portafolio de resistencia de materiales ii
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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
AUTOR:
ZAMBRANO ALVAREZ LUIS ANTONIO
DOCENTE:
ASIGNATURA:
SEMESTRE:
PORTAFOLIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
ENERO 2014
ENCUADRE DE LA ASIGNATURA
Nombre de la asignatura:
- Resistencia de materiales II
Nombre del docente:
- Ing. Tonio Realpe Tomalá
[email protected] / [email protected]
Nota: La comunicación entre el estudiante y el alumno será vía correo electrónico
Horario de clases:
DIA HORA
Martes 7H00 am – 11H00 am
Forma de evaluación:
Resumen de Evaluación de la Asignatura
Parámetros Primera Evaluación Segunda Evaluación
Exámenes 40% 40%
Tareas 30 % 30 %
Informes, consultas 10 % 10 %
Participación en clase 10 % 10 %
Portafolio 10 % 10 %
TOTAL 100 % 100%
Descripción de la asignatura:
La asignatura de Resistencia de Materiales II es una materia de formación profesional,
la cual prepara al futuro Ingeniero Civil para que de una manera científica y práctica
solucione problemas referente a los sólidos deformables y específicamente dentro de
este campo de la mecánica, estar en condiciones de diseñar vigas, calcular
desplazamientos en cualquier sistema estructural, determinar la estabilidad de las
estructuras y determinar las cargas verticales de diseño en edificaciones.
SILABO DE LA ASIGNATURA
1.- Información general
a)Facultad – Escuela - Carrera
Ingeniería – Ingeniería Civil
b) Año lectivo 2012 - 2013
c)Nombre de la asignatura
Resistencia de Materiales II
d) Pre-requisito(s) Resistencia de materiales I
e) Co-requisito(s) Estructuras I
f) Código 5.2
g) Nivel - Curso IV Semestre
h) Créditos - Horas 4 - 64Horas teóricas: 48
Horas prácticas:16
i) Profesor asignado Ing. Tonio RealpeDirección electrónica: [email protected] [email protected]
j)Lugar y fecha de entrega
Manta, Abril 2012
k) Elaborado por Ing. Tonio Realpe Tomalá
l) Revisado por Comisión Académica
2.- Necesidad y problema específico
La asignatura asegurara un modelo pedagógico que propicie una conducta ante la vida que ponga de relieve valores humanos que refrenden lo ético, estético, la veracidad, la solidaridad dentro y fuera de su colectivo, el espíritu crítico y autocrítico, el sentido de la responsabilidad, la sensibilidad, la organización, la calidad como referente en la realización de cuanto trabajo se le oriente, la honestidad, la eficiencia, la modestia y el colectivismo, el sentido de pertenencia a su institución y muy especialmente los compromisos con su patria.
3.- Caracterización de la asignatura / Eje de formación:
La asignatura de Resistencia de Materiales II es una materia de formación profesional, la cual prepara al futuro Ingeniero Civil para que de una manera científica y práctica solucione problemas referente a los sólidos deformables y específicamente dentro de este campo de la mecánica, estar en condiciones de diseñar vigas, calcular desplazamientos en cualquier sistema estructural, determinar la estabilidad de las estructuras y determinar las cargas verticales de diseño en edificaciones.
UNIVERSIDAD LAICA “ELOY ALFARO” DE MANABÍ
Vicerrectorado Académico
4.- Competencias
4.1 Competencias Genéricas Capacidad de identificar, planear y resolver problemas. Capacidad de investigación. Capacidad de trabajo en grupo.
4.2 Competencia Central Proporciona en el alumno los conceptos básicos de la mecánica del comportamiento físico de los
diversos elementos que conforman una estructura de manera crítica.
5.- Objetivo del programa
El estudiante al finalizar el programa será capaz de: Calcular vigas isostáticas, determinando sus deflexiones y pendientes por los diversos métodos
de análisis. Calcular desplazamientos en cualquier sistema estructural mediante métodos geométricos y
energéticos. Analizar y diseñar vigas continuas. Calcular pórticos simples estáticamente indeterminados, a través del método de Cross y
deformaciones angulares. Determinar deformaciones transversales y tensiones principales en elementos. Comprender los fundamentos del comportamiento plástico de las estructuras
6.- Desarrollo de Unidades de Competencia
Unidad de competencia
Elementos de
competenci
a
Habilidades
Conocimientos
(Contenidos)
Valores
Logros de aprendizaj
e-
Cognoscitivos
-Procedi
mentales-
Actitudinales
Mecanismos
e instrumentos de
evaluación
Tiempo en
horas
UC1Resuelve problemas de deformación con el método de Área- Momento y viga conjugada con responsabilidad.
EC1Repaso de los métodos geométricos para calcular de flexión en vigas con orden.
Repasar
Repaso:Ecuación de la curva elástica: Método de integraciones.Vigas hiperestáticas.Principio de superposición.
Orden
Calcular vigas isostáticas, determinando sus deflexiones y pendientes por los diversos métodos de análisis.
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
4
EC2Resuel
Resolver Método de
Precisión -Clases 4
ve problemas de deformación con el método de Área-momentos con precisión.
Área-Momento.-Cálculo de deformaciones.-Casos especiales de vigas hiperestáticas.-Estructuras aporticadas un piso:- Aplicaciones diversas empleando el método.
expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
EC3Resuelve problemas de deformación con el método de la viga conjugada con pertinencia.
Resolver
-Método de la viga conjugada.-Cálculo de deformaciones.- Calculo de las fuerzas cortantes, momento flector, en estructuras aporticadas de un piso.- Aplicaciones diversas empleando el método.
Pertinencia
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
4
UC2Calcula vigas estáticamente indeterminadas, a través del método de los tres momentos con exactitud.
EC1Resuelve problemas de deformación con el método energético y geométrico con pertinencia.
Resolver
Método energético-Energía de deformación.-Trabajo virtual.-Teorema carga unitaria.-Método de Vereschaguin.-Teoremas de Castigliano.Teorema Betti y Maxwell.
Pertinencia
Calcular desplazamientos en cualquier sistema estructural mediante métodos geométricos y energéticos.
Analizar y diseñar vigas continuas.
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
6
EC2Resuelve vigas continuas de varios
Resolver
Teorema de los Tres Momentos-Ecuación de
Orden
-Clases expositivas.
-Ejercicios:
6
tramos mediante la ecuación de los tres momentos.
Clapeyron. -Convención de signos.-Vigas continúas.-Teorema de los tres momentos en estructuras aporticadas de un piso.
desarrollo en clase.
-Tareas.
UC3Calcula pórticos simples estáticamente indeterminados, con iniciativa.
EC1Resuelve vigas continuas y pórtico simple con el método de Cross con precisión.
Resolver
Método de Hardy CrossIntroducción.-Rigidez.-Factor de transporte.-Repartición de momentos.-Coeficiente de distribución.-Aplicación vigas continúas.-Aplicaciones en estructuras aporticadas.- Aplicaciones en columnas inclinadas.
Precisión
Calcular pórticos simples estáticamente indeterminados a través del método de Cross y deformaciones angulares.
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
6
EC2Resuelve vigas continuas y pórticos simples mediante el método de deformaciones angulares con orden.
Resolver
Método de las deformaciones angulares.-Ecuaciones fundamentales.-Grado de indeterminación.-Aplicaciones en vigas continuas.-Aplicaciones en pórticos.-Casos de columnas inclinadas.
Orden
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
8
UC4Determina los
EC1Determina
Determinar Flexión pura.
-Elementos
Pertinencia
Determinar
-Clases expositivas.
6
esfuerzos en elementos sometidos a flexión pura con claridad.
deformaciones transversales y deformaciones plásticas con pertinencia.
prismáticos.-Esfuerzos en flexión pura.-Esfuerzos en rango elástico.-Deformaciones en sección transversal.-Flexión de elementos de varios materiales.-Deformación plástica.-Carga axial excéntrica.-Flexión asimétrica.-Flexión de elementos curvos.
deformaciones transversales y tensiones principales en elementos.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
EC2Determina tensiones combinadas con precisión.
Determinar
Tensiones combinadas-Concepto del estado tensiones.-Transformación de esfuerzos en el plano.-Tensiones principales.-Tensiones combinadas.-Flexión-axial, flexión-torsión-Centro de presiones en la flexión compuesta.-Núcleo central de una sección.
Precisión
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
8
UC5Aplica los criterios utilizados en el análisis de columnas para
EC1Idealiza y resuelve columnas con diversos tipos
Idealizar
Resolver
Columnas:-Estabilidad de estructuras-Problemas de Euler-Extensión
OrdenComprender los fundamentos del comportamiento plástico de las estructuras.
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en
6
determinar cargas críticas con precisión.
de sujeción en sus extremos con orden.
Idealizar y resolver columnas con diversos tipos de sujeción en sus extremos.
Idealizar y resolver columnas con diversos tipos de sujeción en sus extremos.
de la fórmula de Euler a columnas con otras condiciones de borde.-Fórmula de la secante -Columnas con carga céntrica. -Columnas con carga excéntrica
clase.
-Tareas.
EC2Comprender los fundamentos del comportamiento plástico de las estructuras con objetividad.
Comprender Teoría
plástica:Particularidades.-Diagrama de tracción.-Fuerzas axiales y desplazamientos.-Flexión elasto-plástico-Torsión de una barra de sección circular. -Fundamentos de cálculo método de cargas
Objetividad
-Clases expositivas.
-Ejercicios: desarrollo en clase.
-Tareas.
6
límites.- Fundamentos de la teoría de la plasticidad.
TOTAL
64
7.- Orientaciones metodológicas
UC1
Anticipación: Encuadre, aceptación de compromisos.Construcción: Lluvia de ideas, manejo de herramientas informáticas, consultas.Consolidación: Realización de informes de trabajos individuales, y grupales.Transferencia: Exposiciones de trabajos individuales y grupales.
UC2
Anticipación: Revisión de la guía didáctica del docente.Construcción: Ejercicios en clase, exposición de trabajos. Exposición del docente.Consolidación: Presentación de trabajos.Transferencia: Exposiciones y presentación de trabajos.
UC3
Anticipación: Revisión de la guía didáctica del docente.Construcción: Ejercicios en clase, exposición de trabajos.Consolidación: Presentación de trabajos.Transferencia: Exposiciones y presentación de trabajos. Examen
UC4
Anticipación: Revisión de la guía didáctica del docente.Construcción: Ejercicios en clase, exposición de trabajos.Consolidación: Presentación de trabajos.Transferencia: Exposiciones y presentación de trabajos.
UC5
Anticipación: Revisión de la guía didáctica del docente.Construcción: Ejercicios en clase, exposición de trabajos.Consolidación: Presentación de trabajos.Transferencia: Exposiciones y presentación de trabajos. Examen.
8.- Compromisosa) Los miembros del proceso enseñanza aprendizaje deberán respetar los horarios por consideración
a los demás
b) La vestimenta que deberán llevar miembros del proceso enseñanza aprendizaje deberá ser acorde al lugar donde se encuentran, por respeto a los demás y a sí mismo.
c) Los celulares deberán durante las clases permanecer apagados o en modo silencioso con la finalidad de evitar distractores.
d) Establecer que el interés por aprender debe ser nuestra principal motivación.
e) Respetar el derecho de autor en todo trabajo realizado
9.- Talentos y recursos
Talentos humanos:Docente, Conferencistas, Expositores, Coordinadores de grupos de trabajos,
Estudiantes.
Recursos materiales:Aula, Pizarra liquida, Libros, Paleógrafos, Guía didáctica de la asignatura
Recursos tecnológicos:Centro de cómputo de la Facultad, Laptop del docente, Internet inalámbrico,
Proyector-Infocus
10.- Fuentes de información
10.1Bibliográfica
De base:
Resistencia de Materiales.Luis Ortiz Berrocal.Editorial: Mc Graw - Hill – Interamericana S.A.Segunda edición – 2002
Mecánica de MaterialesFerdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr, Elliot R. EisenbergEditorial: McGrauw-Hill / Interamericana S.A.Octava edicion – 2007
Resistencia de Materiales.Timoshenko. James M. Gere. McGraw Hill.Editorial: Quinta edición.
Mecánica de MaterialesHibbeler Rusell C.Editorial: Pearson Prentice-Hall Hispanoamérica.Sexta edicion - 2006
Complementaria:
Resistencia de MaterialesSinger – PytelEditorial: Harla, México, 1982Tercera Edición
Resistencia de Materiales.William A. Nash.Editorial: McGraw Hill.
Mecánica de MaterialesPopov Egor P.Editorial: Limusa S.A.Segunda edicion – 1978
Mecánica de MaterialesCraig Roy R. JrEditorial: Grupo Patria Cultural S.A.Segunda edicion – 2002
Problemas de resistencia de MaterialesMiroliubov.......Editorial MIR, Moscú, 1981Cuarta Edición
Resistencia de MaterialesFeodosiev V.I……….Editorial MIR, Moscú, 1980Cuarta Edición
10.2 Instituciones - Personas
10.3 Web grafíawww.civilgeeks.comwww.construaprende.comwww.google.com
11.- Resultados o Logros del Aprendizaje
Logros del AprendizajeContribución (Alta, Media, Baja) El estudiante debe:
a.) Calcular vigas isostáticas, determinando sus deflexiones y pendientes por los diversos métodos de análisis.
Alta
Calcular las deformaciones de un elemento por el método de Área – Momento.
Calcular las deformaciones de una viga por el método de viga conjugada.
b.) Calcular desplazamientos en cualquier sistema estructural mediante métodos geométricos y energéticos.c.) Analizar y diseñar vigas continuas.
Alta
Utilizar el método energético y geométrico para determinar los desplazamientos en una estructura.
Aplicar la ecuación de los tres momentos para resolver vigas continuas
d.) Calcular pórticos simples estáticamente indeterminados a través del método de Cross y deformaciones angulares.
Alta
Determinar momentos y cortantes de una viga sometida a un sistema de cargas por el método de Cross y deformaciones angulares.
e.) Determinar deformaciones transversales y tensiones principales en elementos.
Alta
Determinar las deformaciones de una viga ante lo solicitación de diferentes tipos de carga.
f.) Comprender los fundamentos del comportamiento plástico de las estructuras.
Alta
Conocer los distintos comportamientos de la estructura dentro del rango elástico.
12.- Resumen de Evaluación de la Asignatura
Parámetros Primera Evaluación
Segunda Evaluación
Exámenes 40% 40%Tareas 30 % 30 %Informes, consultas 10 % 10 %Participación en clase 10 % 10 %Portafolio 10 % 10 %TOTAL 100 % 100%
13.- Responsabilidad
Elaborado por:Ing. Tonio Realpe
Supervisado por:Director de Área: Ing. Darío Páez
Revisado:Comisión Académica: Ing. Tonio Realpe
PRIMER CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 1 DE OCTUBRE DEL 2013
Apuntes:
- Toda deflexión debe de ser comparada o llegar a una condición, como por
ejemplo:
ymax= 5 w l4
384 EI≤ fa= L
1001500
Fa = Flecha admisible
- La flecha admisible es el límite de deformación en donde un material sometido a
flexión (viga) alcanza su punto plástico o rotula plástica.
MÉTODOS DE ANÁLISIS EN VIGAS PARA CALCULAR SU GIRO Y
DEFLEXIÓN
1. Método de la superposición:
Análisis y resolución de una viga simplemente apoyada:
- Se hace:
- En las tablas de giros y deflexiones de vigas escogemos:
θA= wl3
24 EI=θB( Angulos de primer viga)
y= 5 wl4
384 EI( Deflexionde primer viga)
θA= Pl2
16 EI=θB( Angulosde segunda viga)
y= Pl3
48 EI( Deflexionde segundaviga)
- Resolución:
θtotal=θA+θB
θtotal= wl3
24 EI+ Pl2
16 EI
θtotal= l2
8 EI [ wl3
+12 ]
ytotal= 5 wl4
384 EI+ Pl3
48 EI
ytotal= l3
8 EI [ 5 wl48
+ P6 ]
Análisis de una viga estáticamente indeterminada:
w
P
wP
L/2 L/2
L/2 L/2
L
P Pw
Se hace:
Análisis y resolución de una viga empotrada –apoyada en su extremo:
- Datos:
P=1000Kg
L=6m
Sección viga: 30/60
E= 232379.001 Kg/cm
I= 54cm4
Se hace:
L/2 L/2 L/2 L/2
2L
L/2 L/2
RbB
L/2 L/2L
L/2
P
L/2
P
θB=−Pl2
8 EI( Angulos de primer viga)
y=−5 Pl3
48 EI(Deflexionde primer viga)
θB= Rbl2
2 EI( Angulos desegunda viga)
y= Rbl3
3 EI(Deflexionde segundaviga)
Calculo de Rb:
θB=θB
−Pl2
8 EI=Rbl2
2 EI
Rb=−Pl2
8 EIl2
2 EI
Rb=−2 P8
Rb=−P4
=−10004
=−250 Kg
Calculo de giro:
θBtotal=θB+θB
θBtotal=−Pl2
8 EI+ Rbl2
2 EI
θBtotal=−Pl2
8 EI−250 l2
2 EI
θBtotal=−1000(6)2
8(232379.001)(54)−
250 (6)2
2(232379.001)(54 )
θBtotal=540 radianes
Análisis y resolución de una viga en volado sometida a la acción de dos fuerzas puntuales:
- Datos:
Rb
P=1000Kg
L=6m
Sección viga: 0,30/0,60
E= 232379.001 Kg/cm
I= 0.0054cm4
Se hace:
θB=−Pl2
8 EI( Angulos de primer viga)
y=−5 Pl3
48 EI(Deflexionde primer viga)
θB=−Pl2
2 EI( Angulos desegunda viga)
y=−Pl3
3 EI(Deflexion desegundaviga)
Calculo de θB total:
θBtotal=θB+θB
θBtotal=−Pl2
8 EI− Pl2
2 EI
θBtotal=−(1000)(6)2
8(232379.001)(0.0054)−
(1000)(6)2
2(232379.001)(0.0054)
θBtotal=−3.586−14.344
L/2
P
L/2
P
P
P
θBtotal=−19.930
Calculo de ytotal:
ytotal= ymaxA+ ymaxA
ytotal=−5 Pl3
48 EI− Pl3
3 EI
yto tal=−7 Pl3
16 EI
ytotal=−7(1000)(6)3
16(232379.001)(0,0054 )
ytotal=−75,3080 cm
SEGUNDA CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 8 DE OCTUBRE DEL 2013
Continuación de los métodos para determinar deflexiones y giros en vigas:
2. Método de área - momento:
a) Aplicaciones en vigas simétricas:
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en ambos apoyos y la deflexión en
el punto c:
BA
a2a
a
q
DEFORMACION
El diagrama de momentos solo ocuparemos la mitad por el motivo de que la viga está
sometida bajo la acción de una carga simétrica.
Resolución por método área- momento:
RA=RB=q.a
A1 = b∗h
2 A2 =
b∗h3
A1 = 2 a∗2 q a2
2 EI A2 =
−a∗q a2
3(2) EI
A1 = 2 qa3
EI A2 = −q a3
6 EI
θA=θB=A 1+ A 2
θA=θB=2q a3
EI− qa3
6 EI
θA=θB=−11q a3
6 EI
tA/C = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
tA/C = 2 q a3
EI∗4
3a−
q a3
6 EI∗7
4a
θA θBymax
MOMENTOS
tA/C = 19 q a4
8 EI = 9 q a4
EI
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en ambos apoyos y la deflexión en
el punto máximo:
Resolución:
A1 = b∗h
2 A2 =
b∗h3
A1 =
l2∗q l2
42 EI
A2 = −
l2∗−q l2
83EI
A1 = q l3
16 EI A2 = −q a3
48 EI
θA=θB=A 1+ A 2
θA=θB= q l3
16 EI− q a3
48 EI
q
L/2 L/2
Flector
ymax
Calculo de reacciones:
Ʃ MB= 0
RA (L) – qL*L/2 =0
RA= -qL/2
Ʃ Fy= 0
RA +RB= q
RB= ql - qL/2
RA= ql/2
Ʃ MD= 0
Mmax=-Ql^2/8
A B
θA=θB= −q l3
24 EI
tA/C = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
tA/C = q l3
16 EI∗1
3l−
q a3
48 EI∗3
8l
tA/C = 5 q l 4
384 EI
b) Aplicaciones en vigas en voladizo:
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en el extremo libre y la deflexión
en el punto máximo:
Segundo teorema:
tA/B = A 1∗X 1 = w l3
2 *
3l4 = w l4
8
TERCER CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 22 DE OCTUBRE DEL 2013
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en el extremo libre y la deflexión
en el punto máximo:
L
A B
θB
w l2
2
Calculo de reacciones:
Ʃ MA= 0
MA – wL/2 =0
MA= wL/2
Ʃ Fy= 0
RA = wl
Primer teorema:
A1 = b∗h
3
A1 = l∗w l2
3
A1 = w l3
2 = θB
A B
Calculo de reacciones:
Ʃ MA= 0
MA – qL/2*3/4 =0
MA= 3qL^2/8
C
q
q
ymax
Análisis de áreas en el diagrama:
A1 = b∗h
2 =
l2∗q l2
42
= q l2
16 A2 = b*h = ( l
2 )( 3ql8 ) = 3 q l2
16
A3 = b*h = ( l2 )( q l2
8 ) = q l2
16 A2 =
b∗h3 = ( l
2 )( 5 ql8 )
3 =
5 ql48
θB=A 1+ A 2+ A3 + A4
θB=−q l3
16−q l3
16−5 q l3
48
θB=−7 q l3
48 EI
tA/B = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
L/2
Calculo de reacciones:
Ʃ MA= 0
MA – qL/2*3/4 =0
MA= 3qL^2/8
L/2
θBymax
Diagrama de momentos por parte
q l2
4
ql8
3 q l2
8
5 ql8
l2
l2
l2
l2
tA/B = −q l3
16∗5
6l−
q l3
16∗3
4l +5 q l3
48
tA/B = 41q l4
384 EI
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en el extremo libre y la deflexión
en el extremo libre:
Por método de área – momento:
θB=A 1+ A 2
θB=(90)(3)−(150)(3)
2
θB= 45EI
radianes
- Deflexión en el extremo libre:
tA/B = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
tA/B = 270 (1,5 )+(−225)(2)
A B
L
P
M
DATOS:
- P = 50 Tn- M = 90 Tn.m- L = 3 m
θBymax
Diagrama de momentos por parte
90
150
Calculo de reacciones:
Ʃ MA= 0
MA – P*L =0
MA= -50*3 = -150 Tn.m
Ʃ Fy= 0
RA = P
90
3
3
150
tA/B = −45EI
mm
c) Aplicaciones en vigas asimétricas:
Se hace el siguiente análisis si queremos hallar la deflexión en el punto D:
Para hallar la deflexión en el punto D se hace relación de triángulos:
FEX
= BCL
FE= XL∗BC
YD=FE−FD
q
A B
P
θA θB
CURVA ELASTICA
LA MAXIMA DEFLEXION ESTA DE A HACIA LA DERECHA.
D
x
L
tD/A tB/A
A B
C
D
E
F
Ecuación para calcular la deformación cuando hay una carga asimétrica.
YD=t D / A− XL∗t B / A
En el siguiente ejercicio determinar la deflexión en el punto de aplicación de la carga:
Aplicamos la formula deducida anteriormente:
YD=t D / A− XL∗t B / A
YD=P L3
512 EI−
14∗7 P L3
128 EI
YD= 3 P L3
256 EI
En el siguiente ejercicio determinar el ángulo en A y la deflexión en el punto D:
Nota: la longitud de la viga es de 6 metros.
Ʃ MA= 0
5 L2
∗3 L
4−Rb. L=0
5(6)2
∗3 (6 )
4−Rb .(6)=0
L/4 3L/4
A
PDeflexión en D/A:
tDA
=
3 PL2
128EI∗1
3∗1
4
t D / A= P L3
512 EI
L/2 L/2
A
W=5 Tn/m
Rb .(6)=
5 (6)2
∗3 (6 )
4
Rb=11,250 Tn
Diagrama de momentos por parte:
Determinación de ángulo B:
θB=A 1+ A 2
θB=(15
4)(3)
2−
( 452
)(3)
3
θB=−1358 EI
radianes
Determinación la desviación tangencial de B a A:
tB/A = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
tB/A = ( 15
4)(3)
2( 4 )+(
−( 452 )(3 )
3)(15
8)
Ʃ Fy= 0
Ra+Rb=15
Ra=15−Rb
Ra=15−11,250
Ra=3,75Tn
Ʃ MC= 0
MC+ 15 L4
+RaL2=0
MC+15(6)
4+3,75
(6)2
=0
MC=−15 (6 )
4−3,75
(6)2
MC=11,250 Tn. m
154
452
3 3
tB/A = −175516 EI
mm
Determinación de ángulo A:
θA=t B / A
L=
−175516 EI
6=
58232 EI
Determinación la desviación tangencial de D a A:
tD/A = A 1∗X 1
tD/A = ( 15
4)(3)
2(1 )
tD/A = −1358 EI
mm
Determinación de deflexión en D:
YD=t D / A− XL∗t B / A
YD=−1358EI
−
36∗−1755
16 EI
YD=−37,97EI
CUARTA CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 29 DE OCTUBRE DEL 2013
Método de Área- Momento para vigas indeterminadas:
Se hace lo siguiente:
q
L
A B
q
L
A B Se hace el cálculo para la carga
Otra forma de poder hacer el análisis es de la siguiente manera:
En otras palabras cuando se presenta una viga indeterminada se hace el principio de la
superposición y luego se hace el cálculo por método de área momento.
- Otro caso que se nos puede presentar:
Se hace lo siguiente:
Hacer una viga simplemente apoyada bajo los siguientes parámetros:
- Una viga simplemente apoyada con el MA- Una viga simplemente apoyada con el MB- Una viga simplemente apoyada con la carga P
L
A B
Rb
Se hace el cálculo para la reacción
L
A
W
L
A
B
B
MA
Se hace el calculo para la carga repartida en viga simplemente apoyada
Se hace el cálculo para el momento que se generó en el empotramiento en viga simplemente apoyada
P
a b
Luego de hacer esto (Superposición) se empieza con el cálculo normalmente.
- También existen vigas con doble volado:
- También vigas empotradas y con volado articulado:
- También se pueden presentar en pórticos y columnas:
L
A
W
B
a a
q
L
AB
P
P P P
Pe
Las columnas se diseñas a flexo – compresión.
M = P* e
E = M/N
En un edificio la excentricidad es mayor en los bordes.
Ejercicio extra de método de área momento:
- Diagrama de momentos:
Determinación de ángulo B:
θB=A 1+ A 2
θB=(3)(−0,5)
2−
(1,5)(1)3
θB=−1,50EI
radianes
3
A B
Mo= 1,5 Tn.m Ʃ MA= 0
Mo−Rb . L=0
1,5−Rb .(4,5)=0
Rb .(4,5)=1,5
Rb=0,333Tn1,5
Ʃ Fy= 0
−Ra+Rb=0
−Ra=−Rb
Ra=0,333 Tn
Ʃ MC= 0
MC+1,5−Rb 1,5=0
MC=−1,005 Tn .m
Ʃ MC= 0
MC−1,5+Ra 3=0
MC=−0,510Tn .m
-1
0,5
3 1,5
Determinación la desviación tangencial de B a A:
tB/A = A 1∗X 1+ A 2∗X 2
tB/A = (3)(−0,5)
2(2,50 )+(
−(1,5)(1)3
)(1)
tB/A = 8 ,5835
EImm
Determinación de ángulo A:
θA=t B / A
L=
−8,5835EI
4,50=
−1,91EI
¿Cómo determinamos la distancia donde se efectúa la deflexión máxima?
- De la siguiente manera:
Hacemos relación de triángulos:
Mol
= xMx
1,501
= xMx
Mx= x1,50
Hacemos lo siguiente desde A a K:
Ak=Rb∗x∗x2
Ak=
13
x2
2
Ak= x2
6
Se utiliza el ángulo en B:
θBK
=θB−θk
θBK
=AK
θB=AK
158
= x2
6
De esta ecuación despejamos x y determinamos nuestra distancia de ymax:
x=√ 908
=3,35 m
3. Método de la viga conjugada
Determina:
- Reacciones.- Momentos flectores.- Momentos cargados en la viga.
El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es
de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que
introduce este método.
El método de la Viga Conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo
a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la
viga conjugada será el desplazamiento en la misma.
El método de LA VIGA CONJUGADA o método de la viga imaginaria, que en lugar de
hallar directamente la pendiente y la flecha, se hallan las cortantes y momentos en la
viga ficticia, imaginaria o conjugada. Cálculo de reacciones redundantes, flechas y
pendientes en vigas con la ayuda de tablas, utilizando el PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN.
Principios.-
En esta sección trataremos sobre cuáles son los teoremas o hipótesis que se plantearon
en el estudio del método de la viga conjugada, los cuales son:
1. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.
2. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.
3. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo
punto de la viga real.
4. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real.
5. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.
6. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada.
7. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
8. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en
la viga conjugada.
En otras palabras para determinar la pendiente de la viga se deberá de hallar la cortante
en cualquier punto de la viga conjugada y un momento flector para determinar la
deformada o elástica.
Terminología usada en el método.-
Viga conjugada.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga
es el diagrama de momento flector reducido aplicada del lado de la compresión.
Momento flector.-Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de
una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico
flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se
produce la flexión.
Deflexiones o las flechas de una viga.- por efecto de las cargas, las vigas se deforman
de manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos, se desplaza
prácticamente paralelo a la carga.
Relación de apoyos.-
En este método es necesario cambiar condiciones de apoyo una vez que se conjuga la
viga, las cuales la harán muchos más fácil el procedimiento para hallar las incógnitas.
Por lo tanto:
a) Un apoyo extremo en la viga principal (ordenada o segunda integración, nula) ha
de transformarse en un apoyo (M ficticio p segunda integración, nula) en la viga
conjugada.
Nota.- un apoyo simple real no tiene flecha, pero si pendiente y por lo tanto el
conjugado no tiene momento, pero si tiene cortante: el conjugado equivale a un apoyo
simple igual al real.
b) un apoyo intermedio en la viga principal (ordenada o segunda integración, nula:
y pendiente o primera integración, cualquiera, pero igual a ambos lados) ha de
transformarse en una articulación de la viga conjugada (M ficticio o segunda
VIGA REAL
DIAGRAMA DE MOMENTO/EI
VIGA CONJUGADA
integración, nula: V ficticia o primera integración, cualquiera, pero en a ambos
lados.
Nota.- un apoyo interior tiene pendiente pero no tiene flecha y por lo tanto tiene cortante
pero no tiene momento, equivale a una articulación.
c) Un extremo empotrado en la viga principal (pendiente y ordenada, nulas) ha de
transformarse en un extremo libre en la viga conjugada (V ficticia y M ficticia,
nulas).
Nota.- un apoyo empotrado no tiene flecha ni pendiente, por lo tanto el conjugado no
tiene cortante ni momento, equivale a un voladizo.
d) un extremo libre en la viga principal (pendiente y ordenada, lo que corresponda
por las restantes condiciones de sujeción y momentos flectores) ha de
transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada (V ficticio y M
ficticio, ósea primera y segunda integración, lo que corresponda por las restantes
condiciones de sujeción y cargas ficticias).
Nota.- el extremo libre tiene pendiente y flecha y por tanto el conjugado tiene cortante y
momento: equivale a un empotramiento.
e) Una articulación en la viga principal (pendiente distinta en ambos lados y
ordenada igual en ambos lados, dependiendo de sus valores de las demás
condiciones de sujeción y momentos flectores) ha de transformarse en un apoyo
intermedio de la viga conjugada (V ficticio o primera integración distinta a cada
lado, y M ficticio o segunda integración, igual a ambos lados, dependiendo sus
valores de las restantes condiciones de sujeción y cargas ficticias).
Ejercicios de aplicación de la viga conjugada:
L
A
W
B
ql2
ql2
ql2
8
A
W
Para el siguiente ejercicio de viga en voladizo:
Hallar la pendiente y deflexión en el extremo libre, considere EI como constante.
B
L
θA=RA= ql3
24 EI
ymax= 5 ql4
384 EI
1. Calculo de Rb:
+ ƩFy= 0
-P + Rb=0
Rb=P
2. Calculo de Mb:
+ ƩMb=0
-Mb – PL = 0
Mb= -PL
3. Calculo de la pendiente:
(Ra)VA’ (viga conjugada) = ƟA (viga real)
+ ƩFy= 0
Ra –PL2/EI =0
Ra= PL2/EI
Ra=VA’= ƟA= –P L2
EI
4. Calculo de la flecha máxima o deflexión:
(Ma) MA’ (viga conjugada) = Ϝa (viga real)
+ ƩMa=0
ƟB
P
A B
Deformación - elástica
A
B
V= diagrama de cortantes
P P
Rb
M= diagrama de momento flector
-PL
-
Mb
L
VC= viga conjugada
-PL/EI
Viga con carga simetrica:
Para la viga simplemente apoyada de la figura, calcular la pendiente en (A) y la flecha maxima, considere EI como constantes.
PL/4
PL/4
Ymax
ƟBƟA
1. Calculo de Rb:
+ ƩFy= 0
-P + Rb=0
Rb=P
2. Calculo de Mb:
+ ƩMb=0
-Mb – PL = 0
Mb= -PL
3. Calculo de la pendiente:
(Ra)VA’ (viga conjugada) = ƟA (viga real)
+ ƩFy= 0
Ra –PL2/EI =0
Ra= PL2/EI
Ra=VA’= ƟA= –P L2
EI
4. Calculo de la flecha máxima o deflexión:
(Ma) MA’ (viga conjugada) = Ϝa (viga real)
+ ƩMa=0
Deformación - elástica
V= diagrama de cortantes
M= diagrama de momento flector
L/2
VC= viga conjugada
L/2
P
+
-
P/2
-P/2
+
5. Calculo de reacciones:
+ ƩFy= 0
-P + Rb+ Ra=0
Rb+ Ra=P
6. Calculo de Mmax:
+ ƩMmax=0
-Mmax – PL/4 = 0
Mmax= -PL/4
7. Calculo de la pendiente:
(Ra)VA’ (viga conjugada) = ƟA (viga real)
+ ƩMb= 0
(-PL2/16)(L/3) - (-PL2/16) (2L/3)- RaL =0
-PL3/48 – PL3/24 - RaL
Ra=VA’= ƟA= –P L2
16 EI
8. Calculo de la flecha máxima o deflexión:
(Ma) MA’ (viga conjugada) = Ϝa (viga real)
+ ƩMc=0
Para el siguiente ejercicio determinar el ángulo en el extremo libre y su deflexión también:
En el siguiente ejercicio determinar los ángulos en ambos apoyos y la deflexión en
el punto c:
L
PL2/16PL2/16Ra Rb
L/3 L/3 L/3
5. Calculo de reacciones:
+ ƩFy= 0
-P + Rb+ Ra=0
Rb+ Ra=P
6. Calculo de Mmax:
+ ƩMmax=0
-Mmax – PL/4 = 0
Mmax= -PL/4
7. Calculo de la pendiente:
(Ra)VA’ (viga conjugada) = ƟA (viga real)
+ ƩMb= 0
(-PL2/16)(L/3) - (-PL2/16) (2L/3)- RaL =0
-PL3/48 – PL3/24 - RaL
Ra=VA’= ƟA= –P L2
16 EI
8. Calculo de la flecha máxima o deflexión:
(Ma) MA’ (viga conjugada) = Ϝa (viga real)
+ ƩMc=0
C
W=10Tn/m
2L/3
A B
P=10Tn
L/3
BA
a2a
a
q
RA=50
MA=60 MA=80
θB=−8603 EI
YB=−21203EI
PRIMER CONSULTA DE RESISTENCIA DE MATERIALES QUE FUE
ENTREGADA EL DÍA (¿)
METODOS ENERGETICOS
Introducción.-
Los métodos energéticos han adquirido a lo largo de los años gran importancia debido a
su gran sencillez y generalidad que aportan. Aunque en un primer momento parecieran
más complicados de entender y menos intuitivos, posteriormente han proporcionado
herramientas sumamente potentes que permiten dar a la Resistencia de materiales un
carácter práctico mucho mayor. Teoremas como el de Castigliano y Maxwell-Betti, así
como principios como el de los desplazamientos o fuerzas virtuales serán la base para la
obtención de métodos generales aplicados a sistemas de barras isostáticas e
hiperestáticas. Si se aplica una energía exterior equivale al trabajo de las fuerzas
externas, como la energía total del sistema siempre se conserva, esta deberá emplearse
en deformar el sólido y causar en los ciertos desplazamientos.
Energía de deformación
En forma general, el trabajo de las fuerzas externas es:
Ʃ MB= 0
5(4)(4)−Rb .8=0
Rb=10 Tn
Ʃ Fy= 0
Ra+Rb=20
Ra=20−10
Ra=10 Tn
Ʃ MC= 0
MC+5(2)−10 (4)=0
MC=30 Tn . m
θB=−20EI
YB=−70EI
Donde:
Pn.- fuerza generalizada.
Sn- desplazamiento generalizado.
Recordamos, que la acción de un momento genera un desplazamiento angular
(pendiente) y la acción de la carga puntual un desplazamiento lineal (deflexión o
alargamiento).
La fórmula para determinar la energía potencial de deformación es:
Donde:
K.- coeficiente de forma de la sección transversal (igual a 6/5 para sección rectangular,
10/9 para sección circular y 1 para sección I, en la que para calcular el área sólo se
considerará el área del alma)
En la ecuación anterior, la primera parte corresponde al efecto de tracción o
compresión; la segunda, a flexión por momento flector; la tercera, a flexión por fuerza
cortante y la cuarta a torsión.
Cuando se trata de flexión, el efecto de la fuerza cortante es pequeño en comparación
con la ocasionada por el momento flector, es por ello que se puede despreciar su efecto.
Método del trabajo virtual
Denominado también Método de la integral de Mohr o Método de la carga unitaria
ficticia, el cual nos permite determinar los desplazamientos lineal y angular para vigas,
pórticos, arcos y armaduras.
Para flexión de barras lineales o curvas de pequeña curvatura, la integral de Mohr tiene
la forma de la ecuación siguiente, donde no se considera la influencia de las fuerzas de
corte.
Donde:
S - desplazamiento requerido (lineal o angular).
M - momento flector debido a la acción de las cargas reales.
M1 - momento flector, debido a la acción de la carga unitaria P = 1 o momento unitario
m=1, aplicados en el punto donde se desea calcular el desplazamiento lineal (carga
unitaria en dicha dirección) o angular (momento unitario).
EI - rigidez de la barra.
ds - elemento diferencial de la longitud de la barra.
En caso, que se requiera considerar el efecto de la cortante, el desplazamiento se
calculará por la fórmula:
Donde:
V1 - cortante debido a la acción de P=1 o m =1
Cuando se trata de armaduras se aplicará la ecuación:
Donde:
N1 .- fuerza axial o normal, debido a la acción de en el punto y dirección requerida P = 1
Para barras, cuyos tramos sólo están expuestos a torsión, se aplicará la ecuación:
Donde:
T1.- momento torsor, debido a la acción de la carga o momento unitario ficticio.
Para el caso de vigas y pórticos, la integral de Mohr se puede calcular en forma
aproximada por el Método de Vereschaguin o de Simpson-Kornoujov.
Trabajo Virtual
Principio:
“Si un sólido deformable sometido a un sistema de cargas está en equilibrio y
permanece en equilibrio al ser sometido a un campo de deformaciones virtuales
compatible, entonces el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo de las
fuerzas internas actuando sobre los desplazamientos virtuales internos”
Teorema carga unitaria
El método de la carga unitaria es el más útil y versátil de las técnicas energéticas. Puede
usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de la estructura, que sean
causadas por cualquier tipo o combinación de cargas. Este método es derivado del
principio del trabajo virtual.
La palabra virtual significa existe, en efecto, pero no de hecho. Una fuerza virtual es una
fuerza ficticia que se incorpora en algún punto sobre la estructura. El trabajo virtual es
el movimiento de esta fuerza virtual a través de una distancia. Al aplicar el método de la
carga unitaria, la distancia es generalmente el desplazamiento real de la estructura bajo
sus cargas reales aplicadas.
TRABAJO VIRTUAL EXTERNO = ENERGIA DE DEFORMACION VIRTUAL INTERNA
TRABAJO VIRTUAL EXTERNO = TRABAJO VIRTUAL INTERNO
Método de Vereschaguin
Para multiplicar dos diagramas Mi y Mj, siendo Mi un diagrama no lineal o lineal y Mj
lineal, se tendrá:
Donde:
Mi AREA - área del diagrama Mi.
Mj AREA - área del diagrama Mj.
yMJ - ordenada en el diagrama Mj , debajo del centro de gravedad del diagrama Mi.
yMI - ordenada en el diagrama Mi , debajo del centro de gravedad del diagrama Mj.
Cuando se tiene varios tramos, se aplicará la sumatoria de cada uno de ellos.
Para aplicar el Método de Verschaguin será necesario tener en cuenta que:
1. Los diagramas de momento flector deben ser divididos en tramos, de tal manera, que
por lo menos un diagrama es lineal y la rigidez constante.
2. La multiplicación de los diagramas será negativo, si ambos diagramas tienen signos
opuestos o se encuentran en diferentes lados, respecto al eje de cálculo.
Teoremas del Castigliano
Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero
italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis
para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre,
enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.
“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una
estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera
derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la
acción aplicada”.
Primer teorema:
Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan el conjunto de
fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a
la energía potencial elástica o potencial interno donde es el movimiento-
desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza
ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:
Segundo teorema:
Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan un conjunto de
fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a
la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el movimiento-
desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada
por:
Teorema Betti
Considere un sólido deformable sometido a dos estados de fuerza (A y B). Cada sistema
se encuentra en equilibrio independientemente y también al ser aplicados
simultáneamente.
Caso 1:
Se aplica el estado de carga A y luego el B.
Donde:
Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A.
Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B.
δi : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a
ellas mismas.
δj : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a
ellas mismas.
∆ij : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a
las cargas Fj.
Caso 2:
Se aplica el estado de carga B y luego el A.
Donde:
Pi : Fuerzas y momentos del estado de carga A.
Fj : Fuerzas y momentos del estado de carga B.
δi : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Pi debido a
ellas mismas.
δj : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a
ellas mismas.
∆ji : Desplazamientos producidos en el punto de aplicación de las cargas Fj debido a
las cargas Pi.
Dado que la energía de deformación final es independiente de la secuencia de carga se
Obtiene:
W1 =W2
Teorema:
Sobre un sólido deformable, el trabajo de un sistema de fuerzas A (Pi i = 1..n) cuando
actúa otro sistema de fuerzas B (Fj j = 1..m), es igual al trabajo del sistema de fuerzas B
cuando sobre el sólido actúa el primer sistema de fuerzas A.
Teorema de Maxwell
Corresponde a un caso especial del teorema de Betti.
Teorema:
En un sólido deformable, el desplazamiento originado sobre un punto i en dirección AB,
debido a una fuerza P actuando en un punto j en la dirección CD, es igual al
desplazamiento originado sobre el punto j en dirección CD, si se aplica una fuerza P de
igual magnitud sobre el punto i en la dirección AB.
Ejemplo:
El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de
Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti,
quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este
teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran
también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica
en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad.
Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos
de frontera.
QUINTA CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 26 DE NOVIEMBRE DEL 2013
VIGAS CONTINUAS
Métodos utilizados para análisis de vigas
Métodos de coeficientes De cross Método de ecuación de 3 momentos
MÉTODOS DE COEFICIENTESPara determinar los coeficientes y reacciones solo analiza cargas repartidas uniformes si es que existe una diferencia que no sea menor al 80%.
L=5+62
=5,5
/
Ejemplo:
6L1L1
5
1111
+ +
9/8,6
+++
9/8,6
M +¿ q l2
11 M +¿ q l2
110,5
Se aisla cada tramo para su análisis
∑ M 1=R 2 ∑ M 2=R 1L1
R1 R2R2R1M2M3
R3R2
11 16 1110 13,3 10
Coeficientes
∑ M 2=0∑ M 3=0
RESOLUCION DE EJERCICIO POR METODO DE COEFICIENTES
M 12+¿=q l2
11=2500∗5,52
11=6875 Kg /m¿
L=L 1+ L 22
=5+62
=5,5
565
W=2,5TN/M
47266875
6875
M
84038403
+++
5
W=2,5TN/M
79314569
M 23+¿=q l2
16=2500∗5,52
16=4726 Kg/m¿
M 3+¿=q l2
9=2500∗5,52
9=8403Kg /m¿
∑ M 1=0
−R 2 ∗5+8403+2,500+ 52
2=0
R 2 =7930,6
∑ FY =0
−2500∗5+7931+R 1=0
R 1=4569
∑ M 1=0
−R 2 *6+8403-8403+2,500+ {{6} ^ {2}} over {2} =0
−R 2 =750
EJERCICIO EN CLASE
8403
R2`R1
5
W=2,5TN/M
R3R2”
5
W=2,5TN/M 84038403
77 778
W=1100Kg/m
9 999
M 12+¿=q l2
11=1100∗7,52
11=5625¿
M 23+¿=q l2
16=1100∗7,52
16=3867,1875 ¿
M 34+¿=q l2
16=1100∗72
16=3867,75 ¿
M 45+¿=q l2
16=1100∗72
16=3867,75¿
M 56+¿=q l2
11=1100∗72
16=4900 ¿
M 2=q l2
9=1100∗7,52
9=687 5
M 3=q l2
9=1100∗7,52
9=687 5
M 4=q l2
9=1100∗72
9=5988,8 9
M 5=q l2
9=1100∗72
9=5988,8 9
∑ M 1=0
−R 2 ∗7+6875+ 1100∗72
2=0
R 2 =4832,142
∑ FY =0
R 1+R 2 −1100∗7=0
R 1=2867
∑ M 1=0
−R 3 ∗8+6875+ 1100∗82
2−6875=0
R 2 =4400
∑ FY =0
R 2+R3-1100*8=
R 1=4400
∑ M 1=0
5988,89−6875−R 4 ∗7+(1100∗72
2)=0
R 4 =3723,41
∑ FY =0
R 3 +R4`-1100*7=
R 3 =3976,5
∑ M 1=0
6875
R2`R1
7
W=1100KG/m
32
R3`R2”
8
W=110Kg
43
R4`R3”
7
W=110Kg
54
R5`
7
W=110Kg
5988,89−5988,89−R 5 ∗7+( 1100∗72
2)=0
R 5 =3850
∑ FY =0
R 4 +R5`-1100*7=
R 3 =385
∑ M 1=0
−R 6∗7+1100( 72
2 )−5928,89
R 6=2994,44
∑ FY =0
R 5+R 6−1100 Kg∗7=0
R 5 =47905,5
METODO DE CROSS
Analizar en estructura es:
Dar facilidades a un estructura es determinar M, T, N debemos definir las cargas involucradas, permanentes, casuales, accidentales.
Diseñar la sección
f =
w l4
EIx∗5
384
R5`
65
R6R5”
7
W=110Kg
Método iterativo para cálculo y análisis de la estructura
Para todo tipo de cargas y luces diferentes Debemos identificar las inercias Funciona a través de 2 coeficientes Coeficientes de distribución o de reparto
FD=Ii/∑ Ii+ I Coeficiente de transmisión
FT=0 ,5
1 1 1 1
1 0 1 1 0 1
5000
5000
8000
-800
0300
0 -3000-
5000 -13000 5000 3000-
5000
-520
0
-780
0350
0150
0 3000-
2600
-250
0175
0
-390
0150
0 750260
0 750 2400 -750260
0 300 450168
0 720 -750
150130
0 840 225-
375 360-
150 -2140 150 -360
-150
-856
-128
4 105 45 -360
-428 -75 53 -642
-180 23
428 23 822 -23
428 9 14 575 247 -23
5 214 288 7 -11 123
-5 -502 5 -123
-5-
201-
301 3 1 -123-
100 -2 2 -151 -62 1
100 1 212 -1
100 0 0 149 64 -1
0 50 74 0 0 32
0 -124 0 -32
0 -50 -75 0 0 -32
-25 0 0 -37 -16 0
25 0 53 0
25 0 0 37 16 0
0 12 19 0 0 8
0 -31 0 -8
0 -12 -19 0 0 -8
-6 0 0 -9 -4 0
6 0 13 0
-6202
9202
9
-644
8644
8 0
Los coeficientes de distribución sumados sean igual a1
Buscar que los momentos sean iguales
SEXTA CLASE DE RESISTENCIA DE MATERIALES II
DICTADA EL 3 DE DICIEMBRE DEL 2013
565
