diapositivas resistencia de materiales ii

8/13/2019 Diapositivas Resistencia de Materiales II

1/114

Mg. Flix Gilberto

Prrigo Sarmiento


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3/114

Clculo de Deformaciones ( Desplazamientos y Giros)Estructuras Isostticas e Hiperestticas.

- Mtodos : lnea o curva elstica, rea de mtodos y vigaconjugada.

Energa de Deformacin o Mtodo Energtico:

- Mtodo de trabajos virtuales.

- 1 teorema de Castigliano.

Mtodo de las Fuerzas.

Estructuras Hiperestticas: Vigas y Prticos en estructuras sinAcartelamiento y con Acartelamiento:

- Ecuacin de 3 momentos y Mtodo de Hordy Cross

Columnas.


4/114

BIBLIOGRAFA

LOS SIETE RUSOSEditorial MIR , Mosc.

SIMN TIMOSHENKO.

FEODOSIEV. SINGER.

HIBELER.

ANLISIS ESTRUCTURAL DE BIAGGIO ARBUL.


5/114

DEFORMACIONES

(DESPLAZAMIENTOS OGIROS) :

ESTRUCTURASESTATICAMENTE

DETERMINADAS


6/114

1) Mtodo de la Curva Elstica o de Doble Integracin

Cuando las cargas son

simtricasla flecha mx. es en elcentro

CURVA ELASTICA

d

R

l

L l

R/l = (R+y)/(l+El)

R/(R+y) = l/(l+El)

1/(1+y/R) = 1/(1+E)

1+y/R = 1+E

E = y/R (1)

Del clculo diferencial:

R = [1+(y/x)]3 2 2)y/x = 0ngulo pequeo


7/114

Remplazando:

R = 1/(y/x) (2`)

(2) en (1) E = (y/1)/( y/x) (3)

E = /E (4)

= (My)/I (5)(5) en (4)

E = (My)/(EI) (6)

(3) en (6) (y/1)/(y/x) = (My)/(EI)

Ec. de laCurva

Elstica:

( y/x ) = M/EI


8/114

Calcular la ecuacin de la pendiente (giro) y deldesplazamiento; as como la flecha mx.. En lasiguiente viga.

P/2 P/2

L

PL/2

x 0 x L/2

Mx = (P/2)(x)Aplicando la ec. de

la Curva Elstica:

(y/x) = M/EI


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Remplazando: (y/x) = (P/2)(x)/(EI)

Integrando: (y/x) = (Px)/(4EI) + C1

Condiciones de Borde o Frontera

`

Si: x = 0 y = 0

Si: x = 0 y/x 0

Si: x = L y = 0Si: x = L y/x 0

y mx.

Si: x = L/2 y = y mx.

Si: x = L/2 y/x = 0


10/114

Entonces para x = L/2 y/x = 0

C1 = -(PL)/(16EI)

Reemplazando:

(y/x) = (Px)/(4EI) - (PLx)/(16EI)

Integrando nuevamente:

y = (Px )/(12EI) - (PLx)/(16EI) + C2

Si x = 0 y = 0 C2= 0

Reemplazando:

y = (Px )/(12EI) - (PLx)/(16EI)

Para x = L/2 ; y = y mx.

Y mx = P(L/2) /(12EI) - PL(L/2)/(16EI)

Y mx = (PL )/(48EI)


11/114

Calcular las ecuaciones de la pendiente,desplazamiento y flecha mx. de la siguiente viga

x

L

L/2 L/20 x LMx = (L/2)(x) - (x)(x/2) = (Lx)/(2) - (x/2)Aplicando la ec. de la Curva Elstica:

(y/x) = M/EI


12/114

Remplazando:

(y/x) = [(Lx/2) - (x/2)]/(EI)

Integrando:

(y/x) = Lx/(4EI) - x/6EI) + C

1


C1 = -L(L/2)/(4EI) + (L/2)/(6EI) = - L/(24EI)

Reemplazando:

(y/x) = (Lx)/(4EI) - (x)/6EI) - L/(24EI)Integrando nuevamente:

y = Lx/(12EI) - x4/(24EI) - Lx/(24EI) + C2

Si x = 0 y = 0 C2= 0

Reemplazando: y = Lx/(12EI) - x4/(24EI) - Lx/(24EI)

Para x = L/2 ; y = y mx.

Y mx = L(L/2)/(12EI) - (L/2)4/(24EI) - L(L/2)/(24EI)

Y mx = = (5/384) [L4/(EI)]


13/114

Determinar la ecuacin de la pendiente y la flecha enla siguiente estructura.

P PL

PPa a

x

x 0 x L

Mx = Px

Aplicando la ec. de la

Curva Elstica:(y/x) = M/EI

R l d


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Remplazando:

(y/x) = Px/(EI)

Integrando:

(y/x) = Px/2EI) + C1

... (1)


y = Px/(6EI) + C1x + C2

Si x = 0 y = 0 C2= 0

Reemplazando: y = Px/(6EI) + C1x (2)

Para a x L - a

Mx = PxP (x-a) = Pa

Aplicando la ec. De la Curva Elstica: (y/x) = Pa/(EI)

Integrando:

(y/x) = Pax/(EI) + C3


/ ) P (L/2)/(EI) C


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(y/x) = Pa(L/2)/(EI) + C3C3 = -PaL/(2EI)

Reemplazando:

(y/x) = Pax/(EI) - PaL/(2EI) ...(3)


y = Pax /(2EI) - PaLx/(2EI) + C4 ...(4)

Entonces para x = a y/x en (4) y (3) son iguales:En (1): (y/x) = Pa/(2EI) + C1... (1`)

En (3): (y/x) = Pa/(EI) - PaL/(2EI) ...(3)

(1`) = (3`) : Pa/(2EI) + C1= Pa/(EI) - PaL/(2EI)C1= Pa/(2EI) - PaL/(2EI)

Reemplazando el valor de C1 en (1):

(y/x) = Px/(2EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)


16/114

Entonces para x = a y es la misma:

En (2): y = Pa3/(6EI) + Pa3/(2EI) - PaL/(2EI)... (2`)

En (4): y = Pa3/(2EI) - PaL/(2EI) + C4 ...(4)

(2`) = (4`) : C4= Pa3/(6EI)

Reemplazando en (4):

y = Pax/(2EI) - PaLx/(2EI) + Pa3/(6EI)

Ecuaciones Finales:

Cuando: 0 x a:

(y/x) = Px/(2EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)

y = Px3/(6EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)Cuando: a x L - a:

(y/x) = Pax/(2EI) - PaL/(2EI)

y = Pax/(2EI) - PaLx/(2EI) + Pa3/(6EI)

i l i d l di l


17/114

Determinar la ecuacin de la pendiente y elgiro de la siguiente viga:

q = sen (x/L)V/x = -q

(y/x) = M/(EI)


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V/x = - sen (x/L)

Integrando:

V = (L/).cos(x/L) + C1


M = -L/().sen(x/L) + C1x

+ C

2

Si x = 0 M = 0 C2= 0Si x = L M = 0 C

1= 0

Integrando:

y/x = -(1/EI).L/(). sen(x/L) C3x+ C4Si x = 0 y = 0 C

4= 0

Si x = L y = 0 C3= 0

y= - 1/EI).L4/ 4). sen x/L)


19/114

1 Teorema de Mohr: El ngulo


20/114

A B

M N

x

Cg

M/(EI)

1 Teorema de Mohr:El nguloque forma las tangentes en 2 puntosde la curva elstica es igual aldiagrama M/(EI) entre estos dos

puntos:

2 Teorema de Mohr:Ladistancia de un punto B de la elsticaa otro punto A de la elstica es igualal momento esttico del rea deldiagrama M/(EI), entre estos 2

puntos con respecto al punto B. Ladistancia se mide sobre la vertical ala posicin de la viga horizontal.

= (1/EI).Mxx

tAB = x M/(EI)xAB

E t l d l i t ti l l i


21/114

Encontrar el desplazamiento vertical y el giro enel punto de aplicacin de la carga de la viga que

se indica en la figura; EI = constante.

a bP

A BC

L

Diagrama M/(EI)x = a/3 x = 2b/3

Pab/(LEI)

RB =Pa/LRA =Pb/L

A BC

A c

B

ATangentede C

Tangente

de A

Z

CACA


22/114

C = ? C= CAA ... (1)

C = ? C= Z CA ... (2) Clculo de CA

CA = 1/2 . Pab/(LEI).a = Pa2b/(2LEI) ... (3)

A = tg A = BA/L ... (4)

Clculo de BA:

BA= 1/2 . Pab/(LEI).a . (a/3 + b) + 1/2. Pab/(LEI).b . 2/3 . b BA= Pab/(6LEI).[(a

2+ 3ab) + 2b2)]

BA= Pab/(6LEI).[(a2+ 2ab + b2) + (ab + b2)]

BA= Pab/(6LEI).[(a + b)2+ b(a + b)] BA= Pab/(6LEI).(L

2+ Lb) = Pab/(6EI) . (L + b)... (5)

Reemplazando (5) en (4):

A = Pab/(6LEI) . (L + b)... (6)

( ) ( ) ( )


23/114

(3) y (6) en (1):C= Pa

2b/(2LEI) - Pab/(6EI) . (L + b)C= Pab/(6LEI) (3 + L - b)

Clculo de Z:Z = a . A ... (7)tg A= A= Z/A

(6) en (7):Z = Pa2b/(6LEI) (1 + b) ... (8)Clculo de CA(2 teorema de Mohr):CA= . Pa

2b/(LEI).(a/3)CA= Pa3b/(6LEI) ...(9)Reemplazando (8) y (9) en (2):C= Pa

2b/(6LEI).(L+b)Pa3b/(6LEI)

C= Pa2b/(6LEI).(L + ba)


24/114

AREA DE MOMENTO

CG. h

cL

X = 1/3 (L+c)

A = L.h

CG. h

X = 3/8 . LL

A = 2/3 L.h


25/114

CG.h

L

X = 1/4 . L

A = 1/3 L.h

A = 1/4 L.h

CG.h

L

X = 1/5 . L

Parabola de Grado n: A =L.h. 1/(n+1) y x = L. 1/(n+2)

P l i t l fi l l l


26/114

Para la viga que se muestra en la figura, calcular lamagnitud de la fuerza P en funcin de L para quela deflexin sea cero en el punto A, si EI = constante

2L2P

L 2L

3PL/EI

2L2/EI( - )

( + ) 2L2/EI

A ( PL/(EI) 2L L 2PL/EI 2L 2/3 2L) ( 1/3


27/114

A = (-PL/(EI) . 2L.L. 2PL/EI . 2L . 2/3.2L) + (- 1/3 .2L2/(EI) . 2L . . 2L) + (2L2/(EI) . 2L.L) = 0

14 PL3/3 = 2L4 P = 3L/4

B = (1/2 . 3PL/(EI) . 3L . 2/3 . 3L) + (- 1/3 . 2L2/(EI) .2L . ( . 2L + L)) - (2L2/(EI) . 2L. (L+ L) = 0

B = -9PL3/(EI) + 14/3 . L4/(EI)


28/114

METODO DE LA VIGA

CONJUGADA

METODO DE LA VIGA CONJUGADA


29/114

METODO DE LA VIGA CONJUGADA

Este mtodo supone una viga ficticia

denominada viga conjugada que tiene la mismalongitud real pero con apoyos tales si la vigaconjugada se carga con el diagrama M/EI de la

viga real , la fuerza cortante de la vigaconjugada en una seccin cualquiera es igual ala pendiente de la tangente en ese punto y el

momento flexinate de la viga conjugada en unpunto cualquiera es el desplazamiento de esepunto en la viga real.


30/114

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

-GIRO (A)-DESPLAZAMIENTO

-CORTANTE (VA)-MOMENTO (MA)

Pab/LEI

P

a b

L

A B

RA =Pa/L RB=Pb/L

APOYOS EN LA VIGA CONJUGADA


31/114

APOYOS EN LA VIGA CONJUGADA

Para que se cumplan las dos proposicionesindicada s en vigas reales , la viga conjugadacorrespondiente debe incluir apoyos que sean

congruentes en los tipos de deformacioneslineal y angular que sufrir la viga real.

A B C

VIGA REAL

b ca

VIGA CONJUGADA


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El empotramiento de la viga real indica que no hay giro sidesplazamiento, luego en la viga conjugada no hay cortante nimomento flexinate luego se trata de un extremo libre o en

voladizo (a).

En el apoyo simple (c) no hay desplazamiento; pero si haygiro en la viga real y por lo tanto en la viga conjugada no hay

momento pero si cortante .

En(b) existe una articulacin intermedia en la viga real, haydesplazamiento y puede haber discontinuidad en la

pendiente. Por lo que en la viga conjugada hay cortante y senecesita una viga continua para resistir momento flexionante,por lo tanto una articulacin intermedia en la viga realcorresponde a un apoyo simple interior en la viga conjugada .


33/114

Problema N 1 :Encontrar los giros y los desplazamientos en los


34/114

2

P

P

h

21 34.5Ph

1.5h

CG

CGCG

Problema N 1 :Encontrar los giros y los desplazamientos en lospuntos 1,2y3 de la viga mostrada en la figura EI=constante


35/114

-1 CALCULAMOS LOS GIROS:2.5Ph+2Ph= 4.5Ph 1=0 2 =

2 =

3= x1.5- x1.5h =-4.125

2 CALCULAMOS LOS DESPLAZAMIENTOS:


36/114

2 CALCULAMOS LOS DESPLAZAMIENTOS:


37/114

VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADASO VIGAS HIPERESTATICAS

Determinar los momentos de empotramiento en la vigasiguiente:

P

A Ba b

L

MA MB

RA RB

GRADO DE HIPERESTATICIDAD (G.H.)=4-2=2

3HIPOTESIS DE CARGA2HIPOTESIS DE CARGA


38/114

BA A B

MA

BA A B

MB

TANGENTE DE ATANGENTE DE B

AB

A B

P

CG CGCG

3HIPOTESIS DE CARGA2HIPOTESIS DE CARGA1HIPOTESIS DE CARGA


39/114

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

A= A +A+A=0A=A+A ------------------A

B= B +B+B=0

B=B+B-------------------B


40/114

CALCULO DE DEFORMACIONES

PRIMERA HIPOTESIS DE CARGA

CALCULO DeA:


41/114

REMPLAZANDO 2Y1


42/114

CALCULO DeB :

REMPLAZANDO 5Y4


43/114

SEGUNDA HIPOTESIS DE CARGA

CALCULO DeA Y B :

REMPLAZANDO 7Y8


44/114

REEMPLAZANDO 10 Y 11


45/114

TERCERA HIPOTESIS DE CARGA

CALCULO DeA Y B :

REEMPLAZANDO 13Y14


46/114

REEMPLAZANDO 16Y17


47/114

REEMPLAZANDO EXPRESIONES

RESOLVIENDO A Y B


48/114

METODO DE

TRABAJO

VIRTUAL


49/114

METODO DE TRABAJO VIRTUAL(DETERMINAMOS DESPLAZAMIENTOS)

P2

P3

P4

P1

Pn

ESTRUCTURAS DE

CARGAS REALES

1

ESTRUCTURAS DE

CARGAS UNITARIAS


50/114

1.ARMADURAS:

4

23

5 61

P P

u1=1

4

23

5 61

P P


51/114

ELEMENTO Li Si u1 A Su1L/A

1-22-3

...

S=estructura con cargas realesU1=estructura con carga unitaria enel punto donde se desea calcular el

2 ELEMENTOS DE ALMA LLENA:


52/114

2.ELEMENTOS DE ALMA LLENA:

2.1 FLEXION :

WL

1XX/21.5X

X

M m

ESTRUCTURAS CON CARGAS REALES ESTRUCTURAS CON CARGAS UNITARIA


53/114

2.2.CORTANTE:

2.3.TORSION:

2.4.AXIAL:


54/114

TEOREMA DE

CASTIGLIANO


55/114

TEOREMA DE CASTIGLIANO

P2

P3

P4

P1

Pu

Las derivadas parciales del trabajo de la derivada del a deformacin


56/114

elstica , expresado en funcin de las fuerzas exteriores respecto a unade estas fuerzas igual al desplazamiento de su punto de aplicacin ,medio en la direccin y sentido de la fuerza

POR FLEXION:

REEMPLAZANDO:

POR CORTANTE


57/114

POR CORTANTE:

POR TORSION


58/114

POR TORSION:

POR TRACCION O COMPRESION (CARGA AXIAL)


59/114

POR TRACCION O COMPRESION (CARGA AXIAL)

TEOREMA DE METODO DE TRABAJO


60/114

CASTIGLIANOMETODO DE TRABAJO

VIRTUAL

METODO DE LAS FUERZAS


61/114

METODO DE LAS FUERZAS

Se aplica a estructuras rectanguladas hiperestticos(armaduras) y para elementos de lama llena (estructurascontinuas , aporticos ,etc.)

ARMADURAS O ESTRUCTURAS RECTICULADAS HIPERESTATICAS

1. HIPERESTATICIDAD EXTERNA2. HIPERESTATICIDAD INTERNA

3. HIPERESTATICIDAD EXTERNA E INTERNA

1 ARMADURAS HIPERSTATICAS EXTERNAMENTE


62/114

1.ARMADURAS HIPERSTATICAS EXTERNAMENTE

P3P1 P2

1

43

2

567

GH=4-3=1 (INCOGNITAS REDUNDANTES) SIGNIFAQUE HAY QUE PALNEAR UNA ECUACION ADICIONA ALAS DEL EQUILIBRIO ESTATICO EN BASE A LAS

DEFORMACIONES.

P3P1 P2 43


63/114

P3P1 P2

1

432

567

R7

(Si)= ESTRUCTURA HIPERESTATICA

+

1

(u)=UNITARIA(S0)= ESTRUCTURA ISOSTTICACON CARGAS REALES

ECUACION DE COMPATIBILIDAD


64/114

+ ECUACION DE COMPATIBILIDAD :

Si=S0+R7u

Si=S0+R1u1+R2u2+. +Rnun

ECUACION DE DEFORMACION


65/114

+ ECUACION DE DEFORMACION :

PARA EL CASO PARTICULAR:


66/114

ECUACION DE COMPATIBILIDAD :

Si=S0+R7u

Remplazando Si en

1.ARMADURAS HIPERSTATICAS INTERNAMENTE


67/114

1.ARMADURAS HIPERSTATICAS INTERNAMENTE

A

C

B

D

=

A

C

B

D

1

1

=

A

C

B

D

A

C

B

D

X

X

u

Si

S0 GENERALIZANDO :


68/114

GENERALIZANDO :

PARA EL CASO PARTICULAR:


69/114

Si=S0+Xu

FACTORES DE FORMA FACTORES DE CARGA Y GIROS EN


70/114

FACTORES DE FORMA FACTORES DE CARGA Y GIROS ENELEMENTOS DE SECCION VARIABLE

ACARTELAMIENTO RECTO ACARTELAMIENTO PARABOLICO

hci j

li

L L

li

hchi

hi5 6


71/114

ACARTELAMIENTOS RECTOS ACARTELAMIENTOS PARABOLICOS

hc hc

L liliL

7 8

hihihihi

I CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA DE 1 ESPECIE


72/114

I.CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA DE 1 ESPECIE

I.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE :

I.2.ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE :


73/114

Ai B

Giro unitario 1

i j

II. CALCULO DE LSO FACTORES DE


74/114

FORMA DE 2 ESPECIE

II.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE

II.2.ELEMENTOS DE SECCION VERIABLE


75/114

i j

9 10

ji

j

Li=Li Li=L j

11 12

ii

Li=L jLi=Li

j

TABLA 11 Y 12 : ENCIMA


76/114

TABLA 11 Y 12 :

TABLA 9Y 10 :

ENCIMA

ENCIMA

DEBAJO

DEBAJO

EN MEDIO

III.CALCULO DE LOS FACTORES DE CARGA DE


77/114

1 ESPECIE

III.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE

III.2.ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE:


78/114

III.2.1 CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

j

Li=Li Li=L j

1516

ii

Li=L jLi=Li

j

W W

i j

13 14

ji

W W


79/114

III 2 2CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA


80/114

III.2.2CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA

i j

17 18

jiP PE LE L

Li


81/114

j

19

20

ii

Li

j

PPE L

E L


82/114


83/114

j

Li=Li Li=L j

23 24

ii

Li=L jLi=Li

j

W W

IV.2. CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA:


84/114

ij

25 26

ji

P PE L E L

Li

j

2728

ii

Li

j

PPE L

E L

ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS


85/114

i j k

i j

kj

F

CALCULAR LOS MOMETOS

EN LOS APOYOS

I. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION CONSATANTE


86/114

I. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION CONSATANTE

II. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION VARIABLE

O empleando puntos de forma , de carga reducida


87/114

RESOLVER LA VIGA CONTINUA QUE SE MUESTRACONSIDERRA Ic=0.0033


88/114

10m

4tn

6m8m

3m

W=1.6tn/m

1 32 4I1=0.003 I2=0.0067 I3=0.0020

M0=0 M3=0


89/114

APLICANDO ECUACION DE TRES MOMENTOS A LOS TRAMOS 0-1-2Y1-

2-3

TRAMO 1-2

TRAMO 1-2-3

Al no haber desnivelacin entre apoyos , los


90/114

giros son nulos considerando I

c=0.0033, tenemos los siguientes longitudes

reducidas

Calculo de los factores de carga reducidos de TABLA N 4(caso1)


91/114

(caso1y 30)

REEMPLAZANDO1Y2: (M0=0 ; M3=0)


92/114

O ( 0 ; 0)

EN 1:

EN 2:

REEMPLAZANDO1Y 2 SE TIENE: M1=-13.21tn-mM 12 27t


93/114

M2=-12.27tn-m

Planteando la expresin del momento flector en cada apoyo

se tiene:


94/114

Calculo de las fuerzas cortantes


95/114


96/114

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTORES


97/114

+ +

- -

7.07

-12.27

7.26

-13.21

7.62

20.00

13.2

METODO DE CROSS O METODO DEDISTRIBUCION DE MOMENTOS


98/114

DISTRIBUCION DE MOMENTOS

calculo M i j M j i hiperestticos yI.ELMENTOS DE SECCION CONSTANTE

3

2

1

4

I 1

L1

I 2 , L2

I 3, L3

1 CALCULO DE RIGIDEZ (K)


99/114

ELEMENTOS SIN ARTICULACION EXTERNA ELEMENTOS CON ARTICULACION INTERNA

2 CALCULO DE COEFICINTE DE DISTRIBUCION


100/114

NUDO 2:


101/114


102/114

Pasamos el siguiente nudo y repetimos paso anterior y as


103/114

g y p p ysucesivamente hasta llegar a valores de momentos muypequeos

Finalmente e suman los momentos finales se obtienesumando en cada nudo los momentos de empotramiento ,los momentos distribuidos y los de transporte que llegan al

nudo

RESOLVER LA SIGUIENTE VIGA POR EL METODO DE CROSS


104/114

8tn

2m4m

6tn6tn

2.5m8m 2m3m

W=3.5tn/m

1 32 4

-72.5tn-m

I1=1 I2=1 I3=1

1 CALCULO DE RIGIDEZ


105/114

2 COEFICIENTE DE DISTRIBUCION

NUDO 1:

NUDO 2:


106/114

NUDO 3:

NUDO 4:

3 CALCULO DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOPERFECTO


107/114

ELEMENTO 1-2


108/114

ELEMENTO 2-3


109/114

ELEMENTO 3-4


110/114


111/114

4 PROCESO DE DISTRIBUCION

32


112/114

3

+0.23

-0.033

42

1 0.5390.461 0.521 0.79

+31.24-36.25+10.92

-18.67+12.76

+18.67+6.38

+31.37

0 0

-72.50

0 -0.76 +1.65-0.89+3.29-0.44

+3.03 0

0 -0.06 +0.12-0.06

+0.21 0

-72.25 -5.09 -5.09 +28.12 -28.12


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EMPEZAMOS NUDO 2SEGIMOS NUDO3

VOLVEMOS NUDO2SEGUIMOS NUDO3


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diapositivas resistencia de materiales ii

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