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Centro Educativo Kinal

I

ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON APLICACIONES

PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR

INTRODUCCIÓN

Este libro es continuación del de cuarto, la intención es mejorar el nivel

académico de nuestros estudiantes para que puedan seguir estudiando

en cualquiera de las Universidades locales o solicitar becas en el

extranjero, se ha procurado hacer recopilaciones de los contenidos de

matemáticas en otros países, con el fin de que cualquiera de nuestros

alumnos que desee ir a estudiar a otro país, no tenga problemas en

adaptarse a nuevos contenidos, pues creemos que las bases las

poseerá. Los temas, al igual que en el libro de cuarto, están escritos en

forma mucho mas clara que en las algebras existentes, para que cuando

el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad

cualquier libro de álgebra que se le presente. Damos en el mismo todo

lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los

capítulos posteriores.

De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están

basadas a lo que realmente necesitamos que nuestros alumnos puedan

conocer para poderlo aplicar en cuestiones de la vida diaria, así mismo,

prepararlos en los temas antes mencionados para que puedan ingresar a

las Universidades que deseen.


II

La continuidad que presentamos respecto al libro de cuarto, hará que

nuestros alumnos dominen con mayor precisión y perfección el Algebra.

Agradezco a Dios el que me haya iluminado y dado los conocimientos

necesarios para poder elaborarlo y a las autoridades del Centro

Educativo Kinal, para poder presentarlo y a la vez utilizarlo con nuestros

alumnos, que estoy seguro será aprovechado eficientemente.

El autor.


III

INDICE DE CONTENIDOS

UNIDAD 1 SISTEMAS DE ECUACIONES .

1.1 Sistemas de ecuaciones 7

Objetivos 7

1.1.1 Método gráfico 8

1.1.2 Método de sustitución 9

1.1.3 Método de igualación 10

1.1.4 Método de eliminación suma y resta 11

1.1.5 Método de determinantes 18

1.1.6 Ecuaciones con mas de dos variables 30

1.2 Matrices 34

1.3 Teorema del binomio 42

1.3.1 Binomio de Newton 42

UNIDAD 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS

Objetivos 53

2.1 Algoritmo de Horner 53

2.2 Funciones y gráficas 60

2.3 Gráficas de funciones 62

2.3.1 Función constante 63

2.4 Simplificación de un cociente

Diferencia 73

UNIDAD 3 FUNCIONES CUADRÁTICAS

3.1 Funciones cuadráticas 87

Objetivos 87

3.1.1 Vértice de una parábola 88

3.1.2 Intersección de la parábola

con los ejes 91

3.2 Operaciones con funciones 106

3.3 Composición de funciones 109

3.4 Funciones inversas 113


IV

UNIDAD 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

4.1 División sintética 123

Objetivos 123

4.2 Teorema del residuo 124

4.3 Teorema del factor 125

4.4 Funciones Polinomiales y

Racionales 130

4.4.1 Funciones Polinomiales 124

4.4.2 Funciones Racionales 140

4.5 Funciones Exponenciales y

Logarítmicas 151

4.5.1 Funciones Exponenciales 151

4.5.2 Funciones Logarítmicas 156

4.5.3 Gráficas de funciones logarítmicas 162

UNIDAD 5 SECCIONES CÓNICAS

5.1 Secciones Cónicas 167

Objetivos 167

5.1.1 Parábola 168

5.1.2 Elipses 180

5.1.3 Hipérbolas 195

5.2 Leyes de los Senos 207

5.3 Ley de los Cosenos 221

Bibliografía 228


5


6


7

SISTEMAS DE ECUACIONES

Objetivos:

Dibujar y trazar las gráficas de dos ecuaciones en un plano

de coordenadas cartesianas

Determinar gráfica y algebraicamente si los sistemas de ecuaciones son a) consistentes e independientes, b)

inconsistentes c) dependientes.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de

sustitución

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma y resta.

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es cuando existe más de una variable, si es de dos variables habrá dos ecuaciones, si hay tres

variables habrá 3 ecuaciones y así sucesivamente. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

podemos utilizar varios métodos. Nosotros veremos los siguientes:

1. Gráfico

2. Sustitución 3. Igualación

4. Reducción 5. Determinantes


8

1.1.1 MÉTODO DE GRÁFICO

Ejemplo 1 Resolver el sistema

Y = x2 – 4

y = x – 2

En la gráfica podemos observar que en donde se cruzan las líneas de las

gráficas es en (2, 0) y en (– 1, – 3), por lo tanto las soluciones son estas.

Ejemplo 2 Resolver el sistema

y = 2x2 – 3

y = – 2x + 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5


9

1.1.2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, en

una de las ecuaciones se despeja una de las dos variables y este

resultado se sustituye en la otra ecuación .

Ejemplo 3: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema.

Solución: Despejemos la “y” en la primera ecuación por ser más fácil ya que su coeficiente es uno.

y = 11 – 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

5x – (11-3x)=13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos para encontrar el valor de x

5x – 11 + 3x =13

5x + 3x = 13 + 11

8x = 24

8

24x

x = 3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la ecuación en donde

tenemos la “y” despejada. y = 11 – 3x

y = 11 – 3(3)

y = 11 – 9

y = 2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es x=3 y “y”=2


10

1.1.3 MÉTODO DE IGUALACIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, despejamos la

misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados.

Ejemplo 4: Resolver el sistema

3x + 2y = 8

2x – y = 3

Solución: Despejamos la “y” en las dos ecuaciones

2y = 8 – 3x

2

38 xy

2x – 3 = y

Ahora que tenemos despejada la “y” en las dos ecuaciones, igualamos

los resultados, sin importar cual de los dos resultados escribamos de primero, y resolvemos la ecuación con una variable que nos queda para

encontrar su valor.

2

3832

xx

2(2x – 3) = 8 – 3x

4x – 6 = 8 – 3x

4x + 3x = 8 + 6

7x = 14

7

14x

x = 2

Ahora sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones en donde se

encuentra despejada la “y”. más fácil la segunda


11

2x – 3 = y

2(2) – 3 = y

4 – 3 = y

y = 1

1.1.4 MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUMA Y RESTA

Pudimos darnos cuenta que en todos los método que hemos visto, el

objetivo es eliminar una de las variables para trabajar ecuaciones solo con una variable. La forma de eliminar a una de las variables por este

método es con suma y resta, para ello debemos hacer a la variable que vamos a eliminar, que tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones

pero con signo contrario.

Ejemplo 5: Resolver por el método de suma y resta el siguiente sistema

de ecuaciones:

2x – 5y = -4

3x + 5y = 19

Solución: Como el objetivo es eliminar por suma y resta, en este caso

no tenemos nada más que hacer, que eliminar de una vez la “y” puesto que una es 5 y la otra -5

2x – 5y = -4

3x +5y = 19

5x = 15

5

15x

x = 3

Ya que encontramos el valor de la x, tomamos cualquiera de las

ecuaciones para encontrar el valor de la y.

2x – 5y = -4


12

2(3) – 5y = -4

6 – 5y = -4

-5y = -4 – 6

-5y = -10

5

10

y

2y

Ejemplo 6: Resolver el sistema por el método de suma y resta

4x +5y = 11 2x – 2y = 10

Solución: En este caso no tenemos ninguna variable que se pueda

eliminar de una vez, pero si podemos ver que si multiplicamos -2 por la segunda ecuación la x se convierte en -4 y así ya la podemos eliminar.

4x +5y = 11

-2(2x – 2y = 10)

4x + 5y = 11

- 4x + 4y = -20 0 +9y = -9

9

9y

1y

Luego tomamos cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de la “y”

4x + 5y = 11

4x + 5(-1) = 11

4x – 5 = 11 4x = 11 + 5

4x = 16

4

16x

X = 4


13

Ejemplo 7: Resolver el sistema por el método de suma y resta

4x +5y = 14 3x – 2y = – 1

Solución: En este caso, no tenemos variables que se puedan eliminar de

una vez ni existe ninguna ecuación que se pueda multiplicar por algún número y quede igual al coeficiente de la otra, entonces:

Intercambiamos el coeficiente de la variable que queramos eliminar y cambiamos un signo.

-3(4x+5y = 14)

4(3x – 2y = -1)

-12x – 15y = - 42 12x - 8y = -4

0 – 23y = - 46

23

46

y

2y

Nuevamente tomamos cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de la x,

4x + 5y = 14

4x + 5(2) = 14 4X + 10 = 14

4x = 14 – 10 4x = 4

1

4

4

x

x

Resolvamos ahora el mismo sistema por el método gráfico

Principiando por el método gráfico, procedemos a despejar la variable

“y” en las dos ecuaciones con el fin de trazar la gráfica en el plano

4x + 5y =14 3x – 2y = – 1 Podemos encontrar los interceptos en cada uno de los ejes.

Por ejemplo, si queremos encontrar el intercepto en el eje x, debemos igualar a cero la “y” y nos queda

4x = 14

4

14x

2

7x


14

Esto significa que al eje x lo atraviesa en 2

7

Luego, para encontrar el intercepto en el eje “y” igualamos a cero el eje

x y nos queda

5y = 14

5

14y

Trazamos entonces la recta que cruza los ejes en los valores

encontrados.

Luego trazamos la otra recta haciendo las mismas operaciones.

3x – 2y = – 1

Igualando a cero la x

– 2y = – 1

2

1

y

2

1y


15

Igualando a cero la “y”

3x = – 1

3

1x

3

1x

Sabemos entonces que cruza los ejes en 2

1 al eje “y” y en

3

1 al eje x

luego trazamos la recta en el mismo plano

Y encontramos que las líneas se cruzan en el punto (1, 2)

Resolviéndolo por el método de sustitución:

Despejamos una de las variables en una ecuación y sustituimos este

resultado en la otra ecuación en donde se encuentre esta variable.

4x +5y = 14 3x – 2y = – 1

Despejamos la x en la primera ecuación

Luego sustituimos en la otra ecuación el valor encontrado de x y

despejamos la única variable que nos queda.

4

514 yx


16

NOTA: Cualquier método que utilicemos a excepción del gráfico, el objetivo es eliminar una de las variables para encontrar el valor de la

otra.

124

5143

y

y

124

1542

y

y

Multiplicando toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador

42 – 15y – 8y = – 4

Despajando la “y”

– 15y – 8y = – 4 – 42

– 23y = – 46

23

46

y

y = 2

Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la

variable x despejada para encontrar el valor de ella.

4

)2(514 x

4

1014 x

4

4x x = 1

4

514 yx


17

Al resolver el mismo sistema por el método de igualación, despejamos la misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados,

resolviendo luego la ecuación que nos quedó con una sola variable

3

12

yx

3

12

4

514

yy

3(14 – 5y) = 4(2y – 1)

42 – 15y = 8y – 4

– 15y – 8y = – 4 – 42

– 23y = – 43

23

46

y

y = 2

Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la

variable x despejada para encontrar el valor de ella.

4

)2(514 x

4

1014 x

4

4x

x = 1

4

514 yx

4

514 yx


18

1.1.5 METODO DE DETERMINANTES

En Matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal

alterna de un cuerpo. Se utiliza como un método alterno para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tiene una manera sencilla de

calcularlo.

En un sistema de dos por dos, el determinante se encuentra de la siguiente forma:

feydx

cbyax

El determinante se obtiene

bdae

El determinante sirve para resolver el sistema sin utilizar ecuaciones.

Ejemplo 8: Resolver por determinantes el siguiente sistema

2x + 5y = -7

3x – 2y = 18

Primero encontramos el determinante

Determinante = 2(-2) – 5(3) = – 4 – 15 = - 19

El determinante es entonces -19

Para encontrar el valor de la x, sustituimos la columna de la x con los

valores de los términos independientes y procedemos de la misma forma que lo hicimos para encontrar el determinante y el resultado lo

dividimos entre el determinante.

- 7 + 5

18 - 2

19

)18(5)2(7

x


19

19

2136

y

19

57

y

3y

Ejercicios: Resolver por el método gráfico

1) y = x2 2) x = – y2 + 6

y = 2x + 3 x + 2y = – 2

3) x2 + y2 = 25 4) y = x2 – 4

x = 4 y = 2x – 1

5) y = x2 + 1 6) y2 = x x + y = 3 x + 2y + 3 = 0

7) y = x2 – 2 8) y = 2x2 + 1

y = x y = 2x + 5

9) x = y2 + 1 10) x = – 2y2 + 3

y = – x + 3

11) y = x2 + 2 12) 2x + y = 10

x + 2y = 11

Resolver por el método de sustitución.

1) 5x + 3y = 1 2) 3x – y = 11 2x + y = 0 2x + 3y = – 11

3) 3x + 4y = 6 4) 2x + 3y = 3 x – 5y = 2 4x + 5y = 5


20

5) 2x + 4y = 9 6) 3x – 4y = – 2 6x + 2y = 7 9x + 3y = 9

7) 2x + 5y = 10 8) 3x + 2y =

3x – 10y = 10 6x – 8y = 3

9) x + y = 11 10) 3x – y = 7 x – y = – 3 2x + 3y = 12

Resolver por el método de igualación.

1) 5x + 3y = 1 2) 3x – y = 11 2x + y = 0 2x + 3y = – 11

3) x + y = 11 4) 3x – y = 7 x – y = – 3 2x + 3y = 12

5) 3x + y = 3 6) 2y – 6 = 5x

4x + 2y = – 2 y – x = 9

7) y – 2x = 6 8) x + y = 12 x + 2y = 2 x – y = 8

9) 4x – 5y = 2 10) 3x + 4y = 6

5x + 3y = 21 2x – 5y = 4

Resolver por el método de suma y resta.

1) 3x + 4y = 6 2) 2x + 3y = 3

x – 5y = 2 4x + 5y = 5

3) y – 2x = 6 4) x + y = 12 x + 2y = 2 x – y = 8

5) 2x + 4y = 9 6) 3x – 4y = – 2 6x + 2y = 7 9x + 3y = 9


21

7)

198

464

yx

yx 8)

282

743

yx

yx

9)

81210

465

yx

yx 10)

12

1314

12

1112

yx

yx

Problemas del libro de swokowski

1. El precio de admisión a una obra de teatro de secundaria fue de $3.00 para estudiantes y $4.50 para el público en general. Si se

vendieron 450 boletos para un total $1,555.50, ¿cuántos de cada clase se vendieron?

2. Una línea aérea que vuela de los Ángeles a Albuquerque, con una

escala en Phoenix, cobra una tarifa de $45 a Phoenix y de $60 de Los Ángeles a Albuquerque. Un total de 185 pasajeros abordó el

avión en los Ángeles y la venta de boletos hizo un total de

$10,500. ¿Cuántos bajaron en Phoenix?

3. Se fabricará un crayón de 8 cm de largo y 1 cm de diámetro con 5 cm3 de cera de color. Debe tener la forma de un cilindro con una

pequeña punta cónica (ver la figura). Encuentra la longitud x del cilindro y la altura “y” del cono.

4. Un hombre rema y recorre 500 pies en 10 minutos en contra de

una corriente constante y luego rema 300 pies río abajo (con la

misma corriente) en 5 min. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la que puede remar el hombre en

aguas tranquilas.


22

5. Se va a construir una mesa grande en forma de rectángulo con dos semicírculos en los extremos (ver la figura) para una sala de

conferencias. La mesa debe tener un perímetro de 40 pies y el área de la porción rectangular tiene que ser el doble de la suma de

las áreas de los dos extremos. Encuentra la longitud l y el ancho

w de la porción rectangular.

6. Una mujer tiene $15,000 para invertir en dos fondos que pagan

interés simple de 6% y 8% anual. Los intereses del fondo de 6%

son sin impuestos, no así los de 8%. Dado que está en un grupo

de impuestos altos, la mujer no desea invertir toda la suma en la

cuenta de más rendimiento. ¿Hay forma de invertir el dinero de

modo que reciba $ 1000 de intereses al término de un año?

7. Una población de gatos está clasificada por edad en cachorros (de

menos de un año) y adultos (por lo menos de un año). Todas las

hembras adultas, incluyendo las nacidas el año anterior, tienen

una camada cada mes de junio. con un promedio de tres gatitos

por camada. La población en primavera de cierta región se estima

en 6,000 y la proporción de machos y hembras es uno a uno.

Calcula el número de adultos y de cachorros en la población.

8. Un tanque de agua de 300 galones de capacidad se llena con un

solo tubo de entrada, pero se pueden usar dos tubos de salida

idénticos para alimentar de agua dos campos circundantes (ver la

figura). Se emplean cinco horas para llenar el tanque cuando está

vacío y ambos tubos de salida están abiertos; al cerrar uno de los


23

tubos, se necesitan tres horas para llenarlo. Encuentra el flujo (en

galones por hora: gal/h) que entra y sale por los tubos.

9. Un comerciante desea mezclar cacahuates que cuestan $3 por

libra con nueces de la India que valen $8 la libra, para obtener 60

libras de una mezcla con valor de $5 por libra ¿ Cuántas libras de

cada variedad debe mezclar?

10. Un platero tiene dos aleaciones, una de las cuales contiene

35% de plata y la otra 60%. ¿Cuánto de cada una debe fundir y

combinar para obtener 100 g de una aleación con 50% de plata?

11. Una aeronave, que vuela a favor del viento recorre 1200 millas

en 2 horas; el viaje de regreso (contra el viento) le toma 2

12

horas. Encuentra la velocidad del aeroplano y la velocidad del

viento (suponiendo que ambas son constantes).

12. Una compañía papelera vende dos tipos de cuadernos a

librerías de escuelas, el primero a un precio de mayoreo de ¢50 y

el segundo, en ¢70. La compañía recibe un pedido de 500

cuadernos, junto con un cheque de $286. Si el pedido no


24

especifica el número de cada tipo. ¿cómo se debe despachar el

pedido?

13. A medida que una pelota rueda hacia abajo en un plano

inclinado, su velocidad v(t) (en centímetros por segundo: cm/s)

en el tiempo t (en segundos) está dada por y atvtv o )( para una

velocidad inicial ov y aceleración a (en cm/s2). Si 16)2( v y

25)5( v encuentra ov y a

14. Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Cada

sofá requiere 8 h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto

que un sillón se puede construir por $35 en 6 h, La compañía

dispone de 340 h de mano de obra por semana y puede comprar

$2 250 en materiales. ¿Cuántos sillones y sofás puede producir si

debe utilizar todos los recursos materiales y humanos?

15. Un ganadero está preparando una mezcla de avena y harina de

maíz para ganado. Cada onza de avena proporciona cuatro

gramos de proteína y 18 g de carbohidratos, y 1 onza de harina de

maíz, 3 g de proteína y 24 g de carbohidratos. ¿Cuántas onzas de

avena y harina de maíz se requieren para satisfacer las metas

nutricionales de 200 g de proteína y 1320 g de carbohidratos por

ración?


25

PROBLEMAS

1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas,

son 50; si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus

conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas

libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276

patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

5. Se quieren mezclar vino de Q.60.00 con otro de Q.35.00, de modo

que resulte vino con un precio de Q.50.00 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión

contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en

total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada mujer y un cuaderno a cada varón.

Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos varones y mujeres están en mi clase?

8. Un comerciante compra en un depósito 6 quintales de café y 3 de azúcar, por lo que paga Q.1530.00. Ante la amenaza de nuevas subidas

a los precios, vuelve al día siguiente y compra 1 quintal de café y 10 quintales de azúcar por lo que paga Q.825.00. No se fija en el precio y

plantea el problema a su hijo de 13 años. ¿Podrías tú llegar a resolver el problema?

9. Con Q.1000.00 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 bolsas de comida para perro adulto y cachorro por un total de Q.960.00 Si la

bolsa de comida para perro adulto cuesta Q.90.00 y la bolsa para


26

perros cachorros cuesta Q.115.00. ¿Cuántas bolsas de comida ha comprado de cada tipo?

10. En un puesto de frutas se han vendido 2 cientos de naranjas y 5

cientos de plátanos por Q.835.00. Posteriormente se vendieron 4 cientos

de naranjas y 2 cientos de plátanos por Q. 574.00. Calcula el precio de cada ciento de naranjas y plátanos.

11. Un comerciante, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la

primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a Q.75.00 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces

resulta la mezcla a Q.80.00 el Kg ¿Cuál es el precio del Kg. de cada calidad de café?

12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron Q.19,625.00. Si los adultos pagaban Q.40.00 y los niños

Q.15.00. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?

13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a Q.80.00 y otros a Q.120.00 con los que han obtenido Q.19,200.00.

¿Cuántos libros han vendido de cada precio?

14. Un pastelero compra pasteles a Q.65.00 la unidad y pies a Q.25.00

cada uno por un total de Q.585.00. Como se le estropean 2 pasteles y 5 pies calcula que si vende cada pie a Q.3.00 más y cada pastel a Q.5.00

más de lo que le costaron perdería en total Q.221.00. ¿Cuántos pasteles y pies compró?

15. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el

segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero

por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

16. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades.

Halla dicho número.

17. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es

12 y su suma es 6.

18. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.

19. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados

sea 193 y la diferencia sea 95.


27

20. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las

cifras invertidas. ¿Cuál es el número?

21. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea

cuádruple del menor.

22. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se

diferencian en 1.

23. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco centavos. y otras de un

centavo. ¿Puedo tener en total 78 centavos?.

24. Luis y Francisco comentan: Luis: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"

Francisco: "Sí, pero si yo te quito 4, entonces tendré 4 veces más que tú".

¿Cuántas monedas tienen cada uno?

25. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de Q.2.20. Las monedas

son de 5 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas hay de cada valor?

26. Tenía muchas monedas de 25 centavos y las he cambiado por monedas de Q.1.00. Ahora tengo la misma cantidad en dinero pero 60

monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?

27. En la fiesta de un compañero se han repartido entre los 20

asistentes el mismo número de bebidas. Como a última hora ha acudido un compañero más nos han dado a todos una bebida menos y han

sobrado 17. ¿Cuantas bebidas para repartir se tenía?

28. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba Q.300.00. a cada uno le

sobraban Q.600.00. y si nos daba Q.500.00 le faltaban Q.1000.00 ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

29. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que

tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?


28

30. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre

y de mi hermano?

31. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50

años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?

32. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese Q.1.000.00 . a cada nieta y Q.500.00

a cada nieto se gastaría Q.6.600.00 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?

33. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?

34. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años

no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

Problemas de Geometría

1. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus

dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

2. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.

3. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2

metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia.

Calcula las dimensiones del rectángulo.

4. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no

varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.

5. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

6. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor

que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

7. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es

de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.


29

8. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

9. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos

las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las

longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

10. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del

trapecio.


30

1.1.6 ECUACIONES CON MAS DE DOS

VARIABLES

Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar cualquier método de los aprendidos.

Utilicemos para el siguiente sistema, el método de eliminación por suma y resta (por adición o sustracción).

El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que

estudiaremos en esta sección.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una

solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución.

Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones

lineales:

Ejemplo 1:

Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 ................................... (primer ecuación)

4x + 5y + 6z = 24 ............................... (segunda ecuación) 3x + y - 2z = 4 .................................. (tercera ecuación)

Solución: Aplicando el método de suma y resta para introducirnos a las

matrices, procedemos de la siguiente manera:

Eliminaremos primero las x, para esto copiamos la primera ecuación tal y como está, multiplicamos la primera ecuación por -4 y sumamos el

resultado con la segunda fila y escribimos el resultado en la segunda fila.

-4(x + 2y + 3z = 9) -3y - 6z = -12

3x + y - 2z = 4

Copiamos las dos ecuaciones primeras y luego multiplicamos -3 por la

primera ecuación, la sumamos con la tercera y escribimos la respuesta en el lugar donde está la tercera.

-3(x + 2y + 3z = 9) -3y - 6z = -12

-5y - 11z = -23


31

La razón de haber multiplicado por -4 la primera ecuación en el primer paso es porque teníamos 4x y para eliminarla, la otra tenía que ser -4x,

de igual forma en el segundo, para eliminar la 3x, la otra debía ser -3x.

Tenemos ahora la primera ecuación con tres variables y la segunda y tercera con dos variables, el objetivo es llevar a escalonarlas: la primera

con 3 variables, la segunda con 2 y la tercera con 1

Nos falta entonces llevar a la tercera ecuación a que sea solo con una

variable.

Los coeficientes de la primera variable deben de ser 1; la primera ecuación ya es uno, pero la segunda ni la tercera no. Para que la

segunda sea 1, dividimos la ecuación entre 3 y escribimos la respuesta en su mismo lugar

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4 -5y -11z = -23

Ahora ya podemos eliminar la variable “y” en la tercera ecuación multiplicando la segunda por 5 y sumando el resultado con la tercera y

escribiendo el resultado en el lugar de la tercera.

x + 2y + 3z = 9 5(y + 2z = 4)

-z = -3 Nos queda entonces el sistema escalonado y el último resultado es el

valor de esa variable, en este caso, z = 3

x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4

z = 3

Para encontrar el valor de las otras variables sustituimos:

Tomando la segunda ecuación y sustituyendo la z con el valor que encontramos nos queda:

y +2(3) = 4 y + 6 = 4

y = 4 – 6 y = -2


32

Conociendo los valores de “y” y de z, los sustituimos en la primera para encontrar el valor de la x.

x + 2y + 3z = 9

x + 2(-2) + 3(3) = 9 x – 4 + 9 = 9

x = 4

x = 4,

y = -2, z = 3.

Antes de introducirnos al tema de matrices, resolveremos el sistema por

determinantes. Se procede de forma similar al de dos variables.

x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

Para encontrar el determinante, escribimos solo los coeficientes numéricos y volvemos a copiar al final las primeras dos columnas

1 2 3 1 2

4 5 6 4 5

3 1 -2 3 1

Luego multiplicamos como indican las flechas. Los productos de las flechas negras es suma. Los productos de las flechas rojas se restan.

1(5)(-2) + 2(6)(3) + 3(4)(1) – 3(5)(3) – 1(6)(1) – (-2)(4)(2)

-10 + 36 + 12 – 45 – 6 + 16 = 3

El determinante entonces es 3. Este seré el divisor para encontrar el

valor de cada una de las variables.

Para encontrar cada una de las variables, procedemos a sustituir el valor

de los términos independientes en la columna de la incógnita que se desea conocer su valor.


33

9 2 3 9 2

x = 24 5 6 24 5

4 1 -2 4 1

3

)2)(24)(2()9)(6(1)3)(5(4)1)(24(3)4)(6(2()2)(5(9 x

3

965460724890 x

3

12x

4x

Para encontrar “y” sustituimos la columna de los coeficientes de la “y”,

por los valores que están en el lado derecho del signo igual.

1 9 3 1 9

y = 4 24 6 4 24

3 4 -2 3 4

3

)9)(4)(2()1)(6(4)3)(24(3)4)(4(3)3)(6(9)2)(24(1 y

3

72242164816248 y

2

3

6

y

y

Para encontrar z


34

1 2 9 1 2

z = 4 5 24 4 5

3 1 4 3 1

3

)2)(4(4)1)(24(1)9)(5(3)1)(4(9)3)(24(2)4)(5(1 z

3

32241353614420 z

3

3

9

z

z

1.2 MATRICES Con referencia al sistema anterior, escribimos los coeficientes de las

variables en una matriz.

x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

Primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden

en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los números que

intervienen en las ecuaciones de esta forma:

Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.

Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal:


35

1 2 3 9 primer renglón R1

4 5 6 24 segundo renglón R2

3 1 -2 4 tercer renglón R3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical

Primera

columna C1

Segunda

columna C2

Tercera

columna C3

Cuarta

columna C4

1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 -2 4

La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. Si borramos la última columna, la restante

ordenación es la matriz de coeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una

columna, le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar las

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar

dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones

correspondiente.

Sistema Matriz coeficiente Matriz aumentada

Ejemplos:

Sea la matriz:


36

por tanto, es una "matriz de orden 2 x 3."

Sea la matriz:

por tanto, es una "matriz de orden 3 x 1."

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:

a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj. b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de

cero. Símbolo: kRi Ri. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro

Renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.

Vamos a resolver ahorael primer ejemplo a través del uso de matrices.

Ejemplo.

Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9

4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz

aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones

equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices


37

equivalentes.

(-4)R1 + R2 R2

(-3)R1 + R3 R3

(-(1÷ 3))R2 R2

(-1)R3 R3

(-5)R2 + R3 R3

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se

puede encontrar ahora por sustitución. La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de

izquierda a derecha, es 1. b.La diagonal de izquiera a derecha deben todos ser números 1

c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz, debajo de la diagonal..


38

Ejemplo: Sea la matriz:

, es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener

1 en el primer renglón de esa columna. (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj

Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.

(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones

elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.

(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j

>2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.

(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir

el procedimiento. (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo: Resuelve el sistema:


39

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

R1 R4

R2 R3

(1)R1 + R3 R3

(-2)R1 + R4 R4

(-1)R2 R2

(-(1÷ 2))R2 R2

(-1)R2 + R3 R3

(-1)R2 + R4 R4


40

(3)R3 + R4 R4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de

ecuaciones:

(-(1÷ 2))R4 R4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z=-2

Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos: y - 2z - w = 6

y - 2(-2) - (-1) = 6

y + 4 + 1 = 6 y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

x + z + 2w = -3 x + (-2) + 2(-1) = -3

x - 2 - 2 = -3 x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2,

w = -1.

Ejercicios:

Resuelve los siguientes sistemas utilizando matrices.

1.

1323

62

132

zyx

zyx

zyx

2.

12

123

33

zyx

zyx

zyx


41

3.

173

022

725

zy

zyx

zyx

4.

945

6538

634

yx

zyx

zyx

5.

732

423

1462

zyx

zyx

zyx

6.

4336

32

533

zyx

zyx

zyx

7.

434

123

3232

zyx

zyx

zyx

8.

025

523

232

zyx

zyx

zyx

9.

042

0

03

zyx

zyx

zyx

10.

032

02

02

zyx

zyx

zyx


42

1.3 TEOREMA DEL BINOMIO

Un binomio es un polinomio que consta de solamente dos términos (a+b) si este binomio se eleva a un entero positivo n, entonces existe

una fórmula para expandir este binomio (a + b)n. (Esto es para dejarla expresada como suma) por el teorema del binomio. En esta sección

usaremos la inducción matemática para establecer esta fórmula general.

Antes de entrar a conocer directamente este teorema, conoceremos el Binomio de Newton, para determinar los coeficientes que debe llevar

cada término.

1.3.1BINOMIO DE NEWTON. (a + b)n

La siguiente tabla muestra los coeficientes que tendrá cada término

después de desarrollarlo.

Exponente coeficiente 0 1

1

2

3

4

5

Y así sucesivamente, las flechas escritas indican los números que se sumaron para encontrar el siguiente.


43

Los exponentes van en orden descendente, iniciando con el mismo número que está afuera del paréntesis sobre el primer término. Con el

segundo término van en orden ascendente iniciando en el segundo términoo.

Ejemplo (a + b)5

Vamos a escribir sólo la primera letra con sus exponentes.

a5 + a4 + a3 + a2 + a

Ahora los exponentes del segundo término van en orden ascendente

pero principia en el segundo término.

a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5

Podemos ver que los términos inician y terminan con el mismo exponente que tiene afuera el paréntesis.

Ahora los coeficientes los buscamos en el triángulo de pascal en donde

dice exponente 5. Y nos queda:

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

El Teorema del Binomio Sirve para encontrar solamente un término

específico. Si tenemos el binomio (a + b)n en donde n es un número real, para encontrar el coeficiente de cualquier término, se utiliza la

siguiente fórmula

C = k)!-(nk!

!n En donde n es el exponente que se encuentra afuera del

paréntesis, y k es el exponente de la b.

En general, para resolver un binomio de exponente n se procede de la siguiente manera:

Encontremos ahora el tercer término de (a + b)5

Para encontrar el coeficiente sabemos que podemos utilizar la fórmula


44

C = k)!-(nk!

!n

En donde n = 5 y k = 2. k es 2 porque como k inicia con cero

entonces el tercer término corresponde a k: 0, 1, 2 . El signo ! se lee factorial.

Para resolver un factorial, es una multiplicación sucesiva que inicia con el número indicado y va multiplicando por sus consecutivos

descendientes,

Definición de n!

Si n = 0 0! = 1

Si n > 0 n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-n + 1)

por ejemplo si me indican que encuentre 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Encontrar 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720

Encontrar 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040

Encontrar 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320

C = k)!-(nk!

!n

C = 102

4*5

)1*2*3(1*2

1*2*3*4*5

2)!-(52!

!5

Y el tercer término completo quedaría 10a3b2

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

1. El exponente de afuera del paréntesis es n

2. El exponente del término b es k

3. El exponente de a es n – k 4. k se encuentra restando 1 del número de términos


45

Otro ejemplo Si tenemos el binomio (a + b)9 y nos dicen que encontremos el quinto término.

n = 9

k = 5 – 1 = 4

El exponente de a es n – k = 9 – 4 = 5

Podemos encontrar entonces el coeficiente

1266*7*3!5*1*2*3*4

!5*6*7*8*9

!5!4

!9

)!49(!4

!9

4

9

Tenemos ya el coeficiente y como conocemos los exponentes podemos escribir

El quinto término del binomio (a + b)9 es 126a5b4

Encontrar el coeficiente del quinto término de (a + b)9

Solución: Procedemos a aplicar la fórmula

C = k)!-(nk!

!n

En donde n = 9

k = 4 porque k: 0, 1. 2. 3, 4

C = 1261

2*7*9

2*3*4

6*7*8*9

)2*3*4*5(2*3*4

2*3*4*5*6*7*8*9

4)!-(94!

!9

Evaluación de

k

n

Ejemplo 1

Encuentra

5

5

4

5,

3

5,

2

5,

1

5,

0

5y


46

Solución: Estos 6 números son los coeficientes de la expansión de (a+b)5 que resolvimos antes. Veamos:

!5!0

!5

)!05(!0

!5

0

5

= 1

!51

!5

5!4

!4*5

!41

!5

!4!1

!5

)!15(!1

!5

1

5

102

20

!3*2

!3*4*5

!3*2

!5

!3!2

!5

)!25(!2

!5

2

5

101*2*1*2*3

1*2*3*4*5

!2*3

!5

!2!3

!5

)!35(!3

!5

3

5

51*1*2*3*4

1*2*3*4*5

!1!4

!5

)!45(!4

!5

4

5

11*1*2*3*4*5

1*2*3*4*5

!0!5

!5

)!55(!5

!5

5

5

Ejemplo 2 R

Encuentra la expansión binomial de (2x + 3y2)4

Solución: Si utilizamos el triángulo de pascal para encontrar los

coeficientes tendremos

Exponente coeficiente 0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1


47

Entonces los coeficientes son 1, 4, 6, 4 y 1 y sabemos que los exponentes principian con el mismo y van disminuyendo y el segundo

inicia en el segundo término y va aumentando

(2x + 3y2)4=1(2x)4+ 4(2x)3(3y2) + 6(2x)2(3y2)2 + 4(2x)(3y2)3 + 1(3y2)4

(2x + 3y2)4 = 16x4 + 4(8x3)(3y2) + 6(4x2)(9y4) + 8x(27y6) + 81y8

(2x + 3y2)4 = 16x4 + 96x3y2 + 216x2y4 + 216xy6 + 81y8

Ejemplo 3 Encuentra el quinto término de la expansión de 133 yx

Solución: Tomando a = x3 y yb , el exponente de b del quinto

término es k = 5 – 1 = 4 y por consiguiente el exponente de a es n – k

= 13 – 4 = 9.

Conociendo ya los exponentes, busquemos entonces el coeficiente.

2272272

4

27

4

2

1

27493 715!9*1*2*3*4

!9*10*11*12*13

!9!4

!13

)!413(!4

!13

4

13yxyxyxyxyx

Ejemplo 4 Encuentre el término en donde está q10 en la expansión

binomial de

12

2

3

1

qp

Solución: De acuerdo con el enunciado del teorema del binomio

n = 12

k no lo conocemos pero sí sabemos que 102 qqk , entonces k = 5

y el exponente de

p

3

1 es n – k = 12 – 5 = 7

Como también sabemos que k es igual al término menos 1, entonces el

término será k + 1 = 5 + 1

Sabemos entonces que q10 se encuentra en el término número 6 y com

solamente nos falta encontrar el coeficiente, podemos hallar el término


48

792!7*1*2*3*4*5

!7*8*9*10*11*12

!7!5

!12

)!512(!5

!12

5

12

Y el término es 10710710752

7

243

88

2187

792

2187

1792)(

3

1792 qpqpqpqp

Ejercicios:

Evalúa la Expresión

1. 2!6!

2. 3!4!

3. 7!0!

4. 5!0!

5. !5

!8

6. !3

!6

7. !5

!7

8. !6

!9

9.

5

5

10.

0

7

11.

5

7

12.

4

8

13.

4

13

14.

2

52

Escribe de forma expandida los siguientes binomios, puedes utilizar el

teorema del binomio o el triángulo de pascal para encontrar los

coeficientes e cada término

1. (4x – y)3

2. (x2 + 2y)3

3. (a + b)6

4. (a + b)4

5. (a – b)7

6. (a – b)5

7. (3x – 5y)4

8. (2t – s)5

9.

5

2

3

1

yx

10.

4

3

2

1

dc

11.

6

23

1

x

x

12.

5

32

1

x

x

13.

51

xx

14.

51

xx


49

Sin expandir por completo, Encuentra los términos indicados de la

expresión dada.

1. términos tresPrimeros3

25

5

4

5

2

cc

2. términos tresPrimeros 52023 xx

3. términos tres Ultimos)34( 151 bb

4. términos tres Ultimos)2( 123ts

5. términoSexto 4

37

2

c

c

6. téminoQuinto 39

ba

7. términoQuinto 43

18

vu

8. (3x2 – y3)10 Cuarto término

9.

8

2

1

2

1

yx Término del medio

10. (rs2 + t2)7 Los dos términos del medio

11. (2y + x2)8 Término que contiene x10

12. (x2 – 2y3)5 Término que contiene y6

13. (3b3 – 2a2)4 Término que contiene b9

14. 8dc Término que contiene c2


50


51


52


53

2.1 ALGORITMO DE HORNER

OBJETIVOS:

Aprender el concepto intuitivo de función

Determinar el dominio de una función Enunciar la definición formal de función

Calcular valores de funciones Calcular cocientes diferencia

Efectuar operaciones con funciones Definir la gráfica de una función

Encontrar el dominio y el contradominio de una función Dibujar la gráfica de funciones

Estamos tan acostumbrados a ver los polinomios expresados como

suma de monomios, que cuando tenemos que implementar un algoritmo

para evaluarlos tendemos a interpretar tal cual la expresión y a

codificarla tal y como lo haríamos a mano con ayuda de una calculadora.

Por ejemplo para evaluar un polinomio como P(x)=3x3-2x2+5x-1,

cuando x vale 7, vamos calculando el primer monomio: primero

sacamos 73, y lo multiplicamos por 3... luego 72, y lo multiplicamos por -

2... así sucesivamente, y luego sumamos todos los resultados.

Esto no supone mayor problema cuando evaluamos un polinomio

sencillo para un solo valor, como x=7, pero ¿Y si necesitamos evaluar

un polinomio una y otra vez para varios valores distintos de x?

Vamos a plantearnos cómo hacerlo lo mejor posible con la ayuda del

esquema de Horner, como de costumbre con un enfoque básico.

Simplemente pretendemos ilustrar cómo a veces, un poco de análisis y

reflexión permiten construir algoritmos más eficientes.

El algoritmo de Horner propone una forma de evaluar los polinomios

descritos como una suma de monomios.


54

El algoritmo se basa en el Esquema de Horner, una forma de reescribir

los polinomios atribuida a William George Horner, un matemático inglés

del siglo XIII, más conocido por la invención del Zootropo, un aparato

que mostraba imágenes creando la ilusión de animación.

Tomemos como ejemplo el que hemos comentado al principio:

P(x)=3x3-2x2+5x-1

Este polinomio está compuesto de cuatro monomios. Cada monomio es

un coeficiente que multiplica a una variable x, que está elevada a un

número. Ese número es el grado del monomio. El primer monomio es de

grado 3 y el último es de grado 0.

Bien. vamos a calcular el valor del polinomio para un valor cualquiera de

x. Hagámoslo primero de la forma tradicional, encontremos p(7)

P(7) = 3(7)3 – 2(7)2 + 5(7) – 1

P(7) = 3(343) – 2(49) + 35 -1

P(7) = 1029 – 98 + 34

P(7) = 965

Este ejercicio no presenta mayor dificultad al resolverlo de la forma

tradicional que hemos aprendido, sin embargo implica multiplicaciones

que debemos resolver aún sin tener calculadora Resolvámoslo ahora por

el algoritmo de Horner siempre con x = 7.

P(x)=3x3-2x2+5x-1

Paso 1: Sin importar el grado del polinomio, lo tomamos como si fuera

de segundo grado y factorizamos la x

3x2 – 2x = x(3x – 2)


55

Paso 2: Escribimos ahora nuevamente la x afuera de un corchete y

dentro de él lo que ya tenemos y adicionamos el tercer término y sin la

x porque ya la factorizamos.

5)23( xxx

Paso 3: Como el último término ya no tiene x no escribimos más

símbolos de agrupación sino que solamente agregamos este término y

sustituimos con el valor que nos dieron y resolvemos.

15)23()( xxxxP Si duda que este polinomio es el mismo del que

iniciamos, resuélvalo y se dará cuanta que no es diferente.

15)27*3(77)7( P

15)221(77)7( P

15)19(77)7( P

P(7) = 7(133+5) – 1

P(7) = 7(138) – 1

P(7) = 966-1

P(7) = 965

Al parecer como si fuera más complicado, sucede que es la primera vez

que lo vemos.

Hagamos otro ejemplo de mayor grado.

624243)( 234567 xxxxxxxxP


56

Paso 1: Nuevamente tomamos los primeros dos términos factorizados

como si fueran de segundo grado

)3( xx

Paso 2: Tomando ahora los 3 términos

4)3( xxx

Paso 3: 24)3( xxxx

Paso 4: No importa qué símbolo queramos agregar, pues todos los

símbolos de agrupación son iguales

124)3( xxxxx

Paso 5:

4)124)3(( xxxxxx

Paso 6:

6241243 xxxxxxx

p(x) = 6241243 xxxxxxx

Ahora ya podemos encontrar cualquier valor

Encontremos P(5)

P(5) = 62412435555555

6241242555555)5( P


57

6241241055555)5( P

624121455555)5( P

62412705555)5( P

6241685555)5( P

6241340555)5( P

624341555)5( P

624170555)5( P

62170155)5( P

6285055)5( P

685075)5( P

642535)5( P

42529)5( P

Después de este ejercicio podemos darnos cuenta que el número de

pasos es uno menos que el exponente, podemos escribir entonces de

una sola vez el resultado del siguiente polinomio

P(x) = 3x5 – 4x4 + 2x3 – 6x2 -5x + 2

Escribimos entonces cuatro veces las x cada una del lado izquierdo de

un símbolo de agrupación, sin importar qué símbolo escribimos primero.

xxxx


58

Como ya escribimos 4 veces la x, iniciamos a cerrar los símbolos con los

primeros dos términos, el primer coeficiente y la x con el segundo

coeficiente y así sucesivamente, al ir cerrando los símbolos ya no se

escriben x, solamente coeficientes.

256243)( xxxxxxP

Encontremos ahora p(3)

256243*33333)3( P

2562493333)3( P

256253333)3( P

256215333)3( P

25617333)3( P

2565133)3( P

254533)3( P

251353)3( P

21303)3( P

2390)3( P

392)3( P


59

Ejercicios: Aplicando el algoritmo de Horner encuentre el valor de los

siguientes polinomios para x = 2, 3 y 4.

1. x2 – 6x + 1

2. x2 – 9x + 3

3. 2x3 – 6x2 + 4x + 4

4. 4x3 – 5x2 + 8x – 6

5. x4 – 5x3 + 2x2 -4x + 2

6. x4 – 6x3 + 2x2 – 6x + 5

7. 2x5 – 7x4 + 4x3 – 9x2 + 4x -10

8. 3x5 – 4x4 + 6x3 – 8x2 + 3x – 3

9. 3x6 + 2x5 – 6x4 – 5x3 – 6x2 + 2x – 1

10. x6 – 6x5 + 2x4 – 6x2 + 2x – 6


60

2.2 FUNCIONES Y GRAFICAS

FUNCION:

En este capítulo, nosotros no estudiaremos la historia de las

matemáticas sino que iremos directamente a estudiar lo que nos interesa para poder comprender correctamente nuestro tema y hacer así

mejores aplicaciones del mismo.

En matemáticas, la palabra Función, es un término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades, utilizando

para su graficación un plano cartesiano en el cual se localizan pares ordenados (x,y) a los cuales se les llama variables. A los valores del eje

x se les llama independientes y a los del eje “y”, valores dependientes.

Nota: cuando hagamos referencia a la variable dependiente o sea al eje

“y”, siempre lo escribiremos entre comillas. Si no aparece entre comillas, será una conjunción, excepto cuando esté escrita la función

como ecuación, por ejemplo yxf )( o con subíndices o exponentes, en

este caso no la escribiremos entre comillas ya que no hay forma de equivocarse

Los valores, tanto de la variable dependiente, como de la variable independiente, son números reales o complejos. La expresión y = f(x),

leída “y” es función de x indica la interdependencia entre las variables x y “y”;

A los valores que pueda tener el eje x o variable independiente, se les denomina Dominio y a los valores de la variable dependiente o eje “y”

se les denomina Codominio, contradominio, imagen o rango.

Cuando escribimos una función 523 2 xxy , como sabemos que

yxf )( , nos es más fácil escribirla de esta forma cuando deseamos

encontrar valores de una función. Por ejemplo


61

Dada la función 523)( 2 xxxf encuentre )2(f

Solución:

En este ejemplo nos piden que encontremos cual es el valor de “y” cuando la x vale 2

5)2(2)2(3)2( 2 f

11)2(

54)4(3)2(

f

f

Definición de Función: Una función es una relación de correspondencia

de parejas uno a uno, es decir que para cada valor de x existirá uno y solo uno en el eje “y”.

Nota: Cuando tenemos una gráfica, existe una forma de comprobar si

es función o no.

Se traza una línea recta vertical y si esta toca dos puntos de la gráfica, entonces no es función.

Y y

x x

No es función Si es función


62

2.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES

Recordemos que una función es una correspondencia entre los

elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio,

Contradominio, rango o imagen, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, su contradominio son también todos los números

reales, y la expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición f: R —> R / f(x) = ax+b donde a y b son números reales, es una función lineal

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Para mejor comprensión, escribiremos la ecuación estandar tal y como la aprendimos en la ecuación de la recta f(x) = mx + b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado.

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando

este es 1.

La letra que aparece con la variable x, es el nombre que se le pone a la

función, tal y como se le pone nombre a las personas. Hacemos esta observación porque en algunas ocasiones encontramos las funciones con

otros nombres no solamente como f(x)

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3


63

De estas funciones, vemos que la f(x) no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la

expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2

Vamos a graficar una función, que tal como lo vimos en la definición, y

en la ecuación de la recta, es una función lineal por ser de primer grado.

Ejemplo 1: Graficar f(x) = 2x – 6

Solución: Esta es una línea recta que atraviesa al eje “y” en -6 y por

cada x que avanza sube 2 en “y” por ser su pendiente 2 y positiva.

La gráfica es la siguiente.

2.3.1 FUNCION CONSTANTE:

Una función es constante cuando su gráfica es una recta

horizontal, es decir, que cuando se avanza en el eje x, en el eje “y” se mantiene constante, no sube ni baja.

Ejemplo 2: analicemos las gráficas que aparecen a continuación


64

¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?

Parecería, a primera vista, que son muy parecidas, las ecuaciones de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como

dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos

no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre

ellos.

Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.

La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son

puntos aislados, aunque son infinitos.

Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para

cualquier función.

El dominio es muy importante.

Cuando no se especifica el dominio y contradominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

http://www.x.edu.uy/funcion.htm


65

Veamos otro ejemplo:

Esta función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos, además,

que es una función de R en R.

Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores

en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.

Dominio

X

Codominio

y

4 1

7 2

13 4

16 9

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si

Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio,

pero el "9" no esta de acuerdo con esto, por lo tanto no es una función lineal. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea

una función lineal ?


66

RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de

dominio real y codominio o contradominio real, cuya expresion

analítica es f: R —> R / f(x) = mx+b con m y b

números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta

esta dada por la pendiente m, y la ordenada en el origen es b.

¿como puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x?

Igualando o cero el eje “y”

¿cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje “y”?

Igualando a cero el eje x

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta?

Conociendo la pendiente y un punto por donde pasa

¿Cómo puedo encontrar la pendiente de una recta?

a. Conociendo dos puntos por donde pasa, utilizando la fórmula

1

1

xx

yym

b. Si la ecuación está escrita de forma estandar o canónica:

f(x) = mx+b, ya está dada , m es la pendiente

c. Si la ecuación está dada en forma general:

Ax + By + C = 0

m = B

A

http://www.x.edu.uy/puntodecorte.htm

http://www.x.edu.uy/puntodecorte.htm

http://www.x.edu.uy/linealconpuntos.htm


67

¿Cómo puedo encontrar el punto de intersección de la recta en el eje “y” conociendo su ecuación?

a. Si la ecuación está dada en forma estandar f(x) = mx+b,

el punto de intersección ya está dado, es b

b. Si la ecuación está dada en forma general, la intercección “y” se

encuentra de la siguiente forma

b = B

C

Nota: Siempre que nos digan Codominio, contradominio,

Rango, reflejo o imagen, se están refiriendo al mismo conjunto, los valores que contiene el eje “y” en una función.

Ejemplo 3. Sea f la función con dominio en los reales tal que f(x)=4x2 + 5x – 3.

Encuentre )6(f , 3f , )( baf , )()( bfaf .

Solución: Para resolver estos ejercicios, debemos sustituit el valor que

nos dan, en todos los lugares en donde se encuentre la x en la ecuación.

3)6(5)6(4)6( 2 f

330)36(4)6( f

33144)6( f

111)6( f

Esto significa que cuando la x vale -6, la “y” vale 111

3353432

f

335)3(43 f

335123 f


68

3593 f

Significa que cuando la x vale 3 , la “y” vale aproximadamente 17.66

3)(5)(4)( 2 bababaf

355)2(4)( 22 babababaf

355484)( 22 babababaf

)354()354()()( 22 bbaabfaf

354354)()( 22 bbaabfaf

65454)()( 22 bbaabfaf

Observemos que )()()( bfafbaf

Ejemplo 4. Dada la función x

xxg

1

2)( , encuentre

a) El dominio b) g(7), g(-2),

Solución:

a) Para encontrar el dominio, que son todos los valores que puede tener x, vemos si existe alguna operación que no se pueda resolver. En

este caso, no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos, por lo tanto x + 2 ≥ 0, despejando la x

x ≥ -2

Significa que la x no puede tener valores menores que -2 porque el resultado sería un número negativo.


69

A continuación podemos darnos cuenta que también hay una variable en el denominador y sabemos que no se puede dividir entre cero,

entonces:

1 – x ≠ 0

1 ≠ x

la x entonces no puede ser igual a 1 porque el denominador se volvería

cero y no se podría dividir. Por lo tanto:

Los valores que puede tener x en el numerador son desde -2,

incluido, hasta el infinito, pero como en el denominador no puede ser 1, el dominio queda en los intervalos desde -2 a uno

sin incluirlo, unido con 1 hasta el infinito.

),1(1,2 UD

c) Para hallar los valores de g, sustituimos con x

71

27)7(

g

6

9)7(

g

6

3)7(

g

2

1)7( g

)2(1

22)2(

g

21

0)2(

g

3

0)2( g

0)2( g


70

Ejemplo 5. Trazar la gráfica de 1)( xxf y encontrar su dominio y

codominio

Solución: Para trazar la gráfica podemos imaginarnos 1 xy y ver

cual es la variable que estaría elevada al cuadrado, que en este caso sería la “y”, entonces sería una parábola horizontal hacia la derecha,

pero como es una raíz, la parábola está restringida solamente al lado positivo de las “y”, por lo tanto buscamos el vértice que es cuando la

raíz se vuelve cero, sería cuando la x valga 1, luego nos alejamos uno hacia arriba y decimos uno al cuadrado es uno y nos alejamos una

hacia la derecha. Luego nos alejamos dos del vértice, siempre hacia arriba y decimos dos al cuadrado igual a cuatro y nos alejamos 4

hacia la derecha y así sucesivamente.

Para encontrar el dominio tenemos que encontrar los valores que puede tener x, sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números

negativos, entonces el resultado tiene que ser positivo. En la gráfica presentada anteriormente podemos ver cual es el dominio y su

codominio

x – 1 ≥ 0

x ≥ 1 Como no tenemos denominador, el dominio es ,1

El codominio como son los valores de “y”, vemos que la “y” solamente

tiene valores positivos, por lo tano el el codominio es ,0

Ejemplo 6. Trazar la gráfica de 29)( xxf y encontrar el dominio y

codominio

Solución: Usando nuestra imaginación, podemos darnos cuenta que x2 + y2 = 9, que corresponde a una circunferencia, pero como es

una raíz, la gráfica es de una semicircunferencia en el eje

positivo de las “y” y radio 3, entonces la gráfica nos queda de la siguiente forma


71

Quedando el dominio cerrado de – 3 hasta 3 y el codominio también cerrado de 0 a 3

Podemos encontrar el dominio también analíticamente de la siguiente

forma.

Procedemos a encontrar el dominio.

9 – x2 ≥ 0

Factorizando

(3 + x)(3 – x) ≥ 0

Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales el resultado es positivo

3 + x = 0 3 – x = 0

x = -3 3 = x

Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica, para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la tabla.

3, -3, 3 ,3

3 + x - + +

3 – x + + -

- + -


72

Y encontramos el mismo dominio analizado anteriormente, de -3 hasta 3.

Ejemplo 7 Trazar la gráfica de 9)( 2 xxf y encontrar el dominio y

codominio

Solución: Sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a números

negativos, sin embargo, el resultado después de haber extraído la raíz cuadrada, tiene que ser negativo por el signo que se encuentra afuera

del radical. Sabemos entonces que la gráfica estará en el eje negativo de las “y”.

Procedemos a encontrar el dominio.

x2 – 9 ≥ 0

Factorizando

(x + 3)(x – 3) ≥ 0

Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales

el resultado es positivo

x + 3 = 0 x – 3 = 0

x = -3 x = 3

Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica al igual que el anterior, para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la

tabla.

3, -3, 3 ,3

x + 3 - + +

x – 3 - - +

+ - +


73

El dominio se encuentre entonces en los intervalos positivos desde menos infinito hasta menos 3 unido con el otro intervalo de 3 al infinito

Dominio ,33, U

La gráfica que nos queda es la siguiente.

El codominio es 0

2.4 SIMPLIFICACION DE UN COCIENTE DIFERENCIA.

La forma de simplificar un cociente de diferencia es la siguiente:

h

xfhxfm

)()(

En donde m es la pendiente de la recta tangente al punto dado.

Ejemplo 8 Simplifique el cociente de diferencia para simplificar la

función 46)( 2 xxxf

Solución:


74

h

xxhxhx

h

xfhxf 464)(6)()()( 22

h

xxhxhxhx

h

xfhxf 464662)()( 222

h

xxhxhxhx

h

xfhxf 464662)()( 222

h

hhxh

h

xfhxf 62)()( 2

h

hxh

h

xfhxf )62()()(

62)()(

hxh

xfhxf

Ejemplo 9 Hay que fabricar un tanque de acero para gas en forma de

cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. Aún no se establece el radio r. Expresa el volumen V (en

pies3) del tanque como función de r (en pies).

Solución: El tanque aparece en la figura. Encontramos el l volumen de la parte cilíndrica del tanque y luego el de los extremos y la suma de estos

será el volumen del tanque.

El volumen de un cilindro se encuentra multiplicando el área de la base por la altura.

hrVc

2

)10(2rVc

210 rVc


75

Las dos semiesferas de los extremos forman una esfera completa. La fórmula para encontrar el volumen de la esfera es:

3

3

4rVe

El volumen total del tanque es

32

3

410 rrV

Factorizando )215(3

2 2 rrV

Ejemplo 9 Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo, uno hacia el oeste a razón de 17 miph y el otro al sur a 12 miph. Si t es el tiempo

(en h) después de su salida, expresa la distancia d entre los barcos como función de t.

Solución: El problema aparece en la figura anterior, de esta forma

podemos visualizarlo correctamente. Como nos indican que uno va hacia el oeste y e otro hacia el sur, sus trayectorias forma un triángulo

rectángulo el cual podemos resolver por el teorema de Pitágoras. 222 bad

Y como la distancia es igual a la velocidad por el tiempo. ta 17 tb 12

)12()17( 22 ttd

22 144289 ttd


76

2433td

td 8.20

Ejercicios:

1. Si f(x) = - x2 – x – 4 Encuentra f(-2), f(0) y f(4)

2. Si f(x) = - x3 – x2 + 3 Encuentra f(-3), f(0) y f(2)

3. Si xxxf 34)( Halla f(4), f(8) y f(13)

4. Si 3

)(

x

xxf , Halla f(-2), f(0) y f(3)

En los siguientes ejercicios, si a y h son números reales, encuentra

a) f(a) b) f(-a) c) – f(a) d) f(a + h)

e) f(a) + f(h) f) h

afhaf )()( , si h ≠ 0

5. f(x) = 5x – 2 6. f(x) = 3 – 4x

7. f(x) = - x2 + x + 4 8. f(x) = 3 – x2

9. f(x) = x2 – x + 3 10. f(x) = 2x2 + x – 7

En los ejercicios que se presentan a continuación, si a > 0, Encuentra

a)

ag

1 b)

)(

1

ag c) ag d) )(ag

11. g(x) = 4x2 12. g(x) = 2x – 5

13. 1

2)(

2

x

xxg 14.

1)(

2

x

xxg


77

determina el dominio D y la Imagen R de la función representada en la figura.

15. 16.

Para la gráfica de la función f dibujada en la figura, determina a) El dominio. B) El rango o contradominio c) f(1)

d) Toda x tal que f(x) = 1 e) Toda x tal que f(x) > 1

17. 18.

En las funciones que aparecen en las siguientes gráficas

a. Halla el dominio D y la imagen R de f. b. Determina los intervalos en los que f aumenta, disminuye o es

constante.

19. 20.


78

En las siguientes funciones, encuentre el dominio

21. 72)( xxf 22. xxf 32)(

23. 29)( xxf 24. 24)( xxf

25. 9)( 2 xxf 26. 16)( 2 xxf

27. xx

xxf

4

1)(

2

28.

xx

xxf

4

1)(

3

29. 45

32)(

2

xx

xxf 30.

4

34)(

2

x

xxf

31. 5136

2)(

2

xx

xxf 32.

2

4)(

x

xxf

33. 3)3(

1)(

xxxf 34. xxxf 22)(

35. 128)( 2 xxxf 36. 2

2)(

x

xxf

En las siguientes funciones: a) Traza la gráfica

b) Encuentra el dominio D c) Encuentra la imagen R

d) Encuentra los intervalos en los cuales f es creciente, decreciente

o constante.

37. f(x) = 3x – 2 38. f(x) = -2x + 3 39. f(x) = 4 – x2 40. f(x) = x2 – 1

41. 4)( xxf 42. xxf 4)(

43. f(x) = 2 44. f(x) = 3

45. 225)( xxf 46. 216)( xxf

47.

1- x si 2-

-1 xsi 3)(xf 48.

entroun es no x si 2-

enteroun es x si 1-)(xf

49.

2 x si 3-

2 x si 1 x -

2- x si 3

)(xf 50.

1 x si 2-

1x1- si x

1- x si 2x -

)( 2xf

51.

1 xsi 3

1x si x

-1 x si 2x

)( 3

x

xf 52.

1 xsi 4x-

1x2- si x-

-2 xsi 3

)( 2

x

xf


79

El símbolo x denota valores de la función mayor entero o máximo

entero. Traza la gráfica de:

53. 3)( xxf 54. 3)( xxf

55. xxf 2)( 56. xxf 2)(

57. xxf )( 58. 2)( xxf

59. 2)( xxf 60. xxf2

1)(

Simplifica el cociente de diferencias h

xfhxf )()( , para h ≠ 0

61. f(x) = x2 – 3x 62. f(x) = -2x2 + 3

63. f(x) = x2 + 5 64. 2

1)(

xxf


80

PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI

1. A partir de una pieza rectangular de cartón de 20 X 30 puIg. hay que elaborar

una caja, cortando cuadrados idénticos de área 2 pulg2 de cada esquina y

volteando hacia amiba los lados (ver la figura). Expresa el volumen V de la

caja como función de x.

2. Una pequeña oficina ha de tener 500 pies2 de superficie (la figura exhibe un

croquis simplificado).

(a) Expresa la longitud y del edificio como función d. ancho x.

(b) Si las paredes cuestan $100 por pie lineal, encuentre el costo C de las paredes como

función del ancho, (desprecia el espacio sobre las puertas y el grueso las paredes).

3. Se debe construir un tanque para gas propano en forma cilindro circular recto

de l0 pies de altura, con una semiesfera unida en cada extremo. El radio r aún

no se determina. Expresa la superficie S del tanque función de r.

4. Se desea construir un acuario de 1.5 pies de alto, el cual debe contener un

volumen de 6 pies3 Aquí x denota la longitud de la base y y el ancho (ver la

figura).

a. Expresa y como función de x.

b. Encuentra el número total S de pies cuadrados de

vidrio necesarios como función de x.


81

5. A la 1:00 PM., sesuelta un globo de aire caliente que se eleva verticalmente a

razón de 2m/s. Se pone un punto de observación a 100m del punto del suelo

situado directamente bajo el globo, (ver la figura). Si , denota el tiempo t (en s)

después de la 1 :00 PM., expresa la distancia entre el globo y el punto de

observación como función de t

.

6. El triángulo ABC está inscrito en una semicircunferencia de diámetro 15

(consulta la figura).

a. Si x denota la longitud del lado AC, expresa la longitud y del lado BC

como función de x. (Sugerencia: el ángulo ACB es un ángulo recto.)

b. Proporciona el área A del triángulo ABC como función de x y expresa

el dominio de esta función.


82

7. Desde un punto exterior P que está h unidades de una circunferencia de radio r

se traza una recta tangente a la circunferencia (ver la figura). La distancia

desde el punto P al punto de tangencia T se representa con y.

a. Expresa y como función de h. (Sugerencia: si C es el centro de la

circunferencia, PT es perpendicular a CT)

b. Si r es el radio de la Tierra y h es la altitud de un transbordador espacial,

entonces y es la distancia máxima a la Tierra que un astronauta puede ver

des de la nave. En particular, si h 200 mi y r 4000 mi, calcula y.

8. La figura ilustra el aparato para un equilibrista. Dos postes se colocan a 50 pies

uno del otro, pero aún no se determina el punto P de colocación de cuerda.

a. Halla la longitud L de la cuerda como función de distancia x de P al

suelo.

b. Si la caminata total debe ser de 75 pies, encuentra la distancia de P al

suelo.


83


84


85


86


87

3.1 FUNCIONES CUADRATICAS

OBJETIVOS:

Identificar cuando una ecuación corresponde a una función cuadrática

Trazar gráficas de funciones cuadráticas Encontrar los ceros de una función cuadrática

Resolver problemas que impliquen funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

cbxaxxf 2)(

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,y) de una función cuadrática,

obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, escribo aquí dos funciones cuadráticas muy sencillas con

su respectiva gráfica:

f(x) = x2 f(x) = -x2

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/definicion.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/definicion.htm


88

3.1.1 Vértice de una parábola

El vértice de una parábola está situado en su eje. Para que sea función

debe estar ubicado en el eje “y”, por tanto, su abscisa será el punto

medio y este será su eje de simetría. En este punto, en el eje de las

ordenadas (eje “y”), se ubicará el punto máximo o mínimo, dependiendo

hacia donde se abra la parábola.

Para encontrar la coordenada del vértice en el eje x, podemos utilizar la

fórmula a

bx

2 y luego este valor lo sustituimos en la ecuación para

encontrar la coordenada en el eje “y”, que será el máximo o mínimo.

Por ejemplo: si me dan la ecuación 742)( 2 xxxf , para encontrar el

vértice, encuentro primero la coordenada en el eje x

Como a = 2

b = -4

Aplicando la fórmula a

bx

2

4

4

)2(2

4

x x = 1

Tenemos ya la abscisa, solamente nos falta encontrar la ordenada para

tener el vértice.

Para encontrar la coordenada en el eje “y”, que en este caso será un

mínimo por ser positivo el valor de a, que es el coeficiente de la x2,

tomamos la ecuación y sustituimos el valor que encontramos de x.

7)1(4)1(2 2 y

742 y

5y


89

Tenemos entonces que el vértice es V(1, 5).

Podemos decir entonces que su eje de simetría es 1 y su valor mínimo

es 5.

Tracemos ahora su gráfica.

Para trazar la gráfica de una función cuadrática, necesitamos conocer su

ecuación estandar que es la siguiente:

khxaxf 2)()(

Esta es la forma que aparecerá en cualquier libro de algebra que

consultemos, pero nosotros la trabajaremos de otra forma, que aunque

es la misma, nos confundirá menos

Para demostrar que es la misma, escribiré la otra partiendo de esta

misma y es la que más me servirá posteriormente, inclusive para las

secciones cónicas.

khxaxf 2)()(

khxay 2)(

2)( hxaky

En donde el vértice es V(h, k) y a es el coeficiente que se multiplicará

por el número que se aleje del vértice elevado al cuadrado.

La ecuación anterior 742)( 2 xxxf la podemos escribir 742 2 xxy

para llevarla a la forma

xxy 427 2


90

El número que tiene la x2 hay que escribirlo afuera del paréntesis

aunque no sea factor común y en lo que nos queda dentro del

paréntesis hay que hacer una Completación al cuadrado

)2(27 2 xxy

Recordemos que para hacer la completación al cuadrado, el coeficiente

del término del medio se divide entre dos y el resultado se eleva al

cuadrado, en este caso, para que la ecuación no cambie, multiplicamos

el número que estamos agregando por el que está afuera del paréntesis

y este resultado se le agrega del otro lado

)12(227 2 xxy

2)1(2)5( xy

Tenemos nuevamente que el vértice es V(1, 5) los números, salen con

el signo cambiado.

Para trazar la gráfica, localizamos el vértice y luego nos alejamos uno

hacia los lados, lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por dos, ya

que el número que está afuera del paréntesis es dos, seguidamente nos

alejamos 2 unidades, lo elevamos al cuadrado que nos da 4 y luego lo

multiplicamos por dos que es el número que está afuera y nos da 8,

entonces nos alejamos 8 a partir de la dirección del vértice


91

3.1.2 Intersección de la parábola con los

ejes

Intersección con el eje “Y”: Como todos los puntos (c) de este

eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el

eje “Y” tendrá de coordenadas (0,c)

Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X

tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se

resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Discriminante: Se le llama así al resultado de la operación que se

efectúa dentro del radical acb 42

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se

pueden presentar tres situaciones distintas:

i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas

y la parábola cortará al eje x en dos puntos distintos

ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la

parábola cortará al eje x en un punto el cual será el vértice

iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la

parábola no cortará al eje x.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/corteOX.htm


92

Cálculo de puntos de la parábola

Podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin más

que sustituir, en la ecuación de la función cuadrática, la variable x

por aquellos valores que deseemos

Resumen

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola

tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha,

arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la

parábola.

Existe un único punto de corte con el eje “Y”, que es el (0,c)

Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax2 +

bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o

en ninguno.

La coordenada del vértice es a

bx

2 .

La ecuación estandar de la parábola es khxaxf 2)()(

Ejemplo 2

Dala la función 50243)( 2 xxxf

a) Encuentre el eje de simetría b) El valor máximo o mínimo

c) El Vértice d) Trace la gráfica


93

Solución: Como sabemos que todo lo podemos adquirir de la ecuación estandar, procedemos a encontrarla

xxy 24350 2

y + 50 - 48 = -3(x2 – 8x + 16)

y +2 = -3(x – 4)2

Podemos responder entonces todas las preguntas. Para no confundirnos indiquemos primero el vértice

V(4, -2)

De aquí podemos indicar que el eje de simetría es x = 4

Como a es negativo, concluimos que la parábola tiene un máximo.

Valor máximo y = -2

Luego, para trazar la gráfica nos ubicamos en el vértice y nos alejamos

uno hacia el derecho o izquierdo y lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por 3, entonces contamos 3 unidades hacia abajo por ser

negativo. Nos alejamos ahora 2 y decimos: dos al cuadrado 4, por 3 = 12 y en esa ,misma línea nos alejamos 12 hacia abajo.


94

Ejemplo 3:

Utilice la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de la función

32)( 2 xxxf

Como nos piden que encontramos los ceros de la función, esto significa

que tenemos que encontrar cuando vale la x cuando la y valga cero, o

bien, nos piden que encontremos los puntos en donde la gráfica corta al

eje x.

La fórmula cuadrática es a

acbbx

2

42

)2(2

)3)(2(411 2 x

4

2411 x

4

251x

4

51x

4

4

4

511

x

11 x

4

6

4

512

x

2

32 x


95

Ejemplo 4

Encuentre la ecuación estandar de la parábola que tiene su vértice en V(3, 5), suponiendo que a = 1

Solución:

Como nos piden la ecuación estandar, procedemos a escribirla como hemos aprendido

2)3(5 xy

5)3()( 2 xxf

Ejemplo 5

Encuentre la ecuación general de la recta cuyo vértice es V(1, 3) y uno de sus brazos pasa por el punto P(4, 21),

Solución:

Procedemos a resolverla escribiendo la forma estandar, pero como en este caso no nos dicen que a = 1, procedemos a buscar el valor de a

para escribir la ecuación de cualquier forma que nos indiquen.

2)1(3 xay

x y “y” son los valores que tiene la ecuación en el punto que nos dan, entonces sustituimos

2)14(321 a

2)3(18 a

a918

9

18a

2a


96

Podemos escribir entonces la ecuación estandar, ya que conocemos

el vértice y a

2)1(23 xy

3)1(2)( 2 xxf

Esta es la ecuación estandar, pero como nos piden la ecuación

general, resolvemos las operaciones indicadas

3)12(2)( 2 xxxf

3242)( 2 xxxf

542)( 2 xxxf

Ejemplo 6: A partir de una lámina metálica rectangular y larga de 12

pulgadas de ancho, hay que fabricar un canal doblando hacia arriba dos

lados, de modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas

pulgadas deben doblarse para dar al canal su máxima capacidad?

Solución: Recordemos que los máximos o mínimos están en el vértice y

son valores que corresponden al eje “y”. Denotemos entonces x como la

cantidad de pulgadas que se deben doblar

x x

Como tenía 12 pulgadas de ancho y se le está doblando una cantidad x

o sea desconocida, el ancho del canal queda 12 – 2x.


97

El área máxima que le queda al canal para que baje el agua es alto por

ancho, como el alto es x y el ancho 12 – 2x, el área en este caso es “y”

y nos queda

y = x(12 – 2x)

y = 12x – 2x2

y = – 2x2 + 12x

Entonces el área máxima nos quedará encontrando el valor de x en el

vértice.

a

bx

2

)2(2

12

x

x = 3

Este es el lugar en donde se encuentra el área máxima aunque esta no

sea.

y = -2(3)2 + 12(3)

y = -2(9) + 36

y = -18 + 36

y = 18

Deben doblarse tres pulgadas a cada lado de la lámina y el área máxima

del canal será de 18 pulgadas cuadradas.


98

Buscando lo que se debe doblar por ensayo y error:

Si no doblamos nada, el ancho es el mismo

A = 12 * 0 = 0

Doblando 1 pulgada de cada lado, el ancho queda de 10 pulgadas y el

alto de 1

A = 10 * 1 = 10

Doblando 2 pulgadas a cada lado

A = 8 * 2 = 16


A = 6 * 3 = 18


A = 4 * 4 = 16


A = 2 * 5 = 10

Doblando 6 pulgadas a cada lado, ya no nos queda ancho

A = 0 * 6 = 0

Podemos ver que el área va aumentando desde cero hasta llegar al

máximo y luego vuelve a bajar hasta cero nuevamente.


99

Ejemplo 7 El director de un teatro estima que si organiza una presentación y cobra Q.300.00 por persona, podría contar con 500

espectadores; pero calcula que por cada descuento de Q.10.00 a cada boleto, esto le supondría un ingreso de 100 personas más.

a) Calcula las ganancias obtenidas en función del número de descuentos en el precio

b) Cuál es el máximo de descuentos que puede hacer.

c) Cuál se máxima ganancia

Observa la tabla:

Q. descuento 0 1 2 x

Precio 300 300 –10 300 – 20 300 –10 x

No espectado

res 500

500+100*1 500+100*2 500+ 100x

Ingresos 300*500 (300-10)(500+100*1) (300-20)(500+100*2) (300-10x)(500+100x)

Los ingresos obtenidos son

)100500)(10300()( x+x=xG

21000500030000150000)( xxx+=xG

2100025000150000)( xx+=xG

siendo x el no. de descuentos, en el precio de la entrada.

a

bx

2

)1000(2

25000

x

2000

25000x

5.12x


100

La ganancia máxima se puede encontrar buscando f(12.5) o bien encontrando lo que cobra que es Q. 175.00 por la cantidad de

personas que son 1250

El máximo de descuentos que puede hacer para obtener la máxima ganancia es de 12.5. y su ganancia es de Q.106,250.00

Ejercicios:

En los ejercicios que se le dan a continuación:

a) Localice el vértice

b) establezca el valor máximo o mínimo

c) indique el eje de simetría

d) Trace la gráfica

1. f(x) = x2 –6x + 4

2. f(x) = x2 + 2x +3

3. f(x) = -x2 – 4x - 3

4. f(x) = -x2 – 2x + 8

5. f(x) = - x2 – 2x – 8

6. f(x) = -x2 – 6x – 10

7. f(x) = 2x2 – 12x + 22

8. f(x) = 2x2 + 12x + 7

9. f(x) = 3x2 – 6x + 5

10. f(x) = 3x2 + 12x +3

11. f(x) = - 4x2+ 16x – 13

12. f(x) = - 5x2 – 20x + 17

13. 2

5

2

1)( 2 xxxf

14. 2

5

2

1)( 2 xxxf

15. 533

1)( 2 xxxf

16. 3

7

3

4

3

1)( 2 xxxf

17. 5

23

5

12

5

2)( 2 xxxf

18. 1464

3)( 2 xxxf

En los siguientes ejercicios

a) utiliza la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de f (esto es

en donde cruza la gráfica el eje x

b) Encuentra el valor máximo o mínimo

c) Traza la gráfica


101

1) f(x) = x2 – 4x

2) f(x) = -x2 – 6x

3) f(x) = 3x2 – 6x – 1

4) f(x) = 6x2 + 7x – 24

5) f(x) = 9x2 + 24x + 16

6) f(x) = - 4x2 + 4x – 1

7) f(x) = x2 + 4x + 9

8) f(X) = - 3x2 – 6x – 6

9) f(X) = - 2x2 + 20x – 43

10) f(x) = 2x2 – 4x – 11

Los siguientes datos son vértices correspondientes a parábolas.

Encuentre la ecuación estandar de cada una, suponiendo que a =1

1) V(3, 1)

2) V(0, 2)

3) V(-4, 5)

4) V(-3, -1)

5) V(0, -3)

6) V(-2, 0)

7) V(4, 3) 8) V(5, 2)

9) V(3, -5) 10) V(-4, 2)

Encuentre la ecuación general de la parábola cuyo vértice está dado y un punto por donde pasa uno de sus brazos.

1) V(3, – 1); P(4, 0)

2) V(2 1) ; P(3, 3) 3) V(3, 1) ; P(2, 4)

4) V(0, -2); P(2, 10) 5) (2, 0); P(4, 12)

6) V(1, 3); P(3, 15) 7) V( -3, 4); P(5, 36)

8) V(-2, 1); P(2, 9)


102

Resolver correctamente los siguientes problemas.

1) La tasa de crecimiento “y”, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en libras. mediante la formula y =

cx(21 - x), en la cual c es una constante positiva, y 210 x . ¿A

que peso se tiene la tasa máxima de crecimiento?

2) El número de millas M que puede viajar cierto automóvil con un galón de gasolina, a una velocidad de v millas por hora, es

vvM2

5

30

1 2 para 700 v

a) Calcule la velocidad más económica para un viaje.

b) Obtenga el valor máximo de M.

3) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad inicial de 144 pies/seg Su distancia

s(t) en pies sobre el piso a los t segundos esta dada por la ecuación

10014416)( 2 ttts a) Calcule su altura máxima sobre el piso. b) Calcula el tiempo en el cual se encuentra el objeto a 388

pies sobre el piso c) Obtenga la altura del edificio

4) Calcule dos números reales positivos cuya suma sea 40 y su

producto sea máximo.

5) Calcule dos números reales cuya diferencia sea 40 y su

producto sea mínimo.

6) En la construcción de 6 jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de maya como se ve en la figura.

a. Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x” b. Exprese el área A como función de “x” c. Encuentre las dimensiones que maximicen el área encerrada.


103

7) Un granjero desea cercar un campo rectangular para luego dividirlo en tres lotes rectangulares, colocando dos cercas

paralelas a uno de los lados. Si solo cuenta con 1 000 yardas de maya. Qué dimensiones dará el área rectangular máxima?

8) Las trayectorias de los animales saltadores son normalmente

parabólicas. La longitud del salto de una rana es de 9 pies, y la altura máxima sobre el piso es de 3 pies. Encuentre la

ecuación de la trayectoria del salto de la rana.

9) En la década de 1940, Emmanuel Zacchini realizaba con

regularidad el acto de la bala humana en el circo Ringling

Brothers and Barnum & Bailey. La boca del cañón estaba a 15 pies del suelo y la distancia horizontal total que recorría era de

175 pies. Cuando el cañón se apunta a un ángulo de 45o la ecuación del tiro parabólico (ve la figura) tiene la forma y = ax2

+ x + c. a) Con la información dada. determina una ecuación

del vuelo.

b) Encuentra la altura máxima alcanzada por la bala

humana.


104

10) El peso de una

sección de un puente colgante se distribuye de manera uniforme entre dos

torres gemelas que están a 400 pies de distancia una de la otra y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal. El cable sujeto

entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola

y su punto central está a 10 pies sobre la calzada. Si se introducen ejes coordenados.

a) Encuentre una ecuación para la parábola

b) Se utilizan 9 cables verticales equidistantes para sostener el puente. Indica la longitud total de estos

soportes.

11) Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una

pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura, “y”, de la pelota sobre el nivel del suelo viene

dada por: 802052 tty ; donde t es el numero de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzo la pelota.

a. Que altura alcanza la pelota para x = 0, x = 2 y x = 5? b. Cuando alcanzara el punto mas alto? .A que altura está ese

punto? c. haga una representación grafica que muestre la trayectoria

de la pelota.


105

12) Se quiere cercar un terreno rectangular con 30 m de tela metálica. Como el área cercada depende de la longitud de la

tela ¿Cuanto deben medir los lados del cercado para que la superficie delimitada sea máxima?

13) Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones

que relacionan el espacio y el tiempo son, en cada caso: Viajero: Sv = 400t Tren: St = 500 + 30t2

Representa las graficas correspondientes. ¿Llega a producirse el alcance? .¿En que momento?

14) La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza a frenar depende del cuadrado de la velocidad

del vehículo, de acuerdo con la siguiente formula: d = V2/100 donde la velocidad v viene expresada en km/h y d es la

distancia recorrida en metros (distancia de frenado). a. Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno. ¿que distancia

recorres hasta que se detiene el vehículo? b. Si circulas en caravana y la distancia que te separa del

vehículo que va delante de tí es de unos 100 metros, ¿cual es la velocidad máxima a la que debes circular para evitar

una colisión? c. En autopistas la velocidad máxima es de 120 km/h, para

camiones; para vehículos es de 100 km/h y para

automóviles con remolque es de 80 km/h. .Cual es la distancia de frenado para cada uno de estos vehículos a esa

velocidad?


106

3.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Con las funciones también podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y otras más (composición de

funciones).Veamos: Consideremos las dos funciones f y g , la suma ,gf la diferencia

gf , el producto gf y el cociente g

f se definen como sigue:

i )()())(( xgxfxgf

ii )()())(( xgxfxgf

iii )()())(( xgxfxgf

iv )(

)()(

xg

xfx

g

f

El dominio en cada caso consiste en la intersección de los dominios de f

y g y en el cociente 0)( xg

Funciones inversas:

Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son funciones inversas.

Ejemplo 1 Si f (x) = x + 3 y g(x) = x - 3, f y g son inversas pues,

f (g(x)) = (x - 3) + 3 = x y g( f (x)) = (x + 3) - 3 = x.

Ejemplo 2

Dada 132)( 2 xxxf , encuentre

a) )1(f b) )0(f c) )2(f d) )12( 2 xf e) )()( hfaf f)

)( haf g) h

afhaf )()(

Solución: Como nos están dando una función y datos para evaluar la función, sustituimos len la

función con los valores dados, en todos los lugares en donde se encuentre la x.


107

a) 1)1(3)1(2)1( 2 f

132)1( f

4)1( f

Esto lo podemos interpretar que cuando la x vale 1, la “y” vale 4

b) 1)0(3)0(2)0( 2 f

100)0( f

1)0( f

Significa que cuando la x vale cero, la “y” vale – 1

c) 1)2(3)2(2)2( 2 f

16)4(2)2( f

1)2( f

Cuando la x vale –2 la “y” vale 1

d) 1)12(3)12(2)12( 2222 xxxf

136)144(2)12( 2242 xxxxf

46288)12( 2242 xxxxf

228)12( 242 xxxf

e) )132()132()()( 22 hhaagfaf

132132)()( 22 hhaagfaf

hhaahfaf 3232)()( 22

f) 1)(3)(2)( 2 hahahaf

133)2(2)( 22 hahahahaf

133242)( 22 hahahahaf

g)

h

aahaha

h

afhaf 1)(3)(21)(3)(2)()( 22

h

aahahaha

h

afhaf )132(133)2(2)()( 222

h

aahahaha

h

afhaf 132133242)()( 222

h

hhah

h

afhaf 324)()( 2

Factorizando la h

h

hah

h

afhaf )324()()(

324)( 2 hahaf

Ejemplo 3 Si f(x) = x – 5 y g(x) = x2 – 1


108

Encuentre:

a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(*( xgf d) )(xg

f

e) )(x

f

g

Y su dominio en cada una

Solución: Primero procedemos a efectuar las operaciones indicadas

)()())(( xgxfxgf

)1()5())(( 2 xxxgf

15))(( 2 xxxgf

6))(( 2 xxxgf

Sabemos que al efectuar operaciones con funciones, el dominio de la función resultante es la

intersección de las funciones principales

Entonces: como el dominio de F(x) son los números reales y el dominio de g(x) también son los números reales, entonces la intersección de

números reales con números reales son los números reales. b) )()())(( xgxfxgf

)1()5())(( 2 xxxgf

15))(( 2 xxxgf

4))(( 2 xxxgf Dominio los Reales

c) )1)(5())(*( 2 xxxgf

55))(*( 23 xxxxgf

55))(*( 23 xxxxgf Dominio los Reales

d) 1

5)(

2

x

xx

g

f Dominio los Reales excepto –1 y 1 porque es

donde el denominador se vuelve cero

e) 5

1)(

2

x

xx

f

g Dominio los Reales Excepto 5 pues cuando x vale

5 el denominador se vuelve cero

Ejemplo 4

Si 1

1)(

x

xxf ;

xxg

1)( Encuentre ))(( xgf y el dominio en cada una

xx

xxgf

1

1

1))((

)1(

)1(1)1())((

xx

xxxxgf


109

)1(

1))((

2

xx

xxxxgf

)1(

12))((

2

xx

xxxgf

Dominio de f(x) Los Reales excepto 1

Dominio de g(x) Los reales excepto cero

Dominio de ))(( xgf Los reales excepto (0, 1)

3.3 Composición de funciones:

Dadas las funciones f y g, la función denotada por )(xgf , se define

como ))(())(( xgfxgf .

El dominio de la función compuesta son todos los valores de x que

estén en el dominio de la segunda y que pertenezcan al dominio del resultado de la composición

La función compuesta es la función de una función.

Ejemplo ilustrativo:

Ejemplo 5

Dadas 1)( 2 xxf y 3)( xxg Hallar

a) ))(( xgf ,

b) ))(( xfg y determinar el dominio en cada una

Solución:

a) 13))((2

xxgf

13)( xxgf

( 2))(( xxgf

Como la segunda es g(x), para encontrar su dominio, sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos,

x + 3 0

X - 3

Por los tanto, el dominio de g(x) es ,3

Y como el dominio de la composición son los números reales,

Dominio de )( gf ,3 porque es todo el conjunto g(x) que está

contenido en el dominio de la composición

b) 31))(( 2 xxfg =


110

2))(( 2 xxfg

Ahora, como el segundo es f(x), el dominio de este es el que tiene que

estar completo en el dominio de la composición.

El dominio de f(x) son los números reales.

El dominio de la composición son también los números reales, ya que

aunque le asignemos números negativos a la x, al elevarlos al

cuadrados siempre serán positivos y a este resultado sumarle 2 seguirán

siento positivos.

Por lo tanto, como dominio de f(x) ),(

Dominio de ),())(( xfg

Ejemplo 6

Si x

xf1

)( y xxg )( Encuentre

a) ))(( xgf ,

b) ))(( xfg y determinar el dominio en cada una

Solución:

xxgf

1))((

Como el dominio de la g(x) x 0 y el dominio de la composición son los

números reales excepto 0, entonces Dominio ),0())(( xgf Sin tomar en cuenta el cero.

Ejemplo 6

Si 2)( xxf y 2)( 2 xxg Encuentre

a) ),)(( xgf

b) ))(( xfg y el dominio de cada una.

Solución:

a) 2)2())(( 2 xxgf

4))(( 2 xxgf

Ahora para encontrar el dominio, sabemos que tenemos que tomar en

cuenta la segunda que es g(x) y el resultado.


111

Como el dominio de g(x) son los números reales y el dominio de la composición x2 – 4 0, por lo tanto, el dominio de ))(( xgf son

los reales que estén contenidos en x2 – 4 0;

Entonces el dominio es: ,22, U

b) 22))((2

xxfg

22))(( xxfg

4))(( xxfg

Para encontrar el dominio, buscamos el dominio de la segunda, que

ahora es f(x), que esté contenida en la composición.

Como el dominio de f(x) es x – 2 0 y el dominio de la composición son

los números reales, entonces el dominio son los números mayores o iguales a 2 que estén contenidos en los números reales.

Dominio ,2

Ejercicios:

En los ejercicios que se dan a continuación, encuentre: a) )3)(( gf b) )3)(( gf

c) )3)(( fg d) )3(

g

f

1. f(x) = x + 3 g(x) = x2

2. f(x) = - x2 g(x) = 2x – 1

En los siguientes ejercicios encuentra: a) ))(( xgf b) ))(( xgf

c) ))(( xfg d) )(xg

f

e) El dominio de cada operación

3. 2)( 2 xxf 12)( 2 xxg

4. xxxf 2)( 3)( 2 xxg

5. 5)( xxf 5)( xxg

6. xxf 23)( 4)( xxg

7. 4

2)(

x

xxf

5)(

x

xxg

8. 2

)(

x

xxf

4

3)(

x

xxg

En los ejercicios que se le dan a continuación encuentre:

a) ))(( xgf b) ))(( xfg

c) ))(( xff d) ))(( xgg

9. 12)( xxf 2)( xxg


112

10. 23)( xxf 1)( xxg

En los siguientes ejercicios encuentra: a) ))(( xgf b) ))(( xfg

c) ))2(( gf d) ))3(( fg

11. f(x) = 2x – 5 g(x) = 3x + 7 12. f(x) = 5x + 2 g(x) = 6x – 1

13. f(x) = 3x2 + 4 g(x) = 5x 14. f(x) = 3x – 1 g(x) = 4x2

15. f(x) = 2x2 + 3x – 4 g(x) = 2x – 1 16. f(x) = 5x – 7 g(x) = 3x2 – x + 2

En los siguientes ejercicios encuentra:

a) ))(( xgf b) ))(( xfg

c) El dominio de cada una

17. xxxf 3)( 2 2)( xxg

18. 15)( xxf xxxg 2)( 2

19. 4)( 2 xxf xxg 3)(

20. 1)( 2 xxf xxg )(

21. xxf 3)( 2)( xxg

22. 4)( xxf 16)( 2 xxg

23 2)( xxf 5)( xxg

24. 5)( 3 xxf 3 5)( xxg

25. 2

53)(

xxf

3

52)(

Xxg

26. 1

1)(

xxf 1)( xxg

27. 2)( xxf 3

1)(

xxg

28. 2

)(

x

xxf

xxg

3)(

29. 2

1)(

x

xxf

4

3)(

x

xxg

30. 1

2)(

x

xxf

4

5)(

x

xxg


113

3.4 FUNCIONES INVERSAS

Antes de definir lo que es la función inversa de una función f

necesitamos conocer qué es una función uno a uno (función inyectiva que también se le llama función biunívoca).

Definición: Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada “y”, y diferentes

coordenadas x.

Teorema: Funciones uno a uno

1) Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio

a y b, para a diferente de b , entonces f no es una función uno a uno.

Por ejemplo:

En la función f(x) = x2+ 4x + 3

f(1) = (1)2 + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 f(1) = 8

f(-5) = (-5)2 + 4(-5) + 3 = 25 – 20 + 3 = 8

f(-5) = 8

Como f(1) = f(-5), entonces f no es una función uno a uno.

Nota: La única forma que sea función uno a uno y que f(a) = f(b) es cuando es una función constante, pero en este caso todas las f(x) serán

iguales puesto que es una línea recta horizontal. Pero si encontramos


114

que f(a) = f(b) f(c) no será una función constante como en el ejemplo 1 si tomamos otro valor por ejemplo f(3)

f(3) = (3)2 + 4(3) +3 = 9 + 12 + 3 = 24 f(1) = f(-5) f(3)

Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno.

1) f(x) = 2x - 1

2) f(x) = 4 - x2

Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno.

Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a

uno similar al de identificar si una gráfica corresponde a una función.

Recordemos que para ver si la gráfica corresponde a una función, trazamos una recta vertical y si toca dos puntos de la gráfica, entonces

no es función.

Ahora, para ver si la gráfica corresponde a una función inyectiva se traza una recta horizontal y si intersecta solo un punto de la gráfica o

ninguno, entonces la función es uno a uno que se le llama Inyectiva o biunívoca. Si por el contrario, si cada recta horizontal intersecta la

gráfica en más de un punto, entonces la función no es uno a uno.

Teorema: Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la función en un punto o en ninguno cuando es función

constante. Nota: Una función constante es función uno a uno.

Ejemplos: 1. f(x) = x2

Trazamos la gráfica


115

No es función uno a uno (No es Función inyectiva), (es función

biyectiva) porque al trazar una recta horizontal sobre ella toca dos puntos de la gráfica.

2. f(x) = 2x + 4

Sí es función uno a uno porque al trazar rectas horizontales no toca dos

puntos de la gráfica.

Teorema: Si una función f es creciente o decreciente en todo su

dominio o toda su trayectoria, entonces f es una función uno a uno (Función inyectiva).

Por ejemplo, las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los

números reales ; f(x) = x3 es una función creciente en su dominio que es los números reales.


116

F(x) = x2 no es función uno a uno porque tiene una parte decreciente y

otra creciente (es función biyectiva).

Funciones inversas

Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f,

denotada por 1f , es la función formada al invertir todos los pares

ordenados en f. Por tanto:

f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f}

Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y

1f , pero sí es posible convertirla para que tenga función

inversa, restringiendo parte del dominio.

Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es una

función uno a uno. Por tanto, 1f = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.

Propiedades de las funciones inversas:

Si 1f existe, entonces:

1) 1f es una función uno a uno

2) dominio de 1f = recorrido de f

3) recorrido de 1f = dominio de f

En nuestro ejemplo anterior:

1) dominio de f es {1,2,3}. Dominio de f es el recorrido de 1f .

2) recorrido de f es {2,4,9} Recorrido de f es el dominio de 1f .

3) dominio de 1f es {2,4,9} Dominio de f-1 es el recorrido de f.

4) recorrido de 1f es {1,2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f.

Como observarás hallar la inversa de una función definida por un

conjunto de pares ordenados es fácil, pues sólo se intercambian los

valores de x por los de “y”. Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación? Veamos el procedimiento algebraico

en los siguientes ejemplos para discusión.

Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un sistema de coordenadas, los puntos (x, y) y (y,

x) son simétricos con respecto a la recta y = x.


117

Ejemplos para discusión:

1) Dibuja la gráfica de f(x) = x - 5 usando tablas de valores, asigna a

x los valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x. (que aparece en la gráfica en color

rojo) Intercambia las coordenadas de los pares ordenados de f(x) y construye la nueva gráfica, que es la inversa de f(x) (esta gráfica de f –

1(x) es la que aparece en azul). Observa que los puntos de f(x) y los

puntos de f-1(x) son simétricos con respecto a la recta y = x.

Como ya expliqué anteriormente, que los valores de f(x) se invierten

para la función inversa, podemos comprobarlo con este ejercicio.

Si y = x – 5, localicemos los valores de y conforme a los valores de x que di anteriormente de –3 a 7, basta con que tomemos algunos

valores. Y sin hacer nada más cambiemos el orden de los números para ver si coincide con los valores encontrados en la otra gráfica

X y x y

-3 -3 – 5 = -8 -8 -3 -2 -2 – 5 = -7 -7 -2


118

1.

4.

3.

2.

-1 -1 – 5 = -6 -6 -1 0 0 – 5 = -5 -5 0

1 1 – 5 = -4 -4 1 2 2 – 5 = -3 -3 2

Esto también se puede hacer despejando la x y luego cambiando los

ejes, x cambiarlo por “y”.

f(x) = x – 5 Y = x – 5

Despejando la x y + 5 = x

Cambiando la x por y

y = x + 5 Trazando ahora esta gráfica encontramos la misma que hicimos

anteriormente.

Ejercicios:

En los siguientes ejercicios, encuentra )1(1f , g-1(3) o establece que no

existe y porqué

x 1 2 3 4

F(x) 2 4 6 8

Determine si las funciones correspondientes a los siguientes ejercicios

son biunívocas

1) 3

1)(

xxf 2)

42

1)(

xxf

3) 2

1)(

xxf

4) 22

1)(

xxf

x -1 0 1 2

g(x) -1 -2 -1 2

x -1 0 1 2

F(x) -3 0 3 6

x 1 2 3 4

g(x) 2 3 2 -1


119

5)

1

1)(

2

xxf

6)

4

1)(

2

xxf

7)

21

1)(

xxf

8)

24

1)(

xxf

9)

1)( 2 xxf

10)

23)( 2 xxf

11) 2)( xf

12) 5)( xf

13)

1)( 3 xxf

14)

22

1)( 3 xxf

15)

1

1)(

2

xxf

16)

21

1)(

xxf


120

En los siguientes ejercicios utiliza el teorema de funciones inversas para probar que g(x) es función inversa de f(x) y trace la gráfica en el

mismo plano coordenado cartesiano.

17) f(x) = 3x – 2 3

2)(

xxg

18) f(x) = x2 + 5 5)( xxg

19) f(x) = -x2+ 3 xxg 3)(

20) f(x) = x3 – 4 3 4)( xxg

En los siguientes ejercicios encuentra la función inversa de f

21) f(x) = 3x – 2 27) 3

1)(

xxf

22) f(x) = 2x + 1 28) 5

23)(

x

xxf

23) f(x) = -x + 4 29) f(x) = 2 – 3x2

24) f(x) = 2x2 – 4 30) f(x) = 4x2 + 2

25) f(x) = 3x2 + 6 31) xxf 3)(

26) 23

1)(

xxf 32) xxf 23)(


121


122


123


124

4.1 DIVISION SINTETICA Objetivos

Encontrar los factores de una expresión algebraica a través de la división sintética

Trazar la gráfica de funciones polinomiales de grado mayor que 2

Encontrar las asíntotas de funciones racionales

Trazar la gráfica de funciones racionales

La división sintética es un proceso práctico para encontrar el cociente y el residuo de una división de un polinomio entero de grado mayor que 2,

entre otro polinomio de grado 1.

Por ejemplo: si dividimos 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x + 12 entre x + 3

Solución Primero procedemos a igualar el divisor, que es x + 3, a cero y

despejamos x

x + 3 = 0 x = – 3

Luego escribimos todos los coeficientes del polinomio dividendo, con su mismo signo, colocando una línea vertical en cualquier lado y el valor

que encontramos de la x.

3 -5 4 -10 12 – 3

Colocamos a continuación una línea horizontal y debajo de la misma,

escribimos el mismo coeficiente que tiene el primer termino.

3 -5 4 -10 12

– 3

3

A continuación multiplicamos el valor que habíamos encontrado de la x por el número que bajamos y el resultado lo escribimos debajo del


125

siguiente término y sumamos o restamos dependiendo del signo que nos queda.

3 -5 4 -10 12

– 3 - 9

3 - 14

Siguiendo este mismo procedimiento de multiplicar por el resultado que

quede en cada término y colocándolo en el siguiente, llegamos al siguiente resultado

3 -5 4 -10 12 – 3

- 9 42 -138 444 3 - 14 46 -148 456

Y con esto ya está resuelta, el cociente se forma con todos los números que quedaron debajo de la línea, a excepción del último, 456, que es el

residuo, escribiendo la letra con un exponente menor del que tenía

3x3 – 14x2 + 46x – 148 Cociente

y el residuo es el último número que queda.

456 Residuo

4.2 TEOREMA DEL RESIDUO

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo

es f(a).

Por ejemplo, si tomamos el polinomio anterior 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x +

12 y lo dividimos entre x + 3, es equivalente, podemos encontrar el residuo solamente con encontrar f(-3)


126

1210453)( 234 xxxxxf

12)3(10)3(4)3(5)3(3)3( 234 f

1230)9(4)27(5)81(3)3( f 123036135243)3( f

456)3( f Ejemplo 1. Si f(x) = x3 – 3x2 + x + 5 usa el teorema del residuo para

hallar f(2)

Solución: Según el teorema del residuo, f(2) es el residuo cuando f(x) se

divide entre x – 2 . Como solamente nos piden encontrar el residuo, buscamos f(2)

f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 2 + 5

f(2) = 8 – 12 + 7 f(2) = 3

4.3 TEOREMA DEL FACTOR

Este teorema se utiliza para ver si un número es factor de una expresión

algebraica. Este teorema nos es muy útil para factorizar, cuando la

expresión es muy grande o de grado mayor que 2.

Ejemplo 2 Prueba que x – 2 es un factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2

Solución: Si una expresión algebraica es factor de otra, al dividir, el

residuo tendrá que ser cero, entonces podemos utilizar el teorema del residuo para probar el teorema del factor; si f(2) = 0 hemos

comprobado que x – 2 si es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2, si no nos da cero, también demostramos que x – 2 no es factor del polinomio

dado, buscamos entonces f(2)

f(2) = (2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 2 f(2) = 8 – 16 + 6 + 2

f(2) = 0

Entonces ya probamos que x – 2 es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2 puesto que f(2) nos dio cero.


127

Ejemplo 3 Factorice la expresión x3 + x2 – 12 Solución: Por los métodos tradicionales que conocemos es difícil

encontrar los factores, pero por los que hemos visto ahora nos lo facilitan, podemos utilizar el teorema del residuo para comprobar si un

número es factor, pero nosotros utilizaremos de una vez la división sintética para poder resolver y encontrar de una sola vez el factor y los

coeficientes que le quedan al polinomio cociente.

Primero vemos los factores del término independiente que es 12 y estos

son: 12y 6,4,3,2,1

Escribimos los coeficientes de la expresión, si no existe algún exponente

de la variable, el coeficiente es cero. Probemos primero con 1

1 1 0 -12 1

1 2 2

1 2 2 -10

Como el último resultado, que es el residuo, no nos dio cero, esto

significa que x – 1 no es factor de la expresión. Probamos entonces con x + 1

1 1 0 -12

-1 -1 0 0

1 0 0 -12

Tampoco es factor, probemos entonces con x – 2

1 1 0 -12 2

2 6 12

1 3 6 0


128

Como ahora si nos dio cero el último resultado, significa que el residuo es cero, por lo tanto x – 2 si es factor de x3 + x2 – 12, los otros

números son los coeficientes del polinomio que queda como cociente y debe tener un exponente menor del que tenía.

Podemos entonces escribir

x3 + x2 – 12 = (X2 + 3x + 6)(x – 2)

Y el trinomio que nos quedó ya no es factorizable

Ejemplo 4 Encuentra un polinomio f(x) de grado 3 que contenga ceros 2, -1 y 3.

Nota: Los ceros de un polinomio es cuando la gráfica cruza al eje

x, es decir, cuando la “y” vale cero.

Solución: Los factores son: x – 2, x + 1, y x – 3 Ahora, conociendo los factores podemos encontrar el polinomio

multiplicando los factores.

(x – 2)(x + 1)(x – 3) = (x2 – x – 2)(x – 3) = x3 – x2 – 2x – 3x2 + 3x + 6 = x3 – 4x2 +x +6

Entonces el polinomio que tiene ceros 2, -1 y 3 es: f(x) = x3 – 4x2 +x +6

Ejemplo 5 Utiliza la división sintética para hallar el cociente y el residuo

del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 entre x + 3

Solución: Escribimos los coeficientes tomando en cuenta que no hay x2, por lo tanto debemos llenar el espacio con un cero y del divisor x+3

solamente escribimos -3

2 5 0 -1 -8

-6 3 -9 30 -3

2 -1 3 -10 22

Si no hubieran dicho que probáramos si x + 3 es factor del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 diríamos que no porque el residuo no fue cero,


129

El cociente es 2x3 – x2 + 3x – 10 y el residuo 22.

Ejemplo 6 Si f(x) = 3x5 – 38x3 + 5x2 -1 Halla f(4) mediante la división sintética.

Solución: Puede encontrarse f(4) también por el teorema del residuo,

pero como nos lo piden por división sintética, procedemos a efectuarlo. Hago esta observación para que nos demos cuenta que no son cosas

diferentes.

En este caso, como no nos están diciendo que dividamos entre x + 4

sino que encontremos f(4) por división sintética, no se le cambia signo al 4.

3 0 -38 5 0 -1

12 48 40 180 720 4

3 12 10 45 180 719 Coeficientes del cociente Residuo

Entonces f(4) = 719

Ejemplo 7 Demuestra que – 11 es un cero del polinomio

f(x) = x3 + 8x2 – 29x + 44.

Solución: Como en este caso no me están indicando de qué forma lo encuentre, puedo proceder directamente por el teorema del residuo.

Nota: Si utilizamos el teorema del residuo para encontrar )11(f y

el resultado es cero, ya demostramos que – 11 es un cero del polinomio, es decir, este punto está ubicado en el eje x

f(-11) = (-11)3 + 8(-11)2 – 29(-11) + 44

f(-11) = - 1331 +8(121) + 319 + 44

f(-11) = - 1331 + 968 + 363 f(-11) = 0

Entonces como f(-11) es 0, está demostrado que -11 es un cero de f(x)

Ejercicios:

Encuentre el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x), a través de la división sintética.

1. f(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 7x – 12 p(x) = x – 3


130

2. f(x) = 3x4 + 2x3 – x2 – x – 6 p(x) = x + 1

3. f(x) = 3x3 + 2x – 4 p(x) = 2x – 1

4. f(x) = x3 – 6x2 – 4x + 6 p(x) = 3x + 1

5. f(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 5 p(x) = x – 2

6. f(x) = 3x3 – 4x2 – x + 8 p(x) = x + 4

7. f(x) = x3 – 8x – 5 p(x) = x + 3

8. f(x) = 5x3 – 6x2 + 15 p(x) = x – 4

9. f(x) = 3x5 + 6x2 + 7 p(x) = x + 2

10. f(x) = - 2x4 + 10x – 3 p(x) = x – 3

11. f(x) = 4x4 – 5x2 + 1 p(x) = 2

1x

12. f(x) = 9x3 – 6x2 + 3x – 4 p(x) = 3

1x


131

4.4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES.

4.4.1 FUNCIONES POLINOMIALES Las funciones polinomiales son las que se definen solo en términos de

suma, resta y multiplicación. Se les denomina polinomiales por ser de grado mayor que 2. En la práctica a menudo es necesario dibujar sus

gráficas y encontrar o calcular sus ceros. El objetivo de calcular sus ceros es para encontrar los puntos en los cuales atraviesa al eje x, es

decir, cuando la “y” vale cero.

Ejemplo 1. Trazar la gráfica de 3

2

1)( xxf

Solución: En este caso, como es un solo término, no es necesario buscar los ceros del polinomio, pues al estar escrita la función de esta forma,

sin importar el grado, solamente cruza una vez el eje x y es en el origen, esto ya lo aprendimos en las gráficas de ecuaciones. La gráfica

es la siguiente.


132

Ejemplo 2 Demuestra que f(x) = x5 + 2x4 – 6x3 + 2x – 3 tiene un cero entre 1 y 2.

Solución: Como nos están pidiendo que se demuestre que existe un cero

entre 1 y 2, solamente tenemos que encontrar f(1) y f(2) si al resolver encontramos valores con el mismo signo, significa que no existe ningún

cero entre uno y dos, pero si encontramos signos diferentes, hemos demostrado que si existe un cero porque atraviesa al eje x.

f(1) = x5 +2(1)4 – 6(1)3 + 2(1) – 3 f(1) = 1 + 2 – 6 + 2 – 3

f(1) = -4

f(2) = 25 + 2(2)4 – 6(2)3 + 2(2) – 3 f(2) = 32 + 32 – 48 + 4 – 3

f(2) = 17

Como f(1) nos dio signo negativo, significa que está en el eje negativo

de las “y” y f(2) nos dio signo positivo, significa que este punto está en el eje positivo de las “y”, entonces necesariamente tiene que cruzar el

eje de las x, por lo tanto existe un cero entre uno y dos.

Como sea el comportamiento de la gráfica, tiene que cruzar el eje x en

alguna parte.

17

1 2

-4


133

Ejemplo 3 Trace la gráfica de f(x) = x3 + x2 – 4x – 4

Solución: Para trazar la gráfica de una función de este tipo, debemos de observar el signo del coeficiente y el exponente de la variable

x, si es par o impar.

Si el exponente es par: todas las x negativas, al multiplicarlas un

número par de veces se volverán positivas, por lo tanto antes de

llegar al primer cero, la gráfica estará en el segundo cuadrante puesto que este resultado corresponde al eje “y”.

Si el exponente es impar, todas las x negativas nos darán como

resultado “y” negativas, por lo tanto la gráfica estará en el tercer cuadrante.

El signo menos del coeficiente cambiará de lugar la gráfica.

Antes de trazar la gráfica debemos encontrar los ceros del polinomio. Si

se puede factorizar, los valores de la x será en donde cruce la gráfica.

f(x) = x3 + x2 – 4x – 4

0 = x3 + x2 – 4x – 4

0 = (x3 + x2) – (4x + 4) 0 = x2(x + 1) – 4(x + 1)

0 = (x + 1)(x2 – 4) 0 = (x + 1)(x + 2)(x – 2)

Igualando cada paréntesis a cero para encontrar el valor de las x

X + 1 = 0

X = - 1

X + 2 = 0 X = - 2

X – 2 = 0

X = 2


134

Esto significa que la gráfica cruza al eje x en -1, -2 y 2.

Ahora hacemos el análisis siguiente:

Como el exponente es par y el coeficiente positivo, la gráfica

viene en el segundo cuadrante desde el menos infinito hasta el -2.

Luego de punto a punto, tiene un máximo o un mínimo

aproximadamente a la mitad de este intervalo, entonces buscamos el valor de la “y” en la mitad del intervalo.

En el intervalo de -2 a -1, la mitad es 2

3

2

12

Entonces buscamos

2

3f

442

3 23

xxxf

42

34

2

3

2

3

2

323

f

464

9

8

27

2

3

f

8

7

2

3

f

Entonces en el intervalo de -2 a -1 encontramos que tiene un

máximo por ser positivo el resultado.

Busquemos ahora si hay máximo o mínimo en el siguiente intervalo de -1 a 2.


135

En el plano en donde ya fueron localizados los puntos en donde cruza la gráfica es fácil ver en donde se encuentra la mitad, pero

podemos hacerlo mediante la fórmula del punto medio

2

1xxPm

2

21mP

2

1mP

Buscamos entonces

2

1f

4423 xxxxf

42

14

2

1

2

1

2

123

f

424

1

8

1

2

1

f

8

45

2

1

f

Encontramos un mínimo.

Localicemos entonces los puntos en el plano y luego trazamos la gráfica.

Como ya tenemos los puntos medios de los intervalos, solamente nos

queda analizar los extremos del lado izquierdo del primer punto y del lado derecho del último.


136

Observando el exponente, en este caso que es impar, todo número de la x negativo sigue siendo negativo, por lo tanto, la

gráfica llega al primer punto en el tercer cuadrante. Y en el último intervalo, todo número positivo elevado a un exponente

impar sigue siendo positivo, por lo tanto, en el último intervalo la gráfica sube en el primer cuadrante.

Ejemplo 4 Trazar la gráfica de 234 34)( xxxxf

Solución: Comenzamos por factorizar si es posible para encontrar los ceros del polinomio

0 = x4 – 4x3 + 3x2

0 = x2(x2 – 4x + 3)

0 = x2(x – 3)(x – 1)

Los ceros son entonces x = 0

x = 3 x = 1

Localicemos estos ceros en el plano para que nos sea fácil identificar los puntos medios de los intervalos.


137

Puntos medios son 2

1 y 2

Encontramos los máximos o mínimos de los intervalos

234

2

13

2

14

2

1

2

1

f

4

13

8

14

16

1

2

1f

4

3

2

1

16

1

2

1

f

3.016

5

2

1

f

234 )2(3)2(42)2( f

123216)2( f

4)2( f

Para analizar los extremos de la gráfica, vemos el exponente y como es

par, los valores negativos de la x se vuelven positivos para la “y”, por lo tanto la gráfica baja por el segundo cuadrante hasta el primer punto que

es en el origen. Y el último que es positivo sigue siendo positivo su resultado.


138

Ejemplo 5 Dada la siguiente tabla, traza la posible gráfica.

Signo de f(x) - + + - +

-3 -1 0 2

Solución: Por la forma en que está dada la tabla sabemos que los puntos en los

cuales toca al eje x la gráfica es en x = -3, -1, 0 y 2. Localicemos entonces primero estos puntos en el plano para encontrar los puntos

medios del intervalo y hallar así los máximos o mínimos.

Encontramos los puntos medios que son:

2

1,2 , y 1

Ya tengo los puntos medios, pero como no conozco aún la ecuación, no

puedo encontrar los máximos o mínimos, pero conociendo los factores

puedo encontrar la ecuación.

f(x) = (x + 3)(x + 1)2x(x – 2)

La razón por la que deduje que x + 1 estaba elevada al cuadrado fue porque en los dos intervalos tenemos el mismo signo positivo, luego

solo x porque toca al eje x en el origen.

Ahora ya podemos encontrar los máximos o mínimos. Si necesito la

ecuación solamente hay que multiplicar los factores.

f(-2) = (-2 + 3)(-2 + 1)2(-2)(-2 – 2) f(-2) = 8 Máximo


139

2

2

1

2

11

2

13

2

1

2

12

f

8.032

25

2

1

f máximo

)21)(1()11)(31()1( 2 f

16)1( f Mínimo

Ejemplo 6 Encuentra un polinomio f(x) por la forma de factorización que tenga

grado 3, con ceros 2, -1 y 3 y que satisfaga f(1) = 5

Solución: Por el teorema del factor sabemos que el polinomio en mención tiene factores (x – 2), (x + 1) y (x – 3).

Ahora bien, como nos indican que debe cumplir que f(1) = 5, escribimos

el polinomio de la siguiente forma:

f(x) = a(x – 2)(x + 1)(x – 3) f(1) = 5


140

5 = a(1 – 2)(1 + 1)(1 – 3) 5 = a(-1)(2)(-2)

5= 4a

4

5a

Entonces

)3)(1)(2(4

5)( xxxxf

2

15

4

55

4

5)( 23 xxxxf

Ejercicios: Trazar la gráfica de las siguientes funciones.

1. f(x) = 2x3 + 3 2. f(x) = -2x3 + 3

3. f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 4. f(x) = x3 +2x2 – 5x – 6

5. f(x) = x4 – 2x3 -5x2 + 6x 6. f(x) = x4 +2x3 – 11x2 – 12x

7. f(x) = 2x3 + 3x2 – 18x + 8 8. f(x) = 3x3+8x2 – 33x + 10

9. f(x) = -3x3 + 5x2 + 34x – 24 10. f(x) = -2x3 + 5x2 + 39x + 18

En las siguientes funciones, demuestra que f tiene un cero entre a y b

11. f(x) = x3 – 4x2 + 3x – 2 a = 3, b = 4

12. f(x) = 2x3 + 5x2 – 3 a = - 3, b = -2

13. f(x) = – x4 + 3x3 – 2x + 1 a = 2, b = 3

14. f(x) = 2x4 + 3x – 2 2

1a

4

3b

Dibuja la gráfica de un polinomio dado el diagrama de signos.

15.

Signo de f(x)

+ - - + -

-4 0 1 3


141

16.

Signo de f(x)

+ + - + -

-3 -2 0 2

4.4.2 FUNCIONES RACIONALES

Las funciones racionales son las que tienen como denominador también

x. Estas funciones se caracterizan por tener asíntotas horizontales y verticales.

Una gráfica tiene una asíntota vertical cuando el denominador se

convierte en cero.

Una gráfica tiene asíntota horizontal si ocurren los siguientes casos:

Sea n

m

bx

axxf )(

1. Si m < n la asíntota es el eje x, porque “y” = 0

2. Si m = n la asíntota es b

a

3. Si m > n entonces la función no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 1 Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la

gráfica de 2

1)(

xxf

Solución: Sabemos que la asíntota vertical es cuando el denominador se

convierte en cero X – 2 = 0

X = 2

El denominador es cero cuando la x vale 2

La gráfica tiene asíntota horizontal y = 0 puesto que el exponente del denominador es mayor que el del numerador.


142

La gráfica viene desde el infinito de las x por la parte negativa de las x y de las “y” y al llegar a la recta vertical de x = 2, baja hasta el infinito

negativo de las “y”

Luego, en el otro lado de la recta vertical de x = 2, la gráfica viene desde el infinito positivo de la “y” y cruza hacia la derecha del eje x y la

gráfica completa queda de la siguiente forma

Ejemplo 2. Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la

gráfica de 6

13)(

2

xx

xxf

Solución: Primero encontramos las asíntotas tanto horizontal como vertical.

La asíntota vertical sabemos que se encuentra cuando el denominador se vuelve cero

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

x = 3

x = -2


143

Tenemos entonces dos asíntotas verticales en x = 3 y en x = -2

La asíntota horizontal es y = 0, ya que el grado del numerador es menor que el del denominador

Queda entonces desde menos infinito en x y baja por la izquierda de la

primera asíntota vertical. En el intervalo de -2 a 3, baja desde el infinito y tiene su punto de

inflexión en y = 0

6

130

2

xx

x

3

1

31

130

x

x

x

Entonces el punto de inflexión o sea el cambio está en 3

1x .

El lado derecho baja desde el infinito y cruza hacia la derecha sobre la

asíntota horizontal.


gráfica de 43

15)(

2

2

x

xxf


144

Solución: Las asíntotas verticales son cuando el denominador se vuelve cero, en este caso

3x2 – 4 = 0

3x2 = 4

3

42 x

Asíntotas verticales 3

4x

Como el grado del numerador y denominador es igual, la asíntota horizontal es

3

5y

Para trazar la gráfica, sabemos que todo número negativo elevado al

cuadrado se vuelve positivo, entonces la gráfica queda sobre la asíntota horizontal porque la x está elevada al cuadrado tanto en el numerador

como en el denominador.

En el lado derecho de la asíntota vertical también.

Para poder encontrar el comportamiento de la parábola entre las asíntotas verticales, buscamos por donde cruza en el eje “y”, esto es

cuando la x vale cero.

43

15)(

2

2

x

xxf

4

1)(

xf

4

1y

Colocando valores a la x a entre las asíntotas y el cero, comprobamos

que queda una parábola hacia abajo que no cruza las asíntotas, de modo que la gráfica que queda es la siguiente.


145


gráfica de 572

43)(

2

2

xx

xxxf

Solución: Antes de trazar la gráfica veamos si son factorizables tanto el numerador como el denominador

)1)(52(

)1)(43()(

xx

xxxf

52

43)(

x

xxf

Como ya sabemos encontrar las asíntotas y hacer el análisis del comportamiento de la gráfica nos es mucho más fácil.

Asíntota vertical

2x – 5 = 0

2x = 5

2

5x

Asíntota horizontal: como el exponente de la x del numerador es igual al

de la x del denominador, entonces nos queda

Asíntota horizontal 2

3y

Como el exponente de la x es uno, la gráfica queda debajo de la

asíntota horizontal del lado izquierdo y arriba de la asíntota en el lado derecho.


146

Tiene un vació en x = 1 porque en ese punto no existe imagen porque al sustituir en la ecuación queda cero sobre cero.

Ejemplo 5 Encuentre la ecuación racional que cumpla con las condiciones siguientes:

Intersección x = 4 Asíntota vertical x = 2

Asíntota horizontal 2

3y

Y un hueco en x = 1

Solución: La intersección en x = 4 implica que en el numerador existe

un factor (x – 4) y una asíntota vertical x = -2 implica que hay un factor (x + 2) en el denominador. Podemos principiar entonces con la forma

2

4

x

x

Luego, como la asíntota horizontal es 5

3 , colocamos estos números en

la forma correspondiente

)2(5

)4(3

x

x


147

Si no hubiera más información, la función ya estaría terminada puesto que solo tiene una asíntota vertical y como la asíntota horizontal está en

5

3 , significa que el exponente es igual.

La información que tiene un vacío en x = 1, quiere decir que tanto en el

numerador como en el denominador existe un factor (x – 1), por lo tanto la función queda

)1)(2(5

)1)(4(3)(

xx

xxxf

1055

12153)(

2

2

xx

xxxf

Ejemplo 6 Traza la gráfica de 6

1)(

2

xx

xxf

Solución: Factorizamos el denominador para ver si se puede eliminar algún factor.

)2)(3(

1)(

xx

xxf

En este caso, como no se puede eliminar ningún factor, la gráfica tendrá

dos asíntotas verticales por tener dos factores en el denominador.

Las asíntotas verticales son x = 3 y x = -2

La asíntota horizontal es “y” = 0 por ser mayor el exponente del

denominador que el del numerador.

La gráfica viene desde el infinito por debajo de la asíntota horizontal y cruza hacia abajo siguiendo la primera asíntota vertical.


148

Ejemplo 7 Trace la gráfica de 42

9)(

2

x

xxf

Solución: Buscamos la asíntota vertical igualando el denominador a cero.

2x – 4 = 0

2x = 4

2

4x

x = 2

Al ver la función podemos darnos cuenta que no tiene asíntota horizontal ya que el exponente del numerador es mayor que el

denominador, efectuemos entonces la división para encontrar la asíntota inclinada.

9042 2 xxx

x

xx

xxx

2

1

2

9042

2

2

2x – 9


149

12

1

2

9042

2

2

x

xx

xxx

2x – 9

-2x + 4 - 5

42

51

2

1

42

92

xx

x

x

La asíntota es el cociente 12

1x que es una línea recta

Buscamos las intersecciones en los ejes

Intersecciones en el eje “y” x tiene que ser cero

4

9

y

4

9y

Intersecciones en el eje x “y” tiene que ser cero

42

90

2

x

x

0 = x2 – 9

x = 3 x = -3

Las intersecciones en el eje x son 3 y -3

La gráfica es la siguiente


150

EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios: Encuentra las asíntotas horizontales y verticales y traza la gráfica.

1. 4

3)(

xxf

2. 3

3)(

xxf

3. 2

3)(

x

xxf

4. 52

4)(

x

xxf

5. 32

14)(

x

xxf

6. 73

35)(

x

xxf

7. 62

294)(

2

2

xx

xxxf

8. 743

385)(

2

2

xx

xxxf

9. 6

2)(

2

xx

xxf

10. 32

1)(

2

xx

xxf

11. 44

4)(

2

xxxf

12. 12

2)(

2

xxxf

13. 1

3)(

2

x

xxf

14.

15. 4

4)(

2

x

xxf

16. 12

422)(

2

2

xx

xxxf

17. 9

633)(

2

2

x

xxxf

18. 43

6)(

2

2

xx

xxxf

19. 6

43)(

2

2

xx

xxxf

20. 2

3633)(

2

2

xx

xxxf

21. 103

4842)(

2

2

xx

xxxf

22. 1

6)(

2

x

xxxf


151

23. 2

32)(

2

x

xxxf

24. 2

3

2

8)(

x

xxf

25. 9

1)(

2

3

x

xxf


152

4.5 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

4.5.1 FUNCIONES EXPONENCIALES Definición.

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le

hace corresponder la potencia xa se llama función exponencial de

base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de

en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes

de la función exponencial.

1. xa

Cuando 1a y es decir, cuando la base a es mayor que 1 y el

exponente es un número real, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.


153

2. Cuando la base es positiva pero menor que 1, la gráfica queda de la siguiente forma

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial

(fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como

extremo inferior. Esto es , tiende a cero(0), cuando x toma valores

grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2)

no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores

grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al

tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente

creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la

función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para

garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

Observación.

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la

función exponencial ,se llama: función exponencial de base e.


154

En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas

combinaciones de las funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún

tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.

Ejemplo 1. Resuelva la ecuación xx 266

Solución: Uno de los métodos para resolver ecuaciones exponenciales es que la base sea igual, al ser igual la base, se prescinde de ella y

solamente se igualan los exponentes y se resuelve esta ecuación

En este caso, como la base es igual

x = 2 – x

x + x = 2

2x = 2

x = 1

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 693 xx

Solución: Como sabemos que la base debe ser igual y en este caso no lo

les, podemos hacerla igual ya que existe forma de hacerlo porque 239

624 33

xx

1224 33 xx

Ahora que ya es igual la base

4x = 2x – 12 4x – 2x = -12

2x = -12 x = -3

Ejemplo 3 Traza la gráfica de xxf 3)(

Solución: Cuando la base es mayor que uno, la gráfica es creciente en

todo su recorrido, cuando x viene desde menos infinito, la “y” se aproxima a cero por lo tanto la gráfica viene sobre el eje x y sube


155

cuando se acerca al origen de tal modo que cuando la x es cero, la y es uno y luego sube.

Podemos decir:

Cuando la x vale 0, la “y” = 1 Cuando x = 1, y = 3

Cuando x = 2, y = 9 y así sucesivamente

Ejemplo 4 Trazar la gráfica de

x

xf

2

1)(

Solución: Cuando la base es menor que uno, la gráfica es decreciente y queda de la siguiente forma:


156

Fórmula del Interés Compuesto

nt

n

iCA

1

En donde A es la cantidad acumulada durante t años, es decir, es la

cantidad de dinero depositada más el interés que ha ganado durante el tiempo que ha estado depositado.

C es el capital inicial depositado

n es el número de períodos que se ha capitalizado durante un año, es

decir, si se ha capitalizado bimestralmente, n es 6 porque el año tiene 6 bimestres.

t es la cantidad de años que ha estado depositado el capital.

i Es la tasa de interés anual, esto es el número dividido 100

Ejemplo 5 Si se invierten Q.1,000.00 a una tasa de interés del 9% compuesto

mensualmente. Encuentre la cantidad acumulada después de 5, 10 y 15 años.

Solución: Escribiendo los datos para aplicar la fórmula durante 5 años

tenemos

C = 1,000

09.0100

9%9 i

n=12 por estar capitalizado mensualmente 5t

)5(12

12

09.01000,1

A

60)0075.1(000,1A

A = 1565.68 Para 10 años

)10(12

12

09.01000,1

A

120

12

09.01000,1

A


157

A = 2451.36

Para 15 años

)15(12

12

09.01000,1

A

180

12

09.01000,1

A

A = 3838.04

4.5.2 FUNCIONES LOGARITMICAS

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función

inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si xbxf )( , en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la

inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el

“logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número es el exponente al cual hay

que elevar la base b para obtener a dicho número. Si y es el número,

b es la base y x es el exponente, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la

base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa

que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos

los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los


158

números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico,

pero 0 y -5 no lo son.

Ejemplo 3: Encuentre el valor de x si x81log3

Solución: Como sabemos escribir las ecuaciones logarítmicas en forma exponencial, la transformamos y despejamos la x

3x = 81

Entonces x es el número de veces que se debe multiplicar la base 3 para obtener 81, por lo tanto x = 4

Ejercicios: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

1) 29log3

2) 2

17log 49

3) 24

1log 2

4) 327log3

5) 2

16log 36

6) 29

1log 3

Pasar de la forma exponencial a la forma logarítmica:

1) 81 = 92

2) 133

1

3) 10100 2

1

4) 3464

5) 3 82

6) 2416

1

Resolver las siguientes ecuaciones

1) log3 9 = x. 2) logb 8 = 3.

3) log2 y = 7. 4) log3 27 = y.

5) logb 100 = 2.

6) log2 x = -3.

7) 436 77 xx

8) 127 66 xx

9) )(32 2

33 xx

10) 23)( 39

2 xx

11) 429 )5.0(2 xx


159

12) 22

16

x

13) xx 43 84

14) 321 927 xx

15) 2

23

)2(82

14 x

x

x

16) 2

2

2 )3(273

19

x

x

x

17)

x

xf

5

2)(

18)

x

xf

5

2)(

19) 32

15)(

x

xf

20) 2)4(8)( xxf

21) 42

1)(

x

xf

22) 93)( xxf

Trace la gráfica de:

17.

x

xf

5

2)(

18)

x

xf

5

2)(

19) 32

15)(

x

xf

20) 2)4(8)( xxf

21) 42

1)(

x

xf

22) 93)( xxf

Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números

reales, entonces:

1) Si la base es diferente de cero y el exponente es cero, el número es 1

logb 1 = 0 2) Si la base es igual al número, el exponente es 1

logb b = 1

3) Si la base es igual al número escrito de forma exponencial, el exponente es igual

logb bx = x 4) Cuando los números se multiplican, el logaritmo suma

logb MN = logb M + logb N 5) Cuando los números se dividen, el logaritmo resta

5) log log logb b b

M

NM N


160

6) Cuando es exponencial, el exponente baja a multiplicar al logaritmo del número

6) logb Mp = p logb M

En los siguientes ejercicios, encuentre el valor que falta

1) log5 1 =

2) log10 10 =

3) log10 0.01 = 4) log10 1 =

5) log5 25 = 6) log10 10 -5 =

Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1) logb 5x =

2) logb x9 =

31

5

45

5 2

2

3

2

3

) log

) log

) log

xy

6) uvblog

7) 3log uvb

8) xy

rblog

9) 3

5

1

logv

ub

Ejemplo 4 Resuelva la ecuación )12(log)54(log 66 xx

Solución: Aplicando las propiedades que hemos visto, sabemos que si a

los dos lados está la misma base, esta se elimina y se igualan los exponentes. En este caso, nos indican que es logaritmo de base 6 en

ambos lados, al eliminar la base nos queda 4x – 5 = 2x + 1

4x – 2x = 1+5

2x = 6 X = 3

Para comprobar si la respuesta encontrada es solución, se sustituye en

la ecuación original y si el resultado es positivo, la respuesta es solución, si es negativo, ecuación no tiene solución.


161

Nota: al sustituir, con un solo valor que se encuentre negativo, la ecuación no tiene solución.

Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo

logaritmo:

1) log3 (x) + log 3 (6) =

2) log3 (24) - log3 (4) = 3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =

4) log10 (5) + log10 (3) = 5) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =

6) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los

logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los

logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación:

Logaritmo común: log x = log10 x

Logaritmo natural: ln x = loge x

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

1 1

2 1 0

3

4

5

) ln

) ln

) ln( ) ln ln

) ln ln ln

) ln ln

e

uv u v

u

vu v

u n un

Ejercicios: Usa las propiedades de los logaritmos para expandir:

yx

x

x

23ln)2

2

12ln)1


162

Escribir como un solo logaritmo:

05.1ln)4

)6(lnln)3

x

xy

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y

la ecuación log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las

propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

Ejemplo 5 Resuelva la ecuación log(x+1) – logx = 3

Solución: Cuando no tiene escrito ningún subíndice, el logaritmo es

común, por lo tanto se sobreentiende que la base es 10, resolvemos entonces un logaritmo de base 10, sabiendo que la propiedad de la

división es resta

31

log

x

x

x

x 1103

1000x = x + 1 1000x – x = 1

999x = 1

999

1x

Resuelve las siguientes ecuaciones para aplicando las propiedades de los logaritmos:

1. 53x = 29

2. 23x-2=5

3. 351-2x=7

4. log(x+3)+log(x)=1

5. 1)2(log)(log 33 xx

6. x888 log25log2

13log

7. log(x-15)=2-log(x)

8. )8(loglog 44 xx

9. )1(log)4(log 33 xx

10. )73(log)2(log 55 xx

11. logx2 = log(-3x-2)


163

12. lnx2 = ln(12 – x)

13. 2)4(log5 x

14. 4)5(log 2 x

15. 2

3log 9 x

16. 2

3log 4 x

17. 2ln 2 x

18. 4log 2 x

19. 9ln2 xe

20. 2.0ln xe

21. 273ln xe

22. 25.02ln xe

4.5.3 Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son

funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene

como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y =

logb x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo:

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

y = 2x y = log2 x


164

Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de

y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que

cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

Ejemplo 6 Trace la gráfica de xxf 3log)(

Podemos escribir la ecuación de la siguiente manera

xy 3log

xy 3

Ahora no buscaremos valores de “y” sino de x,

Decimos entonces cuando “y” vale -2, x vale 9

1

Cuando “y” vale -1, x vale 3

1

Cuando “y” vale 0, x vale 1 Cuando “y” vale 1, x vale 3

Cuando “y” vale 2 x vale 9 Y así sucesivamente, luego localizamos los valores en el plano y trazamos la

gráfica, quedándonos de la siguiente forma

Ejercicios:

1) xxf 2log)(

2) xxf 2log)(


165

3) xxf 3log2)(

4) )2(log)( 3 xxf

5) )1(log)( 3 xxf

6) 2log)( 3 xxf

7) 1log)( 3 xxf

8) )1log()( xxf

9) )5log()( xxf

10) 3log)( 4xf


166


167


168

5.1 SECCIONES CÓNICAS

Objetivos:

Definir una sección cónica Obtener ecuaciones estándares de secciones figuras

cónicas

Trazar la gráfica de una figura cónica Identificar la figura cónica correspondiente a una

ecuación Encontrar propiedades de las figuras cónicas

Definición Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono, de ahí se

deriva su nombre.

Elipse (h)

Parábola (h)

Hipérbola (h)


169

PARÁBOLA

Una parábola son todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz que se encuentran en el

mismo plano.

Ecuación de la parábola:

Con vértice en el origen V(0, 0)

x2 = 4py

y2 = 4px

Con vértice en V(h,k)

(x – h)2 = 4p(y – k) (y – k)2 = 4p(x – h)

En donde 4p es el número que aparece con la letra que no esté levada

al cuadrado o el paréntesis que no esté elevado al cuadrado y p es la distancia del vértice al foco en todos los casos.

La directriz es una línea recta que se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco, es decir, el vértice está al la mitad del foco y la

directriz. Las gráficas tendrán la siguiente forma

x2 = 4py

d1 = d2

Comportamiento de la parábola 1. Si la variable que está elevada al cuadrado es la x: x2, (x – h)2,

la parábola se abre de la siguiente forma:


170

a. Si p es positiva se abre hacia arriba. X2 = 4py

Foco

p

Vértice

Directriz

b. Si p es negativa se abre hacia abajo. X2 = -4py

p

2. Si la variable que está elevada al cuadrado es la “y”: y2, (y – k)2, la parábola se abre de la siguiente forma:

a. Si p es positiva se abre hacia la derecha.

y2 = 4px


171

b. Si p es negativa se abre hacia la izquierda.

y2 = -4px

Los valores de h y de k siempre saldrán con signos contrarios

Ejemplo 1

Encuentre el vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es x2 = 8y y trace su gráfica mostrando los focos y la

directriz.

Solución: Como la ecuación es x2 = 8y, por la forma de la ecuación tiene

su vértice en el origen y 4p vale 8, despejamos entonces la p para encontrar la distancia del vértice al foco.

4

8

84

p

p

p = 2

Para encontrar hasta donde se abre la parábola alineada con el foco,

utilizaremos la siguiente fórmula px 2 o py 2

Teniendo entonces los datos son: V(0,0)

P = 2 Extremos px 2 )2(2x Esto me indica que se aleja 4 hacia los lados

del foco y la directriz 2 hacia abajo por estar a la misma distancia que el

foco pero hacia el otro lado del vértice.


172

La gráfica que queda es la siguiente:

En estas gráficas ya formales podemos ver que la distancia de

cualquier punto al foco es igual que la distancia de ese mismo punto a la directriz,

Ejemplo 2.

Dada la ecuación de la parábola x2 = -4y. Encuentre el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y trace la gráfica mostrando el foco y la

directriz.

Solución:

Por la forma que tiene, la parábola tiene su vértice en el origen V(0, 0)

4p = -4

1

4

4

p

p

Extremos del lado recto, este siempre debe estar alineado con el foco,

como la variable que está elevada al cuadrado es siempre x,

2

)1(2

2

x

x

px

Esto significa que nos debemos alejar, alineado con el foco, 2 hacia la derecha y dos hacia la izquierda. La ecuación de la directriz es más fácil

obtenerla graficándola en el plano y viendo el eje que atraviesa. Trazamos la gráfica y luego escribimos la ecuación de la directriz, esta

se localiza a la misma distancia del foco pero hacia el otro lado, el foco siempre se encuentra ubicado dentro de la parábola y la directriz afuera

de ella.


173

Ejemplo 3.

Resolvamos ahora la ecuación (x – 2)2 = -12y

Solución: El vértice ahora ya no se encuentra en origen, como la “y” no tiene

ningún número sumando ni restando, este eje si tiene su vértice sobre su eje.

V(2, 0) 4p = -12

3

4

12

p

p

Extremos px 2

6

)3(2

x

x

Ejemplo 4.

Encuentre el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y trace la gráfica de y2 – 3x + 6 = 0


174

Solución Como en este caso nos dan la ecuación general de la parábola, debemos

llevarla a la ecuación estandar puesto que sabemos que de esta forma ya lo podemos encontrar todo, procedemos entonces a resolverla

Primero dejamos la letra que está elevada al cuadrado sola

Y2 = 3x – 6 Ninguna de las letras tiene que tener coeficiente diferente de uno,

entonces sacamos el 3 que tiene la x aunque no fuera factor común

Y2 = 3(x – 2)

Con esto ya tenemos los datos que necesitamos

V(2, 0)

4p = 3

4

3p

Extremos del lado recto

2

3

4

32

2

y

y

py

Ahora ya podemos trazar la gráfica

Ejemplo 5

Graficar x2 + 4x + 8y = 0


175

Solución:

Aunque no nos pidan encontrar los elementos necesarios para trazar la gráfica, debemos buscarlos.

Primero escribimos la ecuación estandar

x2 + 4x = -8y

Completamos al cuadrado y nos queda

x2 + 4x + 4 = -8y + 4

2

18)2( 2 yx

Tenemos entonces todos los datos

2

1,2V

2

4

8

84

p

p

p

Extremos del lado recto

4

)2(2

2

x

x

px

Ejemplo 6 Graficar y2 -4y -2x +6 = 0

Solución:


176

Llevamos la ecuación general a ecuación estandar

Dejamos la y2 con la “y” y2 – 4y = 2x – 6

y2 – 4y + 4 = 2x – 6 + 4 (y – 2)2 = 2x – 2

(y – 2)2 = 2(x – 1)

V(1, 2)

2

1

24

p

p

Extremos

1

2

12

2

y

y

py

Ejemplo 7 Trazar la gráfica de 2y2 – 12y – x + 16 = 0

Solución

2y2 – 12y = x – 16

Para completar al cuadrado debemos quitar el número que tiene y2

2(y2 – 6y) = x – 16 2(y2 – 6y + 9) = x – 16 + 18

Agregamos 18 del lado derecho ya que del lado izquierdo aumentamos 9

dos veces puesto que el número que está afuera del paréntesis multiplica a lo que está adentro.


177

2(y – 3)2 = x + 2

la letra o paréntesis que está elevado al cuadrado no debe tener coeficiente, por lo tanto debemos pasarlo del otro lado.

)2(2

1)3( 2 xy

V(-2, 3)

8

1

2

14

p

p

En este caso nos es más difícil encontrar los extremos del lado recto

para trazar la gráfica, porque están muy amontonados los puntos, procedemos entonces a trazar la gráfica de la forma (x – h) = a(y – k)2

(x+2) = 2(y – 3)2

Localizamos el vértice, luego nos alejamos uno hacia arriba por ser y2 y decimos uno al cuadrado uno por dos igual a 2; luego nos alejamos 2

siempre en “y” y decimos 2 al cuadrado = 4 por 2 = 8 y nos elajamos 8 y como es simétrica con el eje x, buscamos los mismos números en la

parte de abajo del eje de simetría que en este caso es -2

Ejemplo 8:

El interior de una antena de televisión por cable es un disco con forma de paraboloide (finito) con un diámetro de 16 pies y una profundidad de

2 pies. Encuentre la distancia desde el centro del disco a la cual se debe colocar el foco para que este pueda recibir toda la señal que la antena

obtenga.

Solución: Dibujamos la antena en un plano de coordenadas cartesianas, poniendo

el vértice en el origen para poder darnos una idea de lo que tenemos que hacer.


178

Vemos entonces que la parábola pasa por el punto P(8,2), entonces

procedemos a encontrar la ecuación, como no conocemos p, pero sabemos que el vértice lo tiene en el origen porque nosotros así lo

decidimos, X2 = 4py

En donde x y “y” son los valores del punto por donde pasa.

(8)2 = 4p(2)

64 = 8p

p8

64

P = 8

Encontramos entonces que el foco debe colocarse a una distancia de 8 pies del vértice.

Ejemplo 9: Encuentre la ecuación de la parábola que se muestra en la figura

Solución: Para encontrar la ecuación de una parábola necesitamos conocer el valor

de p, el vértice y en qué eje se abre. En este caso, como la vemos que

se abre hacia arriba, es x2 y p es 1 ya que p nos indica la distancia del vértice al foco, entonces ya podemos escribir su ecuación pues es x

menos lo que vale x en el vértice entre paréntesis y este se eleva al


179

cuadrado y escribimos el signo igual; luego escribimos 4p que en este caso es 4 x 1 = 4 y a continuación “y” menos lo que vale “y” en el

vértice (x + 2)2 = 4(y – 1)

Ejemplo 10: Una parábola tiene vértice V(-4, 2) y directriz “y” = 5. Expresa la ecuación de la parábola de la forma y = ax2 + bx + c

Solución: Como conocemos el vértice y la directriz, podemos encontrar p, ya que sabemos que la distancia del vértice a la directriz es igual que

del vértice al foco, solamente cambie el signo.

3

25

p

p

Nota: Si la directriz está arriba del vértice, la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto p = -3

(x + 4)2 = -12(y – 2). Esta ya es la ecuación estandar; para escribirla

de la forma que nos la piden debemos resolver.

X2 + 8x + 16 = -12y + 24 X2 + 8x + 16 – 24 + 12y = 0

12y = -x2 – 8x + 8

12

8

12

8

12

1 2 xxy

3

2

3

2

12

1 2 xxy

Ejercicios:

En los siguientes ejercicios encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola. Trace su gráfica mostrando el foco y la directriz.

1. x2 = 8y 2. x2 = 12y

3. y2 = 4x 4. y2 = 3x

5. (x + 1)2 = 6y 6. (x – 2)2 = 10y

7. (y + 2)2 = - 12x 8. (y – 3)2 = -10x

9. (x + 1)2 = 16(y -2) 10. (x – 3)2 = 12(y – 2)

11. x2 – 4x + 2y = 0 12. x2 + 4y – 8 = 0

13. y2 – 2x + 6 = 0 14. y2 – 4x + 8 = 0

15. x2 – 4x + 4y + 20 = 0 16. x2 + 6x – 8y + 41 = 0


180

17. 2x2 + 4x – 6y + 14 = 0 18. 3x2 + 12y – 12x – 48 =0

En los ejercicios 19 al encuentre una ecuación de la parábola que cumpla con las condiciones establecidas.

19. F(3,0) Directriz y = -2

20. F(-2, 0) Directriz y = 3 21. F(0, -1) Directriz x = 4

22. F(0, 3) Directriz x = -1

23. F(-3 , 4) V(2, 4) 24. F(2, 5) V(-1, 5)

25. F(4, -1) V(4, 5) 26. F(-2, 3) V(-2, 5)

27. V(4, -2) Directriz y = 2 28. V(3, 2) Directriz y = 0

29. V(-1, 3) Directriz x = 2 30. V(2, 3) Directriz x = -2

31. Vértice en el origen, simétrica al eje “y” y pasa por el punto (3, 4)

32. Vértice en el origen, simétrica al eje “y” y pasa por el punto (-1,2)

33. Vértice en V(2, 3), eje de simetría paralelo al eje x y pasa por el punto (-1, 5)

34. Vértice en V(3, -2), eje de simetría paralelo al eje x y pasa por

el punto (5, 1)


181

5.1.2 ELIPSES

Una elipse es el conjunto de los puntos en un plano que se obtienen al deformar un círculo, es decir, al estirar un círculo hacia

cualquier lado, el centro se separa y estos puntos se van alejando hacia los extremos del lado que se está estirando; a estos puntos se les llama

focos.

Definición de elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en

un plano. La suma de las distancias de cualquier punto p(x,y) a los focos nos dará como resultado la longitud de su eje.

P(x,y)

Si a es la distancia del centro a uno de los vértices, la longitud

del eje será igual a 2a, por lo tanto,

d1 + d2 = 2a

La ecuación estandar de la elipse es:

Con centro en el origen C(0,0)

12

2

2

2

b

y

a

x

d1 d2

FOCO FOCO

EJE

a

b

c

F V


182

Con centro en C(h, k)

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Como la elipse tiene dos ejes, muchos autores le llaman “a” a la

distancia del centro a uno de los vértices en el eje mayor o simplemente eje y b a la distancia del centro a uno de los

vértices en el eje menor.

Nosotros, por conveniencia, llamaremos ”a” a la distancia del centro al vértice en el eje x y b le llamaremos a la distancia del

centro al vértice en el eje “y”

c es la distancia del centro a uno de los focos. Esta se encuentra de la

siguiente forma

c2 = a2 – b2 es decir, al mayor de los denominadores que está elevado al cuadrado se le resta el menor de ellos

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la ecuación 1892 22 yx

Solución: Para trazar una gráfica, la ecuación siempre debe estar escrita de forma

estandar, en este caso que nos la dieron de esta forma, debemos llevarla a forma estandar o sea igualada a 1.

Para que el lado derecho sea 1, debemos dividir toda la ecuación por ese

mismo número, en este caso, por 18

(

6

,

)

d

2

C

(

h

,

k

)

F

V

c

b

a

V

F

c

b

a

E

J

E

F

O

C

O

F

O

C

O

d

2

d

1

0

1

je

e

-10


183

18

18

18

9

18

2 22

yx

Podemos simplificar, pero para nuestra conveniencia pasaremos a dividir

el número que está como coeficiente de la letra

1

9

18

2

18

2

yx

129

22

yx

Tenemos ahora que

3

9

92

a

a

a

4.1

2

22

b

b

b

Y para encontrar C

6.2

7

7

29

2

2

c

c

c

c

Podemos entonces escribir una sola ecuación para los vértices y los focos. Los vértices serán los que se encuentran en el eje mayor.

Si la elipse es horizontal, los vértices siempre serán ),( kahV y los focos

),( kchF

Si la elipse es vertical, los vértices serán ),( akhV y los focos ),( ckhF

Ejemplo 2

Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya

ecuación es 1100

)3(

64

)2( 22

yx

Solución:


184

En este caso la ecuación ya está escrita en forma estandar por no tener número ni el paréntesis de la x ni el de la “y” y estar igualada a 1,

entonces procedemos a indicar y encontrar lo que necesitamos para trazar la gráfica,

C(2, -3) Como sabemos que a es la distancia del centro a los vértices en el eje x

8

642

a

a

10

1002

b

b

6

36641002

c

c

Para trazar la gráfica localizamos el centro, luego nos alejamos 10 del

centro hacia los extremos del eje “y” ya que sabemos que a y b nos indican cuantas unidades nos alejamos del centro hacia los vértices.

Luego nos alejamos 8 unidades hacia los lados siempre a partir del centro. Los focos se localizan en el eje “y” porque siempre se localizan

en el eje mayor.

V(2,-310)

F(2,-36)

Ejemplo 3 Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse

cuya ecuación es 1164 22 yx

Solución: Esta ecuación, a pesar de estar igualada a 1, tenemos que hacerle

arreglos para que esté en forma estandar, ya que tanto la x como la “y” tienen coeficientes diferentes de 1. Sabemos que cuando no está

igualada a uno dividimos toda la ecuación por el número que esté del lado derecho de la igualdad pero como en este caso ya es uno, bajamos

el coeficiente de cada variable a dividir al 1 que por naturaleza divide a cualquier número.


185

1

16

1

4

1

22

yx

2

1

4

1

)0,0(

2

a

a

C

4

1

16

12

b

b

16

3

16

3

16

1

4

1

2

2

c

c

c

0,16

3

0,2

1

F

V

Ejemplo 4 Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 25y2 + 54x + 50y -119 = 0

Solución:

Para encontrar lo que necesitamos para trazar su gráfica tenemos que encontrar la ecuación estandar.

Para encontrar esta ecuación, agrupamos en un paréntesis las x2 con las x y las y2 con las “y” y pasamos del lado derecho los valores que no

tienen variable

(9x2 + 54x) + (25y2 + 50y) = 119

Luego sacamos del paréntesis los coeficientes de la x2 y de la y2 aunque no fueran factores comunes.

9(x2 + 6x) + 25(y2 + 2y) = 119


186

y completamos al cuadrado cada paréntesis, debiendo agregar del lado derecho cada cantidad que haya agregado del lado izquierdo

multiplicada por el número que sacamos

9(x2 + 6x + 9) + 25(y2 + 2y + 1) = 119 +81 + 25

Luego factorizamos cada paréntesis

9(x + 3)2 + 25(y + 1)2 = 225

Como del lado derecho no nos quedó uno, para que este sea 1 dividimos

toda la ecuación por 225

225

225

225

)1(25

225

)3(9 22

yx

Pasando a dividir el coeficiente de cada paréntesis al denominador

19

)1(

25

)3(

1

25

225

)1(

9

225

)3(

22

22

yx

yx

C(-3, -1) a2 = 25 b2 = 9 c2 = 25 – 9

a = 5 b = 3 c2 = 16

c = 4

V(-35, -1) F(-34, -1)

Ejemplo 5 Encuentre la ecuación de la elipse que tiene su centro en El

origen, su vértice en V(4, 0) y sus focos F(±3, 0)

Solución: En general, para encontrar la ecuación de una elipse necesitamos

conocer el centro y la longitud de sus ejes. En este caso conocemos el centro, los focos y la longitud de su eje mayor ya que nos indican su

vértice y este siempre se encontrará en su eje mayor.


187

Como estamos tomando el valor de a como la distancia del centro a los vértices en el eje x,

a2 = 16

c2 = 9

c2 = a2 – b2 en este caso a = 16 y b = 3 el eje mayor es en donde se encuentran los vértices

9 = 16 – b2 b2 = 16 – 9

b2 = 7 Ya podemos encontrar la ecuación porque conocemos el centro y la

longitud de los ejes.

1716

22

yx

Ejemplo 6

Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V(0, ±6) y focos F(0, ±2) y centro en el origen.

Solución:

Como nos indican que tiene centro en el origen, es igual que la anterior. También conocemos la longitud del eje mayor, que en este caso, los

vértices están en el eje “y”. vértices y = ±6.

Como están los vértices en el eje “y”, el eje mayor ahora es b y como c se encuentra el mayor menos el menor

c2 = 36 – a2

a2 = 36 – 4 a2 = 32

y la ecuación es

13632

22

yx

Ejemplo 7 Encuentre la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos

)10,0( F y pasa por el punto P(2, 3)


188

Solución:

En este caso no conocemos la longitud de ninguno de los ejes, solamente la longitud del foco.

Como sabemos que los focos siempre se encuentran en el eje mayor, este está nuevamente en el eje “y” y a está en el eje “y”

c2 = 10

c2 = b2 – a2

10 = b2 – a2

a2 = b2 – 10

Escribiendo la ecuación estandar por tener centro en el origen

12

2

2

2

b

y

a

x

Sustituyendo la x y la “y” por los valores que tienen en el punto por donde pasa y escribiendo la b como función de a nos queda

13

10

22

2

2

2

bb

1)10(

)10(9)(4

19

10

4

22

22

22

bb

bb

bb

242

2422

109013

109094

bbb

bbbb

09023

0901310

24

224

bb

bbb

(b2 – 18)(b2 - 5) = 0

a2 = 18 a2 = 5

Al sustituir en donde despejamos la a


189

a2 = b2 - c2

a2 = 18 – 10

a2 = 8

El 5 nos damos cuenta que no puede ser, pues al restar nos da una

respuesta negativa y sabemos que todo número elevado al cuadrado es

positivo.

Ahora ya podemos escribir la ecuación porque ya conocemos a2 y b2

1188

22

yx

La excentricidad de una elipse es la forma que tiene, si su excentricidad

es cero, la elipse es una circunferencia; si su excentricidad es 1 se convertirá en una línea recta

mayor eje elen vérticeal centro del longitud

foco al centro del Longitude

a

ba

a

ce

22

Ejemplo 8

Encuentre la ecuación de la elipse cuya excentricidad es 2

1e y pasa por

el punto (1, 3) con vértices en el eje x.

Solución:

Como nos indican que tiene vértices en el eje x, esto significa que el eje mayor es a.

2

1e

Sabemos que a

ce pero no podemos asumir que c = 1 y que a = 2

puesto que nos indican que pasa por el punto (1 ,3), de lo que sí debemos estar seguros es de lo siguiente:


190

a

c

2

1 entonces a = 2c

Como 22 bac

22

22

4

)2(

bcc

bcc

c2 = 4c2 – b2 b2 = 4c2 – c2

b2 = 3c2

como sabemos que a = 2c

2

ac

2

2

23

ab

43

22 a

b

22

4

3ab

Escribiendo ahora la ecuación estandar

12

2

2

2

b

y

a

x

Sustituyendo por el punto en donde pasa y escribiendo b2 en función de a2

1

4

3

31

2

2

2

2

aa


191

1

4

3

91

22

aa

113

1121

13

361

2

22

22

a

aa

aa

a2 = 13

Como ya sabemos que

22

4

3ab

)13(4

32 b

4

392 b

Conociendo a2 y b2 podemos escribir la ecuación

1

4

3913

22

yx

139

4

13

22

yx

Ejemplo 9: El cometa Halley tiene una órbita elíptica con excentricidad

967.0e . La distancia más pequeña a la que el cometa Halley pasa del

sol es = 0.587 UA. Calcula la distancia máxima del cometa al sol, hasta

la décima de UA más próxima. (unidad astronómica. 1UA ≈ 000,000931

millas)

Solución: Haremos una ilustración del cometa y el sol, asumiendo que el

sol es el foco.


192

Observando la figura podemos darnos cuenta que la distancia mínima entre el cometa y el sol es a – c, entonces a – c = 0.587

a = 0.587 + c

Como a

ce

c

c

587.0967.0

cc )587.0(967.0

0.567629 + 0.967c = c

0.567629 = c – 0.967c

0.567629 = 0.033c

033.0

567629.0c

c = 17.2

Como a = 0.587 + c

a = 0.587 + 17.2

a = 17.787

La distancia más lejana es c + a. Entonces la distancia máxima es 17.2 + 17.787 = 34.987 UA.

Como nos indican que encontremos la distancia hasta la décima más

cercana, en el número encontrado tenemos décimas, centésimas y milésimas. La décima es 9 y como la siguiente cifra es 8, entonces el 9

se convierte en 10 y esto aproxima el 34 a 35

R: La distancia más lejana del sol es aproximadamente de 35 UA.

Ejercicios:


193

Encuentre los vértices y los focos de la elipse. Trace su gráfica mostrando los focos.

1. 149

22

yx

2. 11625

22

yx

3. 11615

22

yx

4. 14945

22

yx

5. 4x2+ y2 = 16

6. y2 + 9x2 = 9

7. 4x2 + 25y2 = 1

8. 10y2 + x2 =5

9. 19

)4(

16

)3( 22

yx

10. 14

)3(

25

)2( 22

yx

11. 19

)3( 22

yx

12. 117

)2( 22

yx


194

13. 4x2 + 9y2 -32x -36y +64 =0

14. x2 + 2y2 + 2x – 20y + 43 = 0

15. 25x2 + 4y2 – 250x – 16y + 541 = 0

16. 4x2 + y2 = 2y

En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que tenga centro en el origen y cumpla con las condiciones dadas.

1. Vértices V(±4, 0) Focos F(±3,0)

2. Vértices V(0, ±8) Focos F(0, ±4)

3. Vértices V(0, ±5) Eje menor de longitud 3

4. Focos F(±5, 0) Eje menor de longitud 2

5. Vértices V(0, ±6) Pasa por P(3, 2)

6. Vértices V(±5, 0) Pasa por P(2, 3)

7. Excentricidad 4

3 Vértices V(0, ±4)

8. Excentricidad 5

2 Vértices V(±3, 0)

9. Excentricidad 2

1 , pasa por P(1,3) Vértices en el eje x

10. Excentricidad 2

1 , Pasa por P(2, -1) Vértices en el eje “y”

11. Intersecciones x ±2 Intersecciones y ± 3

1

12. Intersecciones x ± 2

1 Intersecciones y ±4


195

PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI 13. El arco de un puente es semielíptico con eje mayor horizontal. La

base del arco mide 30 pies de longitud y su parte más alta 10 pies por arriba del camino horizontal, como se muestra en la

figura. Encuentre la altura del arco a 6 pies por arriba del centro de la base.

14. Se construirá un puente a través de un río de 200 pies de ancho. El arco del puente será semielíptico y debe construirse de modo

que una embarcación de menos de 50 pies de ancho y 30 pies de altura pueda pasar seguramente por el arco, como se muestra en

la figura. a. Encuentre una ecuación para el arco.

b. Calcule la altura del arco a la mitad del puente.

15. Asume que la longitud del eje mayor de la órbita de la tierra

mide 000,0001861 millas y que la excentricidad es 0.017. Aproxima

a las 1000 millas más próximas la distancia máxima y mínima

entre la tierra y el sol.

16. El planeta Mercurio se desplaza en una órbita elíptica de excentricidad 0.206 y su eje mayor tiene una longitud de 0.774

UA. Encuentre la distancia máxima y mínima entre el planeta y el sol.


196

5.1.3 HIPÉRBOLAS Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Definición de Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ubicados en una curva abierta, en donde el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x,y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje (x,y)

1d

Eje F

La ecuación estandar de la hipérbola con centro en el origen y vértices

en el eje x es: 12

2

2

2

b

y

a

x y con vértices en el eje “y” 1

2

2

2

2

a

x

b

y. Con

centro en C(h, k) es 1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Al eje en el que se encuentran los vértices se le llama eje transverso y al del eje en el cual no están los vértices sino que solamente sirve para

trazar el rectángulo en donde pasan las asíntotas se le llama eje conjugado. Llamaremos “a”, a la distancia del centro a los

vértices en el eje x y “b” a la distancia del centro a los vértices en el eje “y”.


197

Ejemplo 1: Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las

asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 14916

22

yx

, Trace la gráfica

correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.

Solución: Por la forma que está escrita es una hipérbola con centro en el

origen que se abre en el eje x por ser la variable positiva.

a2 = 16 b2 = 49 c2 = a2 + b2 a = ±4 b = ±7 c2 = 16 + 49

c2 = 65

c = ± 65

La gráfica que queda es la siguiente:

Ecuación de las asíntotas, como estas son líneas rectas, si el centro está en el origen

xa

by en donde la pendiente

a

bm

xy4

7


asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 116

)3(

9

)2( 22

xy

, Trace la

gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.


198

Solución: Esta gráfica no tiene su centro en el origen por la forma en que está escrita sino su centro está en C(2, -3) y se abre en el eje “y”

por ser la variable positiva, por consiguiente a está ahora en el eje “y” ya que a siempre le llamaremos al eje en donde está el vértice.

b2 = 9 a2 = 16 c2 = a2 + b2

b = ±3 a = ±4 c2 = 16 + 9

c2 = 25

c = ± 5

La gráfica es la siguiente:

Para encontrar los vértices, cuando el centro no está en el origen, localizamos el centro y vemos en qué eje se abre, luego escribimos la

coordenada del centro en este eje y a este le sumamos y restamos el

valor de b dado que la parábola se abre en el eje “y”.

V(-33, 2)

De igual forma para encontrar los focos, solo que ahora sumamos y restamos c

F(-35, 2)

Para la ecuación de las asíntotas. Sabemos que para encontrar la

ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa.

)( 11 xxmyy

)2(4

33 xy


199


asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 3649 22 yx , Trace la gráfica

correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.

Solución: Esta ecuación no está escrita de forma estandar, debemos

entonces escribirla como tal. Para que el lado derecho quede uno, debemos dividir toda la ecuación por este número

36

36

36

4

36

9 22

yx

194

22

yx

a2 = 4 b2 = 9 c2 = 4 + 9

a = 2 b = 3 c2 = 13

c = 13

c 6.3

A continuación aparece la gráfica

V(2, 0)

F(3.6, 0)

Asíntotas xy2

3

Ejemplo 4 Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las asíntotas

de la hipérbola cuya ecuación es 0137145497 22 yxxy , Trace la

gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.


200

Solución: Esta ecuación está dada en forma general, para convertirla en ecuación estandar debemos primero agrupar las variables iguales y

luego completar al cuadrado

(7y2 + 14y) – (9x2 – 54x) = 137

Antes de completar al cuadrado debemos sacar los coeficientes que tienen las letras que están elevados al cuadrado y cuando ya se sacaron

estos coeficientes se completa al cuadrado debiendo tener cuidado que

el número que se agrega al completar al cuadrado se está agregando la misma cantidad de veces que tiene el coeficiente que se sacó del

paréntesis.

7(y2 + 2y + 1) – 9(x2 – 6x + 9) = 137 + 7 – 81

7(y + 1)2 – 9(x – 3)2 = 63

63

63

63

)3(9

63

)1(7 22

xy

17

)3(

9

)1( 22

xy

Centro C(3, - 1)

a2 = 7 b2 = 9 c2 = 9 + 7 a = 2.65 b = 3 c2 = 16

c = ± 4

La gráfica

V(0, 3)

F(0, 4)

Asíntotas 7

73

7

3y


201

Ejemplo 5: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (±3, 0) y pasa por el punto P(5, 2).

Solución: Aunque no nos lo mencionen, esta hipérbola tiene su centro

en el origen por tener la misma distancia del cero hacia los dos lados.

19 2

22

b

yx

Sustituimos la x y la “y” con los valores del punto por donde pasa

12

9

52

22

b

14

9

252

b

2

41

9

25

b

2

4

9

16

b

16b2 = 4(9)

16

362 b

4

92 b

1

4

99

22

yx

19

4

9

22

yx

x2 – 4y2 = 9


202

Ejemplo 6: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene focos

F(±10,0) y pasa por el punto 105,6P

Solución: Como sabemos que: el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x,y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje, Sabemos también que la longitud del eje es 2a

add 221

a2105)106(105)106(2

22

2

a2105)4(105)16( 22

a210516105256

a2121361

a21119

4

2

8

28

a

a

a

Ya que encontramos a y conocíamos c, podemos encontrar b

(6, )

-10 eje 10


203

c2 = a2 + b2 c2 – a2 = b2 100 – 16 = b2 84 = b2 Luego escribimos la ecuación

18416

22

yx

Ejemplo 6: La estación guardacostas de Honduras está a 200 millas

hacia el este de la estación guardacostas de Guatemala y ambas están a la misma distancia de la línea divisoria entre los dos países. Un barco

navega a 50 millas al norte y en forma perpendicular a la línea divisoria entre los dos países (véase figura). Desde las dos estaciones se envían

señales de radio a una velocidad de 980 s

pies

(pies por

microsegundo). Si a la 1:00 p.m. la señal desde Guatemala llega al

barco 400 microsegundos después que la señal enviada de Honduras, localiza la ubicación del barco en ese instante.

Solución: Poniéndole A a la estación de Honduras y B a la estación de

Guatemala y colocando las estaciones sobre el eje x y el barco en el eje “y”, nos queda la siguiente figura.

Como a la 1 p.m. la llegada de la señal desde B tarda 400

microsegundos más que la llegada de la señal de A, la diferencia entre las distancias indicadas en ese momento es:


204

piesdd 000,392)400)(980(21

Como sabemos que la diferencia entre las dos distancias nos da como resultado la longitud de su eje,

392,000 = 2a

2

392000a

a = 196000

Convirtiendo a millas por estar dadas las distancias entre las estaciones

en millas,

millaspies

millapiesa

33

1225

5280

1*000,196

1089

15006252 a

13782 a

Conociendo a y c podemos encontrar b

c2 = a2 + b2

c2 – a2 = b2

10000 – 1378 = 8622

Escribimos la ecuación

183221378

22

yx

Teniendo la ecuación y la coordenada en el eje “y”, podemos encontrar

la coordenada del eje x.

18322

50

1378

22

x

18322

2500

1378

2

x


205

8322

25001

1378

2

x

8322

10822

1378

2

x

8322

)1378(108222 x

8322

149127162 x

x = 42.33

La posición del barco es (42.33, 50)

Ejercicios: Encuentre los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la

hipérbola. Traza la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.

1. 149

22

yx

2. 11649

22

yx

3. 12516

22

xy

4. 11625

22

xy

5. 18

22

yx

6. 115

22

yx

7. 164 22 xy

8. 82 22 xy


206

9. 1416 22 yx

10. 19 22 yx

11. 17

)2(

9

)3( 22

yx

12. 1425

)1( 2

yx

13. x2 – 4y2 + 2x – 3 = 0

14. y2–4x2 – 12y–16x+ 16 =0

15. 4y2 –x2 +40y–4x+60 = 0

16. 25x2 – 9y2+100x+54y+10=0

17. 144x2 –25y2+864x–100y–2404=0

PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI

18. En 1911, el físico Ernest Rutherford (1871—1937) descubrió que si se disparan partículas alfa hacia el núcleo de un átomo,

terminan siendo rechazadas por este en trayectorias hiperbólicas. En la figura se ilustra trayectoria de una partícula que empieza

hacia el origen a lo largo de la recta xy2

1 y llega hasta menos

de 3 unidades del núcleo. Encuentre la ecuación de la

trayectoria.


207

19. Un avión Un avión se desplaza a lo largo de la trayectoria hiperbólica que se ilustra en la figura. Si una ecuación de la trayectoria

es 2y2 – x2 = 8, determina cuán cerca llega el avión a una ciudad ubicada en (3,0). (Sugerencia: Sea S el cuadrado de la distancia de un

punto (x, y) sobre la trayectoria a (3, 0), y encuentra el valor mínimo de S)

20. Un barco navega con un curso a 100 millas de una costa recta y paralelo a la misma. El barco envía una señal de peligro la cual reciben

dos estaciones guardacostas A y B, situadas a 200 millas de distancia entre sí, como se muestra en la figura. Al medir la diferencia en los

tiempos de recepción de la señal, se determina que el barco se encuentra a 160 millas más cerca de B que de A, localice las

coordenadas en donde se encuentra el barco.


208

5.2 LEYES DE LOS SENOS

La ley de los senos se utiliza especialmente para resolver triángulos oblicuángulos. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no

tiene ningún ángulo recto.

Los triángulos oblicuángulos se subdividen en triángulos

acutángulos y ángulos obtusángulos. Triángulos acutángulos son los que sus tres ángulos son agudos.

Triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso.

En las leyes de los senos, el seno de un ángulo dividido entre su lado opuesto es igual al seno del otro ángulo dividido entre su lado

opuesto. Para colocar los ángulos y lados en un triángulo, si a un lado

renombramos A o , el lado opuesto será a. Si a un ángulo le

nombramos β, su lado opuesto será b

Si lo que necesitamos encontrar es un lado, colocamos los lados en el

numerador

sen

c

sen

b

sen

a

Si necesitamos encontrar un ángulo,


209

c

sen

b

sen

a

sen

Ejemplo 1: Resolver el triángulo

030 095 a = 25

Solución: Para resolver triángulos aplicando la ley de los senos, debemos conocer una pareja, ángulo y lado opuesto del mismo y otra

pareja que se conozca sólo un lado o ángulo. Por conveniencia trazaremos un triángulo como el anterior y le colocamos los datos

como referencia para poderlo resolver sin confundirnos

300

c b

950

25

Como conocemos la pareja de alfa y a, tomamos el valor desconocido

que es b, con su ángulo

00 30

25

95 sensen

b

0

0

30

9525

sen

senb

b = 49.8

De la otra pareja no conocemos nada pero sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 1800, podemos

encontrar el ángulo puesto que conocemos dos

0

000

55

9530180

Luego podemos encontrar el otro lado.


210

00 30

25

55 sensen

c

0

0

30

5525

sen

senc

c = 41


47.46 = 650 b= 40 c = 32

32 40

β 46.470

a

4032

47.46 sensen

32

47.4640 0sensen

90627.0sen

El seno de un ángulo es igual en un ángulo agudo que en uno obtuso,

por ejemplo, el seno de 300 es igual que el seno de 1500.

Como encontramos el seno de un ángulo, este valor puede ser de un agudo o de un obtuso.

Encontremos el ángulo agudo

90627.01 sen


211

065

Como ya tenemos dos ángulos, podemos encontrar el tercero

000 47.4665180

053.68

Ahora podemos encontrar el otro lado

00 65

40

53.68 sensen

a

0

0

65

53.6840

sen

sena

a = 41

Como sabemos que el seno de un ángulo tiene el mismo valor un

ángulo agudo que uno obtuso, resolveremos el triángulo pero con el ángulo obtuso

40 32

46.470

a

Los lados conocidos podemos ver que no cambia su longitud pero sí los ángulos restantes y el lado a

Como ya encontramos el seno del ángulo β, buscaremos el ángulo obtuso que sería el ángulo suplementario del de 650

β = 1800 – 650

β = 1150


212

Luego procedemos igual que el anterior, a encontrar las partes restantes.

000 47.46115180

053.18

00 65

40

53.18 sensen

a

0

0

65

53.1840

sen

sena

a=14


035 a = 25 b = 75

75 25

350

c

25

35

75

0sensen

25

3575 0sensen

720729.1sen

Concluimos que no existe triángulo con estos datos puesto que el

seno de un ángulo no puede ser mayor que uno ni menor que menos uno

Ejemplo 4: Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de

teléfono inclinado a un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol proyecta

una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo, Calcula la longitud del poste.

Solución: Como nos indican que el poste está inclinado en dirección opuesta del sol, esto significa que el ángulo debe medirse a partir del

eje “y”


213

El ángulo que conocemos es el de afuera del triángulo, buscamos

entonces el ángulo complementario y dibujamos nuestro triángulo con su ángulos correspondientes

θ

h

640 810

21

Para aplicar la ley de los senos debemos conocer una pareja, ángulo y su lado opuesto, en este caso no los conocemos pero sí podemos

encontrar el ángulo opuesto al lado de que mide 21 θ = 1800 – 640 – 810

θ = 350

00 35

21

64 sensen

h

0

0

35

6421

sen

senh

h = 33

R. La altura del poste es de 33 pies.


214

Ejemplo 5: Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R,

y luego de R a P en dirección S70°O. Calcula la distancia recorrida.

Solución: Principiamos dibujando los datos que nos dan

P

Q

Cuando los ángulos están dados de esta forma, se miden a partir del

norte o del eje “y”.

Haremos planos cartesianos por separado y luego los uniremos

R

250

R Q

700

Cuando trazamos una línea inclinada entre dos rectas paralelas, los ángulos que quedan entre ellas son iguales

R

P q 250

450 700

3Km

p

250

Q


215

Podemos encontrar el lado q

00 45

3

25 sensen

q

0

0

45

253

sen

senq

q = 1.79 Km.

Para encontrar p necesitamos conocer el ángulo P

P = 1800 – 250 – 450 P = 1100

00 45

3

110 sensen

p

0

0

45

1103

sen

senp

p = 4

La distancia recorrida es entonces p + q

d = 1.79+4 d = 5.79 Km.

R. La distancia que recorrió el corredor fue de 5.79 kilómetros.

Una embarcación pesquera comercial utiliza equipo de sonar para

detectar un banco (o cardumen) de peces a 2 millas al este de la embarcación, la cual se mueve en dirección N5l°O a razón de 8 millas

por hora (figura I


216

(a) Si la embarcación navega a 20 millas por hora, calcula en qué dirección debe avanzar para interceptar el cardumen.

(b) Encuentra el tiempo que tardará en interceptar el banco de peces. SOLUCIÓN: Sabemos que los ánulos dados de esta forma se miden a

partir del eje vertical. Dibujamos entones nuestro triángulo.

β hmi /20 hmi /8

θ 390

2 millas

Para resolver un triángulo, las medidas de los lados deben ser

homogéneas, en este caso tenemos dos lados con estas medidas, puesto que están dados en velocidades y las dos están en las mismas

dimensionales.

20

39

8

0sensen

20

398 0sensen

25173.0sen

θ = 14.580

Como el ángulo que encontramos es el agudo y medido a partir de la

horizontal, buscamos el ángulo complementario para poder escribir su

dirección, el cual nos da de 75.42; luego la dirección que debe tomar la embarcación es de N75.420E.

Para encontrar cualquier distancia necesitamos conocer el valor del ángulo β.

β = 1800 – 390 – 14.580

β = 126.420

Ahora podemos escribir nuevamente el triángulo con los datos que encontramos.

Para encontrar el tiempo, necesitamos conocer cualquiera de las dos distancias, ya sea la del barco o la de los peces puesto que solamente


217

conocemos la velocidad de cada uno. Denotemos con x la distancia del barco y encontremos su distancia.

x 126.420

14.580 390

2 millas

00 42.126

2

39 sensen

x

0

0

42.126

392

sen

senx

millasx 56.1

Encontrando el tiempo

v

dt

20

56.1t

t = 0.078 horas

convertido a minutos 0.078*60 = 4.78 minutos 5t minutos

Problemas propuestos Resuelve el triángulo ABC

1. 040 070 a = 56

2. 050 0115 b = 48

3. 060 075 c = 150

4. 072 075 b = 50

5. a = 62 b = 55 058

6. b = 76 c = 45 70


218

7. ´40500 ´30350 a = 40

8. ´25140 ´35550 a = 25.36

9. 028.65 025.100 a = 15

10. 043 a = 60 c = 35

PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI 11. Un camino recto hace un ángulo de 15° con la horizontal. Cuando

el ángulo de elevación del Sol es de 57°, un poste vertical que

está a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo, como se muestra en la figura.

Calcula la longitud del poste.

12. Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son de 24°10’ y 47°40’, respectivamente. Como

se muestra en la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas uno

del otro y el globo se encuentra entre ambos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.


219

13. En la figura se muestra un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la

horizontal. Calcula la longitud d del soporte que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal

14. Un camino recto hace un ángulo de 22° con la horizontal. Desde un punto P sobre el camino, el ángulo de elevación de un

aeroplano A es de 57°. En el mismo instante, desde un punto Q situado a 100 metros cuesta arriba, el ángulo de elevación al

mismo aeroplano es de 63°. Como se indica en la figura, los p, Q y A están en el mismo plano vertical. Calcula la distancia desde

P al aeroplano.

15. Un agrimensor observa que la dirección del punto A al B es S63°O y la dirección de A a C es S380O. La distancia de A a B es

de 239 yardas y la distancia de B a C es 374 yardas. Calcula la distancia de A a C.

16. Un Guardabosques ubicado en un punto de observación A localiza un incendio en dirección N27°lO’E. Otro guardabosques ubicado

en un punto de observación B a 6 millas directamente al este de A, advierte el mismo incendio en N52040´O. Calcula la distancia

entre cada punto de observación y el incendio.

17. Originalmente una torre estaba perpendicular al suelo y medía 179 pies de altura. Debido al hundimiento del terreno, ahora se ha inclinado cierto ángulo θ con respecto a la perpendicular como

se muestra en la figura. Cuando se observa la parte alta de la


220

torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, e1 ángulo de elevación es de 53.3°.

a) Calcula el ángulo de desviación θ

b) Calcula la distancia d que se ha movido el centro de parte

superior de la torre con respecto a a perpendicular.

18. Una catedral se encuentra sobre una colina, como se muestra en la

figura. Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48°;

cuando la observación se hace desde una distancia de 200 pies de la base de la colina, el ángulo de elevación es de de 410. La

colina se eleva en un ángulo de 32 la altura de la catedral. El ángulo de inclinación de la colina es de 320. Calcula la altura de

la catedral.

19. Un helicóptero vuela a una altitud de 1000 pies sobre la cima de una montaña, la cual mide 5210 pies de altura, como se indica

en la figura. Desde lo alto de esa montaña y desde el helicóptero se ve una segunda más elevada que la primera. Si desde el


221

helicóptero, el ángulo de depresión es de 430, y desde la cima de la montaña el ángulo de elevación es de 180.

(a) Calcula la distancia de pico a pico de cada montaña.

(b) Calcula la altitud de la montaña más alta.

20. El volumen V del prisma triangular recto que se muestra en la

figura es de Bh3

1, donde B es el área de la base y h es la altura

del prisma.

(a) Calcula h, (b) Calcula V.


222

5.3 LEY DE LOS COSENOS La ley de los cosenos, al igual que la ley de los senos, nos sirve para

resolver cualquier triángulo, la utilizaremos específicamente para resolver triángulos oblicuángulos.

Para resolver triángulos aplicando la ley de los cosenos, necesitamos conocer las tres partes que se encuentren juntas, lado,

ángulo y lado, el ángulo tiene que ser el que forman los dos lados que se tomen en cuenta.

a b

c

En donde el lado opuesto a cualquier ángulo se encuentra de la siguiente forma

cos222 abbac

Con palabras podríamos decirlo: raíz cuadrado de la suma de los

cuadrados de los lados menos 2 por los dos lados por el coseno del ángulo que forman los dos lados

a b

β

c

De igual forma podemos encontrar cualquier otro lado, por ejemplo si

tomamos el lado a, los de enfrente de este lado serían b, c y .

cos222 bccba


223

Para encontrar los ángulos podemos también seguir un procedimiento que nos facilitará la solución de los triángulos, analizando

los mismos.

a b

β

c

Si queremos encontrar cualquier ángulo, sería encontrando el

coseno inverso de la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el lado opuesto al ángulo también elevado al cuadrado y todo

esto dividido entre el producto de 2 por los dos lados que forman el ángulo

Por ejemplo: si queremos encontrar el ángulo β

ac

bca

2cos

2221

Para encontrar , los lados que forman este ángulo son b y c y por

supuesto su lado opuesto a

bc

acb

2cos

2221


a = 3 b = 5 035

Solución: Dibujamos el triángulo para orientarnos

β

c 3

350

5


224

022 35cos*5*3*253 c

c=3.07

Ahora ya podemos encontrar otro ángulo de la forma que aprendimos

5*07.3*2

3507.3cos

2221

009.34

El l otro ángulo se puede encontrar por diferencia.

β = 1800 – 39.09 – 350

β = 105.910

Ejemplo 2: Resolver el triángulo a = 34 b = 12 c = 25

34 12

25 Solución: En este caso no conocemos ningún ángulo pero

conocemos los tres lados. Un triángulo de esta forma no se puede resolver por ley de senos, únicamente por la de cosenos.

25*34*2

122534cos

2221

β = 15.650

12*34*2

251234cos

2221

019.34

El otro ángulo se puede encontrar por diferencia o por la misma fórmula

12*25*2

341225cos

2221

130.160


225

Ejemplo 3: Un paralelogramo tiene lados de longitud de 30 cm, y 70 cm. Si uno de sus ángulos mide 650 calcula la longitud de cada diagonal.

Solución: Hacemos una figura con los datos dados para poder visualizar lo que necesitamos conocer.

En la figura podemos ver que nos piden encontrar las distancias AD y

BC. Como el ángulo CDB es suplementario, entonces D = 1800 – 650 D=1150.

1d

70

1150

30 022

1 115cos*70*30*27030 d

cmd 871

Para encontrar 2d dibujamos el otro triángulo

70 2d

650

30 022

2 65cos*30*70*23070 d

cmd 44.632

R: La longitud de cada diagonal es de 87 cm y 63.44cm.


226

Ejemplo 4: Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud

mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo medido desde la base de poste.

SOLUCIÓN: Recordemos que si tenemos una línea inclinada y le trazamos infinitas líneas horizontales, los ángulos correspondientes

serán iguales, así también los ángulos opuestos por el vértice.

b 40 1070 170

72 170

Como conocemos dos lados y el ángulo que forman estos dos lados, aplicamos la ley de los cosenos

022 107cos*40*72*24072 b

b = 92

R: La mínima longitud del cable será de 92 pies.

Ejemplo 5: Calcula el área del triángulo ABC con a = 4, b = 7 y c = 5

Solución: Existen dos formas de encontrar el área de un triángulo oblicuángulo.

1ª. Encontrando cualquier ángulo y escribiendo A como área, no como

ángulo.

A = 2

1senθ*(el producto de los lados que forman el ángulo)


227

Como no conocemos ningún ángulo, podemos encontrar cualquiera. Para ayudarnos podemos dibujar el triángulo

A

7 5

C 4 B

4*7*2

547cos

2221C

)714286.0(cos 1C

C = 44.420

)4)(7(42.442

1 0senA

279.9 cmA

2ª. Si conocemos los tres lados del triángulo podemos utilizar la fórmula de Herón.

))()(( csbsassA

En donde s es el semiperímetro del triángulo

2

cbas

2

547 S

S = 8

96

)3)(1)(4(8

)58)(78)(48(8

A

A

A

A = 9.8 cm2


228

EJERCICIOS: Resuelva los siguientes triángulos.

1. 060 b = 20 c = 30

2. 045 b = 12 a = 15

3. 0150 a = 150 c = 50

4. ,05073 c = 14 a = 87

5. '010115 a = 1.1 b = 2.2

6. '04023 c = 4.3 b = 3.2

7. a = 2 b = 3 c = 4

8. a = 10 b = 20 c = 30

9. a = 25 b = 150 c = 60

10. a = 3 b = 5 c = 15 11. El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73040' y

los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado y el área del terreno.

12. Para hallar la distancia entre los puntos A y B, un agrimensor

escoge un punto C que está a 420 yardas de A y a 540 yardas de B. Si el ángulo ACB mide 63°l0’, calcula la distancia entre A y B.

13. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan

en carreteras rectas que difieren 840 en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a qué distancia aproximada

se hallarán uno de otro al cabo de 20 minutos?

14. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 18O pies de

longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados y el área del terreno.

15. Una embarcación sale del puerto a la 1:00 PM. y navega al

S350E a una velocidad de 24 millas por hora. Otra sale del mismo puerto a la 1:30 PM. y navega al S200O a 18 millas por hora.

¿Aproximadamente a qué distancia se encuentran una de otra a las 3:00 PM.?


229

16. Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 1300 y luego 80 millas en dirección 245°. ¿A qué distancia

aproximada se encontrará del punto A

17. Un trotador corre a una velocidad constante de una milla cada 8 minutos en dirección S40°E durante 20 minutos y luego en

dirección N20°E durante los siguientes 16 minutos. Calcula. al décimo de milla más cercano, la distancia desde el punto final al

punto de partida de la pista.

18. Los puntos P y Q ubicados a nivel del suelo están en lados

opuestos de un edificio. Para hallar la distancia entro los puntos, un agrimensor escoge un punto R que está a 3 pies del punto P y

a 438 pies del Q y luego determina que el ángulo PRQ mide 37°40' . Calcula la distancia entre P y Q.

19. Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta triangular

con lados de 2 km., 4 km. y 3km. respectivamente. Recorrió el primer lado en dirección N20°O y el segundo en dirección SθoO

donde θ es la medida en grados de un ángulo agudo. Encuentra la

dirección en que recorrió el tercer lado. BIBLIOGRAFÍA

Algebra y Trigonometría con geometría analítica de swokowski

Matemáticas previas al cálculo de Leithold

Algebra de Baldor Algebra de Lehman

Algebra elemental de Alfonse Gobran Internet

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