PRCTICA 3Espacios vectoriales

Vamos a dar ahora un sistema axiomtico que tiene como ejemplos, entre otros, alos espacios R2, R3,..., Rn. La ventaja de dar un sistema axomtico es que los resultadosdemostrados en los mismos valdrn a la vez en todos los ejemplos, esto es, a partir delos axiomas dados se demuestran teoremas, que sern vlidos cada vez que severifiquen los axiomas.

DefinicinUn espacio vectorial real es un conjunto V, a cuyos elementos llamaremos vectores,

provisto de dos operaciones:1. la suma : a cada par de elementos v,w de V les asigna el elemento

v w de V,2. el producto . por escalares: a cada nmero real y cada elemento v de V

les asisgna el elemento .v de V. (En general pondremos v en lugar de .v-esto es, no escribimos el puntito ..)Imaginemos por ejemplo que nuestro conjunto V es R2: sabemos sumarlos ymultiplicarlos por un escalar. En R2 resulta claro que v w w v. Lo mismo sipensramos que v y w son vectores de R3, o de un Rn cualquiera. Otraspropiedades bsicas son comunes a estos espacios. Las que tomamos comoaxiomas son las siguientes -se aconseja ir interpretando cada propiedaden R2 y en R3:

a. Si v1, v2 y v3 son vectores, entonces v1 v2 v3 v1 v2 v3 -asociativa.

b. Si v1 y v2 son vectores, entonces v1 v2 v2 v1 -conmutativa.

c. Existe un elemento 0 -que llamaremos origen -que es neutro para lasuma: 0 v v 0, cualquiera sea el vector v. Esto es, hay unelemento neutro para la suma.

d. Para cada vector v, existe otro vector, -que notaremos v yllamaremos el opuesto- que verifica: v v 0. Observacin:pondremos v v en lugar de v v.

e. Para todo vector v se verifica: 1.v v.

f. Si es un nmero real y v y w son vectores, entoncesv w v w.

g. Si y son nmeros reales y v es un vector, entonces v v v.

h. Si y son nmeros reales y v es un vector, entoncesv v.

Ejemplos:

1. Al interpretar cada propiedad en R2, se ve que R2 con la suma y elproducto por escalares que conocemos de la prctica 1 es un espaciovectorial. En este caso, los vectores son los puntos del plano. Es usual

pensarlos tambin como flechas:

x

y

(x,y)

x

y

R 2

v

Si queremos representar la suma de vectores, podemos ver que es la mismaque vimos en la prctica 1, y que el vector suma se obtiene como antes:aplicando la regla del paralelogramo. La multiplicacin por escalares tambincoincide con lo hecho en la prctica 1. En particular, la suma de un vector vcon su opuesto es el vector nulo:

x

y

(x,y)

x

y

R 2

v

(x,y)

v

0

En R2 calculemos

a. 31,1 3,3,b. 25,4 10,8,c. 31,1 25,4 3,3 10,8 13,5.2. Tambin Rn, con la suma de vectores y el producto por escalares que

hemos definido en la prctica 1, es un ejemplo de espacio vectorial. Porejemplo, en R5: 21,2,4,0,1 2,1,0,5,1 0,5,8,5,1.

Observacin

El espacio vectorial que definimos es real porque los escalares son nmeros reales.Como son los nicos a los que haremos referencia, diremos simplemente espaciovectorial en lugar de espacio vectorial real.

Combinaciones linealesSea V un espacio vectorial, y v1, v2, ...,vr vectores.Si w es un vector que se puede escribir como w 1v1 2v2 . . .rvr, decimos

entonces que w se puede escribir como combinacin lineal de los vectores v1,v2, . . . ,vr.

Ejemplos

1. En el plano:

a. 2,3 es una combinacin lineal del vector 4,6 ya que2,3 12 4,6. Obviamente tambin es 4,6 una combinacin linealdel vector 2,3 ya que 4,6 22,3.

b. 2,3 es una combinacin lineal de los vectores 1,0 y 0,1 ya que2,3 21,0 30,1.

c. 2,3 es una combinacin lineal de los vectores 1,0, 0,1 y 2,5ya que 2,3 21,0 30, 1 02,5.

d. 2,3 no es una combinacin lineal del vector 1,0 ya que2,3 1,0 no se verifica para ningn valor de .

2. En el espacio:

a. Escribamos tres combinaciones lineales de los vectores 1,1,2 y2,2,0: por ejemplo 31,1,2 42,2,0, 31,1,2 2,2,0,01,1,2 02,2,0.

b. Veamos si el vector 0,0,1 se puede escribir como combinacinlineal de los vectores 1,1,2 y 2,2,0, esto es, si hay escalares y tales que 0,0,1 1,1,2 2,2,0 2, 2, 2.La igualdad entre dos vectores significa igualdad de cada una desus coordenadas, esto es:

0 20 2

1 2.

Resolviendo el sistema vemos que 12 y 14 es solucin.

Podemos escribir entonces: 0,0,1 12 1,1,2 14 2,2,0.

SubespaciosSabemos que R2 es un espacio vectorial. Son ejemplos de subconjuntos en R2:

x

y

x

y

x

y

Sin embargo, no cualquier subconjunto ser objeto de nuestro inters. Buscaremoscules son aqullos en los que, si nos restringimos a trabajar ah, podemos seguirsumando y multiplicando por escalares, y que el resultado est en el subconjunto con elque estamos trabajando . Pensemos por ejemplo que nos quedamos con el crculo:

la suma de dos vectores que estn dentro del crculo puede "caer afuera" delsubconjunto que estamos considerando: en este caso, el crculo.

Claramente, si queremos poder seguir haciendo nuestras cuentas, y que tengan lasmismas propiedades que en cualquier espacio vectorial, debemos pedir que nuestrosubconjunto verifique que:

1. El elemento neutro de la est en el subconjunto. (O sea, el vector nuloest en el subespacio.)

2. Si dos vectores v y w estn en el subconjunto, su suma v w tambin loest.

3. Si v es un vector del subconjunto, entonces para cualquier escalar , vest en el subconjunto.

Diremos que un subconjunto S V que verifica las propiedades 1. 2 y 3 es unsubespacio del espacio vectorial V.

Esto es, los subespacios son los conjuntos no vacos tales que cualquiercombinacin lineal de elementos del conjunto es tambin un elemento del conjunto.

Ejemplos

Subespacios de R2

1. Si S es un subespacio de R2, por la propiedad 1 de subespacios, elvector nulo tiene que ser un elemento de S. Tomemos S 0. Laspropiedades 2 y 3 se verifican trivialmente pues 0 0 0 y 0 0. Estosignifica que 0 es un subespacio.

2. Sabemos que el vector nulo debe estar un todo subespacio. Veamosqu pasa si hay algo ms. Supongamos entonces que v S, y que v 0. Porla propiedad 3, si v est en el subespacio, entonces v tambin debe estarlo.Tomemos S v. Para que efectivamente sea un subespacio, debecumplirse la propiedad 2. Pero si sumamos dos vectores que estn en la rectaque pasa por el origen y tiene direccin v, el vector suma tambin est en esamisma recta: 1v 2v 1 2 v. Esto significa que v es un subespacio.

3. Si S es un subespacio de R2 que tiene un vector no nulo, tambincontiene la recta que pasa por el origen de direccin v. Supongamos ahoraque en S hay otro vector w que no est en esa recta. Por la propiedad 3, wtambin debe estar en el subespacio, y por la propiedad 2, v w tambinest en S. Veamos geomtricamente que as podemos escribir cualquiervector del plano, de donde el subespacio S es todo el espacio.

xy

v

w

v

w

l

m

l mv + w

Tenemos entonces que todos los subespacios posibles de R2 son:

S 0S vS R2

123

.

Los subespacios (1) y )(3) -nulo y todo- se llaman triviales. Los nicos subespacios notriviales del plano son entonces las rectas que pasan por el origen.

Subespacios de R3

Haciendo una inspeccin parecida a la anterior se puede ver que los subespaciosde R3 son: los triviales -el nulo y todo el espacio-, las rectas que pasan por el origen ylos planos que pasan por el origen. Esto es, todos los subespacios posibles de R3 son:

S 0S X v

S X v w,v y w no colineales.S R3

1234

Subespacios de Rn

Si bien no podemos graficar Rn, analticamente se puede ver fcilmente -usando laspropiedades que definen un subespacio- que todos los subespacios son:

S 0S X 1v1 2v2 . . .rvr.

S Rn.

123

Definiciones

Sea V un espacio vectorial.1. Si w es un vector que se puede escribir como w 1v1 2v2 . . .rvr

decimos que w se puede escribir como combinacin lineal de los vectoresv1,v2, . . . ,vr.

2. Si S X 1v1 2v2 . . .rvr, decimos que los vectores v1,v2, . . . ,vrgeneran S. Tambin decimos que v1,v2, . . . ,vr es un conjunto de

generadores de S.Una notacin abreviada de este hecho es escribir: S v1,v2, . . . ,vr . Estosignifica que S es el subespacio formado por todas las combinaciones linealesde los vectores v1,v2, . . . ,vr.Atencin con la notacin! No confundir v1,v2, . . . ,vr y v1,v2, . . . ,vr : en elprimer caso nos estamos refiriendo al conjunto de r vectores v1,v2, . . . ,vr, elsegundo caso es un conjunto infinito: son todas las combinaciones lineales delos vectores v1,v2, . . . ,vr; notemos adems que v1,v2, . . . ,vr no es unsubespacio y v1,v2, . . . ,vr s lo es.

Ejemplos

1. En R2

a. S 0,1. Si un vector x,y est en el subespacio, debe serx,y 10,1. Es decir, S es el eje y.

b. S 0,1, 0,3. Si un vector x,y est en el subespacio, debe serx,y 10,1 20,3. Pero 0,3 30,1. Reemplazando,obtenemos: x,y 10,1 320,1 (usando propiedades de lasoperaciones de un espacio vectorial) 1 32 0,1 0,1-abreviando 1 32-. Entonces, ahora tambin S es el eje y.

c. S 1,2 es la recta que pasa por el origen y el punto 1,2, yaque si x,y est en el subespacio, debe ser x,y 11,2.

2. En R3

a. S 0,1,0. Si un vector x,y, z est en el subespacio, debe serx,y, z 10,1,0. Es decir, S es el eje y.

b. S 1,0,0, 0,1,0. Si un vector x,y, z est en el subespacio,debe ser x,y, z 11,0,0 20,1,0 1,2, 0. En otrostrminos, la condicin para estar en S es tener la terceracoordenada nula (las dos primeras pueden tomar cualquier valor yno estn relacionadas entre s). Entonces, un vector x,y, z est enel subespacio si y slo si es solucin del sistema z 0.

3. En general, hemos visto qu forma tienen los subespacios de Rn: o sontriviales, o son de la forma S X 1v1 2v2 . . .rvr. En todos loscasos, se pueden pensar como soluciones de un sistema lineal homogneo(en lugar de escribir primero el sistema y buscar la solucin en formaparamtrica, hacemos ahora al revs: primero damos la solucin en formaparamtrica y luego escribimos el sistema).Entonces, todo subespacio de Rn se puede expresar como los x1,x2, . . . ,xnque satisfacen el sistema

S

a11x1 a12x2 . . .a1nxn 0a21x1 a22x2 . . .a2nxn 0

. . .am1x1 am2x2 . . .amnxn 0

o dando su forma paramtrica S X 1v1 2v2 . . .rvr .El subespacio S 0 es la nica solucin de un sistema determinado de nxn.

(Puede decir Ud. de qu sistema es solucin el subespacio: S R3?)Ejemplos

1. En R3, hallar generadores de los subespacios

a. S1 : x1 x2 0b. S2 : x1 x2 x3 0

c. S3 : x1 x2 x3 0x2 x3 0

2. Estudiar el conjunto de soluciones de x1 x2 1

Soluciones

1. En general, el procedimiento es el mismo que el que utilizbamos paraescribir las soluciones de los sistemas en forma paramtrica (prctica 2).

a. Observemos que ya sabemos que, en el espacio, el conjunto desoluciones del sistema x1 x2 0 es un plano. Para escribir laecuacin paramtrica del mismo despejamos x1 x2. Obtenemosque X es un punto del plano si X x2,x2,x3 x21,1,0 x30,0,1.Esto nos dice que los puntos de S1 son todas las combinacioneslineales de los vectores 1,1,0 y 0,0,1. (De la ecuacinparamtrica, obtenemos los generadores.) Entonces,S1 1,1,0, 0,0,1 .

b. Ahora, x1 x2 x3. X es un punto de S2 siX x2 x3,x2,x3 x21,1,0 x31,0,1. Entonces,S2 1,1,0, 1,0,1 .

c. De la segunda ecuacin tenemos que x2 x3. Reemplazando enla primera, x1 2x3. X es un punto de S3 siX 2x3,x3,x3 x32,1,1. Entonces, S3 2,1,1 .

2. Si escribimos las soluciones del sistema x1 x2 1 en formaparamtrica, obtenemos que X es solucin six2,x2,x3 x21,1,0 x30,0,1 1,0,0. Este conjunto no es un subespacio(por ejemplo, no se verifica la condicin 1. de subespacios: 0,0,0 no verificala ecuacin x1 x2 1). Podemos pensarlo como un subespacio trasladado:S1 1,0,0 .Observemos que, en general, la solucion de un sistema lineal es un subespcioslo en el caso en que el sistema sea homogneo.

Ms ejemplos

1. El conjunto 3,2, 1,1 genera R2: debe averiguarse si todo vector delplano se puede poner como combinacin lineal de los vectores 3,2, 1,1 ono.Consideremos entonces x,y en R2. Buscamos y tales que x,y 3,2 1,1. Pero esto equivale a

x 3 y 2

.

Debemos entender que x e y son los "datos" y las incgnitas del sistema sonlos parmetros y .Tenemos que resolver entonces este sistema de dos ecuaciones con dosincgnitas. Sumando ambas ecuaciones, tenemos que x y 5, luego:

xy5 . Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema

obtendremos m. Por ejemplo, en la segunda: y 2 xy5 . De aqu, 25 x 35 y .Entonces, vemos que x,y xy5 3,2 25 x 35 y1,1.Por ejemplo: si x 2 e y 3, tenemos que x,y 235 3,2 25 2 35 31,1 3,2 1,1. Para cada valor que le demos a x,y,hemos encontrado cmo escribirlo como combinacin lineal de 3,2 y 1,1.El procedimiento para saber si un vector es combinacin lineal de otros dadosen general es equivalente a resolver un sistema lineal. ste puede sercompatible o incompatible: en el primer caso, habremos encontrado cmoescribir el vector dado como combinacin lineal de los otros, en el segundo nohay solucin.

2. El conjunto 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 genera R3, ya que todo X se puedeescribir como X x,y, z x1,0,0 y0,1,0 z0,0,1.

3. Encontrar sistemas de generadores deS x R3 : 3x1 2x2 0, 4x1 x2 x3 0.Observemos que el subespacio dado es el conjunto de soluciones delsistema:

S 3x1 2x2 04x1 x2 x3 0

.

S es una recta que pasa por el origen. Encontrar generadores equivale abuscar la solucin paramtrica del sistema, pues si la escribimos como v,resulta que v es un generador de S.De la primera ecuacin, tenemos que x2 32 x1 .Reemplazando en la segunda ecuacin: 4x1 32 x1 x3 0, de dondex3 112 x1 -no nos hizo falta triangular porque era claro que podamosdespejar x2 y x3 en funcin de x1.Entonces, un X est en S si X x1, 32 x1, 112 x1. Luego, X x1, 32 , 112 , dedonde v 1, 32 , 112 es un generador de S. Podemos tomar otro generador:por ejemplo w 2,3,11, o w 2,3,11, etc. Observemos que esS 1, 32 , 112 y tambin es S 2,3,11 .

4. 2,4 1,2: los mltiplos del 2,4 y los de 1,2 son los mismos: six,y 2,4, entonces x,y 21,2, y si x,y 1,2, entoncesx,y 12 2,4. En general, .a,b c,d si a,b c,d.

5. De la misma manera, se puede ver, por ejemplo, que2,4,6 1,2,3, 1,0,3, 2,4,6 1,0,3, 1,2,3,

1,0,3, 2,4,6 3,0,9, 1,2,3, etc.6. Decidir si R3 1,1,1; 0,1,1; 0,0,1; 1,2,1.

Sabemos que 1,1,1; 0,1,1; 0,0,1; 1,2,1 es un subespacio, lo que queremosver es si es todo el espacio. Para esto, debe verse si cualquier vector x,y, z puedeescribirse como combinacin lineal de los vectores dados. Estamos buscando, paracada x,y, z, escalares 1, 2, 3, 4, que verifiquen:

x,y, z 11,1,1 20,1,1 30,0,1 41,2,1.Entonces:

x,y, z 1 4,1 2 24,1 2 3 4.Igualando coordenada a coordenada, tenemos el sistema de tres ecuaciones concuatro incgnitas:

x 1 4y 1 2 24

z 1 2 3 4

.

Para resolver, planteamos la matriz ampliada:

1 0 0 1 x1 1 0 2 y1 1 1 1 z

Triangulamos, haciendo F2 F2 F1, F3 F3 F1 :

1 0 0 1 x0 1 0 3 x y0 1 1 0 x z

Un paso ms: hacemos F3 F3 F2 y obtenemos

1 0 0 1 x0 1 0 3 x y0 0 1 3 2x y z

La matriz ampliada que obtuvimos est asociada a un sistema compatible, paracualquier valor de x, y, z. De ac inferimos que R3 s est generado por los vectoresdados, ya que para cualquier valor de x,y, z, el sistema tendr solucin. .Podemos observar adems que el sistema es indeterminado: tiene infinitas soluciones.En particular, podemos hacer 4 0, 1 x, 2 x y y 3 2x y z.Entonces:

x,y, z x1,1,1 x y0,1,1 2x y z0,0,1 0. 1,2,1.Vemos que el vector 1,2,1 "no se necesita" para generar el espacio, si ya tenemos ennuestro conjunto de generadores los tres anteriores. En particular, utilizando la cuentaanterior para x,y, z 1,2,1, como x 1, y 2, z 1, resulta1,2,1 11,1,1 30,1,1 30,0,1 0. 1,2,1.Lo que debemos hacer ahora es especificar las condiciones que hacen que se pueda

generar un subespacio sin vectores "de ms".Observemos que la ltima expresin la podemos escribir como0 1,2,1 11,1,1 30,1,1 30,0,1. Esto motiva la definicin que daremos enel prximo prrafo.

Dependencia e independencia linealDado un espacio vectorial V y un conjunto de vectores v1,v2, . . . ,vr en V, decimos

que el conjunto es linealmente dependiente -o l.d.- si existen nmeros 1,2, . . . ,r notodos iguales a cero tales que 1v1 2v2 . . .rvr 0.

En caso contrario, el conjunto es linealmente independiente -o l.i.Ejemplos

1. Como 0 1,2,1 11,1,1 30,1,1 30,0,1, el conjunto1,2,1, 1,1,1, 0,1,1, 0,0,1 es ld. En este caso, 1 1, 2 1, 3 3y 4 3.

2. El conjunto 1,4, 2,8 es l.d. porque como 2,8 21,4 resultaque 2,8 21,4 0. En este caso, 1 1, 2 2.Observemos que si S 1,4, entonces S 1,4, 2,8 2,8. (Losvectores que son mltiplos de 1,4 son los mismos que los que se obtienencomo combinacin lineal de 1,4 y 2,8.)

3. El conjunto 0,1,1, 1,0,1 es l.i.: si 10,1,1 21,0,1 0,0,0entonces:

2 01 0

1 2 0.

La nica combinacin lineal que verifica 10,1,1 21,0,1 0,0,0 estomando 1 0, 2 0.(Observemos que si por ejemplo 1 0, podramos despejar 0,1,1, siendo:0,1,1 21 1,0,1, los vectores seran colineales.)

4. El conjunto 0,1,1, 1,0,1, 2,1,3 es l.d. pues el vector 2,1,3 est enel plano generado por 0,1,1, 1,0,1: 2,1,3 0,1,1 21,0,1.

Regla prctica:Una manera sencilla de ver que 1,0,1, 0,1,1, 2,1,3 es l.d.es disponer los

vectores dados como si fueran filas de una matriz. Recordemos que para operar entrefilas de una matriz, se pueden multiplicar por un escalar, y sumarlas; todo como sifueran vectores. Esta similitud es aprovechada ahora para el clculo. Veamos cmofunciona en el caso de querer ver si el conjunto dado arriba es l.d. o l.i.Dispongamos las filas en una matriz, pero ahora en lugar de designarlas como Fi,ponemos v i y vamos indicando al costado de la matriz las operaciones que vamoshaciendo:

1 0 10 1 12 1 3

v1v2v3

1 0 10 1 10 1 1

v1v2v3 2v1

1 0 10 1 10 0 0

v1v2v3 2v1 v2

De la ltima fila, obtenemos que 2v1 v2 v3 0,0,0. El conjunto es l.d., siendo1 2, 2 1, 3 1. Observemos que: v3 2v1 v2, y que siS 1,0,1, 0,1,1, 2,1,3 entonces S 1,0,1, 0,1,1.

El conjunto 1,0,1, 0,1,1 es l.i. pues la matriz 1 0 10 1 1

ya est triangulada y

ninguna fila es nula.

EjemplosDeterminar si los siguientes conjuntos de vectores son l.i.:

1. 3,1,1; 1,0,1; 2,1,3.2. 0,0,1; 2,2,3; 1,1,1.3. 3,1,1,0; 2,5,4,1; 2,2,2,2; 1,0,1,0.

Resolvemos.1. Disponemos los vectores en una matriz y triangulamos:

3 1 11 0 12 1 3

v1v2v3

1 0 13 1 12 1 3

v2v1v3

1 0 10 1 20 1 1

v2v1 3v2v3 2v2

1 0 10 1 20 0 3

v2v1 3v2v3 2v2 v1 3v2

.

Hemos terminado de triangular y ninguna fila es nula, el conjunto dado es l.i. .Triangulando "de manera inversa " podramos recuperar la matriz original apartir de la ltima: las combinaciones lineales de los vectores3,1,1; 1,0,1; 2,1,3 son las mismas que las combinaciones lineales de losvectores 1,0,1, 0,1,2, 0,0,3. Esto es:

3,1,1; 1,0,1; 2,1,3 1,0,1, 0,1,2, 0,0,3.En general, si disponemos como filas de una matriz los vectores dados,operando entre las filas obtendremos otro conjunto de vectores que genera elmismo subespacio.

2. Para acortar los pasos, pongamos al vector 1,1,1 en la primera fila:1 1 12 2 30 0 1

.

Triangulando, obtenemos:

1 1 10 0 10 0 1

1 1 10 0 10 0 0

.

Por una cuestin de comodidad, no hemos escrito a qu vector correspondecada fila. Igualmente podemos contestar: el conjunto dado es l.d. pues laltima fila es nula. Si "seguimos el rastro " de nuestras cuentas, podemosconcluir que el vector 0,0,1 es combinacin lineal de los dems, luegoS 1,1,1, 2,2,3, 0,0,1 1,1,1, 2,2,3.En realidad, pocas veces importa cmo se puede escribir el vector queocupaba el lugar de la fila que se anula en funcin de los otros, por estemotivo, en general no escribiremos los vectores v i al costado de la matriz.

3. Triangulamos la matriz en cuyas filas estn los vectores dados -comoejercicio, indicar cules son las operaciones que se van efectuando:

3 2 1 02 5 4 12 2 2 21 0 1 0

1 0 1 02 5 4 12 2 2 23 2 1 0

1 0 1 00 5 2 10 2 0 20 2 4 0

1 0 1 00 2 0 20 5 2 10 2 4 0

1 0 1 00 1 0 10 5 2 10 2 4 0

1 0 1 00 1 0 10 0 2 40 0 4 2

1 0 1 00 1 0 10 0 2 40 0 0 6

Luego, el conjunto dado es l.i. .

BasesSabemos que

S 1,1,1, 2,2,3, 0,0,1 1,1,1, 2,2,3puesto que

0,0,1 21,1,1 2,2,3.Con el conjunto de vectores 1,1,1, 2,2,3 alcanza para generar S, pero no con1, 1,1 ni con 2,2,3. El conjunto 1,1,1, 2,2,3 es una base de S.

En general, dado un espacio vectorial V, un subespacio S de V y un conjunto devectores v1,v2, . . . ,vr en V, decimos que el conjunto es una base de S si

1. S v1,v2, . . . ,vr y2. v1,v2, . . . ,vr es l.i.

La idea es generar S de la manera ms econmica, y esto se consigue tomando unconjunto de generadores que adems sea l.i.

Ejemplos:

1. En R2: el conjunto 1,00,1 es una base de R2: generan todo elplano, ya que cualquier x,y se puede escribir como combinacin lineal de

1,0 y 0,1:x,y x1,0 y0,1

y claramente 1,0, 0,1 es un conjunto l.i.2. En R3: 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 es una base de R3:

x,y, z x1,0,0 y0,1,0 z0,0,1.

3. En Rn: 1,0, . . . , 0, 0,1, . . . , 0, 0,0, . . . , 1 es una base de Rn. sta sellama base cannica.

Propiedades

1. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V. Si v1,v2, . . . ,vr yw1,w2, . . . ,ws son dos bases de S, entonces r s.Esto quiere decir que todas las bases de un mismo subespacio tienen lamisma cantidad de vectores. Este nmero se llama la dimensin delsubespacio, y lo notaremos dimS.En particular, dimR2 2, dimR3 3, ..., dimRn n. (Basta contar lacantidad de vectores que tienen las respectivas bases cannicas:)

Por definicin, para verificar que un conjunto es base de un subespacio,sabemos que hay que verificar dos propiedades: la de generar y la de serlinealmente independiente. Sin embargo, si por algn motivo conocemos deantemano la dimensin de ese subespacio, basta con verificar slo una de lasdos. Esto es lo que dicen las propiedades 2. y 3:

2. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V de dimensin r. Siv1,v2, . . . ,vr es l.i., entonces v1,v2, . . . ,vr es una base de S.

3. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V de dimensin r. Siv1,v2, . . . ,vr es un conjunto de generadores de S, entonces v1,v2, . . . ,vr esuna base de S.Es til recordar estas propiedades al hacer los ejercicios. Esto es, siconocemos la dimensin de un subespacio, para ver que un conjunto es basedel mismo bastar con ver que es l.i o conjunto de generadores.

Ejercicios

1. Decidir si los siguientes conjuntos son bases de R2:

a. 1,0b. 1,0, 1,1, 1,1c. 1,0, 1,1.2. Hallar una base y la dimensin de los siguientes subespacios:

a. S X R3 / x1 x2 x3 0

b. S X R4 /x1 x2 x4 0

x1 2x4 0x3 x4 0

.

3. Hallar base y dimensin de S 1,0,2; 5,1,1; 3,1,5.

Soluciones

1. Sabemos que la dimensin de R2 es 2, por lo tanto, todas las basestienen que tener 2 vectores. Los conjuntos a. y b. estn entoncesdescartados. Veamos qu pasa con 1,0, 1,1: es un conjunto l.i. porque

1 01 1

1 00 1

.

En particular, de ac vemos que 1,0, 1,1 1,0, 0,1 R2. Entonces,adems de ser l.i., generan todo el espacio.Luego, 1,0, 1,1 es una base de R2 .

a. Sabemos encontrar un conjunto de generadores de S, buscando lasolucin del sistema expresada en forma paramtrica. Para eso,despejamos x1 x2 x3, de donde cada X S es de la formaX x2 x3,x2,x3 x21,1,0 x31,0,1.De ac concluimos que 1,1,0, 1,0,1 es un conjunto degeneradores.Y como son l.i.: 1,1,0, 1,0,1 es una base .

b. De la misma manera que en el caso anterior, buscamos la solucinparamtrica del sistema. Para esto, escribimos la matriz ampliada ytriangulamos:

1 1 0 11 0 0 20 0 1 1

1 1 0 10 1 0 10 0 1 1

Reconstruimos el sistema (no confundir esta matriz con la quearmamos con los vectores para ver l.i.).

x1 x2 x4 0x2 x4 0x3 x4 0

Resolvemos: de la tercera ecuacin obtenemos: x3 x4 y de lasegunda: x2 x4 .Reemplazamos en la primera: x1 x4 x4 0, entonces:x1 2x4 .La solucin paramtrica es X 2x4,x4,x4,x4 x42,1,1,1.Luego, 2,1,1,1 es una base de S : es un conjunto degeneradores y es l.i.

2. Tenemos como dato que 1,0,2; 5,1,1; 3,1,5 es un conjunto degeneradores. Son l.i.:

1 0 25 1 13 1 5

1 0 20 1 110 1 11

1 0 20 1 110 0 0

Entonces 1,0,2; 5,1,1; 3,1,5 1,0,2; 0,1,11 y como

1,0,2; 0,1,11 es l.i., 1,0,2; 0,1,11 es una base de S, y dimS 2 .Los conjuntos 1,0,2; 5,1,1, 1,0,2; 3,1,5,5,1,1; 3,1,5 sonl.i. y sus elementos son vectores de S. Adems, 1,0,2; 5,1,1 genera S,ya que

1 0 25 1 13 1 5

1 0 20 1 110 0 0

1 0 25 1 1

0 0 0

y como es l.i., 1,0,2; 5,1,1 es base de S.En general: cualquier subconjunto l.i. de S de 2 vectores ser una base, puesgenerar el mismo subespacio.

Lo mismo que para cualquier subespacio: si conocemos la dimensin, basta ver queun conjunto de vectores es l.i. para concluir que este conjunto es base.

Ejercicios1. Hallar dos bases distintas de S 1,1,1,0; 0,1,2,1.2. Dado S X R4 : x1 x2 0 , x2 x3 x4 0,a. hallar, si es posible, una base de S que contenga el vector

v 0,0,1,1,b. hallar una base de S que no contenga el vector v 0,0,1,1,c. hallar, si es posible, una base de S que contenga el vector

v 0,1,1,1.3. Hallar los valores de a y b para que 1,0,a; 3,b, 1 sea una base de

S X R3 : x1 2x2 x3 0.4. En R3, sea S 1,3,2; 3,1,0; 1,7,k. Determinar los valores de

k R para los cuales el subespacio S tiene dimensin 2.5. Sean v1 2,1,1,0, v2 1,0,0,0, v3 0,1,1,0, v1 2,2,2,2.

Hallar una base de S v1,v2,v3,v4 que no contenga ni a v1, ni a v2, ni a l.i.v3ni a v4.

6. Expresar, si es posible, 4,1,1 como combinacin lineal de 0,1,1,2,0,1 y 2,1,2 de dos maneras distintas.

7. Decidir si existe algn valor k R tal que k,k, 1; 3,k,1 es base delsubespacio S X R3/x1 3x3 0. Justificar.

8. Sea S X R4/x1 x3 2x4 0. Decidir cules de los siguientesconjuntos son base de S:

a. C1 1,0,1,0; 2,0,0,1; 0,1,0,0.b. C2 0,0,2,1; 1,0,1,1.c. C1 1,1,1,0; 1,0,1,0; 2,1,2,0.9. Determinar a para que el vector 1,3,a, 2 pertenezca al subespacio

S 1,1,1,1, 2,2,0,1.

10. Determinar a para que el vector a, 2a, 3 pertenezca al subespacioS 1,1,3, 0,1,3.11. Dado S x R4 : 2x1 x2 x3 0 encontrar un vector v no nulo de Sque pertenezca a W 1,1,2,2, 0,2,1,1.12. Extender, si es posible, los siguientes conjuntos a una base del espaciovectorial que los contiene:

a. 1,2b. 1,1,0c. 1,1,0, 2,2,0d. 1,1,0, 2,2,3

Soluciones

1. 1,1,1,0; 0,1,2,1 es un conjunto de generadores de S, comoadems -verificar- es un conjunto l.i., entonces1,1,1,0; 0,1,2,1 es una base de S .Para buscar otra base, hay que encontrar dos vectores l.i. que seancombinacin lineal de v1 1,1,1,0 y v2 0,1,2,1.Por ejemplo: 2v1,v2, v1 v2,v1 v2, etc. Entonces:los conjuntos: 2,2,2,0, 0,1,2,1 y 1,0,3,1; 1,2,1,1 son bases de S

a. Hallemos primero una base cualquiera del subespacio dado paraver cul es su dimensin.

Es S x1 x2 0x2 x3 x4 0

. Como el sistema est triangulado,

podemos empezar a despejar variables. De la segunda ecuacinobtenemos: x4 x2 x3 .De la primera, x1 x2 , de donde la solucin paramtrica delsistema es: X x2,x2,x3,x2 x3 x21,1,0,1 x30,0,1,1.Entonces, 1,1,0,1, 0,0,1,1 es un sistema de generadores, ycomo es un conjunto l.i. -verificar-, es una base. Pero el ejerciciopide que el vector 0,0,1,1 pertecezca a la base. No confundir,1,1,0,1, 0,0,1,1 es un conjunto de dos elementos, y0,0,1,1 no es ninguno de ellos. Pero como0,0,1,1 0,0,1,1, entonces1,1,0,1, 0,0,1,1 1,1,0,1, 0,0,1,1. Luego,1,1,0,1, 0,0,1,1 tambin es una base y contiene al vector 0,0,1,1 .

b. Recordemos que en particular una base es un sistema degeneradores, por lo cual estamos buscando dos vectores v1 y v2que verifiquen que todo vector del subespacio se pueda escribir:X 1v1 2v2.Sabemos que X 11,1,1,0 20,0,1,1, pero ahora nopodemos usar el vector 0,0,1,1 para generar. Pero -por ejemplo-X 11,1,1,0 20,0,1,1, de donde 1,1,1,0, 0,0,1,1es un conjunto de generadores y no contiene el vector 0,0,1,1.

Es inmediato ver que tambin es un conjunto l.i.. Entonces1,1,1,0, 0,0,1,1 tambin es una base y no contiene al vector 0,0,1,1Observemos que podramos haber tomado cualquier mltiplo nonulo del vector 0,0,1,1 en el lugar de 0,0,1,1, obteniendo elmismo resultado.

c. Todos los vectores que estn en una base de un subespacio son enparticular elementos de ese subespacio. Como el vector 0,1,1,1no verifica la primera ecuacin deS X R4 : x1 x2 0 , x2 x3 x4 0 -ya que 0 1 0-entoncesno hay ninguna base de S que contenga al vector 0,1,1,1 .

2. Observemos que S es un plano en R3 -una ecuacin lineal en elespacio-. Por esto, dim(S 2. Entonces, una base es un conjunto de dosvectores para los que se verifica que estn en S y son l.i.Para que los vectores dados estn en S, deben verificar la ecuacin dedefinicin de S, esto es: 1 2.0 a 0

3 2b 1 0. De ac obtenemos que

a 1 y b 2 .Falta ver que 1,0,1; 3,2,1 es l.i., pero esto vale pues

1 0 13 2 1

1 0 10 2 4

.

3. Es 1,3,2; 3,1,0; 1,7,k un conjunto de generadores, si fuera l.i. ladimensin del subespacio sera 3. Como 1,3,2; 3,1,0 es l.i., podramosver que 1,7,k es combinacin lineal de 1,3,2 y 3,1,0.

Si no, directamente triangulamos1 3 23 1 01 7 k

. Es

1 3 23 1 01 7 k

1 3 20 10 60 10 k 2

1 3 20 10 60 0 k 4

.

Luego, debe ser k 4 .

4. Primero hallamos una base de S para ver la dimensin. Para esotriangulamos la matriz

2 1 1 01 0 0 00 1 1 02 2 2 2

. . . .

2 1 1 00 1 1 00 0 0 20 0 0 0

.

Entonces, la dimensin de S es 3 y el conjunto v1,v2,v3 es una base de S.Pero como no queremos que contenga ninguno de los vectores dados,tomamos por ejemplo 2v1, 3v2,v3 como base de S. Luego, otra solucin

posible es 2,1,1,0, 0,1,1,0, 0,0,0,2 es una base de S, pues es unconjunto de generadores -ver la triangulacin anterior- y adems es unconjunto l.i. Obviamente, no contiene ninguno de los vectores dados.

5. Si triangulamos la matriz

0 1 12 0 12 1 14 1 1

v1v2v3v4

y llegamos a una matriz

con ltima fila nula, tendremos escrito v4 como combinacin lineal de v1, v2 yv3. Es

0 1 12 0 12 1 14 1 1

v1v2v3v4

2 0 10 1 10 1 00 1 1

v2v1v3 v2v4 2v2

.

Con un paso ms, vemos que v4 2v2 v1 0, de donde v4 v1 2v2 .Podramos intentar triangular de otra forma para conseguir otra expresin. Sepropone hacerlo como ejercicio.Otra manera de resolver es usando directamente la definicin de combinacinlineal: se buscan escalares , , que verifiquen:

4,1,1 0,1,1 2,0,1 2,1,2.Esto equivale a resolver el sistema:

4 2 21

1 2.

Si el sistema fuera incompatible, 4,1,1 no sera combinacin lineal de losvectores dados, pero a partir de lo hecho antes sabemos que no es as. Elsistema es compatible.Si fuera determinado la solucin encontrada arriba sera la nica posible, y sifuera indeterminado, habra infinitas maneras de expresarlo comocombinacin lineal de 0,1,1, 2,0,1 y 2,1,2.Resolvamos el sistema para ver en qu situacin estamos:

0 2 2 41 0 1 11 1 2 1

1 0 1 10 2 2 41 1 2 1

1 0 1 10 2 2 40 1 1 2

1 0 1 10 1 1 20 0 0 0

Reconstruimos el sistema:

1 2

Podemos poner entonces: 1 , 2 . El sistema es indeterminado,y todas las maneras de escribir el vector 4,1,1 como combinacin lineal de0,1,1, 2,0,1 y 2,1,2 son:

4,1,1 1 0,1,1 2 2,0,1 2,1,2.Por ejemplo, si 0, obtenemos la solucin dada arriba. Le damos otro valor

a para completar la respuesta, por ejemplo 1 y obtenemos:4,1,1 20,1,1 2,0,1 2,1,2.

6. Primero observemos que S X R3/x1 3x3 0 es un plano en R3,luego su dimensin es 2, con lo cual una base de S es un conjunto de dosvectores v1,v2 que verifican:

v1 Sv2 S

, y v1,v2 debe ser l.i. Por la

primera condicin, usando la ecuacin de definicin del subespacio, tenemos

que:k 3 03 3 0

. Entonces k 3.

Debemos ver ahora si el conjunto 3,3,1; 3,3,1 es l.i.: no lo es, pues3,3,1 3,3,1. Entonces, el nico valor de k que sirve para que secumpla la primera condicin no sirve para que se cumpla la segunda.Entonces,para ningn valor de k, el conjunto k,k, 1; 3,k,1 es base del subespacio S .

7. Primero buscamos una base de S para ver cul es su dimensin: comox1 x3 2x4, la solucin paramtrica del sistema es:x3 2x4,x2,x3,x4 x20,1,0,0 x31,0,1,0 x42,0,0,1.Entonces,0,1,0,0, 1,0,1,0, 1,0,0,1 es un conjunto de generadores deS, y como es l.i., la dimensin de S es 3. El conjunto C2 no es una base de S ,pues tiene slo dos vectores.El conjunto C1 es una base de S , pues es un conjunto de tres vectores de S-verificar, y es l.i.:

1 0 1 02 0 0 10 1 0 0

1 0 1 00 0 2 10 1 0 0

1 0 1 00 1 0 00 0 2 1

.

El conjunto C3 no es una base de S pues es l.d.:2,1,2,0 1,1,1,0 1,0,1,0.

8. Buscamos a para que el vector v 1,3,a, 2 pertenezca al subespacioS 1,1,1,1, 2,2,0,1. Esto significa que el vector v debe sercombinacin lineal de 1,1,1,1 y 2,2,0,1. Utilizando la regla prctica dada

anteriormente, basta con armar la matriz1 1 1 12 2 0 11 3 a 2

y ver cules son

las condiciones sobre a para que al triangular(sin cambiar la ltima fila delugar, sta se convierta en 0 0 0 0 . Es

1 1 1 12 2 0 11 3 a 2

F2F22F1F3F3F1

1 1 1 10 4 2 30 4 a 1 3

F3F3F21 1 1 10 4 2 30 0 a 1 0

Luego, el vector v 1,3,a, 2 pertenece al subespacio S si y slo si a 1 .

9. Ahora, buscamos a para que el vector v a, 2a, 3 pertenezca alsubespacio S 1,1,3, 0,1,3. El procedimiento es el mismo que en el

ejercicio anterior. Tenemos que triangular la matriz1 1 30 1 3a 2a 3

.

a. Si a 0, la matriz ya est triangulada. En este caso es:1 1 30 1 30 0 3

, y el vector v 0,0,3 no pertenece al subespacio

S pues no se puede escribir como combinacin lineal de losgeneradores de S.

b. Si a 0 debemos triangular:1 1 30 1 3a 2a 3

F3F3aF11 1 30 1 30 a 3 3a

F3F3aF21 1 30 1 30 0 3 6a

Entonces, el vector v a, 2a, 3 pertenece a S si y slo si 3 6a 0,esto es, si a 12 .Observemos que en realidad no haca falta separar el estudio en loscasos a. y b. ya que al operar no se multiplicaba la fila transformadapor a, sino otra. La respuesta es:v a, 2a, 3 pertenece a S si y slo si a 12 .

10. Buscamos un vector v no nulo de S x R4 : 2x1 x2 x3 0 quepertenezca a W 1,1,2,2, 0,2,1,1.Ya que v es un vector de W, se debe poder escribir como combinacin linealde los generadores de W. Pongamos entonces

v 1,1,2,2 0,2,1,1.Hallar v es encontrar y .Sabemos que v debe estar en S, esto es, debe verificar la ecuacin de S.Como

v , 2,2 ,2 entonces, reemplazando en la ecuacin de S,

2 2 2 0.Luego,

0.Esto significa que si en , 2,2 ,2 le damos valores a y demanera que se cumpla 0, estaremos cumpliendo simultneamente lascondiciones impuestas para estar en ambos subespacios -hemos encontradoentonces S W-. El ejercicio nos pide hallar uno de esos vectores. Porejemplo, podemos tomar 1 y 1, obteniendo v 1,1,1,1 .

11. Entendamos primero qu es lo que se est pidiendo. Extender unconjunto dado a una base de un espacio vectorial V (o de un subespacio S)

significa encontrar una base de V (o de S) que contenga el conjunto dado.a. En este caso el conjunto dado es 1,2 y el espacio vectorial es

R2. Lo que se quiere hacer es encontrar una base de R2 quecontenga el vector 1,2. Para esto, como sabemos que ladimensin de R2 es dos, basta con encontrar un vector v tal que1,2,v sea l.i. Por ejemplo,el conjunto 1,2, 0,1 es una base de R2 que extiende a 1,2 .

b. Ahora, como la dimensin de R3 es tres, buscamos dos vectores v yw tal que 1,1,0,v,w sea l.i. Por ejemplo, v 1,0,0, w 0,0,1.Verifiquemos que efectivamente 1,1,0, 1,0,0, 0,0,1 es l.i.Para eso triangulamos:

1 1 01 0 00 0 1

F2F2F11 1 00 1 00 0 1

.

Como esta ltima matriz est triangulada y no tiene ninguna fila deceros, el conjunto de tres vectores 1,1,0, 1,0,0, 0,0,1 es l.i., ypor lo tanto es una base de R3. Entonces,el conjunto 1,1,0, 1,0,0, 0,0,1 es una base de R3 que extiende a 1,1,0

c. Como 1,1,0, 2,2,0 ya tiene dos elementos, debe buscarse unvector v tal que 1,1,0, 2, 2,0,v sea l.i. Pero como1,1,0, 2,2,0 es l.d. -ya que 2,2,0 21,1,0-, cualquiera sea vel conjunto 1,1,0, 2,2,0,v es l.d. Entonces,no se puede extender 1,1,0, 2,2,0 a una base de R3 .

d. 1,1,0, 2,2,3 es l.i:1 1 02 2 3

F2F22F1 1 1 00 0 3

A partir de la matriz que est triangulada es ms fcil elegir unvector v tal que 1,1,0, 2, 2,3,v sea l.i. Por ejemplo,1,1,0, 2,2,3, 0,1,0 es una base de R3 que extiende a 1,1,0, 2,2,3 .