1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedades

1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedadesPara simplificar expresiones y operaciones complejas, peroprincipalmente para resolver ecuaciones en que la incógnita está en elexponente, se utilizan los logaritmos. Pero, ¿qué es un logaritmo?

Como se aprecia en la siguiente definición y en los ejemplos, loslogaritmos, que fueron creados al principio del siglo xvii por elmatemático escocés John Napier, están muy relacionados con losexponentes y las leyes de los exponentes que se estudiaron en la sección1.2 de tal forma que para hallar la potencia a la que se eleva un númerodado para obtener otro, que también es conocido, se emplean logaritmos,como lo veremos a continuación. Definamos antes el concepto.

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta

base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para

obtener un resultado determinado.

Definición de Logaritmo

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta

base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para

obtener un resultado determinado.

Definición de Logaritmo

El logaritmo base a de un número N es el exponente x al que se eleva la base. Para obtener el número, es decir:

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑁 = 𝑥 si y sólo si 𝑎𝑥 = 𝑁

Donde a es un número positivo diferente de 1 y N es positivo.

Ejemplo 1La quinta potencia de l0 es 100,000, es decir, 105 = 100,000; por lo tanto, el logaritmo base 10 de 100,000 es 5, de acuerdo con la definición 1.10:

• Note que la base del logaritmo es igual a la base de la potencia, y que en la forma logarítmica está despejado el exponente, mientras que en la exponencial, es el número N el que está despejado.

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑁 = 𝑥 si y sólo si 𝑎𝑥 = 𝑁

𝑙𝑜𝑔10 100,000 = 5 si y sólo si 105 = 100,000

Ejemplo 2• La tercera potencia de 4 es 64, esto es,𝟒𝟑 = 𝟔𝟒; por lo tanto, según la

definición , el logaritmo base 4 de 64 es igual a 3, es decir:

𝑙𝑜𝑔4 = 64 = 3 porque 43 = 64

Ejemplo 3¿Cuál es el número N cuyo logaritmo base 2 es 21?

En notación logarítmica, la pregunta se expresa como:𝑙𝑜𝑔2 𝑁 = 21

y esto en forma de exponentes es lo mismo que:221 = 𝑁

Es decir,

N = 2’097,152, con la calculadora.

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Se dijo que todo número a diferente de 0 elevado a la potencia 0 es igual a 1, es decir,

𝒂𝟎 = 𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝒂 ≠ 𝟎

Y esto, replanteado con logaritmos, nos da la primera propiedad:𝒍𝒐𝒈𝒂 𝟏 = 𝟎

Quiere decir que el logaritmo de cualquier base de 1 es igual a cero 0.

Ejemplo 1 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟒, 𝟐𝟖 𝒙 = 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟒, 𝟐𝟖

• Nótese que el exponente x de 4.28, se escribe como coeficiente del logaritmo de 4.28.

Ejemplo 2

𝑛 𝑎 = 𝑎1𝑛

𝑙𝑜𝑔8558 = 𝑙𝑜𝑔8 58

15

=1

5𝑙𝑜𝑔8 58

Por supuesto que los logaritmos tienen otras propiedades importantes; sin embargo, las anteriores, y sobre todo la última.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #7

Actividad de Aprendizaje #7

1. Explique el significado de logaritmo base a de un número N.

2. Cómo se escribe en forma exponencial una expresión equivalente a log3(A) = 8.5?

3. ¿Cómo se escribe (1,0283)2 − x = 50.23 en forma de logaritmos?

4. logp(5) = 4

5. logx(40.3) = 183.2