PROGRAMA DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDADDEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

ALGEBRA LINEALI-ELEC-1M

Profesor: Integrantes:Wilmer Colmenares Evelin Parellas C.I 20.774.184

Brigitte Hernández C.I 20.774.144Aryeris Márquez C.I 24.038.373

Sergio Flores C.I 20.557.723

Un vector es un segmento orientando ydirigido, que tiene un origen y un extremo.

a

A

Observaciones importantes:

• A las magnitudes vectoriales las denotaremos con una letra en “negrilla”.• AB se lee vector de origen A y extremo B.• a se lee vector a.

B

El modulo de un vector se indica con barras verticalesIABI: se lee modulo del vector AB

También se usa escribir sin negrilla cuando se trata del modulo de un vector.Por ejemplo:

AB: se lee modulo AB

• Propiedad de la adición de vectores.• Propiedad del productor de un escalar por un vector.• Adición de vectores en IR2

Propiedad de la adición de vectores.

Geométricamente lo demostramos de la siguiente manera:

1-. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X + Z

Z

YX

2-. X + Y = Y + X

X + Y = Y + X

X

X

Y

Y

Además, si denotamos por O al vector geométrico determinado por AA, entonces:

3.- X + O = O + X = X, para todo vector geométrico X(El vector O se denomina vector nulo)

Por otra parte si X es un vector geométrico y AB

Representan a X, entonces si denotamos por –X al vector geométrico determinado por BA se tiene que

4.- X + (-X) = O (-X) + X

En el campo de la electricidad existen muchos situaciones en las que sepresenta fenómenos que tienen un comportamiento vectorial tales como:

Fuerza eléctrica, campo eléctrico, campo magnético, intensidad decorriente, etc. Si sabemos utilizar las herramientas que se trabajan convectores podremos entender el comportamiento de todos estos fenómenosy asi podremos utilizarlos para nuestro beneficio.

Ejercicio:Se dispone de una carga eléctrica de +4.10 covl. Calcular el modulo de la intensidad del campo eléctrico a 10 cm de ella Y hacer un diagrama que indique el sentido de la intensidad del campo

-6

+

A Eo

+q

10 cm

Resolución:Razonamiento: sea A el punto que esta a 10cm de la carga.

por convenio, siempre, el punto donde se pide la intensidad de campo es positivo, por lo tanto como la carga es positiva hay repulsión y E tiene la dirección de la recta que une a la carga con el punto y se aleja de ella.

E= ? q= 4.10 coul.d= 10.10 mK= 9.10 new. m

coul

-6

-2

2

E= K x qd

E= 9.10 new. m x 4.10 covl = 9.10 new.m x 4.10 covlcovl (10.10 m) covl 0,01 m

2

9 2

2

-6

-2 2

9 2

2 2

-6

E= 36.10 new covl

5

Transformación lineal es toda función cuyo dominio e imagen sean espaciosvectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

· T(U+V) = T(U) + T(V)· T(KU) = KT(U) donde K es un escalar.

Consideremos los espacios V y W y el conjunto de los números reales como escalares.

Una transformación lineal T de V en W (t :V W) es toda función quecumple las siguientes condiciones:

Si X , y e V, entonces t (X +Y) = t (X) + t (Y)

Si a e IR y X e V, entonces t (AX)= at (X).

Las propiedades 1 y 2 significan que toda transformación lineal de V en W conserva las operaciones de adición y producto por un escalar de losespacios V y W.

Observemos que en el caso de funciones de IR en IR de la formaX f (X) = &X, donde &EIR, se cumple 1 y 2.

En efectos, si X, Y EIR, y &EIR; entonces

1. F (X+Y) = & (X+Y) = &X + &Y = F(X) + F(Y)es decir, F (X+Y) = F(X) + f (Y)

2. F (çX) = & (çX) = ç (&X) = ç F (X)

a) Toda transformación lineal (T:V W) manda al vector nulo de V en el vector nulo de W. es decir, si denotamos por OV y OW los vectores nulosDe V y W respectivamente:

T (OV) = OW

En efecto, si ç = 0 se tiene que:T (OV) = T (O. OV) (ya que O. OV = OV)

= O. T (OV) (aplicando la segunda condición)= OW

Puesto que el producto del escalar O por el vector T (OV) EWes el vector nulo de W, es decir, OW

b) Toda transformación lineal T: V W aplica combinaciones lineales de VEn combinaciones lineales de la imagen de los vectores.

En efecto, aplicando 1 y 2 a la combinación lineal&X + BY eV tenemos:

T (&X + BY) = T (&X) + T (BY) = &T (X) + BT (Y)

Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

hasta que

En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:

Primera fila:|a11| > (|a12| + |a13|)5 > (1.4 + 2.7)5 > 4.1; es cierto.La condición se cumple para la primera fila.

Segunda fila:|a22| > (|a21| + |a23|)2.5 > (0.7 + 15)2.5 > 15.7; no es cierto.La condición no se cumple para la segunda fila.

Tercera fila:|a33| > (|a31| + |a32|)4.4 > (3.3 + 11)4.4 > 14.3; no es cierto.La condición no se cumple para la tercera fila.

Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas.

Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante.

NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuestapor a11, a22 y a33.

Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3,se tiene el siguiente sistema:

En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:

Primera fila:|a11| > (|a12| + |a13|)5 > (1.4 + 2.7)5 > 4.1; es cierto.La condición se cumple para la primera fila.

Segunda fila:|a22| > (|a21| + |a23|)11 > (3.3 + 4.4)11 > 7.7; es cierto.La condición se cumple para la segunda fila.

tercera fila:|a33| > (|a31| + |a32|)15 > (0.7 + 2.5)15 > 3.2; es cierto.La condición se cumple para la tercera fila.

Para que el sistema sea diagonalmente dominante,la condición debe cumplirse para todas las filas.

En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas,por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante.

Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:

Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuación 1 para obtener x1:

Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2:

Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son:

Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema,se debe seguir avanzando en el proceso iterativo.

Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuación 1, seobtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuación 2,

se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en la ecuación 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:

Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo.

Se resumen los resultados de esta manera:

Tercera iteración:

Cuarta iteración:

Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y se tiene que los valores aproximados de la solución del sistema son:

De donde despejamos xi(k)obtenemos:

Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones expresado en su forma algebraica conforme a la ecuación (2d)

Ax = b …(2d)

La matriz A, puede escribirse de la siguiente maneraA = D + R …(20)

Donde D es una matriz diagonal, i.e. una matriz cuadrada cuyos elementos contenidos en la diagonal

principal son los únicos diferentes de cero y coinciden con los valores de los elementos de la diagonal principal de A.

Por el contrario, R es una matriz que contiene ceros en la diagonal principal y cuyos elementos restantes coinciden con los respectivos elementos de A.

Entonces, sustituyendo (20) en (2d):

(D + R)x = b …(21)

i.e.Dx + Rx = b

Dx = b - RxD-1Dx = D-1(b - Rx)

x = D-1(b - Rx) …(22)

que se traduce en la fórmula recursiva:x(k+1) = D-1(b – Rx(k)) ; k = 0,1,2… …(23)

Esto es:

( 1)

1

( ) ( ) ( )

1 1 12 2 13 3 1

11

( 1) ( ) ( ) ( )

2 2 21 1 23 3 2

22

( 1) ( ) ( ) ( )

3 3 31 1 32 2 3

33

( 1) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 , 1

1( )

1( )

1( )

1( )

0,1,2...

k

n

n

n

n

k k k

n

k k k k

n

k k k k

n

k k k k

n n n n n n

nn

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

k

…(24)

El método comienza con una primera aproximación:

x(0) = T

(0) (0) (0) (0)

1 2 3 nx x x x

que se sustituye en los segundos miembros de (24)para generar una nueva aproximación:

x(1) = T

(1) (1) (1) (1)

1 2 3 nx x x x

Asimismo, se sustituye x(1) para obtener:

x(2) = T

(2) (2) (2) (2)

1 2 3 nx x x x

( 1) ( )n nx x

Este procedimiento se repite sucesivamente. El criterio que identifica una buena aproximacióna la solución del sistema es el siguiente:

…(25)

En donde es un vector detolerancia preestablecido

T

0,0,0,...,0

111 1 12 13 1

2 2 21 23 2

22

3 3 31 32 3

33

10 0

01

0 0 0

01

0 0

ax b a a x

x b a a xa

x b a a x

a

Suponiendo un sistema de 3 x 3 y el vector inicial: x(0) =

el cual se sustituye en (24)

… (25)

Entonces se obtiene la siguiente aproximación:

x(0) =

T

31 2

11 22 33

bb b

a a a

…(26)

El cual se utiliza generalmente como vector inicial x(0) en la resolución de sistemas de ecuaciones a través del método de Jacobi.

Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi, el siguiente sistema de ecuaciones

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 2 22

8 2 30

6 23

x x x

x x x

x x x

( 1) ( ) ( )

1 1 12 2 13 3 2 3

11

1 1( ) (22 2 )

6

k k kx b a x a x x xa

( 1) ( ) ( )

2 1 3

1(30 2 )

8

k k kx x x

( 1) ( ) ( )

3 1 2

1(23 )

6

k k kx x x

T T

(0) 31 2

11 22 33

22 30 23, ,

6 8 6

bb bx

a a a

Solución.

(1) (0) (0)

1 2 3

1(22 2 )

6x x x

(1) (0) (0)

2 1 3

1(30 2 )

8x x x

(1) (0) (0)

3 1 2

1(23 )

6x x x

Para k = 0 se tiene

(1)

1

1 30 23(22 2 ) 1.778

6 8 6x

(1)

2

1 22 23(30 2 ) 3.250

8 6 6x

(1)

3

1 22 30(23 ) 3.847

6 6 8x

Sustituyendo los valores:

Consecuentemente: T(1) 1.778 3.250 3.847x

(2)

1

1(22 2(3.250) 3.847) 1.942

6x

(2)

2

1(30 1.778 2(3.847)) 3.011

8x

(2)

3

1(23 1.778 3.250) 4.079

6x

Ahora, para k = 1:

esto implica que

T(2) 1.942 3.011 4.079x

T(3) 1.983 2.973 4.012x

T(4) 2.007 2.995 3.998x

T(5) 2.002 3.001 3.998x

T(6) 2.000 3.001 4.000x

T(7) 2.000 3.000 4.000x

Continuando con estos pasos se tiene entonces:k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

k = 6

Con lo que se obtiene la solución final:x1 = 2.000x2 = 3.000x3 = 4.000

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por medio del método de Gauss-Seidel.

Considera una tolerancia de 0.001 y redondeo a cuatro cifras significativas.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 2 22

8 2 30

6 23

x x x

x x x

x x x

Solución. Despejamos x1, x2 y x3 de la primera, segunda y tercera ecuación,

respectivamente

1 2 3

2 1 3

3 1 2

122 2

6

130 2

8

123

6

x x x

x x x

x x x

Ahora, expresamos estos despejes en términos recursivos

( 1) ( ) ( )1 2 3

( 1) ( 1) ( )2 1 3

( 1) ( 1) ( 1)3 1 2

122 2

6

130 2

8

123

6

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

Tenemos el vector de aproximaciones iniciales

(0) (22 / 6,30 /8,23/ 6)Tx

Sea k=0,(0) (0) (0)

1 2 3

22 30 23, ,

6 8 6x x x

.

(1)1

(1)2

(1)3

1.778

1.778

1.778

1 30 2322 2

6 8 6

1 23

4.039

30 3.014

3.0

28 6

123

614

x

x

x

Y ahora (1) (1) (1)1 2 31.778, 3.014, 4.039x x x . Como

(1) (0) (1.778 3.667,3.014 3.75,4.039 3.833)

(1.889,0.736,0.206)

x x

Es mayor a la tolerancia prefijada (0.001,0.001,0.001) es necesario hacer otra iteración.

,

(2) (2) (2)1 2 31.989, 2.989, 4.000x x x

(3) (3) (3)1 2 32.004, 3.001, 4.000x x x

(4) (4) (4)1 2 32.000, 3.000, 4.000x x x

En las siguientes iteraciones, los resultados son:k=1 con

k=2 con

k=3 con

Es claro que el método de Gauss Seidel converge más rápido a la solucióndel sistema que el de Jacobi. Sin embargo, es importante señalar que laconvergencia de estos métodos no siempre está asegurada.

Ambos métodos utilizan una técnica similar a la del punto fijo vistaen la unidad anterior. Recordemos que el método del punto fijo tienedos desventajas:

1. En algunas ocasiones no converge a la solución.2. Cuando converge a la solución lo hace de forma muy lenta.

Estos mismos problemas pueden presentarse tanto en el método de Jacobicomo en el método de Gauss-Seidel.

Como ya hemos visto, el método del punto fijo converge en la n-ésima iteración si, y sólo si,

1( ) 1; ng x a

donde a es la raíz buscada.Se puede probar que este criterio de convergencia para el método del punto fijo se preserva tanto para el método de Jacobi, como para el método de Gauss-Seidel y que se traduce en la expresión

,

1

;n

ii i j

j

a a j i

…(26.a)

Esto es, el coeficiente diagonal en cada una de las ecuaciones del sistemaen valor absoluto debe ser mayor que la suma en valor absoluto de losdemás coeficientes en la ecuación. Este criterio es suficiente, aunque nonecesario, para garantizar la convergencia, es decir, si (26.a) se cumplehabrá convergencia y si no se cumple puede que el método converja o no.Los sistemas que cumplen con esta propiedad son conocidos comodiagonalmente dominantes.

Ejemplo. Determina si la matriz de coeficientes del sistema de ecuacioneslineales del ejemplo anterior es diagonalmente dominante.

Solución. Tenemos el sistema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 2 22

8 2 30

6 23

x x x

x x x

x x x

Por lo que la matriz de coeficientes es

6 2 1

1 8 2

1 1 6

A

11 12 13a a a 22 21 23a a a 33 31 32a a a Entonces, tenemos que

ya que|6|>|2|+|1||8|>|-1|+|2||6|>|1|+|-1|

Por lo tanto, la matriz de coeficientes del sistema esdiagonalmente dominante