Notas del Curso de Fsica Moderna

Dr. Edy Ayala A.

Departamento de Fsica Escuela Politcnica Nacional

Borrador 6

Quito- julio - 2008

ii

.cualquier atributo de un sistema fsico que pueda predecirse con precisin sin perturbar dicho sistema es un elemento de realidad fsica E.P.R.

iii

CONTENIDORELATIVIDAD ESPECIALOscilaciones.1 Ondas Mecnicas ....11 Transformaciones de Galileo......22 Relatividad de Newton ....23 Experimento de Michelson Morley.....25 Relatividad especial..29 Transformaciones de Lorentz.........30 Consecuencias de las Transformaciones de Lorentz.....34 Aberracin de la luz y efecto Doppler...........38 Dinmica relativista.................42

INTRODUCCION A LA FSICA CUNTICARadiacin del Cuerpo Negro...51 Efecto foto-elctrico..58 Efecto Compton....62 Creacin de pares........63 Postulado de de Broglie...65 Comportamiento cuntico..................66 Principio de incertidumbre...69

MECNICA CUNTICA NO RELATIVISTAEcuacin de Schrdinger....77 Magnitudes dinmica y valores esperados......80 Ecuacin independiente del tiempo.......81 Potenciales escaln y efecto tnel.....82 Pozos de potencial.......86 Oscilador armnico...90 Propiedades de las funciones de onda y valores medibles...93

MODELOS ATMICOSPrimeros modelos........99 Schrdinger y el tomo de Hidrgeno........102 Orbitales atmicos......109 Momentos dipolares magnticos.....111 Experimento de Stern Gerlach y el spin del electrn....113 Interaccin spin-orbita...........115 Momento angular total ......116 Partculas Idnticas....119 Principio de exclusin.120 tomos mlti-electrnicos.....123 Tabla peridica....128 Rayos X fluorescentes .........131 Excitaciones pticas...132 Interacciones residuales ..... 135 Reglas de Hund.............136 Efecto Zeeman...............139 Interaccin Hiper-fina ...............141 Molculas ....143 Orbitales moleculares....144 Espectros moleculares...148

iv APLICACIONES BSICASGas de electrones libres (modelo de metales)152 Efectos termoelctricos...157 Electrones en potenciales peridicos159 Semiconductores..163

INTRODUCCIN A LA FSICA NUCLEARPropiedades nucleares..174 Reacciones nucleares179 Decaimientos radiactivos......180 Ley del decaimiento radiactivo.191 Fisin196 Fusin.....................200

INTRODUCCIN A LA FISICA DE PARTICULAS..Partculas e interacciones...203 Propiedades y nmeros cunticos.204 Modelo estndar208

BIBLIOGRAFIA La mayora del material utilizado en este folleto ha sido extrado de la siguiente bibliografa, en especial los ejercicios propuestos.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. R. Resnick, Conceptos de relatividad y Fsica Cuntica, Ed. Limusa. R. Eisberg, R. Resnick, Fsica Cuntica, Ed. Limusa. Kenneth Krane, Fsica Moderna, Ed. Limusa V. Acosta, C.L. Cowan, B.J. Graham, Curso de Fsica Moderna, Ed. Harla Alonso y Finn, Curso de Fsica, vol.3, Ed. F.I.D. Gautreau R. SavinW.,Theory and Problems of Modern Physics, Schaums outline series. E.H. Wichmann, Fsica Cuntica, Berkeley Physics Course, Vol.4. I. V. Saveliev, Curso de Fsica General, Vol.3, Ed. Mir. Richard Feynman, Conferencias de Fsica, Vol 3, Ed. F.I.D. L.L.Goldin,G.I.Novikova, Introduccin a la Fsica Cuntica, Ed. Mir. Relatividad, Albert Einstein En busca del gato de Schrodinger, John Gribbin De los Atomos a los Quarks, J. Treffiel La Historia del tiempo, S. Hawking El universo en una cscara de nuez, S. Hawking En bsqueda de una teora final, S. Weinberg El Quark y el Jaguar, Murray Gell-Man Partculas elementales tHoof, Ed., Critica Electrones y quark, Yndurain, Ed. Critica

v

PREFACIOSe presentan los apuntes generales de la materia que conforman el programa del curso de Fsica General III que se dictan en las carreras de ingeniera de la Escuela Politcnica Nacional. El estudiante encontrar mltiples dificultades en el entendimiento del folleto si se lo pretende utilizar como libro texto del curso. Esto se debe a su origen, puesto que son solo apuntes de clase. Este folleto de ninguna manera reemplaza el libro (o los libros) texto del curso, sino ms bien quiere ser una ayuda, a disposicin del estudiante, para un repaso rpido de la materia vista durante todo el semestre. Adems ste aade una serie de demostraciones y desarrollos, solo con el objetivo se satisfacer la curiosidad de algunos estudiantes que desean conocer de donde sale tal o cual resultado. Este folleto esta complementado, en algunos captulos, con ejemplos resueltos y una serie de ejercicios propuestos. El folleto trata en su primer capitulo de un corto repaso de los conceptos bsicos de ondas y de la relatividad especial. Se discuten la relatividad newtoniana y sus limitaciones para terminar con la relatividad de Einstein y la modificacin necesaria de la dinmica. En el segundo captulo se describen rpidamente los experimentos cunticos que mostraron que las ondas electromagnticas se comportaban como partculas. Se describe el problema del cuerpo negro, efecto foto-elctrico, efecto Compton y produccin y aniquilacin de pares. Se plantea la hiptesis de de Broglie, el principio de complementariedad y el principio de incertidumbre de Heisenberg. En el tercer capitulo se estudia los conceptos bsicos de la mecnica cuntica no relativista en la formulacin debida a Schrdinger, se dan los principales postulados, su interpretacin estadstica, se desarrollan problemas bsicos, las propiedades de la funcin de onda. Su aplicacin a tomos con un electrn (previa introduccin histrica), su generalizacin a tomos mlti-electrnicos. Se hace una pequea discusin a los enlaces inicos y covalentes, una pequea aproximacin a los orbitales moleculares y las bandas de energa vibracional y rotacional. Por ltimo se desarrolla una serie de aplicaciones bsicas que consiste en el tratamiento de un gas de electrones libres que modela a los metales, con el objetivo de describir las propiedades termo-elctricas de los mismos. Se desarrolla en forma bsica, electrones en potenciales peridicos con el resultado fundamental de la generacin de bandas de niveles de energa prohibidas lo que define las caractersticas elctricas de los materiales. Se discute sobre los semiconductores intrnsecos y extrnsecos para terminar en la juntura n-p y los transistores. En el ltimo capitulo se hace una pequea introduccin a la fsica nuclear, poniendo nfasis en el decaimiento radiactivo; y a la fsica de partculas, describiendo el modelo estndar, modelo que describe nuestra actual cosmo-visin de los ladrillos fundamentales de la naturaleza. El folleto debe tener un sin nmero de errores que involuntariamente han sido pasados por alto por el autor. Cualquier comentario, observacin y correccin al folleto, por favor hacerla llegar al autor directamente, a la direccin electrnica: eayala@epn.edu.ec Atentamente Dr. Edy Ayala A. Departamento de Fsica Escuela Politcnica Nacional

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ConstantesCarga del electrn Masa del electrn Masa del protn Masa del neutrn Constante de Planck Constante de Boltzmann Velocidad de la luz (vaco) Permitividad elctrica (vaco) Permeabilidad magntica (vaco) Nmero de Avogadro Constante de Rydberg Magnetn de Bohr Magnetn Nuclear Constante de Estructura Fina Radio clsico del electrn Radio de Bohr e = 1.6 10-19 C me = 9.11 10-31 kg = 511 keV/c2 mp = 1.673 10-27 kg = 938.272 MeV/c2 mn = 1.675 10-27 kg = 939.566 MeV/c2 h = 6.626 10-34 J s = 4.136 10-15 eV s k = 1.38 10-23 J K-1 = 8.617 10-5 eV K-1 c = 3.00 108 m s-1 -12 F m-1 0 = 8.85 10 -7 0 = 4 10 H m-1 NA = 6.02 1026 kg-mol-1 R = 1.10 107 m-1 B = 9.27 10-24 J T-1 N = 5.0508 10-27 J T-1 = 3.1525 10-14 MeV T-1 = 1/137 re= 2.81 10-13 m. a0= 0.53 10-10 m.

Datos tilesUnidad atmica de masa 1u = 1.66 10-27 kg = 931.502 MeV/c2 Factor de conversin de Energa 1 eV = 1.6 10-19 J Aos en segundos 1 yr = 3.16 107 s Presin atmosfrica 1 atmosphere = 1.01 105 N m-2 Aceleracin de la gravedad en la Superficie de la Tierra g = 9.81 m s-2 1 gramo molcula a STP ocupa 22.4 litros

Primeros Polinomios Asociados de Legendre:Plm = Pl m

P00 = 1 P10 = cos P11 = sin 1 (3 cos 2 + 1) 4 3 P21 = sen2 2 3 P22 = (1 cos 2 ) 2 P20 =

1 (5 cos 3 + 3 cos ) 8 3 P31 = (sen + 5sen3 ) 8 15 P32 = (cos cos 3 ) 4 15 P33 = (3sen sen3 ) 4 P30 =

1

BREVE REPASO DE OSCILACIONES Y ONDAS MECANICASOSCILACIONES Se dice que un proceso es peridico cuando ste se repite cada determinado tiempo, por ejemplo: molculas oscilando en un slido, electrones en los tomos, las cuerdas de un violn, el movimiento peridico de la Tierra alrededor del sol, el voltaje y la corriente en circuitos alternos (AC). Todo movimiento peridico se lo puede considerar como una superposicin de movimientos armnicos simples. El movimiento armnico simple de un cuerpo con un grado de libertad se representa mediante una funcin que vara en el tiempo de la siguiente manera:

(t ) = A.sen( 0 t + ) dondeA es la amplitud de la oscilacin

0 es la frecuencia angular de oscilacin es la fase inicial

Figura. Oscilacin armnica

El nmero de oscilaciones por unidad de tiempo se le conoce con el nombre de frecuencia de oscilacin y esta dada como: =

0 ; el tiempo que tarda el sistema en realizar una 21

oscilacin completa se lo llama perodo de oscilacin y es: =

A continuacin se discuten algunos ejemplos de sistemas que oscilan armnicamente:

Masa con resorte Considere una masa m atado a un resorte con constante recuperacin k, en la regin donde la ley de Hook es vlida,

La ecuacin de movimiento es:

m

d 2x = kx dt 2

22 && + 0 x = 0 x2 con 0 =

k m

cuya solucin es:

x(t ) = Asen( 0 t + )

la siguiente figura muestra la relacin de fase entre la posicin, velocidad y aceleracin:

Figura. Relacin de fases entre la posicin, velocidad y aceleracin

Si consideramos la energa total del sistema, es decir, la suma de la energa cintica y potencial, entonces:

E=

1 2 1 2 & mx + k x 2 2

& Si x (t ) = A 0 cos( 0 t + )Note que la energa total del sistema es constante,

E=

1 1 2 mA 2 0 cos 2 ( 0 t + ) + kA 2 sen 2 ( 0 t + ) 2 2 E=1 2 1 kA = m 2 A 2 2 2

Si se considera el siguiente arreglo:

Figura. Masa atada a dos resortes de igual constante de recuperacin

3Si la longitud de los resortes no estirados es a 0 y la longitud de los mismos en la posicin de equilibrio es a. La fuerza sobre la masa m ser:

Fx = k ( x a 0 ) + k (2a x a 0 ) = 2k ( x a ) m d 2x = 2k ( x a ) dt 2

Cambiando de variable: = x a se tiene,

m

d 2 = 2k dt 22k m

2 La frecuencia de oscilacin en este caso es: 0 =

Oscilaciones transversales Considere el caso anterior pero con oscilaciones transversales,

Figura. Oscilaciones transversales del sistema anterior

M

a x d 2x = 2k (l a 0 ) sen = 2k (l a 0 ) = 2kx 1 0 2 l( x) l dt

Para el caso de pequeas oscilaciones

x2 l 2 = a 2 + x 2 = a 2 1 + 2 = a 2 (1 + ) a

1 1 1 / 2 = (1 + ) l aM a 1 x2 d 2x = 2kx 1 0 1 2 a 2 a2 dt 2kx (a a 0 ) d 2x = 2 a dt + ...

M

42 La frecuencia de oscilacin en este caso es: 0 =

2k (a a 0 ) 2T0 = Ma Ma

Los distintos ejemplos hasta ahora planteados muestran una ecuacin diferencial lineal a resolver. Estas ecuaciones tienen la propiedad de que la suma de cualquiera de sus soluciones es tambin solucin.

El pndulo simple.

m

d 2s = mg sen dt 2 d 2 = mg dt 2con

s = l y para pequeas oscilaciones sen , as,

ml

& & + 02 = 0

02 =

g l

(t ) = A.sen( 0 t + )Circuito LC

L LAs,

dI Q = dt C

d 2I 1 dQ 1 = = I 2 C dt C dt I (t ) = A.sen( 0 t + )

donde,

02 =

1 LC

5Note que en cada uno de los ejemplos desarrollado, la frecuencia de oscilacin, y por lo tanto el perodo de oscilacin, es independiente de la amplitud del oscilador armnico. Adicionalmente, se puede observar que la energa del oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Oscilaciones amortiguadas Si se considera fuerzas de rozamiento en el movimiento oscilatorio ideal, estas fuerzas disipativas disminuirn la energa del sistema y se dice que el movimiento es amortiguado. Si estas fuerzas se las consideran proporcionales a la rapidez con la que se mueve el cuerpo, la ecuacin de movimiento introduce un trmino adicional,

mcuya solucin es:

dx d 2x = kx b 2 dt dtb t 2m

x(t ) = Ae

cos(t + )2

donde la frecuencia de oscilacin esta dada por:

2 =

k b b 2 = 0 m 2m 2m

2

La amplitud de la oscilacin va decreciendo exponencialmente como se muestra en la figura:

Figura. Disminucin de la amplitud por amortiguacin del movimiento oscilatorio

Oscilaciones forzadas y resonancia En este caso el oscilador es sometido a una fuerza externa, que generalmente se la considera tambin peridica, as:

m

d 2x dx = kx b + F ( x) 2 dt dt

Si F ( x) = F0 sent , la solucin de esta ecuacin, para cuando se haya alcanzado un estado estacionario, es:

6

x(t ) = A cos(t + )donde la amplitud A es ahora funcin de la frecuencia de la fuerza externa, de la frecuencia2 natural del sistema (en este caso: 0 = k

m

) y del amortiguamiento del sistema y esta dada

por:

A=

F0 / m

(

2

2 2 0

)

b m

2

Cuando 0 la amplitud crece y alcanza un mximo. En este caso decimos que el sistema entra en resonancia debida a la fuerza externa. Si el amortiguamiento es pequeo, la amplitud puede crece considerablemente.

Pulsaciones En un sistema bidimensional la parte mvil puede moverse como una superposicin de dos oscilaciones armnicas, si las frecuencias son cercanas, 1 y 2, de manera que:

1 (t ) = A.sen(1 t ) 2 (t ) = A.sen( 2 t )

La suma

= 1 + 2

= AR sen donde:

1 + 2 t 2

2 AR = 2 Asen 1 t 2

que se le conoce como oscilacin con amplitud modulada. Estos movimientos compuestos en 2D forman las conocidas figuras de Lisajus.

7Consulta. Pndulo bi-dimensional

Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad

Figura. Sistemas con dos grados de libertad

El movimiento general de un sistema de dos grados de libertad puede tener una apariencia muy complicada (ninguna con movimiento armnico simple). Sin embargo, para dos grados de libertad y para ecuaciones de movimiento lineales, el movimiento ms general es la superposicin de dos movimientos armnicos simples (modos normales de vibracin). Escogiendo las condiciones iniciales apropiadas se puede hacer oscilar al sistema en sus modos normales (es decir, bajo esas condiciones los modos se desacoplan)

Osciladores acoplados

Figura. Osciladores acoplados. Oscilaciones longitudinales

m m

d 2 a = k a + k ( b a ) dt 2 d 2 b = k ( b a ) k b dt 2

Sumando y restando las dos ecuaciones:

m

d 2 ( a + b ) = k ( b + a ) dt 2

d 2 ( a b ) = 3k ( b a ) m dt 2Cada ecuacin corresponde a un modo normal de vibracin con frecuencias:

8

2 =

k m

y

2 =

3k m

Es fcil darse cuenta de cuales sern los modos normales de las oscilaciones transversales del mismo sistema. grafique los modos de vibracin normales y escriba los modos normales!

Figura. Osciladores acoplados. Oscilaciones transversales

Ejemplo. 1. Escriba (intuya) los modos de oscilacin transversales normales del sistema de dos osciladores acoplados con resortes. Escriba las ecuaciones del movimiento. Solucin. Las ecuaciones de movimiento son:

d 2 a T T = 0 a 0 ( a b ) m 2 a a dt m d 2 b T0 T = ( a b ) 0 b 2 a a dt

Cuerda vibrante Si se generaliza a un sistema de muchas masas acopladas, los modos de vibracin normales sern tantos como osciladores acoplados tenga el sistema.

Figura. Modos normales en una cuerda

Si se considera a la cuerda como un conjunto de masas puntuales unidas elsticamente (aproximacin al continuo). De acuerdo con la ley del movimiento de Newton, se tiene que para la masa j-sima:

9

mj

2 j t 2

= F ( j)

Donde representa los desplazamientos perpendiculares de las partculas

Para desplazamientos pequeos, y despreciando la fuerza gravitatoria, la fuerza restauradora ser perpendicular a la cuerda y resultar de la pequea diferencia de direccin de las fuerzas de tensin que tiran de la partcula hacia la izquierda y hacia la derecha. Si la tensin de la cuerda es T, la componente vertical de la fuerza restauradora ser:

j j 1 j j +1 F ( j) = T + x xSi x = j x para representar la posicin horizontal de la j-sima masa de la cuerda y

definiendo la densidad de masa lineal como:

= limx 0

m x

se tiene que:

( x x) 2 ( x) + ( x + x) m 2 = T lim 2 x 0 x t (x) 2 2 2 =T 2 t 2 x

si se define =

T

se tiene:

10

2 1 2 =0 x 2 2 t 2Esta ecuacin toma el nombre de la ecuacin de la Onda siendo el parmetro la velocidad de propagacin de la onda (perturbacin en la cuerda, en este caso). Si dicho parmetro lo consideramos constante, vemos que esta ecuacin puede resolverse por separacin de variables. Proponemos una solucin:

( x, t ) = f ( x) cos(t )Reemplazando, se tiene:

1 2 = 2 f ( x) 2 cos(t ) 2 x cos(t )

d2 f 1 = 2 f ( x) 2 cos(t ) 2 dx d 2 f 2 + f ( x) = 0 dx 2 2 d2 f + k 2 f ( x) = 0 2 dx

donde k =

f ( x) = A sen(kx )

( x, t ) = A sen(kx ) cos(t )Considerando las condiciones de borde. En este caso, la cuerda no oscila en los bordes:

(0, t ) = ( L, t ) = 0kL = ndonde n es entero. No todos los valores de k son permitidos, tan solo aquellos,

k=La solucin en este caso ser:

n L n x cos(t ) L

n ( x, t ) = A sen

Cada n entero representa un modo de oscilacin normal.

Grafique los primeros tres modos

11Debido al principio de superposicin, cualquier superposicin de estas soluciones tambin es solucin.

( x, t ) = a n n ( x, t )n

Si se supone que al tiempo t=0 el desplazamiento de la cuerda respecto de la posicin de equilibrio esta representado por la funcin f(x), entonces,

f ( x) = ( x,0) = a n n ( x,0)n

n f ( x) = a n sen x L La solucin obtenida es general, especificada solamente por las condiciones de borde. Esto implica que cualquier funcin arbitraria puede representarse como una superposicin de funciones senos o (cosenos)1, donde los coeficientes se los puede calcular fcilmente (Anlisis de Fourier2). Note que debido a estas condiciones de borde, se tiene una onda estacionaria.

ONDAS MECANICAS Una onda mecnica la podemos considerar como: Una perturbacin originada en un determinado punto del espacio que se propaga a travs de un medio. Si la perturbacin causa un movimiento de los elementos del medio en direccin de su propagacin se la llama onda longitudinal y si la perturbacin causa un movimiento de los elementos del medio perpendicular a la direccin de propagacin se la denomina onda transversal. La propagacin de esta perturbacin se debe a que los elementos constitutivos del medio (tomos, molculas) estn acoplados unos a otros. Como la perturbacin est en movimiento, se la representa por funcin tanto de la posicin como del tiempo, es decir,

= f ( x, t ) ( x, t ) t =0 = f ( x,0) = f ( x) , representa el perfil de la onda en t=0.Supongamos una onda que no cambia su forma mientras avanza a travs del espacio, como se observa en la siguiente figura.

1

Para n y m enteros:L

2 mx nx m sen L sen L dx= n (delta de Kronecker) L0 L

2

an =

2 nx f ( x) sen L dx L0

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Figura. Perfil viajero

Consideramos una onda o pulso viajando a una velocidad en direccin x. Supongamos un sistema S que se mueve con el pulso. En este sistema la onda o pulso no se mueve, as: = f (x) pero x= x t , de tal forma que: ( x, t ) = f ( x t ) es la funcin que representa la forma ms general de una onda unidimensional propagndose en la direccin positiva de las x. Entonces, f ( x + t ) representar una onda viajando en la direccin negativa de las x. Podemos verificar que las dos formas de ondas satisfacen la ecuacin mediante realizacin de las derivadas reemplazo directo, es decir, son soluciones de:

1 2 f 2 f 2 2 =0 x 2 tdonde es la velocidad de propagacin de la onda. En tres dimensiones,

2 f

1 2 f =0 2 t 2

Note, adems que esta ecuacin es lineal, es decir, que si

1 y 2 son soluciones

entonces 1 + 2 tambin es solucin. Una forma general para una funcin de onda se puede escribir como:

= c1 f ( x t ) + c 2 g ( x + t )

donde

c1 y c2 son constantes y

f y g: funciones doblemente diferenciables.

Ondas Armnicas Se toma un perfil de la forma armnica:

( x, t ) t =0 = ( x) = Asen(kx)

donde,

k vector de propagacin tal que,

kx (adimensional) radianes Una onda viajera ser entonces:

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( x, t ) = Asenk ( x t )(Note que si tiene un perfil de onda arbitrario se lo puede escribir como una superposicin de ondas armnicas: anlisis de Fourier) Manteniendo fijas ya sea x o t, se tiene una perturbacin sinusoidal de tal forma que la onda es peridica tanto en espacio como en tiempo, como se indica en la Figura.

Figura. Periodicidad especial y temporal de una onda sinusoidal

El perodo espacial se conoce como longitud de onda, , es decir: ( x, t ) = ( x , t ) para el caso de una onda armnica k = 2 . De forma anloga para el perodo temporal, , ( x, t ) = ( x, t ) para el caso de una onda armnica k = 2 .

2

= 2 = ,=

puesto que la frecuencia de oscilacin es =

1

k

con = 2 se tiene,

= 1

El nmero de onda se define como:

=

.

Velocidad de fase Para el caso de una onda armnica, el argumento completo de la funcin seno se le conoce con el nombre de fase, . As = kx t .

14Si la funcin es de tipo Asen(kx t + ) a se le conoce como fase inicial (o edad del ngulo), que no es ms que la contribucin constante a la fase que se origina en el generador. La fase de una perturbacin es una funcin de x y t.

( x, t ) = (kx t + )La derivada parcial de respecto a t (manteniendo x = constante) es la rapidez del cambio de fase con el tiempo,

=. t x =k. x t

Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia (a t = constante), Donde:

x x t = t x trepresenta la velocidad de propagacin de un punto de fase constante.

( ) ( )

x = = , es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce como velocidad k t de la onda o velocidad de fase. Para el caso de la cuerda vibrante infinita la solucin la podemos escribir como:

( x, t ) = Asen(kx t )donde la velocidad de fase ser: =

T

Si consideramos un elemento infinitesimal dm de la cuerda (el cual esta oscilando). La energa cintica de este elemento es:

dE K =Para t=0

1 & (dm) 2

()

2

=

1 dx[A cos(kx t )]2 2

dE K =

1 2 A 2 cos 2 (kx) dx 2

Integrando en un intervalo de longitud de onda (perodo espacial)

1 1 E K = 2 A 2 cos 2 (kx) dx = 2 A 2 4 2 0

15El mismo elemento de masa tiene una energa potencial,

U=De manera que la energa total ser:

1 2 A 2 4 1 2 A 2 2

E=

y la potencia transferida o la taza de energa transferida por la onda sinusoidal,

P=

1 1 2 A 2 = 2 A 2 2 2

Si se define la Intensidad de la onda como la energa que transmite la onda por unidad de rea y por unidad de tiempo,

I=

1 V 2 A 2 2

Donde se ha introducido la densidad volumtrica del medio. Note que la intensidad de las ondas depende del cuadrado de la amplitud de la onda. Representacin compleja. Para mayor facilidad en la matemtica de las ondas se suele representar a stas mediante una funcin compleja donde ya sea su parte real o imaginaria representa la magnitud que oscila.

(r , t ) = A e i ( k r t )Ondas planas. Son aquellas ondas cuyos frentes de ondas son planos perpendiculares a la direccin de propagacin, como se indica en la siguiente figura.

r

rr

Figura. Frentes de onda planos

En este caso se satisface:

r r k r = constante

= A cos(k r t ) r r r r k = kxi + k y j + kz kk = kx + k y + kz k=22 2 2

como:

=

k

=

16

= 2Ondas esfricas. Su frente de onda son esferas concntricas que se propagan del punto fuente para afuera o viceversa. Analticamente toman la forma:

(r , t ) = e i ( k r t )

A r

rr

Ejemplo de ondas: 1. Sonido en aire (perturbacin en la densidad o presin del aire). Velocidad del sonido en aire 330 m/s. (la velocidad de propagacin de la perturbacin depende de las propiedades del medio donde se propaga). 2. Desplazamiento transversal en una cuerda libre 3. Ondas superficiales de agua 4. Ondas electromagnticas (no necesitan un medio para propagarse) los campos elctricos y magnticos se propagan en el espacio. Son perpendiculares entre s y perpendiculares a la direccin de propagacin Superposicin de ondas

Figura. Dos ondas viajeras en direcciones opuestas con oscilaciones opuestas.

Las figuras muestran dos ondas transversales viajeras en direcciones opuestas de una cuerda, oscilando en el mismo sentido (se suman) y en sentidos opuestos (se restan). Si las ondas tuviesen igual amplitud y frecuencia y se propagan en sentidos opuestos:

1 = A cos(kx t )

y

2 = A cos(kx + t )

= 1 + 2

= 2 A cos(kx )sen(t )

17que representa a una onda estacionaria (ver cuerda vibrante).

Si sumamos dos ondas con diferentes frecuencias:

1 = A cos(1t k1 x ) 2 = A cos( 2 t k 2 x )Se tiene:

1 2 = k1 k 2 = k

= 1 + 2 1 + 2 k1 + k 2 t x 2 2

= AR cos Donde:

2 k1 k 2 AR = 2 A cos 1 t x 2 2

Figura. Paquetes de onda

Cada componente se propaga con su velocidad de fase.

ph =

k

=

Sin embargo el paquete se mueve con velocidad de grupo

g =

d dk

18Interferencia de dos fuentes de onda sincrnicas o (experimento de Young de los dos agujeros) Considere el caso de dos fuentes de ondas sincrnicas (generan ondas coherentes, mantienen su fase constante al transcurrir el tiempo) separadas una cierta distancia. En un punto en los alrededores de la zona de influencia de las fuentes, llegaran ondas producidas tanto por la una o por la otra fuente, superponindose en ese punto. Dependiendo de su diferencia de fase la superposicin nos dar una amplificacin o eliminacin de la perturbacin.

Figura. Experimento de Young de la doble rejilla.

La diferencia de camino ptico recorrido de las ondas, en alcanzar el punto P, es r2 r1 , Si esta diferencia es un nmero entero veces la longitud de onda de la onda, entonces la interferencia ser constructiva puesto que en el punto P las ondas estarn vibrando en fase. Por el contrario, si la diferencia de camino ptico recorrido es un semi-entero veces la longitud de onda, entonces las ondas vibrarn desfasadas en media longitud de onda y se anularn, produciendo lo que se conoce como interferencia destructiva. Obtenindose un tpico diagrama de interferencia, como se muestra en la figura anterior. La intensidad promedio es:

d sen I = I max cos 2 I max = 4 I 0 donde I 0 es la intensidad de una sola de las fuentes en el punto de observacin.Para el caso de varias fuentes sincrnicas alineadas se tiene que las ondas provenientes de las fuentes se superpondrn de diferentes maneras (esto se describe fcilmente mediante diagramas de fasores). En los puntos donde todas las ondas se sumen en fase, se producir una interferencia constructiva y reciben el nombre de mximos primarios; en otros puntos algunas ondas de varias fuentes se anularn entre si pero otras no, a todas estas se les conoce como mximos secundarios. Es importante notar que los mximos primarios no cambian de nmero y posicin en un diagrama de interferencia cuando se incrementa el nmero de fuentes coherentes alineadas, pero se vuelven ms angostas al incrementarse dicho nmero. Por otro lado, los mximos secundarios se incrementan en nmero al aumentar las fuentes. Esto lo representamos en la siguiente figura.

19

Figura. Interferencia de varias fuentes coherente alineadas

Adicionalmente, la intensidad estar dada por la siguiente expresin:

N d sen sen I = I0 d sen sen Difraccin

2

La onda incide sobre una abertura y se desva. Se pensara que debera verse una proyeccin del agujero mucho ms grande por lo que se ha difractado la onda sin embargo se observa un patrn de difraccin con regiones claras y oscuras (al referirnos a ondas de luz)

Figura. Difraccin de Fraunhofer (los haces de luz llegan paralelos a la pantalla)

20Cada punto del frente de onda en el agujero se comporta como una nueva fuente, por lo tanto la onda proveniente de cada porcin del agujero interferir con las otras, en una direccin determinada. Un patrn de difraccin no es ms que uno de interferencia de diferentes puntos de un mismo agujero (la interferencia de un nmero infinito de fuentes ubicadas en el agujero).

sen osc = mSi definimos =

a

con

m = 1, 2, 3...

2

a sen entonces la intensidad de los picos esta dada como3: sen( / 2 ) I = I max /2 2

Cuando se tiene ms de un agujero, debemos considerara la interferencia de los diferentes patrones de difraccin para cada agujero. Para el caso de dos agujeros se tiene:

Figura. Difraccin en varios agujeros

En este caso, el diagrama de interferencia yace dentro del de difraccin y la intensidad esta representada por:

3

limx 0

sen ( x) =1 x

21

d sen sen( / 2 ) I = I max cos / 2 2

2

Consulta. Interferencia de lminas delgadas y Difraccin de Bragg de Rayos X.

Ejercicios1. Un objeto de 0.5 kg atado a un resorte de constante de recuperacin de 8 N/m vibra con movimiento armnico simple con una amplitud de 10 cm. Calcular (a) el valor mximo de su velocidad y aceleracin; (b) la velocidad y aceleracin del objeto cuando se halla a 6 cm de la posicin de equilibrio; (c) el intervalo de tiempo requerido por el objeto para moverse de x=0 a x=8 cm. 2. Una partcula de masa m se desliza sin friccin dentro de un tazn esfrico de radio R. Muestre que empezando desde el reposo, con un pequeo desplazamiento del equilibrio. La partcula se mueve con movimiento armnico simple y frecuencia igual al de un pndulo simple de longitud R. 3. Un objeto de 10.6 kg oscila atado a un resorte de constante 2.05 104 N/m. La resistencia del aire se representa por un coeficiente de atenuacin de 3 N s /m. (a) calcule la frecuencia del oscilador amortiguado; (b) en qu porcentaje se reduce la amplitud en cada ciclo; (c) en que tiempo el oscilador reduce su amplitud al 5% de su valor inicial. 4. Considere dos masas de valores diferentes m1 y m2 unidas por un resorte de constante recuperadora k. Calcule las frecuencias de oscilacin de sus modos normales. 5. Un pulso de forma: y ( x, t ) = 5.0 e ( x 5t ) . Donde x esta en metros y t en segundos. Determine la direccin de movimiento de la onda y la velocidad del pulso. 6. Considere una onda sinusoidal = 0.25m sen(0.3 x 40t ) donde x esta en metros y t en segundos. Determine la amplitud, frecuencia angular, nmero de onda angular, longitud de onda, velocidad de la onda y direccin de movimiento de la onda. 7. Una onda transversal viajera en una cuerda tiene una amplitud de 0.2 mm y una frecuencia de 500 Hz. Si esta viaja a una velocidad de 196 m/s. Escriba una expresin sinusoidal que represente a la onda viajera. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 4.10 g/m determinar la tensin de la cuerda. 8. Considere una onda sinusoidal = 0.15m sen(0.8 x 50t ) donde x esta en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 12 g/m Determine la longitud de onda, velocidad de la onda, la frecuencia de oscilacin y a la potencia transmitida por la onda.2

9. Un haz de luz verde se difracta en una rendija de 0.55 mm. El patrn de difraccin se observa en la pared posterior a 2.06 m. La distancia entre los primeros mnimos simtricos del diagrama es 4.18 mm. Hallar la longitud de onda de la luz. 10. En un experimento de interferencia de Young la separacin entre las rejillas es 0.5 mm y el patrn de interferencia en una pantalla a 3.30 m muestra al primer pico brillante a 3.4 mm del centro del diagrama. Cul es la longitud de onda de la luz? 11. En un lugar donde la velocidad del sonido es de 354 m/s una onda sonora de 2000 Hz incide sobre dos rejillas separadas 30 cm. A qu ngulo se localiza el primer mximo? Si la onda sonora se remplaza por una micro-onda de 3 cm de longitud de onda. A que distancia deben estar colocadas las dos rejillas para que el primer mximo coincida con aquel observado para el sonido.

22

RELATIVIDAD ESPECIALTransformaciones de Galileo Se define un Evento (o suceso) a un hecho que ocurre en un punto del espacio y en un determinado tiempo. Puede representarse por cuatro coordenadas (tres relativas a su posicin y una al tiempo en que ocurre) como se indica en la Figura 2.1. Por otro lado llamamos Sistemas de Referencia Inerciales (SRI) a aquellos en los cuales se satisface la primera ley de Newton (es decir, si sobre un cuerpo acta una fuerza neta cero, el cuerpo estar en reposo o movindose con velocidad constante). Si un sistema se mueve a velocidad constante respecto de un SRI, ste tambin es un sistema inercial. La Teora de la relatividad especial describe eventos observados en sistema de referencia inercial (SRI),

Figura. Evento y Sistemas de referencia inercial

Un par de SRI S y S, movindose el uno respecto al otro a velocidad constante, describen a un mismo evento por medio de:

S ( x, y , z , t ) S ` ( x, y, z, t)Cada sistema tiene: su regla y reloj (calibrados entre s) Los intervalos espaciales y temporales se suponen absolutos (sentido comn), es decir, son los mismos para todos los SRI. Las Reglas iguales comparadas en reposo se suponen que tendrn las mismas longitudes cuando estn en movimiento. Los Relojes sincronizados trabajan igual en reposo o en movimiento.

Figura. Intervalos de longitud y tiempo absolutos

23Suponiendo que los relojes marcan cero cuando 0 y 0 coinciden, podemos relacionar las coordenadas del evento en los dos SRI que se mueven uno con relacin del otro en la direccin x.

x= x t y= y z= z t= tTransformaciones inversas

x = x+ t y = y z = z t = t

Suponiendo que los relojes marquen cero cuando coinciden sus orgenes 0 y 0.

t p tq = t p t qx B x A = x B x A (t B t A )

Ahora

x B = x B t B x A = x A t A

Simultaneidad (tiempo absoluto)

x B x A = x B x ADe acuerdo con las transformaciones Galileanas las mediciones de intervalos de tiempo y de espacio son absolutas. Si aadiramos, o supondramos adicionalmente la invariancia de la masa inercial (por sentido comn), entonces, la longitud, la masa y el tiempo seran independientes del movimiento relativo del observador.

Relatividad de Newton Si consideremos el movimiento de una partcula respecto de dos SRI, la variacin en la posicin de la partcula con relacin a cada uno de ellos, la podramos tratar de la siguiente manera:

x`= x vt

dx dx dt = v dt dt dtPuesto que

t = t dt = dt

dx dx = v dt dt

x = x v y = y z = z

= v

r

r r

Un tratamiento similar podramos hacer para la variacin de la velocidad de la partcula. As,

d x d x dv = dt dt dt

si dt= dt

24a x = a x a y = a y a z = a z

r r a= a

Figura. Dinmica de una partcula

m= m r r r r ma= F r r a= ar r ma = F F = FLas leyes de movimiento de Newton, y por tanto las ecuaciones de movimiento de una partcula, son las mismas para todo sistema de referencia inercial. En otras palabras: puesto que los principios de conservacin en la mecnica newtoniana (energa, cantidad de movimiento, momento angular) son consecuencias de sus leyes, se deduce, por tanto que los principios de conservacin de la mecnica se mantienen para todos los sistemas de referencia inerciales. Ningn experimento mecnico efectuado totalmente dentro de un sistema inercial, puede indicar al observador cul es el estado de movimiento de aquel sistema con respecto a cualquier otro sistema inercial. Para la mecnica: Todo SRI es equivalente! Y electromagnetismo? Son sus leyes invariantes respecto a las Transformaciones Galileanas? Respuesta: No! Respecto de transformaciones Galileanas No! De acuerdo con la teora de Maxwell, los campos elctricos y magnticos, E y B , satisfacen ecuaciones de onda tal como:

r

r

r r 1 2E E 2 2 =0 c t2

siendo

c=

1

0 0

3 x10 8 m s

la velocidad de la onda electromagntica (la luz es una onda electromagntica, OEM).

0 y 0 representan la permitividad elctrica y permeabilidad magntica del vaco(definiciones que se introducen en el Sistema Internacional de unidades). De acuerdo con las transformaciones Galileanas, existe solo un Sistema de Referencia Inercial donde la Ondas Electromagnticas (OEM) se propagan a la velocidad c (se lo conoce como Sistema ETER)

25

Figura. Propagacin de la luz en relatividad newtoniana.

Si la luz se propaga con diferentes velocidades dependiendo del sistema de referencia, los fenmenos pticos y electromagnticos sern diferentes para diferentes sistemas de referencia inercial. Si las Transformaciones Galileanas y la electrodinmica de Maxwell son correctas entonces existir el sistema ter, es decir un sistema privilegiado donde la velocidad de la luz es c. El hecho de que el principio de relatividad Galileano se aplique a las leyes de la mecnica pero no a las del electromagnetismo implicara: 1. Existe el principio de la relatividad para la Mecnica Newtoniana pero no para la Teora Electromagntica donde existe un sistema absoluto privilegiado, en el cual la velocidad de luz es c (sistema ter). 2. Existe un principio de relatividad para la Mecnica Newtoniana y para Teora Electromagntica pero la teora de Maxwell no es correcta, se podra encontrar experimentos incapaces de ser descritos por tal teora. 3. Existe un principio de la relatividad para la Mecnica y la Teora Electromagntica, en este caso las transformadas Galileanas son incorrectas ya que son incompatibles con la invariancia de las ecuaciones de Maxwell y seguramente habr que hacer algunas modificaciones a la mecnica.

Experimento para localizar el sistema ter. (Experimento de Michelson-Morley) El movimiento de traslacin de la Tierra a travs del ter debera ser detectado con experimentos de ptica que pueden medirse con gran precisin.

= 30 km s

26

En el sistema Tierra c= c

Se trata de calcular la diferencia de camino ptico recorrido por la luz. En el sistema Tierra: El tiempo a travs del camino 1, ida y vuelta

t1 = t1 =

l1 l cl + l1 + cl1 l1 + 1 = 1 c c + (c 2 2 ) 2cl1 2cl1 2l1 = 2 = 2 2 2 ) c(1 c 2 ) c c (1 c 22

El tiempo a travs del camino 2, se lo calcula en el sistema Sol. (Note que debido a que el tiempo es absoluto lo podemos calcular en cualquier sistema de referencia)

2 t 2 2 2 l 2 + = ct 2 2 2l 1 t2 = 2 c 1 2 c22

1

t = t 2 t1 =

l2 l 2 12 c 1 ( 2 c 2 ) 1 c 2

27Ahora, se procede a rotar el experimento 90 como se muestra en la figura. (Los tiempos del experimento rotado, se lo nota con las letras primadas).

t1 = t2 =

2l1 c 1 2

c2

l2 l + 2 c + c 2cl 2l 2 t2 = 2 2 2 = 2 c(1 c 2 ) c El intervalo de tiempo en este caso ser:

t= t2 t1 =

2l 2 2l1 2 ) c(1 c 2 c 1 2 c 2

La diferencia de camino ptico ser igual a la diferencia de intervalos de tiempo. As:

(t ) = tt =

l +l 2 li + l 2 2 21 2 c (1 c 2 ) 1 c2

=

2 [l1 + l 2 ] 1 2 1 2 (1 2 ) c 1 c2 c

=

1 2 (l1 + l 2 ) (1 2 c 2 )1 (1 2 c 2 ) 2 c

[

]

2 2 (l1 + l 2 ) 1 2 = c 2 c

(t ) =

(l1 + l 2 ) 2c c2

Si T es el perodo de la onda electromagntica, el desplazamiento del diagrama de interferencia ser:

(t )T

= N =

(l1 + l 2 ) 2 ( c ) c c 2

28

N =

(l1 + l 2 ) 2c2

Con valores usados en el experimento realizado:

l1 + l 2 = 22m

= 5.5 x10 7 Se obtiene N 0.4 (se poda medir hasta desplazamientos de 0.01) 4c 10

Sin embargo EL RESULTADO EXPERIMENTAL:

N = 0

(Esto se mantena para todas las variantes que se poda realizar en el experimento) Y ahora? Cmo salvar el sistema ter? Contraccin de Lorentz l = l 0 1 2

c2

en las longitudes en direccin al movimiento,

basada en la teora electrnica de la materia (la cual tena muchas deficiencias). No justificaba el resultado del experimento de M-M si se consideraba diferentes longitudes de los brazos del interfermetro. Arrastre del ter (cuerpos en movimiento llevan el ter consigo). Desvirtuado por: *Aberracin de la luz *Experimento de Fizeau. Teoras de emisin: velocidad de la luz relacionada al movimiento de la fuente. Desvirtuado por: *Estrellas dobles de Setter *Experimento de Michelson y Morley con fuentes de luz extraterrestres.

Consulta 1: Aberracin de la luz y experimento de Fizeau. Consulta 2: Experimento de Brillet-Hall (Phys. Rev. Lett., vol.42, pp.549)

29POSTULADOS DE LA TEORA DE LA RELATIVIDAD ESPECIALTeora de Einstein. En 1905, Einstein proporcion una solucin al problema del ter, en su trabajo Sobre la electrodinmica de cuerpos en movimiento Las suposiciones de Einstein se pueden sintetizar en dos postulados: 1. Las leyes de la fsica (mecnica y electrodinmica) son las mismas para todos los sistemas inerciales (principio de relatividad) 2. La velocidad de la luz en el vaco tiene un mismo valor de c en todos los sistemas inerciales. El principio de relatividad de Einstein es ms amplio que el de Newton, puesto que el de Newton incluye solo las leyes de la Mecnica; mientras que el de Einstein, todas las leyes de la fsica (en esa poca inclua a la Mecnica y a la Electrodinmica).

Relatividad de la simultaneidad A cada punto del sistema se asocia un reloj. Los relojes en el sistema deben ser sincronizados. Un mtodo de sincronizacin de relojes, sera el uso de la velocidad de la luz (en base con el postulado 2). Si un reloj en el origen marca t=0 en el momento de emitir un haz de luz, un reloj en el punto r1 deber marcar t1=r1/c en el momento que le llegue la luz. De forma similar se sincroniza un reloj en el punto r2. Si dos eventos suceden en dos puntos diferentes y si sus respectivos relojes marcan el mismo tiempo, decimos que los eventos son simultneos. Si los eventos ocurren en el mismo punto la simultaneidad depende de un solo reloj tan solo y es ms fcil visualizarla. Los eventos que ocurren en dos lugares diferentes de ese sistema deben llamarse simultneos cuando los relojes (previamente sincronizados) de los dos lugares registren el mismo tiempo para ellos.

Figura. Sincronizacin de relojes

Si dos eventos son simultneos para un observador, sern simultneos para otro que se mueve respecto al primero a velocidad ?

30

Figura. Simultaneidad de eventos.

Respuesta: NO! Dos eventos pueden ser simultneos para un SRI pero para otro no. Puesto que ningn sistema es preferente, la situacin es recproca. Medir la longitud de un objeto significa localizar simultneamente sus puntos extremos. Puesto que la simultaneidad es un concepto relativo; la longitud tambin lo es. El mtodo del radar para localizar las coordenadas de un evento. En x=0 y tA se emite un pulso de luz ilumina el evento E de inters en un punto del eje x. El haz reflejado viaja de vuelta hacia el reloj maestro y, a su llegada, marca tB. El punto del espacio tiempo donde ocurri el evento es: (xE, tE) (Equivalente a utilizar retcula de relojes)

xE =

1 (t B t A ) y t E = 1 (t B + t A ) 2 2

donde se ha considerado c = 1.

Transformaciones de Lorenzt. Para los dos sistemas de referencia inerciales que se mueven el uno con relacin al otro, a velocidad constante :

Figura. Un evento descrito por dos sistemas inerciales

31

x=

x t 1

2

x=

x+ t 1

2c2

c2y las transformaciones inversas

y= y z= z t= t

y = y z = z t= t+

c2

x

c2

x

1

2c2

1

2c2

Las transformaciones de Lorentz se basan en el hecho de considerar que el espacio-tiempo es homogneo e isotrpico, es decir, todos los puntos del espacio-tiempo son equivalentes y todas las direcciones tambin son equivalentes. Esto implica que las relaciones entre las coordenadas primadas y no primadas de dos SRI estn relacionadas linealmente. Una lnea o un plano en el un sistema de referencia inercial est representada por una lnea o un plano (respectivamente) en el otro sistema de referencia inercial. Adems se considera que cuando 0 y 0 coinciden: t=0 y t=0, y la invariancia de la velocidad de la luz. (La deduccin de las transformaciones de Lorentz se presenta en el apndice 1). Note que para velocidades muy pequeas a la de la luz, 0 temporales: Existen sistemas donde los eventos AB ocurren en el mismo punto del

espacio.2 S AB < 0 espaciales: Existen sistemas de referencia donde los eventos AB ocurren

simultneamente.

Figura. El cono espacio tiempo

Todos los eventos dentro del cono estn ligados causalmente y define el pasado absoluto y futuro absoluto.

Ejemplos: 1. Un tren de 500m de longitud (medido por el observador en el tren) viaja a 120km/h. Dos destellos de luz inciden simultneamente en los extremos del tren para un observador en tierra. Cul es la diferencia de tiempo en este acontecimiento para el observador en el tren?

tB t A = 0 =

(tB t A ) + 2 (xB x A )c 2 1 c2

2. Para un observador O dos acontecimientos estn separados en el espacio tiempo por 600m y 8x10-7seg. Con qu velocidad debe moverse O con relacin a O para que los acontecimientos aparezcan simultneamente a O? Cul es la separacin espacial de los dos eventos medido por O?

t= 0 =

t

c

x2

1

c2

34

CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ1. La longitud de un cuerpo que se mide es mayor cuando ste esta en reposo con respecto al observador. Cuando el cuerpo se mueve a velocidad respecto del observador, su longitud medida se contrae (en la direccin de movimiento) por un factor

1

2

c2

; mientras que sus dimensiones perpendiculares no se alteran.

Figura. Contraccin de longitud

x2 =

x 2 t 2 12

x1 =

x1 t1 12

c2

c2

x2 x1 =

(x 2 x1 ) (t 2 t1 )1t 2 = t12

c2

x2 x1 =

(x2 x1 )1 2

c2

L = L 1 22. La mxima rapidez con que camina un reloj se mide cuando ste esta en reposo respecto al observador. Cuando el reloj se mueve a una velocidad respecto al observador, ste notar que la rapidez con que camina el reloj ha disminuido por un factor

1 2 .

Figura. Dilatacin del tiempo

35

t1 t 2 t 2 t1 =t1 +

t2 t112

c2

2

t1 =

c 2 1 c2

x

t2 =

t2 +

x c2 2 1 c2

Por lo tanto la unidad de tiempo medida por el reloj de S, los relojes de S lo registran ms larga. En relatividad es comn considerar el sistema propio definido como aquel para el cual el cuerpo bajo estudi est en reposo. (El intervalo de tiempo medido por un solo reloj es el tiempo propio).

dt =

d 12

c2

Adicionalmente al observador S le parecer que los relojes en S no estn sincronizados.

Ejemplo visual a. Longitudes perpendiculares al movimiento relativo entre dos SRI no varan. (Si se ubica en los ejes perpendiculares a los movimientos varillas con marcadores de longitud en su extremo, una variacin de longitud en la direccin perpendicular sera un evento absoluto y siempre se podra reconocer cual de los sistemas es el que se mueve y cual est en reposo. b. Experimento en el tren. El observador en el tren emite un haz de luz en direccin perpendicular hacia un espejo colocado en el techo y recibe el reflejo de la luz, midiendo el tiempo de trnsito de la luz.

Para el observador de la parte inferior (o en el andn) transcurre ms tiempo entre la emisin y llegada del haz de luz, por lo que concluye que el reloj del pasajero se retrasa. Al medir la longitud del andn

36

Para el observador de la parte inferior (o en el andn), el pasajero cubri esta distancia L en:

t =

L

Mientras que el pasajero mide con su reloj (utiliza uno solo) el intervalo de tiempo entre cuando coincide con el inicio del andn y el final del andn.

t= t 1

2

c22

t=

L

1

c22

t= L= L 1

c2

Concluyendo que para l la longitud del andn es L, es decir, ms corta.

Transformacin de velocidades El cambio de la posicin de un objeto, respecto de un observador, al transcurrir el tiempo define su velocidad

Figura. Movimiento de una partcula

37Sea u la velocidad de la partcula respecto a S.

r

r u= (u x , u y , u z ) x x = lim t 0 t t

u x =

x=

x t 12

c2

Como:

y= y z= z t= t x c2 2 1 c2

u x =

x t t

x c2 x t t u x = x t 1 2 c t u u x = x u 1 x2 c

y y 1 c 2 u y = = t t 2 x c y 2 1 c2 t u y = x 1 2 c t2

uz 1 u z = u 1 x2 c

2

c2

u y =

u y 1 c2 u 1 x2 c2

Las transformaciones inversas sern:

ux =

u x + u 1 + x2 c2

u y 1 c 2 uy = u 1 + x2 c u z 1 c 2 uz = u 1 + x2 c2

Ejemplo Una nave especial de longitud propia 90m, viaja a velocidad constante 0.8c respecto a Tierra (T) tan pronto como la proa pasa frente a un observador en T, el piloto en proa enva una seal luminosa a la cola. En qu tiempo la seal llega a la cola de la nave, medido por: a) piloto, b) el observador en T.

38A emite la luz B llega la luz

x B x A = 90 x 90 t= = = c cEjercicios

t = t B t A =

(tB t A ) + 2 (xB x A )c 2 1 c2

1. Un ncleo radiactivo se mueve a velocidad 0.5c respecto al laboratorio. Se desintegra y emite un electrn en la misma direccin de movimiento con velocidad 0.9c respecto al ncleo. a) Hallar la velocidad del electrn en el sistema de referencia (laboratorio). b) Si el electrn se emite con direccin perpendicular al movimiento del ncleo. Hallar la velocidad respecto del laboratorio. 2. Una regla de 1 metro de longitud forma un ngulo de 30 con el eje x medido por un observador O. Cul debe ser el valor de la velocidad para que la regla forme un ngulo de 45 con el eje x para otro observador O? Cul es la longitud de la regla medida por O?

ABERRACION Y EFECTO DOPPLER Efecto Doppler Se conoce como efecto Doppler a la variacin de la frecuencia de una onda por el estado de movimiento de la fuente de onda respecto del observador.

Figura. Representacin del efecto Doppler

Aberracin. Se conoce como aberracin a la variacin del ngulo de emisin de una onda por el estado de movimiento de la fuente de onda respecto del observador.

39

Figura. Representacin de la aberracin de la luz

El sistema S observa la emisin de luz con ngulo con respecto a x mientras que S observa la emisin de luz con ngulo respecto de x. Considere la emisin de una onda plana en un sistema de referencia S con vector de onda, frecuencia, velocidad y direccin k ,, c= c, respectivamente. El observador S la ver como una onda plana con k , , c, .

r

r

Figura. Emisin de una onda plana monocromtica para dos observadores inerciales

S Onda plana

S Onda plana (homogeneidad del espacio)

r r con k , , c, con k ,, c= c, r r r r cos(k r t ) cos(k r t) r r r r r r Si se considera k = k x i + k y j entonces k = k x i + k y jEntonces,

x cos + ysen t cos 2 Usando las transformadas de Lorentz

xcos + ysen cos 2 t x t 1 2con =

x= y= y t=

c

t

c2 1 2

x

40 cos + ( cos + 1) t sen cos 2 x+ y 2 1 2 1 Igualando las dos expresiones de coseno

cos

+ 1 2 sen sen = c = = Las transformaciones inversas son:

=

cos + tan = sen 1 2 cos +

=

(1 + cos )1 2

sen 1 2 tan = cos (1 cos ) = 1 2En una representacin usual del efecto Doppler se conoce la frecuencia propia y el ngulo de llegada respecto del observador.

Figura. Representacin del efecto Doppler

o =

1 cos c 1

c2

2

=

o 11

c2

2

c

cos

Relativista

= 0 = 90 = 180

= o

1+ c 1c2

= o 1 = o

c2

1c 1+ c

41Lmite no relativista

= o 1 + cos c

= 0 = 90 = 180

= o 1 +

c

= o = o 1

c

Ejercicios 1. Una nave espacial de longitud propia 150 m viaja a una velocidad de 0.8c. Cuando la cola de la nave pasa frente a un hombre que se encuentra en una plataforma espacial estacionaria, este hombre enva una seal luminosa en la direccin de la proa de la nave (a) A qu distancia de la plataforma se encuentra la nave cuando la seal luminosa llega a proa? (b) cul es el intervalo de tiempo entre la emisin y la llegada de la seal para un observador que viaja en la proa de la nave? 2. Para un observador, dos acontecimientos se realizan en el mismo lugar y con un intervalo de tiempo de 4 segundos entre uno y otro. Si para un segundo observador el intervalo de tiempo es 5 segundos. Cul ser la respuesta acerca de la separacin espacial entre los dos acontecimientos? 3. Supongamos que para un observador dos acontecimientos se encuentran separados por una distancia de 3.6 108 metros y se realizan con una diferencia de tiempo de 2 segundos. Cul es el intervalo de tiempo propio entre la realizacin de estos eventos? 4. Para un observador, dos acontecimientos estn separados en el espacio por 600 metros y en el tiempo por 0.8 microsegundos. Con qu velocidad debe moverse un observador para que los dos eventos anteriores le parezcan simultneos? Con qu velocidad debe moverse otro observador para que los dos eventos ocurran en un mismo punto del espacio? 5. A 200 Km. sobre el nivel del mar una partcula csmica primaria choca con la atmsfera de la Tierra; en esta colisin se produce una partcula (pi), la cual desciende verticalmente a una velocidad de 0.99c. Si en un sistema donde la partcula esta en reposo con relacin al observador, sta se desintegra en 2.5 10-8 segundos despus de producida. Segn se ve desde la Tierra, A qu altura sobre el nivel del mar se desintegra la partcula? 6. Un electrn de 10 MeV, se mueve en el eje de un tubo de vaco, el cual tiene una longitud de 1.5 m respecto de un observador en el laboratorio, donde el tubo est en reposo. Qu longitud de tubo medira un observador que se encuentra en reposo respecto al electrn? 7. Dos naves espaciales tienen cada una, una longitud propia de 100 m y se desplazan en sentidos opuestos, cruzndose en vuelo. El astronauta que va en la nariz de una nave mide el tiempo que la otra nave tarda en pasarlo, y encuentra que dicho tiempo es 2.5 10-6 seg. Cul es la velocidad relativa de las naves?, Cul sera el intervalo de tiempo medido en la primera nave si se registran los instantes en que la nariz de la segunda nave pasa frente a la nariz y a la cola de la primera? 8. Una partcula que se mueve con velocidad 0.8c, en el laboratorio decae despus de recorrer 3 metros. Cunto tiempo dura la partcula para un observador que se mueve con ella. 9. Si el intervalo entre dos eventos es positivo en un sistema de referencia inercial. Cul es la velocidad a la que debera moverse un observador inercial para que este intervalo sea negativo?

4210. Una estacin de radar situada en Tierra observa una nave espacial A, que viaja a la velocidad de 0.8c, perseguida por una segunda nave B, situada a 10000 m de la primera, y que se desplaza a la velocidad de 0.98c. Cunto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A segn el reloj de B? Segn la estacin de radar? 11. Dos naves espaciales de igual longitud en reposo 100m viajan en direcciones opuestas con velocidad relativa v=0.6c. La nave I tiene un can lser en su cola y pretende dispararlo el momento que su proa est alineada con la cola de la nave II. Puesto que la nave II est contrada se esperara que el disparo falle. Para un observador en la nave II, la nave I es la que est contrada por lo que dicho observador esperara un inminente ataque certero. Analice lo que realmente sucede.

DINAMICA RELATIVISTA Los principios de conservacin vienen a ser los pilares fundamentales de la mecnica, entre ellos, el principio de conservacin de cantidad de movimiento. Si se asume la definicin comn de la cantidad de movimiento, es decir, p = mo . Se puede probar que NO SE SATISFACE la ley de conservacin de la cantidad de movimiento al utilizarse las transformaciones de Lorentz entre dos SRI, y por tanto la mecnica no sera invariante respecto de estas transformaciones. Si asumimos que hay un principio de relatividad para la mecnica, debemos cambiar la definicin de la cantidad de movimiento y mantener la conservacin de esta ley. Analicemos primeramente la colisin elstica entre dos partculas idnticas y veamos que con la definicin antigua de la cantidad de movimiento, no se conserva dicha ley. Consideremos al sistema S como el sistema centro de masa, donde las partculas inciden una sobre la otra a una misma velocidad pero en sentidos opuestos, como se muestra en la figura:

r

r

Figura. Esquema de una colisin elstica entre dos partculas idnticas

r r pantes = pdespues r r r r ( p1 + p2 )antes = ( p1 + p2 )despues

( p1x + p2 x )antes = ( p1x + p2 x )despues

( p

1y

+ p2 y )antes = ( p1 y + p2 y )despues

43 p1x = mo1x

Si se mantiene la definicin: p = m observamos que se conserva la cantidad de o 1y 1ymovimiento para el sistema S. Ahora, si se considera, la misma colisin vista por el sistema S el cual se mueven con respecto de S con velocidad = x (1) hacia la izquierda, como se representa en la figura.

Las componentes de velocidad x se transforman por tanto como:

Antes:

x (1) + x (1) =0 x (1) 1 + 2 ( x (1)) c (2) + x (1) 2 x = x (2) = x 2 x x 2 1+ 2 1+ 2 c c

x (1) =

x (1) =Despus:

x (1) + x (1) =0 x (1) 1 + 2 ( x (1)) c (2) + x (1) 2 x x (2 ) = x = x 2 x 2 1+ 2 1+ 2 c c

Para la componente y de velocidad Antes

y (1) =

y (1) 1 x 1

2

c2

xc2

2

y (2) =

y (2) 1 1+

x

2

c2

xc2

2

Despus:

y (1) =

y (1) 1 1

x

2

c2

xc2

2

44 y (2 ) 1 x 1+2

y (2) =

c2

x 2c2

Figura. Colisin vista desde el sistema S.

Si utilizamos la misma definicin de p para su componente en la coordenada y.

r

mo y (1) + mo y (2) mo y (1) mo y (2)No se satisface la ley de conservacin de p !

r

Qu sucede?

Se debe, por tanto, cambiar la definicin de p para hacerle a la mecnica invariante bajo las transformaciones de Lorentz, como lo requiere el postulado 1 de la relatividad especial. La nueva definicin deber ser tal que para a2 a2 x a2

i) E> d 2 + 2 = 0 2 d

= AeAe 21

1 2 2

+ Be

1 2 2

2

0

para que la funcin no sea divergente

90

= BePlanteamos una solucin general

1 2 2

( ) = ( )e

1 2 2

en este caso ( ) resuelve la ecuacin.

d 2 d 2 + ( 1) = 0 2 d dConsideremos una solucin de tipo serie:

' '2 '+( 1) = 0

( ) = an nn =0

' ( ) = nan n 1n =1

' ' ( ) = n(n 1)an n 2n=2

n(n 1)an n2 2 nan n1 + ( 1) an n = 0n=2 n =1 n=0

(n + 2)(n + 1)an =0

n+2

n 2 nan n + ( 1) an n = 0n =1 n=0

(n + 2)(n + 1)an+ 2 2nan + ( 1)an

=0

an + 2 =

2n + 1 a relacin de recurrencia (n + 2)(n + 1) n

Se tiene dos familias de soluciones (unas de potencia pares y otras impares) pero series infinitas. Si se toma:

an+ 2 an

=

2n 2 = (para n grandes). n2 n

Si tomamos el desarrollo en serie de:

e1

2

= 1+ 2 +

42!

+

63!

+ ... +

( n )! ( n + 1)! 2 2

n

+

n+2

+ ...

Relacionando dos coeficientes contiguos de este desarrollo para n grande se tiene:

( n + 1)! 21

( )!n 2

=

( n )! 2 2 = n n ( 2 + 1)( 2 )! n

(igual que el anterior), de modo que para las funciones H

se comportan como ( ) aC1e + a1C 2e de manera que:2 2

91

( ) e

1 2 2

e

2

e2

1

2

(y la funcin de onda diverge). Sin embargo, se pueden obtener

valores aceptables de la solucin para ciertos valores de . Aquellos valores provocan el corte de la serie, hacen que

an+ 2

tome el valor cero y las soluciones son polinomios de

grado n. Dicha condicin es: = 2n + 1 . La ecuacin en este caso viene a ser la ecuacin de Hermite cuyas soluciones son los polinomios de Hermite18.

H n ( ) = (1) n e o = 1 2 = 4 2 2

2

d n 2 e d n

( )

4 = 12 48 2 + 16 4 ...... 1 = 2 3 = 12 + 8 3 5 = 120 160 3 + 32 5 .......La solucin para el oscilador armnico cuntico es entonces:

n ( ) = e

1 2 2

n ( ) donde n ( ) es un polinomio de grado n

Los polinomios de Hermite son ortogonales, es decir, satisfacen:

e

2

H m ( ) H n ( ) d = 2n n! mn

Siendo mn el smbolo de Kronecker (igual a 1 cuando m = n, y 0 cuando m n)

Figura. Primeras funciones de onda del oscilador armnico

18

H n +1 ( ) = 2H n ( ) 2nH n 1 ( ) H n ( ) = 2nH n 1 ( )

Relaciones de recurrencia

92La condicin de no divergencia de la funcin de onda, obliga entonces a la condicin:

=

2E = 2n + 1 h

1 E n = n + h n 2

Ejercicios 1. De la expresin obtenida en clase para el coeficiente de transmisin en el efecto tnel, de muestre que para alta barrera o gruesa barrera la expresin se reduce a:

T = 16

E V0

E 1 V 0

2ha e

2 m (V0 E )

2. Resuelva el oscilador armnico cuntico bi-dimensional de una sola frecuencia. 3. Consulte sobre las principales relaciones entre los polinomios de Hermite. 4. La constante de la fuerza de restitucin para las vibraciones del espaciamiento interatmico de una molcula di-atmica tpica es aproximadamente 103 J/m2. Estime el valor de la energa del punto cero de las vibraciones moleculares. Estime tambin la diferencia entre los niveles energticos vibracionales de sta molcula. 5. Demuestre las siguientes expresiones:

d x dt d p

m dV = dt dx

=

p

Propiedades matemticas de la funcin de onda propias. 1. Dado un potencial V(x) independiente del tiempo existen soluciones aceptables a la ecuacin de Schrdinger solo para ciertos valores de energa E1 , E 2 ,..., E n ,... que son los valores propios del operador Hamiltoniano.

Figura. Representacin de los niveles energticos para un potencial arbitrario

A cada valor propio le corresponde una funcin propia 1 ( x ),..., n ( x ),... y con cada una de stas se obtiene una solucin de la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo:

93

n (x, t ) = n ( x )e

i

En t h

2. Puesto que la ecuacin de Schrdinger es lineal en , cualquier combinacin lineal de stas, tambin ser solucin.

( x, t ) = an n ( x, t ) donden =0

an

son constantes.

3. La densidad de probabilidad ( x, t ) ( x, t ) ser: i an an n (x )n (x ) + al anl (x )n (x )en l n nl

( En El )t

h

que en general depende del tiempo. 4. Considerando el caso especial de un sistema en n ( x, t )

n ( x, t ) n ( x, t ) = e

i

En t h

e

i

En t h

n (x ) n ( x ) = n ( x ) n ( x )

La densidad de probabilidad no depende de t, aun cuando es funcin de t (decimos que el sistema se encuentra en estado estacionario). 5. La interpretacin probabilstica de hace que sea normalizada.

(x, t ) (x, t )dx = 1n

Si ( x, t ) =

a (x, t ) define las constantes adecuadas de a .n =0 n n

6. Para el caso de un estado estacionario: (x, t ) (x, t )dx = n (x ) n (x )dx = 1 las

funciones

propias

tambin

son

normalizadas. 7. El conjunto de funciones propias de la ecuacin de Schrdinger posee la propiedad de ortogonalidad, es decir,

(x ) (x )dx = l n

ln

=

1 0

l=n ln

h2 ' ' n +V n = E n n (1) l 2m

94c.c. h2 h2 ' 'l +Vl = El l ' 'l +V l = El l (2) n 2m 2m

d 2 l h 2 d 2 n l n 2m dx 2 dx 2

+ Vl n V nl = (E n El )l n

(

)

d 2 n d 2 l 2m l dx (E n El ) l n dx = n h2 dx 2 dx 2

d d d n = l n l dx dx dx d n d = l n l dx dx

dx

Pero l , n 0 cuando x

Y si E n El entonces:

dx = 0 l n

(Si las funciones son degeneradas se puede tambin demostrar)En t h

8. Si ( x, t ) =

ann (x )en =1

i

, dx = 1

an =1

2n

=1

9. Si conocemos la forma de para un tiempo particular t (t=0) (potencial solo V(x)). Se puede calcular ( x, t ) para cualquier tiempo.

( x,0) = an n ( x,0) = an n ( x )n =1 l (x ) (x,0)dx = an l (x )n (x )dx n =1

Utilizando la condicin de ortogonalidad se tiene:

(x ) (x,0)dx l n =1

y por lo tanto:i En t h

( x, t ) = a n e

n

i Ehn t ( x, t ) = l ( x ) ( x' ,0)dx' e n (x )

9510. El valor medio de E para el sistema en el estado ( x, t ) .

E = E n a n ann =1

Sea fop un operador hermtico que representa una magnitud dinmica del sistema mecnico cuntico. El valor medio de f que es:

f = f op dx . f o f especifica parcialmente el comportamiento de f. Se obtiene mayor informacin alconocer la fluctuacin de f sobre su valor medio. Por lo que se evala: f 2 .

(f f )

2

= f 2 = f f

[(

)

2op

] dx)2

= f op f dx= f = f2

(

(

2

op

2 f op f + f 2 dx

)

op

dx 2 f f 2 op dx + f 2 dx2

= f 2 2f f + f

en general f

(

2

>0

)f op = F

= f2f

2

Note que si las funciones son propias del operador f op , es decir, donde F es nmero real

Se obtiene que f

2

= 0.

Se concluye entonces que "cuando es propio de fop, la magnitud dinmica f solo puede tener el valor definido F". O en otras palabras: "Una medida del valor de la cantidad dinmica f solo puede resultar igual a alguno de los valores propios F, del operador correspondiente fop"

Ejemplo Partcula de masa m confinada en un pozo infinito en tres dimensiones.

h2 2 = E 2m

h 2 2 2 2 + + 2m x 2 y 2 z 2

= E

96 2 2 2 2mE + + + 2 =0 h x 2 y 2 z 2Si ( x, y , z ) = X ( x )Y ( y )Z ( z )

YZ

2 X 2Y 2Z 2mE + XZ 2 + XY 2 = 2 XYZ 2 x y z h

1 1 1 2mE X ' '+ Y ' '+ Z ' ' = 2 X Y Z h-2 -2 -2

2 2 2 = E= 1 X ' ' = 2 X X ' '+ X 2 = 0

2mE h2

h2 2 + 2 + 2 2m

(

)1 Z ' ' = 2 Z Z ' '+ Z 2 = 0

1 Y ' ' = 2 Y Y ' '+Y 2 = 0X (x ) = Asen x + B cos

x = Asen x

Y ( y ) = Csen y + D cos y = Csen y Z ( z ) = Fsen z + G cos z = Fsen z

0Puesto que:

0< x