capitulo iv calculo de empujes 2015

Cimentaciones Ciclo II-2015 CAPITULO No IV, PRESIONES LATERALES DE TIERRA Y EMPUJES

Lesly E. Mendoza M.

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PRESIONES LATERALES DE TIERRAS Y EMPUJES.

INTRODUCCIN:

Al proyectar estructuras de sostenimiento, el ingeniero debe asegurar solamente que no se producir el colapso o falla,

desplazamiento de varios centmetros o incluso decenas de centmetros, no suele tener importancia siempre que se

asegure, que no se producirn repentinamente desplazamientos, ms grandes. Por ello, el mtodo para el proyecto de

estructuras de retencin suele consistir en analizar las condiciones que existan en una condicin de falla, introduciendo

convenientes factores de seguridad para evitar el colapso.

En este captulo se estudiar el tema desde la determinacin de las presiones que el suelo ejerce sobre elementos de

retencin encargados de soportarla, donde se utilizan para soportar dichas cargas muros de retencin de tipo rgidos. Los

muros se construyen generalmente de mampostera o de concreto, simple o reforzado. Un muro diseado con el propsito

de mantener una diferencia en los niveles del suelo de sus dos lados se llama de retencin. El suelo que produce el mayor

nivel se llama relleno y es el elemento generador de presin. Como se puede ver en la figura 4.1

Relleno

Relleno Artificial Corte

Relleno natural

Seccin en balcn para un camino o un

ferrocarril

Relleno Estribo de retencin


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Figuras 4.1 Utilidad de los muros de retencin.

Terrapln para un camino o un ferrocarril

Relleno Artificial

Relleno

Lecho de un canal en corte

Relleno Agua

Almacenamiento de materiales granulares

40

40


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Las fuerzas que actan sobre un muro de gravedad son:

La fuerza sustentante: que soporta el peso del muro, ms las componentes verticales de las dems fuerzas.

El empuje activo: que se desarrolla al colocar el relleno y cuando actan otras sobrecargas sobre la superficie del terreno,

es el que tiende a empujar el muro hacia el exterior. Este movimiento hacia afuera es contrarestado por la resistencia al

desplazamiento en la base del muro y por la resistencia pasiva (denominada generalmente empuje pasivo del suelo

situado por delante del pie del muro) y la componente vertical del empuje activo. As pues, el peso del muro es importante

por dos conceptos: se opone al vuelco y da lugar a una resistencia al deslizamiento en la base. Por esta razn un muro de

este tipo se denomina muro de gravedad (o muro que resiste por su peso). Ver figura 4.2.

Teoras Clsicas de Empujes de Tierras.

1. Teora de Rankine. En las teoras de Rankine se considera que el relleno de tierra entra en un estado plstico

generalizado, debido a la falta de confinamiento lateral.

Se dir que un suelo esta en estado plstico cuando se encuentra en estado de falla incipiente generalizado como se

muestra en la figura 4.3

Ea

Ww Peso del Muro

Fuerza Sustentante

Resistencia al deslizamiento

Empuje Pasivo

Empuje Activo

Ep

Figura 4.2 Fuerzas actuantes sobre un muro de gravedad

Figura 4.3 Estado plstico generalizado

= 45 + /2

Plano de falla

1=H

3

H

H

1=H

3 E

B

W

F


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Hiptesis de Rankine:

Rankine analiz el fenmeno de la presin activa del suelo contra un muro liso, como un estado de equilibrio plstico

del suelo.

Las hiptesis en que bas su teora para el clculo del empuje de suelos friccionantes son las siguientes;

1) Que se desarrollan los estados plsticos activo y pasivo por completo en toda la masa de suelo.

2) El relleno del muro es horizontal (=0) y que el paramento interno del muro es vertical y de superficie lisa (no se

desarrolla friccin entre suelo y muro.)

3) Cuando la superficie del terreno forma un ngulo con la horizontal, se asume que el respaldo es rugoso, existiendo un

coeficiente de friccin con el suelo, tal que las presiones sobre el respaldo son inclinadas en el ngulo con respecto a

la horizontal.

Los estados de activos y pasivos de un relleno contra un muro podr fsicamente ser llevados a la falla de dos maneras: Una

por empuje del relleno cediendo la estructura hacia su frente; otra, por accin de algn empuje exterior, incrustndose el

muro en el relleno y deformndose hacia su espalda, Rankine pens que, bajo el empuje de relleno, el muro cede y se

desplaza, lo que disminuye la presin del relleno a valores a bajo de los correspondientes al reposo, esto hace que la masa

de suelo desarrolle su capacidad de auto sustentacin, por medio de los esfuerzos cortantes que se generan. Si el muro

cede lo suficiente, la presin horizontal puede llegar a ser la activa, valor mnimo que no se puede disminuir aun cuando el

valor ceda ms a partir del instante de su aparicin.

As se podra razonar que, con que se proyectase un muro para resistir la presin activa, se garantizara su estabilidad,

siempre y cuando el muro pudiese ceder lo suficiente como para que, en ltima instancia, se desarrolle dicha presin activa.

De manera anloga se podra razonar para el caso en que el muro se desplace hacia su respaldo bajo una fuerza exterior

suficiente como para que llegue a desarrollarse la presin pasiva, en cuyo caso se podr disear la estructura contando con

la mxima resistencia del suelo. Ver figura No.

Teora de Rankine para obtener las frmulas que determinan los Ea y Ep

Los empujes del suelo sobre un muro, se pueden analizar a partir del comportamiento de un elemento de suelo a una

profundidad dada; el cual se encuentra en equilibrio y sin ningn desplazamiento, representando as, el estado de reposo.

En la figura 4.4 se representa un elemento de suelo sujeto a las siguientes presiones:

Bajo la presin vertical actuante el elemento de suelo se presiona lateralmente originndose as un esfuerzo horizontal, Ph,

que, con base en la experiencia, se ha aceptado como directamente proporcional a Pv ; La constante de proporcionalidad

entre Pv y Ph se denomina coeficiente de presin de tierra en reposo.

Ko= Ph / Pv Ph = Ko Z


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Estado activo Estado Pasivo

Estado Reposo

SUPERFICIES Y MODOS DE FALLA PARA LOS ESTADOS DE RANKINE

Pv = Z

Ph

Pv Z

Pv

Figura 4.4 Esfuerzos actuantes sobre un elemento de suelo

dz

Donde:

Pv: presin vertical, causada por el peso del suelo sobre el elemento.

Ph: presin lateral en reposo.

= peso especfico correspondiente al estado en que se encuentre el medio

Ph

Presiones horizontales de suelos

actuando en una pared, estado activo,

reposo y pasivo

Estado Activo Estado Reposo Estado Pasivo


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Si se analiza el elemento, este se puede deformar verticalmente por efecto de la presin vertical, pero no se puede expandir

lateralmente por que est confinado por el suelo bajo las mismas condiciones de carga.

Si se considera el suelo colocado contra un muro esttico y liso en las mismas condiciones anteriores, el suelo estar en

estado de reposo, equivalente al estado de equilibrio elstico. Ver figura 4.5

El empuje en reposo se puede definir como la fuerza resultante de las presiones laterales del suelo en reposo, que actan

contra un muro. Se sabe adems que la presin horizontal a una profundidad Z es igual a Ko Z, por lo cual, el empuje en

reposo por unidad de longitud, ejercido por un suelo seco sobre un muro de altura H, estar dado por ( ver figura 4.6):

2

2

1HKE oo

El punto de aplicacin del empuje resultante, estar ubicado a la profundidad de 2/3 H

El estado de esfuerzos para un suelo friccionante se representa en la figura 4.7, por medio del circulo de Mohr en donde

0 y C=0. La ley de resistencia de este tipo de suelo, pasa por el origen. Obsrvese que el crculo de Mohr no es tangente a

la ley de resistencia ya que el estado representado no es de falla.

En la figura 4.7 , representa la resistencia al corte del suelo y , el esfuerzo normal total.

KoH

H

Figura 4.6 Punto de aplicacin del Empuje

rea del tringulo

2/3 H

H

2/3 H

Po

Figura 4.5 Diagrama de Presiones para el estado de reposo


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Estado Activo: Si el muro, en las condiciones de reposo se le permite movimiento lateral, alejndose del suelo detrs de l,

las presiones verticales se mantienen constante, mientras las presiones laterales disminuyen, llegando hasta un mnimo en

su estado de falla por cortante. Ver figura 4.8

Este estado tambin se conoce como estado de equilibrio plstico activo y para el caso de suelos friccionantes, dicho

estado de esfuerzos se representa en la figura 4.9

La relacin entre la presin horizontal y la vertical es igual a KA :

sen

sen

P

PK

V

h

A

1

1

1

3 Ecuacin 1

A

C

C B Figura 4.8 Presin activa de Rankine

Estado en reposo

3 = Ko H (esfuerzo horizontal)

1 = H (esfuerzo vertical)

Figura 4.7 Estado de Reposo


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Calculo del coeficiente de Empuje Activo Ka:

De la figura 4.10 se muestra el circulo de ruptura del suelo en le estado plstico activo de suelos friccionantes. Partiendo de

esta se tiene que:

sustituyendo en la ecuacin 1 sus equivalentes se tendra CEOC

CEOCKa

si se divide esta ecuacin por OC

senOC

CE

OC

CE

OC

CE

OC

CE

OC

OC

OC

CE

OC

OC

Ka

1

1

; La constante Ka, tambin se puede transformar en la forma siguiente:

Figura 4.9 Estado de Equilibrio Plstico Activo

3 = KA H (esfuerzo horizontal)


3 = Ko H (esfuerzo horizontal)

= 45O + /2

Plano de falla

Figura 4.10 Estado de Equilibrio Plstico

Activo

3 = KA H (esfuerzo horizontal)

90O -

A B C

D

E



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Estado activo

Estado Pasivo

Estado Reposo

Cambios en la presin del suelo debido al movimiento de la pared

ORIENTACIN DE LAS LINEAS DE CORTE PARA LOS ESTADOS DE RANKINE

a) Activo b) Pasivo


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245tan

245cos2

2452

90cos1

90cos1

1

1 2

2

2

Ka

sen

sen

senKa ecuacin 3

Calculo del empuje activo:

Para este tipo de suelos y en las condiciones de esfuerzos dadas se tiene:

Para este tipo de suelo y bajo las condiciones de esfuerzos dado en el esquema 3.11 se tiene:

;;; 31

3

13 HKaKaHPP vh

la presin Horizontal sera igual a :

4;ecuacinHKaPh integrando la ecuacin anterior se tiene:

52

1

2

2

0

2

00

ecuacinHKaHKa

EadHHKadHHKaPEH

HH

ha

sen

senHEa

1

1

2

1 2

245tan

2

1 22 H

Determinacin del coeficiente de movilizacin de tierras en estado pasivo. Kp

Estado Pasivo: si el muro, se mueve hacia el relleno; las presiones verticales se mantienen constantes, mientras las

presiones laterales aumentan progresivamente hasta un mximo, producindose el estado de falla por esfuerzo cortante.

A este estado se le llama Estado de Equilibrio Plstico Pasivo y se representa grficamente as, ver figuras 4.12 y 4.13:

Figura 4.11 Punto de aplicacin del Empuje Activo.

1/3 H

H

1=H

Ph=3

3

1=Pv=H

Ea

HKa


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Donde 1= 3= H ; 1= Ph Si analizamos la figura 4.13 se tiene:

KaHHKpPpero

KpKpsen

sen

sen

senKa

h

1:

;2

45tan1

1

1

1

111Kp

1

1

3

1

11

3

1

12

1

1

1

3

1

3

1

1

Luego integrando la ecuacin anterior se tiene:

Figura 4.13 Estado Pasivo del suelo. H H

1

3

H Ph

Estado Pasivo

3

1= 3

Estado Activo

A B C D

E

1

F

Figura 4.12 Estado de Equilibrio Plstico Pasivo


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p

H

hph EPEKpHP 0

= H H

HKpHH

KpEpHdhKpKpdhH

0 0

2

0

2

2

1

2

Donde : = peso volumtrico del suelo y H= altura del relleno

)2

45(tan2

1

1

1

2

1 222

H

sen

senHEp

Determinacin de los coeficientes de movilizacin para los estados plsticos activos y pasivos, as como las ecuaciones de

empujes para suelos cohesivo friccionante ( 0 y C 0)

tanC

En la figura 4.14 se muestra el circulo III, que representa el estado de esfuerzos plsticos pasivos, la relacin entre 3 y 1

para el estado plstico activo se puede determinar con el proceso siguiente:

cos2

31 EFsenOCGECGCE

pero se tiene tambin que

2cos

22;cos

2

31313131

OCCsenCsenOCCEF

cos2cos2 31313131 CsensenCsen

cos211cos2 3133111 CsensenCsensen

Estado Pasivo

C

3

1= 3

Estado Activo

A B C D

E

1

D

F

Figura 4.14 Estado de Equilibrio Plstico activo

G

II

III


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sen

C

sen

sen

1

cos2

1

131 , pero se tiene que 1= H; y 3= Presin horizontal

Por identidad trigonomtrica se tiene que:

Ka

1

sen1

sen1

1

sen1

sen1

sen1sen1

sen1sen1

sen1

sen1

sen1

cos2

2

pero se tiene que 1= H 3= Presin horizontal

KaC

Ka

12

131

KaCHKaKa

KaCHKaPH

Ka

CH

Ka

PH

Ka

CH

Ka

PH

Ka

C

KaPHH 22

2221

El empuje activo sera:

KaCHKaHEaHKaCHEadhKaCHKaEaH

H

22

12

2

12 2

0

2

0

La distribucin terica de presiones est representada por la figura 4.15, en donde, Hc, representa la profundidad hasta

donde se extiende las grietas del relleno, ya que este no resiste tensiones:

Ka

CHc

2

La formula del empuje nos proporciona la altura crtica para que un suelo con cohesin y friccin se mantenga en equilibrio

por si solo, para lo que se asume que el empuje activo es cero:

;44

22

102

2

1 22

Ka

C

Ka

KaCHcrKaCHKaHEasiKaCHKaHEa

.

Hc

Hka-

H

Figura 4.15 Diagrama de presiones para suelo cohesivos-

friccionantes


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En el estado plstico pasivo los esfuerzos principales se invierten donde:

1= 3= H ; 1= Ph

KaC

sen

senKaC

sen

sen

KaC

Ka

12)

1

1

1(

12)

1

1(

12)

1( 313131

HH

Ka

HC

KaHdh

KaC

KaHEp

KaC

KaHPh

KaC

Ka 00

23

11

1 21

2

112

112

112)

1(

Ka

HC

KaHEp 2

1

2

1 2 ,

Las presiones estaran representadas as ver figura 4.16:

Determinacin del coeficiente de movilizacin de tierras en estado pasivo y activo para suelos puramente

cohesivos.

H/ka+

Ep=1/2H2/ka

H

Figura 4.16 Diagrama de presiones

2C 3

Figura 4.17 Estados de Equilibrio plstico

activo y pasivo para suelos cohesivos

C

2C

1=13

11

III II

I


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De la figura 4.17 se pueden deducir las ecuaciones de los empujes activos y pasivos para los suelos cohesivos as:

CCHPhHPh 22 1313 ;, Integrando esta ecuacin se tiene

CHH

EaCHH

EaCdhHEaH

H

22

22

22

0

2

0

, para encontrar la profundidad de la excavacin

para la cual no necesita entibados, se procede as:

CHcCH

HEa

42

2

2

El diagrama de presiones se muestra en la figura 4.18.

Para el estado pasivo:

De figura No 4.17 se tiene que

CHPhPhH 2; 11311

131

Limitaciones de la teora de Rankine

La teora de Rankine tiene sus limitaciones en su aplicacin ya que presenta las hiptesis descritas anteriormente, como lo

son:

La superficie del relleno es horizontal

La cara interna del muro se considera horizontal

No hay friccin entre suelo muro

Se desarrolla completamente el estado plstico antes de la falla del suelo

La teora de Rankine puede extenderse a rellenos de muros con superficies inclinadas donde la pendiente del relleno no

debe ser mayor que en suelos no cohesivos, de acuerdo a lo anterior el empuje activo se calcula de acuerdo a la teora de

Rankine, por la formula:

22

222

coscoscos

coscoscoscos

2

HEa

En el caso que = la expresin de Ea se transforma en Ea=1/2 H2cos

El empuje pasivo para el caso de relleno con superficie inclinada es:

22

222

coscoscos

coscoscoscos

2

HEp

Figura 4.18 Diagrama de presiones para suelos cohesivos

Hc

H-2C

H

-2C


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Otra manera de calcular el empuje de un muro de retencin es aplicando lo siguiente:

Cuando el respaldo del muro es inclinado, el empuje se calcula por el procedimiento siguiente:

1. Se calcula el empuje, considerando que este acta sobre un plano vertical que pasa por la arista posterior de la

base del muro, ver figura 4.19.

2. Se encuentra el peso de la cua limitada por el respaldo y el plano vertical antes establecido.

3. Se suma vectorialmente el empuje obtenido y el peso de la cua

Si el respaldo del muro y la superficie del relleno son inclinados, el empuje resultante se calcula sumando

vectorialmente: el empuje activo para un relleno inclinado, ms el peso de la cua limitada por el respaldo del muro y el

plano vertical que pasa por el pie del mismo; ver figura 4.20

Efectos de sobrecarga

Toda sobrecarga, accidental o permanente, aplicada sobre el relleno contiguo a un muro de retencin, incrementa el

empuje lateral sobre el muro.

Los casos que se pueden presentar con ms frecuencia son los siguientes:

Carga uniformemente distribuida por unidad de superficie.

Carga uniformemente distribuida por unidad de longitud

Carga concentrada.

Carga uniformemente distribuida por unidad de superficie.

Considrese una pared vertical de altura h, como la mostrada en la figura 4.21 la que sostiene una masa de suelo de

peso volumtrico y carga uniformemente distribuida q/unidad de rea, que es aplicada en la superficie del muro. La ley

de resistencia del muro es = c+tan

A una profundidad h desde la superficie, el incremento del esfuerzo vertical es:

W 2/3 H

Ea H

W

Ea

ER

Figura 4.19 Ea para muro con respaldo inclinado

W 2/3 H Ea

H

W

Ea

ER

Figura 4.20 Ea para muro con respaldo inclinado y relleno

inclinado


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Hq 1 y como 333 Ph entonces,131

33

1

3

Kapero

qKa

KaqPhdeciresKaq 33

De la misma forma se puede encontrar el incremento de presin lateral para el caso pasivo:

KpqPh 1

De acuerdo a lo anterior se puede decir que para encontrar el incremento de la presin lateral, que ocasiona una carga

uniformemente distribuida, basta multiplicar el coeficiente Ka Kp por la carga q.

El empuje activo se encuentra de la solucin de la siguiente integral:

KpqHHKpEp

pasivocasoelparasimilarKaqHHKaEadhqhKadhPEa

HH

2

2

00

2

1

,2

1)(

El punto de aplicacin del empuje, sera el centroide del diagrama de presiones.

Estas expresiones son vlidas nicamente para rellenos con superficie horizontal y muros con respaldo vertical.

Cuando el respaldo del muro es inclinado, es necesario considerar la fuerza W+qb actuando verticalmente, la cual se

suma vectorialmente a la presin del empuje activo con sobrecarga uniforme. En la figura 4.22, el W es el peso de la

cua limitada por el respaldo del muro, la superficie del relleno y el plano vertical que pasa por el punto A

H

Kaq

H

q

v H

1

2

Ka(q+H)

Po H/2

H/3

P1

P2

Efecto de Sobrecarga en un muro

h

Figura 4.22 Ea para muro con

respaldo inclinado y Carga

uniformemente distribuida W+qb 2/3 H

Ea H

W+qb

Ea=1/2 KaH2+KaqH

ER

q

b

Ea


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Otro caso de inters prctico es aquel que se tiene cuando parte del relleno horizontal tras el muro se encuentra

sumergido. Si H es la altura total del muro y H1, es la altura de suelo no sumergido, medida a partir de la corona (ver

figura 4.23) la presin vertical del relleno en un punto bajo el nivel del agua ser:

hHPv 11 , as la presin que ejerza horizontalmente el suelo bajo el nivel fretico ser:

hHKaPvKaPh 11 Adems, en este caso, sobre el muro y bajo el nivel fretico se ejercer la presin

hidrosttica: hPw W por consiguiente, el empuje total activo est dado por:

qKaHHHKaHHKaHKaEa W 2

2

2

2

1

21

2

12

1

2

1

2

1 y el diagrama de presiones sera el de la

figura 4.23.

Teora de Coulomb

Charles A. Coulomb fundament su teora para el clculo del empuje del suelo sobre un muro, en las siguientes

hiptesis:

1. El suelo es incompresible.

2. La falla ocurre a lo largo de superficies planas de deslizamiento.

3. La deformacin del suelo antes de la falla es despreciable.

4. La cua deslizante se comporta como un elemento rgido.

5. La ley de resistencia esta dada por: = C+tan .

Teora de Coulomb para suelos friccionantes:

El empuje del suelo sobre un muro se debe al deslizamiento, de una cua de falla, la cual est limitada por:

a) La superficie del relleno

q

H1

H2 H h

H1

H2

Figura 4.23 Presiones activas de un relleno arenoso parcialmente sumergido y sujeto a sobrecarga uniformemente

distribuida

KaH1

KaH1+ H2Ka

WH2 qKa

Diagrama de Presiones


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b) El respaldo del muro

c) La superficie de falla desarrollada en el interior del relleno.

El procedimiento dado por Coulomb para el anlisis del empuje es un mtodo de tanteos en el que se suponen diferentes

cuas de deslizamiento. Los pasos a seguir para calcular el empuje activo son:

1. Considerar una cua de suelo sujeta a tres fuerzas: W (peso propio de la cua) conocida en magnitud y direccin;

F (fuerza de friccin entre suelo y suelo) conocida en direccin y E (empuje de la cua sobre el muro), cuya

direccin es conocida no as su magnitud, la cual se calcular por las condiciones de equilibrio esttico. (Ver figura

4.24)

2. Se considera otra cua, variando el plano de falla, encontrndose el valor de E para este caso, segn lo explicado

anteriormente.

3. Despus de analizar varias cuas de falla, se grafican los valores de E y para obtener una curva de empujes,

cuyo punto mximo corresponde al plano de falla crtico y el valor de E es igual, pero opuesto en direccin al

empuje activo. (Ver figura 4.25).

Para la determinacin de la cua de anlisis debe tomarse en cuenta:

Que s el plano de falla coincide con el respaldo del muro, el empuje correspondiente es nulo, y s el plano de falla se

escoge formando un ngulo , con la horizontal, el empuje tambin es nulo; por lo tanto se escogern superficies de falla

entre el respaldo del muro y una superficie que forme un ngulo con la horizontal

Polgono de Fuerzas

- F

n

W

E

90- F

E

W

-

=(90--)

Cua Deslizante de Coulomb Suelo Friccionante

H/3

H

A

C

Emax.=Ea

Critico

Figura 4.25 Determinacin de Ea

E


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Anlisis de la Cua Deslizante:

En el anlisis de una cua deslizante figura 3.24 intervienen los siguientes elementos:

W= Peso propio de la cua supuesta

= peso volumtrico del suelo de relleno

E= empuje del suelo debido a la cua

F= fuerza resultante de los esfuerzos tangenciales y normales sobre el plano de falla.

= ngulo de friccin entresuelo y muro

= ngulo formado por el respaldo del muro y la vertical

=ngulo de inclinacin de la superficie de relleno

H= altura del muro

= ngulo de inclinacin de la superficie de falla supuesta.

= ngulo de friccin interna del suelo.

La cua ABC, tiende a deslizar hacia abajo y hacia fuera, por su propio peso, producindose por lo tanto, esfuerzos de

friccin en el respaldo, como tambin en el plano o lnea de falla. Considerando que los esfuerzos de friccin se desarrollan

por completo, la fuerza E resulta inclinada en un ngulo respecto a la normal al respaldo y F, un ngulo respecto a una

normal al plano de falla.

Si =0, se tiene el caso de un muro liso.

Si la falla se presenta entre suelo y suelo en la superficie adyacente al muro, que es como si ocurriese la falla entre

muro y suelo, por lo tanto con fines prcticos se toma como valor mximo de el ngulo . Luego los valores de estan

acotados as: 0

Experimentalmente se ha determinado que vara entre /2 y 2/3 para muros de concreto liso y para piedra rugosa es

igual a .

Analizando matemticamente las hiptesis de Coulomb, se llega a la siguiente formula para el clculo del empuje activo

mximo:

2

2

2

2

coscos1cos

2

1H

sensenCos

CosEa

Si el muro es de respaldo vertical, =0, luego:

2

2

2

coscos1

2

1H

sensenCos

CosEa

Si el relleno es horizontal, =0; luego


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2

2

2

cos1

2

1H

sensenCos

CosEa

Si no hay friccin entre muro y suelo =0; por lo tanto: 2

1

1

2

1H

sen

senEa

,

La condicin anterior raramente se da en la prctica, ya que siempre se desarrolla friccin entre el muro y el suelo. En el

caso activo, el valor positivo de y , significa que debido a la tendencia de la cua a deslizarse hacia abajo, se origina una

fuerza de friccin en la masa de suelo que se opone al deslizamiento de la cua. Generalmente se considera que y , son

positivos en el estado activo y negativos cuando ocurre el estado pasivo. Si la influencia de estructuras contiguas o

sobrecargas accidentales produce en el muro un cambio de estado, consecuentemente cambiaran de signo y , Ver figura

4.26

Aunque Coulomb, no consider el empuje pasivo, su teora se puede aplicar al estado pasivo, asignndole valores negativos

a y , y cambiando el signo del radical del denominador se obtiene:

2

2

2

2

coscos1cos

2

1H

sensenCos

CosEp

La formula anterior es aceptable para los casos corrientes de empuje pasivo, en los cuales la componente de la friccin

entre el muro y el suelo es hacia abajo, y /4. Cuando el valor de que /4 la superficie de deslizamiento se aleja

demasiado del plano supuesto en la teora de Coulomb y esto conduce a errores de importancia, al calcular el empuje

pasivo.

Si sobre la coronacin del terreno situado en el trasdos del muro acta una sobrecarga uniformemente distribuida, p, como

se muestra en la siguiente ecuacin:

W

F

F

Ep

W

+

=(90--)

Figura 4.26 Empuje Pasivo segn la teora de Coulomb

H/3

H

A

C

Ea

-

Ep

+

B


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)(

cos

CospKaHKaPa , es decir el empuje con variacin lineal del propio terreno habra que aadir un

empuje de valor constante, que es funcin de la propia sobrecarga, de la geometra y del coeficiente de empuje activo., ver

figura No 4.27.

Mtodo Grafico para el Clculo del Empuje Activo y Pasivo

Este mtodo Grafico es debido a Culmann y permite llegar fcilmente al valor del mximo empuje ejercido contra un muro

por un relleno arenoso contra un muro1. Por estar basado en los principios de Coulomb, es indispensable conocer el ngulo

del relleno y estimar el ngulo de friccin entre suelo y muro.

Figura No 4.27. Teora de Coulomb cuando existe sobrecarga distribuida

Procedimiento:

El desarrollo del mtodo grafico se ilustra en la figura 3.28

1. Dibjese a escala conveniente una seccin tentativa del muro con su relleno

2. Por el punto A de la base del muro trcese la lnea formando un ngulo con la horizontal; y la lnea a un ngulo

con la lnea

3. Escjanse diferentes planos hipotticos de deslizamiento ( Ab1, Ab2 , Ab3,. Etc)

4. Encuntrese el peso de cada cua formada, multiplicando el peso especifico por el rea de la cua correspondiente.

5. Sobre la lnea sern llevados a partir de A, los distintos pesos obtenidos, a una escala de fuerzas conveniente;

obtenindose as los puntos a1, a2 , a3, ..etc.

6. Por los puntos a1, a2 , a3.etc, trcese paralelas a la lnea hasta cortar en los puntos C1, C2, etc. a los respectivos

planos de falla supuestos. Los segmentos a1 C1 , a2 C2 , a3 C3. Etc. representan a la escala de fuerzas empleadas, los

empujes que producen cada una de las cuas asumidas.

En la figura 4.29 el tringulo Ac3a3 es semejante al polgono de fuerzas ABC. La distancia C3a3 es igual al empuje

correspondiente a la superficie de deslizamiento Ab3

7. Trcese una lnea que contenga los puntos C obtenidos, la curva que resulta se le llama lnea de empujes o lnea de

Culmann

1 La solucin grafica que se considera es aplicable a la teora de Coulomb


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8. Trcese una lnea paralela a la lnea y que sea tangente a la lnea de Culmann determinando as el punto de

tangencia c; el segmento ac representa el empuje E a la escala de fuerzas usada.

La lnea Ab, determina el plano de falla correspondiente al mximo empuje.

El punto de aplicacin del empuje se encuentra siguiendo el mtodo de Terzaghi, trazando por el centro de gravedad de la

cua critica una paralela al plano de falla Ab, la interseccin con el respaldo del muro dar el punto buscado ver figura 3.29

Mtodo Semiemprico de Terzaghi para el clculo del Empuje Contra un muro de Retencin.

El Dr. Karl Terzaghi basado en experiencias propias y en las teoras para el clculo del empuje del relleno sobre los muros

de retencin, propuso un mtodo prctico para la determinacin de dicho empuje.

Para la aplicacin del mtodo hay que considerar que los modelos de muros, en que Terzaghi estableci su mtodo no eran

mayores de siete metros de altura.

F

A

B b1 b2

b3 b b4

b5

a6 a5

a1 a2 a3

a a4

Lnea

Lnea

c1

c2 c3

c c4

c5

c6

E

n

F

E

W -

90- -

Figura 4.28 Mtodo Grafico de Culmann

b

A

B

D

E E

Figura 4.29 Punto de aplicacin del Empuje (Terzaghi)


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El primer paso consiste en clasificar el material de relleno dentro de uno de los cinco tipos de suelo, indicados a

continuacin:

1. Suelo Granular Grueso, sin contenido de partculas finas ( arena limpia o gravas).

2. Suelo Granular Grueso de baja permeabilidad, debido a su contenido de partculas de tamao de limo.

3. Suelo Residual con piedra, arena fina limosa y arcilla.

4. Arcilla blanda o muy blanda, limos orgnicos, arcillas limosas.

5. Arcilla Compacta o mediamente compacta, depositada en trozos y protegida de tal forma que la cantidad de agua que

penetre en el espacio entre los fragmentos durante las lluvias o inundaciones sea despreciable. Si esta condicin no se

cumple, la arcilla no debe usarse para el relleno del terrapln. Cuanto ms compacta es la arcilla, mayor es el peligro de

una rotura del muro como consecuencia de la infiltracin del agua.

El mtodo cubre cuatro casos muy frecuentes en la prctica, en cuanto a la forma de la superficie del relleno y al tipo de

sobrecarga actuando sobre el mismo.

a) La superficie del relleno es plana, inclinada o no lleva sobrecarga alguna.

b) La superficie del relleno forma un plano inclinado que va, desde la cresta del muro hasta cierta altura sobre la

cresta, donde se hace horizontal.

c) La superficie del relleno es horizontal y lleva una sobrecarga uniformemente distribuida.

d) La superficie del relleno es horizontal y lleva una sobrecarga lineal uniformemente distribuida, paralela a la cresta

del muro.

Caso a): El empuje puede calcularse utilizando las graficas de la figura 4.30 y 4.31. Primeramente se dibuja a escala la

seccin tentativa del muro, determinando la altura H del plano vertical, que pasa por el pie del muro y que corta a la

superficie del relleno. La componente horizontal del empuje total sobre dicho plano es igual a:2

2

1KhHEh y la

componente vertical es igual a: 2

2

1KvHEv .

Los valores de Kh y Kv se hallan indicados en la figura 4.31 para cada tipo de suelo en funcin del ngulo de

inclinacin de la superficie del relleno. Como el empuje del relleno aumenta linealmente con la profundidad a partir del

punto a , el punto de aplicacin del empuje total, se halla en el tercio inferior de H. Si el material del relleno est

constituido por fragmentos de arcilla ( tipo 5), el valor de H a utilizar en el calculo debe reducirse en 1.20 m y el empuje

resultante se considera actuando a una altura de 1/3 (H-1.20) por encima de la base del muro.

Caso b) Para esta condicin los valores de Kh y Kv, pueden obtenerse de las curvas de la figura 4.32 Obsrvese que en

estos grficos, los valores de Kh y Kv estn en funcin del tipo de relleno y de la relacin H1/H. El punto de aplicacin del

empuje resultante se halla a un tercio de H para rellenos del tipo 1 al tipo 4: para un material del tipo 5 la altura H se reduce

en 1.20 m y su punto de aplicacin se toma a 1/3(H-1.20) por encima de la base.

Caso c: El empuje unitario sobre el plano vertical ab se incrementa uniformemente en la cantidad Pq=Cq; donde C es un

coeficiente que depende del tipo de suelo y que viene dado en la tabla 4.1:


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Caso d: Para esta condicin el incremento del empuje horizontal debido a la sobrecarga, en el plano ab de la figura 3.33, es

Pq1=Cq1 por unidad de longitud de muro. El valor de C se obtiene de la tabla 3.1. El punto de aplicacin de la fuerza Pq1 se

obtiene, trazando desde el punto C de aplicacin de la fuerza q1 una recta que forme con la horizontal, un ngulo de 45. El

punto d1 de la interseccin de dicha recta con el respaldo del muro, es el punto de aplicacin de Pq1. Si el punto d1 est

situado por debajo de la base del muro, la influencia de la carga lineal sobre el empuje puede despreciarse; en cambio, si el

punto c est situado a la izquierda del plano vertical ab, la regla continua siendo vlida.

La carga lineal que produce tambin una presin vertical sobre el taln interior del muro. Se puede suponer que esta presin

p se halla uniformemente distribuida sobre la base ef de un tringulo equiltero de vrtice c, de manera que tiene el valor

de p=q/ef.

Para el clculo de la estabilidad del muro, se considerar solamente aquella parte de p que acta directamente sobre el

taln del mundo.

Este mtodo considera que los muros descansan sobre cimentaciones firmes, de manera que la friccin y la adherencia

entre muro y suelo est dirigida hacia abajo, produciendo un efecto estabilizante que reduce el empuje. Si el muro est

cimentado en terreno blando, el asentamiento del mismo con respecto al relleno, tiende a invertir el sentido de estas fuerzas,

aumentando considerablemente el empuje. Si el muro descansa sobre un material compresible, como arcilla blanda, los

valores del empuje calculados para los materiales del tipo 1, 2, 3 y 5 deben aumentarse en un cinco por ciento.

Figura 4.30 Punto de aplicacin del Empuje

H

Kv H2 Kv H2

Kh H2

Kv H2 H

Kv H2

Kh H2

H/3 H/3


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Tabla 4.1 Valores de C para los casos donde existe sobrecarga en el relleno

Tipo de suelo C

1

2

3

4

5

0.27

0.30

0.39

1.00

1.00

Figura No 4.31 Valores de kh y Kv, para el mtodo Semiempirico de Terzaghi


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Figura No 4.32 Valores de kh y Kv, para el mtodo Semiempirico de Terzaghi


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En el caso de existir sobrecargas concentradas se pueden usar las expresiones de la figura No 4.34

P=Cq q

d

q

f b

P

e e

45

60

60

Figura 3.33 Caso D, del Mtodo Semiempirico de Terzagui.


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Figura 4.34 Ecuaciones para calcular empujes cuando se tienen cargas puntuales o cargas lineales


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Teora de la Presin Lateral de Tierra sobre Muros de Retencin de Mononobe-Okabe.

La excesiva presin lateral dinmica del suelo sobre estructuras de retencin, resultante de los movimientos de sismo, han

causado grandes daos en el pasado, sobre todo en terrenos de topografa de alto riesgo ssmico; ya que este incremento

y/o declive a dichas estructuras.

Seed y Whitman (1970) indican que algunas de estas fallas pueden ser producidas por muchas causas, entre las cuales

mencionan las siguientes:

a) Incremento de la presin lateral del suelo tras el muro.

b) Reduccin de la presin del agua en el frente del muro ( en zonas donde el nivel fretico es superficial)

c) Licuefaccin del material de relleno.

Nazarian y Hadjan (1979) realizaron estudios tericos sobre la presin lateral dinmica de los suelos; en base a las cuales

dichas teoras pueden ser divididas en tres grandes categoras:

1. Solucin completamente plstica (esttica).

2. Soluciones basadas en la Teora de la onda Elstica.

3. Soluciones basadas en la Teora Elastoplstica y No lineal.

La teora de la presin Lateral Dinmica de la Tierra de Mononobe-Okabe, est basada en la solucin completamente

plstica, ampliamente utilizada por ingenieros encargados del diseo de muros de retencin.

PRESION ACTIVA DE TIERRA SOBRE MUROS DE RETENCION.

Coulomb 1776, deriv una ecuacin para la presin activa de la tierra en un muro de contencin, hecho con relleno seco sin

cohesin, la cual fue analizada anteriormente. La ecuacin para la presin activa del suelo de Coulomb, puede ser

modificada tomando en cuenta los coeficientes vertical y horizontal de la aceleracin inducida por un terremoto. Esto

generalmente es referido al anlisis de Mononobe (1929) y Okabe (1926).

La solucin Mononobe-Okabe, est basada en las siguientes suposiciones:

La falla en el terreno tiene lugar a lo largo del plano BC tal como es el mostrado en la figura 4.35.

El movimiento del muro es suficiente para producir un mnimo de presin activa.

La fuerza de corte de un terreno de relleno seco puede ser dada por la ecuacin:

tgC

En la falla, toda la fuerza de corte a lo largo del plano de falla (plano BC, figura 4.35) es movilizada.

El terreno tras el muro de retencin se comportar como un cuerpo rgido.

En la figura 4.35 se muestran adems las fuerzas consideradas en la solucin de Mononobe-Okabe. La lnea AB es la cara

posterior de un muro de retencin y ABC es la cua de terreno que deber fallar. Las fuerzas en la cua de falla por unidad

de longitud del muro son:

W= Peso de la Cua

E= Fuerza activa

F= resultante de las fuerzas de corte y normal a lo largo del plano de falla.


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KhW y KvW, fuerzas de inercia en las direcciones horizontal y vertical respectivamente, donde:

Kh= Componente horizontal de la aceleracin del terremoto

Kv= Componente vertical de aceleracin del terremoto.

g = Es la aceleracin de la gravedad

La fuerza activa determinada por el anlisis de la cua descrita anteriormente, puede ser expresada por:

KaeKvHEae 12

1 2

Donde Kae, es el coeficiente de la presin activa del suelo con efecto de terremoto:

2

2

2

cos

cos cos cos 1cos cos

Kae

sen sen

1tan

1

Kh

Kv

,

La ecuacin de Kae, generalmente es referida como la ecuacin de la presin activa del suelo de Mononobe-Okabe

En el caso en que -- < 0; se asumira (--) = 0

Efecto de varios parmetros en el valor del Coeficiente de Presin Activa de Tierra.

1. El efecto del ngulo de friccin del muro () para la mayora de los casos prcticos de diseo, donde los

valores de () varan de 0 a , el efecto del ngulo de friccin del muro en el valor de Kae es pequeo.

2. Un pequeo error en la toma del valor del ngulo de friccin interna del suelo (), puede ser un gran error en la

estimacin del valor de Eae.

F

n

W

Eae

F

Eac

W

Derivacin de la ecuacin de Mononobe-Okabe

Df

H

A

C

Kv W

Kh W

B

Kv W


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3. El valor de Kae se incrementa con un incremento de la inclinacin del relleno.

Punto de aplicacin del Empuje Activo Dinmico.

La solucin original de Mononobe-Okabe para la fuerza activa en estructuras de retencin implica que la fuerza resultante

puede actuar a una distancia de 1/3H medida desde la base del muro, similar que en el caso esttico. Sin embargo, pruebas

de laboratorio realizadas indican que la presin resultante Eac acta a una distancia un poco ms grande de 1/3H.

Prakash y Basavanna (1969), realizaron un anlisis terico para la determinacin de la ubicacin del punto de aplicacin de

la fuerza resultante basados en un esquema de equilibrio, su estudio mostr que H variaba para distintas condiciones del

suelo y forma geomtrica del terrapln.

Seed y Whitman 1969, tomando en consideracin factores prcticos de diseo, propusieron un procedimiento para la

determinacin de la lnea de accin de Eae, en donde se define H como:

Eae

HEaeHEaH

6.0*3/1*

Donde: Eae= Eae-Ea

Ea= Presin Activa de Tierra de Coulomb.

Algo importante es que las formulas de Mononobe-Okabe no consideran cohesin y La norma tcnica para Diseo de

cimentaciones y estabilidad de taludes de estructuras de concreto reforzado de El Salvador (1997) no establece nada con

respecto a esto, entonces segn consulta con personal entendido en la materia recomendaron emplear frmulas Japonesas

y el empuje seria

La que acta a la misma altura que la de Mononobe-Okabe y q es un porcentaje de la carga puede estar entre (0.1 a 0.15)

de la carga.

Por el empuje pasivo que es calculado por Mononobe-Okabe se toman las mismas consideraciones que para el activo por lo

tanto se determina de la siguiente manera:

4.36


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donde el coeficiente de empuje pasivo ssmico se expresa como sigue:

2

2

2

coscos1coscos

sensenCos

CosKpe

Observaciones:

De la ecuacin para calcular el coeficiente Kae, debe cumplir que el contenido del radical debe ser positivo para que una

solucin real sea posible y, por ello, es necesario:

v

h

K

Karc

1tan ; Esta condicin tambin puede ser til para especificar un limite al coeficiente ssmico

horizontal; la condicin limite es: tan)1( vh KK

capitulo iv calculo de empujes 2015

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