area / asignatura: calculo clei vi periodo: iv …

INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO NACIONAL DE PROMOCIÓN SOCIAL

Creada mediante decreto 000255 de 01 de julio de 2003 Educación Preescolar – Básica- Media Técnica y Académico

San Vicente del Caguán

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GUÍA “TRABAJO EN CASA”

AREA / ASIGNATURA: CALCULO CLEI VI PERIODO: IV

DOCENTE CORREO CELULAR

LUIS ALBERTO SAPUYES [email protected] 3208353988

MODO DE ENTREGA

FECHA DE ENTREGA

Cada estudiante entregara los trabajos por el medio que ha acordado con el docente (WhatsApp o Teams) Al finalizar la semana.

ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

COMPETENCIA: Aplica las funciones trigonométricas y la trigonometría analítica en la solución de problemas del contexto utilizando triángulos rectángulos.

TEMA Y CONTENIDO SABADOS (17 Y 24 DE OCTUBRE )

VALORES DE LAS RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS

DE 30° 45° Y 60°

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO DE 30° Y 60°

Si cogemos un triángulo equilátero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos.

Descomposición de un triángulo equilátero

Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º y 60º respectivamente. Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de Pitágoras:




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A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

https://www.fisicalab.com/apartado/razones-trigonometricas-angulos-agudos#contenidos

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO DE 45°

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

DESCOMPOSICIÓN DE UN CUADRADO

Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de Pitágoras.

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:




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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

EJEMPLO 1:

Conociendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a. sen 1470 b) cos 405º c) tan 13π/3

a) sen 1470º : Si tenemos en cuenta que el ángulo tiene más de 360º, podemos reducirlo al primer

giro:

Por lo tanto, 1470º es equivalente a 30º. Dado que conocemos el seno 30°

https://www.fisicalab.com/apartado/angulos#reduccion-angulo-primer-giro

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b) cos 405º : De igual forma que el apartado anterior podemos reducir el ángulo:

Teniendo en cuenta esto, se cumple que cos 405º = cos 45º. Conociendo el coseno de 45°

c) tan 13π/3 : En primer lugar vamos a convertir el ángulo en radianes a grados sexagesimales.

Reduciendo los 780º al primer giro:

Teniendo en cuenta esto, se cumple que tan 780º = tan 60º. Conociendo la tangente de 60°

EJEMPLO 2: determinar el valor de las siguientes expresiones.

a) sen 30° + sen 60°

b) tan 𝝅/3 + sec 𝝅/6

c) cot 90° - cot 30°

d) csc 60° - cos 30°

SOLUCIÓN:

a. sen 30° + sen 60°= 𝟏

𝟐+

√𝟑

𝟐=

𝟏+√𝟑

𝟐

b. tan 𝝅/3 + sec 𝝅/6= tan 60° + sec 30° = √𝟑 + 𝟐√𝟑

𝟑=

𝟓√𝟑

𝟑

c. cot 90° - cot 30°= 0 - √𝟑 = − √𝟑




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d. csc 60° - cos 30°= 𝟐√𝟑

𝟑−

√𝟑

𝟐=

𝟒√𝟑

− 𝟑√𝟑

𝟔 =

√𝟑

𝟔

ACTIVIDAD A DESARROLLAR

1. Hallar el valor de la expresión: 𝑠𝑒𝑛 Π/4

cos Π/4

2. Determina el valor de la expresión: sen 30° + (tanΠ/4)𝑠𝑒𝑐 Π/3

3. Encontrar el valor de las siguientes expresiones

a. tanΠ

3+ 𝑠𝑒𝑛

Π

6

b. 2cos 30° + 5 senΠ

6

c. csec de 60° - cos 30°

d. sen2 𝜋/2 + cos2 𝜋/3

4. Hallar el valor de a en el siguiente triángulo




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TEMAS Y CONTENIDO SABADO (31 0CTUBRE)

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA

Para realizar las gráficas de las funciones trigonométrica se debe tener en cuenta las siguientes

condiciones.

1. Solo se realiza la gráfica entre cero y 2𝝅 ( 0° a 360°)

2. En el eje X del plano cartesiano se ubican ángulos de 30° en 30° teniendo en cuenta la

circunferencia unitaria.

3. Para hallar el valor de y se toma la respectiva medida de la línea trigonométrica.

4. Se realiza una tabla de valores para la respectiva función trigonométrica.

5. Se construye la gráfica ubicando los puntos en el plano cartesiano y luego se une esos puntos

por medio de una línea curva.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO Tabla de valores

X 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

sen x 0 0,5 0,86 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0




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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO Tabla de valores

X 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

cos x 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0 0,5 0,86 1

ACTIVIDAD A DESARROLLAR

1. Realizar la tabla de valores y la gráfica de las funciones tangente (tan), cotangente (ctan), secante

(sec) y cosecante (csec).

TEMAS Y CONTENIDOS SABADOS ( 07 Y 14 DE NOVIEMBRE)

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar la medida de sus 3 lados, sus 3 ángulos, el perímetro y el área.

En la solución de triángulos rectángulos se presentan dos casos: 1. Se conocen las medidas de unos de sus lados y de un ángulo agudo 2. Se conocen las medidas de los dos lados.

También se debe tener en cuenta el ángulo de elevación y el ángulo de depresión. Cuando un objeto es observado, la recta imaginaria que se forma entre el observador y el objeto se denomina línea visual. La línea visual, forma con la horizontal imaginaria, que se traza desde los ojos del observador, un ángulo que varía dependiendo de la ubicación del objeto con respecto al observador.




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Si el objeto está a un nivel más alto que el observador, el ángulo se denomina de elevación.

Si el objeto está a un nivel más bajo que el observador, el ángulo se denomina de depresión.

EJEMPLO 1: Resolver el triángulo rectángulo XYZ, en el cual el ángulo Z= 90° x= 2cm y el ángulo Y= 28° Solución: Como se conoce la medida de dos de los ángulos es posible hallar la medida del tercero, así: X + Y + Z = 180° X + 28° + 90° = 180° X + 118° = 180° X = 180° - 118° X = 62° Para hallar la medida del lado y, se plantea la siguiente razón:

tan28° = 𝒚

𝟐, entonces y= 2tan28°; y= 2(0,531709431)= 1,06




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Luego, se halla la medida del lado z mediante la razón:

cos28° = 𝟐

𝒛 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒛 =

𝟐

𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖°=

𝟐

𝟎,𝟖𝟖𝟐𝟗𝟒𝟕𝟓𝟗𝟐= 𝟐, 𝟐𝟕 𝒄𝒎

Hallamos el:

Perímetro: P= x + y + z = 2cm + 1,06cm + 2,27cm = 5,33 cm

El área: A = 𝒃 . 𝒉

𝟐 =

𝟐𝒄𝒎 . 𝟏,𝟎𝟔𝒄𝒎

𝟐=

𝟐,𝟏𝟐𝒄𝒎.𝒄𝒎

𝟐= 𝟏. 𝟎𝟔 cm2

Así, los elementos del triángulo XYZ son:

x= 2cm X= 62° P= 5,33cm

y= 1,06cm Y= 28° A= 1,06 cm2

z= 2,26cm Z= 90°

EJEMPLO 2. Resolver el triángulo rectángulo MNP

Se halla la medida del lado m utilizando el teorema de Pitágoras.

m2= n2 + p2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13

m= √13 = 3,61

A partir de la información de la figura se tiene.

tan p = 2

3 = 0,66 entonces p = tan-1 0,66 = 33°

Se halla la medida del ángulo N así:

M + N + P = 180°

90° + N + 33° = 180°

123° + N = 180° entonces N= 180° - 123° = 57°

El perímetro es igual P= 3cm + 2cm + 3,61cm = 8,61 cm

El área es igual A = b . h = 3cm . 2cm = 6cm2 = 3cm2

2 2 2




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ACTIVIDADES A DESARROLLAR

a. Solucionar los siguientes triángulos rectángulos.

TEMAS Y CONTENIDOS SABADO (21 NOVIEMBRE)

LA DERIVADA

Es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función f(x), en el punto de coordenadas(x,f(x)).

El proceso para encontrar la derivada se llama diferenciación y la asignatura se llama calculo diferencial.




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La derivada de una función f en x se simboliza con cualquiera de las siguientes expresiones

𝑓′(𝑥), 𝑦′ ⅆ𝑦

ⅆ𝑥

Para hallar la derivada de las funciones, existen métodos o reglas que ayudan a calcular de manera rápida y sencilla la derivada de cualquier función.

REGLAS DE DERIVACION

1. Derivada de una función constante

𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

Ejemplos:

𝑓(𝑥) = 5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = −10 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) =1

2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

2. Derivada de la función idéntica

𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 1: 𝑋 ∈ 𝑅

Ejemplo

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 1

3. Derivada de una potencia

𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Ejemplos

𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 = 2𝑥1 = 2𝑥




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𝑓(𝑥) = 𝑥4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 4𝑥4−1 = 4𝑥3

𝑓(𝑥) = 𝑥10 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 10𝑥10−1 = 10𝑥9

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 3.2𝑥2−1 = 6𝑥1 = 6𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥−5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = −5𝑥−5−1 = −5𝑥−6

𝑓(𝑥) = 4𝑥3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 4.3𝑥3−1 = 12𝑥2

𝑓(𝑥) = 𝑥12 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) =

1

2𝑥

12

−1 =1

2𝑥−

12


1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥5

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥−5 4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4

5) 𝑓(𝑥) = 6𝑥3 6) 𝑓(𝑥) = 10𝑥2

7) 𝑓(𝑥) = 4𝑥7 8) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥4

9) 𝑦 =3

4𝑥2 10) 𝑦 =

5

4𝑥

6

5




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TEMAS Y CONTENIDOS SABADOS (23 NOVIEMBRE Y 05 DE DICIEMBRE)

DERIVADA DE LA SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

Si t(x)= f(x)+g(x) entonces t’(x)=f’(x)+g’(x)

Si t(x)= f(x)-g(x) entonces t’(x)=f’(x)-g’(x)

Ejemplos.

1) 𝑡(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡′(𝑥) = (3𝑥2)′ + (𝑥)′ = 3.2𝑥2−1 + 1 = 6𝑥1 + 1

2) 𝑡(𝑥) = 3𝑥6 − 𝑥3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡′(𝑥) = (3𝑥6)′ + (𝑥3)′ = 3.6𝑥6−1 − 3𝑥3−1

= 18𝑥5 + 3𝑥2

3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = (4𝑥2)′ + (8𝑥3)′

= 4.2𝑥2−1 + 8. 3𝑥3−1 = 8𝑥1 + 24𝑥2

DERIVADAD E UN PRODUCTO

Si t(x)=f(x). g(x) entonces t’(x)=f’(x).g(x)+f(x).g’(x) Ejemplos

1) 𝑡(𝑥) = (4𝑥2)(2𝑥) = 𝑡′(𝑥) = (4𝑥2)′(2𝑥) + (4𝑥2)(2𝑥)′ = (8𝑥)(2𝑥) + (4𝑥2)(2𝑥0) =

(16𝑥) + (8𝑥2) = 24𝑥2

2) 𝑡(𝑥) = (2𝑥3)(4𝑥5) = 𝑡′(𝑥) = (2𝑥3)′(4𝑥5) + (2𝑥3)(4𝑥5)′

= (6𝑥2)(4𝑥5) + (2𝑥3)(20𝑥4) = (24𝑥7) + (40𝑥7) = 64𝑥7




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DERIVADA DE UN COCIENTE

𝑺𝒊 𝒕(𝒙) =𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒕′(𝒙) =

𝒇′(𝒙) . 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙) . 𝒈′(𝒙)

(𝒈(𝒙))𝟐

Ejemplos

𝑡(𝑥) =4𝑥2

3𝑥5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡′(𝑥) =

(4𝑥2)′. (3𝑥5) − (4𝑥2). (3𝑥5)′

(3𝑥5)2

=(8𝑥). (3𝑥5) − (4𝑥2). (15𝑥4)

(3𝑥5)2=

(24𝑥6) − (60𝑥6)

(3𝑥5)2=

− (36𝑥6)

(3𝑥5)2

𝑓(𝑥) =5𝑥2

6𝑥4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) =

(5𝑥2)′. (6𝑥4) − (5𝑥2). (6𝑥4)′

(6𝑥4)2

=(10𝑥). (6𝑥4) − (5𝑥2). (24𝑥3)

(6𝑥4)2==

(60𝑥5) − (120𝑥5)

(6𝑥4)2

=− (60𝑥6)

(6𝑥4)2


Encontrar la derivada de cada funcion

1) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 5𝑥6

2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 8𝑥8

3) 𝑓(𝑥) = (4𝑥2)(5𝑥3)

4) 𝑓(𝑥) = (7𝑥3)(6𝑥4)

5)𝑓(𝑥) = 4𝑥5

8𝑥3

6)𝑓(𝑥) = 9𝑥3

4𝑥6




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CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Asistencia a las clases virtuales

Puntualidad y buena presentacion en la entrega de los trabajos

Participación en el desarrollo de las actividades en las clases virtuales.

PROFUNDIZACIÓN

Hallar las derivadas de las siguientes funciones

1) 𝑓(𝑥) = √𝑥

2) 𝑓(𝑥) = 5𝑥−6

3) 𝑓(𝑥) = (4𝑥2)(8𝑥4)

4) 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 3)(7𝑥2 − 𝑥)

5) 𝑓(𝑥) =6𝑥2 + 4𝑥

2𝑥3

area / asignatura: calculo clei vi periodo: iv …

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