ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.

5ª Edición. Octubre 2004.

PROLOGO

Este ensayo tiene por finalidad facilitar los cálculos propios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a los distintos temas propios de las ciencias física y geométrica en su relación con un espacio puntual afín siempre propiamente euclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como un caso particular de la n-dimensionalidad con n finito.

No se desarrrollan pues de momento, sus posibles aplicaciones a la física relativista ni cuántica.

Esta Algebra y Cálculo Tensorial es especialmente útil, pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamente dichas (que incluyen vectores y escalares), sino que permite considerar como tales en el cálculo, a los operadores lineales ó multilineales, facilitando así la formulación de las imágenes que determinan.

Entre los operadores expresables tensorialmente se incluyen derivadas, derivadas direccionales ó parciales, así como magnitudes integrales.

El simbolismo elegido para los tensores es intrínseco, y se ha limitado la utilización y descripción de sus componentes característicos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casos en que ha sido necesario ó conveniente para una definición ó una demostración.

En cuanto a la expresión de sus componentes característicos en cifras, se hace excepcionalmente a título de ejemplo ó caso particular.

El álgebra que se utiliza, se halla definida en el segundo capítulo del texto, y en el resto del texto, se hace la aplicación del álgebra a un estudio parcial detallado de diversos tensores y sus relaciones.

En la primera parte se dedica una atención especial a los tensores de segundo orden y a su relación con las matrices cuadradas.

En la segunda parte ponemos el acento sobre las aplicaciones del álgebra a la expresión tensorial de las magnitudes diferenciables ó integrables así como de las derivadas espaciales y diferenciales y a la expresión intrínseca de las fórmulas de Stokes y Ostrogradski.

Barcelona 10 de febrero de 2002.

I

TABLA DE CONTENIDO

PROLOGO 1

TABLA DE CONTENIDO I

ALGEBRA TENSORIAL 1

A.- GENERALIDADES. 1

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLLAR 3 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con cuyoselementos opera el álgebra. 3 2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 4 3.- Tensores y aplicaciones lineales. 7 4.- Operación contracción de tensores. 8 5.- Observaciones. 9

C.- TENSORES EN GENERAL. 11 1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 11 2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 16 3.- Simetría y antisimetría m,p 18 4.- Simetría y antisimetría 1,2. 20 5.- Tensores totalmente antisimétricos 22 6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos. 38 7.- Tensores isótropos. 42 8.- Particularidades del espacio tridimensional. 44 9.- Particularidades del espacio bidimensional. 48 10.- Polinomios tensoriales. 50

D.- TENSORES E⊗2 DE 2º ORDEN 55 1.- Generalidades. 55 2.- Matrices de coeficientes tensoriales. 57 3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden. 62 4.- Tensor fundamental. 66 5.- Tensores isótropos. 69 6.- Invariantes de un tensor.Traza. 71 7.- Determinante de un tensor. 73 8.- Valores y vectores propios de un tensor. 75 9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 80 10.- Tensores ortogonales. 89 11.- Tensores semejantes. 90 12.- Tensores simétricos definidos positivos. 91 13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos. 93

ANALISIS TENSORIAL 95

A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS. 95 1.- Espacios puntuales afines. 95 2.- Utilización del vector ∇. 104

II

3.- Derivación de expresiones tensoriales. 106 5.- Integrabilidad espacial. 112 6.- Funciones de función de x→. 115 7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual afín n-dimensional. 117

B. VARIEDADES. INTEGRACION. 119 1.- Variedades y cuerpos. 119 2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos. 120 3.- Magnitudes de volumen. 126 4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski. 127 5.- Integraciones en general. 131

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. 135 1.- Integrales de volumen relativas a r→r-n. 135 2.- Valor de ∇D→ para cualquier cuerpo. 143 3.- Campos solenoidales. 145 4.- Campos irrotacionales, 152 5.- Campos armónicos. 156

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 159 1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 159

E.- SERIES POLINOMICAS. 163

APENDICE-1 170

INDICE DE EQUACIONES

171 APENDICE-2

173

1

ALGEBRA TENSORIAL

A.- GENERALIDADES.

1.- Este texto tiene por objeto el estudio de un álgebra propia del conjunto de tensores afines construídos sobre un espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional, considerados intrínsecamente y tomando escalares y vectores como tensores de orden 0 y 1 respectivamente.

2.- Supondremos familiarizado el lector con los elementos de álgebra lineal y en particular con espacios vectoriales, tensores, matrices y determinantes.

3.- En general, expresaremos los escalares por letras griegas minúsculas: α,µ,π, etc., los vectores por letras normales minúsculas con flecha en la parte superior: v→, w→, etc., y los tensores por letras griegas minúsculas con flecha en la parte superior: ρ→, σ→, etc. Si α ó (v→w→) son escalares complejos, sus conjugados se representarán por α y (v→w→) ó α* y (v→w→)*.

Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de un vector tal como v→, lo representaremos con la misma letra v sin flecha y con un subíndice o supraíndice, por ejemplo: v2, v

i, v3,etc. Si es un coeficiente de un tensor τ

→, se representará por la letra normal minúscula t correspondiente, seguida de los subíndices y supraíndices, necesarios para su identificación, escritos uno a continuación del otro. Ejemplo: t12

1

4

Una matriz se expresará con una letra mayúscula ó como un conjunto de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = λi

j. La expresión λi

j significará un elemento de la matriz, cuya identificación dependerá de la convención adoptada. Hache convendremos que el supraíndice indica la fila, en este caso j, y que el subíndice indica la columna, en este caso i. De esta manera, λ2

3 no representa a la matriz A, sino a un elemento determinado de ella, el de fila 3 y columna 2.

Sea un sumatorio ∑k=m

n a→k. Lo representaremos por ∑m

n a→k si no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay duda respecto a los valores límites, por ∑ka

→k o simplemente por

∑a→k.

4.- Se adopta el convenio de Einstein:

Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo índice, una vez como superior y otra como inferior, se debe, salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este índice todos los valores posibles.

2

Si esto ocurre con más de un índice, habrá que sumar los monomios obtenidos dando a estos índices todos los valores posibles. viv→i = v

1v→1 + v2v→2 + ..... + v

nv→n

ai

jbj

i = a1

1b1

1+a1

2b2

1+..+a2

1b1

2+a2

2b2

2+....+an

1b1

n+an

2b2

n+..

3

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A

DESARROLLAR

1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con cuyos elementos opera el álgebra.

1.01.- Bases duales.

Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o sea

que E es dual de sí mismo en el sentido siguiente:

A toda base de E corresponde una base dual también de. E, que sólo coincide con la primera cuando ésta es ortonormal.

Por otra parte, consideraremos a los vectores de E como tensores de orden uno y representaremos como base principal de E a e→i y como base dual a e

→j, sabiendo que verifican

e→ie→j = e→je→i = δi

j (símbolo de Kronecker).

Por consiguiente podemos tomar como bases de E⊗s, las siguientes: e→i⊗e

→j⊗..⊗e→s, e

→i⊗e→j⊗..⊗e→s, e→i⊗e→j..⊗e→s, etc.

1.02.- Expresiones de un tensor.

a) Todo tensor de E⊗s puede expresarse por una

combinación lineal de productos tensoriales elementales, es decir, correspondientes a elementos de E×s:

∑ ⊗⊗⊗ )p..ba( = iiii

rrrrατ

b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales

simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo tensor de orden mayor que uno, se puede representar también en forma einsteniana de la siguiente manera: τ→ = σ→i⊗µ→i

c) La notación ordinaria einsteniana de un tensor en función de bases duales, es: τ→ = tij..s(e→i⊗e

→j⊗..⊗e→s) = t

i

j

..s(e→i⊗e→j⊗..⊗e→s) = .....

Si no se indica lo contrario tomaremos e→i como base

principal y en consecuencia los coeficientes escalares se denominan:

Contravariantes: tij..s

4

Covariantes: tij..s

Mixtos: ti

j

..s, etc.

Si y sólo si la base es ortonormal, se verifica: tij..s = tij..s = t

i

j

..s = ....

2. Estructura y propiedades principales del álgebra.

2.01.- Operaciones fundamentales. El conjunto E⊗ toma la estructura de un álgebra

estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus elementos:

1º.- Multiplicación tensorial.

2ª.- Multiplicación contracta. que pasamos a precisar.

2.02.- Multiplicación tensorial.

Definimos como producto tensorial de un tensor τ→ ∈ E⊗s por un tensor σ∈ E⊗m a un tensor τ→⊗σ→ de E⊗(s+m) de las características propias de la estructura tensorial que suponemos conocida.

Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes:

1ª.- No conmutatividad: En general τ→⊗σ→ ≠ σ→⊗τ→.

2ª.- Asociatividad: σ→⊗(τ→⊗π→)=(σ→⊗τ→)⊗π→ = σ→⊗τ→⊗π→

3ª.- Distributividad a derecha e izquierda:

(σ→=σ→’+σ→”; τ→=τ→’+τ→”): σ→⊗τ→= σ→’⊗τ→’+ σ→’⊗τ→”+ σ→”⊗τ→’+ σ→”⊗τ→”

2.03.- Multiplicación contracta.

Entre los posibles, definimos como producto contracto normal de dos tensores τ→ y σ→ y lo expresamos sin signo especial, a un tensor τ→σ→, que tiene por orden el módulo de la diferencia de órdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes:

1ª.- Conmutatividad: τ→σ→ = σ→τ→

2ª.- Distributividad a derecha e izquierda:

(σ→=σ→’+σ→”; τ→=τ→’+τ→”): σ→τ→= σ→’τ→’+ σ→’τ→”+ σ→”τ→’+ σ→”τ→”

3ª.- El producto contracto entre vectores de E coincide con

5

el producto escalar en E.

4ª.- El producto contracto de dos productos tensoriales elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente: (a→1⊗a

→2⊗...⊗a→m⊗a

→m+1⊗...⊗a→n)(b

→1⊗b→

2⊗...⊗b→m) = = (a→1b

→1)(a

→2b→

2)...(a→

mb→m) [a

→m+1⊗...⊗a→n]

Cada paréntesis () indica un producto escalar cuyos factores

son los pares de vectores situados en el mismo orden de colocación de derecha a izquierda de los tensores factores, hasta agotar los vectores del tensor de menor orden.

Puede verse fácilmente que esta operación es compatible con las propias de los espacios vectoriales de tensores.

2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos.

Sean los tensores τ→=tij

k(e→i⊗e→j⊗e→k); σ→=slm(e→l⊗e

→m)

1º.- π→ = τ→⊗σ→ = [tij

k(e→i⊗e→j⊗e→k)] ⊗ [slm(e→l⊗e→

m)] = = tij

kslm(e→i⊗e→j⊗e→k⊗e→

l⊗e→

m) pij

klm = tij

kslm

2º.- ρ→ = τ→σ→ = [tij

k(e→i⊗e→j⊗e→k)][slm(e→l⊗e

→m)] =

= tij

kslm(e→ie→l)(e→je→m)e

→k =tij

ksije→k rk = tij

ksij

Para este producto, las bases utilizadas para el primer factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor.

2.05.- Teoremas fundamentales de esta álgebra.

Teorema 1º.- Dados tres tensores τ→, σ→ y µ→ construidos sobre E, tales que el orden de τ→ es igual o mayor que el de σ→, se verifica: (τ→σ→)µ→ = (σ→⊗µ→)τ→

Dada la distributividad de productos tensoriales y contractos, bastará demostrarlo para el caso de que los tres tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para

σ→ = a→1⊗a→

2⊗...⊗a→r τ→ = b→1⊗b

→2⊗...⊗b→r⊗b

→r+1⊗...⊗b→s

µ→ = c→1⊗c→2⊗....⊗c→t

tendremos: τ→σ→ = (a→1b

→1)(a

→2b→2)...(a

→rb→

r)[b→

r+1⊗...⊗b→s] σ→⊗µ→ = a→1⊗a

→2⊗...⊗a→r⊗c

→1⊗c→2⊗...⊗c→t

6

y por consiguiente: (τ→σ→)µ→ = (a→1b

→1)(a

→2b→2)...(a

→rb→

r)[b→r+1⊗...⊗b→s][c

→1⊗c→

2⊗....⊗c→t] (σ→⊗µ→)τ→= (a→1b

→1)(a

→2b→

2)...(a→rb→r)[c

→1⊗c→

2⊗....⊗c→t][b→

r+1⊗...⊗b→s]

Teorema 2º.- Dados tres tensores σ→, τ→ y µ→ construidos sobre E, tales que el orden de σ→ es inferior al de τ→, se verifica: (σ→τ→)⊗µ→ = (τ→⊗µ→)σ→

Bastará demostrarlo para los mismos tensores de la demostración anterior, con lo que σ→τ→ tomará el valor allí expresado. Tendremos además:

τ→⊗µ→ = b→1⊗b→2⊗...⊗b→r⊗b

→r+1⊗...⊗b→s⊗c

→1⊗c→

2⊗....⊗c→t y por consiguiente: σ→τ→⊗µ→ = (a→1b

→1)(a

→2b→

2)...(a→

rb→r)[b

→r+1⊗...⊗b→s⊗c

→1⊗c→

2⊗....⊗c→t] τ→⊗µ→)σ→ = (a→1b

→1)(a

→2b→

2)...(a→

rb→r)[b

→r+1⊗...⊗b→s⊗c

→1⊗c→

2⊗....⊗c→t]

Teorema 3º.- Sean 4 tensores τ→, τ→’, σ→ y µ→ construidos sobre E, tales que τ→ y τ→’ son de igual orden. se verifica: (τ→τ→’)(σ→µ→) = (τ→⊗σ→)(τ→’⊗µ→)

Pues τ→τ→’=τ→’τ→ es un escalar, y podremos escribir: (τ→τ→’)(σ→µ→) = [(τ→’τ→)σ→]µ→ y por el teorema 1º: (τ→τ→’)(σ→µ→) = [τ→’(τ→⊗σ→)]µ→ = (τ→⊗σ→)(τ→’⊗µ→)

2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor τ→ de orden s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par de bases duales de E, es igual al producto contracto de τ→ por un producto tensorial de dichos vectores base con índices en igual posición y orden.

Podemos demostrarlo, por ejemplo para tij

k:

τ→(e→i⊗e→j⊗e→k) = [ti'j'

k'(e→i'⊗e

→j'⊗e

→k')](e→i⊗e→j⊗e→k) =

= ti'j'

k'(e→i'e→i)(e→j'e

→j)(e→k'e→k) = tij

k y evidentemente la demostración es análoga para cualquier otro coeficiente.

2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor τ→ al pasar de una base e→i de E y su dual, a una nueva base f

→j y su dual,

relacionadas con las anteriores por: f

→j = α

i

je→

i; f→k = βkme

→m; αi

jβk

i = δjk = símbolo de Kronecker

7

Sea por ejemplo τ→= tir

st(e→

i⊗e→

r⊗e→s⊗e→t)= tvw

gh(f→v⊗f→

w⊗f→g⊗f→h)

tvw

gh= τ→(f

→v⊗f→w⊗f→g⊗f→

h) = τ→([βvie

→i]⊗[βwre→r]⊗[αs

ge→

s]⊗[αt

he→

t])= = βviβ

w

rαs

gαt

h τ→(e→i⊗e→r⊗e→s⊗e

→t) = β

v

iβw

rαs

gαt

htir

st

Como βvi,βw

r,αs

g y αt

h corresponden a matrices de cambio de bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son función regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen análogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir de las antiguas del mismo o distinto tipo.

2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares función de una base de E, define a un tensor de E⊗, si y sólo si, con un cambio de bases, los escalares varían como si fueran los elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a algún tensor.

También se demuestra que un conjunto de escalares, función de una base de E, define a un tensor π→, o sea que es el conjunto de coeficientes de π→, de algún tipo, cuando al operar como si así fuera para hallar los coeficientes de π→σ→ ó de π→⊗σ→, siendo σ→ un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares que define a un tensor.

2.09.- Para E propiamente euclidiano, el producto contracto aquí definido, induce en todos los espacios vectoriales E⊗ de tensores afines a E, un producto escalar que también los hace propiamente euclidianos.

3.- Tensores y aplicaciones lineales.

3.01.- Los productos contractos de un tensor π→

determinado de E⊗(s+m) por los distintos vectores de E⊗s, son vectores de E⊗m que varían linealmente con ellos. Por lo tanto dichos productos son las imágenes de una aplicación lineal de E⊗s en E⊗m representada por el tensor π→.

El tensor de E⊗(s+m) correspondiente a la aplicación lineal por la que una base g→i de E

⊗s tiene por imagen f→

i), vamos a ver que es (g→j⊗f→j) siendo g

→j la base dual de g→j. En efecto: (g→j⊗f→j)g

→i = (g

→jg→i)f→

j = f→i

3.02.- De acuerdo con el párrafo anterior, la

aplicación lineal idéntica vendrá representada por el tensor g→i⊗g→i = g

→i⊗g→i

referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y '2.06, tenemos:

8

(g→i⊗g→i)a→ = (g→ia→)g→i = a

ig→i = a→

Para los vectores de E, la aplicación lineal idéntica

vendrá representada por un tensor de 2º orden: I

→ = e→i⊗e

→i = e→i⊗e→i con e→i y e→i bases duales de E.

El producto contracto de I→ por un producto tensorial

(a→⊗b→) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de ambos. Pues tenemos: I

→(a→⊗b→) = (I→a→)b→ = a→b→

3.03.- Coeficientes de I

→.

Los coeficientes tensoriales de I

→ contravariantes

constituyen las matrices de cambio de base de una base a su dual y los coeficientes covariantes de I

→ forman las matrices del

cambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad. Pues podemos escribir:

I→= gij(e→i ⊗e

→j) = e

→i⊗g

ije→j = e→i⊗e→i ⇒ e→i = gije→j

I→= gij(e

→i ⊗e→

j) = e→i⊗gije→j = e→i⊗e→i ⇒ e→i = gije

→j I→= gij(e

→i ⊗e→j) = e→k ⊗e

→k ⇒ gi

j = δij (símbolo de Kronecker) I→= gi

j(e→i ⊗e→j) = e→k ⊗e→k ⇒ gi

j = δij (símbolo de Kronecker)

Por cálculo vectorial sabemos que las matrices de

cambio inverso son inversas. También se verifica que las matrices covariante y contravariante de I

→ son las fundamentales para las bases duales

fundamentales

gije→i = e→j = e→j(e→i⊗e→i) = (e

→je→i)e→i ⇒ gij = e→ie→j gije

→i = e→j = e→j(e→i⊗e→i) = (e→ie

→j)e→i ⇒ gij = e

→ie→

j

4.- Operación contracción de tensores. La definiremos como un modelo. Sea un producto tensorial único

τ→ = a→⊗b→⊗c→⊗d→⊗..⊗m→

La contracción de los factores 2,4 es el tensor

τ→’= (b→d→)(a→⊗c→⊗..⊗m→)

Si el tensor viene dado en forma normal en función de bases duales, tal como

τ→ = tijk

l..m(e→i⊗e→

j⊗e→

k⊗e→l⊗..⊗e→m)

9

la contracción 2,4 será:

τ→’ = tijk

l..m(e→je→l)(e→i⊗e

→k⊗..⊗e→m) = (j=l): tijk

l..m (e→

i⊗e→

k⊗..⊗e→m) Deducimos de aquí, que para efectuar esta última operación, hay que expresar previamente os dos factores tensoriales a suprimir, en sendas bases duales.

5.- Observaciones.

Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la

Física no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de tensores de orden 0, 1 ó mayor, isomorfos a los de E⊗, y sus relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin adoptar unidades de medida, ó sea intrínsecamente, a través de los conceptos y métodos algebraicos aquí establecidos, y de otros complementarios deducidos de ellos.

Estimamos que esta álgebra tensorial puede facilitar considerablemente el estudio intrínseco de las relaciones entre magnitudes físicas y para su desarrollo, resulta indispensable el dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales aquí enunciados.

De entre los productos contractos entre tensores que se pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de aplicación más general, y que estimamos suficiente para nuestros fines.

Una vez halladas las expresiones más sencillas ó convenientes, el cálculo numérico exige adoptar unidades de cada magnitud y por tanto la adopción de bases vectoriales que se correspondan debidamente entre ellas y entonces también tienen plena aplicación la expresión de tensores por coeficientes de notación einsteniana, expresión que en los casos sencillos se presta a la aplicación del cálculo matricial.

Las matrices, también se pueden considerar como tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus relaciones intrínsecas también quedarán reflejadas en desarrollos diversos del álgebra tensorial aquí presentada. El álgebra que aquí se va a desarrollar, está dedicada especialmente a los tensores afines a E expresados en forma intrínseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente para completar el estudio de los problemas o para aclarar o confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es únicamente intentar hacer ver las ventajas del método intrínseco de cálculo tensorial aquí desarrollado.

Esta álgebra no se ha ampliado a los elementos de espacios construídos sobre espacios vectoriales herméticos, por la dificultad derivada de que, ya en los casos más sencillos, el producto hermítico de vectores no es en ellos conmutativo.

10

El método aquí utilizado para definir el álgebra y

otras propiedades de los elementos de E⊗ (tensores construídos sobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizable cuando E sólo es euclidiano (no propiamente), si se tiene en cuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.

11

C.- TENSORES EN GENERAL.

1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor.

1.01.- Definición. Llamaremos aquí norma de un tensor

τ→, al escalar τ→τ→ y módulo de un tensor a la raíz cuadrada positiva de su norma.

Consecuencias.

a) Si τ→=tij..p(e→i⊗e→

j⊗..⊗e→p) es la representación einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su norma valdrá: τ→τ→= tij..p(e→i⊗e

→j⊗..⊗e→p)ti'j'..p'(e

→i'⊗e→j'⊗..⊗e→p')= tij..ptij..p

Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p = tij..p, resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma de cuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo, en el que será nula.

b) Si el tensor τ→= (τ→1⊗τ→2⊗..⊗τ→m) está expresado por un

producto tensorial de tensores, su norma es el producto de las normas de los factores. Aplicando las leyes del producto contracto, tendremos: τ→τ→ = (τ→1⊗τ2⊗..τ

→m)(τ

→1⊗τ2⊗..τ

→m) = (τ

→1τ→1)(τ

→2τ→

2)...(τ→

mτ→m)

c) La norma del tensor τ→=∑τ→i cuando τ

→i es un conjunto

de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma de las normas de los sumandos: (τ→l + τ

→2 +...+ τ

→2m)(τ

→l + τ

→2 +...+ τ

→2m) = τ

→1τ→1 + τ

→2τ→

2 + .. + τ→mτ→m

puesto que los productos con subíndices distintos son nulos por ortogonalidad.

1.02.- Como la norma definida para un tensor coincide evidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vector del espacio vectorial de los tensores de su orden, podemos aplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartz obtenidas para espacios vectoriales en general.

La 1ª desigualdad, para dos tensores cualquiera τ→ y σ→⊗µ→ supuestos no nulos y del mismo orden, es: [τ→(σ→⊗µ→)][τ→(σ→⊗µ→)] ≤ (τ→τ→)[(σ→⊗µ→)(σ→⊗µ→)] y transformando el 1º miembro por el teorema 1 fundamental, y el segundo miembro por el teorema 3º, queda así: [(τ→σ→)µ→][(τ→σ→)µ→] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)(µ→µ→)

Sustituyendo µ→ por τ→σ→ de igual orden, se verificará también la siguiente desigualdad:

12

[(τ→σ→)(τ→σ→)][(τ→σ→)(τ→σ→)] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)[(τ→σ→)(τ→σ→)] que por ser el corchete positivo podemos simplificar así: [(τ→σ→)(τ→σ→)] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)

Esta expresión generaliza la 1ª desigualdad de Schwartz al producto contracto de tensores cualesquiera.

1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir el coseno del ángulo formado por dos tensores τ→ y σ→ no nulos cualesquiera, de módulos τ y σ.

τσστστcos

σσττστστστcos

rrrr

rrrr

rrrrrr

= ),( ;))(())((

= ),( 1 2≥

Este coseno sería de naturaleza vectorial, y no

escalar, cuando τ→ y σ→ fueran de distinto orden. Tendría entonces un módulo inferior o igual a uno. Sólo sería nulo para σ→ y τ→ ortogonales. Sería uno si τ→ se puede expresar así: (∃µ→): τ→ = σ→⊗µ→ ⇒ τ→σ→ = (σ→σ→)µ→ = σσµ→; τ→τ→ = σσµµ como puede verse fácilmente sustituyendo estos valores en la expresión de cos2(τ→,σ→).

1.04.- Sea el producto contracto de un tensor τ→ de orden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s. El tensor resultante, de orden s-r, varía linealmente con el factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a τ→ como un tensor representativo de una aplicación lineal del espacio de los tensores de orden r en el espacio de los de orden s-r y por analogía procederemos a las siguientes definiciones:

1ª. Para τ→ de orden s, llamamos núcleo de τ→ de orden r, y lo expresamos por Nucrτ

→, al conjunto de tensores σ→ de orden r, tales que: τ→σ→ = 0→ ⇔ σ→ ∈Nucrτ

→

2ª. Para τ→ de orden s, llamamos imagen de τ→ de orden r, y lo expresamos por Imrτ

→, al conjunto de tensores de orden r que resultan de la multiplicación contracta de τ→ por cualquier tensor σ→ de orden s-r: τ→σ→ = µ→ ⇔ µ→ ∈Imrτ

→

1.05.- Características de núcleos e imágenes.

a) Nucrτ→ y Imrτ

→ son subespacios vectoriales de tensores de orden r correspondientes a la aplicación τ→.

b) Nucrτ→ y Imrτ

→ por ser subespacios vectoriales de tensores de orden r tienen por dimensión máxima nr. que es la dimensión

13

del total espacio de tensores de orden r. c) Como para toda aplicación lineal, cuando los productos

contractos de τ→ por los tensores de un conjunto σ→i son un conjunto independiente, también lo es σ→i.

d) La suma de dimensiones de Nucrτ→ y Ims-rτ

→ cada uno en su subespacio es nr. Efectivamente:

Si dim Nucrτ→ = nr, o sea todo el espacio, será nulo τ→,

así como la dimensión de su imagen.

Si dim Nucrτ→ = p<nr, adoptando una base σ→i de algún

subespacio suplementario de Nucrτ→, y por tanto de dimensión

q=nr-p, siempre se verificará: (q=nr-p): τ→(λ1σ

→1+...+λqσ

→q) = λ1τ

→σ→1+...+λqτ→σ→q

Como ningún σ→i pertenece al núcleo, el miembro primero

de la ecuación solo puede anularse cuando todos los λ sean nulos, y por lo tanto el 2º miembro se anulará si y sólo si todos los λ son nulos.

Ello conlleva que el conjunto τ→σ→i es independiente, y como sea que ya es un generador de Ims-rτ

→, será además una base. La dimensión de Ims-rτ

→ es pues q=nr-p.

1.06.- Tensor τ→ expresado como producto σ→i⊗µ→i

Siempre es posible expresar por σ→’i⊗µ→’i un tensor τ→ de

orden s≥2, ya que estos tensores se pueden considerar como sumatorios de productos tensoriales de vectores y éstos a su vez pueden resumirse así.

Vamos a exponer distintas características que se deducen de esta formulación de un tensor, suponiendo τ→ de orden s, los σ→’i de orden r<s y, por tanto los µ→’i de orden s-r.

1.07.- El subespacio A generado por los σ→’i contiene al subespacio N suplementario ortogonal de Nucrτ

→.

Sea en el espacio vectorial de los tensores de orden r, el subespacio A' ortogonal (y por tanto suplementario) del subespacio A engendrado por los σ→’i.

Como por hipótesis todo tensor v→ de A’ es ortogonal a todo tensor de A, y es de orden r, utilizando el 1º teorema fundamental, podremos escribir: τ→v→ = (σ→’i⊗µ→’i)v→ = (σ→’iv→)µ→’i = 0 ⇔ v→∈Nucrτ

→ ⇔ A’⊂Nucrτ→ ⇔ A⊃N

1.08.- El subespacio B generado por µ→’i contiene a

Ims-rτ→.

Pues los tensores de Ims-rτ

→ son los productos τ→λ→ de τ→ con

14

cualquier tensor λ→ de orden r y siempre pueden expresarse como función lineal de los µ→’i, ya que siendo escalares las expresiones (σ→’iλ→) se verifica: (1) τ→λ→ = (σ→’i⊗µ→’i)λ

→ = (σ→’iλ→)µ→’i

1.09.- Evidentemente, si los σ→'i no son independientes

podemos ponerlos en función de los tensores de una base σ→i, y entonces siempre podremos expresar τ→ de orden s por: (2) τ→ = σ→i⊗µ→i

adoptando una base σ→i cualquiera del espacio vectorial de los tensores de orden r.

1.10.- Sea τ→ expresado por (2). Si σ→i es la base dual de σ→i, se verifica µ→i = τ

→σ→i, pues por el 11 teorema fundamental tenemos: τ→σ→i = (σ

→j⊗µ→j)σ→i = (σ

→jσ→i)µ→j = µ→i y sustituyendo en (2) tenemos otra expresión de τ→: (3) τ→ = σ→i ⊗ τ→σ→i de utilización general cuando σ→i y σ→i son bases duales.

1.11.- El tensor τ→ de orden s representa la aplicación lineal que hace corresponder a los tensores base σ→i de orden r que figuran en (3), los tensores µ→i de orden s-r, y al resto de tensores base, el tensor nulo.

Pues acabamos de ver que τ→σ→i = µ→i.

Si los tensores σ→ son productos tensoriales de un tipo determinado, es fácil ver que τ→ representa asimismo la aplicación multilineal que hace corresponder, a cada conjunto ordenado de tensores factores, un tensor de orden s-r determinado.

Hallar la imagen de un tensor con toda aplicación lineal, se reduce siempre a practicar un producto contracto entre este tensor y el que representa la aplicación. El primero será un producto tensorial para una aplicación múltiple.

1.12.- El único tensor, tal que su producto contracto es nulo, con cualquier tensor de un espacio vectorial de tensores de un mismo orden cualquiera, es el tensor nulo.

Se deduce fácilmente del examen de las ecuaciones (1) y (3) según que el orden del tensor único sea superior o inferior al del espacio de tensores considerado.

1.13.- Elección de bases para que la expresión de τ→ que estamos estudiando tenga el mínimo de sumandos.

Habremos de tomar como base del espacio vectorial de

15

los tensores de orden r, la reunión de una base del subespacio N ortogonal a Nucrτ

→ y de una base de Nucrτ→. Efectivamente:

Atendiendo a la ecuación (3), y considerando los

tensores σ→i de orden r, si dim Nucrτ→ = p, los p sumandos

correspondientes a los σ→i de la base de Nucrτ→ serán nulos por

serlo los segundos factores, y quedarán nr-p sumandos no nulos correspondientes a la base del subespacio ortogonal a Nucrτ

→.

Como por '1.08 sabemos que el subespacio generado por τ→σ→i ha de contener a Ims-rτ

→, cuya dimensión según '1.05 es nr-p, el número de sumandos no nulos es irreducible.

1.14.- Siempre que la expresión τ→ = σ→i⊗µ→i esté escrita con un mínimo de sumandos para el orden r elegido para los tensores σ→ tal como se acaba de indicar, tendremos en consecuen-cia:

σ→i = Base subespacio ortogonal a Nucrτ→

µ→i = Base Ims-rτ

→.

1.15.- Se deduce fácilmente de '1.11 que el producto contracto de un tensor de orden s por un tensor de orden r es siempre un tensor. El orden del mismo es el módulo de s-r, y el tensor puede ser nulo.

La admisión del orden tensorial uno para los vectores y el orden cero para los escalares generaliza esta proposición a todos los casos posibles.

16

2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores.

2.01.- Transposición.

Sea λ→’un tensor producto tensorial cualquiera de s

vectores y λ→’ un tensor producto tensorial de los mismos s vectores que antes pero en un orden distinto, que solamente difiere del anterior en que se hallan permutados los factores de lugares de orden m y p. Diremos que λ→ y λ→’ son tensores transpuestos m,p.

Para tensores en general, diremos que un tensor es el tensor transpuesto m,p de τ→ y lo designaremos τ→~(m,p), cuando se verifique: (∀λ→): τ→~(m,p) λ→’ = τ→λ→ para cualquier par λ→ y λ→’ de productos tensoriales transpuestos m,p.

Por lo tanto dos tensores transpuestos m,p son del mismo orden, y éste es mayor ó igual que m y que p.

Dada una descomposición de τ→ en suma de productos tensoriales de vectores esta condición la cumple evidentemente un tensor suma de productos tensoriales de vectores que sean transpuestos m,p de los primeros.

Ejemplo de tensores transpuestos 2,4:

τ→ = ∑[αi(a→i⊗b→i⊗c→i⊗d→

i⊗e→

i)]

τ→~(2,4) = ∑[αi(a→i⊗d→i⊗c→

i⊗b→

i⊗e→

i)]

Para cualesquiera vectores h→,u→,v→,w→,q→ se tiene;

[∑(αia

→i⊗b→

i⊗c→i⊗d→

i⊗e→

i)](h→⊗u→⊗v→⊗w→⊗q→)=∑[αi(a

→ih→)(b

→iu→)(c→iv

→)(d→

iw→)(e→iq

→)] [∑(αia

→i⊗d→

i⊗c→i⊗b→

i⊗e→

i)](h→⊗w→⊗v→⊗u→⊗q→)=∑[αi(a

→ih→)(d

→iw→)(c→iv

→)(b→

iu→)(e→iq

→)] y ambos productos son efectivamente iguales.

Solo hay un tensor que cumpla con las condiciones exigidas al transpuesto. Si hubiera dos, tales como τ→1 y τ

→2, se

tendría: (∀λ→’): τ→1λ

→’ = τ→2λ

→’ ⇔ (τ→1 - τ

→2)λ→’ = 0

y por tanto, como cualquier tensor σ→ de orden s>1 puede descom-ponerse en suma de productos tensoriales de vectores, se tendría también: (∀σ→): (τ→1 - τ

→2)σ→ = 0 ⇔ τ→1 = τ

→2

2.02.- Cuando no hay duda sobre la clase de

17

transposición efectuada sobre un tensor τ→, al tensor transpuesto lo designaremos simplemente por τ~ ó bien τ→~.

2.03.- Consecuencias de la definición de tensor transpuesto:

1ª.- Si con la misma transposición τ→ se convierte en τ~ , y σ→ en σ~ , siendo τ→ y σ→ tensores en los que es posible la transposición en cuestión, se verifica: τ~σ~ = τ→σ→

2ª.- El módulo de un tensor no varía cuando efectuamos en él cualquier transposición.

3ª.- Con la transposición de un tensor, los índices de sus coeficientes experimentan el mismo tipo de transposición.

Para una transposición (2,4), representando con apóstrofe los coeficientes del tensor transpuesto, tendremos por ejemplo: t’ij

klm=ti

lk

j

m; t’ijklm=tilkjm; etc.

18

3.- Simetría y antisimetría m,p

3.01.- Definición. Decimos que un tensor tiene simetría

m,p cuando es igual a su transpuesto m,p y que tiene antisimetría m,p cuando es opuesto.

Por consiguiente, dado un tensor por una suma de productos tensoriales de vectores, diremos que tiene simetría m,p si y sólo si es igual al tensor expresable por una suma de productos tensoriales de vectores, que difieren de los anteriores por la permutación de los factores de lugares m y p. Diremos que tiene antisimetría m,p si y sólo si resulta ser opuesto.

3.02.- Si un tensor tiene simetría m,p, un coeficiente tensorial cualquiera es igual al coeficiente que corresponde a la permutación de los índices de lugares m y p. Para un tensor antisimétrico m,p, estos coeficientes son opuestos. Ejemplos: Simetría 2,4: tij

kmq= ti

mk

j

q; tijkmq= timkjq; etc.

Antisimetría 2,4: tij

kmq=-ti

mk

j

q; tijkmq=-timkjq; etc.

Por tanto, en este último caso, para m=j y para todos

los tipos de coeficiente en que ambos están a un mismo nivel, los coeficientes son nulos (p.e.: tijkjq = 0).

3.03.- Evidentemente, para que un tensor de orden r dado por sus coeficientes en alguna base, sea simétrico o antisimétrico m,p, es necesario y suficiente que la propiedad anterior de los coeficientes de índices permutados, la verifiquen la totalidad nr de coeficientes de un único tipo cualquiera.

3.04.- Es fácil deducir que el conjunto de los tensores

simétricos m,p de un mismo orden r constituye un subespacio vectorial del espacio vectorial de los tensores de orden r y que lo mismo ocurre con los antisimétricos m,p.

Estos subespacios son disjuntos, pues son ortogonales entre sí como vamos a ver.

Efectivamente, si tenemos cualquier tensor τ→ con simetría m,p, y otro tensor cualquiera σ→ del mismo orden con antisimetría m,p, y consideramos los tensores τ~ y σ~ respectivamente transpuestos m,p de los anteriores, tendremos por '2.03: τ→σ→ = τ~σ~ y como además se verifica: τ~ = τ→; σ~ = -σ→ al multiplicar estas últimas igualdades miembro a miembro resulta:

19

τ→σ→ = -τ→σ→ ⇔ τ→σ→ = 0

3.05.- La dimensión del subespacio de los tensores de simetría m,p, puede verse que es:

n2

1n2-r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

siendo n la dimensión del espacio vectorial fundamental y r el orden de los tensores considerados.

El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 con repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una.

El segundo factor es el número posible de variaciones con repetición de orden r-2 que pueden formarse con n elementos tomados r-2 a r-2 en cada una.

3.06.- La dimensión del subespacio de los tensores de orden r con antisimetría m,p puede verse que es:

n2

n 2-r⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

siendo n la dimensión del espacio fundamental.

El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 sin repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una. El segundo factor es el mismo que en '3.05.

Este subespacio es suplementario del anterior, pues la

suma de sus dimensiones es la dimensión nr.

20

4.- Simetría y antisimetría 1,2.

4.01.- Sea un tensor τ→ de simetría 1,2 expresado por:

τ→ = v→⊗σ→ siendo v→ un vector y σ→ un tensor de cualquier orden.

Para algún tensor ρ→ de orden inferior en una unidad al de σ→ se verificará: (∃ρ→): τ→ = v→⊗v→⊗ρ→

Efectivamente. Si la expresión de σ→ como suma de productos tensoriales vector-tensor con un mínimo de sumandos, es la siguiente: σ→ = w→i⊗µ→i tendremos τ→ = v→ ⊗ w→i ⊗ µ→i

Por la simetría 1,2 de τ→ se verifica:

(v→⊗w→i⊗µ→i)(a→⊗b→)=(v→⊗w→i⊗µ→i)(b→⊗a→) ⇔ (v→a→)(b

→w→i)µ→i=(v→b

→)(a→w→i)µ→i

⇔ [(v→a→)(b

→w→i) - (v

→b→)(a→w→i)]µ→i = 0

y por ser linealmente independientes los tensores µ→i: (∀i): 0 = (v→a→)(b→w→i) - (v

→b→)(a→w→i) = [(v

→a→)w→i - (a→w→i)v

→]b→

y por ser b

→ un vector cualquiera:

(∀i): (v→a→)w→i = (a

→w→i)v→

Por ser linealmente independientes los w→i es necesario

que su conjunto conste de un vector único λv→, que utilizado en la última ecuación, la verifica.

Por otra parte, la condición es suficiente para que la nueva expresión de τ→ sea la de un tensor con simetría 1,2.

Tendremos por lo tanto que el tensor ρ→ es igual al único tensor µ→i.

4.02.- La propiedad anterior relativa a la simetría 1,2 puede extenderse a otras simetrías por el método que se desarrolla a continuación.

Sea el tensor τ→ simétrico 2,4 expresado por: τ→ = ∑(r→i⊗v

→⊗h→i⊗u→

i)

Tendremos análogamente:

21

τ→ = ∑(r→’i⊗v

→⊗h→’i⊗v→)

puesto que por transposiciones sucesivas tenemos: τ~ = ∑(v→⊗u→i⊗r

→i⊗h→

i) con simetría 1,2 y por tanto: τ~ = ∑(v→⊗v→⊗r→’i⊗h

→’i)

y por transposiciones inversas obtenemos el anterior resultado.

4.03.- Así pues, podemos decir en general:

Si un tensor expresado como producto tensorial tiene un único factor vectorial v→ en el lugar m y tiene simetría m,p, se puede expresar también como producto tensorial con el mismo factor vectorial v→ único no sólo en el lugar m sino en el p.

4.04.- Sea un tensor expresado como producto tensorial que tiene un único factor vectorial en el lugar m. Este tensor no puede ser antisimétrico m,p.

Para demostrarlo bastará comprobar que el tensor τ→=v→⊗σ→ no puede ser antisimétrico m,p.

Pues si así fuera, procediendo como en '4.03, hallaríamos que debería verificarse (v→a→)w→i = -(a

→w→i)v→

y tendríamos por una parte, que por ser linealmente independientes los w→i sería necesario que su conjunto constara de un solo vector λv→ y por otra parte, sustituyendo este valor en la igualdad final, tendríamos también: λ(v→a→)v→ = - λ(a→v→)v→ lo que es imposible al ser a→ cualquier vector.

4.05.- Se deduce inmediatamente de la propiedad anterior que un tensor expresable por un único producto tensorial de vectores, no puede tener ninguna antisimetría.

22

5.- Tensores totalmente antisimétricos

5.01.- Definición y propiedades generales.

Un tensor es totalmente antisimétrico, cuando es

antisimétrico respecto a cualquier par de posiciones.

En consecuencia de la definición y de lo dicho en párrafos anteriores podemos establecer para los tensores totalmente antisimétricos las siguientes características:

1ª.- Un tensor totalmente antisimétrico expresado como un sumatorio de productos tensoriales de vectores, lo que en todo tensor es posible, no varía si efectuamos una misma permutación par entre los factores de cada sumando, y se transforma en su opuesto con una misma permutación impar cualquiera.

Entendemos por permutación par el resultado de dos o de un número par de permutaciones sucesivas entre cualesquiera pares de posiciones, y por permutación impar el resultado de una sola o un número impar de permutaciones sucesivas.

Si P es el conjunto de permutaciones pares pP y I el conjunto de permutaciones impares pI, podremos escribir: τ→ = ∑i(a

→i⊗b→i⊗..⊗r→i)= ∑i[pP(a

→i⊗b→i⊗..⊗r→i)]= -∑i(pI(a

→i⊗b→

i⊗..⊗r→i)]

2ª.- Dado un tensor totalmente antisimétrico τ→ de orden q y otro tensor cualquiera σ→ de los que se puedan determinar los transpuestos (m,p) expresados respectivamente por τ~ y σ~, de acuerdo con '2.03 1ª, tendremos τ→σ→ = τ~σ~ = -τ→σ~

Ejemplo para q>2; m=1; p=2: τ→(a→⊗b→⊗c→⊗..r→) = - τ→(b→⊗a→⊗c→⊗..r→) lo que implica: (τ→a→)(b→⊗c→⊗..⊗r→) = -(τ→b→)(a→⊗c→⊗..r→)

3ª.- Por consiguiente el producto contracto de tal tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden q, por cualquier tensor que presente alguna simetría entre dos de sus primeras q posiciones, es nulo, o sea que ambos tensores serán ortogonales.

5.02.- Sea la expresión general de un tensor τ→ (4) τ→ = tij..r(e→i⊗e

→j⊗..⊗e→r) = t

i

j

..r(e→i⊗e→j⊗..⊗e→r) = .....

Si el tensor es totalmente antisimétrico, se

verificarán las siguientes propiedades:

1ª.- Los coeficientes tensoriales de un mismo tipo se

23

transforman en sus opuestos con una permutación impar de sus índices y no varían con una permutación par. Ejemplo: (5) tij

k = -tji

k = -tk

ji = -ti

k

j = tk

ij = tj

k

i y para igual valor de dos subíndices o bien de dos supraíndices, el coeficiente es nulo.

2ª.- Si consideramos un solo tipo de coeficientes de un tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden q construido sobre un espacio euclidiano de n dimensiones, deducimos:

a) No existen tensores totalmente antisimétricos no nulos de orden superior a n. Puesto que todos los coeficientes tendrían a la fuerza un índice repetido y por tanto serían nulos.

b) Los coeficientes no nulos pueden agruparse en tantos grupos como combinaciones sin repetición de n elementos tomados de q en q, de manera que a cada grupo correspondan q! coeficientes de igual valor absoluto (q! son las permutaciones de q elementos).

El número de grupos es pues ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛q

n

c) Si consideramos un orden preestablecido (p. Ej. creciente) para los valores numéricos de los índices, en cada grupo habrá un sólo coeficiente dispuesto con arreglo a este orden, al que llamaremos coeficiente estricto y expresaremos por t(ij..r).

d) Si en la expresión general de τ→ sacamos factor común los coeficientes estrictos, tendremos otra expresión de τ→: (6) τ→ = t(ij..r)[∑p∈Pp(e

→i⊗e→

j⊗..⊗e→r) - ∑p∈Ip(e→

i⊗e→

j⊗..⊗e→r)] que debe entenderse como sumatorio de tantos tensores como coeficientes estrictos.

e) De la expresión anterior, se deduce esta otra:

(7) τ→ = q!1tij..r[∑p∈Pp(e

→i⊗e→

j⊗..⊗e→r) - ∑p∈Ip(e→

i⊗e→

j⊗..⊗e→r)]

al considerar que cada coeficiente estricto corresponde a tantos coeficientes ordinarios como permutaciones q! de q elementos.

5.03.- Con un espacio vectorial fundamental de n dimensiones, el conjunto de tensores distintos totalmente antisimétricos de orden q, constituye un subespacio vectorial de los tensores de orden q. Por lo que antecede, vemos que su dimensión coincide con el número de componentes estrictas, o sea de grupos, correspondientes a n y a q. Para n=q es uno, con una sola componente estricta y un sólo grupo. En general es:

24

Dimensión = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q

n

5.04.- Cuando un tensor τ→ de orden s es totalmente

antisimétrico, Nucrτ→ y Imrτ

→ son ortogonales suplementarios.

Puesto que la expresión τ→=σ→i⊗µ→1 de τ→ con un mínimo de

sumandos, sabemos por '1.14 que implica:

σ→i = Base subespacio ortogonal a Nucrτ→.

µ→1 = Base de Ims-rτ→.

Y con τ→ totalmente antisimétrico tendremos τ→=±µ→i⊗σ→i

también con un mínimo de sumandos, y por tanto:

µ→i = Base subespacio ortogonal a Nucs-rτ→

σ→i = Base de Imrτ→

5.05.- Producto exterior.

Llamamos producto exterior de los vectores a→,b→,...r→ y

lo expresamos por a→∧b→∧..∧r→, al siguiente tensor: (8) a→∧b→∧..∧r→ = ∑p∈Pp(a

→⊗b→⊗..⊗r→) - ∑p∈Ip(a→⊗b→⊗..⊗r→)

que es evidentemente un tensor totalmente antisimétrico.

5.06.- Ejemplo de producto exterior: a→∧b→∧c→ = a→⊗b→⊗c→ + b→⊗c→⊗a→ + c→⊗a→⊗b→ - a→⊗c→⊗b→ - b→⊗a→⊗c→ - c→⊗b→⊗a→

5.07.- Empleando productos exteriores las ecuaciones (6) y (7) quedan de la siguiente manera:

τ→ = t(ij..r)(e→i∧e→

j∧..∧e→r) = q!1tij..r(e→i∧e

→j∧..∧e→r)

Si en la primera ecuación sustituimos (e→i∧e

→j∧..∧e→r) por

[e→(ij..r)], tendremos: (9) τ→ = t(ij..r)e→(ij..r) y de esta manera, se puede aplicar el convenio de Einstein a los índices considerados en bloque. También se tendrá: e→(ij..r)e→(i'j'..r') = δ

(ij..r)

(i'j'..r') = simbolo de Kronecker t(ij..r) = τ→e→(ij..r); t(ij..r) = τ

→e→(ij..r)

5.08.- En álgebra exterior se estudian las propiedades de este producto y aquí nos limitaremos a enunciar algunas.

1ª La multiplicación exterior es asociativa y distributiva. Para multiplicar por un escalar basta multiplicar un factor.

25

2ª Una permutación par de factores vectoriales no altera el

producto exterior y una permutación impar lo convierte en su opuesto.

3ª Un producto exterior nulo corresponde a un conjunto de factores no independiente y recíprocamente.

4ª Si n es la dimensión del espacio vectorial de los factores, un producto de más de n factores es nulo.

5ª Todo tensor totalmente antisimétrico de orden n, por ser uno la dimensión de su subespacio, puede expresarse siempre con un único producto exterior de n vectores.

6ª En la expresión general de un tensor π→ producto exterior de orden q≤n, en función de una base e→i de E n-dimensional: (m→=mie→i;..s

→=ske→k): π→ = m→∧n→∧..∧s→ = p(ij..r)e→(ij..r)

se verifica:

V .. V V Det =

s..nm

.....

s..nm

s..nm

= p snm

rrr

jjj

iii

(ij..r)

siendo las Vi las matrices columna (ó bien fila) de los coeficientes de los factores respecto a e→i,ej,..e

→r.

7ª No todos los tensores totalmente antisimétricos pueden

representarse por un producto exterior para dimensión E n>3.

5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimétrico τ→ no nulo de orden q (q igual o menor que la dimensión n del espacio E fundamental).

La expresión de τ→ en bases e→i y e→i duales, es

τ→ = tij..r(e→i⊗e

→j⊗..⊗e→r) = t

(ij..r)e→(ij..r) τ→ = tij..r(e

→i⊗e→j⊗..⊗e→r) = t(ij..r)e→(ij..r)

Teniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q!

productos iguales tij..rtij..r para cada coeficiente estricto, se verificará: (10) τ→τ→ = tij..rtij..r = q! t

(ij..r)t(ij..r) y por lo tanto: (11) e→(ij..r)e

→(ij..r) = q!

En los textos de álgebra exterior se define en general

26

como norma especial para estos tensores, el valor t(ij..r)t(ij..r) mientras que aquí hemos conservado el concepto general.

5.10.- Sea σ→ un tensor totalmente antisimétrico cualquiera de orden s, y sean q vectores a→,b→,..,r→, con q≤s.

De acuerdo con (8) y '5.01-2ª, se verifica:

(12) q!1 σ→(a→∧b→∧..∧r→) =

q!1 σ→[∑p∈Pp(a

→⊗b→⊗..⊗r→) - ∑p∈Ip(a→⊗b→⊗..⊗r→)]=

= σ→(a→⊗b→⊗..⊗r→)

5.11.- Sea e→i una base de E n-dimensional, y el conjunto de n vectores v→j tales que v

→i= τ

→e→i. En virtud de '5.08-6ª habrá un único componente y podremos escribir: (13) π→ = v→1∧v

→2∧..v

→n = τ

→e→1∧τ→e→2∧..∧τ→e→n = (Dettj

i)e→(12..n)

Si el conjunto hubiera sido de solamente q<n vectores, y no coincidieran los subespacios generados por v→i y por e

→i,

habría más componentes. Para cada uno, y según '5.08-6ª, p(αβ..µ) sería igual al determinante de la matriz extraída de tj

i para los q valores α,β,..,y µ de i así como de j, y tendríamos: v→α∧v→β∧..v→µ = τ→e→α∧τ→e→β∧..∧τ→e→µ = (Det tj

i(αβ..µ))e→(αβ..µ)

En este caso, habrá que tener también en cuenta que

ahora τ→ no queda determinado por solo q<n vectores v→.

5.12.- Escalares polares.

Si el espacio fundamental es n-dimensional, los tensores totalmente antisimétricos de orden n, vemos por '5.03 que constituyen un subespacio vectorial unidimensional de los tensores de orden n, y por lo tanto podremos hacer que a cada tensor totalmente antisimétrico corresponda un escalar, de tal modo que a suma de tensores corresponda suma de escalares y que a producto de escalar por tensor corresponda el producto de este escalar por el escalar correspondiente al tensor. Al escalar correspondiente a cada tensor le denominaremos escalar polar de este tensor y lo expresaremos así: Escalar polar de v→1∧v

→2∧..∧v→n = (v

→1∧v→2∧..∧v→n)’

y a la ecuación (13) entre tensores, corresponderá entre escalares: (14) (v→1∧v

→2∧..∧v→n)’ = (Det V1 V2 .. Vn)(e

→1∧e→2∧..∧e→n)’

5.13.- Producto de dos escalares polares.

Si relacionamos el primero con una base e→i y al

27

segundo con la base dual e→i) podremos escribir: (v→1∧v

→2∧..∧v→n)’ = (Det V1 V2 .. Vn)(e

→1∧e→

2∧..∧e→n)’

')e..ee(

~W

..

~W

~W

Det = ')w..ww( n21

n

2

1

n21 rrrrrr ∧∧∧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∧∧∧

Pero tenemos:

= V.. V V

~W

..

~W

~W

Det = ]V.. V VDet][

~W

..

~W

~W

Det[ n21

n

2

1

n21

n

2

1

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= DetW~jVi = Det w

→jv→i y por lo tanto, el producto contracto miembro a miembro resulta: ((v→1∧v

→2∧..∧v→n)’(w

→1∧w→2∧..∧w→n)’ = [Detw→jv→i](e→

i∧..∧e→n)’(e→i∧..∧e→n)’

5.14.- Si un producto exterior de q vectores no es

nulo, tiene por factores q vectores independientes, según se dijo en '5.08-3ª. Por consiguiente, cuando n es la dimensión del espacio vectorial fundamental, si un producto exterior de n vectores no es nulo, podemos considerar que estos vectores constituyen una base del espacio fundamental.

5.15.- En el caso de que w→i sea la base v→i dual de v→i, tendremos Detw

→jv→i = 1, y la última ecuación queda así: (v→1∧v

→2∧..∧v→n)’(v

→1∧v→2∧..∧v→n)’ = (e→i∧..∧e→n)’(e→i∧..∧e→n)’

Así pues, los productos de los escalares polares

correspondientes a bases duales, coinciden para todos los pares de bases duales. Esto ocurrirá también con un par de bases duales ortonormales, que son coincidentes, y por tanto este producto constante será igual al cuadrado del escalar polar correspondien-te a cualquier base ortonormal.

Conviniendo que este cuadrado sea la unidad, tendremos que el producto de los escalares polares correspondientes a cualquier par de bases duales es siempre uno.

5.16.- En virtud de esta convención, el escalar polar correspondiente a cualquier base ortonormal será uno o menos uno. Si para un orden determinado de los vectores de una base ortonormal asignamos el valor uno, con una permutación impar de este orden resultará el valor menos uno.

28

Tendremos pues dos tipos de bases: las positivas y las

negativas y también obtenemos la siguiente expresión intrínseca: (15) (v→1∧v

→2∧..∧v→n)’(w

→1∧w→2∧..∧w→n)’ = Detw→jv→i

5.17.- Tensor de Ricci.

Sean las ecuaciones (12) y (14) antes deducidas: v→1∧v

→2∧..∧v→n = (Det V1 V2 .. Vn)(e

→1∧e→2∧..∧e→n)

(v→1∧v→2∧..∧v→n)’ = (Det V1 V2 .. Vn)(e

→1∧e→2∧..∧e→n)’

en las que v→i y (e→j son bases cualesquiera del espacio fundamental.

Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones, y expresando por ε→ el tensor cociente, tendremos:

)e..ee(

e..ee = )v..vv(

v..vv = n21

n21

n21

n21

′∧∧∧∧∧∧

′∧∧∧∧∧∧

rrr

rrr

rrr

rrrrε

El tensor ε→ se llama tensor de Ricci y tenemos que en

la forma indicada, su expresión no varía con la base del espacio fundamental utilizada.

Si adoptamos una base ortonormal cualquiera de orden vectorial positivo, su expresión se simplifica así: ε→ = f→1 ∧ f→2 ∧ .. ∧ f→n

y de esta última expresión se deduce inmediatamente que su escalar polar es +1.

Como el tensor de Ricci es un tensor totalmente antisimétrico de orden n igual a la dimensión del espacio vectorial fundamental, tiene un solo coeficiente estricto que vale +1 y su norma es n! de acuerdo con '5.09.

5.18.- Otras propiedades generales del tensor de Ricci.

1ª.- Producto contracto de ε→ con un producto tensorial de orden s no superior al de ε→, tal como σ→=e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s.

Por (12) siempre tendremos:

(16) ε→(e→1⊗e→2⊗..⊗e→s) = s!

1 ε→(e→1∧e→

2∧..∧e→s)

y se pueden presentar dos casos.

a) Si los s factores no forman un sistema linealmente independiente, el producto es nulo pues lo es el producto exterior del segundo miembro.

29

b) Si los s factores forman un sistema linealmente

independiente, completaremos a partir de ellos una base e→i del espacio. Utilizando la base dual para expresar ε→ tendremos:

ε→(e→1⊗e→

2⊗..⊗e→s) = )e..ee(e..een21

n21

′∧∧∧∧∧∧rrr

rrr(e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s)

Como el numerador de la fracción es un sumatorio de

productos tensoriales y debe multiplicarse por el producto tensorial σ→= e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s, podemos suprimir todos aquellos

sumandos cuyos productos con σ→ se anulen y el producto contracto quedará de la siguiente forma: (e→1∧e→2∧..∧e→n)(e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s)=

(17) [(e→1⊗e→2⊗..⊗e→s)⊗(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)](e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s) = e

→s+1∧e→s+2∧..∧e→n

El denominador es el inverso de (e→1∧e→

2∧..∧e→n)’

Sustituyendo estos resultados tendremos finalmente: ε→(e→1⊗e

→2⊗..⊗e→s) = (e

→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→1∧e→

2∧..∧e→n)’ y teniendo en cuenta (16)

(18) ε→(e1⊗..⊗e→s)=(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’=s!

1 ε→(e→1∧..∧e→s)

5.19.- En el caso particular de que s=n, ó sea de un

producto tensorial de n factores tendremos:

ε→(e→1⊗e→2⊗..⊗e→n) = n!

1 ε→(e→1∧e→2∧..∧e→n) = (e

→1∧e→

2∧..∧e→n)’

y los dos últimos miembros nos indican una utilización del tensor ε→ para la obtención del escalar polar de un producto exterior de orden n.

5.20.- Tensores adjuntos o polares.

Llamamos tensor adjunto de un tensor τ→ de orden s≤n totalmente antisimétrico, al tensor τ→’ de orden n-s siguiente:

(19) τ→’ =s!1 ε→τ→

Por lo visto en '5.11, τ→’ es totalmente antisimétrico,

y consideraremos también así a vectores y escalares.

Observaremos que la fórmula obtenida en el párrafo anterior, en relación con el escalar polar de un producto exterior de orden n, se ajusta a la fórmula general que acabamos

30

de obtener. 5.21.- Si τ→ es un producto exterior, aplicando

sucesivamente la fórmula general, la (16) y después (18), tendremos:

(20) (e→1∧e→2∧..∧e→s)’ = s!

1 ε→(e→1∧e→2∧..∧e→s) = ε

→(e→1⊗e→2⊗..⊗e→s) =

=(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→1∧e→2∧..∧e→n)’

5.22.- La ecuación anterior relaciona el tensor polar

de un producto exterior e→1∧e→

2∧..∧e→s parcial, con el tensor (escalar) polar de un producto exterior e→1∧e

→2∧..∧e→s∧..∧e→n

completo.

Vamos a obtener ahora la relación entre el tensor polar del mismo producto exterior parcial anterior y el tensor polar de un producto exterior intermedio e→1∧e

→2∧..∧e→s∧..∧e→s+r con s+r ≤ n.

Por lo dicho en el párrafo anterior, tenemos:

(e→1∧e

→2∧..∧e→s∧..∧e→s+r)’ = (e

→s+r+1∧..∧e→n)(e→1∧e→

2∧..∧e→n)’

El primer factor del 2º miembro podemos expresarlo así: e→s+r+1∧..∧e→n=[(e→s+1⊗..⊗e→s+r)⊗(e→s+r+1∧..∧e→n)](e→s+1⊗..⊗e→s+r) y análogamente a lo visto para los dos primeros miembros de (17), pero partiendo esta vez del factor s+r+1 en lugar del factor 1, podemos transformarlo de nuevo de esta manera: e→s+r+1∧..∧e→n=(e→s+1∧..∧e→s+r∧e→s+r+1∧..∧e→n)(e→s+1⊗..⊗e→s+r)=

Sustituyendo tenemos: (e→1∧e

→2∧..∧e→s+r)’=(e

→s+1∧..∧e→n)(e→s+1⊗..⊗e→s+r)(e→1∧e→

2∧..∧e→n)’= y teniendo en cuenta (20): (21) (e→1∧e

→2∧..∧e→s+r)’=(e

→1∧e→

2∧..∧e→s)’(e→s+1⊗..⊗e→s+r)

Finalmente, como para cada uno de los r! sumandos

productos tensoriales que constituyen e→s+1∧..∧e→s+r el resultado de su producto contracto por (e→1∧e

→2∧..∧e→s)’ es el mismo, también

tendremos:

(e→1∧e→

2∧..∧e→s+r)’ = r!1(e→1∧e

→2∧..∧e→s)’(e

→s+1∧..∧e→s+r)

5.23.- Casos particulares.

1º.- s+r = n.

31

La última ecuación podremos escribirla así: (e→1∧e

→2∧..∧e→s)’(e

→s+1∧e

→s+2∧..∧e→n) = (n-s)! (e

→1∧e→

2∧..∧e→n)’

2º.- s = n-1. Es un subcaso del anterior para r=1.

Aplicando (21) tenemos (e→1∧e

→2∧..∧e→n)’=(e

→1∧e→2∧..∧e→n-1)’e

→n

de donde deducimos que el vector (e→1∧e

→2∧..∧e→n-1)’ es el que con

cualquier vector a→ verifica: (e→1∧e

→2∧..∧e→n-1)’a

→ =(e→1∧e→

2∧..∧e→n-1∧a→)’

y es por tanto ortogonal a e→1,e

→2,.., y a e

→n-1, ya que el que a

→ coincida con uno de estos vectores o sea función lineal de los mismos, es suficiente para anular el segundo miembro.

5.24.- Algunas propiedades de los tensores polares.

Para su estudio consideraremos que los escalares que multiplican a los tensores son coeficientes y no tensores y que se verifica (ατ→)’ = ατ→’ y recordaremos que para bases duales (e→1∧e

→2∧..∧e→n)’(e

→1∧e→2∧..∧e→n)’ = 1

La ecuación (20) dice así: (e→1∧e

→2∧..∧e→s)’ = (e

→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→1∧e→2∧..∧e→n)’

que también podemos aplicar con bases duales, resultando: (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)’ = (e→1∧e

→2∧..∧e→s)(e

→s+1∧..∧e→n∧e→1∧..∧e→s)’

Los tensores polares (escalares) que figuran en la segundos miembros de ambas ecuaciones tienen valores inversos y el que tengan el mismo signo u opuesto sólo dependerá de si n y s son impares ó pares.

Señalaremos las siguientes propiedades:

1ª.- Sean τ→ y σ→ tensores totalmente antisimétricos del mismo orden s, y α y β escalares. Se verifica que la determinación del tensor polar es una aplicación lineal:

(ατ→+βσ→)’ = s!1 ε→(ατ→+βσ→) = σεβτεα rrrr

s!1

+ s!1

= ατ→’ + βσ→’

2ª.- El tensor polar del tensor polar de un tensor τ→

totalmente antisimétrico, es este mismo tensor (salvo el signo).

Cuando τ→ = e→1∧e→2∧..∧e→s es un producto exterior, en el

párrafo anterior se ha calculado τ→’ y por tanto: (τ→’)’ = [(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→1∧e

→2∧..∧en)’]’

32

(τ→’)’ = (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)’(e→1∧e

→2∧..∧en)’

Pero el valor de (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)’ calculado en dicho

último párrafo es: (e→1∧e

→2∧..∧e→s)(e

→s+1∧..∧e→n∧e→1∧..e→s)’ = τ→(e→s+1∧..∧e→n∧e→1∧..∧e→s)’ y sustituyendo: (τ→’)’ = τ→[(e→s+1∧..∧e→n∧e→1∧..e→s)’(e→1∧e

→2∧..∧en)’] =

= τ→[±(e→1∧e→2∧..∧e→n)’](e→1∧e

→2∧..∧e→n)’ = ±τ

→ Finalmente, teniendo en cuenta la propiedad 1ª antes examinada y que todo tensor totalmente antisimétrico es un sumatorio de productos exteriores resulta que la última igualdad es válida para todo tensor totalmente antisimétrico, con un signo que depende del orden impar o par del tensor.

3ª.- Consecuencia de la propiedad anterior, es que si dos tensores totalmente antisimétricos (incluídos vectores y escalares) tienen igual tensor polar, son iguales.

4ª.- De la ecuación (20) se deduce que, excepto para los tensores totalmente antisimétricos de orden 0 ó n, un tensor totalmente antisimétrico es ortogonal a su tensor polar.

5ª.- Todo tensor completamente antisimétrico de orden n-1 construido sobre un espacio vectorial n-dimensional, se puede igualar a algún producto exterior.

Sea el vector s→1 polar de un tensor τ→ de orden n-1, y

s→i una base del espacio vectorial que incluye a s→

1.

Podremos escribir de acuerdo con (20) ±τ→ = (τ→’)’ = (s→1)’ = (s

→2∧s→3∧..∧s→n)(s→1∧s→

2∧..∧s→n)’ y como todos los factores s→2,s→3,..,s→n del producto exterior son ortogonales a s→1 tendremos también; τ→s→1 = 0

→

5.25.- Componente totalmente antisimétrica de un tensor

τ→ cualquiera.

Recordemos la ecuación (12)

σ→(a→⊗b→⊗..⊗r→) = q!1 σ→(a→∧b→∧..∧r→)

en que σ→ es un tensor totalmente antisimétrico de orden s no inferior al orden q del producto exterior siguiente.

33

Como el producto contracto de un tensor σ→ totalmente

antisimétrico, por un tensor de orden no superior que presenta alguna simetría, es nulo, tendremos que el tensor

q!1(a→∧b→∧..∧r→)

que es totalmente antisimétrico, es la proyección ortogonal de a→⊗b→⊗..⊗r→ de orden q sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente antisimétricos de orden q.

Por consiguiente, la proyección ortogonal o componente totalmente antisimétrica de un tensor τ→ cualquiera de orden q τ→ = tij..r(e→i⊗e

→j⊗..⊗e→r)

será

)e..ee(t q!1

= rjiij..r

arrrr ∧∧∧τ = t(ij..r)(e→i∧e

→j∧..∧e→r)

y se verificará: σ→τ→ = σ→τ→a

Los coeficientes estrictos de τ→a son:

)t - t(q!1

=t p(ij..r)Ip

p(ij..r)Pp

(ij..r) ∑∑ ∈∈

Si en vez de usar un tensor totalmente antisimétrico σ→

cualquiera utilizamos el tensor ε→ de Ricci se verificará:

)(q)!-(nq!

1 = ;’q! =

q!1

q! = = aaaa τεετττετετε rrrrrrrrrrr

5.26.- Producto contracto. El producto contracto de

cualquier tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden q por un tensor cualquiera σ→ de orden s con s ≤ q, si no es un escalar ni un vector, es un tensor totalmente antisimétrico.

Expresemos τ→ por un sumatorio de productos tensoriales y distingamos los s primeros factores. Tendremos:

∑ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗

i iiiii )]t..p()r..ba[(=rrrrrrτ

y haciendo αi=σ

→(a→i⊗..⊗r→i) resulta para τ→σ→ la siguiente expresión:

∑ ⊗⊗

i iii )]t..p([ = rrrr

αστ

de un tensor totalmente antisimétrico, por serlo también τ→.

34

5.27.- Volúmenes.

Sea un tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden n, y

como tal, expresable por un único producto exterior.

τ→ = a→1∧a→

2∧..∧a→n

Designemos por A1 el subespacio unidimensional de base a→1, por A2 el subespacio bidimensional de base a

→1,a→2 y en general

por Ai el espacio i-dimensional de base a→

1,a→2,..,a

→i.

Además, expresemos por H2 al subespacio de A2 ortogonal

al A1, por H3 al subespacio de A3 ortogonal al A2, y en general por Hi al subespacio de Ai ortogonal al Ai-1, siendo unidimensionales todos los H.

Para i≥2, cada vector a→i puede descomponerse en forma única en dos sumandos: uno de Hi y el otro de Ai-1: (h

→i∈Hi; m

→i∈Ai-1): a

→i = h

→i + m

→i

y dado que m→i no es independiente de a→1,a

→2,..,a

→i-1, podemos

sustituir en el producto exterior, los vectores a→i por los h→i, sin

alterar el valor del producto, y así obtendremos: τ→ = a→1∧a

→2∧..∧a→n = a

→1∧h→2∧h→

3∧..∧h→n

Los vectores h→

i junto con el a→1 forman un sistema ortogonal. Si hi es el módulo de h

→i y e

→i es el vector que verifica

h→i=hie→

i, el conjunto e→i resulta ser una base ortonormal del

espacio fundamental y podremos escribir: (22) τ→ = a→1∧a

→2∧..∧a→n = a1h2h3..hn (e

→1∧e→

2∧..∧e→n) (a→1∧a

→2∧..∧a→n)’ = a1h2h3..hn (e

→1∧e→

2∧..∧e→n)’ = ±a1h2h3..hn = V pues por '5.16 sabemos que el escalar (e→1∧e

→2∧..∧e→n)’ vale 1 ó -1

según que la base sea positiva o negativa.

Como el escalar a1h2h3..hn es igual al volumen V del paralelepípedo determinado por el origen y los puntos a→1,a

→2,..,a

→i,

al que llamaremos paralelepípedo generado por a→i, por (22) deducimos que el único coeficiente estricto de τ→, es ±V con la base utilizada. Así pues, y considerando volúmenes positivos y negativos, podemos escribir con toda base ortonormal: τ→’ = (a→1∧a

→2∧..∧a→n)’ = V = ±t

(ij..r) ⇒ (a→1∧a→2∧..∧a→n) = Vε

→

Siendo t(ij..r) raíz cuadrada de la expresión de τ→τ→(n!)-1 en base ortonormal ('5.09), la fórmula general para cualquier base y su dual, con τ→=t(ij..r)e→(ij..r)=t(ij..r)e

→(ij,,r), será pues:

(23) τ→’ = (a→1∧a→2∧..∧a→n)’ = V = ± )t)(t( (ij..r)

(ij..r)

35

y siempre V es el tensor (escalar) polar de τ→.

Bajo el punto de vista de determinar un volumen, a todo tensor producto exterior de orden n, también le llamaremos tensor volumen, expresado por V

→. Su tensor polar es el escalar V.

5.28.- Vamos a aplicar lo dicho en estos párrafos

anteriores sobre productos exteriores de orden n, a productos exteriores de orden q<n, tales como τ→q = a

→1∧a→

2∧..∧a→q.

Siguiendo los mismos razonamientos y limitándonos a considerar el subespacio generado por a→i, podemos definir como volumen del tensor, y también como volumen del paralelepípedo generado por a→i, al escalar Vq que para cualquier base ortonormal del subespacio verifica: τ→q = (a

→1∧a→

2∧..∧a→q) = Vq(e→

1∧e→2∧..∧e→q)

Esta misma expresión es válida, al considerar todo el

espacio E con una base ortonormal que incluya a la del subespacio generado por a→i. Entonces Vq coincide con t

(1,2,..,q).

Finalmente, para cualquier base de E tendremos:

Vq = )t)(t( (ij..r)(ij..r)

Al mismo tensor τ→q le llamaremos tensor volumen V

→q del

paralelepípedo generado.

Cuando un tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden q, puede expresarse con un solo producto exterior, podremos hablar de volumen del mismo con el significado que hemos visto. Si no puede expresarse así, siempre existirá para él un invariante V escalar, que se podrá calcular con la última fórmula obtenida para Vq, al que llamaremos volumen del tensor.

5.30.- Superficies.

Sea un tensor σ→ completamente antisimétrico de orden n-1 construido sobre un espacio vectorial n-dimensional. Sabemos por '5.24-5ª que lo podemos expresar como un producto exterior: σ→ = a→1∧a

→2∧..∧a→n-1 = s

(ij..r)(e→i∧e→

j∧..∧e→r)

Al volumen S de este tensor lo llamaremos superficie del tensor y según lo que acabamos de ver, si expresamos σ→ en una base ortonormal cualquiera, se verifica:

∑ ]t[ = S 2(ij..r)

En este caso, a los coeficientes estrictos los

llamaremos ahora proyecciones ortogonales de S sobre los subespacios engendrados por los vectores base correspondientes y

36

traducida a este léxico, la última expresión nos dice que el cuadrado de la superficie de un tensor es igual a la suma de cuadrados de sus proyecciones ortogonales.

Si a estas proyecciones las designamos por sk cuando e→k=e

→k es el vector base omitido en el índice (ij..r) podremos escribir también:

∑ )s( = S 2k

5.31.- Definimos como vector superficie s→ de un tensor

σ→ totalmente antisimétrico de orden n-1, que expresado en una base cualquiera es: σ→ = a→∧b→∧..∧m→ = s(ij..r)(e→i∧e

→j∧..∧e→r)

a su vector polar σ→’.

Por tanto, si ek corresponde al vector base omitido en (ij..r), haciendo Vk=(e

→i∧e→

j∧..∧e→r∧e→k)’, por (20) tendremos:

s→ = σ→’ = s(ij..r)(e→i∧e

→j∧..∧e→r)’ = s

(ij..r)e→k(e→i∧e→

j∧..∧e→r∧e→

k)’ = = s(ij..r)Vke

→k y para V=(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’ tendremos:

(n par; k lugar par): Vk= V (n par; k lugar impar): Vk=-V (n impar; k lugar par): Vk=-V (n impar: k lugar impar): Vk= V

Recordando que se verifica: a→=aie→i;b

→=bie→i;...;m

→=mie→i consideremos ahora el determinante simbólico:

eV...eVeV

m...mm

......

......

b...bb

a...aa

=

n21

n21

n21

n21

rrr

∆

Podremos comprobar que los menores que resultan de

desarrollar el determinante por la última fila son los coeficientes estrictos, según vimos en '5.08-6ª. Si e→k es el vector base omitido en (ij..r) tendremos para el menor

37

correpondiente a Ve→k: Mk = s

(ij..r) y teniendo en cuenta el análisis anterior podemos ver que se verifica: ∆ = ∑MkVke

→k = s→; ⇒ sk = MkVk

Si tomamos como base una base ortonormal que incluya la del subespacio generado por a→,b

→,..,m→ es fácil comprobar que el

módulo de s→ es la superficie de σ→.

Adoptando cualquier base ortonormal, se puede ver que en el espacio geométrico afín, las sk coinciden con las áreas de las proyecciones ortogonales de la superficie S sobre los planos coordenados.

5.32.- Producto exterior y bases duales.

Sea una base e→i de un espacio vectorial n-dimensional cuyos vectores determinan un paralelepípedo de volumen V =(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’.

Vamos a demostrar que los vectores de la base e→i dual

de la anterior, pueden expresarse del modo siguiente:

(α≠n): e→α = -V1(e→1∧e

→2∧..∧e→α-1∧e

→n∧e→α+1∧..e

→n-1)’

(α=n): e→n = V1(e→1∧e

→2∧..∧e→n-1)’

Puesto que la primera ecuación por (20) se puede

expresar así:

(α≠n): e→α = -V1e→α(e→1∧e

→2∧..∧e→α-1∧e

→n∧e→α+1∧..e

→n-1∧e

→α)’

y por ser el paréntesis una permutación impar del orden natural correspondiente a V:

(α≠n): e→α = -V1e→α[-(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’] = - V

1e→α(-V) = e→α

Respecto a la segunda ecuación tenemos análogamente:

(α=n): e→n = V1e→n(e→1∧e

→2∧..∧e→n-1∧e

→n)’ = V

1e→nV = e→n

38

6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos.

6.01.- Definición.

Decimos que un tensor es completamente simétrico cuando

es simétrico respecto a cualquier par de posiciones.

6.02.- Consecuencias de la definición.

a) Sea un producto tensorial de q factores vectoriales tal como a→⊗b→⊗c→⊗..⊗r→ y designemos con una letra p distinta a cada una de las q! permutaciones de sus factores. p(a→⊗b→⊗c→⊗..⊗r→)

Si P es el conjunto de permutaciones posibles, y tenemos cualquier tensor τ→ totalmente simétrico de orden q o mayor, se verificará:

(p∈P): τ→(a→⊗b→⊗..⊗r→) = τ→[p(a→⊗b→⊗..⊗r→)] = ∑ ∈Ppq!1 τr [p(a→⊗b→⊗..⊗r→)]

b) En virtud de las consecuencias anteriores, si τ→ es

un tensor totalmente simétrico de orden q, su producto contracto con un producto tensorial de s factores con s≤q, será: τ→(a→⊗b→⊗c→⊗..⊗r→) = (τ→b→)(a→⊗c→..⊗r→) = [τ→(b→⊗c→)](a→⊗..⊗r→) ...

c) Sea un tensor τ→ expresado por un sumatorio de productos tensoriales de q vectores τ→ = ∑(a→i⊗b

→i⊗..⊗r→i)

Es completamente simétrico si y sólo si con la misma

permutación cualquiera de factores en cada sumando, no varía el tensor: (∀p; p∈P): ∑(a→i⊗b

→i⊗..⊗r→i) = ∑i[p(a

→i⊗b→i⊗..⊗r→i)]

d) Refiriéndonos a la representación general de los

tensores, deducimos fácilmente que en cada tipo de coeficientes tensoriales, los coeficientes no varían de valor con las permutaciones de sus índices. Ejemplo: tij

k = ti

k

j = tji

k = tj

k

i = tk

ij = tk

ji

e) Los tensores totalmente simétricos pueden ser de cualquier orden no inferior a dos.

6.03.- Subespacio vectorial de los tensores totalmente

39

simétricos de orden q sobre un espacio vectorial n-dimensional.

Estos tensores forman evidentemente un subespacio del espacio vectorial de los tensores de orden q.

Su dimensión es el número de coeficientes tensoriales en principio distintos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+q

1qn

o sea el número posible de combinaciones de orden q con repetición, que pueden formarse con n elementos tomados de q en q

6.04.- Proyección ortogonal de un tensor cualquiera sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente simétricos de su orden.

De '6.02 a) se deduce que para cualquier tensor completamente simétrico de orden s, el resultado de su producto contracto por los dos tensores de orden q≤s que se expresan a continuación, es el mismo.

τ→ = ∑i(a→i⊗b→i⊗..⊗r→i); )]r..ba[p(

q!1

= iiiPpisrrrr ⊗⊗⊗∑∑ ∈τ

Ahora bien, la segunda expresión es de un tensor

totalmente simétrico y por lo tanto éste será la proyección ortogonal de τ→ sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente simétricos de orden q ó componente totalmente simétrica de τ→.

6.05.- El producto de un tensor completamente simétrico τ→ de orden q por cualquier tensor σ→ de orden s≤q, si no es un escalar ni un vector, es un tensor totalmente simétrico.

Sea un tensor completamente simétrico expresado por: τ→ = ∑[(a→i⊗b

→i⊗..⊗m→i)⊗(p→i⊗..⊗t→i)]

en que se han señalado los primeros s factores vectoriales.

Su producto contracto por σ→ será: τ→σ→ = ∑[σ→(a→i⊗b

→i⊗..⊗m→i)⊗p→i⊗..⊗t→i]

y si el producto contracto del 21 miembro es el escalar αi, queda: τ→σ→ = ∑[αi(p

→i⊗..⊗t→i)]

y el resultado es evidentemente la expresión de un tensor totalmente simétrico, por serlo τ→.

6.06.- Un tensor τ→ completamente simétrico de orden

40

q ≥ 2, puede expresarse siempre como una función lineal de productos tensoriales de q vectores iguales: τ→ = ∑[αi(a

→i⊗a→

i⊗..⊗a→i)]

Sea el subespacio vectorial A de los tensores completamente simétricos de orden q generados por el conjunto de productos tensoriales de q vectores iguales y el subespacio B total de los tensores completamente simétricos de orden q.

Si A y B no coinciden, A será de dimensión menor que B, y habrá al menos dos tensores σ→1 y σ

→2 de B que no pertenecerán

a A y que tendrán igual proyección ortogonal sobre A y por tanto se verificará: (∀τ→; τ→∈A): σ→1τ

→ = σ→2τ→

Pero como en '10.10 veremos que se demuestra que la

igualdad anterior sólo puede verificarse para σ→1=σ→2, los referidos

subespacios A y B son coincidentes.

6.07.- Cuando un tensor τ→ es totalmente simétrico, el subespacio ortogonal suplementario de Nucrτ

→ es Imrτ→.

La demostración es igual que en '5.04.

6.08.- Un tensor totalmente simétrico, expresable por

un sumatorio de productos tensoriales de vectores, tales que todos ellos poseen un factor vectorial común y en la misma posición, el tensor es un múltiplo de una potencia tensorial de dicho vector común.

Es una consecuencia de '4.03.

6.09.- Tensores h-simétricos.

Definición. Diremos de un tensor no nulo de orden m+h que es h-simétrico, cuando es totalmente simétrico respecto a las m primeras posiciones y convendremos que esto ocurre siempre para m=0 y m=1.

Por lo tanto, los tensores 0-simétricos son todos los escalares, todos los vectores y todos los tensores completamente simétricos.

Los tensores h-simétricos de orden s constituyen evidentemente un subespacio vectorial del espacio vectorial de los tensores de orden s.

6.10.- Componente h-simétrica de un tensor.

Sea σ→ cualquier tensor h-simétrico de orden s=m+h, y los dos tensores siguientes de orden s y com el conjunto r→i,..,t

→i

que consta de h vectores.

τ→=(ai

→⊗b→i⊗..q→i)⊗(r→i⊗..⊗t→i);

41

[ ]∑ ∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗

∈i iiPp iiihs t..r)]q..ba[p(h)!-(s1

= rrrrrrτ

Para ambos tensores, el producto contracto por

cualquier tensor h-simétrico de orden igual ó superior, es el mismo, y como el 2º tensor es evidentemente h-simétrico, y siendo así que estos tensores son los únicos que no anulan el producto contracto con un tensor h-simétrico de orden igual ó superior, este 2º tensor es la proyección ortogonal del primero sobre el subespacio de los tensores h-simétricos de su orden, llamado también componente h-simétrico del primero.

6.11.- Sea el tensor τ→ de orden m+h con m>1 que sabemos expresar así: τ→ = σ→i⊗µ→i siendo los µ→i de orden h y los σ→i de orden m con m>1

Si las σ→i’ son las componentes completamente simétricas de la σ→i, la componente h-simétrica de τ

→ se expresará por: τ→hs = σ

→i’⊗µ→i

6.12.- De las últimas expresiones y de '6.06, deducimos

que siendo τ→ h-simétrico de orden m+h=s , los siguientes productos por potencias tensoriales de x→, son iguales: (∀x→): τ→x→⊗m = τ→hsx

→⊗m

42

7.- Tensores isótropos.

7.01.- Definición.

Son los tensores cuyo conjunto de coeficientes,

referidos a una determinada base ortonormal del espacio n-dimensional sobre el que están construidos, coincide con el de los referidos a otra base ortonormal cualquiera.

Recordaremos la obtención de un coeficiente de un tensor τ→ tal como t1124 según vimos en B'2.05: t1124 = τ

→(e→1⊗e→1⊗e→2⊗e→4)

y las propiedades del tensor I

→ mencionadas en B'2.10:

I

→ = e→i⊗e→i; I

→v→ = v→; I

→(a→⊗b→) = a→b→

Sea π→ un tensor isótropo. Como para hallar un

coeficiente de π→ en una base ortonormal, debemos multiplicar este tensor por un producto tensorial de vectores de tal base, ningún vector base puede figurar en número impar pues de lo contrario, al cambiar tal vector base por el opuesto, el producto tensorial sería opuesto y el coeficiente correspondiente también sería el opuesto. Esto es imposible para un tensor isótropo dada su definición.

Por consiguiente los vectores base que existan, han de estar en número par, y en consecuencia el número de factores vectoriales del producto tensorial factor debe de ser par. Esto es lo mismo que decir que sólo pueden existir tensores isótropos de orden par.

7.02.- Expresión de los tensores isótropos.

Para el orden 2, el único tensor isótropo posible es, con sus múltiplos, el tensor I

→ que acabamos de examinar, ya que,

con base e→i ortonormal, sólo podemos considerar como factores productos tensoriales posibles, a los del tipo (e→k⊗e

→k), y

entonces se tiene: (∀k): 1 = e→ke

→k = (I

→e→k)e

→k = I

→(e→k⊗e

→k)

Siendo así, no es difícil comprobar que son tensores

isótropos los tensores de orden par expresados no sólo por: I

→⊗I→⊗..⊗I→ o lo que es igual: e→i⊗e→i⊗f

→j⊗f→j⊗...⊗g→k⊗g→k (en cuya expresión e→i,f

→i,...,(g

→i son bases cualesquiera del

espacio n-dimensional, y (e→i,f→j,...,g→k sus bases duales)

43

sino por todos los tensores distintos que resultan de cada permutación de sus factores vectoriales, y además por todos los tensores del espacio vectorial generado por dichos tensores distintos.

Hay que tener en cuenta que la permutación entre un factor y su dual no origina un tensor distinto, y que tampoco lo origina el considerar bases distintas para cada par de factores vectoriales duales.

44

8.- Particularidades del espacio tridimensional.

8.01.- Producto vectorial.

Cuando los tensores están construídos sobre un espacio

vectorial tridimensional, es útil considerar la multiplicación vectorial de dos vectores.

Definición.- Refiriéndonos a un espacio vectorial tridimensional, llamamos multiplicación vectorial de un vector a→ por otro vector b

→ y la expresamos con el signo ×, a la operación

por la que se obtiene un tercer vector llamado producto vectorial de a→ por b

→ y expresado por a→ ×b→ que coincide con el vector polar

de a→∧b→, con sentido positivo para a→,b→,(a→×b→).

Por tanto, si α es el ángulo a→,b→, se verifica: (24) a→×b→ = (a→∧b→)’ ⇒ a→×b→ ortogonal a a→ y b→; |a→×b→|=ab (sen α) y teniendo en cuenta (12) y (19) y con ε→=tensor de Ricci, resultan otras expresiones:

(25) a→×b→ = 21 ε→(a→∧b→) = ε→(a→⊗b→)

Como consecuencia de ello, y de acuerdo con '5.23-2º,

para a→,b→ y c→ vectores cualesquiera, se verifica: (26) a→ ×b→ = -b→×a→; a→×a→ = 0; (a→∧b→∧c→)’= (a→×b→)c→= (b→×c→)a→= (c→×a→)b→

8.02.- Producto vectorial de dos vectores de una base.

Consideremos cualquier base positiva e→1,e→2,e→3. En este

caso también lo son e→2,e→3,e→1 ó e

→3,e→

1,e→2.

Atendiendo a la ecuación (20) podremos escribir:

(27) e→1×e

→2 = (e

→1∧e→2)’ = e

→t(e→1∧e→

2∧e→

t)’ = e→3(e→1∧e

→2∧e→3)’

puesto que aquí sólo es posible t=3, y análogamente tendríamos:

e→1×e→2 = e→t(e→1∧e→2∧e→t)’= e→3(e

→1∧e→2∧e→3)’ =)eee(

e

321

3

′∧∧ rrr

r

8.03.- Doble producto vectorial.

Para a→,b

→ y c→ vectores cualesquiera, se verifica la

siguiente propiedad: (28) (a→×b→)×c→ = (c→a→)b→ - (c→b→)a→

Adoptando una base positiva cualquiera tal como e→1,e

→2,e→

3 partiremos de la siguiente expresión:

45

(e→1×e

→2)×c→

en que c→ es un vector cualquiera.

Podemos sustituir el paréntesis por el valor antes hallado y en cuanto al vector c→, siendo I=e→n⊗e

→n y e→n la base adoptada, podemos sustituirlo de la siguiente manera: c→ = I

→c→ = (en⊗e

n)c→ = (c→e→n)e→n

resultando así: (e→1×e

→2)×c→ = [e→3(e→1∧e

→2∧e→

3)’]×[(c→e→n)e→n] =

= (e→1∧e

→2∧e→

3)’ (e→3×e→n)(c→e→n) =

y sustituyendo por (27) el último producto vectorial: = (e→1∧e

→2∧e→

3)’ (e→3∧e→n∧e→t)’e→t(c

→e→n) =

Permutando los factores del 2º tensor polar sin alterar su valor, tendremos: = (e→1∧e

→2∧e→3)’ (e

→n∧e→t∧e→3)’e→t(c→e→n)

Ahora bien, para que el resultado no sea nulo, t y n

deben ser distintos de 3 y distintos entre sí, y así sólo se puede considerar n=1;t=2 o bien n=2;t=1, con lo que tendremos (e→1×e

→2)× c→ = (c→e→1)e

→2 - (c

→e→2)e→

1 = (e→

1∧e→2) c→

y como la igualdad también se verificaría para e→1=e

→2, se

verificará para tres vectores cualesquiera.

8.04.- Tensor (a→×).

Llamamos tensor (a→×) al tensor de 2º orden que con cualquier vector b

→ verifica:

(a→×)b→ = a→×b→

Es completamente antisimétrico, puesto que es otra expresión de a→’ ó tensor polar del vector a→. Efectivamente: a→’b→ = (ε→a→)b→ = ε→(a→⊗b→) = a→×b→

8.05.- Una consecuencia del párrafo anterior y de '5.24-2º, es que todo tensor antisimétrico de 2º orden puede expresarse en la forma (ω→×) siendo ω→ su vector polar.

Por consiguiente para a→∧b→ podremos escribir: a→∧b→ = (a→∧b→)’× = (a→×b→)× = ω→×

Recordaremos que según '5.28, '5.29 y '5.30, ω→ es

46

también el vector superficie del tensor y que su módulo es el área del paralelogramo generado por a→ y b

→, o módulo de a→∧b→.

8.06.- Con cualquier vector a→, se verifica:

a→ = 21 ε→(ε→a→)

Puesto que tenemos:

a→ = (a→’)’ = 21 ε→(a→’) =

21 ε→(ε→a→)

8.07.- Coeficientes del vector ω→ polar del componente

completamente antisimétrico τ→a de un tensor τ→ de segundo orden.

Sea, en su expresión normal, τ→ = tij(e→i⊗e

→j).

Sabemos por '5.25 que su componente totalmente

antisimétrica es:

τ→a = 21tij(e→i∧e

→j)

y por el párrafo anterior tendremos:

τ→a = 21tij[(e→i×e

→j)×] ⇒ ω→ =

21tij(e→i×e

→j)

Llamando V al volumen positivo (e→1∧e

→2∧e→

3)’, los coeficientes covariantes de ω→ serán:

ωs = ω→e→s = 2

1tij(e→i×e

→j)e→

s

y por (26):

ωs = 21tij(e→i∧e

→j∧e→s)’

El coeficiente para s=3 será:

ω3 = 21tij(e→i∧e

→j∧e→3)’

y tendrá dos términos:

(i=1;j=2): 21t12(e→1∧e

→2∧e→3)’ = 2

1t12V

(i=2;j=1): 21t21(e→2∧e

→1∧e→3)’ = -2

1t21V

ω3 = 21(t12-t21)V

y análogamente

47

ω1 = 21(t23-t32)V

ω2 = 21(t31-t13)V

Para una base ortonormal, V=1 y los coeficientes

covariantes son iguales a los contravariantes.

8.08.- Consecuencia de los párrafos anteriores es otra expresión del volumen V generado por tres vectores a→, b

→, y c→:

V = (a→∧b→∧c→)’ = (a→∧b→)’c→ = (a→×b→)c→ = (b→×c→)a→ = (c→×a→)b→

8.09.- Espacio geométrico ordinario.

Para el cálculo de productos vectoriales en el espacio geométrico ordinario, deberemos tener en cuenta que respecto a las direcciones y sentidos positivos de las aristas de un triedro, se ha convenido como sucesión positiva, la de los siguientes dedos de la mano derecha:

Pulgar, índice, medio 8.10.- El comprobar que el escalar (a→×b→)c→ es igual al

escalar volumen del paralelepípedo generado por los vectores a→, b→, c→ con origen común, y el que (a→×b→) es igual al vector

superficie del paralelogramo definido por a→, b→, que es su base,

((a→×b→)=(a→∧b→)’), avalan a la definición elegida para el operador ×. 8.11.- Por todo lo dicho anteriormente en un espacio n-dimensional podemos expresar el volumen V generado por n vectores a→, b

→,..., r→ y s→ así:

V = (a→∧b→∧...∧r→∧s→ )’ = (a→∧b→∧...∧r→)’ s→ El primer miembro y el segundo representan un escalar volumen n-dimensional y el primer factor del tercero representa el vector superficie correspondiente al tensor superficie (n-1) dimensional a→∧b→∧...∧r→. 8.12.- Sea una superficie compuesta de segmentos a la que corresponderá un tensor suma de los tensores de los segmentos y un vector suma de sus vectores polares y polar de la suma de tensores. Cuando la superficie sea envolvente y cerrada tanto vector total como tensor total serán nulos.

48

9.- Particularidades del espacio bidimensional.

9.01.- Si e→1,e

→2) es una base ortonormal positiva, el

tensor de Ricci tendrá ahora por expresión ε→ = e→1∧e→

2.

El tensor polar de cualquier vector a→ será ahora otro vector a→' y tendremos por definición a→’ = ε→a→.

9.02.- Para dos vectores a→ y b→ cualesquiera se verifica: a→’b

→ = - b

→’a→

Ya que el producto contracto del tensor (b→⊗a→)+(a→⊗b→),

evidentemente simétrico, con el tensor ε→ antisimétrico debe ser nulo y por tanto podemos escribir: 0 = ε→[(b→ ⊗a→)+(a→⊗b→)] = ε→(b→ ⊗a→) + ε→(a→⊗b→) = = (ε→b→)a→ + (ε→a→)b→ = b→’a→ + a→’b→

9.03.- El volumen V (área en este caso) del paralelogramo generado por dos vectores a→ y b

→ (orden a→,b

→

positivo) es a→’b→.

Pues tenemos:

V = (a→∧b→)’ = 21 ε→(a→∧b→) =

21 ε→[(a→⊗b→)-(b→ ⊗a→)] =

= 21[ε→(a→⊗b→) - ε→(b→ ⊗a→)] =

21[(ε→a→)b→ - (ε→b→)a→] =

21(a→’b

→-b→’a→)

y por el párrafo anterior:

V = 21(a→'b

→ + a→’b

→) = a→’b

→ = (ε→a→)b→

9.04.- El tensor de Ricci corresponde a la aplicación

lineal que con base e→1,e→2 ortonormal positiva hace corresponder

al vector base e→1 el vector base e→2.

Puesto que se verifica:

(e→1)’ = ε

→e→1 = (e→1∧e→

2)e→

1 = [(e→1⊗e→2)-(e

→2⊗e→

1)]e→1 =

(e→1⊗e

→2)e→

1 - (e→2⊗e→

1)e→1 = (e

→1e→1)e→2 - (e

→2e→1)e→1 = e

→2

9.05.- En consecuencia, el tensor de Ricci, en un

espacio bidimensional geométrico es el tensor de giro positivo de 90 grados correspondiente a la matriz:

49

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

01

1-0 = ’ε

9.06,- Sea una base a→1,a

→2 positiva con V=(a

→1∧a→

2)’

Aplicando las fórmulas de la base dual ('5,31) obtenemos:

aV1

- = ’aV1

- = a 221 rrrr ε

aV1

= ’aV1

= a 112 rrrr ε

50

10.- Polinomios tensoriales.

10.01.- Monomio. Definiciones.

Llamamos monomio en x→ de grado p y orden m, al tensor

que tiene por expresión: τ→(x→⊗x→⊗..⊗x→) = τ→x→⊗p = τ→x→p en que x→⊗p representa el producto tensorial de p factores vectoriales x→ y τ→ un tensor de orden p+m. Como el monomio es el producto contracto de ambos, resulta ser un tensor de orden m.

Cuando no cabe confusión, escribimos x→p en lugar de escribir x→⊗p.

Grado del monomio es el exponente tensorial de x→ y se conviene que x0 es siempre uno cualquiera que sea x→. Por este motivo, los monomios que no vienen afectados por ningún factor x→ los consideraremos monomios de grado 0, y en general no escribiremos el factor x→0.

Normalmente expresaremos el orden de los coeficientes tensoriales cuando es superior a uno y así por ejemplo τ→p+mx

→p representará un monomio en x→ de grado p y orden m. Téngase en cuenta que esta notación no indicará un sumatorio einsteniano.

Dos monomios son equivalentes ó iguales cuando corresponden al mismo tensor.

El coeficiente tensorial define una aplicación lineal de los tensores x→p y otra no lineal de los vectores x→, en el espacio vectorial de los tensores de orden m.

10.02.- Polinomio. Definiciones.

Llamamos polinomio de orden m en x→ al tensor suma de un número finito de monomios en x→ de cualquier grado, pero todos del mismo orden m, y definimos como grado de un polinomio el grado del monomio de mayor grado.

Decimos que un polinomio está reducido, cuando solo hay un monomio por grado, lo que siempre es posible, pues si hay varios, se pueden reducir a uno efectuando sumas sucesivas: τ→x→p + σ→x→p = (τ→ + σ→)x→p

A los polinomios de orden m y grado p en x→, reducidos, los expresaremos así: (i de 0 a p): A = Στ→m+ix

→i

51

Dos polinomios o monomios decimos que son equivalentes ó iguales, cuando corresponden al mismo tensor. La diferencia entre dos polinomios equivalentes es el tensor nulo.

10.03.- Propiedades.

A continuación señalamos algunas.

10.04.- Si un polinomio reducido, en x→, es igual al tensor nulo, todos sus monomios son nulos.

Veámoslo, por ejemplo, con el polinomio siguiente: (∀x→): τ→m + τ

→m+1x→ + τm+2x

→2 + .. + τ→m+px→p = 0

→

Efectivamente, si en el polinomio sustituimos x→ por el

vector λx→ siendo λ un escalar, e igualamos al tensor nulo, obtenemos la siguiente ecuación: (∀x→)(∀λ): τ→m + λτ

→m+1x→ + λ2τm+2x

→2 + .. + λpτ→m+px→p = 0

→

Para λ=0 la ecuación implica τ→m=0, ó sea la nulidad del

primer monomio, y por tanto podemos transformarla así: ⇔ (∀x→)(∀λ); λ(τ→m+1x

→ + λτm+2x→2 + .. + λp-1τ→m+px

→p) = 0→ ⇔

⇔ (∀x→)(∀λ) τ→m+1x

→ + λτm+2x→2 + .. + λn-1τ→m+px

→p = 0→

Para λ=0 la última expresión de la ecuación implica

τ→m+1x→=0, ó sea la nulidad del 2º monomio primitivo.

Por recurrencia vemos que sucesivamente deben ser nulos

todos los monomios, como queríamos demostrar.

10.05.- Como consecuencia del último párrafo, tenemos que dos polinomios reducidos son equivalentes si y sólo si sus monomios de igual grado son equivalentes dos a dos.

10.06.- Respecto a la relación existente entre la nulidad de los monomios de un polinomio y la nulidad de sus coeficientes tensoriales, observaremos lo siguiente:

a) Monomio de grado 0. Es evidente que su nulidad coincide con la nulidad del coeficiente tensorial.

b) Monomio de grado uno. Su expresión es τ→x→ y de acuerdo con '1.12, su nulidad exige la de τ→.

c) Monomio de grado i superior a uno. Para que sea nulo, no es necesario que el coeficiente tensorial sea nulo, pues evidentemente basta que sea antisimétrico para cualquier par de posiciones entre las i primeras, para que su producto contracto con x→i sea nulo.

10.07.- Cuando en un monomio cualquiera de grado mayor

52

que dos, sustituimos el coeficiente tensorial por su componente m-simétrico, resulta un monomio equivalente: τ→p+mx

→p = (τ→p+m)msx→p

tal como se vio en '6.11.

Si convenimos que todos los tensores de orden m y m+1 son m-simétricos cualquiera que sea m, en lo que no hay dificultad, resulta que podemos generalizar la afirmación última a cualquier monomio, sea cual sea su grado.

10.08.- En consecuencia, si hacemos la sustitución mencionada en cada monomio de un polinomio, lo que siempre es posible, obtenemos un polinomio equivalente que tiene todos sus coeficientes tensoriales m-simétricos.

10.09.- Si un monomio en x→, de orden m, y con coeficiente tensorial m-simétrico, es igual al tensor nulo, dicho coeficiente es también nulo.

Sea al monomio nulo: (∀x→): τ→x→r = 0

→

en cuya ecuación, para simplificar, hemos expresado por τ→ un tensor de orden m+r m-simétrico.

Así como en '10.06 hemos sustituido el vector variable x→ por el vector λx→, vamos a sustituirlo ahora por el vector suma de vectores z→+x→, con lo que la ecuación dada pasa a ser: (∀x→): τ→(z→+x→)r = 0

→

Al desarrollar la potencia tensorial del binomio,

tendremos ahora en cuenta que τ→ es un tensor de orden m+r y que es m-simétrico y por lo tanto que en su producto contracto con un producto tensorial de vectores, no influye el orden de colocación de los vectores. Podremos escribir por tanto:

(∀x→)(∀z→): τ→[z→r + r(z→r-1⊗x→) + 21r(r-1)(z→r-2⊗x→2) + .. + x→r]= 0

→

Efectuando el producto contracto y ordenando términos,

la ecuación queda así:

(∀x→)(∀z→): τ→z→r + rτ→(z→r-1⊗x→) + 21r(r-1)τ→(z→r-2⊗x→2) + .. + τ→x→r = 0

→

ó también:

(∀x→)(∀z→): τ→z→r + (rτ→z→r-1)x→ + [21r(r-1)τ→z→r-2]x→2. + .. + τ→x→r = 0

→

53

Aplicando a este polinomio nulo en x→ la propiedad deducida en '10.06, tendremos que todos sus monomios deben ser nulos.

El único monomio cuya nulidad tiene interés para nuestra demostración, es la del segundo. Deducimos de ella, que el paréntesis es nulo, y que por tanto debe verificarse τ→xr-1 = 0

→

ó sea la nulidad de un monomio igual al inicial pero con un grado menos.

Por recurrencia, al seguir igual camino, iremos obteniendo monomios nulos con igual coeficiente tensorial pero de grados decrecientes, hasta llegar al resultado final: τ→ = 0→ que queríamos demostrar.

10.10.- Consecuencia del párrafo anterior, es que si dos monomios de grado i y orden m son equivalentes, los componentes m-simétricos de los coeficientes tensoriales son iguales.

Por componente m-simétrico de un tensor de orden m ó m+1 consideraremos el mismo tensor.

10.11.- Otra consecuencia es la expresada en '6.06 de que todo tensor totalmente simétrico de orden q≥2 puede expresarse siempre como una función lineal de productos tensoriales de q vectores iguales.

55

D.- TENSORES E⊗2 DE 2º ORDEN

1.- Generalidades.

Todo lo dicho en los capítulos anteriores sobre tensores en general, es naturalmente válido para el estudio, en particular, de los tensores de segundo orden, también construidos sobre un espacio vectorial E, n-dimensional y propiamente euclidiano.

Vamos a examinar ahora, en primer lugar, algunas particularidades de los tensores de 2º orden, de aplicación más general en lo sucesivo.

1.01.- Núcleos e imágenes. (Ver C'1.05).

Para τ→ de 2ºorden, de los núcleos e imágenes de un tensor estudiados en el capítulo C, sólo tienen interés Nuc1τ

→ y Im1τ, que expresaremos por Nuc τ

→ y Im τ→, suprimiendo el subíndice. Resulta que ahora son subespacios vectoriales de E, y que sus vectores vienen definidos por las siguientes condiciones: v→ ∈ Nuc τ→ ⇔ τ→v→ = 0→ s→ ∈ Im τ→ ⇔ (∃w→): τ→w→ = s→

La suma de dimensiones de Im τ→ y Nuc τ→ corresponderá ahora a la dimensión n de E.

1.02.- Simetrías y antisimetrías.

En los cuatro primeros párrafos próximos se concreta el capítulo C para tensores de segundo orden. En los siguientes se trata de otras propiedades elementales.

1.03.- Solamente hay una transposición posible (1,2) y por tanto un solo tipo de simetría y un solo tipo de antisimetría forzosamente totales, por cuya razón no especificaremos (1,2) y suprimiremos el adjetivo "total". (Ver C'2 y C'3).

1.04.- Al único tensor transpuesto de τ→ lo expresamos por τ~ ó τ→~, y por tanto el tensor transpuesto de τ~ es τ→

1.05.- Los subespacios vectoriales de los tensores antisimétricos y simétricos tendrán respectivamente por dimensión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

1n y

2

n

y son ortogonales. Como la suma de sus dimensiones es n2 ó sea la dimensión del espacio vectorial de los tensores de orden 2, también son suplementarios.(Ver C'3.05)

56

1.06.- La expresión del componente antisimétrico de

τ→ = tij(e→i⊗e→j), (ver C'5,25), será:

τ→a =21tij(e→i∧e

→j) =ta

(ij)(e→i∧e→

j)= ta

ij(e→i⊗e→

j)

con los siguientes coeficientes;

ta

(ij)= 21(tij-tji)

1.07.- El componente simétrico de τ→ es τ→s = ½(τ

→+τ~) y el antisimétrico es τ→a = 2(τ

→-τ~).

Pues se verifica:

a) τ→s es simétrico, por ser igual a su transpuesto:

τ~s = 21(τ→+τ~)~ =

21(τ~+τ→) =

21(τ→+τ~) = τ→s

b) τ→a es antisimétrico, por ser opuesto a su transpuesto:

τ~a = 21(τ→-τ~)~ =

21(τ~-τ→) = -

21(τ→-τ~) = - τ→s

c) La suma de los dos es τ→:

τ→s + τ→a = 2

1 τ→+τ~)+

21(τ→-τ~) =

21 τ→+

21 τ~+

21 τ→-

21 τ~ = τ→

1.08.- Aplicando la propiedad general (ver C'2.01), se

verifica: τ→(v→⊗w→) = τ~(w→⊗v→); (τ→v→)w→ = (τ~w→)v→

1.09.- Se verifica: Im τ~ = Subespacio ortogonal a Nuc τ→ Nuc τ~ = Subespacio ortogonal a Im τ→

Puesto que por el párrafo anterior tenemos: v→∈Nuc τ→ ⇔ (∀w→): w→(τ→v→)=0 ⇔ (∀w→): (τ~w→)v→ = 0→ y τ~w→ es cualquier vector de Im τ~.

Y también tenemos por dicho párrafo anterior: v→∈Nuc τ~ ⇔ (∀w→): w→(τ~v→)=0 ⇔ (∀w→): (τ→w→)v→ = 0→

57

y τ→w→ es cualquier vector de Im τ→

1.10.- Llamando rango de un tensor de segundo orden, a la dimensión de su imagen, tendremos que τ→ y τ~ tienen el mismo rango.

Acabamos de ver que Im τ~ es el subespacio ortogonal a Nuc τ→, y por tanto podemos escribir: Dim Im τ~ + Dim Nuc τ→ = dim E y por '1.01: Dim Im τ→ + Dim Nuc τ→ = dim E y por tanto Im τ→ y Im τ~ tienen igual dimensión

1.11.- Para τ→ antisimétrico ó simétrico, como τ~=±τ→ y por tanto Im τ~ = Im τ→, y por '1.09 sabemos que Im τ~ es ortogonal a Nuc τ→, tendremos que Im τ→ también será ortogonal a Nuc τ→. Como también, según '1.01, la suma de sus dimensiones es n, Im τ→ y Nuc τ→ son suplementarios.

1.12.- Siempre que un tensor τ→=e→i⊗f→i esté expresado con

un mínimo de sumandos, tendremos según C'1.14 que se verificará:

e→i = Base subespacio ortogonal a Nuc τ→

f→i = Base Im τ→

También tendremos que si e→i es la base dual de e→i se

verificará: f

→i = τ→ei

1.13.- Tensor producto exterior de 2 vectores.

Por definición (C '5.05), se verifica: a→∧b→ = a→⊗b→ - b→⊗a→

2.- Matrices de coeficientes tensoriales.

Sabemos que existe una isomorfía entre un espacio vectorial E n-dimensional cualquiera y un conjunto S de coeficientes einstenianos vectoriales ordenados, correspondientes a un mismo tipo de coeficientes y a una misma base, así como entre E⊗ y S⊗.

También existe una isomorfía entre E y el conjunto L de matrices línea (sucesión de coeficientes vectoriales) y entre E⊗2 y el conjunto M de matrices cuadradas correspondientes en ambos casos a un mismo tipo de coeficientes y a una misma base,

Estas isomorfías son estables para las multiplicaciones tensorial y contracta de tensores (incluídos vectores y

58

escalares), con notaciones coherentes.

2.01.- Sea la representación siguiente, habitual para vectores y tensores: v→ = vie→i = vje

→j; τ→ = ti

j(e→i⊗e→j) = tk

m(e→k⊗e→m)

en que e→i es la base principal elegida para el espacio vectorial E, y e→i es su base dual.

Adoptemos, por ejemplo, la notación matricial siguiente: v→’ = v1 v2 .. vn (matriz fila)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

t..tt

.....

.....

t..tt

t..tt

= ;

t..tt

.....

.....

t..tt

t..tt

= ’ ;

v

..

..

v

v

= v

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

n

2

1

ττ rrr

(m.columna) (matrices cuadradas)

2.02.- De acuerdo con dicha notación se tiene:

a) v→w→ = v→’w→ = viwi

v→w→ = w→’v→ = wivi

b) w→ = τ→v→ ⇔ τ→’v→ ⇔ wj = ti

jvi w→ = τ→v→ ⇔ v→’τ→ ⇔ wj = vit

i

j

c) w→=σ→(τ→v→) ⇔ w→= σ→’τ→’v→ ⇔ wj = si

jtk

ivk w→=σ→(τ→v→) ⇔ w→’= w→’τ→σ→ ⇔ wj = vkt

k

isi

j

d) v→⊗w→’ = w→v→’ ⇔ (v→⊗w→)i

j = wjvi

e) v→⊗w→ = v→w→’ ⇔ (v→⊗w→)i

j = viwj

2.03.- Entre las matrices de tensores transpuestos,

observamos que se tiene: t’i

j = tj

i ⇔ τ~ = τ→’; τ~’ = τ→ y por tanto, para cualquier base se verifica:

Tensores simétricos: τ→ = τ→’

Tensores antisimétricos: τ→ = -τ→’

2.04.- Con base ortonormal es indiferente la altura de los índices y se verifica: tij = tij

59

vi = vi ⇔ v→’ = v→~;

ti

j= ti

j ⇔ τ→'=τ→~; τ→=[τ→’]~

Con tensores transpuestos y base ortonormal, se verifica: τ~’ = [τ→’]~ = τ→; τ~ = τ→~ = τ→’

Si la base es ortonormal,también se verifica: Con tensores simétricos: τ→=τ→~ (matriz simétrica) Con tensores antisimétricos: τ→ = -τ→~ (matriz antisimétrica)

2.05.- Rango de un tensor.

Es el de la matriz de sus coeficientes, cualquiera que sea su tipo.

Efectivamente, eligiendo una matriz cualquiera, tenemos: tij = τ→(e→i⊗e→j) = (τ→e→i)e→j y en la matriz cuadrada correspondiente habrá el conjunto de matrices columna o fila correspondiente al conjunto de vectores τ→e→i que es un generador de Im τ→.

Dada la isomorfía entre vectores y matrices línea, ambos conjuntos tendrán la misma dimensión y por lo tanto los rangos de matriz y tensor son iguales.

2.06.- Vamos a ver como el convenio de Einstein para expresiones tensoriales, se adapta al cálculo de matrices cuadradas.

Al individualizar los elementos de una matriz A normal, hemos convenido en expresarlos por ai

j indicando su fila con un supraíndice j y su columna con un subíndice i y es fácil comprobar que en el producto AB = P de dos matrices A y B, la expresión de un elemento cualquiera de P en función de los elementos de los factores es una expresión einsteniana cuando se señalan correctamente los coeficientes: P = AB ⇔ pk

j = ai

j bk

i ⇔ pk

j = ai

jbk

i

Si uno de los factores matriciales T corresponde a un tipo de coeficiente tensorial mixto tal como tj

i ó tk

m, es fácil comprobar que con las alturas de índices ocurre lo mismo que con una matriz normal. En cuanto al orden, el índice que se conserve mantendrá su posición original. S=AT ⇔ ai

jtk

i = sk

j ó bien ai

jti

k = sj

k S=TA ⇔ tk

iaj

k = sj

i ó bien ti

kaj

k = si

j

60

Cuando uno de los factores es una matriz T de

coeficientes tensoriales covariantes o contravariantes ya no sucederá siempre lo de los casos anteriores. En primer lugar será necesaria una convención para individualizar los elementos de estas matrices, y ésta consistirá, por ejemplo, que el primer índice señala la fila, y el segundo la columna.

Entonces, para los dos casos siguientes tendremos: T = tij; S = AT ⇔ ai

ktij = skj T = tij; S = TA ⇔ tijak

j = sik

Pero en los dos casos que quedan no hay concordancia entre operación matricial y expresión einsteniana: Para T=tij; S=AT se verifica Σiai

ktij = skj (no einsteniano) Para T=tij; S=TA se verifica Σjt

ijak

j = sik (no einsteniano)

En ambos casos, sustituyendo A por A~ o sea ai

k por ak

i, sí que obtenemos una concordancia: T=tij; S=A

~T ⇔ ak

itij = skj T=tij; S=TA~ ⇔ tijaj

k = sik

2.07.- Variación de los coeficientes con un cambio de base.

a) Sea la matriz tk

m referida a la base e→j y a su dual. Llamando t’i

j a la nueva matriz de coeficientes referida a la base f

→i y su dual, y procediendo como en B'4.06, tendremos:

f→

i = λij e→j; f

→j = µm

je→m; λijµm

i = δmj = Símbolo de Kronecker

y por lo tanto: t’i

j= τ→(f→i⊗f→j)= τ→(λi

ke→k⊗µm

j e→m)= λikτ→(e→k⊗e

→m)µm

j= λiktk

mµm

j

Escribiendo las matrices de cambio de base en lenguaje matricial, al convenir que en cada elemento el supraíndice expresa la fila y el subíndice la columna, tendremos:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

µµµ

µµµ

µµµ

λλλ

λλλ

λλλ

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

1-

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

..

.....

.....

. .

..

=A

..

.....

.....

. .

..

= A

61

λik = A; µm

j = A-1; AA-1 = I

Ahora bien, de acuerdo con lo visto en el párrafo anterior, tendremos la siguiente igualdad: t’i

j = µm

jtk

mλik = A-1tk

mA que podremos comprobar operando de esta manera:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

µµµ

µµµ

µµµ

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

..

.....

.....

..

..

=

’t..’t’t

.....

.....

’t..’t’t

’t..’t’t

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λλλ

λλλ

λλλ

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

nn

2n

1n

n2

222

1

n1

21

11

..

.....

.....

..

..

t..tt

.....

.....

t..tt

t..tt

b) Coeficientes tkm.

Llamando t’ij a la nueva matriz de coeficientes,

resultante del mismo cambio de bases supuesto anteriormente, y por un proceso análogo, hallaremos que se verifica: t’ij =τ

→(f→

i⊗f→

j)= τ→(λi

k e→k⊗λjm e→m)= λj

m τ→(e→k⊗e→m)λi

k= λjm tkmλi

k

Para representar las operaciones indicadas por la última expresión con las de un producto matricial, y de acuerdo con '2.06, deberemos escribir: t’ij = A

~tkmA que comprobaremos así:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λλλ

λλλ

λλλ

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

nnn2n1

2n2221

1n1211

..

.....

.....

..

..

=

’t..’t’t

.....

.....

’t..’t’t

’t..’t’t

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λλλ

λλλ

λλλ

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

nnn2n1

2n2221

1n1211

..

.....

.....

..

..

t..tt

.....

.....

t..tt

t..tt

c) Coeficientes tkm.

Si t’ij es la nueva matriz de coeficientes con el

mismo cambio de bases anterior, siguiendo el mismo proceso, encontraremos: t’ij = µm

i tmkµk

j así como t’ij = A-1tmk[A-1]~

62

2.08.- En el apartado a) del párrafo anterior, hemos

visto que para los coeficientes mixtos de τ→ existe la relación: t’i

j = A-1tk

mA entre sus valores para bases distintas, con A matriz de cambio de bases.

Teniendo en cuenta que A y A-1 son matrices inversas, esta relación implica la siguiente entre determinantes: Det t’i

j = (Det A-1)(Dettk

m)(Det A) = Dettk

m

De esta relación y de que en base ortonormal las matrices mixtas de un tensor y de su transpuesto son transpuestas, se deduce inmediatamente que:

Para todas las matrices mixtas de un tensor y de su transpuesto, los determinantes coinciden.

3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden.

Definición.- Definimos como producto matricial de dos tensores ρ→ y σ→ de 2º orden y lo expresamos por ρ→∗σ→ al tensor τ→ de 2º orden que para cualquier vector v→ verifica: τ→v→ = ρ→(σ→v→) = (ρ→∗σ→)v→ y que evidentemente es también de 2º orden y único.

Es fácil ver que esta multiplicación es asociativa, es distributiva a derecha e izquierda y no es por lo general conmutativa.

3.01.- Cuando los factores son productos tensoriales tenemos: (a→⊗b→)∗(c→⊗d→) = (a→d→)(c→⊗b→)

Efectivamente. Por definición se verifica para todo v→: [(a→⊗b→)∗(c→⊗d→)]v→ = (a→⊗b→)[(c→⊗d→)v→] y como desarrollando el 2º miembro se tiene: = (a→⊗b→)[(c→v→)d→]= [(a→⊗b→)d→](c→v→)= [(a→d→)b→](c→v→) = (a→d

→)[(c→v→)b

→] = (a→d→)[(c→⊗b→)v→] = [(a→d→)(c→⊗b→)]v→

queda: [(a→⊗b→)∗(c→⊗d→)]v→ = [(a→d→)(c→⊗b→)]v→ y como v→ es cualquier vector, es cierta la igualdad que se

63

pretendía demostrar.

3.02.- Cuando los factores son tensores cualesquiera, ρ→ y σ→, que siempre se pueden expresar en la forma a→i⊗b

→i y c→j⊗d→j

respectivamente, tendremos: ρ→∗σ→ = (a→i⊗b

→i)∗(c→j⊗d→j) = (a→id

→j)(c→j⊗b→i)

como se deduce directamente del párrafo anterior.

Con la notación ordinaria, resulta: ρ→∗σ→= [rij(e→i⊗e

→j)]∗[snm(e

→n⊗e→m)]= rijsnm(e→ie→m)(e→n⊗e→j)= r

ijsni(e→n⊗e→j)

3.03.- Coeficientes de τ→=ρ→∗σ→. De la última expresión y

sus análogas, se obtienen los siguientes valores: tn

j = rijsni = ri

jsn

i tn

j = rijsni = ri

jsn

i tnj = rijsn

i = ri

jsni tnj = rijsn

i = ri

jsni

En forma matricial tenemos por '2.02: ρ→∗σ→’ = ρ→’σ→’; ρ→∗σ→ = σ→ρ→

3.04.- Potencia matricial.

En caso de m factores iguales escribiremos: τ→∗τ→∗τ→∗...∗τ→ = τ→∗m ó bien τ→m si no pueden originarse confusiones.

3.05.- Es interesante la lectura inversa de la fórmula del producto matricial de dos productos tensoriales: (a→d→)(c→⊗b→) = (a→⊗b→)∗(c→⊗d→)

3.06.- Transpuesto de un producto matricial ρ→∗σ→.

Es el tensor producto matricial de los factores transpuestos tomados en orden inverso: [ρ→∗σ→]~ = σ~∗ρ~

Bastará demostrarlo para la multiplicación matricial de dos productos tensoriales. Efectivamente:

[(a→⊗b→)∗(c→⊗d→)]~ = (a→d→)[c→⊗b→]~ = (a→d→)(b→⊗c→)= (d→⊗c→)∗(b→⊗a→)

3.07.- Simetrías y antisimetrias.

64

1º.- Producto matricial ρ→∗σ→ de dos tensores ambos simétricos ó ambos antisimétricos.

a) Es simétrico si y sólo si se verifica ρ→∗σ→ = σ→∗ρ→.

b) Es antisimétrico si y sólo si se verifica ρ→∗σ→ = -σ→∗ρ→.

Efectivamente: ρ→∗σ→=[ρ→∗σ→]~ ⇔ ρ→∗σ→ = σ~∗ρ~ = σ→∗ρ→ ρ→∗σ→ = -[ρ→∗σ→]~ ⇔ ρ→∗σ→ = -σ~∗ρ~ = -σ→∗ρ→

2º.- Producto matricial ρ→∗σ→ de dos tensores, uno de ellos simétrico y el otro antisimétrico.

a) Es simétrico si y sólo si se verifica ρ→∗σ→ = -σ→∗ρ→.

b) Es antisimétrico si y sólo si se verifica ρ→∗σ→ = σ→∗ρ→.

Pues tenemos: ρ→∗σ→=[ρ→∗σ→]~ ⇔ ρ→∗σ→ = σ~∗ρ~ = -σ→∗ρ→ ρ→∗σ→ = -[ρ→∗σ→]~ ⇔ ρ→∗σ→ = -σ~∗ρ~ = σ→∗ρ→

3º.- Producto matricial τ→∗τ~ de un tensor por su transpuesto.

Siempre es un tensor simétrico cuyo núcleo es igual al de τ~ y su imagen igual a la de τ→.

Es simétrico, pues se verifica: [τ→∗τ~]~ = (τ~)~∗τ~ = τ→∗τ~

Por otra parte, de las definiciones de producto matricial, de núcleo y de imagen resulta evidente: Nuc (τ→∗τ~) ⊃ Nuc τ~ Im (τ→∗τ~) ⊂ Im τ→ y si existiera algún vector v→ tal que v→∈Nuc(τ→∗τ~);v∉Nuc τ~, al tener en cuenta '1.01, se verificaría a un mismo tiempo:

⎩⎨⎧

≠∈⇒

⎩⎨⎧

≠∈⇒

⎩⎨⎧

≠ 0 v~~Im a ortogonal ºsubesp v~

0 v~ Nuc v~

0 v~0 = v)~*( rr

rrrrr

rr

rrr

τττ

τττ

τττ

y esto es imposible, pues τ~v→ no nulo no puede pertenecer a la vez a un subespacio Im τ~ -como indica su escritura-, y a otro subespacio ortogonal a Im τ~, cuando ambos subespacios pertenecen a un espacio vectorial euclídeo.

Así pues, Nuc(τ→∗τ~) = Nuc τ~.

65

En cuanto a Im(τ→∗τ~) = Im τ→, se deduce de la igualdad anterior, pues es la expresión de igualdad de los subespacios ortogonales a dos subespacios iguales.

3.08.- Anillo de los tensores de 2º orden

En el conjunto de los tensores de segundo orden correspondientes a un determinado espacio vectorial de n dimensiones, las operaciones suma y producto matricial definen una estructura de anillo de la misma manera que las operaciones análogas definen un anillo en el conjunto de matrices cuadradas de lado n. Ello se deduce inmediatamente de la isomorfía que evidentemente existe entre ambos conjuntos.

66

4.- Tensor fundamental.

Definición. Llamamos tensor unidad o fundamental al

tensor I→ que corresponde a la aplicación lineal idéntica:

(∀v→): I→v→ = v→

De este tensor ya se ha escrito en B'2.10, también se ha dicho en C'7.01/02 que es el tensor isótropo de 21 orden y añadiremos ahora que se trata de un tensor simétrico puesto que se verifica: (∀w→)(∀v→): I→(w→⊗v→) = (I→w→)v→ = w→v→ = w→(I→v→) = I→(v→⊗w→)

4.01.- El tensor fundamental puede expresarse por: I

→ = e→i⊗e

→i = e→j⊗e→j siendo e→i una base cualquiera de E y e

→i su base dual, ya que se verifica: (∀v→): (e→i⊗e

→i)v→ = (e→1v→)e→i = vie

→i = v→ (∀v→): (e→j⊗e→j)v

→ = (e→jv→)e→j = vje→j = v

→

4.02.- Con estas mismas bases, sus coeficientes son:

gji = gij = I→(e→i⊗e→j) = (I

→e→i)e→j = e→ie→j

gji = gij = I

→(e→i⊗e

→j) = (I

→e→i)e

→j = e

→ie→j

gj

i = gi

j = I→(e→i⊗e→j) = (I

→e→i)e→j = e

→ie→j = δji

gj

i = gi

j = I→(e→i⊗e

→j) = (I→e→i)e

→j = e→ie→j = δj

i (δj

i = Símbolo de Kronecker)

Las matrices mixtas coincidirán en la siguiente:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

1..000

::::::

0..100

0..010

0..001

4.03.- Se verifica

I

→∗I→ = I→ puesto que tenemos: (∀v→): (I→∗I→)v→ = I→(I→v→) = I→v→

67

4.04.- La matriz gij covariante de I

→, llamada matriz

métrica, es la matriz del cambio de la base e→j a su dual e→i y

también la matriz fundamental de E para la base (e→i. La matriz contravariante gij es la matriz para el cambio inverso. (I

→=e→j⊗e

→j): I→ = gij(e

→i⊗e→j) = gije→i ⊗ e→j ⇔ e→j = gije

→i (I

→=e→j⊗e→j): I

→= gij(e→i⊗e

→j) = g

ije→i ⊗ e→j ⇔ e→j = gije→i (I

→∗I→= I→) ⇔ gimgki = gk

m (Símbolo de Kronecker)

Estas dos matrices, ya sabíamos por cálculo vectorial, que son inversas una de otra.

4.05.- Sea V el volumen del paralelepípedo generado por los vectores de la base e→i y denominemos g al determinante de la matriz métrica. En virtud de la ecuación (15) y de B'5.27 tendremos, siendo t(ij..r) y t

(ij..r) los coeficientes estrictos de e→

1∧e→

2∧..∧e→n en cualquier par de bases duales: g = Det gij = Det e

→ie→

j = [(e→

1∧e→2∧..∧e→n)’]

2 = V2 = t(ij..r)t(ij..r)

Como consecuencia de '4.02 tenemos también:

Det gij = ;V

1 =

g1

2 Det gi

j = Det gi

j = 1

4.06.- El conocimiento de la matriz métrica nos permite

utilizar exclusivamente los coeficientes contravariantes de vectores y tensores en los cálculos. Ejemplos de sustitución:

a) vj = (vie→i)e

→j = v

igij

b) tkm = [tij(e→i⊗e

→j)](e

→k⊗e→m) = t

ij(e→ie→

k)(e→

je→m) = t

ijgkigjm

c) tk

m = [tij(e→i⊗e

→j)](e

→k⊗e→m) = tij(e→ie

→k)(e→je→m) = t

kjgjm

d) tk

m = [tij(e→i⊗e→

j)](e→k⊗e→m) = tij(e→ie

→k)(e

→je→m) = timgki

4.07.- El procedimiento que acabamos de indicar, es

general para utilizar supraíndices en lugar de subíndices en cualquier expresión einsteniana de coeficientes. Por ejemplo: ti

mkl = gjmtij

kl

4.08.- Si quisiéramos expresar las ecuaciones con subíndices en lugar de supraíndices procediríamos análogamente, solo que cambiando los papeles entre la matriz métrica y la matriz gij.

4.09.- Relación entre los determinantes de matrices mixtas tensoriales.

De las expresiones de '4.06 deducimos:

68

tkm = gjmt

ij(gki ⇔ Det tkm = g2 Det tij

tk

m = gjmtkj ⇔ Det tk

m = g Det tkj

tk

m = timgki ⇔ Det tk

m = g Det tim y por lo tanto:

Det tk

m = Det tk

m = g Det tkj =

g1Det tkm

Así pues, tenemos que:

a) Los determinantes de todas las matrices mixtas de un

tensor y de su transpuesto, son iguales.

b) Los determinantes de la matriz covariante y de la matriz contravariante, son el resultado de dividir o multiplicar por g, respectivamente, el valor común de los determinantes de las matrices mixtas.

4.10.- El tensor I→ fundamental multiplicado

matricialmente con un tensor τ→ cualquiera, no lo altera, tanto si actúa como factor a la derecha o como factor a la izquierda.

Efectivamente. Cualquier tensor τ→ se puede representar, según '1.12, en la forma siguiente: τ→ = (e→i⊗f

→i) siendo e→i alguna base de E, e

→i su base dual y f→j = τ→e→j otra

base de E.

Por consiguiente, se verifica: I

→∗τ→ = (f→j⊗f→j)∗(e→i⊗f

→i) = (f→

jf→i)(e→i⊗f

→j) = e→i⊗f→i = τ→

τ→∗I→ = (e→i⊗f

→i)∗(e→j⊗e→j) = (e→ie

→j)(e→j⊗f→i) = e→i⊗f

→i = τ→

4.11.- Para una dimensión n del espacio se verifica: I

→I→ = n

puesto que tenemos: I

→I→ = I

→(e→i⊗e

→i) = (I→e→i)e

→i = e→ie→i = n

69

5.- Tensores isótropos.

El único tensor isótropo de segundo orden es, como se

indicó en C'7, el tensor unidad ó fundamental I→ que acabamos de

estudiar.

Aunque no sean de segundo orden, aquí vamos a examinar los tensores isótropos de cuarto orden, dado que son los tensores de E⊗q isótropos que corresponden a isomorfismos del espacio vectorial de los tensores de segundo orden.

Vamos a simplificar aquí la notación de los productos tensoriales de vectores de una base e→i y de su dual, de la siguiente manera, que explicaremos con unos ejemplos: e→ij

ij = e→i⊗e→j⊗e→i⊗e

→j

e→ij

ji = e→i⊗e→j⊗e→j⊗e

→i

e→i

i

j

j = e→i⊗e→i⊗e

→j⊗e→j

5.01.- De acuerdo con lo indicado en C'7, podemos comprobar que los tres tensores anteriores son los únicos productos tensoriales de cuarto orden que constituyen tensores isótropos distintos, que todo tensor isótropo de cuarto orden es función lineal de estos tres, y que por lo tanto se podrá expresar de esta manera: τ→ = αe→ij

ij + βe→ij

ji + γe→i

i

j

j

El primer tensor es el de la aplicación idéntica. Para demostrarlo bastará ver que su producto contracto con un producto tensorial a→⊗b→ cualquiera, no lo modifica: τ→1(a

→⊗b→) = e→ij

ij(a→⊗b→) = aibje→ij = a

ie→i ⊗ bje→j = a→⊗b→

El segundo tensor transforma un tensor en el tensor

transpuesto. Pues se verifica: τ→2(a

→⊗b→) = e→ij

ji(a→⊗b→) = aibje→ji = b

je→j ⊗ a→ie→i = b→⊗a→

El tercer factor transforma el tensor en un múltiplo de

I→ ó tensor escalar:

τ→3σ

→ = e→i

i

j

jσ→ = (I

→⊗I→)σ→ = (σ→I→)I→ = (Traza de σ→)I→

5.02.- Vamos a examinar algunos tensores isótropos de interés (Ver también '6.04).

a) Tensor ½(τ→1+τ→

2). Transforma un tensor en su componente simétrico, como vamos a ver:

21(τ→1+τ

→2)σ→ =

21 (τ→1σ

→ + τ→2σ→) =

21 (σ→+σ~)

70

b) Tensor ½(τ→1-τ

→2). Transforma un tensor en su

componente antisimétrico:

21(τ→1-τ

→2)σ→ =

21 (τ→1σ

→ - τ→2)σ→ =

21 (σ→-σ~)

5.03.- La expresión general de los tensores isótropos

de segundo orden, al ponerlos en función de los últimos tensores, es fácil ver que toma la siguiente forma:

τ→ = (α+β)21(τ→1+τ

→2) + (α-β)2

1(τ→1-τ

→2) + γτ

→3

Por otra parte, si tenemos un tensor cualquiera σ→ de

2º orden expresado como suma de sus tres sumandos ortogonales: σ→os simétrico de traza nula, σ→a antisimétrico y σ→e escalar, estudiados en '6.04, ó sea: σ→ = σ→os + σ

→a + σ

→e

es fácil comprobar que si n es la dimensión de E, se verifica: τ→σ→ = (α+β)σ→os + (α-β)σ

→a + (α + β + nγ)σ

→e

Esta propiedad es de interés en los estudios sobre

elasticidad de cuerpos isótropos.

71

6.- Invariantes de un tensor.Traza.

Sea τ→ cualquier tensor de 2º orden construído sobre un

espacio vectorial n-dimensional de base e→i y de base dual e→i

Vamos a referirnos a los escalares δq definidos por la

siguiente expresión:

(29) )e..ee( )e..ee(q!1

= (ij..r)rji(ij..r)rjiq

rrrrrrrrr ∧∧∧∧∧∧ τττδ

en la que q≤n representa el orden de los dos productos tensoriales de los paréntesis, los índices distintos indican vectores base distintos, y figuran en orden numérico creciente en todos los paréntesis correspondiéndose los vectores de una base con los de la dual.

La operación indicada es un sumatorio de productos contractos uno para cada conjunto distinto de índices.

La expresión de los escalares δq como sumatorios de determinantes puede deducirse de '8.02. Tales escalares son invariantes por coincidir con los coeficientes de la ecuación característica de τ→ que estudiaremos en '8.02.

6.01.- Para q = 1 el escalar δ1 recibe el nombre de traza del tensor τ→ y la ecuación (29) adopta la siguiente forma: δ1 = (τ

→e→i)e→i

y por lo tanto: δ1 = τ

→(e→i ⊗ e→i) = τ→I→

Por consiguiente, la traza de un tensor se puede definir también como su producto contracto con I

→.

6.02.- Características de la traza de un tensor.

Mencionaremos las siguientes:

1ª.- Traza de a→i⊗b

→i = I→(a→i⊗b

→i) = (I→a→i)b

→i) = a→ib→i

2ª.- Traza de a→⊗b→ = I→(a→⊗b→) = (I→a→)b→ = a→b→

3ª.- Traza de I

→ = I

→I→ = (e→i⊗e

→i)(e→j⊗e→j) = (e→ie

j)(e→ie→j) = n

4ª.- La traza de un tensor antisimétrico es nula, pues su producto contracto con I

→ simétrico debe ser nulo.

6.03.- Formulaciones einstenianas de la traza.

I

→τ→ = (e→m⊗e→m)ti

j(e→i⊗e→j) = ti

j(e→me→i)(e→me→j) = tm

m

72

I→τ→ = (e→m⊗e→m)t

i

j(e→

i⊗e→j) = ti

j(e→me→i)(e

→me→j) = tm

m I

→τ→ = (e→m⊗e→m)tij(e→i⊗e

→j) = t

ij(e→me→i)(e→

me→

j) = tijgij

I

→τ→ = (e→m⊗e→m)tij(e→i⊗e→j) = tij(e

→me→i)(e→me→j) = tijg

ji

Observamos que la traza de un tensor es igual a la traza de cualquiera de sus matrices mixtas, referidas a cualquier base.

6.04.- Hemos visto en '1.07c), que todo tensor se puede expresar como la suma de un tensor simétrico y de otro antisimétrico, ambos únicos y ortogonales entre sí.

Vamos a ver ahora que todo tensor simétrico, a su vez, se puede descomponer, en forma única, en la suma de un tensor simétrico de traza nula ó deformador y un tensor escalar o dilatador, definidos por las siguientes expresiones relativas a E n-dimensional y al tensor simétrico τ→:

Tensor componente escalar: InI rrrτ

Tensor componente deformador: τ→ - InI rrrτ

El componente deformador así definido siempre tiene la traza nula:

0 = I - I = nnI

- I = )II(nI

- I = IInI

- rrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrr ττττττττ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Son siempre ortogonales entre sí. En efecto:

0= nn

)I)(I(-

n)I)(I(

= )II(n

)I)(I(-

n)I)(I(

= InI

-InI

22

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrr

rrrr τττττττττττ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Los tensores isótropos n

-2+

;n

3213 ττττ rrrr transforman a un

tensor en su componente escalar y deformador respectivamente.

6.05.- La traza de una suma de tensores es evidentemente la suma de las trazas de los sumandos.

Por consiguiente, la traza de un tensor coincide con la de su componente simétrico que, a su vez, coincide con la del componente escalar.

6.06.- La traza de τ→∗σ→ es τ→σ~

Pues expresando τ→ por a→i⊗b→i y σ→ por c→j⊗d

→j se tiene: I

→(τ→∗σ→) =I→[(a→i⊗b

→i)∗(c→j⊗d→j)] =I

→[(a→id

→j)(c→j⊗b→i) =(a→id

→j)(c→jb→i)

τ→σ~ = (a→i⊗b

→i)(d→j⊗c→j) = (a

→id→j)(b

→ic→j)

73

7.- Determinante de un tensor.

Llamamos determinante de un tensor τ→ siendo e→i una

base cualquiera del espacio vectorial E, al escalar δn que acabamos de definir en '6:

Det τ→ = δn = )e..ee)(e..ee(n!1 n21

n21rrrrrrrrr ∧∧∧∧∧∧ τττ

Pero utilizando el tensor ε→ de Ricci, por C'5.17

podemos sustituir los dos paréntesis del 21 miembro, con lo que tendremos:

Det τ→= ])’e..ee(][)’e..ee([n!1 n21

n21rrrrrrrrrrr ∧∧∧∧∧∧ ετττε

Sustituyendo ahora ε→ε→ por su valor n!, se tiene:

Det τ→ = (τ→e→1∧τ→e→2∧..∧τ→e→n)’(e

→1∧e→2∧..∧e→n)’ =)’e..ee()’e..ee(

n21

n21rrr

rrrrrr

∧∧∧∧∧∧ τττ

Este escalar es un invariante, puesto que si v→j es

otra base cualquiera de E, como se tiene τ→(v→j⊗e→i) = τ

~(e→i⊗v→j) ⇔ (τ~e→i)v

→j = e→i(τ→v→j

por la ecuación (15) se verificará: (τ~e→1∧τ

~e→2∧..∧τ~e→n)’(v→1∧v→2∧..∧v→n)’=(τ→v→1∧τ→v→2∧..∧τ→v→n)’(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’

Teniendo en cuenta que, por '4.09, los determinantes de

cualquier matriz mixta de un tensor coinciden, aplicando la ecuación (13), obtenemos: τ~e→1∧τ

~e→2∧..∧τ~e→n = τ→e→1∧τ

→e→2∧..∧τ→e→n y por consiguiente: (τ→e→1∧τ

→e→2∧..∧τ→e→n)’(v→1∧v→2∧..∧vn)’=(τ→v→1∧τ→v→2∧..∧τ→v→n)’(e→1∧e

→2∧..∧e→n)’

)’v..vv()’v..vv(

= )’e..ee()’e..ee(

n21

n21

n21

n21rrr

rrrrrr

rrr

rrrrrr

∧∧∧∧∧∧

∧∧∧∧∧∧ ττττττ

= Det τ→

Por todo ello, el determinante de un tensor τ→ de

segundo orden es el determinante de cualquier matriz mixta de τ→ referida a cualquier base.

7.01.- De la definición de determinante de un tensor se deduce inmediatamente:

a) Un determinante es nulo si y sólo si el tensor es de rango inferior a la dimensión del espacio, o sea que su núcleo

74

tiene una dimensión mayor que 0 (tensor irregular).

b) El determinante de un producto matricial de tensores es el producto de los determinantes de los factores.

75

8.- Valores y vectores propios de un tensor.

Supondremos un espacio vectorial E n-dimensional.

Definición. Decimos que un vector v→ no nulo es un

vector propio de un tensor τ→ de segundo orden y que λ es el valor propio correspondiente, cuando se verifica: τ→v→ = λv→ ⇔ (τ→-λI→)v→= 0→ ⇔ v→ ∈Núc (τ→-λI→)

8.01.- Por consiguiente, los valores propios que corresponden a vectores propios, son los valores de λ que hacen de τ→-λI→ un tensor irregular, o sea las soluciones de cualquiera de estas ecuaciones: Det (τ→-λI→) = 0 ti

j-λgi

j=0 ⇔ ti

j-λgi

j=0 ⇔ tij-λgij=0 ⇔ tij-λgij=0

El conjunto de vectores propios correspondientes a un valor propio λi es, por definición, el núcleo de un tensor irregular (τ→-λiI→), y por lo tanto formará un subespacio vectorial de dimensión mínima uno.

8.02.- Para el cálculo de los valores propios se

acostumbra a partir de la primera ecuación relativa a los coeficientes mixtos del tensor, que desarrollada, si la dimensión de E es n, toma la siguiente forma: A(x) = xn - δ1x

n-1 + δ2xn-2 - .. ± δn = 0

y recibe el nombre de ecuación característica de τ→.

El cálculo matricial nos demuestra que los coeficientes δq son los escalares invariantes de τ

→ de que hemos hablado en '6.

Por lo tanto δ1 es la traza de τ→, δn es el determinante

de τ→ y en general, δq es la suma de los determinantes de las matrices de qxq elementos que se pueden extraer de ti

j, cuya diagonal principal esté extraída de la diagonal principal de ti

j. Si τ→ es de rango r, tendremos δq=0 para q>r.

8.03.- Propiedades generales.

En este párrafo, y en el siguiente, señalaremos las proposiciones sin demostrarlas, pues las demostraciones serían análogas a las del cálculo matricial, que supondremos conocidas.

a) Si A(x)=0 es la ecuación característica de un tensor τ→, se verifica también A(τ→)=0, ó sea: τ→∗n - δ1τ

→∗(n-1) + δ2τ→∗(n-2) - .. ±δnI

→ = 0

→

b) La suma de los subespacios vectoriales propios de un

76

tensor, es el espacio total si, y sólo si, sus matrices mixtas son diagonalizables, es decir, que para alguna base hay una matriz mixta de coeficientes que es diagonal.

Esta condición, si hay m valores propios distintos y λi es su conjunto, equivale a que se verifique: (τ→-λ1I

→) ∗ (τ→-λ2I

→) ∗ .. ∗(τ→-λmI

→) = 0

→

Para m=n valores propios distintos se verifica siempre, pues

la ecuación se transforma en A(τ→)=0.

c) Si A(τ→) es un polinomio (ó serie polinómica convergente) de potencias matriciales de un tensor τ→, se verifica que todo vector propio v→ del tensor con valor propio α es también un vector propio de A(τ→) pero con valor propio A(α).

d) Los valores propios no reales de un tensor, son siempre pares de complejos conjugados.

e) Los vectores propios reales de un tensor τ→, corresponden siempre a valores propios reales. Al valor propio 0 corresponden como vectores propios todos los de Nuc τ→.

f) Dos tensores transpuestos uno del otro, tienen la misma ecuación característica y por tanto, iguales valores propios.

8.04.- Cuando τ→ es un tensor simétrico se verificará:

a) Todos los valores propios son reales ó nulos.

b) Los subespacios propios son ortogonales entre sí y su suma es el espacio vectorial total (suma directa).

En consecuencia, los subespacios propios de un tensor simétrico tienen la dimensión máxima, ó sea que para cada uno es igual a la multiplicidad de la solución correspondiente de la ecuación característica.

c) Existe por lo menos una base ortonormal de versores propios del tensor para el espacio vectorial E.

En consecuencia, siendo e→i una base ortonormal de E formada por vectores propios de τ→, si αi es el conjunto de valores propios correspondientes, podremos representar siempre a todo tensor simétrico τ→, con tantos sumandos no nulos como indique el rango de τ→, en la forma siguiente: τ→ = ∑[αi(e

→i⊗e→i)]

La matriz de τ→ en esta base ortonormal, será diagonal:

tij=τ

→(e→i⊗e→j)=(τ

→ei)e→

j=αie→

ie→

j tii=αi; (i≠j): tij = 0

77

8.05.- Tensores antisimétricos.

a) Todos los valores propios reales son nulos, y el núcleo es el único subespacio propio.

Pues para v→ vector propio de τ→ correspondiente a un valor propio real α no nulo, tendríamos: τ→v→ = αv→ ⇔ v→(τ→v→) = αv→v→ ⇔ τ→(v→⊗v→) = αv→v→ lo que es imposible, pues τ→(v→⊗v→) es forzosamente nulo por ser τ→ un tensor antisimétrico y v→v→ no es nulo pues v→ es real y no nulo por corresponder a un valor propio real no nulo ('8.03f).

b) Para τ→ antisimétrico, τ→∗2 es simétrico ('3.07-1ºa) y por tanto de valores propios reales ó nulos ('8.04a).

Como estos valores sabemos por '8.03c que deben ser los cuadrados de los valores propios correspondientes a τ→, estos últimos, según a), deben ser nulos ó complejos y en el segundo caso, por '8.03d, deberán ser pares de complejos conjugados, que en este caso habrán de tener la forma:

±α 1- con α real no nulo, pues su cuadrado ha de ser un número real no nulo. Este número real, ahora tendrá que ser negativo.

c) De lo dicho hasta ahora deducimos:

1. Los valores propios de un tensor antisimétrico τ→ no nulo son pares de complejos conjugados del tipo ±α 1- , ó ceros.

2. Los valores propios de τ→∗2, que siempre es simétrico, son pares de números negativos iguales, ó bien ceros.

3. Los subespacios propios de τ→∗2 son de dimensión igual a la multiplicidad de los valores propios correspondientes y la suma de todos los subespacios propios es directa, o sea E.

4. Los subespacios imagen, tanto de τ→ como de τ→∗2, que según sabemos por '1.11 son ortogonales y suplementarios a sus respectivos núcleos, tienen dimensión par.

d) Todo vector v→ es ortogonal a su imagen. Pues tenemos v→(τ→v→) = τ→(v→⊗v→) = 0 ya que el producto contracto de un tensor antisimétrico por otro tensor que es simétrico, resulta nulo.

e) Si a→ es vector propio de τ→∗2 con valor propio -α2, τ→a→ también lo es con igual valor propio y módulo αa.

Ya que siendo τ→ antisimétrico se verifica: τ→(τ→a→) = τ→∗2a→ = -α2a→ ⇒ τ→[τ→(τ→a→)] = τ→∗2(τ→a→) =-α2τ→a→

78

(τ→a→)(τ→a→) =τ→[a→⊗(τ→a→)] =-τ→[(τ→a→)⊗a→] =-a→(-α2a→) =(αa→)(αa→)

f) Si a→ es vector propio de τ→∗2 con valor propio -α2, a→ y τ→a→ determinan un subespacio bidimensional que es invariante para τ→ y se halla incluído en el subespacio propio de τ→∗2 correspondiente al valor propio -α2.

Pues se verifica: τ→[λa→+µ(τ→a→)] = λτ→a→+ µτ→(τ→a→) = λτ→a→ - α2µa→ τ→[τ→(λa→+µτ→a→)]= λτ→(τ→a→) -µτ→∗2(τ→a→)= -α2λa→ -α2µτ→a→= -α2(λa→+µτ→a→)

g) Sea a→ un vector propio de τ→∗2 con valor propio -α2. Si un vector b→ es ortogonal a a→ y a τ→a→, ó sea a un espacio invariante bidimensional, lo mismo sucederá con τ→b→: (τ→b→)a→ = τ→(b→⊗a→) = -τ→(a→⊗b→) = -(τ→a→)b→ = 0 (τ→b→)(τ→a→) = τ→[b→⊗(τ→a→)] = -τ→[(τ→a→)⊗b→] = -[τ→(τ→a→)]b→ = α2a→b

→ = 0

h) Un subespacio propio de τ→∗2 de dimensión 2m

correspondiente a un valor propio real -α2 no nulo, es la suma directa de los m subespacios bidimensionales invariantes de τ→, ortogonales entre sí, que corresponden al mismo par de valores propios raíces cuadradas de -α2. Es a su vez un espacio invariante de τ→.

Sea F el subespacio propio de τ→∗2 de dimensión 2m, correspondiente al valor propio -α2 y A un subespacio invariante de τ→ generado por a→ y τ→a→, tal que A⊂F.

Si m=1, el subespacio F queda completo, pero si m es mayor que uno podremos hallar un vector b

→ perteneciente a F y no

perteneciente a A y que sea ortogonal a a→ y a τ→a→. Por lo visto en f) y g), los vectores b→ y τ→b→ determinan un nuevo subespacio invariante B también incluído en F y ortogonal a A.

Por recurrencia quedará demostrada la proposición.

i) Siendo los subespacios propios de τ→∗2 ortogonales entre sí, por tratarse de un tensor simétrico, y por lo que acabamos de ver, resulta que todo tensor antisimétrico τ→ permite dividir E en una suma directa de subespacios ortogonales entre sí, cuyos sumandos son Nuc τ→ y los subespacios bidimensionales invariantes de τ→.

j) Teniendo en cuenta la anterior división de E en subespacios ortogonales y que un subespacio bidimensional invariante viene generado por dos vectores tales como a→ y τ→a→, que por d) sabemos que son ortogonales, podemos obtener así una base ortogonal de E.

k) Si un vector v→ pertenece al subespacio propio de τ→⊗2 correspondiente a -α2, el módulo de τ→v→, que pertenece por

79

definición al mismo subespacio invariante de τ→, es αv. (τ→v→)(τ→v→) = τ→[v→⊗(τ→v→)] = -τ→[(τ→v→)⊗v→] = -[τ→(τ→v→)]v→ = α2v→v→ = (αv)2

l) Como por d) sabemos que a→ y τ→a→ pertenecen a un mismo subespacio invariante, podremos elegir en cada sumando invariante de E según i) un versor propio e→i. En este mismo sumando, teniendo presente k), podemos tomar otro versor propio

e1

ii

rrτα

La reunión de los conjuntos de estos dos tipos de versores propios es fácil ver que formará una base ortonormal de E y por consiguiente, de acuerdo con la ecuación (3) de C'1.10, podremos escribir:

)]ee(1

+ )ee[( = i2*

ii2ii

rrrrrrrrττ

αττ ⊗⊗∑

pero como se verifica:

e- = )e(-1

= e1

iii2

i2i

2*

i2

rrrrα

ατ

α

podemos sustituir, y queda: τ→ = ∑[(e→i⊗τ→e→i)-(τ

→e→i⊗e→

i)] = ∑(e→i∧τ→e→i)

Así pues, todo tensor antisimétrico puede representarse en

esta forma.

En el caso de un espacio E tridimensional, la expresión de τ→ tendrá un solo término.

80

9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales.

9.01.- Dado un subespacio vectorial A de E euclidiano y

n-dimensional, examinemos el conjunto T de todos los tensores τ→ que verifican las siguientes condiciones:

1ª. Im τ→ = A

2ª. Nuc τ→ =Subespacio A’ ortogonal suplementario de A.

Los tensores τ→ de T tendrán por tanto el subespacio ortogonal a Nuc τ→ igual al subespacio Im τ→.

9.02.- Particularidades de la expresión τ→ = e→i⊗f→i de un

tensor de T, con un mínimo de sumandos, respecto a lo visto en '1.12.

e→i será ahora una base del subespacio A, lo mismo que lo es f

→i y seguiremos teniendo f→i = τ→e→i al ser e→i la base dual

de e→i.

Ello nos permite que para e→i podamos considerar, en lugar de una base de A, una base de E tal, que incluya una base de A así como una base de A’.

Esta nueva base da lugar a la misma expresión de los tensores de T con un mínimo de sumandos, ya que en los sumandos añadidos e→i pertenece a A’ así como su dual e

→i, y el factor τ→e→i es nulo.

9.03.- El conjunto T evidentemente no es cerrado para la suma de tensores, aunque verifica: (∀τ→T)(∀σ→T): Im (σ

→+τ→) ⊂ A (∀τ→T)(∀σ→T): Nuc (σ

→+τ→) ⊃ A’

El conjunto T es cerrado para la transposición, dado que el transpuesto de un tensor τ→, tiene su imagen ortogonal a Nuc τ→ y su núcleo ortogonal a Im τ→.

9.04.- Vamos a ver ahora, que el conjunto T toma la estructura de grupo mediante la multiplicación matricial. En efecto:

a) El tensor producto matricial de dos tensores de T pertenece a T, o sea: (∀σ→T)(∀τ→T): σ

→∗τ→ ∈T

Pues evidentemente se verifica: Nuc (σ→∗τ→) ⊃ Nuc τ→; Im (σ→∗τ→) ⊂ Im τ→ Ahora bien, si un vector v→ de Nuc (σ→∗τ→) no perteneciera también a

81

Nuc τ→, tendríamos:

⎩⎨⎧

≠⇔⎩⎨⎧

≠⇔⎩⎨⎧

≠ 0 v Nuc v

0 v0 =)v(

0 v0 =v)*( rrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

τσετ

ττσ

ττσ

y esto es imposible dado que τ→v→ pertenece por hipótesis a Im τ→, y que Im τ→ y Nuc τ→ son ortogonales.

Por consiguiente: Núc (σ→∗τ→) = Nuc τ→ = Nuc σ→ ⇒ Dim Im (σ→∗τ→) = Dim Im σ→ y como siempre se verifica Im (σ→∗τ→) ⊂ Im σ→, tendremos: Im (σ→∗τ→) = Im σ→ = Im τ→

b) Como ya hemos visto que existe la asociatividad para el producto matricial de tensores en general, también existe entre los tensores de T.

c) Existe en T un tensor unidad que es simétrico y representaremos por τ→o, siendo τ→ cualquier tensor de T.

Vamos a suponer, que por analogía con lo estudiado respecto al tensor I

→ fundamental, τ→o puede representarse así:

τ→o = e→i⊗e

→i = f→j⊗f→j

siendo e→ i y f

→j bases cualesquiera de A, y e

→i y f→j sus

respectivas bases duales respecto al subespacio A = Im τ→.

Las expresiones mencionadas son equivalentes, pues vamos a ver que son las del tensor correspondiente a la aplicación tal, que es idéntica para los vectores de A y es de anulación para los vectores de A’. Efectivamente, con una cualquiera de ellas sucederá lo siguiente:

Si a→∈A podremos expresarlo por a→=aie→i y se verificará:

τ→oa→ = (e→i⊗e

→i)a→ = (a→e→i)e→i = aie

→i = a→

Si a→∈A', tendremos e→ia→=0 y por tanto:

τ→oa→ = (e→i⊗e

→i)a→ = (a→e→i)e→i = 0

→

Este tensor τ→o es el elemento unidad del conjunto T,

pues para cualquier otro elemento τ→ = e→i⊗f→i de T se tiene:

τ→∗τ→o=(e→i⊗f

→i)∗(e→j⊗e→j)=(eie

→j)(e→j⊗f→i)= e→i⊗f

→i = τ→ τ→o∗τ→=(f→i⊗f

→i)∗(e→j⊗f→j)=(fif

→j)(e→j⊗f→i)= e→i⊗f

→i = τ→

Para dos tensores τ→ y σ→ cualquiera de T, tendremos evidentemente:

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τ→o = σ→o

d) Los elementos de T admiten inverso.

El inverso de τ→ = e→i⊗f→i es τ→-1 = f

→i⊗e→i, cuyos factores

pertenecen a las bases duales de las consideradas para τ→, como vamos a comprobar a continuación: τ→∗τ→-1=(e→i⊗f

→i)∗(f→j⊗e→j)=(eie

→j)(f→j⊗f→i)= f

→i⊗f→i = τ→o

τ→-1∗τ→=(f→j⊗e

→j)∗(e→i⊗f→i)=(fjf

→i)(e→i⊗e→j)= e→i⊗e

→i = τ→o

e) De acuerdo con las propiedades generales de los conjuntos, tendremos:

1) El elemento neutro de T para la ley ∗ es único. 2) El elemento inverso de un tensor de T, por tener una ley

asociativa para ∗, es único.

9.05.- Por ser T un grupo, se tiene:

a) Existe una ley de simplificación a derecha e izquierda: σ→∗τ→ = µ→∗τ→ ⇔ σ→ = µ→ τ→∗σ→ = τ→∗µ→ ⇔ σ→ = µ→

b) Las ecuaciones σ→∗µ→=τ→ en µ→ y µ→∗σ→=τ→ en µ→, admiten, cada una, solución única. σ→∗µ→ = τ→ ⇔ µ→ = σ→-1 ∗ τ→ µ→∗σ→ = τ→ ⇔ µ→ = τ→ ∗ σ→-1

9.06.- Otros datos sobre τ→o.

1.- Matriz canónica o reducida del tensor τ→o.

Si tomamos como base del espacio vectorial E n-dimensional, la reunión de dos bases cualquiera, una de A = Im τ→ y otra de A’ = Nuc τ→, es fácil ver que a cada base así compuesta corresponde una única matriz mixta de τ→o, en cuya diagonal principal hay tantos +1 como indique el rango de τ→, y siendo nulos los demás elementos de la matriz.

2.- La traza de τ→o es igual al rango y el determinante es +1 para un tensor regular y 0 para uno irregular.

3.- Los subespacios propios de τ→o son el núcleo y la imagen, con valores propios 0 y +1 respectivamente.

Así pues, todo vector propio de τ→ con valor propio α, es vector propio de τ→o con valor propio αo.

4.- Sea un vector v→ de E descompuesto en sus proyecciones

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ortogonales v→i y v→n sobre Im τ

→ y Nuc τ→ respectivamente. Dada la definición de τ→o, podremos escribir: τ→ov→ = τ→o(v→i+v

→n) = τ

→ov→i + τ→ov→n = v

→i + 0

→

O sea, que τ→o es el tensor de la aplicación ortogonal de un

vector de E sobre A = Im τ→.

De la misma manera podemos escribir: (I

→-τ→o)v→ = I

→v→ - τ→ov→ = v→ - v→i = v

→n

y I

→-τ→o es el tensor de la aplicación proyección ortogonal de un

vector sobre Nuc τ→.

5.- Para dos tensores τ→ y σ→ de grupos distintos, tales que Im τ→ es ortogonal y suplementario de Im σ→, se tendrá: τ→o + σo = I

→

9.07.- Otros datos de τ→-1.

Un vector propio v→ del tensor τ→, con valor propio α≠0,

es vector propio de τ→-1 con valor propio α-1: τ→-1∗τ→=τ→o ⇔ τ→-1(τ→v→)=τ→ov→ ⇒ τ→-1(αv→)=v→ ⇔ τ→-1v→=α-1v→

9.08.- Potencias matriciales de elementos de T.

Son evidentemente elementos de T, las potencias de exponente entero positivo de un tensor de T, así como las de exponente cero o menos uno que hemos definido anteriormente.

Podemos definir también y sin inconveniente, una potencia matricial entero negativa de un tensor de τ→ de la siguiente manera: τ→-m = (τ→-1)∗m y es fácil ver que con exponentes enteros de cualquier signo o nulos se verifica: τ→∗α ∗ τ→∗β = τ→α+β

Siendo así, podremos considerar elementos de T formados por polinomios matriciales con sumandos de tipo ατ→∗s con α escalar y exponentes s enteros de cualquier signo, o nulos, e incluso series polinómicas convergentes de cualquier tensor τ→ de T.

Para estos casos recordaremos '8.03c, en que se decía que si A(τ→) es la expresión de un tensor de este tipo, y v→ es un vector propio de τ→ con valor propio α, v→ también será vector propio de A(τ→) con valor propio A(α).

9.09.- Observaciones.

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En todo lo que acabamos de decir relativo a potencias

negativas o nulas de un tensor τ→, se presupone que el tensor las admite tal como se han definido, y es evidente que esto ocurre si y sólo si Im τ→ y Nuc τ→ son ortogonales y suplementarios ya que esta es la única condición exigida para que τ→ pueda formar parte de algún grupo del tipo estudiado.

Un grupo que presenta especial interés es el grupo de los tensores regulares, que tienen el subespacio núcleo reducido al vector nulo y para el que τ→o= I

→ y τ→∗τ→-1= I

→.

Es de notar que todos los tensores simétricos así como

los antisimétricos, admiten exponentes nulos y negativos del modo aquí definido, ya que por '1.11 sabemos que tienen el núcleo ortogonal y suplementario de su imagen.

Se puede ver fácilmente que si un tensor τ→ de orden r tiene ortogonales imagen y núcleo, sus matrices respecto a una base reunión de dos bases cualesquiera, una del subespacio imagen y otra del subespacio núcleo, con la conveniente ordenación de los vectores base, presenta la siguiente estructura:

en que A es una matriz regular de rxr elementos y en que son nulos todos los elementos exteriores a A.

9.10.- Cuando dado un tensor τ→ cuyo rango es r, existen los tensores τ→o y τ→-1, ó sea que Núc τ→ es el subespacio ortogonal y por tanto suplementario de Im τ→, podemos calcularlos conociendo la ecuación A(τ→) característica de τ→.

Suprimiendo en lo sucesivo el signo ∗ en los exponentes, y para E n-dimensional, por '8.03a tenemos: 0

→ = P(τ→)= τ→n - δ1τ

→n-1 + δ2τ→n-2- ... ±[δr-1τ

→n-r+1 - δ rτ→n-r] =

= τ→n-r(τ→r - δ1τ

→r-1 + ... ±[δr-1τ→ - δrτ

→o]) y existiendo τ→o, se demuestra que esto exige: τ→r - δ1τ

→r-1 + ... ±[δr-1τ→ - δrτ

→o] = 0→

De esta última igualdad se puede obtener τ→o en función

de potencias matriciales de τ→.

Tal ecuación se puede poner también en otra forma:

A 0

0 0

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τ→(τ→r-1 - δ1τ→r-2 + ... ±[δr-1τ

→0 - δrτ→-1]) = 0

→

que exige: τ→r-1 - δ1τ

→r-2 + ... ±[δr-1τ→0 - δrτ

→-1] = 0→

y de esta última expresión se puede obtener τ→-1.

9.11.- En las mismas condiciones señaladas en '9.10, vamos a ver otras formas de cálculo para diversos rangos r de τ→, con E n-dimensional.

a) r=n (tensor regular).

Tendremos evidentemente τ→o=I→, y en cuanto a τ→-1 lo

podremos obtener a través de su matriz mixta τ→-1’ por un conocido método de cálculo matricial.

Recordando del cálculo matricial que la matriz A+ adjunta de la matriz A es la traspuesta de la matriz obtenida reemplazando en A cada término por su cofactor y que se verifica: AA+ = A+A = I (det A) al llamar µ→ el tensor tal que µ’=A+, tendremos:

τ→∗µ→ = I→(det τ→) ⇔ µ→ = τ→-1(det τ→) ⇔ τ

µτ r

rr

det = 1-

b) r<n.

Adoptaremos una base de E que sea una reunión de cualquier base de Im τ→ y de cualquier base de Nuc τ→, y así, con la debida ordenación de los vectores base, la matriz τ→’ presenta la forma explicada en '9.09.

Sustituyendo la matriz A, -que de esta manera resultará regular-, por la matriz A-1, ó una matriz unidad, se obtienen las matrices τ→-1’ ó τ→o’ respectivamente.

c) r=n-1.

Si τ→ cumple las condiciones de la hipótesis, podremos adoptar para E una base ortonormal uno de cuyos versores pertenezca a Nuc τ→. Expresando τ→’ en esta base, su matriz adjunta tendrá un único elemento no nulo situado en la diagonal principal, y resulta Im µ→ unidimensional, igual a Nuc τ→ y ortogonal a Nuc µ→.

La ecuación característica de µ→ solo tendrá un coeficiente no nulo, y éste será la traza, que como evidentemente ha de ser igual a la suma de los menores de la traza de τ→, coincidirá con el coeficiente δn-1 de la ecuación característica de τ→. La ecuación será pues:

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δµµµδµµ1n-

001n- = 0 = - = )P(

rrrrrr ⇒

Pero como el subespacio imagen de µ→ es ortogonal y suplementario del de τ→, tendremos:

δµ

τµτ1-n

000 - I = I = + r

rrrrr ⇒

d) r=1.

Si α es el valor propio no nulo de τ→, es también su traza y tendremos:

ατ

ατ

ατ

ττατ

ττατ2

01-1-00 = = = = 0 = -

rrrrr

rrrrr ⇒⇒

87

9.12.- Potencias y raíces de tensores simétricos.

Si tenemos un tensor simétrico τ→, hemos visto em '8.04c

que siempre existe para E una base ortonormal de versores propios e→i de τ

→. Si los conocemos, y también conocemos los valores propios αi correspondientes, y el rango r, es fácil ver que podremos expresar a τ→ y a sus potencias matriciales enteras del siguiente modo:

τ→ = ∑ r

1[αi(e

→i⊗e→i)]; τ

→q = ∑ r

1 [(αi)

q(e→i⊗e→i)]

Sabemos por '8.03c que los vectores propios de τ→q son

los mismos de τ→ y que sus valores propios son αq.

9.13.- Raíces.

Se puede emplear la expresión de la potencia q de τ→, para definir la raíz m de τ→ si se utiliza un valor fraccionario 1/m para q, pues es evidente que su potencia m reproduce el tensor τ→.

A continuación expondremos algunas observaciones sobre la radicación de tensores simétricos, con algunos ejemplos de raíces cuadradas.

a) Raíz cuadrada de un tensor con valores propios distintos y rango r.

Al tensor τ→=∑αi(e→i⊗e→i) corresponderán diversos tensores raíz

cuadrada:

...+)ee( + )ee( + )ee(+ = )( 3332221111rrrrrrr

⊗⊗⊗ ααατ

...+)ee( + )ee( + )ee(- = )( 3332221112rrrrrrr

⊗⊗⊗ ααατ etc.

Habrá 2r soluciones simétricas distintas cuyo cuadrado reproduce τ→, ó sea tantas como variaciones de orden r con repetición se pueden formar con dos elementos.

Las raíces sólo son reales en el caso de que todos los valores propios son positivos.

b) Raíz cuadrada de τ→ de rango r y valores propios múltiples.

Habrá infinidad de soluciones, pues si por ejemplo hay un valor propio doble, habrá un subespacio propio bidimensional en el que podremos elegir entre infinidad de pares de vectores ortogonales propios para formar parte de la base en que se exprese el tensor. Que se elija uno u otro par no altera al tensor representado, pero sí cambian las raíces cuadradas obtenidas eligiendo raíces cuadradas opuestas para cada versor del par.

88

c) Al operar con raíces, debe cuidarse de no cometer errores análogos al que se cometería si siendo +1 y -1 raíces cuadradas de +1 escribiéramos (-1)(+1) = +1.

d) La fórmula aquí empleada solo permite obtener raíces simétricas y es evidente que pueden existir raíces cuadradas de otros tipos. Por ejemplo, si σ→ es antisimétrico, hemos visto por '8.05b que σ→2 es simétrico, y por tanto una de las raíces cuadradas de este último es σ→, que es antisimétrico.

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10.- Tensores ortogonales.

Definiciones:

1ª. Reciben el nombre de tensores ortogonales los

tensores ω→ tales que su inverso es igual a su transpuesto: ω→-1 = ω~

2ª. Son los tensores ω→ que conservan el producto escalar: (∀v→)(∀w→): v→w→ = (ω→v→)(ω→w→)

Puesto que esta ecuación equivale a: (∀v→)(∀w→): v→w→ = ω→(v→⊗ ω→w→) = ω~(ω→w→ ⊗ v→) = [(ω~∗ω→)w→]v→ y esto ocurre si y solo si: ω~∗ω→ = I→ ⇔ ω~ = ω→-1

3ª. Son los tensores que conservan la norma de todo vector tal como u→+v→ siendo u→ y v→ vectores cualquiera. O sea: (v→+w→)2 = [ω→(v→+w→)]2 = (ω→v→+ω→w→)2 y esto equivale a: v2 + w2 + 2v→w→ = (ω→v→)2 + (ω→w→)2 + 2(ω→v→)(ω→w→) que a su vez equivale a: v→w→ = (ω→v→)(ω→w→)

10-01.- Propiedades:

a) Es fácil ver que los tensores ortogonales son regulares y forman un subgrupo del grupo de los tensores regulares.

b) De la primera definición se deduce inmediatamente que el determinante de un tensor ortogonal es +1 ó bien -1.

Los tensores ortogonales de determinante +1, conservan la orientación de una base y constituyen un subgrupo del subgrupo de tensores ortogonales, el de los tensores llamados rotaciones.

90

11.- Tensores semejantes.

Definición.- Diremos aquí que dos tensores τ→ y σ→ son

semejantes cuando para algun tensor ortogonal ω→ se verifica: σ→ = ω→∗τ→∗ω~ y entonces también tendremos recíprocamente: ω→-1∗σ→∗ω~-1 = τ→ ⇔ ω~∗σ→∗ω→ = τ→ y por consiguiente, un tensor y sus semejantes constituyen una clase de equivalencia.

11.01.- Las ecuaciones características de dos tensores semejantes son coincidentes.

Efectivamente. Si la ecuación característica de τ→ es Det(τ→-λI→) = 0, podremos escribir: ω→∗(τ→-λI→)∗ω~ = ω→∗τ→∗ω~ - ω→∗( λI→)∗ω~ = ω→∗τ→∗ω~ - λI→ Det(τ→-λI→) = 0 ⇔ Det[ω→∗(τ→-λI→)∗ω~]= 0 ⇔ Det[ω→∗τ→∗ω~ - λI→] = 0

Por consiguiente serán comunes los valores propios y los invariantes δq.

11.02.- Si σ→ es semejante a τ→ y la semejanza viene dada por ω→, se verifica que al vector propio v→ de τ→ con valor propio α, corresponde el vector propio ω→v→ de σ→ con la misma norma que v→ e igual valor propio α: (ω→∗τ→∗ω~)ω→v→ = (ω→∗τ→∗ω~∗ω→)v→ = (ω→∗τ→)v→ = ω→(τ→v→) = α(ω→v→)

En cuanto a las normas de v→ y ω→v→ son las mismas por ser ortogonal el tensor ω→ según sabemos por '10-3ª.

11.03.- Si un tensor se expresa por τ→=a→i⊗b→i su semejante

σ→ = ω→∗τ→∗ω~ se podrá expresar por σ→= ω→a→i⊗ω→b→i, ya que de un modo más

general, podemos escribir:

[µ→∗(a→i⊗b→i)∗λ~]v→ = µ→[(a→i⊗b

→i)(λ~v→)] = µ→[(λ~v→)a→i]b→i =

= µ→[λ~(v→⊗a→i)]b→i = [λ→(a→i⊗v

→)]µ→b→i = [(λ→a→i)v→]µ→b→i = (λ→a→i⊗µ→b→i)v→

y por lo tanto:

µ→∗(a→i⊗b→i)∗λ~ = λ→a→i⊗µ→b→i

91

12.- Tensores simétricos definidos positivos.

12.01.- Definición. Decimos que un tensor τ→ simétrico

es definido positivo y escribimos τ→>0, cuando se verifica: (∀v→; v→≠0): τ→(v→⊗v→) > 0 y esto ocurre, como vamos a ver, si y sólo si todos los valores propios de τ→ (que son reales por ser simétrico por hipótesis) son positivos.

Pues en este caso podremos adoptar una base ortonormal e→i de vectores propios de τ

→ y para cualquier vector v→=vie→i se verificará: τ→(v→⊗v→) =τ→(vie→i⊗v

je→j) =vi(τ→e→i)v

je→j = (∑αivie→i)(v

je→j)= ∑αi(vi)2 > 0

12.02.- Si τ→ simétrico es definido positivo, es fácil

ver que corresponde a una función bilineal simétrica de E×E y que ésta define un nuevo producto escalar entre dos vectores cualesquiera v→ y w→ calculable por la fórmula: v→ •w→ = τ→(v→⊗w→)

Este producto escalar, que es distinto al admitido previamente para E y que lo hace propiamente euclidiano (pues sólo coincide en el caso τ→=I→), da lugar a una nueva estructura de espacio propiamente euclidiano y en consecuencia serán aplicables para ella las propiedades generales correspondientes.

12.03.- Tendremos pues las modalidades siguientes:

1ª. Las nuevas matrices fundamentales de bases son de determinante positivo, y por tanto serán aplicables las desigualdades de Schwartz, por ejemplo: (v→•w→)2 ≤(v→•v→)(w→•w→) ⇔ [τ→(v→⊗w→)][τ→(v→⊗w→)] ≤ [τ→(v→⊗v→)][τ→(w→⊗w→)]

2ª. La nueva ortogonalidad viene dada por τ→(v→⊗w→) = 0 y diremos que v→ y w→ son conjugados respecto a τ→.

Existirá siempre una base de vectores conjugados dos a dos.

3ª. La matriz fundamental correspondiente a una base e→i es tij pues se verifica τ

→(e→i⊗e→

j) = tij.

4ª. Un cambio de bases dado por la matriz A cambia a la matriz fundamental en la forma siguiente: t’ij = A

~tijA

12.04.- Por ser simétrico τ→ y por '8.04-c), sabemos que

92

siempre existen bases ortogonales de vectores propios de τ→, que una de ellas es ortonormal, y que, respecto a ella, las matrices de τ→ coinciden en una única matriz diagonal.

Estas bases están formadas por conjuntos de vectores conjugados dos a dos.

En efecto. Con la base e→i correspondiente a los valores propios αi podremos escribir: (i≠j): τ→(e→i⊗e

→j) = (τ

→e→i)e→j) = αie

→ie→

j = 0

12.05.- Sea un tensor simétrico τ→. Con una base ortonormal cualquiera, la matriz tij coincidirá con la matriz ti

j. pero sólo serán una matriz diagonal en el caso de que los elementos de la base ortonormal sean vectores propios de τ→.

Las ecuaciones correspondientes al cambio entre estas dos bases ortonormales son, segun vimos en '2.07/8 las siguientes: t’ij = A

~ tijA, t’i

j = A-1ti

jA

Pero ahora tenemos tij=ti

j y t’ij=t’i

j y por lo tanto, para este cambio de bases será preciso A-1 = A~, es decir. que A sea una matriz ortogonal. Puede comprobarse que A es entonces la matriz cuyas columnas están formadas por los coeficientes de los vectores propios normalizados, expresados en la base ortonormal original.

Evidentemente, las operaciones anteriores son aplicables en cálculo matricial a la diagonalización de una matriz simétrica. Para ello hallaremos el polinomio característico de la matriz, y sus vectores (matrices línea) propios de los que deduciremos los vectores propios ortonormales. Con estos últimos podremos formar la matriz A ortogonal a utilizar para obtener la matriz diagonal buscada.

93

13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos.

13.01.- Definición.

Decimos que un tensor es semidefinido positivo y

escribimos τ→≥0 cuando se verifica: (∀v→): τ→(v→⊗v→) ≥ 0

Esto ocurre si y sólo si todos los valores propios αi de τ→ son positivos o nulos, lo que se demuestra como en '12.01.

13.02.- Si τ→ es semidefinido positivo, también corresponde a una función bilineal simétrica de E×E, que define para E un producto calculable por la fórmula: v→ • w→ = τ→(v→⊗w→) que da lugar en E a una nueva estructura, esta vez de espacio semidefinido positivo.

13.03.- Las nuevas matrices fundamentales de bases son de determinante positivo o nulo y son aplicables como en '12.03 las desigualdades de Schwartz.

Las demás propiedades mencionadas en '12.03/4/5 para los espacios definidos positivos, resultan también aplicables a los espacios semidefinidos positivos.

95

ANALISIS TENSORIAL

A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS.

1.- Espacios puntuales afines.

1.01.- Definición.- Son los espacios E que generalizan

las propiedades del espacio puntual de la geometría ordinaria a cualquier dimensión. Sus elementos se denominan puntos, sabemos distinguir cada uno de ellos de los demás y tienen las siguientes propiedades:

a) A cualquier elemento de E×E, ó sea a cualquier par ordenado de puntos (A,B) del conjunto E, se puede hacer corresponder un vector, designado por AB→, de un espacio vectorial E de n dimensiones, y esta correspondencia verifica las siguientes propiedades: AB→ = - BA→ AB→ = AC→ + CB→

En geometría ordinaria, E es el espacio vectorial de los vectores libres.

b) A cada par formado por un vector a→ de E y un punto O de E, corresponde un único punto A de E tal que verifica: OA→ = a→

En geometría ordinaria OA→ es el vector equipolente a a→ que está ligado al punto 0.

1.02.- Según sea el espacio vectorial E que corresponda al espacio puntual afín, este último recibirá un nombre. Así un espacio puntual afín n-dimensional es el que corresponde a E de n dimensiones, un espacio puntual afín real es el que corresponde a E real, y un espacio puntual afín propiamente euclidiano, el que corresponde a E propiamente euclidiano.

En lo sucesivo y de no indicar lo contrario, nos referiremos siempre a espacios puntuales afines reales y propiamente euclidianos.

En virtud de la correspondencia mencionada, llamaremos vectores a los elementos (A,B). Por otra parte, diremos en relación con un vector AB→ que A es su origen y B su extremo.

1.03.- Sea E un espacio puntual afín, correspondiente el espacio vectorial E.

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Para su estudio elegiremos un punto O cualquiera de referencia, y consideraremos al conjunto O×E de los pares de puntos de E que tienen en común el primer punto O, como un espacio vectorial EO constituído por los vectores de E ligados al punto O. Este último conjunto, de acuerdo con '1.02b, vemos que corresponde a E, verificándose OO→ = 0

→.

Eligiendo a otro punto O’ distinto, podremos considerar

análogamente otro espacio vectorial EO' de los vectores (O’,E) ligados al punto O’.

A un mismo punto A del espacio puntual afín corresponden, en EO y EO' respectivamente, los vectores OA

→=a→ y O’A→=a→' que evidentemente verificarán la siguiente relación: a→ = a→’ + OO’→ que explicita la aplicación de EO' sobre EO por la que OA

→ es la imagen de O’A→.

La elección de un punto de referencia y por tanto de un espacio vectorial EO de referencia, nos permite determinar unívocamente cada punto de E mediante cada vector de EO. A estos vectores les denominaremos vectores de posición. Su valor para un mismo punto variará con el punto de referencia elegido.

1.04.- Del punto arbitrario O decimos que es un origen ó punto de referencia de E, que junto con EO define unívocamente al espacio puntual afín.

El cambio de origen de O’ a O equivale a cambiar EO' por EO de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior.

1.05.- En un espacio puntual afín las referencias para el cálculo en cada caso particular no solo consistirán en la base que se haya adoptado para E, sino también en el mismo espacio vectorial EO escogido, ó lo que al efecto es equivalente, el punto origen elegido.

La referencia de E total para el cálculo será pues: (O, base de E)

Un cambio de referencias hará variar las cifras usadas para el cálculo. Para éste ya suponemos conocido el efecto de un cambio de base en un espacio vectorial, y acabamos de considerar ahora el efecto de un cambio de origen en el espacio vectorial de los vectores ligados al origen.

Es fácil ver que el orden de sucesión con que se calculen los dos tipos de variación es indiferente.

1.06.- Advertencia.

Tendremos en cuenta, que el objeto de este ensayo es solamente, estudiar la aplicabilidad en Análisis tensorial del

97

método de representación tensorial intrínseca utilizado en el Algebra tensorial, partiendo de las bases matemáticas conocidas.

1.07.- Aplicaciones de E en G. Campos.

Si tenemos una aplicación ϕ definida en un dominio de E sobre un espacio G cualquiera, tal que para los puntos A del dominio se tiene ϕ(A)=mA, diremos que ϕ es una aplicación de E en G, cuya imagen en A es mA.

Decimos también entonces, que en tal dominio de E hay un campo de la variable m, con valores mA, mB, etc. en sus puntos A,B, etc. respectivamente.

Si los valores de m son los mismos en todos los puntos de un dominio ∆ de E decimos que en ∆ el campo de m es uniforme.

A las aplicaciones de E en G las denominaremos también aplicaciones puntuales.

En este texto y salvo indicación expresa, nos limitaremos a considerar solamente las aplicaciones puntuales de E en un espacio vectorial euclidiano F, cuyas imágenes por tanto se puedan representar por tensores de un mismo orden, incluyendo entre los tensores a escalares y vectores.

A este tipo de aplicación, corresponderá el campo de una variable que expresa tensorialmente a una magnitud llamada puntual, y que tomará un valor particular en cada punto.

1.08.- De acuerdo con el párrafo anterior, aquí también podremos considerar aplicaciones de E sobre el espacio vectorial L de las aplicaciones lineales de E en F, puesto que según vimos en Algebra tensorial, sus imágenes son representables por tensores.

1,09.- Frecuentemente se define una aplicación puntual de E en F, a través de una aplicación f de E en F referida a un punto dado O, y establecemos entonces que la imagen en un punto A cualquiera es f(OA→).

De este modo, de una aplicación f única de E en F pueden derivarse tantas aplicaciones puntuales, como puntos de referencia se pueden elegir. Eligiendo un punto distinto O’, resulta que la nueva imagen en A es f(O’A→).

Diremos que las imágenes tensoriales en cualquier punto dado de todas estas aplicaciones puntuales, son expresiones de una misma magnitud, tal como τ→, y las designaremos por: τ→OA, τ

→O’A, ...

1.10.- Aplicaciones continuas de E en F.

Una aplicación f de E en F es contínua en un punto X,

si y sólo si siendo X’ otro punto, con cualquier referencia O se

98

verifica: (1) (∀O)(∀X’;XX’→→0

→): lim [τ→OX’-τ

→OX] = 0

→

y entonces decimos también que la magnitud τ→ es contínua en X.

Si y sólo si f es continua en todo punto de un dominio ∆ de E, diremos que f es continua para ∆.

1.11.- Aplicaciones diferenciables de E en F. Una aplicación f de E en F es diferenciable en X, si y

sólo si existe una aplicación lineal L de E sobre F, propia del punto X y de f, e independiente del origen, tal que si X' es otro punto de E y llamamos dx→ al vector XX’→, se verifica:

(2) (∀O)(∀X’; XX’→→ 0→): 0 =

dx)xL(d - ]-[

lim OXXOrrr ττ ′

y entonces decimos también que la magnitud τ→ es diferenciable en X.

Si y sólo si f es diferenciable en todo punto de un dominio ∆ de E, diremos que f es diferenciable sobre ∆.

1.12.- Dentro de las aplicaciones diferenciables, distinguiremos dos clases:

a) Clase H1.- Son las que verifican las siguientes hipótesis:

1ª.- La aplicación es biunívoca. 2ª.- Para todo X→∈∆ la aplicación L también es biunívoca.

b) Clase H2.- Son las aplicaciones de la clase H1 que

además son dos veces continuamente diferenciables sobre ∆.

1.13.- Todas las aplicaciones lineales son diferenciables.

Pues si f es lineal, para cualquier origen O se verifica: τ→OX’-τ

→OX = f(OX’

→)-f(OX→)= f(OX’→-OX→)=f(XX’→)= f(dx→) y por tanto L=f uniforme satisface la ecuación (2) en todo punto. Mencionaremos en particular la aplicación idéntica, que será diferenciable por ser lineal.

Su consideración como aplicación diferenciable es coherente con las propiedades conocidas de la magnitud vector de posición. Así pues, aplicando la última ecuación utilizada, podemos escribir:

99

(∀O): r→X’ - r→

X = f(dx→) = dx→ = XX’→

1.14.- Sea una aplicación contínua y diferenciable en

un dominio ∆ de E y dos puntos dados del mismo tales como A y N. Si la magnitud correspondiente es τ→ se verifica: (∀O)(∀O’): τ→ON - τ

→OA = τ

→O’N - τ

→O’A

Efectivamente. Podemos suponer una línea del dominio

que une los puntos A y N con puntos intermedios B,C,..,M y por tanto tendremos: AN→ = AB→ + BC→ + ... + MN→

Esto sucederá sea cual sea el número de puntos intermedios elegidos, y también por lo tanto, cuando este número crezca indefinidamente y la longitud dx de los segmentos tienda a cero. En estas condiciones también tenderá a cero la relación por cociente entre numerador y denominador de la fracción indicada por la ecuación (2) para cada sumando.

De ello se deduce que también tiende a cero la relación por cociente entre la suma de numeradores y la suma de denominadores. Pero como la suma de denominadores es siempre la longitud de la línea, longitud que supondremos finita, resulta que, en el límite, la suma de numeradores será nula, y por tanto podremos escribir:

[ ] ( ) 0xdLlim X

N

AX

N

AOXXO =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−− ∑∑ ′

rrr ττ

Efectuando el primer sumatorio, y sustituyendo el

símbolo LX por el factor contracto tensorial λ→X equivalente, se

tiene:

( )XN

AXOAON xdlim

rrrr ∑=− λττ

Como el 2º miembro no varía al sustituir un origen por

otro, lo mismo sucederá con el primer miembro, como queríamos demostrar.

Esta última igualdad, para τ→ contínuo y diferenciable, suele escribirse omitiendo el origen, y aplicando la convención que utiliza el signo ∫, en lugar del signo Σ habitual y de la indicación de límite, cuando este límite se refiere a un número de puntos intermedios que creciendo indefinidamente en una línea de unión entre dos puntos fijos, guardan distancias sucesivas que tienden a cero.

Quedará así:

100

(3) ∫N

AAN xd = -

rrrr λττ

y el sumatorio del 2º miembro se lee: integral de λ→ desde A a N.

1.15.- Otras observaciones sobre las aplicaciones diferenciables.

a) El campo de τ→O y el campo de τ→O' difieren en un campo

uniforme, pues tenemos: τ→OA-τ

→OB = τ

→O’A-τ

→O’B ⇒ τ→OA-τ

→O’A = τ

→OB-τ→

O’B = τ→

OO’-τ→

O’O’ = Cte. y esta constante, en el caso de tener τ→O’O’=0

→, valdrá τ→OO’.

b) Hemos hablado de campos y variables ó magnitudes en

'1.07. Conviene señalar que, cuando existe una aplicación contínua y diferenciable de E en F de imágenes τ→, existen tantos campos de τ→ como puntos origen es posible adoptar, pero se conviene que la magnitud τ→ es común y una sola. En cuanto al campo L determinado por f, hemos visto que es uno sólo, el mismo con cualquier origen que se considere, y por lo tanto con cualquier campo de τ→. Finalmente acabamos de ver que la diferencia entre dos campos de τ→ es un campo uniforme.

1.16.- Diferenciales.

Previamente haremos observar, que en el lenguaje

habitual, llamamos x→ y x→+dx→ a los vectores OX→ y OX’→=OX→+XX’→ respectivamente, sin expresar el origen O adoptado.

Nos referiremos ahora a una aplicación f de E en F diferenciable y continua en un punto X, así como a la aplicación lineal L que f determina en el punto X, según se ha visto en '1.l1, y al factor tensorial contracto λ→ equivalente a L. Designaremos por τ→ la magnitud tensorial correspondiente a f.

Utilizando otro punto X’ cualquiera de E, definiremos como diferencial de x→ en X, al vector variable XX’→ de EX, designado habitualmente por dx→, y que tomará un valor determinado para cada punto X’ que se elija.

Definiremos como diferencial de τ→ en X y lo designaremos por dτ→ a la siguiente variable tensorial: (4) dτ→ = LX(dx

→) = λ→Xdx→

cuyo valor depende no solamente de f y de X, por sucederle esto a L, sino también de la elección de X’, de la que depende dx→. Por otra parte, no se altera con un cambio de origen en la identificación de X.

El orden tensorial de dτ→ coincide con el de τ→.

Podremos escribir:

101

∫N

AAN d = - τττ

rrr

manteniendo el significado de (3), es decir, que el sumatorio límite indicado por el signo integral, se refiere a sumandos cuyo número crece indefinidamente y a segmentos con dx→0.

1.17.- Integrales y derivadas (espaciales).

De lo visto hasta ahora deducimos, que la existencia de un campo contínuo y diferenciable τ→ de orden tensorial m, implica la existencia correspondiente de otro campo λ→, distinto, de orden tensorial m+1, ambos relacionados por la igualdad (3).

De cualquier campo de τ→ decimos que es un campo

integral de λ→ y del campo de λ→ que es la derivada espacial de τ→, ó simplemente derivada de τ→ cuando no puede haber confusión.

La implicación recíproca a la mencionada no es cierta, pues aunque siempre podemos admitir la existencia de un campo λ→ cualquiera, de ello no podemos deducir, en general, la existencia de un campo τ→ correspondiente y que sea contínuo y diferenciable.

Por ello, entre las magnitudes puntuales arbitrarias λ→,

habremos de distinguir entre las integrables y las que no son integrables.

Cuando λ→ no es integrable, es decir, que no corresponde al campo de las aplicaciones lineales L propio de una aplicación contínua y diferenciable de E en F, las ecuaciones (3) y (4) no tienen el significado original. En consecuencia, y para evitar errores, en estos casos procuraremos no usar la expresión ∫A

N λ→dx→, ni escribir dτ→ más que para referirnos a un diferencial.

Advertimos que, evidentemente, la ecuación (3) sólo tiene sentido cuando λ→ es integrable. Si λ→ no es integrable el valor de la integral podrá variar con la línea de unión de las puntos señalados y tendrá aplicación en otras fórmulas si se indica la línea a considerar, por ejemplo de la siguiente manera:

xdl

rrλ∫

cuando se refiera a una línea l determinada y que leeremos integral lineal de λ→ en l.

Por otra parte, en lo que respecta a nombres, así como hemos llamado derivada de τ→ al tensor λ→, llamaremos derivada direccional de τ→ respecto respecto a la dirección de un vector base cualquiera de E tal como e→i, al tensor:

102

τλ rr

rr

e=e

ii

∂∂

Estos nombres generalizan conceptos conocidos del

Análisis escalar, a los espacios n-dimensionales y a las variables tensoriales. Los conceptos originales siguen válidos, pero ahora se refieren a casos particulares del concepto general.

El diferencial dτ→ podremos expresarlo en función de las derivadas direccionales si sustituímos en (4) dx→ por su expresión en una base e→i cualquiera ó su dual e

→i:

dτ→ = dxiλ→e→i = dxiλ

→e→i ⇒

(5) e

dx = e

dx = dii

i

ir

r

r

rr

∂∂

∂∂ τττ

que expresa dτ→ como suma de diferenciales direccionales ó parciales.

1.18.- Vector ∇.

Sea un campo τ→ contínuo y diferenciable en un punto X dado, al que nos referiremos. Por tanto X no es un punto singular del campo τ→, y para él existe un diferencial dτ→.

Sabemos, por definición, que en tal punto el valor de dτ→ depende no sólo del valor del campo λ→ y por tanto del campo τ→, sino que además varía linealmente con el vector dx→, que es independiente de τ→.

Si la relación de dτ→ con τ→ fuera lineal, hubiésemos podido escribir para algún campo vectorial ∇ (de orden tensorial 1, como el de dx→), la siguiente igualdad: (6) dτ→ = (dx→ ∇)τ→ en la que no sólo se mantiene la igualdad de orden tensorial entre τ→ y dτ→, sino también la linealidad de dτ→ con dx→ y τ→.

Pero aún existiendo dτ→, no siendo en general lineal la relación entre τ→ y dτ→, no habrá ningún vector ∇ posible.

Al existir dτ→ no lineal con τ→, vamos a ver qué condiciones debería reunir un ente ∇, para que en general, y concretamente en la ecuación (6), pudiera utilizarse con carácter vectorial, en lo que afecta a las operaciones propias del algebra tensorial intrínseca.

Para hallarlas operaremos normalmente con ∇ como vector, y en primer lugar vamos a sustituir en la ecuación (6), ∇ y dx→ por sus expresiones en cualquier base. Llamando ∂i a un supuesto coeficiente de ∇ en base e→i y ∂i en la base dual e

→i,

103

tendremos: (7) ∇ = e→i∂i = e

→i∂

i dx→ = dxie

→i = dxie→i dτ→ = (dxi∂

i)τ→ = dxi(∂iτ→); dτ→ = (dxi∂i)τ→ = dxi(∂iτ

→)

En segundo lugar, sustituiremos dx→ también en la ecuación (4) definitoria de dτ→, y tendremos: dτ→ = λ→(dxie

→i) = (λ→e→i)dxi; dτ→ = λ→(dxie→i) = (λ

→e→l)dx

i

De la comparación entre esta última ecuación y la obtenida anteriormente, resulta la condición buscada: ∂iτ

→ = λ→e→i; ∂iτ→ = λ→e→i que consiste en considerar que todo coeficiente ∂ de ∇ calculado como vector, difiere de un coeficiente vectorial normal en que no es un factor escalar, sino un operador de derivación direccional sobre el mismo objetivo. El índice de ∂ coincide con el de e→ en la derivada direccional correspondiente.

1.19.- El vector ∇ que cumple la condición anterior, y al que denominamos nabla, es pues un vector simbólico y único, con el que se puede operar como con cualquier otro vector, excepto en el paso a valores numéricos. Entonces sus coeficientes no actúan como factores numéricos sino como operadores de derivación direccional de esta manera:

e

= e = ;e

= e = i

ii

iii τλττλτ r

rrrrr

rrrr

∂∂

∂∂∂

∂

La ecuación (6) que ha servido para definir a ∇, se

podrá escribir ahora en la siguiente forma: (8) dτ→ = (dx→∇)τ→ = (∇⊗τ→)dx→ = λ→dx→ que permite utilizar ∇ no sólo para definir un diferencial con τ→ contínuo y diferenciable, sino que también para definir una derivada y una integral: (9) Derivada de τ→ = λ→ = ∇⊗τ→ (10) Campo integral de λ→ = Campo τ→ + Campo uniforme k→

Es fácil ver que el vector ∇ (que se escribe sin flecha), se puede considerar único y de campo uniforme, sea cual sea la magnitud sobre la que actúe, y el punto de referencia adoptado.

104

2.- Utilización del vector ∇.

2.01.- Bases de utilización.

a) En el uso del vector ∇ no debe quedar duda de cuál es la variable vectorial independiente, ó vector de posición, sobre la que se ha definido tanto ∇, como las aplicaciones contínuas y diferenciables que son su fundamento. Esta variable independiente se acostumbra a representar por x→ ó r→.

b) Al operar con ∇ sobre un tensor expresado como función de r→ y aplicado a un punto A, el sentido positivo para r→ debe ser el de OA→, por lo que si ya se hubiera definido el contrario, deberemos cambiar el signo del tensor y utilizar r→’=-r→, con lo que no varía su valor. El tensor que resulte, se considerará también afecto a A.

c) En un punto dado, las expresiones ∇⊗τ→ y (dx→∇)τ→ coinciden respectivamente con las de los tensores derivada de τ→ y diferencial de τ→, siempre que existan, es decir, cuando τ→ es una magnitud contínua y diferenciable en tal punto.

2.02.- Acción de ∇ sobre una suma τ→=τ→1+τ→

2.

Sea τ→=τ escalar y α y β escalares tales que τ=α+β.

Por cálculo diferencial escalar sabemos que, para cualquier coeficiente ∂ de ∇, y τ→=(α+β) escalares, se verifica: ∂(α+β) = ∂α + ∂β

Por consiguiente, para cualquier operación entre tensores, expresada por • tendremos: (11) ∇•(τ→1+τ

→2) = ∇•τ→1 + ∇•τ→2

En el caso particular de que uno de los términos

tensoriales p.e. τ→2 sea uniforme, se tendrá: (12) ∇•(τ→1 + τ

→2) = ∇•τ→1

2.03.- Acción de ∇ sobre un producto τ→=(µ→σ→).

Por cálculo diferencial escalar sabemos que, para cualquier coeficiente ∂ de ∇, y τ→=(αβ) escalares, se verifica: ∂(αβ) = ∂(αβ) + ∂(αβ) De aquí puede deducirse, que dadas dos operaciones producto entre tensores de expresión • y , tales que cada coeficiente del tensor producto de dos tensores es una suma finita de productos de un coeficiente de un factor por un coeficiente de otro factor, se verifica análogamente: (13) ∇•(µ→σ→) = ∇•(µ→σ→) + ∇ •(µ→σ→)

105

En el caso particular de que uno de los tensores

factores es uniforme tendremos: (14) (µ uniforme): ∇•(µ→σ→) = ∇•(µ→σ→) (15) (σ uniforme): ∇•(µ→σ→) = ∇•(µ→σ→)

2.04.- Señalización de tensores afectados por un vector ∇ determinado..

1ª.- Si hay posibles dudas sobre en qué variables actúa ∇ como operador de derivación, habrá que indicarlo expresamente, por ejemplo con un subrayado, tal como se ha hecho en el 2º miembro de la ecuación (13).

Así pues para la expresión ∇(a→⊗b→), en la que ∇ debe actuar sobre a→ y b→ como operador de derivación, y en virtud de los párrafos anteriores, podremos escribir: ∇(a→⊗b→) = ∇(a→⊗b→) + ∇(a→⊗b→) = b→(∇a→) + (a→∇)b→

En el primer paso, nos hemos atenido exclusivamente a la ley de derivacion dada por (13), que consiste en separar variables y en el segundo a operar algebraicamente, y es fácil ver que hubiéramos llegado al mismo resultado si primero operamos algebraicamente y después separando variables.

En la práctica, y a ser posible, se suele indicar el tensor afectado por ∇ escribiéndolo, en cada término, después del signo ∇, con lo que, en general, no hace falta signo especial. De esta manera y en el ejemplo que hemos puesto, el último miembro quedaría así: = b

→(∇a→) + (a→∇)b→

La señalización se hace indispensable cuando en las

ecuaciones figura el vector nabla en múltiples posiciones y afectando en cada una a un tensor distinto.

2.05.- Vamos a poner un ejemplo en relación con las consideraciones de simetría ó antisimetría de tensores.

La expresión de un tensor por: (∇α)⊗(∇β) con α y β escalares, no será la de un tensor 0-simétrico si el primer vector ∇ afecta sólo a α y el segundo sólo a β.

Con esta expresión del tensor y según la convención ordinaria, el primer factor afecta sólo al escalar α y el segundo sólo a β. Si no fuera así, la expresión habría de estar claramente señalizada o transformada para que no hubiera dudas.

Normalmente, para expresar que los dos ∇ afectan por

106

igual a α y a β, la expresión más utilizada sería: (∇⊗∇)(αβ)

2.06.- Del examen de la estructura de las derivadas emésimas de un tensor τ→ se deduce inmediatamente que son todas ellas tensores como mínimo m-simétricos: ∇⊗∇⊗τ→; (∇⊗∇⊗∇)(αβ)

Pues ∇ se porta estructuralmente como un vector, y un vector, cuando es un factor tensorial repetido, define una simetría entre las posiciones que ocupa.

2.07.- Operadores.

El vector ∇ se puede considerar como formando parte de un operador. Ya hemos visto:

∇⊗ = Operador derivada espacial. (dx→∇) = Operador diferencial espacial.

de los que se deducen los siguientes operadores múltiples:

∇⊗m⊗ = Operador derivada espacial emésima. (dx→⊗m)(∇⊗m) = Operador diferencial espacial emésima. De ahora en adelante, no utilizaremos la palabra

espacial, más que cuando sea preciso para evitar confusiones.

Definición de otros operadores característicos de uso corriente:

a) Campo escalar α:

1. Gradiente de α ó Grad α = ∇α (=∇⊗α) 2. Laplaciana de α ó ∆α = (∇∇)α = ∇2α

b) Campo vectorial v→:

1. Divergencia de v→ ó Div v→ = ∇v→ 2. Tensor rotacional de v→ = ∇∧v→ 3. (n=3) Tensor rotacional de v→ = [(∇×v→)×] 4. (n=3) Vector rotacional de v→ ó Rot v→ = (∇∧v→)’ = ∇×v→

2.08.- Advertencia. En este texto, al escribir ∇ ⊗q ⊗τ→,

consideraremos τ→ continuo y q veces diferenciable y que la operación es válida. En consecuencia también tendremos: ∂i(∂jτ

→) = ∂j(∂iτ→) ⇔ ∂ijτ

→ = ∂jiτ→

3.- Derivación de expresiones tensoriales.

3.01.- Algunas reglas deducidas de los párrafos anteriores para la derivación de expresiones tensoriales que por

107

hipótesis consideraremos derivables:

a) Derivada de una suma. ∇ ⊗ (τ→+σ→) = ∇⊗τ→ + ∇⊗σ→

b) Derivada de un producto de escalares αβ. ∇ ⊗(αβ) = ∇(αβ) = α(∇β) + β(∇α) c) Derivada del producto contracto de un escalar α por un tensor τ→ no escalar. ∇ ⊗ (ατ→) = (∇α) ⊗ τ→ + α(∇⊗τ→)

d) Derivada del producto contracto de dos tensores τ→ y σ→ no escalares y de igual orden. ∇(τ→σ→) = ∇(τ→σ→) + ∇(τ→σ→) = σ→(τ→⊗∇) + τ→(σ→⊗∇) y sólo en el caso de τ→⊗∇ = ∇⊗τ→ y σ→⊗∇ = ∇⊗σ→ tendremos: ∇(τ→σ→) = σ→(∇⊗τ→) + τ→(∇⊗σ→)

3.02.- Sería fácil demostrar que las derivadas del escalar resultante de operaciones escalares entre variables escalares o bien de funciones escalares de variables escalares, se efectúan como en cálculo diferencial ordinario, con la salvedad de utilizar el signo ∇ en lugar del símbolo ordinario de derivación.

Ejemplos: ∇(α+β) = ∇α + ∇β ∇(αβ) = α(∇β) + β(∇α)

β

βααββα

2

)( -)( =

∇∇∇

∇(sen α) = (cos α)(∇α)

3.03.- Algunas expresiones generales fundamentales.

Sea r→ la variable independiente, n la dimensión de E, y I→ el tensor de la aplicación idéntica. Para τ→=r→ resulta: (16) ∇⊗r→=I→; ∇r→=n; ∇∧r→=0→; (∇∇)r→=0→; ∇(r→r→)=2r→; ∇r=r-1r→

Efectivamente: Por (8): dr→ = (∇⊗r→)dr→ ⇔ ∇⊗r→ = I→ Por AT D'6.02-2 y AT D'4.11: ∇r→ = I→(∇⊗r→) = I→I→= n Por AT D'1.13: ∇∧r→ = ∇⊗r→ - (∇⊗r→)~ = I→- I→ = 0→

108

(I→=unif. y simº) (∇∇)r→ = ∇(∇⊗r→) = ∇I→ = 0 ∇(r→r→) = 2∇(r→r→) = 2(r→⊗∇)r→ = 2I→r→ = 2r→ ∇r = ∇(r→r→)2 = 2(r→r→)-2∇(r→r→) = 2r-1(2r→) = r-1r→

3.04.- Derivada de un monomio τ→m+px→p de orden m y grado p

con τ→ independiente de x→ (uniforme). Si denominamos τ→ al componente m-simétrico de τ→m+p tendremos τ

→m+px→p=τ→x→p y entonces:

∇⊗(τ→m+px

→p) = pτ→x→p-1

Pues para m=0, τ→px→p es escalar y se verificará:

∇(τ→px

→p)= ∇[τ→(x→⊗x→⊗..⊗x→)]= p∇[τ→(x→⊗x→⊗..x→)] =p∇[(τ→x→p-1)x→]= = p(τ→x→p-1)(x→⊗∇) = p(τ→x→p-1)I→ = pτ→x→p-1

Y para m≠0, análogamente se tiene: ∇⊗(τ→m+px

→p)= ∇⊗(τ→xp) =(p∇)⊗[(τ→x→p-1)x→]

Multiplicando los miembros extremos por cualquier vector v→, como v→∇ es un escalar, se verificará: [∇⊗(τ→m+px

→p)]v→= p(v→∇)[(τ→x→p-1)x→] =p(τ→x→p-1)[(v→∇)x→] = = p(τ→x→p-1)[(∇⊗x→)v→]= p(τ→x→p-1)(I→v→)= p(τ→x→p-1)v→ y como v→ es cualquier vector, tendremos finalmente: (17) ∇⊗(τ→m+px

→p) = pτ→x→p-1

3.05.- Consecuencia de (17) es que la p-derivada del monomio anterior es: (18) ∇⊗p ⊗ (τ→m+px

→p) = p!τ→ como se puede comprobar fácilmente por derivaciones sucesivas.

3.06.- Sea un tensor σ→s de orden s y un tensor τ→

p+m de orden p+m. Se verifica la siguiente ecuación entre componentes m-simétricos: [∇⊗(σ→s⊗τ→p+m)]m = [(∇⊗σ→s)⊗τ→p+m]m + [σ

→s⊗(∇⊗τ→p+m)]m

Puesto que tenemos:

[∇⊗(σ→s⊗τ→p+m)]a

→1+s+p = (a→∇)[(σ→sa→s)(τ→p+ma

→p)] = = [(a→∇)(σ→sa

→s)](τ→p+ma→p) + (σ→sa

→s)[(a→∇)(τ→p+ma→p)] =

= [(∇⊗σ→s)⊗τ→p+m]a

→1+s+p + [σ→s⊗(∇⊗τ→p+m)]a→1+s+p

y como por AT A'10.10 sabemos que dos monomios de orden m son

109

equivalentes si y sólo si los coeficientes tensoriales tienen el mismo componente m-simétrico, ello implica lo que queríamos demostrar.

Recordaremos que según se vió en AT A'6.08, para m=0, el componente 0-simétrico de un tensor coincide con el componente totalmente simétrico.

3.07.- Ejemplos de utilización de la igualdad I→=∇⊗r→.

a) Otra demostración de ∇⊗σ→r→=σ→ siendo σ→ un tensor uniforme (Igualdad demostrada en '3.04).

Siendo I→ el tensor idéntico (también uniforme), para cualquier vector a→ podremos escribir: σ→a→ = σ→(I→a→) = σ→[(∇⊗r→)a→] = σ→[(a→∇)r→] = (a→∇)(σ→r→)=[∇⊗(σ→r→)]a→ y como a→ es un vector cualquiera, se tendrá: σ→ = ∇⊗(σ→r→) = ∇⊗τ→ y por lo tanto τ→=σ→r→ es una integral de σ→ y σ→ es la derivada de τ→=σ→r→.

b) Otra representación de tensores isótropos.

Sabemos por AT A'7.02 que la expresión general de los tensores isótropos es I→ ⊗I→⊗...⊗I→, en cualquiera de sus permutaciones de factores vectoriales. Como ahora por (16) también tenemos I→=∇⊗r→, otra expresión general será: ∇1⊗r

→1⊗∇2⊗r

→2⊗...⊗∇n⊗r

→n

en cualquiera de sus permutaciones. En esta última expresión, los subíndices sólo indican a qué factor se refiere cada ∇ como operador de derivación.

El tensor de aplicación idéntica para tensores de orden n es: ∇1⊗∇2⊗..∇n⊗r

→1⊗r→2⊗...⊗r→n

como es fácil comprobar multiplicando por un producto tensorial cualquiera de orden n.

3.08.- Tensores ∇k⊗x→k (k-derivadas de x→k respecto x→)

Para simplificar y por no ser necesario por ahora, no escribimos un exponente ⊗.

Sabiendo que para los coeficientes de la igualdad ∇⊗x→ = I→, se verifica: ∂jx

i = δji (símbolo de Kronecker)

110

si examinamos los coeficientes de ∇k⊗x→k, cuya expresión es:

∂i∂j...∂p(xqxr...xw) = ∂ij..p(x

qxr...xw) ó sea la de k derivadas direccionales sucesivas del producto (xqxr...xw) de coeficientes de la variable x→, veremos que cuando el conjunto de valores (i,j,..,p) coincide con el de los valores (q,r,...,w), la expresión vale 1 y que en los demás casos se anula. Podemos convenir en representar estas expresiones por:

(qr..w)(ij..p)δ (símbolo de Kronecker múltiple)

Consideremos ahora los tensores ∇k⊗x→k refiriéndolos a

una base e→i y a su dual e→j. Tendremos:

∇k⊗x→k = ∂ij..p(xqxr..xw)(e→ij..p⊗e→qr..w) =

(qr..w)(ij..p)δ (e→ij..p⊗e→qr..w)=

= e→ij..p⊗∑Pe

→ij..p

refiriéndose el sumatorio a todas las s! permutaciones de los s índices i,j,..,p.

3.09.- De la estructura de estos tensores deducimos:

a) Son isótropos. b) Existe simetría total entra los k primeros índices así

como entre los k últimos índices. c) Existe la siguiente simetría:

∇k⊗x→k = x→k⊗∇k

d) Para k=1, obtenemos el tensor fundamental I→.

3.10.- Los tensores ∇k⊗x→k son los que multiplicados por

cualquier tensor de orden k, lo convierten, salvo un factor k! en su componente 0-simétrico o sea completamente simétrico.

Pues si τ→’ es el componente 0-simétrico del tensor τ→ de orden k, podremos escribir: (∇k⊗x→k)τ→ = (x→k⊗∇k)τ→ = ∇k(τ→x→k) = ∇k(τ→'x→k) = k!τ→’

4.- Cálculo del valor de un polinomio P→ en x→, para x→=a→+b→ en función de b

→ y del valor para x→=a→ de las sucesivas

derivadas del polinomio.

4.01.- Sea un polinomio P→ de orden p y de coeficientes p-simétricos uniformes, así como las sucesivas derivadas de P→.

P→ = τ→0 + τ→1x→ + τ→2x

→2 +..... + τ→mx→m

(∇⊗P→) = τ→1 + 2τ

→2x→ + .....+ mτ→mx

→m-1 (∇2⊗P→) = 2τ→2 + .....+ m(m-1)τ→mx

→m-2

111

... = ............

(∇m⊗P→) = m!τ→m

Los valores de la s-derivadas para x→=a→, divididos por s! y multiplicados por b

→s, resultan:

a0

m + ... + a

0

3 + a

0

2 + a

0

1 + = P m

m3

32

210arrrrrrrrr

r τττττ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

)ba(1

m + ... +)ba(

1

3 +)ba(

1

2 +b

1

1 = b)P(

1!1 1-m

m2

321a

rrrrrrrrrrrrrr ⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊗∇ ττττ

)ba(2

m +...+ )ba(

2

3 + b

2

2 = b)P(

2!1 22-m

m2

32

22

a2 rrrrrrrrrr

r ⊗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊗∇ τττ

...... ...............

= b)P(m!1 m

am rr

r⊗∇ bm

m mmrrτ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

y sumando miembro a miembro:

= b)P(m!1

+ ... + b)P(2!1

+ b)P(1!1

+ P ma

m2a

2aa

rrrrrrrrrrr ⊗∇⊗∇⊗∇

P = )b+a( + ... + )b+a( + )b+a( + = b+a

mm

2210

rrrrrrrrrrr rrττττ Queda pues:

b)P(m!1

+ ... + b)P(2!1

+ b)P(1!1

+ P = P ma

m2a

2aab+a

rrrrrrrrrrrrrr ⊗∇⊗∇⊗∇

Para a→=0

→ y para cualquier valor x→ de b

→, tenemos:

x)P(m!1

+ ... + x)P(2!1

+ x)P(1!1

+ P = P m0

m20

20

10

rrrrrrrr⊗∇⊗∇⊗∇

y como esta expresión ha de ser igual a la de P→ original, comprobamos que se verifica:

)P(s!1

= ;P = 0s

s00

rrrr ⊗∇ττ

112

5.- Integrabilidad espacial.

5.01.- Sea una magnitud tensorial λ→ de un orden s mayor

que O (o sea una magnitud no escalar), dependiente del punto X y por consiguiente de una variable vectorial r→.

Esta magnitud será integrable en un dominio de r→, si y sólo si, en tal dominio puede expresarse en la forma λ→ = ∇⊗τ→. Ya hemos visto que entonces la integral espacial de λ→ es τ→ más cualquier tensor uniforme ϕ→ de integración, y se verificará:

λ→ = ∇⊗τ→; ∫ rdrr

λ = τ→ + ϕ→

Si no es integrable, la primera de estas expresiones no podrá ser cierta para ningún tensor τ→, y la segunda no tiene sentido como expresión de una integral espacial y encuentra su aplicación solamente para una operación llamada integral de línea.

En '1.17 vimos que para ser integrable λ→, el valor de la integral de línea entre dos puntos solamente ha de depender de los mismos y no de los sumandos. Esto significa que si y sólo si para cualquier circuito cerrado se verifica:

0rdrrr

=∫λ

λ→ es integrable.

5.02.- Teorema. Un tensor λ→ diferenciable, de orden s>0, es integrable en un dominio de r→ si y sólo si, en el mismo, ∇⊗λ→ es un tensor con simetría 1-2 ([s-1]-simétrico).

Efectivamente. Si y sólo si λ→ es integrable, podrá escribirse para algún τ→, que λ→=∇⊗τ→, y si y sólo si λ→ es además diferenciable existirá el tensor: ∇⊗∇⊗τ→ y éste tiene simetría 1-2, ó sea entre 1ª y 2ª posición.

5.03.- Consecuencias.

1ª.- Cuando la magnitud tensorial considerada sea un vector v→, y expresando con v→⊗∇ el tensor transpuesto de ∇⊗v→, la condición de integrabilidad toma la siguiente forma: ∇⊗v→ es tensor simétrico ⇔ ∇⊗v→=v→⊗∇ ⇔ ∇∧v→ = 0→

2ª.- Si además el espacio es tridimensional, la condición se reduce a ∇×v→ = 0→

113

y cuando se cumple, decimos que el campo de v→ es potencial ó irrotacional.

3ª.- Una variable tensorial µ→ de orden s será p veces integrable, si y sólo si ∇⊗µ→ es un tensor (s-p)-simétrico. Puesto que deberá verificarse: (∃µ→): ∇⊗µ→ = ∇⊗(1+p)⊗τ→

4ª.- Si la magnitud considerada es de orden 0 (escalar), nunca es integrable en espacios de más de una dimensión, pues si por ejemplo la magnitud es α, no puede existir ningún tensor σ→ tal que verifique α = ∇⊗σ→ ya que el primer miembro de esta igualdad es de orden 0 y el orden mínimo del segundo es uno.

50.- La derivada ∇⊗µ→ de cualquier tensor µ→ uniforme es nula por definición y en consecuencia es un tensor simétrico. En virtud del último teorema, tendremos pues que todo tensor µ→ uniforme es integrable.

Según ya vimos en '3.07, su integral es: µ→r→ + ϕ→

5.04.- Condición de congruencia de St. Vénant.

Aplicando la condición general de integrabilidad a un tensor σ→ de segundo orden, tendremos que para que un tensor σ→ sea una derivada y se pueda expresar por σ→=∇⊗w→ siendo w→ alguna magnitud de punto vectorial será posible si y sólo si ∇⊗σ→ tiene simetría 1,2.

Análogamente, para que un tensor σ→ de 2º orden se pueda expresar como el transpuesto de una derivada, la condición será ∇⊗σ→ = tensor con simetría 1,3

En el espacio tridimensional geométrico, y siendo ε→ el tensor de Ricci, podemos expresar la primera condición con notación einsteniana de la siguiente manera: εijk(∂iσjs) = 0 y la segunda condición por: εrst(∂rσjs) = 0

A la vista de las condiciones anteriores resulta que la condición necesaria y suficiente para que σ→ pueda ponerse como función lineal de las dos formas anteriores es:

114

εijkεrst(∂i∂rσjs) = 0 ó condición de congruencia de St. Vénant.

5.05.- Para tensores de 2º orden en un espacio tridimensional, es fácil deducir de lo que acabamos de decir, lo siguiente:

a) Si v→⊗∇ es el tensor transpuesto de ∇⊗v→, un tensor σ→ se puede expresar por ∇⊗v→ + v→⊗∇ si, y sólo si, es un tensor simétrico que cumple la condición de St. Vénant.

b) Si v→⊗∇ es el tensor transpuesto de ∇⊗v→, un tensor σ→ se puede expresar por ∇∧v→ = ∇⊗v→ - v→⊗∇ si, y sólo si, es un tensor antisimétrico que cumple la condición de St. Vénant.

115

6.- Funciones de función de x→. 6.01.- Vectores ∇ distintos.

Hemos visto que en la definición del vector ∇ en un

punto interviene la derivación respecto a una variable vectorial de referencia que ha sido llamada x→, ó radio vector, que determina el punto mediante un espacio vectorial E y un origen dados.

Si consideramos otra variable de referencia distinta de la anterior que podemos llamar y→, podrá definir un vector nabla ∇' también distinto del que hemos visto, pero que respecto a y→ representará lo mismo que ∇ respecto a x→.

6.02.- Sea una magnitud tensorial τ→ función del vector y→ siendo y→ una función de x→.

Tendremos: Derivación respecto a y→: dτ→ = (∇’⊗τ→)dy→ Derivación respecto a x→: dy→ = (∇ ⊗y→)dx→ y por lo tanto: dτ→ = (∇’⊗τ→)[(∇⊗y→)dx→]

6.03.- Vamos a examinar algunos casos.

a) τ→ es un vector v→.

Como ∇⊗y→ y ∇’⊗τ→ son de 2º orden, se verificará: dv→ = (∇’⊗v→)[(∇⊗y→)dx→] ⇔ ∇⊗v→ = (∇’⊗v→)∗(∇⊗y→)

b) τ→ es un escalar α. dα = (∇’α)[(∇⊗y→)dx→] = (∇⊗y→)(dx→ ⊗ ∇’α) = = (∇⊗y→)~(∇’α ⊗ dx→) = [(∇⊗y→)~(∇’α)]dx→ ∇α = (∇⊗y→)~(∇’α)

c) τ→ es cualquiera. Si tenemos y→=kx→+v→ con v→ constante, se verificará: ∇⊗y→ = k(∇⊗x→) = kI→ ⇒ dτ→ = (∇’⊗τ→)[(∇⊗y→)dx→] = (∇’⊗τ→)(kI→dx→) = k(∇’⊗τ→)dx→ ⇔ ∇⊗τ→ = k(∇’⊗τ→) ⇒ ∇ = k∇’

d) Aplicación del caso anterior a τ→= σ→y→p = σ→(kx→+v→)p con σ→ m-simétrico de orden m+p.

116

∇’⊗τ→ = ∇'⊗(σ→y→p) = pσ→y→p-1 ∇⊗[σ→(kx→+v→)p] = k(∇’⊗τ→) = kpσ→(kx→+v→)p-1 y también tendremos: ∇⊗m⊗[σ→(kx→+v→)p] = kpp!σ→

6.04.- En virtud de c) en el párrafo anterior, tenemos: y→ = ±x→ + v→(uniforme) ⇒ ∇ = ±∇’

Este resultado nos confirma que en un espacio puntual afín, si conservamos E, no varía ∇ con un cambio en la elección de punto origen.

117

7.- Campos vectoriales particulares en un espacio

puntual afín n-dimensional.

7.01.- Campos solenoidales.

Llamamos así a los campos vectoriales v→ no uniformes, que verifican ∇v→= 0, ó sea divergencia nula, en todos los puntos no singulares.

7.02.- Campos irrotacionales ó potenciales.

Es todo campo vectorial w→ no uniforme que verifica ∇∧w→=0→ en todos sus puntos no singulares.

Vamos a ver que un campo vectorial w→ será irrotacional

si y sólo si w→ es integrable, es decir, si existe un escalar α integral de w→, ó sea, tal que w→=∇α. Como la derivada de un escalar se denomina también gradiente del escalar, la última igualdad se puede expresar diciendo que w→ es el gradiente de α.

Pues sabemos que w→ es integrable si y sólo si ∇⊗w→ es simétrico, ó sea si ∇∧w→=0→.

Por consiguiente una propiedad característica de los campos irrotacionales w→ es que para cualquier circuito cerrado verifican:

0dlw =∫r

7.03.- Campos armónicos.

Denominaremos armónico un campo v→, cuando sea a la vez

irrotacional y solenoidal, ó sea, en el que el vector v→ satisface a la vez a las dos relaciones: ∇v→ = 0; ∇∧v→ = 0→

Para un campo armónico v→, siempre existirán campos integrales α que difieren en un escalar uniforme y que todos ellos verificarán: 0

→ = ∇(∇α) = ∆α (laplaciana de α)

ó ecuación de Laplace.

Recíprocamente, a todo campo escalar α que cumpla la igualdad anterior, corresponderá un campo ∇α=v→ que es armónico.

7.04.- Campo vectorial r→rs.

Vamos a estudiar qué valores no nulos ha de tomar s, para que la divergencia de este vector sea uniforme, en todo punto no singular.

118

Para ello calcularemos la divergencia del vector, y teniendo en cuenta las ecuaciones (16) obtenemos:

∇[rsr→] = r→[∇rs] + rs[∇r→] = r→[srs-1(∇r)] + rsn = = r→[srs-1r-1r→] + rsn = srs + rsn = rs(s+n) y a la vista del resultado, si no tenemos en cuenta el valor s=0, sólo será uniforme la divergencia cuando tengamos s=-n, y entonces la divergencia es nula y el vector buscado es r-nr→, que verifica: (19) ∇(r→r-n) = 0

En consecuencia, el campo vectorial r-nr→ es solenoidal, excepto para el origen de r→ por ser un punto singular.

También es irrotacional, ó sea que corresponde a un gradiente. Pues se verifica: (20) r-nr→ = -(n-2)-1∇r-(n-2)

Efectivamente, teniendo en cuenta las ecuaciones (16), y lo que en '3.02 se dijo sobre operaciones entre escalares, para r≠0 resulta: -(n-2)-1∇r-(n-2) = -(n-2)-1[-(n-2)]r-(n-1)∇r = r-nr→

El campo estudiado, para s=-n, es pues también irrotacional y en consecuencia armónico, excepto para el punto r→=0.

La propiedad (20), en un espacio tridimensional, se podrá expresar así:

r1

- = r

r3

∇r

119

B. VARIEDADES. INTEGRACION.

1.- Variedades y cuerpos.

1.01,- Definición de variedad lineal.

Sea E el espacio vectorial correspondiente a un espacio puntual afín E n-dimensional.

Llamaremos variedad lineal de m dimensiones de E (m≤n) a toda parte Em de E tal, que para cualquier punto A de ella, el conjunto A,Em corresponde a todos los sentidos de un subespacio m-dimensional de E.

1.02.- Variedad lineal tangente a una parte E' de E, en uno de sus puntos A.

Sea t un valor escalar determinado y E” el conjunto de puntos X de E’ tales que, llamando x→ a AX→, verifican x<t, y consideremos el conjunto de sentidos de los vectores (A,E ”). Si al tender t a cero, este conjunto tiende coincidir con el conjunto total de sentidos de un subespacio Em m-dimensional de E, diremos que la tangente a E’ por A, es la variedad lineal que conteniendo a A, corresponde a Em.

1.03.- Variedad contínua en general.

Para n≥m, llamaremos variedad continua m-dimensional de E n-dimensional, a toda parte Vm de E que tiene una tangente m-dimensional en todos sus puntos.

1.04.- Segmentos de variedad contínua m-dimensional.

Son partes de una variedad. Tendrán tangente en todos sus puntos, excepto en los puntos D de discontinuidad o frontera. No obstante, para estos puntos D, consideramos tangente la tangente límite de los puntos D’ próximos, cuando DD’→→0.

1.05.- Nombres particulares.

Respecto a algunas variedades de un espacio afín n-dimensional, usaremos algunos nombres que vamos a señalar.

Superficies: Variedades de dimensión n-1. Lineas: Variedades unidimensionales. Planos: Variedades lineales de dimensión n-1. Rectas: Variedades lineales unidimensionales. El nombre de volumen se generaliza desde su origen

tridimensional a cualquier dimensión.

Llamaremos cuerpos m-dimensionales a los segmentos de variedad m-dimensional, ó simplemente cuerpos cuando m=n.

120

2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos.

2.01.- Sea el conjunto A,B,C,..,M de s+1 puntos de un

espacio puntual s-dimensional, y tomando uno de ellos A cualquiera como referencia, consideremos en E los s vectores AB→, AC→,..., AM→ definidos por A y los demás puntos.

Estos vectores determinan un tensor V→ = AB→ ∧ AC→ ∧ ... ∧ AM→ que es totalmente antisimétrico y al que, según Algebra A'5.26 llamaremos tensor volumen de A,B,C,..,M.

Por otra parte es evidente que tal conjunto basta para determinar un politopo, que tiene sus puntos por vértices, o sea un (s+1)-topo.

El tensor V→ es un invariante del conjunto, pues para otro punto de referencia, por ejemplo el punto B, se verificará: BA→∧BC→∧..∧BM→ = BA→∧(BA→+AC→)∧..∧(BA→+AM→) = BA→∧AC→∧..∧AM→ = ±V→ y los valores son iguales, salvo el signo en su caso.

Por ser el citado tensor un invariante del conjunto, las magnitudes que derivan de él, como por ejemplo el escalar volumen del tensor que hemos estudiado en A'5.27, ó volumen del paralelepípedo determinado por el conjunto de puntos, dependerán para su medida solamente de la unidad adoptada.

Señalaremos aquí sin demostración, extraídas de la geometría ordinaria por extensión, las propiedades más conocidas de los politopos pertenecientes a una variedad s-dimensional del espacio puntual n-dimensional (s≤n).

1ª.- Un (s+1)-topo es el politopo más sencillo que se puede considerar en una variedad lineal s-dimensional. Viene determinado por s+1 puntos del espacio puntual afín.

Para s=1, es un segmento (2 vértices y 2 caras puntuales opuestas que coinciden con los vértices). Para s=2, es un triángulo (tres vértices y 3 caras opuestas segmentos). Para s=3, es un tetraedro (4 vértices y 4 caras opuestas triángulos). Para s=4, es un 5-topo (5 vértices y 5 caras opuestas tetraedros). Y así sucesivamente.

En el caso general, para el valor s, es un (s+1)-topo, que tiene s+1 vértices y s+1 caras opuestas. Cada cara se puede considerar un s-topo perteneciente a una variedad lineal de s-1 dimensiones.

2ª.- Un paralelepípedo, perteneciente a una variedad

lineal s-dimensional, puede descomponerse en un conjunto de s! (s+1)-topos adyacentes todos de igual volumen, y uno de ellos

121

generado por los mismos vectores que el paralelepípedo.

3ª.- Un (s+1)-topo es el único politopo que puede considerarse una pirámide teniendo el vértice en cualquiera de sus vértices.

4ª.- Correspondiendo al baricentro de la geometría ordinaria, llamamos centro de un (s+1)-topo al punto cuyo vector de posición es la suma vectorial de los vectores de posición de sus vértices respecto a cualquier origen, dividida por s+1. 2.02.- Como consecuencia de los párrafos anteriores, y recordando Algebra A'5.26/8, si tenemos una variedad lineal s-dimensional, y una base ei del subespacio correspondiente, al tomar por origen un punto de la variedad, sus vectores determinan en ella un paralelepípedo de tensor volumen: (21) V→s = e

→1∧e→

2∧..∧e→s

y un (s+1)-topo de tensor volumen:

(22) )e ... ee(s!1

= s!V

s21s rrrr

∧∧∧

Por lo visto en PA A'5.28, el volumen escalar será:

(23) )e...ee(s!1

s21 ′∧∧∧ rrr

calculado para un espacio s dimensional.

Los centros de cara del (s+1)-topo serán:

(24) s

e+ .. +e+e = r :base Cara s21rrr

r

(25) se - r = r :laterales Caras i

i

rrr

Esta última expresión corresponde a la cara lateral

"opuesta a e→i".

2.03.- TEOREMA 1. La suma de los tensores volumen de las caras frontera de un politopo es nula si se definen de manera correcta, es decir, cuando determinada una sucesión positiva de vectores base, quedan determinadas las sucesiones que deben considerarse, para los factores tensoriales correspondientes a cada cara. Aquí, para un (s+1)-topo de una variedad lineal s-dimensional con s>1, que suponemos generado por s vectores independientes ordenados (e→i, se han elegido las siguientes expresiones generales:

Caras opuestas a e→i para i desde 1 a s-1:

122

e...eee...e 1)!-(s1

= 1-s1+is1-i1i rrrrrr ∧∧∧∧∧∧ν

Cara opuesta a e→s:

e...ee1)!-(s1

- = 1-s21s rrrr ∧∧∧ν

Base:

)e-e(...)e-e()e-e(1)!-(s1

= s1-ss2s1rrrrrrr

∧∧∧ν

Y de las expresiónes anteriores, efectivamente se

deduce:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∑ )e..eee...e( - e..ee

1)!-(s1

= 1-s1+is1-i1

1-s

11-s21

rrrrrrrrrν

νν rr il-s

1

s - - = ∑

(26) ννν rrr i1-s

1

s + + ∑ = 0→

2.04.- TEOREMA 2. Para las caras laterales del politopo

anterior (s>1), se verifica: e→i∧v→1 = e→2∧v→2 = ... = e→s∧v→s = ±sV→; e→i⊗v→i = ±sV→ siendo V→ el tensor volumen del politopo, ó sea:

e...ee1)!-(s1

= Vs s21rrrr

∧∧∧

Pues se verifica:

e→1∧v→1 = Vs)1( = Vs)1()1( = e...eee1)!-(s1

e 2-s2-s01-s32s1

rrrrrrr −−×−∧∧∧∧∧

e→2∧v→2 = Vs)1( = Vs)1()1( = e...eee1)!-(s1

e 2-s3-s11-s3s12

rrrrrrr −−×−∧∧∧∧∧

y así sucesivamente.

Por otra parte, una vez descompuesto sV→en sumandos productos tensoriales, tendremos que los que empiezan por e→1 son los de e→1⊗v→1, los que empiezan por e→2 son los de e

→2⊗v→2, y así

sucesivamente. En cuanto al signo, tendrán el mismo que los

123

sumandos correspondientes de las expresiones e→i∧v→1, e→2∧v→2, que hemos visto en el último párrafo. Llegamos de esta manera al siguiente resultado:

∑s

1

(e→1⊗v→1) = e→i⊗v→i = ±sV→

2.05.- TEOREMA 3. Dado el politopo anterior, sea para

cada cara un producto tensorial, el primero de cuyos factores es el vector de posición de su centro y el segundo su tensor volumen. El sumatorio de estos productos es igual al tensor volumen del politopo, y el resultado no varía con el origen adoptado para los vectores de posición.

Adoptando primeramente como origen un vértice, consideremos a un (s+1)-topo de una variedad lineal s-dimensional, generado por s vectores independientes e→i, y sea r

→i

el vector de posición del centro de la cara opuesta a e→i de tensor volumen v→i. En cuanto a la base supongamos que r→ es el vector de posición de su centro y v→ su tensor volumen. Podremos escribir:

)e(s1-= )e(

s1- )+(r = r+ )

se-r( = r+ r i

ii

iiiii

i νννΣννννν rrrrrrrrrrr

rrrrr ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

puesto que la suma de tensores volumen v→ es nula.

Pero acabamos de ver que para cualquier valor de i, e→i⊗v→i = ±sV→ y sustituyendo se tendrá: (27) r→i⊗v→i + r→⊗v→ = ±V→

Tomando en vez de O, otro punto O’ de referencia con O’O→=a→ los nuevos vectores de posición de los centros serían: r→'i = r

→i + a

→; r→' = r→ + a→ y por lo tanto: r→'i⊗v→i + r→'⊗v→ = (r→i+a

→)⊗v→i + (r→+a→)⊗v→i = = r→i⊗v→i + r→⊗v→ + a→⊗[∑v→i+v→] = r→i⊗v→i + r→⊗v→ y obtenemos el mismo resultado.

2.06.- Superficie poliédrica cerrada.

En un espacio puntual n-dimensional, denominaremos superficie poliédrica cerrada de s dimensiones, para s<n, a toda reunión de (s+1)-topos disjuntos que se caracterizan porque toda cara es común a dos (s+1)-topos y sólo a dos.

Este es el caso de la superficie de un poliedro

124

ordinario del espacio tridimensional, cuyas caras son triángulos ó polígonos compuestos de triángulos adyacentes y cuyas aristas son comunes a dos caras y solo a dos.

2.07.- Signos de los tensores-volumen de las caras.

Hemos visto que el signo de un producto exterior no nulo, viene dado por el signo atribuído al orden de sucesión de sus vectores (que entonces son independientes), y por lo tanto lo mismo sucede con el signo de los tensores-volumen en general.

Se demuestra que sólo hay dos formas opuestas de asignación correcta de signos de las caras de los politopos, tal que se verifique al mismo tiempo:

a) Que el sumatorio para cada (s+1)-topo sea nulo, tal como ya hemos visto antes.

b) Que para cada cara común a dos politopos, el tensor volumen de esta cara sea de signo distinto según se considere perteneciente a uno u otro politopo.

c) Si un conjunto de signos asignados satisface las condiciones anteriores, éstas también son satisfechas si se cambia el signo de todos y cada uno de los elementos del conjunto, y con ello el sentido de la sucesión positiva de los vectores.

2.08.- Sea un poliedro de un espacio s-dimensional. Consideremos el conjunto de (s+1)-topos con vértice en un punto dado cualquiera y cuya base es cada cara (s-topo) del poliedro, y adoptemos este vértice común como origen.

TEOREMA 4.- Si v→j es el tensor volumen de una cara del

poliedro, r→j el vector de posición del baricentro de esta cara y V→ es la suma de los tensores volumen V→j de los (s+1)-topos considerados, se verifica:

∑ jVr = V→ = r→j⊗v→j

Puesto que por (27) tenemos:

∑ jV

r = j

ii )r( ν

rr⊗∑ + ∑ ⊗ j)r( ν

rr

y como por el párrafo anterior, ∑(r→i⊗v→i)j es nulo, queda:

V→ = ∑ jVr = r→j⊗v→j

Como el valor de V→ no varía con el origen elegido, es

un invariante de la superficie cerrada y del poliedro, al que denominaremos tensor volumen del poliedro.

El orden tensorial del tensor volumen del poliedro es

125

superior en una unidad al de los tensores volumen de sus caras y es el mismo que el de los tensores volumen de los (s+1)-topos que lo componen, pues es su suma.

A la superficie cerrada también se la llama frontera del poliedro.

2.09.- Sea una superficie cerrada s-dimensional S cualquiera, que pueda ser considerada como límite de una superficie poliédrica cerrada s-dimensional inscrita, cuando al tender a cero el módulo de sus caras aumenta sin límite el número de las mismas.

Diremos en este caso, que el cuerpo geométrico del que es frontera tal superficie cerrada, es también el límite del poliedro original.

También diremos que el tensor volumen V→ del cuerpo geométrico es el límite del tensor volumen del poliedro, y su valor será:

∫ ⊗s

)dr( = V νrrr

expresión en la que el volumen de la cara situada en r→ se ha representado por dv→, el signo integral manifiesta que el límite considerado es análogo al de (3), así como el que el sumatorio se efectúa para la superficie S.

126

3.- Magnitudes de volumen.

3.01.- Sea un espacio puntual n-dimensional con una

magnitud de punto tensorial τ→ contínua e integrable, dependiente de x→ vector de posición, y sea una variedad m-dimensional (m≤n) del mismo a la que pertenece un cuerpo geométrico Π de tensor volumen V→, continuamente diferenciable y que suponemos divisible indefinidamente en partes ó fracciones.

Si τ→i es el valor de τ→ en un punto de una parte i del

cuerpo con tensor volumen dV→i, se demuestra que el sumatorio τ→idV

→i, al aumentar indefinidamente el número de fracciones, y disminuir al mismo tiempo el valor de cada dV→i tendiendo todos ellos a 0

→, tiende a su vez a un límite, que es independiente de

la posición del punto escogido en cada fracción. Escribiremos:

Q→ = τ→idV→i = ∫Π τ Vd

rr; dQ→ = τdV→

y diremos que el sumatorio es la integral de volumen de τ→ en el dominio Π y que define una magnitud Q→ de volumen m-dimensional.

Para este tipo de definición, en vez de un tensor volumen V→ m-dimensional, también podríamos haber utilizado su tensor polar V→’ ó el volumen escalar V. En el último caso, la magnitud τ→ corresponde a la densidad puntual de Q→.

3.02.- Si el cuerpo Π constituye la totalidad de una variedad m-dimensional en un espacio de dimensión n≥(m+1), como es el caso de una línea cerrada, la superficie de una esfera, o la superficie ó frontera de cualquier otro cuerpo, sustituiremos las expresiones anteriores por

∫ Vdrrτ

que llamaremos integral circular y que representa una integración en las condiciones mencionadas, para distinguirla de las demás integraciones que llamaremos abiertas.

3.05.- Las magnitudes de volumen σ→ que se refieren a las variedades (n-1)-dimensionales ó superficies, y a su vector superficie (AT C'5.31) σ→’= s→, se denominan, en general, magnitudes de superficie.

3.06.- Advertencia. En lo sucesivo trataremos de ecuaciones diferenciales del modo clásico conocido, es decir, refiriéndonos a valores llamados infinitesimales de los diferenciales útiles para la posterior integración, que en principio consideraremos posible.

127

4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski.

4.01.- Sea en el campo de un tensor variable τ→ de

cualquier orden, una superficie cerrada infinitesimal de s dimensiones (0<s<n), que determina un tensor volumen dV→, y cuyas caras tienen por tensor volumen dv→i. Tomando por origen un punto infinitamente próximo a las caras para el que el tensor es τ→0, sea ri el centro de la cara dv→i en donde el tensor es τ

→i.

Para r→i → 0

→, podremos escribir:

τ→idv→i = [τ→0+(∇⊗τ→)r→i]dv→i = ∑τ→0dv→i + [(∇⊗τ→)r→i]dv→i = = (∇⊗τ→)(r→i⊗dv→i) = (∇⊗τ→)dV→ = (dV→∇)τ→

El valor obtenido es independiente del origen de radios vectores adoptado.

Si la superficie cerrada es finita el sumatorio para ella no varía si, en lugar de la superficie cerrada original, consideramos un conjunto infinito de superficies cerradas adyacentes infinitesimales, cuya frontera sea la superficie cerrada dada y sumamos los valores obtenidos para τ→idv→i en cada una de las superficies cerradas de este conjunto. Esto nos permite escribir:

(28) ( ) ( ) VdVddVV

rrrrrr∫∫∫ ⊗∇=∇= ττντ

expresión que se denomina fórmula de Stokes.

Esta expresión generaliza la de la integración ordinaria, que resulta de Stokes para s=0 y volumen unidimensional (linea AB), si consideramos que su frontera de dos puntos A y B, es una superficie cerrada con valores v→B=1 y v→A=-1:

τ→B-τ→A = rd)(

B

A

rr∫ ⊗∇ τ

4.02.- Casos particulares del espacio tridimensional.

El tensor τ→ es un vector v→ ó escalar α y la superficie cerrada es unidimensional (dv→ = dI→).

Como para un triángulo (Algebra C'8.05) se verificará: dV→ = ds→× siendo ds→ un vector normal al triángulo de módulo igual al área del mismo, tendremos por consiguiente:

(29) ∫∫ ∫∫ =×∇=×∇=SS S

sd)vRot(sd)v(v)sd(ldvrrrrrrrr

128

(29') ∫ ∫∫∫ ×=∇×=×∇=S SS

)Grad(sd)(sd)sd(ld αααα rrrr

La igualdad (29) suele expresarse así:

"La circulación de un vector v→ a lo largo de una línea

cerrada es igual al flujo de Rot v→ a través del circuito".

4.03.- Sea un (n+1)-topo de volumen escalar V en un espacio n-dimensional generado por una base (e→i) con origen en un vértice. Sea v el tensor volumen de su base con centro r→, y para sus caras laterales de centros r→i sean vi los tensores volumen correspondientes.

De acuerdo con '2.03 tendremos:

e..eee..e1)!-(n1

= :1)-n a 1 de (i 1-n1+in1-i1i rrrrrr ∧∧∧∧∧∧ν

e...ee1)!-(n1

- = 1-n21n rrrr ∧∧∧ν

∑νν rr i- = :n) a 1 de (i

y teniendo en cuenta que:

)’e...ee(n!1

= V n21rrr ∧∧∧

y que el volumen escalar del prisma generado por la base es n!V, los vectores polares s→ correspondientes son según AT C'5.32:

e-nV=)’e..eee..e(1)!-(n1

=s:1)-n a 1 de (i i1n-1+in1-i1

i rrrrrrr ∧∧∧∧∧∧

enV- = )’e...ee(1)!-(n1

- = s n1-n21

n rrrrr ∧∧∧

∑ enV = s n) a 1 de (i irr

Los vectores s→ son llamados vectores superficie. Son

ortogonales a la cara y su módulo es el área (Algebra C'5.31).

4.04.- Teorema. En el (n+1)-topo anterior se verifica: (i de 1 a n): r→i⊗s

→i + r→⊗s→ = VI→ siendo I→ el tensor unidad.

Efectivamente, para i de 1 a n tenemos:

129

IV = )eeV(=)enV(r + enVne-r- = sr + sr i

iiiii

i

rrrrrrr

rrrrr ⊗⊗⊗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊗⊗ ∑

y este valor es independiente del origen adoptado.

4.05.- Siguiendo análogos razonamientos que para obtener la fórmula de Stokes, sea en un campo tensorial τ→ una superficie cerrada infinitesimal (de n-1 dimensiones) que determina un volumen escalar dV y cuyas caras tienen vectores superficie ds→i. Tomando como origen un punto infinitamente próximo a las caras para el que el tensor es τ→0, sea r

→i el centro

de la cara ds→i, en donde el tensor es τ→i. Al tender a cero todos los vectores r→i, podremos escribir: τ→ids

→i = [τ→0 + (∇⊗τ→)r→i]ds→i = τ→0(∑ds→i) + [(∇⊗τ→)r→i]ds→i =

= (∇⊗τ→)(r→i⊗ds

→i) = (∇⊗τ→)dV I→ = (∇τ→)dV pues al agregarse superficies los ds→ se suman.

Procediendo análogamente a la obtención de la fórmula de Stokes, deducimos ahora:

(30) ∫ ∫ ∫ ∇=∇=V V

)dV(dV)(sd τττ rrrr

expresión que se denomina fórmula de Ostrogradski o de Gauss.

Obsérvese que las expresiones que siguen al signo integral, son las mismas sólo que sustituyendo ds→ por ∇dV.

4.06.- Caso particular del espacio tridimensional. El tensor τ→ es un vector v→:

(31) ∫ ∫ ∇=V

dV)v(sdvrrr

En este caso la fórmula suele expresarse así: "El flujo

de un vector v→ a través de una superficie cerrada es la integral de la divergencia de v→ en el volumen que determina."

4.07.- Sea una superficie cerrada s-dimensional que determina un volumen de tensor V→, y cuyos (s+1)-topos infinitesimales tienen por tensor volumen a dv→i y por centro r→i.

a) Si v→ es cualquier vector y τ→ es cualquier tensor, ambos uniformes o sea de campo uniforme, por ser v→ y r→i del mismo orden tensorial, podremos escribir: (32) (v→r→i)(τ

→dv→i) = (r→i⊗dv→i)(v→⊗τ→) = V→(v→⊗τ→) = (v→V→)τ→

b) Si τ→ es un tensor uniforme del orden de dvi y σ es un tensor uniforme cualquiera, tendremos análogamente:

130

(33) (σ→r→i)(τ→dv→i) = (dv→i⊗r→i)(τ

→⊗σ→) = ±V→(τ→⊗σ→) = ±(V→ τ→)σ→ y el signo variará si (r→i⊗dv→i) es de signo opuesto a (dv→i⊗r→i).

c) Si en el caso a) v→ y τ→ no son uniformes pero continuos, la fórmula (32) solo sería válida para los r→i tendiendo todos a 0. Lo mismo ocurriría con la fórmula (33) si los tensores afectados fueran τ→ y σ→.

d) Caso particular. El espacio es tridimensional y la superficie dv→ se reduce a una línea dl→.

Tendremos V→ = (S→×), siendo S→ el vector superficie correspondiente al contorno y las ecuaciones (32) y (33) cambian así: (34) (v→r→i)(τ

→ dl→i) = (S→×v→)τ→

(35) (σ→r→i)(v

→ dl→i) = (S→×v→)σ→

4.08.- Sea una superficie cerrada (n-1)-dimensional de

escalar volumen V y cuyos n-topos elementales tienen por vector superficie ds→i y por centro r→i.

Si τ→ y σ→ son cualesquiera tensores uniformes no escalares, se verifica: (36) (τ→r→i)(σ

→ds→i) = Vτ→σ→

Pues si descomponemos ambos tensores en sumatorios de productos tensoriales vector-tensor, podremos escribir: τ→ = v→j⊗µ→j; σ→ = w→k⊗λ→k (τ→r→i)(σ

→ds→i) = [(v→j⊗µ→j)r→i][(w→

k⊗λ→k)ds→i] = (v→jr→i)(w

→kds→i)µ→jλ→k =

= [(r→i⊗ds

→i)(v→j⊗w→

k)]µ→jλ→k = [VI→(v→j⊗w

→k)]µ→jλ→k =

= V(v→jw

→k)µ→jλ→k = V(v→j⊗µ→j)(w→k⊗λ→k) = Vτ→σ→

Si algún tensor uniforme fuera de orden 0 (escalar),

por ejemplo τ→=α, el problema se solucionaría sustituyendo α por I→ y multiplicando por α, pues tendríamos: τ→r→i = αr

→i = αI

→r→i = α(I

→r→i)

Para τ→ y ó σ→ variables continuas, solo será válida la

fórmula cuando todos los r→i tiendan a cero.

131

5.- Integraciones en general.

5.01.- Cuerpos.

Aunque, originalmente, un cuerpo es todo segmento de la

variedad contínua n-dimensional que constituye la totalidad del espacio puntual afín objeto de nuestro estudio, aquí extendemos el concepto a todo segmento de variedad contínua m-dimensional (m≤n) y lo llamaremos cuerpo m-dimensional.

Sólo consideraremos cuerpos contínuos.

5.02.- Fórmula de Stokes.

Recordaremos que relaciona una integral abierta de

volumen ∫V Vdrr

λ de un cuerpo m-dimensional (1<m≤n), con una

integral cerrada de volumen ∫ ντrrd correspondiente a su frontera

(m-1)-dimensional, de esta manera:

(37) (λ→=∇⊗τ→): ∫ ∫=V

Vddrrrr λντ

Sabemos que todo tensor τ→ contínuo y diferenciable en

V, es aplicable al primer miembro, mientras que no es posible hacerlo con cualquier tensor λ→ en el 2º miembro, más que en el caso de que se pueda expresar en V, por λ→=∇⊗τ→ para algún tensor τ→, que entonces será un tensor integral de λ→.

Dos tensores τ→ y τ→’ son equivalentes a este efecto, ó sea que verifiquen λ→=∇⊗τ→=∇⊗τ→’ y que por tanto ambos sean integrales de λ→, si y sólo si su diferencia τ→-τ→’ es un tensor uniforme.

También sabemos por A'5.02 que un tensor λ→ diferenciable es integrable si y sólo si ∇⊗λ→ es un tensor (m-1)-simétrico.

Señalaremos por fin, en general, que las operaciones indicadas para ∇ se supondrán siempre válidas a no ser que exista imposibilidad de efectuarlas.

5.03.- Aplicación de Stokes a una variedad contínua cerrada.

Dado que una variedad cerrada se puede considerar como límite de un segmento de variedad. cuando su frontera se reduce y tiende a anularse en un punto, si aplicamos a ella la fórmula de Stokes el primer miembro se anula para cualquier τ→ y resulta la siguiente expresión:

(λ→=∇⊗τ→): ∫ = 0Vdrrr

λ

132

ó sea que en un cuerpo cualquiera, la integral de un tensor λ→, en su frontera, si λ→ es integrable, es siempre nula.

Ejemplo 1º.- λ→= Tensor de la aplicación idéntica para tensores de orden m.

Hemos visto en A'3.07b que es un producto tensorial cuyo primer factor es ∇ y por tanto integrable. Como ahora λ→V→=V→, se tendrá:

(38) ∫ = 0Vdrr

Ejemplo 2º.- Sea V→’ el tensor polar de V→’ y ε→ el tensor

de Ricci.

(39) 0 = Vdm!1

= Vdm!1

= Vdrrrrrr

∫∫∫ ′ εε

5.04.- Integración. Sean en un espacio puntual afín n-

dimensional, tres segmentos de variedad contínua m-dimensional con n>m>1, de elementos de volumen dV→, que entre los tres, forman una variedad cerrada frontera de un cuerpo (m+1)-dimensional.

Uno de los segmentos A, es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (m-1)-dimensionales. De los otros dos, uno (el 1) está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2.

En virtud del párrafo anterior y si integramos adecuadamente, se verificará:

(λ→=∇⊗τ→): ∫ ∫ ∫−=A 2 1

VdVdVdrrrrrr

λλλ

Designando por Ψ ó flujo de λ→ a través de V, a las

integrales ∫Vλ→dV→, podremos escribir:

A

A

1

2

2

1

133

(40) d = - = V)d( = 2

112

AA ∫∫ ⊗ ΨΨΨτ∆Ψ

rr

Podemos observar que la operación que acabamos de

describir, es análoga a la integración ordinaria, aunque ahora los términos Ψ no se refieren a aplicaciones puntuales sino a aplicaciones a variedades cerradas tal como 1 y 2, de dimensión inferior a la de V en una unidad.

Aquí, el valor de cada término no varía si conservamos las fronteras 1 y 2 aunque cambien los segmentos.

Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos:

= -- = -- = 0 11A12A12 ΨΨΨΨΨΨΨΨ ′⇒′

Esta integración, que para A corresponderá a segmentos

infinitesimales de tubo, sólo se puede aplicar a cuerpos lineales (m=1), admitiendo que una línea es un cuerpo, cuya frontera son dos puntos extremos y que los puntos son variedades cerradas de dimensión 0. Este caso límite coincide entonces con la integración ordinaria.

5.05.- Fórmula de Ostrogradski, Recordaremos que relaciona una integral abierta de

volumen escalar ∫v dVµr de un cuerpo n-dimensional, con una

integral cerrada de vector superficie ∫ sdrrτ correspondiente a su

frontera (n-1)-dimensional, de esta manera:

(41) (µ→=I→[∇⊗τ→]=∇τ→): ∫ ∫=VdVsd µτ rrr

Sabemos que todo tensor τ→ continuo y diferenciable en V

es aplicable al primer miembro, mientras que no es posible hacerlo con cualquier tensor µ→ en el 2º miembro más que en el caso de que se pueda expresar en V por µ→=∇τ→ para algún tensor τ→.

A todo tensor integrable λ→=∇⊗τ→ corresponde siempre un tensor ∇τ→=I→(∇⊗τ→), siendo I→ el tensor idéntico de 2º orden.

Si a un tensor µ→ determinado corresponde un tensor τ→, evidentemente también corresponderá otro tensor τ→’ cualquiera mientras cumpla la condición ∇τ→=∇τ→’, ó sea que verifique: ∇(τ→-τ→’) = 0→

5.06,- En el caso de un campo tensorial τ→ que verifique uniformemente µ→=∇τ→=0→ en todos los puntos del interior de un cuerpo, la ecuación (41) se transforma en la siguiente:

134

∫ = 0sdrrvτ

En el supuesto de un campo τ→ así, sean 3 segmentos de

superficie contínua (n-1)-dimensional de elementos vectoriales ds→, que entre los tres, forman una superficie frontera de un cuerpo.

Uno de los segmentos A es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (n-2)-dimensionales. De los otros el 1 está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2.

En virtud de la última fórmula, y si integramos adecuadamente, se verificará:

(∇τ→=0→): ∫ ∫ ∫−=A 2 1

sdsdsdrrrrrr τττ

Designando por Φ ó flujo de τ→ a través de s, a las

integrales ∫sτ→ds→, podremos escribir:

(42) ∫∫2

112

AA d = - = sd = ΦΦΦτΦ

rr

En la operación de integración que acabamos de

describir, los términos se refieren a variedades cerradas tales como 1 y 2.

Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos: = -- = -- = 0 11A12A12 ΦΦΦΦΦΦΦΦ ′⇒′

Esta integración para A, corresponderá a segmentos infinitesimales de tubo.

A1

2

135

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES.

1.- Integrales de volumen relativas a r→r-n.

1.01.- Generalidades.

Salvo aviso en contra, nos referiremos siempre a un espacio puntual afín euclidiano n-dimensional.

Para una magnitud determinada, consideraremos que el campo de los tensores integrales es el de los puntos de referencia respectivamente adoptados como origen de r→, para el cálculo de cada tensor integral.

1.02.- Angulos sólidos.

Sean un punto A que tomamos como origen, y un segmento de superficie (n-1)-dimensional dada.

El ángulo sólido dω elemental con que desde A se ve un elemento de superficie de expresión vectorial ds→, cuando ds→1 es la proyección de ds→ sobre su vector r→ de posición, es: dω = ds→r→r-n = (ds→r→r-1)r-(n-1) = ds1r

-(n-1) y el último miembro es la expresión habitual de dω.

Para todo el segmento de superficie tendremos:

ω = ∫ −

S

nrrsdrr

Habiendo visto en A'7.04, que ∇(r→r-n)=0 para todo punto

con r→≠0→, sabemos por Ostrogradski (41), que siempre que se integre en una superficie cerrada en cuyo interior no se halla el punto singular r→=0

→, la integral es nula.

Denominando kn a la constante Sn-1r-(n-1) = Vr-n,

correspondiente a toda esfera, cualesquiera que sean su radio r, su superficie (n-1)-dimensional S y su volumen V, es fácil hallar el valor de ω al integrar en una superficie cerrada y (n-1)-dimensional. El resultado es el siguiente:

a) Punto exterior: ωe = 0 b) Punto interior: ωi = nkn = Sr

-(n-1) = nVr-n

Para valores 3 y 2 de n, tendremos:

(n=3): 4 = ;34 = k in πω

π

(n=2): kn = π; ωi = 2π

136

1.03.- Integral Ω→=∫S[ds r→r-n] en una superficie esférica.

Sea en un espacio puntual afín n-dimensional una superficie esférica (n-1)-dimensional de radio R, centro O y escalar volumen S. Sea también el vector ds→ la expresión del elemento de superficie correspondiente al punto N.

Dado un punto A cualquiera del espacio, queda determinado en la recta OA un segundo punto A’, tal que se verifique OA·OA’ = R2

Esta propiedad es recíproca, y al punto A’ corresponde a su vez el punto A. Es fácil ver también que si uno de los puntos es exterior a la esfera, el otro es interior.

Si nos referimos al plano bidimensional determinado por los puntos A,O,N y que por tanto también contiene a A’, que hemos representado en la figura, y establecemos: r→=AN→; r→’= A’N→ veremos que son semejantes los triángulos OAN y OA’N, con lo que son iguales los dos ángulos señalados con α así como los dos ángulos señalados con β y designando por c→ al vector AO→ y por c→’ al vector A’O→, también podremos escribir:

rRc

=r ;rRc

=r ;cR

=Rc

=rr ′

′′′′

1.04.- Tanto si adoptamos un origen exterior a la

esfera como un origen interior, el vector integral buscado, tendrá, por razón de simetría, la dirección AA’O. Por lo tanto, el módulo del mismo no variará si sustituímos cada sumando elemental de su expresión por su proyección en tal dirección.

c→c→’

r→r→’

AO

N

A’

β β

α

α

137

Sustituyendo además los valores hallados para r ó r’ en el párrafo anterior, en caso de origen A exterior podremos escribir:

Ω = ∫∫ −−− ] cosr [ds = ]cosrr [ds )1n(n ββ =

= ∫∫ ]’r cos [dsRc = ]’r

Rc cos [ds 1)(n--

1)(n--

1)-(n-1)(n--

1)(n--

1)-(n-

ββ

Análogamente tomando A' interior como origen resulta:

Ω’ = ∫ ]r cos [dsR’c 1)(n--

1)(n--

1)(n--

α

Pero por una propiedad elemental del producto escalar,

se verifica: r’ds cos β = r→’ds→; r ds cos α = r→ds→ y sustituyendo estos valores queda:

∫∫ ′ ]r)dsr[(R’c = ;]’)rds’r[(

Rc = n-

1)(n--

1)(n--n-

1)(n--

1)-(n- rr ΩΩ

Las dos integrales que aquí figuran, hemos visto en

'1.01, que son las expresiones de los ángulos sólidos con que se ve la superficie esférica de volumen escalar S desde los puntos A' y A respectivamente. Sabemos también por '1.01, que el correspondiente al punto A exterior es nulo y que el correspondiente al punto A' interior es el cociente de S dividido por R(n-1).

Resulta pues:

cS = R

S

Rc = 0; = ’ 1)(n--

1)n-(1)(n--

1)-(n-

ΩΩ

y queda finalmente: (43) Punto interior: Ω→’ = 0→; (44) Punto exterior: Ω→ = Sc→c-n

1.05.- Integral D→ = ∫ [µdVr→r-n] en una esfera.

Consideremos una esfera de centro O y volumen V, como

un conjunto de esferas huecas concéntricas diferenciales de radio ρ, superficie S, espesor dρ y volumen dVρ = Sdρ = dρ∫Sds. Hay en los puntos de la esfera, un campo escalar µ uniforme.

Cada esfera hueca contribuye a D→ con el valor:

dD→ = µ ∫S dVρr→r-n = µdρ ∫S ds r

→r-n = µdρΩ→

138

y podremos despreciar el efecto de la esfera hueca superficial.

Caso 1º.- Origen A exterior a la esfera. dD

→ = µdρ Sc→c-n = µdVρ c→c-n; D→ = µVc→c-n

siendo c→=AO→.

Caso 2º.- Origen A’ interior a la esfera.

El conjunto de esferas huecas diferenciales que encierran al origen producen un D→ nulo, ya que para cada una de ellas resulta Ω=0.

Sólo habrá que considerar pues, el conjunto de las que no encierran el origen y forman una esfera de radio R’=c y volumen V’, con el punto en su superficie. Tendremos: D

→ = µV’c→c-n

Como V’c-n es una constante escalar que solo depende de

n, y que en '1.02 hemos representado por kn, la ecuación final será: (kn=V’c

-n): D→ = knµc

→ siendo c→=A’O→.

El valor de D→ no depende del radio de la esfera sino solamente de la posición de su centro.

Siendo A’ un punto singular de la función integral que estudiamos, para el caso de que A’ sea el centro de la esfera, tomaremos como valor de D→ correspondiente a A’, el valor límite nulo de la expresión anterior al tender c a cero.

En un espacio tridimensional: k3= π34

139

1.06.- Tensor π→ = ∫l(dl

→∧r→r-n).

Vamos a ver a continuación el valor que adquiere este tensor integral cuando la integración se refiere a determinadas líneas y determinados puntos origen.

1.07.- Línea recta ilimitada con origen exterior.

Sea en la variedad bidimensional determinada por la recta y el origen P exterior, A un punto cualquiera de la recta con PA→=r→, y N el pié de la perpendicular por P a la recta, con PN→=a→. Tendremos a→ no nulo.

Estableciendo NA→=l→, tendremos r→=a→+l

→ y llamando m→ al

versor de dl→, podremos escribir:

dπ→ = dl→∧(r→r-n) = dl

→∧[(a→+l→)r-n = [dl→∧a→]r-n = [m→∧a→][dl r-n]

pero se verifica:

βββ

βββ

cos a = r ;cos

d a = dl

cosa

= r ; cos

rd = dl nn-n-

2⇒

Sustituyendo, tendremos:

(dl r-n) = a-(n-1)cos(n-2)β dβ con lo que al integrar para toda la recta resulta: (Ver Apéndice)

:k1)-2(n

nk = dcos = 1n-

n20

2n-n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

+π

ββα

(45) n)1n(

2

2

2n)1(n 2a)am(dcosa)am( αββπ

π

π

−−

+

−

−−− ∧=∧= ∫rrrr

r→

m→

N

l→

dl→

A

β

β

dβ

a→

140

En el caso de n=3 tenemos α3=1 y resultaría:

(46) π→ = 2a-2(m→∧a→) = ×a

)axm2(2

rr

1.08.- Línea cualquiera con origen P exterior y a→=NP→

infinitamente pequeño.

Si la línea es recta, es aplicable la fórmula (45). Pero ahora la integral que en ella figura, cuyos límites para toda recta ilimitada corresponden a puntos del infinito, difiere infinitamente poco de la que se obtiene tomando como límites los valores correspondientes a dos valores de l

→ finitos y opuestos.

Así pues, a los efectos de aplicación de la fórmula

(45), la totalidad de la línea recta es equivalente a un segmento cualquiera de la misma que conteniendo a N sea de longitud finita tan pequeña como se quiera.

Por tanto el valor de ∫l[dl→∧(r→r-n)] en una línea contínua

cualquiera, tomando como origen un punto P infinitamente próximo, ó sea con a→=PN→ infinitesimal, no varía al sustituir la línea por su tangente en N o bien por cualquier segmento finito de esta tangente que contenga a N.

1.09.- Integración en superficie cilíndrica.

Consideraremos la intersección de un cilindro recto con un plano ó variedad lineal (n-1)-dimensional, que sea ortogonal a su eje y que contenga al origen P, y nos limitaremos a estudiar el caso de que el cilindro sea de revolución, es decir, que la intersección mencionada sea una esfera (n-1)-dimensional con su centro O en la intersección del plano con el eje del cilindro. La intersección de la superficie cilíndrica con tal plano es por tanto la superficie (n-2)-dimensional S de la esfera.

Como para aplicar (45) a cada generatriz podemos considerar común un versor m→, y que sólo varía el vector a→ correspondiente, podemos escribir para cada una de ellas:

π→ = m→∧[ ∫l (dlr→r-n)] = 2αn(m

→∧a→)a-(n-1) = 2αnm→∧[a→a-(n-1)]

El pié N de la normal desde el origen a cada generatriz

de la superficie del cilindro, es un punto superficial de la esfera intersección entre plano secante y cilindro y corresponde a un elemento diferencial ds de su superficie escalar Se.

1.10.- Teniendo en cuenta cada ds, e integrando en S para toda la superficie cilíndrica, podremos escribir:

π→S = ∫S π→ds = m→∧ ∫S ds[ ∫l (r

→r-ndl)] = 2αnm→∧[ ∫S (dsa

→a-(n-1))]

141

y sustituyendo la integral del último miembro por Ω→ tal como vimos en '1.05 2, quedará: (47) π→S = 2αnm

→Ω→

De acuerdo con los valores de Ω→ indicados en '1.03, resulta finalmente: (48) a) Punto interior: π→S = 0

→

(49) b) Punto exterior: π→S = 2αnm

→∧Sec→c-(n-1)

siendo aquí c→ el vector de posición del centro de la esfera respecto al origen.

Por consiguiente, en el caso de punto exterior a un cilindro de revolución, el conjunto de generatrices con factor ds

equivale a una sola línea recta axial con un factor Se= ∫ds.

1.11.- Integrales de volumen en un cilindro de sección esférica.

En un espacio puntual n-dimensional, consideraremos un cilindro de revolución, como un conjunto de tubos diferenciales de revolución coaxiales, de radio ρ, y espesor dρ.

A este conjunto corresponde un conjunto de intersecciones con un plano ortogonal al eje que contenga al origen, que son las esferas huecas concéntricas diferenciales de centro O, con iguales radio ρ y espesor dρ, consideradas en '1.05, y por tanto podremos establecer:

(50) π→V = ∫ρ π→sdρ = m

→∧[ ∫ ∫ ∫ρ S l(r→r-ndldsdρ)]= 2αnm

→∧∫ Ω→dρ = 2αnm

→∧D→1

siendo D→1 el valor en el origen del campo D

→ creado por las esferas en el plano secante, y definido en '1.05, cuando µ=1.

Conforme a lo explicado en '1.05, y teniendo en cuenta que el plano es (n-1)-dimensional y que las superficies esféricas son (n-2)-dimensionales, tendremos ahora:

a) Origen exterior al cilindro: (51) π→V = 2αnm

→∧Vc→c-(n-1) siendo V el volumen escalar de toda la esfera, y c→ el vector de posición del centro de la esfera.

Por consiguiente, en este caso, el conjunto de tubos con factor Sedρ equivale a un cilindro con factor V= ∫ρSedρ.

b) Origen interior al cilindro:

142

(52) π→V = 2αnm→∧V’c→c-(n-1) = 2αnm

→∧(kn-1c→)

siendo V’ el volumen escalar de la esfera (n-1)-dimensional en cuya superficie se halla el origen, c→ el radio ó vector de posición del centro de la esfera, y kn-1=V'c

-(n-1) una constante escalar que sólo depende de n.

Del mismo modo que Ω→ es nulo para los puntos interiores a una superficie, ahora es nulo πv para los puntos interiores de un tubo.

Por consiguiente un cilindro de revolución de radio R, para el cálculo de πV en un punto de su interior a distancia r del eje, equivale a otro cilindro coaxial de revolución con un radio r=c, siempre que se pueda despreciar el cilindro hueco correspondiente a su superficie.

Para n=3 la dimensión de la esfera de intersección es 2 y tenemos kn-1=π.

1.12.- Representemos por H→ a la siguiente integral de

volumen de un cilindro recto de revolución:

(53) H→ = ∫ ∫ ∫ρ S l

(r→r-ndldsdρ)

Por (50) podremos escribir:

π→V = m

→∧H→ = 2αnm→∧D→1

y como m→ es una dirección cualquiera: (54) H

→ = 2αnD

→1

1.13.- Cuando no se trata de un cilindro recto, sino de

un cuerpo filiforme de grueso infinitesimal variable ó no, y la sección ortogonal por el origen P es esférica de centro O, y además se tiene que c→=PO→ es infinitesimal, seguirá válida la ecuación (52).

A los efectos de integración, la totalidad del cuerpo filiforme es ahora equivalente a un segmento finito del cuerpo tangente por 0 al dado, y que conteniendo a los puntos de tangencia, sea tan pequeño como se quiera.

Por lo tanto, si se trata de determinar π→V en un punto del interior de un cuerpo filiforme de sección esférica infinitesimal y a una distancia r del eje, este cuerpo equivaldrá a un cilindro recto tangente por el mismo punto de radio r.

143

2.- Valor de ∇D→ para cualquier cuerpo.

2.01.- Generalidades.

Sea como ejemplo. un tensor σ→ aplicado al punto A,

expresable por:

(r→’=-r→): σ→ = ∫V (µ→r→r-n)dλ→ = - ∫V (µ→r→’r-n)dλ→

en que V es un cuerpo m-dimensional, dλ→ una función de dV→ infinitesimal, µ→ el valor de una magnitud de punto determinada correspondiente a un punto N de cada dV→, r→=AN→ y r→'=NA→=-r→.

Para calcular ∇•σ→ (∇⊗σ→, ∇σ→, etc.), también en A, tendremos en cuenta:

a) Lo dicho en '2.01 b) sobre el vector de posición a que se ha de referir ∇, y que ahora resulta ser r→’.

b) Que µ→ y dλ→ no se hallan aplicados al punto A, y por tanto ∇ no se refiere a µ→ ni a dλ→.

Si el punto A eventualmente pertenece a V, consideraremos dos segmentos de V, V2 muy pequeño al que A pertenece y V1 resto de V al que no pertenece A (V=V1+V2), y, en vez de la integral dada, utilizaremos la suma de una integral correspondiente a V1 y otra eventual correspondiente a V2 que contiene al origen, supuesto único punto singular.

Ahora nos limitaremos a considerar la integral en V1, en el supuesto de que sea finita y con todos los sumandos variables en forma contínua con r→. Por lo tanto, la derivada de esta integral es igual a la integral de las derivadas de cada sumando. Para ella podremos escribir:

(55) ∇•σ→ = ∫ ′•∇1v

-n ])drr([- λµrrr

que para µ→ escalar queda así:

∇•σ→ = )]drr([-1V

-n∫ ′•∇ λµrr

2.02.- Cálculo de ∇D→=∇∫Vµr

→r-ndV.

Efectuaremos el cálculo suponiendo que µ es escalar, V un cuerpo n-dimensional cualquiera y dλ→=dV. Por lo tanto. para V1 podremos escribir:

0 = )rr( dV- = D1V

-n1 ∫ ′∇∇ rr µ

y en consecuencia, si el punto es interior a V tendremos:

144

dVrr- = D = D2V

-n2 ∫ ′∇∇∇

rrrµ

Podemos adoptar para V2, cualquier volumen

suficientemente pequeño para que en él µ se pueda considerar uniforme y por tanto nos permita sacarlo del signo integral. Admitimos que a la integral que queda, puede aplicarse el teorema de Ostrogradski, y al hacerlo así tenemos:

dsrr = dsrr- = ])dVrr[(- = D222 S

-n

S

-n

V

-n ∫∫∫ ′′∇∇rrrr

µµµ

El valor de la integral es independiente de la forma y

posición de V2 y coincide con el del ángulo sólido correspondiente a una superficie cerrada desde un punto interior, cuyo valor sabemos que es nkn. Por consiguiente tendremos finalmente para V2, cuando existe: ∇D→2 = nµkn

Por lo tanto, considerando µ=0 en todos los puntos exteriores a V, en cualquier caso se verificará: ∇D→ = nµkn para los valores de ∇D→ y µ referidos al punto A.

2.03.- También hubiésemos podido obtener este resultado a partir de la fórmula de '1.05 caso 2º: D→ = knµc

→ al multiplicar miembro a miembro por ∇, y cambiando para ello c→ por c→’=-c→: ∇D→ = -knµ∇c→’ y como ∇c→’=n, al pasar nuevamente al origen A queda: ∇D→ = knµn

2.04.- En consecuencia de lo visto sobre ∇D→ podemos expresar el valor de D→ correspondiente a un punto A de la siguiente manera: (t→Ai=r

→r-n): D→A = ∫Vt→

AiµidVi teniendo en cuenta que en el sumatorio, t→Ai actúa como t

→i pues el

extremo de r→ está en dVi, pero respecto a ∇ actúa como t→A pues es un vector localizado en A, y de esta manera ∇D→A = µAknn.

145

3.- Campos solenoidales.

3.01.- Refiriéndonos a espacios puntuales n-

dimensionales, llamaremos campos solenoidales a los campos vectoriales v→ no uniformes que verifican ∇v→=0 en todos los puntos no singulares.

Cuando v→ es un campo solenoidal y por tanto ∇v→=0, de acuerdo con lo que vimos en B'5.06, la fórmula (41) de Ostrogradski queda reducida a la siguiente:

(56) ∫ dsvr

= 0

3.02.- Líneas y tubos de campo.

Llamamos línea de campo en un campo vectorial v→ a toda

línea del espacio tal que el valor de v→ en cada uno de sus puntos es tangente a la línea. Y llamamos tubo de campo a toda superficie tubular (n-1)-dimensional que contiene a las líneas de campo de cada uno de sus puntos.

3.03.- Tubos de campo.

Sea en un campo solenoidal S→ un tubo de campo de superficie (n-1)-dimensional y en cuyo interior no hay puntos singulares.

Considerando una superficie cerrada (n-1)-dimensional, compuesta por un segmento de tubo limitado por dos secciones transversales, que denominaremos 1 y 2, sabemos por (56) que se verifica:

∫ dsSr

= 0

y como en todos los puntos de la superficie tubular se verifica por hipótesis: S→ds→ = 0 la ecuación anterior implica para los límites 1 y 2 la igualdad:

(57) ∫1 dsSr

= ∫2 dsSr

cualesquiera que sean las secciones del tubo elegidas como límites, y siempre bajo el supuesto de realizar la integración en el sentido adecuado.

La última ecuación se puede expresar así: i1 = i2 = i y decimos que los flujos de un campo solenoidal S

→ que atraviesan

146

dos secciones cualesquiera de un tubo de campo, son iguales. En cuanto al flujo que atraviesa la pared tubular, ya hemos dicho que es nulo.

3.04.- Tubo elemental.

Llamaremos así a todo tubo de campo de un campo solenoidal S→ cuando sus secciones planas (n-1)-dimensionales d

_s→

son infinitesimales y por tanto su flujo característico S→ds→, que designaremos por di, también es infinitesimal.

El tubo de campo corresponde ahora a una línea y admitiremos que los vectores S→ en cada punto de una sección infinitesimal del tubo por un punto dado, son todos iguales y con la misma orientación y sentido que el elemento dl

→ de la línea, en

el punto correspondiente de ella.

También tendremos que en un punto con sección ds→, y sección recta escalar ds1, a una longitud dl de tubo corresponderá un segmento de tubo de volumen: dV = dl

→ds→ = dl.ds1

Podemos escribir S→=kdl

→ (k escalar) y por tanto:

di = S→ds→= kdl

→ds→ = kdV ⇒

⇒⇒⇒ dldVdi

= S dVdi

= k r

(58) ⇒ S→dV = di dl

→

y como S→ y d

_l→ tienen el versor m→ común, si ds1 es el escalar de

la sección ortogonal, podremos escribir: (59) di m→ = S→ds1

3.05.- Hipótesis de trabajo en un campo solenoidal.

Sea en un campo solenoidal S→ el dominio en que S→ no es nulo.

Según un método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos diferenciales dV (volumen escalar), cada uno con el vector S→ correspondiente a su punto representativo.

A partir de ahora y siempre que sea posible, también admitiremos el espacio del dominio en cuestión como constituído por un conjunto infinito de tubos elementales, cada uno con un flujo di, y una línea representativa correspondiente a cualquiera de sus puntos.

La ecuación (58) antes obtenida, se podrá utilizar en

147

el cálculo, en caso de variar el concepto de conjunto adoptado.

Para el dominio en que di≠0, siempre podremos considerar que la distribución del espacio en tubos elementales es tal, que un punto determinado del dominio, es exterior a todos los tubos excepto a un único tubo en que está contenido. Además, siempre podemos condicionar la distribución de manera que el tubo en que está contenido el punto tenga una sección ortogonal por el punto que sea una esfera. Llamaremos R a su radio y ds1 a su volumen escalar.

3.06.- Si γ→ es un tensor cualquiera, tendremos pues:

∫V S→γ→dV = ∫i di ∫l γ

→dl→

El primer miembro se refiere a un conjunto de elementos

de volumen, y el segundo al conjunto de líneas correspondientes a cada tubo elemental de S→ de flujo di.

Para γ→ integrable, tendremos que para cada tubo cerrado es nulo ∫lγ

→dl→, y por tanto, si son cerrados todos los tubos

elementales, serán nulos los dos miembros de la última ecuación.

Por consiguiente, para γ→ igual al tensor I→ de la aplicación idéntica, que es integrable, para el conjunto de tubos elementales cerrados, y para un conjunto cualquiera de tubos cerrados tendremos:

∫V S→dV = 0

→

3.07.- Ejemplo para γ→= r→r-n.

Sabemos por (20) que r→r-n es integrable y por tanto, al

integrar en cualquier línea cerrada, se verificará:

(60) ∫ − dlrr nr = 0

Si la línea no es cerrada sino abierta con uno ó dos

puntos en el infinito, también ocurrirá lo mismo, pues para sus extremos tendremos r1=r2= ∞ y como por (20) podremos escribir:

∫2

1r→r-n dl

→ = -(n-2)-1 ∫

2

1∇r-(n-2)dr→

se verifica:

∫2

1∇r-(n-2)dr→ = r2

-(n-2) - r1

-(n-2) = 0

con lo que también tendremos:

148

∫2

1r→r-ndl

→ = 0

Para cualquier tubo del campo de un vector solenoidal

S→’ y eligiendo una línea representativa que no contenga al origen,las dos integraciones equivalentes que siguen son pues siempre de valor nulo:

∫V S→r→r-ndV = ∫ i

di ∫l r→r-ndl

→= 0

3.08.- Campo tensorial τ→. Para todo campo solenoidal S→, las dos integraciones

siguientes relativas a un tubo de su campo, en virtud de (58) son equivalentes:

(61) ∫V(S→∧r→r-n)dV = ∫i di ∫l(dl

→∧r→r-n) = τ→

A cada tubo elemental, de flujo di, corresponderá un

valor:

(62) dτ→ = di ∫l (dl→∧r→r-n)

que obtendremos considerando a di una constante del tubo e integrando a lo largo de la línea correspondiente al mismo. Bastará considerar los tubos con S→ ó di no nulos.

El tensor τ→ será pues el sumatorio de los valores de dτ→, por cada tubo del conjunto de tubos elementales que forman el cuerpo considerado, que siempre será un tubo de campo de S→.

En general, tanto dτ→ como τ→ variarán según el punto A elegido como origen de los vectores de posición y definiremos su campo, asignando a cada punto del espacio los valores de dτ→ y de τ→ que resultan al tomarlo como origen.

3.09.- Cuando la línea correspondiente a un tubo elemental sea una línea recta y el origen A no está en el tubo, por (45) podremos también escribir: (63) dτ→ = di 2αn(m

→∧a→) a-(n-1) con los significados descritos en '1.07.

3.10.- Otra expresión de ∇[dl→∧(r→r-n)].

Para un tubo elemental dl→, por álgebra tensorial

podemos escribir: ∇[dl→∧r→r-n] = ∇(dl→⊗r→r-n) - ∇(r→r-n⊗dl→) = (dl→∇)(r→r-n) - [∇(r→r-n)]dl

→

149

pero se verifica: (dl

→∇)(r→r-n) = [∇⊗(r→r-n)]dl→

[∇(r→r-n)]dl

→ = 0

Y al sustituir estos dos resultados, queda:

(64) ∇[dl→∧(r→r-n)] = [∇⊗(r→r-n)]dl

→ = ∇[dl→⊗(r→r-n)]

3.11.- Cálculo de ∇τ→.

Sea un punto origen A y el total de tubos de campo de S→ útiles (ó sea con di no nulo), que dan lugar a τ→, y vamos a considerar este total, como un conjunto de dos tubos de campo 1 y 2, tales que el tubo 1 es exterior a A y el tubo 2 tiene al punto A en su interior.

El tubo 1, que no contiene a A, originará una parte τ→1 de τ→ y por tanto de ∇τ→. Cada tubo elemental componente, de los cuales ninguno contiene a A, genera una parte dτ→ de τ→ y tendremos que τ→1=∫1dτ

→

El tubo 2, con A en su interior, dará lugar a un tensor integral τ→2 tal que τ

→=τ→1+τ→

2 y que ∇τ→1+∇τ→2=∇τ→. Siempre se podrán elegir 1 y 2 de manera que un tramo de 2 que contenga a A, sea lo suficientemente pequeño, para que, en sus puntos, se pueda considerar una distribución uniforme de S→.

3.12.- a) Punto exterior a un tubo de campo.

Pudiendo considerar ∫1dτ→ diferenciable, no hay

inconveniente en operar directamente sobre cada dτ→ de la siguiente manera:

∇∫l dτ→ = ∫l ∇dτ→

y teniendo en cuenta el vector r→’=-r→ de posición adecuado a la utilización de ∇ ('2.01), usaremos, para cada tubo elemental, las ecuaciones (62) y (64):

∇dτ→ = ∇di ∫l (dl→∧r→’r-n) = di ∫l [∇(dl→∧r→’r-n)] = di ∫l [(∇⊗r→’r-n)dl

→]

Como ∇⊗r→’r-n tiene integral, y ésta es r→’r-n, al

integrar entre los extremos 1 y 2 de la línea representativa, si ésta es ilimitada, resulta que tanto si la línea es cerrada (1 y 2 coincidentes), como si es abierta (r1=r2=∞), se verifica: ∇dτ→ = di([r→’r-n]2 - [r

→’r-n]1) = 0 y como es nulo el resultado para cada tubo elemental, se verificará también:

150

∇τ→1=0.

3.13.- b) Punto interior a un tubo de campo.

Tendremos que para un único tubo 2 de espesor

despreciable, bastará considerar un tramo que contenga a A, de longitud que tiende a 0 y que admitimos con S→ uniforme:

∇τ→2 = -∇ ∫V(S→ ∧r→’r-n)dV = - ∫2∇(S→ ∧r→’r-n)dV

Aplicaremos Ostrogradski, para lo cual además de

cambiar la integración de volumen por la de superficie, bastará sustituir (dV∇) por d

_s→, obtenemos:

∇τ→2 = - ∫S(S→ ∧r→’r-n)ds→

Sustituyendo el producto exterior:

∇τ→2 = - ∫S(S→ ⊗r→’r-n)ds→ + ∫S([r

→’r-n]⊗S→)ds→ =

= - ∫S(S→ds→)r→’r-n + ∫SS

→(r→’rn-1ds→)

Observaremos que el primer sumando es nulo por serlo

(S→ds→) ya que en todo tubo de S, los vectores S→ y ds→ son ortogonales, y que en cuanto al segundo, podemos sacar S→ constante fuera del signo integral. Queda en conjunto:

∇τ→ = S→ ∫Sr→’r-nds→= -S→(nkn)

puesto que en el segundo miembro, el factor de S→ resulta ser, con signo cambiado (pues se refiere a r’), el ángulo sólido desde el interior del tubo elemental que conocemos por '1,02.

3.14.- c) Resumen.

De todo lo que acabamos de ver, resulta que cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen A, se verifica: (65) ∇τ→ = -nknS

→ siendo S→ el valor del campo en el origen A, campo que consideraremos nulo en donde no exista.

Aplicación a un espacio tridimensional.

S4- = :34 = k 3; = n n

rr πτπ∇⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

151

3.15.- El resultado de (65), también podríamos haberlo

deducido de la fórmula (52) relativa al valor π→V de un cilindro de revolución infinitamente largo, tomando un origen interior A, y siendo el vector AO→=c→ la proyección ortogonal de A sobre el eje del cilindro.

Habiéndose definido τ→ y π→V por las ecuaciones (61) y (50) respectivamente, vemos al examinar su aplicación a un mismo cuerpo desde un mismo origen, que sólo se diferencian en que (61) utiliza S→dV donde (50) utiliza dl

→ds, entre cuyas cantidades

existirá por tanto, la misma relación que entre π→V y τ→.

S→dV = Sm→dlds = S(dl

→ds) ⇒ τ→ = Sπ→V

Efectivamente, vanos a hallar τ→ partiendo de (56) que

es una ecuación deducida de la (52). τ→ = SπV = 2αnm

→∧kn-1c→ = 2αnkn-1(S

→∧c→)

Multiplicando miembro a miembro por ∇, y cambiando para ello c→ por c→’=-c→, escribiremos: ∇τ→ = -2αnkn-1∇(S

→ ∧c→’)

Calcularemos ∇(S→ ∧c→'): ∇(S→ ∧c→’) = ∇(S→ ⊗c→’) - ∇(c→’⊗ S→) = S→(∇⊗c→’) - (∇c→’)S→ y teniendo en cuenta que ∇⊗c→’=I→ (tensor idéntico) y que ∇c→’=n: ∇(S→ ⊗c→’) = S→ - nS→ = -(n-1)S→ y sustituyendo en la anterior expresión de ∇τ→, después de cambiar otra vez de signo con la referencia, queda finalmente: ∇τ→ = -2σnkn-1(n-1)S

→ y como se puede comprobar operando con las constantes: 2σnkn-1(n-1) = nkn el resultado coincide con (65).

152

4.- Campos irrotacionales,

4.01.- En un espacio puntual n-dimensional, llamaremos

campo irrotacional a todo campo vectorial w→ no uniforme que verifica ∇∧w→=0→ (ó sea ∇⊗w→ simétrico) en todos los puntos no singulares.

Vamos a ver que un campo vectorial w→ será irrotacional si y sólo si w→ es integrable, es decir, si existe un escalar U integral de w→, ó sea tal que w→=∇U.

Pues por A'5.03 sabemos que w→ es integrable si y sólo si ∇⊗w→ es simétrico, ó sea ∇∧w→=0→.

Por ser integrable cualquier campo irrotacional w→, corresponderá a la derivada de una aplicación diferenciable, y por consiguiente, siempre se verificará:

(66) ∫ w→dl→ = 0

Recordaremos que si U es integral de w→ también lo será U' si y sólo si se diferencia de U en un escalar uniforme.

4.02.- Superficies equipotenciales.

En un campo w→ irrotacional, llamamos superficie equipotencial correspondiente a un punto A, al l.g. de los puntos P equipotenciales a A , llamando así a los que verifican:

∫P

Aw→dl

→ = 0

A cada elemento infinitesimal de una superficie

equipotencial, corresponderá un vector superficie ds→ aplicado a cualquier punto del elemento. Este vector será ortogonal a la superficie y por tanto, de igual dirección y sentido que el vector w→ correspondiente al punto.

Así pues, en cada punto representativo A, para algún escalar k se verificará: w→ = kd

_s→

Sólo en el caso de que A pertenezca a un cuerpo n-

dimensional con w→=0→ en todos sus puntos el l.g. de los puntos

equipotenciales con A no será una superficie, sino que contendrá a dicho cuerpo.

4.03.- Capas equipotenciales,

Designaremos como capa equipotencial al espacio comprendido entre dos superficies equipotenciales, que por lo

153

tanto constituirán su frontera.

4.04.- Sea en una capa equipotencial un circuito lineal cerrado que conste de cuatro segmentos, uno en la superficie que señalaremos con 1, otro en la otra superficie señalada con 2, y los dos restantes que enlacen los extremos de los segmentos anteriores, y que por tanto enlazarán las superficies 1 y 2 una con otra.

Teniendo en cuenta (66), y que en consecuencia las integrales parciales correspondientes a los trayectos sobre igual superficie equipotencial son nulas, para los trayectos entre las superficies 1 y 2, cualesquiera que éstos sean, tendremos un solo valor:

∫2

1w→dl

→ = U2 - U1 = constante

4.05.- Capa elemental.

Llamaremos capa elemental a la que tiene por frontera

dos superficies equipotenciales infinitamente próximas entre sí.

Para esta capa, y para dos puntos infinitamente próximos uno de cada superficie la ecuación anterior tomará la forma: w→dl

→ = dU

habiendo llamado dU ó diferencial de U, a la diferencia infinitamente pequeña entre U2 y U1.

Una capa elemental equipotencial corresponde ahora a una superficie (n-1)-dimensional y a un espesor infinitesimal variable, y admitiremos que los vectores w→ son iguales en todos los puntos del trayecto dl

→ y que lo mismo ocurre con los vectores

infinitesimales ds→ de superficie limitados por un mismo tubo de fuerza.

Podremos considerar pues como elemento parcial infinitesimal de volumen de la capa, a su vez de volumen infinitesimal, en el entorno de un punto A a: dV = ds→ dl

→

De esta manera, para cada punto de una superficie

equipotencial, resulta w→ de igual dirección que d_s→ y:

w→=kds→ ⇒ dU = w→dl

→ = k ds→dl

→ ⇒

sddVdU

= w dVdU

= krr⇒

(67) ⇒ w→dV = dUds→

154

Como w→ y d→s→ para cada punto tienen el versor m→ común, si dl1 es allí la distancia ortogonal entre superficies, también se verifica en el punto: (68) m→dU = w→dl1

4.06.- Hipótesis de trabajo en campo irrotacional.

Sea, en un campo irrotacional w→, el dominio en que w→ no es nulo.

Con el método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos diferenciales dV (volumen escalar) con el vector w→ que corresponde a su punto representativo.

A partir de ahora, podremos admitir también, que el espacio del dominio en cuestión está constituído por un conjunto infinito de capas elementales, caracterizadas cada una por una superficie (n-1)-dimensional representativa correspondiente a uno de sus puntos, y una diferencia dU.

En caso de variar la hipótesis utilizada, utilizaremos como fórmula de sustitución, la (67).

Para el dominio V en que w→≠0→, siempre podremos considerar que la distribución del espacio en capas elementales es tal, que un punto determinado del dominio no pertenece más que a una única capa elemental.

Integrando (67) para una sola capa elemental cerrada, tendremos:

∫ V w→dV = dU ∫S d

_s→ = 0

→

y por tanto, para todo conjunto de capas cerradas, se verifica:

(69) ∫ V w→dV = 0

→

4.07.- Aplicación a capas cerradas.

En general, si γ→ es un tensor cualquiera podremos

escribir:

(70) ∫V γ→w→dV = ∫U dU ∫S γ

→ds→

siempre que el campo de integración se pueda considerar como un conjunto de capas elementales cerradas y sea por tanto a su vez una capa cerrada.

4.08.- Aplicando (70) con cualquier tensor γ→ que en V verifique uniformemente ∇γ→=0→, la última integral resulta nula

155

para toda capa elemental cerrada, pues así se deduce de Ostrogradski. Por tanto en este caso, si todas las capas elementales son cerradas, los dos miembros de la ecuación anterior serán también nulos y podremos escribir:

(71) ∫V γ→w→dV = 0

De acuerdo con esto, es fácil ver que cuando γ→ es el

tensor I→ de la aplicación idéntica, que es uniforme y por tanto verifica ∇I→=0→ y no tiene valores singulares, de esta última ecuación podemos deducir la (69).

También vemos que si γ→ es un vector solenoidal sin puntos singulares en V, y por tanto por definición verifica ∇γ→=0, se le puede aplicar la ecuación (71).

Cuando el vector solenoidal es γ→=r→r-n, sabemos que ∫ γ→ds→ es el ángulo sólido con el que se ve la superficie equipotencial cerrada desde el origen. Como este ángulo es nkn si el origen está en el espacio interior a la superficie, y es 0 si está en el exterior, la ecuación (70) podremos escribirla así:

∫V γ→w→dV = (U2-U1)nkn

siendo U1 y U2 los valores de U extremos del conjunto de capas elementales que contienen al origen. El valor de U en el infinito se acostumbra a considerar nulo.

4.08.- Campo tensorial χ→. Valor de ∇χ→.

Sea el tensor

χ→ = ∫V (w→∧r→r-n)dV = ∫U dU ∫ (ds→ ∧r→r-n)

Análogamente a '3.10, podemos sustituir dl

→ por ds→

obteniendo: ∇[d

_s→∧(r→r-n)] = ∇[d

_s→⊗(r→r-n)]

y operando con capas en lugar de tubos, y con w→ en lugar de S→ llegamos al resultado: ∇χ→ = -nknw

→ que se verifica cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen, siendo w→ el valor del campo en el origen.

156

5.- Campos armónicos.

5.01.- Llamamos armónico a todo campo vectorial v→ que

sea a un tiempo irrotacional y solenoidal, ó sea que verifica tanto la relación característica del uno, como la del otro: ∇v→ = 0; ∇∧v→ = 0 y tendrá por tanto, a la vez, las propiedades de ambos campos.

Por ser v→ irrotacional tendremos que será la derivada ∇U de una variable U escalar, y por ser también solenoidal, su producto contracto por ∇ habrá de ser nulo. La condición de armonicidad para la derivada de algún escalar U, es pues: 0 = ∇(∇U) = (∇∇)U = ∆U (laplaciana de U) ó ecuación de Laplace.

Los campos escalares U, que verifican la ecuación de Laplace son las soluciones de la misma.

Si en un dominio de U, solución de Laplace, la aplicación puntual v→ de Laplace, es diferenciable y regular, decimos que en este dominio ó región del espacio, U es una función armónica, y que v→=∇U es un campo armónico.

5.02.- En los campos armónicos v→, conservarán su sentido los conceptos de tubo de campo y elemental y de flujo i ó di, así como los de capa equipotencial y elemental y de diferencia de potencial U2-U1 ó dU. En cuanto a los campos S

→ y w→, ambos coincidirán en un mismo campo vectorial v→.

Ahora al espacio lo podremos integrar indistintamente tanto por tubos elementales como por capas elementales, de acuerdo con las ecuaciones (58) y (67) de equivalencia: v→dV = di dl

→ = dU ds→

que normalmente se referirán a elementos de volumen rectangulares en los que dl

→, ds→ y v→ son vectores de igual dirección.

5.03.- Vamos a ver en qué condiciones tendremos v→=0 en

un campo armónico.

Como las ecuaciones (59) y (68) serán aplicables a un campo armónico, de ellas deducimos fácilmente: di = v ds; dU = v dl ⇒

dVdU di

= dldsdU di

=v dldU

=dsdi

=v 2⇒

y recordaremos que di no varía a lo largo de un tubo y que dU

157

tampoco varía en una capa equipotencial. a) En algún punto del campo útil, di ó dU no es nulo.

No serán nulos ambos valores ni v→ en todo el dominio.

De la ecuación última deducimos entonces, que al

disminuir v, aumenta dV, y que si v tiende a cero, dV crece indefinidamente, y esto solo es posible cuando el punto se aleja indefinidamente.

Por consiguiente, solamente podemos considerar nulo a v→ en puntos del campo en el infinito.

b) En algún punto del campo útil di ó dU son nulos.

Lo serán ambos valores así como v en todo el dominio.

5.04.- Valores máximos y mínimos de U en su campo. Corresponden a los puntos de derivada nula de U, ó sea con ∇U = v→ = 0.

Por lo expuesto en el párrafo anterior ó no existe

ningún máximo ni mínimo en el interior del dominio útil considerado ó bien se tiene v→=0 en la totalidad del mismo.

En consecuencia, una función armónica U es uniforme en un volumen útil determinado si lo es en su frontera.

5.05.- Un campo armónico notable y una función armónica notable son respectivamente: r→r-n; -(n-2)-1r-(n-2) que hemos estudiado en A'7.04.

Esta función armónica se denomina elemental, pues se puede demostrar que toda función armónica puede obtenerse como combinaciòn lineal de un número finito ó infinito de funciones armónicas elementales.

5.06.- Se demuestra que toda función armónica es analítica ó sea desarrollable en serie de Taylor, en el entorno de un punto cualquiera de su campo.

5.07.- Sea como ejemplo de demostración por cálculo tensorial, el cálculo de la función armónica que corresponde a un dominio en cuya frontera U es uniforme.

Sea U un campo escalar y v→ uno vectorial, ambos cualesquiera, y consideremos la integral de volumen de ∇(Uv→). Por Ostrogradski podremos escribir:

∫V [∇(Uv→)]dV = ∫S (Uv→)ds→.

158

Esta expresión, cuando U es uniforme en la frontera y v→

es solenoidal, se anula por (56):

∫V [∇(Uv→)]dV = U ∫S v→ds→ = 0

Por otra parte, si U es una función armónica del campo

armónico v→=∇U, y tenemos por tanto ∇v→=0, podremos escribir: ∇(Uv→) = v→(∇U) + U(∇v→) = v→(∇U) = v2

∫V [∇(Uv→)]dV = ∫ V v2dV

De estas expresiones y de la anterior deducimos:

∫V [∇(Uv→)]dV = 0 = ∫ V v2dV

y por tanto, en todo el volumen tendremos v→=0, ó sea U uniforme.

159

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES

1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales.

1.01.- Primer ejemplo.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en τ→ de coeficientes constantes. Variable independiente t escalar.

Son de la forma:

0 = k + dtd

k + dtd

k +...+dtd

k = A 012

2

2n

n

n

rrrrr

rττττ

Ensayando una solución de la forma τ→=λ→eβt, con a→

constante y e número de Euler, se obtiene:

ek = k t00

βλτrr

βλλτ ββ ek = )e(dtd

k = dtd

k t1

t11

rrr

βλλττ ββ 2t2

t222

2

2 ek = )e(dtd

k = dtd

dtd

k = dtd

krrrr

. . . . . . . . .

βλτ β ntnn

n

n ek = dtd

krr

Sustituyendo en la ecuación, resulta:

λ→eβt[knβ

n + ... + k2β2 + k1β + k0] = 0

→

Serán válidas las soluciones correspondientes a los

valores de β que anulan el corchete, es decir, las soluciones de la ecuación: knβ

n + ... + k2β2 + k1β + k0 = 0

1.02.- 2º ejemplo.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de un

tensor σ→ con coeficientes τ→n uniformes de orden n. Variable independiente vectorial x→.

Con τ→1=v→ y τ→0= k, son de la forma:

τ→n(∇⊗n⊗σ→) + .. + τ→2(∇⊗∇⊗σ→) + v→(∇⊗σ→) + kσ→ = 0→

160

Ensayaremos una solución de la forma σ→ = λ→ea →x → siendo λ→

un tensor uniforme del orden de σ→ y a→ un vector uniforme. Se obtiene:

∇(ea →x →) = a→ea

→x →

y por lo tanto:

kσ→ = kλ→ea →x →

v→(∇⊗σ→) = v→(∇⊗ λ→ea →x →) = v→[(∇ea

→x →)⊗ λ→] = v→(a→⊗ λ→)ea

→x →

τ→2(∇⊗∇⊗σ→)= τ→2[∇⊗(∇⊗σ→)]= τ→2(∇⊗a→⊗ λ→)ea →x →= τ→2(a

→⊗a→⊗ λ→)ea →x →

. . . . . . . .

τ→n(∇n⊗σ→) = τ→n(a→n⊗ λ→)ea

→x → = (τ→na

→n) λ→ea →x →

Sustituyendo en la ecuación resulta: [τ→na

→n + ... + τ→2(a→⊗a→) + v→a→ + k] λ→ea

→x → = 0

→

Por lo tanto la solución ensayada es válida con cualquier valor de a→ que anule el corchete, es decir, que sea solución de la ecuación: τ→na

→n + ... + τ→2(a→⊗a→) + v→a→ + k = 0

llamada ecuación característica.

1.03.- Forma vectorial de la ecuación de Euler del cálculo de variaciones.

Nos limitaremos a un desarrollo esquemático.

Sea en un espacio puntual afín una curva x→(t) del espacio y un segmento de la misma entre el punto A correspondiente al valor a de una variable independiente escalar t y el punto B correspondiente al valor b. Supondremos que no sólo x→ es función continua de t en dicho segmento y por tanto existe en cada uno de sus puntos una derivada escalar x→’=dx→/dt, sino que esta derivada también es continua en dicho segmento.

Sea también una función f escalar de las tres magnitudes t,x→ y x→'. Separando variables podremos escribir: df = ftdt + fxdx

→ + fx’dx→’

161

en cuya expresión t es la única variable independiente, ft es la derivada parcial respecto t, fx la derivada parcial respecto a x

→ y fx’ la derivada parcial respecto x

→’. Por razón de homogeneidad estarán representadas por una magnitud escalar y dos vectoriales respectivamente. Escribiremos en consecuencia: df = ftdt + f

→xdx→ + f

→x’dx

→’

Vamos a estudiar ahora la integral

I = ∫AB f(t,x→,x→’)dt

y veamos qué condiciones necesita reunir la curva x→(t) entre A y B para que esta integral sea extremal, es decir, para que toda variación en la curva entre A y B cambie su valor en el mismo sentido, sea de aumentar o disminuir.

Para ello consideraremos una variante cualquiera del tipo x→+αv→, con v→(t) una curva cualquiera tal que v→(a)=v→(b)=0→, y α un parámetro escalar. Esta nueva curva evidentemente también contiene a los puntos A y B y para ella la integral I toma el valor siguiente:

I = ∫AB f(t, x→+αv→, x→’+αv→’)dt

Dando distintos valores a α para un mismo v→, obtenemos

una familia de curvas que pasan por A y B, siendo la curva primitiva la que corresponde a α=0. Si esta curva primitiva es extremal se habrá de verificar:

0 = ddI

0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α α

Obtendremos pues la condición para un v→ determinado,

derivando I respecto a α para α=0, considerando v→ fijo, e igualando a cero el resultado que se obtenga:

0 = ∫AB (f→xv→ + f→x’v

→’)dt = ∫AB f→

xv→dt + ∫AB f

→x’v→’dt

pero se verifica:

[ ] dtdtfd

vfvdtvfAB

xb

aAB xx ∫∫ ′′′ −=′

rrrrrr

Como el término integrado es nulo por serlo v→ en A y en

B, al sustituir el primer miembro en la ecuación anterior, se tendrá:

dtv)dtfd

f(dtdtfd

vdtvf0AB

xxAB

x

AB xr

rr

rrrr

∫∫∫ ′′ −=−=

162

Como si la curva primitiva es extremal,esto se habrá de

verificar para cualquier v→ que se anule en A y B, resulta finalmente que es condición necesaria para ello la siguiente:

f→x - dt

fd x’

r= 0

→

aunque podríamos ver que no es suficiente.

163

E.- SERIES POLINOMICAS.

1.01.- Teorema de Rolle.

Vamos a generalizarlo para tensores.

Sea una función µ escalar de x→, tal que µa=µb, es decir, que toma igual valor para x→=a→ que para x→=b

→.

Admitiremos también que µ y ∇µ varían en forma continua

desde a→ hasta b→ a lo largo del segmento rectilíneo AB que

determinan a→ y b→.

Vamos a demostrar que en estas condiciones, en AB

siempre existe un punto C correspondiente a x→=c→ y distinto de A y de B, para el que ∇µ verifica: (∇µ)C(b

→-a→) = 0

→ ⇔ [(∇µ)(b→-a→)]C = 0

→

Efectivamente, si pasamos de A a B por segmentos

diferenciales dr→, todos de igual dirección, se tendrá:

µB - µA = ∫AB (∇µ)dr→

Dado que por hipótesis se verifica µA=µB, el sumatorio

integral del 21 miembro es nulo, por cuya razón, si no son siempre nulos los incrementos dµ=(∇µ)dr→, habrá en el segmento algún punto C entre A y B en que los incrementos cambiarán de signo y para él se verificará: (∇µ)Cdr

→ = 0→

y como ACB es una recta, se verificará también: (∇µ)C(b

→-a→) = 0

→

1.02.- Fórmula tensorial de Taylor.

Para un tensor τ→ de cualquier orden, función de x→, la

fórmula tensorial de Taylor expresa el valor de τ→B, es decir, el valor de τ→ para x→ = b→ = a→ + (b→-a→), siendo a→ arbitrario, en función:

de τ→A = valor de τ→ para x→=a→,

del valor de las sucesivas derivadas de τ→ para x→=a→ y de las potencias tensoriales de b→-a→.

La fórmula es la siguiente:

.... + )a-b()(2!1

+ )a-b()(1!1

+ = 2A

2AAB

⊗⊗ ⊗∇⊗∇ rrrrrrrr ττττ

164

ετ rrrr + )a-b()(

m!1

+ .... mA

m ⊗⊗ ⊗∇

En esta expresión, cuyos términos son todos tensores

del mismo orden que τ→, ε→ es la diferencia entre τ→B y el polinomio que precede a ε→, y se denomina término complementario.

1.03.- Cálculo de ε→.

Admitiremos para el cálculo, que tanto τ→ como sus m+1 primeras derivadas son finitas y continuas en el segmento AB, y procederemos así:

Examinemos el siguiente escalar µ función de x→:

(72) ⎢⎣⎡ ⊗∇⊗∇ ⊗⊗ ... + )x-b)((

2!1

+ )x-b)((1!1

+ = 22 rrrrrrrr τττσµ

⎥⎦

⎤⊗∇ ⊗

⊗⊗⊗

)a-b()x-b(

+ )x-b)((m!1

+....1)+(m

1)+(mmm

rrr

rrrrrrr

ννετ

en cuya expresión, σ→ es un tensor arbitrario del mismo orden que τ→ y ε→, y v→ es cualquier tensor de orden m+1 que sea simétrico y que verifique: v→(b→-a→)⊗(m+1) ≠ 0

Del examen de la expresión de µ se deduce fácilmente que µ verifica la siguiente relación: µa = µb = σ

→τ→B y que por tanto cumple la condición exigida a la función µ que ha intervenido en la demostración del teorema de Rolle.

Por consiguiente podemos establecer que en algún punto C del segmento AB, distinto de A y de B, se verifica: (73) (∇µ)C(b

→-a→) = 0

Sustituyendo en esta igualdad el valor dado a µ, y

después de diversas operaciones, se obtiene finalmente en '1.10/1.13, la siguiente ecuación:

(74) )a-b()(1)!+(m

= 1)+(mC

1)+(m ⊗⊗ ⊗∇rrr

rrr τσεσ

1.04.- La expresión anterior, para el caso de que τ→ sea

de orden 0 (escalar) ó el de que a todo σ→ corresponda el mismo punto C, se reduce a:

(75) )a-b()(1)!+(m1

= 1)+(mC

1)+(m ⊗⊗ ⊗∇rrrr τε

165

Si además de ser escalar τ→, tenemos que el espacio es

unidimensional, esta expresión de ε→ queda reducida al conocido término complementario de Lagrange.

En los demás casos si quisiéramos determinar ε→ intrínsecamente, ello sería teóricamente posible a partir de

considerar una base vectorial de los tensores σ→ de conocer los puntos C para cada vector base, y de resolver el sistema de ecuaciones que resultarían de

aplicar sucesivamente cada tensor base a (74).

1.05.- En cuanto al modo de determinar los coeficientes de ε→ de cualquier tipo (covariantes, etc,), lo expondremos a través de un ejemplo.

Sea ρ→C el tensor siguiente:

)a-b()(1)!+(m1

= 1)+(mC

1)+(mC

⊗⊗ ⊗∇rrrr τρ

con lo que la ecuación (74) se convierte en: σ→ε→ = σ→ρ→C y supongamos que los factores son de segundo orden.

Adoptando una base e→i del espacio n-dimensional E en que trabajamos, para σ→ =(e→i⊗e→j), tensor base de su espacio vectorial, habrá algún punto C para el que se verificará: (e→i⊗e→j)ε→ = (e→i⊗e→j)ρ→C y por tanto habrá la siguiente relación de coeficientes: εij = (rij)C

que determina el coeficiente εij de ε→ correspondiente al vector base elegido.

Vemos así, hablando ya en general, que cada coeficiente de ε→ coincide con el mismo componente de ρ→C correspondiente a algún punto C intermedio entre A y B. Este punto podrá ser distinto para cada componente.

1.06.- Serie de Taylor.

Sea un tensor τ→, función de x→.

El desarrollo de τ→ en serie de Taylor, es el visto anteriormente, o sea:

166

.... + )a-b()(2!1

+ )a-b()(1!1

+ = 2A

2AAB

⊗⊗ ⊗∇⊗∇ rrrrrrrr ττττ

... + )a-b()(m!1

+ .... mA

m ⊗⊗ ⊗∇rrrτ

Para que esta expresión sea válida, se precisa:

a) Que τ→ sea diferenciable indefinidamente.

b) Que la serie sea convergente.

1.07.- Un criterio de convergencia deducido de los

párrafos anteriores, es que se verifique:

0 = 1)!+(m

)a-b()( = lim :])b,a[c ;c(

1)+(mC

1)+(m

m

⊗⊗

∞→⊗∇∈∀

rrrrrrr τ

1.08.- Serie de Mac-Laurin.

Es la serie de Taylor para el caso a→=0

→, o sea:

.. + b)(m!1

+ .. + b)(2!1

+ b)(1!1

+ = m0

m20

200B

rrrrrrrr ⊗⊗⊗⊗ ⊗∇⊗∇⊗∇ τττττ

1.09.- Valor de la diferencia τ→B - τ

→A

Para AB→=dx→ y τ→ indefinidamente diferenciable con

derivada finita para x→=a→, podremos escribir la fórmula de Taylor de esta manera:

.. + xd)(m!1

+ .. + xd)(2!1

+ xd)(1!1

= - mA

m2A

2AAB

rrrrrrrr ⊗⊗⊗⊗ ⊗∇⊗∇⊗∇ τττττ

Es una consecuencia de los últimos párrafos.

1.10.- A continuación vamos a detallar las operaciones antes omitidas para obtener la ecuación (74).

Por no ser necesario y para simplificar, suprimiremos el signo ⊗ en los exponentes.

En primer lugar vamos a considerar por separado los términos que resultan del producto por σ→ de cada término del corchete de (72) con la excepción del último y los sustituiremos en (73) obteniendo m+1 términos de (∇µ)C(b

→-a→). Como para el

término m+1, aplicando los teoremas fundamentales de esta álgebra se verifica:

)]()x-b([ = ])x-b)([( mmmm τστσ rrrrrrrr

∇∇⊗∇∇ el término αm+1 en (73) puede representarse así:

167

)a-b()]()x-b([m!1

= Cmm

1+mrrrrrr

τσα ∇∇

y con 0≤i≤m, para el término general i+1 tendremos:

)]()x-b()][a-b([i!1

= iic1+i τσα rrrrrr

∇∇

Teniendo en cuenta que el factor ∇, como operador de

derivación, se refiere tanto a (b→-x→)i como a τ→, consideraremos a

αi+1 como suma de dos sumandos α’i+1 y α”i+1 , el primero para τ→ como

tensor afectado y el segundo para (b→-x→)i como tensor afectado.

1.11.- Siempre aplicando los teoremas fundamentales,

para el valor en C del primer sumando tendremos:

])a-b()c-b[(][i!1

=])a-b()c-b[( ][i!1

=’ ic

1+iiC

i1+i στστα rrrrrrrrrrrr ⊗⊗⊗∇⊗⊗⊗∇⊗∇

Ahora bien, por tener igual dirección y sentido podemos

sustituir b→-c→ por k(b→-a→) y tendremos:

])a-b(k)(i!1

[ = ])a-b(k[][i!1

= ’ 1+iic

1+i1+iic

1+i1+i στστα rrrrrrrr ⊗∇⊗⊗∇

Para el valor en C del segundo sumando se verifica:

))(a-b(])x-b([i!1

= Ccii

1i τσα rrrrrr∇∇′′ +

Pero ∇[∇i(b→-x→)i] es la derivada de un monomio en (b→-x→)

y sustituyendo por su valor -i∇i(b→-x→)i-1 dado por (17) y A'6.03c, se tiene:

= ))(a-b]()x-b(i[i!1

- = C1-ii

1i τσα rrrrrr∇′′ +

])a-b()c-b[()(1)!-(i1

-= ))](a-b()x-b[(i!i

-= 1-iC

iC

1-ii σττσ rrrrrrrrrrrr⊗⊗⊗∇⊗∇

y por consiguiente: α”i+1 = - α’i

1.12.- Cálculo del último término β.

Tendremos en cuenta que la fracción que figura en la expresión de ε→ es de términos escalares.

)a-b()a-b(

])x-b([)( =

1+m

1+mC rr

rrr

rrrrr

νν

σεβ∇

168

y como por ser derivada de un monomio se verifica: ∇[v→(b→-x→)m+1]C = -(m+1)v→(b→-c→)m tendremos sustituyendo:

)a-b(

)]a-b()c-b[()1)(+(m- =

)a-b()a-b]()c-b(1)+[(m

)(- = 1+m

m

1+m

m

rrr

rrrrrrr

rrr

rrrrrrr

ννσε

ννσεβ ⊗

Ahora bien, por tener igual dirección y sentido podemos

escribir b→-c→ = k(b→-a→) y sustituir, con lo que quedará:

k)1)(+(m- =)a-b()a-b(

k)1)(+(m- = m1+m

1+mm σεννσεβ rr

rrr

rrrrr

1.13.- Resumiendo, los términos de (∇µ)(b→-a→)C, son:

α1 = α’1 α2 = α’2 – α’1 α3 = α’3 – α’2 . . . . . . . .

αm+1 = α’m+1 - α’m = ’ - ])a-b(k )(m!1

[ m1+mm

C1+m αστ rrrr⊗∇

β = - (m+1)(σ→ε→)km. Sumando miembro a miembro, queda:

k)1)(+(m - ])a-b(k )(m!1

[ = 0 m1+mmC

1+m εσστ rrrrrr⊗∇

de donde se deduce:

στεσ rrrrrr])a-b()[(

1)!+(m1

= 1+mC

1+m ⊗∇

que es la ecuación que buscábamos.

169

APENDICE 1

1.- Cálculo de αn. Ampliación de Análisis T. C'1.07.

1.01.- Tomaremos p entero con valores 1,2,3.. y tendremos así que 2p representará cualquier entero par y 2p-1 ó 2p+1 cualquier entero impar.

1.02.- Utilizaremos las siguientes expresiones de integrales definidas que constan en el Hütte:

22p)(····6·4·2

1)-2p(····5·3·1 = xdx cos2

0

2p ππ

∫+

)12p(····5·3·1

2p)(····6·4·2 = xdx cos2

0

12p

+∫+ +π

1.03.- Utilizaremos del ensayo sobre cuádricas los valores que nos da del volumen Vn de las esferas para valores de n tales como 2p y sus inmediatos inferior y superior, ó sea los impares 2p-1 y 2p+1.

r1·3·5····3)-1)(2p-(2p

2 = V 1-2p1-pp

1-2p π

rp!1

= V 2pp2p π

r1·3·5····1)-1)(2p(2p+

22. = V 1+2pp

p

1+2p π

1.04.- Cálculo de las constantes kn (Cálculo T. C'1.02) para n igual a 2p-1, 2p y 2p+1.

π 1-pp

1-2p1·3·5····3)-1)(2p-(2p

2 = k

πp2pp!1

= k

1·3·5····1)-1)(2p(2p+22.

= k pp

1+2p π

1.05.- Relación entre constantes k para valores de n 2p+1 y 2p y para valores 2p y 2p-1:

170

1·3···1)-1)(2p(2p+

2·4···2)-(2p)(2p2 =

1·3····1)-1)(2p(2p+

p!·22 = k

k p

2p

1+2p

22·4···2)-(2p)(2p

1·3···3)-1)(2p-(2p2 =

2·2

2p!

1·3···3)-1)(2p-(2p =

k

kp

1-2p

2p ππ

Estas relaciones se pueden poner en función de cosenos de acuerdo con las fórmulas vistas en '1.02 en la forma siguiente:

∫+2

0

1-2p

2p

1+2p xdxcos1+2p

2(2p) =

1·3···1)-(2p

2·4···2)-(2p

1+2p2(2p) =

k

k π

∫+2

0

2-2p

1-2p

2p xdxcos2p

1)-2(2p =

22·4···2)-(2p

1·3···3)-(2p

2p1)-2(2p

= k

k ππ

1.06.- Para un espacio de dimensión impar n=2p+1, la primera ecuación queda en la forma:

∫+2

0

2n-

1n-

n xdxcosn1)-2(n

= kk

π

y si es de dimensión par n=2p la segunda ecuación queda así:

∫+2

0

2n-

1n-

n xdxcosn1)-2(n

= kk

π

Por lo tanto, tanto si la dimensión n del espacio es par o impar, siempre se tiene:

k1)-2(nnk = = xdxcos

1n-

nn

20

2n- απ

∫+

APENDICE 2

1.- Diferenciales y derivadas.

1.01.-Definiciones.

Sean dos valores x y x+dx de una magnitud independiente y los dos valores correspondientes y = f(x) y y+dy = f(x+dx) de una magnitud función de x.

Siendo dx y dy cantidades infinitamente pequeñas que se llaman respectivamente diferencial de x y diferencial de y. Por definición pues diferencial de y vale:

dy = f(x+dx)-f(x)

Definimos como derivada de y a la función f ’(x) que verifica dy = f ’(x)dx

1.02.- Álgebra ordinaria no tensorial.

Esta álgebra estudia con amplitud el tema para x e y escalares.

Si tenemos el caso de y = f(x) = xn se verifica:

dy = f(x+dx)-f(x) = (x+dx)n -xn = xn+nxn-1dx-xn = nxn-1dx

Por lo tanto la derivada de y es nxn-1

1.03.- Álgebra tensorial.

Estudia el caso de variable independiente 𝑟 vectorial concretamente el vector de posición y de una variable dependiente 𝜏

Aquí solo estudiaremos el caso de que 𝜏 sea una potencia tensorial de 𝑟, o sea 𝜏 = f(𝑟) = 𝑟 n y aplicaremos la fórmula d𝜏 = (∇⊗ 𝜏)d𝑟 = (∇⊗𝑟 n)d𝑟

Previamente recordaremos ∇⊗𝑟 = 𝑟⊗∇ = 𝐼 y que ∇ aplicada a un producto de n factores iguales es n veces la aplicación de ∇ sobre un solo factor por los n-1 factores restantes. Por lo tanto:

𝑑𝜏 = (∇⊗ 𝜏 )d 𝑟 =(∇⊗𝑟 n)d𝑟= n(∇⊗𝑟 )⊗ 𝑟 n-1d𝑟 = n(𝐼⊗𝑟 n-1) d 𝑟

= (𝑛𝐼𝑑𝑟) 𝑟 n-1 = n𝑟 n-1 d 𝑟

La derivada de 𝑟 n es pues n𝑟 n-1

171

El mismo resultado se obtendrá de la analogía entre potencia tensorial y potencia escalar.

172

173

INDICE DE EQUACIONES

AT( 1)......... 14 AT( 2)......... 14 AT( 3)......... 14 AT( 4)......... 22 AT( 5)......... 23 AT( 6)......... 23 AT( 7)......... 23 AT( 8)......... 24 AT( 9)......... 24 AT(10)......... 25 AT(11)......... 25 AT(12)......... 26 AT(13)......... 26 AT(14)......... 26 AT(15)......... 28 AT(16)......... 28 AT(17)......... 29 AT(18)......... 29 AT(19)......... 29 AT(20)......... 30 AT(21)......... 30 AT(22)......... 34 AT(23)......... 34 AT(24)......... 44 AT(25)......... 44 AT(26)......... 44 AT(27)......... 44 AT(28)......... 44 AT(29)......... 71 CT( 1)......... 98 CT( 2)......... 98 CT( 3)......... 99 CT( 4)........ 100 CT( 5)........ 102 CT( 6)........ 102

CT( 7) ....... 102 CT( 8) ....... 103 CT( 9) ....... 103 CT(10) ....... 103 CT(11) ....... 104 CT(12) ....... 104 CT(13) ....... 104 CT(14) ....... 104 CT(15) ....... 105 CT(16) ....... 107 CT(17) ....... 108 CT(18) ....... 108 CT(19) ....... 118 CT(20) ....... 118 CT(21) ....... 121 CT(22) ....... 121 CT(23) ....... 121 CT(24) ....... 121 CT(25) ....... 121 CT(26) ....... 122 CT(27) ....... 123 CT(28) ....... 127 CT(29) ....... 127 CT(29') ...... 128 CT(30) ....... 129 CT(31) ....... 129 CT(32) ....... 129 CT(33) ....... 130 CT(34) ....... 130 CT(35) ....... 130 CT(36) ....... 130 CT(37) ....... 131 CT(38) ....... 132 CT(39) ....... 132 CT(40) ....... 133

CT(41) ....... 133 CT(42) ....... 134 CT(43) ....... 137 CT(44) ....... 137 CT(45) ....... 139 CT(46) ....... 140 CT(47) ....... 141 CT(48) ....... 141 CT(49) ....... 141 CT(50) ....... 141 CT(51) ....... 141 CT(52) ....... 142 CT(53) ....... 142 CT(54) ....... 142 CT(55) ....... 143 CT(56) ....... 145 CT(57) ....... 145 CT(58) ....... 146 CT(59) ....... 146 CT(60) ....... 147 CT(61) ....... 148 CT(62) ....... 148 CT(63) ....... 148 CT(64) ....... 149 CT(65) ....... 150 CT(66) ....... 152 CT(67) ....... 153 CT(68) ....... 154 CT(69) ....... 154 CT(70) ....... 154 CT(71) ....... 155 CT(72) ....... 164 CT(73) ....... 164 CT(74) ....... 164 CT(75) ....... 164