TEMA 4: LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Además de deformación unitaria axial asociado a barras cargadas normalmente, un cuerpo puede estar sometido a deformaciones unitarias cortantes, lo que está asociado a su vez con esfuerzos cortantes aplicados. Ahora bien un cuerpo sometidos a cargas axiales en el plano también genera esfuerzos cortantes, siempre y cuando existan esfuerzos desviatorios, vale decir si el σ 1≠σ2=σ3.

Relaciones esfuerzo – deformación para cortante

El cambio en el ángulo recto entre dos planos cualquiera imaginarios de un cuerpo define la deformación unitaria cortante . Para elementos infinitesimales, esos pequeños ángulos se miden en radianes.

En el Tema 1 vimos que los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales, con lo que se observa la situación planteada en la figura para cortante puro.

En numerosos problemas de ingeniería, los esfuerzos cortantes no superan el rango elástico del material. Para estos materiales, puede postularse una relación lineal entre el esfuerzo cortante puro y el ángulo . Luego, la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes tiene la forma:

τ=G∙ γ

Donde G es una constante de proporcionalidad llamada módulo de rigidez. Al igual que E, G es una propiedad específica para cada material.

Ley de Hooke generalizada

Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrópico y linealmente elástico.

Básicamente la ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentración o expansión lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformación lateral es formulada anlíticamente usando la razón de Poisson. Esta situación se ilustra en la siguiente figura:

τ

τ

τ

τ

Para el caso de la figura la deformación en x y z es igual a −μ ∙ ε y y la deformación en y es σ y /E. Si el esfuerzo fuera sometido en la dirección x, la deformación en z e y es −μ ∙ εx y la deformación en ex es σ x / E. Por último si el esfuerzo es aplicado en la dirección de z la deformación es x e y es −μ ∙ εz y la deformación en z es σ z /E. Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando se someten a esfuerzos triaxiales, vale decir:

ε xf =σ x

E−μ ∙ ε z−μ ∙ ε y=

σ x

E−μ ∙

σ z

E−μ ∙

σ y

E=

σ x

E−μ ∙( σ y+σ z

E )Análogamente:

ε yf=σ y

E−μ ∙( σx+σ z

E );

ε zf=σ z

E−μ ∙( σ x+σ y

E )Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes están dadas por:

γ xy=τ xy

G

γ zx=τ zx

G

γ yz=τ yz

G

Situación originalParalelepípedo deformado debido a esfuerzos aplicados

z

x

y

ab

c

y

x

z

b

c

a

Forma final

y

y

De la primera ecuación:

E ∙[ε xf +μ ∙(σ y+σ z

E )]=σ x (1)

E ∙[ε yf+μ ∙( σ x+σ z

E )]=σ y (2)

E ∙[ε zf +μ ∙(σx+σ y

E )]=σ z (3)

Sumando (2) y (3) se obtiene:

E ∙[ε yf +ε zf +μ ∙(2∙ σ x+σ y+σ z

E )]=σ y+σ z

Despejando σ y+σ z queda:

E ∙[ε yf +ε zf +μ ∙(2∙ σ x

E )]=σ y+σ z−μ ∙ (σ y+σ z )

E1−μ

∙[ ε yf+ε zf+μ ∙(2 ∙ σx

E )]=σ y+σ z (4)

Ahora reemplazando (4) en (1) se obtiene:

E ∙[ε xf+μ ∙( 11−μ (ε yf +ε zf+μ ∙(2 ∙ σx

E )))]=σx

Dividiendo por E y pasando el término 2 ∙ μ2

1−μ∙σ x

E a la derecha queda:

[ε xf +μ ∙ ε yf

1−μ+

μ ∙ ε zf

1−μ ]= σ x

E−2∙ μ2

1−μ∙σ x

E

Despejando x:E ∙(1−μ)

(1−μ−2∙ μ2 )∙[ εxf+

μ1−μ

∙ (ε yf +ε zf )]=σ x

E ∙(1−μ)(1+μ ) ∙(1−2∙ μ)

∙[ε xf+μ1−μ

∙ ( ε yf+ε zf )]=σ x

Desarrollando esta última expresión:

E ∙(1−μ)∙ ε xf

(1+μ ) ∙(1−2∙ μ)+

μ ∙ E∙ ( ε y f +εzf )(1+μ ) ∙(1−2 ∙ μ)

=σ x

Haciendo un poco más de trabajo algebraico:

E∙ (1−2 ∙ μ+μ) ∙ εxf

(1+μ ) ∙(1−2 ∙ μ)+

μ ∙ E∙ ( ε yf+ε zf )(1+μ ) ∙(1−2 ∙ μ)

=σ x

E ∙(1−2∙ μ) ∙ ε xf

(1+μ ) ∙(1−2∙ μ)+

E ∙μ ∙ ε xf

(1+μ ) ∙(1−2 ∙ μ)+

μ ∙ E ∙ ( ε yf +ε zf )(1+μ ) ∙(1−2 ∙ μ)

=σx

E ∙ε xf

(1+μ )+

μ ∙E ∙ (ε xf +ε yf +ε zf )(1+μ ) ∙(1−2∙ μ)

=σ x

Sea ¿ E(1+μ ) ∙(1−2∙ μ), donde este último parámetro se llama coeficiente de Lamé, se tiene:

E ∙ε xf

(1+μ )+∙ (ε xf+ε yf +ε zf )=σ x

Por analogía:

E ∙ ε yf

(1+μ )+∙ (ε xf+ε yf +ε zf )=σ y

E ∙ε zf

(1+μ )+∙ (ε xf+ε yf +ε zf )=σ z

Los esfuerzos cortantes están definidos por:

τ xy=G ∙γ xy

τ yz=G ∙γ yz

τ zx=G∙ γ zx

Ejemplo 1

Un cubo de acero de 50 mm de lado está sometido a una presión uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y =0,25.

Solución

Se tiene que:

ε xf=σ x

E−μ ∙( σ y+σ z

E )Reemplazando los datos:

ε xf =−200200000

−0,25 ∙(−200±200200000 )ε xf=−1 ∙10−3−0,25 ∙ (−2∙10−3 )

ε xf=−0,5 ∙10−3

Luego:

∆ x=−0,5∙10−3 ∙50=−0,25 ∙10−1=−0,025 [mm ]

Como σ x=σ y=σ z, implica que ∆ x=∆ y=∆ z=−0,25 [mm ]

Relaciones entre E, G y

Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuación, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos normales.

Para hacer la transformación dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue:

τ

τ da

da

A B

CD

√2∙ da

τ ∙dA

τ ∙ dA√2

Nota: Para el cálculo de las fuerzas se supuso que la profundidad del cuadrado era dz, lo que implica que el área del cuadrado es dA

D C

De la figura se puede observar que las componentes de las fuerzas paralelas a la diagonal DB están en equilibrio. Por otra parte, las componentes paralelas a la diagonal AC forman una resultante dada por τ ∙ dA ∙√2, actuando normalmente hacia DB. Esta fuerza es equilibrada por el esfuerzo normal 1 que actúa sobre el área dA ∙√2. Como estas dos fuerzas deben ser iguales, entonces 1=τ. Estos esfuerzos se muestran en la siguiente figura, y no pueden ser tratados como fuerzas.

Ahora aislando un elemento con lado AC, y realizando el mismo procedimiento se obtienen los esfuerzos mostrados en la figura que continua:

Además 3=τ. Los resultados de los dos análisis se muestran en la figura que se muestra a continuación:

45°

σ 1 ∙ dA ∙√2Diagrama de fuerzas

BA

σ 1

τ

τD C

B

τ

τσ 3

σ 3σ 1

La representación de los esfuerzos mostrados en la figura de arriba es completamente equivalente a la situación original, vale decir a la de cortante puro. Por lo tanto, un esfuerzo cortante puro en un punto puede ser representado alternativamente por los esfuerzos normales a 45° con las direcciones de los esfuerzos cortantes, numéricamente estos esfuerzos son:

σ 1¿−σ3=τ

Considere el elemento deformado de la figura de más abajo. Determinaremos la deformación unitaria en la diagonal AC de dos maneras distintas: a través de los esfuerzos cortantes en primer lugar y luego a partir de los esfuerzos normales equivalentes.

Considerando sólo deformaciones infinitesimales, se puede trabajar con las siguientes aproximaciones:

σ 3σ 1

45°

A B

C´D D´ C

45°

da

da

da ∙√2

sen≈

cos❑≈1

Se infiere que el desplazamiento CC´ debido a esfuerzos cortantes está dado por da ∙ sen γ ≈ da ∙ γ . La proyección de este desplazamiento, que con el orden de aproximación adoptado, es igual al

alargamiento AC, es: da ∙ γ ∙cos 45=da ∙ γ√2

. Ahora, como la longitud de la diagonal AC es da ∙√2

implica que la deformación unitaria normal es:

ε 45°=

da ∙ γ√2

da ∙√2= γ2

De la ley de Hooke tenemos:

τ=G∙ γ → τG

=γ ,reemplazandoesta expresión enε45 ° se tiene :

ε 45°=τ2∙G

Ahora, usando los esfuerzos normales equivalentes que calculamos anteriormente y teniendo presente que en el caso de esfuerzos principales:

ε 1=σ1E

−μ ∙( σ3+σ z

E )En el caso particular analizado:

ε 45°=τE

−μ ∙(−τE )(σz=0)

ε 45°=τE

(1+μ )

Igualando las dos expresiones que definen la deformación unitaria a lo largo de la diagonal se obtiene:

τ2∙G

= τE

(1+μ )

E2∙ (1+μ )

=G

Esta relación muestra que E, G y no son independientes. Por tanto si dos cualquiera de ellas se determinan experimentalmente, la tercera puede calcularse. También se puede rescatar que G

siempre es menor que E, puesto que la razón de Poisson siempre tiene valores positivos del orden de 0,25.

Dilatación

El objetivo de esta sección es determinar una ecuación para los cambios volumétricos en materiales elásticos sometidos a esfuerzos.

Los lados de un elemento infinitesimal dx, dy, dz después de deformarse se convierten en

(1+εx ) ∙ dx ; (1+ε y )∙ dy ; (1+ε z ) ∙ dz, respectivamente. Luego el volumen del elemento esta dado por:

V D=(1+ε x) ∙ dx ∙ (1+ε y )∙ dy ∙ (1+εz )∙ dz=(dx+ε x ∙ dx )∙ ( dy+ε y ∙dy ) ∙ (dz+ε z ∙ dz )

V D=( dx ∙dy+ε y ∙ dx ∙ dy+ε x ∙ dx ∙ dy+ε x ∙ ε y ∙ dx ∙ dy )∙ (dz+εz ∙ dz )

V D=dx ∙ dy ∙dz+ε y ∙ dx ∙ dy ∙dz+ε x ∙ dx ∙ dy ∙dz+εx ∙ ε y ∙ dx ∙dz ∙ dy+dx ∙dy ∙ εz ∙ dz+ε y ∙ dx ∙dy ∙ εz ∙ dz+ε x ∙ dx ∙ dy ∙ εz ∙ dz+ε x ∙ ε y ∙ dx ∙ dy ∙ εz ∙ dz

Luego, la diferencia de volumen es:

∆V =ε y ∙ dx ∙ dy ∙dz+εx ∙ dx ∙ dy ∙dz+ε x ∙ ε y ∙ dx ∙ dz ∙ dy+dx ∙dy ∙ ε z ∙ dz+ε y ∙ dx ∙dy ∙ ε z ∙ dz+εx ∙ dx ∙dy ∙ ε z ∙ dz+ε x ∙ ε y ∙ dx ∙ dy ∙ ε z ∙ dz

∆V =dx ∙ dy ∙ dz ∙ (ε y+ε x+εx ∙ ε y+ε z+ε y ∙ ε z+ε x ∙ ε z+ε x ∙ ε y ∙ ε z )

Bajo la hipótesis de deformaciones infinitesimales se desprecian los términos de segundo y tercer orden en el paréntesis, con lo que la expresión queda:

∆ V =dx ∙dy ∙dz ∙ (ε y+ε x+εz )

Luego el cambio de volumen por unidad de volumen es:

∆VV

=e=dx ∙dy ∙dzdx ∙dy ∙dz

∙ ( ε y+ε x+ε z )=ε x+ε y+ε z

e se llama dilatación

ε x=1E

∙ (σx−μ ∙ (σ y+σ z ))

ε y=1E

∙ (σ y−μ ∙ (σ x+σ z ) )

ε x=1E

∙ (σz−μ ∙ (σx+σ y ))

Sumando queda:

ε x+ε y+εz=1E

∙ (σ x+σ y+σz−2∙ μ ∙ (σ x+σ y+σ z ) )

ε x+ε y+εz=σ x+σ y+σ z

E∙ (1−2 ∙ μ )

Lo que significa que la dilatación es proporcional a la suma algebraica de los esfuerzos normales.

TEMA 5: TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS

En este capítulo se analiza un procedimiento formal para cambiar las componentes del estado de esfuerzos o deformación unitaria en un conjunto de ejes coordenados, a otro conjunto de ejes girados. En ambos casos, el análisis se confina a problemas en dos dimensiones. La posibilidad de transformar un estado dado de esfuerzos que implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes girados, permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera pueden hacerse hipótesis relativas a los criterios de falla. Este importante tema será tratado en particular para rocas en los cursos de geología y geomecánica.

Supongamos un elemento, por ejemplo una viga, que está sometida a esfuerzos normales a ella debido a una tensión axial y a esfuerzos cortantes directos. Si analizamos un punto de la viga, podemos observar que por él pasan infinitos planos, luego el estado de esfuerzos se puede describir de distintas maneras que son todas equivalentes.

Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionales

En esta sección obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformación de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actúan sobre un elemento de orientación conocida y en el plano que se está investigando, definido por una normal a él. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que será transformado a los ejes x´y´.

En este curso se utilizará la siguiente convención de signos:

σ x , σ y sonde tracción→ son positivos

σ x , σ y sonde compresión→son negativos

τ sedefine como positivo si apuntahacia abajoen la caraderecha DE delelemento

El ánguloθcuando semidedesde el eje xen sentidoantihorario se consider a positivo .

La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se aísla la cuña infinitesimal ABC.

Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos

D

x

τxy

y

x

EτyxBA

y

τxyC

τyx

y y´

x

x´

x´

y´

x´

y´

A B

C

y

τyx

τxy

x

Cuña ABC aislada de la figura inicial. Se considera que el área generada por el lasdo BC de esta cuña es dA.

En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separación de la cuña ABC respecto de la figura inicial (recuerde el método de las secciones)

´

x´

y´

A B

C

Fuerzas que actúan n la cuña ABC

Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cuña asociados a los esfuerzos a la que está sometida.

El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la estática en el eje y´ y x´ con el fin de conocer los esfuerzos que actúan en la cara BC de la cuña:

∑ F x´=σx ´ ∙dA−σ x ∙ dA ∙cosθ ∙cos θ+¿ τ xy ∙ dA ∙cosθ ∙ senθ−σ y ∙ dA ∙ senθ ∙ senθ+τ yx ∙ dA ∙ senθ∙cosθ=0¿

Desarrollando un poco la expresión y despejando x´ queda:

σ x ´=σ x ∙cos2θ−τ xy ∙cosθ ∙ senθ+σ y ∙ sen2θ−τ yx ∙ senθ ∙cosθ

Ahora τ xy=τ yx, luego:

σ x ´=σ x ∙ cos2θ−2 ∙ τ xy ∙cosθ ∙ senθ+σ y ∙ sen2θ

Se tiene además que:

cos2θ=1+cos2θ2

sen2θ=1−cos2θ2

senθ ∙cosθ= sen2θ2

Reemplazando estas expresiones en la ecuación anterior queda:

σ x ´=σ x ∙1+cos2θ

2+σ y ∙

1−cos2θ2

−τxy

∙ sen2θ

Reordenando esta expresión queda:

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y´, se tiene:

∑ F y ´=τ x ´ y ´ ∙ dA−σ x ∙ dA ∙cosθ ∙ senθ−¿ τ xy ∙dA ∙cosθ ∙cosθ+σ y ∙ dA ∙ senθ ∙cosθ+ τ yx ∙ dA ∙ senθ∙ senθ=0¿

Reduciendo términos, simplificando y despejando τx´y´ queda:

τ x ´ y´=σ x ∙ cosθ ∙ senθ+¿ τ xy ∙cos2θ−σ y ∙ senθ ∙cosθ−τ yx ∙ sen2θ ¿

τ x ´ y´=(σ x−σ y )∙cosθ ∙ senθ+¿ τ xy ∙cos2θ−τ yx ∙ sen2θ ¿

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙1+cos2θ

2−τ yx ∙ 1−cos 2θ

2¿

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙( 1−1+cos 2θ+cos2θ2 )¿

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actúan sobre cualquier plano localizado por el ángulo y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformación del esfuerzo de un sistema de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este último.

Reemplazando por + 90° en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y´ y´ y el esfuerzo tangencial τy´x´. Algebraicamente estos esfuerzos son:

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos¿¿

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙ [cos2θ ∙cos180−sen2θ∙ sen180 ]−τ

xy∙ [sen2θ ∙cos180+cos 2θ ∙ sen180 ]

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen2θ

τ x ´ y´=( σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙cos2θ ¿

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙ [−cos 2θ ]−τ

xy∙ [−sen2θ ]

τ y´ x´=(σx−σ y )2

∙ sen(2θ+180)+¿ τ xy ∙ cos (2θ+180)¿

Haciendo σ x ´+σ y ´ queda:

σ x ´+σ y ´=σx+σ y

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ángulo . A esta suma se le llama invariante de esfuerzo.

Esfuerzos principales

A menudo el interés, en el análisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos máximos a los que está sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuación general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a y luego se iguala a 0. En esta sección haremos una deducción de las expresiones que nos entregan los esfuerzos normales máximos o esfuerzos principales.

Procediendo como habíamos enunciado en el párrafo anterior se obtiene:

dσ x´

dθ=−

σ x−σ y

2∙2 ∙ sen2θ−τ

xy∙2∙cos2θ=0

Dividiendo la expresión por cos 2 queda:

−¿¿

Despejando tg 2 se tiene:

El subíndice del ángulo se utiliza para designar el ángulo que define el plano del esfuerzo normal máximo o mínimo. La ecuación anterior tiene dos raíces pues la función tangente es periódica de período , ahora como la tangente de la ecuación anterior corresponde a un ángulo doble implica

σ y ´=σx+σ y

2−

σx−σ y

2∙cos2θ+τ

xy∙ sen2θ

τ y´ x´=−(σ x−σ y )

2∙ sen2θ−¿ τxy ∙cos2θ ¿

tg 2θ1=−2 ∙ τ xy

¿¿

que las dos raíces de 1 están a 90° entre sí. Una de las raíces localiza el plano donde se encuentra el esfuerzo normal máximo; mientras que la otra localiza al plano donde actúa el esfuerzo normal mínimo.

Para encontrar el esfuerzo normal máximo mínimo encontraremos las siguientes funciones trigonométricas sen2θ y cos2θ previamente:

sen2θ=−τ xy

√τ xy2+¿¿¿¿

cos2θ=¿¿¿

Reemplazando estas expresiones en:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen2θ

Queda:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙

(σ x−σ y)2

√τ xy2+¿¿¿¿

¿

Reduciendo términos:

σ x ´=σ x+σ y

2+

((σx−σ y )2 )

2

√τ xy2+¿¿¿¿

σ x ´=σ x+σ y

2+( (σ x−σ y)

2 )2

+τ xy2

√τ xy2+¿¿¿¿

Mediante el mismo procedimiento se obtiene:

Ahora, si queremos obtener los planos donde el esfuerzo cortante es nulo hacemos:

σ máx=σ1=σ x+σ y

2+√τxy

2+¿¿¿

σ min=σ3=σ x+σ y

2−√τ xy

2+¿¿¿

τ x ´ y´=0=(σ x−σ y )2

∙ sen 2θ+¿ τxy ∙ cos2θ ¿

Con lo que obtenemos:

tg 2θ1=−2 ∙ τ xy

¿¿

Vale decir, la misma expresión que obtuvimos al tratar de encontrar los esfuerzos normales máximos, esto implica que en los planos donde actúan esfuerzos principales los esfuerzos cortantes son nulos.

Esfuerzos cortantes máximos

Usando el mismo procedimiento que para el esfuerzo normal, se tiene:

dτ x ´ y ´

dθ=

( σx−σ y )2

∙2 ∙cos 2θ−¿ τ xy ∙2 ∙ sen2θ=0¿

Dividiendo por cos 2 se tiene:

(σ x−σ y )−τ xy ∙2∙ tg2θ=0

(σ x−σ y )2∙ τ xy

=tg2θ2

Luego:

sen2θ2=( σx−σ y

2 )√(σx−σ y

2 )2

+ τxy2

cos2θ2=τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Reemplazando estas expresiones en la ecuación general:

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙ cos2θ ¿

Queda:

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙( σ x−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+ τxy2

+τ xy ∙τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+ τxy2

τ x ´ y´=( σ x−σ y

2 )2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

+τ xy

2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

τ x ´ y´=( σx−σ y

2 )2

+τxy2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

τ máx=√( σx−σ y

2 )2

+ τxy2

Ahora bien, al igual que en la sección anterior la tangente entrega dos raíces que están a 90 grados una de otra, luego haciendo el procedimiento análogo al que hicimos hasta acá obtenemos:

τ min=−√( σ x−σ y

2 )2

+ τ xy2

Esto significa que la magnitud de los esfuerzos de corte máximo y mínimo es igual. El signo no tiene ningún sentido físico, surgen de la convención para localizar los planos donde estos actúan, por tanto el esfuerzo cortante encontrado bajo este procedimiento será llamado esfuerzo cortante máximo independiente del signo.

Otro aspecto a considerar es que:

tg 2θ1 ∙tg 2θ2=−2∙ τ xy

¿¿

Luego las raíces para los ángulos dobles de los esfuerzos normales con respecto de los esfuerzos cortantes están a 90° unas de otras, lo que implica que los planos que localizan los esfuerzos cortantes máximos están a 45° respecto de los planos principales.

El sentido del esfuerzo cortante puede ser determinado por sustitución directa de la raíz particular de 2 en la ecuación general que define el esfuerzo cortante en cualquier plano. Un esfuerzo cortante positivo indica que actúa según la orientación definida en la siguiente figura:

x´

y´A B

C

y

τyx

τxy

x

La determinación del esfuerzo cortante máximo es de la mayor importancia en materiales cuya resistencia al corte es débil.

A diferencia de los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos actúan sobre planos que usualmente no están libres de esfuerzos. Haciendo una sustitución de 2 en la ecuación general de esfuerzos normales se obtiene:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen2θ

σ θ2=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙

τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

−τ

xy

∙( σx−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

σ θ2=σ x+σ y

2

Por tanto, un esfuerzo normal actúa simult´paneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que:

σ x+σ y=0→σx=−σ y

Circulo de Mohr

En esta sección analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen2θ

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙ cos2θ ¿

Esto permitirá interpretarlas gráficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformación de esfuerzos y con la ayuda de la construcción gráfica obtener una solución más rápida de los problemas de transformación de esfuerzos.

De la primera ecuación obtenemos:

σ x ´−σ x+σ y

2=

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen 2θ

Elevando al cuadrado:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+τ xy2∙ sen22θ ¿ (1)

De la segunda ecuación:

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙ cos2θ ¿

Elevando al cuadrado:

τ x ´ y´2=(σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ (σ x−σ y ) ∙ τxy ∙ sen2θ ∙cos 2θ+¿ τ xy2 ∙cos22θ ¿¿ (2)

Sumando (1) y (2) queda:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y ´2=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+τ xy2 ∙ sen22θ+( σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ (σ x−σ y ) ∙ τxy ∙ sen2θ ∙cos 2θ+¿ τxy2 ∙cos22θ ¿¿¿

Reduciendo términos:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τx ´ y ´2=( σ x−σ y

2 )2

∙ (cos22θ+sen22θ )+τ xy2 ∙ (sen22θ+cos22θ )

O 13

(x,τxy)

(y,-τxy)

21

τmáx

τmin

τ

22

Circulo de Mohr: Se puede observar que con los datos de entrada (x,τxy) y (y,-τxy) se pueden obtener los esfuerzos en cualquier plano inclinado del elemento de manera gráfica mediante el círculo de Mohr

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y ´2=( σ x−σ y

2 )2

+ τ xy2(3)

En un problema dado x, y y τxy son conocidos. Sea:

a=σ x+σ y

2

b=√( σ x−σ y

2 )2

+ τ xy2

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

(σ x ´−a )2+ τ x´ y ´2=b2

Está última expresión corresponde a la ecuación de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un círculo que satisfaga esta ecuación, los valores simultáneos de un punto (x,y) sobre este círculo representan a x´ y τx´y´ para una orientación particular de un pano inclinado. La ordenada de un punto sobre el círculo es el esfuerzo cortante τx´y´, mientras que la abscisa es el esfuerzo normal x´. El círculo así construido se llama circulo de Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr.

Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos

D

x

τxy

y

x

EτyxBA

y

τxyC

τyx

y y´

x

x´

a

a

Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al círculo de Mohr:

1. El esfuerzo normal máximo posible es 1; el mínimo es 3. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.

2. El esfuerzo cortante máximo es numéricamente igual al radio del círculo. Un esfuerzo

normal igual a σ x+σ y

2 actúa sobre cada uno de los planos de esfuerzo cortante máximo.

3. Si 1=3, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo cortante se desarrolla en el plano XY.

4. Si σ x+σ y=0, el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro.

5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable.

Construcción del Círculo de Mohr

La representación gráfica de la transformación de los estados bidimensionales de esfuerzo de un conjunto de coordenadas a otro rotado usando un círculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solución y es útil en algunas aplicaciones.

Se dan a continuación dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones. En el primer procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un método u otro es asunto de preferencia.

Método 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos x, y y τxy y luego determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario.

O 13

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

O 13

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

J21

El centro C de un círculo de Mohr se localiza sobre el eje a una distancia σ x+σ y

2 del origen. El

punto A sobre el círculo tiene la coordenadas (x,-τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara derecha del elemento en la dirección positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamará origen de los planos. Esta información es suficiente para dibujar un círculo de Mohr.

El siguiente paso consiste en dibujar sobre el círculo una línea por A paralela al plano a-a en el plano físico del elemento infinitesimal. La intersección de esta línea con el círculo entrega el esfuerzo que actúa sobre el plano a-a (punto J).

Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr.

De acuerdo a la figura:

2 ∙θ1+θ+α=360

α +γ=θ

R ∙cos (θ+α )=¿ R ∙cos¿¿

R ∙ sen (θ+α )=R ∙ sen ¿

Y se tiene además:

σ j=( σ x+σ y

2 )+R ∙cosγ

σ j=( σ x+σ y

2 )+R ∙cos (θ−α )

σ j=( σ x+σ y

2 )+R ∙ cos (−360+θ+2∙ θ1+θ )

σ j=( σ x+σ y

2 )+R ∙cos (2 ∙θ+2 ∙ θ1 )

σ j=( σ x+σ y

2 )+R ∙ [cos2θ ∙ cos2θ1−sen2θ∙ sen2θ1 ]

τ j=R ∙ sen γ

τ j=R ∙ sen (−360+θ+2 ∙θ1+θ )

τ j=R ∙ (sen (2∙ θ1+2 ∙θ ))

τ j=R ∙ (sen (2∙ θ1 )cos (2∙ θ)+cos (2∙ θ1)∙ sen (2 ∙θ))

σ j=( σ x+σ y

2 )+( σx−σ y

2 ) ∙cos2θ−¿ τ xy ∙ sen2θ ¿

τ j=τxy ∙cos2θ+( σ x−σ y

2 )∙ sen2θ

O 13

τ

A

B

J

212

τxy<0

Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.

Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en σ x+σ y

2. De nuevo, la cara

derecha del elemento define a x y τxy, usados para localizar un punto sobre el círculo. Sin embargo,

Si τ xy>0, éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y Si τ xy<0, éste se dibuja hacia arriba en el eje τ

Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por y y -τxy, puede localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de corte.

A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el esfuerzo cortante es negativo y viceversa

Transformación de la deformación unitaria: Enfoque geométrico

Para tratar este tema es conveniente previamente establecer la convención de signos para las deformaciones y desangulaciones unitarias:

Las deformaciones unitarias normales x y y correspondientes a elongaciones en x e y, respectivamente, se toman como positivas.

A´´ ´ A´´

A´´ A´

A´ A

O

O

O

O C

B A

dx

dy

x

y

x´

y´

A´´ A´´ ´

A´

dx´

La deformación unitaria cortante se considera positiva si el ángulo de 90° entre los ejes x e y se vuelve más grande. Por conveniencia, al deducir las ecuaciones de transformación de la deformación unitaria, el elemento distorsionado por una deformación unitaria cortante se tomará como el mostrado en el tercer caso de la siguiente figura:

Ahora, suponga que se conocen las deformaciones unitarias x, y, xy

asociadas con los ejes xy y que se requiere la deformación unitaria extensional a lo largo de un nuevo eje x´. El nuevo sistema de ejes x´y´ está relacionado con los ejes xy como se muestra en la figura de la derecha:

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por las deformaciones unitarias impuestas sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados:

Desplazamiento en la dirección xAA ´=εx ∙ dx

Desplazamiento en la dirección yA ´ A ´ ´=ε y ∙dy

Desplazamiento debido a la deformación unitaria cortante: se supone que ella causa desplazamiento horizontal:

A ´ ´ A ´ ´ ´=γ xy ∙ dy

Proyectando estos desplazamientos sobre el eje x´, se encuentra el desplazamiento del punto A a lo largo del eje x´. Ahora, por definición, ε x ´ ∙ dx ´ en el sistema coordenado x´y´es también el alargamiento en OA, luego se tiene la siguiente igualdad:

ε x ´ ∙ dx ´=AA ´ ∙cosθ+ A ´ A ´ ´ ∙ senθ−A ´ ´ A ´ ´ ´ cosθ

ε x ´ ∙ dx ´=εx ∙ dx ∙cosθ+ε y ∙ dy ∙ senθ−γ xy ∙ dy ∙cosθ

ε x ´=εx ∙ dxdx ´

∙cosθ+ε y ∙dydx´

∙ senθ−γ xy ∙ dydx´

∙cosθ

Pero:

dxdx ´

=cosθ

dydx´

=senθ

Luego:

ε x ´=εx ∙cos2θ+ε y ∙ sen2θ−γ xy ∙ senθ ∙cos θ

Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación unitaria en un plano en una dirección arbitraria definida por el eje x´.

ε x ´=ε x+ε y

2+

εx−ε y

2∙cos2θ−

γ xy

2∙ sen2θ

Ahora, estudiemos la transformación de la deformación unitaria cortante. Para este fin considere la figura que se muestra a continuación:

Por definición la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ángulo AOB. De la figura el cambio en este ángulo es – (α+β ), el signo es negativo pues el ángulo recto se reduce.

Para deformaciones pequeñas el ángulo puede determinarse proyectando los desplazamientos AA´, A´A´´, A´´A´´´ sobre una normal al eje x´ y luego dividiendo por dx´:

α=−AA ´ ∙ senθ+ A´ A ´ ´ ∙cosθ−A ´ ´ A ´ ´ ´ ∙ senθdx´

α=−εx ∙ dx ∙ senθ+ε y ∙ dy ∙cosθ−¿¿¿

α=−εx ∙cosθ ∙ senθ+ε y ∙ senθ ∙cosθ+γ xy ∙ sen2θ

Por un razonamiento análogo,

β=−BB´ cosθ+B ´ B ´´ senθ+B ´ ´ B ´ ´ ´ cosθdx ´

β=−ε x ∙ dy ∙cosθ+ε y ∙ dx ∙ senθ+(−γ xy)∙ dx ∙cosθ

dx ´

β=−εx ∙ senθ ∙ cosθ+ε y ∙ senθ ∙cosθ−γ xy ∙cos2θ

48 MPa

35 MPa

Por lo tanto:

γ xy=−(2 ∙−εx ∙ senθ ∙cosθ+2 ∙ ε y ∙ senθ∙cosθ−γ xy ∙cos2θ )

Esta es la segunda expresión fundamental para la transformación de la deformación unitaria.

Las ecuaciones básicas para la transformación de la deformación unitaria en un plano son análogas a las ecuaciones para la transformación del esfuerzo en dos dimensiones. Esto se debe a que los esfuerzos y las deformaciones unitarias son tensores de segundo rango y matema´ticamente obedecen a las mismas leyes de transformación.

Ejercicios

1) En el interior de un sólido deformable el estado tensional es el indicado en la Figura. Si las tensiones admisibles del material son: σ ADM TRACC = 50 Mpa, σ ADM COMP = 60 MPa yADM = 20 Mpa, se le solicita:

a) Calcular la máxima tensión cortante que se puede producir en el punto del sólido elástico indicado en la Figura cumpliendo con los esfuerzos admisibles del material.

b) Determine el plano en donde se da este máximo esfuerzo cortante

Solución:

Se utilizan las siguientes ecuaciones:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy∙ sen2θ

γ xy=( εx−ε y ) ∙ sen2θ+γ xy ∙cos2θ

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙ cos2θ ¿

Ahora τxy=0, lo que implica que:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ

Ahora, las funciones trigonométricas siguientes deben estar en los siguientes rangos:

−1<cos2θ<1

−1<sen2θ<1

Implica que:

Para el primer caso los ángulos que hacen máximo y mínimo al esfuerzo normal son 90° y 0°, respectivamente, estos ángulos entregan la siguiente expresión:

σ 3=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2

σ 3=σ x=35 [ MPa ]

σ 3=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2

σ 1=σ y=−48 [ MPa ]

Consecuentemente el esfuerzo normal se encuentra en el siguiente rango:

−48 [MPa ]<σ n<35 [MPa ]

Por lo tanto nunca supera los esfuerzos admisibles del material.

Para el segundo caso los ángulos que hacen máximo y mínimo al esfuerzo cortante son 45° y 135°, respectivamente, estos ángulos entregan la siguiente expresión:

τ x ´ y´=±(σ x−σ y )2

=±41,5 [ MPa ]

Luego los esfuerzos cortantes se encuentran en el siguiente rango:−41,5 [ MPa ]<τ<41,5 [MPa ]

Esto supera los esfuerzos admisibles del material, por tanto el esfuerzo cortante máximo posible es 20 (MPa) y corresponde al esfuerzo cortante admisible del material.

Ahora para calcular el plano donde se da esto utilizamos nuevamente la siguiente ecuación:

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ

Igualando esta ecuación a 20 (MPa) y reemplazando los valores de x y y se obtiene:

41,5 ∙ sen2θ=20

sen2θ= 2041,5

θ=14,41°

2) Después del montaje de una estructura pesada se estima que el estado de esfuerzo en la cimentación de roca será esencialmente bidimensional tal como muestra la figura. Si la roca esta estratificada de manera que los estratos forman un ángulo de 30 ° con la vertical, ¿es permisible realizar este montaje?. Suponga que el coeficiente de fricción estático de roca sobre roca es de 0,50 y que a lo largo de los planos de estratificación la cohesión es de 85 kN/m2

Solución:

Primero “homogeneizaremos” las unidades:

1 [ psi ]=6,894757 [kN /m2 ]

Luego:

σ y=−689,48 [kN /m2 ]

σ x=−137,9 [kN /m2 ]

En segundo lugar para determinar el máximo esfuerzo cortante que puede soportar la roca utilizaremos la relación de Mohr-Coulomb (que será explicada en los ramos de geología y geomecánica):

τ=c+σ ∙ tg∅

Siendo c, la cohesión de la roca; el esfuerzo normal en el plano que se está analizando y tg el coeficiente de fricción en el plano, por lo tanto, reemplazando los valores:

τ=−85+σ ∙0,5

Para obtener utilizamos la siguiente ecuación:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ

Reemplazando los valores se obtiene:

σ x ´=−413,69+275,79∙cos60

σ x ´=−275,79 [kN /m2 ]

Luego:

τ=−85−275,79∙0,5

τ=−222,89 (kN /m2 )

Con la siguiente ecuación determinaremos el esfuerzo cortante en el plano de estratificación:

τ x ´ y´=(σx−σ y )2

∙ sen2θ

τ x ´ y´=275,79∙ sen60=238,84 [KN /m2 ]

Luego, el esfuerzo cortante a que es solicitada la estructura es mayor a la resistencia al corte de ella, esto implica que va a fallar y por tanto no es factible realizar el montaje.

3) Tres hilos de acero, AD, BD y CD de sección transversal de área A = 0,0075 cm2, módulo de elasticidad E = 2,1 * 106 N/cm2 y largo 60 cm están colocados en un plano vertical formando un ángulo de 120 ° entre sí de modo que inicialmente existe una tensión de 850 N en cada hilo. Si se aplica enseguida una fuerza de 800 N en la dirección del hilo DC, determinar:

a) La tensión resultante en cada hilo

b) Los alargamientos o acortamientos adicionales que experimentan los hilos por sobre los que tenían antes de aplicar la fuerza de 800 N.

4) Se tiene una barra estructural AB conformada por rotación de la función x2=2ay en

torno al eje Y, que esta empotrada en A y que lleva una carga vertical Q en su extremo libre B. Paralelamente se tiene otra barra estructural CD cuya forma es la de un cilindro circular recto de radio 2a y largo L/2 empotrada en C y sujeta a una carga vertical idéntica Q en su extremo libre D. Las dos barras se suponen de acero con un peso específico =78 dinas/cm3 y módulo de elasticidad E = 2,1 * 106 N/cm2. Determinar:

a) El largo de la barra AB para que el esfuerzo axial A sea idéntico al de la barra CD en C.

b) Si a =1 cm y L =90 cm determinar la diferencia en longitud que experimentan las barras por efecto de sus propios pesos y de la carga Q aplicada en el extremo siendo el valor de Q = 1000 N.

Solución

Empezaremos por analizar la barra de la derecha por ser la más simple

Haciendo equilibrio estático:

∑ F y=V C−Q−ρ ∙ L2

∙ π ∙4 ∙ a2=0

V C=Q+ ρ∙ L2

∙ π ∙4 ∙ a2

Para obtener el esfuerzo dividimos la reacción en C por el área respectiva que es 4 ∙ π ∙ a2, se tiene entonces:

σ C=Q+ ρ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2

4 ∙ π ∙ a2

Ahora para la barra derecha:

∑ F y=V A−Q−∫0

y

ρ∙ π ∙ x2∙ dy=0

V A−Q−ρ ∙π∫0

y

2 ∙ a∙ y ∙ dy=0

V A=Q+ρ ∙π ∙2 ∙ a ∙ y2

2

El área en A está dada por: π ∙ x2=2 ∙ π ∙ a ∙ y luego el esfuerzo en A es:

σ A=Q+ρ ∙π ∙2 ∙ a ∙ y2

22∙ π ∙ a ∙ y

Igualando los dos esfuerzos se obtiene:

Q+ ρ∙ π ∙2 ∙ a∙ y2

22 ∙ π ∙ a ∙ y

=Q+ρ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2

4 ∙ π ∙ a2

Simplificando:

Q+ ρ∙ π ∙2 ∙ a∙ y2

2y

=Q+ρ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2

2 ∙ a

Desarrollando la igualdad:

2 ∙ a∙Q+ρ ∙π ∙4 ∙ a2 ∙ y2

2=Q∙ y+ρ ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2 ∙ y

( ρ ∙π ∙2∙ a2 ) ∙ y2−(Q+ ρ∙ L2

∙ π ∙4 ∙ a2)∙ y+2∙ a ∙Q=0

Luego:

y=(Q+ρ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2)±√(Q+ ρ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2)

2

−4 ∙ ( ρ ∙π ∙2∙ a2 ) ∙2∙ a ∙Q

2 ∙ (ρ ∙π ∙2 ∙ a2 )

Reemplazando el valor del peso específico:

y=(Q+78∙10−5 ∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2)±√(Q+78 ∙10−5∙ L

2∙ π ∙4 ∙ a2)

2

−4 ∙ ( ρ ∙ π ∙2∙ a2 ) ∙2∙ a ∙Q

2 ∙ ( ρ ∙π ∙2∙ a2)

y puede tomar dos valores, se toma el valor más “razonable”

Reemplazando los valores:

y=(1000+78 ∙10−5∙ 90

2∙ π ∙4 ∙)±√(1000+78∙10−5 ∙ 90

2∙ π ∙4)

2

−4 ∙ (78∙10−5 ∙ π ∙2 )∙2 ∙1000

2 ∙ (78 ∙10−5 ∙ π ∙2 )

y1=204942,808 [cm ]

y2=1,99123649 [cm ]

Por otro lado:

∆=∫ N ( y)E∙ A( y)

∙ dy

Para la barra de la derecha:

N ( y )=V C−78∙10−5 ∙ y2

∙ π ∙4

N ( y )=V C−78∙10−5 ∙ y2

∙ π ∙4

Pero:

V C=1000+78∙10−5 ∙ 902

∙ π ∙4=1004,4108 [N ]

Reemplazando:

N ( y )=1004,4108−78∙10−5 ∙ y2

∙ π ∙4

Y el área es:

A=4 ∙ π