procesos o modelos prÁcticos para el desarrollo de...

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO

DEL ESTADO DE MICHOACÁN

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

MAESTRIA EN MATEMATICA EDUCATIVA

PROCESOS O MODELOS PRÁCTICOS PARA ELDESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS EN EL NIVEL DE

EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

TESIS

MAESTRO EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

OIRAM CHÁVEZ MARTÍNEZ

PRESENTA:

DR. JOAQUIN ESTEVEZ DELGADODIRECTOR DE TESIS:

MORELIA, MICHOACÁN, MÉXICO, ENERO DE 2008.

OIRAM CHÁVEZ MARTINEZ

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 1

INDICE

RESUMEN 3

ABSTRACT 4 I.- INTRODUCCIÓN 5 JUSTIFICACIÓN 6 OBJETIVOS 6 HIPÓTESIS 7 II.- MARCO REFERENCIAL. 8

2.1.1.-Teorías de PIAGET. 8 2.1.2.-Conceptos básicos de las teorías de PIAGET. 8 2.1.3.-Tipos de conocimiento. 9 2.1.4.-Teoría del conocimiento. 12 2.1.5.-Teorías científicas y sus tipos. 13 2.1.6.-¿ Por qué la enseñanza de la Matemática es tarea difícil?. 15 III.- MARCO TEÓRICO 17 3.1.- LA ECUACIÓN COMO MODELO MATEMÁTICO. 17 3.1.1.- Ecuación polinomia de grado (n) . 22 3.2.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 23 3.2.1.- Principio de transposición de términos. 23 3.2.2.- Tipos de ecuaciones. 24 3.2.3.- Principio fundamental de las ecuaciones. 25 3.2.4.- Clasificación de las ecuaciones. 25 3.2.5.- Métodos para la resolución de ecuaciones de primer grado con una 27 incógnita. 3.2.6.- Métodos para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. 31 3.3.- ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA (Cuadráticas). 42 3.3.1.- Clasificación de las ecuaciones de 2º grado con una incógnita. 42 3.3.2.- Métodos de resolución de las ecuaciones de 2º grado con una incógnita. 43 3.3.3.- Método para la resolución de una ecuación de 2º grado completa. 43 3.3.4.- Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado. 47

3.3.5.- Métodos de resolución de las ecuaciones de 2º grado incompletas. 51 3.4.- DESIGUALDADES E INTERVALOS. 55 3.4.1.- Generalidades. 55 3.4.2.- Representación geométrica de los números reales. 56 3.4.3.- Valor absoluto de un número real. 57 3.4.4.- Constantes y variables. 59



3.4.5.- Desigualdades o inecuaciones. 61

3.4.6.- Propiedades de las desigualdades. 63 3.4.7.- Intervalos. 66 3.4.8.- Intervalos semiabiertos. 68 3.4.9.- Resolución de ecuaciones. 73 3.4.10.- Desigualdades polinomiales. 78 3.4.11.- Desigualdades con valor absoluto. 81 3.5.- POTENCIACIÓN. 84 3.6.- EXPONENTES. 86 3.6.1.- Propiedades o leyes de los exponentes. 86 3.6.2.- Reglas de signos para las potencias. 91 3.6.3.- Exponentes fraccionarios. 92 3.7.-RADICALES. 96 3.7.1.- Elementos de un radical. 98 3.7.2.- Leyes de los radicales. 99 3.7.3.- Radicales semejantes. 102 3.7.4.- Operaciones con radicales. 103 3.7.5.- Racionalización. 107 3.8.- LA RELACIÓN COMO MODELO MATEMÁTICO. 109 3.9.- FUNCIONES. 120 3.10.- LOGARITMOS. 128 3.10.1.- Logaritmos de números enteros con decimales. 130 3.10.2.- Logaritmos de números decimales. 131

3.10.3.- Propiedades de los logaritmos. 133 3.10.4.- Ecuaciones. 140 IV.- LA PRUEBA DE LA MEDIANA. 144 V.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 149 VI.- SÍMBOLOS DEL LENGUAJE MATEMÁTICO. 151 VII.- REFERENCIAS. 152 VIII.- ANEXOS. 153

ANEXO I.- Examen Diagnóstico. 153 ANEXO II.- Resultados del examen diagnóstico con el Método “Tradicional “. 155 ANEXO III.-Resultados del examen diagnóstico con la aplicación del “Modelo“. 157



RESUMEN

¿Te han gustado las matemáticas que has estudiado hasta ahora? ¿Por qué? Las respuestas a la primera pregunta varían mucho, pero la mayoría de las personas responden: “No, las matemáticas son horribles”. Serán pocas las personas que responderán con un “Si”, pero entre éstas habrá algunas para quienes las que las matemáticas son lo más bello que existe. La segunda pregunta es mucho más difícil de contestar. Los que odian las matemáticas generalmente dicen que es porque son muy “difíciles”, porque “no les ven sentido”, etcétera. Los que sí tienen gusto por las matemáticas tienen aún más dificultad de responderla. En parte es porque, al contrario de los primeros, les parecen más o menos “fáciles” y las entienden1 . A todo el mundo le gusta “entender”: entender cómo funciona un automóvil y poder manejarlo bien y componerlo; entender las reglas y las habilidades necesarias para jugar al futbol, y poder jugarlo bien y opinar sobre la actuación de un equipo o la decisión de un árbitro; entender los principios de la música y poder tocar un instrumento o apreciar mejor una interpretación; entender de negocios, de leyes y reglamentos; entender la psicología y los problemas de los amigos así como sus relaciones mutuas; entender de historia, de política, etcétera. Lo mismo que con cualquier otra facultad del ser humano, la capacidad de entender y, en particular, de entender “matemáticamente” las cosas y de entender las mismas matemáticas, es algo que se puede desarrollar en cualquier persona. Pero para lograrlo es necesario abrirle las puertas, motivarla, guiar sus primeros pasos e indicarle los principios elementales de las matemáticas. Hay algunas personas que no necesitan de esto, pero eso no quiere decir que, de alguna forma, alguien no les abrió las puertas anteriormente, o que en el medio en que crecieron fue una cosa tan natural que la absorbieron sin darse cuenta. La ciencia, y en particular las matemáticas, nos abren un campo enorme de cosas que podemos entender y disfrutar, y nos permiten entender mejor las cosas que están a nuestro alrededor, crear cosas nuevas y cambiar las cosas viejas que ya no funcionan. Todos los problemas de un individuo o de la sociedad se pueden resolver mejor de una manera científica. No sólo los problemas del átomo o de los viajes espaciales, sino también los problemas diarios que se le presentan al hombre en su relación con la naturaleza, con sus compañeros o con la sociedad. Pero para que este método científico pueda ser aplicado es necesario conocer lo que hacen las ciencias, dominar sus principios más elementales. Las matemáticas juegan un papel muy importante dentro de este método científico de atacar los problemas, por lo cual es necesario que todo el mundo desarrolle su capacidad de entender y disfrutar de las matemáticas, la forma en que se relacionan con los problemas de la vida real y cómo ayudan a resolverlos. (1) De Medrano López Santiago. Modelos Matemáticos. Primera Edición, 1972 s. l. Editorial Trillas, S. A. 1981. México 13. D.F.



ABSTRACT

Have you liked the Mathematics that you have studied until now? Why? The answers to the first question are very different, but most of the people answer: “No, the mathematics are horrible”. There will be few people that will answer with a “Si”, but among them there will be some people to whom mathematics are the most beautiful thing that exist. The second question is much more difficult to answer. People who hate mathematics generally say that it is because they are very “difficult”, because “they don’t see them sense”. For the people who like mathematics it is more difficult to answer the question. Partly it is because, opposite to the first people, they think they are more or less “easy” and they understand them1 . Everybody likes “to understand”: understand how it works a car and how to be able to drive it well and fix it; understand the rules and the necessary abilities to play soccer, and to be able to play it well and give an opinion about the acting of a team or the decision of a referee; to understand the principles of the music and to be able to play an instrument or to appreciate better an interpretation; to understand of business, law and regulations; to understand of psychology and the problems of the friends as well as their relations among them; to understand of history, politics, etc. The same happens with any other ability of the human being, the capacity of understanding and, particularly, to understand “mathematically” the things and to understand the same mathematics, it is something that can be developed in any person. But to be able to reach it, it is necessary to open the doors, to motivate, to guide him her in his her first steps and to indicate the elemental principles of the mathematics. There are some people that do not need mathematics, but that does not mean that, in any way, somebody did not open the doors before, or that in the environment in which they grew was a natural thing which was absorbed without noticing about it. The science, particularly mathematics, open an enormous field of things that we can understand and enjoy, and that let us understand better the things that are around us, to create new things and change the old things that do not work anymore. All the problems from a single person or a society can be solved better in a scientific way. Not only the problems of the atom or the space trips, but also the everyday problems that are presented to the man in his relation with nature, with his partners or with the society. But for this scientific method to be applied, it is necessary to know what the sciences do, to dominate its most elemental principles. The mathematics play a very important role inside this scientific method to attack the problems, therefore it is necessary that everybody develop his her ability to understand and enjoy mathematics, the way in which mathematics are related with the real life problems and how they help to solve them. (1) De Medrano López Santiago. Mathematicals Models.First Edition, 1972 s. l. Trillas Editorial, S. A. 1981. México 13. D.F.



INTRODUCCIÓN La investigación científica es esencialmente como cualquier tipo de investigación, sólo que más rigurosa y cuidadosamente realizada. Se puede definir como un tipo de investigación “sistemática, controlada, empírica y crítica de proposiciones hipotéticas sobre las presumidas relaciones entre fenómenos naturales” (Kerlinger, 1975, p. 11) La investigación puede cumplir dos propósitos fundamentales: a) Producir conocimiento y teorías (investigación básica) y b) Resolver problemas prácticos (investigación aplicada). Gracias a estos dos tipos de investigación la humanidad ha evolucionado. La investigación es la herramienta para conocer lo que nos rodea y su carácter es universal.(2) La investigación científica es un proceso, compuesto por una serie de etapas, las cuales se derivan una de la otra. Por ello, al llevar una investigación, no podemos omitir etapas ni alterar su orden, pues de lo contrario la investigación resultante no es valida o confiable, deja de ser científica. La característica principal de la didáctica de las matemáticas es la de su extrema complejidad. Como describe Steiner, esta disciplina comprende “ el complejo fenómeno de la matemática en su desarrollo histórico y actual y su interrelación con otras ciencias, áreas prácticas, tecnología y cultura; la estructura compleja de la enseñanza y la escolaridad dentro de nuestra sociedad; las condiciones y factores altamente diferenciados en el desarrollo cognitivo y social del alumno” (Steiner, 1984, p. 16) Apegados al rigor científico requerido en las aéreas como la de matemática educativa proponemos y evaluamos un modelo didáctico “Proceso o modelo práctico para el desarrollo de las matemáticas.” mismo que fue aplicado a alumnos del nivel medio superior. (2) Toledo Bárcenas Nabor. Evaluación de los diseños de investigación utilizando la computadora. 5º Encuentro Universitario de Actualización Docente. Impartido del 4 al 8 de Agosto del 2003. pag. 1



JUSTIFICACIÓN La educación escolar es un proyecto social que toma cuerpo y se desarrolla en una institución que tan bien es social, la escuela. Esto obliga, por una parte, a realizar una lectura social de fenómenos como el aprendizaje, y por otra parte se necesita realizar una explicación de cómo afecta dicho aprendizaje al desarrollo humano, entendiéndolo como un proceso de enriquecimiento cultural personal. Por esto necesitamos teorías que no opongan cultura, aprendizaje, enseñanza y desarrollo, que no ignoren sus vinculaciones, sino que las integren en una explicación articulada y que además expliquen como todo ello se produce dentro del marco espacial de la escuela. Esto es lo que pretende la concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza OBJETIVOS La concepción constructivista ofrece pues al profesor un marco para analizar y fundamentar muchas de las decisiones que toma para planificar y encauzar el proceso de enseñanza y además le proporciona algunos criterios o indicadores que le permiten llegar a comprender lo que ocurre en el aula y le permitan corregir o cambiar el rumbo de los acontecimientos. ( Coll, César) Ausubel consideraba que para que se diera un aprendizaje significativo era necesario que el alumno manifestara una disposición hacia el mismo. Esta disposición la dividía en dos categorías que el llamaba enfoque: Enfoque profundo: Intención de comprender, fuerte interacción con el contenido; relación de nuevas ideas con el conocimiento anterior; relación de conceptos con la experiencia cotidiana; relación de datos con conclusiones; examen de la lógica de los argumentos. Enfoque superficial: Intención de cumplir con los requisitos de la tarea; memoriza la información necesaria para pruebas o exámenes; encara la tarea como imposición externa; ausencia de reflexión acerca de los propósitos o estrategia; foco en elementos sueltos sin integración; no distingue principios a partir de ejemplos. Considerando el punto de vista de Ausubel y adoptando el enfoque profundo nuestro objetivo principal es la propuesta de “Procesos o modelos prácticos para el desarrollo de las matemáticas en el nivel de educación medio superior” que permita al estudiante incrementar su nivel de conceptos y operaciones de algebra elemental apegados al modelo de aprendizaje significativo mediante la relación con los conocimientos previos.



HIPOTESIS En síntesis, el enfoque adoptado por nuestros alumnos no depende de una cuestión de suerte, sino del producto de diversas variables, algunas de las cuales tiene que ver con lo que les proponemos que hagan y otras con los medios con que nos dotamos para evaluarlos. Esta predisposición de los alumnos a la realización de las tareas ha sido relacionada, frecuentemente, con la motivación tanto en su vertiente intrínseca como extrínseca, que a su vez aparecen como algo que posee el alumno y que hace referencia a su universo personal, lo que nos ayuda a explicar nada, puesto que significa que, el que se encuentre motivado no depende únicamente de él. No nos aporta ninguna luz sobre el hecho de que unas veces afronte una tarea con una intención u otra, ni de que esto este íntimamente relacionado con aspectos de carácter emocional que dependen directamente de capacidades de equilibrio persona, es decir del autoconcepto. Lo que si se puede afirmar es que cuando aprendemos, aprendemos de las dos vertientes, por una parte los contenidos y por otra que somos capaces de aprender, pero cuando no aprendemos, lo que hacemos es no asimilar los contenidos, pero si que asimilamos la parte que no somos capaces de aprender y esto afecta a nuestro autoconcepto, aunque no tiene el porque hacerlo de manera negativa.



II.- MARCO REFERENCIAL

2.1.1.-TEORÍAS DE PIAGET

En 1955 Piaget creó el Centro internacional de Epistemología Genética que dirigió hasta su muerte. Sus trabajos de Psicología genética y de Epistemología buscaban una respuesta a la pregunta fundamental de la construcción del conocimiento. Las distintas investigaciones llevadas a cabo en el dominio del pensamiento infantil, le permitieron poner en evidencia que la lógica del niño no solamente se construye progresivamente, siguiendo sus propias leyes sino que además se desarrolla a lo largo de la vida pasando por distintas etapas antes de alcanzar el nivel adulto 2 . La contribución esencial de Piaget al conocimiento fue de haber demostrado que el niño tiene maneras de pensar específicas que lo diferencian del adulto. JEAN PIAGET obtuvo más de treinta doctorados honoris causa de distintas Universidades del mundo y numerosos premios. 2.1.2.- CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS TEORÍAS DE PIAGET.

• Esquema • Estructura • Organización • Adaptación • Asimilación • Acomodación • Equilibrio

TEORÍA COGNITIVA: División del Desarrollo Cognitivo: La teoría de PIAGET descubre los estadios de desarrollo cognitivo desde la infancia a la adolescencia: cómo las estructuras psicológicas se desarrollan a partir de los reflejos innatos, se organizan durante el segundo año de vida como modelos de pensamiento, y se desarrollan durante la infancia y la adolescencia en complejas estructuras intelectuales que caracterizan la vida adulta. PIAGET divide el desarrollo cognitivo en cuatro periodos importantes:

• Etapa Sensoriomotora • Etapa Preoperacional • Etapa de las Operaciones Concretas • Etapa de las Operaciones Formales



2.1.3.- TIPOS DE CONOCIMIENTO. Piaget distingue tres tipos de conocimiento que el sujeto puede poseer, éstos son los siguientes: físico, lógico-matemático y social. El conocimiento físico es el que pertenece a los objetos del mundo natural; se refiere básicamente al que está incorporado por abstracción empírica, en los objetos. La fuente de este razonamiento está en los objetos (por ejemplo la dureza de un cuerpo, el peso, la rugosidad, el sonido que produce, el sabor, la longitud, etcétera). Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc. El conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos el “tres”, éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos. El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático “surge de una abstracción reflexiva”, ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. El conocimiento social, puede ser dividido en convencional y no convencional. El social convencional, es producto del consenso de un grupo social y la fuente de éste conocimiento está en los otros (amigos, padres, maestros, etc.). Algunos ejemplos serían: que los domingos no se va a la escuela, que no hay que hacer ruido en un examen, etc. El conocimiento social no convencional, sería aquel referido a nociones o representaciones sociales y que es construido y apropiado por el sujeto. Ejemplos de este tipo serían: noción de rico-pobre, noción de ganancia, noción de trabajo, representación de autoridad, etc. Los tres tipos de conocimiento interactúan entre, sí y según Piaget, el lógico-matemático (armazones del sistema cognitivo: estructuras y esquemas) juega un papel preponderante en tanto que sin él los conocimientos físico y social no se podrían incorporar o asimilar. Finalmente hay que señalar que, de acuerdo con Piaget, el razonamiento lógico-matemático no puede ser enseñado. Se puede concluir que a medida que el niño tiene contacto con los objetos del medio (conocimiento físico) y comparte sus experiencias con otras personas (conocimiento social), mejor será estructuración del conocimiento lógico-matemático.



La lógica, por ejemplo, no es simplemente un sistema de notaciones inherentes al lenguaje, sino que consiste en un sistema de operaciones como clasificar, seriar, poner en correspondencia, etc. Es decir, se pone en acción la teoría asimilada. Conocer un objeto, para Piaget, implica incorporarlo a los sistemas de acción y esto es válido tanto para conductas sensorio-motrices hasta combinaciones lógicas-matemáticas. El lenguaje es necesariamente interindividual y esta constituido por un sistema de signos ( = significantes “arbitrarios” o convencionales). Pero, al lado del lenguaje, el niño pequeño, que esta menos socializado que después de los 7- 8 años, y sobre todo que el propio adulto, necesita de otro sistema de significantes, más individuales y más “motivados”: éstos son los símbolos, cuyas formas más corrientes en el niño pequeño se encuentran en el juego simbólico o juego de imaginación.(3) Por ejemplo, la primera forma de juego simbólico, es la representación independiente del lenguaje pero ligada a un símbolo lúcido, el cual consiste en gestos apropiados que imitan a los que generalmente acompañan una acción determinada: ahora bien, la acción así representada no tiene nada de presente o actual y se refiere a un contexto o a una situación simplemente evocados, lo cual constituye la marca de la “representación”. Pero el juego simbólico no es la única forma del simbolismo individual. Podemos citar una segunda forma, que se indica igualmente por esa misma época y desempeña también un importante papel en la génesis de la representación: se trata de la “imitación diferida” o imitación que se produce por primera vez en ausencia del modelo correspondiente. En tercer lugar, podemos llegar a clasificar como símbolos individuales toda la imaginería mental. La imagen, como sabemos hoy, no es ni un elemento del pensamiento mismo ni una continuación directa de la percepción: es un símbolo del objeto, que no se manifiesta aún al nivel de la inteligencia sensorio-motriz ( de lo contrario, la solución de varios problemas prácticos sería mucho más fácil). Así los tres tipos de símbolos individuales que acabamos de citar (podrían añadírseles los símbolos oníricos, pero ello requeriría una discusión demasiado larga) son derivados de la imitación. Ésta es, pues, una de las formas de paso posibles entre las conductas sensorio-motrices y las conductas representativas, y es naturalmente independiente del lenguaje, pese a que sirve precisamente a la adquisición de este último. Lo primero que enseñan los estudios acerca de la formación de las operaciones lógicas en el niño es que éstas no se constituyen en bloque, sino que se elaboran en dos etapas sucesivas. Las operaciones proposicionales (lógica de proposiciones), con sus estructuras de conjuntos particulares, que son las del retículo (lattice) y de un grupo de cuatro transformaciones (identidad, inversión, reciprocidad y correlatividad) no aparecen, en efecto, hasta alrededor de los 11-12 años y no se organizan sistemáticamente hasta el período que va de los 12 a los 15 años. En cambio, desde los 7-8 años, vemos constituirse sistemas de operaciones lógicas que no interesan aún a las proposiciones como tales, sino a los objetos mismos, sus clases y sus relaciones, y se organizan sólo a raíz de manipulaciones reales o imaginarias de dichos objetos. Este primer conjunto de operaciones, que llamaremos las “operaciones concretas”, consiste puramente en operaciones aditivas y multiplicativas de clases y relaciones: clasificaciones, seriaciones, correspondencias, etc.



El problema de las relaciones entre el lenguaje y el pensamiento puede plantearse entonces, a propósito de estas operaciones concretas, con los siguientes términos: ¿ Es el lenguaje la única fuente de clasificaciones, las seriaciones, etc., que caracterizan la forma de pensamiento ligada a dichas operaciones, o bien, por el contrario, son éstas relativamente independientes del lenguaje? He aquí un ejemplo muy simplificado: todos los Pájaros (clase A) son Animales (clase B), pero todos los Animales no son Pájaros, ya que existen Animales no-Pájaros (clase A´ ). El problema está entonces en saber si las operaciones A + A´ = B y A = B – A´ proviene sólo del lenguaje, que permite agrupar los objetos en clases A, A´ y B, o si estas operaciones tienen raíces profundas que el lenguaje. Ante todo hay que señalar que el equilibrio no es un carácter extrínseco o añadido, sino una propiedad perfectamente intrínseca constitutiva de la vida orgánica y mental. Podría, pues, argüirse que la explicación por el equilibrio cubre sólo un campo muy limitado, que reduce de hecho al de las estructuras lógico-matemáticas. Estas últimas, una vez construidas, permanecen, en efecto, estables durante toda la vida: por ejemplo, la sucesión de los números enteros, las estructuras lógicas de clases, de relaciones y proposiciones no se modifican ya en el sujeto, pese a que pueden ser integradas en estructuras más complejas; con sus raíces en la vida mental y sus frutos en la vida social, constituyen, una vez elaboradas, modelos sorprendentes de equilibrio en la historia como en el desarrollo individual. Podría suponerse entonces que la noción de equilibrio cognoscitivo no se aplica más que a ciertos casos particulares, por oposición a la gran masa de los procesos intelectuales en perpetuo desequilibrio (ya que cada problema, teórico o práctico, manifiesta la existencia de una laguna, es decir, de un desequilibrio). Ahora bien, existen dos interpretaciones psicológicas posibles de las estructuras lógico-matemáticas. Según la primera (que es de inspiración empirista), estas estructuras proceden de coordinaciones creadas posteriormente y aplicadas a contenidos descubiertos independientemente de ellas: en primer lugar, se elaboraría un conjunto de conocimientos debidos a la percepción, etc., cuya adquisición no comportaría el ejercicio de ninguna lógica; después de lo cual, y en segundo lugar, intervendrían las coordinaciones lógico-matemáticas de dichos contenidos previos. De acuerdo con la segunda interpretación (que es de inspiración racionalista o dialéctica), sería imposible descubrir ningún contenido sin una estructuración que comportara un isomorfismo al menos parcial con la lógica: en este caso, las estructuras lógico-matemáticas, al igual que las estructuras prelógicas y prematemáticas que son los esbozos de aquellas, constituirían instrumentos de adquisición de los conocimientos, y no sólo coordinaciones posteriores. (3) Piaget Jean. Seis estudios de psicológia. 1964, Editions Gonthier. 1983 y 1986, Editorial Ariel, S. A.- Barcelona, España. Editorial Planeta Mexicana, S.A. de C.V. paginas 127-150.



Así en este contexto, nos propusimos realizar una investigación sobre “Procesos o

modelos prácticos para el desarrollo de las matemáticas en el nivel de educación medio superior.” con los alumnos de primer semestre de las secciones 06 y 25 del tronco común en la Escuela Preparatoria “JOSE MARIA MORELOS Y PAVÓN” No.3 de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo de Morelia, Mich. 2.1.4.- TEÓRIA DEL CONOCIMIENTO. La teoría del conocimiento es la parte de la filosofía que estudia la naturaleza, origen y valor del conocimiento. Se usa también la denominación de epistemología para esta disciplina, si bien algunos autores como Bunge (1985a) identifican la epistemología con la filosofía de la ciencia: “ rama de la filosofía que estudia la investigación científica y su producto, el conocimiento científico”.(4) Otro modelo de las relaciones de la Educación Matemática con otras disciplinas es propuesto por Higginson (1980), quien considera a la matemática, psicología, sociología, y filosofía como las cuatro disciplinas fundacionales de ésta. Visualiza la Educación Matemática en términos de las interacciones entre los distintos elementos del tetraedro cuyas caras son dichas cuatro disciplinas (Figura 1). (6)

Figura 1. Modelo tetraédrico de Higginson para la Educación Matemática

Estas distintas dimensiones de la Educación Matemática asumen las preguntas básicas que se plantean en nuestro campo:

Qué enseñar (matemáticas) Por qué (filosofía) A quién y donde (sociología) Cuando y cómo (psicología)



En el trabajo citado Higginson describe, asimismo, las aplicaciones del modelo para clarificar aspectos tan fundamentales como:

La comprensión de posturas tradicionales sobre la enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas; La comprensión de las causas que han producido los cambios curriculares en el pasado

y la previsión de los cambios futuros; El cambio de concepciones sobre la investigación y sobre la preparación de

profesores. Como afirma Mosterín (1987, p. 146), “gracias a las teorías introducimos orden conceptual en el caos de un mundo confuso e informe, reducimos el cambio a fórmula, suministramos a la historia (que sin teoría correría el riesgo de perderse en la maraña de los datos) instrumentos de extrapolación y explicación y, en definitiva, entendemos y dominamos el mundo aunque sea con un entendimiento y un dominio siempre inseguros y problemáticos”. Este mismo autor nos proporciona una sugestiva metáfora que nos ayuda a no atribuir a las teorías una verdadera realidad independiente de nosotros mismos: “Somos como las arañas, y las teorías son como redes o telas de araña con que tratamos de captar y capturar el mundo. No hay que confundir estas redes o telas de araña con el mundo real, pero, sin ellas ¡cuando más alejados estaríamos de poder captarlo y en último término, gozarlo!. (7) 2.1.5.- TEORÍAS CIENTÍFICAS Y SUS TIPOS. Con frecuencia el término teoría se aplica con distintos sentidos y grados de generalidad. El filósofo de la ciencia E. Nagel diferencia cuatro sentidos para el término teoría. En su significado más general, una teoría es un sistema de enunciados, frecuentemente universales y relativos a distintos aspectos de fenómenos complejos, capaces de explicar algunas regularidades empíricamente establecidas a partir de sucesos observados y, en muchos casos, de predecir con distintos grados de precisión cierta clase de ocurrencias individuales. Ejemplos de esta clase de teorías serían la mecánica de Newton, la teoría de la evolución, etc. Un segundo sentido de teoría se refiere a “una ley o generalización que afirma alguna relación de dependencia de variables” que puede adoptar una forma estrictamente universal o tener un alcance estadístico. Como ejemplo Nagel cita la ley de Boyle. Una tercera acepción no se refiere a un conjunto de enunciados sistemáticamente integrados ni a una única generalización estrictamente formada, sino más bien a la identificación de “una clase de factores o variables que por distintas razones se suponen constituyen los determinantes principales de los fenómenos que se investigan en una disciplina determinada. La teoría económica de Keynes se puede citar como ejemplo. El cuarto sentido atribuido por Nagel a una teoría se refiere a cualquier análisis más o menos sistemático de un conjunto de conceptos relacionados. Este es el caso de la teoría del conocimiento en filosofía.



Burkhardt (1988) hace una distinción interesante entre las teorías que denominan fenomenológicas y teorías fundamentales. Las teorías fenomenológicas son las que surgen directamente de los datos, constituyendo un modelo descriptivo de una porción particular de fenómenos. Se caracterizan por el rango limitado de objetos a los que se aplican, pero son detalladas y especificas en sus descripciones y perdiciones, resultando con frecuencia de utilidad en el diseño del currículo y en la comprensión de los fenómenos que ocurren por su proximidad a la realidad.(5) Termina Burkhardt su reflexión sobre las teorías con una pregunta crucial para nuestro problema: ¿Existe alguna expectativa de una teoría fundamental de la Educación Matemática?. A pesar de que ve actualmente esta posibilidad como remota y no se considera capacitado para analizar los intentos actuales, personalmente intuimos el inicio de un camino en este sentido en los esfuerzos teóricos que se están llevando a cabo por la escuela francesa de Didáctica de la Matemática. La figura (2) resume el proceso de construcción del conocimiento científico según Romberg (1988).

Figura 2. Componentes en la construcción de teorías según Romberg La raíz del proceso de teorización está en los fenómenos del mundo real que interesa estudiar, en nuestro caso, los relativos a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en contextos escolares y sus interdependencias y relaciones con el sistema social. La formulación del problema implica la identificación de variables claves, usando un vocabulario y un conjunto de enunciados causales sobre el fenómeno. Estos enunciados se organizan con frecuencia en términos de modelos causales. La naturaleza esencialmente estocástica de los fenómenos educativos obligará al empleo de métodos estadísticos para poder adoptar una decisión acerca de la concordancia de los datos con el modelo. El esquema de Romberg corresponde básicamente al enfoque clásico o confirmatorio de la investigación, que ha estado generalmente asociado con los métodos cuantitativos. A veces la complejidad del problema hace necesario, una vez formulado éste y previamente a la construcción de un modelo, una toma de datos, que se analizan desde todas las perspectivas posibles en un enfoque exploratorio, buscando teorías que los expliquen. Generalmente este enfoque se emplea en la investigación cualitativa.(8)

Fenómenos del mundo real

Formulación del problema Modelo Predicción

Decisión Datos



2.1.6.- ¿POR QUÉ LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA ES TAREA DIFÍCIL? La matemática es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.

Por otra parte la matemática misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje sencillo.

El otro miembro del binomio educación-matemática, no es tampoco nada simple. La

educación ha de hacer necesariamente referencia a lo más profundo de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas.

La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que los teóricos de la

educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica rápidamente mutante de la situación global venga exigiendo.

La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio.

Esto no es necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es la característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.



En la educación matemática a nivel internacional apenas se habrían producido cambios

de consideración desde principios de siglo hasta los años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de renovación en educación matemática, gracias al interés inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemático alemán Félix Klein, con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre matemática elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro país ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al castellano.

(4) Bunge, M. (1985a). “Epistemología”. Barcelona: Ariel. (5) Burkhardt, H. (1988). The roles of theory in a “sistems” approach to mathematical education. Zentralblatt Fur Didaktik der Mathematik, n.5, pp. 174-177. (6) Higginson, W. (1980). On the foundations of mathematics education. “For the Learning df mathematics”, Vol. 1, n.2, pp. 3-7. (7) Mosterín, J. (1987). “Conceptos y teorías en la ciencia”. Madrid: Alianza Universidad. (8) Romberg, T. (1988). Necessary ingredients for a Theory of Mathematics Education. En: H.G. Steiner y A. Vermandel (Eds), “Fondations and Methodology of the discipline Mathematics Education”. Procceding 2nd TME-Conference. Bielefeld-Antwerp: Dept of Didactions and Criticism Antwerp Univ. & IDM.



III.- MARCO TEÓRICO

3.1.- LA ECUACIÓN COMO MODELO MATEMÁTICO.

Ejemplos de no proposiciones:

3(4+5) – 1 x + 3, x Ζ∈ x 2 + 2x + 1 (x – y)(x + y) 22 ba +

No tiene sentido hablar de la veracidad o falsedad de una expresión algebraica de este tipo. Ejemplos de proposiciones cerradas:

8 + 4 = 12 5 > 10 5(3 – 1) = 20 7 + 4 ≤ 10 (3 + 4) 2 = 49

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

No proposiciones Proposiones

Cerradas Abiertas

Verdaderas Falsas



En este tipo de expresiones algebraicas afirmamos algo que puede ser: verdadero o falso. Ejemplos de proposiciones abiertas:

x + 5 = 12, x Ν∈ x ≥ 5 x 2 - 1 < 5x + 2 x + y = 17

La verdad o falsedad de cualquiera de estas expresiones depende de los números que se sustituyan para las indeterminadas x o y.

Ejemplo: Ejemplo: 3x + 4 = 10 5x – 2 > 5 x Ζ∈ x∈ R Decimos que: 5 satisface o es solución de la ecuación → x + 3 = 8 , x Ζ∈ Porque:

5 Ζ∈ y

5 da origen a la proposición cerrada verdadera (PCV) → 8 = 8

al ser sustituido en la ecuación dada.

PROPOSICIONES ABIERTAS

De igualdad De desigualdad

Ecuaciones Desigualdades



Al subconjunto de todos los elementos del dominio que satisfacen una proposición abierta se le llama: Conjunto solución o también; conjunto satisfactor o conjunto de verdad.

Dos maneras de simbolizar el conjunto solución:

Por extensión ⇒ S = { }......................... c enumeración de los elementos que satisfacen la proposición abierta.

Por comprensión ⇒ S = { }........../ ∧∈Dxx ⇓ ⇑ el dominio la proposición Llamamos identidad a una proposición abierta de igualdad en la que el conjunto solución es igual al dominio. Ejemplo: x 2 + x = x(x + 1) , x∈C

Dominio Conjunto de los sustitutos permisibles para la variable o determinante.

Conjunto solución Los elementos del dominio que satisfacen la proposición abierta.



Ejemplo: Ejemplo: 5x + 4 = 10 , x∈R (x + 1)(x – 1) = x 2 - 1 , x∈R

En general, podemos considerar el procedimiento de resolución de una ecuación, como un proceso de transformación de un estado inicial a un estado final, pasando por una serie de estados intermedios. ESTADO INICIAL TRANSFORMACIONES ESTADO FINAL

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

No proposiciones Proposiciones

Cerradas Abiertas

V F Ecuaciones Desigualdades

Ecuaciones condicionales Identidades

PROPOSICIONES ABIERTAS DE IGUALDAD

Ecuaciones condicionales Identidades



Para generar ecuaciones equivalentes (ecuaciones con el mismo conjunto solución) hacemos uso de las reglas de transformación de expresiones algebraicas y de las propiedades de las igualdades. Algunas reglas de transformación de expresiones algebraicas:

• x + (- x) = 0 • x – 0 = x • (xy)z = x(yz) • x · 0 = 0 · x = 0 • (x + y) + z = x + (y + z) • xy = yx • x + y = y + x • (x + y)z =xz + yz • x / 1 = x • 0 / x = o • (x – y) – z ≠ x – (y – z) • (x ÷ y) ÷ z ≠ x ÷ (y ÷ z) • (x + y) ÷ z = (x ÷ z) + (y ÷ z)

Propiedades de la relación de igualdad. A • x = x • Reflexividad B • x = y ⇒ y = x • Simetría C • x = y ∧ y = z ⇒ x = z • Transitividad

D • ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒=∧=

=+⇒=∧=+bkxkabax

bkxkabax • Propiedad sustitutiva

E • x = y ⇒ x + a = y + a • Propiedad aditiva F • x = y ⇒ x · a = y · a ≠ k / 0 • Propiedad multiplicativa* G • a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 • Propiedad del producto nulo la ampliación de esta propiedad da lugar a ecuaciones equivalentes, siempre que a≠ 0. *La aplicación de esta propiedad da lugar a ecuaciones equivalentes, siempre que a≠ 0.

Ecuación en su forma

Ecuaciones equivalentes Ecuación(es) Equivalente(s) De la forma x = a



3.1.1.- ECUACIÓN POLINOMIA DE GRADO (n)

Forma general de una ecuación polinomia de grado n, con una variable, indeterminada o incógnita.

a n 0≠ a i C∈ n, n – 1, n – 2, …. Ν∈

Ejemplos: Ejemplos: • 4x 2 - 3x + 1 = 0 • (x – 3) (x – 1) = 3x

• 4x + 5 = 3x - 2 • 213

+=− xx

x

Toda ecuación polinomia con coeficientes en C tiene solución en C, aunque no siempre puede determinarse. Algunas ecuaciones no polinomios no tienen solución.

Por ejemplo: La ecuación (x + 3)(x + 2) = x(x + 5) , tiene como expresión equivalente 6 = 0 que es una proposición cerrada falsa. Toda ecuación polinomia de grado n tiene n satisfactores o raíces.* Así: •Una ecuación polinomia de primer grado tiene una raíz. •Una ecuación polinomia de 2 0 grado tiene 2 raíces. *Un número puede ser considerado más de una vez como raíz.

Conjunto solución S = φ

Ecuaciones algebraicas

Polinomios de grado n No polinomias

a n x n + a 1−n x 1−n + a 2−n x 2−n + …. + a 0 = 0



3.2.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Definición. Una ecuación , “es la proposición de que dos expresiones son iguales”. Las dos expresiones se llaman miembros de la ecuación. El miembro que aparece a la izquierda del signo de igualdad, se lama primer miembro y el que aparece a la derecha del signo de igualdad, se llama segundo miembro, o sea;

Generalmente, una ecuación contiene una o más cantidades literales que se llaman incógnitas, y se representan por las últimas letras del alfabeto: t, u, v, w, x, y, z. etc., y es precisamente el fin de los procesos algebraicos el de descubrir los valores de estas cantidades ( llamadas raíz o solución de la ecuación). Así por ejemplo: 3x – 7 = 5 3x = 5 + 7 3x = 12

x = 3

12

x = 4 Es una ecuación en la cual la incógnita es x, y su raíz o solución es x = 4. 3.2.1.- PRINCIPIO DE TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS. I.- Podemos “pasar “ un sumando, de un miembro al otro, tomando su inverso aditivo. II.- Podemos “pasar “ un factor, de un miembro al otro, tomando su inverso Multiplicativo

Signo de igualdad

(EXPRESIÓN) = (EXPRESIÓN)

SEGUNDO MIEMBRO PRIMER MIEMBRO



Representados en las siguientes formas esquemáticas:

3.2.2.- TIPOS DE ECUACIONES. Las ecuaciones se pueden clasificar en 3 tipos que son: I.- ECUACIONES CONDICIONALES II.- ECUACIONES DE IDENTIDAD III.- ECUACIONES EQUIVALENTES A continuación mencionaremos estos 3 tipos: I.- Ecuación Condicional. Se dice que una ecuación es condicional cuando sus miembros son iguales para ciertos valores de la incógnita. Ejemplos: a) x + 5 = 18 se verifica para x = 13 (Ec. Condicional) b) x + 3 = 8 se verifica para x = 5 (Ec. Condicional)

I

II

+X

-X +X

-X =

=

X

X

X

X

=

=



II.- Ecuación de Identidad. Una ecuación es una identidad cuando sus miembros son iguales para cualquier valor de la incógnita. Ejemplo: a) x 2 - 9 = (x + 3) (x – 3) es una identidad, puesto que se satisface para todos los valores de la incógnita x. III.- Ecuaciones Equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Así las ecuaciones; 4x – 2 = 3x + 1 se verifica para x = 3 7x = 6x + 3 se verifica para x = 3 Son equivalentes ; cada una tiene como solución x = 3, y ninguna otra. 3.2.3.- PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES. Es toda igualdad, el axioma fundamental de las ecuaciones dice: “si con valores iguales se verifican operaciones iguales”, se deduce:

Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o se les resta un mismo valor, se obtiene otra igualdad, equivalente a la primera.

Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o dividen por un mismo

número diferente de cero, se obtiene otra igualdad, equivalente a la primera.

Si a los dos miembros de una igualdad se les eleva a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, se obtiene otra igualdad, equivalente a la primera.

3.2.4.- CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES.

I.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA (lineales)

(ax + b = 0) a≠ 0

II.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS (lineales)

(ax + by = 0) a y b≠ 0

III.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA (cuadráticas) (ax 2 + bx + c = 0) a ≠ 0

ECUACIONES



A continuación haremos un análisis de los diferentes tipos de ecuaciones mencionadas

anteriormente.

I.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA (Lineales) Estas ecuaciones son de la forma:

ax + b = 0 siendo a 0≠

Para encontrar la solución de este tipo de ecuaciones despéjese la variable x (incógnita); y aplíquese “el principio de transposición de términos”.

ax = -b

Ejercicio Nº 1 : Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita.

3x – 15 = 0 *SOLUCIÓN* Para encontrar el valor de la incógnita, despéjese la variable x , utilizando el principio de transposición de términos. 3x = 15

x = 3

15

⇒ x = 5 solución COMPROBACIÓN. Si x = 5, sustitúyase su valor en la ecuación original.

3x – 15 = 0 3(5) – 15 = 0

⇒ 15 = 15

⇒ x = ab− solución



3.2.5.- MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CON UNA INCÓGNITA.

Para resolver una ecuación de este tipo, los pasos formales son los siguientes 5 : 1 er paso. Se simplifican las fracciones de la ecuación si las hay, suprimiendo los denominadores. 2º paso. Elimínense los símbolos de agrupación si los hay. 3 er paso. Transpónganse todos los términos que contengan a la incógnita a uno de los miembros de

la ecuación (de preferencia al primer miembro), y todos los términos independientes (constantes), al otro miembro. Aplicando el principio de transposición de términos “pudiendo ser el inverso aditivo o multiplicativo”.

4º paso Redúzcanse los términos semejantes si los hay, con la finalidad de simplificar la

expresión algebraica. 5º paso Divídase ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, excepto

cuando este sea igual a la unidad.

6º paso Compruébese la solución, sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original. Para comprender el modelo anterior resolveremos algunas ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejercicio Nº 1 : Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita.

2(x + 1) – (x – 1) = 0 *SOLUCIÓN* 2º paso. Eliminando paréntesis, se tiene:

2x + 2 – x + 1 = 0

3 er paso. Transponiendo términos, se tiene:

2x – x = -2 -1

4º paso. Reduciendo términos semejantes, para simplificar la expresión algebraica:

x= -3 solución



6º paso. Comprobación: si x = -3, sustitúyase su valor en la ecuación original. 2(x + 1) – (x – 1) = 0 2(-3 + 1) – (-3 – 1) = 0 2(-2) – (-4) = 0 -4 + 4 = 0 ⇒ 4 = 4 Ejercicio Nº 2: Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita.

42

55

3−=−

xx

*SOLUCIÓN* 1 er paso. Eliminando las fracciones, tenemos:

14

215

53

−=−xx

2

85

253 −=

− xx

2(3x – 25) = 5(x – 8)

2º paso. Eliminando paréntesis, se tiene:

6x – 50 = 5x – 40


6x – 5x = 50 – 40


x = 10 solución

6º paso. Comprobación: si x = 10, sustitúyase su valor en la ecuación original.

42

55

3−=−

xx

42

1055

)10(3−=−

6 – 5 = 5 – 4 ⇒ 1 = 1



Ejercicio Nº 3: Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita.

a(x – 1) = b (a-x) - a *SOLUCIÓN* 2º paso. Eliminando paréntesis, se tiene:

ax – a = ab –bx –a


ax + bx = ab – a + a


ax + bx = ab Factorizando a “x”, tenemos: x(a + b) = ab 5º paso. Dividiendo a ambos miembros entre (a + b), obtenemos lo siguiente:

)()()(

baab

babax

+=

++

⇒ x = )( ba

ab+

solución

Ejercicio Nº 3: Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita

124

136

34−=

−+

− xxx

*SOLUCIÓN* 1 er paso. Eliminando las fracciones, tenemos:

1224

)13(6)34(4−=

−+− xxx

4(4x -3) + 6(3x -1) = 24(2x – 1)



2º paso. Eliminando paréntesis, se tiene:

16x -12 + 18x – 6 = 48x -24 3 er paso. Transponiendo términos, se tiene:

16x +18x – 48x = -24 +12 +6 4º paso. Reduciendo términos semejantes, para simplificar la expresión algebraica:

-14x = -6

Cambiando de signo a ambos miembros, se tiene:

14x = 6 5º paso. Dividiendo a ambos miembros entre 14, obtenemos lo siguiente:

146

1414

=x

⇒ 73

=x solución

II.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. (Lineales) Recordemos que una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma:

ax + by = c

donde a, b y c, son constantes, siendo a y b 0≠ En consecuencia dos ecuaciones de este tipo tales como:

Constituyen lo que llamamos “un sistema de ecuaciones lineales”.

a1 x + b1 y = c1 (1) a 2 x + b 2 y = c 2 (2)



3.2.6.- MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, es necesario reducir el sistema propuesto a una sola ecuación que solo tenga una incógnita, a ésta reducción se le llama “eliminación de una incógnita”, existiendo varios métodos de eliminación; “cuatro métodos algebraicos”, que son 4 : I.- MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS O DE REDUCCIÓN. II.- MÉTODO DE IGUALACIÓN O DE COMPARACIÓN. III.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. V.- MÉTODO POR MEDIO DE DETERMINANTES (para su aplicación se requiere de determinantes de 2º orden). A continuación analizaremos cada uno de los métodos mencionados anteriormente.

I.- MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS O DE REDUCCIÓN.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, aplicando éste método se emplean la siguiente regla: 1 er paso Multiplíquense los dos miembros de ambas ecuaciones por números que hagan que

los coeficientes de una de las incógnitas tengan el mismo valor absoluto en las dos ecuaciones.

2º paso. Para eliminar una incógnita, súmense las dos ecuaciones obtenidas en el paso

número uno, si los dos coeficientes iguales tienen signos opuestos. Si los coeficientes tienen signos iguales, entonces réstense las ecuaciones.

3 er paso. Resuélvase la ecuación obtenida en el paso número dos y sustitúyase su valor en

una de las ecuaciones de partida, para calcular el valor de la otra incógnita. 4º paso. Compruébese la solución sustituyendo los valores de las incógnitas, en la ecuación

original no utilizada en el paso número tres. NOTA: Si ambos miembros de una ecuación contienen fracciones, háganse desaparecer todas las

fracciones antes de eliminar una incógnita.



Ejercicio Nº 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

4x – 7y = 29 (1) 6x + 5y = -3 (2)

*SOLUCIÓN* Para resolver el sistema propuesto, aplicaremos el método de SUMAS y RESTAS. 1 er paso. Multiplicando las ecuaciones (1) y (2) por 6 y 4 respectivamente, obtenemos lo siguiente:

(6) 4x -7y =29 (1) (4) 6x + 5y = -3 (2)

24x – 42y = 174 (a) 24x + 20y = -12 (b)

2ºpaso. Restando a la ecuación (a) la ecuación (b), obtenemos lo siguiente:

3 er paso. Resolviendo la ecuación (A) obtenida en el paso número 2 para determinar el valor de y.

-62y = 186

dividiendo ambos miembros entre -62 se tiene:

62186

6262

−=

−− y

y = -3 1 a solución

24x – 42y = 174 - 24x – 20y = 12

0 – 62y = 186 (A)



Para calcular el valor de la incógnita x sustitúyase el valor encontrado de y en la ecuación original número 1 que se selecciono.

4x- 7y = 29 4x – 7(-3) = 29 4x + 21 = 29

4x = 29 – 21 4x = 8

Dividiendo ambos miembros entre 4, se tiene:

48

44

=x

x = 2 2 a solución

4º paso. Comprobación. Si x = 2 y y = -3, sustitúyanse sus valores en la ecuación original número 2 que no se utilizó en el paso número 3. 6x + 5y = -3 6(2) + 5(-3) = -3 12 – 15 = -3 -3 = -3 ⇒ 3 = 3

II.- MÉTODO DE IGUALACIÓN O DE COMPARACIÓN.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, aplicando éste método se emplean la siguiente regla: 1 er paso. Despéjese una de las incógnitas, siendo la misma en ambas ecuaciones.

2º paso. Iguálense los resultados obtenidos en el paso 1. 3 er paso. Resuélvase la ecuación resultante obtenida en el paso número 2. 4º paso. Calcúlese el valor de la otra incógnita, sustituyendo la cantidad conocida en

cualquiera de las ecuaciones despejadas obtenidas en el paso número 1. 5º paso. Compruébese la solución sustituyendo los valores de las incógnitas, en la ecuación

no utilizada en el paso número 1.




7x + 4y = 13 (1) 5x – 2y = 19 (2)

*SOLUCIÓN* Para resolver el sistema propuesto, aplicaremos el método de IGUALACIÓN. 1 er paso. Despéjese la variable x de las ecuaciones (1) y (2) respectivamente.

7x + 4y = 13 (1) 5x – 2y = 19 (2) 7x =13 -4y 5x = 19 + 2y

x = 7

413 y− (a) x =5

219 y+ (b)

2º paso. Igualando los resultados obtenidos de las ecuaciones a y b, se tiene:

5219

7413 yy +

=− (A)

3 er paso. Resolviendo la ecuación (A), obtenida en el paso número 2 para calcular el valor de la variable y. Eliminando las fracciones: 5(13 -4y) = 7(19 +2y) Eliminando los paréntesis: 65 -20y = 133 + 14y

Transponiendo términos:

-20y -14y = 133 -65

Reduciendo términos semejantes: -34y = 68



Dividiendo ambos miembros entre -34, obtenemos lo siguiente:

3468

3434

−=

−− y

y = -2 1 a solución 4º paso. Para determinar el valor de x sustitúyase el valor de y en la ecuación (a) obtenida en el paso número 1 que se selecciono.

x = 7

413 y−

x =7

)2(413 −−

x =7

813+

x =721

x = 3 2 a solución 5º paso. Comprobación. Si x = 3 y y = -2, sustitúyanse sus valores en la ecuación (b) seleccionada que no se utilizó en el paso número 4.

x =5

219 y+

3 =5

)2(219 −+

3 =5

419 −

3 =5

15

⇒ 3 = 3



III.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, aplicando éste método se emplean la siguiente regla: 1 er paso. Despéjese una de las incógnitas, de una de las ecuaciones en función de la otra. 2º paso. Sustitúyase la expresión obtenida en el paso número 1 en lugar de la incógnita

correspondiente en la otra incógnita. 3 er paso. Resuélvase la ecuación obtenida en el paso número 2 hallando así el valor de la segunda

incógnita. 4º paso. Sustitúyase el valor hallado para la segunda incógnita en la expresión obtenida en el paso

número 1 y hállese el valor de la primera incógnita. 5º paso. Compruébese la solución sustituyendo los valores de las incógnitas en la ecuación

original no utilizada en el paso número 1. Ejercicio Nº 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

7x -3y = 10 (1) 5x -2y = 8 (2)

*SOLUCIÓN* Para resolver el sistema propuesto, aplicaremos el método de SUSTITUCIÓN. 1 er paso. Despejando la variable x de la ecuación 2, obtenemos lo siguiente. 5x -2y = 8 (2) 5x = 2y + 8

x =5

82 +y (a)

2º paso. Sustitúyase el valor hallado de la expresión (a) en la ecuación número 1 en lugar de la incógnita correspondiente.

7x – 3y = 10

7 1035

82=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + yy

(A)



3 er paso. Resolviendo la ecuación (A) obtenida en el paso número 2 para encontrar el valor de la segunda incógnita y.

101

35

5614=−

+ yy

Eliminando las fracciones:

105

155614=

−+ yy

14y +56 -15y = 5(10)

Eliminando los paréntesis:

14y +56 -15y = 50 Transponiendo términos:

14y -15y = 50 -56 Reduciendo términos semejantes:

-y = -6

Cambiando de signo a ambos miembros:

y = 6 1 a solución

4º paso. Sustitúyase el valor de y en la ecuación despejada, obtenida en el paso número 1 para determinar el valor de x.

x =5

82 +y (a)

x =5

8)6(2 +

x = 5

812 +

x =520

x = 4 2 a solución



5º paso. Comprobación. Si x =4 y y = 6, sustitúyanse sus valores en la ecuación original número 1 que no se utilizó en el primer paso. 7x – 3y = 10 7(4) – 3(6) = 10 28 -18 = 10 ⇒ 10 = 10

IV.- MÉTODO POR MEDIO DE DETERMINANTES.

Se llama determinante a una composición de números que se colocan adoptando la forma de un cuadrado. Un determinante es de segundo orden cuando se forma con dos números de cada lado, o sea, dos renglones y dos columnas y se resuelve multiplicando en diagonal los números del determinante de izquierda a derecha. Un determinante de segundo orden corresponde a un “sistema de ecuaciones lineales”. El determinante de un sistema es el formado exclusivamente por los coeficientes de las variables colocados ordenadamente en renglón y columna, simbólicamente un determinante se representa por la letra griega delta (Δ ). Sea por ejemplo el sistema:

Luego entonces el determinante general del sistema será:

El determinante de cualquier variable se forma sustituyendo en el determinante general del sistema, la columna que corresponde a sus coeficientes por la columna de los términos independientes colocados originalmente en el segundo miembro. Para representar simbólicamente a cada uno de ellos se emplea la letra griega delta (Δ ), afectada de un subíndice igual a la variable de que se trate, tales como xΔ , yΔ , zΔ , etc.

+ - a 1 b 1 =Δ = a 1 b 2 - a 2 b 1

a 2 b 2

a1 x + b1 y = c1 (1) a 2 x + b 2 y = c 2 (2)



Con base en lo anterior se establece que:

Ya calculados los determinantes, para determinar el valor de las variables x y y (incógnitas), bastará que se apliquen las siguientes fórmulas:


5x – 4y = -7 (1) 2x + 7y = 23 (2)

*SOLUCIÓN* Para resolver el sistema propuesto, aplicaremos el método por DETERMINANTES.

ΔΔ

=xx y

ΔΔ

=yy

+ - c 1 b 1

=Δx = c 1 b 2 - c 2 b 1 c 2 b 2

+ - a 1 c 1

=Δy = a 1 c 2 - a 2 c 1 a 2 c 2



Primeramente calcúlense los determinantes xΔΔ, y yΔ .

Para determinar el valor de x y y se aplican las siguientes fórmulas:

Sustituyendo los valores de xΔΔ, y yΔ tenemos:


4x – 7y = 29 (1) 6x + 5y = -3 (2) *SOLUCIÓN* Para resolver el sistema propuesto, aplicaremos el método por DETERMINANTES.

4343

=x y 43

129=y

x=1 y=3 solución

ΔΔ

=xx y

ΔΔ

=yy

+ - 5 4 =Δ = 35+8 43=Δ⇒ 2 7 + - -7 -4

=Δx = -49+92 43=Δ⇒ x 23 7

+ - 5 -7

=Δy = 115+14 129=Δ⇒ y 2 23



Primeramente calcúlense los determinantes xΔΔ, y yΔ .

Para determinar el valor de x y y se aplican las siguientes fórmulas:

Sustituyendo los valores de xΔΔ, y yΔ tenemos:

62

124=x y

62186−

=y

x=2 y= -3 solución

ΔΔ

=xx y

ΔΔ

=yy

+ - 4 -7 =Δ = 20+42 62=Δ⇒ 6 5 + - 29 -7

=Δx = 145-21 124=Δ⇒ x -3 5

+ - 4 29

=Δy = -12-174 186−=Δ⇒ y 6 -3



3.3.- ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA. (Cuadráticas) DEFINICIÓN.- Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando el más alto grado de la incógnita es la potencia “dos” pero no mayor. Estas ecuaciones son de la forma ax 2 + bx +c = 0, siendo a 0≠ Donde a, b y c son constantes y x es la incógnita. A esta ecuación también se le conoce como la forma canónica de la ecuación de segundo grado.

3.3.1.- CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA.

El siguiente esquema nos permite establecer la clasificación de los diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita que existen.

Del esquema anterior se establece que las ecuaciones completas son aquellas que contienen los 3 términos, la segunda y primera potencia, además del término independiente y las incompletas cuando carecen del término de primer grado, o sea, del término x o del término independiente (c).

I.- ECUACIONES COMPLETAS.

02 =++ cbxax , donde a 0≠ , b 0≠ y c 0≠ ECUACIONES DE 2º GRADO CON a) ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

UNA INCÓGNITA 02 =+ cax b = 0 II.- ECUACIONES INCOMPLETAS b) ECUACIONES CUADRÁTICAS MIXTAS

02 =+ bxax c = 0



3.3.2.- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADO CON

UNA INCÓGNITA.

Los métodos a emplearse en la resolución de las ecuaciones de 2º grado con una incógnita, completas, son: 1.- POR MEDIO DE LA FÓRMULA GENERAL. 2.- COMPLETANDO EL CUADRADO PERFECTO. 3.- MEDIANTE LA FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO. Así mismo encontramos que para la resolución de las ecuaciones de 2º grado con una incógnita incompleta se emplean los siguientes métodos: ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS. 1.- POR MEDIO DE LA FÓRMULA GENERAL CUADRÁTICA PURA. 2.- MEDIANTE LA FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. ECUACIONES CUADRÁTICAS MIXTAS. 1.- POR MEDIO DE LA FÓRMULA GENERAL CUADRÁTICA MIXTA. 2.- MEDIANTE LA FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO QUE CONTIENE UN FACTOR COMÚN. A continuación analizaremos algunos de los métodos ya mencionados anteriormente. 3.3.3.- MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º

GRADO COMPLETA.

Uno de los métodos de entre varios que existen, a emplearse en la resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita completa es por medio de la fórmula general, la cual se analizará a continuación.



MÉTODO DE LA FÓRMULA GENERAL.

Se estableció que la expresión algebraica general de una ecuación cuadrática es:

a 2x + bx + c = 0 , siendo a 0≠ ⇓ ⇓ ⇓ término término término de 2º grado lineal independiente Luego entonces la fórmula general para resolver ese tipo de ecuaciones será:

Demostración; Sea la ecuación:

ax 2 + bx + c = 0 , a 0≠

Multiplicando ambos miembros por (4a), tenemos:

4a(ax 2 + bx + c = 0) 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0

Transponiendo términos:

4a 2 x 2 + 4abx = -4ac Sumando 2b a ambos miembros, tenemos:

4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 - 4ac

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos:

2)2( bax + = acb 42 −

2ax + b = acb 42 −±

Fórmula General de 2º grado o cuadrática a

acbbx2

42 −±−=



Transponiendo términos: 2ax + b = acb 42 −± 2ax = acbb 42 −±−

Esta expresión se conoce como “FÓRMULA CUADRÁTICA”.

Esta fórmula nos sirve para resolver ecuaciones cuadráticas de cualquier tipo,

especialmente las ecuaciones de segundo grado completas. La fórmula general emplea los coeficientes del término de segundo grado (a), del término lineal (b) y del término independiente (c). Para comprender la aplicación de la fórmula general de segundo grado resolveremos algunas ecuaciones de segundo grado, con una incógnita. Ejercicio Nº 1 :

Resolver la siguiente ecuación de segundo grado con una incógnita completa.

3x 2 - 7x + 2 = 0

*SOLUCIÓN* Sabemos que la forma estándar es: ax 2 + bx + c = 0 Por comparación de ecuaciones, los valores de las constantes son:

a = 3, b = -7, c = 2

Considerando la fórmula general, se tiene:

aacbbx

242 −±−

= (A)

⇒ a

acbbx2

42 −±−=



Sustituyendo los valores de a, b y c en la fórmula general (A), obtenemos lo siguiente:

)3(2)2)(3(4)7()7( 2 −−±−−

=x

Efectuando operaciones aritméticas, tenemos:

6

24497 −±=x

6

257 ±=x

6

57 ±=x

Primera solución. Considerando el signo positivo (+), se tiene:

6

571

+=x

6

121 =x

21 =x primera solución

Segunda solución. Considerando el signo positivo (-), se tiene:

6

572

−=x

62

2 =x

31

2 =x

33.2 =x segunda solución



3.3.4.- NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE 2º

GRADO. Las raíces de la ecuación de 2º grado son:

En la fórmula general de 2º grado, en el radicando se tiene la expresión b 2 - 4ac, llamada “discriminante” y se representa mediante la letra “D”, o sea;

y dependiendo del valor del discriminante, dichos cálculos nos lleva a determinar los siguientes casos:

a) Primer caso. Si D > 0, la ecuación cuadrática tendrá 2 raíces reales y desiguales.

b) Segundo caso. Si D = 0, la ecuación cuadrática tendrá únicamente una raíz real. c) Tercer caso. Si D < 0, la ecuación cuadrática no tendrá solución en el conjunto de los números reales, por presentarse un número

imaginario.

NÚMEROS IMAGINARIOS: Los números imaginarios son todas aquellas raíces pares de números negativos, o sea, ( )PAR N− . Ejemplos: ( )4− , ( )4 16− , etc. Podemos resumir los resultados anteriores en la siguiente tabla:

b 2 - 4ac > 0 ⇒ 2 soluciones reales b 2 - 4ac = 0 ⇒ 1 solución real b 2 - 4ac < 0 ⇒ 0 soluciones reales

Ecuación ax 2 + bx + c

D = b 2 - 4ac

aacbbx

242

1−+−

=

a

acbbx2

42

2−−−

=



Ejercicio Nº 1: Decir sin resolver la ecuación, la naturaleza de las raíces de la siguiente ecuación:

x 2 - 4x + 3 = 0 ax 2 - bx + c = 0 forma estándar Por comparación de ecuaciones los valores de las constantes son:

a = 1, b = -4, c =3

Sabemos que la fórmula del discriminante es:

D = b 2 - 4ac

Sustituyendo a, b y c en la expresión anterior:

D = (-4) 2 - 4(1)(3) ∴D = 16 – 12 ⇒ D = 4

Como D > 0 ∴la naturaleza de las raíces son reales, racionales y desiguales, por

ser un cuadrado perfecto.

Ejercicio Nº 2: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado con una incógnita completa.

3x 2 - 7x + 2 = 0

*SOLUCIÓN* Sabemos que la forma estándar es ax 2 - bx + c = 0 Por comparación de ecuaciones los valores de las constantes son:

a = 3, b = -7, c =2


aacbbx

242 −±−

= (A)




)3(2)2)(3(4)7()7( 2 −−±−−

=x


6

24497 −±=x

6

257 ±=x

6

57 ±=x

Primera solución. Considerando el signo positivo (+), se tiene:

6

571

+=x

612

1 =x

21 =x primera solución

Segunda solución. Considerando el signo positivo (-), se tiene:

6

572

−=x

62

2 =x

31

2 =x

33.2 =x segunda solución

Como D = 25, D > 0 las raíces son reales, racionales y desiguales, por ser un cuadrado perfecto.



Ejercicio Nº 3: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado con una incógnita completa.

x 2 - 2x + 2 = 0

*SOLUCIÓN* Sabemos que la forma estándar es ax 2 - bx + c = 0 Por comparación de ecuaciones los valores de las constantes son:

a = 1, b = 2, c =2


aacbbx

242 −±−

= (A)


)1(2)2)(1(4)2(2 2 −±−

=x


2

842 −±−=x

2

42 −±−=x número imaginario

Como D = -4, o sea, D < 0 se trata de un número imaginario, por lo tanto no hay solución en los números reales.



3.3.5.- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º

GRADO INCOMPLETAS.

I.- ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS.

El método a emplearse, en la resolución de una ecuación cuadrática pura, es mediante

la factorización de una diferencia de cuadrados o bien mediante la fórmula general cuadrática pura, la cual analizaremos a continuación. Demostración: Sea la ecuación ax 2 + c = 0 donde, b = 0 Despejando la variable x de la ecuación anterior, se tiene:

ax 2 = - c

acx −

=2

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros, se tiene:

acx −

=2

Para aplicar la fórmula anterior se debe cumplir que los coeficientes a y c tengan signos diferentes, o sea el radicando –c/a > 0.

Fórmula General Cuadrática pura

acx −

±=



Ejercicio Nº 1: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado con una incógnita incompleta.

042 =−x

*SOLUCIÓN* Sabemos que la forma estándar es ax 2 + c = 0 , donde b = 0

Por comparación de ecuaciones los valores de las constantes son:

a = 1, c = - 4

Considerando la fórmula cuadrática pura, se tiene:

acx −

±= (A)

Sustituyendo los valores de las constantes en la fórmula cuadrática pura (A),

obtenemos lo siguiente:

1

)4(−−±=x

Efectuando operaciones aritméticas: 4±=x Por lo tanto las soluciones serán:

21 =x 1 a solución

22 =x 2 a solución



II.- ECUACIONES CUADRÁTICAS MIXTAS.

El método a emplearse, en la resolución de las ecuaciones de segundo grado cuadráticas mixtas, es mediante “la factorización de un polinomio que contiene un factor común” o bien mediante la fórmula general cuadrática mixta, la cual analizaremos a continuación. Demostración:

Sea la ecuación ax 2 + bx = 0 , siendo c = 0 Factorización la variable x se tiene:

x(ax + b) = 0

Ante esta factorización podemos pensar; “por el principio de productos nulos (propiedad del número 0), que si dos factores dan como producto cero(0), alguno de ellos o ambos, deben ser iguales a cero(0)”.

De aquí que las soluciones que en este tipo de ecuaciones cuadráticas mixtas, que no tienen términos independientes sean:

x = 0 y (ax + b) = 0 Una solución siempre será igual a 0 y la otra estará dada al despejar a x en la ecuación de primer grado ax + b = 0

ax + b = 0; ax = -b

⇒ abx −= (A) Fórmula cuadrática mixta

Es usual designar a estas dos soluciones como 1x y 2x . Entonces:

01 =x y abx −=2

x = 0 x(ax + b) = 0 (ax + b) = 0



Ejercicio Nº 1: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado con una incógnita incompleta.

5x 2 - 3x = 0

*SOLUCIÓN* Sabemos que ax 2 + bx = 0 , donde c = 0 Por comparación de ecuaciones, los valores de las constantes son:

a = 5 y b = -3 Considerando la fórmula cuadrática mixta (A), se tiene:

abx −= (A)

Sustituyendo los valores de las constantes en la fórmula cuadrática mixta (A), se tiene:

5)3(−−

=x

Efectuando operaciones aritméticas:

53

=x

x = 0.06 solución

∴Las soluciones serán: x 1 = 0

x 2 = 0.06



3.4.- DESIGUALDADES E INTERVALOS

3.4.1.- GENERALIDADES NÚMERO, CONSTANTE, VARIABLE. 1. Número reales. Representación de número reales por los puntos de la recta numérica 6 . Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliándose y generalizándose con el tiempo. Los números enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos, comprendiendo el número cero, se llaman números racionales. Todo número racional puede expresarse como

la razón, qp , de dos números enteros p y q. Por ejemplo:

75 ;

4525.1 = .

En particular, el número entero p se puede considerar como la razón de dos número

enteros p y 1 : 1p . Por ejemplo:

166 = ;

100 =

Los números racionales pueden ponerse en forma de fracciones decimales finitas o periódicas indefinidas, los números en forma de fracciones decimales indefinidas, no periódicas, se denominan números irracionales; por ejemplo 2 , 3 , 6 - 2 , etc. La reunión de los números racionales e irracionales se denomina conjunto de números reales.



El cuadro 1.- Nos ilustra como los diferentes números se relacionan entre si.

Cuadro 1. Sistema Numérico Los números reales se pueden representar mediante los puntos de la recta numérica. Se llama recta numérica a una recta infinita en la cual se han determinado:

• un punto 0 que se denomina origen; • un sentido positivo que se indica con una flecha;

• una escala o unidad de medida

3.4.2.- REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES

Para visualizar mejor algunas de las relaciones que existen en los números reales,

podemos representarlos geométricamente como puntos de una recta. Es costumbre hacerlo del modo siguiente. Para esto escogeremos un punto sobre la recta. Para que represente el número cero, el cual se establece como punto de referencia llamado origen. Estando los números positivos a la derecha del origen y los negativos a la izquierda, o sea que por cada valor positivo existe un simétrico negativo sin importar que sea entero, fracción decimal, número racional o irracional; a tal figura se le llama recta numérica (fig. 1).

Números enteros positivos (+)

Números enteros

Númerosracionales

Números reales (R)

Números irracionales

Números fraccionarios

Número cero “0”

Números enteros negativos (-)



36 -8/2 -3/2 ½ π

25

-∞ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞

Coordenada

Dirección positiva

Fig. 1 Recta Numérica Real El segmento de recta que va del origen al punto que representa el número 1 es la unidad de medida y es la escala que se emplea sobre la recta. En la recta numérica la flecha al final de la recta indica que se continua la numeración y la dirección en la que aumentan los números. El segmento de recta que representa la unidad de distancia, esto es, la escala empleada en la recta se toma según convenga. Recuérdese que debe emplearse la misma escala sobre toda la recta numérica. Así pues, entre todos los números reales y todos los puntos de la recta numérica existe una correspondencia biunívoca: a cada número real le corresponde un solo punto que lo representa en el eje numérico, y, recíprocamente, a cada punto corresponde un solo número del cual es la imagen.

3.4.3.- VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Introduzcamos el concepto de valor absoluto de un número real. Este concepto es imprescindible para continuar adelante. “El valor absoluto de un número real es su distancia al cero.” DEFINICIÓN.- Se llama valor absoluto (o módulo) de un número real x (su notación es x ) al número real no negativo, que satisface las condiciones:

x si 0≥x

⎩⎨⎧

=xx− si 0<x

Ejemplos:

22 = ; 55 =− ; 00 =

“El valor absoluto de un número nunca es negativo”

zona negativa zona positiva

origen

unidad



yxyx −≥−

yxyx +≤+

zyxxyz =

yx

yx=

Ahora es importante que examinemos algunas propiedades de los valores absolutos.

1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos;

Ejemplos: 5323232 =+=+−<+− ó 51<

8535353 =+=−+−=−− ó 88 = 2. El valor absoluto de la diferencia de dos números reales no es menor que la

diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraendo:

3. El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

Ejemplo:

432432 =⋅⋅

43224 ⋅⋅= 2424 =

4. El valor absoluto del cociente es igual al cociente de dividir el valor absoluto del

dividendo por el del divisor

Las dos últimas propiedades se derivan directamente de la definición de valor absoluto.



3.4.4.- CONSTANTES Y VARIABLES

En los problemas que se resuelven aplicando los conocimientos matemáticos, intervienen dos clases de cantidades: unas que son constantes y otras que son variables. CONSTANTE DEFINICIÓN DE CONSTANTE.- Es una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo. Las constantes se designan usualmente por las primeras letras del alfabeto a, b, c, … etc., o con números. Estas pueden ser de dos tipos:

- CONSTANTES NUMERICAS O ABSOLUTAS, Y - CONSTANTES ARBITRARIAS O PARAMETROS

CONSTANTES NUMERICAS O ABSOLUTAS.-

Son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, 7 , π , etc. Ejemplos:

2bhA =

2 y π son constantes absolutas

2rA π=

CONSTANTES ARBITRARIAS O PARÁMETROS.- Son aquellas, a las que se le pueden asignar valores numéricos y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Ejemplo: Así en la ecuación de la recta

1=+by

ax ← a y b son constantes arbitrarias



VARIABLE DEFINICIÓN DE VARIABLE Es una cantidad a la que se le puede asignar durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. El conjunto de valores que puede tener una variable se llama el dominio de la variable. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto v, w, x, y z, etc. Las variables pueden ser de dos tipos:

- VARIABLE INDEPENDIENTE O ARGUMENTO, Y - VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCION

VARIABLE INDEPENDIENTE.- Se llama así a la segunda variable a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependan del problema particular. VARIABLE DEPENDIENTE.- Se llama así a la primera variable cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente. Ejemplos: El área de un cuadrado

A = l2

↓ ↓ 1ª variable 2ª variable

A = f(l) ↓ ↓

V. dep. (función) V. indep. (argumento)

La ecuación de una recta

y = 2x+1

↓ ↓ 1ª variable 2ª variable

y = f(x) ↓ ↓

V. dep. (función) V. indep. (argumento)



3.4.5.- DESIGUALDADES O INECUACIONES

INTRODUCCIÓN.- La propiedad de orden de los números reales, es la base para el estudio de las desigualdades ya que en muchas ocasiones el valor preciso de una cantidad no es fácil de determinar o solo nos interesa una estimación adecuada de ella, nos interesa poder decir si se encuentran entre dos números conocidos a y b. Las desigualdades están íntimamente ligadas al concepto de valor absoluto de un número y este juega un papel fundamental en el “Calculo Diferencial”, cuando se define el concepto de límite y continuidad de una función. DEFINICIÓN.- Desigualdad es la expresión que indica, que la relación entre dos cantidades es tal, que una es mayor o menor que la otra.

Toda desigualdad esta formada por un primer miembro y un segundo miembro, separados entre si por el “signo mayor que (>) o el signo menor que (<)”.

Primer miembro > < Segundo miembro Así las proposiciones que utilizan algunos de los signos de orden (>, <, ≥, ≤) se llaman “desigualdades”. Los símbolos < (“es menor que”) y > (“es mayor que”), se definen como sigue: DEFINICIÓN.-

Ejemplos: 24 > por que 224 =− positivo 22 −> por que ( ) 42222 =+=−− positivo 42 < por que 242 −=− negativo 22 <− por que 422 −=−− negativo

Los símbolos de desigualdad tienen una interpretación geométrica muy clara sobre la recta numérica real. Si a > b entonces a esta está a la derecha de b. si b < a entonces b está a la izquierda de a como se muestra en la recta.

ba > si y solo si ba − es positivo ba < si y solo si ba − es negativo



a a > b ó b < a b

Nótese que a > b y b < a significan exactamente lo mismo. En el conjunto de los números reales, cuando la diferencia entre dos números es positiva, se dice que el primer número es mayor que el segundo y si es negativa se dice que el primer número es menor que el segundo.

Algunas veces, es conveniente combinar una igualdad con una desigualdad. Así los dos símbolos ≤ (es menor que o igual) y ≥ (es mayor que o igual a), se definen como sigue: Definición:

Ejemplos:

Las proposiciones: 3 ≤ 4, 4 ≤ 4, 20 ≥ 8 son verdaderas, mientras que; 5 ≤ 4, 8 ≥ 20 son falsas Con base en lo anterior podemos decir o afirmar que las expresiones tales como: a >b, a < b, a ≥ b, a ≤ b, se llaman “desigualdades”. En particular a < b y a > b se llaman “desigualdades estrictas” mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman “desigualdades no estrictas”. Ejemplos:

2 > 7, -5 < 6, -5 < -4, 14 > 8, 2 > -4, 5 ≥ 3, -10 ≤ -7

a ≤ b si y solo si a < b ó a = b

a ≥ b si y solo si a > b ó a = b



3.4.6.- PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Ahora estudiaremos los axiomas de orden de las desigualdades. I. AXIOMA DE TRICOTOMIA Si a y b є R, entonces una y solo una de las siguientes relaciones es valida

a < b a = b a > b

De lo anterior se concluye que: “una y solo una de las proposiciones es valida” II. AXIOMA DE TRANSITIVIDAD Si a, b y c є R, se cumple que:

Si a> b y b > c, entonces a> c ó Si a < b y b < c entonces a < c

De lo anterior se concluye que; “si un número es mayor o menor que otro y este es mayor o menor que un tercero, el primero es mayor o menor que el tercero” Ejemplos: Si 9 > 5 y 5 > 2 entonces 9 > 2 Si 3 < 6 y 6< 9 entonces 3 < 9 III. AXIOMA DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Si a, b y c є R, se cumple que:

Afirmaciones similares valen para ≤ ≥

Si a > b, entonces cbca ±>± Si a < b, entonces cbca ±<±



De lo anterior se concluye que “El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o se resta a ambos miembros la misma cantidad” Por ejemplo, sume y reste la misma cantidad de cada lado de las siguientes desigualdades.

Si 7 > 4 y 3< 5 Si sumamos y restamos 8 a cada miembro de las desigualdades obtenemos lo siguiente:

7 + 8 > 4 + 8 3 + 8 < 5 + 8 15 > 12 11 < 3

7 – 8 > 4 – 8 3 – 8 < 5 – 8

-1 > -4 -5 < -3 IV AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Si a, b y є R, se cumple que, Siendo c positivo Siendo c negativo

Si a>b, entonces bcac > Si a>b, entonces bcac <

y cb

ca> 0≠c y

cb

ca< 0≠c

Si a<b, entonces bcac < Si a<b, entonces bcac >

y cb

ca< 0≠c y

cb

ca> 0≠c

Afirmaciones similares son validas para mayor o igual y menor o igual ≥ y ≤ De lo anterior se concluye que: “El sentido de una desigualdad no se altera si ambos miembros se multiplican por, o se dividen entre, la misma cantidad positiva. Por otra parte el sentido de una desigualdad se invierte si ambos miembros se multiplican por, o se dividen entre, la misma cantidad negativa.”



Ejemplo Nº 1: Multiplique y divida ambos miembros de las siguientes desigualdades por la misma cantidad diferente de cero, primero para un valor positivo y luego para un valor negativo.

Si 8 > 6 y 2 < 6 Multiplíquense por 2 ambos miembros de las desigualdades anteriores.

Si (2) (8) > (2) (6) Si (2) (2)<(2) (6) 16 > 12 4 < 12

Ahora si multiplicamos por -2 ambos miembros de las desigualdades anteriores, obtenemos lo siguiente:

Si (8) (-2) > (6) (-2) Si (2) (-2) < (6) (-2) -16 < -12 -4 > -12

Ejemplo Nº 2: Si dividimos ambos miembros de las desigualdades entre 2 obtenemos lo siguiente:

Si 8 > 6 y 2 < 6

Si 26

28> 4 > 3

Si 26

22< 1 < 3

Ahora si dividimos ambos miembros de las siguientes desigualdades entre -2 obtenemos lo siguiente:

Si 2

62

8−

>−

entonces 34 −<−

Si 2

62

2−

<−

entonces 31 −>−



3.4.7.- INTERVALOS

INTRODUCCIÓN.- Es conveniente dar interpretaciones gráficas de las soluciones de las desigualdades. “Por medio de la gráfica de un conjunto de números reales”, entendemos la colección de todos los puntos de una recta numérica que correspondan a tales números. Al hacer una gráfica se destaca coloreando una porción adecuada de la recta numérica. Para llevar a acabo lo anterior se requiere de hacer uso de los INTERVALOS, los cuales estudiaremos a continuación.

INTERVALO DE UNA VARIABLE

Con frecuencia nos limitamos solamente a una porción del sistema numérico, por ejemplo podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores entre a y b, designándose a dichos valores INTERVALO, el cual es un subconjunto de los números reales. DEFINICIÓN.- Un número x esta entre a y b, si y solo si a < x y x ≤ b. Podemos escribir esto como una doble desigualdad continua,: y a < x ≤ b significa que a < x y x ≤ b; es decir x está entre a y b, incluyendo a b pero excluyendo a a. “Al conjunto de todos los números reales x que satisfacen la desigualdad a < x ≤ b se le denomina INTERVALO y se representa por (a,b]”. Por lo tanto:

}|{],( bxaxba ≤<= El número a se conoce como punto extremo izquierdo del intervalo, y el símbolo “(” indica que a no se incluye en el intervalo. El número b se conoce como punto extremo derecho del intervalo y el símbolo “]” indica que b se incluye en el intervalo. A continuación describiremos “la terminología y notación” de los nueve tipos de intervalos que existen, siendo estos

• Cuatro intervalos finitos, y • Cinco intervalos infinitos

Los intervalos finitos se clasifican en abiertos, cerrados y semiabiertos y pueden definirse adecuadamente en términos de desigualdades y notación de conjuntos.



INTERVALO ABIERTO DEFINICIÓN.- El conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b se llama intervalo abierto de a a b siendo su notación la siguiente 7 :

Geométricamente se representa así

( )

a b x

INTERVALO CERRADO DEFINICIÓN.- El conjunto de todos los número reales x mayores o iguales que a y menores o iguales que b se denomina intervalo cerrado de a a b, siendo su notación la siguiente:


[ ] a b

x

}|{],[ bxaxba R ≤≤= ε

}|{),( bxaxba R <<= ε



3.4. 8.- INTERVALOS SEMIABIERTOS

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA DEFINICIÓN.- El conjunto de todos los número reales x mayores que a y menores o iguales que b se denomina intervalo abierto por la izquierda de a a b, siendo su notación la siguiente


( ]

a b X

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA DEFINICIÓN.- El conjunto de todos los número reales x mayores o iguales que a y menores que b se denomina intervalo abierto por la derecha de a a b, siendo su notación la siguiente


[ ) a b

x

“Un intervalo semiabierto contiene solo uno de sus extremos”.

}|{),[ bxaxba R <≤= ε

}|{],( bxaxba R ≤<= ε



INTERVALOS INFINITOS

Si Raε , el conjunto de números que satisfacen las siguientes desigualdades los representamos de la siguiente manera

I.


(

a ∞ x

II.


) ∞ b

x

}|{),( bxxb R <=−∞ ε

}|{),( axxa R >=∞ ε



}|{],( bxxb R ≤=−∞ ε

}|{),( ∞<<−∞=∞−∞ xx Rε

}|{),[ axxa R ≥=∞ ε

III.


(

a ∞ x

IV.


) ∞ b

x

V.


∞ ∞

x

“Utilizando las operaciones de conjuntos, podemos hablar de uniones (U) y de intersecciones (∩) de intervalos”.



La tabla siguiente nos muestra un resumen de los intervalos y su representación

gráfica en la recta numérica antes vistos.

Nombre Símbolo Definición Representación Gráfica

Intervalo abierto (a,b) }|{ bxax << ( ) a b

Intervalo cerrado [a,b] }|{ bxax ≤≤ [ ] a b

(a,b] }|{ bxax ≤< ( ] a b

Intervalos semiabiertos

[a,b) }|{ bxax <≤ [ ) a b

(a, ∞ ) }|{ axx > ( a

[a, ∞ ) }|{ axx ≥ [ a

(-∞ ,b) }|{ bxx < ) b

(-∞ ,b] }|{ bxx ≤ ] b

Intervalos Infinitos

(-∞ ,∞ ) }|{ ∞<<−∞ xx a b

Los símbolos∞ y -∞ se leen “infinito e infinito negativo”, respectivamente y no representan número s reales, se usan como una pictografía simple para simbolizar intervalos no acotados.



Ejemplos: Escriba cada uno de los siguientes intervalos, en notación de desigualdad y grafíquelos sobre la recta numérica real.

a) [-2,3) b) (-4,2) c) [-2, ∞ ) d) (-∞ ,3) Soluciones a) 32 <≤− x

b) 24 <<− x

c) 2−≤x

d) 3<x

Ejemplos: Escriba cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalo y grafíquelas sobre la recta numérica real.

a) 33 ≤<− x b) 12 −≥≥ x c) 1>x d) 2≤x Soluciones a) (-3,3]

b) [-1, 2]

c) (1, ∞ )

d) (-∞ ,2)

[ -2

) 3

) 2

( -4

[ -2

) 3

] 2

[ -1

] 2

( -3

] 3

( 1



3.4.9.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Resolver una desigualdad, es encontrar el conjunto de todos los número reales x, que la hacen verdadera y este conjunto puede ser determinado “algebraicamente y gráficamente”.

El conjunto de valores x, que satisfacen a la desigualdad se llama “conjunto solución” de la desigualdad dada y generalmente consta de un intervalo completo de números o en algunos casos de la unión de tales intervalos. A continuación analizaremos la resolución de los siguientes tipos de desigualdades.

• DESIGUALDADES LINEALES • DESIGUALDADES POLINOMIALES (CUADRÁTICAS FACTORIZABLES), Y

• DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

DESIGUALDADES LINEALES

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

DEFINICIÓN.- La desigualdad de la forma dcxbax +>+ ó 011 >+ bxa , se denominan desigualdad o inecuación de primer grado con una incógnita. Al resolver una desigualdad de primer grado con una incógnita encontramos finalmente desigualdades elementales que son equivalentes a las dadas originalmente y son de la forma:

ax > ax < ax ≥ ax ≤



REGLA PRÁCTICA DE TRANSPOSICIÓN 1:

“Es posible pasar un sumando de un miembro de una desigualdad al otro, cambiándole su signo. El sentido de la desigualdad se conserva 3 .” REGLA PRÁCTICA DE TRANSPOSICIÓN 2:

“Es posible pasar un factor positivo de un miembro a otro de una desigualdad, como dividendo. El sentido de la desigualdad se conserva.” REGLA PRÁCTICA DE TRANSPOSICIÓN 3:

“Es posible pasar un factor negativo de un miembro a otro de una desigualdad, como dividendo. El sentido de la desigualdad se invierte.”

a ≤

≥

a

•

a < 0

a ≥

≥

a

•

a > 0

+ a ≥

≥ - a



REGLA PRÁCTICA DE TRANSPOSICIÓN 4:

“Es posible pasar un divisor positivo de uno a otro miembro de una desigualdad, como factor. El sentido de la desigualdad se conserva.” REGLA PRÁCTICA DE TRANSPOSICIÓN 5:

“Es posible pasar un divisor negativo de uno a otro miembro de una desigualdad, como factor. El sentido de la desigualdad se invierte.”

a

≤

≥ a •

a < 0

a

≥

≥ a •

a > 0



MÉTODO ALGEBRAICO.

Los pasos que se presentan a continuación para resolver algebraicamente una desigualdad de primer grado son básicamente los mismos que se emplearon para resolver la ecuación de primer grado.

Ejercicio N° 1: Resolver e interpretar geométricamente la solución de la desigualdad

( ) ( )325542 −>−+ xxx

*SOLUCIÓN* Paso 2. Eliminando los signos de agrupación.

1510108 −>−+ xxx Paso 3. Transponiendo términos tenemos.

1015108 +−>−+ xxx Paso 4. Reduciendo términos semejantes.

5−>− x

Paso 5. Multiplicando los dos miembros por -1, e invirtiendo el signo de la desigualdad.

5<x ó (-∞ ,5) conjunto solución

Gráfica del conjunto solución en la recta numérica real

X

Paso 1. Se simplifican las fracciones si las hay suprimiendo los denominadores. Paso 2. Se eliminan los símbolos de agrupación si los hay. Paso 3. Se trasladan al miembro de la izquierda los términos que contienen la

variable y al miembro de la derecha los términos constantes. Paso 4. Se efectúa la suma de los términos semejantes en cada miembro. Paso 5. Se dividen los dos miembros de la desigualdad obtenida en el paso anterior

entre el coeficiente de la variable, teniendo cuidado de que si dicho coeficiente es negativo debe cambiarse el signo de la desigualdad.

)



Ejercicio N° 2 Resolver e interpretar geométricamente la solución de la desigualdad

32215 +≤−+ xxx

*SOLUCIÓN* Paso 3. Transponiendo términos tenemos.

13225 −≤−− xxx Paso 4. Reduciendo términos semejantes.

2≤x ó ],( 2−∞ conjunto solución

Gráfica del conjunto solución en la recta numérica real

x

] 2



3.4.10.- DESIGUALDADES POLINOMIALES DESIGUALDADES CUADRÁTICAS FACTORIZABLES

Antes de abordar una desigualdad cuadrática, señalemos que un factor lineal de la forma (x-a), es positivo para x>a y negativo para x<a. Se dice que un producto (x-a) (x-b) puede cambiar de positivo a negativo solo en a o en b. Estos puntos son la clave para determinar “el conjunto solución de las desigualdades cuadráticas y de grado superior”

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

MÉTODO ALGEBRAICO Los pasos a seguir para la solución de desigualdades polinomiales y en particular las desigualdades cuadráticas factorizables son:

Paso 1. Escriba la desigualdad polinomial en la forma estándar (es decir, una

forma donde el lado derecho esta igualado a 0). Paso 2. Encuentre todas las raíces reales del polinomio (el lado izquierdo de la

forma estándar).

Paso 3. Grafique las raíces reales (puntos de separación) en una recta numérica y divida esta en 3 intervalos.

Paso 4. Elija una prueba numérica (que sea fácil de calcular) en cada intervalo, y

evalué el polinomio para cada número (es útil hacer una pequeña tabla).

Paso 5. Use los resultados del paso 4 para construir un cuadro de signos en donde se muestre el signo del polinomio en cada intervalo.

Paso 6. A partir del cuadro de signos, escriba abajo la solución de la desigualdad

polinomial original (y dibuje la gráfica si se requiere.)



Ejercicio No. 1: Resolver la desigualdad 1072 −>− xx *SOLUCIÓN* Paso 1. Primeramente escríbase la desigualdad en la forma estándar, es decir se transfieren

todos los términos diferentes de 0 al lado izquierdo, dejando solo al 0 en el lado derecho.

01072 >+− xx forma estándar

Paso 2. Para obtener los ceros, resuélvase la desigualdad mediante factorización.

( )( ) 025 >−− xx entonces 05 >−x y 02 >−x , por lo tanto 5>x y 2>x . Paso 3. Entonces 2 y 5, “son puntos de separación o valores críticos”; y dividen al eje

numérico en tres intervalos

( )2,∞− , ( )52, , ( )∞,5

Los cuales se representan en la recta numérica

Puntos de separación

Paso 4. Los valores de prueba para cada uno de los diferentes intervalos son 0, 3 y 6. Paso 5. Determinar el signo de la función, en cada uno de los intervalos asignando a x el valor

llamado de prueba

INTERVALOS ( )2,∞− ( )52, ( )∞,5

Signo de ( )2−x - + + Signo de ( )5−x - - + Signo de ( )( )52 −− xx + - +

)2

(



Paso 6. Los intervalos que satisfacen la desigualdad ( )( ) 025 >−− xx son: ( ) ( )∞∞− ,,, 52 . Por lo tanto “el conjunto solución”; son todos los números reales en la “unión” de los intervalos ( )2,∞− U ( )∞,5 . Ejercicio N° 2: Resolver la desigualdad 62 <− xx *SOLUCIÓN Paso 1. Primeramente escríbase la desigualdad en la forma estándar, es decir se

transfieren todos los términos diferentes de 0 al lado izquierdo, dejando solo al 0 en el lado derecho.

062 <−− xx forma estándar

Paso 2. Para obtener los ceros, resuélvase la desigualdad mediante factorización.

( )( ) 023 <+− xx entonces 03 <−x y 02 <+x , por lo tanto 3<x y 2−<x . Paso 3. Entonces -2 y 3, “son puntos de separación o valores críticos”; y dividen al eje

numérico en tres intervalos

( )2−∞− , , ( )32,− , ( )∞,3

Los cuales se representan en la recta numérica

Puntos de separación

Paso 4. Los valores de prueba para cada uno de los diferentes intervalos son -3, 0 y 5 Paso 5. Determinar el signo de la función, en cada uno de los intervalos asignando a x el

valor llamado de prueba

( -2

) 3



bx −< ó bx >

bxb <<−

INTERVALOS

( )2−∞− , ( )32,− ( )∞,3 Signo de ( )3−x - - + Signo de ( )2+x - + + Signo de ( )( )23 +− xx + - +

Paso 6. El intervalo que satisface la desigualdad ( )( ) 023 <+− xx es: ( )32,− . Por lo tanto “el conjunto solución”; son todos los números reales del intervalo ( )32,− . En las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquellas que contienen “valores absolutos”. Las cuales analizaremos a continuación.

3.4.11.- DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO CONJUNCIONES Y DESIGUALDADES. Para resolver una desigualdad de la forma: bx < , si b>0, resolvemos la conjunción siguiente Una regla similar es valida para: bx ≤ DISYUNCIONES Y DESIGUALDADES. Para resolver una desigualdad de la forma: bx > , si b>0, resolvemos la disyunción siguiente Una regla similar es valida para: bx ≥ Los siguientes ejemplos ilustran la solución de desigualdades que contiene valores absolutos.



Ejercicio No. 1 :

Resolver la desigualdad 31 <−x

*SOLUCIÓN*

Usando la conjunción, la desigualdad se escribe de la siguiente manera:

313 <−<− x

Por lo tanto si sumamos 1 a los tres miembros, tenemos:

131113 +<+−<+− x 42 <<− x

Luego entonces su representación geométrica en la recta numérica real será: x

Por lo tanto, el “conjunto solución” serán todos los números reales en el intervalo abierto ( )42,− . Ejercicio N° 2 :

Resolver la desigualdad 45 <−x *SOLUCIÓN* Usando la conjunción, la desigualdad se escribe de la siguiente manera:

454 <−<− x

Por lo tanto si sumamos 5 a los tres miembros, tenemos:

545554 +<+−<+− x 91 << x

Luego entonces su representación geométrica en la recta numérica real será: x

( -2

) 4

) 9 0

( 1



Por lo tanto, el “conjunto solución” serán todos los números reales en el intervalo

abierto ( )91, . Ejercicio No. 3 :

Resolver la desigualdad 153 ≥−x *SOLUCIÓN* Usando la disyunción, la desigualdad se escribe de la siguiente manera:

153 −≤−x ó 153 ≥−x

Resolviendo las desigualdades anteriores, tenemos:

513 +−≤x ó 513 +≥x 43 ≤x ó 63 ≥x

Entonces 3

4≤x ó 2≥x

Luego entonces su representación geométrica en la recta numérica real será:

X x

Por lo tanto, el “conjunto solución” serán todos los números reales de la unión de los intervalos ),[],( ∞−∞ 23

4 U

[ 2

] 1



3.5.- POTENCIACIÓN INTRODUCCIÓN.

El álgebra, es una rama de la Matemática, que contempla diversos temas tales como:

operaciones fundamentales con expresiones algebraicas, productos notables y factorización, ecuaciones, potenciación y radicación (tema que nos ocupa en este fascículo), etc., solo por mencionar algunos. POTENCIA La palabra potencia, se refiere a “un producto de factores iguales”, es decir es la abreviación de una multiplicación en la que todos los factores son iguales. Se llama base al número que se repite como factor y exponente al número que nos indica cuantos factores hay de igual valor. Así;

aaaa ⋅⋅=3

donde;

a es la base y 3 es el exponente

De lo anterior podemos establecer la siguiente definición formal: Definición.-

A la operación de elevar un número a una potencia, se le llama “potenciación”. El exponente de la potencia, es el número que nos indica el número de veces que la base, se debe repetir como factor. Así por ejemplo:

EXPONENTE

BASE → 53 = 5 . 5 . 5 = 125 ← POTENCIA tres factores

En el ejemplo anterior la base, se multiplica tres veces.



En general una potencia se puede definir de la siguiente manera: Definición.- Si n, es un número entero positivo, el símbolo an llamado “potencia n-sima” de a, es el producto de n factores cada uno igual a a. Así; se establece que:

exponente ↓

n factores

notación exponencial an = a · a · a ... a = y ← potencia ↑

base notación multiplicativa

En el símbolo an, a se llama base y n exponente de la potencia. Las potencias reciben el nombre de acuerdo a su exponente. a2 = a · a Segunda potencia de a ó cuadrado de a a3 = a · a · a Tercera potencia de a ó cubo de a Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1000



3.6.- EXPONENTES

DEFINICIÓN.- El exponente de una potencia, “es el número que indica las veces que la base se repite como factor”. Ejemplos a3 = a a a el exponente es 3 an = a a a… (n veces n>0) el exponente es n 3.6.1.- PROPIEDADES O LEYES DE LOS EXPONENTES De la definición anterior se deducen algunas propiedades conocidas como leyes de los exponentes, tales como:

I. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS. II. PROPIEDAD DEL EXPONENTE NEGATIVO.

III. PROPIEDAD DEL EXPONENTE CERO.

A continuación describiremos cada una de las propiedades mencionadas anteriormente.

I.- PROPIEDADES DE LOS NUMEOS ENTEROS POSITIVOS PROPIEDAD N° 1 “PRODUCTO”. Para todo elemento < a εR >, siendo a ≠ 0, y para todo número entero positivo n y m, se cumple que:

an · am = a(n+m)

Esta propiedad expresa que, EL PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE, es igual; “a la misma base elevada a la suma de sus exponentes”.



EJERCICIOS: Realizar las siguientes operaciones algebraicas.

1. 22 · 24 = 2(2+4) = 26 = 64 2. x10 · x5 = x(10+5) = x15

PROPIEDAD N° 2 “COCIENTE”. Para todo elemento < a ε R >, siendo a ≠ 0, y para todo número entero positivo n y m se cumple que.


1. ( ) 255555 21820

18

20

=== −

2. ( ) 5455045

50

xxxx

== −

PROPIEDAD N° 3 “POTENCIA”. Para todo elemento < a ε R >, siendo a ≠ 0, y para todo número entero positivo n y m se cumple que.

( )mnm

n

aaa −=

Esta propiedad expresa que, EL COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE, es igual; “a la misma base elevada a la resta de sus exponentes, que resultan de restar al exponente del dividendo el exponente del divisor”.

Esta propiedad expresa que, LA POTENCIA DE OTRA POTENCIA DE LA MISMA BASE, es igual; “A la misma base elevada al producto de sus exponentes”.

(an)m = anm




1. (32)3 = 3(2)(3) = 36 = 729 2. (x10)5 = x(10)(5) = x50

PROPIEDAD N° 4 “PRODUCTO DE DOS BASES ELEVADAS A LA MISMA POTENCIA”. Para todo elemento < a y b ε R >, siendo a y b ≠ 0, y para todo número entero positivo n se cumple que.


1. (2x2)2 = (2)2 (x2)2 = 4x4 2. (3y2)4 = (3)4 (y2)4 = 81y8

PROPIEDAD N° 5 “COCIENTE DE DOS BASES DIFERENTES ELEVADAS A LA MISMA POTENCIA”. Para todo elemento < a y b ε R >, siendo a y b ≠ 0, y para todo número entero positivo n se cumple que.

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Esta propiedad expresa que, EL PRODUCTO DE DOS BASES ELEVADAS ALA MISMA POTENCIA, es igual; ” Al producto de cada base, elevada a la misma potencia”.

Esta propiedad expresa que, LA RAZON DE DOS BASES DIFERENTES ELEVADAS A LA MISMA POTENCIA, es igual; ”Al cociente de cada base elevada a la misma potencia”.

( ) nnn baab =




1. 25.6425

25

25

2

22

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2. ( )( ) 9

6

33

323

2

2

yx

yx

yx

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

II.- PROPIEDAD DEL EXPONENTE NEGATIVO

Para cualquier elemento < a ε R >, siendo a ≠ 0, y para todo número entero positivo n se cumple que.


1.- 25.041

212 2

2 ===−

2.- 44 1

xx =−

III.- PROPIEDAD DEL EXPONENTE CERO

Un número elevado a un exponente cero, es el resultado de dividir dos número iguales, que como caso particular, están afectados de exponente iguales. Para cualquier elemento < a ε R >, siendo a ≠ 0, se cumple que.

1 a-n = an

a0 = 1

Esta propiedad expresa que, TODO NUMERO ELEVADO A UN EXPONENTE NEGATIVO, es igual; ”a su reciproco elevado al mismo exponente pero positivo”.



Cuando a = 0, se tiene 00, lo cual es indeterminado. EJERCICIOS: Realizar las siguientes operaciones algebraicas.

1. 1000 = 1 2. x0 = 1

PROBLEMAS

Realizar las siguientes operaciones algebraicas que se dan en cada uno de los ejemplos siguientes, aplicando las diferentes propiedades de los exponentes, según sea el caso, y finalmente reduzca a su mínima expresión.

1. 642222 6)42(42 ===⋅ + 2. 273333 3)21(2 ===⋅ +

3. 10000100100100100 2)4850(

48

50

=== −

4. 2166666 3)2730(

27

30

=== −

5. 12)102(102 xxxx == +

6. 25)1510(1510 kkkk == +

7. 22)57()24(5

7

2

4

khkhkk

hh

⋅==⋅ −−

8. abbabb

aa

==⋅ −− )45()34(4

5

3

4

9. aaaaaaa kkkkk 3332)3()32()3()32( ===⋅ −++−++−+

Esta propiedad expresa que, TODO NUMERO ELEVADO A UN EXPONENTE CERO, es igual; ” a la unidad”.



10. 2222

2

2

22

2 431

3113

3 xxxxx

x

xx

x =+=+=+=+ −

11. 22222 4313

xxxxx =+=+−

12. abababab

ba 211 =+=+ −−

13. yxyx

xyyx

xyyx

xy

xyxyxy

−+

=−

+

=−

+=

−+

−−

−−

11

11

11

11

3.6.2.- REGLAS DE SIGNOS PARA LAS POTENCIAS

En las potencias debemos de considerar en la regla de los signos los siguientes casos:

EJEMPLOS:

a) 16)2( 4 =

b) 16)4( 2 =−

c) 8)2( 3 −=−

Primer caso: Si la base es positiva, cualquier potencia lo será. Segundo caso: Si la base es negativa, las potencias pares son positivas y las

potencias impares son negativas.



3.6.3.- EXPONENTES FRACCIONARIOS

Nuestra discusión del exponente n, hasta ahora se a limitado a exponentes de números enteros positivos, negativos y el cero. Necesitamos que las reglas aplicables a los “números enteros” también pueden aplicarse de la misma forma a los “EXPONENTES FRACICONARIOS”. En esta parte vamos a extender la idea de exponentes, para incluir todos LOS NUMEROS

RACIONALES de la forma nm

± , donde m y n son enteros positivos.

Esta ampliación se guía completamente en la suposición de que las leyes de los exponentes tienen validez.

Ahora consideremos exponentes de la forma nm , donde m es un entero positivo o

negativo y n es un entero positivo, cuya potencia fraccionaria se representa de la siguiente manera.

Primer caso. Cuando m = 1 entonces la potencia fraccionaria es na1

En primer lugar investigaremos que interpretación o significado debe atribuirse a ese tipo de exponentes. Para lo cual analizaremos los siguientes ejemplos:

aaaaaa ===⋅= 22

21

21

21

21

Es decir que 21

a será la raíz cuadrada principal de a.

aa =21

0>a Análogamente, tenemos que:

aaaaaaa ===⋅⋅=++ 3

33

13

13

13

13

13

13

1

nm

a



Por consiguiente:

33

1aa =

En general si n, es un número entero positivo y >< Raε , siendo a ≠ 0, la potencia fraccionaria se representa de la siguiente manera: Esta ecuación muestra que la n-sima potencia de na

1, es igual a “a” o bien que na

1 es

una n-sima raíz de a,

Por definición:

nn aa =1

léase “raíz n-sima de a” Segundo caso. Cuando m ≠ 1 entonces la potencia fraccionaria es n

ma

En primer lugar investigaremos que interpretación o significado debe atribuirse a ese tipo de exponentes, para lo cual analizaremos el ejemplo siguiente:

3412

43

43

43

43

43

43

43

43

43

aaaaaaaa ===⋅⋅⋅=+++

Luego entonces:

4 343

aa = En general, si n y m son números enteros positivos y >< Raε , siendo 0≠a , la potencia fraccionaria se representa de la siguiente manera:

aaaaaaa nn

nnnnn ===⋅= )(...11111

siendo 0≠a n-factores

mnmnn

nm

nm

nm

nm

nm

nm

aaaaaaaa ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⋅⋅= ... siendo 0≠a

n-factores



Lo anterior nos lleva a definir: De donde por definición n mn

maa = léase “raíz n-sima de a elevado a la m”

De lo anteriormente expuesto concluimos que:

1. Todo número elevado a un exponente fraccionario corresponde a una raíz de índice igual al denominador y el numerador como exponente del subradical o radicando.

Esto significa que ; “toda potencia fraccionaria se puede representar como una

raíz”. En un exponente fraccionario “el numerador significa una potencia y el denominador una raíz”

2. Las leyes o propiedades de los exponentes enteros positivos, también son

aplicables y validas para los exponentes fraccionarios.

PROBLEMAS

Realizar las siguientes operaciones algebraicas con exponentes fraccionarios, aplicando las diferentes propiedades de los exponentes, según corresponda para cada caso, y finalmente reduzca a su mínima expresión.

1. 46464 33

1==

2. 98181 2

1==

3. 23232 55

1==

4. 3 23

2hh =

5. 33 33 43

4kkkkkk ===

6. ( ) 44 44 54

54

32

14

32

1xxxxxxxxx ===== +

7. ( ) 12 5125

31

43

31

43

hhhh

h===

−

n mnm

aa =



8. ( ) kkkkk

k====

− 21

189

31

65

31

65

9. 66 66 76

72

13

22

13

2yyyyyyyyy =====⋅

+

10. ( ) 331

124

21

65

21

65

yyyyy

y====

−

11. ( ) ( )abbabba

33144

11241

41124 3818181 === −−

12. ( ) ( ) 22

21

2123

31

23

3163

131

236 33272727

ab

abbababa ===⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

13. ( )( )( )

22

33 22bababa

ba

xba

bababaxx ++−−

=−

++−=

14. ( ) ( ) 21218888 3033103

13

10 ==⋅==⋅= xaaa

15. 1180

41

23

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ba



3.7.- RADICALES

RADICACIÓN.

¡La radicación es la operación inversa de la potenciación!.

Consiste en hallar un número llamado raíz, que elevado a una potencia igual al índice, de el número objeto de la operación, al que se le llama radicando o subradical. En muchos casos es más ventajoso expresar una cantidad en función de “radicales”, que en función de exponentes fraccionarios. NOTACIÓN.- El símbolo para indicar la raíz cuadrada es una r deformada llamada “radical ( )”: el número del cual se quiere conocer su raíz es el subradical o radicando. DEFINICIÓN.- La raíz n-sima de un número real a, se denota por el símbolo n a , el cual se llama RADICAL. La raíz n-sima de a es un número cuya potencia n-sima es a esto es: ( ) aa

nn = ,con las condiciones siguientes. 1. Cuando n es par y 0>a , 0>n a , llamada raíz principal. Esto es; “si el índice es par y el

radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto pero de signo diferente.”

EJEMPLOS:

525 ±= 636 ±= 10100 ±= 416 ±= 2. Cuando n es impar y 0>a , 0>n a . Esto es “si el índice es impar y el radicando es

positivo, la raíz es única y positiva.”

EJEMPLOS: 3273 = 4643 = 51253 = 283 =



3. Cuando n s impar y 0<a , 0<n a . Esto es “si el índice es impar y el radicando es

negativo, la raíz es única y negativa.”

EJEMPLOS: 3273 −=− 4643 −=− 51253 −=− 283 −=− 4. Cuando n es par y 0<a , n a no es número real. Es decir, existen casos en que la

radicación es imposible en el campo de los números reales, esto sucede cuando: “El índice de la raíz es par y el radicando es un número negativo, tenemos los número imaginarios.”

EJEMPLOS:

=− 9 número imaginario =− 25 número imaginario =− 81 número imaginario =− 36 número imaginario

El número natural n presente en el radical n a , se llama índice u orden del radical y a se denomina radicando ó subradical; cuando no se escribe ningún índice como en a , se sobreentiende que el índice es 2, y se lee “raíz cuadrada de a”. Sí el índice es 3, como n 3 a , se lee “raíz cúbica de a”. NOTA: El índice de un radical, siempre es un número natural mayor que uno ( )1>n . EJEMPLOS:

525 ±= 416 ±= 31

91

±=

Si la raíz indicada es exacta se tiene un número racional.



EJEMPLOS: 4142.12 = 7320.13 = De la definición de exponentes y la de radicales y para todo εε nymRa >< naturales, tenemos que: Siempre que: n a y na

1, estén definidos. Esto significa que; “Toda raíz se puede

representar como una potencia fraccionaria”. EJEMPLOS: 3

13 33 = 4

24 2 22 = 21

55 = 555 2

22 == 444 333 3 ==

3.7.1.- ELEMENTOS DE UN RADICAL En los radicales debemos saber distinguir el signo, el coeficiente que es el factor que va colocado fuera del signo radical; el radicando o subradical y el grado de la raíz, que está expresada por el índice de la raíz; así por ejemplo tenemos que:

3 24 b− Donde:

a) El signo es negativo b) El coeficiente es el número 4 c) El radicando o subradical es b2 d) La raíz s de tercer grado, o sea raíz cúbica

aaoaa n nnn ==1

Si la raíz indicada es inexacta se tiene un número irracional; porque no existe ningún número racional que elevado a la potencia indicada dé por resultado el número propuesto.



3.7.2.- LEYES DE LOS RADICALES

De las leyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales.

Hay cinco leyes de los radicales que son consecuencia inmediata de los principios anteriores y de las correspondientes leyes de los exponentes, dados, también para cada caso. Restringiendo a n y m a ser enteros positivos y a a y b a ser no negativos, siempre que m o n sea par. Se cumplen las siguientes leyes: PROPIEDAD N° 1. Demostración.- Si 0≥a y n es un número entero positivo, entonces

( ) aaaa nnn

nnn ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1

Luego entonces se establece que: Es decir;”La raíz n-sima principal de a elevada a la n, es igual a a ” (radicando) EJEMPLOS: Realizar las siguientes operaciones con radicales

( ) 5533 = ( ) xx =

44

PROPIEDAD N° 2. Demostración.- Si 0>a , 0>b y n es un número entero positivo, entonces

( ) nnnnnn babaabab ⋅===111

Luego entonces se establece que:

( ) aann =

nnn baab ⋅=

Es decir; ”La raíz n-sima principal de un producto es el producto de las raíces n-simas principales”.



EJEMPLOS: Realizar las siguientes operaciones con radicales xxx 41616 22 =⋅= yyy 46464 3 333 3 =⋅=

PROPIEDAD N° 3. Demostración.- Si 0≥a , 0>b y n es un número entero positivo, entonces

n

n

n

nnn

aa

b

aba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

11


EJEMPLOS: Realizar las siguientes operaciones con radicales

41616

22 xxx==

21616 4

4 44

4 kkk==

n

nn

aa

ba=

Es decir; ”La raíz n-sima principal de un cociente; es el cociente de las raíces n-simas principales”.



PROPIEDAD Nº. 4. Demostración.- Si 0≥a , m y n es un número entero positivo, entonces

nmnmm

nm n aaaa ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

11

1


EJEMPLOS: Realizar las siguientes operaciones con radicales: 26464 63 ==

2102010 205 20 xxxx ===

PROPIEDAD N° 5. Demostración.- Si 0≥a , m y, n es un número entero positivo, entonces

( ) n mnmm

nmn aaaa ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1


nmm n aa =

( ) n mmn aa =

Es decir; ”da lo mismo sacar la raíz n-ésima principal y luego sacar la raíz m-ésima principal que sacara la raíz mn-ésima principal.”



Las leyes anteriores pueden emplearse para hacer cambios necesarios; en lo radicales de los cuales los más comunes son:

1. Remover factores del radicando. 2. Remover el denominador de un radicando. 3. Expresar un radical como un radical de orden más bajo; e 4. Incluir un factor dentro de un signo radical.

REDUCCIÓN DE EXPRESIONES RADICALES A SU FORMA MÁS SIMPLE.

Una expresión que contiene radicales se llama estar en su forma más simple cuando:

1. No se puede quitar ningún factor del radicando. 2. No puede reducirse ningún índice.

3. No hay fracciones debajo de un signo radical; y

4. No hay radicales en un denominador.

3.7.3.- RADICALES SEMEJANTES

DEFINICIÓN.- Se dice que dos o más radicales son semejantes, si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

EJEMPLOS:

a. 52− ; 5 Son radicales semejantes b. 3 8 ; 4 8 No son radicales semejantes

c. 2 ; 8− Son radicales semejantes

22− equivalentes

Es decir; ”da lo mismo sacar la raíz n-ésima principal y luego elevar a la potencia m, que elevar primero a la potencia m y luego sacar la raíz n-ésima principal.”

“Los radicales semejantes se reducen en la misma forma que los términos semejantes.”



3.7.4.- OPERACIONES CON RADICALES

Para la realización de algunas operaciones con radicales, es necesario que tengan el mismo índice o grado de la raíz.

I.- SUMA DE RADICALES. Dos o más radicales se pueden sumar algebraicamente siempre que sean semejantes.

EJEMPLOS: Efectuar la suma de los siguientes radicales y simplifíquese reduciendo términos semejantes si los hay.

1. 33 24;5;2;52 Estableciendo la suma, tenemos: 33 245252 +++ Reduciendo radicales semejantes tenemos 3 2553 + Resultado

2. 23;2;23 − Estableciendo la suma, tenemos: 23223 −++ Reduciendo radicales semejantes tenemos 2 Resultado No podemos combinar en un solo término radicales como 2 y 3 ó 2 y 3 2 ó

5 y 3 7 ; sin embargo los radicales pueden a veces reducirse a formas que puedan sumarse.

Regla.- Para sumar algebraicamente radicales semejantes, súmense los coeficientes y póngase el resultado obtenido como coeficiente del radical común.



EJEMPLO: Efectuar la suma de los siguientes radicales y simplifíquense reduciendo términos semejantes

1. 487;50;85;124 −− Estableciendo la suma, tenemos: 4875085124 −−+ 3167225245344 xxxx −−+ Convertir los radicales en equivalentes del mismo orden y radicando: 3282521038 −−+ Reduciendo radicales semejantes, tenemos 32025 − Resultado

II.- RESTA DE RADICALES.

EJEMPLOS: Efectué la resta algebraica de los siguientes radicales y simplifíquense reduciendo términos semejantes. 1) De 23 restar 22 Estableciendo la resta, tenemos: 2223 − Reduciendo radicales semejantes, tenemos 2 Resultado

Regla.- La resta de radicales se efectúa como la suma, con la única diferencia que antes se cambian los signos del sustraendo.



2) de 3 53 restar 3 55 Estableciendo la resta, tenemos: 33 5558 − Reduciendo radicales semejantes, tenemos 3 53 Resultado

III.- MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DE MISMO INDICE. Los radicales que tienen el mismo índice pueden multiplicarse aplicando la siguiente ley de los radicales (o fórmula general). Para a, b y c que <a εR>, siendo 0,0 >> ba y Nnyc ε0> , se establece que:

Observación.- Sí los radicales cuyo producto se busca no tiene igual índice, se reducen primero a otros equivalentes de igual índice y luego se opera como el caso anterior. EJEMPLO: Efectuar los productos de los siguientes radicales y simplificar. 1. 6 por 24 Estableciendo el producto, tenemos 144246246 ==⋅ x = 12 Resultado

nnnn abccba =⋅⋅

Regla.- Para multiplicar dos o más radicales de igual índice, multiplíquense los radicandos y aféctese el producto de un radical de igual índice que el de los factores.



2. 3 2 por 3 4 Estableciendo el producto, tenemos 284242 3333 ===⋅ x Resultado

IV.- DIVISIÓN DE RADICALES. DIVISION DE RADICALES DE IGUAL SIGNO Los radicales que tienen igual índice pueden dividirse aplicando la siguiente ley de los radicales.

EJEMPLOS: Efectué la división del los siguientes radicales y simplifique. 1) Dividir 175 entre 7 Estableciendo el cociente, tenemos

5257175

7175

±===

2) Dividir 3 216 entre 3 6 Estableciendo el cociente, tenemos

33

3

3

3

366

2166

216== Resultado

nn

n

ba

ba=

Regla.- Para dividir los radicales de igual índice, divídase el radicando del dividendo entre del divisor y aféctese el cociente de un radical de igual índice que el del dividendo y del divisor.



3.7.5.- RACIONALIZACIÓN

RACIONALIZACIÓN DE UN DENOMINADOR. Cuando ocurre un radical en el denominador, el denominador puede ser racionalizado (es decir, quedar libre de radicales). Con frecuencia necesitamos convertir una fracción con radical o radicales en el denominador tales como;

1 1 2 + √3 √2 √3 √5 - √3 Etc...

a una fracción sin radicales en el denominador. El proceso de eliminar radicales del denominador, se llama racionalizar el denominador. A continuación analizaremos los dos casos siguientes.

a) Primer caso.- Racionalización del denominador de una fracción cuando el denominador es un monomio.

Ejemplos: Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones.

a) 331

33

33

31

31 o=⋅=

b) 332

332

33

32

32 o=⋅=

Regla.- Se multiplican los dos elementos de la fracción por el radical del mismo orden que contenga el denominador y finalmente se simplifica el resultado.



b) Segundo caso.- Racionalización del denominador de una fracción

cuando el denominador es un binomio.

Ejemplos:

a) ( ) 121212

1212

1212

121

121

22 −=−−

=−

−=

−−

⋅+

=+

b) 2

332155235

33215523535

3532

3532 +++

=−

+++=

++

⋅−+

=−+

Regla.- Se multiplican ambos elementos de la fracción por el conjugado del denominador, y finalmente se simplifica el resultado.



3.8.- LA RELACIÓN COMO MODELO MATEMÁTICO

Dos conjuntos cualesquiera:


Llamamos: producto cartesiano o producto cruz A X B al conjunto integrado por todos los pares ordenados que puedan formarse con los elementos de A y B, tomando los elementos de A como primeros componentes.

A X B = { (a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) , (b,1) , (b,2) , (b,3) , (b,4) , (c,1) , (c,2) , (c,3) , (c,4) }

“ A cruz B”

A = { a, b, c } B = { 1, 2, 3, 4 }

• primer componente • segundo componente del par ordenado. del par ordenado.

( x , y )

A = { a, b, c } B = { 1, 2, 3, 4 }

La expresión Representa un par ordenado

( b , 3 )




Llamamos: producto cartesiano o producto cruz B X A al conjunto integrado por todos los pares ordenados que puedan formarse con los elementos de A y B, tomando los elementos de B como primeros componentes.

Obtenemos lo siguiente:

Observamos como se representa la no conmutatividad del producto cartesiano:

A cruz B

A X B = { (x , y) / x ∈ A ∧ y ∈ B }

B cruz A

B X A = { (y , x) / x ∈ A ∧ x ∈ A }

B X A = { (1,a) , (1,b) , (1,c) , (2,a) , (2,b) , (2,c) , (3,a) , (3,b) , (3,c) , (4,a) , (4,b) , (4,c)

“ B cruz A”

A = { a, b, c } B = { 1, 2, 3, 4 }



Considerando el producto y producto cartesiano, se observa lo siguiente.

La cual la representaremos de la siguiente forma grafica: Representación gráfica de AXB en que:

A = { a, b, c } y B = { 1, 2, 3, 4 }

y∈B

• n (A) = cardinalidad del conjunto A. • n (AXB) = cardinalidad del producto cartesiano AXB.

• n (AXB) = n(A) X n(B) • n (BXA) = n(B) X n(A) • n(A) X n(B) = n(B) X n(A) conmutatividad del producto • n (AXB) = n (BXA)

producto producto cruz por

Si a≠ b Si a = b (a , a) = (b , b) y Si A ≠ B Si A = B A X B = B X A = A 2 = B 2

(a , b) ≠ (b , a)

A X B ≠ B X A



x∈A A cada par ordenado de números reales (a,b) le corresponde un punto del plano y sólo uno; y a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales (a,b) y sólo uno.

Un punto del plano queda definido por medio de un par de números reales usualmente llamados las coordenadas cartesianas del punto: la abscisa y la ordenada.



Una relación de AXB es un subconjunto no vacío del producto cartesiano AXB cuyos elementos satisfacen una determinada condición. En una relación de AXB podemos identificar: • Dos conjuntos ( A y B ) y una regla de correspondencia que permite asignar a cada uno de los elementos de A, uno o más elementos de B.



Podemos representar una relación por medio de un esquema como éste:

Que llamamos: Gráfica Sagital A B



Dados dos conjuntos A y B :

El dominio de una relación de A en B es el conjunto de los elementos de A que tienen al menos una imagen en el conjunto B, al que llamaremos codominio

a

b

c4

3

5

1

2

Dominio ⊆ A A B

Dominio Codominio



Imagen es el elemento o conjunto de elementos del codominio, que la regla de correspondencia asigna a un elemento dado del dominio. • 1 es la imagen de a. • { 2, 3 } es la imagen de b. • 2 es “una” imagen de b. • 3 es “una” imagen de b.

El rango es el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, y únicamente de ellas. Algunos autores llaman al rango imagen del dominio.

Dominio

Rango

A B



El codominio es cualquier conjunto que contenga, como subconjunto propio o impropio, al conjunto de todas las imágenes (es decir, al rango). Podemos definir una relación: 1.- Mediante la enumeración de los elementos ( pares ordenados) que la constituyen. Ejemplo:

R 1 = { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10) }

2.- Mediante la especificación del dominio y la regla de correspondencia:

R 2 = { (x,y) / x ∈ D ∧ y = x 2 }

3.- Mediante la especificación del dominio, el codominio y la regla de correspondencia:

R 3 = { (x,y) / (x,y) ∈ DXC ∧ y = x 2 } 4.- Mediante la especificación del dominio, el rango y la regla de correspondencia:

R 3 = { (x,y) / (x,y) ∈ DXR ∧ y = x 2 }

Rango

Codominio

A B

Dominio

Codomonio ⊆ Rango



Otra forma de representar una relación de AXB en B:

R : A → B / regla de correspondencia

Por ejemplo:

R : ℜ→ℜ / y = 3x + 4

Gráfica Cartesiana de la relación: { (x,y) / x Ν∈ , x ≤ 5 ∧ y = x }



Gráfica Sagital de la relación: { (x,y) / x Ν∈ , x ≤ 5 ∧ y = x }

Dominio Rango

1

2

0

3

4

5

0

1

2

3

4

5



3.9.- FUNCIONES

Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde una imagen, y sólo una.

Cuando una relación está definida por extensión o enumeración de sus elementos podemos identificarla como función. Si no hay dos pares ordenados con el mismo primer componente. Ejemplo: { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,6) } Cuando la relación está representada por medio de una gráfica sagital, podemos identificar como función. Si no hay un elemento del dominio que sea origen de dos o más flechas. Ejemplo:

Cuando la relación está representada por medio de una gráfica cartesiana, podemos identificarla como función. Si toda recta paralela al eje de las ordenadas, en cualquier punto del dominio, intersecta a la gráfica en un punto, y sólo uno.

A B



Ejemplo:

Cuando la relación está definida por medio de la regla de correspondencia, conviene expresarla en alguna de las formas anteriores. La expresión → f(x) = 3x – 1 significa: La imagen de un elemento x del dominio es igual a 3x -1. Si f(x) = 3x +2 entonces f(0) = 3(0) + 2 = 2 f(1) = 3(1) + 2 = 5 f(2) = 3(2) + 2 = 8 f(a) = 3a +2 f(x + 1) = 3(x + 1) +2 f(x 2 - 3) = 3(x 2 - 3) +2 ; etc.



Esta máquina F acepta sólo elementos del dominio. Un elemento x del dominio entra a la máquina y sale transformado en su imagen f(x).

En las expresiones:

F = { (x,y) / x ∈ D ∧ y = f (x)

F : D → C / y = f (x) La forma que adopte la regla de correspondencia:

y = f (x) nos permite definir algunas clases de funciones.

x f(x)

F

Dominio Rango

Conjunto de todos los primeros componentes

Conjunto de todas las imágenes



Si y = f (x) adopta la forma y = c en que “c” es un número real, la función recibe el nombre de función constante.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = 4 }

Si y = f (x) adopta la forma y = ax + b en que “a y b” son números reales, la función recibe el nombre de función lineal.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = 2x – 3 }



Si y = f (x) adopta la forma y = x (es decir: a = 1 y b = 0 en y = ax + b , la función recibe el nombre de función identidad.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = x }

Si y = f (x) adopta la forma y = ax 2 + bx + c en que “a, b y c” son números reales, la función recibe el nombre de función cuadrática.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = 2x – 3 }



La ecuación y = ax 2 + bx + c puede ser expresada en la forma y = a(x-h) 2 + bx + c en que ( h , k) es el vértice de la parábola. Si y = f (x) adopta la forma y = a n x n + a 1−n x 1−n + a 2−n x 2−n + ….. + a 0 en donde “a i ℜ∈ ” y “n, n-1, n-2, … Ν∈ ”, la función recibe el nombre de función polinomia.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = 5x 3 – 2x 2 + x – 1 }

Si y = f (x) adopta la forma y = x , la función recibe el nombre de función valor absoluto.

Ejemplo:

{ (x,y) / x ∈ ℜ ∧ y = x }



RELACIÓN CUALQUIERA De cada A cada Elemento elemento de A de B sale un llega un número número indiferente indiferente de de flechas. flechas.

FUNCIÓN CUALQUIERA De cada A cada Elemento elemento de A de B sale una llega un flecha y número sólo una indiferente de flechas.

SUPRAYECCIÓN De cada A cada Elemento elemento de A de B sale una llega al flecha y menos una sólo una. flecha.

BIYECCIÓN De cada A cada Elemento elemento de A de B sale una llega una flecha y flecha y sólo una. sólo una.

INYECCIÓN De cada A cada Elemento elemento de A de B sale una llega una flecha y flecha sólo una. como máximo.

RESUMEN DE RELACIONES Y FUNCIONES



3.10.- LOGARITMOS

Se llama logaritmación a la operación que por medio de logaritmos resuelve las demás operaciones fundamentales.(9) Usando logaritmos se puede encontrar el resultado de una suma, resta, multiplicación, división, ecuación exponencial, etc. Se lama logaritmo al exponente al que debemos elevar otro número, que se llama base, para encontrar un número dado. Por ejemplo: si nos dan el número 100 y nos preguntan su logaritmo, considerando que nuestro sistema de numeración tiene como base el número 10, luego entonces, el exponente al que hay que elevar la base 10 será el 2 para encontrar el número dado, que es 100, porque 10 al cuadrado es igual a 100. De donde podemos asegurar que el logaritmo de 100 es 2. Los sistemas de logaritmos pueden ser infinitos, porque cualquier número positivo puede ser la base de un sistema. “todo número positivo puede expresarse, exacta o aproximadamente, como una potencia de 10 “. Así por ejemplo:

100 = 10 2 ; 13 = 10 ....113943.1 ; etc Cuando expresamos un número de este modo, el exponente correspondiente se llama su “logaritmo cuya base es 10”. Así por ejemplo:

2 es logaritmo de 100 cuando la base es 10, relación que se escribe:

log10 100 = 2, o simplemente, log 100 = 2

Los logaritmos de los números cuya base es 10, se llaman Logaritmos Comunes o de Briggs, y, conjuntamente, forman el Sistema Común. Estos son los únicos logaritmos que se usan en los problemas numéricos.



Cualquier número positivo, excepto la unidad, se puede emplear como base de un sistema de logaritmos; así, si a x = m, siendo a y m números positivos, tendremos:

NOTA: Se considera que un número negativo no tiene logaritmo.

Por Algebra tenemos que:

10 0 = 1 , 10 1− = 101 = .1

101 = 10 , 10 2− = 2101 = .01

10 2 = 100 , 10 3− = 3101 = .001, etc

De donde por definición: log 1 = 0 , log .1 = -1 = 9 - 10 log 10 = 1 , log .01 = -2 = 8 - 10 log 100 = 2 , log .001 = -3 = 7 - 10 NOTA: Es preferible en la práctica la segunda forma dada para expresar los logaritmos de .1, .01, .001, etc. Si no se expresa cual es la base, se entiende que es 10. De lo expuesto anteriormente se deduce evidentemente que el logaritmo de un número mayor que 1 es positivo y que el logaritmo de un número comprendido entre 0 y 1 es negativo. Si un número no es una potencia exacta de 10, su logaritmo común no puede expresarse sino aproximadamente. La parte entera de un logaritmo se llama característica, y la parte decimal mantisa.

x = log a m



3.10.1.- LOGARITMOS DE NÚMEROS ENTEROS CON DECIMALES

Para obtener el logaritmo de un número ilustraremos el siguiente, ejemplo: 1) Determinar el logaritmo de 173.84 Primeramente se obtiene la característica siguiendo esta regla:

Para nuestro caso la característica es 2 por que el primer número de 173.84 es 2 y esta en el tercer espacio 8 . 2) Se obtiene la mantisa utilizando las tablas matemáticas; Se toman las tres primeras cifras que son 1, 7, 3; en la primera columna de la izquierda encabezada por “N”, localizaremos el número 173 en el cruce de este renglón con la columna 8 (que es la cuarta cifra) encontramos la mantisa 240050. Consultar 8 .Tabla de los logaritmos de los números desde 1 a 10,000. Pags. 14-28.

Punto Decimal Dígitos 1 7 3 • 8 4 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 Característica

N 0 1 2 3 ……. 8 9 D 169 229938 170 232488 171 5023 172 7544 173 240050 174 2541 175 245019



Por lo tanto encontramos que:

Log 173.84 = 2.240050 solución

3.10.2.- LOGARITMOS DE NÚMEROS DECIMALES Para obtener el logaritmo de un número ilustraremos el siguiente, ejemplo: 1) Determinar el logaritmo de 0.0486 Primeramente se obtiene la característica siguiendo esta regla:

Siguiendo los pasos que a continuación se enumeran, se obtiene: a) A 9 se le resta el número que corresponde a la primera cifra diferente a cero. Para nuestro caso es 1, se obtiene:

9 – 1 = 8 ⇐característica parcial b) Se obtiene la mantisa utilizando las tablas matemáticas; Se toman las tres primeras cifras que son 4, 8, 6; en la primera columna de la izquierda encabezada por “N”, localizaremos el número 486 en el cruce de este renglón con la columna 0 (que es la cuarta cifra) encontramos la mantisa 686636.

Punto Decimal Dígitos 0 • 0 4 8 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 Característica



Consultar 8 .Tabla de los logaritmos de los números desde 1 a 10,000. Pags. 14-28. c) Del número encontrado hasta el momento 8 que es la característica parcial se le restan 10. Obtenemos lo siguiente:

10 – 8.686636 = 1.313364

Por lo tanto encontramos que:

Log 0.0486 = 1.313364 solución

N 0 1 2 ….. 7 8 9 D 482 683047 483 3947 484 4845 485 5742 486 686636 487 7529 488 8420



3.10.3.- PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

“En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es 0”. Por Algebra sabemos que:

a 0 =1; entonces log a 1 = 0 “En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1”.

a 1 = a, entonces log a a = 1

“En cualquier sistema de logaritmos en que la base sea mayor que 1, el logaritmo de 0 es -∞”. Si a es mayor que 1, se obtiene que:

a −∞ = ∞a1 =

∞1 = 0

De donde:

Log a 0 = -∞

NOTA: No podemos atribuir ningún significado literal a resultados tales como Log a 0 = -∞ ; debe interpretarse del modo siguiente: Si en cualquier sistema cuya base es mayor que la unidad, un número se aproxima al límite 0, su logaritmo es negativo y aumenta fuera de todo límite en valor absoluto. (8) Considerando que m y n son números enteros positivos, establecemos las siguientes ecuaciones:

a x = m (1) ⇒ log a m = x (3) a y = n (2) ⇒ log a n = y (4)



PROPIEDAD No. 1; “PRODUCTO” Consideremos las ecuaciones (1) y (2);

a x = m a y = n

Si multiplicamos miembro a miembro ambas ecuaciones, se obtiene lo siguiente:

a x • a y = m • n

a yx+ = m • n

Si aplicamos la definición de logaritmo, a la ecuación anterior, obtenemos la forma logarítmica:

log a m • n = x + y (A)

Sustituyendo el valor de x y y en la ecuación (A), se tiene:

En cualquier sistema, el logaritmo de un Producto es igual: “A la suma de los logaritmos de sus factores”. Ejemplo: Hallar el valor de las siguientes cantidades. log 34 • 258 = log 34 + log 258 = 1. 531479 + 2. 411620 = 3. 943099 solución PROPIEDAD No. 2; “COCIENTE” Consideremos las ecuaciones (1) y (2);

a x = m a y = n

log a m • n = log a m + log a n



Si multiplicamos miembro a miembro ambas ecuaciones, se obtiene lo siguiente:

nm

aa

y

x

=

nma yx =−


log a nm = x - y (B)

Sustituyendo el valor de x y y en la ecuación (A), se tiene:

En cualquier sistema, el logaritmo de una fracción es igual: “Al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador”. Ejemplo: Hallar el valor de las siguientes cantidades.

log 473

3785 = log 3785 - log 473

= 3. 578066 - 2. 674861 = 0. 903205 solución PROPIEDAD No. 3; “POTENCIA” Consideremos las ecuación (1) ;

a x = m

Elevando ambos miembros de la ecuación a la potencia “p”, se tiene:

ppx ma =

log a nm = log a m - log a n




log a pm = px (C)

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (C), se tiene:

En cualquier sistema, el logaritmo de cualquier potencia de una cantidad es igual: “Al logaritmo de la cantidad multiplicado por el exponente de la potencia”. Ejemplo: Hallar el valor de las siguiente cantidad.

log 18 65

= 65 log 18

= 65 ( 1. 255273 )

= 6

)255273.1(5

= 6

276365.6

= 1. 046060 solución

log a pm = p log a m



PROPIEDAD No. 4; “RAIZ” Considerando la siguiente expresión logarítmica:

log a r m = log a )(1rm

Esto implica que el logaritmo es:

En cualquier sistema, el logaritmo de cualquier raíz de una cantidad es igual: “Al logaritmo de la cantidad dividido por el índice de la raíz”. Ejemplo: Hallar el valor de las siguiente cantidad.

log 3 125 = 31 log 125

= 31 ( 2. 096910)

= 3

)096910.2(1

= 3

096910.2

= 0. 698970 solución

NOTA: Para multiplicar un logaritmo por una fracción, se multiplica primero por el numerador y

después se divide el resultado por el denominador.

log a r m = r1 log a m



EJERCICIOS: Hallar el valor de los logaritmos de las siguientes cantidades, aplicando las propiedades de los logaritmos.

1) log 2151825 • = log 25 • log 18 – log 15 2

= log 25 + log 18 – 2 log 15

= 21 log 25 + log 18 – 2 log 15

= 21 (1. 397940) + 1. 255273 – 2 (1. 176091)

= 2

)397940.1(1 + 1.255273 – 2. 352182

= 2

397940.1 + 1.255273 – 2. 352182

= 0. 698970 + 1.255273 – 2. 352182 = 1. 954243 – 2. 352182 = 0.397939 solución



2) log 5

34

50725.18359 • = log 359 3

4

+ log 18.5 – log 5 5072

= 34 log 359 + log 18.5 –

51 log 5027

= 34 (2.555094) + 1. 267172 -

51 (3. 705179)

= 3

)555094.2(4 + 1. 267172 - 5

)705179.3(1

= 3

220376.10 + 1. 267172 - 5

705179.3

= 3. 406792 + 1. 267172 – 0. 741035 = 4. 673964 – 0. 741035 = 3. 932929 solución



3.10.4.- ECUACIONES

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita interviene como exponente, tales como:

a x = b ; 2 x = 100 ; etc. Resolución de ecuaciones exponenciales. Ejemplos: 1) Resolver la siguiente ecuación exponencial.

4 x = 100

Solución: Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación anterior, obtenemos lo siguiente:

log 4 x = log 100

Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

x log 4 = log 100 Despejando la incógnita “x”, se tiene:

x = 4log

100log

Resolviendo la ecuación, se tiene:

x = 602060.0

2

x = 3. 321928 solución Comprobación: Sustituyendo el valor de “x” obtenido anteriormente, en la ecuación original, se tiene: 4 x = 100 4 321928.3 = 100 99. 99 = 100 100 = 100



2) Resolver la siguiente ecuación exponencial.

6 x = 100

Solución: Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación anterior, obtenemos lo siguiente:

log 6 x = log 100

Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

x log 6 = log 100 Despejando la incógnita “x”, se tiene:

x = 6log

100log

Resolviendo la ecuación, se tiene:

x = 778151.0

2

x = 2. 570195 solución Comprobación: Sustituyendo el valor de “x” obtenido anteriormente, en la ecuación original, se tiene: 6 x = 100 6 570195.2 = 100 100 = 100



ECUACIONES LOGARITMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella en que la incógnita aparece afectada por la palabra logaritmo , tales como:

log x + log (x-1) = 2 ; log (x+1) = 3 ; etc. Resolución de ecuaciones logarítmicas. Ejemplos: 1) Resolver la siguiente ecuación logarítmica.

log 2x - log 4 = 1

Solución: Aplicando la definición de logaritmos en sentido inverso, se obtiene:

14log

2log=

x

14

2=

x

0104

2=

x

Despejando la incógnita “x”, se tiene: 2x = 4 (10) 2x = 40

x = 240

x = 20 solución Comprobación: Sustituyendo el valor de “x” obtenido anteriormente, en la ecuación original, se tiene:

log 2x - log 4 = 1

log 2 (20) - log 4 = 1 log 40 - log 4 = 1 1. 602060 – 0. 602060 = 1 1 = 1



2) Resolver la siguiente ecuación logarítmica.

log 4x - log 16 = 1

Solución: Aplicando la definición de logaritmos en sentido inverso, se obtiene:

1164

=x

010164

=x

Despejando la incógnita “x”, se tiene: 4x = 16 (10) 4x = 160

x = 4

160

x = 40 solución Comprobación: Sustituyendo el valor de “x” obtenido anteriormente, en la ecuación original, se tiene: log 4x - log 16 = 1

log 4 (40) - log 16 = 1 log 160 - log 16 = 1 2. 204119 – 1. 204119 = 1 1 = 1

116log4log

=x



IV.- LA PRUEBA DE LA MEDIANA

La prueba de la mediana es un procedimiento para probar si dos grupos independientes difieren en sus tendencias centrales. Más exactamente, la prueba de la mediana dará información acerca de la probabilidad de que dos grupos independientes (no necesariamente del mismo tamaño) se hayan tomado de poblaciones con la misma mediana 10. La Hipótesis de Nulidad supone que provienen de poblaciones con la misma mediana; la hipótesis alterna puede ser que la mediana de una población es diferente de la de la otra ( prueba de dos colas ) o que la mediana de una población es más alta que la de la otra ( prueba de una cola ) . La prueba puede usarse siempre que los puntajes de los dos grupos estén, por lo menos, en una escala ordinal de medición. Al aplicar la prueba de la mediana, se empieza por determinar el puntaje de la mediana para el grupo combinado ( es decir, la mediana para todos los puntajes en ambas muestras ). Enseguida se dicotomizan los conjuntos de puntajes de la mediana combinada y se distribuyen los datos en una tabla de 2 X 2, como se muestra en la siguiente tabla:

Ahora bien, si en los grupos I y II tenemos muestras procedentes de poblaciones con la misma mediana, cerca de la mitad de los puntajes de cada grupo deberá estar por encima de la mediana combinada y cerca de la otra mitad por debajo. Es decir, esperaremos que las frecuencias A y C sean aproximadamente iguales, y las frecuencias B y D también lo sean.

Grupo I Grupo II Número de puntaje por encima de la mediana combinada A + B Número de puntaje por debajo de la mediana C + D combinada A + C B + D N = n 1 + n 2

A B C D



Por consiguiente, si el número total de casos en ambos grupos ( 21 nn + ) es pequeño,

puede usarse la prueba de Fisher para probar 0H . Si el número total de casos es suficientemente grande, puede usarse la prueba 2x ( llamada chi cuadrada) con gl = 1 con el mismo objeto.

Cuando se analizan datos divididos en la mediana, hay que guiarse por estas consideraciones al escoger entre la prueba de Fisher y la prueba de 2x .

1.- Cuando 21 nn + es mayor que 40, se usa 2x corregida por continuidad, es decir, con

la fórmula:

))()()((2

2

2

DBCADCBA

NBCADNx

++++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

2.- Cuando 21 nn + está entre 20 y 40, y cuando ninguna celdilla tiene una frecuencia esperada menor que 5, se usa 2x corregida por continuidad es decir con la fórmula anterior. Si la más pequeña frecuencia esperada es menor que 5, se usa la prueba de Fisher.

3.- Cuando 21 nn + es menor que 20, se usa la prueba de Fisher. Puede surgir una dificultad al calcular la prueba de la mediana: es posible que haya

varios puntajes, exactamente, en la mediana combinada. Si esto sucede, el investigador tiene dos alternativas:

a) Si 21 nn + es grande, y si solamente unos pocos casos caen en la mediana

combinada, esos pocos casos pueden retirarse del análisis, o b) Los grupos pueden dividirse en puntajes que excedan o no excedan la mediana.

En este caso, los puntajes problemáticos se incluirían en la segunda categoría.

Tabla de resultados de la mediana combinada antes del examen diagnóstico:

MEDIANA 2.75 CON SIN

GRUPOS MODELO MODELO TOTALES A B

ARRIBA DE LA M. 19 19 38 DEBAJO DE LA M. 26 25 51

TOTALES 45 44 89



Cálculo de la Chi cuadrada en base a los datos obtenidos en la tabla: Aplicaremos la siguiente Fórmula:

))()()((

2

2

2

DBCADCBA

NBCADNx

++++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

Sustituyendo los valores de la tabla, en base a los resultados obtenidos en la aplicación del examen diagnóstico:

)2519)(2619)(2526)(1919(2

89)26)(19()25)(19(892

2

++++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=x

( ))44)(45)(51)(38(5.4449447589 2

2 −−=x

( )3837240

5.441989 22 −−=x

( )

38372405.2589 2

2 −=x

( )

383724025.650892 =x

383724025.578722 =x

01.02 =x

Con el valor obtenido concluimos, de acuerdo al tipo de prueba aplicado, que no hay distinción entre los grupos analizados



Tabla de resultados de la mediana combinada después del examen diagnóstico:

MEDIANA 4 CON SIN

GRUPOS MODELO MODELO TOTALES A B

ARRIBA DE LA M. 36 7 43 DEBAJO DE LA M. 9 37 46

TOTALES 45 44 89

Cálculo de la Chi cuadrada en base a los datos obtenidos en la tabla: Aplicaremos la siguiente Fórmula:

))()()((

2

2

2

DBCADCBA

NBCADNx

++++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

Sustituyendo los valores de la tabla, en base a los resultados obtenidos en la aplicación del examen diagnóstico:

)377)(936)(379)(736(2

89)9)(7()237)(36(892

2

++++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=x

( ))44)(45)(46)(43(5.4463133289 2

2 −−=x

( )3916440

5.44126989 22 −=x



( )

39164405.122489 2

2 =x

( )3916440

25.1499400892 =x

39164403.1334466222 =x

17.342 =x

Con el valor obtenido concluimos, de acuerdo al tipo de prueba aplicado, que si hay distinción entre los grupos analizados Con el valor de Chi cuadrada 17.342 =x . En las tablas de valores críticos de Chi cuadrada para dicho valor con un grado de libertad tiene una probabilidad de ocurrencia conforme H 0

de ( ) 01.002.021

≤=< pp , como la probabilidad resultante es menor que α se rechaza H 0 .

Y se acepta H 1 .

Con los resultados obtenidos al aplicar la prueba de la mediana, llegamos a la conclusión de que el avance en el aprendizaje del algebra es notable al aplicar el modelo propuesto comparado con el método “tradicional”.



V.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Hemos visto cómo se construye un modelo para resolver un problema real, cómo se

trabaja con el modelo y cómo se utiliza la solución abstracta real que se obtiene con el modelo para resolver el problema o, por lo menos, como una guía para resolverlo. Este último paso se llama aplicación del modelo. Todo este proceso lo podemos también representar mediante un modelo1 :

La construcción de un modelo es sólo un primer paso. Al considerar cada vez más modelos, los cuales pueden ser cada vez más complicados. Necesitamos desarrollar teorías para entenderlos y manejarlos mejor. La ciencia actual, y en particular las matemáticas, presentan un panorama complejo de modelos, teorías, modelos de teorías, y teorías de teorías. La relación entre las teorías y la realidad es similar a la que estudiamos en relación con los modelos.

Las teorías representan, pues, un grado mayor de abstracción al olvidarnos de un

problema concreto para estudiar la estructura de los diversos problemas. Esta nueva extensión la podemos agregar a nuestro esquema:

REALIDAD MODELO

ABSTRACCIÓN

APLICACIÓN

REALIDAD MODELO TEORÍA



El objetivo que he buscado con esta tesis es doble: por una parte abrirte las puertas

para el estudio de las matemáticas ya creadas, que son el resultado de los esfuerzos de la humanidad durante casi toda su historia en la creación de modelos y teorías. En segundo lugar abrirte las puertas para que tú crees tus propias matemáticas, por sencillas que sean. Esto no es fácil, porque los problemas reales son en general complicados y es difícil distinguir los elementos esenciales y sus relaciones, lo cual hemos visto que es lo más importante a al hora de construir un modelo. Una vez concluido el trabajo se hacen las siguientes recomendaciones: • Crear modelos prácticos basados en conceptos relacionados con los temas de matemáticas. • Que se puedan abordan los “Procesos o Modelos” en los programas de estudios de nivel medio superior del algebra, trigonometría, geometrías y calculo diferencial e integral. • Que se permitan considerar procesos de transferencia de información como un acto comunicativo a partir de estos para implementar la conexión entre los modelos matemáticos desarrollados y los modelos prácticos basados en la realidad.



VI.- SÍMBOLOS DEL LENGUAJE MATEMÁTICO 11

x Abscisa + Adición a / b a divide a b a R b a relacionado con b { } Clases de equivalencias o conjunto ⊂ Conjunto de los números complejos Ζ Conjunto de los números enteros Ν Conjunto de los números naturales Q Conjunto de los números racionales R Conjunto de los números reales A x B Conjunto producto de A x B Φ Conjunto vacío ↔ Correspondencia biunívoca → Correspondencia unívoca ≠ Distinto / Divide a : División e Elemento neutro ⇔ Equivale ≡ Idéntico = Igual ⇒ Implica ∩ Intersección > Mayor que ≥ Mayor o igual que < Menor que ≤ Menor o igual que - Menos ⊄ No contenido ∉ No pertenece y Ordenada (- , -) Pares ∈ Pertenece π Pi P (x) Polinomio en x (x), (• ) Producto (A x B) Producto cartesiano Raíz cuadrada

n Raíz de índice ene o n-esima R Relacionado / tales ∪ Unión 3 Valor absoluto de 3



VII.- REFERENCIAS

1. De Medrano López Santiago. “Modelos Matemáticos”. Primera Edición, 1972 s. l. Editorial Trillas, S. A. 1981. México 13. D.F.

2. Piaget Jean. “Seis Estudios de Psicología”. 1983 y 1986, Editorial Ariel, S.A. de C.V., Barcelona España. Reimpresión exclusiva para México de Editorial Planeta Mexicana, S.A. de C.V. s.l. Título original: “Six études de psychologie”. Traducción: Petit Nuria. Diseño de colección: Romberg Hans.

3. Flores García Conrado. Serie “Módulos de Matemáticas”. Memo 2 “Álgebra (Modelos)”. Primera Edición, Enero 1986, Editorial trillas, S.A de C.V. 12 Tomos.

4. Baldor Aurelio. “Álgebra”. Primera Edición, México 2005. Grupo Patria Cultural, S.A. de

C.V. 5. Barnett Raymond A., Ziegler Michael R. y Byleen Karl E. “Álgebra”. Sexta Edición,

2000 McGraw- Hill Internacional Editores, S.A. de C.V. Impreso en México. Traducción: León Cárdenas Javier.

6. Zill Dennis G. “Cálculo con Geometría Analítica”. Loyola-Marymount University. 1987

por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A de C.V., Título original: “Calculus with Analytic Geometry”. Traducción: M en C. Ojeda Peña Eduardo.

7. Stewart James, Redlin Lotear y Watson Saleem. “Precálculo”. Tercera Edición, 2001

por Internacional Thomson Editores, S.A de C.V. Título original: “Precalculus. Mathematics for Calculus”, 3 th ed., publicado en inglés por Brooks/Cole Publishing Company. Traducción: Pozo González Virgilio y Sánchez Gabriel.

8. Wells Webster, S.B. “Nueva Trigonometría Plana y Esferica” D.C. Heath and Company,

Lexington, Massachussets Toronton London.

9. Soto Félix Armando. “Diccionario Matemático para Alumnos de 1º, 2º y 3º de Secundaria”. Primera Edición, 1989. Ediciones Duero, S.A. de C.V.

10. Siegel Sydney. “Estadística No Paramétrica” Aplicada a las ciencias de la conducta.

Primera Edición en español, 1970. Décima reimpresión, Abril, 1986. Traducción: Aguilar Villalobos Javier. Revisión literaria: Cruz-Lopez Vinos Ricardo.

11. “Diccionario Monográfico de Matemáticas”. Vox Monograficos. Primera Edición, Mayo

1981. Bibliografía, S.A., Impreso en España.



VIII.- ANEXOS

ANEXO I.- Examen Diagnóstico.

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLAS DE HIDALGO ESC. PREP. “JOSÉ MA. MORELOS Y PAVÓN”

MATERIA: MATEMÁTICAS I PERÍODO: 2006/2007 ALUMNO: __________________________________________________________________________ SECCIÓN: ________________ SEMESTRE: ________________ CALIF.: ___________

EXAMEN DE DIAGNOSTICO.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) -6x – 18 = 12

2) 5 -8x = -3

3) x – 5 = 3x – 25

4) 21 – 6x = 27 – 8x



Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 1) Método de Reducción: x + 4y = 17 5x – 3y = 16 2) Método de Igualación: x + 6y = 27 7x – 3y = 9 3) Método de Sustitución: 2x + 5y = -24 8x -3y = 19



ANEXO II.- Resultados del examen diagnóstico con el Método “Tradicional “.



ANEXO III.- Resultados del examen diagnóstico con la aplicación del “Modelo“.

procesos o modelos prÁcticos para el desarrollo de...

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