celuloide o bakelita. Estos materiales,
sometidos a una solicitación externa, presentan el bien
conocido fenómeno de la doble refracción, y cuando un
rayo de luz polarizada pasa a través de un modelo de esta
naturaleza sometido a fatiga, se obtiene una imagen
coloreada, de la que puede deducirse 1a distribución de
fatigas .171
En la figura 217, abcd representa una placa
transparente de espesor uniforme y O el punto de
intersección con la placa de un
170 Véase la publicación de A. Fry, Kruppsche Monashefte, 1921, y también
Stahl u. Eisen, 1921. 171 El fenómeno de la doble refracción, debido a la solicitación, fué
descubierto por D. Brewster, Phil. Trans. Roy. Soc., 1816. Después fué estudiado por F. E. Neumann, Berlín Abh., 1841, y por J. C. Maxwell, Edinburgh Roy. Soc. Trans., vol. 20, 1853, y sus Scientific Papers, vol. 1, pág. 30. La aplicación de este fenómeno a los problemas de ingeniería comenzó con C. Wilson, Phil. Mag., serie 5, vol. 32, 1891, y ha sido desarrollado más tarde por A. Mesnager, Annales des Ponts et Ohaussées, 1901 y 1913, y E. G. Coker, General Electric Co. Magazine,
"1920, y Journal of Franfclin Institute, 1925. Un estudio más completo del método fotoelástico puede verse en la publicación de Henry Favre, Schweizerische Bauzeitung, vol. 20, pág. 291, 1927; véase también su disertación Sur une nouvelle méthode optique de determination des ten- sions intérieures, París, 1929. El uso de luz monocromática ha sido introducido por E. Tuzi, Inst. Phys. und Chem. Research, vol. 8, página 247, 1928.
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 353
rayo de luz polarizada perpendicular a ia placa. OA representa el plano de vibración de la luz y la
longitud OA — a la amplitud de esta vibración. Si consideramos una vibración armónica simple
podrá representarse por la expresión
s — a eos pt, (a)
donde p es proporcional a la frecuencia de la vibración que depende del color de la luz.
Supongamos que en los bordes de la placa se aplican las fatigas de diferente magnitud ax y
ay. Debido a la diferencia de las fatigas, las propiedades ópticas de la placa son diferentes en las
dos direcciones perpendiculares. Sean vx y vy las velocidades de la luz en los planos ox y oy,
respectivamente. Descomponiendo la vibración simple en el plano OA, en dos componentes de
amplitudes O B — a eos ay Oü — a sen a en los planos ox y oy, respectivamente, sus
ecuaciones serán
x = a cos a cos pt; y = a sen a eos pt. (b)
Siendo Ti el espesor de la placa, los tiempos necesarios para que las vibraciones
componentes atraviesen la placa son
h ' h
* i= - y <a = -» - > ) % Vv *
y las vibraciones (b) después de atravesar la placa vendrán dadas por las ecuaciones
xx — a cos a cos p(t— t x ) ; yx = a sen a cos p(t — t 2 ) . (d)
Estas componentes tienen una diferencia de fase p(t2 — tx), debido a la diferencia de
velocidades. Experimentalmente se ha visto que la diferencia de velocidades de la luz es
proporcional a la diferencia de fatigas; por consiguiente,
h li h{vx — vb)_h{vx — vy) _ 1t_ ,-v L — L= ---------------------------------- — » ----------------------- r—= *(<V— av) (e)
¿ A * 41 31 . . 3 1
% vx v<¿v.u
donde v es la velocidad de la luz cuando las fatigas son nulas, y k un factor numérico que depende
de las propiedades físicas del material de la placa. Se ve que puede medirse la diferencia entre las
dos fatigas principales encontrando la diferencia de fase de las dos vibraciones. Para ello se coloca
un prisma de Nicol (analizador) detrás de la placa, de modo que permita el paso de las vi braciones
solamente en el plano mn perpendicular al plano O A. Los componentes (d) de la vibración, al
pasar a través del a
prisma, tienen por amplitudes OBx = OB sen a — - sen 2 a y
a OG, = OG eos a = - sen 2 a. La vibración resultante en el pía-
no mn sera
ct¿ ct - sen 2a eos p(t — sen 2a eos p(t— t2) 2 2
a sen 2 a sen p ——-] sen plt — ——1 . (/)
354 RESISTENCIA DE MATERIALES
Vibración armónica simple de amplitud proporcional a
f t sen p — - — E s decir, la intensidad de la luz es una función de
li
la diferencia de fase p{tx -— í2). Si las fatigas ctx y ay son iguales, t% y t2 también lo serán; la
amplitud de la vibración resultante (/) es nula y tenemos oscuridad. Habrá oscuridad también siem-
pre que la diferencia de fatigas sea tal que
= 'nn, (g)
donde n es un número entero. La intensidad máxima de luz se obtiene cuando la diferencia de las
fatigas es tal que
t, -—I., sen p— = 4 - 1 .
2
Supongamos que en lugar del elemento abed (fig. 2 i 7) se tenga una tira de material
transparente sometida a extensión. Aumentando gradualmente la fatiga extensora, se obtiene sobre
la pantalla una imagen oscura de la tira cada vez que la ecuación (g) queda satisfecha. De este
modo se puede establecer experimentalmente para un material dado y un cierto espesor la fatiga
correspondiente a un intervalo entre dos imágenes oscuras del modelo. Por ejemplo, para una placa
de «Fenolita» de 1 mm. de espesor, esta fatiga resultó 172 113,4 kg./cm.173. Por consiguiente, para
una placa de 1 cm. de espesor la fatiga correspondiente será 113,4 : 10 = 11,34 kg./cm.2. Con este
dato se puede determinar la fatiga en una tira a extensión contando el número de veces que la tira
ha dado imagen oscura durante su carga gradual. Si se ensaya una placa a flexión pura, se obtiene
una imagen como la de la figura 218. Las franjas oscuras paralelas indican que en el trozo de placa
situado a considerable distancia de los puntos de aplicación de las cargas la distribución de fatiga
es igual en todas las secciones rectas. Contando el número de franjas se puede determinar el valor
de las fatigas atribuyendo a la diferencia de fatigas entre dos franjas el valor de la diferencia de
fatigas entre dos imágenes oscuras en exten-
sión simple. Observando la imagen de la placa al aplicar gradualmente ia carga, se ve cómo el
número de franjas negras crece al aumentar la carga. Las nuevas franjas aparecen siempre por los
bordes superior e inferior de la placa y se mueven gradualmente hacia el plano neutro, apretándose
172 Z. Tuzi, Sci. Papera. Inst. Phys. Chem. Research, vol. 12, página 247,
Tokio, 1929. RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 23
Fig. 218
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 355
todas las franjas cada Vez más. La fatiga en cualquier punto puede obtenerse contando el número
de franjas que han pasado por este punto.
Este método (es decir, contar el número de franjas oscuras que pasa por un determinado
punto) puede emplearse también en cualquier distribución plana de fatigas. Este número, tal como
hemos visto anteriormente, da la diferencia entre las dos fatigas principales en el punto. Para
determinar por completo las fatigas en cada punto, es preciso además encontrar las direcciones de
las fatigas principales y su suma. La ecuación (/) muestra que la intensidad de la luz que atraviesa
el analizador es proporcional a sen 2a, siendo a el ángulo que forma el plano de polarización y el
plano de una de las fatigas principales (figura 217). Si estos dos planos coinciden, sen 2a es nulo y
se obtiene un punto oscuro en la pantalla. Por consiguiente, exami
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 356
nado un modelo transparente solicitado a la luz polarizada, se observarán, además de las
franjas obscuras a que antes nos hemos referido, líneas negras que unen puntos para los que la
dirección de una de las fatigas principales coincide con el plano de polarización. Girando los
nicoles, polarizador y analizador, y trazando en la imagen las, líneas negras obtenidas para diver-
sas posiciones del plano de polarización, se obtiene la familia de curvas denominadas líneas
isoclinas que unen puntos en los que las fatigas principales tienen la misma dirección. Conocidas
estas líneas, se pueden trazar las familias de curvas que en cada punto son tangentes a las
direcciones de las fatigas principales. Estas otras curvas se denominan trayectorias de las fatigas
principales (véase pág. 116, Primera parte). Vemos, pues, que las direcciones de las fatigas
principales en cada punto de la placa pueden obtenerse experimentalmente.
La suma de las fatigas principales puede obtenerse también
experimentalmente, midiendo la variación Ah en el espesor h de la placa, debido a las fatigas ax y
au 174 y empleando la conocida relación = ^ K + (h
Mi
Conociendo la diferencia entre las dos fatigas principales por el ensayo fotoelástico y su suma
174 Este método ha sido ideado por A. Mesnager, ya citado, pág. 351. El
éxtensómetro necesario fué desarrollado y usado por A. M. Wahl; véase la publicación de R. E. Peterson y A. M. Wahl, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 1, 1935.
FIG. 219
OO'N'OÜKTRACIÓN" DB FATIGAS 357
por la expresión (h), puede fácilmente calcularse el valor de dichas fatigas principales. Las franjas
obtenidas en una placa con acuerdos sometida a flexión pura se ven en la figura 219. Como estas
franjas se aprietan en los acuerdos, se deduce que en estos puntos se presenta una concentración
de fatiga.
En todo lo expuesto acerca del método fotoelástico para el estudio de la distribución de
fatigas se harsupuesto que se trataba de problemas de dos dimensiones. En la actualidad se Reali-
zan con éxito estudios conducentes a su empleo en casos de tres dimensiones175.
65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga.—Al estudiar una cuña
simétrica sometida a extensión (véase pág. 317), se indicó que el estado elástico en este punto
consistía en una extensión simple de dirección radial. Si hacemos el ángulo 2a de la cuña igual a TU
y cambiamos la extensión por compresión, se obtiene el caso de una carga concentrada
presionando normalmente sobre el borde de una placa infinita (fig. 220). Un elemento tal como el
representado en el punto A experimenta una compresión simple de dirección radial y la fatiga
compresora, por la ecuación (a) (pág. 317), es , P eos 0 ■
a — k ------------------------------------------------------------------ (a) hr
donde r es la distancia radial al punto de aplicación de la carga y h al espesor de la placa. El factor
k se determina por la condi-
175 Véase la publicación de M. Hetényi, Journal of Appl. Mech., vol. 5, pág.
149, 1938. Véase también R, Weller, Journal Applied Phys., vol. 10, pág. 266, 1939.
358 RESISTENCIA DE MATERIALES
ciór rlo que las fatigas ar distribuidas sobre la semicircunferencia de la figura equilibren a la carga
P. Por consiguiente, 7t
2h ¡ ct. cos 0rd0 — P. Jo
Poniendo, en vez de ar su valor (a), tenemos
i2. TZ
y la expresión (a) será
2 P cos 0 <T, — - -- - b¡r
Si se considera un plano horizontal mn situado a distancia d
(283)
hr TZ TZ
del borde de la placa (fig. 220), la componente normal de la compresión que obra sobre este
plano es 2P eos3 0 2P eos4 0 .
(284) <rr eos2 0 hd
Se ve que la presión disminuye rápidamente a medida que aumenta el ángulo 0. También
puede observarse que dicha presión aumenta al disminuir la distancia d. Conocidas las fatigas
que produce la acción de una carga concentrada P y mediante el método de superposición,
puede discutirse fácilmente el caso de que actúen varias cargas 1. .
Si en el centro de una viga rectangular, de sección recta, estrecha, de altura d, actúa una
carga concentrada, las fatigas de
Véase Theory of Elaaticity, pág. 82.
OO'N'OÜKTRACIÓN" DB FATIGAS 359
flexión se superponen a las fatigas dadas por la expresión (283), y por ello se complica la
distribución de fatiga resultante en las proximidades del punto de aplicación de la carga. La
imagen fotoelástica de esta distribución de fatigas se ve en la figura 221. Se observa que la
perturbación producida en la distribución de fatiga tiene un marcado carácter local.
Si se considera una sección de la viga alejada de la carga (por ejemplo, a la mitad de la
altura de la viga), la distribución de fatigas en esta sección es aproximadamente la que da la
fórmula para la flexión de vigas. El número de franjas disminuye al aumentar la distancia a la
carga de la sección que se considera,
puesto que el momento flector disminuye a medida que nos acercamos a los apoyos de la
viga.
Hallando la resultante de las componentes horizontales de las presiones radiales
harrd% para cada mitad de la circunferencia de la figura 220(a), se ve que la fuerza concentrada P produce una acción de empuje representada en la figura 220 (6), de
P valor—. En el caso de una viga de altura d y espesor h (fig. 221),
^ til estas fuerzas actúan a la distancia - del eje de la viga y producen
A
en la sección recta central no solamente las fatigas de extensión
= <6> Tídh
sino también fatigas flectoras dadas por la expresión
< = - ? ? • M 2tc L,
Pd
donde — es el momento flector producido por las fuerzas ho- p rizontales -, y es la distancia al eje de la viga tomada positiva
FIG. 221
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 360
hdz hacia abajo e 1, = es el momento de inercia de la sección.
12
Superponiendo las fatigas (b) y (c) a las ordinarias de flexión, se encuentra para la fatiga en la
fibra más alejada de la sección central de la viga el valor Pl 6 . P 3P _ Pl Tzdh 4 hd176 ( 2>TÚ\ hd2 tc dh
El segundo término del paréntesis representa la acción del
«empuje» de la carga P. Se ve que en el caso de vigas cortas esta acción tiene un valor
considerable. Los ensayos fotoelás- ticos están de completo acuerdo con la expresión (d)x.
El estudio realizado de la distribución de fatigas en el punto de aplicación de una carga
concentrada puede aplicarse también si, en vez de una placa (fig. 220), se trata de un cuerpo
con una cara plana solicitado por una carga concentrada 2.
66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos.-—Si dos cuerpos elásticos
(por ejemplo, dos bolas) se comprimen, se forma una pequeña
superficie de contacto como resultado de la deformación. Las
presiones distribuidas sobre esta superficie se denominan
presiones de contacto. Su valor y las fatigas producidas en los
cuerpos pueden calcularse mediante las ecuaciones de la teoría de
la elasticidad 177.
Aquí daremos únicamente los resultados finales de dicho estudio.
En el caso de
dos bolas comprimidas por las fuerzas P (figura 222), las
presiones se distribuyen sobre un pequeño círculo de contacto mn, cuyo radio viene dado por
la ecuación
176 Este problema fué estudiado por J. Boussinesq;
véase su libro Application des Potentiels, París, 1885. Véase también Theory of Elas- ticity, pág. 328, 1934. -
177 Este problema fué resuelto por H. Herz, Gesammelte Werke, volumen 1, 1895. El estudio de este problema y su bibliografía puede verse en Theory of Elaslicity, pág. 339.
(d) i =
CONCENTRACIÓN DE EATICAS 361
a — 0,
(285)
362 RESISTENCIA DE MATERIALES
En ella, E1 y E2 son los módulos de las dos bolas, y dl y d2 los diámetros
correspondientes. La presión máxima acontece en el centro del círculo de contacto y viene
dada por la ecuación
jPmáx — -• (286)
na2
Debido a la deformación local, los centros de las bolas se acercan en
> ' ' 7 7 í : / " ( , 1 , • , ' / ü ; i)- <287)
Cuando los diámetros de las bolas y los módulos de elasticidad son iguales, las
ecuaciones anteriores son
\[Pd -\lAPE2 iVÜP* “ = 0'88 y p»“* = 0'62l/ -¿i-; X=1'84y|íd- <288>
Cuando una bola de diámetro d se comprime contra un cuerpo elástico que tiene una
superficie plana, las fórmulas a aplicarse obtienen haciendo dx = d, d2 — oc, en las
ecuaciones (285) a (287). Suponiendo — E2 = E, se tendrá
nfpd / PE2 -l/T2 a ~ 0,88 |/ pmáx = 0,62 [/ — X = i,54 y —• (289)
En el caso de una bola sobre garganta esférica (fig. 223), debe cambiarse el signo de d2 en
las ecuaciones (285)-(287).
Para EX~E2 = E, serán
(L-idn Q t\ W W I / 1 ¿
Es interesante notar que en los casos correspondientes a las ecuaciones (288) y (289) la
fatiga máxima de compresión en el centro de la superficie de contacto depende del valor de la
rela- P ción por tanto, la fatiga máxima permanece constante si
dicha relación no varía. Esto justifica el procedimiento práctico de dimensional una bola fijando
un valor de carga por centi
°-88VL; (290)
CONCENTRACIÓN DE EATICAS 363
metro cuadrado para la sección diametral de la misma. Como el material en el centro de la
superficie de contacto tiene impedida su expansión lateral y está comprimido por todos los
lados, puede experimentar presiones muy altas (véase artículo 83). Experimentalmente 178, se
ha visto que la fuerza compresora P, admisible para el caso de comprimir una bola contra un
plano, siendo el material acero duró al crisol, puede expresarse por la ecuación
Pm&x = 55d179,
donde d se mide en centímetros y P en kilogramos. Sustituyendo en la segunda de las
ecuaciones (289), se encuentra pmáx igual, aproximadamente, a 37.500 kg./cm.180.
En el caso general de comprimir dos cuerpos del mismo módulo E, sean - y 4, las
curvaturas principales de uno de los ri ri II
cuerpos en el punto de contacto y — y — las del otro 2. La su- r 2 r 2
perficie de contacto es una elipse cuyos semiejes vienen dados por las expresiones
iVPin , . i8/ Pm :
= “ y 6 = 13 F ir (291)
siendo P ía fuerza compresora y
4 4 E m = ------------------------------------ —; n— ----------------------- — •
1 + 1+1 + I 3(1 ~+2)
Las constantes oc y (3 se deducen de la tabla XXIV para cada caso particular. El ángulo 6
que figura en la primera columna de la tabla se calcula por la ecuación
eos 0 = —, (a) A
178 Véanse Stribeck, F. F. /., pág. 73, 1901; Schwinning, F. D. /., pág. 332,
1901, y A. Bauschiicher, F. D. I., pág. 1185, 1908. 179 Las curvaturas principales son la máxima y mínima y corres
ponden a planos en ángulo recto. La curvatura de un cuerpo se consi
a
364 RESISTENCIA DE MATERIALES
181 Resultados de ensayos con rodillos de acero pueden
verse en las publicaciones de W. M. Wilson, Univ. of Illinois, Engr. Exp. Sta. Bull., 162, 1927; 191, 1929; 263, 1934. Véase también V. P. Jensen, lowa Engr. Exp. Sta., Bull. 138, 1937. Las fatigas alternas en rodillos se analizarán en el artículo 80.
donde
A~-• 5 = ^]/(Í-~)2+ (I-I) + 2(i—i) (--4) eos 2? (b) m 2 V \r2 rj \r2 rj Vj rj \r2 rj T v
9 es el ángulo que forman los planos que contienen las curva
turas — y ^
TABLA XXIV CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LOS SEMIEJES DE LA ELIPSE
DE CONTACTO
0 grados
a P 0
grados
a 3
20 3,778 0,408 60 1,486 0,717
30 2,731 0,493 65 1,378 0,759 35' 2,397 0,530 70 1,284
0,802
40 2,136 0,567 75 1,202 0,846
45 1,926 0,604 80 1,128 0,893
50 1,754 0,641 85 1,061 0,944
55 1,611 0,678 90 1,000 1,000
El valor de la presión máxima en el centro de la superficie
de contacto es Pmáx = -• (292)
7c ab
En el caso de compresión de rodillos (fig. 224), el área de
contacto es un rectángulo estrecho cuya an-
chura b viene dada por la ecuación 181 b
!P' d,xd2 (1 i). (*> 2,15 +
2 dl -j- d2 \EX É2
donde P' es la fuerza compresora por unidad de longitud del
rodillo. La presión máxima acontece en el centro del rectán
gulo de contacto y vale
Prnáx “ 5,59 , d x -j- d 2 1
2 P (294) -L + i-
Et ^ E2
CONCENTRACIÓN DE EATICAS 365
Veuse A. Foppl, Technische Mechanilc, vol. 5, pág. 351, 1907.
366 RESISTENCIA DE MATERIALES
Se ve que la fatiga máxima permanece constante si P' varía en la misma proporción que
d. Por ello, en la práctica se dimen- siona el rodillo a base del área de su sección diametral. La
fuerza compresora de seguridad P' por unidad de longitud, en el caso comente de rodillos de
acero para puentes, se obtiene por la ecuación P' — 55d.
d se mide en centímetros y P' en kg./cm. Sustituyendo en la ecuación (296), se ve que la
presión máxima es alrededor de 6.100 kg./cm.2 L Problemas
En el caso particular de que los módulos de ambos rodillos sean iguales ___
E (d1 + d2)
En el caso de un rodillo sobre un plano, tomaremos igual a infinito uno de los diámetros y las
ecuaciones (293) y (294) serán
Pmáx 0,59 P'd^ dfj -f- d2
d \(^¿ P'E 6 = 2,15 (295)
¡P'E
d ‘
IP’d.
E ’ 6 = 2,15 0,59 (296) Pmkn
de contacto G,
1 2/5
JL^ 10
1,875 4 X 2 X 10®
~ 3 X 0 , 9 1 ;
= 0,567; 2B = 0,3. 7.057
1. Determinar la presión máxima en la superficie para el
rodamiento de bolas de la figura 225. El diámetro de las bolas
es d = 37,5 mm.; el radio de las gargantas, 25 mm.; el
diámetro de la rodadura exterior, 20 cm., y la fuerza
compresora en una bola,
P = 2,500 kg.
Solución: Con la notación de la página 361, 37 5
r1 — r'x = — 18,75 mm.; r2 = — 25 mm.; O
Gr2 = — 100 mm.
4 = 7,057;
1,875
2 A =
+
m
n
CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 367
Sustituyendo en la ecuación (a) (pág. 361),
eos9 = °>529; 6 = 58°
U,0o7
Por la tabla XXIV, y mediante interpolación, a = 1,536, ¡3 =0,701.
Los semiejes de la elipse de contacto —ecuación (291)— son
a = 1,536 ^ , r c ; ; ^ - == 0,283 cm.
,, A mi 1/2500 x 7,057 X 3 x 0,91 10ft
6 °’701 V —rx2inó¡—“ = °’129 cin* Mediante ia ecuación (292) se obtiene
2p¡00 Puifo = 1,5—^- = 32.600 kg./cm.2.
Esta fatiga tan elevada puede resistirla el acero duro, debido a que en el
centro de la elipse de contacto el material está comprimido no sólo en
dirección de la fuerza P, sino también en todas las direcciones laterales.
2. Determinar la superficie de contacto y la presión máxima entre dos
cilindros circulares cuyos ejes son perpendiculares entre sí. Este problema
se presenta, por ejemplo, al estudiar las presiones de contacto dé una rueda
de llanta cilindrica con un carril b
Solución: Sean rx y rt los radios de los cilindros. Con la notación de la
página 361,
1 o 182 n * 4 4 E jj-0; p - D ;
~ “T
. 1/1 , 1\ ■ 1 / 1 , 1 2~ 1/1 1\ 2Vri r2)’ 2 \ r\ r\ rxr2
2 rxra)* '
El signo debe escogerse de modo que B sea positiva. Por la ecuación (a), 1 _ _ 1
eos 0 = ± — ---- —• I+A rx r2
182 Este problema va tomando cada vez más importancia por el aumento
que la carga por eje experimenta en las locomotoras modernas. Su estudio puede verse en la publicación de H. Fromm, F. D. I,, vol. 73, pág. 957, 1929.
'2500 X 7,057 X 3 X 0,91 4 x 2 x 106
368 RESISTENCIA DE MATERIALES
Conocido 0 , los semiejes de la elipse de contacto se calculan por las
ecuaciones (291), y la presión máxima por ia (292).
En el caso particular de dos cilindros de igual radio, cos 0 = 0, y por la
tabla de la página 362 se deduce que la superficie de contacto tiene un
perímetro circular.
3. Hallar la presión máxima entre una rueda con llanta cilindrica, de
radio rx = 40 cm., y un carril con una cabeza de radio ra = 30 centímetros, si
P = 500 kg. y el módulo de Poisson ¡a ,= 0,25,
67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de
Hoocke.—-Los ensayos realizados con vigas cuyo material no sigue la ley de Hoocke han
mostrado que durante la flexión pura las secciones rectas de la viga permanecen planas, origi-
nándose, por tanto, alargamientos o contracciones en las fibras
longitudinales proporcionales a sus distancias a la superficie neutra. Suponiendo que entre la
deformación y fatiga existe, durante la flexión, la misma relación que en los casos de extensión
y compresión simple, es fácil calcular las fatigas producidas en una viga por un momento
flector de valor dado x. Comenzaremos por una viga de sección rectangular (fig. 226) y supon-
1 Esta teoría ha sido desarrollada por Saint Venant en sus notas sobre el libro de Navier Résumé des lecons..., 3.a edición, pág. 173, 1864. Véanse también la publicación de Eugen Mayer, Physik. Zeitschr 1907, y Dissertation, por H. Herbert, Góttingen, 1909.
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 367
dremos que el radio de curvatura de la superficie neutra producido por los momentos M es
igual a r. En este caso, el alargamiento unitario en una fibra a distancia y de la superficie
neutra es
y (a)
r
Representando por h1 y h2 las distancias desde las caras inferior y superior de la viga al eje neutro* los alargamientos en
las fibras más alejadas serán
htn ... *1=7» £2 = — 7* (¿)
Se ve que el alargamiento o contracción de cualquier fibra se obtiene fácilmente con tal de que
se conozca la posición de la
línea neutra; es decir, la relación ~ y el radio de curvatura r. - * 2
Estos dos valores pueden deducirse de las ecuaciones de la estática:
- I <sdA = b Icdy — 0, (c)
JA J—h 2
f oydA■— b f aydy — M. (d) JA J—a2
La primera de estas ecuaciones establece que 1a, suma de las fuerzas normales ligadas a
la sección recta de la viga es nula, ya que dichas fuerzas equivalen a un par. La segunda indica
que el momento de las mismas fuerzas respecto al eje neutro es igual al momento flector M.
Mediante la ecuación (a), tenemos
y — rz, dy = rdz. (e)
Sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene
adz — 0. {/)
Para determinar la posición del eje neutro, para la que adz es nula,
se emplea la curva AOB de la figura 227, que representa el diagrama de ensayo a tracción-
compresión del
/a. rsi Qdy = r /
“ ^ 2 mJ£ 2
368 RESISTENCIA DE MATERIALES
material de la viga. Sea A la suma de los valores absolutos del máximo alargamiento y de la
contracción máxima, tendremos
r (S) r r
Para resolver la ecuación (/), se marca una longitud A sobre el eje horizontal de la figura 227, de
modo que sean iguales las
áreas rayadas de la figura. Se obtienen así las deformaciones e, y s, en las fibras más alejadas,
y las ecuaciones (ó) dan
^1—^1 Ji2 s2
Con lo que se
determina la posición de la línea neutra. Teniendo en cuenta que los
alargamientos s son proporcionales a las distancias desde el eje neutro, se
deduce que la curva AOB representa también la Fig. 227distribución de fatigas
flectoras a
lo largo de la altura de la viga, si sustituimos A por
h. Para el cálculo del radio; r se usa la ecuación (d). Sustituyendo y y dy por sus
expresiones (e), la ecuación (d) tomará la forma
br* fS'asds = M.
Js,
h Por la ecuación (g), r = y por ello la ecuación (i) puede
escribirse del modo siguiente:
bh* i'i2 rs» , , r — . _ . _ I azdz — M. 12 r A3 Js¡¡
Comparando este resultado con la conocida ecuación
P ... M
correspondiente a la flexión de vigas cuyo material sigue la ley de Hooke, se deduce que,
pasado ei límite de proporcionalidad
€ {h)
/
(*)
(?)
(*>
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 369
J !a curvatura producida por un momento M puede calcularse
por la ecuación ■ El
= (297)
donde Er es el módulo reducido definido por la expresión
1 2 /*6' Er — / azdz. (298)
^3J s,
La integral de esta expresión representa el momento con relación ai eje vertical que pasa por el
origen O del área rayada en
la figura 227. Como las ordenadas de la curva representan fatigas y las abscisas deformaciones
unitarias, la integral, y también Er, tienen como dimensiones kg./cm.2; es decir, las mismas que
el módulo E. El valor de Er para un material dado (es decir, para una curva dada) es una
función de A o de -. Tomando
r
valores diversos de A y empleando la figura 227 del modo explicado, se determina para cada
valor de A los alargamientos máximos s-,^ y s2, y por ia expresión (298), el valor correspon-
diente de Er. De esta forma se obtiene una curva que representa Er como función de A — En la
figura 228 se ve dicha
curva para un acero de módulo E — 2 X 106 kg./cm.2 y límite de proporcionalidad 2.000
kg./cm.2. En este caso, para A < 0,002, RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n 24
370 RESISTENCIA DE MATERIALES
ET permanece constante e igual a E. Con dicha curva, el momento correspondiente a una
curvatura dada se calcula fácilmente por la ecuación (297) y puede dibujarse la curva de la
figura 229, que da el momento M como una función de A. Para valores pequeños de A el
material sigue la ley de Hooke y la curvatura es proporcional al momento flector M,
obteniéndose la línea recta OC. Pasado el límite de proporcionalidad, el gradiente del cambio
de curvatura aumenta continuamente a medida que aumenta el momento. Si en lugar de un
rectángulo se
trata de otra forma simétrica de sección, el
ancho b de la sección es variable, y las
ecuaciones (c) y ( d ) deben escribirse en ia forma siguiente:
Sea, por ejemplo, una sección en T (fig. 230). Representando por s' la deformación lineal
en la unión del alma y del ala, las ecuaciones (l) y (m) pueden escribirse en la forma siguiente:
Se ve que en este caso deben ampliarse las ordenadas de la curva de ensayo a extensión en la
parte correspondiente al ala
¡ I
I h
~r c
h. 1
----- 6, ----- -
FIG. 23O
riG. 229
il)
baydy
bazdz = M. (m)
chi re I bady = r I badz = 0,
•/ S2
•f Je,
1:
f
(/;
cdz “j~
azdz +
(n)
br2 (o) T czdz ! = M. z' b I
adz == 0, b
£l K
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 371
en la relación -L Para determinar la posición del eje neutro se o
procede cómo en el caso anterior. Se usa el diagrama de ensayo a tracción-compresión (fig.
231) y se marca sobre el eje horizon-
h
tal una posición de la longitud supuesta A = - tal que las dos
áreas rayadas sean numéricamente iguales. De este modo se obtienen las deformaciones s, y
e2 en las fibras más alejadas. La deformación unitaria V, en la unión del alma y el ala, viene
dada por la expresión S ' C
”~Á~' h
donde c es el canto del ala (fig. 230). Habiendo determinado, mediante los tanteos necesarios,
la posición de la línea neutra, y observando que la expresión entre paréntesis de la ecuación
(o) representa el momento de las áreas rayadas en la
figura 231, respecto ál eje vertical que pasa por O, se
puede calcular fácilmente mediante la ecuación (o), el
momento M correspondiente al
valor supuesto de A = ^ . De este
modo puede trazarse una curva semejante a la de la
figura 229 para una viga en T. Si la sección fuese una
doble T, se trataría el caso de modo análogo.
En los anteriores ejemplos se ha fig. 231
usado el diagrama del ensayo a tracción-compresión
AOB para determinar la posición de la línea neutra y el
valor del radio de curvatura r. Si se conociese la
expresión analítica de la curva AOB, dichas cantidades
podrían obtenerse mediante el cálculo sin necesidad del
método gráfico expuesto en las figuras.227 y 231. Saint Venant183 usó este procedimiento,
viendo que en la flexión más allá del límite
183 Ya citado, pág. 366.
372 RESISTENCIA DE MATERIALES
v _ E%V\
de proporcionalidad la distribución de fatigas extensoras v compresoras a lo largo de la altura
de la viga puede representarse por las ecuaciones siguientes:
donde ?r0 y cj¿, asi como a y b, son ciertas constantes que, unidas a los exponentes m y n,
definen las curvas de distribución de fatiga mostradas en la figura 232. Para valores pequeños
de y e yv puede suponerse que
a
a
donde Ex y E2 son los módulos del material para una extensión
o compresión muy pequeña. Si los dos módulos del
material son iguales, las dos curvas dadas por. las
ecuaciones (p) tienen una tangente común en la línea
neutra y se cumple ,
q0m _ a0n
a b
Empleando las ecuaciones (p) en las expresiones
del equilibrio (c) y (d), puede calcularse en cada caso
particular la posición de la línea neutra y el radio de
curvatura. Tomemos, por ejemplo, m=n~ 1. Utilizando las
expresiones (q), se obtiene de las ecuaciones (p)
<*o
(V) Mi b
*n |l— (l
i-a
(-?)■
b ’
<y0nyx <j0nrs y a =
i _
o) a
y las ecuaciones (p) dan a0my
o0mrt
1
a
G0nr ^- = E, (q) y
Por consiguiente,
a0mr
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 373
Es el caso en que el material de la viga sigue la ley de Hooke; pero el módulo en tracción
es distinto del módulo para la compresión. Sustituyendo las expresiones (s) en la ecuación (c),
y suponiendo que la viga tiene una sección rectangular, se obtiene
Exhf = E,h¡, que, junto
con la ecuación hx + h2 = h, da
E-ih1 bhx 2 ^ _ bh3
12 r (v^ + V®2
h\/E1 K
\'El + \jE% \/E1 + yjE2 Por la ecuación (d) se encuentra
h^/E2
áExE2
M
(299)
FIG. 233
Er 'bjK + MKf
Este módulo se usa a veces para el cálculo del
pandeo plástico de una columna comprimida 1.
Como segundo ejemplo, supongamos que las
curvas fatiga-deformación son iguales para la tracción
y compresión; por consiguiente, m = n, a — b y cj0 =
CTq en las ecuaciones (p). Suponiendo también que a
— b me-
diante la ecuación (d), tendremos, para una viga
rectangular,
bh2 3m(m-(-3)
(300) 6 2 (m-f-2 )
La línea neutra, en este caso, pasa por el centro de gravedad de la sección. Las curvas que dan
la distribución de fatigas para
En este caso, la curvatura se obtiene por la ecuación (297),
empleando para el módulo reducido el
valor AEXE?
M=, >max
1 Theory of Elastíc Stability, pág. 156.
374 RESISTENCIA DE MATERIALES
2 r
valores diversos del exponente m son las de la figura 233. Al aumentar
el valor de rn, el momento tiende al valor ¿ 3 bh2 iu ---- 1 *
2 má 6
En el caso de un acero corriente con un punto de fluencia pronunciado,
la deformación del material durante la fluencia
• (trozo horizontal en B)—fig. 2 (a),
página 7, Prime/ra parte— puede
alcanzar unas diez o quince veces el
valor del alargamiento elástico.
Puede suponerse también, para el
acero, que el punto de fluencia es el
mismo en tracción y compresión. Por
consiguiente, el diagrama de ensayo
a tracción-compresión puede
representarse por las líneas rectas de
la figura 234. En una viga
rectangular, las deformaciones en las
fibras más alejadas ex y s2 son
siempre iguales durante la flexión
más allá del
punto de fluencia, y la ecuación (i) da
br2qn(e? — \ ef7) = M, 3
es el alargamiento elástico para la fatiga de
MJ
fluencia. Si sn es pequeño comparado con e1? puede despreciarse el
segundo término del paréntesis de la ecuación (t), y se obtiene
brH\am = M. (u)
La distribución de fatigas sobre la sección de la viga está en este
caso representada por dos rectángulos, y el momento flector
correspondiente tiene el valor m
4
h
donde
FIG. 234
-Fl
M, {V ) ult
obtenido sustituyendo en la ecuación (u).
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 375
Representando por MFl el valor del momento flector para el que la fatiga en las fibras más
alejadas alcanza el punto de
6MF¿ y la ecuación (v) es 3
(301)
Para el valor Mu]t del momento flector todas las fibras de la
viga experimentan la fluencia, y esta fluencia continúa sin au-
mento del momento resistente, en tanto que la relación fatiga-
deformación venga dada por el diagra-
ma de la figura 234.
Este fenómeno terminará cuando el
fortalecimiento del material por la defor-
mación sea apreciable; pero entonces la
curvatura de la viga, debido a la defor-
mación plástica, será mayor de la permi-
tida en estructuras permanentes y por
ello el valor (v) del momento flector debe
considerarse como un valor final o límite.
Aplicando el mismo razonamiento al caso de una viga en do-
ble T (fig. 235), y suponiendo que para el valor final del momento
flector la fatiga en todas las fibras es igual a aFli se obtiene
-Mui, = i h h l + b W - h D l
Como en los casos corrientes la diferencia entre h y Ti1 es relativamente pequeña, se ve
por las expresiones (302) y (w) que la relación ilfult: MF¡ es mucho más pequeña para las vigas
en doble T que para las vigas rectangulares. Por ello, un incremento relativamente pequeño del
momento sobre el valor Mm puede llevar a la viga a una condición crítica x.
1 Se ha supuesto en el estudio realizado que la viga ha flexado en el plano de su máxima rigidez, y que el pandeo lateral del ala comprimida está impedido.
El valor del momento para el que comienza la fluencia se obtiene multiplicando aFl por el
momento resistente de la sección, obteniéndose
utl = j Pié-t + . (w)
fluencia, se tiene oF¡ bh*
Mu]t M Fi•
(302)
376 RESISTENCIA T)E MATERIALES
68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales.—
En el caso de flexión de vigas por cargas transversales se desprecia la acción de la fuerza cortante
sobre la deformación 184 y se supone que la relación entre el momento flector y la curvatura está
representada por la ecuación (297), obtenida para la flexión pura. Puede aplicarse, por consiguiente,
el método de la viga conjugada (véase pág. 146, Primera parte) para el cálculo de
deformaciones plásticas. Es preciso notar que en este caso la rigidez a la flexión no es constante,
sino que varía con la magnitud del momento flector. Para establecer la relación entre estas dos
cantidades, se usa la curva de la figura 229 en el caso de vigas
rectangulares. Para cualquier valor
^ _______________________________ de A = - , la ordenada AB da el
momento flector correspondiente, y la ordenada ÁG
representa el momento que tendríamos si el material siguiese
la ley de Hooke. Por ~ t1jx E.IA consiguiente,
FlG '236 AB: A~C = Er : E.
De este modo se obtiene para cada valor supuesto del mo-
El mentó flector la relación -~y entre la rigidez a la flexión redu-
El
cida y a la rigidez inicial de la viga. Representando esta relación por p, puede trazarse por puntos la
curva de la figura 236. Para puntualizar el modo de emplear esta curva en el cálculo de
deformaciones, consideraremos el caso de una viga simplemente aboyada y cargada en su centro
(fig. 237). El diagrama del momento flector, en este caso, es el triángulo AGB. Sea M9 el valor del
momento flector hasta el que el material sigue la ley de Hooke. En este caso, el trozo mn de la viga
está solicitado más allá del límite de proporcionalidad y para el cálculo de deformaciones debemos
usar, en lugar de la rigidez a la flexión inicial, una rigidez a la flexión variable a lo largo de dicho
trozo. Proee-
184 El efecto de la fuerza cortante ha sido estudiado por A. Eichin- ger, Final
Report, Second Congress International Assoc. Bridge and Structur. Engng., Berlín, 1938.
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 377
diendo como en el caso de vigas de sección variable (véase página 201, Primera parte),
dividiremos las ordenadas del diagrama del momento flector por el valor correspondiente de ¡3, to-
mado de la figura 236. De esta forma se obtiene el diagrama modificado AJDEFB. Considerando
el área de este diagrama modificado como una carga ficticia y procediendo como ordinariamente, se
obtiene la flecha en cualquier sección de la viga, dividiendo por El el momento flector producido en
ella por la carga ficticia.
Hemos examinado solamente el caso de una viga rectangular; pero el método es aplicable en
otros casos, con tal de tener
trazada la curva del factor (3 correspondiente, análoga a la de la figura 236. Esta curva puede
trazarse mediante el método indicado en la figura 231, o calcularse sus ordenadas, si se conoce de
modo analítico —ecuaciones (p) del artículo anterior o análogas— la relación fatiga-deformación
en el período plástico.
En el caso de un material como el acero, que tiene un punto de fluencia’ acentuado, la fluencia
comienza por las fibras de la sección más alejadas de la línea neutra al alcanzar el momento flector
máximo el valor Mn, mientras que el resto de la viga continúa trabajando elásticamente. Dibujando
un diagrama carga-flecha máxima para una viga de esta naturaleza y sección rectangular, se ve que
la forma de este diagrama es muy distinta de la del diagrama fatiga-deformación en el ensayo de ex-
tensión del acero. Cuando comienza la fluencia del material en el diagrama carga-flecha, se
manifiesta solamente una pequeña desviación de la línea recta, acusándose una curvatura aprecia-
ble en el diagrama cuando la carga tiene un valor mucho más alto y la fluencia afecta a una gran
porción del materia] de la viga. El aumento de esta curvatura del diagrama carga-flecha y el valor de
la deformación permanente correspondiente dependen de la magnitud del alargamiento plástico del
material en el punto de fluencia del diagrama tracción-compresión. Supongamos, por ejemplo, que
el alargamiento plástico en el punto de fluencia es 1 V2 Por 100; es decir, alrededor de quince
veces el alargamiento elástico en el límite de proporcionalidad del acero corriente. Si las fibras
exteriores de la viga experimentan esta fluencia acentuada, la distribución de fatigas se representa,
aproximadamente, por dos rectángulos y el momento flector correspondiente (ecuación 301) será,
aproximadamente, vez y media mayor que el momento Mm, para el que comienza la fluencia. La
curvatura, en este caso —ecuación (g) del artículo anterior—,será 1 _ A __ (M)3
378 RESISTENCIA DE MATERIALES
r h h
Esta curvatura acentuada acontece únicamente en las partes de la viga para las que el
momento flector se aproxima al valor 1 x/2 MFt. Existe una tendencia a concentrarse la deformación
en la sección de momento flector máximo y la elástica, pasado el punto de fluencia, tiene forma
diferente de la que corresponde a fatigas elásticas. En el caso de flexión de una viga por una carga
concentrada en su sección central (fig. 237), la fluencia acontece principalmente en su parte central,
por lo que allí resulta una curvatura considerable, mientras que las partes restantes de la viga flexan
sólo ligeramente.
Si, en lugar de una viga de sección rectangular, tenemos una sección en doble T, el efecto del
alargamiento plástico en el punto de fluencia sobre el diagrama carga-flecha será mucho más
acentuado. Es natural que así ocurra, ya que el material está concentrado en las alas de la viga y,
por tanto, un número mayor de fibras entra en fluencia de modo simultáneo en la sección de
momento flector máximo. Esta fluencia del material origina, finalmente, el pandeo de las alas x. Por
consiguiente, la carga máxima que puede aguantar una viga en doble T es
1 Theory of Elastic StabilUy, pág. 273.
sólo ligeramente superior a la carga que inicia la fluencia en las alas. De aquí se deduce que
cuando se toma la carga que inicia la fluencia como base para determinar la fatiga de trabajo en
una viga, el factor de seguridad extra que tenemos hasta la carga que inutiliza la viga depende de la
forma de la sección recta. En el caso de una viga de sección rectangular, el factor de seguridad
extra es mucho mayor que en el caso de una viga en doble T. Esta diferencia, generalmente, no se
tiene en cuenta al proyectar estructuras, y las vigas, cualquiera que sea la forma de su sección, se
dimensionan tomando como base la fatiga de fluencia x.
En nuestro estudio de la flexión de vigas por cargas transversales se ha supuesto que el
problema era estáticamente determinado, por lo que la construcción del diagrama del momento
flector se hizo sin considerar la deformación de la viga. En los casos hiperestáticos, el problema es
más complejo, puesto que, pasando el límite de proporcionalidad, las fuerzas y momentos
hiperestáticos no son proporcionales a las cargas que actúan y no puede aplicarse el método de
superposición. Sin embargo, a veces puede simplificarse el problema por consideraciones de si-
metría. Suponiendo, por ejemplo, que los extremos de la viga de la figura 237 están empotrados, se
deduce, de la simetría, que el momento flector es nulo a un cuarto de la luz a partir de cada apoyo,
y la elástica está formada por cuatro trozos idénticos que pueden obtenerse estudiando una
ménsula cargada en su extremo. En el caso de una viga con carga uniformemente repartida y con
los extremos empotrados, se deduce por simetría que los momentos en los apoyos son iguales. El
valor de estos momentos se obtiene por el método de las aproximaciones sucesivas. Se atribuye
un valor a dichos momentos y se construye el diagrama modificado del momento flector, tal como
hicimos en el caso de la figura 237. El valor exacto de los momentos es evidentemente aquel para
el cual la carga ficticia total, representada por el área del diagrama modificado, es nula.
Se deduce de lo expuesto que en la flexión más allá del límite de proporcionalidad resulta
complicado el cálculo de fuerzas
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 379
1 En la-página 380 analizaremos otro modo de proyectar vigas.
380 RESISTENCIA DE MATERIALES
y momentos hiperestáticos. En el caso de materiales (por ejemplo, acero corriente) que tienen un
marcado punto de fluencia, puede simplificarse mucho el cálculo si nos limitamos a considerar el
estado de carga para el que la estructura alcanza el estado crítico y fluye sin aumento de la carga.
Sea, por ejemplo, una viga uniformemente cargada con los extremos empotrados, y supongamos
que la intensidad de la carga crece gradualmente.
Para un valor determinado de esta carga los momentos hiperestáticos en los extremos alcanzan el
valor Mm y comienza la fluencia del material en dichos puntos. El
diagrama correspondiente del momento flector, en la hipótesis de
ser aplicable la ley de Hooke hasta el punto de fluencia, será el de
la figura 238 (a). Si seguimos incrementando la carga, llegaremos
a un estado para el que los momentos hiperestáticos valdrán Jfult.
Este estado de carga no es todavía el crítico de fluencia para la
viga, ya que el momento en el centro es menor que el valor Jfult.
Al aumentar nuevamente la carga, la fluencia del material en los
extremos hace que los momentos en esos puntos no cambien de
valor y que las nuevas deformaciones acontezcan como en el
caso de una viga simplemente apoyada x. La condición crítica se
alcanza finalmente cuando el momento flector en el centro es
igual a El correspondiente diagrama del momento flector se ve en la figura 238 (ó). Para esta carga,
la flexión local en los extremos y centro continúa sin aumento ulterior de aquélla y acontece una
deformación plástica considerable, hasta que el endurecimiento o recobro del material detiene la
fluencia.
Ya vimos el modo (pág. 375) de calcular ilfult para una sección dada. Conociendo ese valor,
puede construirse fácilmente el diagrama del momento flector en el estado crítico y determinar el
valor.crítico de la carga. Por ejemplo, en el caso de una carga
FIG. 238
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 381
uniformemente repartida —fig. 238 (6)— se encuentra el valor crítico de la intensidad de la
carga por la ecuación
^■=-2 ¿rult. 8
La intensidad de la carga para la que
comienza la fluencia —figura 238 (a)— será
= i - M„ T'
8 2
Por tanto,
(]cT Á i/ult
qpt 3 M$i
Se ve que la relación
ÍFl
depende de la forma de la sección recta de la viga. Para sección rectangular,
esta relación es igual a 2.
En el caso de una viga empotrada en sus extremos solicitada por otro tipo de carga o también
vigas con otras condiciones de apoyo o vigas continuas el estudio se realizaría de modo análogo;
por ejemplo, en la figura 239 se da el diagrama del momento flector en el estado crítico para una
viga empotrada en el extremo izquierdo, simplemente apoyada en el derecho y cargada
en el punto G, cuya abscisa derecha es
ó
La construcción del diagrama es sencilla, si se tiene en cuenta que en el estado crítico los
momentos flectores en A y G son iguales a M^. El valor crítico de la carga para el que acontece
fluencia en A y C, sin aumento ulterior de la solicitación, es
1 185 Mult. 3
En la figura 240 se ve el diagrama del momento flector para el estado crítico de una
viga continua uniformemente cargada. El valor de qcr y la distancia c que define la
posición de la sección crítica C se obtiene por las condiciones; 1.a El momento flector
185 El endurecimiento o recobro del material se desprecia en este estudio.
FIG. 239
PJ
382 RESISTENCIA DE MATERIALES
en C es un máximo, y 2.a Su valor, así como el valor del momento en B, es
igual a i¥ult, lo que da
Mult
2 l
5crl -¥ult® J\J C — — = M ujt.
2 2 l
De estas ecuaciones se deduce c = l (V2 — l), qcr ■■
Z2 (3 — 2 V2)
La exposición de estos ejemplos permite apreciar que el
cálculo de las cargas críticas puede aplicarse fácilmente en varios casos particulares de vigas
hiperestáticas.
Estos cálculos son ordinariamente más sencillos que los necesarios para determinar los
valores de las cargas para los que comienza la fluencia 186.
Ya se indicó que bajo la acción de las cargas críticas las estructuras de acero experimentan
una deformación considerable prohibitiva en servicio normal; por consiguiente, al proyectar deben
considerarse dichas cargas críticas y determinar la carga de trabajo, dividiendo el valor de la carga
crítica por un coeficiente de seguridad apropiado. Este procedimiento es el lógico de cálculo para
estructuras de acero sometidas a cargas permanentes, puesto que entonces el colapso por fatiga
alterna no existe y solamente debe considerarse el colapso por fluencia del metal 2.
186 M, Grüning, Handbuch. /. Bauing Bd. IV, Der Eisebau, 1929; Grüning-
Kulka, Die Bautechnik, pág. 274, 1928.
q_crC = 0.
2 M, ult
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 383
69. Fatigas residuales en la flexión plástica.—Si se flexa una viga pasado el
límite elástico, al descargarla no desaparece por completo la deformación. Las fibras con
deformación permanente impiden recobrar su longitud inicial a las deformadas elásticamente y por
ello se producen fatigas residuales. Para determinar su distribución sobre la sección,
consideraremos primero el caso sencillo de una viga rectangular para la que la distribución de
fatigas en flexión más allá del punto de fluencia puede representarse por los rectángulos ohlm y
oprn —fig. 241 (a)—. Suponemos también que ei material deformado por encima del punto de
fluencia, al ser descargado sigue la ley de Hooke durante la descarga, tal como se indica en la
figura 241 (b) con línea de trazos. De esta hipótesis se deduce que las fatigas flectoras a restar,
cuando
se descarga la viga, siguen la ley lineal que
indica en la figura 241 (a) la línea mxnx. La
diferencia entre las dos distribuciones de fatiga,
la rectangular de carga y la triangular de
descarga —área rayada de la figura 241 (a)—
representa las fatigas residuales al descargar.
Los signos de estas fatigas indicados en la
figura corresponden a flexión por un momento positivo.
El signo de estas fatigas que indica , la figura corresponden al caso en que la flexión inicial
produce convexidad hacia abajo. Puesto que tanto la distribución rectangular de fatigas como la
triangular representan un momento flector del mismo valor, se deduce que el momento respecto al
eje pok del triángulo ommx es igual al momento respecto al mismo eje del rectángulo oklm. Por
consiguiente, la fatiga representada en la
determinar cargas críticas han sido hechos por Maier-Leibnitz, Die Bautechnik, 1928, y por K. Girkmann, Die Bautechnik, 1932. Un estudio teórico de la flexión de vigas pasado el punto de fluencia puede verse en Bauingenieur, J. Fritsche, 1930 y 1931. La combinación de flexión con compresión ha sido estudiada por K. Girkmann, Sitzungsber. AJx'ad. Wis-s. Wien. Abt., 11.a, vol. 140, 1931. El proyecto de vigas a base de las cargas críticas ha sido discutido por J. A. Van den Broek, 'Brans. A. S. G. É., vol. 105, pág. 638, 1940.
m
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X m, . . <r
P Á
74-
1 11 /
+
-A
P187' 0 k
/ °yf i 1 i /
a r n (a) (b) ^
FIG.241
RESISTENCIA DE MATERIALES
figura por la longitud mmx debe ser igual a 1 - aFl y las tensio- z
nes residuales de tracción y compresión para las fibras más alejadas
después de descargar la viga valen ~ aFl. Las fatigas re-
siduales en las fibras próximas a la línea neutra son más elevadas y
valen, aproximadamente, aFl. Puede verse que la distribución de fatigas
representada en la figura por las áreas rayadas
equivale a dos pares iguales y opuestos de valor aFl que se
equilibran entre sí. La existencia de estas fatigas residuales se ve
experimentalmente cortando la viga a lo largo de su plano neutro. Cada
mitad de la viga toma entonces una cierta curvatura. Si una viga con
las fatigas residuales indicadas en la figura 241 (a) se flexa nuevamente
por momentos del mismo valor y del mismo sentido que los del ensayo
anterior, las fatigas producidas por dichos momentos y representadas
por la línea recta m1n1 se superpondrán a las fatigas residuales dadas
por las áreas rayadas, y la distribución de fatigas resultante veifdrá
representada por los rectángulos olclm y onrp. La fatiga resultante
máxima es am y no se producirá fluencia alguna dei material durante
esta segunda flexión. Por consiguiente, las fatigas residuales que
produce la primera flexión tiene por efecto aumentar el momento
flector que puede contrarrestar elásticamente la bárra con tal de que
no se cambie el sentido de la flexión. Este fenómeno de incremento de
la capacidad elástica de una estructura mediante una carga preliminar
y el desarrollo de fatigas residuales apropiadas se usa con frecuencia
en la práctica. Más adelante se estudiarán algunos casos particulares
(véase artículo 74).
En el caso más general de flexión inelástica de una viga rectangular, la
distribución de fatigas viene dada por una curva tal como la n1om1 de
la figura 242 (a). Suponiendo nuevamente que durante la descarga el
material de la viga sigue la ley de Hooke, se ve que las fatigas
residuales producidas por la plasticidad se distribuyen como indican
las áreas rayadas de la figura. Si la curva nxomx se determina del modo
expuesto en el artículo 67, el yalor de las fatigas residuales en cada
fibra puede obte
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 385
nerse fácilmente. Si se desconoce la curva n-fim^ la distribución de
fatigas residuales puede investigarse experimentalmente cortando de
la viga láminas paralelas al plano neutro y midiendo después de cada
corte la deformación elástica de la viga.
Supongamos que la fatiga residual en la cara inferior de la viga es
una extensión de valor <y. Al quitar la lámina de espesor A, indicada
en la figura 242 (ó), se produce evidentemente la misma deformación
en el resto de la viga que la que producirían dos fuerzas iguales y
opuestas abA aplicadas como indi-
can las flechas de trazos de la figura. El eje de la viga tomará un
alargamiento y una curvatura dados por las fórmulas
cbA (h — A) 12 cbAh (a) 2 Eb (h —r- A)3
Se ve que si se mide la curvatura d puede deducirse fácilmente,
mediante la ecuación (a), el valor de la fatiga residual de extensión a,
correspondiente a la fibra más alejada. La determinación de la fatiga
residual aa correspondiente a una fibra mn situada a la distancia a de
la cara superior de la viga —figura 242 (b)— es más complicada.
Cortando lámina tras lámina, llegaremos a separar la mn y podremos
determinar la fatiga en ella mediante una ecuación análoga a la (a).
Esta fatiga, sin embargo, tendrá un valor a'a diferente de la fatiga
residual aa, puesto que el corte sucesivo de láminas produce cambios
en las fa- EbTi \r
— b
2 El
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 386
H.ESISTEHOIA DE MATERIALES. X. II 25
RESISTENCIA DE MATERIALES
tigas del trozo de viga que queda. Es evidente, por tanto, la necesidad de investigar estos cambios para determinar la fatiga residual aa. Supongamos que por separación sucesiva de láminas se alcanzan las fibras indicadas con líneas de puntos en la figura 242 (b), situadas a la distancia 2z de la cara superior de la viga. Si separamos una nueva lámina de espesor A, la fatiga <j'z en ella se obtiene por la ecuación
¿ (1 ) =^ , donde I,= b±2z? W El, 12
o sea,
d\rlm- (i)
bzA
La separación de esta última lámina producirá en la fibra
mn una fatiga directa de valor
(c) 2 bz
y una fatiga flectora
,bzA(a — z)
Las fórmulas (c) y (d) nos dan el cambio que experimenta la
fatiga en nuestra fibra mn al quitar una lámina. Considerando ahora el
efecto producido por la separación de todas las láminas cuando 2z
varía de A a a, se tendrá
y ¿ A | V S g f e A ( a — . 2)
2z I , ’ W
donde az para cada tira se calcula por la fórmula (6), sustituyendo
en ella los valores correspondientes de d j^j. La fatiga residual
buscada oa correspondiente a la fibra mn se obtiene restando la
cantidad (e) de la fatiga cr,' encontrada, poniendo a en vez de 2z en la
fórmula (b). Por consiguiente,
f
<T, =
(d)
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 387
Este método de determinación experimental de fatigas residuales
longitudinales puede también aplicarse en cualquier otro caso dé
deformación plástica longitudinal (véase artículo 71)'. Ha sido
aplicado, por ejemplo, para determinar las fatigas residuales en tubos
de latón estirados en frío 188. En este caso, la separación de láminas de
metal se realizó por procedimientos químicos., Las variaciones de
curvatura se determinaron ópticamente. De esta forma se obtuvo una
información completa referente a fatigas residuales en tubos
estirados en frío, de gran importancia para la elección de técnica
apropiada en la fabricación de tubos.
70. Torsión plástica.—Empezaremos examinando la torsión de ejes
circulares. Supondremos que pasado el límite de elasticidad, las
secciones rectas del eje continúan planas y que sus radios
permanecen rectos 189. En este caso, la dis-
torsión y a distancia r del centro del eje se
determina por la misma fórmula que en la
torsión por debajo del límite de elasticidad
(véase pág. 254, Primera parte):
Y = r6, (a)
donde 0 es el ángulo de torsión del eje por
unidad de longitud. Para encontrar el valor del
torsor necesario para producir la torsión 0 es
indispensable conocer la relación entre la distorsión y y la fatiga
cortante t pasado el límite de proporcionalidad. Supongamos que el
diagrama de la figura 243 da esa relación 190. Si a es el radio exterior
del eje, la distorsión
188 Este método fué desarrollado por N. N. Dawidenkow, Journal of
Techn. Phys., vol. 1, Leningrado, 1931, y Zeitschrift für Metallkunde, vol. 24, pág. 25, 1932. Véase también la tesis doctoral de C. G. Ander- son, University of Michigan, 1935. Otro método aconsejable para la determinación de fatigas residuales en perfiles laminados en I y U ha sido desarrollado por J. Mathar, Archín für des Éisenhüttenwesen, volumen 6, pág. 277, 1932-33.
* Esta teoría fue desarrollada por Saint-Venant, Journal de Ma- thematiques, vol. 16, pág. 373, 1871. Véanse también I. Todhunter y K. Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 170; A. Nadai, Plasticity, pág. 126, 1931.
190 Este diagrama puede obtenerse exper ¡mentalmente ensayando a torsión tubos delgados. Para eliminar 1a, posibilidad de pandeo el espesor de la pared se reduce a un pequeño valor, exclusivamente de modo local, practicando un cuello circunferencial de forma rectangular en un tubo más grueso.
____ •
m
i-Tdi
A
L-g'.rd — \~df n '
—— ad ■ —
FIG. 243
388 RESISTENCIA DE MATERIALES
máxima correspondiente será la ordenada mn del diagrama de la figura
243. De esta misma forma puede fácilmente obtener* se, mediante el
diagrama, la fatiga cortante correspondiente a cualquier distancia r
del centro.El momento torsor M, que debe aplicarse para producir la
torsión supuesta 6 se obtiene por la ecuación de la estática:
J 2nr2drr — Mt. (b)
Sustituyendo en esta ecuación los siguientes valores sacados de ia
ecuación (a),
r = —> dr =—> 0 6
se obtiene
~ 'f2^dy = Mt. (c)
La integral del primer miembro de esta ecuación tiene una
interpretación geométrica sencilla; representa el momento de inercia
con relación al eje vertical or del área omno de la figura 243. Después
de calcular este momento de inercia para un valor dado de ad, se
obtiene fácilmente el torsor correspondiente por la ecuación (c). Puede
dibujarse, por consiguiente, una curva que representela relación entre
Mt y 0, conocido el diagrama de
la figura 243. Como las abscisas de la figura 243 son proporcio
nales a las distancias radiales, la curva om representa también a escala
la distribución de fatiga cortante a lo largo de un radio del eje. Si
durante la torsión el material sigue de modo continuo la ley de Hooke,
se tiene t = y G — rQG, y la ecuación (b) da
2 TirUr = QGIP = Mt, (d)
que no es otra cosa sino la conocida fórmula de torsión por debajo del
límite de elasticidad.
Si el material del eje tiene un punto de fluencia pronunciado, la
parte curvilínea del diagrama de ia figura 243 puede reemplazarse por
la línea horizontal de ordenada ~m. Por consiguiente, para un ángulo de
torsión considerable, la distribución de fatiga cortante a lo largo de un.
radio del eje se aproxima
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 389
a una distribución uniforme. El valor correspondiente del torsor se
denomina Se obtiene poniendo vFi en lugar de t,
en la ecuación (b), lo que da /n,. 2 na3 . . (^)mt — ~ t f i - (e)
O
Cuando el momento torsor alcanza este valor, el eje sigue
deformándose sin ulterior aumento del torsor hasta que comienza el
endurecimiento del material. A fin de compararle con este valor, puede
calcularse el momento torsor (M,)Ft, para el que comienza la fluencia.
Se utiliza la ecuación (d), poniendo en ella el valor de 0 para el que
comienza la fluencia. Este valor se obtiene mediante la ecuación (a),
haciendo r — a y y = YF4> 1° 4ue da
a _Y m Uf JFl aQ
Por consiguiente, de la ecuación (d),
iza?
(M t ) F l ^Q n GI p =~^ P Dividiendo (e) por (/’, se obtiene MtUt: (Mt)n = i
Si después de aplicar el momento torsor {Mt)m se descarga el eje,
quedan en él fatigas residuales. El valor de estas fatigas puede
obtenerse repitiendo el mismo razonamiento
que se aplicó en el caso de flexión (pág. 383).
Supongamos que las ordenadas de la línea
horizontal mn de la figura 244 representan
las fatigas cortantes TFI producidas por el
momento uniformemente distribuidas sobre
el radio del eje. Al descargar el eje el
material sigue la ley de Hooke y las fatigas de descarga siguen la ley
lineal indicada en la figura 244 por la línea mxnv La diferencia entre las
dos distribuciones de fatiga representa las fatigas que quedan en el eje
después de la descarga. El valor de la ordenada n-^p, representada por
rmáx, se encuentra en virtud de que las dos distribuciones de fatigas, la
a
(/)
FIG. 244
390 RESISTENCIA DE MATERIALES
rectangular y la triangular, representan al mismo torsor MaXt, Para la
distribución rectangular de fatigas, el torsor viene dado por la fórmula
(e).
La expresión del torsor correspondiente a la distribución
triangular de fatigas se obtiene sustituyendo Tm(u en vez de vFi) en la
fórmula (/) 2 izas 7ta3 —— = __ TmAXj OZj
^máx ” 1 " ó
Se ve, por tanto, que las fatigas de torsión residuales en la
superficie del eje valen - Tfi. En las proximidades del centro, esta fatiga
vale Tfi.
La distribución de las fatigas residuales por torsión puede
investigarse experimentalmente. Para ello es precisó separar capas
delgadas del metal del eje de modo sucesivo y medir, después de haber
quitado cada una el ángulo de torsión del eje L
Si el material del eje tiene un punto de fluencia pronunciado, puede
emplearse con ventaja para el estudio de la torsión plástica la analogía
de la membrana (véase página 272). Cuando el
valor del torsor es algo mayor que (Mt)Fl, la parte
exterior del eje está en condición de fluencia,
mientras que la interior queda deformada elás-
ticamente. Para utilizar la analogía de la
membrana en este caso, es necesario emplear,
además de la membrana, un cono rígido ACB (fig.
245), cuya pendiente representa a escala apropiada
la fatiga de Fig. 245 fluencia Tfi. Si sobre la membrana actúa
una presión p pequeña,
también lo serán las flechas y la superficie cónica
no modifica la libre deformación de la membrana. Por consiguiente, su
superficie define la distribución de fatigas en el caso de torsión
elástica, tal y como se vió anteriormente (pág. 272). Al aumentar la
presión, las flechas de la membrana también aumentan y, finalmente,
la parte exterior de la membrana comienza a tomar contacto con el
cono rígido del modo que indica la figura 245.
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 391
Este estado corresponde a la torsión plástica.
La parte exterior de la membrana, en contacto con el cono, tiene la
pendiente constante correspondiente a la fatiga de fluencia TjP¿. La
parte interior mn corresponde a la interior del eje que queda en
condición elástica. El doble del volumen comprendido entre la
membrana y el plano de su contorno AB continúa representando el
momento torsor. De aquí se deduce que el doble del volumen del cono
da el valor de 7¥ult. Como la pendiente del cono es -cFl, su altura será
axFt, y el doble de su volumen, 2 . . s Tza¿axFi, cuyo valor coincide con el de la expresión (e).
ó
El mismo método puede emplearse también en el caso de ejes de
sección recta no circular, y es muy útil para determinar las partes del
eje en las que comienza la fluencia. Examinaremos como ejemplo un
eje rectangular. Al estudiar la torsión plástica de este eje, debe usarse
la membrana junto con una superficie rígida en forma de tolva (fig.
246), que tenga en todos sus puntos una pendiente constante que a
cierta escala representa la fatiga de fluencia T f / .
E S evidente que la membrana, deformada con una
presión uniforme creciente, toca a la tolva
primeramente en los puntos c y d, medios de los
lados más largos del rectángulo. En estos puntos
comienza la fluencia, y para presiones mayores
algunas partes de la membrana coincidirán con
la tolva, tal como se indica en la figura con áreas
rayadas. Estas áreas Fig. 246
definen las zonas donde el material fluye.
En el resto del eje se tiene únicamente deformación elástica. Si todavía
aumentamos la presión sobre la membrana, crecen las partes en
contacto con la tolva y, por tanto, las regiones de deformación plástica.
El doble del volumen determinado por la tolva y el plano AB da el valor
de Mlút para el eje rectangular.
Si una bárra rectangular de hierro forjado se ensaya a tor
392 RESISTENCIA DE MATERIALES
sión plástica, las zonas de fluencia se ponen de manifiesto lavando con
agua fuerte la sección. Después del lavado aparecen en las regiones
plásticas de la sección líneas paralelas oscuras de la dirección que
indica la figura 246. Estas líneas indican los planos paralelos al eje del
árbol a lo largo de los que acontece el corrimiento del metal producido
por la fluencia x.
71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa sometidos a presión
interior 191,—Al estudiar la deformación elástica de un cilindro de pared
gruesa, por la acción de una presión interna p (véase pág. 244), se vió
que las fatigas tangencial y radial a la distancia r del centro del
cilindro venían dadas por las fórmulas _ a2p /1 b2\ a2p t b2\ b2 — a2\ üt~b^a2\ ^/’
donde a y b son, respectivamente, los radios interior y
exterior del cilindro. La fatiga tangencial máxima de extensión y la
compresión radial máxima acontecen en la superficie interior del
cilindro. En esta superficie actúa también la fatiga cortante máxima.
Su valor es
Aumentando gradualmente la presión interior se alcanza un estado
elástico para el que comienza la fluencia del material de la superficie
interior. Ello acontece cuando la fatiga cortante máxima (ó) alcanza el
valor de la fatiga de fluencia xFí 192. Sustituyendo este valor en la
fórmula (ó), se ve que la presión para la que comienza la fluencia es b2 — a2
Pm — 'tFi—77~" (c) b¿
página 29, 1931, pueden verse interesantes fotografías correspondientes a diversas formas de ejes sometidos a torsión.
8 La deformación plástica de Cilindros gruesos sometidos a presión
(a)
DEFORMACIONES PLÁSTICAS 393
Suponiendo, por ejemplo, b = 2a, el valor de la presión será pFl =
0,750 xFi. Si seguimos aumentando la presión, la deformación plástica
penetra más y más en la pared del cilindro; y, finalmente, para una
cierta presión, que llamaremos pult> la totalidad de la pared del cilindro
se encuentra en estado de fluencia acusado, lo que significa que la
fluencia acontece por la acción de una fatiga cortante constante tFl.
Esto nos da para eada punto de la región en deformación plástica la
ecuación
2 L = P ' ( < * > L
Considerando el equilibrio de un elemento de la pared (figura 142),
puede obtenerse otra ecuación para determinar at y ar. Dicha ecuación
(véase pág. 242) es da, '
at — ar-~r^ = 0. (e) dr
Sustituyendo el valor de at -— ar, dado por la ecuación (d), se
obtiene
d<5r 2 Tpi
dr r
La integración de esta ecuación da
ar = 2 logft r + G. (g)
La constante de integración C se obtiene por la condición
de que en la superficie exterior del cilindro, es decir, para r — b, la
fatiga radial ar es nula. Tendremos 0 = 2XFI logn 'b.-jr G, G — — 2Tf¡ logw b.
Sustituyendo este valor de la constante de integración C en la
ecuación (g) se obtiene
ar = 2TFI logra y (303)
Para la superficie interior del cilindro esta expresión da
K)r-« = 2 XF 1 logra y (304)
y la presiónnecesaria para que la pared entera delcilindro al
cance el estado plástico es
(/)
394 RESISTENCIA DE MATERIALES
Suponiendo nuevamente 6 = 2a, se encuentra Pult = 2TJ7 iogn 2 =
0,693 (2t^).
Conocida la expresión (303) para las fatigas radiales, las fatigas
tangenciales se obtienen mediante la ecuación (d); serán
Gt — 2t.p7 |l -j- logre ~J"
Si b = 2a, esta expresión da
(o*)r-« = 2tn |l + logre = 0,307 (2x^), (<rt)r-b = 2t«.
La distribución de fatigas ar y at a lo largo del espesor de la pared,
para el caso particular b = 2a, está representada en
la figura 247 por las curvas mln y st, respectivamente. Si después de
llevar el material del cilindro al estado plástico hacemos desaparecer
la presión interior, quedan fatigas residuales en la pared del cilindro;
estas fatigas pueden calcularse fácilmente si suponemos que durante la
descarga el material del cilindro sigue la ley de Hooke. En este caso, las
fatigas que desaparecen durante la descarga del cilindro vienen dadas
por las ecuaciones (a), escribiendo p^ en lugar de p. Dichas fatigas,
para el caso particular b = 2 a, vienen dadas en la figura 247 por las
curvas ¿qfj y mkn. Las áreas rayadas representan, por tanto, las fatigas
residuales en la pared del cilindro. Se ve que a causa de la deformación
plástica se producen fatigas tan-
(305)
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 395
vencíales considerables en ia pared del cilindro 193. Si ahora hacemos
nuevamente la presión interior igual a pult, las fatigas tangenciales
producidas por esta presión, y dadas por la curva s^, se superpondrán
a las fatigas residuales representadas por las áreas rayadas, y la
distribución de fatigas resultantes corresponderá a la curva st. La
fatiga resultante máxima es 2^, y no se producirá fluencia durante esta
segunda aplicación de la presión interior. Por consiguiente, las fatigas
residuales producidas por la dilatación plástica del cilindro aumentan
la presión que pueden sufrir elásticamente. Este fenómeno se utiliza a
veces en la fabricación de cañones que deben sufrir grandes presiones
interiores 194.
Hemos supuesto, en el estudio realizado, que la presión interna
aplicada es tal que la fluencia alcanza a todo el material del cilindro;
pero el método puede aplicarse sin dificultad a los casos en que
solamente la parte interna del cilindro está en estado de fluencia,
mientras que la parte exterior sufre deformación elástica. Supongamos
que se aplica una presión p', mayor que pFl, pero menor que pult, y sea c
el radio de la capa cilindrica que separa la región plástica de la
elástica. Entre dichas regiones existirá una presión radial que
llamaremos X. El valor de esta presión puede encontrarse estudiando la
parte exterior, elástica, de la pared. La fatiga cortante máxima Tm¿x, en
este trozo, se deduce de la ecuación (ó), escribiendo c en lugar de a, y X
en lugar de p\ será Z6a
TmáX“>_c2-
Como lasuperficie r—c separa la parte
elástica de la plástica, lafatigaTmáx será
exactamente igual axFl.Laecuación
que determina la presión X es, por consiguiente,
Xb2 /J¡\ i? <4)
y se obtiene
193 Se supone que esta fatiga de compresión es menor que la fatiga de
fluencia, y que no acontece fluencia alguna durante la descarga. El caso de que durante la descarga existe fluencia ha sido estudiado por L. B. Turner, ya citado, pág. 392.
194 La descripción de este método puede verse en el libro de L. Jacob, Résistance et Construction des Boliches á Feu Autofretage, París. Véase también S. J. Brown, United States Naval Institute Proceedings, volumen 46, pág. 1941, 1920.
396 RESISTENCIA DE MATERIALES
Conocida esta presión, pueden calcularse fácilmente las fatigas en
cualquier punto de la región elástica de la pared mediante ecuaciones
análogas a las {a)195.
Para el cálculo de fatigas en la zona plástica se emplea la ecuación
(g). La constante de integración C se encuentra estableciendo que para
r = c, ar — —X; lo que da
— X = 2tj7 logn c -(- G, C — —X—2Xp¡ logra ('/-
Sustituyendo este valor de C en la ecuación (g), y empleando la
expresión (i), se obtiene
o, = 2-rFI log„ - — —-b ——• (306) c ó2
Haciendo r igual al radio interior a del cilindro se encuentra el
valor p', de la presión que debe emplearse para producir fluencia en la
pared basta la capa de radio r == c. Dicba presión será = + '307)
c o2
Suponiendo, como en ejemplos anteriores, b = 2a y que, además, c —
1,5a, se encuentra mediante la ecuación (307) que V’ = 0,624 '(2r>,).
La distribución de la fatiga tangencial at se obtiene mediante la
ecuación (d), que da f ó2 + c2 Cí = 2tí¡>¿ -j- ar = 2 Tpi
logre - + Tfz—— ------------------------------------------------------ (308) C 0a
Para r —
c, el primer término del segundo miembro es nulo,
y el valor deat es igual al valor de la fatiga tangencial produ
cida por la presión X en la zona elástica adyacente de la pared. Las
ecuaciones (306) y (308) nos dan las fatigas producidas en la zona
interior de la pared cilindrica, cuya deformación es plástica. Para la
zona exterior, elástica, pueden utilizarse ecuaciones análogas a las (a).
De esta forma queda resuelto completamente el problema de
la distribución de fatigas en el caso de un cilindro que experimenta
parcialmente deformación plástica.
Si después de la fluencia parcial de la pared desaparece la pre-
sión p’, quedarán fatigas residuales. La zona interna de la pared,
para la que la deformación fué plástica, no recobra su diámetro
inicial y sufre presión por parte de la zona elástica de la pared. La
distribución de fatigas en este caso es análoga a la que produce el
195 Se escribirá c en lugar de o, y X en vez de p.
■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 397
zunchado de tubos (véase art. 45). Para calcular estas fatigas se
procede exactamente igual que en el caso expuesto en la figura 247.
Todos los cálculos se basan en la hipótesis de que, pasado el .
punto de fluencia, el material se deforma sin aumento de fatigas. Si
esto no ocurre, no pueden calcularse las fatigas residuales del modo
expuesto y debe recurrirse a determinaciones experimentales. Puede
usarse un método análogo al empleado para determinar fatigas
residuales de flexión. Se separan capas de metal de modo sucesivo,
procediendo del interior al exterior, y se determina después de
quitar cada una la deformación producida en sentido axial y
circunferencial sobre la superficie exterior del cilindro. De tales
medidas pueden deducirse las fatigas residuales.
Las fatigas residuales en cilindros pueden proceder no sólo de
deformaciones plásticas, sino deberse a enfriamientos no uniformes
o a cambios de volumen del metal durante la recristalización en los
tratamientos térmicos. A veces estas fatigas tienen una importancia
primordial, como, por ejemplo, en el forjado de grandes piezas, y se
han desarrollado diversos métodos para determinarlos Á
CAPÍTULO IX
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
72. Ensayos de tracción.—El método más corriente de ensayo de
propiedades mecánicas de metales es el de tracción 196. Se emplean
probetas de sección circular o rectangular, y para hacer comparables
los resultados obtenidos en diversos ensayo^ se han establecido para
las probetas dimensiones standard. Por ejemplo, si la probeta es de
sección circular, sus dimensiones standard son: diámetro, x/a pulgada, y
longitud útil, 2 pulgadas; de modo que
-= 4 ó 1= 4,51 VT. d ~,p
donde A = es el área de la sección de la probeta.
196 Las primeras investigaciones de esta clase fueron hechas por N.
Kalakoutzky, San Petersburgo, 1887. Véase también N. Kalakoutzky, Investigation into the Internal Stressin Cast Iron and Steel, London, 1888. La solución completa del problema ha sido dada por G. Sachs, Zeitschr. f. Melallkunde, vol. 19, pág. 352, 1927, y Zeitschr. Ver. Deutsch. Ing., vol. 71, pág. 1511, 1927. Estas dos publicaciones contienen una bibliografía completa del asunto. Adelantos posteriores en los métodos de determinación de fatigas residuales en tubos se deben a N. N. Dawidenkow, Journal of Technical Physics, vol. 1, San Petersburgo, 1931. Véase también G. Sachs, Trans. of the A. S. M. E., pág. 821, 1939. La bibliografía referente a deformación plástica de metales y fatigas residuales puede verse en Handbuch der Metallphysik, volumen 3, primera parte, por G. Sachs/ Leipzig, 1937.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 399
En la Europa Central se emplean dos tipos distintos de probeta
circular: 1.°, una probeta larga, para la que l = 10 d! = 11,3 V2, y 2.°, una
probeta corta, en la que 1= 5d = 5,65 VA. En el caso de probetas de
sección rectangular se acostumbra a tomar la misma relación entre la
longitud y el área de la sección recta, que en el caso de probetas
circulares 2. La longitud de la parte cilindrica de la probeta es algo
mayor que la longitud útil y, por lo menos, igual a l + d. Las cabezas de
la probeta tienen mayor sección para evitar que la probeta rompa por
las secciones en que la sujetan las tenazas de las máquinas de ensayo,
debido a las irregularidades locales de la distribución
de fatigas. El tipo largo de probetas cilindricas se ve en la figura 248
(a), que también muestra el modo de sujeción de la probeta a fin de
asegurar la aplicación axial de la carga. En la figura 248 (b) se ve una
probeta rectangular de pequeño espesor.
Las máquinas de ensayos a tracción llevan
corrientemente un dispositivo que
automáticamente traza el diagrama que
representa la relación entre la carga P y el
alargamiento 8 de la probeta. De este
diagrama se deducen características muy
importantes del material. En la figura 249,
por ejemplo, se ven una serie de diagramas
para aceros al carbono, con diversos porcen-
tajes de carbono. De ellos se deduce que, a
medida que el porcentaje en carbono
aumenta, la resistencia del acero crece; pero
que, al mismo tiempo, el alargamiento hasta
la rotura disminuye; es decir, el material
pierde duetili- pIG. 249
dad. La resistencia y la ductilidad son ,
las dos características importantes deducidas del ensayo a tracción 197.
197 Una bibliografía completa sobre ensayos a tracción puede verse en los
libros de G. Sachs, Der Zugversuch, Leipzig, 1926,” y Mechanische Technologie der Metalle, Leipzig, 1925. Estos libros dan a conocer procedimientos modernos
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 400
Para definir la resistencia de un material se determinan
de investigar las propiedades mecánicas de ios materiales. Véase también la publicación de C. W. Mac Gregor, en el Annual Meeting of Am. Soc. Test. Mat., 1940,
401 RESISTENCIA RE M ATERI ARE S
el límite de proporcionalidad, el punto de fluencia y la carga de rotura
(véase pág. 6, Primera 'parte).
Para fijar el límite de proporcionalidad es necesario utilizar
extensómetros muy sensibles, que puedan descubrir la menor
desviación de la proporcionalidad en el diagrama del ensayo a
tracción. Para dar mayor uniformidad a los resultados se toma
frecuentemente, como base para fijar el límite de proporcionalidad,
una cierta cantidad de deformación permanente o una cierta
desviación de la proporcionalidad. El Congreso internacional para el
ensayo de materiales, celebrado en Bruselas (1906), definió el límite de
proporcionalidad como la fatiga extensora, para la que la deformación
permanente es 0,001 por 100. Modernamente se tiende a aumentar este
valor, limitando la deformación permanente en 0,01 por 100 198.
El punto de fluencia es una característica muy importante para
materiales tales como el acero. Para esta fatiga la probeta
alarga una cantidad considerable (en el caso del acero dulce más del I
por 100), sin aumentar la carga. A
veces la fluencia viene acompañada
de undes censo brusco de la carga, y el
diagrama de tracción tiene unafor- ma
tal como la de la figura 250. i'Tu.
En este caso los
valores de la
carg
a en a y b, límites superior e inferior, divididos por el
área de la sección primitiva de la pieza,
se denominan puntos de fluencia superior e inferior, respectiva
mente. La posición del punto superior de fluencia varía mucho con la
velocidad del ensayo, la forma de la probeta y la forma de su sección
recta a. El punto inferior de fluencia se considera corrientemente como
una verdadera característica del material y puede servir de base para
determinar las fatigas de trabajo x. Debido a la gran deformación del
material en el punto de fluencia no es necesario emplear
extensómetros sensibles para determinarle. Puede determinarse con
los más sencillos instrumentos o deducirse directamente del diagrama
del ensayo. Para el acero al carbono corriente la fatiga en el punto de
198 El primero que señaló la importancia del punto inferior de fluencia fué C.
Bach. Véase F. D. I., vol. 58, pág. 1040, 1904, y F. D. I., vol. 59, pág. 615, 1905.
RESISTENCIA DH MATERIALES.—T. II
402 RESISTENCIA DE MATERIALES
fluencia oscila entre el 55 y el 60 por 100 de la de rotura. El acero de
construcción, con el 1 por 100 de Si, tiene una fatiga de fluencia del 70
al 80 por 100 de la de rotura, que suele ser igual a la del acero al
carbono. Este valor elevado de la fatiga de fluencia justifica la práctica
corriente de emplear fatigas de trabajo más altas para esta clase de
acero.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 403
Existen materiales que no tienen un punto de fluencia acentuado;
en estos casos se considera a veces como fatiga de fluencia aquella
para la que la deformación permanente (alargamiento plástico)
alcanza el valor 0,2 por 100. Debe tenerse en cuenta que el punto de
fluencia, definido de esta manera no representa una característica
física definida del material, y que su posición depende de la
deformación permanente arbitrariamente escogida. En el caso de un
acero de construcción con fluencia, ésta es corrientemente mayor que
0,2 por 100, y el prnto de fluencia real coincide con el definido por la
deformación permanente límite de 0,2 por 100.
La fatiga de rotura se define corrientemente como cociente entre la
carga máxima alcanzada antes de romperse la probeta, punto c de la
figura 250, y el área inicial de la sección recta. Esta cantidad sirve
frecuentemente de base para determinar la fatiga de trabajo.
E! área definida por el diagrama del ensayo Oacde (fig. 250)
representa el trabajo necesario para producir la rotura. Esta cantidad
se utiliza a veces como una de las características del material. Depende
no, sólo de la resistencia, sino también de la ductilidad del material.
La ductilidad de un material está caracterizada por el alar-
gamiento de la longitud útil de la probeta durante un ensayo a
26
404 RESISTENCIA DE MATERIALES
tracción y por la reducción del área de la sección recta al acontecer la
rotura.
En la primera parte del alargamiento plástico de a a c, en el
diagrama (fig. 250) la probeta alarga uniformemente en toda su
longitud, y este alargamiento uniforme viene acompañado de una
contracción lateral uniforme, de tal modo que el volumen de la probeta
permanece prácticamente constante h En el punto c la fuerza
extensora alcanza un máximo, y los alargamientos posteriores de la
probeta se consiguen con disminución de la carga. En esta zona
la deformación plástica se localiza, comienza a formarse el
cuello y la probeta toma la forma indicada en la figura 251. Es
difícil determinar con exactitud el momento en que comienza a
formarse el cuelloy discriminar el valor de la deformación
uniforme y el de los alargamientos en el cuello. Se acostumbra,
por consiguiente, a medir el alargamiento Fig. 251 total de la
longitud cuando la probeta se rompe. El alargamiento se define
como la relación entre este alargamiento total de la longitud útil y su
valor inicial. En la práctica se da en tanto por ciento. Si l es la longitud
útil primitiva y 8 el alargamiento total, el alargamiento en la rotura
será
£ = - - 1 0 0 . (a) l
Este alargamiento se toma corrientemente como medida de la
ductilidad de un material. El alargamiento así obtenido depende de las
dimensiones de la probeta. El incremento de la longitud útil, debido al
cuello, es una gran parte del incremento total-y es prácticamente el
mismo para probetas cortas y largas. Con acero, el alargamiento
obtenido para probetas de l — 5d es corrientemente 1,22 mayor que el
obtenido para probetas del mismo material y 2 = lOd. También se ve
experimentalmente que la deformación local en el cuello depende en
alto grado de la forma de la sección recta; por tanto, dicha forma afecta
al alargamiento de la probeta. Esto indica que solamente pueden
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 405
obtenerse resultados comparables, respecto al alargamiento, em-
pleando probetas geométricamente semejantes.
La contracción en área de la sección de rotura se expresa
corrientemente en tanto por ciento del área de la sección recta
primitiva; será
q = AfCZ.4l . 100, (b)
donde A0 es el área de la sección recta primitiva, y A x el área final
de la sección de rotura.
Suponiendo que la deformación longitudinal se distribuye
uniformemente sobre la sección de rotura, y que el volumen del
material es constante, puede determinarse el alargamiento unitario
e en esta sección mediante la ecuación
Ax (1 + Sj) — Án,
de donde
An .
A, o, mediante la ecuación (b),
Si = 100 — q
Esta cantidad se denomina a veces 199 alargamiento efectivo. Cf'l
que el alargamiento s
tabla de las páginas 494-495 se dan algunos
resultados de ensayos estáticos para varios aceros.
Para definir la fatiga de fluencia y la de rotura se usa
corrientemente el área primitiva de la sección de la
probeta. La curva Oabcd de las figuras 250 y 252 se
ha obtenido de este modo. Esta curva representa las
fatigas verdaderas únicamente mientras la
deformación es pequeña. Para
199 La pequeña deformación elástica, durante la que el volumen cambia,
puede despreciarse frente a la comparativamente grande deformación plástica.
(C)
Es corrientemente mucho mayor
y. En la v
FIG. 252
406 RESISTEN OIA DE MATERIALES
deformaciones mayores debe tenerse en cuenta la reducción del área
de la sección para encontrar la fatiga verdadera. La curva bc'd' de la
figura 252 se obtiene multiplicando las ordenará das de la curva Oabcd por la relación -A, entre el área inicial
y el área A, que en cada momento del ensayo tiene la sección recta de
la probeta. De esta curva se deduce que, aunque la carga disminuye
desde el punto c, la fatiga verdadera continúa aumentando y alcanza
su valor máximo en el momento de la rotura.
La relación entre a y e, representada por la curva bc'd', es el verdadero
diagrama del ensayo a tracción y tiene un signifi
cado físico definido mientra» que la pieza «e deforma uniformemente.
Después de la formación del cuello el alargamiento no se distribuye
uniformemente a lo largo de la probeta, y la canti- 8 dad s — j carece de significado físico sencillo. Para estudiar
v
esta parte del diagrama de tracción se ha visto la gran utilidad de
trazar curvas cuyas coordenadas son la fatiga verdadera y i©
contracción en área q —ecuación (b)200 —. En la figura 253
puede verse una curva de esta clase correspondiente a un acero
dulce (0,05 por 100 de carbono) L Elpunto A de esta curva
corresponde a la iniciación del cuello a, y el trozo AB representa
200 Véase la publicación de F. Kórber y W. Rohland, Mitteilungen K. W.
Institute, vol. 5. pág. 37, 1924.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 407
todo el proceso. Se ve que la fatiga verdadera crece hasta el
momento de la rotura. Más adelante se verán algunas aplicaciones
de esta clase de curvas 3.
73. Ensayo de compresión.—-
La prueba de compresión se utiliza principalmente para ensayar
materiales quebradizos, tales como piedras, hormigón y fundición.
Para piedras y hormigón se utilizan corrientemente probetas .. .
.. —
cúbicas. Al comprimirlas entre las
superficies planas de la máquina de 1
ensayos se supone corrientemente
que la fuerza compresora se distri-
buye uniformemente sobre la sec- J
ción. La distribución real de fatigas ",i
es mucho más complicada, aunque
las superficies estén en contacto -
perfecto. Debido al rozamiento " ^ JT "
entre las superficies de contacto de Fia .25i
la probeta y la cabeza compresora
de ia máquina, la expansión lateral que acompaña a la compresión
está impedida en estas superficies, y el material de esta región en
situación más favorable. Consecuencia de ello es que el tipo de
rotura que acontece al ensayar a compresión probetas cúbicas de
hormigón es el que se ve en el fotograbado de la figura 254. El
material en contacto con la máquina resiste mientras que salta el de
las caras laterales. Para obtener la verdadera resistencia a
compresión de un material tal como hormigón, debe eliminarse o
reducirse al mínimo la influencia del rozamiento entre las
superficies de contacto. A este efecto, se recubren di-
408 RESISTENCIA DE MATERIALES
chas superficies con parafina 201. De esta forma se reduce mucho
la carga de rotura y el modo de fallar la probeta es completa-
mente diferente; una probeta cúbica se rompe gubdividiéndose en
láminas paralelas a una de las caras laterales. Otro método de eliminar el efecto de las fuerzas de rezamien-
to consiste en el empleo de probetas prismáticas cuya altura en la
dirección de la compresión es varias veces mayor que las dimensiones
laterales. La parte central del prisma está solicitada,
aproximadamente, a compresión uniforme 202. Un método interesante
de producir compresión uniforme en probetas cilindri
201 Véase la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Material■
prüfungsanstalt, Zurich, 1928. 202 Puede verse que, en diagramas tales como el OAB, la tangente AC, en
el punto A, representativo de la iniciación del cuello, corta a la ordenada q = 100 por 100 a una altura 2 oA.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 409
cas, usado por el Kaiser Wilhelm Instituto203, se
indica en la fígu • ra 255. Las partes de la máquina
de ensayo en contacto con la probeta cilindrica y los extremos de dicha
probeta son super- ficies cónicas de ángulo a igual al de rozamiento. La
influencia
del rozamiento se compensa con el efecto de cuña y
resulta una compresión uniforme. Los ensayos de compresión con ma-
teriales tales como hormigón, piedra y fundición muestran que
estos materiales tienen un límite de proporcionalidad muy bajo í. Pasado
el límite de proporcionalidad, la deformación aumenta
más rápidamente y el diagrama tiene la forma que indica la figura 256. A
veces conviene dar al diagrama una expresión ana
203 En la publicación de C. W. Mac Gregor, The Annual Meeting A. S. T. M.,
1940, puede verse una bibliografía completa referente al estudio de diagramas de ensayos a tracción,.
cr
O' FIG. 256
FIG. 255
PROPIEDADES MECÁNICAS DE DOS M ATERI ADES 410
lítica. Para estos casos, C. Bach propuso 204 ia ley exponencial dada por la
ecuación
donde n es un número que depende de las propiedades del material.
Bach encontró los valores n = 1,09 para el cemento puro y n ~ 1,13 para el
granito.
Los ensayos a compresión con materiales dúctiles muestran que ia forma
del diagrama depende en alto grado de las dimen
siones de la probeta. A medida que disminuye la dimensión en sentido de
la compresión, el efecto del rozamiento en las cabezas es más y más
importante y el diagrama se endereza. La figura 257 muestra los
resultados de ensayos a compresión 205 con cilindros de cobre para
diversas relaciones ^ del diámetro a la
altura de la probeta. En los ensayos a compresión de materiales
dúctiles,momo, por ejemplo, cobre, rara vez se produce rotura.
La compresión viene acompañada de una expansión lateral y el cilindro
comprimido toma, por último, ia forma de un disco.
74. Endurecimiento por deformación.—Bien conocido es el fenómeno de
que la deformación plástica hace más resistentes a los materiales
dúctiles, tales como acero dulce, cobre y aluminio. Su resistencia
204 Véase C. Bach, ElaMicitat u. FestigJceit, 5.a edición, pág. 67, Berlín, 1905. 205 Véase G. Sachs, Grundbegriffe der Mechanischen Technologie der Metalle,
pág. 36, Leipzig, 1925, í Véase Ewing, Strenght of Materials, pág. 35, 1914.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 411
aumenta y al mismo tiempo disminuye su ductilidad; es decir, el
alargamiento en un ensayo a tracción. Este endurecimiento, efecto de la
deformación plástica, se acusa
también en una elevación del punto de fluencia cuando el material
dúctil se ha deformado más allá del valor inicial de dicho punto. En la
figura 258 se ve el diagrama de un ensayo a tracción con acero dulce206.
Después de deformar la barra hasta el punto G, se descargó. Durante
esta descarga, el material siguió aproximadamente una ley lineal, línea
CD del diagrama. Al cargar de nuevo la barra, se obtiene la línea DF a lo
largo de la que el material siguió, aproximadamente, la ley de Hooke. En
el punto F, correspondiente al G de la carga anterior, la curva cambia
bruscamente de carácter y sigue el trozo FG, que puede considerarse
una prolongación de la curva BG. Este ie-
206 Westinghouse Elec. Mfg. Co. Research Laboratory. » I. Muir, Phil. Trans. Roy. Soc., 1899.
412 RESISTENCIA DE MATERIALES
nómeno es la elevación del punto de fluencia producido por deformación
del material. Si se deja transcurrir un intervalo de tiempo (varios días,
por ejemplo) entre la descarga y la nueva carga, puede obtenerse un
punto de fluencia más elevado todavía, indicado por la línea de trazos en
F'. La figura 259 muestra los resultados de ensayos a tracción con
fundición de aluminio L El límite de proporcionalidad inicial del
material fué 392 kilogra- mos/cm.2. Después de deformar la probeta basta
un 2 por 100, el límite de proporcionalidad al recargar se elevó a 1.400
kg./cm.2.
Investigaciones más completas han
mostrado que el tiempo transcurrido
entre la descarga y nueva carga tiene
gran influencia sobre la forma del
diagrama en la recarga. Si la recarga
sigue inmediatamente a la descarga, se
ha podido ver con determinaciones muy
cuidadosas que desde fati- 0 gas muy
bajas acontecen desvia- Fig. 260
ciones de la ley lineal y que el límite de
proporcionalidad ha descendido en alto
grado. Pero si se deja transcurrir un intervalo de tiempo considerable
entre descarga y recarga, el material recobra por completo sus propieda-
des elásticas. La figura 260 muestra las curvas obtenidas por Ewing para
un acero dulce. Si la carga se hace diez minutos después de ia descarga,
el material no sigue la ley de Hooke; realizada al cabo de cinco días, el
material había recobrado parcialmente su elasticidad, y al cabo de
veintiún días la recuperación fué completa.
Experimentalmente, se ve que si el material se somete a un
tratamiento térmico suave, por ejemplo, un baño a 100° C„ recobra sus
propiedades elásticas en mucho menos tiempo. En la figura 261 se ven
los resultados encontrados por I. Muir 2 con una barra de acero. El
ensayo inicial a tracción está representado por la curva A. La curva B
representa la recarga de la
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 413
misma barra diez minutos después de descargarla. Puede apreciarse una
desviación considerable de La ley de Hooke. La curva G es el diagrama
obtenido con la misma barra después de una segunda descarga y de un
tratamiento térmico a 100° C. durante cuatro minutos. Puede verse que
después de este tratamiento el material ha recobrado por completo sus
propiedades elásticas.
El fenómeno de endurecimiento por deformación plástica se
presenta en muchos procesos tecnológicos, tales como laminado
de barras o estirado de tubos y alambres a baja temperatura, cortado de
planchas con tijeras y punzonado de agujeros. En todos estos casos, la
parte del material que experimenta deformación plástica se endurece y
su ductilidad se reduce en alto grado207. Para eliminar este efecto
perjudicial, se acostumbra a dar al material un recocido, con lo que se
restablece su ductibi- lidad inicial208.
A veces, el endurecimiento por deformación de materiales dúctiles
tiene aplicaciones en fabricación.
Es corriente someter a una deformación plástica a las cadenas y
cables de las máquinas de elevación, a fin de eliminar deformaciones
perjudiciales en servicio.
Los cilindros de las prensas hidráulicas se someten a veces a una
presión interior inicial tal que produzca deformación permanente en las
paredes. El endurecimiento por deformación y las fatigas residuales
producidas evitan deformaciones permanentes en servicio. La
deformación plástica del material se emplea también a veces en la
207 Un estudio general sobre las propiedades de los metales trabajados en frío
puede verse en la publicación de Z. Jeffries y R. S. Archer, Chemical and Metallurgical Eng., vol. 27, pág. 747, 1922. Véase también G. Masing y M. Pobanyi, Kaltreckung und Verfestigung, Sprin* ger, Berlín, 1923.
208 Véase la publicación de Bees, Iron and Steel Inst. Journal, 1923.
414 RESISTENCIA DE MATERIALES
fabricación de cañones (véase página 248). Deformado el metal en la
pared de un cañón más allá del punto de fluencia inicial, y después
sometiéndole a un tratamiento térmico suave, se mejoran las
propiedades elásticas del material; al mismo tiempo, las fatigas iniciales
producidas, combinadas con las que produce la explosión, dan una
distribución de fatigas más favorable. Los discos de turbinas y los
rotores, en general, se someten a veces a un proceso análogo. Hacién-
dolos girar por encima de la velocidad de régimen, se obtiene una
deformación plástica alrededor del agujero central que además de elevar
el punto de fluencia del material en esa zona produce fatigas iniciales de
sentido conveniente x.
Los ventiladores de aluminio fundido se someten a veces a este
proceso para prevenir que en servicio puedan desprenderse de su eje. Al
montar las ruedas de las locomotoras sobre sus ejes, se procura producir
a veces una importante deformación plástica en sus cubos, lo que, según
se ha visto, produce efectos favorables.
Las delgas de los conmutadores en maquinaria eléctrica se hacen de
cobre trabajado en frío por estiramiento, a fin de darle la resistencia
requerida.
Al utilizar la deformación plástica en esta forma, a fin de elevar el
punto de fluencia y mejorar las propiedades elásticas de una estructura,
es necesario tener en cuenta: 1.° Que el endurecimiento desaparece al
someterla a temperaturas de recocido, y 2.° Que la deformación del
metal en una cierta dirección le robustece para tracciones en dicha
dirección, pues no mejora proporcionalmente las propiedades mecánicas
para compresio-
nes en la dirección citada209. Este fenómeno se ve claramente en la
figura 262, que representa diversos ensayos con cobre electrolítico
210. La curva (a) muestra las propiedades del cobre normalizado por
un recocido. El límite de proporcionalidad y el punto de fluencia 211
en este estado son muy bajos. Este material no puede emplearse en
estructuras sometidas a la acción de fati
209 Véase la publicación de W. Müller, Forschungsarbeiten, número 211, 1918.
Véase también G. Sachs, ya citado, pág. 400. a Westinghouse Elec. Mfg. Co. Research Laboratory. 211 El punto de fluencia se define como el punto en que el alargamiento o
acortamiento unitario es el 0,2 por 100.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 415
gas apreciables. La curva (b) representa los ensayos a tracción y
compresión del mismo material después de dar a la barra un
alargamiento del 15 por 100. El límite de proporcionalidad y el
punto de fluencia se han elevado, considerablemente y en especial
a tracción. Las curvas (e) y (d) corresponden a ensayos después de
un alargamiento del 20 y del 25 por 100, respectivamente. Se ve que
las propiedades mecánicas mejoran todavía
especialmente en tracción. Al mismo tiempo, el límite de pro-
porcionalidad a compresión desciende algo. La curva (e) representa
ensayos a tracción y compresión con una barra estirada a través de una
hilera con una reducción de un 15 por 100 en el área de la sección.
En este proceso de estirado el material está sometido, no sólo a
tracción longitudinal, sino a compresión lateral. A este hecho debe
atribuirse la diferencia entre las curvas (b) y (e). Aunque en ambos casos
la barra sufre la misma reducción en área, el material pasado por la
hilera tiene mejores propiedades mecánicas a compresión que el
sometido a estiramiento en una máquina de ensayos. -
El hecho de que un metal estirado en cierta dirección no mejora las
propiedades mecánicas a compresión en la misma proporción que lo
hace a tracción, debe tenerse en cuenta en los casos en que el material
está sometido a fatiga alterna (véase artículo 78).
Debe también tenerse en cuenta que, aunque el endurecimiento por
deformación eleva el punto de fluencia de un material, no afecta en el
416 RESISTENCIA DE MATERIALES
mismo grado a la carga de rotura, que seguramente es invariable. Al
mismo tiempo, el alargamiento y el coeficiente de reducción en área en
el momento de la rotura se reducen considerablemente, debido al
endurecimiento por deformación. Las curvas que representan la fatiga
verdadera en función de la contracción en área q (pág. 404) son muy
útiles para estudiar el efecto del endurecimiento por deformación. En la
figura 263 pueden verse varias curvas de este género obtenidas con
cobre estirado L La línea inferior representa el ensayo a tracción del
alambre de cobre en su estado inicial. Las otras curvas representan
ensayos a tracción del mismo alambre después de diversos grados de
estirado. La cantidad de trabajo en frío se indica por la reducción del
diámetro, cuyo valor para cada caso se da en milímetros. Los puntos A
señalan la iniciación del cuello y los puntos B el momento de la rotura.
Entre A y B, los diagramas son líneas rectas que se cortan prolongadas
en el punto común G. Estas curvas indican que el trabajo en frío no
afecta a la fatiga verdadera de rotura y solamente afecta de modo ligero
a la fatiga verdadera de iniciación del cuello. Por el contrario, afecta
considerablemente al alargamiento y contracción en área del material.
Como final de este estudio, debe notarse el que existen fundamentos
1 para afirmar que cuando un material ha experimen
tado fluencia en algún punto es en esta zona mucho más sensible a las
acciones químicas y tiene tendencia a corroerse a lo largo de las
superficies de deslizamiento. Este fenómeno tiene particular
importancia en el caso de calderas u otros depósitos sometidos
conjuntamente a fatigas y acción química.
75. Endurecimiento por deformación y fatigas residuales.— Para estudiar
las causas del endurecimiento por deformación de los metales, es
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 417
necesario considerar su estructura cristalina. Una probeta metálica es
un conglomerado dé cristales de tamaño tan pequeño que un centímetro
cúbico contiene millones de ellos. Para examinar la deformación plástica
de tales materiales cristalinos es muy útil investigar las propiedades
mecánicas de un cristal simple. En los últimos años se han desarrollado
métodos de preparación de grandes cristales simples a fin de hacer
posible el ensayo a tracción de probetas de gran tamaño formadas por
un cristal único 212. Los ensayos a tracción con probetas tales muestran
que las propiedades mecánicas de los cristales dependen en alto grado
de la dirección de la tensión con respecto a las direcciones de los ejes del
cristal. En el caso del cobre, por ejemplo, la relación entre la resistencia
máxima a tracción y su valor mínimo es 3 : 1 213. La deformación plástica
de estas pro-
betas consiste en un deslizamiento en cierta dirección a lo largo de
ciertos planos cristalográficos, tal como indica esquemática* mente la
figura 264 8. El comienzo del deslizamiento depende del valor de la fatiga
cortante a lo largo de dichos planos y en la dirección del deslizamiento y
es independiente de la fatiga normal que actúa sobre el mismo plano. A
medida que continúa el alargamiento de la probeta, aumenta el número
de planos a lo largo de los que acontece el deslizamiento y
paralelamente la fatiga cortante que obra sobre dichos planos. Este
aumento de fatiga necesario para que continúe la deformación de la
probeta representa el endurecimiento por deformación de un cristal
212 El desarrollo de métodos para producir grandes cristales se debe a los
trabajos de H. C. Carpenter y C. F. Elam, Proc, Roy. Soc., vol. 100 A, pág. 329, 1921; P. W. Bridgman, Proc. Ámer. Acad. Se., vol. 60, pág. 306, 1925; C. A. Edwards y Pfeil, Jour. Iron and Steel Inst., vol. 109, pág. 129, 1924. Los primeros grandes cristales de cobre se obtuvieron por J. Czochralski, F. D. I., pág. 536, 1923.
213 Véase J. Czochralski, Moderne Metallkunde, pág. 206, Ber
Fm. 264
418 RESISTENCIA DE MATERIALES
simple. Debido al tipo de deslizamiento que indica la figura 264 (6), un
cristal simple de material dúctil y sección circular se deforma afectando
su sección forma elíptica, y cuando se rompe, lo hace tomando la sección
de rotura forma de cuña, en lugar de forma cónica. En el caso de
cristales simples de materiales quebradizos, tales como sal gema, la
deformación debida a la acción del deslizamiento anteriormente
descrita es muy pequeña y la rotura acontece como resultado de
sobrepasar la cohesión sobre un plano de cierta dirección
cristalográfica; es decir, cuando la fatiga normal extensora ligada a este
plano alcanza un cierto límite crítico.
Los materiales cristalinos, tales como los metales empleados en la
industria, son conglomerados de cristales muy pequeños, que solamente
pueden verse con microscopios especiales sobre una superficie
finamente pulimentada y atacada de modo especial. En una probeta
corriente estos cristales están colocados al azar y las características
dadas por un ensayo a tracción representan las propiedades mecánicas
medias en diversas direcciones de un cristal simple 214. Debido al
pequeño tamaño y gran número de los cristales, estos valores son
corrientemente independientes de la dirección en que la probeta se
corte de un bloque de material2, y dicho material puede considerarse
como isótropo en el cálculo de fatigas y deformaciones de estructuras.
Observando microscópicamente la deformación de los cris-
214 El material intercristalino no se tiene en cuenta en este estudio.
Experimentalmente se ha visto que los planos de deslizamiento y. rotura acontecen siempre a través de los cristales y no entre ellos.
a El trabajo en frío puede producir, en cierto modo, modificación en la orientación de los cristales según una dirección. Las propiedades mecánicas a tracción de una probeta dependerán de la orientación de la probeta respecto a la dirección del trabajo en frío. La bibliografía sobre este asunto puede verse en la publicación de G. Sachs, O. Bauer y E. Goler, Zeitschrif f. Metallkunde, vol. 20, pág. 202, 1928. Véase también la publicación de W, Kósfer, Bericht nr. 23, d. Eidg. Mate- rial'prüfungsanstalt, Zurich, 1927.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 419
tales individuales que forman una probeta durante un ensayo a tracción,
se ve que la deformación de estos cristales en el conjunto es de la misma
naturaleza que en el caso de ensayar ún cristal simple. En cada cristal
simple, el deslizamiento es del tipo indicado en la figura 264 y comienza
cuando la fatiga extensora en la probeta alcanza un cierto valor que
depende de la orientación de este cristal respecto a la dirección de la
tracción. Sobre la superficie pulimentada, este deslizamiento se conoce
por líneas microscópicas denominadas bandas de deslizamiento. Este
deslizamiento termina en el contorno del cristal; en los cristales vecinos,
los planos de deslizamiento pueden tener otra dirección y comenzar el
deslizamiento cuando la fatiga en la probeta alcanza un valor diferente.
Se atribuye generalmente a estos deslizamientos en los cristales
colocados desfavorablemente respecto a la fatiga extensora en la
probeta las pequeñas desviaciones respecto a la ley de Hooke y las
pequeñas deformaciones permanentes que acontecen para fatigas
extensoras bajas en materiales que en general siguen la ley de Hooke.
Cuando el material tiene un acusado punto de fluencia y la fatiga exten-
sora en la probeta alcanza dicho punto, se presenta una amplia
deformación. Esta deformación consiste en el deslizamiento de grandes
zonas de la probeta a lo largo de planos inclinados a 45° con su eje; es
decir, a lo largo de los planos, para lo que la fatiga cortante es máxima.
Estos planos de deslizamiento se manifiestan en primer lugar en los
puntos de concentración de fatiga; por ejemplo, cerca de los acuerdos, en
las cabezas de la probeta, y se extienden gradualmente a lo largo de su
longitud 215. Si se pule con cuidado la superficie de una probeta, los
planos de deslizamiento se marcan en la superficie mediante líneas fácil-
mente reconocibles (véase fig. 214). Estas líneas fueron observadas
primeramente por Lueder, y se denominan líneas de Lueder 2. Debido a
la deformación indicada, los cristales individuales experimentan
endurecimiento por deformación, y si la probeta se descarga y carga de
nuevo, se verá que el punto de fluencia se ha elevado. .
215 Se supone que el material tiene un pronunciado punto de fluen- c'a, y que
durante la fluencia puede acontecer una gran deformación sin aumento de fatiga.
27
420 RESISTENCIA DE MATERIALES
Existe otro hecho de importancia. Como algunos cristales simples
pueden sufrir una deformación permanente durante un ensayo a
tracción, mientras que los cristales próximos, más favorablemente
orientados, solamente deforman elásticamente, se deduce que al
descargar podrán quedar en la probeta algunas fatigas residuales en los
cristales simples. Los cristales cuya deformación fué permanente no
recobran por completo su forma primitiva y, como resultado de ello,
ejercen efecto de cuña sobre los cristales próximos. La posibilidad de
fatigas de este tipo
puede verse mediante el sistema de tres barras de la figura 265.
Supondremos que las tres barras son de igual sección recta y del mismo
material. Se ve que por la acción de la carga P la fatiga en la barra
central es mayor que en las barras inclinadas (véase pág. 18, primera
parte)", es decir, igual que los cristales anteriormente mencionados, este
elemento del sistema está peor orientado que los otros. Si la carga se
aumenta gradualmente, esta barra será la primera en alcanzar el punto
de fluencia. La línea recta OA —fig. 265 (ó)—representa el diagrama de
deformación carga para este sistema, mientras las deformaciones son
elásticas. En A, la barra vertical comienza a fluir, y cuando la carga
aumenta será contrarrestada únicamente por las barras inclinadas x.
Por consiguiente, pasado A, los aumentos de carga producen mayores
incrementos de flecha que cuando estaban las tres barras en
condiciones elásticas y el diagrama seguirá una línea tal como la AB. Si,
una vez alcanzado B, se descarga gradualmente el sistema, la
deformación, debido al comportamiento elástico de las tres barras, sigue
la ley lineal representada por la línea recta BG, paralela a la O A.
Cuando la carga desaparece por completo, permanece la flecha OG y,
por consiguiente, existen fatigas de extensión en las barras inclinadas y
de compresión en la barra vertical después de la descarga. Estas fatigas
residuales se deben a la deformación plástica de la barra central. Si se
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FIG. 265
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■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 421
vuelve a cargar el sistema, el diagrama deformación carga seguirá la
línea CB y el punto de fluencia del sistema se habrá elevado hasta el
punto B correspondiente a la carga inicial. Si, después de la descarga, se
carga el sistema con una fuerza vertical dirigida hacia arriba, las fatigas
de compresión que se producen en las barras se superpondrán a las
fatigas residuales. Como la barra vertical tiene de antemano una com-
presión inicial, una fuerza en D —fig. 265 (ó)—menor que la
correspondiente al punto A bastará para ocasionar la fluencia de la
barra central, suponiendo que el punto de fluencia del material a
compresión sea el mismo que a tracción. Se deduce, por tanto, que una
carga previa eleva el punto de fluencia del material en la dirección de la
carga, pero al mismo tiempo le hace descender para una dirección
opuesta. Este estudio explica por qué una barra endurecida por
deformación tiene un punto de fluencia más alto a tracción que a
compresión (véase pág. 412).
Las fatigas residuales producidas por alargamiento uniforme de un
material cristalino tienen un carácter muy localizado. Se presentan en
regiones microscópicas alrededor de los cristales que han
experimentado deformación plástica y para fatigas medias en la probeta
relativamente bajas. En los procesos de estirado y laminado se producen
a veces fatigas residuales de carácter menos local. Al estirar, por
ejemplo, una barra a través de una hilera, se deforma en mayor grado el
metal de la zona exterior que el de la central. Las barras estiradas
tienen, por consiguiente, importantes fatigas residuales de extensión en
la superficie y de compresión en el centro. En una lámina de cobre de
sección rectangular estrecha la distribución de estas fatigas a cierta
distancia de los extremos es, aproximadamente, la que indica la figura
266 (a). Si la lámina se corta a lo largo, flexará en la forma que indica la
figura 266 (6).
Midiendo esta flexión, se ha visto que la fatiga residual máxima
producida por el estirado de barras de cobre es del orden del punto de
fluencia del material h Estas fatigas tienen gran importancia práctica.
Originan un alabeamiento perjudicial al
tornear.216, y a ellas deben atribuirse las fisuras que se presentan en
8 La primera investigación sistemática de estas fatigas fué realizada por
Heun. Véanse Zeitschr. f. Metallographie, vol. 1, 1910; Stahl und Eisen, vol. 31, pág. 760, 1911; Mitteilungen MateHálprüf. Ámt., vol. 35, pág. 1, 1917; Naturwiss.,
422 RESISTENCIA DE MATERIALES
aleaciones de cobre trabajadas en frío y sin normalizar posteriormente
217.
76. Tipos de rotura218.—En el artículo anterior se han examinado dos
tipos de rotura para probetas constituidas por un cristal simple. Si el
cristal es de un material dúctil, antes de la rotura se presenta una
deformación plástica consistente en un deslizamiento a lo largo de
ciertos planos y la sección transversal del cristal se reduce
considerablemente. En este caso, la resistencia del cristal depende
principalmente de la resistencia al deslizamiento. En el caso de un
cristal de material quebradizo, la rotura acontece sin reducción
apreciable de la sección y se debe a haberse sobrepasado las fuerzas de
cohesión en un cierto plano cristalográfico. En este caso, la resistencia
depende prin- eipalmente de la resistencia a la separación. Estos dos
tipos de rotura (rotura por deslizamiento y rotura por separación) se
presentan también en los materiales cristalinos formados como
agregado de pequeños cristales. En los casos de materiales tales como
fundición, la fractura acontece sin deformación plástica apreciable y en
una sección perpendicular a la dirección de la tensión. Esta rotura es del
tipo de «por separación». Si la probeta es de un material dúctil, tal como
acero dulce, la deformación plástica es importante y se presenta la
reducción del área de la sección transversal, debida al deslizamiento a lo
largo de planos inclinados a 45° con el eje de la probeta, antes de que
acontezca la rotura. Esta rotura es del tipo «por deslizamiento». Del
estudio de estas dos clases de rotura ha surgido la teoría 219 de que la
resistencia de un material depende de dos características: la resistencia
del material a la separación y la resistencia al deslizamiento. Si la
resistencia al deslizamiento es mayor que la resistencia a la separación,
tenemos un material quebradizo, y la rotura acontece sin deformación
apreciable, al sobrepasarse las fuerzas de cohesión. Si la resistencia a la
separación es mayor que la resistencia al deslizamiento, tenemos un
material dúctil. Primeramente se presenta el deslizamiento a lo largo de
planos inclinados y la rotura acontece después de una reducción
considerable en el área de la sección, cuando, debido al endurecimiento
por deformación y a la reducción en área indicada, la resistencia al
deslizamiento puede ser mayor que la resistencia a la separación.
La relación entre la resistencia a la separación y la resistencia al
vol. 9, pág. 321, 1921.
8 Véase The Failure of Metals under Internal and Prolonged Stress, publicada por Faraday Soc., London, 1921. Véase también G. Masing, Zeitschr. /. Metallkunde, pág. 257, 1924.
218 Una bibliografía completa sobre este tema puede verse en la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Materialprüfung, Diskus- sionsbericht nr. 35, der Eidg. Materialprüjungsanstalt, Zurich, 1928. Véase también P. Ludwik, Forschungsarbeiten, núm. 295, Berlín, 1927.
219 Véase P. Ludwik, ya citado, pág. 420.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 423
deslizamiento no permanece constante para el mismo material. Depende
en alto grado de la velocidad de deformación y de la temperatura a que
se efectúa el ensayo. La resistencia al deslizamiento crece a medida que
aumenta la velocidad de deformación y desciende la temperatura. La
resistencia a la separación no varía en el mismo grado por estas causas.
Esto explica el por qué una barra de cinc puede flexar como material
dúctil si la carga se aplica muy lentamente, mientras que la misma barra
rompe sin deformación plástica si la carga se aplica con
r
422 RESISTENCIA DE MATERIALES
gran rapidez1. Otro ejemplo es el asfalto. Puede fluir por su propio peso,
al cabo del tiempo; pero se comporta como quebradizo para fuerzas
rápidamente aplicadas. En ambos casos, la resistencia al deslizamiento
era menor que la resistencia a la separación para deformaciones lentas y
los materiales se comportaban como dúctiles. Para altas velocidades de
deformación, la relación entre las resistencias de los dos tipos se invierte
y ambos materiales se comportan como quebradizos.
El tipo de rotura depende también del modo de cargar la pieza. Si el
tipo de carga impide la rotura por separación, puede obtenerse una
deformación plástica considerable en cuerpos considerados
corrientemente quebradizos. Esto explica la deformación plástica de
rocas sometidas a grandes presiones por todas sus caras 2. Del mismo
modo, un material dúctil puede romper en la forma que lo hacen los
quebradizos, si las condiciones son tales que el deslizamiento está
impedido. Este último caso tiene gran importancia práctica y vale la
pena examinar más detalladamente las condiciones en las que puede
presentarse esta fractura quebradiza. La experiencia muestra que estas
fracturas se deben a veces a las fatigas residuales por el trabajo en frío o
a las fatigas térmicas, y se atribuyen a una de las dos causas siguientes:
1.a A un estado elástico triple, y 2.a A un deslizamiento impedido.
La ductilidad de los materiales se determina corrientemente por un
ensayo a extensión simple.
En este ensayo es constante la relación entre la fatiga extensora
máxima y la cortante máxima e igual a dos. En estas condiciones se
sobrepasa primeramente la resistencia al deslizamiento y se produce la
rotura del tipo «por deslizamiento». Supongamos ahora un estado
elástico triple tal como el representado en la figura 51 de la Primera
parte por los círculos de
Mohr. La fatiga cortante máxima es en este caso —■ ■——, y si
c2 es igual, aproximadamente, a ax, la fatiga extensora máxima puede ser
muchas veces mayor que la fatiga cortante máxima.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 423
Puede, por tanto, acontecer la rotura por sobrepasarse las fuerzas de
cohesión en el plano sobre el que actúa la fatiga extensora máxima, sin
que se presente deslizamiento alguno. Esta rotura no está acompañada
de deformación plástica apreciable y pertenece al tipo de rotura
quebradiza, aunque el material se haya
comportado como muy dúctil en el ensayo
a extensión simple. La figura 26 7
representa el comienzo de la rotura en el
cuello de una probeta formada por un
material dúctil y sometido a extensión
simple 220. En la parte central de la
sección del cuello el estado elástico es
triple. Debido a la fluencia los elementos
de esa zona experimentan, aparte de
la tensión axial, otras de dirección radial.
Esto origina roturas de tipo quebradizo
en el centro de la sección, tal como indica la figura. Al mismo tiempo
continúa la fluencia por deslizamiento del material próximo a la
superficie, y, finalmente, se presenta la rotura por deslizamiento
en toda la parte externa de la sección. La influencia de la forma
de la probeta sobre el tipo de rotura se ve fácilmente ensayando a
tracción probetas con cuellos tales como la de la figura 268. Debido a la
presencia de las partes de mayor diámetro D, está impedido el
deslizamiento a lo largo de planos a 45° en el estrechamiento y, por
tanto, limitada la reducción en área de la sección del cuello durante el
ensayo a tracción. Esta acción aumenta, como es natural, a
medida que disminuye la longitud 8 del cuello. En la tabla si-
guiente se dan los resultados de ensayos de este tipo para
dos materiales diferentes a: 1.° Acero al carbono con un limite de
proporcionalidad de 4.400 kg./cm.2; punto de fluencia, 5.100 ki-
logramos/em.2; fatiga de rotura, 8.000 kg./cm.2; alargamiento, 26 l/2 por
100, y contracción en área, 55 por 100. 2.° Acero al níquel cromo con un
límite de proporcionalidad de 6.000 kg./cm.2; punto de fluencia, 6.500
kg./cm.2; fatiga de rotura, 8.500 kg./cm.2; alargamiento, 27 por 100, y
contracción en área, 69 por 100. Estos datos corresponden a ensayos
ordinarios de tracción con probetas cilindricas de x/2 pulgada de diáme-
tro y 2 pulgadas de longitud útil; las fatigas están referidas aJ área de la
sección primitiva. Las probetas del tipo de la figu-
220 En este ensayo el material fué aluminio; véase P. Ludwik, V. D. vol. 71,
1927.
FIG. 267
-W ci
\P Fig.
268
424 RESISTENCIA DE MATERIALES
1 , , ' ~ , 1 , , . 1 , g pulga-
La tabla muestra que én todos los casos la carga de rotura fué mayor
para las probetas con cuellos que para las probetas cilindricas. En las
probetas con estrechamientos la contracción en área es pequeña y la
fractura es del tipo correspondiente a materiales quebradizos. La fatiga
verdadera de rotura fué mayor en las probetas cilindricas que en las que
tenían cuellos, debido a que la rotura de las probetas cilindricas
acontece después de una gran deformación plástica; por ello nace
endurecimiento por
- pulgada, L = 1 - pulgada y a ra 268 tienen d = da, pulgada,
^ pulgada
TABLA XXV
FATIGA DE ROTURA PARA PROBETAS CILÍNDRIOAS CON OTTETXOS
Fatiga de rotura
Fatiga de rotura
8 o
8
Área inicial Área re-ducida
0 a 0 U o
8
Área inicial Área re-ducida
-s cS O 08
¿puig.
13.000 kg./cm.a 14.000 ® 0 JT 'tí ¿Pdg.
15.000 kg./cma
18.800
1 «!
1 16 * 13.100 » 14.000
'3 O ÍH ® O
1
16 * 1 8 *
14.500 » 18.400
1 8" *
11.200 » 12.500
12.200 » 16.000
Pro
n
beta nor-ial .........
8000 » 18.000 Pro
n
beta nor-ial ......... 8.500
27.500
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 425
deformación y se aumenta, no sólo la resistencia al deslizamiento, sino
también la resistencia a la separación.
Efecto análogo al de la garganta estrecha de la figura 268 pueden
producir las cavidades debidas a forja y fundiciones. Las fatigas
térmicas y residuales pueden combinarse con el efecto de concentración
de fatiga en la cavidad y producir fisuras y hasta roturas con las
características de fractura quebradiza, aunque el material se haya
comportado como dúctil en el ensayo a tracción simple.
La combinación de estas formas de probeta con una gran velocidad
en la aplicación de la carga puede producir un efecto todavía más
acentuado. Tal es el caso de choque en probetas con cuellos. Otro tipo de
rotura de materiales dúctiles sin deformación plástica apreciable es el
originado por fatiga alterna. Es un caso de gran importancia práctica y
se examinará en artículo aparte (véase pág. 431).
77. Tiempo de efecto e histéresis.—La experiencia muestra que cuando
una carga extensora se aplica a una barra no se produce
inmediatamente el alargamiento correspondiente de modo completo.
Durante una cantidad considerable de tiempo la barra continúa
alargando lentamente. Este «tiempo de efecto» depende del material de
la barra y del valor de la fatiga. En el caso de una probeta formada por
un cristal simple cargado por debajo del límite de proporcionalidad, el
tiempo de efecto es muy pequeño y se explica su existencia por con-
sideraciones termodinámicas y eléctricas. Supongamos que la barra se
carga rápidamente en la forma que indica el trozo O A del diagrama (fig.
269). Fig. 269 El proceso de alargamiento puede considerarse adiabático;
viene acompañado de un descenso en la temperatura de la barra debido
al aumento de su volumen. La barra se calienta gradualmente hasta su
temperatura inicial, y por ello alarga la cantidad adicional AB sin
cambio de carga. Cuando se descarga rápidamente se obtiene la línea
recta BC del diagrama. En G, y debido a la disminución de volumen
ocasionado por la descarga, la barra tiene una temperatura mayor que la
inicial, y al cabo del tiempo, por enfriamiento, acorta la cantidad 00.
Aunque las deformaciones AB y 00 son muy pequeñas, se ve que puede
existir un cierto tiempo de efecto, debido a causas térmicas, en el caso de
una sustancia elástica solicitada por debajo del límite de
proporcionalidad 1.
Análogo efecto puede producirse, bajo ciertas condiciones, por
causas eléctricas 2. En el caso de materiales heterogéneos, como los del
comercio, el tiempo de efecto es mucho mayor. No puede explicarse
únicamente por causas térmicas, y se atribuye corrientemente a la
continuación de la deformación por desliza
426 RESISTENCIA DE MATERIALES
miento a través de cristales orientados desfavorablemente. El tiempo de
efecto en la descarga se explica por el deslizamiento que producen las
fatigas residuales a través de cristales desfavorablemente orientados y
que se prolonga hasta algún tiempo después de desaparecer la carga.
Para estudiar el tiempo de efecto debe distinguirse, entre los
metales, los de un punto bajo de fusión, como plomo o cinc, de los que lo
tienen mucho más alto, como el acero o el cobre 3. Los ensayos muestran
que los diagramas a tracción o compresión, de los metales del primer
grupo, dependen en alto grado de la velocidad con que se hacen los
experimentos. En la figura 270
1 W. Thomson, Quarterly Journal of Math., 1865. 8 Véase A. F. Joffe, The Physics of Crystals, New-York, 1928. 8 Estos metales a temperaturas próximas a sus puntos de fusión tienen las
características de los primeros, a la temperatura ambiente (véase pág. 461).
pueden verse varios diagramas de compresión para plomo a diferentes
velocidades de carga 221. En dichos diagramas se usan como coordenadas
el acortamiento unitario (en tanto por ciento) y la fatiga verdadera de
compresión En las curvas se indican las velocidades de acortamiento en
tanto por ciento por segundo. Si la velocidad de compresión unitaria es
0,0003 por ÍOO por segundo, la carga permanece prácticamente
constante después de lograrse un acortamiento unitario del 10 por 100.
El gran efecto de la velocidad de acortamiento sobre estos metales
221 Véase la publicación de E. Siebel y A. Pomp, Mitteilungen K. W. Institut,
vol. 10, pág. 63, 1928, .
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 427
se explica por su recristalización a la temperatura ambiente. El efecto de
endurecimiento que acompaña a la deformación plástica desaparece por
recristalización si el proceso de carga se lleva con la suficiente lentitud.
En el caso de metales con alto punto de fusión la velocidad 'me un
efecto más reducido. La figura 271 representa varios .gramas
correspondientes a compresión de acero. Los números tienen igual
significado que en el caso anterior. Se ve que el efecto más importante
de la velocidad es variar la posición del punto de fluencia inferior. Para
grandes velocidades de carga el punto de fluencia del acero dulce es un
30 por 100 mayor, aproximadamente, que su valor a pequeña velocidad
de ensayo. Este
428 RESISTENCIA DE MATERIALES
fenómeno tiene importancia en el ensayo al choque de metales y explica
por qué los ensayos dinámicos requieren más trabajo que los estáticos
en probetas del mismo material. El estudio realizado sobre el tiempo de
efecto muestra que, aun en el casó ideal de un cristal simple (fig. 269),
existen diferencias entre la curva que representa la carga de la probeta
y la curva de descarga, lo que indica que en un ciclo completo de carga y
descarga se pierde cierta cantidad de energía. En la figura 269 el área
OA BD representa el trabajo realizado en el proceso de carga (véase pág.
274, Primera parle)-, el área BGD, el trabajo recuperado en la descarga,
y, por consiguiente, el área OABC representa el trabajo perdido por
ciclo. Esta cantidad es muy pequeña, y puede eliminarse si el proceso de
carga y descarga se lleva tan rápidamente que no se realicen cambios
apreciables de calor. Este estado se presenta, por ejemplo, en las
vibraciones de alta frecuencia producidas en un cristal simple. La pér-
dida de energía debida a causas eléctricas puede eliminarse, como en el
caso de un cristal de cuarzo, escogiendo una cierta dirección
cristalográfica para la tracción y compresión V Esta propiedad se aplica
extensamente en la generación y sostenimiento de vibraciones
eléctricas. Debido a la pequeñísima cantidad de energía perdida, los
osciladores de cuarzo presentan un efecto de resonancia muy acusado
para altas frecuencias.
Si una probeta formada por un cristal simple se
deforma por encima del límite de proporcionalidad
basta que se presenta el e deslizamiento, y entonces se
descarga y car- Fig. 272 ga nuevamente, se obtiene un
diagrama, deformación-fatiga, como el representado
en la figura 272. Después de repetir la carga y descarga
puede llegarse 2 a un estado tal para el que no se
origina variación apre- ciable en la deformación
permanente en G. El ciclo ABCD será
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 429
entonces «elástico». La energía perdida durante cada ciclo, y re-
presentada por el área A BGD, es corrientemente mayor que la
examinada en la figura 269, y no puede justificarse de modo completo
por las causas térmicas y eléctricas anteriormente mencionadas. El lazo
A BGD se obtiene también con materiales amorfos, como el vidrio. Este
fenómeno se denomina histéresis elástica. Para materiales cristalinos
puede explicarse, en parte, del modo expuesto anteriormente (véase pág.
426);. pero se desconoce todavía la explicación completa del fenómeno
222.
Las áreas de los ciclos de histéresis representan la energía perdida
por ciclo, y tienen interés práctico porque este valor de la energía
determina las propiedades de amortiguamiento del material. Los
ensayos y medidas realizados con acero por Ro- wett 223 muestran que
esta energía aumenta como el cubo de la fatiga máxima durante cada
ciclo. Este tema ha sido estudiado también por B. Hopkinson 224, y más
recientemente por O. Eóppl 225. Los ciclos de histéresis pueden
estudiarse mediante ei modelo de la figura 273 226. Consta de una barra
fija Ay dos bloques móviles de madera B y G, que pueden deslizar a lo
largo de la varilla de acero unida a A. El bloque B desliza libremente,
mientras que el G, unido al B por el resorte helicoidal, se mueve
venciendo un rozamiento reglable. La figura 273 (b) representa la
relación entre la fuerza P, aplicada al bloque B, y el desplazamiento de
este bloque. En m se sobrepasa el rozamiento del bloque C, y continúa el
deslizamiento sin aumento de la carga. La figura 273 (c) representa ej
ciclo obtenido, aplicando una carga, primero en una dirección y después
en la contraria. Otros de los fenómenos que se presentan en tracción y
compresión, tales como la desviación de la ley lineal en el límite de
proporcionalidad, la fluencia, los ciclos de histéresis, las fatigas
residuales, etc., se pueden estudiar con un modelo formado por varios
análogos al de la figura 273, dispuestos paralelamente y cuyos bloques B
forman uno solo. Cada unidad representa un cristal de una probeta que
está formada por varios. El que un
222 Véase la teoría de histéresis por Bennewitz, Physikál. Zeitschr., vol. 21,
pág. 703, 1920, y vol. 25, pág. 417, 1924. Un modelo mecánico muy interesante para poner de manifiesto el tiempo de efecto y la his- tóresis se debe a L. Prandtl; véase Zeitschr. /. angew. Math. u. Mecha- nik, vol. 8, pág. 85, 1928.
8 Rowett, Proc. Boy. Soc., vol. 89, pág. 528, 1913. 8 B. Hopkinson y G. T. Williams, Proc. Roy. Soc. (A), vol. 87, 1912.
225 O. Foppl y E. Becker, Porschungsarbeiten, núm, 304, 1928. Véanse también Beports of the International Gongress of Applied Mechamos, Zurich, 1926, y Mitteilungen des Wohler-Instituís, Braunsch- weig, Heft, 30, 1937. Para bibliografía sobre histéresis véase Fromm, Handbuch Phys. and Techn. Mech., vol. 4, pág. 436, 1931.
430 RESISTENCIA DE MATERIALES
bloque individual G empiece a deslizar representa la fluencia de un
cristal individual. Ajustando el rozamiento en los bloques G, se pueden
obtener diagramas de diversos tipos. Cuando el rozamiento de los
bloques individuales es muy diferente, existe una gran diferencia entre
el límite de proporcionalidad y el punto de fluencia, tal como indica la
figura 273 (d). Igualando los rozamientos se obtiene un diagrama que,
como el de la figura 273 (ó), presenta un bien definido punto de fluencia.
Si el rozamiento de los bloques individuales G difiere, el deslizamiento
comenzará para cada uno en posiciones diferentes de B, y después de la
descarga quedarán algunas fuerzas en los resortes que representan las
fatigas residuales producidas por deformación en probetas de varios
cristales.
78. La fatiga alterna en los metales K— Los órganos de las máquinas
están solicitados frecuentemente a fatigas variables, y es muy
importante conocer la resistencia de los materiales en estas condiciones
2. Bien conocido es el fenómeno de que, por cargas y descargas repetidas
o por fatiga alterna, se produce la rotura para una fatiga menor que la
de rotura del material, obtenida en el ensayo estático, y que el valor de
aquella fatiga disminuye a medida que el número de ciclos aumenta. El
ensayo de un material en esta forma se denomina «ensayo a fatiga
variable».
Si amáx y <Jmín son, respectivamente, los valores máximo y mínimo
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 431
dé la fatiga variable, su diferencia algébrica
■ = 'bnáx min (®)
se denomina «recorrido de fatiga». El ciclo queda definido si se dan la
fatiga máxima y el recorrido. La fatiga media es
~ ~ (^máx "1" CTmíii)' (Ó) A
En el caso particular de fatiga alterna <rmiu = — crmáx, E = 2amáx, om =
0. Un ciclo de fatiga variable puede obtenerse superponiendo a un ciclo
de fatiga alterna una fatiga constante igual a la media. Los valores
máximo y mínimo de la fatiga variable serán
, K _ E . ^máx — am "r. _ > ^mín — \c)
A A
Existen varios métodos para aplicar la carga en un ensayo a fatiga
variable. La probeta puede someterse a tracción y compresión, á flexión,
a torsión, o a algunas combinaciones de estas solicitaciones. Lo más
sencillo es la flexión alterna 1. En la figura 274 puede verse una forma
corriente de voladizo para ensayos de fatiga variable 2. La sección de la
probeta varía a lo largo de su longitud, de modo que la fatiga máxima
acontece entre las secciones mn y m-$ix, y es prácticamente constante
entre ellas. El efecto de la concentración de fatiga se elimina empleando
un gran radio para el acuerdo y aumentando la sección de la pieza en
sus proximidades. La carga P se dirige siempre hacia abajo en tanto la
probeta gira. La fatiga cambia, por
consiguiente, de signo cada media revolución y el número de ciclos es
igual al número de revoluciones de la máquina. El ensayo es a fatiga
alterna, la fatiga media es nula y el recorrido igual a dos veces ermáx-
Tomando diversas probetas y ensayándolas con varias cargas P, puede
trazarse una curva como la de la figura 275. En ella amáx se representa
como función del número de ciclos n, necesarios para producir la rotura.
La curva de la figura corresponde a un acero dulce. Al principio cmáX dis-
minuye rápidamente con el crecer de n; pero más allá de los cuatro o
cinco millones de ciclos no existe cambio apreciable en cmáx, y la curva
se aproxima asintóticamente a la línea horizontal cm4X = 2.100 kg./cm.2
Esta fatiga se denomina límite de tolerancia del material ensayado a
fatiga alterna. En la práctica, las abscisas de la curva de la figura 275
FIG. 274
432 RESISTENCIA DE MATERIALES
son el logaritmo de n. De este modo se estudia mejor la parte de la curva
que define el limite de tolerancia.
Existe una gran diferencia entre el modo de romper las probetas de
acero dulce, ensayadas estáticamente, y las que se ensayan a fatiga
alterna. En el primer caso, antes de la rotura se produce una gran
fluencia, y en la sección de rotura se aprecian fibras muy estiradas
debido a la gran deformac'ón de los cristales. La rotura por fatiga
alterna es muy distinta. Se produce una fisura, debido a un defecto local
del material o a concentra-
ción de fatiga por cambio brusco de sección, y, una vez formada, se
extiende por la acción de la fatiga alterna hasta que, por la
reducción progresiva de la sección, acontece la rotura súbita. En la
sección de rotura se aprecian dos zonas, una debida al avance
gradual de la fisura y la otra a la rotura súbita. Esta última es
análoga a la de rotura por tracción de una probeta con una ranura
estrecha (véase pág. 423), en la que la forma impide el deslizamiento,
y la rotura acontece por sobrepasarse las fuerzas de cohesión; esta
fractura es del tipo quebradizo, tal como la de la fundición, aunque
el materia] sea dúctil. En el caso de probetas tipo cantilever (fig.
274), la fatiga máxima acontece en las fibras exteriores; la fisura
salta corrientemente en la superficie y se extiende hacia el centro En
las piezas que presentan concentración de fatiga debida a acuerdos,
gargantas o agujeros, la fisura aparece corrientemente en la parte
más RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n
Ó JO
*8
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 433
castigada y se extiende alrededor de este punto como centro; en este caso la sección de rotura presenta anillos concéntricos con relación al punto en que comenzó la fisura. Esta rotura por fatiga alterna constituye un tipo de rotura característico en órganos de máquina.
W. Fairbairn fué el primero que estableció, a base de un gran
número de experimentos con vigas de hierro forjado 227, que existe
una fatiga límite, aplicable con seguridad un número infinito de
veces. Esta hipótesis, después de un gran número de ensayos a, ha
sido aceptada con generalidad, y hoy se admite que para la mayoría
de los metales existe un recorrido de fatiga que puede ser resistido
sin rotura un número infinito de ciclos.
Experimentalmente se ha visto que para aleaciones de hierro el
límite de tolerancia puede establecerse con suficiente aproximación
a base de 6 a 10 millones de ciclos 228. El problema de fijar el número
de ciclos necesario para establecer el límite de tolerancia es de gran
importancia práctica.
De lo expuesto se deduce que la determinación del limite de
tolerancia para un cierto material requiere mucho tiempo y un
considerable número de ensayos. Sería, por consiguiente, muy
interesante establecer relaciones entre dicho límite y las otras
propiedades mecánicas que se deducen del ensayo estático. A pesar
del gran número de datos acumulados no ha sido posible establecer
esta correlación 229. Como una aproximación grosera puede tomarse,
en el caso de aleaciones férricas, para el límite de tolerancia en
fatiga alterna, el valor 0,40 a 0,55 de la fatiga de rotura obtenida en el
ensayo a tracción. Cuando se trata de materiales pertenecientes a un
grupo, tales como aceros al carbono, cuyas propiedades mecánicas
son conocidas perfectamente, la estimación anterior es suficiente. Si
esta aproximación se juzga errónea, se recurre a la determinación
directa del límite de tolerancia. En la tabla de las páginas 494 y 495
se dan algunos resultados de ensayos a fatiga alterna con aceros.
En la mayoría de los casos los ensayos a fatiga variable se
disponen de modo que solamente se determina el límite de tolerancia
para fatiga alterna (crniáx = — tfmín), mientras que las condiciones
de trabajo en muchas piezas son de fatiga variable, pero no alterna.
Es necesario, pues, conocer el límite de tolerancia para dicha fatiga
variable.
A. Wohler ha sido el primer investigador que de un modo
sistemático ha estudiado el fenómeno de fatiga variable L De sus
227 Véase W. Fairbairn, Phil. Trans. Roy. Soc., 1864. 8 Véase H. F. Moore y J. B. Kommers, Bulletin, núm. 131, Eng. Expt. Stat.
University of Illinois, U. S. A. * Véase el libro de H. J. Gough, ya citado, pág. 431. Véanse también sus
publicaciones, ya citadas, pág. 431.
434 RESISTENCIA DE MATERIALES
experimentos se deduce que el recorrido de fatiga R, necesario para
producir la rotura, disminuye n medida que la fatiga media om
aumenta. A base de estos trabajos y de los de Bau- schinger 230, W.
Gerber ha propuesto 231 una ley parabólica para expresar la
dependencia entre el recorrido de fatiga R y la fatiga media crm. En
la figura 276 se dan varias curvas parabólicas, en las que la fatiga
media y el recorrido de fatiga se expresan como fracciones de la
fatiga de rotura. El recorrido es máximo cuando la fatiga es alterna
(crm — 0), y tiende hacia cero cuando la fatiga media tiende a la
fatiga de rotura. Si se conocen el límite de tolerancia para fatiga
alterna y la fatiga de rotura, puede calcularse, mediante dichas
curvas, el límite de tolerancia para cualquier fatiga variable. Otras
investigaciones más recientes muestran que no existe ley fija que
relacione la fatiga media y el recorrido de fatiga 232. Por ejemplo,
hay materiales 233 para los que la relación real entre R y orm está
mejor representada que por las parábolas por las líneas rectas
indicadas de trazos, en la figura 276. Las líneas rectas O A y OB de la
figura, cuya pendiente es igual a 2, determinan la región OAB, en la
que la fatiga cambia de signo durante un ciclo. Fuera de esta región
la fatiga variable es siempre tracción o compresión. Los resultados
experimentales para la región AOB quedan de ordinario entre las
parábolas y las líneas rectas correspondientes L Cuando la fatiga es
siempre tracción o compresión, los recorridos B, obtenidos por
ensayos, caen algunas veces no sólo
a J. Bauschinger, Mitteilungen d. Meohanischtechnisehen Laborato- riums
in München, núms. 13 y 25. ® W. Gerber, Zeitschr. d. Bayerischen Arch. und Ing.-Vereins, 1874.
Véase también el libro de Unwin, Elemente of Machine Design, vol. 1, cap. 2. 232 En el caso de acero dulce, W. Masón encontró para esta relación el valor
0,50; Proc. Inst. Mech. Engrs., pág. 121, London, 1917. H. F. Moore y T. M. Jasper encontraron como valor medio de esta relación 0,56; Bulletin, núm. 136, Eng. Expt. Sia. University of Illinois. Me. Adam encontró que esta relación variaba entre 0,55 y 0,68 para un gran número de materiales; Proc. Amer. Soc. Test. Mat., volumen 23, 1923.
1 K. Hohenemser y W. Prager, Metallwirtschaft, vol. 12, pág. 342, 1933; para la descripción de la máquina empleada en estos experimentos, véase la publicación de E. Lehr y W. Prager, en Forschung., volumen 4, 1933. H. J. Gough, ya citado, pág. 431. Véanse también sus publicaciones, ya citadas, pág. 431.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 435
por debajo de las parábolas de Gerber, sino también por debajo de
las líneas rectas.
Todos los resultados analizados hasta ahora se obtuvieron de
ensayos a tracción-compresión, o de ensayos por flexión, y en ambos
el estado elástico es una solicitación axial única. En la práctica
abundan los problemas de combinación de fatigas, y es muy
interesante conocer el límite de tolerancia en tales condiciones. El
caso más sencillo es el cortante puro, que corresponde a los ejes
sometidos a torsión. Se han hecho numerosos ensayos a torsión
variable, y de ellos se ha deducido el limite de tolerancia. De estos
ensayos se ha visto que la relación entre el límite de tolerancia por
cortadura y el de tracción-compresión vale alrededor de 0,50, o un
poco menos de este valor a.
Combinando torsión alterna con tensión axial constante se ve 1
que el límite de tolerancia en cortadura ? puede deducirse de la
ecuación CT*
2i + 'T = 1 («) T « ®nl t .
donde t6 es el límite de tolerancia para torsión alterna sin tensión
axial, a es la fatiga axial aplicada y cult la fatiga de rotura del
material a tracción.
La combinación de flexión alterna con torsión alterna obrando
en fase ha sido estudiada por H. J. Gough y H. V. Pollard 2. Variando
la relación entre el momento flector máximo y el momento torsor
máximo, se vió qué en el caso de acero dulce al carbono y de acero
cromo-níquel los valores límites de las fatigas o y t, por flexión y
cortante, respectivamente, están ligados por la ecuación Ga T2
i, (b) ■ t2
donde Ge es el límite de tolerancia por flexión y t, el límite de
tolerancia por torsión.
En el caso de materiales quebradizos, tales como fundición, los
mismos experimentos han mostrado que la acción de la fatiga
436 RESISTENCIA DE MATERIALES
variable depende solamente del valor de la fatiga principa] máxima,
y que la rotura acontece cuando estemáximo se
aproxima alvalor dél límite de tolerancia, hallado, mediante
el en
sayo corriente, con el cantilever giratorio.
79. Diversos factores que afectan al límite de tolerancia.— Como
complemento del estudio general expuesto en el artículo anterior
vamos a examinar ahora los diversos factores que pueden afectar a
los resultados obtenidos en los ensayos a fatiga variable.
Efecto del trabajo en frío sobre el límite de tolerancia.—Al es-
tudiar el estirado, hilado y laminado de los metales dúctiles a la
temperatura ambiente se señaló (véase art. 74) que, debido a ese
trabajo en frío, el material se hace más resistente, el punto de
fluencia se eleva y la fatiga de rotura aumenta algo. Por tanto, es
lógico esperar que el trabajo en frío afecte también al límite de
tolerancia del material. Ensayando probetas de acero sometidas a
estirado en frío 234 se ha visto que una pequeña deformación produce
un ligero aumento del límite de tolerancia. Aumentando
ulteriormente el trabajo en frío puede llegarse a un punto en el que
se presenta un descenso del límite de tolerancia, debido ai exceso de
trabajo 235. Se puede mejorar un material trabajado en frío
sometiéndole después a un tratamiento térmico suave, metiéndole,
por ejemplo, en agua hirviendo durante algún tiempo.
Sobrecarga previa y carga lenta.—Se han realizado experi-
mentos en los que a la probeta se la ha sometido a un cierto número
de ciclos de fatiga alterna, superior al límite de tolerancia, antes de
proceder al ensayo corriente por fatiga alterna. Tal sobrecarga de
las probetas muestra que existe un número límite de ciclos de
sobrecarga, función del valor máximo de la fatiga empleada, por
debajo del cual el límite de tolerancia no está influido por la
sobrecarga; pero pasado aquél el límite de tolerancia disminuye.
Representando gráficamente la fatiga máxima de los ciclos de
sobrecarga en función del número limite de estos ciclos, se obtiene
una curva de deterioro 236 del material ensayado. El área definida
por debajo de esta curva representa los diversos grados de
sobrecarga que no perjudican al material. La curva de deterioro
tiene importancia práctica cuando se estudian órganos de máquina
que trabajan normalmente a fatiga alterna por debajo del límite de
tolerancia, pero sujetos de vez en cuando a ciclos de sobrecarga. Si
234 H. F. Moore y J. B. Kommers, Bull., núm. 124, Univ. of Illinois
Eng. Exper. Sta., 1921, y O. J. Horger, Trans. A. S. M. E., vol. 57 A, pág. 128, 1935. Moore, en sus experimentos, utilizó acero al carbono con 0,18 por 100 de C y unas deformaciones del 8 y 18 por 100. Hor
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 437
se conoce el valor de la sobrecarga, puede determinarse fácilmente,
mediante la curva de deterioro, el número de ciclos que sin
perjuicio puede sufrir la pieza 237.
Llevando el ensayo a fatiga alterna hasta una carga muy próxima
y por debajo del límite de tolerancia, y aumentando después la carga
por incrementos muy pequeños, puede obtenerse una elevación del
límite de tolerancia. Este fenómeno se denomina efecto de «carga
lenta». La cantidad que de esta forma puede elevarse el límite de
tolerancia depende del material238. Para acero dulce esta cantidad
es, a veces, el 30 por 100 del límite de tolerancia primitivo, mientras
que para el cobre el límite de tolerancia no se modifica de modo
apreciable por la carga lenta.
Efecto de frecuencia.—El efecto de la frecuencia de los ciclos en
los ensayos a fatiga alterna se ha estudiado también; pero no se ha
obtenido efecto apreciable hasta frecuencias del orden de 5.000 por
minuto. Para frecuencias más altas se ha encontrado un pequeño
crecimiento del límite de tolerancia con la frecuencia. C. F. Jenkin
239 ha realizado experimentos muy interesantes de esta clase.
Aumentando la frecuencia hasta 1.000.000 de ciclos por minuto
encontró para esta alta frecuencia aumentos del límite de tolerancia
de más de un 30 por 100 para materiales como el aluminio. Para
obtener frecuencias tan altas Jenkin empleó pequeñas probetas y las
sometió a vibraciones forzadas. G. N. Krouse 240, empleando una
máquina giratoria especial, realizó ensayos hasta 30.000 ciclos por
minuto. A esta velocidad, y para aluminio y latón, obtuvo un
incremento del 8 por 100 para el límite de tolerancia.
Efecto de la temperatura.—En el estudio realizado se ha supuesto
que los ensayos se habían realizado a la temperatura ambiente. Hay
casos, sin embargo, en los que las estructuras y
237 B. F. Langer sugirió una fórmula para calcular el número de ciclos que
con sobrecargas de diversas intensidades puede soportar un órgano de máquina antes de su rotura. Véase Journal of Applied Mechantes, vol. 4, pág. A-160, 1937.
238 H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 142, Univ. of Illinois, Eng. Expt. Sta., 1924; J. B. Kommers, Eng. News Record, 1932.
239 0. F. Jenkin, Proc. Roy. Soc., vol. 109 A, pág. 119, 1925, y C. F. Jenkin y'G. D. Lehmann, Proc. Roy. Soc., vol. 125 A, 1929,
♦ G. Ñ.' Krouse, Proc. A. S. T. M., vol. 34, 1934,
438 RESISTENCIA T)E MATERIALES
los órganos de máquina están sometidos a fatiga alterna y bajas
temperaturas; por ejemplo, en el caso de aviones, o, por el contrario,
a altas temperaturas, como en las turbinas de vapor y en los motores
de combustión interna. De aquí se deduce la importancia dé realizar
ensayos de fatiga alterna en bajas y altas temperaturas. Ensayos
realizados 241 a*+ 20° y — 40° C. con metal Monel, acero puro, acero al
níquel y acero al cromo molib- deno muestran en todos los casos
algún aumento del límite de tolerancia al disminuir la temperatura.
Con otros materiales, las consecuencias son análogas 242. Los ensayos
de fatiga alterna a elevadas temperaturas realizados con aceros de
diversas clases en máquinas giratorias 243 y en máquinas de fatiga
directa alternativa 244 indican que hasta 300° C. o 400° C. no es
grande el efecto de la temperatura sobre el límite de tolerancia. El
máximo se obtiene corrientemente para los 300° C. o 400° C.,
mientras que a los 100° C. o 200° C. el límite de tolerancia es algo
menor que a la temperatura ambiente. Experimentalmente, «e ha
visto que las curvas a — n no se aproximan a sus asíntotas tan rá-
pidamente como a la temperatura ordinaria y que se requieren más
de 10245 ciclos para determinar el valor del límite de tolerancia.
También tiene gran importancia práctica la acción simultánea de
la corrosión y la fatiga alterna. Haigh 246, en 1917, publicó los
resultados obtenidos en ensayos muy interesantes-realizados con
latones. En ellos encontró un descenso del límite de tolerancia
cuando la probeta sometida a fatiga alterna lo era también a la
acción de agua salada, amoníaco o ácido clorhídrico. Me. Adam 247
realizó notables progresos en esta clase de investigaciones,
estudiando el efecto de la corrosión y la fatiga alterna en di versos
metales y aleaciones. Estos ensayos probaron que en ia mayoría de
los casos una fuerte corrosión anterior al ensayo a fatiga alterna es
mucho menos perjudicial que una corrosión ligera que obre
simultáneamente. Ensayos realizados con aceros al carbono con
diversos porcentajes de éste, y cuyos límites de tolerancia para
fatiga alterna 248 variaban entre 1.600 kg./cm.249 y 3.200 kg./cm.2, han
241 H. W. Russell y W. A. Welcker, Proc. A. S. T. M„ vol. 31, pá- gina 122,
1931. a W. D. Boone y H. B. Wishart, Proc. A. S. T. M., vol. 35, 1935.
* H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 152, Univ. of Illinois Engr. Expt. Sta., 1925, y H. F. Moore, S. W. Lyon y N. P. Inglis, Bull., núm. 164, Univ. of Illinois Engr. Expt. Sta., 1927.
244 H. J. Tapsell y J. Bradley, Journal Inst. Met., vol. 35, 1926. Trans. Amer. Soc. Steel Treating, vol. 2, 1927; Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 27, 1927; Proc. International Congress for Testing Materials, vol. 1, pág. 305, Amgfcerdam, 1928,
247 D. J. Me. Adam, Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 26, 1926; 248 Determinado por ensayos en aire. 8 Me. Adam, Proc. International Congress at Amsterdam, vol. 1, pág. 308,
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 439
mostrado que si las probetas se someten durante el ensayo a la
acción de agua dulce, los límites de tolerancia disminuyen en alto
grado y en dichos ensayos variaron entre 1.300 kg./cm.2 y 1.600
kg./cm.2. Estos límites de tolerancia reducidos se denominan límites
de tolerancia a corrosión. Experimentalmente se ha visto que
ensayando en aire el límite de tolerancia aumenta aproximadamente
en la misma proporción que la fatiga de rotura del acero que se
ensaya. Los resultados obtenidos ensayando en agua dulce son
bastante diferentes. El limite de tolerancia a corrosión del acero con
más del 0,25 por 100 de carbono no puede aumentarse e incluso des-
ciende con los tratamientos térmicos 2. Se ha visto también que
añadiendo cromo en cantidad suficiente para aumentar la re-
sistencia ordinaria a corrosión del acero, el límite de tolerancia a
corrosión puede elevarse considerablemente sobre el de los aceros al
carbono o al níquel250.
Los ensayos a fatiga alterna en atmósfera de vapor 251 de-
muestran que el vapor seco no afecta al límite de tolerancia; pero, si
el vapor contiene aire o agua, el límite de tolerancia desciende. Los
experimentos en el vacío 8 acusan para el acero un límite de
tolerancia análogo al obtenido en ensayos al aire; pero los latones y
el cobre acusan un incremento de dicho limite del orden de un 16 por
100 y un 14 por 100, respectivamente.
Muchas roturas de piezas en servicio son originadas por la
combinación de corrosión y fatiga alterna: ejes propulsores de
barcos; bielas de los refrigeradores por agua en los motores marinos
de aceite pesado; alabes de turbinas; resortes de locomotoras;
varillas de las bombas de extracción en pozos, calderas y tubos de
recalentadores, y tantos otros. En muchos casos, las roturas por
corrosión y fatiga alterna se eliminan introduciendo materiales
resistentes a la corrosión. Los experimentos de Me. Adam con
aceros resistentes a la corrosión muestran que estos aceros dan
resultados muy satisfactorios en los ensayos a corrosión y fatiga
alterna combinadas. Experimentos más recientes realizados con
bronces especiales 252 muestran que el bronce fosforoso y el
aluminoso, ensayados en condiciones de corrosión extrema, tienen
una resistencia notable a la co rosión-fatiga alterna, superior
incluso a la de los mejores aceros.
1928.
250 Véase Me. Adam, Trans. Am. Soc. Mech. Engrs.; Applied Mech. Divis., 1928.
251 Véase T. S, Fuller, Trans. Amer. Soc. Steel Treat., vol. 19, pá 252 H. j. Gough y D. G. Sopwith, Journal Inst. Met., vol. 60, página 143,
1937.
440 RESISTENCIA DE MATERIALES
Para eliminar las roturas por corrosión-fatiga alterna se ha
empleado con diverso éxito barnices protectores 253 y trabajar en
frío la superficie de la pieza 254.
Efectos de las fatigas residuales.—Durante los tratamientos ,
térmicos de los órganos de máquinas, y al soldar las estructuras, se
producen de ordinario fatigas residuales considerables, cuyo efecto
sobre el límite de tolerancia es necesario conocer. Los experimentos
realizados en la máquina giratoria con probeta de acero templado 255
muestran que, al aplicar los ciclos de fatiga alterna, las fatigas
iniciales se reducen a menos de la cuarta parte de su valor primitivo
y que el efecto de dichas fatigas sobre el límite de tolerancia es
despreciable. Análogas conclusiones se obtuvieron ensayando a
fatiga alterna vigas en I soldadas 256.
También se ha estudiado el efecto de superficie pulida sobre el
límite de tolerancia. Se han realizado ensayos con acero al carbono
de 0,49 por 100; fatiga de rotura, 7.500 kg./cm.a, y límite de
tolerancia corriente, 3.700 kg./cm.2. Tomando 100 para el valor del
límite de tolerancia en probetas finamente pulidas, los resultados
obtenidos para diversos grados de pulido fueron x: pulido con
polvos, 89; pulido uniforme al torno, 84, y pulido basto al tomo, 81.
Los ensayos con acero al 0,02 por 100 de C dan para los dos últimos
tipos de pulido 92 y 88, respectivamente. Experimentos análogos se
han realizado por W. N. Tilomas 257, con acero al 0,33 por 100 de G y
por W. Zander 258. En las tablas de las páginas 494 y 495 pueden
verse los resultados obtenidos en ensayos estáticos y a fatiga
alterna con aceros muy utilizados.
* D. G. Sopwith y H. J. Gough, Journal of the Iron and Steel Inst.,
1937.. 8 O. Fóppl, O. Behrens und Th. Dusold, Zeitschr. f . Metállkunde, vol. 25,
1933. 255 Véanse H. Bühlér y H. Buchholtz, Stáhl u. Eisen, vol. 53, pá-
1933. 257 W. N. Thomas, Engineering, vol. 116, pág. 483, 1923. En la publicación
de S. Way, ref. 111, pág. 455, pueden verse métodos de investigación sobre rugosidad de superficies.
258 W. Zander, Dissertation, Technische Hochsohule Braunschweig, 1928.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 441
80. Fatiga variable y concentración de fatiga.—Al estudiar la
concentración de fatiga producida por variación brusca de la
sección en barras y ejes (véase capítulo VII), se indicó que tal
concentración es especialmente peligrosa en el caso de fatiga
variable. En los órganos de máquinas, la concentración de fatiga se
presenta en los acuerdos, gargantas, agujeros, asientos de chavetas,
etc., y la experiencia ha mostrado que la mayor parte de las fisuras
originadas por fatigas alternas nacen en esos puntos donde existe la
concentración de fatiga. La figura 277 representa,259 la rotura de ejes
circulares con orificios transversales, también circulares, sometidos
a torsión alterna. La fatiga
máxima, en este caso, acontece a 45° con el eje del árbol (véase
259 Véase la publicación de A. Thum, Forsehung, vol. 9, pág. 57, 1938.
FIG. 277
Fio. 278
442 RESISTENCIA DE MATERIALES
página 322). En estos puntos comienzan las fisuras y se extien-
den gradualmente, según una hélice, en la dirección de una de las
fatigas principales. La figura 278 representa la rotura por torsión
alterna deí eje de un gran motor llevado a causa de una maniobra
desafortunada a velocidades próximas a la de resonancia 260. La
fisura comenzó en el asiento de la chaveta, donde existía
concentración de fatiga, y se desenvolvió gradualmente a lo largo de
una hélice. La fisura helicoidal correspondiente a la segunda fatiga
principal puede apreciarse también en la
260 Esta figura y las tres siguientes están tomadas de la publicación de R.
E. Peterson, presentada a la conferencia sobre «Strenght of Materials Problems in Industry», Mass. Inst. Techn., julio 1937. El mecanismo de propagación de las fisuras ha sido estudiado en la publicación de R. E. Peterson, Journal of Appl. Mech., vol. 1, pág. 157, 1933.
Fic. 279
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 443
fotografía. La figura 279 representa la rotura por torsión del eje de
un generador tipo Diesel. La alta concentración de fatiga en los
acuerdos de pequeños radios originó fisuras en diversas direcciones
helicoidales, que, en conjunto, producen la impresión de una muela.
En la figura 280 se ven las fisuras producidas por fatiga variable y
gradualmente desarrolladas en la base de los dientes de una rueda
de engranaje. El origen de las fisuras se debe a la alta concentración
de fatiga producida por la flexión de los dientes como ménsulas.
Einalmente, la figura 281 representa una rotura típica a fatiga
alterna correspondiente a un resorte helicoidal robusto. La fisura
nacida en el lado interior, tal como señala la teoría (véase pág. 263,
Primera parte), sigue la dirección de una de las fatigas principales.
Todos estos casos muestran claramente la acción perjudicial de la
concentración de fatiga e indican que este factor debe estudiarse
cui-
Fio. 280
444 RESISTENCIA DE MATERIALES
dadosamente al proyectar los órganos de máquinas. Los ensayos a
fatiga alterna realizados con probetas que presentan fuertes
cambios de sección han mostrado una redacción de resistencia
debido a la concentración de fatiga; pero esta reducción fué de
ordinario mucho menor que lo que debía esperarse, dado el valor
calculado del factor de concentración de fatiga. Por ejemplo, en el
caso de planchas de acero con agujeros circulares pequeños
sometidos a extensión, el factor de concentración sabemos es 3
(véase pág. 318); debe esperarse, por consiguiente, que la carga de
extensión-compresión que produce la rotura por fatiga alterna sea
tres veces menor que para probetas sin agujeros. Sin embargo, la
experiencia muestra que la reducción en este caso es pequeña
comparada con el efecto calculado 261. Para explicar esta anomalía y
dar a los proyectistas la información necesaria, R. E. Peterson
realizó en el laboratorio de investigaciones de la Westinghouse x, y
en una máquina especial, una larga serie de ensayos con probetas
tipo Cantilever geométricamente semejantes, de diámetros variables
entre 0,1 y 3 pulgadas, con un acuerdo o con un orificio circular
transversal y de diferentes materiales 2.
261 B. P. Haigh y J. S. Wilson, Engineering, vol. 115, pág. 446, 1923
FIG. 281
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 445
Los resultados de estos ensayos para probetas con acuerdos se
ven en la figura 282. Se fian tomado en abscisas los diámetros
menores de las probetas y en ordenadas las relaciones kj entre los
límites de tolerancia para probetas normales y los correspondientes
a las probetas con concentración de fatiga. Para probetas con
orificios transversales los resultados fueron análogos. Las líneas
horizontales de la figura 282 dan los valores de los factores de
concentración de fatiga obtenidos por medida directa de la
deformación en los puntos de concentración de fatiga. Estos valores
se representan por kt y se denominan valores teóricos de la
concentración de fatiga. Si la resistencia de las probetas a fatiga
alterna dependiese solamente del valor máximo de la fatiga, kt sería
igual a kf.
De estos ensayos, ít. E. Peterson ha sacado las conclusiones
siguientes:
a) En algunos casos, los resultados obtenidos por fatiga alterna
están completamente de acuerdo con los valores teóricos kt de la
concentración de fatiga. Esta conclusión es de gran importancia
práctica, por estar muy extendida la idea, basada
lumen 1, págs. 79 y 167, 1933, y R. E. Peterson y A. M. Wahl, Trans.
263 La descripción de la máquina puede verse en la publicación de R. E. Peterson, Proc. Am. Soc, Test. Mat., vol. 29, pág. 371, 1929.
TABLA DE MATERIALES EMPLEADOS BE LOS ENSAYOS
Acero
Composición química
Fl Rotura
Alarga miento en°/«
C Mn Si S Ph Ni Cr Mo lib./pul.2
lib./pul.262
Corriente 1 al carbono.
0,45 0,79 0,18 0,03 0,013 .— — — 32-500 76.000 32
Ni — Mo263.. 0,52 0,68
0,19 ' — 0,014 2,96 —' 0,38 45.500 97.000 26
Ni — Cr *>... 0,54 0,65 — — — 1,38 0,64 ' —
91.000 120.000 24
1 Normalizado: 1560° F., enfriado al aire. * Normalizado y recocido: 1750° F., enfriado al aire; 1460° F., enfriado al aire; 1160° F., enfriado al horno. 3 Templado y recocido: 1475° F., templado al aceite; 1200° F., enfriado al horno.
446 RESISTENCIA DE MATERIALES
en anteriores experimentos, de que kf es siempre mucho menor que
kt.
b) Los límites de tolerancia para aleaciones de acero y para
aceros al carbono templados están muy próximos a los valores
teóricos que corresponderían a los ensayos de fatiga alterna con
aceros al carbono sin templar.
c) Al disminuir el tamaño de la probeta, la reducción de
resistencia a la fatiga alterna debida a acuerdos o agujeros es
menor, y para acuerdos o agujeros muy pequeños la reducción es
relativamente pequeña.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 447
Otro modo de representar los resultados de este tipo de ensayos
se consigue introduciendo la cantidad
-*L kt — 1
Esta cantidad se denomina a veces índice de sensibilidad. A me-
dida de que kf se aproxima al valor kt, q tiende hacia la unidad,
y cuando la concentración de fatiga tiene solamente una pequeña
influencia sobre la resistencia a fatiga alterna, kf vale,
aproximadamente la unidad y q tiende hacia cero. Con los datos de
la figura 282, y llevando en ordenadas los valores de q, se han
obtenido las curvas de la figura 283. Se ve que el índice de sen-
sibilidad no es constante. Depende de la clase de material y del
tamaño de las probetas. En el caso de aleaciones de acero y para
probetas grandes, g se aproxima a la unidad, mientras que para un
material ordinario (acero al 0,45 por 100 de carbono) tiende a un
valor más bajo í. Para probetas con agujeros transversales se
obtienen curvas análogas. De lo expuesto se deduce que puede
emplearse el valor teórico kt de la concentración de fatiga cuando se
proyectan órganos de máquina de gran tamaño, y en el caso de
aceros de grano fino, tales como aceros especiales y aceros al
carbono tratados térmicamente. En el caso de dimensiones pequeñas
y materiales bastos, debe emplearse el valor despejado de la
29
(a)
§ 06
S I
1
----- --------- —
✓ í —o(e.iS)
’i5óíJ
-a(o.o6)
fs (o.n)f ftorj
I m/
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x e.vt %CAcere (formalizado) m tti-Me Acero/Atortn*/i'zadeJ • »»*£*• Acetettamp/ado yesnrado
....... ..... ;..L. _
/•«
as
FIG. 283
448 RESISTENCIA DE MATERIALES
ecuación (a), o sea,
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 449
kf — q(kt 1) -f- 1.
Los valores de q, obtenidos experimentalmente y representados
para el caso de acuerdos por las líneas llenas de la figura 283,
pueden servir de guía para escoger valores apropiados de kf en otros
casos de concentración de fatiga.
Para explicar el efecto del tamaño en los ensayos a fatiga
alterna, es necesario tener en cuenta el tamaño del grano en los
materiales cristalinos. Al referimos a probetas geométricamente
semejantes del mismo material, naturalmente que la estructura
metalográfica no es geométricamente semejante, y este hecho afecta
a los ensayos a fatiga alterna. Si se considera la zona en que se
concentra la fatiga, no es igual que en dicha región existan
únicamente algunos granos ó que, por el contrario, existan varios
millares. Las relaciones entre el índice de sensibilidad y el tamaño
del grano de los materiales empleados en los ensayos a fatiga
variable han sido estudiadas en una publicación reciente de R. E.
Peterson x.
Se ve que el problema de reducir el efecto perjudicial de la
concentración de fatiga es de gran importancia para los proyectistas
y puede conseguirse en parte empleando ciertas normas al
proyectar. Por ejemplo, evitar los ángulos bruscos, introduciendo
acuerdos de radios grandes, proyectar los cambios de sección
bruscos de modo escalonado, mediante oportunas gargantas, etc.
Todas estas precauciones no bastan, sin embargo, para eliminar las
roturas por fatiga variable. Como ejemplo importante de esta clase,
consideraremos las roturas típicas que acontecen en el asiento de las
ruedas de locomotora y ejes de los vagones, en las ruedas o cojinetes
de los ejes de automóvil, en las largas varillas de los taladros de las
máquinas perforadoras de
x Véase Stephen Timoshenko Anniversary Volume, pág. 179, 1938.
■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 450
pozos, etc. Todos estos casos de piezas comprimidas sujetas a la
acción de fatigas variables han sido causa continua de roturas.
Considerando, por ejemplo, el caso del cubo de una rueda mon
tada a presión sobre el eje —fig. 284 (a)—, se ve que se produce una
gran concentración de fatiga en los ángulos m y n. Al rodar el eje, se
presenta la fatiga alterna en los puntos m y n,
y, finalmente, puede acontecer la rotura en dicha sección, tal como
indica la figura 285. La concentración de fatiga puede reducirse
aumentando la sección en los asientos e introduciendo acuerdos, tal
como indica la figura 284 (ó). Se obtiene una mejora ulterior
introduciendo la garganta a —fig. 284 (b)—. Á pesar de todas estas
mejoras, la experiencia muestra que el montaje del cubo sobre el eje
—fig. 284 (a)— reduce su resistencia a la fatiga alterna a la mitad de
su resistencia inicial, mientras que los cambios introducidos en la
figura 284 (6) elevan la resistencia a ese tipo de solicitación sólo en
FIG. 285
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 451
un 20 por 100, aproximadamente. Para mejorar la pieza y eliminar
las roturas por variación de fatiga, se ha ideado trabajar en frío la
superficie del eje en la región de concentración de fatiga. Los
primeros experimentos 264 con superficies trabajadas en frío se
realizaron con probetas pequeñas, y a fin de completar la
información para las aplicaciones se han multiplicado los ensayos,
empleando grandes probetas. Tres tipos de ensayos a fatiga variable
se han realizado por O. J. Horger en el laboratorio de la Universidad
de Michigán 265, y pueden verse esquemáticamente en la figura 286.
Las propiedades de los materiales empleados en estos ensayos son
las de la tabla siguiente:
264 La mejora de la resistencia a la fatiga variable mediante el trabajo en
frío de la superficie fué introducido por O. Fóppl, Stahl u. Eisen, vol. 49, pág. 575, 1929. Se aplicó en diversos ensayos a fatiga variable, realizados en el Wóhler-Institut. Véase Mitteilungen d. Wohler, vols. 1 al 37, 1929-40. Véanse también A. Thum y F. Wunderlich, Mitteilungen d. Materialprüfungsanstalt, Techn. Hochsch. Darmstadc, volumen 5, 1934, y R. Kühnel, Stahl u. Eisen, vol. 110, pág. 39, 1932.
265 La descripción de estos experimentos puede verse en las publicaciones de O. J. Horger, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 128 A, 1935, y O. J. Horger y J. L. Maulbetsch, Journal of Appl. Mech., volumen 3, pág. 91 A, 1936. El trabajo debido a los laboratorios de investigación de la Westinghouse se describe en la publicación de R. E. Peterson y A. M. Walfi, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 1 A, 1935.
MATERIALES EMPLEADOS EN LOS ENSAYOS DE LA FIGURA 286
Acero
Composición química
Fl Rotura
Alarga-miento en %
c Mn Ph S Si Cr Ni iib./pulg
.! lib./pulg.2
S. A. E. 1 1045 ........
0,47 0,72 0,015 0,034 0,23 0,03
0,05 47.800 88.800 32
2,75 por 100 de níquel 2,
0,24 0,86 0,021
0,021
. 0,24
— 2,79 86.300 111.000 23
1 Normalizado, 1620° F., y recocido 1115° F. 1 Templado, 1475" F., y revenido 1150° F.
452 RESISTENCIA DE MATERIALES
Los límites de tolerancia obtenidos para el acero S. A. E. y para el
acero al níquel, mediante los ensayos a fatiga alterna, con la probeta
corriente en Cantilever, fueron 34.000 libras/pulgada2 y 48.000
libras/pulgada2, respectivamente. En los ensayos tipo A (fig. 286),
después de apretar el manguito el límite de tolerancia para el acero
S. A. E., se redujo a 15.000 libras/pul-
n m
gada2. En los ensayos de los tipos B y G se encontraron los valores
12.000 libras/pulgada2 y 14.000 libras/pulgada2, respectivamente,
para el límite de tolerancia. Estos resultados muestran que, debido
a la presión de ajuste, la resistencia a la fatiga alterna se redujo a
menos de la mitad de su valor inicial. Con las probetas de acero al
níquel, los resultados fueron análogos. Para mejorar la resistencia
a la fatiga alterna, se trabajó en frío la superficie del resto de las
probetas antes de montar sobre ellas los manguitos o cubos
mediante el dispositivo de la
Manguito ajustado a pres/op
Cngmeto 4/*xtedl
*pr#s/dn
Acoplamiento ekisdco Vmotor transmisor
Typo&
J> Pueda ab
a presión a
A A •&
Atopfamfeoto e/ao- — A ticcy meter iraaS-*ypO/{ fiittor
D Pueda ajusfada a pres/pn
d/a
}* —
Símbolos; &•' Situación de /a rotura m: Extremo Cargado n,p : Situación de tos cop/ne/es da apoyo
FIG. 286
Typo C
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 453
figura 287. Se habilitó un torno para este trabajo en frío por rodillos,
sujetando la probeta entre las puntas del torno y el dispositivo de los
rodillos sobre una corredera fijada al carro del torno. Para obtener una
superficie suficientemente lisa después del trabajo con los rodillos, se
emplearon los engranajes capaces de suministrar más de 40 pasos por
pulgada. Se vió, mediante dichos ensayos, que la resistencia a la fatiga
alterna para las probetas de acero S. A. E. aumenta por el trabajo en frío
a más de dos veces su resistencia inicial.
Con las probetas de acero al níquel los
resultados fueron análogos.
Ultimamente, y para investigar el
efecto del trabajo en frío sobre la
resistencia a la fatiga alterna de un modo
directo, se han construido grandes máqui-
nas de ensayo especiales, en las que pueden
ensayarse a tamaño natural ejes de
locomotora. La figura 288 representa 'una de
estas máquinas 266. La disposición general de
la máquina es análoga a la utilizada en los
ensayos del tipo C (fig. 286) e igual a la uti-
lizada por Wohler en sus famosos ensayos de
ejes a fatiga alterna.
Otro caso de rotura por fatiga alterna bajo la acción de una gran
concentración de fatiga es el de rodillos y engranajes bajo la acción de
presiones de contacto repetidas durante el giro. Si consideramos dos
rodillos comprimidos por las fuerzas P (figura 289), se puede calcular la
fatiga compresora máxima en la superficie de contacto mediante las
fórmulas del artículo 66. En el caso de una superficie idealmente lisa esta
fatiga calculada es la fatiga verdadera y la resistencia a la fatiga variable
de la superficie de los rodillos para un material dado dependerá del valor
de esta fatiga. En la realidad, la superficie del rodillo tendrá diversos
grados de aspereza, dependientes del grado de pulido de
266 Hasta el presente se han construido tres máquinas de este tipo en el
laboratorio de investigación de Timken Koller Bearing Company, Cantón Ohío).
Jp/tCéC/Ó/t í- de /& presión torada
454 RESISTENCIA DE MATERIALES
la misma. En la figura 290 se ven en forma ampliada diversos grados de
pulido \ La rugosidad de la superficie afecta, como es
natural, a la distribución de la presión en la superficie de contacto de
los rodillos de la figura 289, y, como resultado de la
sobretensión en los puntos de irregularidades más
desfavorables, se originan las fisuraá-por fatiga variable
antes que en el caso de rodillos lisos. Se deduce, por tanto,
que la resistencia de los rodillos a la fatiga variable
depende del grado de rugosidad de su superficie.
Experimentalmente, se ve que si la superficie de los
rodillos ensayados a fatiga variable se lubrica, na- fig. 289
cen fisuras superficiales que originan picaduras u hoyos. Estas
picaduras, que aparecen, a veces, en condiciones normales de servicio
en rodillos y engranajes, son muy perjudi- cíales y su origen ha sido
objeto de diversos estudios L Se ha visto que los orígenes de las
picaduras son de naturaleza hidrodinámica. Las picaduras penetran
oblicuamente en el metal; tienen, aproximadamente, la forma de una
superficie cónica que eorta a la de la pieza, según una curva parabólica,
o V, cuyo vórtice está en la parte que durante la rotación entra primera-
FIG. 288
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 455
mente en contacto. La figura 291 representa la fotografía ampliada de un
rodillo, y en ella se señala con una flecha el punto de comienzo de una
picadura. Se comprende que el aceite que penetra en una de estas
picaduras queda depositado en ella y es comprimido fuertemente al
pasar por la región cargada. La alta presión que se produce en el aceite
produce elevadas fatigas ex- tensoras y la picadura se extiende. Esta
teoría explica por qué es necesaria la presencia del aceite para que se
produzcan picaduras y por qué disminuyendo su presión se detiene el
avanóe de las mismas. Para compararlos metales según su resistencia a
la picadura, se han realizado ensayos a fatiga variable con pares de ro-
dillos (fig. 2S9). Uno de los rodillos tenía un diámetro de 1,576 pulgadas,
y el otro, 1,500 pulgadas. Su longitud era 0,500 pulgadas. Los rodillos se
prepararon con su superficie finamente pulida, estando sus
irregularidades comprendidas entre 0,0001 pulgadas y 0,00018 pulgadas.
La velocidad de rotación varió entre 300 y 500 revoluciones por minuto,
y la lubricación se realizó con un aceite de máquinas de viscosidad 700-
900 segundos Saybolt, a la temperatura del ensayo. La fatiga compresora
máxima, dada por la ecuación (295) (pág. 363), y calculada para la carga
compresora suficiente para originar, al menos, una picadura por
pulgada
3?IG. 290
456 RESISTENCIA DE MATERIALES
cuadrada de superficie de ensayo en 10 millones de ciclos, se ha definido
como el «límite de picadura» del material. Como la picadura es una
rotura por fatiga variable, es lógico pensar que la resistencia a la
picadura aumenta proporcionalmente a la dureza. Experimentalmente,
se ha visto que esta hipótesis está del lado de la seguridad.
En el caso de engranajes construidos con el mismo material que los
rodillos examinados anteriormente, las condiciones en a superficie de
contacto de los dientes son algo diferentes de las que se tienen en el caso
de rodillos, La principal diferencia es que la rodadura viene
acompañada de deslizamiento. Esta diferencia de condiciones origina un
aumento del límite de picadura.
81. Propiedades mecánicas de los metales a temperaturas elevadas.—
Acontece en muchas estructuras el que diversas partes de ellas están
sometidas a la acción simultánea de fatigas y
FIG. 291
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 457
altas temperaturas. Estas condiciones se encuentran, por ejemplo, en las
instalaciones de potencia y en las industrias químicas. Debido a las
tendencias modernas, consistentes en aumentar la temperatura del
vapor1 en las instalaciones de potencia, se ha trabajado mucho para
investigar la resistencia de los materiales a temperaturas elevadas 2.
Experimentalmente, se ha visto que
el punto de fluencia y la fatiga de rotura de ios metales están muy
afectados por la temperatura. En la figura 292 pueden verse varios
diagramas de tracción a diversas temperaturas para un acero al
carbono corriente 267. Hasta los 250° C., la fatiga de rotura aumenta;
pero, pasada esta temperatura, cae rápidamente. También, a
medida que la temperatura aumenta, el punto de fluencia se
acentúa menos y a 300° C. no se distingue sobre el
267 Véase la memoria del trabajo realizado por R. B. Wilhelm en el
laboratorio de investigación de la Westinghouse; Proa. Amer. ¿loe. Test. Matls., vol. 24, segunda parte, pág. 151, 1924.
458 RESISTENCIA DE MATERIALES
diagrama. En la figura 293 pueden verse ampliados los primeros
trozos de los diagramas representados en la figura 292. Se deduce,
observando estas nuevas curvas, que el límite de proporcionalidad
del acero disminuye a medida qué aumenta la temperatura. Al
mismo tiempo, disminuye la pendiente de los trozos rectos de los
diagramas y, por tanto, el módulo de elasticidad del acero.
Todos los resultados obtenidos en los ensayos anteriores están
resumidos en la figura 294; de la que se deduce que, si bien la
resistencia del material disminuye cuando la temperatura aumenta,
su ductilidad, caracterizada por el alargamiento y la contracción en
área, aumenta.
Ensayos realizados a elevada temperatura han puesto de ma-
nifiesto que los resultados dependen mucho de la duración del ensayo a
tracción. Cuando la duración aumenta, la carga necesaria para que la
rotura acontezca es menor.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 459
En la figura 295 se exponen tres diagramas para el mismo acero que
anteriormente a 500° C. y con duraciones de ensayo de seis, setenta y
doscientos cuarenta minutos, respectivamente. De aquí se deduce que los
datos obtenidos por los ensayos corrientes (duración, quince a veinte
minutos) y representados en
la figura 291, son aplicables solamente cuando las cargas actúan un
tiempo corto 268.
268 Esta figura y las tres siguientes están tomadas de las publicaciones de Me.
Vetty; véanse Mechanical Engineering, pág. 149, 1934, y Proc. Am. Soc. Test.
460 RESISTENCIA DE MATERIALES
Para cargas que actúen por un período largo de tiempo a elevada
temperatura (como, por ejemplo, el peso de una estructura o la
presión del vapor en las instalaciones de potencia) es necesario tener
una información complementaria que tenga en cuenta el tiempo de
efecto. Experimentalmente, se ha visto
que en tales casos se presenta una deformación continua de
nominada «arrastre», que es el factor más importante que debe
considerarse al proyectar. A pesar de los muchos trabajos realizados
269 y de los muchos más actualmente en curso, no se
Mat., vol. 34, 1938.
269 Véanse las publicaciones.de J. H. S. Dickenson, Journal of Iron and Steel Inst., vol. 106, pág. 103, 1922; H. J. French y W. A. Tucker, Technologic Papers Bureau of Standards, núm. 296, 1925; T. D. Lynch, N. L. Mochel y P. G. Me. Vetty, Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 25, segunda parte, 1925; H. J. Tapsel y J. Bradley, Engineering, volumen 120, págs. 614 y 746, 1925, y Journal Inst. of Metals, vol. 35, página 75, 1926; P. G. Me. Vetty y JST. L. Mochel, Trans. Amer. Soc. Steel Treating, vol. 11, pág. 73, 1926; A. E. White y C. L. Clark, Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., vol. 48, pág. 1075, 1926; H. J. Tapsell y W. J. Olénshaw, Dept. of Scientific and Industrial Research Eng. Re-search, Repport, núm. 1, 1927. Bibliografía más completa de investí-
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 461
puede considerar completamente esclarecido el comportamiento de los
metales cargados de modo prolongado a elevada temperatura.
En los experimentos de este género se estudia el alargamiento
gradual de los materiales por tracción prolongada. Las probetas,
mantenidas a una temperatura elevada, se someten a una carga
constante y se investiga el arrastre
progresivo que esta carga produce.
Los resultados de estos ex-
perimentos para una temperatura
dada y varios valores de la carga
pueden representarse, como se ha
hecho en la figura 296, por curvas de
tiempo- deformación L La curva de
arrastre A tiene una forma típica
para una fatiga relativamente alta.
Después de aplicar la carga, se
presenta el arrastre con velocidad
decreciente.
Fig. 296 Elpunto a es deinflexión y la
ve
locidad de arrastre aumenta hasta
que la probeta ensayada rompe. La curva B, correspondiente a una carga
menor, tiene una forma análoga. Debido a las menores velocidades de
arrastre, la rotura tarda más en producirse. Disminuyendo más y más la
carga, se obtienen las curvas G, D, E, F y G. Al disminuir la fatiga, va
creciendo el tiempo necesario para obtener el punto de inflexión en la
curva de arrastre. Para determinar los puntos de inflexión en curvas
tales como F y G, se requerirían tiempos sumamente grandes. Se ve que,
al disminuir la fatiga la curva de arrastre es esencialmente una linea
recta. Las fatigas de trabajo utilizadas en la práctica son menores que
las correspondientes a la curva G. Por consiguiente, la hipótesis de que
la curva de arrastre es una línea recta, tiene la aproximación suficiente
que requieren las aplicaciones. La pendiente de esta línea da la
«velocidad mínima de arrastre» para una fatiga y una temperatura
determinadas. El valor de esta velocidad de arrastre disminuye a medida
que lo hace la fatiga; pero no se tiene la certeza de que alcance un valor
nulo; es decir, de que exista una fatiga límite para la que la probeta
puede resistir indefinidamente la acción de la fatiga y de la temperatura
462 RESISTENCIA DE MATERIALES
elevada. Al estudiar el arrastre progresivo de probetas sometidas á trac-
ción bajo carga constante y alta temperatura, deben tenerse presente
dos fenómenos: 1.® El endurecimiento del material, debido a la
deformación plástica, y 2.° La desaparición de este endurecimiento o
«recocido» del material debido a la acción prolongada de la alta
temperatura. El mecanismo de la fluencia a temperatura elevada es el
mismo que a la temperatura ambiente. La deformación plástica se debe
al deslizamiento del metal. El deslizamiento viene acompañado de un
aumento de la resistencia al deslizamiento, representado por el
endurecimiento por deformación (pág. 414).
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 463
La velocidad para la que el efecto del endurecimiento por
deformación desaparece depende de la temperatura. Hemos visto (pág.
410) que dicho efecto podría eliminarse en corto tiempo por una
normalización del metal a una temperatura elevada dependiente de la
naturaleza del metal. El mismo resultado se obtiene para temperaturas
más bajas que actúen un período largo. Por ejemplo x, al investigar la
normalización del cobre trabajado en frío, se ve que la normalización
producida en doce minutos a 300° C., puede obtenerse en 10,4 días a 200°
C. o, teóricamente, en 300 años a 100° C. Las curvas de arrastre de la
figura 296 muestran que al empezar la extensión la velocidad de arrastre
disminuye gradualmente. Esto se debe al endurecimiento por
deformación. En el punto de inflexión se establece una velocidad
constante, debido al equilibrio entre el endureci-
464 RESISTENCIA DE MATERIALES
270 Véase Pilling y Halliwell, Proc. Amer. Soe. Test. Matls., volumen 25, 1925.
Véase también R. W. Bailey, Journal Inst. of Metáis, vol, 35, 1926.
ds
dt - at va + ce
miento y la normalización por recocido; esto es, el endureci-
miento por deformación que produce el arrastra se contrarresta
continuamente con el efecto de recocido a alta temperatura y
el arrastre continúa con una velocidad constante dependiente
de los valores de fatiga y temperatura.
El proyecto de elementos sometidos a la'acción simultánea
de fatiga y temperatura elevada debe basarse en la fijación de
un cierto valor para su vida y para
la deformación permanente admisi-
ble. Con este criterio se escogen las
fatigas de trabajo, variables con el
tipo de la estructura. El objeto de los
ensayos de larga duración con alta
temperatura es suministrar al pro-
yectista la información necesaria res-
pecto a las deformaciones permanen-
tes antes mencionadas debidas al
arrastre.
La duración de
los ensayos de
laboratorio no excede eorrientemen-
Ttcmpo t- H»rjS te de algunos miles de horas, y para
FIG. 297 deducir la deformación por arrastre
durante la vida de una estructura se
extrapola en los resultados obtenidos. Experimentalmente se
ha deducido queparadiversos tipos de acero el exceso de la ve-
locidad dearrastre(fig. 296) sobre la velocidad mínima, en el
primer trozo de las curvas de arrastre, disminuye geométrica-
mente cuando el tiempo aumenta aritméticamente. Llamando s
al alargamiento inelástico total correspondiente a un tiempo t; v,
a la velocidad de arrastre correspondiente, y v0, a la velocidad
de arrastre mínima, la expresión de v será 270
(a)
donde c, v0 y a son valores constantes que se deducen de las cur-
1 Véase referencia 1, pág. 462. Un estudio comparativo de los méto- dos de extrapolación puede verse en la publicación de J. Marin, Proc. Am. Soc. Test. Mat., vol. 37, pág. 258, 1937.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 465
466 RESISTENCIA DE MATERIALES
vas de arrastre. Sea, por ejemplo, un metal cuyas curvas de arrastre
para diversos valores de la fatiga y una temperatura constante 850°
F. sean las de la figura 297. Midiendo la pendiente en cinco puntos
de cada una de dichas curvas, se obtienen cinco valores de la
velocidad de arrastre para cada fatiga correspondientes a cinco
valores diferentes de t, y puede, por tanto, construirse las curvas de
la figura 298. Las asíntotas horizontales de estas
curvas nos dan, evidentemente,
los valores de v0 para las fatigas
aplicadas. Llevando ahora en
coordenadas sobre la misma figura los
valores de l°gn (v — vo) y del tiempo, se
obtiene un sistema de líneas paralelas
inclinadas, lo que comprueba la
exactitud de la expresión (a).
De estas líneas se deducen los valores
de las constantes
c y a, midiendo las ordenadas de las
líneas para t = 0 y su pendiente. El
alargamiento plástico se obtiene
integrando la ecuación (a), lo que da
(b)a
donde s0 es una constante.
Aplicando esta ecuación para un valor particular de t y co-
nocido el alargamiento plástico correspondiente por la figura 297,
puede calcularse el valor de s0. Utilizando la ecuación (ó), después
de haber determinado todas sus constantes, pueden trazarse las
curvas de la figura 299. Conocido este sistema de curvas para un
material y una temperatura definidos, puede escoger fácilmente el
proyectista la fatiga de trabajo apropiada si se fija la vida de la
estructura y la deformación plástica admisible.
En lo expuesto anteriormente hemos supuesto que la defor-
mación plástica venía acompañada de endurecimiento por de-
RESISTEJTOIA BE MATERLAXES.—T. II
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Fig. 298
-at
80
467 RESISTEN OIA DE MATERIALES
formación. La experiencia muestra que al aumentar la temperatura,
el endurecimiento por deformación se acusa cada vez menos. La
temperatura máxima para la que todavía se observa
endurecimiento por deformación varía con el material, y,
tratándose de aceros, con su
composición. Por ejemplo, con acero
dulce al carbono (0,17 C.) y una fatiga
de 2.200 libras/pulgada2, no se
observó 271 endurecimiento por
deformación a 647° C. En estas
condiciones, la curva de arrastre
tiene la forma que indica la figura
300; es decir, la velocidad de arrastre
crece continuamente con el tiempo.
Es interesante señalar que las dos
clases de curvas de arrastre (figuras
296 y 300) corresponden a dos tipos
distintos de rotura. Cuando existe
endurecimiento por deformación, la
fluencia en cierto punto de la probeta
aumenta la resistencia en dicho punto y el deslizamiento próximo
acontece en alguna otra dirección. Como consecuencia de esto, el
alargamiento es uniforme y la probeta conserva la forma cilindrica
hasta la iniciación del cuello. Si, por el contrario, no existe
endurecimiento por deformación, la
fluencia local que acontece en la sección
más débil se extiende hacia los
extremos de probeta de modo
amortiguado, por lo que los dos extremos
de la probeta tienen forma cóniea desde
los extremos hasta la sección de rotura.
Por la acción prolongada de la temperatura elevada se presenta en
el metal una transformación metalográfica de natura
271 Véase el libro de H. J. Tapsell,' ya citado, pág. 462.
to*m¡
Peformjc/on PfáJtic*
FIG. 299
T.0%
468 RESISTENCIA DE MATERIALES
leza tal que reduce la resistencia del acero al arrastre. Este efecto
se acentúa en los casos de acero con gran porcentaje de carbono.
Para reducir esta transformación estructural, es necesario tratar
térmicamente dé modo adecuado a la pieza, a fin de asegurar la
estabilidad metalográfica x.
La mayoría de los datos referentes a la resistencia de los
metales a temperaturas elevadas se han obtenido en ensayos a
tracción simple. El campo de esta resistencia bajo fatigas com-
binadas está casi inexplorado. Bailey ha realizado algunos ensayos
interesantes con plomo 272, a fin de obtener alguna información
acerca del arrastre del acero. Dicho metal tiene un punto bajo de
fusión y el fenómeno de arrastre lo presenta a la temperatura
ordinaria. Los experimentos con fatigas combinadas son mucho más
sencillos a esta temperatura y arrojan luz sobre el comportamiento
del acero solicitado por las mismas fatigas combinadas y sometido a
temperatura elevada.
E. L. Everett 273 ha realizado ensayos de arrastre por torsión a
temperatura elevada con tubos delgados de acero en la Universidad
de Michigán. Este tipo de ensayo tiene ventajas comparado con el
comente a tracción, ya que la deformación plástica por torsión no
afecta a las dimensiones de la sección de la probeta y los pequeños
cambios de volumen debidos a la fluctuación de la temperatura y a
la transformación metalográfica no influyen sobre el ángulo de
torsión.
Antes de terminar el anáfisis que estamos efectuando, conviene
subrayar que el arrastre progresivo puede producir una
redistribución de fatigas en aquellas partes sometidas simultá-
neamente a las fatigas y a las temperaturas elevadas. En los puntos
de gran concentración de fatiga, la velocidad de arrastre es mayor
y, por consiguiente, el arrastre originará una distribución de fatiga
más favorable. Algunos ejemplos de este género han sido estudiados
por Bailey274.
272 Véase la publicación presentada en la World Power Conference, Tokio,
1929. 273 Transa Am. Soc. Mech. Engrs., vol. 53, pág. 117, 1931.
274 R. W. Bailey, Inst. Mech. Eng., 1927; Engineering, vol. 124, pág. 44, 1927; vol. 129, 1930; Inst. Mech. Engrs., 1935. Véanse también C. E. Soderberg, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 131, 1933;
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 469
82. Diversas teorías de la rotura K—Las propiedades mecánicas
de los materiales han sido principalmente estudiadas rompiendo
probetas en máquinas de ensayos mediante solicitaciones a fatiga
simple. La mayor parte de nuestra información referente a
resistencia de metales procede de los ensayos a tracción simple. La
resistencia de materiales quebradizos, tales como piedra u
hormigón, ha sido estudiada por ensayos a compresión y también se
tiene cierta cantidad de información con referencia a la resistencia
por cortadura de los materiales. La resistencia de los materiales en
condiciones más complicadas de fatiga se ha investigado solamente
en casos excepcionales. Por ello, y para tener una base conducente
a fijar las fatigas de trabajo en los casos de fatigas combinadas, tan
frecuentes en la práctica, se han ideado diversas teorías de
resistencia. El objeto de estas teorías es establecer leyes en virtud
de las que se pueda, partiendo del comportamiento de un material
en los ensayos a tracción o compresión simple, predecir las
condiciones de rotura bajo
cualquier clase de fatiga combi-
nada. Rotura significa, en este caso,
fluencia o rotura real, según lo que
pueda acontecer primero.
FIG. 301
En el caso más general, el es
tado de solicitación de un elemento
del cuerpo elástico está definido por el valor de las tres fatigas
principales: ax, ay y az (fig. 301). Nosotros supondremos que entre los
valores algebraicos de las fatigas principales acontece
o x >a y > c z , (a)
siendo positivas las tracciones y negativas las compresiones.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 470
(310)
La teoría más antigua, denominada «teoría de la fatiga máxima»275,
toma la fatiga máxima como criterio de resistencia y supone que, en
el caso de materiales dúctiles, la fluencia comienza en un elemento tal como el de la figura 301, cuando la fatiga
máxima iguala a la fatiga en el punto de fluencia del material,
cuando sé ensayó a tracción simple, o cuando la fatiga mínima
iguala a la fatiga en el punto de fluencia del material, cuando se
ensayó a compresión simple. Esta hipótesis da como condiciones de
fluencia
(309)
donde es el punto de fluencia a tracción simple y aFl el de
compresión simple. Existen muchas pruebas en contra de esta
teoría. Hemos visto, por ejemplo (fig. 214), que, en el caso de extensión simple, el deslizamiento acontece a lo largo de planos
inclinados respecto al eje de la probeta; es decir, planos para los
que la fatiga normal no es máxima. Se sabe también que un cuerpo
homogéneo e isótropo, poco resistente a compresión simple, puede
sufrir grandes presiones hidrostáticas sin fluencia. Esto indica que
el valor de la fatiga máxima extensora o compresora no basta para
definir la condición de fluencia.
Otra teoría de resistencia, atribuida corrientemente a Saint-
Venant, es la denominada «teoría de la deformación máxima». En
esta teoría se supone que la fluencia de un material dúctil acontece
cuando la deformación máxima (alargamiento) iguala a la
deformación para la que se presenta la fluencia en el caso dé
tracción simple o cuando la deformación mínima (acortamiento)
iguala a la deformación unitaria en compresión simple. Es decir,
cuando en virtud de las ecuaciones
(43), Primera 'parte, se verifica
o
275 Una exposición de estas teorías puede verse en las publicaciones de H.
M. Westergaard, Jour. Franklin Inst., 1920; A. J. Becker, Bull., núm. 85, Eng. Expt. Stat. TJniversity of Illinois; F. Schleicher, Zeitsch- rift f. angew. Math. u. Mech., vol. 5, pág. 199, 1925; A. Nadai, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 111, 1933.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 471
También existen casos en contradicción con esta teoría. Por
ejemplo, cuando una placa se somete a tracción en dos direcciones
perpendiculares, la teoría de la deformación máxima implicaría un
punto de fluencia mayor que el del caso de tracción simple, ya que
el alargamiento en cualquiera de las dos direcciones está
contrarrestado en parte por la tracción de dirección perpendicular.
Esta conclusión está en contradicción con los experimentos h Los
ensayos con probetas sometidas a presión hidrostática dan
resultados también en desacuerdo con esta teoría.
Mucho más de acuerdo con los experimentos (al menos con
materiales dúctiles para los que aF i sea igual a aFl) está la «teoría
del esfuerzo cortante máximo». Esta teoría supone que la fluencia
comienza cuando la fatiga cortante máxima iguala a la fatiga
cortante máxima que acontece en el punto de fluencia del ensayo a
tracción simple. Como la fatiga cortante máxima es igual a la
semidiferencia entre las fatigas principales máxima y mínima, la
condición de fluencia será a
i (311)
En el proyecto de maquinaria se emplea actualmente esta teoría
para materiales dúctiles. Su aplicación está de acuerdo con los
experimentos y resulta muy sencilla 276.
276 La comparación de las diversas teorías de resistencia, desde el
punto.de vista del proyecto de maquinaria dado por J. Marin, puede verse en Product Engineering, mayo 1937.
472 RESISTENCIA DE MATERIALES
La cantidad de energía de deformación almacenada por unidad
de volumen del material también se ha propuesto como base para
determinar el comienzo de la fluencia 277. Utilizando la ecuación
general (192) (pág. 301, Primera parte) e igualando la energía
correspondiente al caso de la figura 301 con la que en el punto de
fluencia corresponde a tracción simple, se tiene
W = 2E + + ^ ~~ E ^x<Jv + GyGz + ^ = ff ^312^
Para comparar las diversas teorías de resistencia, conside-
raremos, por ejemplo, el caso de cortadura pura.. En este caso, la
fatiga compresora máxima es igual a la fatiga extensora máxima y a
la fatiga cortante máxima (artículo 16, Primera 'parte). Por tanto,
Suponiendo que el material tenga el mismo punto de fluencia a
tracción y a compresión, las condiciones de fluencia que establecen
las diversas teorías son
por las ecuaciones (309) por las ecuaciones (310)
por la ecuación (311)
La ecuación (312) da, para este caso,
w _ ’°S(278 +. I1) _
E 2 E
de donde
T _ qj>* y/^r+j)
Tomando p = 0,3, caso del acero, se tiene: t = aFl, para la teoría de
la fatiga máxima; t = 0,77 aFl, para la teoría de la deformación
máxima; t = 0,50 aFli para la teoría de la fatiga cortante máxima; t =
0,62 am, para la teoría de la energía de deformación máxima.
Puede verse que la diferencia entre los resultados que dan las
277 El primero que estableció esta teoría fué Beltrami, Bendiconti, pág.
704, 1885; Math. Annálen, pág. 94, 1903; véanse también Girtler, Sitzungsberichte d. Wiener Alead., vol. 116, 11.a, pág. 509, 1907, y B. P. Haigh, Engineering, vol. 109, pág. 158, 1920, y Brit. Aasoe. for the Adv. of Science, Reports, Edinburgh, 1921.
278 En la publicación de Roth, Zeitschr. f. Math. u. Phys., vol. 48, 1902, puede verse la comparación de las diversas teorías de resistencia en varios problemas de proyecto.
GFI
aFi
T
1
T — — <3Fl li .
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 473
diversas teorías en este caso particular 1 es muy considerable.
474 RESISTENCIA DE MATERIALES
Si, por ejemplo, se trata de un eje circular solicitado a torsión y
suponemos un coeficiente de seguridad n; es decir, crm4X = —,
/íb
por la ecuación (149), Primera parte, para las diversas teorías de
resistencia se obtendrán los diámetros siguientes;
y—* r 0.62
o bien
1 : 1,09 : 1,26 : 1,17.
La figura 902 compara gráficamente las cuatro teorías expuestas
'para el caso de un estado elástico doble (<J, = 0) 279 y
on = aFl. Las líneas de la figura representan los valores de ax y ay,
para los que comienza la fluencia según las diversas teorías. La
teoría de la fatiga máxima está representada por el cuadrado 1234.
Las longitudes OA y OB representan los puntos de fluencia en
tracción simple para las direcciones % e y, respectivamente. Del
mismo modo, A' y B' corresponden a la compresión simple. El punto
1 representa tracciones iguales en las dos direcciones
perpendiculares e iguales a la del punto de fluencia en tracción
279 Véanse las publicaciones de A. J. Beeker, ya citada, pág. 468, y
B. P. Haigh, ya citada, pág. 470.
FIG. 302
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 475
simple. La teoría de la fatiga máxima establece que no existe
fluencia para ningún punto interior al cuadrado 1234. La teoría de
la deformación máxima está representada por el, rombo 5678. Como
la tracción en una dirección reduce la deformación en una dirección
perpendicular, las dos tensiones iguales correspondientes a la teoría
de la deformación máxima pueden tener valores mayores en la
fluencia (valor representado por el punto 5) que los
correspondientes a la teoría de la fatiga máxima (punto 1). Si las dos
fatigas principales son iguales y de signo contrario, la teoría de la
deformación máxima (puntos 6 y 8) indica que la fluencia comienza
para valores menores que los correspondientes a la teoría de la
fatiga máxima. La teoría de la fatiga cortante máxima está
representada por el hexágono irregular AlBA'ZB' A. Este hexágono
coincide con la teoría de la fatiga máxima cuando las dos fatigas
principales son del mismo signo; pero la diferencia entre las dos
teorías es considerable cuando las fatigas principales tienen signos
opuestos. La ecuación (312) correspondiente a la teoría de la energía
de deformación máxima se reduce en los problemas de dos dimen-
siones a
al + O» ~ 2 [X<5xGy — oj,.
Representando gráficamente esta ecuación, se obtiene la
elipse.de la figura 302, cuya área representa todos los puntos para
los que, según la teoría de la energía de deformación máxima, no
acontece la fluencia.
El primero en desarrollar la teoría de la energía de deformación
máxima fué Huber 1. Para poner esta teoría de acuerdo con el hecho
de que los materiales puedan experimentar grandes presiones
hidrostáticas sin fluencia, Huber propuso que, cuando
la fatiga media ^ (ax -f- oy -J- <Jz) es una compresión, se dividiese la
energía de deformación en dos partes: una, debida a la variación de
volumen, y otra, a la distorsión, y que se considerase solamente esta
segunda parte.
Empleando la notación
\i°x + ^ + at) = p O
y la ecuación (45), primera parte, para la variación unitaria de
volumen A, la energía de deformación debida al cambio devolu- men
es pA 3(1 — 2 fi) 1 — 2 JJ.
476 RESISTENCIA DE MATERIALES
w, = — = —— - — p¿ = ——— (a,_ + + crz) 2 2 E 6 E
Restando esta expresión de la energía total w (ecuación 312), se
encuentra para la energía de distorsión
w<L = w — wí = [(<**— <b/)280 + (»,~°z)2 + (S — oz)2]. (313)
t) Mi
En el caso p < 0, Huber propuso usar wz, en lugar de la energía
total w, como condición de fluencia.
Aplicándolo también al caso de cortadura pura y al de extensión
simple, tendremos, mediante la ecuación (313):
Para fatiga cortante pura (ax — — az = r; oy = 0),
E
Y para tracción (<JX = cr; ay — GZ — 0),
280 B E
La condición de fluencia en cortadura pura es (1
+ ¡Í.)T2 _ (1 -f g)cr|^
E B E de donde 1
T = -^=<yFl= 0,557 rsm. (314) __________________________ V3
1 Los recientes experimentos de W. Lode, Zeitschrift f . Physik, vol. 36, pág. 913, 1926; Forschungsarbeiten, núm. 303, 1928, y de M. Ros y A. Eichinger, Material prüfungsanstalt dyde É. T. H., Zu- rich, 1926, Diskussion, Berichte, núm. 28, 1928, y núm. 34, 1929, están en mejor acuerdo con esta teoría de la energía de deformación máxima que con la teoría de la fatiga cortante máxima; pero en la mayoría de los casos la diferencia entre las dos teorías es pequeña, lo que no hace práctico introducir la teoría de la energía máxima en el proyecto de maquinaria. Posteriores desarrollos de esta teoría pueden verse en la publicación de F. Schleicher, ya citado, pág. 468. Véase también W. von Burzynsky, Sweiz. Bauz., vol. 94, 1929.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 477
La teoría de la fatiga cortante máxima ha sido desarrollada por
O. Mohr 281. En. su estudio ha introducido sus conocidos círculos
(artículo 18, Primera parte). En esta representación, las com-
ponentes normal y tangencial de la fatiga ligada a un plano cual-
quiera vienen dadas por las coordenadas
de un punto del área rayada (fig. 303). Los
puntos pertenecientes a una misma vertí-
o cal, como la MN, representan fatigas
ligadas a planos, para los que la
componente normal es constante y
únicamente varía la componente
cortante. De todos estos planos, el más
débil, natu- FIG. 303
raímente, es el que corresponde
al punto N, perteneciente al círculo exterior. Repitiendo el razo-
namiento con puntos pertenecientes a otra vertical, se llega final-
mente a la conclusión de que el plano más débil será uno de los que
su estado elástico corresponde a los puntos del círculo exte-
281 O. Mohr, V. D. I., vol. 44, pág. 1524, 1900. Véase también su
AbhcmcUungen ans dem Gebiet d. technischen Mechanilc, segunda edición, pág. 192, Berlín, 1914,
478 RESISTENCIA DE MATERIALES
rior ANC. Por consiguiente, basta el círculo exterior para deter-
minar las condiciones de fatiga para las que comienza la fluencia.
En la figura 304 la longitud O A representa el punto de fluencia a
tracción simple, y el círculo de diámetro OA la condición de fluen
FIG. 304
M,
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 479
cia en extensión simple. Análogamente, el círculo de diámetro OG
corresponde a ia fluencia en compresión simple, y el círculo de
diámetro DB, a la fluencia en estado cortante puro. Si, experi-
mentalmente, para un material dado se obtienen círculos de este
género, pueden trazarse sus envolventes, que en el caso actual son
las líneas MN y MtNv Mohr ha supuesto que cualquier estado elástico
para el que pueda acontecer la fluencia debe estar representado por
un círculo tangente a dichas envolventes. Supongamos, por ejemplo,
que las envolventes MN y MÍN1 se reemplazan por líneas rectas (fig.
305). De este modo, se puede calcular
fácilmente la condición de fluencia en el caso de cortadura pura, si
se conocen las condiciones límites a tracción simple (ax = aFl) y a
compresión simple {az = a'Fl). De la figura se deduce
OF = FG= FH = -GH = - L K = - gg-Hük eos <p. 2 2 2 2
La fatiga que produce fluencia en cortadura pura, radio OD del
círculo de centro O y tangente a MN, es
xFl = OD = OF eos 9 ~ ^ — an) cos2 ?• («)
El ángulo <p se deduoe del triángulo KLP, de donde
Sustituyendo en (a),
~n — —r CT.FZ Up;
cuando aFl~—a'n, la ecuación (c) coincide con la teoría de la fatiga
cortante máxima.
480 RESISTENCIA DE MATERIALES
Aplicando la ecuación (c) a la fundición 282 y suponiendo que la
fatiga de rotura a compresión es cuatro veces mayor que la de
rotura a tracción, se halla para la fatiga de rotura por cor-
4cr283
tadura el valor xr = = 0,8 ar = 0,8 de la fatiga de rotura
a tracción. r
Este resultado está de acuerdo con los experimentos realizados
por C. Bach con cilindros huecos de fundición2. Th. v. Kar- man 284 y
R. Boker 1 han realizado experimentos muy detallados con mármol y
con piedra arenisca.
83. Fatigas de trabajo.—La elección de los coeficientes de
seguridad al proyectar estructuras y órganos de máquinas es un
problema muy delicado y de la mayor importancia práctica. Si el
coeficiente se toma demasiado bajo, las fatigas de trabajo serán inuy
elevadas y la estructura trabajará en malas condiciones; si, por el
contrario, las fatigas de trabajo son demasiado bajas, la estructura
resultará innecesariamente pesada y antieconómica. Para analizar
los diversos factores que deben considerarse al elegir las fatigas de
trabajo, vamos a considerar el sencillo caso de una barra prismática
sometida a extensión simple. Supongamos que se toma el punto de
fluencia del material como base para fijar la fatiga de trabajo. La
sección A que debe tener la pieza se deduce de la ecuación
- = r - ' w n A
Se ve que el área de la sección depende del valor de la carga
exterior P, del punto de fluencia del material aFl y del coeficiente de
seguridad n. Como es natural, el valor de este coeficiente depende
de la exactitud con que se conozcan los otros valores que
intervienen en la ecuación (a); es decir, la carga exterior y las
propiedades mecánicas del material, y de la exactitud con que la
ecuación (a) represente la fatiga máxima.
Hay casos en los que las fuerzas exteriores se conocen con gran
aproximación. Se conoce exactamente, por ejemplo, la presión
282 En el caso de un material quebradizo, la teoría anterior se aplica a la
fatiga de rotura en lugar de a la fatiga en el punto de fluencia. a C. Bach, Elastizitat und Festigkeit, 7.a edición, pág. 362. 284 Th. v. Karman, Forschungsarbeiten, núm. 118; véase también V . D .
I . , vol. 55, 1911.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 481
hidrostática sobre una pieza, conocida la altura del agua. Lo mismo
sucede con las fuerzas centrífugas que actúan sobre un rotor de
velocidad angular definida. Pero en la mayoría de los casos sólo se
conocen las fuerzas de modo aproximado y el caso de carga más
desfavorable para una estructura se estima únicamente a base de
una larga experiencia. Sea, por ejemplo, el proyecto de un puente.
El peso del puente y el peso del tren que lo atraviesa pueden
conocerse con suficiente exactitud; pero al proyectar el puente
deben tenerse en cuenta los efectos dinámicos. Debido a la
vibración vertical de las masas, la presión de las ruedas de la
locomotora sobre el carril no es constante y la presión máxima es
mayor que la presión estática. Bajo la acción de las cargas móviles y
variables, el puente entra en vibración, y en estas condiciones el
problema de determinar los esfuerzos en los elementos del puente
es extremadamente complejo. Otro tipo de fuerza que obra sobre el
puente y no se conoce con exactitud es la presión del viento. El
valor de las fuerzas expresadas se estima a base de la experiencia
adquirida con estructuras ya existentes.
Del análisis expuesto se deduce que si la ecuación (a) representa
la condición de seguridad para una barra de puente, la fuerza P no
se conoce con exactitud y solamente se estima de modo aproximado.
La precisión con la que se haga esta estimación afectará al valor del
coeficiente de seguridad.
El valor de aFl tampoco es una cantidad exactamente conocida.
Varía en cierto grado para el mismo material y esta variación
depende de la homogeneidad del material. Como es natural, el
coeficiente de seguridad puede tomarse mucho más bajo en el caso
de materiales homogéneos, tales como el acero, que en el de
materiales que no lo son, como la madera o la piedra.
También es necesario tener en cuenta la aproximación propia
de la fórmula al escoger el coeficiente de seguridad. La ecuación (a)
se puede considerar muy aproximada para el cálculo de fatigas en
probetas sometidas a ensayos de tracción (véase figura 248), a causa
de las precauciones especiales que se toman para aplicar
centralmente la carga y para que se distribuya uniformemente
sobre la sección más débil. Pero volviendo a considerar como
ejemplo la barra de un puente, se ve que la ecuación (a) es sólo una
grosera aproximación basada en la hipótesis corriente de que en los
nudos el enlace de barras es una articulación ideal. El estado real
482 RESISTENCIA DE MATERIALES
de fatiga en dichas barras es muy distinto de la extensión simple.
Debido a la rigidez de los nudos, la barra experimenta flexión,
además del esfuerzo directo. Las fatigas por flexión son a veces de
valor considerable, y si no se toman en consideración y se utiliza la
ecuación (a) para determinar el área de la sección recta de la pieza,
debe compensarse la inexactitud que en este caso tiene la ecuación
(a) aumentando el coeficiente de seguridad.
De este estudio se deduce las dificultades de establecer unas
normas definidas referentes al valor del coeficiente de seguridad y
cómo este factor depende y dependerá siempre de la experiencia y
buen juicio del proyectista.
En el estudio que sigue se supone que las fuerzas se establecen
con arreglo a los datos suministrados por las últimas realizaciones
y que se conocen las propiedades mecánicas del material.
Comenzaremos el examen de cómo los diversos estados de fatiga
influyen sobre el modo de escoger las fatigas de trabajo,
considerando aquellos casos en que las fatigas permanecen cons-
tantes; tales, por ejemplo, los de estructuras sometidas únicamente
a cargas estáticas o máquinas que giran a velocidad constante. La
primera cuestión a resolver es si se toma en la determinación de la
fatiga de trabajo el punto de fluencia o la fatiga de rotura como
fatiga límite. En el caso de materiales dúctiles, tales como el acero
de construcción, parece lógico tomar el punto de fluencia como base
para determinar las fatigas de trabajo, debido a que las
deformaciones considerables que acontecen por la fluencia son rara
vez admisibles en las estructuras utilizadas en ingeniería. En el
caso de materiales quebradizos, tales como fundición u hormigón,
las fatigas de trabajo se fijan como fracción de la fatiga de rotura.
Conocido el punto de fluencia aFi de un material dúctilx, la fatiga
de trabajo a tracción o compresión es
(j — CUH, ln v
'
donde n es el coeficiente de seguridad. En las estructuras corrientes
este coeficiente se toma igual a 2. Si se considera el caso de carga
más desfavorable, el coeficiente baja corrientemente a 1,5 285. Debe
285 A veces los cálculos se realizan para dos estados de carga diferentes^
1.°, el estado de carga normal; 2.°, el de condiciones limites, para el que se toman las condiciones posibles de carga más desfavorables. Para este
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 483
significarse que cuando la carga es estática y el material dúctil, la
concentración de fatiga debida a agujeros o ángulos entrantes no se
considera de ordinario y que la fatiga máxima se calcula por
ecuaciones sencillas, tales como la (a) para esfuerzos directos, para
torsión (ecuación 149, Primera parte) y para flexión (ecuación 58,
Primera parte).
Una vez establecidas las fatigas de trabajo para extensión y
compresión simples, las correspondientes a otros estados elásticos
se determinan corrientemente por la teoría 286 de la máxima fatiga
cortante (pág. 470), para la que
■,, = 5 = 123. (C)
2 2 n
Este valor es el que se utiliza en los casos de fatigas combinadas; es
decir, que la estructura se proyecta de modo que
= Tt = l ^ n , ( d ) 2 2 n
segundo caso se toma un coeficiente de seguridad más bajo.
286 La aplicación para el proyecto de las otras teorías ha sido estudiado por J. Marin, Product Engineering, mayo 1937.
484 RESISTENCIA DE MATERIALES
donde rsx y c, son, respectivamente, las fatigas principales máxima y
mínima, por lo que ei primer miembro de la ecuación (d) representa
la fatiga cortante máxima. En el caso particular de flexión y torsión
combinadas sobre un eje circular (art. 62, Primera 'parte)y tenemos
= X/ = 16 V-M2 + M2, 2 7C#
de donde
d = ]/16 V TZTt
En el caso de materiales quebradizos, las fatigas de trabajo a
tracción y compresión son
- ^ (¿> nl %i
donde cr, es la fatiga de rotura a tracción, o/ la fatiga de rotura a
compresión y n1 el factor de seguridad. Para"materiales tales como
hormigón o fundición este coeficiente se toma relativamente
elevado, oscilando, según los casos, entre 4 y 8.
Una vez fijadas las fatigas de trabajo a tracción y compresión,
pueden obtenerse para otro tipo de solicitación mediante la teoría
de Mohr, expuesta en la página 475. La teoría de la fatiga máxima
(pág. 469) se emplea corrientemente en el caso de materiales
quebradizos; es decir, se determinan las dimensiones de modo que
la fatiga extensora máxima no sea mayor que la fatiga de trabajo a
tracción simple, y que la fatiga compresora máxima no sobrepase a
la fatiga de trabajo a compresión; Debe subrayarse que para
materiales quebradizos la concentración de fatiga debe tenerse en
cuenta (véase cap. VII) al calcular las fatigas máximas de extensión
y compresión.
Se ha supuesto en la exposición anterior que puede aplicarse el
principio de superposición, lo que significa que la fatiga máxima es
proporcional a la carga. Por consiguiente, el coeficiente de
seguridad n, que se emplea en la determinación de las fatigas de
trabajo, es aplicable a las cargas exteriores, y puede estable- Resistencia de materiales.—T. II
31
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 485
cerse que la fluencia de la estructuré comienza para una carga igual a n veces la carga normal de la
estructura. Si el principio de superposición no es válido, la fatiga máxima no es proporcional a la
carga, y és necesario aplicar el coeficiente de seguridad a la carga y determinar las dimensiones de
la estructura de modo que la fluencia acontezca solamente si las cargas que actúan se hacen n veces
mayores. La aplicación de este método al caso de fatigas ñectoras y directas se lia estudiado en el
artículo 4 (véase pág. 34) Este método se aconseja también en el proyecto de columnas por el
procedimiento de las inexactitudes supuestas (véase pág. 248, Primera parte).
Al estudiar la deformación plástica de estructuras se señaló que,
en lugar de aplicar el coeficiente de seguridad a la carga para la que
acontece la fluencia, podrá tomarse respecto a la carga de rotura.
En el artículo 68 se han visto algunas aplicaciones de este último
método de proyecto. Algunas veces, como, por ejemplo, en el
proyecto de aviones, se aplican ambos métodos y se usan dos
coeficientes de seguridad distintos: uno respecto a la carga hasta
que la fluencia no acontece, y otro respecto a la carga capaz de
producir el colapso completó de la estructura.
En el caso de fatigas variables el problema de la selección de
fatigas de trabajo es más complicado, puesto que las fatigas
producidas por causas dinámicas, tales como vibraciones y choque,
se conocen corrientemente con mucha menos aproximación que las
fatigas producidas estáticamente; y, por otra parte, las propiedades
de los materiales por la acción de fatigas variables no han sido
estudiadas aún de modo completo. Los ensayos a fatiga alterna son
la base general de la determinación de fatigas de trabajo para este
caso. Si de un material dado se han obtenido, mediante ensayos, los
datos suficientes para construir curvas empíricas, tales como las
parábolas de Gerber, o líneas rectas como las de la figura 276,
pueden determinarse mediante ellas las fatigas de trabajo. En
muchos casos se carece de esa información completa, y las fatigas
de trabajo se escogen conocidos el límite de tolerancia para fatiga
alterna (<rmáX = — Omin) y el punto de fluencia para tracción simple
aFí.
A continuación expondremos un método aplicado con éxito en el
proyecto de órganos de máquina x. Sea, primero, el caso de una
fatiga directa variable, que puede considerarse como la
superposición de una fatiga constante media, y de una fatiga
alterna, dadas por las fórmulas
G’máx “t - CTmíi\ ®máx ^¡aín —
Tomando am como abscisa y oa como ordenada, una fatiga
variable cualquiera vendrá representada por un punto en el plano
486 RESISTENCIA DE MATERIALES
am, aa de la figura 306.
A representa el punto de fluencia en un ensayo estático (<sa = 0),
y B el límite de tolerancia para fatiga alterna (ow = 0).
La hipótesis consiste en suponer que para otros casos de fatiga
variable las condiciones límites de fatiga 287 están representadas por
los diversos puntos de la línea recta AB. Esta hipótesis, teniendo en
cuenta el estudio realizado en la página 436, es evidente que da
seguridad al compararla con las parábolas de Ger- ber y con las
líneas rectas de la figura 276. Si se dividen OA y OB por «1
coeficiente de seguridad, se obtienen puntos que
1930; Journal of Appl. Mech., vol. 1, pág. 131, 1933. Véase también
487 RESISTENCIA DE MATERIALES
21
determinan la línea recta GD, paralela a la AB, representativa dé las
condiciones seguras de trabajo. Mediante esta línea pueden
determinarse fácilmente los valores de trabajo de am y aa
para cualquier valor de la relación —. Por ejemplo, en las Gm
condiciones de trabajo correspondientes al punto G se tiene cm = OF, aa
— FG, y por los triángulos semejantes GFG y DOG se deduce
Ga O5 (/)
' > 2l'l _ aFl * . n
de donde
-*-■?«» (315) n Ge api
= n ---------------- 'Vt'5 a‘ “ í ---------- • (316) ^ 6 m l -j- ^ ^
(5q G m
Se ve que para un valor dado de — las fatigas de trabajo Gm
ca Y Gm se obtienen por las ecuaciones (316), si se conocen, mediante
ensayos, los valores de ae y GFI y se fija el valor adecuado del coeficiente
de seguridad n. Supongamos, por ejemplo, que una barra de acero,
para la que aF¡ sea 2,900 kg./cm.8 y ae — 2,100 kg./cm.8, se somete a
fatigas repetidas que varíer entre 0 y cmáx- En este caso
_ _ ' °niáx _________________ Gm i Ga = ------ — > — = 1,
2 Ca
y para n — 2, las ecuaciones (316) dan
2.100 1
= 609 kg./cm.8;
om = ._J— = 609 kg./cm.8. 2 29
1 -f-
1 — 29
488 RESISTENCIA DE MATERIALES
Por consiguiente,
®máx == ®m == 1*218 kg./cm.2.
En la discusión anterior se ha supuesto que se trataba de una pieza
prismática y que la fatiga directa se obtenía dividiendo la fuerza axial
por el área de la sección recta de la barra. Si la forma de la barra
origina concentración de fatiga en algunos puntos, caso de acuerdos o
agujeros, esta concentración debe tenerse en cuenta al escoger las
fatigas admisibles. La práctica muestra que una buena norma de
proyecto es considerar la concentración de fatiga solamente en la
parte variable de la fatiga, y despreciarla en el cálculo de la fatiga
media constante 288.
Empleando los símbolos am y o„ para los valores nominales de las
fatigas (despreciando la concentración de fatiga), y representando por
Je el factor de concentración de fatiga, que solamente aplicamos a la
fatiga alterna, se obtiene, al sustituir kaa en iugar de aa en las
ecuaciones (315) y (316),
(317) n ae uFl
_ _ 1 _ __<*Fl 1 /oí o\ Ga ~ -------------------------------------------- ■ »am = — (318)
kn 1 _[_ ^n i ají kaa
o*g
Considerando nuevamente la pieza del ejemplo anterior, y
suponiendo que presenta una concentración local de fatiga k = 2, se
obtiene ^ 2.100 1 a = : ---------------------------- 2 x 2 , , 2 1 1 + 2y X ' 2 .
385 kg./cm.a. 2 1 + — X 2
21
®máx == "f" == 770 kg./cm.2.
288 Véase R. E. Peterson, Proceedinge Am. Soc. Test. Mat., volumen 37,
Í937.
— 385 kg./cm.2.
29 X 2
2.900 1
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 489
Las ecuaciones (318) se aplican también en los casos de flexión.
Supongamos, por ejemplo, que un eje de acero, para el que opl —
2,900 kg./cm.2 y ae = 2,100 kg./cm.2, sea flexado por su propio peso
mientras gira. En este caso Gm = 0, y si n — 2 y k — 1,7, tendremos
Ge 2.100 N 1, 9 Ga = — = r—= 618 kg./cm 2, fe 1,7 x 2
cuyo valor es en este caso la fatiga normal máxima admisible por
flexión. Como el límite de tolerancia por cortadura vale
aproximadamente, en la mayoría de los casos, la mitad de límite de
tolerancia para fatiga directa alterna (véase pág. 436) puede
suponerse que la teoría de la fatiga cortante máxima, ex puesta
para el caso de fatiga constante, es válida cuando 1í rotura
acontece por fatiga variable 289.
Por consiguiente, en los casos de cortadura pura, llamandc Ta y
xm a las partes alterna y constante de la fatiga y k al faetoj de
concentración de tensión mediante las ecuaciones (318), se deduce
. - 3 ------- ----------- 1 __ (3i9)
2 kn ! 3 3» ’ *“2 n 1 | an
toa
Gp¡ kxa oe tw
Supongamos, por ejemplo, que un eje del material conside rado
anteriormente esté solicitado por un torsor variable ta
que Tmín = ^ Tmáx, y que sus dimensiones son tales que el factc
Ji
de concentración de fatiga en los acuerdos sea (véase pág. 31' k =*=
1,7. En este caso
_ ^máx H~ ^inín 3 _ ^ _ Tniáx"^mín ^ _ 'Imáx > 'I’a — 'Iraax* 2 4 2 4
Tomando un coeficiente de seguridad n = 2, la ecuación (31! nos
da 2-100 1 ' - 1 * * 1 2
— = 135 kg./cm.2. 2 X 1,7 X 2 - , 21 3
289 La aplicación de las diversas teorías de resistencia a las fatig
variables ha sido estudiada por J. Marin, Journal Appl. Mech., vol. página 55, 1937,
490 RESISTENCIA DE MATERIALES
1 H x — 29 1.7
i. ■= — = 406 kg./cm.3.
1 H— x --- 21 3
*máx = + x« = 540 kg./cm,2.
La ecuación (319) puede utilizarse también para el estado elástico
triple representado en la figura 301, con tal de que permanezca
invariable el plano de fatiga cortante máxima al variar las fatigas
principales 290. En este caso
_ lGx — _ . JGx — <M Lnáx — I “ J Tmítt —I I
\ " /máx> > " / mía
y las cantidades
Tmáx -j- Tmjn ^mix ' Tmfn
se determinan mediante las ecuaciones (319).
A veces se presentan casos más complicados en los que no
solamente varía el valor de la fatiga cortante máxima, sino también el
plano del cuerpo en el que dicho cambio acontece. El caso más sencillo
de este tipo corresponde a flexión y torsión combinadas. En este caso
el valor nominal de la fatiga cortante máxima es —véase ecuación
(161), pág. 270, Primera parte.
to1, = (g) KCo
donde M y Mt son los valores máximos de los momentos flector y torsor,
respectivamente. Para calcular el diámetro d mediante
esta ecuación, se escribe en lugar de xmáx, como en el caso 2 w.
de solicitación estática, y se tiene en cuenta la variación de fatigas,
multiplicando M y Mt por ciertos factores numéricos m y mv por lo que
la ecuación (g) será -i_____________________________
290 Este estado se presenta, por ejemplo, en el caso de flexión alterna,
combinada con torsión también alterna, si los momentos flector y torsor están en fase.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 491
^ \/(mM)2 + (320) 2 n 7xdz
Los valores de m y m1 dependen de los valores relativos de los
momentos M y Mt y de su fluctuación. Una fórmula satisfactoria se
obtiene escogiendo los valores de m y mv de modo que se satisfagan las
dos condiciones extremas: 1.°, cuando Mt — 0, y se tenga flexión
variable, y 2.°, cuando M — 0, y tengamos torsión variable. Para estas
dos condiciones extremas las ecuaciones (320) dan
= -16 mM, (h)
2 n izd3
Gn = ü mM (i)
2 n nd3 1 W
La primera de estas ecuaciones corresponde a la flexión variable, y
la segunda a la torsión variable. Ambos casos han sido ya examinados
y basta calcular los factores m y mv de modo que las ecuaciones (h) e (i)
coincidan Con las ecuaciones (318) y (319).
Sean Mm y Ma el valor medio y el valor alterno correspondientes al
valor variable del momento flector M, de modo que
■ ‘ . M- Mm + Ma
(j'
Los valores nominales de las fatigas correspondientes soi
32 Mm 32 Ma •X™ —
Tzd3 v " nd3
y /3 Jf = ¿f, + Jf.'= ^
32
Sustituyendo este valor de M en la ecuación (h) se obtiene
“ = m(aM + aa)
492 RESISTENCIA DE MATERIALES
Si no hay concentración de fatiga esta ecuación debe coincidir
con ia ecuación (315). Por consiguiente,
+ aa) _ + ^
G p i G e O # }
1 _(- —
1 + O...
Conocidos Gfi, ae y la relación G~ , el factor m se calcula ^ m
fácilmente por la ecuación (n). Si existe concentración de fatiga, la
ecuación (1) debe coincidir con la (317) y se tiene
1 +
m =• ------------ — ---------------------------------------- (o) , n-0'1
Haciendo lo mismo con el torsor variable dado por la ecuación
{%), ootenemos
1 + T"
:«! = -------------------- (p) i + °-
^m
donde 1:, es el factor de concentración de tensión para la torsión,
generalmente distinto del factor k para la flexión.
Una vez calculados los factores m y m1 mediante las ecuaciones
(o) y (p), se fija el diámetro necesario por la ecuación (320).
Como ejemplo del modo de llevar los cálculos consideraremos un
eje del mismo material de los ejemplos anteriores, solicitado por un
momento flector alterno de módulo M 1 y por un torsor variable tal
que Mt — (Mt)m (1 ± 0,1). Supondremos que las dimensiones de los
acuerdos son tales que el factor de concentración de fatiga en
flexión 291 es k = 1 , 7 , y el de torsión k1 = 1,7 2 también. Mediante las
291 En este sentido, publicaciones tales como Technical Reporta, British
Engine, Boiler El. Insurance Go., son de la mayor importancia práctica.
JL
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 493
ecuaciones (o) y (p), sustituyendo a m = 0 y = 0,1 Tm, se obtiene
494 RESISTENCIA DE MATERIALES
m — k ~ = 1,7 x 1,4 = 2,38; m1 = -1±i>7 X 292’4 x Q?1 & i 13 - - 1 -f 0,1
El diámetro del eje se obtiene sustituyendo estos valores en la
ecuación (320).
En el estudio realizado se ha supuesto que las dimensiones se
determinan únicamente por consideraciones de resistencia.
Existen, sin embargo, a veces requisitos adicionales que es ne-
cesario considerar al proyectar. La limitación de las deformaciones
es muchas veces la base que sirve para el cálculo de las
dimensiones. La deformación tiene importancia extraordinaria en
los casos en que se considera la vibración del sistema. Con fre-
cuencia se limita la flecha de las vigas y estructuras. En los ejes es
corriente limitar el ángulo de torsión por unidad de longitud.
Cuando las estructuras están sometidas a la acción de una
temperatura elevada, el proyecto se basa en una estimación de la
vida de la estructura y de la deformación que se considera
admisible. Las fatigas de trabajo se fijan de modo que la distorsión
de la estructura durante su vida no exceda de un límite .fijado en
relación con el tipo de la estructura (véase art. 81).
De todo lo expuesto se deduce que el problema de fijar las
fatigas de trabajo es a la vez un problema importante y difícil. Al
escoger el coeficiente de seguridad n el proyectista debe guiarse
siempre por la experiencia pasada.
El estudio realizado a fin de comparar las fatigas de trabaj< en
estados elásticos diversos no debe tomarse en el sentido d
reemplazar al empleo de la experiencia, sino como un auxilio ei la
interpretación de esta experiencia y como medio de obtene un
proyecto igualmente robusto en todas sus partes. Puede uti fizarse
también para la comparación de proyectos diferentes 1 para la
estimación de la resistencia de estructuras realizadas. E estudio de
las roturas en uso y la investigación de sus causas a la luz de las
anteriores consideraciones teóricas constituye un método
extraordinariamente útil para adquirir un conocimiento más
profundo de la resistencia de nuestras estructuras x. Combinando
este análisis de las roturas con las investigaciones teóricas sobre la
292 Se supone que la concentración de fatiga por flexión y torsic
acontece en el mismo pimto. Esta hipótesis es casi exacta en los acue dos de ejes de diámetro variable.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 495
distribución de las fatigas en diversos casos, y con los ensayos de
laboratorio en solicitaciones variadas, obtendremos un
conocimiento seguro de la resistencia real de las estructuras.
Adquiriendo un conocimiento tal, las instrucciones actuales
para fatigas de trabajo en las diversas ramas de la ingeniería
pueden mejorarse considerablemente. Esto redundará en economía
de material y en mayor seguridad para las estructuras y máquinas.
P R O P I E D A D E S
496 RESISTENCIA DE MATERIALES
Número Materia) Tratamiento
Límite de proporcio-
nalidad
Lib./pulg.1
l1 0,37 C, 0,55 Mn. Recocido a 850° C ................... 36,500
38.000
65.000
2 1 Normalizado a 850° C ..................... 31 » »
Tratado térmicamente a 850° C,
templado a 550° C (agua) ...........
4 2 0,49 C, 0,46 Mn.
» »
Normalizado a 910° C ..................... 44,700
75,800 52
Tratado térmicamente a 790° C,
templado a 430° C (aceite) . . . .
61 0,35 C, 0,45 Mn,
3,4 Ni. . ........... Laminado ........ ......... . .................. 47.000
52.000
52.000
72.000
7 1 » . Recocido a 840° C ............................
8i » Normalizado a 840° C, templado a
730° C ..... .....................................
9 1 » Tratado térmicamente a 800° C,
templado a 60Ó° C (agua) ...........
10 a 0,24 C, 0,37 Mn,
3,3 Ni, 0,87 Cr. »
Recocido a780° C .............. . 56,700
115,000
ll2 Tratado térmicamente, aceite 830°
C ......................................... .........
12* 0,30 0, 0,56 Mn,
4,3 Ni, 1,4 Cr. Enfriado al aire desde 800° C . . . . 45,000
13* » Enfriado al aire desde 800° C,
templado a 600° C .... . ................ 92,000
141 0,32 C, 0,74 Mn,
0,32 Si ......... t> .
Fundido .. . ...................................... 20,000
37,000 j
40,500
151 Recocido a 925° C ................. ........ .
161 » . Normalizado a 925° C .....................
Laboratorio de investigación, Westinghouse El. & Co. Véase Applied Elasticity. S. ' a Boletín de la Universidad de Illinois, núm. 136, pág. 33, H. I’. Moore v T. Jasper. * Engineering Steel», pág. 209, L. Aitchison, 1921.
1 La viga está embebida en un material capaz de ejercer acciones hacia arriba y hacia abajo. nes: Hayashi, Theorie des Tragers auj elastischer Unterlage, Berlín, 1921; Wieghardt Zeitschrijt jür angeuiandte Math u. Mech., vol. 2, 1922; K. v. Sanden and Schbicher, Belon und Eisen, 1926, Heft 5; Paster- nak, Betón u. Eisen, 1926, 9 y 10; VV. Prager, Zeitschrijt /. angewandte Math u. Mech., vol. 7, 1927, pág. 354; M. A. Biot, Journal Appl. Mech., vol. 4, pág. 1, A, 1937.
PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 493 I C A S D E L O S A C E R O S
Fatiga de rotura
Alarga-miento sobre 2
pulgadas
Contracción en área
Límite de tolerancia
Observaciones Lib./pulg.
2 Por 100 Por 100 Lib./pulg.2
70,000 32 49 ± 29,000 Redondo de 2 1ji pulgada diámetro. 79,200 29 46 i 29,300 » 9 » »
105,000 22 56 ± 51,000 9 » 9 »
91,500 27 40 i 33,000 Cuadrado de 1S/18 pulgada.
121,800 11,3 51 ± 64,000 9 9 »
105,000 21 42 ± 41,000 Pletina 3 Va Pies X 2 Pies X 2 pulg.
104,000 22 49 ± 44,000 » » »
94,000 25 48 ± 47,500 » » »
107,000 23 56 ± 52,000 » » »
87,000 33 67 ± 49,000 Barra 2 pulgadas X 1 pulgada.
138,000 18 62 i 68,000 » » »
244,000 10,8
/
37 ± 102,000 Redondo de 1 1/8 pulgada.
157,000 17,5 55 i 80,000 » »
76,000 26 34 ± 30,500 Barra 2 1/i pulgada X 1 1/4 pulgada.
80,000 27 40 ± 35,000 » » »
85,000 28 46 ± 35,000 9 9 9
J. M. Lessells, pág. 522, 1924.
P R O P I E D A D E S
498 RESISTENCIA DE MATERIALES
1 Véanse publicaciones del autor sobre Strength of Rails, Transac- tions of the Instituto of Way of Communications, San Petersburgo, Rusia (1915), y también las de Proc. of the Second International Congress for Applied, Mechanics, Zurich, 1926. Véase también referencia 2.
1 . cm.1, dirección positiva para la reacción se ha tomado hacia arriba. tructuras de buques. Un análisis completo de este género de problemas se encuentran en Theory of Structure of Ships, de I. G. Boobnov, vo lumen 2, 1914, San Petersburgo.
Engineers of Ways of Communication, 1900-1903, San Petersburgo T5n este trabajo se dan numerosas tablas de factores de amplificación.
Si b = 0, resolveríamos el caso de una carga 2P, concentrada en el centro de la pieza.
(47) tirante, que los tiene empotrados, y que está simétricamente cargado
1 Véase la publicación del autor, Application of General Coordina- tes in Solution of Problems on Bending of Bars and Plates, en Boletín del Instituto Politécnico de Kiev (Rusia), 1909; véase también de H. M. Westergaard, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., vol. 47, págs. 455-533.
2 pp »- oc i nnC n7ZX «= —-£ —sen—sen—-• (54)
EIn* » - i n* l l 1 Véase la publicación de M. Hetényi, Journal of Applied Mecha- nics, 1937, vol. 42, A-49. 1 Para el cálculo de las fatigas ae emplea el mismo método que para la sección en U. 1 Véanse la publicación de M. Seegar y K. Pearson, London. Roy Soc. Proc. (serie A), vol. 96,
1920, pág. 211, y la publicación del autor en London Math. Soc. Proc. (serie 2), vol. 20, 1922, pág. 398. Véase también Theory of Elasticity, 1934, pág. 301. Festigkeit, Prag, 18t»'7, capítulo 15. Estudios posteriores han sido realizados por P. Grashof, Elastizitdt und Fe.stigke.it, pág. 251, 1878, y por K. Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 422, 1893. La solución exacta del mismo problema fué dada por H. Golovin, Bulletin of the Instituto of Technology at San Peters- burgo, 1881. Véanse también C. Ribióre, O. R., vol. 108, 1889, y volumen 132, 1901, y L. Prandlt en la publicación de A. Timpe, Zeitschrijt. f. Math. u. Phys., vol. 52, pág. 348, 1905.
La teora aproximada que se va a exponer está en buen acuerdo con la solución exacta. Véase Theory of Elasticity, pág. 58, 1934.
1 y se toma positivo hacia el centro de curvatura de la pieza. 1 Véase página 302, Primera parte. 1 Para un estudio teórico del problema, véase H. Reissner, Jáhr- buch der
wissenschaftlichen Gesellschaft für Lujtfáhrt, 1928; también J. Beke, Der Eisenbau, pág. 233, 1921; Fr. Bleich, Theorie und Berech- nung der eis. Brücken, pág. 256, 1924; Blumenfeld, V. D. 1907, y Baumann, V. D. I., pág. 397, 1908. En el aspecto experimental, véase Dr. Mathar, Forschungsarbeiten, núm. 306, 1928; también D. Rühl, Dissertation, Dantzig, 1920; Preuss, V. D. I., vol. 55, pág. 2173, 1911; M. Voropaeff, Bulletin of Polytechnical Institute, Kiew, 1910; E. G. Co- ker, Photoelasticity, en Journal of the Franklin Inst., 1925.
1 Véase G. Bierett, Mitt. d. deutsch. Mat. Priif-Amtes, 1931. El método fotoelástico en ojos ha sido aplicado por K. Takemura e Y. Yo- sokawa, Rep. Aero. Inst., Tokio, vol. 18, pág. 128, 1926. Véase también M. M. Frocht y H. N. Hill, Journal of Applied Mechantes, volumen 7, pág. 5. lín esta última publicación se investiga el efecto del juego entre el perno y el ojo.
1 Una solución más aproximada del problema planteado en la figura 58, dada por el autor, puede verse en Bulle,tin of the Polytechni-
cal Institute de Kiew, 1910; véase también Phil. Mag., vol. 44, página 1014, 1922, y Theory of Elasticity, pág. 119, 1934. Esta solución muestra que la teoría anterior, basada en suponer que las secciones rectas permanecen planas durante la flexión, da resultados muy satis-factorios.
1 Véase J. A. C. H. Brosse, Cours de Mechanique Appliquée, 3.a edi 1 Esta teoría fué desarrollada por H. Resal, Annalea den Minea, vol. 5, pág. 38, 1874;
Comptes Bendita, vol. 73, pág. 542, 1871. Véanse también E. Reinhardt, V. D. /., vol. 45, pág. 232, 1901; H. Friedmann, Zeitachr. d. Ósterreich. Ing. u. Arch. Verein, vol. 60, pág. 632, 1908, y V. D. I., vol. 68, pág. 254, 1924.
1 Véase la publicación del autor, Calcul des Ares Elastiques, París, 1922; Bóranger, editor. 1 La teoría expuesta fué desarrollada por R. Bredt, V. D. /., vo-
1 La ecuación diferencial (95), correspondiente a la deformación de un anillo circular, fué establecida por J. Boussinesq; véase Comptea Rendas, vol. 97, pág. 843, 1883. Véase también H. Lamb, London Math. Soc. Proc., vol. 19, pág. 365, 1888. Varios ejemplos de aplicación de esta ecuación pueden verse en la publicación de R. Mayor, Zeitschr. /. Math. u. Phys., vol. 61, pág. 246, 1913. vos de sección rectangular ha sido estudiado por el autor; véase Amer. Soc. Mech. Eng., vol. 45, pág. 135, 1923.
1 Véase llamada *, página 89. 1 La explicación de este fenómeno ha sido dada por G. F. C. Sear- le, Experimental
Elasticity, Cambridge, 1908. Véanse también H. Lamb, London Math. Soc. Proc., vol. 21, pág. 70, 1891, y publicaciones del autor en Mechanical Engineering, pág. 259, 1923.
1 Si la longitud de una placa apoyada es tres veces su anchura, o dos veces en el caso de
placa empotrada, la solución obtenida con esta hipótesis es suficientemente aproximada. a Una solución de este problema fue dada por J. Boobnov. Véase su Theory of Structure of
Ships, vol. 2, pág. 545, San Petersburgo, 1914. La discusión de este problema, junto con el cálculo de fatigas en el casco de un barco, puede verse en Theory of Platee and Shells, 1940.
1 Se supone que el acero tiene un límite de proporcionalidad superior a la fatiga calculada.
1 La superficie media es la superficie que equidista de las caras de la placa. 2 Este caso de flexión fue desarrollado por Poisson, Mém. de l’Acad., vol. 8, París, 1829. 1 El aumento de flecha debido a la cortadura ha sido acusado experimentalmente por G.
M. Russell, Engineering, vol. 123, página 343, 1927. Véase también la publicación de H. Carrington, Engineering, vol. 126, pág. 31, 1928.
aaSiSlSNOlA DE K.XTBBXAIES.—T. U * Véase Theory of Plates and Shells, pág. 336, 1940. 1 Véanse publicaciones de Everett O. Waters y J. Hall Taylor, Trans. Amer. Soc. Mech.
Engrs., 1927. 1 La prueba de que esta suposición es suficientemente aproximada ha sido dada por E.
Meissner, Schweiz. Bauzeitung, vol. 86, página 1, 1926. 1 Este método se ha empleado para estudiar la distribución de fatigas en cabezas de
calderas de formas diversas. Véase E. Hóhn y A. Huggenberger, Líber die Festigkeit der gewólbten tíoden und der Zy- linderschale, Zurich, 1927. Véase también W. M. Coates, The State of Stress in FuU Heads of Pressure Vessels, Transactions, A. S. M. E., Applied Mech,. Div., 1929. Se ha empleado también para investigar laa flexiones locales en depósitos que contienen líquidos. Véanse T. Póschl y K. Terzaghi, Berechnung von Behaltern, Berlín, 1926; H. Reissner, Betón und Eisen, vol. 7, 1908, y C. Runge, Zeitschr. f. Math. u. Phys., volumen 51, pág. 254, 1904. Los depósitos cilindricos con cabezas de pequeña curvatura han sido estudiados por E. O. Holmberg y K. Axelson, Trans. A. S. M. Jf., vol. 54, pág. 13, 1932. Un estudio completo de las membranas cilindricas puede verse en Theory of Platee and Shells, 1940.
2 La aplicación de este método al cálculo de fatigas en un subma rino de sección circular puede verse en la publicación de K, v. Sanden, en Werft und Beederei, pág. 189, 1920.
1 Problemas de esta naturaleza se presentan al calcular las fatigas 1 Para una información más completa de problemas de pandeo, véase Theory of
Elastic Stability, 1936. 1 Los valores de carga crítica para piezas prismáticas, según las condiciones de
ligazón de sus extremos, fueron dados por primera vez por Euler; véase Additamentum, De curvis elasticis, en el Methodus in- veniendi lineas curvas maximi minimi ve proprietate gaudentes, Lausan- ne, 1744. Véase también Histoire de VAcademie, vol. 13, Berlín, 1757. Una traducción al inglés de esta obra puede verse en Isis, núm. 58, volumen 201, 1933.
c P y 1 Una excepción es el caso sencillo de igualdad en la luz de los dos tramos y de
sección constante a toda la longitud de la pieza. En este caso M2 =0 en el apoyo central, y cada tramo está en las miS' mas condiciones que una pieza con los extremos articulados.
1 Una tabla de esta naturaleza puede verse en Theory of Elaatio 1 Saalschiitz, Der Belastete Stab, Leipzig, 188. Véase también Hal- phen, Traité
des Fonetions elliptiques, vol. II, (1888), pág. 192. of the 2 d Internat. Congres of Applied Mech., pág. 357. Zurich, 1926-
1 En este caso pueden utilizarse curvas análogas a las empleadas en la figura 122. * Véa re Engesser. Zentralblatt d. Bauverw, 1891, pág. 483, y 1907, ¡mgina 609, L.
Prandtl, V. D. 1907, y también la publicación del autor en fel I.oletín del Instituto Politécnico de Kiew, 1908. Estas publicaciones analizan el problema de* pandeo de piezas entramadas en conexión con Ja catástrofe del puente sobre el Quebeo. rras no se indican en la figura.
1 Véase It. V. Southwell, Phil. Mag., vol. 29, pág. 67, 1915. 2 El Research Committee on the Strength of Vessels under Exter- nal Pressure ha
dado algunas curvas para el cálculo de presiones críticas en tubos cortos. A. S. M. E., diciembre 1933. Stodola, Zurich, 1929.
1 Los primeros experimentos en que analizó el pandeo de estruc-turas de pared delgada fueron hechos por William Fairbairn y descritos en su libro Britannia and Conway Tubular Bridges, London, 1849.
1 Puede verse que este mínimo es igual a 4, y acontece cuando drados.
P R O P I E D A D E S
500 RESISTENCIA DE MATERIALES
1 En las publicaciones del autor, Proc. Am. Soc. O. E., vol. 55, pág. 855, 1929; Engineering, vol. 138, pág. 207, 1934, pueden verse más datos referentes al pandeo del alma y proyecto de refuerzos. Véase también E. ChwalJa, Second Gongress International Assoc. for Bridge and Structurál Eng., Berlín, 1936; Der Stahlbau, cuadernos 21 y 22, 1936.
* El colapso de vigas compuestas como consecuencia de! pandeo lateral se puso de manifiesto en la catástrofe del puente próximo a Tarbes (Francia). Véase La Revue Techniqut, 15 de noviembre de 1897 El pandeo lateral de vigas con sección rectangular estrecha fué estu diado por L. Prandtl, Dissertation, Nuremberg, 1899, y A. G. M. Mi chell, Phil. Mag., vol. 48, 1899. El pandeo de vigas en I ha sido estu diado por el autor; véase Boletín del Instituto Politécnico de San Petera- burgo, vols. 4 y 5, 1905, 1906. Véanse también Annales des Ponts et Chaussées, 1913, y Transactions Amer. Soc. G. E., vol. 87, pág. 1247, 1924. La aplicación práctica de la teoría ha sido analizada por E. Chwal- la, Die Kipp-Stabilitát gerader Trager mit doppelt-symmetrischem I-Quer- schnitt, Berlín. 1939.
1 Véase la publicación del autor en Anuales des Ponts et Chaus- sées, 1913. Véase también Theory of Elastic Stability, pág. 254, 1936.
publicación del autor, Trans. Amer. Soc. G. E., voi. 87, pág. 1247, 1924, y Theory of Elastic Stability, cap. 5. Véase también E. Chwalla,
1 En las máquinas eléctricas, alrededor del 20 por 100 sobre la velocidad de servicio.
1 Véase C. H. Lees, Proc. Roy. Soc., serie A, vol. 101, 1922. 1 Esta analogía fue desarrollada por L. Prandtl; véanse Phys. Zeitschr., pág. 758,
1903; Jahresberichte d. Deutsch. Math. Ver., volumen 13, pág. 31, 1904. Estudios más recientes pueden verse en las publicaciones de A. A. Griffith y G. I. Taylor, en Proc. Inst. Mech. Eng., pág. 755. 1917, y en Technical Report of the Advisory Gommittee for Aeronáutica, vol. 3, págs. 920, 938, 950, 1917-18. Véase tambén Theory of Elasticity, pág. 239.
' Diversos experimentos de torsión de vigas en I, de pared delgada, han sido hechos por el autor (Boletín del Instituto Politécnico de San Petersburgo, vol. 5, 1906). Los resultados están en satisfactorio acuerdo con la ecuación (256). Una serie bastante larga de ensayos de torsión con perfiles laminados ha sido hecha por A. Fóppl, Sitz. Berichte Bayer. Alead, d. Wi«8., pág. 295, 1921, y Der Bauingenieur, vol. 3, pág. 42, 1922. De estos experimentos se han deducido algunos factores de corrección para la ecuación (256). hechos por Inge Lyse y B. G. Johnston, Lehiyh University Publica-
1 Si esta fuerza se aproxima a la carga de Euler es necesario un estudio más detenido, como el realizado por ít. Kappus (pw de la nota anterior).
1 El autor ha obtenido una fórmula más aproximada para el pandeo por torsión de un angular de lados iguales, considerando cada ala como una placa rectangular comprimida longitudinalmente. Véase Bol. del Inat. Polyt. de Kiew, 1907, y también Ztschr. f. Math. u. Phys., volumen 58, 1910. Este problema fué el primer caso de examen del pandeo por torsión. La ecuación fundamental (261) fué dada por el autor en 1905, ya citado, pág. 283. La generalización de esta ecuación a las secciones on U fué dada por C. Weber, ya citado, pág. 283. La aplicación de la ecuación al estudio del pandeo por torsión se debe a H. Wag- ner, Technische-Hochschule, Danzig, 25.° aniversario. 1929.
1 O. Góhner, ya citado, pág. 305. 1 El diámetro del agujero es menor, por ejemplo, que 1/5 del ancho de la placa. * Esta teoría fué dada por Kirsch, F. D. I., 1898; véase también Theory of
Elasticity, pág. 75, 1934. 1 En el articulo 63 se verán diversos métodos experimentales de determinación de
fatigas máximas. Véase también E. Lehr, tipannung- averteilung in Konstructionelementen, 1934.
1 H. Neuber, Zeitsch. /. angew. Math. u. Mech., vol. 13, página 439, 1933. * Véase E. G, Coker, Proc. International Assoc. for Testing Materials, New-York
Congress, 1913. pág. 76, 1892.
* Esta analogía fué estudiada por Lord Kelvin y Tait, Natural , Philosophy, vol. 2; J. Boussinesq, Journal de Mathématiques, vol. 16, Liouville, 1871, y A. G. Greenhill, artículo Hidromechanics, en Encycl.
Brit., 9.a edición. Con referencia a la aplicación experimental de la 1 H. Neuber, Ingenieur-Archiv, vol. 5, pág. 238, 1934, y vol. 6, página, 133, 1935.
a Esta figura y la siguiente están tomadas de la publicación de 1 Véase la publicación de M. A. Voropaev, Bulletin of the Poh>~ technical
Institute de Kiev, 1910, y la publicación del autor en Proc. Intern. Gongress for Applied Mechanics, pág. 419, Zurich, 1926.
1 Esta explicación ha sido sugerida al autor por L. EL Donnell. a Véase la publicación de F. Koerber y E. Siebel, Mitteilungen K. W., Instituto para
Investigaciones del acero, Dusseldorf, vol. 8, pág. 63, 1926, y vol. 9, pág. 13, 1927. 8 R. S. Johnston, Iron and Steel Institute, vol. 112, pág. 341, 1925. La aplicación
del método para investigar las fatigas en órganos maquinales ha sido analizada por Dietrich y Lehr, V. D. I., vol. 76, 1932. Véanse también II. Kayser, Bautechnik, 1936, y A. V. de Forest y Greer Ellis, Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 7, pág. 205, 1940.
1 Véanse los experimentos de Carus Wilson, ya citado, pág. 351. dera positiva si el centro de curvatura correspondiente está hacia den tro del cuerpo.
2 Este método para dimensionar estructuras de acero ha sido propuesto por N. O. Kist, Der Eisenbau, vol. 11, 1920. Experimentos para
1 Un estudio detallado de este tema puede verse en la obra Pías- ticity, de A. Nadai, pág. 266, 1931.
1 En la publicación de A. Nadai, Trans. A. 8. M. E., vol. 53, interior ha sido estudiada por Saint Venant; véase C. R., vol. 74, pá gina 1009, 1872; véanse también Todhunter y Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 172, y la publicación de L. B. Turner, Cambridge, Phil. Soc. Trans., vol. 21, pág. 377, 1913.
8 La fluencia de un material para diversos estados elásticos se estudiará en el articulo 83. Supondremos eh nuestro" caso que tiene el mismo valor que en el caso de torsión (véase pág. 388).
1 En el libro de Batson y Hyde, Mechanical Testing, 1922, puede verse una descripción de los diversos métodos empleados en las máquinas de ensayos. Véanse también O. Wawrziniok, Handbuch. d. Ma- terialprüfungswesens, Berlín, 1923; K. Memmler, Das Materialprü- fungswesen, Stuttgart, 1924, y Handbuch d. Werkstoffprüfung, E. Sie- bel, 1940.
* The British Engineering Standards Assn. recomienda ocho pulgadas de longitud útil en los ensayos de planchas para calderas.
1 Véase la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Material- prüfung, en Schweiz Verband für die Materialprüfungen der Technik. Bericht., núm. 13, Zurich, 1928.
2 Véanse la publicación de Kühnel, V. D. I., vol. 72, pág. 1226, 1928, y la de M. Moser, Forschungsarbeiten, núm. 295, Berlín, 1927.' Véase también C. W. Mac Gregor, Trans. A. S. M. E.t vol. 53, página 187, 1931.
1 Véase P. Ludwik, Elemente der Technologischen Mechdnik, Berlín, 1909. 1 A. Fópp], Mitteilungen aus dem Mech. Techn. Laboratorium in München, núm.
27, 1900. 2 Véase L. Prandtl y Rinne, Neues Jahrbuch für Minerálogie, 1907. Véase también
W. Gehler, Der Bauingenieur, vol. 9, pág. 21, 1928. Para ensayos de hormigón se emplean a veces probetas cilindricas cuya altura es doble que su diámetro.
s Mitteilungen K. W. Instituí. Dusseldorf, vol. 9, pág, 157, 1927. 4 El límite de proporcionalidad en tracción para la fundición fué de- erminado por
Grüneisen, Berichte d. Dentschen. Phys. Gesellschaít, 1906. * Véase A. Nadai y L. H. Donnell, Trans. A. S. M. E., vol. 51, página 173, 1929.
1 Este fenómeno fué descubierto por I. Bauschinger, Mitteilungen ans dem Mech. Techn. Laboratorium in Manchen, 1886. Véase también Dinglers, Polytech. Journal, vol. 266, 1886.
1 Véase la publicación de F. Kórber y A. Pomp, Mitteilungen K. W. Instituí, vol. 8, pág, 135, 1926. Véase también S. W. Parr y
F. G. Straub, Engineering, vol. 124, pág. 216, 1927. lín, 1924.
_8 Véase H. Mark, M. Polanyi y E. Schmid, Zeitschrift /. Phys., vol. 12, pág. 58, 1922; véanse también G. I. Taylor y C. F. Elam,
P R O P I E D A D E S
502 RESISTENCIA DE MATERIALES
Proc. Roy. Soc.. vol. 102 A, pág. 643, 1923; vol. 108 A, pág. 28, Í925; G. I. Taylor, Proc. Hoy. Soc., vol. 145, pág. 362. 1934.
1 Véase la publicación de C. W. Mac Gregor, ya citada, pág. 398. * Un estudio sobre estas líneas fué realizado por Hartman; véase BU libro Phénoménea
qui accompagnent la déformation permanente, 1900.
RESISTENCIA DE MATEÜIAIES.—T. n 1 Determinaciones directas realizadas en el laboratorio de investigaciones de la
Westinghouse Elec. y Mfg. Co. con delgas de cobre han mostrado fatigas del orden de 1,700 kg./cm.® en barras cuya sección se había reducido un 15 por 100 mediante estirado.
1 P. Ludwik, Stahl. u. Eisen, vol. 43, pég. 1427, 1923. * Véase Th. v. Karman, Forschungsarheiten, uúm. 118, Berlín, 1912. 2 Estos ensayos fueron hechos por Westinghouse Elec. and Mfg. Co. Researoh
Laboratory; véanse también los, ensayos de P. Ludwik und R. Scheu, ¡átahl u. Eisen, vol. 43, pág. 999, 1923.
1 Véase el libro de A. Joffe, ya citado, pág. 426. * Se ha supuesto que la fatiga no es muy elevada a fin de que no pueda producirse,
al cabo de un, número elevado de ciclos, la rotura por fatiga alterna. 6 Este modelo fué usado por C. F. Jenkin. Véase Engineering, vol. 114, pág. 603,
1922. 1 Este tema ha sido examinado de modo muy completo en los dos libros siguientes:
The Fatigue of Metals, por H. J. Gough, London, 1924; The Fatigue of Metal, por H. F. Moore y J. B. Kommers, New- York, 1927. Ambos libros contienen una bibliografía muy completa del asunto. Para información adicional, véanse las monografías de H, J. Gough, dadas en Mass. Inst. of Techú. durante el curso de verano (21 junio a 15 julio 1937).
* J. O. Roos, estudiando un gran número de roturas en órganos de máquinas, dedujo que el 80 por 100 de ellas estaban ocasionadas por fatiga variable; Proc. Intern. Assoc. Testing Mat., 1912.
1 El límite de tolerancia obtenido por ensayos de flexión coincide con el correspondiente a ensayos por fatiga directa. Véase la publicación de P. L. Irwin, Proc. Amer. Soc. Test. Mal., vol. 25, 1925, y volumen 26, 1926. Un estudio más amplio de este tema puede verse en la publicación de R. D. Erance, Proc. Amer. Soc. Test. Mat.f volumen 31, 1931.
* Véase Me. Adam, Chemical and Met. Engr., 1921. El mismo tipo de probeta se emplea también por el Research Laboratory of the Westr inghouse Elec. and Mfg. Co.
V - s « Fia. 275
2 Un análisis de gran número de curvas n puede verse en la publicación de O. H. Basquin, Proc. Amer. Soc. for Test. Mat., volumen 10, 1910.
1 A. Wohler, Zeitschrift fñr Bauwesen, vols. 8, 10, 13, 16 y 20, 1860-70. Un resumen de este trabajo puede verse en inglés; Engineering, vol. 11, 1871; véase también el libro de Unwin, The Testing of Materialsof construction, 3.a edición, 1910.
4 Puede verse un estudio detallado de esta cuestión en el libro de 6 Véase lajmblicación de B. P. Haigh, Journal Insl. Metals, volumen 18, 1927.
1 Algunos experimentos recientes realizados con acero dulce no muestran influencia apreciable de la fatiga media am sobre el valor del recorrido B. Véase H. J. Gough, ya citado, pág. 431.
* The Institution of Mechanical Engineers, 1935 y 1936. ger, en los suyos, utilizó acero al carbono con 0,48 por 100 de C y las mismas deformaciones.
8 Véanse H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 136, Eng. Expt, Sta. Univ. of Illinois, y R. M. Brówn, Trans. Inst. Engrs. Shipbuilders Scot., 1928.
8 H. J. French, Trans. A. S. S. T., vol. 21, pág. 899, 1933, y H. W. Russell y W. A. Welcker, Proc. A. S. T. M„ vol. 36, 1936.
* B. P. Haigh, Journal Instituto of Metals, vol. 18, 1917. gina 97, 1931.
í' H. J. Gough y D. G. Sopwith, Journal Inst. Met., vol. 49, pá gina 93, 1932,
gina 1330, 1933, y Mitteil. Forsch. Inst., Veren Stahl werke, Dortrnund, vol. 3, pág. 235, 1933.
* E. H. Schulz y H. Buchholtz, Stahl u. Eisen, vol. 53, pág. 545, 1 Véase H. F. Moore y J. B. Kommers, Bulletin, núm. 124, ya citado, pág. 683.
1 R. E. Peterson, Trans. A. S. M. E., Journal Appl. Mech., vo A. S. M. E., Journal Appl. Mech., vol. 3, pág. 15, 1936.
1 Los ensayos con fundición han mostrado el poco efecto de la concentración de fatiga en los resultados. A. Thum y H. Ude, Zeitschr.
V. D. vol. 74, pág. 267, 1930.
RESISTENCIA DE MATERIA ÍES.—T. n 1 Esta fotografía y las dos siguientes están tomadas de la publicación de S. Way,
presentada a la reunión de la American Gear Manu- facturers Association, mayo de 1940. En la publicación de S. Way, Proceedings of ihe Special Summer Conferences on Priction and Surface Finish, Mass. Inst. Techn., junio de 1940, se describen diversos métodos de investigación del grado de acabado do superficies. En esta publicación se da una bibliografía completa del tema.
1 Estos estudios han sido realizados por S. Way en los laboratorios de investigación de la Westinghouse; véase su publicación en Journal of Applied Mech., vol. 2, 1935.
1 Mellanby y Kerr, Proc. Inst. Mech. Engr. London, 1927; Guy, H. L., Proc. Inst. Mech. Engr., 1929, y The Engineer, vol. 147, página 136, 1929.
* En el artículo Symposium on effect of temperature on the proper- lies of metáis puede verse una bibliografía completa de este trabajo de investigación; Proc. Am&r. Soc. Test. Matls., vol. 24, 1924. Véase también la publicación de H. J. Frendí, H. C. Cross y A. A. Peterson, Technologic Papers of the Burean of Standards, núm. 362, 1928.
1 Para eliminar el tiempo de efecto en la determinación del módulo de elasticidad se han empleado ensayos de vibración. Véase la publicación de G. Versé, Journal of Appl. Mech., vol. 2, 1935.
gaeiones posteriores puede verse en el libro de H. J. Tapsell, Creep of Metals, 1931; véanse también Symposium, A. S. T. M., Chicago, 1931; E. L. Robinson, Journal Appl. Meeh., vol. 1, pág. 145, 1933, y P. G. Me. Vetty, Proa. Am. Soc. Test. Math., vol. 37, 1937.
1 Véase F. R. Hensel y E. I. Larsen, Trans. Am. Inst. Min. Me- tálg. Engrs., vol. 99, pág. 55, 1932. G. H. Mac Cullougli, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 87, 1933; J. Marín, Journal Franklin Inst., vol. 226, pág. 645, 1938.
1 A veces se denomina teoría de Rankin. 1 Véase Vehage, Milteilungen d. Techn. Versuchsanstalten, página 89, Berlín, 1-
888. a Esta teoría se apoya en los experimentos de J. J. Guest, Phil. Mag., vol. 50, pág.
69, 1900. Véanse también L. B. Tumer, Engineering, vol. 86, pág. 169; W. A. Scoble, Phil. Mag., diciembre 1906 y enero 1910; C. A. Smith, Engineering, vol. 88, pág. 238.
V M. T. Huber, Czasopismo technime, Lwov (Lemberg), 1903. Véanse también R. v. Mises, Gottinger Nachrichten. Math. Phys. Kl., pág. 582, 1913; H. Hencky, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., vol. 5, pág. 115, 1925; F. Schleicher, ya citado, pág. 468, y M. Ros y A. Ei- ehinger, Proc. Intern. Gongress for Applied Mechanics, Zurich, 1926.
4 R. Boker, Forschungsarbeiten, núm. 175/176. 1 Se supone que los puntos de fluencia en tracción y compresión son iguales. 1 Este procedimiento se emplea por la Westinghouse Electric and Manufacturing
Co. para el proyecto de maquinaria; véanse las publicaciones de G. R. Soderberg, Trans. A. S. M. E., vol. 52, pág. 52, A. M. Wahl, Machine De-sign, 1938.
4 Las condiciones límites de fatiga se definen como las, que producen el colapso; es decir, la rotura o deformaciones fuera de los límites permitidos.
1 Este es siempre el caso cuando el eje que gira está solicitado por cargas fijas en el espacio.
1 Si se determina k por la tabla correspondiente a los problemas d dos dimensiones (fig. 210), estaremos siempre del lado de la seguridad