68580640 notas de fisica moderna
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física moderaTRANSCRIPT
Notas del
Curso de Física Moderna
Dr. Edy Ayala A.
Departamento de Física Escuela Politécnica Nacional
Borrador 6
Quito- julio - 2008
ii
“….cualquier atributo de un sistema físico que pueda predecirse con precisión sin perturbar
dicho sistema es un elemento de realidad física” E.P.R.
iii
CONTENIDO RELATIVIDAD ESPECIAL Oscilaciones…………………………………………………………………………………….1 Ondas Mecánicas ………………………………………………….………………………...11 Transformaciones de Galileo……………………………………………...……….………..22 Relatividad de Newton ………………………………………………………….…………...23 Experimento de Michelson Morley……………………………………………....………….25 Relatividad especial………………………………………………………………….……….29 Transformaciones de Lorentz……………………………………………………...….….....30 Consecuencias de las Transformaciones de Lorentz……………………....…….………34 Aberración de la luz y efecto Doppler…………………………………….........………..…38 Dinámica relativista…………………………………………………………...........……......42 INTRODUCCION A LA FÍSICA CUÁNTICA Radiación del Cuerpo Negro………………………………………………….………….….51 Efecto foto-eléctrico…………………………………………………………………………..58 Efecto Compton……………………………………………………………….…………..….62 Creación de pares……………………………………………………………….……….......63 Postulado de de Broglie……………………………………….…………………………..…65 Comportamiento cuántico……………………………………….……………….................66 Principio de incertidumbre…………………………………….……………………………..69 MECÁNICA CUÁNTICA NO RELATIVISTA Ecuación de Schrödinger………………………………………………….…………….…..77 Magnitudes dinámica y valores esperados………………………..……….……………...80 Ecuación independiente del tiempo………………………………………..…………..…...81 Potenciales escalón y efecto túnel………………………………………….………….…...82 Pozos de potencial……………………………………………….………….…………….....86 Oscilador armónico…………………………………………………………...………………90 Propiedades de las funciones de onda y valores medibles………………….….…….…93 MODELOS ATÓMICOS Primeros modelos………………………….…………………………...…………………....99 Schrödinger y el átomo de Hidrógeno……………………………………....…………....102 Orbitales atómicos………………………………………………………….……..………...109 Momentos dipolares magnéticos…………………………………………….…………....111 Experimento de Stern Gerlach y el spin del electrón……………………….………...…113 Interacción spin-orbita……………………………………………………….…..........……115 Momento angular total ……………………………………………………….………....….116 Partículas Idénticas.………………………………………………………………..……….119 Principio de exclusión………………………………………………………………….……120 Átomos múlti-electrónicos…………………………………………………….……….…...123 Tabla periódica…………………………………………………………………..……….….128 Rayos X fluorescentes ……………………………………………………….………........131 Excitaciones ópticas……………………………………………………………………...…132 Interacciones residuales ……………………………………………………………..…... 135 Reglas de Hund………………………………………………………………...........……..136 Efecto Zeeman…………………………………………………………………..............….139 Interacción Hiper-fina …………………………………………………….……..............…141 Moléculas ……………………………………………………………………...………….…143 Orbitales moleculares……………………………………………………………………....144 Espectros moleculares……………………………………………………………………...148
iv
APLICACIONES BÁSICAS Gas de electrones libres (modelo de metales)…………………………………………152 Efectos termoeléctricos…………………………………………………………………...157 Electrones en potenciales periódicos……………………………………………………159 Semiconductores……………………………………………………………….………….163 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA NUCLEAR Propiedades nucleares…………………..…………………………………………………174 Reacciones nucleares………………………………………………………………………179 Decaimientos radiactivos……………………………….……………………………….....180 Ley del decaimiento radiactivo………………………………………………….…………191 Fisión…………………………………………………………………………………………196 Fusión……………………………………………………………………….....................…200 INTRODUCCIÓN A LA FISICA DE PARTICULAS.. Partículas e interacciones………………………………………………….…………..…203 Propiedades y números cuánticos……………………………………………………….204 Modelo estándar……………………………………………………………………………208 BIBLIOGRAFIA La mayoría del material utilizado en este folleto ha sido extraído de la siguiente bibliografía, en especial los ejercicios propuestos. 1. R. Resnick, Conceptos de relatividad y Física Cuántica, Ed. Limusa. 2. R. Eisberg, R. Resnick, Física Cuántica, Ed. Limusa. 3. Kenneth Krane, Física Moderna, Ed. Limusa 4. V. Acosta, C.L. Cowan, B.J. Graham, Curso de Física Moderna, Ed. Harla 5. Alonso y Finn, Curso de Física, vol.3, Ed. F.I.D. 6. Gautreau R. SavinW.,Theory and Problems of Modern Physics, Schaum´s outline series. 7. E.H. Wichmann, Física Cuántica, Berkeley Physics Course, Vol.4. 8. I. V. Saveliev, Curso de Física General, Vol.3, Ed. Mir. 9. Richard Feynman, Conferencias de Física, Vol 3, Ed. F.I.D. 10. L.L.Goldin,G.I.Novikova, Introducción a la Física Cuántica, Ed. Mir. 11. Relatividad, Albert Einstein 12. En busca del gato de Schrodinger, John Gribbin 13. De los Atomos a los Quarks, J. Treffiel 14. La Historia del tiempo, S. Hawking 15. El universo en una cáscara de nuez, S. Hawking 16. En búsqueda de una teoría final, S. Weinberg 17. El Quark y el Jaguar, Murray Gell-Man 18. Partículas elementales t´Hoof, Ed., Critica 19. Electrones y quark, Yndurain, Ed. Critica
v
PREFACIO Se presentan los apuntes generales de la materia que conforman el programa del curso de Física General III que se dictan en las carreras de ingeniería de la Escuela Politécnica Nacional. El estudiante encontrará múltiples dificultades en el entendimiento del folleto si se lo pretende utilizar como libro texto del curso. Esto se debe a su origen, puesto que son solo apuntes de clase. Este folleto de ninguna manera reemplaza el libro (o los libros) texto del curso, sino más bien quiere ser una ayuda, a disposición del estudiante, para un repaso rápido de la materia vista durante todo el semestre. Además éste añade una serie de demostraciones y desarrollos, solo con el objetivo se satisfacer la curiosidad de algunos estudiantes que desean conocer “de donde sale tal o cual resultado”. Este folleto esta complementado, en algunos capítulos, con ejemplos resueltos y una serie de ejercicios propuestos. El folleto trata en su primer capitulo de un corto repaso de los conceptos básicos de ondas y de la relatividad especial. Se discuten la relatividad newtoniana y sus limitaciones para terminar con la relatividad de Einstein y la modificación necesaria de la dinámica. En el segundo capítulo se describen rápidamente los experimentos cuánticos que mostraron que las ondas electromagnéticas se comportaban como partículas. Se describe el problema del cuerpo negro, efecto foto-eléctrico, efecto Compton y producción y aniquilación de pares. Se plantea la hipótesis de de Broglie, el principio de complementariedad y el principio de incertidumbre de Heisenberg. En el tercer capitulo se estudia los conceptos básicos de la mecánica cuántica no relativista en la formulación debida a Schrödinger, se dan los principales postulados, su interpretación estadística, se desarrollan problemas básicos, las propiedades de la función de onda. Su aplicación a átomos con un electrón (previa introducción histórica), su generalización a átomos múlti-electrónicos. Se hace una pequeña discusión a los enlaces iónicos y covalentes, una pequeña aproximación a los orbitales moleculares y las bandas de energía vibracional y rotacional. Por último se desarrolla una serie de aplicaciones básicas que consiste en el tratamiento de un gas de electrones libres que modela a los metales, con el objetivo de describir las propiedades termo-eléctricas de los mismos. Se desarrolla en forma básica, electrones en potenciales periódicos con el resultado fundamental de la generación de bandas de niveles de energía prohibidas lo que define las características eléctricas de los materiales. Se discute sobre los semiconductores intrínsecos y extrínsecos para terminar en la juntura n-p y los transistores. En el último capitulo se hace una pequeña introducción a la física nuclear, poniendo énfasis en el decaimiento radiactivo; y a la física de partículas, describiendo el modelo estándar, modelo que describe nuestra actual cosmo-visión de los ladrillos fundamentales de la naturaleza. El folleto debe tener un sin número de errores que involuntariamente han sido pasados por alto por el autor. Cualquier comentario, observación y corrección al folleto, por favor hacerla llegar al autor directamente, a la dirección electrónica: [email protected] Atentamente Dr. Edy Ayala A. Departamento de Física Escuela Politécnica Nacional
vi
Constantes
Carga del electrón e = 1.6 10-19 C Masa del electrón me = 9.11 10-31 kg = 511 keV/c2 Masa del protón mp = 1.673 10-27 kg = 938.272 MeV/c2 Masa del neutrón mn = 1.675 10-27 kg = 939.566 MeV/c2 Constante de Planck h = 6.626 10-34 J s = 4.136 10-15 eV s Constante de Boltzmann k = 1.38 10-23 J K-1 = 8.617 10-5 eV K-1 Velocidad de la luz (vacío) c = 3.00 108 m s-1 Permitividad eléctrica (vacío) 0 = 8.85 10-12 F m-1 Permeabilidad magnética (vacío) µ0 = 4 10-7 H m-1 Número de Avogadro NA = 6.02 1026 kg-mol-1 Constante de Rydberg R = 1.10 107 m-1 Magnetón de Bohr µB = 9.27 10-24 J T-1 Magnetón Nuclear µN = 5.0508 10-27 J T-1 = 3.1525 10-14 MeV T-1 Constante de Estructura Fina = 1/137 Radio clásico del electrón re= 2.81 10-13 m. Radio de Bohr a0= 0.53 10-10 m.
Datos Útiles
Unidad atómica de masa 1u = 1.66 10-27 kg = 931.502 MeV/c2 Factor de conversión de Energía 1 eV = 1.6 10-19 J Años en segundos 1 yr = 3.16 107 s Presión atmosférica 1 atmosphere = 1.01 105 N m-2 Aceleración de la gravedad en la Superficie de la Tierra g = 9.81 m s-2 1 gramo molécula a STP ocupa 22.4 litros Primeros Polinomios Asociados de Legendre:
mm PP −= ll
( )
( )θ
θ
θ
θθ
2cos123
223
12cos341sincos1
22
21
20
11
10
00
−=
=
+=
===
P
senP
P
PPP
( )
( )
( )
( )θθ
θθ
θθ
θθ
334
15
3coscos4
15
3583
cos33cos581
33
32
31
30
sensenP
P
sensenP
P
−=
−=
+=
+=
1
BREVE REPASO DE OSCILACIONES Y ONDAS MECANICAS
OSCILACIONES
Se dice que un proceso es periódico cuando éste se repite cada determinado tiempo, por
ejemplo: moléculas oscilando en un sólido, electrones en los átomos, las cuerdas de un
violín, el movimiento periódico de la Tierra alrededor del sol, el voltaje y la corriente en
circuitos alternos (AC). Todo movimiento periódico se lo puede considerar como una
superposición de movimientos armónicos simples. El movimiento armónico simple de un
cuerpo con un grado de libertad se representa mediante una función que varía en el tiempo
de la siguiente manera:
)(.)( 0 φωψ += tsenAt donde
A es la amplitud de la oscilación
ω0 es la frecuencia angular de oscilación
φ es la fase inicial
Figura. Oscilación armónica
El número de oscilaciones por unidad de tiempo se le conoce con el nombre de frecuencia
de oscilación y esta dada como: πω
ν2
0= ; el tiempo que tarda el sistema en realizar una
oscilación completa se lo llama período de oscilación y es: ν
τ 1=
A continuación se discuten algunos ejemplos de sistemas que oscilan armónicamente:
Masa con resorte
Considere una masa m atado a un resorte con constante recuperación k, en la región donde
la ley de Hook es válida,
La ecuación de movimiento es:
kxdt
xdm −=2
2
2
020 =+ xx ω&&
con mk
=20ω
cuya solución es: )()( 0 φω += tAsentx
la siguiente figura muestra la relación de fase entre la posición, velocidad y aceleración:
Figura. Relación de fases entre la posición, velocidad y aceleración
Si consideramos la energía total del sistema, es decir, la suma de la energía cinética y
potencial, entonces:
22
21
21 xkxmE += &
Si )cos()( 00 φωω += tAtx&
Note que la energía total del sistema es constante,
)(21)(cos
21
022
022
02 φωφωω +++= tsenkAtmAE
222
21
21 AmkAE ω==
Si se considera el siguiente arreglo:
Figura. Masa atada a dos resortes de igual constante de recuperación
3
Si la longitud de los resortes no estirados es 0a y la longitud de los mismos en la posición
de equilibrio es a. La fuerza sobre la masa m será:
)(2)2()( 00 axkaxakaxkFx −−=−−+−−=
)(22
2
axkdt
xdm −−=
Cambiando de variable: ax −=ψ se tiene,
ψψ kdtdm 22
2
−=
La frecuencia de oscilación en este caso es: mk22
0 =ω
Oscilaciones transversales
Considere el caso anterior pero con oscilaciones transversales,
Figura. Oscilaciones transversales del sistema anterior
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−−=⋅−−=
)(12)(2)(2 0
002
2
xa
kxxaksenakdt
xdMll
ll θ
Para el caso de pequeñas oscilaciones
( )ε+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 11 2
2
22222 a
axaxal
( ) 2/1111 −+= εal
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−= ...
21112 2
20
2
2
ax
aa
kxdt
xdM
aaakx
dtxdM
)(2 02
2 −−=
4
La frecuencia de oscilación en este caso es: MaT
Maaak 002
02)(2
=−
=ω
Los distintos ejemplos hasta ahora planteados muestran una ecuación diferencial lineal a
resolver. Estas ecuaciones tienen la propiedad de que la suma de cualquiera de sus
soluciones es también solución.
El péndulo simple.
θsenmgdt
sdm ⋅−=2
2
θl=s y para pequeñas oscilaciones θθ ≈sen , así,
θθ⋅−= mg
dtdm 2
2
l
020 =+ θωθ&& con
l
g=2
0ω
)(.)( 0 φωθ += tsenAt
Circuito LC
CQ
dtdIL −=
ICdt
dQCdt
IdL 112
2
−=−=
Así,
)(.)( 0 φω += tsenAtI
donde,
LC12
0 =ω
5
Note que en cada uno de los ejemplos desarrollado, la frecuencia de oscilación, y por lo
tanto el período de oscilación, es independiente de la amplitud del oscilador armónico.
Adicionalmente, se puede observar que la energía del oscilador es proporcional al cuadrado
de la amplitud.
Oscilaciones amortiguadas
Si se considera fuerzas de rozamiento en el movimiento oscilatorio ideal, estas fuerzas
disipativas disminuirán la energía del sistema y se dice que el movimiento es amortiguado.
Si estas fuerzas se las consideran proporcionales a la rapidez con la que se mueve el
cuerpo, la ecuación de movimiento introduce un término adicional,
dtdxbkx
dtxdm −−=2
2
cuya solución es:
)cos()( 2 φω +=−
tAetxt
mb
donde la frecuencia de oscilación esta dada por: 2
20
22
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mb
mb
mk ωω
La amplitud de la oscilación va decreciendo exponencialmente como se muestra en la figura:
Figura. Disminución de la amplitud por amortiguación del movimiento oscilatorio
Oscilaciones forzadas y resonancia
En este caso el oscilador es sometido a una fuerza externa, que generalmente se la
considera también periódica, así:
)(2
2
xFdtdxbkx
dtxdm +−−=
Si tsenFxF ω0)( = , la solución de esta ecuación, para cuando se haya alcanzado un estado
estacionario, es:
6
( )φω += tAtx cos)(
donde la amplitud A es ahora función de la frecuencia de la fuerza externa, de la frecuencia
natural del sistema (en este caso: mk=2
0ω ) y del amortiguamiento del sistema y esta dada
por:
( )2
220
2
0 /
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=
mb
mFA
ωωω
Cuando 0ωω → la amplitud crece y alcanza un máximo. En este caso decimos que el
sistema entra en resonancia debida a la fuerza externa. Si el amortiguamiento es pequeño,
la amplitud puede crece considerablemente.
Pulsaciones
En un sistema bidimensional la parte móvil puede moverse como una superposición de dos
oscilaciones armónicas, si las frecuencias son cercanas, ω1 y ω2, de manera que:
)(.)( 11 tsenAt ωψ =
)(.)( 22 tsenAt ωψ =
La suma 21 ψψψ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= tsenAR 221 ωω
ψ
donde: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= tAsenAR 22 21 ωω
que se le conoce como oscilación con amplitud modulada.
Estos movimientos compuestos en 2D forman las conocidas figuras de Lisajus.
7
Consulta. Péndulo bi-dimensional
Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad
Figura. Sistemas con dos grados de libertad
El movimiento general de un sistema de dos grados de libertad puede tener una apariencia
muy complicada (ninguna con movimiento armónico simple). Sin embargo, para dos grados
de libertad y para ecuaciones de movimiento lineales, el movimiento más general es la
superposición de dos movimientos armónicos simples (modos normales de vibración).
Escogiendo las condiciones iniciales apropiadas se puede hacer oscilar al sistema en sus
modos normales (es decir, bajo esas condiciones los modos se desacoplan)
Osciladores acoplados
Figura. Osciladores acoplados. Oscilaciones longitudinales
( )abaa kk
dtd
m ψψψψ
−+−=2
2
( ) babb kk
dtd
m ψψψψ
−−−=2
2
Sumando y restando las dos ecuaciones:
( )abba k
dtd
m ψψψψ
+−=+2
2 )(
( )abba k
dtd
m ψψψψ
−−=−
3)(
2
2
Cada ecuación corresponde a un modo normal de vibración con frecuencias:
8
mk
=2ω y mk32 =ω
Es fácil darse cuenta de cuales serán los modos normales de las oscilaciones transversales
del mismo sistema. ¡grafique los modos de vibración normales y escriba los modos
normales!
Figura. Osciladores acoplados. Oscilaciones transversales
Ejemplo.
1. Escriba (intuya) los modos de oscilación transversales normales del sistema de dos osciladores acoplados con resortes. Escriba las ecuaciones del movimiento.
Solución. Las ecuaciones de movimiento son:
( )baaa
aT
aT
dtd
m ψψψψ
−−−= 002
2
( ) bbab
aT
aT
dtd
m ψψψψ 00
2
2
−−=
Cuerda vibrante
Si se generaliza a un sistema de muchas masas acopladas, los modos de vibración
normales serán tantos como osciladores acoplados tenga el sistema.
Figura. Modos normales en una cuerda
Si se considera a la cuerda como un conjunto de masas puntuales unidas elásticamente
(aproximación al continuo). De acuerdo con la ley del movimiento de Newton, se tiene que
para la masa j-ésima:
9
)(2
2
jFt
m jj =∂
∂ φ
Donde φ representa los desplazamientos perpendiculares de las partículas
Para desplazamientos pequeños, y despreciando la fuerza gravitatoria, la fuerza
restauradora será perpendicular a la cuerda y resultará de la pequeña diferencia de
dirección de las fuerzas de tensión que tiran de la partícula hacia la izquierda y hacia la
derecha. Si la tensión de la cuerda es T, la componente vertical de la fuerza restauradora
será:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+
Δ
−= +−
xxTjF jjjj 11)(
φφφφ
Si xjx Δ⋅= para representar la posición horizontal de la j-ésima masa de la cuerda y
definiendo la densidad de masa lineal como:
xm
x ΔΔ
=→Δ
lim0
ρ
se tiene que:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ΔΔ++−Δ−
⋅=∂∂
ΔΔ
→Δ 22
2
)()()(2)(
lim0 x
xxxxxTtx
mx
φφφφ
2
2
2
2
xT
t ∂∂
=∂∂ φφρ
si se define ρ
υ T= se tiene:
10
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
txφ
υφ
Esta ecuación toma el nombre de “la ecuación de la Onda” siendo el parámetro υ la
velocidad de propagación de la onda (perturbación en la cuerda, en este caso).
Si dicho parámetro lo consideramos constante, vemos que esta ecuación puede resolverse
por separación de variables.
Proponemos una solución:
( )txftx ωφ cos)(),( ⋅=
Reemplazando, se tiene:
( )txfx
ωωυ
φ cos)(1 222
2
⋅−=∂∂
( ) ( )txfdx
fdt ωωυ
ω cos)(1cos 222
2
⋅−=
0)(2
2
2
2
=+ xfdx
fdυω
0)(22
2
=+ xfkdx
fd
donde υω
=k
( )kxsenAxf ⋅=)(
( ) ( )tkxsenAtx ωφ cos),( ⋅⋅=
Considerando las condiciones de borde. En este caso, la cuerda no oscila en los bordes:
0),(),0( == tLt φφ
πnkL = donde n es entero. No todos los valores de k son permitidos, tan solo aquellos,
Lnk π
=
La solución en este caso será:
( )txL
nsenAtxn ωπφ cos),( ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
Cada n entero representa un modo de oscilación normal.
¡¡Grafique los primeros tres modos¡¡
11
Debido al principio de superposición, cualquier superposición de estas soluciones también
es solución.
∑=n
nn txatx ),(),( φψ
Si se supone que al tiempo t=0 el desplazamiento de la cuerda respecto de la posición de
equilibrio esta representado por la función f(x), entonces,
∑==n
nn xaxxf )0,()0,()( φψ
∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
Lnsenaxf nπ)(
La solución obtenida es general, especificada solamente por las condiciones de borde. Esto
implica que cualquier función arbitraria puede representarse como una superposición de
funciones senos o (cosenos)1, donde los coeficientes se los puede calcular fácilmente
(Análisis de Fourier2).
Note que debido a estas condiciones de borde, se tiene una onda estacionaria.
ONDAS MECANICAS
Una onda mecánica la podemos considerar como: “Una perturbación originada en un
determinado punto del espacio que se propaga a través de un medio”. Si la perturbación
causa un movimiento de los elementos del medio en dirección de su propagación se la llama
“onda longitudinal” y si la perturbación causa un movimiento de los elementos del medio
perpendicular a la dirección de propagación se la denomina “onda transversal”. La
propagación de esta perturbación se debe a que los elementos constitutivos del medio
(átomos, moléculas) están acoplados unos a otros.
Como la perturbación está en movimiento, se la representa por función tanto de la posición
como del tiempo, es decir,
),( txf=ψ
)()0,(),( 0 xfxftx t ===ψ , representa el perfil de la onda en t=0.
Supongamos una onda que no cambia su forma mientras avanza a través del espacio, como
se observa en la siguiente figura.
1 Para n y m enteros: mn
L
dxLxnsen
Lxmsen
Lδππ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫ ´´´2
0
(delta de Kronecker)
2 ´´´)(2
0
dxLxnsenxf
La
L
n ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=π
12
Figura. Perfil viajero
Consideramos una onda o pulso viajando a una velocidad υ en dirección x.
Supongamos un sistema S´ que se mueve con el pulso. En este sistema la onda o pulso no
se mueve, así: ´)(xf=ψ pero txx υ−=´ , de tal forma que: )(),( txftx υψ −= es la función
que representa la forma más general de una onda unidimensional propagándose en la
dirección positiva de las x. Entonces, )( txf υ+ representará una onda viajando en la
dirección negativa de las x.
Podemos verificar que las dos formas de ondas satisfacen la ecuación mediante realización
de las derivadas reemplazo directo, es decir, son soluciones de:
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tf
xf
υ
donde υ es la velocidad de propagación de la onda.
En tres dimensiones,
012
2
22 =
∂∂
−∇t
ffυ
Note, además que esta ecuación es lineal, es decir, que si 1ψ y 2ψ son soluciones
entonces 21 ψψ + también es solución. Una forma general para una función de onda se
puede escribir como:
)()( 21 txgctxfc υυψ ++−= donde c1 y c2 son constantes y
f y g: funciones doblemente diferenciables.
Ondas Armónicas
Se toma un perfil de la forma armónica:
)()(),( 0 kxAsenxtx t === ψψ donde, k → vector de propagación tal que,
kx → (adimensional) radianes
Una onda viajera será entonces:
13
)(),( txAsenktx υψ −=
(Note que si tiene un perfil de onda arbitrario se lo puede escribir como una superposición
de ondas armónicas: análisis de Fourier)
Manteniendo fijas ya sea x o t, se tiene una perturbación sinusoidal de tal forma que la onda
es periódica tanto en espacio como en tiempo, como se indica en la Figura.
Figura. Periodicidad especial y temporal de una onda sinusoidal
El período espacial se conoce como longitud de onda, λ, es decir: ),(),( txtx λψψ ±= para
el caso de una onda armónica πλ 2=k .
De forma análoga para el período temporal, τ, ),(),( τψψ ±= txtx para el caso de una onda
armónica πυτ 2=k .
πυτλπ 22
=
υλτ =
puesto que la frecuencia de oscilación es τ
ν 1= ,
kωυ = con πνω 2= se tiene,
νλυ ⋅=
El número de onda se define como: λ1
=ℵ .
Velocidad de fase
Para el caso de una onda armónica, el argumento completo de la función seno se le conoce
con el nombre de fase, φ. Así tkx ωφ −= .
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Si la función es de tipo )( εω +− tkxAsen a ε se le conoce como fase inicial (o edad del
ángulo), que no es más que la contribución constante a la fase que se origina en el
generador.
La fase de una perturbación es una función de x y t.
)(),( εωφ +−= tkxtx
La derivada parcial de φ respecto a t (manteniendo x = constante) es la rapidez del cambio
de fase con el tiempo, ωφ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
xt.
Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia (a t = constante), kx t
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂φ
.
Donde:
( )( )tx
xt
tx
∂∂∂∂−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
φ
φ
φ
representa la velocidad de propagación de un punto de fase constante.
υω
φ
±=±=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
ktx
, es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce como velocidad
de la onda o velocidad de fase.
Para el caso de la cuerda vibrante infinita la solución la podemos escribir como:
( )tkxAsentx ωφ −=),(
donde la velocidad de fase será: ρ
υ T=
Si consideramos un elemento infinitesimal dm de la cuerda (el cual esta oscilando). La
energía cinética de este elemento es:
( ) [ ]22)cos(
21)(
21 tkxAdxdmdEK ωωρφ −=⋅= &
Para t=0
dxkxAdEK )(cos21 222ρω=
Integrando en un intervalo de longitud de onda (período espacial)
λρωρωλ
λ22
0
222
41)(cos
21 AdxkxAEK == ∫
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El mismo elemento de masa tiene una energía potencial,
λρω 22
41 AU =
De manera que la energía total será:
λρω 22
21 AE =
y la potencia transferida o la taza de energía transferida por la onda sinusoidal,
υρωτλρω 2222
21
21 AAP ==
Si se define la Intensidad de la onda como la energía que transmite la onda por unidad de
área y por unidad de tiempo,
υωρ 22
21 AI V=
Donde se ha introducido la densidad volumétrica del medio. Note que la intensidad de las
ondas depende del cuadrado de la amplitud de la onda.
Representación compleja. Para mayor facilidad en la matemática de las ondas se suele
representar a éstas mediante una función compleja donde ya sea su parte real o imaginaria
representa la magnitud que oscila.
)(),( trkieAtr ωψ −⋅⋅=rrr
Ondas planas. Son aquellas ondas cuyos frentes de ondas son planos perpendiculares a la
dirección de propagación, como se indica en la siguiente figura.
Figura. Frentes de onda planos
En este caso se satisface: rk rr⋅ = constante
)cos( trkA ωψ −⋅=
kkjkikk zyx
rrrr++=
222zyx kkkk ++=
λπ2
=k como: λνωυ ⋅==k
16
πνω 2=
Ondas esféricas. Su frente de onda son esferas concéntricas que se propagan del punto
fuente para afuera o viceversa. Analíticamente toman la forma:
)(),( trkierAtr ωψ −⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
rr
Ejemplo de ondas:
1. Sonido en aire (perturbación en la densidad o presión del aire). Velocidad del sonido en
aire 330 m/s. (la velocidad de propagación de la perturbación depende de las
propiedades del medio donde se propaga).
2. Desplazamiento transversal en una cuerda libre
3. Ondas superficiales de agua
4. Ondas electromagnéticas (no necesitan un medio para propagarse) los campos
eléctricos y magnéticos se propagan en el espacio. Son perpendiculares entre sí y
perpendiculares a la dirección de propagación
Superposición de ondas
Figura. Dos ondas viajeras en direcciones opuestas con oscilaciones opuestas.
Las figuras muestran dos ondas transversales viajeras en direcciones opuestas de una
cuerda, oscilando en el mismo sentido (se suman) y en sentidos opuestos (se restan).
Si las ondas tuviesen igual amplitud y frecuencia y se propagan en sentidos opuestos:
( )tkxA ωψ −= cos1 y ( )tkxA ωψ += cos2
21 ψψψ +=
( ) ( )tsenkxA ωψ cos2=
17
que representa a una onda estacionaria (ver cuerda vibrante).
Si sumamos dos ondas con diferentes frecuencias:
( )xktA 111 cos −= ωψ ωωω =≈ 21
( )xktA 222 cos −= ωψ kkk =≈ 21
Se tiene:
21 ψψψ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= xkk
tAR 22cos 2121 ωω
ψ
Donde: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= xkk
tAAR 22cos2 2121 ωω
Figura. Paquetes de onda
Cada componente se propaga con su velocidad de fase.
νλωυ ==kph
Sin embargo el paquete se mueve con “velocidad de grupo”
dkd
gωυ =
18
Interferencia de dos fuentes de onda sincrónicas o (experimento de Young de los dos agujeros)
Considere el caso de dos fuentes de ondas sincrónicas (generan ondas coherentes,
mantienen su fase constante al transcurrir el tiempo) separadas una cierta distancia. En un
punto en los alrededores de la zona de influencia de las fuentes, llegaran ondas producidas
tanto por la una o por la otra fuente, superponiéndose en ese punto. Dependiendo de su
diferencia de fase la superposición nos dará una amplificación o eliminación de la
perturbación.
Figura. Experimento de Young de la doble rejilla.
La diferencia de camino óptico recorrido de las ondas, en alcanzar el punto P, es 12 rr − , Si
esta diferencia es un número entero veces la longitud de onda de la onda, entonces la
interferencia será constructiva puesto que en el punto P las ondas estarán vibrando en fase.
Por el contrario, si la diferencia de camino óptico recorrido es un semi-entero veces la
longitud de onda, entonces las ondas vibrarán desfasadas en media longitud de onda y se
anularán, produciendo lo que se conoce como interferencia destructiva. Obteniéndose un
típico diagrama de interferencia, como se muestra en la figura anterior.
La intensidad promedio es:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
λθπ sendII 2
max cos
0max 4II = donde 0I es la intensidad de una sola de las fuentes en el punto de observación.
Para el caso de varias fuentes sincrónicas alineadas se tiene que las ondas provenientes de
las fuentes se superpondrán de diferentes maneras (esto se describe fácilmente mediante
diagramas de fasores). En los puntos donde todas las ondas se sumen en fase, se producirá
una interferencia constructiva y reciben el nombre de máximos primarios; en otros puntos
algunas ondas de varias fuentes se anularán entre si pero otras no, a todas estas se les
conoce como máximos secundarios. Es importante notar que los máximos primarios no
cambian de número y posición en un diagrama de interferencia cuando se incrementa el
número de fuentes coherentes alineadas, pero se vuelven más angostas al incrementarse
dicho número. Por otro lado, los máximos secundarios se incrementan en número al
aumentar las fuentes. Esto lo representamos en la siguiente figura.
19
Figura. Interferencia de varias fuentes coherente alineadas
Adicionalmente, la intensidad estará dada por la siguiente expresión: 2
0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
λθπ
λθπ
sendsen
sendNsenII
Difracción
La onda incide sobre una abertura y se desvía. Se pensaría que debería verse una
proyección del agujero mucho más grande por lo que se ha difractado la onda sin embargo
se observa un patrón de difracción con regiones claras y oscuras (al referirnos a ondas de
luz)
Figura. Difracción de Fraunhofer (los haces de luz llegan paralelos a la pantalla)
20
Cada punto del frente de onda en el agujero se comporta como una nueva fuente, por lo
tanto la onda proveniente de cada porción del agujero interferirá con las otras, en una
dirección determinada. Un patrón de difracción no es más que uno de interferencia de
diferentes puntos de un mismo agujero (la interferencia de un número infinito de fuentes
ubicadas en el agujero).
amsen oscλθ = con ...3,2,1 ±±±=m
Si definimos θλπβ sena2
= entonces la intensidad de los picos esta dada como3:
( ) 2
max 2/2/⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ββsenII
Cuando se tiene más de un agujero, debemos considerara la interferencia de los diferentes
patrones de difracción para cada agujero. Para el caso de dos agujeros se tiene:
Figura. Difracción en varios agujeros
En este caso, el diagrama de interferencia yace dentro del de difracción y la intensidad esta
representada por:
3 1)(lim
0=
→ xxsen
x
21
( ) 22
max 2/2/cos ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ββ
λθπ sensendII
Consulta. Interferencia de láminas delgadas y Difracción de Bragg de Rayos X.
Ejercicios
1. Un objeto de 0.5 kg atado a un resorte de constante de recuperación de 8 N/m vibra con movimiento armónico simple con una amplitud de 10 cm. Calcular (a) el valor máximo de su velocidad y aceleración; (b) la velocidad y aceleración del objeto cuando se halla a 6 cm de la posición de equilibrio; (c) el intervalo de tiempo requerido por el objeto para moverse de x=0 a x=8 cm.
2. Una partícula de masa m se desliza sin fricción dentro de un tazón esférico de radio R. Muestre
que empezando desde el reposo, con un pequeño desplazamiento del equilibrio. La partícula se mueve con movimiento armónico simple y frecuencia igual al de un péndulo simple de longitud R.
3. Un objeto de 10.6 kg oscila atado a un resorte de constante 2.05 104 N/m. La resistencia del aire se
representa por un coeficiente de atenuación de 3 N s /m. (a) calcule la frecuencia del oscilador amortiguado; (b) en qué porcentaje se reduce la amplitud en cada ciclo; (c) en que tiempo el oscilador reduce su amplitud al 5% de su valor inicial.
4. Considere dos masas de valores diferentes m1 y m2 unidas por un resorte de constante
recuperadora k. Calcule las frecuencias de oscilación de sus modos normales. 5. Un pulso de forma:
2)5(0.5),( txetxy −−= . Donde x esta en metros y t en segundos. Determine la dirección de movimiento de la onda y la velocidad del pulso.
6. Considere una onda sinusoidal ( )txsenm 403.025.0 −=ψ donde x esta en metros y t en
segundos. Determine la amplitud, frecuencia angular, número de onda angular, longitud de onda, velocidad de la onda y dirección de movimiento de la onda.
7. Una onda transversal viajera en una cuerda tiene una amplitud de 0.2 mm y una frecuencia de 500
Hz. Si esta viaja a una velocidad de 196 m/s. Escriba una expresión sinusoidal que represente a la onda viajera. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 4.10 g/m determinar la tensión de la cuerda.
8. Considere una onda sinusoidal ( )txsenm 508.015.0 −=ψ donde x esta en metros y t en
segundos. Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 12 g/m Determine la longitud de onda, velocidad de la onda, la frecuencia de oscilación y a la potencia transmitida por la onda.
9. Un haz de luz verde se difracta en una rendija de 0.55 mm. El patrón de difracción se observa en
la pared posterior a 2.06 m. La distancia entre los primeros mínimos simétricos del diagrama es 4.18 mm. Hallar la longitud de onda de la luz.
10. En un experimento de interferencia de Young la separación entre las rejillas es 0.5 mm y el patrón
de interferencia en una pantalla a 3.30 m muestra al primer pico brillante a 3.4 mm del centro del diagrama. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?
11. En un lugar donde la velocidad del sonido es de 354 m/s una onda sonora de 2000 Hz incide sobre
dos rejillas separadas 30 cm. ¿A qué ángulo se localiza el primer máximo? Si la onda sonora se remplaza por una micro-onda de 3 cm de longitud de onda. A que distancia deben estar colocadas las dos rejillas para que el primer máximo coincida con aquel observado para el sonido.
22
RELATIVIDAD ESPECIAL
Transformaciones de Galileo
Se define un Evento (o suceso) a un hecho que ocurre en un punto del espacio y en un
determinado tiempo. Puede representarse por cuatro coordenadas (tres relativas a su
posición y una al tiempo en que ocurre) como se indica en la Figura 2.1.
Por otro lado llamamos “Sistemas de Referencia Inerciales” (SRI) a aquellos en los cuales
se satisface la primera ley de Newton (es decir, si sobre un cuerpo actúa una fuerza neta
cero, el cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante). Si un sistema se
mueve a velocidad constante respecto de un SRI, éste también es un sistema inercial.
La Teoría de la relatividad especial describe eventos observados en sistema de referencia
inercial (SRI),
Figura. Evento y Sistemas de referencia inercial
Un par de SRI S y S´, moviéndose el uno respecto al otro a velocidad constante, describen a
un mismo evento por medio de:
),,,( tzyxS →
´)´,´,´,(` tzyxS →
Cada sistema tiene: su regla y reloj (calibrados entre sí)
Los intervalos espaciales y temporales se suponen absolutos (sentido común), es decir, son
los mismos para todos los SRI.
Las Reglas iguales comparadas en reposo “se suponen” que tendrán las mismas longitudes
cuando estén en movimiento.
Los Relojes sincronizados trabajan igual en reposo o en movimiento.
Figura. Intervalos de longitud y tiempo absolutos
23
Suponiendo que los relojes marcan cero cuando 0 y 0´ coinciden, podemos relacionar las
coordenadas del evento en los dos SRI que se mueven uno con relación del otro en la
dirección x.
ttzzyy
txx
===
−=
´´´´ υ
Transformaciones inversas →
´´´
´´
ttzzyy
txx
===
+= υ
Suponiendo que los relojes marquen cero cuando coinciden sus orígenes 0 y 0´.
qpqp tttt −=− ´´ → Ahora AAA
BBB
txxtxx
υυ
−=−=
´´
)(´´ ABABAB ttxxxx −−−=− υ → Simultaneidad (tiempo absoluto)
ABAB xxxx −=− ´´
De acuerdo con las transformaciones Galileanas las mediciones de intervalos de tiempo y
de espacio son absolutas.
Si añadiríamos, o supondríamos adicionalmente la invariancia de la masa inercial (por
sentido común), entonces, la longitud, la masa y el tiempo serían independientes del
movimiento relativo del observador.
Relatividad de Newton
Si consideremos el movimiento de una partícula respecto de dos SRI, la variación en la
posición de la partícula con relación a cada uno de ellos, la podríamos tratar de la siguiente
manera:
txx v` −=
dtdt
dtdx
dtdx v´
−=
Puesto que ´´ dtdttt =⇒=
v´´
−=dtdx
dtdx
zz
y
xx
υυ
υυυυ
=
=−=
´
´v´
y → v´ rrr−=υυ
Un tratamiento similar podríamos hacer para la variación de la velocidad de la partícula. Así,
dtd
dtd
dtd xx v
´´
−=υυ
si dtdt =´
24
zz
yy
xx
aa
aaaa
=
==
´
´´
→ aa rr=´
Figura. Dinámica de una partícula
Fam
Famrr
rr
=
= ´´´ →
FF
aamm
rr
rr
=
==
´
´´
“Las leyes de movimiento de Newton, y por tanto las ecuaciones de movimiento de
una partícula, son las mismas para todo sistema de referencia inercial”. En otras palabras: “puesto que los principios de conservación en la mecánica newtoniana
(energía, cantidad de movimiento, momento angular) son consecuencias de sus leyes”, se
deduce, por tanto que los principios de conservación de la mecánica se mantienen para
todos los sistemas de referencia inerciales.
Ningún experimento mecánico efectuado totalmente dentro de un sistema inercial, puede
indicar al observador cuál es el estado de movimiento de aquel sistema con respecto a
cualquier otro sistema inercial. Para la mecánica: ¡Todo SRI es equivalente! ¿Y electromagnetismo? ¿Son sus leyes invariantes respecto a las Transformaciones
Galileanas?
Respuesta: ¡No! Respecto de transformaciones Galileanas ¡No!
De acuerdo con la teoría de Maxwell, los campos eléctricos y magnéticos, Er
y Br
,
satisfacen ecuaciones de onda tal como:
012
2
22 =
∂∂
−∇tE
cE
rr
siendo smxc 8
00
1031≈=
με
la velocidad de la onda electromagnética (la luz es una onda electromagnética, OEM).
ε0 y μ0 representan la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del vacío
(definiciones que se introducen en el Sistema Internacional de unidades).
De acuerdo con las transformaciones Galileanas, existe solo un Sistema de Referencia
Inercial donde la Ondas Electromagnéticas (OEM) se propagan a la velocidad c (se lo
conoce como Sistema ETER)
25
Figura. Propagación de la luz en relatividad newtoniana.
Si la luz se propaga con diferentes velocidades dependiendo del sistema de referencia, los
fenómenos ópticos y electromagnéticos serán diferentes para diferentes sistemas de
referencia inercial.
Si las Transformaciones Galileanas y la electrodinámica de Maxwell son correctas entonces
existirá el “sistema éter”, es decir un sistema privilegiado donde la velocidad de la luz es c.
El hecho de que el principio de relatividad Galileano se aplique a las leyes de la mecánica
pero no a las del electromagnetismo implicaría:
1. Existe el principio de la relatividad para la Mecánica Newtoniana pero no para la Teoría
Electromagnética donde existe un sistema absoluto privilegiado, en el cual la velocidad
de luz es c (sistema éter).
2. Existe un principio de relatividad para la Mecánica Newtoniana y para Teoría
Electromagnética pero la teoría de Maxwell no es correcta, se podría encontrar
experimentos incapaces de ser descritos por tal teoría.
3. Existe un principio de la relatividad para la Mecánica y la Teoría Electromagnética, en
este caso las transformadas Galileanas son incorrectas ya que son incompatibles con la
invariancia de las ecuaciones de Maxwell y seguramente habrá que hacer algunas
modificaciones a la mecánica.
Experimento para localizar el sistema éter. (Experimento de Michelson-Morley) El movimiento de traslación de la Tierra a través del éter debería ser detectado con
experimentos de óptica que pueden medirse con gran precisión.
skm30=υ
26
En el sistema Tierra υ−= cc´
Se trata de calcular la diferencia de camino óptico recorrido por la luz. En el sistema Tierra:
El tiempo a través del camino 1, ida y vuelta
( ) ( )22
22 1
2122
)(
12
122
11
22111111
1
cc cl
ccl
ccl
t
clcllcl
cl
cl
t
υυυ
υυυ
υυ
−=
−=
−=
−−++
=+
+−
=
El tiempo a través del camino 2, se lo calcula en el sistema Sol. (Note que debido a que el
tiempo es absoluto lo podemos calcular en cualquier sistema de referencia)
22
21
112
22
22
2
222
2
ccl
t
cttl
υ
υ
−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−=−=Δ
22
22 11
2 1212
cc
llc
tttυυ
27
Ahora, se procede a rotar el experimento 90º como se muestra en la figura. (Los tiempos del
experimento rotado, se lo nota con las letras primadas).
( )22
22
122´
´
12
´
222
22
222
11
c
c
cl
cclt
cl
clt
cl
t
υ
υ
υ
υυ
−=
−=
−+
+=
−=
El intervalo de tiempo en este caso será:
( ) 22
22
12
12´´´ 12
12
cc cl
clttt
υυ −−
−=−=Δ
La diferencia de camino óptico será igual a la diferencia de intervalos de tiempo. Así:
( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
+−
−+
=Δ−Δ=Δ2
22
2
112´ 122
cc
i llllc
tttυυ
δ
[ ] ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−⋅+=
22
22
11
112
21
cc
llc υυ
( ) ( ) ( )[ ]21
22
22 112 1
21−− −−−⋅+= ccll
cυυ
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+= 2
2
21 212
cll
cυ
( ) ( )2
221
ccllt υδ
+=Δ
Si T es el período de la onda electromagnética, el desplazamiento del diagrama de
interferencia será:
( )( ) 2
221)(
ccll
NT
tc
υδλ
+=Δ=
Δ
28
( )2
221
cll
N υλ+
=Δ
Con valores usados en el experimento realizado:
4
721
10
105.5
22
−
−
≈
=
=+
c
x
mll
υλ → Se obtiene 4.0≈ΔN (se podía medir hasta desplazamientos de 0.01)
Sin embargo → EL RESULTADO EXPERIMENTAL: 0=ΔN
(Esto se mantenía para todas las variantes que se podía realizar en el experimento)
¿Y ahora?
¿Cómo salvar el sistema éter?
Contracción de Lorentz 2210 cll υ−= en las longitudes en dirección al movimiento,
basada en la teoría “electrónica de la materia” (la cual tenía muchas deficiencias). No
justificaba el resultado del experimento de M-M si se consideraba diferentes longitudes
de los brazos del interferómetro.
Arrastre del éter (cuerpos en movimiento llevan el éter consigo).
Desvirtuado por: *Aberración de la luz
*Experimento de Fizeau.
Teorías de emisión: velocidad de la luz relacionada al movimiento de la fuente.
Desvirtuado por: *Estrellas dobles de Setter
*Experimento de Michelson y Morley con fuentes de luz
extraterrestres.
Consulta 1: Aberración de la luz y experimento de Fizeau.
Consulta 2: Experimento de Brillet-Hall (Phys. Rev. Lett., vol.42, pp.549)
29
POSTULADOS DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Teoría de Einstein.
En 1905, Einstein proporcionó una solución al problema del éter, en su trabajo “Sobre la
electrodinámica de cuerpos en movimiento”
Las suposiciones de Einstein se pueden sintetizar en dos postulados:
1. Las leyes de la física (mecánica y electrodinámica) son las mismas para todos los
sistemas inerciales (principio de relatividad)
2. La velocidad de la luz en el vacío tiene un mismo valor de c en todos los sistemas
inerciales.
El principio de relatividad de Einstein es más amplio que el de Newton, puesto que el de
Newton incluye solo las leyes de la Mecánica; mientras que el de Einstein, todas las leyes
de la física (en esa época incluía a la Mecánica y a la Electrodinámica).
Relatividad de la simultaneidad
A cada punto del sistema se asocia un reloj. Los relojes en el sistema deben ser
sincronizados. Un método de sincronización de relojes, sería el uso de la velocidad de la luz
(en base con el postulado 2). Si un reloj en el origen marca t=0 en el momento de emitir un
haz de luz, un reloj en el punto r1 deberá marcar t1=r1/c en el momento que le llegue la luz.
De forma similar se sincroniza un reloj en el punto r2.
Si dos eventos suceden en dos puntos diferentes y si sus respectivos relojes marcan el
mismo tiempo, decimos que los eventos son simultáneos. Si los eventos ocurren en el
mismo punto la simultaneidad depende de un solo reloj tan solo y es más fácil visualizarla.
Los eventos que ocurren en dos lugares diferentes de ese sistema deben llamarse
simultáneos cuando los relojes (previamente sincronizados) de los dos lugares registren el
mismo tiempo para ellos.
Figura. Sincronización de relojes
Si dos eventos son simultáneos para un observador, ¿serán simultáneos para otro que se
mueve respecto al primero a velocidad υ ?
30
Figura. Simultaneidad de eventos.
Respuesta: ¡NO!
Dos eventos pueden ser simultáneos para un SRI pero para otro no. Puesto que ningún
sistema es preferente, la situación es recíproca.
Medir la longitud de un objeto significa localizar simultáneamente sus puntos extremos.
Puesto que la simultaneidad es un concepto relativo; la longitud también lo es.
El método del radar para localizar las coordenadas de un evento. En x=0 y tA se emite un
pulso de luz ilumina el evento E de interés en un punto del eje x. El haz reflejado viaja de
vuelta hacia el reloj maestro y, a su llegada, marca tB. El punto del espacio tiempo donde
ocurrió el evento es: (xE, tE) (Equivalente a utilizar retícula de relojes)
( )ABE ttx −=21
y )(21
ABE ttt +=
donde se ha considerado c = 1.
Transformaciones de Lorenzt.
Para los dos sistemas de referencia inerciales que se mueven el uno con relación al otro, a
velocidad constante υ:
Figura. Un evento descrito por dos sistemas inerciales
31
2
2
2
2
2
1´
´´
1´
c
xc
tt
zzyy
c
txx
υ
υ
υ
υ
−
−=
==
−
−=
y las transformaciones inversas
2
2
2
2
2
1
´´
´´
1
´´
c
xc
tt
zzyy
c
txx
υ
υ
υ
υ
−
+=
==
−
+=
Las transformaciones de Lorentz se basan en el hecho de considerar que el “espacio-tiempo
es homogéneo e isotrópico”, es decir, todos los puntos del espacio-tiempo son equivalentes
y todas las direcciones también son equivalentes. Esto implica que las relaciones entre las
coordenadas primadas y no primadas de dos SRI están relacionadas linealmente. Una línea
o un plano en el un sistema de referencia inercial está representada por una línea o un plano
(respectivamente) en el otro sistema de referencia inercial. Además se considera que
cuando 0´ y 0 coinciden: t=0 y t´=0, y la invariancia de la velocidad de la luz.
(La deducción de las transformaciones de Lorentz se presenta en el apéndice 1).
Note que para velocidades muy pequeñas a la de la luz, c<<υ , las transformaciones de
Lorentz coinciden con las de Galileo.
Se define el intervalo entre dos eventos cualesquiera A, B, como:
( ) ( ) ( ) ( )222222ABABABABAB zzyyxxttcS −−−−−−−=Δ
Siendo ),,,( AAAA tzyx y ),,,( BBBB tzyx sus coordenadas en el espacio-tiempo
respectivamente.
Considere los siguientes dos eventos particulares:
Evento A: la emisión de un haz de luz desde un punto en el espacio y a un tiempo
determinado.
Evento B: la llega del anterior haz de luz a otro punto del espacio-tiempo.
Estos dos eventos y sus coordenadas en los sistemas de referencia inercial S y S´ están
relacionados por:
Figura. Dos eventos causales
32
( ) ( ) ( ) ( )22222ABABABAB zzyyxxttc −+−+−=−
( ) ( ) ( ) ( )22222 ´´´´´´´´ ABABABAB zzyyxxttc −+−+−=−
Para estos eventos 02 =Δ ABS en el sistema S, y 0´2 =Δ ABS en el sistema S´.
En este caso se tiene que el intervalo entre estos dos eventos es invariante, es decir, es el
mismo para todo sistema de referencial inercial.
¿Será el intervalo entre dos eventos cualesquiera invariante?
Respuesta: ¡Sí! (¡Todo intervalo, como fue definido, es un invariante relativista!)
Una demostración simple de la invariancia del intervalo puede esquematizarse de la
siguiente manera:
Para dos eventos muy próximos entre sí el intervalo esta dado como: 22222 dzdydxdtcds −−−=
considerando el caso general, el intervalo entre dos eventos descrito tanto para un sistema
S como para otro primado S´, estarán relacionados por: 22 ´adsds =
donde la constante a solo depende del módulo de la velocidad: ( )υraa =
siendo υr
la velocidad relativa entre los dos sistemas.
Si se considera un sistema de referencia inercial adicional, como se muestra en la figura:
Figura. Tres sistemas de referencia inerciales
( )( )
( )( ) ( )12
1
2
222
2
211
2
υυυ
υ
υ
aaa
dsads
dsads
=
=
=
pero υ12 no depende solo de 21υυ sino de su ángulo relativo. Por tanto la única posibilidad
que se tiene es que: a=1.
Así queda demostrado que:
33
22
21
2 dsdsds == → invariante relativista.
La forma del intervalo 22222 dzdydxdtcds −−−= define la métrica del espacio-tiempo
(espacio de 4 dimensiones). La métrica en este caso es seudo-euclídea (en el espacio
tiempo plano).
A los intervalos los clasificamos en:
02 >ABS temporales: Existen sistemas donde los eventos AB ocurren en el mismo punto del
espacio.
02 <ABS espaciales: Existen sistemas de referencia donde los eventos AB ocurren
simultáneamente.
Figura. El cono espacio tiempo
Todos los eventos dentro del cono están ligados causalmente y define el pasado absoluto y
futuro absoluto.
Ejemplos:
1. Un tren de 500m de longitud (medido por el observador en el tren) viaja a 120km/h. Dos destellos de luz inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo en este acontecimiento para el observador en el tren?
( ) ( )
221
´´´´0
2
c
ABAB
AB
xxc
tttt
υ
υ
−
−+−==−
2. Para un observador O dos acontecimientos están separados en el espacio tiempo por 600m y 8x10-7seg. ¿Con qué velocidad debe moverse O´ con relación a O para que los acontecimientos aparezcan simultáneamente a O´? ¿Cuál es la separación espacial de los dos eventos medido por O´?
221
0´c
xc
tt
υ
υ
−
Δ−Δ==Δ
34
CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
1. La longitud de un cuerpo que se mide es mayor cuando éste esta en reposo con
respecto al observador. Cuando el cuerpo se mueve a velocidad υ respecto del
observador, su longitud medida se contrae (en la dirección de movimiento) por un factor
221 c
υ− ; mientras que sus dimensiones perpendiculares no se alteran.
Figura. Contracción de longitud
221
´ 222
c
txx
υ
υ−
−=
221
´ 111
c
txx
υ
υ−
−=
( ) ( )2
21´´ 121212
c
ttxxxxυ
υ−
−−−=−
12 tt =
( )2
21´´ 1212
c
xxxxυ−
−=−
21´ β−= LL
2. La máxima rapidez con que camina un reloj se mide cuando éste esta en reposo
respecto al observador. Cuando el reloj se mueve a una velocidad υ respecto al
observador, éste notará que la rapidez con que camina el reloj ha disminuido por un
factor 21 β− .
Figura. Dilatación del tiempo
35
21 tt →
221´´ 12
12
c
ttttυ−
−=−
221
´´ 21
1
c
xc
tt
υ
υ
−
+=
221
´´ 22
2
c
xc
tt
υ
υ
−
+=
Por lo tanto la unidad de tiempo medida por el reloj de S´, los relojes de S lo registran más
larga.
En relatividad es común considerar el sistema propio definido como aquel para el cual el
cuerpo bajo estudió está en reposo. (El intervalo de tiempo medido por un solo reloj es el
tiempo propio).
221 c
ddtυ
τ−
=
Adicionalmente al observador S le parecerá que los relojes en S´ no están sincronizados.
Ejemplo visual
a. Longitudes perpendiculares al movimiento relativo entre dos SRI no varían. (Si se ubica
en los ejes perpendiculares a los movimientos varillas con marcadores de longitud en su
extremo, una variación de longitud en la dirección perpendicular sería un evento absoluto
y siempre se podría reconocer cual de los sistemas es el que se mueve y cual está en
reposo.
b. Experimento en el tren. El observador en el tren emite un haz de luz en dirección
perpendicular hacia un espejo colocado en el techo y recibe el reflejo de la luz, midiendo
el tiempo de tránsito de la luz.
→ Para el observador de la parte inferior (o en el andén) transcurre más tiempo entre la
emisión y llegada del haz de luz, por lo que concluye que el reloj del pasajero se retrasa.
Al medir la longitud del andén
36
Para el observador de la parte inferior (o en el andén), el pasajero cubrió esta distancia L en:
υLt =Δ
Mientras que el pasajero mide con su reloj (utiliza uno solo) el intervalo de tiempo entre
cuando coincide con el inicio del andén y el final del andén.
221´ ctt υ−Δ=Δ
221´ c
Lt υ
υ−=Δ
221´´ cLLt υυ −==Δ
Concluyendo que para él la longitud del andén es L´, es decir, más corta.
Transformación de velocidades
El cambio de la posición de un objeto, respecto de un observador, al transcurrir el tiempo
define su velocidad
Figura. Movimiento de una partícula
37
Sea ´ur la velocidad de la partícula respecto a S´.
( )
´´lim
´´´
´,´,´´
0t tx
txu
uuuu
x
zyx
ΔΔ
=ΔΔ
=
=
→Δ
r
Como:
22
22
1´
´´
1´
2
c
c
xc
tt
zzyy
txx
υ
υ
υ
υ
−
Δ−Δ=Δ
Δ=ΔΔ=Δ
−
Δ−Δ=Δ
2
2
2
1´
1´
´
cu
uu
tx
ct
txt
u
xc
t
txu
x
xx
x
x
υυ
υ
υ
υυ
−
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
−Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ΔΔ
Δ=
Δ−Δ
Δ−Δ=
2
2
2
1
1´
1
1´
1´´´
22
22
22
cu
uu
tx
c
ty
u
xc
t
ytyu
x
cyy
c
y
cy
υ
υ
υ
υ
υ
υ
−
−=
ΔΔ
−
−ΔΔ
=
Δ−Δ
−Δ=
ΔΔ
=
21
1´
22
cu
uu
x
czz υ
υ
−
−=
Las transformaciones inversas serán:
2
2
2
´1
1´
´1
1´
´1
´
22
22
cu
uu
cu
uu
cu
uu
x
czz
x
cyy
x
xx
υ
υ
υυ
υ
υ
+
−=
+
−=
+
+=
Ejemplo
Una nave especial de longitud propia 90m, viaja a velocidad constante 0.8c respecto a Tierra (T) tan pronto como la proa pasa frente a un observador en T, el piloto en proa envía una señal luminosa a la cola. ¿En qué tiempo la señal llega a la cola de la nave, medido por: a) piloto, b) el observador en T.
38
A → emite la luz
B → llega la luz
=−−
=Δ
=Δ
−=−
ccxt
xx AB
90´´
90´´
( ) ( )
221
´´´´ 2
c
ABAB
AB
xxc
ttttt
υ
υ
−
−+−=−=Δ
Ejercicios
1. Un núcleo radiactivo se mueve a velocidad 0.5c respecto al laboratorio. Se desintegra y emite un electrón en la misma dirección de movimiento con velocidad 0.9c respecto al núcleo. a) Hallar la velocidad del electrón en el sistema de referencia (laboratorio). b) Si el electrón se emite con dirección perpendicular al movimiento del núcleo. Hallar la velocidad respecto del laboratorio.
2. Una regla de 1 metro de longitud forma un ángulo de 30º con el eje x´ medido por un observador
O´. ¿Cuál debe ser el valor de la velocidad para que la regla forme un ángulo de 45º con el eje x para otro observador O? ¿Cuál es la longitud de la regla medida por O?
ABERRACION Y EFECTO DOPPLER Efecto Doppler
Se conoce como efecto Doppler a la variación de la frecuencia de una onda por el estado de
movimiento de la fuente de onda respecto del observador.
Figura. Representación del efecto Doppler
Aberración.
Se conoce como aberración a la variación del ángulo de emisión de una onda por el estado
de movimiento de la fuente de onda respecto del observador.
39
Figura. Representación de la aberración de la luz
El sistema S observa la emisión de luz con ángulo θ con respecto a x mientras que S´
observa la emisión de luz con ángulo θ´ respecto de x´.
Considere la emisión de una onda plana en un sistema de referencia S´ con vector de onda,
frecuencia, velocidad y dirección ´,´´,´, θω cck =r
respectivamente. El observador S la verá
como una onda plana con θω ,,, ckr
.
Figura. Emisión de una onda plana monocromática para dos observadores inerciales
S S´
Onda plana Onda plana
(homogeneidad del espacio)
con θω ,,, ckr
con ´,´´,´, θω cck =r
)cos( trk ω−⋅rr
´)´´´cos( trk ω−⋅rr
Si se considera ´´´´´ jkikk yx
rrr+= entonces jkikk yx
rrr+=
Entonces,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ tysenx νλ
θθπ cos2cos ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ ´´´
´´´cos´2cos tsenyx νλ
θθπ
Usando las transformadas de Lorentz
2
2
2
1´
´1
´
β
υ
β
υ
−
−=
=
−
−=
xc
tt
yy
txx
con cυβ =
40
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−+
−
+ ´1
´1cos´´´
1´
cos´2cos22
tysenxβ
νθβλθ
βλ
βθπ
Igualando las dos expresiones de coseno
´´1´
cos´cos2
λθ
λθ
βλ
βθλ
sensen=
−+
+=
→ βθβθ
θ+−
=cos´
1´tan
2sen
λννλ == ´´c ( )
21cos´1´β
θβνν−
+=
Las transformaciones inversas son:
( )2
2
1cos1´
cos1
tan´
β
θβνν
βθβθ
θ
−
−=
−−
=sen
En una representación usual del efecto Doppler se conoce la frecuencia propia y el ángulo
de llegada respecto del observador.
Figura. Representación del efecto Doppler
2
21
cos1
c
co
υ
θυνν
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= → θυ
υνν
cos1
12
2
c
co
−
−=
Relativista
º180
º90
º0
=
=
=
θ
θ
θ
c
co
co
c
co
υ
υ
υ
υ
υ
νν
νν
νν
+−
=
−=
−+
=
11
1
11
22
41
Límite no relativista
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += θυνν cos1
co
º180º90
º0
===
θθθ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
c
c
o
o
o
υνν
νν
υνν
1
1
Ejercicios
1. Una nave espacial de longitud propia 150 m viaja a una velocidad de 0.8c. Cuando la cola de la nave pasa frente a un hombre que se encuentra en una plataforma espacial estacionaria, este hombre envía una señal luminosa en la dirección de la proa de la nave (a) ¿A qué distancia de la plataforma se encuentra la nave cuando la señal luminosa llega a proa? (b) ¿cuál es el intervalo de tiempo entre la emisión y la llegada de la señal para un observador que viaja en la proa de la nave?
2. Para un observador, dos acontecimientos se realizan en el mismo lugar y con un intervalo de
tiempo de 4 segundos entre uno y otro. Si para un segundo observador el intervalo de tiempo es 5 segundos. ¿Cuál será la respuesta acerca de la separación espacial entre los dos acontecimientos?
3. Supongamos que para un observador dos acontecimientos se encuentran separados por una
distancia de 3.6 108 metros y se realizan con una diferencia de tiempo de 2 segundos. ¿Cuál es el intervalo de tiempo propio entre la realización de estos eventos?
4. Para un observador, dos acontecimientos están separados en el espacio por 600 metros y en el
tiempo por 0.8 microsegundos. ¿Con qué velocidad debe moverse un observador para que los dos eventos anteriores le parezcan simultáneos? ¿Con qué velocidad debe moverse otro observador para que los dos eventos ocurran en un mismo punto del espacio?
5. A 200 Km. sobre el nivel del mar una partícula cósmica primaria choca con la atmósfera de la
Tierra; en esta colisión se produce una partícula π (pi), la cual desciende verticalmente a una velocidad de 0.99c. Si en un sistema donde la partícula esta en reposo con relación al observador, ésta se desintegra en 2.5 10-8 segundos después de producida. Según se ve desde la Tierra, ¿A qué altura sobre el nivel del mar se desintegra la partícula?
6. Un electrón de 10 MeV, se mueve en el eje de un tubo de vacío, el cual tiene una longitud de 1.5
m respecto de un observador en el laboratorio, donde el tubo está en reposo. ¿Qué longitud de tubo mediría un observador que se encuentra en reposo respecto al electrón?
7. Dos naves espaciales tienen cada una, una longitud propia de 100 m y se desplazan en sentidos
opuestos, cruzándose en vuelo. El astronauta que va en la nariz de una nave mide el tiempo que la otra nave tarda en pasarlo, y encuentra que dicho tiempo es 2.5 10-6 seg. ¿Cuál es la velocidad relativa de las naves?, Cuál sería el intervalo de tiempo medido en la primera nave si se registran los instantes en que la nariz de la segunda nave pasa frente a la nariz y a la cola de la primera?
8. Una partícula que se mueve con velocidad 0.8c, en el laboratorio decae después de recorrer 3
metros. ¿Cuánto tiempo dura la partícula para un observador que se mueve con ella. 9. Si el intervalo entre dos eventos es positivo en un sistema de referencia inercial. ¿Cuál es la
velocidad a la que debería moverse un observador inercial para que este intervalo sea negativo?
42
10. Una estación de radar situada en Tierra observa una nave espacial A, que viaja a la velocidad de 0.8c, perseguida por una segunda nave B, situada a 10000 m de la primera, y que se desplaza a la velocidad de 0.98c. ¿Cuánto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A según el reloj de B? ¿Según la estación de radar?
11. Dos naves espaciales de igual longitud en reposo 100m viajan en direcciones opuestas con
velocidad relativa v=0.6c. La nave I tiene un cañón láser en su cola y pretende dispararlo el momento que su proa está alineada con la cola de la nave II. Puesto que la nave II está contraída se esperaría que el disparo falle. Para un observador en la nave II, la nave I es la que está contraída por lo que dicho observador esperaría un inminente ataque certero. Analice lo que realmente sucede.
DINAMICA RELATIVISTA
Los principios de conservación vienen a ser los pilares fundamentales de la mecánica, entre
ellos, el principio de conservación de cantidad de movimiento.
Si se asume la definición común de la cantidad de movimiento, es decir, υrr
omp = . Se puede
probar que NO SE SATISFACE la ley de conservación de la cantidad de movimiento al
utilizarse las transformaciones de Lorentz entre dos SRI, y por tanto la mecánica no sería
invariante respecto de estas transformaciones. Si asumimos que hay un principio de
relatividad para la mecánica, debemos cambiar la definición de la cantidad de movimiento y
mantener la conservación de esta ley.
Analicemos primeramente la colisión elástica entre dos partículas idénticas y veamos que
con la definición antigua de la cantidad de movimiento, no se conserva dicha ley.
Consideremos al sistema S´ como el sistema centro de masa, donde las partículas inciden
una sobre la otra a una misma velocidad pero en sentidos opuestos, como se muestra en la
figura:
Figura. Esquema de una colisión elástica entre dos partículas idénticas
despuesantes pp ´´ rr=
( ) ( )despuesantes pppp 2121 ´´´´ rrrr+=+
( ) ( )( ) ( )
despuesyyantesyy
despuesxxantesxx
pppp
pppp
2121
2121
´´´´
´´´´
+=+
+=+
43
Si se mantiene la definición: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
yoy
xox
mpmp
11
11
´´´´υυ
observamos que se conserva la cantidad de
movimiento para el sistema S´. Ahora, si se considera, la misma colisión vista por el sistema
S el cual se mueven con respecto de S´ con velocidad ( )1´xυυ = hacia la izquierda, como se
representa en la figura.
Las componentes de velocidad x se transforman por tanto como:
Antes:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
´1
´2´1
1´2´2
01´
1´1
1´1´1
cc
c
x
x
x
xxx
xx
xxx
υυ
υυυ
υ
υυ
υυυ
+=
+
+=
=−+
+−=
Después:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
´1
´2´1
1´2´2
01´
1´1
1´1´1
cc
c
x
x
x
xxx
xx
xxx
υυ
υυυ
υ
υυ
υυυ
+=
+
+=
=−+
+−=
Para la componente “y” de velocidad
Antes ( )( )
2
2
´
´1
11´1
2
2
cx
cyy
x
υ
υυ
υ
−
−−=
( )( )
2
2
´
´1
12´2
2
2
cx
cyy
x
υ
υυ
υ
+
−=
Después: ( )( )
2
2
´
´1
11´1
2
2
cx
cyy
x
υ
υυ
υ
−
−=
44
( )( )
2
2
´
´1
12´2
2
2
cx
cyy
x
υ
υυ
υ
+
−−=
Figura. Colisión vista desde el sistema S.
Si utilizamos la misma definición de pr para su componente en la coordenada y.
( ) ( ) ( ) ( )2121 yoyoyoyo mmmm υυυυ −≠+−
¡No se satisface la ley de conservación de pr ! ¿Qué sucede?
Se debe, por tanto, cambiar la definición de pr para hacerle a la mecánica invariante bajo
las transformaciones de Lorentz, como lo requiere el postulado 1 de la relatividad especial.
La nueva definición deberá ser tal que para c<<υ se mantenga la definición anterior
υrr
omp = .
El problema parece que radica en el hecho de que yυ no permanece invariante bajo una
transformación de Lorentz. Busquemos una magnitud parecida que sí permanezca
invariante.
ty
y ΔΔ
=υ yΔ permanece invariante, pero tΔ no!!
Note que si en lugar de tΔ utilizamos el intervalo de tiempo propio, “que es un invariante
relativista”, definiríamos una magnitud invariante:
221
1
c
yt
tyy
υυ
ττ −=
ΔΔ
⋅ΔΔ
=ΔΔ
.
Por tanto una magnitud que es una invariante relativista sería 2
21 cυ
υ−
r
y que posiblemente
me garantizaría la conservación de la cantidad de movimiento.
Así, proponemos la nueva definición de la cantidad de movimiento pr como:
45
221 c
ompυ
υ−
=r
r
(En este caso y con esta definición) se conserva la cantidad de movimiento en el análisis de
colisión y transformaciones anterior.
El cambio hecho en la definición de la cantidad de movimiento, lleva a la revisión de las
otras magnitudes dinámicas de importancia en la mecánica. Así,
Ley de la fuerza
dtdmdt
dmF
mdtd
dtpdF
c
o
c
o
υ
υ
υ
υ
υ
r
r
r
rrr
+−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−==
22
22
1
1
221 c
omm
υ−=
Energía cinética
Es el trabajo realizado por una fuerza externa para aumentar la velocidad de la partícula
desde 0 a υ .
∫=
=
⋅==υυ
υ 0
ldFWEk
rr
(por facilidad consideremos el caso de una dimensión)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫∫∫ +=+===== dmdmdmmdmddtdxmddxm
dtdFdxEk
2υυυυυυυυυυ
tomando la relación: 2
21 c
omm
υ−=
( )221
22
c
omm
υ−= → 2
2
222
omc
mm =−υ
222222 cmmcm o=− υ
Diferenciando:
( )
υυυ
υυυ
υυυ
dmdmcdmdmmdmmdmcdmmdmmdmc
+=⋅
=−−
=+−
22
222
222
02220222
Entonces:
46
( )
ok
c
ok
o
m
mk
EEE
cmE
mmcdmcdmcEo
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−=
−=== ∫∫
11
12
2
2
22
0
2
υ
υ
Entonces:
→ La Energía total de una partícula es: 2
21
2
c
ocmE
υ−=
→ y su Energía de reposo: 2cmE oo =
Equivalencia masa-energía
Para demostrar esta equivalencia se analiza la colisión totalmente inelástica entre dos
partículas idénticas en el sistema centro de masa; después del choque solo queda una
partícula, diferente a las incidentes.
Figura. Colisión que muestra la equivalencia masa energía
2
2
2´1
´2´1
´
cuu
cu
uuB
+=
+
+=
υυ
En el sistema S: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=
−=
2
2
2
2
2
2 1
1
1 cu
cu
o
cu
oB
B
B
B
mm
m
47
Desarrollar: ( )2´
´
22
22
2
2
1
411
cu
cu
cuB
+−=− y demostrar que:
( )( )2
2
22
2
2
´
´
11
1c
uc
u
cuB
+−
=−
En S (conservación de pr )
despuesantes pp rr=
( )( ) ( ) 2
22
22
2
22
22
22
´´´
´
1´
1´2
11
10
1
cu
o
cu
cu
cu
o
c
o
cu
Bo
uMum
MumB
−=
+⋅
−+
−=+
− υ
υ
2
2´12
cu
oo
mM−
= oo mM 2≠
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−=− 1
1122
22´
cu
ooo mmM
En el sistema S´. Antes de la colisión los cuerpos tenían una energía cinética
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−==+ 1
1122
22´
2
cu
okBkA cmkEE
Veamos algunas relaciones de importancia en dinámica relativista:
De la ecuación para la energía total de una partícula: 2
21
2
c
ocmE
υ−= y de la identidad
22
22
22
22
22
22
22
22
11
11
1111
11
c
c
cc
c
cc
cυ
υ
υυ
υ
υυ
υ
−+=
−⇒
−−
−==
−−
operando: 2
22
2
22
22 11
11
2224242
422
c
oo
c
co
c
o cmcmcm
cmE
υυ
υ
υ
υ−
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+=
−=
Se encuentra: 22422 cpcmE o +=
Adicionalmente,
( ) 2
2
2
2
22
22
22 111 c
cmc
cmmp
c
o
c
o
c
o
υυυ
υυυ−
=−
=−
=rrr
r
2cEp υr
r=
( ) ( )dtdm
dtdmm
dtdp
dtdF υυυ
rr
rrr+===
48
Como: 2
2
cEm
mcE
=
=
( )dt
dEc
EEdtd
cdtdE
cdtdm k
ok 222
111=+==
( )
( )2
2
cF
mmFa
cF
dtdmF
FdtldF
dtdEk
υυ
υυυ
υ
rrrrr
rrr
rr
rrr
r
⋅−=
⋅+=
⋅=⋅=
Para el caso particular de una partícula cargada moviéndose en un campo magnético, el
segundo término se elimina y la masa involucrada en la expresión restante es la relativista.
Note que las componentes de cantidad de movimiento y energía total las podemos escribir
como:
τ
τ
τ
τ
ddtm
cE
ddzmp
ddymp
ddxmp
o
oz
oy
ox
=
=
=
=
2
22
22
2
1´
´
´
1´
c
x
zz
yy
c
cxx
pEE
pp
pp
Epp
υ
υ
υ
υ−
−=
=
=
−
−=
Puesto que la masa propia y el intervalo de tiempo propio son invariantes relativistas, vemos
que las componentes de la cantidad de movimiento y la energía se transforman de igual
manera que dx, dy, dz y dt.
Si notamos ( )zyxctx ,,,=μ y ( )zyx pppcEp ,,,/=μ , decimos que éstos son cuadri-
vectores contra-variantes en el espacio-tiempo y, en general, cualquier conjunto de cuatro
números que se transformen de igual manera de un sistema de referencia a otro, será un
cuadri-vector4.
Una notación útil y simple para los cuadri-vectores es:
( )rctx r,=ν y ( )pcEp r,/=δ , en general, cualquier cuadri-vector contravariante se puede
escribir como:
( )AAAr
,0=ν
4 Ver por ejemplo, Landau-Lifshitz, Curso Abreviado de Física Teórica, Ed. MIR.
49
Se define el cuadri-vector covariante correspondiente, mediante el tensor métrico μνη ,
como: ν
μνμ η AA =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
1000010000100001
μνη
El producto entre un cuadri-vector contra-variante y otro covariante es una escalar
(invariante relativista)
BABABArr
⋅−= 00νν
Ejercicio. Hallar: μμ pp
Ejercicios
1. Un electrón con energía cinética de 0.5 MeV se desplaza perpendicularmente a un campo magnético B en una trayectoria circular de radio 2cm. Hallar B? Si se habla de masa efectiva,
hallar om
m?
2. El campo magnético generado en el sistema solar es 2x10-19T. Encontrar R para un protón de 1 GeV.
3. Un mesón π+ (273me) en reposo decae en un neutrino ν (mν=0) y un μ+ (207me) encontrar: Ekν y
Eku. 4. Escriba las ecuaciones de transformación de la energía y cantidad de movimiento desde un sistema
inercial a otro que se mueve con relación al primero a una velocidad constante v. 5. Una partícula con masa en reposo mo y energía cinética 3 moc2 choca con una partícula
estacionaria de masa en reposo igual a 2mo. Como resultado de la colisión tan solo una partícula emerge. ¿Cuál es la velocidad y la masa en reposo de partícula saliente?
6. Un protón de energía de 400 MeV describe una orbita de 50 cm en presencia de un campo
magnético. Calcular el valor de dicho campo magnético. (mpc2 = 939 MeV) 7. ¿Cuál es la masa relativista de un electrón si se mueve con una diferencia de potencial que lo
acelera, de acuerdo con la física clásica, a la velocidad de la luz? 8. Supongamos que los electrones en un campo magnético uniforme de 0.03 T se mueven en un
circulo de radio 0.2 m ¿A qué velocidad y con qué energía cinética se mueven los electrones? 9. Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón a) desde el reposo a 0.8c b) y desde 0.980c a
0.999c 10. Una partícula con masa en reposo mo que se mueve con velocidad 0.6c, choca con otra partícula
idéntica a ella pero en reposo. Como resultado de la colisión se observa tan solo una partícula saliente. ¿Cuál es la masa en reposo y la velocidad de esta partícula resultante?
50
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA
Se estudian los experimentos que dieron lugar al nacimiento de la física cuántica. El objetivo
es mostrar que la luz, una onda electromagnética, se comporta como un haz de partículas
con energía y cantidad de movimiento determinadas. Su comportamiento ondulatorio esta
relacionado a su propagación; mientras que su comportamiento corpuscular a procesos de
emisión y absorción. Adicionalmente, introducimos el comportamiento ondulatorio de las
partículas, mediante el postulado de de Broglie, su verificación experimental en la difracción
de electrones y una consecuencia fundamental de este comportamiento: “el principio de
indeterminación de Heisenberg”.
Radiación del cuerpo negro
Conceptos básicos
Radiación térmica: Radiación electromagnética emitida por un cuerpo como consecuencia
de su temperatura, T.
Figura. Radiación térmica
Equilibrio térmico
Figura. Equilibrio Térmico
Se define:
• La radiancia espectral, RT(ν), tal que: RT(ν)dν representa la energía emitida como
radiación térmica con frecuencia entre ν y ν+dν por unidad de área de su superficie a
temperatura T y por unidad de tiempo.
• La Capacidad de absorción, aT(ν) como: la razón entre el flujo de energía radiante
absorbida y el flujo de energía radiante incidente, ambas con frecuencia entre ν y ν+dν.
Ley de Kirchhoff:
En equilibrio térmico, la razón entre la radiancia espectral y la capacidad de absorción es
una función universal que no depende de la naturaleza del material, es decir,
51
( )( )
( )( )
( )( ) ( )Tf
aR
aR
aR
T
T
T
T
T
T ,321
ννν
νν
νν
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
),( Tf ν es la función universal dependiente tan solo de la frecuencia y la temperatura.
Figura. Varios sistemas de diferente naturaleza, en equilibrio térmico
Se define como Cuerpo Negro a aquellos materiales que tienen su capacidad de absorción
igual a 1 (UNO):
( ) ( ) ( )TfRa TT ,1 ννν =⇒=
¡¡¡¡Note que el espectro de radiación de un cuerpo negro es una función universal!!!!
Si se integra la radiancia espectral en todo el rango de frecuencia se tiene la
Radiancia total: ( )∫∞
=0
νν dRR TT
Sin conocer aún la forma5 de la radiancia espectral, ya se conocía que la radiancia total era
proporcional a la cuarta potencia de la temperatura.
Ley de Stefan: 42 º
8
4
1067.5 KmW
T
x
TR−=
⋅=
σ
σ σ→ Constante de Stefan-Boltzman
Ley de desplazamiento de Wien: Existe una relación lineal entre el valor de frecuencia
(donde la radiancia espectral alcanza su máximo) y la temperatura.
T∝maxν
Figura. Radiancia espectrales a diferentes temperaturas
5 Wien había propuesto )/()( 3 TFRT ννν = , siendo F una función a determinar.
52
Si la radiancia espectral se la escribe en función de la longitud de onda
λν c=
λλ
ν dcd 2−=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
λνλ
λλλλ
λλνν
λ
λ
cRR
dRdcR
dRdR
cTT
Tc
T
TT
==
=
=
En este caso la ley de Wien (expresión más conocida)6 se escribe como:
KmxcteT º109.2 3max
−==λ
Modelización. Un cuerpo negro se lo puede representar como una cavidad con un pequeño
orificio y paredes a temperatura T.
Figura. Simulador de cuerpo negro
Se define la densidad de energía de la radiación como: la energía de la radiación térmica
con frecuencia entre ν, ν+dν por unidad de volumen ( ) ννρ dT . Ésta esta relacionada con la
radiancia espectral mediante:
( ) ( ) ννρνν dcdR TT 4= siendo c→ velocidad de la luz
Figura. Ondas EM estacionarias dentro de la cavidad
6 Note que el valor de frecuencia máxima no coincide con el de la longitud de onda máxima.
53
La radiación térmica dentro de la cavidad la podemos describir como ondas estacionarias
con número de onda λπ2
=k
Las componentes del campo eléctrico (de las ondas estacionarias) tienen la forma:
tsenzsenkysenkxkEE zyxox ω⋅⋅⋅⋅= cos
tsenzsenkykxsenkEE zyxoy ω⋅⋅⋅⋅= cos
tsenzkysenkxsenkEE zyxoz ω⋅⋅⋅⋅= cos
Y debido a que los campos de las ondas se anulan en las paredes de la cavidad (condición
de frontera). Se tiene que:
πxx nak = ; πyy nak = πzz nak = Ζ∈zyx nnn ,,
De esta manera, el vector de onda no toma cualquier valor sino solo aquellos impuestos por
las condiciones de frontera, y se puede calcular cual es el número de onda estacionarias por
intervalo de frecuencia en la cavidad. Si representamos los valores permitidos de kr
como
puntos en un espacio ficticio nx, ny, nz, como se muestra en figura. Entonces cada punto,
formado por tres números enteros en este espacio, representa un posible valor del vector de
onda kr
.
Figura. Número de ondas estacionarias
Uno de estos puntos en dicho espacio está asociado a un volumen unitario. De manera que
un volumen determinado define el número de posibles valores del vector de onda.
Para un octavo (el octante donde nx, ny, nz toman valores positivos) del volumen de un
cascarón esférico con radio entre n y n + dn, el número de valores del vector de onda será:
( ) ndVdnnN812 ⋅=
Introducimos adicionalmente un valor 2 por el hecho de que para cada valor de vector de
onda puede haber dos polarizaciones independientes de la onda electromagnética.
54
( ) 2
22222222
πakkknnnn zyxzyx ++=++=
2
222
πakn =
νπ
νππ
dc
dk
ck
adkdn
2
2
=
=
=
El número de ondas electromagnéticas con k entre k y k +dk será:
( ) dnndnndkkN 22441 ππ =⋅=
( ) ( ) dkakdkaakdnnNdkkN 2
32
2
22
ππππ
===
( ) ( ) νππνπνν d
ca
cdN 22
2
32
2
2
=
( ) ( ) ννπ
πνν dac
dN 22
3
3
32=
( ) νπννν dc
VdN 3
28=
Dividiendo para el volumen se obtiene la densidad de ondas estacionarias en el intervalo de
frecuencia, y multiplicando por la energía media, se obtiene la densidad de energía de la
radiación.
( ) ( ) εννννρ ⋅=V
dNdT
ε → energía media de las ondas estacionarias.
Figura. Radiancias espectrales: teoría de Rayleigh-Jeans y experimental
55
Inicialmente se consideró:
TkB=ε kB → constante de Boltzman.
kB = 1.38x10-23 J/ºk = 8.617x10-5 eV/ºk
Obtenido como el valor medio de la energía de un “gas clásico de ondas estacionarias”
( )( )
TkdP
dPB==
∫∫
εε
εεεε
donde ε toma cualquier valor y TkBAeP /)( εε −= (es la distribución de Boltzmann en
energía, es decir, εε dP )( representa la probabilidad de que la partícula, en este caso la
onda estacionaria, tenga un valor de energía en el intervalo entre ε y ε+dε ) De esta manera se obtiene que la radiancia espectral, de acuerdo con el modelo
desarrollado7, diverge cuando la frecuencia aumenta indefinidamente, a lo que se le llamó
“la catástrofe ultravioleta”
Planck consideró que las ondas estacionarias toman solo ciertos valores discretos de energía8, múltiplos enteros de un cierto valor de energía que depende linealmente de la
frecuencia.
,...3,2,,0 εεεε ΔΔΔ= y νενεh=Δ
∝Δ
00
∞→
→
→
→
ν
ν
ε
ε TkB
,...,...,3,2,,0 ννννε nhhhh=
10
0
−=
−
−⋅
=
∑
∑∞
=
∞
=
Tkh
n
Tknh
n
Tknh
BB
B
ee
eh
nh
νν
ν
νν
ε
( )1
83
2
−=
TkhT
Bedh
cd
ν
ννπνννρ
Esta curva teórica se ajusta a los datos experimentales para el valor sJxh ⋅= −341062.6 ,
como se muestra en la figura.
7 Llamada también la ley de Rayleigh Jeans 8 En realidad su argumento se basaba en el comportamiento de la entropía de un sistema de osciladores.
56
Figura. Radiancias espectrales: teoría de Planck y datos experimentales
La radiancia espectral será entonces:
( )1
22
3
−=
TkhT
Bed
chdR
ν
νπννν
Al integrar esta expresión se obtiene la ley de Stefan.
Note que la radiancia espectral en función de la longitud de onda esta dada por la siguiente
expresión:
( )1
25
2
−=
TkhcT
BedhcdRλ
λλπλλ
El problema del espectro de radiación de cuerpo negro se resuelve entonces considerando
que la emisión de dicha radiación esta cuantizada, es decir se emite y absorbe como
paquetes de energía de valor νh . Aunque en un principio Planck lo consideró como un
artificio matemático, esta es la forma como se comporta la naturaleza y este problema
resuelto se lo considera el nacimiento mismo de la teoría cuántica.
Ejercicios.
1. Encuentre el valor de la constante de Stefan-Boltzmann utilizando:
151
4
0
3 π=
−∫∞
xedxx
2. ¿Cómo resolvió Planck el problema de la catástrofe ultravioleta en la modelización teórica del cuerpo negro?
3. En una explosión temo-nuclear, la temperatura de la bola de fuego es momentáneamente 107 ºK.
Encuentre la longitud de onda máxima del espectro de radiación.
4. Encuentre que ( ) ( ) ννρνν dcdR TT 4=
57
5. Derive la ley de desplazamiento de Wien. Mediante un cálculo numérico, halle el valor de la constante, tanto para el espectro en frecuencia como en longitud de onda. Note que al valor de frecuencia del máximo no le corresponde la longitud de onda del máximo.
6. Un péndulo de una masa 1 kg, suspendida en una cuerda de masa despreciable y longitud 1 m,
ejecuta oscilaciones armónicas. Si por fricción la energía del péndulo se va reduciendo lentamente ¿cuál es el decrecimiento mínimo que puede sufrir el péndulo en su energía? Compárese con el valor máximo de se energía potencial si el ángulo máximo que forma el péndulo es 10°.
Efecto fotoeléctrico
Se llama efecto foto-eléctrico a la emisión de electrones desde la superficie de un material
por la incidencia de la luz. Si se usa luz mono-cromática de longitud de onda λ (para la cual
se produce efecto fotoeléctrico), mediante un circuito como el de la figura a continuación, se
mide el potencial de frenado, es decir, “Voltaje al cual la corriente en el circuito se hace cero”
(en polarización inversa).
Figura. Esquema experimental del efecto foto-eléctrico
Hagamos una serie de experimentos con este circuito9.
Experimento 1: Se utiliza tan solo una longitud de onda, y dos diferentes intensidades de
dicha luz.
Figura. Corriente eléctrica en el circuito como función del voltaje (λ fija).
Resultado: Vo ⇒ potencial de frenado (independiente de la intensidad de la luz)
9 Experimentos realizados por Philipp Lenard 1902 y mejorados por Millikan hasta 1915
58
El potencial de frenado esta relacionado a la energía máxima con la que salen los electrones
del material por la incidencia de luz. Así:
eVo=EKmax
Experimento 2: Se utiliza dos longitudes de onda (para las cuales ocurre emisión de
electrones) y una intensidad de luz.
Figura. Corriente eléctrica en el circuito como función del voltaje (varias λ)
Resultado: A mayor frecuencia de la luz incidente mayor el módulo de potencial de frenado.
Si se utiliza varias luces se observa experimentalmente una relación lineal entre la
frecuencia de la luz incidente y el potencial de frenado para un mismo medio.
Figura. Se indica la relación lineal entre el potencial de frenado y la frecuencia de luz para dos
materiales distintos
Qué nos dice la Teoría clásica:
1. 2εr
∝I si aumenta la intensidad de campo eléctrico, εr
, y puesto que εrr
eF = , la
energía cinética de los electrones aumenta. (falso)
2. Debería ocurrir para cualquier frecuencia tomando en cuenta solo la intensidad. (en
realidad hay una frecuencia umbral νo).
3. Si se incide luz de intensidad débil, habrá un tiempo de retardo hasta que el electrón
recoja suficiente energía y salga. (nunca observado)
Einstein 1905: Luz ⇒ paquetes de energía llamados cuantos con E=hν. Entonces el efecto
foto-eléctrico se produce cuando un electrón en el material absorbe completamente un fotón.
Con esa energía ganada, el electrón es capaz de escapar del material, pagando la energía
59
que le tiene ligado al material, y si le sobra energía, el electrón lo usa como energía cinética,
Ek. Si la energía del fotón es menor a la necesaria para sacar el electrón del material, el
electrón no lo absorbe y el efecto foto-eléctrico simplemente no se produce (proceso
umbral).
La conservación de la energía nos dirá:
φν −= hEK max φ → función de trabajo (energía necesaria para que un electrón
escape del material)
φν −= heVo
Esta relación nos muestra la linealidad entre el potencial de frenado y la frecuencia de la luz
incidente, así como la definición de la frecuencia umbral del proceso.
Si φν =⇒= oK hE 0max
Este efecto lo podemos extrapolar al caso atómico,
Figura. Efecto foto-eléctrico atómico.
En este caso atómico, el electrón es sacado del átomo con energía cinética
)(eBhEK −= ν , donde B(e) es la energía de enlace del electrón en el átomo.
Producción de Rayos X
Se hace incidir electrones energéticos sobre un blanco de alto número atómico.
Figura. Tubo de Rayos X. Figura. Espectro de Rayos X
La energía máxima de los fotones será justamente aquella que corresponde al voltaje
conectado entre los bornes del tubo, eVh =maxν
60
Mecanismo: Bremsstrahlung
El electrón (partícula cargada) al ser acelerado o des-acelerado en el campo nuclear, emite
radiación electromagnética en la región de los RX.
Figura. Esquema del mecanismo de generación Bremsstrahlung
Este proceso depende directamente del cuadrado del número atómico del material blanco y
es inversamente proporcional al cuadrado de la masa de la partícula cargada incidente.
Difracción de rayos X (Bragg): Para observar el comportamiento ondulatorio de los Rayos X
se necesita hacerlos interactuar con objetos de dimensiones del orden de la longitud de
onda de la radiación incidente. Así, la condición de difracción es:
≈λ dimensiones del sistema.
Los rayos X incidentes sobre el cristal generan un diagrama de difracción
Figura. Difracción de Bragg
→= λθ nd cos2 genera la condición de interferencia constructiva (pico de difracción: líneas
oscuras en la figura). Esta técnica, difracción de RX, nos permite estudiar la estructura
cristalina de muchos cristales, es decir, la red cristalina donde el átomo o un grupo de
átomos (base) se ordenan periódicamente. Existen 14 redes de Bravais clasificadas en siete
sistemas cristalinos. De hecho, con el espectro de difracción se puede obtener información
no solamente de la red sino también de la base misma.
61
Efecto Compton
Los fotones de luz se dispersan en el material, se observa un cambio en su longitud de onda
de acuerdo con su ángulo de desviación o dispersión.
Figura. Arreglo experimental del efecto Compton. El detector tiene la capacidad de medir no solo los
RX que llegan sino también su longitud de onda
Figura. Resultados experimentales del Efecto Compton.
Resultado: ( )θλ f=Δ , el cambio de la longitud de onda del RX por la dispersión solo
depende del ángulo de dispersión.
Si se considera a la luz (en este caso RX) como un haz de partículas, el efecto Compton no
es más que una colisión entre el fotón de luz y un electrón libre (la energía transferida en
una colisión tipo Compton generalmente es mucho mayor a la energía de enlace del electrón
en el átomo)
Figura. Efecto Compton
62
Si aplicamos las leyes de conservación de energía cantidad de movimiento:
e
k
ppphhErrr
+=−=
γγ
νν´
´
φθ
φθ
γ
γγ
senpsenpppp
e
e
−=
+=
´0coscos´
φθγ senpsenp e=´
( )22
2222
cos´cos
´
θφ
φθ
γγ
γ
ppp
senpsenp
e
e
−=
=
θγγγγ cos´2´ 222 pppppe −+=
koke
oe
EEEcp
EEcp
2222
2222
+=
−=
´´´ ν
ν
γγ
γγ
hEcphEcp==
==
( )( ) ( )θνννν cos11´´
−=−
oEhhhh
( )θλλλ cos1´ −=− c con mch
c =λ
Note que esta expresión muestra que el corrimiento en la longitud de onda por la dispersión
solo depende del ángulo de dispersión como lo muestra el experimento.
Creación de pares
Un fotón es absorbido en el campo de un núcleo atómico produciendo la generación de un
electrón y un positrón.
La conservación de la energía indica:
kNoNkkeoN EEEEcmEh ++++=+ −+22ν
kNkke EEEcmh +++= −+22ν
como: 0→kNE (muy pequeña)
Nee pppp rrrr++= +−γ
→= 22 cmh eoν energía umbral
63
MeVh o 022.1=ν
Producción triple: Es la producción de un par electrón positrón en el campo de un electrón.
kekkee EEEcmcmh +++=+ −+22 3ν
kekke EEEcmh +++= −+22ν
epppp rrrr++= +−γ
24 cmh oo =ν
Aniquilación de pares:
Figura. Aniquilación en vuelo o formando el positronio.
2121 TT EEhh +=+ νν 2122 νν hhcmo +=
21 γγ pppp rrrr+=+ −+
Todos estos efectos nos permiten evidenciar el extraño comportamiento de la luz, este
comportamiento dual. Algunas veces vemos a la luz comportarse como onda y en otras
ocasiones se comporta como una partícula (Principio de complementariedad). Como ya se
mencionó, su comportamiento ondulatorio esta relacionado con su propagación; mientras
que su comportamiento corpuscular con procesos de emisión y absorción. Lo que NO
hemos observado es que la luz se comporte como onda y partícula a la vez.
64
Ejercicios
12. Un milivatio de luz de longitud de onda 4560 A incide sobre una superficie de Cesio. Calcule la corriente de electrones liberada y el mínimo potencial de frenado necesario para anular la corriente. La función de trabajo del Cesio es 1.93 eV. Supóngase un rendimiento cuántico del 0.5%.
13. Demuestre que un electrón libre no puede absorber (completamente) un fotón. 14. Cuando fotones de longitud de onda 0.024 Å inciden sobre un blanco, los fotones dispersados
son detectados a un ángulo de 60°. Calcular la energía del electrón dispersado y el ángulo con el cuál éste es dispersado.
15. Un fotón entra a una cámara de nubes localizada en un campo magnético de 0.03 Teslas para
producir un par electrón positrón. Los radios de las trayectorias curvas perpendiculares al campo magnético del electrón y positrón son 2 y 1.5 cm, respectivamente. ¿Cuál es la energía del fotón incidente en MeV?
16. Un láser de rubí (longitud de onda 6983 Å) produce un pulso de 50 joules a la razón de 96
pulsos/ minuto. ¿Cuántos fotones hay en un solo pulso? 17. En una colisión tipo Compton el electrón y el fotón son dispersados formando un ángulo de 70º
y 30º respectivamente, con la dirección del fotón incidente (se supone que el electrón estaba en reposo antes de la colisión) Hallar la energía del fotón incidente.
18. Utilizando cuadri-vectores, encuentre la energía umbral del proceso producción de pares y
producción triple.
Postulado de De Broglie
Luis de Broglie introdujo la siguiente hipótesis: “Si la radiación tenía ese comportamiento
dual (arriba explicado), también la materia (partículas) podrían tener un comportamiento
dual. Note que dicha hipótesis es posterior al desarrollo de las teorías atómicas.
Luz (fotón ↔ onda de luz que gobierna su movimiento)
Onda Corpúsculo
Materia
(Partícula) (partículas → “ondas de materia”)
(¿Qué es una onda de materia? ¿Qué oscila?)
Corpúsculo Onda (Principio de complementariedad)
Partículas → las describimos mediante magnitudes dinámicas: pE r,
Ondas → las describimos mediante magnitudes ondulatorias: kr
,,λν
De Broglie postuló las relaciones entre magnitudes dinámicas y ondulatorias:
→= νhE energía total de la partícula (relación de Einstein)
65
λhp = (relación de de Broglie)
Ejemplo 1:
Bala: mgm
sm
346210.610001 −=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
λυ
∗ En este ejemplo es imposible observar la naturaleza ondulatoria puesto que para ello se
requeriría interaccionar con sistemas de dimensiones λ≈a
Ejemplo 2:
Electrón: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
== −
eVEKgxm
k 100101.9 31
m10102.1 −=λ
*Para este ejemplo se podría ver el comportamiento ondulatorio: ¡difracción de electrones en cristales!
En efecto se puede realizar difracción de electrones en cristales. Esto fue hecho por
Davisson y Germer poco antes de que de Broglie lanzase su hipótesis. Posteriormente se han
realizado experimentos de difracción con neutrones y otras partículas.
Figura. Difracción de electrones
¡Así se comporta la naturaleza! ¡Es un principio fundamental en la naturaleza! y se lo
conoce como “principio de complementariedad”
Se analiza mejor este comportamiento mediante el siguiente experimento:
Comportamiento Cuántico (experimento de las dos rejillas)
Experimento con Ondas
66
2112 III +≠ 2121212
2112 22 IIIIIIhhI +++=+=
222
211 hIhI ==
Experimento con balas
2112 PPP +=
Experimento con electrones (son detectados en paquetes)
2112 ppp +≠
¿Cómo se explica? ¿Con trayectorias rarísimas? ¡NO!
• Incidiendo con electrones, e-, uno a la vez. Se observa el mismo patrón de interferencia.
• Espiando a los electrones. ¿Qué pasa si nos inventamos algún mecanismo para poder
inferir por qué agujero pasó el electrón? El momento que dicho mecanismo me permite
conocer por cuál agujero paso el electrón, el diagrama de interferencia se pierde y se
tiene un diagrama como el de balas; si dicho mecanismo pierde la capacidad de conocer
por que agujero pasó el electrón, el diagrama de interferencia se recupera10.
• Note que al tratar de visualizar lo que se conoce o se denomina onda de materia se tiene
un gran problema ¿Qué es lo que ondula u oscila?
• La matemática de las ondas puede aplicarse para describir el comportamiento
ondulatorio de las partículas.
10 Wolfgang Ketterle et.al.,Scientific American, 1996
67
• Aunque inicialmente este experimento fue solo pensado, varios experimentos han sido
llevados a cabo11 12 13 14con neutrones, átomos y moléculas tan grandes como el de
fullerenos C60, en los cuales se ha observado este comportamiento cuántico.
Paquetes de onda
El mismo hecho de describir a la partícula como “onda” hace que ésta pierda algunos
aspectos de ser localizado.
Una partícula generalmente se la representa por un paquete de ondas que forman una
envolvente que se propaga a una velocidad diferente de la de sus componentes.
Consideremos dos ondas:
( )xktA 111 cos −= ωψ ωωω =≈ 21
( )xktA 222 cos −= ωψ kkk =≈ 21
Superponiendo las dos ondas:
21 ψψψ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= xkktAR 22cos 2121 ωω
ψ
Donde: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= xkk
tAAR 22cos2 2121 ωω
Figura. Paquetes de onda
Cada componente se propaga con su velocidad de fase.
υυνλωυ
22 cmmc
pE
ph
hE
kph ======
11 K. Eder, M. Gruber, A. Zeilinger, R. Gähler, W. Mampe, Physica B 172 (1991) 329 12 U Eichmann et.al. Phys. Rev. Letters, 70, 2359 13 O. Carnal & J. Mlynek 1991 Phys. Rev. Letter, 66, 2689 14 M. Arndt, y col., IQEC 2000, Conference Digest, Nice (2000) 115
68
Sin embargo el paquete se mueve con “velocidad de grupo”
⇒==dpdE
dkd
gωυ ¡¡pero ésta es la velocidad de la partícula!!
Según de Broglie y Einstein
El hecho de que la luz se comporta de manera dual nos permite considerar la siguiente
interpretación: Si el movimiento de los fotones está regido por la propagación de la onda
electromagnética al pasar por los dos agujeros, las zonas claras en el espectro de
interferencia observado son aquellas en las que los fotones tienen mayor probabilidad de
llegada (o mayor intensidad de luz). Si asociamos una onda de materia al movimiento de las
partículas (electrones) para su propagación, la intensidad (amplitud al cuadrado) de esa
onda de materia se podría representar también como una probabilidad de encontrar a los
electrones en un lugar o zona determinada del detector.
Principio de incertidumbre
Del mismo hecho que las partículas tienen comportamiento ondulatorio.
Figura. Paquete de onda
El paquete15 que representa a la partícula tiene dimensiones del orden de la incertidumbre
en la posición de la partícula.
( )dphd
dkd
gνωυ ==
tx
ph
g ΔΔ
=ΔΔ
=νυ
thpx ΔΔ=ΔΔ ν
15 Cualquier función puede representarse como: ∫ −⋅= ωωψ ω dkdekAtr trki 3)(),(),(
rrrr
69
Si se va a medir la frecuencia de una onda, el menor tiempo de medición será el tiempo
requerido para medir “al menos” un período de oscilación (o el paso de una longitud de onda
completa por un punto de referencia)
Así: 1
1
≥ΔΔΔ
≥Δ
νν
t
t por tanto, htEhpx
≥ΔΔ≥ΔΔ
NOTE que éste NO es un límite de precisión instrumental sino “fundamental”. Debido al valor pequeño de h, esta incertidumbre no es relevante en el mundo
macroscópico.
Ejemplo
La velocidad de una bala (30g) y la velocidad de un electrón se miden y resultan igual a
1000 m/s con una incertidumbre del 0.01%. ¿Cuál será la exactitud fundamental con que se
podrá determinar la posición de cada partícula, si la posición y la velocidad se miden
simultáneamente.
a) Para la bala:
smkgsmkgmp /30/100003.0 =⋅== υ
smkgsmkgmp /103/300001.0 3−⋅=⋅=Δ=Δ υ
mp
x 3210757.12
−⋅≈Δ
≥Δh
b) Para el electrón:
smkgsmkgmp /101.9/1000101.9 2831 −− ⋅=⋅⋅== υ
puesto que la velocidad es no relativista,
smkgsmkgmp /101.9/101.90001.0 3228 −− ⋅=⋅⋅=Δ=Δ υ
mp
x 4108.52
−⋅≈Δ
≥Δh
Microscopio de Heisenberg.
Trata de medir la posición del electrón mediante su hipotética observación. Para ello se lo
ilumina con un fotón cuya dispersión permitirá dicha observación pero al mismo tiempo le
transferirá una cantidad de movimiento que llevará a la indeterminación de la posición del
electrón por el hecho de tratar de medirlo. Sin embargo el principio de incertidumbre es más
fundamental.
70
Figura. Esquema del microscopio de Heisenberg
Se quiere medir la posición y el momento de un electrón. El poder de resolución del
microscopio es:
θλ
senx
2≈Δ
(distancia mínima en que podemos decir que dos objetos están separados). Note que
mientras más pequeña es λ menor será xΔ ; pero menor λ indica que el fotón incidente será
más energético.
Para ver al electrón el fotón debe entrar con un ángulo dentro de 2θ el fotón tiene una
incertidumbre en su momento (componente x).
θpsenpx 2≈Δ varía en ( )θθ psenpsen ,−
De acuerdo con la conservación de la cantidad de movimiento, la ecuación anterior también
da la mínima incertidumbre del electrón en retroceso.
Por tanto, ( ) hhpsen
psenpx ===≥ΔΔ λλ
λθ
λθ2
2
Un desarrollo más formal de la teoría ondulatoria muestra a las relaciones de incertidumbre
como: 2h
≥ΔΔ xpx
El hecho de observar perturba el sistema, pero ¿existe el sistema si no se le observa? ¿Existe la luna si no la miramos?
71
Ejemplo 1
Se hace una medida de la coordenada y de un electrón que pertenece a un haz que se mueven en la dirección x, haciéndolo pasar por una rendija angosta de tamaño yΔ . Demuestre que como resultado se introduce una indeterminación ypΔ . Efectúe el cálculo considerando el comportamiento ondulatorio.
yynsen
Δ=
Δ=
λλθ ; 1=n
yy pp ≈Δ
yppsenpy Δ
==λθ
hhpypy ===Δ⋅Δλλλ
Ejemplo 2
Un haz de láser de radio a con λ se emite horizontalmente. A una distancia R se ubica una pantalla. Determine el radio más pequeño de la mancha de luz que se genera en al pantalla.
2
2h
h
≈⋅Δ
≥Δ⋅Δ
ap
yp
y
y
Rdp
p
dp
Rp
xy
yx
=Δ
Δ=
72
2h
≈R
dpa x
λh
Ra
d2h
≈
aRdπλ
4≈
Ejemplo 3
Una bala de rifle de 30g tarda 0.5s en alcanzar el blanco, considerando a la bala como punto material y despreciando cualquier otro efecto. Encontrar el orden de magnitud del área de los sucesivos impactos alrededor del blanco, en condiciones óptimas de puntería.
2h
≥Δ⋅Δ ypy
xy px
py=
ΔΔ
xyp
p xy
Δ=Δ
( )2
2 h≥Δy
xpx
( )xp
xy2
2 h≥Δ
( )mt
mx
mxy
tx
x 2222 hhh
==≥Δυ
( ) 2342 108.82
mmty −⋅=≥Δh
Ejemplo 4
La medida del ancho de una línea espectral de o
x A104 3=λ es oA10 2− . Cual es el tiempo
promedio durante el cual es sistema atómico permanece en el correspondiente estado excitado.
2h
≥ΔΔ tE
2λλ
λΔ
−=Δ→= hcEhcE
73
shcE
t 92
104.422
−⋅=Δ
=Δ
≥Δλ
λhh
Ejemplo 5
Estimar el radio y la energía mínima que debe poseer un electrón en el átomo de hidrógeno, usando el principio de incertidumbre.
( )rVmpE +=
2 ( )
rkerV
2
−= (potencial de Coulomb)
pprr
≈Δ≈Δ
rp
rp
rp
2
2
2
h
h
h
≈
≈⋅
≥ΔΔ
rke
mrE
2
2
2
8−=
h
0min
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
rdrdE 2
222
4
2242
min4
816
hh
h meekm
mkeE −=
2
2
3
2
40
rke
mr+−=
h 2
24
min2h
mkeE −=
3
2
2
2
4mrrke h
=
m
rke4
22 h=
mker 2
2
min 4h
=
Ejemplo 6
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x (no relativista) tiene una incertidumbre en su posición igual a su longitud de onda de De´Broglie. Encuentre el porcentaje de incertidumbre en su velocidad.
phx ==Δ λ
2h
≥ΔΔ xpx
2h
≥ΔΔ xm xυ
mhp
x 2h
≥Δυ
74
10041100
2
×=×Δ
≥Δ
πυυ
υυ
x
x
x mhmh
Ejemplo 7
Un haz de electrones de 1eV inciden sobre una rendija de 10-3 cm. Calcule la anchura del máximo (x) de difracción a una distancia D=5m.
ap
ypy
2
2h
h
≈Δ
≥ΔΔ
θ
θ
θ
senmEa
senmEp
psenp
⋅=
⋅=Δ
=Δ
22
2h
mEsen
22h
=θ
De esta ecuación encontramos θ y de allí,
xD =⋅ θtan Si conocemos que θ es pequeño entonces: θθ tan=sen
Condición de primer mínimo de difracción: a
sen λθ =
Además Dx
=θtan
Por tanto, aD
x λ=
aDx λ
=
Ejercicios 1. A qué voltaje se deben acelerar los electrones (en un microscopio electrónico) si se desea resolver
un virus de diámetro 12 nm? un átomo de 1.2 A y un protón de 1.2 fm? 2. ¿Cuál es la energía de un electrón que para, bajo condiciones de irradiación similares, su primer
máximo de difracción de Bragg sobre un cristal coincida con aquel primer máximo producido por un haz de fotones de 40 KeV?
75
3. Consulte en el modelo atómico de Bohr, las órbitas de dicho modelo. Demuestre que su perímetro es un número entero veces la longitud de onda asociada al electrón en el modelo.
4. Mediante la relación de incertidumbre, calcule la energía cinética mínima que tendría un electrón
encerrado en: a) en un átomo de dimensión 0.1nm b) un núcleo atómico de dimensiones 10-14 m. 5. ¿Cuál es la vida media aproximada del estado atómico excitado cuya longitud de onda de emisión
es 5000 A si se la conoce ésta con una precisión de 10-6. 6. Un electrón energía cinética igual a 600 keV, al ingresar a una región con campo magnético
perpendicular a su movimiento, describe una trayectoria circular de radio 60 cm. Calcular: (a) el campo magnético donde se encuentra sumergido el electrón. (b) el momento dipolar magnético orbital que produce electrón.
7. Un electrón con longitud de onda asociada de 0.024 A se mueve en la dirección del eje Y
respecto de un observador inercial. ¿Qué valor longitud de onda asociada para este electrón, medirá un segundo observador moviéndose con relación al primero a velocidad 0.8c y en la dirección X?
8. Un núcleo atómico emite un rayo gamma de 1 MeV al producirse una transición de un estado de
1.2 ns. ¿Cuál es la indeterminación del rayo gamma? 9. Se hace un aparato para preparar un haz atómico calentando un conjunto de átomos a una
temperatura T y permitiendo que el átomo salga por un agujero de diámetro d por un costado del horno. Al salir el haz viaja entonces en una trayectoria recta de longitud L. Demostrar que el diámetro del haz al final de la trayectoria es mayor que d. Estime el orden de magnitud de esta cantidad.
10. ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie asociada a un electrón con energía cinética de 0.511
MeV? 11. Una red de difracción óptica se usa para mostrar la difracción de los electrones. Para ángulos de
incidencia rasantes, o sea para θ muy pequeños. Muestre que ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= αθαλ
2
2
dn n=1, 2, 3,
(Ayuda: encuentre la diferencia de camino óptico recorrido para dos agujeros adyacentes)
12. Un niño sobre una escalera de altura H, deja caer canicas de masa m al piso, tratando de pegarle a
una fisura en el piso, para apuntar utiliza un equipo de la más alta precisión. (a) demuestre que las
canicas no caerán en la fisura por una distancia del orden de 4/12/1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
gH
mh
siendo g la
aceleración debida a la gravedad. (b) estime esta distancia.
76
MECANICA CUANTICA (No relativista)
Hasta el momento hemos considerado el comportamiento ondulatorio de la materia en casos
simples. Schrödinger16 propuso una teoría para considerar sistemas más complicados, lo
hizo postulando una ecuación de onda que describe las leyes del movimiento ondulatorio
(no relativista); y su solución describe el comportamiento ondulatorio del sistema.
Figura. Descripción de un sistema mecánico cuántico
La función de onda ( )tr ,rψ → describe el sistema (tiene toda la información de sistema) es
una función compleja.
En el caso más simple podemos considerar al sistema como una partícula sumergida en un
campo de fuerzas (representado por un potencial V). Esto implica que la formulación
ondulatoria debe ser coherente con la conservación de la energía, es decir, pk EEE += .
Para el caso no relativista: ( )rVm
pE +=2
2
donde m es la masa de la partícula.
Debe también ser coherente con las relaciones de de´Broglie y Einstein: λ
λ h= , y ωh=E
respectivamente.
Adicionalmente, debe ser lineal en ( )tr ,rψ , es decir si 21 ,ψψ son soluciones de la
ecuación, 2211 ψψψ cc += debe también es solución.
Note que para un 0== cteV , la fuerza es cero y la ley de movimiento de Newton afirma
que pr y E son constantes (Podemos representar, en este caso, a la función de onda como
una onda plana). Sin tratar de que parezca una deducción, usaremos las relaciones de
de´Broglie en la ecuación de energía ωhh=+V
mk
2
22
Para el caso de V = cte. La partícula es libre y, como se mencionó, puede representarse por
una onda plana propagándose en una dirección determinada, ( )tkxieA ωψ −≈ de manera que
deberíamos proponer una ecuación del tipo:
tV
x ∂∂
=+∂∂ ψβψψα 2
2
16 Paralelamente Heisenberg desarrolló su formulación matricial de la mecánica cuántica.
77
Schrödinger postuló:
tiV
m ∂∂
=+∇−ψψψ h
h 22
2
Que en una sola dimensión se escribe como:
tiV
xm ∂∂
=+∂∂
−ψψψ
hh
2
22
2
La función ),( trrψ es una función compleja que, como otro postulado, al multiplicarse por
su complejo conjugada, define la probabilidad de encontrar a la partícula por unidad de
volumen. Entonces la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de volumen
dxdydzdV = será:
( ) ( ) ( ) dxdydztzyxtzyxtzyxdP ⋅⋅= ∗ ,,,,,,,,, ψψ
∗ψ → es el complejo conjugado de ψ y es solución de t
iVm ∂
∂−=+∇−
∗∗∗ ψψψ h
h 22
2 para
un potencial real.
Esta definición de ψψ ∗ nos lleva a definir la condición de normalización.
1=∫ ∫ ∫ ∗ dV
Vtodo
ψψ
definición que debe ser reconsiderada para el caso de partícula libre (normalización en una caja de volumen V y condiciones periódicas de borde).
Ejercicio. Normalizar la función de Onda de una partícula libre unidimensional.
Note que si ),( trrψ describe al sistema, esta función tiene que ser de buen comportamiento,
es decir, debe ser continua y su primera derivada también debe ser continua. Es una función
de cuadrado integrable, lo que implica que la función de onda y su primera derivada no
deben divergir en su comportamiento asintótico.
Corriente de probabilidad
Consideremos una sola dimensión. (¡Haga este desarrollo para 3 dimensiones!)
tiV
xm ∂∂
=+∂∂
−ψψψ
hh
2
22
2
Ecuación conjugada: t
iVxm ∂
∂=+
∂∂
−∗
∗∗ ψψψ
hh
2
22
2
tiV
xm ∂∂
=+∂∂
− ∗∗∗ ψψψψψψ hh
2
22
2
78
tiV
xm ∂∂
=+∂∂
−∗
∗∗ ψψψψψψ h
h2
22
2
Restándoles,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−∗
∗∗
∗
tti
xxmψψψψψψψψ h
h2
2
2
22
2
( )ψψψψψψ ∗∗
∗
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
txxmi
2
2
2
2
2h
Integrando entre los puntos a y b.
( )∫∫ ∗∗
∗
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂ b
a
b
a
dxt
dxxxm
i ψψψψψψ 2
2
2
2
2h
( )∫∫ ∗∗
∗
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂ b
a
b
a
dxt
dxxxxm
i ψψψψψψ2h
( )∫ ∗∗
∗
∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−
∂∂ b
a
b
a
dxtxxm
i ψψψψψψ2h
Si se define la densidad de corriente (o flujo) de probabilidad como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
−= ∗
xxmiS x
*
2ψψψψh
[ ]baPt
SS ab ,∂∂
−=−
En tres dimensiones
[ ] ∫∫ ∂∂
=⋅∇−∇⋅∇− ∗∗ dVt
dVV
ρψψψψ
∫∫∫ ∂∂
=⋅− dVt
AdS ρrr
→∂∂
=⋅∇− ρt
Sr
ecuación de continuidad
79
Ecuación que permite reforzar la interpretación estadística que se le está dando a la función
de onda de acuerdo con el segundo postulado.
Ejercicio: Considere el caso de partícula libre y calcule su densidad de flujo de probabilidad.
Magnitudes dinámicas
Las magnitudes dinámicas en mecánica cuántica se representan por operadores (función de
funciones) lineales y Hermíticas (sus valores propios son reales).
La cantidad de movimiento y la energía total de la partícula tienen asociados los siguientes
operadores:
HVm
E
tiE
ip
op
op
op
=+∇−=
∂∂
=
∇−=
22
2h
h
hr
Note que la ecuación de Schrödinger la podemos escribir como:
ψψ opEH =
El operador de energía cinética: 22
2∇−=
mE opk
h
Valores esperados
Considere un conjunto de sistemas idénticos, definidos todos por ( )tx,ψ . Para un mismo
valor de t se registran, por ejemplo, los valores de x que caracterizan la posición de la
partícula, de todo el conjunto de sistemas idénticos. Luego de ello se obtiene la media
aritmética de dicha magnitud. Este valor se denomina “valor esperado” o “esperanza” de la
coordenada x de la partícula al tiempo t, y se la expresa matemáticamente como:
∫∞
∞−
∗ ⋅== dxxxx ψψ donde ψ → está normalizada
Para cualquier función de x (como el potencial) ó para cualquier operador Aop.
80
∫∞
∞−
∗= dxAA opψψ
Así, el valor esperado de la cantidad de movimiento será:
∫
∫∞
∞−
∗
∞
∞−
∗
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
=
dxx
ip
dxpp
x
xx
ψψ
ψψ
h
Ejercicio. Dada la función de onda
( )=tx,ψ 0
costEie
axA h
−π
22
22
, aa
aa
xx
x
≥−≤
≤≤−
Hallar17: 22 ,,, xx ppxx , (Nota: Surge una ambigüedad al calcular px ¿como se
resuelve?)
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Si ( )zyxVV ,,= no es una función explícita de t, a la ecuación de Schrödinger se aplica el
método de separación de variables. Así, si se considera la función de onda
( ) ( ) ( )tTzyxtzyx ⋅= ,,,,, φψ , se logra obtener una expresión al lado izquierdo de la ecuación
que solo depende de la posición, y al lado derecho, otra que solo depende de t.
( ) cdtdT
TiV
mr==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−
12
1 22
hh
r φφφ
Es decir, dos ecuaciones, una en las variables x, y, z y otra en la t.
La ecuación temporal es:
cdtdT
Ti =
1h
TcidtdT
h−= T(t) → función oscilatorio en el tiempo con frecuencia h
c=ω
tcieAT h−
= según los postulados de Einstein-de´Broglie hE=ω
tEieAT h
−=
17 Relación trigonométrica útil: θθθ 22cos2cos sen−=
81
La ecuación restante la llamamos ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
φφφ EVm
=+∇− 22
2h
Note que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se lo puede escribir como:
ψψ EH =
que representa un problema de valores propios del operador Hamiltoneano. Las soluciones
de está ecuación (funciones propias) forman una base del espacio de funciones complejas
de cuadrado integrable y los valores propios son reales y son los valores medibles
(mesurables) del operador de energía.
La solución de la ecuación dependiente del tiempo, en este caso, se le puede escribir como:
( ) ( ) tEiextx h−
⋅=ψψ ,
Antes de profundizar en las propiedades de las funciones propias, resolvemos algunos
ejemplos simples.
Potencial escalón.
Partícula de masa m incidiendo de izquierda a derecha sobre un potencial escalón.
Caso oVE <
Región I
1121
22
2φφ
φ EVdxd
m=+−
h
121
22
2φ
φ Edxd
m=−
h
0´´ 12
11 =+ φφ k con 22
12h
mEk =
Solución: ( ) xikxik ee BAx 111
−+=φ
Región II
2222
22
2φφ
φ EVdxd
m=+−
h
I II
82
0´´ 2222 =− φφ k con
( )2
22
2h
EVmk o −=
Solución: ( ) xkxkxk eee CDCx 2222
−− =+=φ (D=0 función de onda no divergente)
Solución en ambas regiones: ( ) =xφ xk
xikxik
eee
C
BA2
11
−
−+
00
≥<
xx
( ) ( )( ) ( )0`0`
00
21
21
φφφφ==
1
2
211
kk
iBA
CkBikAikCBA
=−
−=−=+
→
Ckk
iB
CkkiA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
2
1
2
12
12
incidente flujoreflejado flujo
=R
111
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
== ∗
∗
kki
kki
kki
kki
AABBR
υυ
Ejercicio:
Para el caso: E>Vo calcular (R+T) si se define incidente flujo transmitflujo
=T
Efecto túnel. Considere una partícula de masa m incidiendo de izquierda a derecha sobre
una barrera de potencial de ancho a y altura V0.
121
22
2φ
φE
dxd
m=−
h 222
222
2φφ
φEV
dxd
m O =+−h
323
22
2φ
φE
dxd
m=−
h
0´´ 12
11 =+ φφ k 0´´ 22
22 =− φφ k 0´´ 32
33 =+ φφ k
22
12h
mEk = ( )
22
22
h
EVmk o −= 2
1223
2 kmEk ==h
( ) xikxik ee BAx 111
−+=φ ( ) xkxk ee DCx 222 += −φ ( ) xikxikxik eee FGFx 111
3 =+= −φ
I II III
83
(G=0 no existe onda reflejada desde la región III)
Considerando las condiciones de continuidad de la función y su primera derivada
( ) ( )2221aa −=− φφ
22222211 akakakak
eeee DCiBiA +=−
( ) ( )2221 ´´ aa −=− φφ
22
22
21
21
2211 akakakak
eeee DkCkiBikiAik −+−=−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−− − 22
1
2222211 akakakak
eeee DCkikiBiA
2
1
22
1
22221
112akakak
eee DkkiC
kkiiA −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=− +
22
1
222
1
22121
1211
21 akakakak
eeee Dikk
iCikk
iA −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= +
( ) ( )2322aa φφ =
222122 aikakak
eee FDC =+−
( ) ( )2322 ´´ aa φφ =
21
22
22
122 aikakak
eee FikDkCk =+−−
2
2
122122 aikakak
eee Fkik
DC −=−−
2
2
1212
12aikak
ee Fkik
C ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
22
2
121
121 akaik
eFkik
C +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
22
2
121
121 akaik
eFkik
D −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Reemplazando C y D en A.
( ) ( )aikkaikk eekk
ikk
ikk
ikk
iA 1212
2
1
1
2
2
1
1
2 1211
211
211
21 +−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= + βα
2
1
1
2
2
1
1
2 111141
kk
ikk
ikk
ikk
iFA
84
( )
( ) akaikaikk
akaikaikk
eeeeee
2112
2112
−+−
+
==
==
β
α
2
122
1
211
kikk
z
kikk
z
+=
+=
[ ]212141 zzzzFA βα +=
32
1
1
221
2
1
1
2
21
2121
2
1
zkk
kk
izz
kk
kki
kkkkzz
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++=
[ ]33221
41 zzFA akakaik eee −+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= asenhk
kkkk
iakFA aike 221
21
22
2)(2cosh4
41
1
El coeficiente de transmisión es:
*1
*3
AAkFFk
T =
y por tanto,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅+
=2
2
1
1
22
22
2 )(41)(
1
kk
kk
akSenhakCosh
T
Note que para el caso de barreras anchas el coeficiente de transmisión (ver ejercicio 1,
página 93) toma la forma:
)(222 0
2EVma
ak eeT−−− =≈ h
Ejemplos:
• Diodo túnel (transistor resonante de túnel)
Juntura n-p altamente dopada
La altura de la barrera se regula con voltaje, se logra frecuencias de interrupción de
104Hz.
85
Voltaje directo: hay una región donde la resistencia es negativa.
Voltaje inverso: se comporta como un diodo Zener.
• Decaimiento α (Similar al modelo de la fusión nuclear)
Dos protones y dos neutrones preforman una partícula alfa dentro del núcleo atómico y
sobrepasa la barrera de potencial, por efecto túnel, ocasionando el decaimiento
radiactivo alfa.
Figura. Representación del pozo de potencial nuclear en el decaimiento alfa
• Molécula de amoníaco NH3 (Similar al problema de los kaones neutros)
El estado base de la molécula de amoníaco es la superposición de dos estados, uno
donde el átomo de N está ubicado como en la figura y el otro en la posición inferior
simétrica.
Consulta. Microscopio de barrido de efecto túnel.
Pozo infinito
Partícula de masa m confinada en un pozo de potencial infinito
86
→ región con potencial infinito indica 0=∗φφ
φφ Edxd
m=− 2
22
2h
0`` 21 =+ φφ k
22
12h
mEk =
( ) xikxik ee BAx 111
−−=φ
( ) BABA −=⇒=+⇒= 000φ
( ) xiAsenkAAx xikxik ee 11 211 =−= −φ
( ) 00 ≠⇒= Aaφ Condición de normalización
02 1 =aiAsenk a
AAa 2
114 2
2
2 =⇒=
ank
nakππ
=
=
1
1
Ζ∈n a
A21
=
2
22222
22 man
mkEn
πhh== ( ) senkx
aix 2
=ψ
Si se toma el potencial simétrico, entonces hay dos familias de soluciones. Note que para el
potencial infinito la condición ´φ continua ¡no aplica!
Pozo finito
Partícula de masa m confinada en un pozo de potencial infinito
( ) =xV 0
oV x
22
22
aa
aa xx≤≤−>−<
i) E<V0
222
22
02
φφ E
dxd
m=+−
h 112
122
2φφφ EV
dxd
m o =+−h
3323
22
2φφ
φEV
dxd
m o =+−h
0´´ 12
11 =− φφ k 0´´ 22
22 =+ φφ k 0´´ 32
33 =− φφ k
87
( )2
21
2h
EVmk o −= 2
22
2h
mEk = 13 kk =
( ) xkxkxk eee DDCx 1111 =+= −φ ( ) xkBxAsenkx 222 cos+=φ
( ) xkxkxk eee FGFx 1113
−− =+=φ
(C=0 y G=0 para que la función de onda no diverja cuando ±∞→x )
Considerando las condiciones de continuidad de la función de onda y su primera derivada:
( ) ( )2221aa −=− φφ y ( ) ( )2221 '' aa −=− φφ
( ) ( )2322aa φφ = y ( ) ( )2322 '' aa φφ =
Se tiene:
2222 cos21 aak kBAsenkD ae +−=−
2222221 cos21 aak BsenkkkAkDk ae +=−
212222 cos akaa eFkBAsenk −=+
211222222 cos akaa eFkBsenkkkAk −−=−
Sumando y restando tanto la primera con la tercera y la segunda con la cuarta, se tiene:
( ) 21222 aka eDFAsenk −−=
( ) 2122cos2 aka eDFkB −+=
( ) 211222 cos2 aka eDFkkAk −+−=
( ) 2112222 aka eFDkBsenkk −+=
Incompatible 0 0 ≠−≠ DFA
( ) 1222 tan kkk a = ( ) 1222 cot kkank a −=
sumando
( ) ( ) 0tancot 222222 =+ aa kkkank
( ) 0tan 2222
2 =+ kkk a
0 0 ≠+≠ DFB
88
( ) 1tan 222 −=ak !No se satisfacen simultáneamente!
Por tanto se tienen dos familias de soluciones
0 0 =−= DFA 0 0 =+= DFB
Si consideramos la primera familia con su correspondiente ecuación trascendental:
( ) 1222 tan kkk a =
( )222
22
22
tan22 hhh
EVmamEamEa o −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( )2
2
2
2
2
2
22tan
2 hhh
EVmamEamEa o −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
2
2hmEa
∈=
22
2
2tan ∈−∈=∈
homVa
22tan ∈−∈=∈ R
Figura. Resolución gráfica de la ecuación trascendental
Las soluciones de la ecuación trascendental nos permiten conocer los valores propios de la
energía (punto de corte en la figura).
De igual manera se manera se procede con la segunda familia de soluciones. La primera de
estas soluciones se representa en la siguiente figura:
Figura. Primera solución de la segunda familia de soluciones
89
Con valor propio de energía de la primera raíz de la correspondiente ecuación trascendental.
Oscilador armónico
Clásico. Considerando que la partícula se encuentra sometido s una fuerza de tipo:
CxF −=
La ecuación de movimiento y solución serán:
( ) ( )
( ) 22
21
21
cos
CxtxmE
tAtx
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
+=•
φω
Cuántico. Corresponde a plantear la ecuación de Schrödinger en el potencial
correspondiente a un oscilador armónico.
2
21 Cx
xFV
CxF
=∂∂
−=
−=
φφφ ECxdxd
m=+− 2
2
22
21
2h
022
2
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ φφ
hh
mCxmEdxd
( ) 0222
2
=−+ φαβαφ xdxd
ωβ
αβα
h
hh
E
mEmC
2
2 222
=
==
xαξ =
( ) 022
2
=−+ φξβξφ
dd
• Solución asintótica ( ) βξξ >>∞±→ 2
022
2
=+ φξξφ
dd
2212
21 ξξφ −+= ee BA
02
21
→ξeA para que la función no sea divergente
mCxx
Cxxm
=
=+
−=••
••
2
2 0
ω
ω
90
221ξφ −= eB
Planteamos una solución general
( ) ( )2
21ξξξφ −Η= e en este caso ( )ξΗ resuelve la ecuación.
( ) 0122
2
=Η−+Η
−Η β
ξξ
ξ dd
dd → ( ) 01'2'' =Η−+Η−Η βξ
Consideremos una solución de tipo serie:
( )
( )
( ) ( )∑
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−=Η
=Η
=Η
2
2
1
1
0
1''
'
n
nn
n
nn
n
nn
a
a
a
nn
n
ξξ
ξξ
ξξ
( ) ( ) 012101
1
2
2 =−+−− ∑∑∑∞
=
∞
=
−∞
=
−
n
nn
n
nn
n
nn aaa nnn ξβξξξ
( )( ) ( ) 01212010
2 =−+−++ ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=+
n
nn
n
nn
n
nn aaa nnn ξβξξ
( )( ) ( ) 01212 2 =−+−++ + nnn aaa nnn β
( )( ) →+++−
=+ nn aann
n1212
2β relación de recurrencia
Se tiene dos familias de soluciones (unas de potencia pares y otras impares) pero series
infinitas.
Si se toma: nn
n
n
n
aa 22
22 ==+ (para n grandes).
Si tomamos el desarrollo en serie de:
( ) ( ) ...!1!
...!3!2
12
2
2
6422
++
++++++=+
n
n
n
n
e ξξξξξξ
Relacionando dos coeficientes contiguos de este desarrollo para n grande se tiene:
( )
( )
( )( )( ) nnn
n
n
n 2!1
!
!1
!11
22
2
2
2 =+
=+
(igual que el anterior), de modo que para ∞→ξ las funciones H
se comportan como ( ) 22
211ξξ ξξ ee CaaC +→Η de manera que:
91
( )2
2122
21 ξξξξφ eee →≈ − (y la función de onda diverge). Sin embargo, se pueden obtener
valores aceptables de la solución para ciertos valores de β. Aquellos valores provocan el
corte de la serie, hacen que 2+na tome el valor cero y las soluciones son polinomios de
grado n. Dicha condición es: 12 += nβ . La ecuación en este caso viene a ser la ecuación
de Hermite cuyas soluciones son los polinomios de Hermite18.
( )22
)1()( ξξ
ξξ −−= e
ddeH n
nn
n
......164812
24
1
424
22
ξξ
ξ
+−=Η
−=Η
=Η o
.......32160120
812
2
535
33
1
ξξξ
ξξ
ξ
+−=Η
+−=Η
=Η
La solución para el oscilador armónico cuántico es entonces:
( ) ( )ξξφ ξnn e Η= − 2
21
donde ( )ξnΗ es un polinomio de grado n
Los polinomios de Hermite son ortogonales, es decir, satisfacen:
mnnm nndHHe δπξξξξ ⋅⋅=⋅∫ − !2)()(2
Siendo mnδ el símbolo de Kronecker (igual a 1 cuando m = n, y 0 cuando m ≠ n)
Figura. Primeras funciones de onda del oscilador armónico
18 Relaciones de recurrencia
)(2)(2)( 11 ξξξξ −+ −= nnn nHHH
)(2)(´ 1 ξξ −= nn nHH
92
La condición de no divergencia de la función de onda, obliga entonces a la condición:
Ζ∈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒+== nnEnE
n 21 122 ω
ωβ h
h
Ejercicios 1. De la expresión obtenida en clase para el coeficiente de transmisión en el efecto túnel, de muestre
que para alta barrera o gruesa barrera la expresión se reduce a:
)(22
00
0116EVma
eVE
VET
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= h
2. Resuelva el oscilador armónico cuántico bi-dimensional de una sola frecuencia. 3. Consulte sobre las principales relaciones entre los polinomios de Hermite. 4. La constante de la fuerza de restitución para las vibraciones del espaciamiento interatómico de una
molécula di-atómica típica es aproximadamente 103 J/m2. Estime el valor de la energía del punto cero de las vibraciones moleculares. Estime también la diferencia entre los niveles energéticos vibracionales de ésta molécula.
5. Demuestre las siguientes expresiones:
mp
dtxd
=
dxdV
dtpd
−=
Propiedades matemáticas de la función de onda propias.
1. Dado un potencial V(x) independiente del tiempo existen soluciones aceptables a la
ecuación de Schrödinger solo para ciertos valores de energía ,...,...,, 21 nEEE que son los
valores propios del operador Hamiltoniano.
Figura. Representación de los niveles energéticos para un potencial arbitrario
A cada valor propio le corresponde una función propia ( ) ( ),...,...,1 xx nφφ y con cada una
de éstas se obtiene una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
93
( ) ( ) tE
i
nn
n
extx h−
= φψ ,
2. Puesto que la ecuación de Schrödinger es lineal en ψ , cualquier combinación lineal de
éstas, también será solución.
( ) ( )∑∞
=
=0
,,n
nn txtx a ψψ → donde na son constantes.
3. La densidad de probabilidad ( ) ( )txtx ,, ψψ ∗ será:
( ) ( ) ( ) ( )( )
htEEi
nlnl
lnl n
nnn
nn
lneaaaa xxxx−−∗∗
≠
∗∗ ∑∑∑ + φφφφ
que en general depende del tiempo.
4. Considerando el caso especial de un sistema en ( )txn ,ψ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxtxtx nnnnt
Eit
Ei
nn
nn
ee φφφφψψ ∗∗−∗ == hh,,
La densidad de probabilidad no depende de t, aun cuando ψ es función de t (decimos
que el sistema se encuentra en estado estacionario).
5. La interpretación probabilística de ψψ ∗ hace que ψ sea normalizada.
( ) ( ) 1,, =∫∞
∞−
∗ dxtxtx ψψ
Si ( ) ( )∑∞
=
=0
,,n
nn txtx a ψψ define las constantes adecuadas de na .
6. Para el caso de un estado estacionario:
( ) ( ) ( ) ( ) 1,, ⇒== ∫∫∞
∞−
∗∞
∞−
∗ dxxxdxtxtx nn φφψψ las funciones propias φ también son
normalizadas.
7. El conjunto de funciones propias de la ecuación de Schrödinger posee la propiedad de
ortogonalidad, es decir,
( ) ( ) ln ==∫∞
∞−
∗ δφφ dxxx nl 01
nlnl
≠=
∗⊗=+− lnnnn EVm
φφφφ (1) ''2
2h
94
nllllllll EVm
EVm
φφφφφφφ (2) ''2
''2
2c.c.2
⊗=+−→=+− ∗∗∗hh
( ) ( ) nllnlnnll
nn
l EEVVdx
ddx
dm
φφφφφφφ
φφ
φ ∗∗∗∗
∗ −=−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 2
2
2
22
2h
( ) dxdx
ddx
ddxEEm l
nn
lnlln ∫∫∞
∞−
∗∗
∞
∞−
∗
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=− 2
2
2
2
2
2 φφ
φφφφ
h
dxdx
ddx
ddxd l
nn
l∫∞
∞−
∗∗
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
φφ
φφ
∞
∞−
∗∗
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
dxd
dxd l
nn
lφ
φφ
φ
Pero 0, →∗nl φφ cuando ±∞→x
Y si ln EE ≠ entonces: 0=∫∞
∞−
∗ dxnl φφ
(Si las funciones son degeneradas se puede también demostrar)
8. Si ( ) ( )∑∞
=
−=
1,
n
tE
i
nn
n
ea xtx hφψ ,
1=∫∞
∞−
∗ dxψψ ∑∞
=
=1
2 1n
na
9. Si conocemos la forma de ψ para un tiempo particular t (t=0) (potencial solo V(x)). Se
puede calcular ( )tx,ψ para cualquier tiempo.
( ) ( ) ( )∑ ∑∞ ∞
=
==1
0,0,n
nnnn xxx aa φψψ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∑∞
∞−
∗∞
=
∗ = dxxxdxxx nln
nl a φφψφ1
0,
Utilizando la condición de ortogonalidad se tiene:
( ) ( )∫∞
∞−
∗ dxxxl 0,ψφ y por lo tanto:
( ) ∑∞
=
−=
1,
nn
tE
i
n
n
eatx φψ h
( ) ( ) ( ) ( )xdxxxtx n
tE
i
l
n
e φψφψ h−
∞
∞−
∗∑ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= '0,',
95
10. El valor medio de E para el sistema en el estado ( )tx,ψ .
∑∞
=
∗=1n
nnn aaEE
Sea fop un operador hermético que representa una magnitud dinámica del sistema mecánico
cuántico. El valor medio de f que es:
∫ ∗= dxff opψψ .
ff o especifica parcialmente el comportamiento de f. Se obtiene mayor información al
conocer la fluctuación de f sobre su valor medio. Por lo que se evalúa: 2 fΔ .
( ) ( )[ ] dxfffff op ψψ∫ −=Δ=− ∗ 222
( ) dxffop ψψ∫ −= ∗ 2
( ) dxffff opop ψψ∫ +−= ∗ 22 2
∫∫∫ ∗∗∗ +−= dxfdxffdxf opop ψψψψψψ 222 2
22 2 ffff +−=
22 ff −=
en general ( )0 2 >Δf
Note que si las funciones son propias del operador opf , es decir,
ψψ Ffop = donde F es número real
Se obtiene que 02 =Δf .
Se concluye entonces que "cuando ψ es propio de fop, la magnitud dinámica f solo puede tener el
valor definido F". O en otras palabras: "Una medida del valor de la cantidad dinámica f
solo puede resultar igual a alguno de los valores propios F, del operador correspondiente fop"
Ejemplo
Partícula de masa m confinada en un pozo infinito en tres dimensiones.
ψψ Em
=∇− 22
2h
→ ψψψψ Ezyxm
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
− 2
2
2
2
2
22
2h
96
0222
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂ ψψψψ
h
mEzyx
Si ( ) ( ) ( ) ( )zZyYxXzyx =,,ψ
XYZmEzZXY
yYXZ
xXYZ 22
2
2
2
2
2 2h
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2''1''1''1h
mEZZ
YY
XX
−=++
-α2 -β2 -γ2
2222 2
h
mE−=−−− γβα
( )2222
2γβα ++=
mE h
2''1 α−=XX
2''1 β−=YY
2''1 γ−=ZZ
0'' 2 =+ αXX 0'' 2 =+ βYY 0'' 2 =+ γZZ
( ) xAsenxBxAsenxX ααα =+= cos
( ) yCsenyDyCsenyY βββ =+= cos
( ) zFsenzGzFsenzZ γγγ =+= cos
Puesto que: =V
→∞
→0
0z 0y 0
000
<><><>
<<<<<<
czby
xaxczbyax
Entonces:
( ) xAsenxX α= Ζ∈=
=
na
nna
πα
πα
( ) yCsenyY β= Ζ∈=
=
mb
mmb
πβ
πβ
( ) zFsenzZ γ= Ζ∈=
=
lc
llc
πγ
πγ
( ) ( ) ( ) ( )zsenysenxsenAzyx γβαψ ',, =
97
22
2
2
2
2
22
2π⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
cl
bm
an
mEnml
h
Si una partícula se encuentra en el estado:
211111123 2 ψψψψ +−= i
a) Normalizar la función
b) Encontrar el valor medio de la energía de la partícula.
c) ¿Cuales son los valores mesurables que se obtendrán en una serie de medidas de la
energía y cual el valor más frecuente de energía que salga en dicha serie de
medidas?
d) Encuentre el valor 2EΔ
Ejercicios
1. ¿Cuál de estas expresiones es la correcta:
a) Vm
pE +=2
2
b) Vm
pE +=2
2
justifique su respuesta.
2. Demuestre que las funciones seno y coseno no son funciones propias del operador cantidad de movimiento, para una partícula libre, pero cada una de ellas es una combinación lineal de funciones propias.
3. Se dice que dos operadores A y B conmutan si AB - BA = [A, B] = 0. ¿Conmutarán los operadores
posición (x) y cantidad de movimiento (px)? 4. Demuestre que [ ] [ ] [ ]ABABAABA ,,,2 +⋅= 5. Complete la siguiente tabla para: 1) el caso de una partícula en un pozo de potencial infinito de
ancho L, y 2) para el caso de un oscilador armónico cuántico
n )(xψ ψψ * 2xΔ 2pΔ ( ) ( )22 px ΔΔ 1 2 3
98
Modelos Atómicos
Thomson
Distribución de carga positiva del tamaño del átomo, con los electrones distribuidos
uniformemente.
La dispersión de rayos α es siempre muy pequeña. El ángulo cuadrático medio
aproximadamente es 10-4 radianes, tanto para la dispersión por electrones como por la
distribución uniforme de carga eléctrica positiva.
El experimento mostró algunas dispersiones que se producían en ángulos grandes, aún
mayores a 90º.
Rutherford.
Llevó a cabo y explicó los resultados del experimento anterior considerando que la carga
positiva y la masa del átomo se encontraban concentradas en un volumen pequeño
(descubrimiento del núcleo atómico). Lo que le llevó a sugerir un modelo planetario.
Electrones girando alrededor del núcleo. Este modelo, sin embargo, presenta un nuevo
problema: los electrones (partículas cargadas) en movimiento orbital radian energía, por
tanto, la materia sería inestable. Sin embargo, la materia es estable.
Bohr. (Postulados)
1. Un electrón en un átomo se mueve en orbita circular alrededor del núcleo debido a la
interacción coulómbica, sujetándose a las leyes de la mecánica clásica.
2. Para el electrón solo serán posibles las órbitas para el cual su momento angular orbital
es un número entero de la constante de Planck dividida para 2π.
3. A pesar de que el electrón se acelera en estas órbitas no irradia energía. Su energía
permanece constante.
4. Si un electrón realiza una transición de una órbita con Ei a otra con Ef, La frecuencia de
la radiación emitida esta dada como: (Ei-Ef)/h
La fuerza entre el electrón y el núcleo será:
2rDF = donde 2KZeD = siendo K la constante que depende del sistema de unidades
utilizado.
Para órbitas circulares 2
2
rD
r=
μυ (multiplicando porμ ) se la puede escribir como:
uDLr⋅
=2
99
La energía potencial será: rDV −= y la energía cinética
rDuEc 2
121 2 == υ
La energía total: rDE
21
−=
Considerando el postulado 2, es decir, hnL = , se obtiene que los radios de las órbitas
permitidas son:
2
22
0 )4(uZe
nrnhπε= para Z=1 y n=1 se define el radio de Bohr: 2
2
00 )4(ue
a hπε=
la velocidad en cada órbita hn
Zen
2
041πε
υ =
y la energía total 2220
42 12)4( n
euZVEE Khπε
−=+=
Note. Hemos tomado a u como la masa del electrón (aunque realmente es la masa reducida
del sistema átomo de Hidrógeno).
Observación. De acuerdo con el modelo de Bohr, la cuantización del momento angular lleva
a la cuantización de la energía total del sistema.
Líneas espectrales
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 22
111mn
RHλ
donde RH = 10967757.6 m-1
Se definen las series (m>n):
Lyman n = 1
Balmer n = 2
Parchen n = 3
Bracket n = 4
Pfund n = 5
100
Ejercicios
1. Calcular la longitud de onda inicial y límite de las tres primeras series del átomo de Hidrógeno. 2. Calcule los radios y las energías de las órbitas para a) el positronio; b) un núcleo formado por un
protón y un muón. 3. Mostrar que para todas las órbitas de Bohr, en el átomo de Hidrógeno, el cociente entre el
momento bipolar magnético y el momento angular orbital es constante. 4. Con qué aproximación se debe medir la longitud de onda de la primera raya de la serie de Lyman
para el ión Li++, para distinguir el 6Li++ del 7Li++. 5. Del espectro del He+ establezca la fórmula exacta de la serie n=4 (llamada de Pickering). ¿En qué
región del espectro se encuentra esta serie?
Consultar. Experimento de Frank-Hertz
Wilson Sommerfeld.
Sommerfeld generalizó la condición de cuantización utilizada por Bohr a cualquier sistema
físico cuyas coordenadas varían periódicamente en el tiempo. Así, toda coordenada
generalizada que oscile en el tiempo deberá satisfacer la condición cuántica:
∫ =⋅ hndqP qq
donde q es la coordenada generalizada periódica y Pq su impulso asociado.
Para el caso de un electrón en el átomo de Hidrógeno19 se asumió órbitas elípticas, en este
caso las reglas de cuantización son:
∫ =⋅ hndL θθ → hθnL = ,...4,3,2,1=θn
∫ =⋅ hndrP rr → hrnbaL =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −1 ,..4,3,2,1,0=rn
Con 2
2204Zeu
na
hπε= y
nn
ab θ=
donde, rnnn += θ ,...4,3,2,1=n Para un valor dado n , nn ,...3,2,1=θ
Para nn =θ las orbitas son circulares de radio a
La energía en este caso es:
2220
42 12)4( n
euZEhπε
−= y coincide con el valor obtenido por Bohr.
Existe entonces degeneración para diferentes órbitas (diferentes estados cuánticos) dados
por valores diferentes θn para n fijo.
Sin embargo, si se considera una corrección relativista. Por ejemplo, se incluye el término:
19 Ver, por ejemplo, Greiner, Classical Mechanics (Hamiltonean Dynamics), página 411.
101
23
4
8 cupH rel
−=
se pierde dicha degeneración y se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
nnnZ
neuZE
43111
2)4(
22
2220
42
θ
απε h
donde α es la constante de estructura fina definida como:
036.1371
41 2
0
==c
ehπε
α
Las transiciones desde los diferentes niveles de energía en este caso deben satisfacer la
siguiente regla de selección:
1)()( ±=− fi nn θθ
Ejercicio
1. Use las reglas de cuantización de Sommerfeld y Wilson para el caso del oscilador armónico unidimensional y encuentre la expresión de la energía.
2. Supóngase que el protón y el electrón se encuentran ligados únicamente por la atracción
gravitacional. Hallar cual sería el radio de la órbita y la energía de ligadura del estado fundamental del sistema.
3. Un sólido rígido gira libremente alrededor de un eje fijo. Mediante las reglas de cuantificación de
S-W determinar las energías posibles del sistema. Se conoce el momento de inercia.
Principio de correspondencia.
Las predicciones de la teoría cuántica para el comportamiento de cualquier sistema físico
deberían corresponder a las predicciones de la mecánica clásica en el límite de números
cuánticos grandes.
El átomo de Hidrógeno (Schrödinger)
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un sistema de partículas esta
dada por:
( ) ( ) ( )trrt
itrrVtrrm i
i
,...,,,...,,,...,,2 212121
22 rr
hrrrrh ψψψ
∂∂
=+∇−∑
El átomo de Hidrógeno es un problema de dos partícula (el protón y el electrón)
interaccionando eléctricamente el uno con el otro. En este caso, la función de onda será
),,( 21 trr rrψ Sin embargo, debido a la forma del potencial de interacción se la puede separar
102
en una componente que describe el movimiento del centro de masa y otra que describe el
movimiento relativo entre las dos partículas:
)()(),,( 21 rRtrr CMCMrrrr ψψψ ⋅=
La ecuación independiente del tiempo para el movimiento relativo será:
( ) ψψψ ErVu
=+∇− 22
2h
donde: r
ZeV2
−= (sistema Gaussiano)
Donde u es la masa reducida del sistema.
Puesto que el potencial solo depende de la separación entre las dos partículas, se considera
una solución de tipo:
( ) ( ) ( )φθφθψ ,,, YrRr =
( ) ψψθψθ
θθφψ
θψ ErVsen
senrsenrrr
rru=+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
− 22
2
222
2
2 1112h
( )[ ] ΘΦ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΘΦ
+ΦΘ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΘΦ RErVu
ddsen
dd
senrR
dd
senrR
drdRr
drd
r 222
2
222
2
21hθ
θθθφθ
( )[ ]ErVusenrddsen
ddsen
dd
drdRr
drd
Rsen −
⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ+
ΦΦ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅ 2
22
2
222 211
h
θθ
θθ
θφ
θ
2m−
φ
φimem
dd
=Φ⇒−=Φ
Φ2
2
21 ( ) ( )
,...3,2,1,020
=
Φ=Φ
mπ
( )[ ] 02112
2
2
22 =−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
θθθ
θθ senmErVur
ddsen
dd
sendrdRr
drd
R h
( )[ ] ( )11212
2
2
22 +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ−=−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
llh θ
θθθθ
μddsen
dd
sensenmErVr
drdRr
drd
R
( )[ ] ( )1212
22 +=−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
llh
ErVurdrdRr
drd
R
( )112
2
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ− ll
θθ
θθθ ddsen
dd
sensenm
( ) ( ) 01)(22
22 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ RrVEur
drdRr
drd
llh
( ) 0112
2
=Θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
llθθ
θθθ sen
mddsen
dd
sen
Para la ecuación en θ , se cambia la variable,
103
ξ
θθξ
ξθ
θξ
ddsen
dd
dd
dd
−=⋅=
= cos
( ) ( ) 01
11 2
22 =Θ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Θ−−
ξξξ
ξm
dd
dd
ll
( ) ( ) 01
11 2
22 =Θ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Θ−
ξξξ
ξm
dd
dd
ll
Cuya solución es:
( ) ( )ξξ mm PA ll ⋅=Θ son las funciones asociadas de Legendre
( ) ( ) ( )ξξ
ξξξ e
mm
mm P
ddPP ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=≡ 221)( ll
( )ll
lll
1!2
1)( 2 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ξ
ξξ
ddP
,...3,2,1, +++= mmmml
La soluciones angulares hasta ahora encontradas forman las conocidas funciones
armónicas esféricas, las cuales se las escoge normalizadas:
)(cos)!()!(
4)12(),( θ
πεφθ φ
mim
m Pemm
Y lll
ll⋅⋅
+
−+=
donde m)1(−=ε para 0≥m y 1=ε para 0≤m
Consideremos ahora la ecuación en la variable r
( ) 0)1()(2122
22 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ R
rrVEu
drdRr
drd
rll
h
Si se define la función U(r) = rR(r)
La ecuación queda:
)()(2
)1()(2 2
2
2
22
rEUrUu
rVdr
Udu
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++
− llhh
Si se cambia de variable y se reemplaza la forma del potencial:
rβρ =
22 2
h
uE−=β
104
βρ 2
2
02h
Zeu=
( ) ( ) 011 022
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
++− ρ
ρρ
ρρU
dUd ll
En sus límites asintóticos,
∞→ρ se tiene la ecuación: ( )ρρ
Ud
Ud=2
2
con solución:
ρρρ eBeAU ⋅+⋅= −)( (para que no diverja B=0)
0→ρ el término centrífugo domina ( ) ( ) 01
22
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +− ρ
ρρU
dUd ll
ll −+ ⋅+⋅= ρρρ DCU 1)( (para que no diverja D=0)
Considerando una solución de la forma:
)()( 1 ρρρ ρGeU −+= l
La ecuación para G es:
[ ] 0)1(2´)1(2´´ 0 =+−+−++ GGG ll ρρρ
( )
( )
( ) ( )∑
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−=
=
=
2
2
1
1
0
1''
'
i
ii
i
ii
i
ii
a
a
a
iiG
iG
G
ρρ
ρρ
ρρ
Reemplazando en la ecuación anterior se encuentra la relación de recurrencia:
( )( ) ii aaii
i122
)1(2 01 +++
−++=+
l
l ρ
Para alto i
iaa
i
i 21 =+
Desarrollando en serie la función
....)!1(
)2(!)2(......
!2)2(
!1)2(1
122 +
+++++=
+
iie
ii ρρρρρ
Se ve que los términos consecutivos tienen un mismo comportamiento que esta función por
lo que hará que la solución diverja cuando ∞→ρ . Por tanto, es necesario que esta serie se
corte y tan solo sea un polinomio.
Para que na sea el último coeficiente distinto de cero y 1+na sea cero es necesario que:
0)1(2 0 =−++ ρli
105
Si 1++= lin
,...3,2,120
+++==
lllnnρ
Escribiendo la solución radial
( ) ( )ρρρ ρl
ll nn GR e−=
( ) →= +−− )2(121 ρρ l
ll nn LG polinomios asociados de Laguerre
)()1()( xLdxdxL qp
ppp
pq −=−
Con
( )qxq
qx
q xedxdexL −=)(
( ) ( ) ( ) ( )φθρφθψ mmnmn Rr Φ⋅Θ⋅= cos,, lll
1=∗
∫ dVψψ
,...3,2,1,...2,1,
,...3,2,1,0
+++=
++=
=
lll
l
nmmm
m
llll
l
,1,...,1,1,...,2,1,0
,...3,2,1
−+−−=−=
=
mn
n
μβ
2
22h=E si:
24
4222
2
2
γμβ
βμγ
h
h
ez
ze
=
=
22
42
24
4222
22 nezezE
hh
h μγ
μμ
=⋅=
211
2210
121
200
1100
ψψψψψψ
E
EEnmn
→
→→
−
l
Note que la expresión de la energía coincide con la de Bohr. Se ha resuelto el problema de valores propios:
mnnmn EH ll ψψ =
Las funciones propias están etiquetadas con 3 números cuánticos ),,( mn l mientras que los
valores propios de energía tan solo de ( n ).
106
Para cada valor n hay n valores posibles de l y para cada l hay (2l+1) valores de m.
Así para un valor fijo de n se tienen: ∑−
=
=+1
0
2)12(n
nl
l (grado de degeneración)
Funciones propias
( ) ( ) ( ) ( )φθρφθψ mmnmn Rr Φ⋅Θ⋅= cos,, lll
0/2/3
0100
1 aZreaZ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πψ
02/
0
2/3
0200 2
241 aZre
aZr
aZ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πψ
θπ
ψ cos241
02/
0
2/3
0210
aZreaZr
aZ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
φθπ
ψ iaZr eseneaZr
aZ ±−
± ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 02/
0
2/3
0121 8
1
θπ
ψ cos241
02/
0
2/3
0210
aZreaZr
aZ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Las funciones propias están normalizadas y son ortogonales mm
nnmnmn dddrsenrrr ´´´
2´´´
* ),,(),,( δδδφθθφθψφθψ llll =⋅⋅∫∫∫
Generalmente se las escribe como el producto de dos funciones: la radial y la angular.
( ) ( ) ),(,, φθφθψ mnmn YrRr lll ⋅=
Las funciones angulares son las llamadas armónicas esféricas. Son orto-normales.
Algunas ondas radiales se muestran en la figura.
Se define la densidad de probabilidad radial Pnl de acuerdo con:
107
∫∫ ⋅⋅=π
φθθφθψφθψ4
2´´´
* ),,(),,()( dddrsenrrrdrrP mnmnn lll
La integración es sobre todo el ángulo sólido. La expresión da la probabilidad de encontrar
al electrón en un cascarón esférico de radio entre r y r+dr.
El radio medio de un estado propio se calcula como:
∫∫∫ ⋅⋅⋅=V
mnmnn dddrsenrrrrr φθθφθψφθψ 2* ),,(),,( lll
Dando como resultado
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+= 2
02 )1(1
211
nZan
rnll
l
Ejercicios
1. Calcule el radio donde se alcanza el máximo para las primeras densidades de probabilidad radial, en el caso 1−= nl .
2. Determinar la probabilidad de encontrar al electrón entre 0 y a0 para los estados 210200 ψψ y .
Discuta el resultado. 3. Calcule la probabilidad que un electrón en el estado base del átomo de Hidrógeno se encuentre
dentro del núcleo atómico (sea b el radio del núcleo).
Orbitales atómicos
Una densidad de probabilidad angular se define como: ),(),(* φθφθ mm YY ll ⋅ y es
independiente de φ
Figura. Primeros orbitales atómicos
108
Estas distribuciones angulares están relacionadas directamente con los posibles valores del
momento angular orbital del sistema y su cuantización, que lo estudiamos a continuación.
Los estados cuánticos estacionarios están etiquetados por tres números cuánticos
( )ll mn ,, . De acuerdo con su valor l, se introduce la siguiente notación:
Estado: s, p, d, f, g, h,….. para: l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … respectivamente
Ejercicios
1. Muestre que el promedio de las funciones de densidad de probabilidad para el conjunto de estados degenerados correspondientes a la energía E2 es esféricamente simétrico.
2. Consulte sobre las primeras funciones armónicas esféricas. Haga una tabla para que las tenga a la
mano como material didáctico. De igual manera, consulte los orbitales atómicos para n=1, 2, 3, 4 3. Leer la siguiente referencia: Zuo y col. Nature, 2 Septiembre, 1999.
El resultado del ejercicio 1 puede generalizarse aún para cada subconjunto de estados que
incluye todos los posibles valores de m para un n y l dados (sub-capa).
Momento Angular Orbital
El momento angular de los electrones en el átomo se lo evalúa mediante el operador
opopop prL rrr×=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−=−=y
zz
yipzpyL yzx h
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−=−=z
xx
zipxpzL zxy h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−=−=x
yy
xipypxL xyz h
2222zyx LLLL ++=
En coordenadas esféricas
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−−=φ
θφθ
φ cotcosseniLx h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−=φ
θφθ
φ cotcos seniLy h
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=
∂∂
−=
2222 11
φθθθ
θθ
φ
sensen
senL
iLz
h
h
Se definen adicionalmente los operadores creación y aniquilación como:
109
yx iLLL ±=±
Al reemplazar
( ) mnmn
mnmnz
L
mL
ll
ll
hll
h
ψψ
ψψ22 1+=
=
Se observa que las funciones propias del operador Hamiltoneano son también funciones
propias de los operadores: componente z y módulo al cuadrado del momento angular orbital.
Lo que indica que estos operadores conmutan con el Hamiltoneano.
Los operadores creación y aniquilación satisfacen:
)1()1()1( ++ ⋅+−+= mnmn mmL ll llh ψψ
)1()1()1( −− ⋅−−+= mnmn mmL ll llh ψψ
Con estas relaciones y la propiedad de ortogonalidad de los armónicos esféricos es simple
demostrar que:
0== yx LL
El hecho de que del momento angular solo conozcamos su modulo y una de sus
componentes está relacionada directamente con el principio de incertidumbre, es decir, es
un resultado directo del comportamiento ondulatorio de la materia. A este hecho se le
conoce con el nombre de cuantización espacial.
Figura. Cuantización espacial
Ejercicios:
1. Encontrar: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]22 ,,,,,,,,, LLLLLLLLLL xzxzzyyx ,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]zzyzxzzzz pLpLpLzLyLxL ,,,,,,,,,,,
2. Demuestre que: 0== yx LL (consulte)
110
Momentos dipolares magnéticos
El electrón, al tener un movimiento orbital alrededor del núcleo y por ser una partícula
cargada, generará un momento dipolar magnético orbital. Se lo puede evaluar fácilmente si
se utiliza el modelo de Bohr. La expresión cuántica se la obtiene considerando el problema
formal del átomo de Hidrógeno en interacción con un campo magnético uniforme. En este
caso en la ecuación de Schrödinger se reemplaza
Acqpprrr
−→ (se trabaja en sistema Gaussiano)
Donde Ar
representa el potencial vectorial magnético.
El Hamiltoniano será entonces:
)(21 2
rVAcqp
uH rrr
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Para un campo magnético constante e independiente del tiempo, se tiene:
rBA rrr×=
21
De manera que:
)(222
22
22
2
rVAuc
qiAucqiA
ucq
uH rrhrhrh
+∇⋅+⋅∇++∇−=
02 =Ar
Campo magnético pequeño
0=⋅∇ Ar
medida de Coulomb.
Entonces
)(2
22
rVAuc
qiu
H rrhh+∇⋅+∇−= reemplazando el valor de A
r
)()(22
22
rVrBucqi
uH rrrhh
+∇×⋅+∇−=
)(2
22
rVBu
H rrrh+⋅−∇−= μ
Donde se ha definido
Lucq rr
2=μ
Esta expresión introduce un factor lg (llamado factor de Landé orbital) al cual se le asigna el
valor de uno ( 1=lg ). Así se tiene que el momento dipolar magnético orbital del electrón
esta dado por:
111
Lg B
r
h
r ll
μμ
⋅−=
La razón entre el modulo del momento dipolar magnético y el modulo del momento angular
se la conoce como “razón giro-magnética” (en este caso: razón giro-magnética orbital). Note
que la llamada cuantización espacial se extiende también al momento dipolar magnético.
Cuando un dipolo magnético se lo coloca en presencia de un campo magnético uniforme,
aparece un torque BTrrr
×= μ , que trata de alinear al dipolo en la dirección del campo
magnético, y que en ausencia de fuerzas disipativas, hace que el dipolo precese alrededor
del campo magnético con frecuencia Bg B
r
h
r ll
μω = , (¡demuestre esta expresión!).
La energía potencia de interacción esta dada como:
BUrr
⋅−= μ
Si el campo no es homogéneo y mantiene un gradiente en una de sus componentes la
energía potencial de interacción producirá una fuerza neta que desplazará al dipolo.
Está fuerza está dada por:
)( BUFrrr
⋅∇=−∇= μ
Si el momento bipolar magnético es constante,
BFrrr
)( ∇⋅= μ
Efecto Zeeman Normal (aproximación inicial: energía de interacción mucho mayor a
interacción spin-orbita)
La interacción del átomo de H con un campo magnético exterior uniforme producirá una
pérdida de degeneración de los estados cuánticos en el átomo (el tratamiento formal se lleva
a cabo mediante teoría de perturbaciones). Esta pérdida de degeneración podría ser vista
en la separación de las líneas espectrales del átomo en cuestión por la presencia de dicho
campo magnético.
Consideramos que la energía total del electrón en el átomo, en este caso, es:
BmneuZBEE Bnmn μμ ll
h
rr+−=⋅−= 22
42
2
112
Para transiciones entre estados, en este caso, se deberán satisfacer las siguientes reglas de
selección:
1,0)()(
1
±=−=Δ
±=−=Δ
fi
fi
mmm lll
lll
Figura. Desdoblamiento de niveles en presencia de campo magnético externo
Experimento de Stern-Gerlach
Se hace pasar un haz de átomos de Plata (Ag) neutros (en su estado base) a través de un
campo magnético no homogéneo (como se muestra en la figura). Si el átomo tiene un dipolo
magnético, sobre él se ejercerá una fuerza neta media:
zz
z zB
F lμ∂∂
=
La cuantización espacial produciría (2l+1) separaciones del haz. Puesto que en el estado
base los átomos de plata no tienen momento dipolar magnético (l=0), se esperaba observar
ninguna desviación del haz. Sin embargo, al realizarse el experimento el haz se separaba en
dos haces simétricos con relación a la dirección de incidencia.
Se concluía entonces que el átomo debía tener otra contribución a su momento dipolar
magnético para justificar el resultado experimental (el dipolo magnético nuclear es
demasiado pequeño, en tres ordenes de magnitud, así que el núcleo no es el responsable).
Por tanto se concluyó que el origen de éste debería ser el electrón mismo.
113
Phipps y Taylor realizaron el mismo experimento con átomos de Hidrógeno. Se observó el
mismo resultado.
El spin del electrón
Se llegó a la hipótesis razonable de que el electrón posee un momento magnético intrínseco
debido a un momento angular intrínseco (Uhlenbeck-Goldsmit). Dicho momento angular
tiene un módulo y componente z conocidos y dados por:
22 )1( h+= ssS
hsz mS =
donde ssssms ,1,....1, −+−−=
El momento dipolar magnético intrínseco o de spin será:
Sg Bss
r
h
r μμ −= siendo →sg factor de Landé de spin
A partir del experimento (el haz se divide en dos componentes) la componente z de este
momento dipolar magnético intrínseco toma solo dos valores de igual magnitud y signo
opuesto. Entonces,
21,
21
−=sm y por tanto, 21
=s
Si se mide la separación de los haces es posible determinar zF y puesto que se puede
medir también el gradiente de campo magnético, se encuentra que:
1±=ss mg y de aquí 2=sg
El electrón en el átomo de Hidrógeno contribuye entonces con un momento dipolar
magnético debido a su movimiento orbital y otro intrínseco (el del núcleo, como ya se
mencionó, es 3 ordenes de magnitud más pequeño. Sin embargo tiene su importancia en lo
que se conoce como “estructura hiper-fina”, ver página 141).
114
El formulismo de la teoría cuántica de Schrödinger no describe el spin del electrón20 (la
formulación relativista de Dirac, si lo hace).
Interacción spin-órbita
Al mejorar la resolución de los espectrómetros ópticos en el estudio de las líneas
espectrales, se observó que algunas líneas del átomo de hidrógeno y de los alcalinos en
realidad eran dos líneas muy juntas entre sí (esto se conoce como: estructura fina).
Sommerfeld había justificado estas separaciones al considerar los efectos relativistas en el
átomo de Hidrógeno. Sin embargo, se pensaba que en los alcalinos los electrones de
valencia deberían tener menor velocidad y el efecto debería ser menor. La observación en
realidad mostraba un efecto mayor.
La causa de la estructura fina es (principalmente21) la interacción spin-órbita.
Si se considera el observador propio del electrón (pensando clásicamente), éste observará
al núcleo atómico girando a su alrededor y generando un campo magnético (por ser
cargado); este campo magnético esta dado por:
Ldr
rdVreuc
Brr
⋅=)(11
2int
e interaccionará con el momento dipolar magnético intrínseco del electrón.
La energía de interacción será:
intBE s
rr⋅−=Δ μ
LSdr
rdVreuc
gE Bs
rr
h⋅=Δ
)(12 2
μ
Figura. Momentos dipolares magnéticos orbital y de spin del electrón
20 La introducción del spin en el formulismo de Schrödinger se le hace mediante el reemplazo del siguiente
término en el Hamiltoneano ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅→− A
cqpA
cqp
rrrrr σ
21 La estructura fina proviene de la introducción del spin en el término relativista, además aparece el llamado término de Darwin, sin parangón clásico
115
Momento angular total El momento angular total se define como:
SLJrrr
+=
22 )1( h+= jjJ
hjz mJ =
donde jjjjm j ,1,....,1, −+−−=
Considerando que
zzz SLJ += → hhh l sj mmm += , tomando sus valores máximos se tiene:
sjm j +== lmax)(
Para determinar el límite inferior se utiliza la siguiente desigualdad:
SLSLrrrr
−≥+
222 )1()1()1( hhllh +−+≥+ ssjj
sjm j −== lmin
Por tanto, el número cuántico j toma valores
)(......,, ssj +−= ll (en pasos de uno)
Para el caso de una partícula de spin ½ y momento angular orbital l
21,
21
+−= llj
116
( ) ( ))1()1()1(22
1 2222 +−+−+=−−=⋅ ssjjSLJLS ll
hrr
[ ]dr
rdVr
ssjjcu
LSdr
rdVrcu
E )(1)1()1()1(4
)(12
122
2
22 +−+−+=⋅=Δ llhrr
La función de onda ( )φθψ ,,r
smmn ll define el estado cuántico ( )smmn ,,, ll sin considerar la interacción spin-órbita. Si esta interacción se considera, el estado cuántico se etiqueta por ( )jmjn ,,,l con función de onda ( )φθψ ,,r
jjmnl . Es usual utilizar la notación espectroscópica para etiquetar cada estado cuántico. Esta es:
js L)12( +
Adicionalmente si se consideran los términos involucrados en la interacción spin-orbita
(incluido el de Darwin), la energía de los estados cuánticos para átomos con un electrón
será22:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−=
njnZ
neuZE
43
2/1111
2)4(
22
2220
42 απε h
Ejemplo. Considerando la interacción spin-orbita el nivel 3d se separa en dos niveles, como
se muestra en la figura.
La transición sp 23 → , que representaría una sola línea espectral en el espectro del átomo de hidrógeno, son en realidad dos líneas (estructura fina):
2/12/3 23 sp → y
2/12/1 23 sp → Note que las reglas de selección este caso son:
1±=−=Δ fi lll
1,0 ±=−=Δ fi jjj
Una manera de representar los niveles energéticos en el átomo de hidrógeno se muestra a
continuación. La ordenada, que corresponde a la energía no se encuentra a escala y la
separación entre los niveles correspondiente a la interacción spin órbita es extremadamente
exagerada.
22 Esta expresión no considera el desplazamiento de Lamb, ni la interacción hiper-fina.
117
Figura. Transiciones permitidas
Ejercicios 1. Un protón de 5 eV viaja en ángulo recto a un campo magnético uniforme cuya inducción
magnética es 0.0063 T. a) ¿Cuál es momento angular orbital (número l) asociado con el protón?, b) Determine el momento dipolar magnético producido por el protón en magnetones de Bohr.
2. Calcular el cambio en la longitud de onda del fotón resultante de la transición 2p→1s en el átomo
de Hidrógeno al aplica un campo magnético de 2 T. 3. Un electrón el átomo de hidrógeno se encuentra en el estado 4f. Determinar los valores posibles
del momento angular total y sus correspondientes componentes z. 4. Calcular las longitudes de onda de las componentes de la primera línea de la serie de Lyman,
tomando en cuenta la estructura fina. 5. Calcular las energías y las longitudes de onda de la transición 3d→2p tomando en cuenta la
estructura fina.
118
Partículas Idénticas
Considere un sistema formado por dos partículas idénticas confinadas en una caja. Estas
partículas ocasionalmente se dispersarán entre si. Clásicamente los electrones describen
trayectorias bien definidas por lo que si etiquetamos a las partículas siempre las podremos
identificar. En mecánica cuántica el principio de incertidumbre nos impide definir trayectorias
para las partículas, por lo que no sabremos que partícula es cual, el comportamiento de las
partículas es seriamente afectado con cualquier intento de etiquetarlas o distinguirlas.
Decimos también que sus funciones de onda se solapan, lo que no me permite la distinción
entre ellas.
La indistinguibilidad de las partículas idénticas se debe tomar en cuenta explícitamente. Los
resultados mesurables que se obtengan de cálculos exactos mecánico-cuánticos no deben
depender de la asignación de marcas de las partículas idénticas. Esta propiedad conduce a
efectos importantes sin analogía clásica.
La ecuación de Schrödinger para dos partículas que no interaccionan entre si, la podemos
escribir como:
[ ] ),(),(),(2 212121
22
21
2
rrErrVrru
rrrrrrh ψψψ =+∇+∇−
El hecho de que no interaccionen entre sí nos permite considerar al potencial de la forma:
)()(),( 2121 rVrVrrV rrrr+=
De tal manera que la ecuación de Schrödinger la podemos resolver mediante separación de
variables,
)()(),( 2121 rrrr rrrr ψψψ = 23
Cada función de onda es solución de ecuaciones de Schrödinger similares. Las soluciones
son funciones propias etiquetadas por un conjunto de números cuánticos que se los notará
(al conjunto) con una sola letra griega. Así, )1()( 1 αα ψψ ≡rr representa la función propia de
la partícula 1 con un conjunto de números cuánticos determinados (α).
Una función de onda del sistema será:
)2()1(),( 21 βα ψψψ =rr rr con valor propio de energía: 21 EEE += . Que representa un estado
particular del sistema donde la partícula 1 se halla en el estado α y la partícula 2 en el
estado β. Otro estado particular será )2()1( αβ ψψ , que representaría el estado donde la
23 En este caso decimos que las partículas no están entrelazadas ( no entaglement)
119
partícula 1 se halla en β y la 2 en α. Note que este segundo estado tendrá la misma energía
del primero, es decir, serán estados degenerados.
Si consideramos a las dos partículas indistinguibles, debe ser posible intercambiarlas sin
alterar una cantidad mesurable del sistema, tal como la densidad de probabilidad.
Intercambiemos las partículas para la densidad de probabilidad, así:
)1()2()1()2()2()1()2()1( 21βαβαβαβα ψψψψψψψψ ⋅⎯⎯→⎯⋅ ∗∗⇔∗∗
¡¡Pero se observa que las dos expresiones son diferentes!!
Por lo tanto las funciones de onda inicialmente consideradas para describir el sistema de
partículas idénticas no son las apropiadas.
Sin embargo, podemos construir una función de onda que además de (obviamente)
satisfacer la ecuación de Schrödinger, mantenga la densidad de probabilidad invariante
respecto de un intercambio de partículas.
[ ])2()1()2()1(2
1αββα ψψψψψ +=S función de onda simétrica
[ ])2()1()2()1(2
1αββα ψψψψψ −=A función de onda anti-simétrica
Estos dos estados tendrán la energía 21 EEE += (se le conoce como degeneración de
intercambio).
Ahora se tiene que:
SSSSSS ψψψψψψ ∗⇔∗⇔ ⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯ 2121
AAAAAA ψψψψψψ ∗⇔∗⇔ ⎯⎯→⎯−⎯⎯→⎯ 2121
Cualquier cantidad mesurable que se pueda obtener con las funciones propias simétrica o
anti-simétrica serán invariantes al hacer un intercambio de las partículas idénticas.
Principio de Exclusión de Pauli
En un sistema mecánico cuántico nunca podrá existir más de un electrón en el mismo
estado cuántico.
Si, por ejemplo, nuestro sistema está formado por dos electrones, y si tomamos la función
de onda asimétrica, considerando además a los dos electrones en el mismo estado cuántico
(definido por el mismo conjunto de números cuánticos α), entonces:
[ ] 0)2()1()2()1(2
1=−= αααα ψψψψψ A
120
Por tanto, si el sistema estuviera descrito por funciones anti-simétricas, las partículas no
podrían encontrarse en el mismo estado cuántico. Es decir, cumplirían con el principio de
exclusión.
Todas las funciones propias anti-simétricas tienen propiedades tales que se sujetan a los
requisitos del principio de exclusión.
En base al principio de exclusión se clasifica a las partículas en dos categorías:
1.- Los fermiones, partículas que satisfacen el principio de exclusión. Tienen spin semi-
entero. Un sistema de fermiones idénticos esta descrito por funciones de onda anti-
simétrica. Si los fermiones del sistema no interaccionan entre sí, podemos construir su
función anti-simétrica mediante el conocido determinante de Slater. Así para un sistema de
tres fermiones.
)3()2()1()3()2()1()3()2()1(
!31
γγγ
βββ
ααα
ψψψψψψψψψ
ψ =A
2.- Los bosones, partículas que no satisfacen el principio de exclusión. Tienen spin entero.
Un sistema de bosones idénticos esta descrito por funciones de onda simétricas. La función
simétrica para un sistema de bosones puede ser construida del mismo determinante de
Slater pero todos los términos con signo positivo.
Fuerzas de intercambio
Consideremos un sistema formado por dos electrones, por ejemplo en el átomo de Helio,
donde, por facilidad de análisis, se asume que los electrones no interaccionan entre sí.
Su función de onda será anti-simétrica:
[ ])2()1()2()1(2
1αββα ψψψψψ −=A
Sin embargo, esta función de onda estará formada por una contribución espacial y otra de
spin, es decir,
spinespA ψψψ ⋅=
Cada una de esas funciones tendrá una forma simétrica y anti-simétrica con respecto al
intercambio de partículas. Así,
[ ])2()1()2()1(2
1abbaespS ψψψψψ +=
[ ])2()1()2()1(2
1abbaespA ψψψψψ −=
121
Donde los índices latinos representan el conjunto de números cuánticos asociados a los
grados de libertad espaciales.
Las funciones de onda de spin son:
[ ])()()()(2
11221 ↓↑−↓↑= χχχχψ spinS
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
↓↓
↓↑+↓↑
↑↑
=
)()(
)()()()(2
1)()(
21
1221
21
χχ
χχχχ
χχ
ψ spinA
Note que la función de onda de spin, resulta del acople entre los spines de las dos
partículas. La anti-simétrica es un estado singlete S=0 (del acople de dos partículas de spin
½) y la simétrica es un estado triplete S=1.
Regresando al problema inicial, si el acople de spines es singlete, es decir, la función de
onda de spin es anti-simétrica, necesariamente la función de onda espacial debe ser
simétrica para que la total quede anti-simétrica.
Considerando el caso de que las variables espaciales de los electrones tengan casi los
mismos valores, es decir,
)2()1( aa ψψ ≈ y )2()1( bb ψψ ≈ entonces,
)2()1()2()1( abba ψψψψ ⋅≈⋅ y
[ ] )2()1(2)2()1()2()1(2
1aaabbaespS ψψψψψψψ ⋅≈+=
En este caso, la densidad de probabilidad de encontrar a las partículas espacialmente
juntas, es el doble del valor promedio en todo el espacio.
Ahora, si el acople de spines es triplete, es decir, la función de onda de spin es simétrica,
necesariamente la función de onda espacial debe ser anti-simétrica para que la total quede
anti-simétrica.
Haciendo las mismas consideraciones sobre la función de onda espacial, tendremos que:
[ ] [ ] 0)2()1()2()1(2
1)2()1()2()1(2
1≈−≈−= aaaaabbaespA ψψψψψψψψψ
En este caso, la densidad de probabilidad de que las dos partículas estén muy juntas es casi
nula. Como la probabilidad de encontrarlas juntas es pequeña cuando están acopladas
paralelamente, lo interpretamos como si existiera una fuerza que trata de separarlas para
cuando sus spines están paralelos. Por el contrario, cuando sus spines estén anti-paralelos,
es como si se atrajeran puesto que la probabilidad de encontrarlas juntas es mayor que el
caso intermedio.
122
Átomos poli-electrónicos
La resolución del problema mecánico-cuántico de un átomo poli-electrónico se reduce
entonces a resolver de la ecuación de Schrödinger para un sistema de partículas. Si se
considera un potencial independiente del tiempo, la ecuación a resolver es la de Schrödinger
independiente del tiempo.
),...,(),...,(,....)(...,),...,(2 111
2
.
2
NNijNii
rrErrrVrrm
rrrrrrrhΨ=Ψ+Ψ∇−∑
Como primera aproximación uno está tentado a resolverla considerando tan solo la
interacción de los electrones con el núcleo atómico y despreciando la interacción entre
electrones. Note que en este caso la ecuación se desacopla en Z ecuaciones similares a
aquella del átomo de Hidrógeno pero para una carga nuclear +Ze. En este caso solo
tendríamos que ir ocupando los niveles energéticos calculados para dicho modelo.
Consideremos como ejemplo el átomo de Helio. En este caso el Hamiltoneano del sistema
será:
[ ] ),,(2 1221
22
21
2
rrrVu
rrrh+∇+∇−
donde
12
2
2
2
1
2
122122),,(
re
re
rerrrV +−−=
rrr (Sistema Gaussiano)
que representan los potenciales de interacción del núcleo con los electrones orbitales y la
interacción entre los electrones.
Si no se considera el último término del potencial, las soluciones serían aquellas obtenidas
para el caso del átomo de Hidrógeno y los valores propios de la energía del sistema estarán
dados como:
21 nn EEE +=
Con
eVn
eVn
ZEn 22
2 )6.13(4)6.13( −=
−=
Para el estado de menor energía (estado base) del Helio se tendría una energía E = -108.8
eV. El primer estado excitado E = -68 eV. Valores que difieren de los observados
experimentalmente (el estado base del Helio tiene una energía de -79 eV). Por lo tanto, la
123
interacción entre electrones orbitales debe ser considerada para tener una descripción
correcta de los átomos poli-electrónicos.
La siguiente figura muestra la diferencia entre los niveles energéticos de un átomo multi-
electrónico al no considerar y considerando la interacción entre los electrones.
Figura. Esquema de niveles energéticos
Como se puede observar de la estructura de niveles: ¡¡La interacción entre los electrones en
el Helio no puede despreciarse!!
Una segunda aproximación, donde todavía es posible resolver la ecuación de Schrödinger,
considera el uso de un potencial neto sobre un electrón. Este potencial neto incluirá tanto al
potencial de interacción del electrón y su núcleo atómico como también la interacción con
los otros electrones (aproximación de apantallamiento promedio).
Figura. Potencial neto de acuerdo con la posición del electrón
Note que el potencial neto depende de la distribución de carga de los electrones orbitales y
ésta distribución a su vez está determinada por la solución de la ecuación de Schrödinger.
Se requiere por tanto seguir un procedimiento tal que el potencial sea auto-consistente.
124
Si se calcula la distribución de carga a partir del potencial neto, con esta distribución se re-
evalúa el potencial neto para generar un proceso iterativo convergente, es decir, hasta que
la re-evaluación del potencial neto produzca la misma distribución de carga anterior. Este
procedimiento fue desarrollado por Hartree.
Procedimiento de Hartree
1) Para un sistema de Z electrones se desacopla la ecuación de Schröndinger de 3Z
variables en Z ecuaciones de tres variables cada una. Considerando un potencial neto
esféricamente simétrico inicial,
),,(),,()(),,(2
22
φθφθφθ rErrVrm neto Ψ=Ψ+Ψ∇−h
Se hace una estimación inicial del potencial neto en base a:
∞→−=
→−=
rr
erV
rr
ZerV
0
20
2
4)(
04
)(
πε
πε
Lo que nos lleva a escribir un potencial neto de la forma
rerZrV0
2
4)()(
πε−=
Donde la función Z(r) cumple
∞→→→→
rrZrZrZ
1)(0)(
2) Se resuelve la ecuación de Schrödinger con este potencial
),,(),,()(),,(2
22
φθφθφθ rErrVrm neto Ψ=Ψ+Ψ∇−h
Y se obtiene las correspondientes soluciones (valores y vectores propios).
...............γγ
ββ
αα
EEE
→Ψ
→Ψ→Ψ
125
Se determina el estado base del átomo llenando los niveles con los electrones, respetando
el principio de exclusión de Pauli. (El estado base corresponde al estado del átomo de
mínima energía)
3) Se calcula la densidad de carga del átomo, que considera la densidad de carga de los
electrones (Z-1) y una carga Ze puntual.
∑ +ΨΨ−= )()( * núcleoer δρ r
4) Con la densidad de carga se re-evalúa el potencial mediante la ecuación de Poisson.
02 / ερ=∇ V
5) Si el nuevo potencial neto no es igual al inicial se repite el procedimiento desde el paso
(2). Si los dos potenciales coinciden, entonces las funciones propias y valores propios
calculados son los que describen nuestro átomo poli-electrónico.
Modificación de Fock. Plantea el uso de la versión más fuerte del principio de exclusión de
Pauli, es decir trabaja con una función anti-simétrica de Z! términos. Los resultados son los
mismos que los de Hartree.
Discusión de los resultados.
La función de onda se encuentra etiquetada por los mismos números cuánticos con los que
se ha venido trabajando.
),()( φθmnmn YrR lll =Ψ
donde la dependencia angular esta descrita por las armónicas esféricas.
Se llenan los niveles desde el de menor energía hasta terminar con los Z electrones (estado
base del átomo)
La probabilidad radial P(r) corresponde a la suma de densidades de probabilidad radial para
cada estado tomado sobre los valores de n y l de los estados ocupados.
126
Distribución radial de probabilidad
Los picos en la curva P(r) definen lo que hemos llamado estructura de capas.
Generalmente restringimos los anchos de los pico para discretizar la función Z(r) definiendo
)( nn rZZ = y llamándola “Z efectiva de la capa n”.
De los resultados observados para un sin número de átomos vemos que:
externamasocupadacapalaparanZnparaZZ
n
n
==−= 12
Entonces los electrones en cada capa están sometidos a un potencial
reZ
rV nn
0
2
4)(
πε−=
De esta forma podemos utilizar las expresiones que caracterizan los átomos con un solo
electrón.
Veamos algunos resultados
1. El radio medio para átomos con un solo electrón es Zanr /02=
Para el caso de los electrones más internos, el apantallamiento de la nube es
pequeño y la atracción del núcleo con carga Ze es muy fuerte. De acuerdo con
Hartree )2/( −= Zrr H . Para átomos muy pesados hay que incluir efectos
relativistas.
2. Los electrones internos tiene una energía de enlace muy alta, aproximadamente:
para n=1 HH EZEZE 2211 )2()( −≅=
127
3. Los electrones en la última capa tiene un buen apantallamiento del campo nuclear
por la nube electrónica, en este caso: nn Zanr /02= y para la última capa Zn= n, así
0nar =
4. Los electrones más externos estarán menos ligados al átomo y sus energías de
enlace serán del orden de las del átomo de Hidrógeno,
220
4
2220
42
2220
42
2)4(2)4(2)4( hhh πεπεπεeu
nenu
neuZ
E n −=
−=
−=
Uno de los principales resultados del desarrollo de Hartree es que los valores propios de
energía ya no dependen solo del número cuántico n sino también de l, es decir, Enl esto se
debe a que el potencial es ahora un potencial neto y no Coulómbico (sin considerar la
interacción spin-orbita).
Los resultados de Hartree muestran que la energía de un electrón atómico es un poco más
negativa que la que se esperaría de la burda aproximación: 2220
42
2)4( neuZ
E n
hπε−
= ; la diferencia
es mayor para l=0 y disminuye progresivamente cuando l aumenta.
En la misma sub-capa todos los electrones tienen la misma energía y Pnl(r).
Tabla periódica.
Las propiedades de los elementos químicos son periódicas en Z. Estas propiedades
dependen de la configuración electrónica de los átomos que, a su vez, se obtienen de cómo
se ordenan las sub-capas de acuerdo con su energía (referido a su estado base).
La energía depende tanto del número cuántico n como del l y presentan el siguiente
ordenamiento de acuerdo con la energía:
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d …
Las sub-capas externas siempre satisfacen la siguiente regla:
Dado un n, la sub-capa externa con menor l tendrá la menor energía.
Dado un l, la sub-capa externa con menor n tendrá menor energía.
La configuración electrónica de los elementos livianos son muy simples, así:
H: 1s1 He: 1s2 Li: 1s2 2s1 Be: 1s2 2s2 …etc
128
La siguiente gráfica muestra la ordenación de los niveles energéticos para los casos de
electrones internos (parte derecha) y de los electrones externos (parte izquierda).
Figura. Niveles electrónicos para electrones externos e internos
Ejemplos de configuraciones:
K19: 1s22s22p63s23p64s1
V23: 1s22s22p63s23p64s23d3
Cr24: 1s22s22p63s23p64s13d5
Cu29: 1s22s22p63s23p64s13d10
En los dos últimos ejemplos se observa que los electrones que podrían estar en 4s se
encuentran en 3d. Existen casos similares para las sub-capas 5s y 4d (ejemplo del Rh45:
…5s14d8 y el Pd46 en el que los 2 electrones de 5s van al 4d,así …..5s04d10). El platino Pt78
(…6s1 5d9) y el oro Au79 (…6s1 5d10) muestran el mismo comportamiento pero en los niveles 6s
y 5d.
Se concluye que estos niveles, es decir, 4s y 3d; 5s y 4d; 6s y 5d tienen una separación de
energía muy pequeña y la configuración que toman es la de menor energía (más estable).
Otras configuraciones que no concuerdan con la estándar es, por ejemplo, el Lantano La57
(...6s2 5d1) y lantánidos (Z=58 a 71) con (…6s2 5d0 4f2,……., 6s2 5d0 4f14, 6s2 5d1 4f14) las
denominadas tierras raras. Algo parecido sucede con los elementos que siguen al Actinio
Ac89 actínidos (Z=90 a 103). Estas observaciones se interpretan de igual forma, es decir que
la diferencia de energía entre las sub-capas 5d y 4f, lo mismo que la de las sub-capas 6d y 5f
son muy pequeñas mientras se están llenando las sub-capas.
129
Por otra parte, la configuración estándar siempre se cumple para las columnas laterales de
la tabla periódica. El esquema simple de la tabla periódica se muestra a continuación:
Figura. Esquema de tabla periódica
Se concluye que cada sub-capa p siempre es de mayor energía que las sub-capas s y d
precedentes. Por lo tanto, deben existir grandes diferencias de energía entre las sub- capas
p y la próxima s. Las distancias entre la sub-capa p y las otras es muy distante, lo que
muestra que un elemento que llena su capa p es muy estable (Gases Nobles). Decimos
también que su energía de ionización (energía mínima requerida para sacar un electrón de
su nube electrónica) es muy alta, lo que conlleva a que su reactividad sea baja.
Figura. Energía de ionización de los elementos
Para los alcalinos, primera columna en la tabla, la energía de ionización es pequeña.
Para los halógenos, penúltima columna en la tabla, presentan una gran afinidad electrónica,
es decir, capacidad de capturar un electrón.
Los elementos del primer grupo de transición hasta el Ni28 tiene llena la capa 4s mientras
se llena la capa 3d (excepto el Cr24) el radio de esta sub-capa es considerablemente menor
al radio de la sub-capa 4s. La sub-capa 4s tiende a apantallar los electrones 3d de las
130
influencias externas y por lo tanto las propiedades químicas de estos elementos son
similares, independientemente de cuantos electrones tienen en la capa 3d.
El punto es que las propiedades químicas de los elementos dependen de los electrones de
las capas más externas de sus átomos ya que estos electrones son los causantes de los
campos eléctricos y magnéticos que interactúan con los electrones de otros átomos. Las
propiedades del Cu29 son diferentes de aquellas del grupo de transición.
En las tierras raras Ce58 – Lu71 la capa 4f es la que se llena y es más interna que la capa 6s
que ya se encuentra llena. Por tanto, las propiedades químicas de estos elementos son
parecidas. Lo mismo sucede en los actínidos, Th90 – Lw103, la sub-capa 5f está dentro de la
7s.
Rayos X fluorescentes.
Al observar el espectro de rayos X (obtenidos mediante un tubo de rayos X, página 60) se
observa una serie de líneas delgadas bien definidas superpuestas al espectro continuo.
Estas líneas son las llamadas “líneas de rayos X fluorescentes y corresponden a
transiciones electrónicas internas. En este caso, el estado excitado del átomo (debido a un
proceso determinado: efecto foto-eléctrico atómico, o colisiones knock-on de electrones
incidentes con electrones orbitales internos) conlleva a la remoción de un electrón orbital
interno. El átomo en ese estado es altamente excitado y tiende a relajarse mediante un re-
arreglo de su configuración electrónica por presencia de la vacancia interna. Los procesos
de relajación pueden ser:
a) La emisión de RX fluorescentes cuyas energías corresponden a las transiciones
electrónicas ocurridas.
Así los rayos X fluorescentes se los clasifica mediante series:
Serie K. Rayos X debida a transiciones desde capas superiores hacia la capa K (n=1 l=0
j=1/2)
Kα cuando son desde capa L
Kβ cuando son desde capa M
Serie L. Desde las capas superiores a L
LI (n=2 l=0 j=1/2)
LII (n=2 l=1 j=1/2)
LIII (n=2 l=1 j=3/2)
Serie M. Para transiciones desde los niveles superiores a M
MI (n=3 l=0 j=1/2)
MII (n=3 l=1 j=1/2)
MIII (n=3 l=1 j=3/2)
131
MIV (n=3 l=2 j=3/2)
MV (n=3 l=2 j=5/2)
El nivel de energía de RX correspondiente a j = l+1/2 es de menor energía que el
correspondiente a j = l-1/2.
Las transiciones permitidas están sujetas a una serie de reglas de selección.
Δl = ±1
Δj = 0, ± 1
Ley de Mosley.
En base con los datos experimentales obtenidos, Mosley encontró una relación lineal entre
el inverso de la longitud de onda de un tipo de RX emitido (digamos tipo Kα) y el número
atómico del elemento.
( )21 aZC −=λ
Siendo C y a constantes empíricas.
Nota. De esta manera Mosley fue capaz de determinar o encontrar algunos elementos que
no se habían descubierto todavía (huecos en la tabla periódica).
b) Emisión Auger. En este caso, el átomo con la vacancia electrónica interna producida en
la excitación, se relaja mediante un proceso no radiativo (sin emisión de rayos X), sino
que al producirse las transiciones de los electrones de los niveles superiores a la
vacancia, otros electrones de los niveles electrónicos superiores son emitidos, dejando el
átomo en un estado de múltiple ionización. Los electrones así emitidos se los conoce
con el nombre de electrones Auger y tiene un espectro energético discreto.
Excitaciones ópticas.
Si las excitaciones de los átomos son de baja energía, las transiciones se realizan en los
orbitales electrónicos externos, produciendo, como uno de los mecanismos de relajación, la
emisión de luz en la región visible del espectro electromagnético. Lo que conlleva a una
descripción completa del estado base del átomo y sus excitaciones más bajas.
132
Bajo ese criterio el desarrollo de un electrón en un potencial neto debe ser mejorado
introduciendo las interacciones más débiles que no han sido incluidas hasta el momento.
Entre estos tenemos el acoplamiento entre los momentos angulares orbitales, entre
momentos angulares intrínsecos, el acoplamiento spin-orbita (debido a los campos
magnéticos internos de los átomos). Si los átomos están en presencia de campos externos:
magnéticos (efecto Zeeman) o eléctricos (efecto Stark), el efecto de estos campos en su
estructura de niveles energéticos.
Átomos alcalinos.
Representan el caso más simple puesto que tiene una configuración de tipo:
[Gas noble] + un electrón
Se considera que los electrones no se excitan en la capa p llena anterior, pues son de baja
energía. El electrón se encuentra en la sub-capa s subsiguiente y es el único que producirá
transiciones al ser excitado. A este electrón se lo llama “óptimamente activo”
Figura. Transiciones electrónicas en un elemento alcalino
Las líneas del espectro óptico emitidas por los elementos alcalinos presentan un
desdoblamiento de estructura fina, que separa los niveles de energía por la interacción spin-
orbita (excepto aquellos con l=0).
Otros efectos relativistas son generalmente despreciables para los electrones óptimamente
activos de todos los átomos multi-electrónicos. Esto puede verse fácilmente al generalizar la
expresión de la velocidad de Bohr y aplicarla a los electrones de la última sub-capa:
133
hh 0
2
0
2
44 πεπευ e
neZ n ==
Puesto que Zn =n, se tiene que el orden de la velocidad de los electrones es de la velocidad
de Bohr (0.22 cm/ns).
El desdoblamiento de los niveles energéticos del elemento alcalino debido a la interacción
spin-orbita se lo estima de manera similar al del átomo de Hidrógeno, por tanto
consideramos un desdoblamiento de niveles dado por:
[ ]dr
rdVr
ssjjcu
E )(1)1()1()1(4 22
2
+−+−+=Δ llh
Sin embargo, en este caso, el potencial en la expresión es el potencial neto (de acuerdo con
Hartree). Note que el comportamiento del gradiente del potencial neto aumenta al aumentar
Z del átomo (para elementos de alto Z la energía potencial crece abruptamente al disminuir
la distancia r), lo que implica que el desdoblamiento spin-orbita aumenta al aumentar Z,
como se ilustra en la siguiente tabla:
Elemento Sub-capa ΔE (eV) Li3 2p 0.42 10-4
Na11 3p 21 10-4 K19 4p 72 10-4 Rb37 5p 295 10-4 Cs55 6p 685 10-4
Las líneas espectrales de los átomos alcalinos se deben a transiciones electrónicas que
satisfacen las conocidas reglas de selección:
Δl = ±1
Δj = 0, ± 1
Átomos con varios electrones ópticamente activos.
Considérese el caso de que la sub-capa exterior esta parcialmente llena con menos de la
mitad de su capacidad (para el caso de más de la mitad se procede de igual manera pero
considerando en este caso las vacancias).
Como se ha mencionado en la aproximación de Hartree, la energía de cada electrón
depende tanto de n como de l, Enl. La energía total del átomo se la puede considerar como:
Energía de todas las capas llenas + energía de los electrones óptimamente activos
Puesto que la energía de la coraza será la misma en la aproximación de Hartree, la energía
del átomo queda determinada por la configuración de los electrones óptimamente activos,
134
los que se especifican por n y l como ya se ha mencionado. Puesto que por cada l hay
(2l+1) valores posibles de ml y 2 componentes de spin, existirán muchos estados
degenerados asociados con una determinada configuración. Esta degeneración se perderá
cuando consideremos interacciones más débiles que no han sido tomadas en cuenta en la
aproximación de Hartree.
Para el tratamiento de excitaciones de baja energía debemos incluir las interacciones más
débiles que experimentan los electrones óptimamente activos. Las más importantes son:
1. Interacción residual de Coulomb. Que compensa el hecho de que el potencial neto de
Hartree que actúa sobre cada electrón óptimamente activo describe solamente un efecto
promedio de las interacciones coulombicas entre dicho electrón y los otros óptimamente
activos.
2. Interacción spin-orbita. Que se debe al acoplamiento entre el momento dipolar
magnético intrínseco del electrón con el campo magnético interno generado por el
movimiento orbital de los electrones y del núcleo atómico.
3. Correcciones relativistas y otras (interacción hiper-fina, polarización del vacío).
Interacción residual de Coulomb
La interacción residual de Coulomb se debe a que los otros electrones ópticamente activos
tienen una distribución de carga que no es esféricamente simétrica, puesto que la capa está
incompleta. Por tanto, el potencial neto no describe adecuadamente la interacción
coulombica.
Se debe considerar que la función de onda de los electrones óptimamente activos debe ser
anti-simétrica para que un intercambio entre ellas (ya que estamos tratando con partículas
idénticas de spin semi-entero, fermiones) no modifique los observables. Sin embargo este
requisito altera en sí la distribución de carga.
Note que para el acople triplete de dos electrones, la separación es mayor entre ellos y por
lo tanto, su repulsión coulómbica menor (el acople de spines triplete los ubica con mayor
probabilidad a mayor distancia). Por tanto: La energía del átomo será mínima para cuando el
acople total de spines de los electrones óptimamente activos sea mayor.
...´ 21 ++= SSSrrr
Otro aspecto de la interacción residual de Coulomb es la de producir una tendencia de los
impulsos angulares orbitales de los electrones óptimamente activos a acoplarse de modo tal
que el momento angular orbital total sea constante.
Por un análogo clásico y la evidencia de espectros, los momentos angulares orbitales se
acoplan de tal forma que el total sea máximo.
....´ 21 ++= LLLrrr
135
Debido a la interacción residual de Coulomb la energía del átomo depende de los valores s´
y l´ de modo que los estados cuánticos con la misma configuración pero asociados a
diferentes valores de s´ y l´, ya no tendrán la misma energía. El estado con los valores
máximos s´ y l´ usualmente será el estado de mínima energía (estado base).
La interacción residual de Coulomb y la interacción spin-orbita tienden a producir efectos
que se oponen entre sí. Para átomos con Z pequeño y mediano, la interacción residual es
mayor a la interacción spin-orbita (por lo que en este caso, como se verá mas adelante,
usaremos el acoplamiento L-S al considerar la interacción spin-orbita)
Interacción spin-orbita.
Se tiene en este caso que el momento angular total se lo calcula mediante el acoplamiento
L-S o de Russell-Saunders:
h
rrr
)1´´(´
´´´
+=
+=
jjJ
SLJ
Como resultado de esta interacción, la energía del átomo depende también de j´. El estado
con mínimo valor posible de j´ es el de menor energía.
Para el caso de átomos con Z grande el acople spin-orbita es mayor que la interacción
residual de Coulomb. En este caso se utiliza el acople j-j que indica que el momento angular
total se lo calcula de la siguiente manera:
iii
i
SLJ
JJ
´´´
´´rrr
rr
+=
= ∑
En resumen podríamos decir:
1) Si una configuración electrónica tiene más de una notación espectroscópica, aquella con
el máximo s´ tiene menor energía.
2) Si el valor de spin s´ máximo corresponde a varias notaciones espectroscópicas, aquella
con el máximo valor de l´ tiene menor energía.
3) Si la sub-capa exterior del átomo esta llena con menos de la mitad, la notación
espectroscópica con el mínimo valor de j´ tiene la más baja energía. Si la sub-capa esta
llena más de la mitad, la notación espectroscópica con el máximo j´ tiene menor energía.
Estas proposiciones se satisfacen tan solo para el acople L-S. A este conjunto de
proposiciones se las conoce con el nombre de “reglas de Hund”.
Ejemplo 1. Considere la configuración electrónica 3d14p1 (o tan solo 3d4p)
136
Ejemplo 2. Considere la configuración electrónica 2p12p1 (o tan solo 2p2p). Note que en este
caso los electrones tienen los números cuánticos n y l iguales. Por lo que los estados
permitidos serán aquellos que satisfagan el principio de exclusión de Pauli. Para el caso de
dos electrones en la misma sub-capa el análisis es muy simple. El principio de exclusión de
Pauli nos dice que la función de onda total asociada a los dos electrones óptimamente
activos debe ser anti-simétrica.
spinespacialtotal Ψ⋅Ψ=Ψ
La función de onda de spin para el acople singlete es anti-simetrica; y la función de onda de
spin para el acople triplete es simétrica. La función de onda espacial será simétrica para el
caso l par y anti-simétrica para el caso l impar. Por tanto en el caso de acople de spin
singlete se eliminan los estados P y en el caso de acople de spin triplete los estados S y D.
(podríamos simplificar en este caso aún más, diciendo que los niveles permitidos son
aquellos en los que s´+l´ es par)
No se puede presentar ecuaciones explícitas para cada uno de los niveles. Sin embargo,
para s´=1 (para s´=0, no hay desdoblamiento) y cualquier l´ fijo, podemos aproximar la
separación debida a la interacción spin-orbita mediante la siguiente expresión:
137
[ ])1´´()1´´()1´´( +−+−+=Δ ssjjKE ll
Esta ecuación predice los valores medios o esperados de la interacción entre los vectores
´Jr
, ´Lr
y ´Sr
siempre que sea válido el acoplamiento L-S.
La cantidad K no solo es proporcional a dr
dVr
Neto1 sino que tiene el mismo valor para todos
los niveles del multiplete, es decir, niveles con el mismo s´ y l´. Por lo que se puede
determinar los valores de energía de las separaciones entre niveles adyacentes del
multiplete.
)1´(2´1´ +=Δ−Δ= + jKEE jjε
Este resultado es conocido como la regla del intervalo de Landé.
Ejemplo 3. Para el Ca20 que tiene una configuración 3d3d existe el triplete 3P0, 3P1, 3P2
Los cuales están separados en energía: Compárelos con los valores obtenidos mediante la
regla anterior.
eV
eV4
2
41
103.33
107.16−
−
=
=
ε
ε
Ejercicios.
1. Utilizando la regla del intervalo de Landé para encontrar los números cuánticos s´ y l´. Para el caso
de la figura donde, 12 )3/5( εε =
2. Encontrar la configuración L-S del estado base de los siguientes elementos: Mg, Al, Ti, Fe.
3. Encontrar la configuración de niveles d1f1
138
Efecto Zeeman
Aún cuando ya se ha bosquejado en qué consiste el efecto Zeeman al estudiar el átomo de
Hidrógeno, ahora lo estudiaremos con un poco más de detalle.
Al analizar las líneas espectrales emitidas por los elementos, cuando éstos se encuentran
inmersos en un campo magnético externo, se ha visto que una línea espectral puede
separarse en tres (en este caso lo llamamos efecto Zeeman normal) o en cuatro o más
líneas (efecto Zeeman anómalo). Para campos menores a décimas de Tesla el
desdoblamiento Zeeman es menor al desdoblamiento de estructura fina.
Los desdoblamientos se producen debido a los momentos dipolares magnéticos de spin y
orbitales de los electrones ópticamente activos (excepto para el estado 1S0). Los electrones
que se encuentran en las sub-capas internas completamente llenas no tienen momentos
dipolares magnéticos netos.
En presencia de un campo magnético externo:
extBErr
⋅−=Δ μ
Cada nivel del átomo se desdoblará en varias componentes discretas, correspondientes a
diferentes valores de energía asociadas con las diferentes orientaciones cuantizadas del
momento dipolar magnético.
⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−= 2121 Sg
Sg
Lg
Lg BsBsBB
r
h
r
h
r
h
r
h
r ll μμμμμ
donde gl = 1 y gs = 2,
[ ] ( )´2´)(2)( 2121 SLSSLL BBrr
h
rrrr
h
r⋅+−=⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++−=
μμμ
Se puede observar que μr no es paralelo a ´´´ SLJrrr
+=
Solo en el caso de que 0´=Sr
entonces μr es anti-paralelo a ´Jr
y los desdoblamientos de
niveles de energía son muy simples (que hasta fueron explicados por la antigua teoría de
Lorentz) dados de acuerdo con la multiplicidad de l´ (Zeeman normal)
Para el caso 0´≠Sr
(que representa el desdoblamiento Zeeman anómalo) escogemos la
proyección de μr en ´Jr
´Jg Bjj
r
h
r μμ −=
139
Figura. Suma de momentos angulares y momentos dipolares magnéticos.
´´
´´´),cos(
JJ
JJJj r
rr
r
rrrr ⋅−=
⋅−=⋅=
μμμμμμμ
´´
´2 J
JJ
j
rrr
r ⋅−=μμ
( ) ´´
´´2´ 2 JJ
JSL Bj
r
h
rrrr ⋅
+−=μ
μ
( ) ( )´
´´´´2´
2 JJ
SLSLBj
r
h
rrrrr +⋅+⋅
−=μ
μ
( ) ´´
´´3´2´2
22
JJ
SLSLBj
rrrrr
h
r ⋅++−=μ
μ
´Jg Bjj
r
h
r μμ −=
)1´´(2)1´´()1´´()1´´(1
++−+++
+=jj
ssjjg jll
Entonces, en presencia de un campo magnético
extj BErr
⋅−=Δ μ
extjjB BmgE μ=Δ
Ejercicio. En la configuración 2p3s calcule el g de Landé correspondiente al estado 3P1 y
desdoble el sistema por la presencia de un campo magnético externo.
140
Ejemplo. El desdoblamiento Zeeman para Sodio (configuración 1s22s22p63s1). El electrón
ópticamente activo puede producir transiciones desde los estados 3p al estado 3s, como se
muestra en la figura:
Las reglas de selección para las transiciones las podemos resumir:
001
001,0
==±=Δ
≠≠±=Δ
fi
fi
JóJcuandoJ
JJcuandoJ
1,0 ±=Δ jm
Interacción Hiper-fina.
Se la denomina a la interacción entre el momento dipolar magnético nuclear con el momento
dipolar magnético de la nube electrónica. Esta interacción produce el desdoblamiento de los
niveles atómicos por el acoplamiento de los momentos angulares nuclear Ir
y orbital total Jr
.
Debido a que los electrones tipo s tienen una probabilidad finita de ser encontrados en el
volumen nuclear, este efecto es mucho más evidente para ese tipo de electrones.
El acoplamiento entre Ir
y Jr
define un momento angular total:
JIFrrr
+=
La energía de interacción estará dada:
[ ])1()1()1(2
+−+−+=⋅−=Δ jjiiffCBE nucj
rrμ
Donde
)1( +
⋅=
ii
BgC nucBjμ
Los niveles caracterizados por j se desdoblan en multiplotes hiper-finos cuyos estados
estarán representados por los números cuánticos (j, i, f)
El orden de magnitud del desdoblamiento es:
141
eVcmmm
ep
e 724 108.7)( −≅≈ α
Ejercicio. Dibuje el diagrama de niveles del estado base del Hidrógeno considerando la
interacción hiper-fina. (¡Hágalo!)
Ejemplo. El núcleo del O817 tiene un spin de 5/2. Dibuje el diagrama de niveles de interacción
hiper-fina de los niveles 3P
Otras correcciones
Adicionalmente a la interacción spin-orbita, a la que hemos hecho responsable de la
estructura fina, debemos mencionar que hay otros efectos que aportan a la susodicha
estructura fina que no les consideramos en este estudio y que ya fueron mencionadas:
i) Una corrección relativista dada por el movimiento del electrón, que se refleja en la
masa del mismo. Esta corrección, para el átomo de Hidrógeno, esta dada como:
( ) eVnnZErel 6.13
32/14
4 2
42
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−=
l
α
ii) El término de Darwin que aparece debido a la no-distribución espacial del electrón.
Para el caso del átomo de Hidrógeno se tiene:
( ) eVnZED 6.1303
42
⋅= lδα
Siendo α la constante de estructura fina y δ el usual delta de Kronecker.
Consulta. Desplazamiento de Lamb. Efecto relativista debido a la polarización del vacío.
142
Moléculas.
Podemos decir que son arreglos estables de átomos (o sistemas de núcleos y electrones)
formados por la interacción de fuerzas electromagnéticas, regidas por las leyes de la
mecánica cuántica.
El sistema “molécula” se caracteriza por que tiene una energía menor a la que tiene los
átomos componentes separados (sin interacción).
Los electrones que juegan un papel importante en los enlaces son los más externos, puesto
que al acercarse los átomos, son las funciones de onda de estos electrones las que varían
provocando la interacción inter-atómica que genera los enlaces y la cual es de origen
electromagnético.
Enlace iónico.
Generalmente se presenta formando una molécula, cuando uno de sus átomos
componentes tiene una gran facilidad de ceder electrones (caso de los alcalinos); mientras
que otro de sus átomos tiene gran afinidad para ganarlos (caso de los haluros), esto se debe
a que al completar su capa, ya sea cediendo o ganando electrones, el átomo tendrá mayor
estabilidad. El electrón del átomo alcalino es transferido al haluro, quedando el alcalino
cargado positivamente, y el haluro negativamente.
Figura. Transferencia de un electrón. Enlace iónico
Para el caso del Cloruro de Sodio (NaCl), se necesita 5.1 eV para ionizar el Na y al dárselo
al Cl se gana 3.8 eV. Se necesita entonces 1.3 eV para formar Na+ y Cl-. Pero éstos se
atraen coulombicamente, y la energía de atracción es mayor a 1.3 eV.
Figura. Energía de enlace iónico
143
Cuando los iones se encuentran aún más próximos. Sus distribuciones de carga empiezan a
solaparse. Esto conlleva a dos efectos que aumentan la energía potencial (detienen el
decrecimiento de la energía potencial): a) repulsión entre núcleos atómicos; y b) Principio de
exclusión.
La molécula así formada de NaCl tiene las distribuciones de carga de diferente signo
separadas por lo que forma un dipolo eléctrico permanente (en ese caso se dice que la
molécula iónica es polar)
Los enlaces iónicos no son direccionados puesto que cada configuración de capa cerrada es
esféricamente simétrica.
Forman sólidos.
Enlace covalente
Si se consideran dos átomos de Hidrógeno y los queremos enlazar iónicamente,
deberíamos arrancar el electrón del un átomo dejándolo H+ y ponerlo al otro, dejándolo H-.
Sin embargo la atracción coulómbica entre estos dos iones formados no encontrará una
distancia tal, en la que la energía del sistema sea menor que aquella de los dos átomos por
separado. Es decir, el enlace iónico no ocurre con estos dos átomos. El hecho de que
realmente existe la molécula H2 se debe a un efecto cuántico dado por el comportamiento de
las funciones de onda electrónicas de los átomos, que describen la distribución de carga del
sistema. La distribución de carga resultante conduce, en efecto, a una atracción
electrostática (se lo puede interpretar como compartimiento de electrones entre ambos
átomos)
Orbitales moleculares.
Figura. Representación de una molécula di-atómica
Considerando el nivel base para un electrón en el átomo de Hidrógeno escribimos:
1/
2/3
011
0111)( ψπ
ψ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− − arr
s ea
rrrrrr
2/
2/3
022
0211)( ψπ
ψ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− − arr
s ea
rrrrrr
144
que representan los orbitales atómicos, cada uno normalizado:
122
21 ∫∫ == dVdV ψψ
Pero no son ortogonales entre sí,
∫= dVS 2*112 ψψ
Se definen los orbitales moleculares como una superposición de los orbitales atómicos:
2211 ψψϕ mmm cc +=
donde mm cc 21 , son constantes desconocidas,
Si se desprecia el movimiento de los protones (aproximación de Born-Openheimer) y se
considera tan solo un electrón (o los electrones sin interacción, en tal caso se desacopla el
problema y cada electrón tiene la misma ecuación), el Hamiltoniano del sistema estará dado
por:
21
22
2 rre
rre
mH rrrr
h
−−
+−−
+∇−=
Así, el problema a resolver es:
mmm EH ϕϕ =
( ) 0=− mmEH ϕ
( )( ) 02211 =+− ψψ mmm ccEH
Multiplicando individualmente por los conjugados al lado izquierdo e integrando,
( ) ( )( ) ( ) 0
0
211212
212121
=⋅−+⋅−=⋅−+⋅−
mmamm
mmmma
cEEcESHcESHcEE
donde
aEdVHdVH ==∫∫ 2*21
*1 ψψψψ
∫∫ =≡ dVHdVHH 1*22
*112 ψψψψ
Para que haya una solución no trivial, el determinante debe ser cero.
145
( ) ( )( ) ( ) 0
1212
1212 =−−
−−
mam
mma
EEESHESHEE
dando dos soluciones para Em y ϕm:
12
121 1 S
HEE a
++
=
)1(2)1(2 12
2
12
11 SS +
++
=ψψ
ϕ
12
122 1 S
HEE a
−−
=
)1(2)1(2 12
2
12
12 SS −
−−
=ψψ
ϕ
Los orbitales moleculares se grafican a continuación y se observa que la primera solución
representa una función par con relación al eje central del sistema; mientras que la segunda
una solución impar:
Figura. Orbitales moleculares de enlace y anti-enlace
Dado que para la solución impar, el electrón evita la región central puesto que la densidad
de probabilidad decrece en esa zona, la densidad de probabilidad en las regiones externas a
los núcleos será mayor donde el potencial es menos ligante y el electrón estará en realidad
menos ligado. Para el caso de la función de onda par, el electrón tiene alta probabilidad de
hallarse en la zona central, se encuentra más ligado.
La suma de la energía del electrón con la repulsión de Coulomb para los estados más bajos
de energía de H2+ se muestra en la figura:
146
Figura. Energía de enlace covalente
Si se agrega un electrón más para formar la molécula H2, la energía del sistema disminuye
más. La energía de enlace es 4.7 eV y el radio óptimo de separación también disminuye. El
segundo electrón se coloca en un estado cuántico cuya función propia tiene las mismas
propiedades espaciales de la función de onda del primer electrón (estado de energía más
bajo, función par). Así, la densidad de probabilidad electrónica muestra un pico en la región
entre los núcleos. El principio de exclusión demanda que el acople de spin sea singlete. Los
electrones compartidos causantes del enlace covalente son anti-paralelos.
No más de dos electrones forman un enlace covalente, se dice que un electrón de un átomo
se apareja con otro electrón anti-paralelo del otro átomo.
Si el átomo tiene varios electrones en la sub-capa exterior, cada uno trata de formar un
enlace covalente con un electrón de valencia del átomo vecino.
Si un átomo tiene dos electrones de valencia anti-paralelos, un electrón de valencia
adicional no podrá enlazarse.
Nitrógeno: 2p3
Oxígeno: 2p4
El enlace covalente se satura al igual que el iónico. Un átomo dado solo interactúa con un
número limitado de otros átomos.
147
A diferencia del enlace iónico, el enlace covalente es direccional. No en el caso de H2 puesto
que los electrones son tipo s (esféricamente simétricos). En el caso general, la densidad de
probabilidad de un electrón de valencia tiene su propia dependencia direccional. Las
propiedades direccionales de los enlaces covalentes se manifiestan en las propiedades
estructurales de las moléculas covalentemente ligadas.
La distribución de carga de los electrones de enlace tiene simetría respecto al centro de la
molécula.
Espectros moleculares
Los sistemas ligados (moléculas) tienen una estructura discreta de niveles (es decir
permanecen ligadas en el estado base o en un estado excitado (de menor energía que la de
separación).
Por otra parte los átomos que componen las moléculas pueden moverse entre sí. Por tanto,
pueden vibrar respecto de la posición de equilibrio o rotar respecto de su centro de masa o a
alguno de sus ejes. Tanto el movimiento vibracional como el rotacional producen una
distribución de niveles de energía discreta contenidas dentro de la estructura de los niveles
electrónicos.
La vibración de una molécula di-atómica la podemos analizar considerando los modos
normales de vibración del sistema, cada uno de los cuales lo consideramos como un
oscilador armónico. Los niveles energéticos estarán dados por:
021 ωh⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += nEn
Así para la molécula ClNa 0ωh tiene un valor 0.04 eV. Ciertamente al ir aumentando la
energía de excitación el potencial es inarmónico y los niveles ya no están igualmente
separados. Si las moléculas tienen dipolos eléctricos permanentes a la separación de
equilibrio presentaran espectros vibracionales de emisión y absorción debido a las
oscilaciones del momento dipolar eléctrico. La regla de selección para transiciones del
dipolo es: 1±=Δn (líneas espectrales en el IR 8000 Å - 50000 Å). Las moléculas di-
atómicas con núcleos idénticos no presentan espectros vibracionales.
En una transición vibracional la molécula puede cambiar su estado rotacional.
Para la rotación molecular se tiene que la energía de los niveles rotacionales está dado por:
IILE
2)1(
2
22 hlll
+==
148
donde I representa el momento de inercia de la molécula.
La separación entre niveles rotacionales es del orden de I
2h que tiene un valor aproximado
de 10-4 eV. Si las moléculas poseen un momento dipolar eléctrico, se pueden observar
espectros rotacionales de emisión y absorción. Las transiciones permitidas están dadas por
la regla de selección: 1±=Δl
Las moléculas di-atómicas con núcleos idénticos no presentan espectros rotacionales.
Si el estado electrónico no cambia, las reglas de selección en este caso son: 1,0 ±=Δl ;
1±=Δn (para oscilador armónico) son permitidas transiciones con ,...3,2=Δn (para
potenciales anarmónicos).
Si existe un cambio en el nivel electrónico, las reglas de selección quedan determinadas por
el principio de Franck-Condon.
Figura. Niveles electrónicos, vibracionales y rotacionales
Las diferentes transiciones llevan a la generación de espectros moleculares muy
característicos que muestran ramas roto-vibracionales. El espectro del O2 se presenta en la
siguiente figura:
149
Figura. Espectro de absorción del Oxigeno en el IR cercano
Dispersión Raman
En 1928 se observó que el espectro de difusión de luz que se obtenía al hacerla pasar por
un medio (gaseoso, líquido o sólido transparente) consistía de una serie de líneas de
frecuencia mayores y menores a aquella de la luz incidente, que resultaron ser una
combinación de la frecuencia de luz incidente y aquellas correspondientes a las de
transiciones vibro-rotatorias de las moléculas difusoras.
ie ωωω ±=
A temperaturas habituales las líneas satélites de mayor frecuencia tienen menor intensidad
de aquellas de menor frecuencia, sin embargo al incrementarse la temperatura, su
intensidad crece rápidamente.
Según la teoría cuántica el proceso de dispersión de luz puede ser considerado como un
choque no elástico de los fotones con la molécula. Al chocar con la molécula el fotón puede
darle o quitarle una porción de energía igual a la diferencia de energía de dos de sus
niveles. Si el fotón le quita energía, el fotón saliente (anti-Stokes) tendrá una frecuencia
mayor. Si, por el contrario, le da energía, el fotón emitido (Stokes) será de menor frecuencia.
Note que puesto que la dispersión anti-Stokes requiere que la molécula, al momento de la
colisión con el fotón, se encuentre en un estado excitado vibracional o rotacional, la
radiación Stokes es más intensa que la anti-Stokes. Aunque en general las dos son muy
pequeñas con relación a la elástica.
En teoría clásica, los osciladores cargados que constituyen la materia realizan oscilaciones
forzadas no resonantes cuando se les somete a fuerzas periódicas de frecuencias diferentes
a la del sistema. Estas oscilaciones son pequeñas comparadas con aquellas sometidas a
fuerzas con frecuencias cercanas a la de resonancia.
Cuando el campo electromagnético sinusoidal actúa sobre una molécula en una frecuencia
diferente a todas las posibles transiciones permitidas en dicha molécula, las cargas que la
constituyen efectúan oscilaciones forzadas en la frecuencia del campo. El momento dipolar
eléctrico es proporcional al campo eléctrico
150
EDrr
⋅= α
donde α es un parámetro propio de la molécula llamado polarizabilidad.
Para una molécula di-atómica, desarrollando la polarizabilidad en serie de potencias
alrededor de la posición de equilibrio,
( ) ...)()( 000
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+= rrr
rrr
ααα
Como los núcleos están vibrando
( ) )cos()( 00 ϕω +Δ=− trrr e
y considerando
tEE ωcos0
rr=
El momento dipolar forzado de la molécula será:
[ ] [ ]{ }ϕωωϕωωαωα −−+++Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+= ttrr
EtrED eer
)(cos)(cos)(cos)( 00000
rrr
La suma de tres contribuciones. El primero representa una oscilación con frecuencia igual a
la del campo de excitación (dispersión Rayleigh). La segunda emite radiación con frecuencia
mayor (línea anti-Stokes) y la tercera con menor frecuencia (línea Stokes). A estas dos
últimas se le conoce como “dispersión Raman”.
Láseres Si un campo de radiación con energía por unidad de volumen )(νρ puede generar
transiciones entre dos niveles i y j, la tasa de transición del nivel inicial al final es igual a la
tasa de transición desde el nivel final al inicial más un término independiente de )(νρ que da
la tasa de decaimiento espontáneo:
jijjijiji ANBNBN += )()( νρνρ
El término de la izquierda representa la absorción de la radiación del sistema en su estado i;
el primer término del lado derecho, término introducido por Einstein, representa la emisión
inducida del estado j al i; mientras que el segundo término del lado derecho, representa la
emisión espontánea de dicha transición.
151
La probabilidad de que el sistema pase del estado inicial al final es igual a que pase del
estado final al inicial jiij BB = ; mientras que jiji Bc
hA 33
8 νπ= , la cual representa la relación
fundamental entre la emisión espontánea y la estimulada.
Figura. Esquema de un láser de tres niveles
Existen varios métodos de bombeo, denominados así por el hecho de llevar al sistema
desde un estado de menor energía a otro de mayor energía, entre ellos el más usado es el
bombeo óptico. El bombeo óptico genera lo que conocemos como la inversión de población
en el sistema mediante la incidencia de luz de excitación. Por ejemplo, la luz de una lámpara
de mercurio, en uno de los focos de una cavidad resonante en forma de elipse, es utilizada
para la excitación de niveles en un láser Nd-YAG (iones de Nd+3). Este tipo de bombeo se
usa también para obtener la inversión de población en los láseres de Rubí (iones de Cr+3),
con una lámpara de Xenón.
Entre otros procedimientos para lograr la inversión de población están: a) El bombeo por
colisiones en el interior de mezclas gaseosas; b) La excitación por disociación de moléculas
en el seno de una descarga; c) la foto-desintegración; d) La excitación vibracional en las
reacciones químicas; e) El bombeo por el paso de corriente en un diodo.
152
Aplicaciones básicas
Metales (gas de electrones libre)
Una red cristalina es un arreglo periódico de átomos (o moléculas) ligados entre sí por
medio de algún tipo de enlace (generalmente iónico o covalente). Existen 14 tipos de
estructuras cristalinas donde la base (átomos o moléculas) de dichos cristales observan un
medio circundante igual, se las denomina redes de Bravais. Para el caso de un metal, se
considera que sus electrones de valencia son casi libres. Por tanto se lo modela como un
gas de electrones libres. Con un número de electrones del orden del número de átomos en
la muestra, es decir, del orden del número de Avogadro: molat
A xN 2310023.6= .
Si se considera un sistema de N electrones libres (no interaccionan con los átomos de la red
ni entre ellos) la ecuación de Schrödinger del sistema se reduce a N ecuaciones de
Schrödinger para una sola partícula libre. Estas soluciones las utilizamos para todas las
demás partículas del sistema.
Figura. Relación entre la energía y el vector de onda
rkieA
Em
⋅−=
=∇−
ψ
ψψ22
2h
mkE
mEk
2
2
22
22
h
h
=
=
pk rrh =
La condición de normalización es:
∫ ∫ === ∗∗∗ 13ALAdVAAdVψψ
23
1
LA =
y además →ψ condiciones periódicas de borde.
153
( ) ( )( ) ( )( ) ( )Lyxyx
zLxzxzyLzy
,,0,,,,,0,,,,,0
ψψψψψψ
=⇒=
=
zz
yy
xx
nL
k
nL
k
nL
k
π
π
π
2
2
2
=
=
=
Ζ∈
Ζ∈Ζ∈
z
y
x
n
nn
( )znynxnL
ieL
3212
23
1 ++−=
π
ψ ( )23
22
21
2222 222321
nnnLmm
kE nnn ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==πhh
El estado del electrón de conducción se define por el valor del vector de onda
( )zyx kkkk ,,=r
, es decir, por tres números cuánticos. Sin embargo hay que introducir
adicionalmente el número cuántico spin. Así ( )smnnn 321 → describen un estado cuántico
del electrón. Note que ( ) 321 nnn definen la energía del electrón en ese estado.
2
32
22
1 nnnn ++= Un estado en un cubo unidad
( )222 2
2n
LmE ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=πh
El número de estados con energía menor o igual a E es: 33
38
342 nnE ππν =⋅=
El factor dos se debe a los dos posibles estados de spin de los electrones. Cambiando a E
23
323
2 22
38 ELm
E ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ππν
h
( )( )
23
3
23
22
38 EmVE
hππν =
El número de estados cuánticos electrónicos con energía entre E y E+dE se lo obtiene
diferenciando esta expresión:
154
dEEgd E )(=ν
La densidad de estados24es:
( )( )
21
3
23
224)( EmV
dEdEg E
hππ
ν==
la cual se muestra en la figura.
Figura. Densidad de estados de electrones no relativistas
Distribución de Fermi
Los electrones son partículas de spin 1/2 (pertenece a la familia de los Fermiones) que se
caracterizan porque "satisfacen el principio de exclusión de Pauli25".
A KT o0= los electrones ocupan los estados cuánticos desde aquellos de menor energía,
cumpliendo estrictamente el principio de exclusión (gas completamente degenerado), hasta
el nivel en el cual se agotan el número de electrones. A este nivel se lo conoce con el
nombre de “el nivel de Fermi”.
La ocupación o (probabilidad de ocupación) a KT o0= está dada por la función )(0 Ef que
se muestra en la figura. 24 Una forma rápida para determinar el número de estados de una partícula con cantidad de movimiento entre p y
p+dp, es mediante la relación: 3
24h
dppVd Eπγν = donde γ es la multiplicidad de spin de la partícula y V
el volumen espacial. 25 Un estado cuántico no puede ser ocupado por más de un fermión.
155
El número de electrones con energía entre E y E+dE será:
dEEgEfdEEN )()()( 0=
y el número de electrones en el gas completamente degenerado es:
( ) ( )∫∞
=0
dEEfEgnV o
Integrando esta ecuación se obtiene:
( ) 3/222
32
)0( eF nm
E πh=
Ejercicio. Determinar la energía de Fermi a 0 ºK para Na, Ag. Asocie a estos valores
temperaturas (temperatura de Fermi) y compare con la temperaturas de fusión de dichos
metales.
Deducción simplificada de la función de Fermi-Dirac.
Choque inelástico del gas electrónico con una impureza que puede encontrarse en dos
estados 0 y ε .
De la gran cantidad de choque se examina aquel donde el electrón pasa del estado Kr
con
E al ´Kr
con ε+E , mientras la impureza va de ε a 0.
Sea PKK' la probabilidad de dicho proceso ( ) ( )ε+→ EKEK ´rr
. Esto será proporcional a:
• La probabilidad f(E) de que el estado ( )EKr
este ocupado por un e-.
• La probabilidad de que ( )[ ]ε+− Ef1 de que el estado ( )ε+EK´r
este desocupado.
• La probabilidad ( )εp de que la impureza se encuentra en el estado de energía ε .
( ) ( )[ ] ( )εε pEfEfPkk
+−≈ 1'
note que:
( ) ( )[ ] ( )01'
pEfEfPkk
−+≈ ε
Considerando que existe equilibrio es decir que el número de transiciones de Kr
a ´Kr
es
igual al número de transiciones de ´Kr
a Kr
.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )011 pEfEfpEfEf −+=+− εεε
( )( )
( )( )
( )( )
kTepp
EfEf
EfEf εε
εε −
==−
⋅+−
+0
11
156
Donde se ha considerado que la probabilidad de localizarse la impureza en los estados cero
y ε esta regida por la distribución de Boltzmann.
La ecuación se cumple para cualquier T y ocurrirá solo si:
( )( )
( )Tk
EBe
EfEf μ−
=−1
donde μ es el potencial químico. Note que,
( )( )
( )[ ]Tk
EBe
EfEf με
εε −+−
=+−
+1
resolviendo la primera ecuación para ( )Ef se tiene:
( ) [ ] →+
= −
1
1Tk
EBe
Ef μ distribución de Fermi-Dirac
Figura. Función de distribución de Fermi-Dirac
Para el caso de un gas de electrones libre el potencial químico es definido como la energía
de Fermi.
Si →n es el número de electrones libres por volumen, entonces →nV es el número de
electrones en el metal.
( ) ( ) nVdEEgEf =∫∞
0
( )( ) [ ] nVdEEmV
TkEE
BF
e=
+∫∞
−0
21
3
23
1224hπ
π
Resolviendo la integral26 y considerando FB ETk << se tiene:
( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
22
01210
F
BFF E
TkETE π
26 Para el caso kBT<<EF
( ) ...6
)()()( 2
0 0
2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=∫ ∫∞
F
F
EB
E
ETkdEEdEEEf ϕπϕϕ
157
Ejercicio. Encontrar la energía media del gas de Fermi a T = 0 ºK. y a T ≠ 0 °K.
Ejercicio. Determina la capacidad calorífica del gas de electrones libres. dTEdCV =
Efectos Termo-eléctricos
1) Conductor no homogéneo a temperatura uniforme (Efecto Volta)
Sus niveles de Fermi tienden a igualarse para alcanzar el equilibrio.
Si ( ) ( )12 FF EE > pasan los electrones de 2 a 1. Lo que motiva la existencia de un campo
eléctrico y una corriente que tiende a eliminar el campo cuando se iguala las corrientes de
conducción y difusión y se crea un potencial estacionario.
( ) ( ) ( )1212 TETEVVe FF −=−
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡−−−=−=−
12
222
121212 01
01
120011
FF
BFFFF EE
Te
kEE
eTETE
eVV
π
2) Conductor homogéneo a temperatura no uniforme. (Efecto Thomson)
Los electrones más energéticos viajarán a la zona de menor T generándose una diferencia
de potencial.
( ) ( ) ( )1212 TETEVVe FF −=−−
En condición estacionaria se tiene:
( ) ( ) ( )21
22
22
12 012TT
eEk
VVF
B −=−π
3) Efecto simultáneo de los dos anteriores. (Efecto Seebeck)
Figura. Termocupla. Efecto Seeback o termo-eléctrico
158
Ejercicio. Demuestre que: ( )22
21
22
16 )0(1
)0(1
6 baFF
B TTEEe
kVV −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
π
4) Efecto Peltier: flujo de corriente por la juntura de dos metales o semiconductores
producen un desprendimiento u absorción de calor. (Consulte sobre este efecto)
Gas de Bosones
Las partículas que tienen spin entero son llamadas “bosones” y no satisfacen el principio de
exclusión de Pauli. Varias partículas (sin restricción en su número) pueden ocupar un mismo
estado cuántico. Estas partículas siguen otro tipo de estadística llamada estadística de
Bose-Einstein, y cuya función de distribución (o de ocupación) es:
( ) [ ]1
1
−= −
TkE
BeEf μ
Para el caso de que el número de bosones no permanezca constante en el sistema, la
función de distribución viene a ser:
( )1
1
−=
TkE
BeEf
A la que le llamamos distribución de Planck.
Ejercicio. Encuentre la energía media de un Gas de fotones y de un gas de fonones
(vibraciones en redes cristalinas en la aproximación de Debye27). Encuentre además, para
este último caso, la capacidad calorífica del gas.
Limite de alta temperatura y baja concentración
Tanto la distribución de Fermi-Dirac como la de Bose-Einstein, tienden a:
( ) TkE
B
TkETkBBB eee
Tmkh
VNEf /
2/32//
22−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
πμ
El número de partículas con energía entre E y E+dE se lo obtiene multiplicando por la
densidad de estados.
Ejercicio. Determine el número de electrones con energía entre E y E+dE para esta
distribución. Utilizando las propiedades de las funciones gamma (consulte), determine la
energía media del gas de partículas y su capacidad calorífica.
27 El número total de estados es 3N (el número de oscilaciones normales).
159
Electrones en potenciales periódicos
Como se mencionó anteriormente, los cristales están formados por celdas cristalinas
idénticas. Los átomos están ubicados en posiciones periódicas que definen esta celda.
El conjunto de vectores cba rrr ,, que define todos los puntos de la red mediante la relación
cnbnanR rrrr321 ++= siendo 321 ,, nnn enteros, se los llama vectores generadores y un
paralelepípedo formado por ellos y que su traslación genera todo el cristal, una celda
unitaria. La celda unitaria de menor volumen se la conoce como celda primitiva. Se puede
demostrar que existen 14 formas de acomodar los puntos en las redes cristalinas de tal
modo que todos los puntos de dichas redes tengan el mismo medio circundante. Las 14
redes (llamadas de Bravais) se asocian en 7 sistemas cristalinos: cúbico, hexagonal,
tetragonal, trigonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico.
Un electrón en un cristal puede modelarse como una partícula en un potencial periódico,
cada celda del cristal será equivalente para el electrón.
Teorema de Bloch
Si se considera al sistema cuántico como una partícula en presencia de un potencial
periódico, entonces la ecuación de Schrödinger será:
( ) ψψψ ErVm
=+∇− 22
2h
( ) ( )→+= RrVrVrrr
periódico en el parámetro de la red Rr
,
entonces, la función de onda tendrá la forma de ondas planas moduladas, es decir:
( ) ( )→= ⋅− rr krki
k e rr rr
μψ por kμ y ( ) ( )Rrr kk
rrr+= μμ .
Note que en este caso:
→∗ψψ es la misma en cada celda unitaria.
Lo que indica que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón es la misma para
cada una de las celdas unitaria.
El buen comportamiento de la función de onda y el hecho de que el valor de k sea real,
genera una estructura de bandas para los niveles energéticos electrónicos permitidos, así
por ejemplo, la siguiente figura representa una ecuación trascendental donde los valores
permitidos de k(E) son aquellos en donde la curva graficada solo toma valores entre -1 y +1.
160
Figura. Estructura de bandas de los niveles energéticos electrónicos en una red cristalina.
Ejercicio. Estudie el modelo de Kroning-Penney.
La estructura de bandas de energía permite explicar la existencia de metales (banda de
valencia incompleta o solapamiento de bandas), dieléctricos (banda prohibida grande, es
decir, varios eV) y semiconductores (banda prohibida menor a 1 eV)
La energía del movimiento térmico ( )Tk B~ lleva a los electrones a niveles más altos, los
electrones tendrán gran movilidad (en el caso de metal o semiconductor a alta T).
Figura. Teoría de bandas. Materiales de acuerdo con sus propiedades eléctricas
Dinámica de los electrones en la red cristalina
El comportamiento ondulatorio de un electrón en un cristal indica kx
xk
Δ≥Δ
≥ΔΔ1
1
161
Decimos que el electrón estará representado por un paquete de onda y su velocidad será:
dkdE
dkd
gh
1==
ωυ
Si sobre el electrón, dentro del cristal, actúa una fuerza externa (digamos, debida a la
presencia de un campo eléctrico εr
). En este caso, sobre el electrón actuará además de las
fuerzas cristalinas (creadas por el campo de red), esta fuerza externa de tipo - εre . Durante
el tiempo dt esta fuerza realizará un trabajo.
dtFdW gυ=
dtdkdEFdW
h=
Este trabajo incrementa la energía del electrón en el cristal.
dEdW =
dkdkdEdE =
dtdkdEFdk
dkdE
h=
h
Fdtdk
=
Diferenciando la velocidad de grupo respecto al tiempo.
hhhh
Fdk
Eddtdk
dkEd
dkdE
dtd
dtd g ⋅==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
2
2
2 111υ
dtd
dkEd
F gυ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
22
2h
dtd
mF gυ∗= donde: 2
2
2
dkEd
m h=∗ toma el nombre de masa efectiva.
162
Ejercicio. Demuestre que la masa efectiva ∗m para el electrón libre coincide con el valor real
de la masa del electrón.
Note los valores de ∗m en A, B, C. En el punto A la relación de dispersión es parecida a la de
los electrones libres por lo tanto, la masa efectiva de los electrones es positiva. En el punto
B la masa efectiva tenderá a un valor infinito, puesto que al ser un punto de inflexión la
segunda derivada es cero. Esto quiere decir que la inercia de estos electrones en el material
será muy grande por lo que no serán afectados de ningún modo por la presencia de una
fuerza externa. En el punto C, la segunda derivada es negativa, por lo que la masa efectiva
es negativa. Esto indicará que el electrón responderá a la fuerza externa con movimiento en
la dirección opuesta.
Conductividad eléctrica
El cálculo mecánico cuántico correspondiente a una red cristalina ideal muestra que los
electrones de conducción (caso de metal) no tendrán ninguna resistencia en su movimiento
y uno esperaría superconductividad. Sin embargo la red no es perfecta y posee defectos,
impurezas, dislocaciones etc. y también la red sufrirá vibraciones térmicas. Estos son los
orígenes de la resistencia eléctrica.
La resistividad de los metales se la puede escribir como:
imV ρρρ +=
Vρ → resistividad debida a vibraciones térmicas (depende de T)
imρ → resistividad debida a impurezas (no depende de T)
Si se tiene n electrones por unidad de volumen, se define la velocidad de deriva de los
mismos cómo:
∑= iD nυυrr 1
En ausencia de campo eléctrico externo, ésta es cero. Si se aplica un campo eléctrico
externo εr
, su ecuación de movimiento será:
DD e
dtdm υγευ rrr
−−=*
Donde se ha considerado un término de rozamiento debido a la resistencia eléctrica.
Si en un tiempo referencial t=0 se desconecta el campo externo, la ecuación queda
DD
dtdm υγυ rr
−=*
cuya solución es:
163
τυυ /)0()( tDD et −⋅= con
γτ
*m=
la velocidad de deriva decaerá hasta hacerse cero, con un tiempo de relajación τ (también
conocido como tiempo medio entre colisiones28).
El valor estacionario de la velocidad de deriva se la puede encontrar de:
De υγεrr
−−=0
ετυ vv*m
eD −=
La densidad de corriente será: DneJ υrr
=
De donde se obtiene: ετrr
*
2
mneJ = es decir,
εσrr⋅=J (Ecuación que representa la ley de Ohm)
siendo σ la conductividad eléctrica., que está dada por:
*
2
mne τσ =
El inverso de la conductividad eléctrica se define como la resistividad.
La movilidad de los portadores de carga se suele definir como la razón entre la velocidad de
deriva y el módulo del campo eléctrico aplicado,
*med τ
ευ
μ ==
Semiconductores Generalmente son redes cristalinas de átomos de Silicio o Germanio (o compuestos: Ga-As,
Al-Sb, In-Sb, etc.). Se caracteriza por una banda de valencia llena y una de conducción
vacía, separadas por una banda prohibida de menos de 1 eV. Se los puede clasificar como
intrínsecos y extrínsecos.
Intrínsecos.
No contienen muchas impurezas (químicamente puro). La banda de valencia está
totalmente ocupada y la banda prohibida es pequeña (menor a 1 eV). La conductividad
crece al incrementarse con T (en los metales disminuye T/1∝σ ).
A T= →Ko0 el semiconductor se comporta como dieléctrico.
28 El tiempo medio entre colisiones se lo puede estimar mediante: τυ ⋅=l si se conoce el camino libre medio l y la velocidad media de las partículas en el gas. En metales, la velocidad media se la toma como la de velocidad de Fermi.
164
Figura. Semiconductor intrínseco
A temperatura diferente de cero, debido a la excitación térmica, los electrones en los niveles
superiores de la banda de valencia pasan a los niveles bajos de la banda de conducción,
dejando un nivel vacante en la de valencia. La ausencia de carga –e y masa ∗m negativa es
equivalente a la presencia de una partícula de carga +e y masa ∗m positiva.
En la banda de valencia llena se tiene que 0=∑i
iυr
, si saca de la sumatoria la velocidad
del k-ésimo electrón, 0=+∑≠
kki
i υυrr
y por tanto ∑≠
=−ki
ik υυrr
. Todos los electrones crean
una corriente igual a: ( )( ) kk ee υυrr
=−− los niveles vacantes se forman en el techo de la zona
de valencia. En esta región ∗m es negativo para el electrón. Lo que equivale a la corriente
de una carga positiva y masa efectiva positiva, como ya se mencionó anteriormente.
En el caso de los semiconductores intrínsecos las concentraciones de portadores de carga
negativos y positivos son iguales,
( ) TkEBhehe
Beh
Tkmmnn 2/
2/3
2
2/1**22 Δ−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
π
La energía de Fermi esta dada como:
∗
∗
+Δ=e
nBF m
mTkEE ln
43
21
Siendo ΔΕ el ancho de la banda prohibida.
El segundo término de la expresión es pequeño, por lo que en la banda de conducción,
2/EEE F Δ≈− , de tal manera que en la cola de la curva se tiene que TkE BeEf 2/)( Δ−≈ .
Figura. Semiconductor intrínseco
165
Tanto los electrones como los huecos son portadores de carga, y puesto que la
conductividad es igual al número de portadores de carga se tiene que la conductividad
tendrá la misma dependencia, es decir: TkE Be 2/
0Δ−⋅= σσ
Con una dependencia de la conductividad en la temperatura de la forma:
T/1ln ∝σ
Consulta. 1) Detectores semiconductores de Ge-HP para radiación γ y X.
Extrínsecos.
Los semiconductores extrínsecos están dopados con impurezas (concentraciones del orden
de 1013-1019 impurezas por cm3).
Se les llama “tipo n” cuando las impurezas son pentavalentes (ejemplo: fósforo P). En este
caso incrementamos el número de portadores negativos. Se introducen estados de energía
en la banda prohibida (estados donores) cerca de la banda de conducción donde también se
encuentra el nivel de Fermi.
Se les llama “tipo p” cuando las impurezas son trivalentes (ejemplo: Litio Li). En este caso se
incrementa el número de portadores positivos. Se introducen estados de energía en la
banda prohibida (estados aceptores) cerca de la banda de valencia donde también se
encuentra el nivel de Fermi.
Figura. Semiconductores tipo n y p y nivel de Fermi.
Al aumentar la temperatura la energía de Fermi EF tiende hacia el centro de la banda
prohibida en ambos tipos de semiconductores.
166
Los electrones y los huecos en los semiconductores se comportan como partículas clásicas,
sus concentraciones en las correspondientes bandas es pequeña. El ancho de la banda
prohibida es más grande que la térmica, por tanto la distribución de Fermi se la aproxima por
la de Boltzmann. La concentración de electrones29 en la banda de conducción es:
Tkee
BeCn /ξ−= con 2/3*
3 22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πTkm
C Bee
h
La concentración de huecos en la banda de valencia es:
Tkhh
BeCn /η−= con 2/3*
3 22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πTkm
C Bhh
h
El valor
*
*
ln23ln
e
hB
e
hB m
mTk
nn
Tk ⋅−=−ξη
Note que para el caso de semiconductores intrínsecos las masas efectivas de los electrones
y huecos no difieren mucho entre si, por tanto, se puede considerar:
ηξ =
Por lo que TkE
hnheBeCCnn /Δ−⋅=
Esta relación muestra que la concentración de electrones y huecos no depende de la
posición del nivel de Fermi, es decir, de la cantidad de impurezas en el semiconductor, y
para el caso intrínseco TkE
hnhebeCCnnn 2/Δ−⋅===
Conductividad eléctrica de los semiconductores.
Haciendo referencia a lo estudiado en la página 160, la conductividad eléctrica de los
semiconductores queda definida por la concentración de los portadores de carga y su
movilidad:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= **
2
h
hh
e
ee
mn
mn
eττ
σ
En los intrínsecos las aportaciones a la conductividad eléctrica son comparables. En los
extrínsecos tipo n los portadores mayoritarios son los electrones y en los tipo p los huecos.
29 Se la calcula mediante la relación: ∫ +−⋅= TkE
eeBeEdNVn /)()( ξ
167
En los semiconductores intrínsecos, al incrementarse la temperatura el tiempo de relajación
disminuye mientras que la concentración de portadores crece exponencialmente,
observándose un incremento neto de la conductividad con la temperatura. En los
semiconductores extrínsecos la conductividad depende de un modo más complejo con la
densidad de portadores30 como se muestra en la figura:
Figura. Conducción eléctrica de los semiconductores extrínsecos
Juntura n-p
Al poner dos semiconductores tipo n y p en contacto se produce una difusión de electrones
del tipo n al tipo p y de huecos del tipo p al tipo n. Esto conduce a que en la interfase
aparezca una diferencia de potencial a la cual se la llama barrera de contacto que conduce
al equilibrio.
Figura. Unión n-p
Aún después de que se establece el equilibrio, existe un flujo de electrones en ambas
direcciones: la excitación térmica puede ocasionar el salto de un electrón de la banda de
valencia a la de conducción del semiconductor p, el cual emigrará hacia la unión y será
acelerado hacia el semiconductor n (corriente térmica); un electrón en la banda de
conducción del material n podría ganar un poco de energía en una fluctuación y ser capaz
de moverse hacia p donde se puede combinar con uno de los muchos agujeros de esta
región (corriente de recombinación). Estas corrientes se eliminan pues la corriente neta a
través de la unión es nula.
La concentración de electrones en los dos lados de la unión es: Tk
eenBneCn /ξ−=
Tkeep
BpeCn /ξ−=
30 La segunda derivada de la conductividad respecto de la densidad de electrones es positiva, por lo que la dependencia presenta un mínimo.
168
Los electrones que llegan a la unión desde p, la pasan sin obstáculo, ya que el campo
eléctrico contribuye a su movimiento. Lo mismo sucede con los huecos que se aproximan a
la unión desde n. De modo que la unión es atravesada por los portadores minoritarios (de
cada semiconductor) sin ningún obstáculo. Se la conoce como corriente de deriva Is. El flujo
de electrones que llega a la unión desde p es:
Tke
ep BpeCn /
44ξυυ −=
Los electrones son los potadores mayoritarios en n, el flujo de estos en la unión será:
4υenn
. No todos podrán superar la barrera de potencial que crea la diferencia de potencial
de contacto. La fracción de electrones que superan esta barrera, de acuerdo con Boltzmann,
será: TkBpne /)( ξξ −− . Así el flujo de electrones que pasan de n a p es:
TkTke
Tken BpnBnBpn eeCen /)(//)(
44ξξξξξ υυ −−−−− =
Se la llama corriente de difusión Ig y coincide, en valor, con la expresión anterior. Un análisis
similar se puede realizar con los huecos. Se concluye entonces que la situación es de
equilibrio dinámico.
Si se conecta una diferencia de potencial externa en los bordes de los semiconductores
(recibe el nombre de diodo)
Figura. Conexión en polaridad directa e inversa de un diodo semiconductor
Note que en los diagramas de energía, la energía potencial de los electrones crece de abajo
hacia arriba; mientras que el potencial eléctrico de arriba hacia abajo.
Para el caso de los portadores minoritarios (electrones en p y huecos en n), cuando los
electrones se acercan a la unión desde p, la situación nada cambia, la pasan sin obstáculo.
Llamemos a esta corriente Inp. Los portadores mayoritarios, los electrones en n, al acercarse
169
a la unión verán que la barrera de potencial (disminuyó o aumentó). Si antes su magnitud
era: np ξξ − ahora será: Vnp −−ξξ , así que la corriente de difusión varía en un factor
exponencial TkeV Be / . Puesto que en ausencia de potencial ésta corriente es igual a la de
deriva, podemos escribir:
)1( / −= TkeVnpn
BeII
Una expresión análoga se satisface para los huecos,
)1( / −= TkeVpnp
BeII
Sumando ambas contribuciones y considerando pnnp III +=0 se tiene,
)1( /0 −= TkeV BeII
Cuando la tensión externa es positiva el exponencial crece rápidamente. Se facilita las
condiciones de paso de los portadores de carga mayoritarios. Para tensión inversa, el paso
mayoritario de los portadores a través de la unión se dificulta, tendiendo en el límite, a la
corriente de los portadores minoritarios.
Figura. Corriente-voltaje de la juntura n-p
La característica fundamental de diodo es entonces la de rectificar un voltaje variable.
Los dispositivos de juntura semiconductora tienen múltiples aplicaciones, así se tiene:
a) El diodo túnel, donde las regiones semiconductoras n y p están fuertemente
dopadas, lo que reduce el ancho de la región de agotamiento (unión) y genera una
contribución adicional a la corriente por efecto túnel de electrones de la banda de
conducción del semiconductor n a la banda de valencia del p, para voltajes directos
pequeños. Lo que genera un pico en la curva corriente voltaje (ver página 85).
b) Los diodos emisores de luz (LED) que han tenido un avance extraordinario
(actualmente se cuenta con LEDs con emisión hasta la región UV media). Las
transiciones de los electrones de conducción a la banda de valencia y la posterior
recombinación con los huecos generan la emisión de luz.
c) Los diodos láser que de igual manera han alcanzado longitudes de onda en la región
violeta. Una alta corriente genera la inversión de población requisito para que el
sistema lasée.
170
d) Los fotodiodos, en los cuales la incidencia y absorción de luz genera la transición de
un electrón de la banda de valencia a la de conducción, y con ello, la generación de
una corriente eléctrica.
Transistor
Se llama transistor a los dispositivos que tienen más de una juntura n-p. Considere el caso
de un transistor p-n-p con base común, como se muestra en la figura.
Figura. Esquema de un transistor p-n-p
A la parte izquierda se la conecta una tensión directa (emisor); mientras que a la derecha
una tensión inversa (colector). La parte central (semiconductor tipo n) toma el nombre de
base. Si se conecta la tensión E1 en la unión emisor-colector comienza a fluir una cierta
corriente. Los huecos inyectados a la base aumentan significantemente los portadores
minoritarios en la base. Para estos, la unión n-p a la derecha es aceleradora, así que le
atraviesan con facilidad. La corriente que circula por el circuito emisor-base controla la
corriente que fluye por el circuito base-colector.
La razón de valores de las resistencias es igual a la razón de voltajes en ellas.
Transistor de efecto de campo (MOSFET)31
Una representación gráfica del mosfet se ilustra en la siguiente figura. El semiconductor tipo
n que está en contacto con la fuente y el dren, se encuentra incrustado en un semiconductor
tipo p, por lo que se genera una región de agotamiento (o rarefacción), especialmente en la
parte del canal n. La compuerta esta separada del canal n por una capa de dióxido de silicio.
Figura. n-Mosfet
31 MOSFET = Metal-Oxide-Semiconductor-Field-Effect Transistor
171
Si se aplica una tensión a los terminales fuente-dren Vsd, los electrones fluirán por la región
superior del canal n, porque la región interior esta agotada de portadores de carga. Si se
aplica un segundo voltaje Vsg, fuente-compuerta, se genera un campo eléctrico que provoca
el adelgazamiento de la región de agotamiento o el ensanchamiento del canal n,
aumentando el valor de la corriente. Si se aplica un voltaje variable a la compuerta, el área
por la que atraviesa la corriente fuente-dren varía de igual manera: Una pequeña variación
en el voltaje de la compuerta resulta en una gran variación de corriente y por tanto un gran
voltaje en los terminales de la resistencia, en este caso actúa como un amplificador de
voltaje.
Figura. Mosfet como um amplificador de voltaje.
Consulta.
1) Celdas Solares.
2) Circuitos integrados.
3) Detectores de Centelleo de NaI (Tl).
Ferromagnetismo
El comportamiento magnético de los átomos en los sólidos es algo diferente al del átomo
libre.
Cuando se aplica un campo magnético a una sustancia paramagnética los momentos
dipolares magnéticos atómicos se alinean en dirección al campo magnético. Cuando se
retira dicho campo, el movimiento térmico desordena rápidamente los spines temporalmente
alineados. En materiales ferromagnéticos, hay una fuerza adicional que les mantiene
alineados32 (la fuerza de intercambio33) que está representada por un potencial de la forma:
jiij SSJUrr
⋅−=
32 Esta interacción no es dipolo magnético-dipolo magnético, pues ésta es muy débil para formar ferromagnetismo. 33 Que aparecen debido a las distribuciones de carga que aparecen como consecuencia del principio de exclusión de Pauli.
172
donde iSr
y jSr
son los espines de los átomos i-ésimo y j-ésimo y J un parámetro que
proporciona la intensidad de la interacción de intercambio. El hecho de que J puede tomar
valores positivos y negativos depende del espaciamiento entre los átomos del sólido, la
siguiente gráfica muestra esa dependencia. En el cual d representa la distancia inter-
atómica. Solo cuando J es positivo ocurre ferromagnetismo (ejemplo: Fe, Co, Ni). Aún
teniendo el Cromo y el Manganeso estructura similar a la del hierro Fe (3d), tienen J
negativo.
Figura. Dependencia del parámetro J como función de la distancia relativa de los átomos
Sin embargo se puede cambiar el espaciamiento de estos materiales teniéndolos como
compuestos, ejemplo CrO2 y MnAs que son materiales ferromagnéticos.
La temperatura de Curie se define como aquella a la cual el material deja de ser
ferromagnético y se transforma en paramagnético. (KBT > J). Esta temperatura para el hierro
(Fe) es 1043ºK.
173
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA NUCLEAR
La física nuclear trata sobre el estudio del núcleo atómico, su estructura y sus propiedades.
Reseña histórica
Rutherford (1911) realizó experimentos de dispersión de partículas alfa con láminas de oro
que mostraron la presencia del núcleo atómico donde la masa y la carga positiva del átomo
se encuentra concentrado en un volumen pequeño. Adicionalmente Rutherford, observó las
reacciones N14(α,p)O17, es decir, la emisión de protones del núcleo por lo que propuso que
éstos deben ser componentes nucleares. En 1913 J.J. Thomson (Aston 1919) descubrió que
la masa del núcleo no estaba determinada únicamente por su carga. Había varias masas
correspondiendo a la misma carga (descubrimiento de isótopos). Los métodos químicos
mostraron que la masa de los átomos se aproximaba a un número entero veces la masa del
hidrógeno,
HH MAMenteroM ⋅=⋅≈ llamado número másico A, aproximadamente el doble de la
carga eléctrica (Z del elemento).
Los electrones fueron excluidos de formar parte del núcleo atómico por las siguientes
razones:
• El principio de incertidumbre de Heisenberg. Muestra que los electrones tienen energías
muy altas.
• La presencia de un número de electrones dentro del núcleo implicaría momentos
magnéticos nucleares del orden de los magnetones de Bohr, sin embargo
experimentalmente se miden momentos magnéticos nucleares del orden 2000 veces
más pequeños.
Chadwick (1932), mediante colisiones de partículas alfa con Berilo, descubrió el neutrón,
cuya masa es muy próxima a la del átomo de Hidrógeno. Sin carga eléctrica, y spin 1/2.
Momento dipolar magnético -1.91 μN . Tiempo de vida media 870 segundos.
Nos llevó a proponer el modelo de núcleo atómico formado por:
Z protones y (A – Z) = N neutrones
Los cuales están unidos mediante la interacción fuerte a distancias nucleares (10-13 - 10-12
cm). A distancias mayores que las nucleares (distancias atómicas) se desvanece
completamente.
Tanto a los protones y neutrones → se los llama nucleones.
En realidad los protones y neutrones tienen estructura interna. “partones” (quarks). La
interacción fuerte, desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos, no es más que
intercambio de gluones virtuales entre los quarks “Cromo-dinámica Cuántica”.
El siguiente esquema muestra los componentes fundamentales de la materia:
174
La energía que se requiere para excitar los quarks que conforman un nucleón individual es
de 300 MeV. Trabajamos en aproximación de menor energía. Así que consideramos al
sistema núcleo formado por: protones y neutrones.
La interacción fuerte.
La interacción fuerte es la responsable de mantener a unido los nucleones en núcleo
atómico. Algunas propiedades de la fuerza nuclear se pueden inferir directamente, así:
• A distancias cortas es más fuerte que la electromagnética
• A distancias del orden atómico, es despreciable.
• Algunas partículas son inmunes a esta interacción. leptones.
Si se empieza a explorar experimentalmente se pueden encontrar otras propiedades de la
interacción fuerte, así:
• La fuerza entre nucleones parece ser independiente de si los nucleones son
protones o neutrones (independencia de carga)
• La fuerza nucleón-nucleón depende de las orientaciones relativas de los spines de
los nucleones.
• La fuerza nucleón-nucleón incluye un término repulsivo, la cual mantiene a los
nucleones a una separación promedio.
• La fuerza nucleón-nucleón tiene una componente no central o tensorial.
• Tiene una componente de interacción spin-orbita de naturaleza nuclear.
Propiedades de los núcleos
En núcleos pesados estables hay aproximadamente 40% de protones y 60% de neutrones,
esto se muestra en la figura.
Figura. Curva de estabilidad de los elementos estables presentes en la naturaleza
175
Familia de Núcleos (Nomenclatura ANZ E )
Isótopos (Z1 = Z2) 3
12
11
1 ;; HHH 23892
23592
23492 ;; UUU
Isotonos (N1 = N2) 422
321 ; HeH 17
891688
1587
1486 ;;; FONC
Isóbaros (A1 = A2)
312
321 ; HeH 40
1921402020
402119
402218
402317 ;;;; ScCaKArCl
Isodiáferos (N1 – Z1) = (N2 – Z2)
.......;;; 1055
633
422
211 BLiHeH 214
1328221813484
22613686
22613686
23014090
23414292 ;;;;; PbPcRaRaThU
Isómeros (núcleos excitados) ANZ
ANZ EE ,*
Núcleos Espejo Z1 = N2 y N1 = Z2
Dependiendo de la conformación de los núcleos. Se ha visto que en la naturaleza los
elementos estables los podemos clasificar como:
A Z N Tipo (Z-N) Nucleidos estables + nucleidos τ grande
par par Par p-p 166 +11 impar par Impar p-i 55 + 3 impar impar Par i-p 51 + 3
par impar Impar i-i 6 + 4 Total 278 + 21
Tamaño nuclear
La distribución de la carga nuclear
Se realiza mediante experimentos de dispersión de electrones.
Longitud de onda de De-Broglie menor al tamaño del objeto.
p > 100 MeV/c (electrones con energía de 100 MeV a 1 GeV).
De datos experimentales de dispersión, se encuentra que la densidad de carga nuclear:
barer /)(
0
1)( −+=
ρρ
176
donde
ρ0 es un valor constante asignado a la densidad nuclear de carga: 0.165 nucleones/fm3.
a = 1.07 A1/3 fm. Algunas veces 2ra= es el radio cuadrático medio nuclear
b = 0.55 fm. (Es el ancho de piel)
Esta función se muestra en la siguiente figura
Figura 2. Distribución de carga nuclear de varios núcleos atómicos.
Ejercicio: Hallar 2r para una esfera de densidad uniforme y compacta de radio R.
Respuesta: Rr532/12 =
Conclusión: “la densidad de carga nuclear es la misma para todos los núcleos” (saturación
nuclear). Por tanto, el número de nucleones por unidad de volumen es constante.
cteR
A≈
3
34π
R = radio medio nuclear
Por tanto, R = R0 A1/3
donde R0 es constante y se la halla experimentalmente (valor típico: R0 = 1.2 fm).
Esta relación es válida para núcleos estables, NO para núcleos excitados.
La densidad de carga nuclear se puede estudiar cuidadosamente examinando las
transiciones atómicas (energía de rayos X fluorescentes que reflejen los diferentes
desplazamientos isoméricos de los niveles energéticos electrónicos “tipo s” para dos
isótopos determinados).
El núcleo atómico es de tamaño finito. La densidad de probabilidad de los electrones tipo s
es distinta de cero dentro de la distribución de carga nuclear, este hecho produce pequeños
cambios en el valor de los niveles energéticos de dichos electrones (se lo conoce como
desplazamiento isomérico).
Si se grafica esta diferencia para una referencia dada A´, en función de A2/3, se obtiene una
línea recta.
177
Las energías de los RX de la transición sp 12 → de dos isótopos A y A´ dan también
información del valor R0.
El problema tanto con RX o transiciones ópticas radica en el hecho de que el efecto es
pequeño.
Para amplificar este efecto se utiliza RX provenientes de átomos muónicos (átomos en los
cuales los electrones orbitales son reemplazados por muones)
La distribución de la materia nuclear
La distribución de materia nuclear requiere un estudio experimental más elaborado:
Dispersión de partículas α con núcleos blancos de Oro (Au197).
Estudio de átomos piónicos (átomos en los que se ha reemplazado piones negativos por
los electrones orbitales), la interacción de los núcleos con los piones no es solamente de
naturaleza electromagnética sino que también interviene la interacción fuerte o nuclear.
El resultado fundamental es que la distribución de materia nuclear es casi la misma
de la distribución de carga (dentro de 0.1 fm).
Energías de enlace Nuclear
La energía de enlace nuclear se define como aquella que mantiene unido tanto los protones
como los neutrones en el núcleo.
),()(),( 222 AZBEcmZAcZmcAZm npnuc −−+=
222 ),()(),( cAZmcmZAcZmAZBE nucnp −−+=
)}()({),()(),( 222 ZBeHBeZcAZMcmZAcZMAZBE atnH −⋅+−−+=
Be(H) → la energía de enlace del electrón en el átomo de Hidrógeno y
Be(Z) → la energía de enlace de los Z electrones en el átomo.
El término entre corchetes es pequeño en comparación con los otros y no considerarse.
222 ),()(),( cAZMcmZAcZMAZBE atnH −−+=
MH = 1.007825 uma
mn = 1.008665 uma
1 uma c2 = 931.48 MeV
Se define el “defecto de masa” por la cantidad:
AAZMM at −=Δ ),(
( ) ( )( ) 2222 ),(11),( cAZMAccmZAcMZAZBE nH Δ+−Δ−−+Δ+=
[ ]),()(),( AZMmZAMZAZBE nH Δ−Δ−+Δ=
Si consideramos la energía de enlace por nucleón
178
( ) 2),(),( cA
AZMmmMAZ
AAZBE
nnH ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Δ
−Δ+Δ−Δ=
2),(008665.0000840.0),( cAZPAZ
AAZBE
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
donde
AAZMAZP ),(),( Δ
=
Y toma el nombre de “fracción de empaque”
El primer término del lado derecho de la ecuación para la energía de enlace por nucleón la
reduce un valor casi constante alrededor de 0.4 MeV (Z/A aprox ½). El segundo término es
constante, aproximadamente 8 MeV/nucleón, y está asociado al defecto de masa del
neutrón. La fracción de empaque es positiva para núcleos ligeros hasta A = 15 y A>190, y
negativa para núcleos intermedios 15<A<190. Los núcleos ligeros y pesados estan menos
enlazados que los intermedios.
Figura. Energía de enlace por nucleón en función del número másico.
Estabilidad nuclear
La condición para que el núcleo (Z, A) sea estable contra su rompimiento en otros núcleos
(Z1, A1) y (Z2, A2) se puede expresar como:
( ) ( )2211 ,,),( AZMAZMAZM +<
Ejemplo:
Li7 He4 + H3
7,016004 4,002603 + 3,016050
7,016004 < 7,018653 (en unidades de masa atómica)
Se define también la energía de separación de un protón (o más) ó un neutrón (o más) de
acuerdo con la masa de núcleo padre y de productos.
[ ][ ] 2
2
),()1,1(
),()1,(
cAZMmAZMS
cAZMmAZMS
Hp
nn
−+−−=
−+−=
179
Reacciones nucleares
wWxX +→+
X(x, w)W
Se conserva la energía, cantidad de movimiento, momento angular total, la carga, es decir
Z, y el número de nucleones A (aproximación: bajas energías)
Si x, X, w, W tienen masas m1, m2, m3, m4 respectivamente,
4321 EEEE +=+
Esta ecuación la podemos escribir como:
430403210201 KKKK EEEEEEEE +++=+++
Se define “el valor Q” de la reacción como:
)()( 214304030201 KKKK EEEEEEEEQ +−+=+−+=
Si Q < 0 la reacción se llama reacción endoérgica.
Si Q > 0 la reacción se llama reacción exoérgica.
Las reacciones endoérgicas no se produce espontáneamente, se podrían producir sí la
energía cinética de las partículas iniciales es lo suficientemente grande para generar el
aumento de masa en reposo requerido. Se define entonces “la energía umbral de la
reacción” como aquella mínima que debería tener la partícula incidente para producir dicha
reacción. Se la encuentra suponiendo que se produce la reacción y los núcleos producto
tienen una energía cinética cero en el sistema centro de masa.
De tal manera que,
21 ´´ KK EEQ −−=
pero, en primera aproximación
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+21
2121 ´´
mmm
EEE umbKKK
quedando así,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅−=
2
211 m
mmQE umbK
una consideración exacta de la energía umbral nos lleva a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⋅−=
143
431 mmm
mmQE umb
K
180
Solamente si m1, m3 << m2, m4 entonces la energía umbral será aproximadamente –Q.
Ejemplo de reacciones nucleares:
nCBe 129 +→+α
α+→+ 710 LiBn 47 HeLip +α→+
nHeHeBe 449 ++→+γ
n6CfUC 24423812 +→+
n4NbSbUn 99133235 ++→+
γ+→+ 32 HeHp
nHeHH 432 +→+
γ+→+ 1413 NCp
++→+ν enH1
DECAIMIENTOS RADIACTIVOS
El la formación de los átomos (en las supernovas) se generan núcleos atómicos estables e
inestables. Los inestables, con el transcurrir del tiempo, emiten espontáneamente
radiaciones, transmutándose en elementos más estables.
Desintegración alfa
La radiación α no es sino núcleos de He4 (núcleos formados por 2 protones y 2 neutrones),
el cual es emitido por núcleos pesados inestables.
Un núcleo padre (Z,A) que decae mediante desintegración α, a un núcleo hijo (Z-2,A-4).
La conservación de la energía indica
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z-2,A-4)c2 + EKN + mαc2 +EKα
entonces,
Qα = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z-2,A-4)c2 - mαc2 = EKN +EKα
Poniendo las masas nucleares en términos de masas atómicas mediante la suma y resta de
Z masas de electrones y sus correspondientes energías de enlace,
Qα = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-2,A-4)c2 - Mat(2,4)c2 = EKN +EKα
181
De la conservación de la cantidad de movimiento,
ααυυrr mm Nnuc +=0
αα
Knuc
KN Emm
E =
entonces,
αα KEA
AQ4−
=
Para un mismo decaimiento el valor de Q será siempre el mismo, y por tanto, la energía de
la partícula α emitida, es decir, el espectro de energía de la partícula alfa es discreto.
Ejemplos.
)282.6(
)55,7(216
84220
86
21988
22390
MeVEPoR
MeVERaTh
kn
k
=+→
=+→
α
α
α
α
Modelo
Un análisis experimental de emisores alfa muestra una correlación entre el tiempo de vida
media y la energía de la partícula alfa emitida. Esto se muestra en la siguiente tabla.
Emisor alfa E [MeV] Tiempo de vida media Polonio 212 8.8 3 10-7 sec Polonio 214 7.7 1.6 10-4 sec Polonio 210 5.3 1.38 102 días Radio 226 4.7 1.62 103 años Uranio 238 4.1 4.5 109 años
Figura. Pozo de potencial donde se encuentran confinadas las partículas α
Decaimiento beta
1.- Beta negativo
El núcleo radiactivo emite un electrón y un anti-neutrino tipo electrón.
182
La emisión del anti-neutrino fue propuesta por Pauli para justificar el espectro energético
continuo de los electrones emitidos (veinte años más tarde se los pudo detectar).
La ecuación de conservación de la energía indica.
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z+1,A)c2 + EKN + mec2 +EKe + mνc2 + EKν
si consideramos la masa en reposo del neutrino como cero (mediciones recientes muestran
la oscilaciones de neutrinos la que indica que sí poseen masa) y adicionalmente que la
energía de retroceso nuclear es despreciable. Entonces,
Qβ- = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z+1,A)c2 - mec2 = EKe + EKν
En términos de masas atómicas
Qβ- = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z+1,A)c2 = EKe + EKν
La energía de la transición es repartida entre el electrón y el neutrino, razón por la cual se
observa el espectro energético continuo de los electrones emitidos.
Ejemplos:
eepn ν++→ −+ EKmax = 0.78 MeV
eeZnCu ν++→ −6464 EKmax = 0.573 MeV
eeSP ν++→ −3232 EKmax = 1.718 MeV
2.- Beta positivo.
El núcleo radiactivo, en este caso emite positrones y neutrinos tipo electrón. El espectro de
energía de los positrones y neutrinos es contínuo.
Ejemplos:
eeNeNa ν++→ +2222 Eβmax = 1.8 MeV
eeNiCu ν++→ +6464 Eβmax = 0.656 MeV
El balance de masa-energía será:
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z-1,A)c2 + EKN + mec2 +EKe + mνc2 + EKν
si consideramos la masa en reposo del neutrino como cero igual que la energía cinética del
núcleo en retroceso. El factor Q de la reacción es:
183
Q´β+ = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z-1,A)c2 - mec2 = EKe + EKν
Ubicando las masas atómicas en lugar de la nucleares,
Qβ+ = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-1,A)c2 = 2mec2 + EKe + EKν
La desintegración beta positiva se produzca solo sí la diferencia entre las masas atómicas
de los núcleos padre e hijo es mayor a dos veces la energía en reposo del electrón (2mec2 =
1.022 MeV)
3.- Captura Electrónica (CE)
Consiste en el hecho de que electrones orbitales tipo s tienen una probabilidad finita de
encontrarse en el volumen nuclear, por lo que el núcleo excitado opta por capturarlo
(mediante un proceso de interacción débil), llevando a una transmutación de un protón
nuclear en un neutrón nuclear y la correspondiente emisión de un neutrino.
enep ν+→+ −+ 0
Ejemplos
eAreK ν+→+ − 4040
eNieCu ν+→+ − 6464
El balance de energía, en este caso, es:
mnuc(Z,A)c2 + mec2 – Be(K) = mnuc(Z-1,A)c2 + EKN + mνc2 + EKν
donde Be representa la energía de enlace del electrón atómico a capturarse.
Si la masa del neutrino y la energía cinética de retroceso de núcleo hijo es despreciable,
QCE = mnuc(Z,A)c2 + mec2 - mnuc(Z-1,A)c2 = EKν +Be(K)
QCE = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-1,A)c2 = EKν +Be(K)
(El término Be(K) debe ser discutido cuidadosamente)
La energía de desintegración es la misma que la del decaimiento beta positivo y toda ella
escapa como energía cinética del neutrino generado (mono-energético). La diferencia con el
decaimiento beta positivo es que no requiere un mínimo de energía para producirse.
El siguiente diagrama de desintegración para el Cu64 muestra todos los decaimientos beta
en un mismo elemento.
184
Figura. Esquema de decaimiento del Cu-64
La no conservación de la paridad en el decaimiento beta.
La inversión de paridad es equivalente a una inversión de espejo, puesto que ellas difieren
solo a través de una invariante física que es la rotación de 180º respecto al eje. El siguiente
experimento se realizó para observar la no conservación de la paridad en el decaimiento β.
Wu y col. estudiaron la probabilidad de emisión de electrones de núcleos polarizados de
Co60, los cuales decaen por transiciones Gamow-Teller (ΔJ = 1, Δπ = no) a núcleos Ni60,
junto con su imagen espejo. Ellos encontraron que la emisión ocurría en la dirección opuesta
a aquella del spin nuclear.
Figura. Operación de Paridad
Figura. Violación de la paridad del decaimiento beta
185
El espejo cambia la dirección del spin pero deja igual la dirección de emisión. La
conservación de la paridad requiere que las probabilidades de decaimiento deben ser las
mismas en los dos casos. Las medidas mostraron una clara asimetría, incompatible con la
conservación de la paridad.
Figura. Resultados experimentales del experimento de Wu y col.
Consulta: Decaimiento β doble.
Decaimiento gamma
Son transiciones isoméricas de un núcleo que pasa de un estado excitado a otro menos
excitado o al estado base.
1. Emisión gamma
La transición isomérica lleva a la emisión de un fotón de alta energía.
Ejemplo:
γ+→ 137137 * BaBa
El balance de energía es:
mnuc(Z,A)*c2 = mnuc(Z,A)c2 + EKN + Eγ
El factor Q de la desintegración
Qγ = [Mat(Z,A)* - Mat(Z,A)]c2 = EKN + Eγ
El valor de la energía de retroceso del núcleo es pequeño de modo que la energía de
transición es muy próxima a la energía del gamma emitido. Sin embargo para el estudio de
absorción resonante es muy importante el papel que juega esta energía de retroceso, la cual
la podemos calcular de la conservación de la cantidad de movimiento.
0=+ γppNrr
186
γγγ E
cmE
cmcp
mp
Enucnucnuc
NKN 22
222
222===
que como se puede ver es muy pequeña puesto que la energía gamma es de unos pocos
MeV mientras que la energía en reposo del núcleo es de algunos GeV.
2.- Conversión Interna
El núcleo en estado excitado transfiere su energía de excitación a un electrón orbital tipo s
que se ha aventurado en el volumen nuclear (es decir, la probabilidad de encontrar a
electrones tipo s en el volumen nuclear es finita). El electrón es emitido entonces del átomo
con una energía cinética igual a la energía transferida por el núcleo excitado menos la
energía de enlace del electrón en su orbita.
El balance energético conduce a:
mnuc(Z,A)*c2 + mec2 - Be = mnuc(Z,A)c2 + mec2 + EKN +EKe
de manera que
QCI = [Mat(Z,A)* - Mat(Z,A)]c2 = EKN + EKe + Be
Una de las fuentes más utilizadas es la de Cobalto 60, su diagrama de decaimiento se
presenta a continuación.
Figura. Esquema de decaimiento del Co-60
Absorción Resonante
La resonancia atómica fue predicha por Rayleigh a fin del siglo XIX y descubierta por Wood
en 1904. La resonancia nuclear empezó en 1929.
El proceso de resonancia se puede describir fácilmente, suponiendo un sistema cuántico de
dos niveles energéticos. El nivel de menor energía llamado base y el de mayor energía
llamado excitado. Si suponemos en un inicio el sistema en el estado excitado y sufre un
187
proceso radiativo de des-excitación a su nivel base, se emitirá un fotón de luz. Si este fotón
interacciona con un sistema idéntico al primero que se encuentra en el estado base, y si
este sistema es capaz de absorber dicho fotón y llevar al sistema a su estado excitado, se
dice que se ha producido una absorción resonante.
Figura. Esquema de la absorción resonante
Los niveles energéticos tienen en realidad un ancho natural que esta dado por:
h≈τ⋅Γ
donde τ es el tiempo de vida media del estado en consideración. Por ejemplo, si τ ∼ 10-8
entonces Γ ∼ 6.5 10-8 eV.
Consecuentemente, cualquier pequeña perturbación es capaz de desplazar el delicado
solapamiento de las líneas de emisión y absorción, y por tanto, destruir la absorción
resonante.
Proceso de retroceso nuclear.
Si consideramos el núcleo excitado en reposo, la emisión del fotón producirá un retroceso
en el núcleo, de acuerdo con las leyes de conservación de la energía y cantidad de
movimiento.
0pp N =+γrr
2
222
222 McE
Mp
Mp
E NR
γγ ===r
La diferencia entre los niveles de energía E0 será:
REEEEE +==− γ012
Por ejemplo,
E0 ∼ Eγ ≈104 eV (10 keV)
M ≈ 100 uma
Entonces
ER ≈ 5 10-4 eV
Vemos que la energía de retroceso del núcleo es mucho más grande que los anchos
naturales de línea, por lo que un solapamiento entre las líneas de emisión y absorción es
poco probable, inhibiendo la absorción resonante a nivel nuclear. Para el caso atómico, la
energía de los fotones emitidos sen del orden de los eV por lo que la energía de retroceso
188
es del mismo orden de los anchos naturales de las líneas de emisión y absorción, lo que
permite el solapamiento de ambas líneas y por tanto la absorción resonante se produce con
mayor facilidad.
Figura. Líneas de emisión y absorción con sus correspondientes anchos naturales y de Doppler.
Ensanchamiento Doppler.
Tanto en estado gaseoso como sólido, el núcleo no se encuentra en reposo, sino que se
mueve a una cierta velocidad. Para un núcleo en movimiento con vMp rr =
MpE
MpE
2´
2
22
0
rr
+=+ γ
Note que se considera la masa del núcleo en el estado base y en el excitado de igual valor.
γppp rrr+= ´
( )Mpp
MpEE
22
22
0γ
γ
rr−
−+=
Mpp
Mp
EE2
22
2
0γγ
γ
rr⋅
+−=
αγγγ cos
2
2
0 Mpp
Mp
EE⋅
+−=
αγγ
γ cos2
2
0 Ecv
Mp
EE +−=
donde el último término es una medida del ensanchamiento de las líneas de emisión y
absorción por efecto Doppler.
0EcvD ≈
189
la altura de la línea se reduce en un factor Γ/D, esto se debe a que Γγ se mantiene igual,
mientras Γtot se ha incrementado.
Si ER < D, las líneas de emisión y absorción se solapan y se obtiene absorción resonante.
Por ejemplo,
A nivel atómico,
M = 100 uma
Γ = 10-7 eV
E0 = 1 eV
D ≈ 10-6 eV
ER = 10-11 eV
A nivel nuclear, dos casos.
M = 100 uma
E0 = 1 keV E0 = 300 keV
D ≈ 10-3 eV D ≈ 10-2 eV
ER = 10-5 eV ER = 10-3 eV
El solapamiento es pequeño en el caso nuclear y grande en el caso atómico. El
ensanchamiento de la línea se puede lograr calentando el emisor y/o el absorbedor.
Efecto Mössbauer.
Mössbauer estaba interesado en reducir la absorción resonante del Ir191 para el cual,
Eγ = 129 keV
ER = 0.047 eV
D ∼ 0.1 eV (a temperatura ambiente)
mediante un enfriamiento del emisor y del absorbedor (con aire líquido). Sin embargo,
observó que en lugar de reducirse la absorción resonante aumentaba.
Figura. Aumento de la absorción resonante cuando se disminuye la temperatura de la fuente
190
La explicación yace en el hecho de que el núcleo emisor se encuentra fuertemente ligado
dentro del cristal. Como ente cuántico el cristal tiene niveles discretos de energía, entre
ellos sus niveles de vibración y rotación. Para el caso de vibraciones en cristales. Si la
energía mínima que acepta un sólido para excitarse (o excitar un fonón) es Em y si la
energía de retroceso nuclear es menor a ese valor, es decir, ER < Em, el sólido no aceptará
dicha energía y el gamma que emite el núcleo tiene una energía E0 (sin retroceso) y ancho
natural, puesto que el ensanchamiento Doppler proviene de la excitación térmica (siempre
existe una probabilidad finita de que la emisión del fotón excite la red, sin tener energía para
ello, por efecto túnel).
De acuerdo con el modelo de Debye, los cristales pueden considerarse un sistema de
osciladores acoplados con sus correspondientes modos normales de vibración, que son
oscilaciones independientes cuyos niveles de energía están cuantizados y cuya energía
media esta condicionada por el número de modos normales.
Si consideramos el sistema de dos niveles,
La des-excitación isomérica se puede realizar ya sea por la emisión de rayos gamma o vía
electrones de conversión.
Para el Co57 que es una fuente radiactiva beta tipo captura electrónica, con diagrama de
decaimiento siguiente:
Γ ∼ 4.6 10-9 eV
τ ∼ 10-7 seg.
α = 9
Ee = 14.4 keV
Γ = Γ/(1+α) = 4.6 10-10 eV
191
Series radiactivas naturales
Los elementos pesados naturales son generados en las estrellas (explosiones supernovas)
algunos de estos materiales son radiactivos. Estos materiales radiactivos naturales
empiezan desde Z = 84 a Z = 92 y están clasificados en familias. Las familias agrupan
elementos radiactivos que difieren en cuatro nucleones y provienen un núcleo radiactivo
padre natural.
SERIE ELEMENTO TIEMPO DE VIDA MEDIA (4n) Serie del Torio Th232 1.39 109 años (4n+1) (Np237) 2.2 106 años (4n+2) Serie del Uranio U238 4.5 109 años (4n+3) Serie del Actino-Uranio U235 7.13 108 años
La serie 4n+1 (o serie del neptunio237) ya desapareció.
Consulta. Las Series radiactivas
Adicionalmente a los elementos radiactivos naturales que pertenecen a las series, hay otros
elementos radiactivos naturales debido a su tiempo de vida media grandes.
Ejemplos. (Consulte sus respectivos tiempos de vida media)
Elemento T1/2 (años) K40
Rb87 Sm147 Lu176 Re187
Ley del decaimiento radiactivo.
Un sistema aislado inestable permanecerá en su estado de elevada energía un cierto tiempo
antes de decaer. La probabilidad de que cualquier núcleo decaiga dentro de un intervalo de
tiempo pequeño es independiente de cualquier influencia externa, incluyendo el decaimiento
de otro núcleo. Sea P(dt) la probabilidad de que un núcleo decaiga en un tiempo dt.
dtdtP ∝)(
dtdtP λ=)(
Siendo λ la constante de decaimiento radiactivo del radioisótopo en cuestión.
Si al tiempo t se tienen N núcleos radiactivos, el número de núcleos que decaen en un
intervalo dt será la probabilidad de decaimiento multiplicado por N. Así,
NdtPdN )(=−
NdtdN λ=−
ANdtdN
≡=− λ
192
Se define la “Actividad A” de la muestra radiactiva como el número de desintegraciones (o
decaimientos) que ocurren por unidad de tiempo.
La unidad más comúnmente usada para medir la actividad es el “Curie”, el cual se define
como la actividad de una muestra en la que ocurren 3.7 1010 desintegraciones/ segundo
(basada originalmente en la actividad de 1 gramo de Ra226)
El sistema internacional de medidas define al Bequerel como la unidad de actividad y
1 Bequerel = 1 desintegración/ segundo.
Nota:
KiloBequerel (kBq) 103 Bq MegaBequerel (MBq) 106 Bq GigaBequerel (GBq) 109 Bq Tetra (tera)bequerel (TBq) 1012 Bq PetaBequerel (PBq) 1015 Bq ExaBequerel (EBq) 1018 Bq
Se define también la actividad específica de una muestra radiactiva como su actividad por
unidad de masa.
Ley exponencial.
Si resolvemos la ecuación diferencial anterior tendremos que el número de núcleos
radiactivos N(t) decrece en el tiempo: teNtN ⋅−= λ
0)(
Siendo N0 el número de átomos en tiempo inicial.
Si multiplicamos por λ los dos lados de la ecuación, se tiene: teAtA ⋅−= λ
0)(
Siendo A0 la actividad de la muestra en un tiempo inicial.
Se define el tiempo de vida media τ del elemento radiactivo, como aquel tiempo en el cual la
actividad de la muestra se reduce en la mitad. Así,
τλτ ⋅−== eAAA 00
2)( de donde
λτ 2ln=
Figura. Ley exponencial del decaimiento radiactivo
193
Este tiempo no hay que confundirlo con el tiempo medio de decaimiento de un núcleo
radiactivo que esta definido como:
∫∫∫ ∞
− =⋅=⋅
=0
00
11λ
λλ dteNtNdN
dNtt t
Note que la actividad en muchos casos no coincide con el número de partículas emitidas por
unidad de tiempo. Esto se debe a que algunos decaimientos emiten más de una partícula, y
por otra parte, por que se habla de decaimiento como la transición de su estado inicial a su
estado final estable (pasando por varios estados excitados intermedios).
Filiación radiactiva.
Se denomina así al proceso de decaimiento de un núcleo radiactivo (padre) a otro que
también es radiactivo (hijo) el cual a su vez decae en un núcleo (nieto) que puede ser
estable o radiactivo.
Si en t = 0 solo hay N01 núcleos radiactivos del padre pero sin núcleos hijos ni nietos, se
desea determinar la cantidad de núcleos hijo que tendremos al transcurrir el tiempo.
Para el padre:
111 N
dtdN
λ=−
teNtN ⋅−= 1011 )( λ
teAtA ⋅−= 1
011 )( λ
Para el hijo:
22112 NN
dtdN
λλ −=
teNNdt
dN1
011222 λλλ −=+
la solución de esta ecuación diferencial es:
( ) ( )[ ]ttNtN 2112
1012 expexp)( λλ
λλλ
−−−−
=
multiplicando ambos lados de la ecuación por λ2,
194
( ) ( )[ ]ttAtA 2112
2012 expexp)( λλ
λλλ
−−−−
=
Podríamos calcular el tiempo donde la actividad del hijo es máxima, esta es:
( )21
21 /lnλλλλ
−=mt
Equilibrio secular. Se presenta cuando λ2 >> λ1
En este caso el exponencial de λ2 es muy pequeño y teAtA 1
012 )( λ−=
A2 = A1
Equilibrio transitorio. Se presenta cuando λ2 > λ1
En este caso, el exponencial de λ2 también es pequeño y
teAtA 1
12
2012 )( λ
λλλ −
−=
112
22 )( AtA
λλλ−
=
Caso de no equilibrio. Si λ1 > λ2 tt 21 ee λ−λ− <<
( )tNtN 212
1012 exp)( λ
λλλ
−−
=
195
Producción de radio-isótopos (Activación neutrónica)
Cuando un núcleo estable es irradiado con un haz de neutrones, este núcleo tiene la
capacidad de capturar dicho neutrón y como consecuencia se transforma en un núcleo
excitado, (es decir radiactivo) el cual en un tiempo posterior se transformará mediante algún
proceso de decaimiento radiactivo.
Sea N el número de núcleos activados. Note que N(t=0) = 0. El número de núcleos
activados por unidad de tiempo seguirán una ecuación de balance,
NQdtdN λ−=
donde Q es la taza de producción de los núcleos activados. Para el caso en estudio el
número de átomos activados es muy pequeño en comparación con el número de núcleos
blanco, por tanto Q se lo considera constante.
Q = Φ Nbσ
donde Φ es el flujo del haz de neutrones, Nb es el número de los núcleos blanco que se
están activando, y σ es la sección eficaz de captura neutrónica.
dtNQ
dN=
− λ
dtNQNQd λ
λλ
−=−− )(
[ ] tNQ t λλ −=− 0)ln(
)exp()()( 0 tNQNQ t λλλ −⋅−=−
( )teQtN λ
λ−−= 1)(
Recuerde que la actividad no es más que:
)()( tNtA λ=
196
Note que la actividad del radio-nuclído generado crece hasta un valor de saturación dado
por Q para tiempo de irradiación bastante largos (varias veces el tiempo de vida media del
radio-nuclído activado). De hecho la taza de crecimiento del radio-nuclído depende de su
tiempo de vida media.
Una vez que se desconecta la irradiación, la cantidad de material irradiado comenzará a
decaer mediante la ley del decaimiento radiactivo.
Fisión nuclear
Después del descubrimiento del neutrón en 1932 por medio de Chadwick, se comenzaron a
irradiar materiales con neutrones y se produjo lo que hoy se llama la activación neutrónica
(Nobel 1938 Fermi). Se dirigió luego la investigación hacia la formación de elementos
transuránicos, donde por separación química se encontró un elemento con propiedades del
bario y se pensó que era el radio, sin embargo la producción del radio a partir del Uranio es
muy poco probable. Hahn y Strassmann en 1939 probaron que efectivamente era Bario.
Otros trabajos mostraron la presencia de núcleos con masas intermedias formadas al
bombardear Uranio con neutrones. Adicionalmente experimentos con cámaras de ionización
mostraron que estos procesos liberaban una gran cantidad de energía, 100 MeV (mucho
más grandes que la energía liberada, por ejemplo en el decaimiento alfa). Meitner y Frish en
1939 propusieron que el núcleo de Uranio, después de la captura neutrónica, era altamente
inestable y se fraccionaba o dividía (proceso que lo llamaron fisión). La fisión no es más que
la competición entre la fuerza nuclear y la coulómbica en núcleos pesados. Se sabe que la
energía de enlace nuclear crece al aumentar A, mientras que la repulsión coulómbica crece
con Z2
Si se plantea un modelo parecido al del decaimiento alfa para la fisión, diríamos que la
emisión se produciría si los fragmentos están cerca del tope de la barrera (donde la pared es
muy fina y fácil de tunelizar). La fisión puede ocurrir espontáneamente como un decaimiento
natural o puede inducirse por la absorción de alguna partícula como neutrón o fotón,
llevando al núcleo a un estado excitado de mayor energía con mayor probabilidad de
escape.
El proceso de fisión es solo importante para núcleos pesados (más allá del Th)
197
Figura. Esquema del núcleo como un pozo y una barrera.
Como se mencionó el proceso de fisión tiene dos características muy importantes: Hay una
alta energía liberada, además de los fragmentos de fisión se liberan varios neutrones lo que
permite reacciones en cadena.
Un análisis sencillo de la energía de enlace por nucleón permite ver que si un núcleo pesado
se divide en dos fragmentos lleva a un sistema más ligado con liberación de energía:
238x 7.6 =1809 MeV
2 (119x8.5) = 2033 MeV
Se liberan 214 MeV (en forma de n0 y gammas de los fragmentos)
Pero el 80% se libera como energía de retroceso de los fragmentos por la alta repulsión
coulómbica de los fragmentos en el proceso.
En el cálculo de la probabilidad de decaimiento hay un término que depende de la energía
liberada (mientras mas energía es liberada hay mayor forma de compartir la energía entre
los productos y por tanto, mayor cantidad de estados finales, es decir mayor probabilidad)
El decaimiento por fisión para el Uranio 238 existe pero es poco probable: T1/2 (alfa) 4.5 109
años; T1/2 (fisión espontánea) 1016 años. Este último proceso aparece con mayor
probabilidad para núcleos con A>250. Ejemplo Cf252 4% (fisión) 96% (alfa). Lo que inhibe el
proceso de fisión espontánea es la barrera de Coulomb (como inhibe al decaimiento alfa
discutido anteriormente).
La barrera de los fragmentos podemos estimar como:
R = R1 + R2
RezzV
221=
que es igual a 250 MeV e impide la separación de los fragmentos lo que hace que el
decaimiento sea poco probable.
198
Aunque se ha puesto cifras en estos estimados, no se pueden tomar muy en serio a estos
números.
Lo que si es cierto es que el alto de la barrera es aproximadamente igual a la energía
liberada en la fisión de los núcleos pesados y hay ciertos núcleos para los cuales la energía
liberada pone apenas a los fragmentos abajo del tope de la barrera dándoles buena
posibilidad para penetrar la barrera (fisión espontánea). Los núcleos que ponen a los
fragmentos arriba de la barrera son A>300 y no existen.
Otros núcleos pueden estar abajo del tope, pero al absorber un neutrón o un fotón pueden
formar un estado intermedio que esté arriba de la barrera (fisión inducida). Si el estado
intermedio esta abajo de la barrera, la fisión es inhibida y ocurre otro tipo de decaimiento. La
habilidad de que un núcleo sufra una fisión inducida depende críticamente de la energía del
sistema intermedio. Para algunos núcleos la captura de un neutrón térmico es suficiente.
Una aproximación instructiva para el entendimiento de la fisión espontánea es a partir de la
fórmula semi-empírica de masa.
Si se parte de un núcleo esférico que se deforma en un elipsoide de revolución de igual
volumen
2
34 abV π
=
donde a y b son el semi-eje mayor y menor respectivamente.
ε
ε
+=
+=
1
)1(Rb
Ra
siendo ε la excentricidad de la elipse
πβε
45
=
y β el parámetro de deformación.
Note que
199
R3 = ab2
Puesto que V permanece constante.
Mientras la esfera se deforma, la superficie crece como:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= .....
5214 22 επRS
y el término de la energía de superficie crece.
El término de la energía de coulomb se modifica por un factor
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− ......
511 2ε
la diferencia de energía
)0()( =−=Δ εε BEBEE
esta dada como:
3/123/223/1223/2 ...511.....
521 −− ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=Δ AZaAaAZaAaE cscs εε
23/123/2
51
52 ε⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−≈Δ −AZaAaE cs
Si el segundo término es más grande que el primero, la diferencia en energía es positiva.
Entonces se gana energía por la deformación y el núcleo se deformará más hasta fisionarse
(el núcleo es inestable por la deformación y sufrirá una fisión). Para la fisión espontánea se
cumple:
3/23/12
52
51 AaAZa sc >−
472
>A
Z
Este estimado se debería modificar para considerar la barrera de penetración la cual permite
la fisión espontánea aún cuando la energía de deformación es negativa.
Además para núcleos en la región del Uranio su forma es deformada hasta en el estado
base.
La distribución de masa de fragmentos de la fisión del Uranio 235 0141930235 2nCsRbnU ++→+
no es única sino que hay una distribución como la que se muestra en la figura.
200
Figura. Distribución de masa de los fragmentos de la fisión del U236
La distribución muestra dos picos a los que se les conoce con el nombre de rama de
fragmentos livianos y pesados respectivamente. Para distintos materiales fisionables los
fragmentos de fisión pesados son casi los mismos mientras que los livianos se incrementan
linealmente al crecer A del elemento fisionable, es decir, el pico de los fragmentos livianos
se corre hacia el de pesados al incrementarse la masa del núcleo fisionable.
Aunque la fisión se lo trata como un fenómeno colectivo y de hecho se utiliza el modelo de la
gota líquida para la descripción de sus parámetros, la forma de la distribución de masa de
los fragmentos se puede justificar mediante los números mágicos y nucleones de valencia
del modelo de capas.
Fusión Nuclear
El proceso que combina dos núcleos ligeros dando lugar a uno más pesado es lo que se
conoce con el nombre de fusión nuclear. Este proceso libera una cierta cantidad de energía.
El control de esta energía llevaría al desarrollo de lo que se conoce como reactor de fusión
nuclear. Que sería una fuente casi ilimitada de energía para el planeta. La energía obtenida
por fusión tiene varias ventajas con aquella producida por fisión, especialmente con el hecho
de que los productos de la fusión son núcleos livianos y no radiactivos. Sin embargo hay una
gran desventaja que ha impedido hasta el momento el desarrollo de los reactores de fusión
y esta es que puesto que dos núcleos livianos deben fusionarse deben sobrepasar sus
respectivas repulsiones coulombicas. Este problema puede ser sobrepasado calentando el
contenedor de los núcleos a fusionarse a temperaturas tales que se venza dicha repulsión
(1011 ºK), proceso llamado fusión termo-nuclear.
Reacciones básicas
Aunque en principio la reacción de fusión más eficiente sería
γ+→+ 422 HeHH
201
puesto que el Q de la reacción es 23.8 MeV. Sin embargo, no se observa
experimentalmente, puesto que el Helio no puede acomodar este valor de energía
internamente (no tiene estados excitados) y además esta energía es mayor a la energía de
separación de los nucleones en el Helio.
Las reacciones que ocurren son:
nHeHH +→+ 322 (Q = 3.3 MeV)
pHHH +→+ 322 (Q = 4.0 MeV)
las cuales son llamadas reacciones D-D (Deuterio-Deuterio).
Una reacción importante también es la DT (Deuterio-Tritio).
nHeHH +→+ 432 (Q = 17.6 MeV)
A causa de que la energía liberada en esta reacción es mayor, ésta es la escogida para el
estudio de reacciones de fusión controladas. Una desventaja de esta reacción es que la
mayoría de energía es cedida al neutrón (14.1 MeV)
La fusión de cuatro protones lleva en últimas a la formación de He4 proceso presente en las
estrellas y en particular en el sol.
Características de la fusión.
Si consideramos que la reacción de fusión es A(a,b)B. La energía liberada en la fusión es
compartida por las partículas producto. Es decir, considerando que las energías cinéticas de
las partículas incidentes son pequeñas con relación al valor de Q,
22
21
21
BBbb mmQ υυ +=
La barrera de Coulomb para las partículas incidentes toma la forma,
Aa
Aac RR
eZZV+
=2
siendo los R´s los radios de las partículas iniciales.
La barrera de potencial depende exponencialmente de ZaZA por tanto, la probabilidad de
fusión decrece rápidamente con ZaZA. Para la reacción DT Vc =0.4 MeV
La sección eficaz de fusión se la puede adaptar de la consideración general hecha en
reacciones nucleares
Ge 22
1 −∝υ
σ
siendo G el factor de Gamow definido anteriormente.
202
Figura. Secciones eficaces de fusión.
Reactores de Fusión. 1. Confinamiento magnético del plasma (Tokamak)
- Campo magnético toroidal.
- Campo Poloidal. Mantiene alejado al plasma de las paredes.
Tres parámetros (que deben tomar valores críticos simultáneamente) son claves para
alcanzar y sustentar la fusión en un plasma:
1. Temperatura. Sobre los 100 a 200 millones K para DT y mayores para DD
2. Densidad. El número de reacciones de fusión por unidad de volumen es proporcional
a la densidad al cuadrado. 1-2 1020 partículas /m3.
3. El tiempo de confinamiento de energía. El tiempo en que la energía es retenida en el
plasma antes de (fugarse) perderse. O la razón de la energía térmica contenida en el
plasma sobre la potencia entrante requerida para mantener esta condición.(t = 4-6s)
El calentamiento del plasma se lo puede realizar mediante:
- Calentamiento ohmico y control de corriente
- Calentamiento con haces neutros
- Calentamiento por radiofrecuencia (25-55 MHz)
- Auto calentamiento del plasma (Ignition, condiciones mas demandantes que
breakeven)
2. Confinamiento Inercial
Haz láser o de iones es enfocado en una muestra de hielo de DT cuyas primeras capas
implosionan sobre las interiores generando presiones que le aumentan su densidad miles de
veces y sube su temperatura hasta los 100 millones de K. La reacción termonuclear se
expande a través del combustible comprimido produciendo varias veces más energía que la
usada para bombardear la capsula. El tiempo que se requiere para que se produzca esta
reacción es limitado por la inercia del combustible (de ahí el nombre)
203
PARTÍCULAS ELEMENTALES
El descubrimiento del neutrón permitió completar nuestro modelo atómico. Se pensó
inicialmente que, al parecer, toda la materia estaría formada por electrones (en la nube
atómica), protones y neutrones (en el núcleo atómico). Además, estas partículas
interaccionaban entre ellas mediante las interacciones conocidas: la electromagnética, la
fuerte (responsable de mantener en el núcleo atómico a los protones y neutrones), la débil
(causante del decaimiento beta de algunos elementos) y la gravitatoria. Sin embargo, el
estudio de los rayos cósmicos mostró la presencia de varias partículas tales como el muón
(que se la confundió con la partícula de Yukawa, pión). Con el advenimiento de los
aceleradores de partículas se hizo evidente una proliferación de partículas y tuvimos que
clasificarlas de la siguiente manera:
• Fotón. Media la interacción electromagnética.
• Leptones. Partículas de spin ½ que no interaccionan fuertemente:
• Hadrones (bariones y mesones). Partículas que interaccionan fuertemente. Los bariones
tienen spin semi-entero y los mesones spines enteros.
Propiedades de las interacciones
• Interacción Gravitatoria
rmGrV N
2
)( =
GN = 6.7 10-39 hc (GeV/c2)-2
• Interacción Electromagnética
rerV
2
)( =
fmMeVe ⋅= 44.12
s16106.1 −≈τ
Tanto la interacción fuerte como la débil son de rango corto y las podemos representar por
potenciales de la forma de Yukawa
• Interacción Fuerte
regrV
ar
s
/2)(
−
=
cm
aπ
h≈
Energía aproximada a 1 fm: 100 MeV
204
Del experimento 152
=c
g s
h
s221012.0 −≈τ
• Interacción Débil
regrV
ar
w
/2)(
−
=
cma
w
h≈
Del experimento 004.02
=c
gw
h
s07.0≈τ
Sus vidas medias son largas por la debilidad de la interacción y por que la densidad de
estados finales es mucho menor
Propiedades de las partículas y números cuánticos
Las partículas de acuerdo con su spin se clasifican en:
Fermiones. Partículas de spin semi-entero que satisfacen el principio de exclusión de Pauli
(un estado cuántico solo puede ocuparse por una partícula). Si se tiene un sistema de
fermiones idénticos, su función de onda debe ser anti-simétrica al intercambio entre dos de
ellos.
Bosones. Partículas de spin entero que no satisfacen el principio de exclusión de Pauli (un
estado cuántico puede ocuparse por cualquier número de partículas). Si se tiene un sistema
de bosones idénticos, su función de onda debe ser simétrica al intercambio entre dos de
ellos.
Toda partícula tiene su correspondiente antipartícula. La antipartícula tiene igual masa que
su correspondiente partícula pero sus números cuánticos opuestos. Algunas partículas son
su misma antipartícula (π0).
Ejercicio. ¿Será el neutrón su propia antipartícula?
Cuando se estudia un tipo de reacción entre partículas, éste debe cumplir con ciertos
requisitos o leyes de conservación que a lo largo de años de experimentación las hemos
llegado a conocer. Así por ejemplo, no hemos observado nunca una reacción donde la carga
eléctrica no se conserve. Creemos que hay una serie de principios de conservación en el
dominio subatómico sino que en este caso no conocemos todas las leyes relevantes por
nuestra falta de comprensión teórica de las interacciones. Consecuentemente debemos
205
deducir del experimento el tipo de números cuánticos que se conservan y las leyes de
conservación que son apropiadas para cada interacción entre partículas.
Se ha visto que si a los fermiones les asignamos un número y a las anti-partículas de los
fermiones el mismo número pero negativo. Este número fermionico se conserva.
Número Bariónico.
Si se examina la siguiente reacción: 0π+→ ++ ep
Se ve que es energéticamente posible y conserva la carga eléctrica, sin embargo nunca se
ha observado. Esto sugiere que cierto principio de conservación la prohibe. Podemos definir
el “número bariónico” B=1 que llevan todos los bariones. B=-1 se asigna a los antibariones y
B=0para los leptones mesones y fotones. Por tanto el número bariónico se conserva en
todos los procesos físicos. Sinedo el protón el más liviano de los bariones, éste nunca
decaerá.
Números Leptónicos Como en el caso anterior podríamos asignar a los leptones un número cuántico. Sin
embargo, reacciones como:
γμ +→ −− e
Nunca se han observado. Por lo que se llega a la conclusión de que debe haber diferentes
números leptónicos. Así, el electrón y su neutrino tienen número leptónico tipo electrón Le=1,
el muón y su neutrino tienen número leptónico muónico Lμ=1; y el tau y su neutrino tienen
número leptónico Lτ=1. Sus antipartículas tienen los valores negativos.
Extrañeza
Este número cuántico se introdujo para explicar el hecho de que algunos hadrones ( )ΣΛΚ ,,
tenían vidas medias relativamente grandes (tiempos de vida media del orden de 10-10
segundos) característicos de la interacción débil, es decir, se creaban en procesos fuertes
(los experimentos mostraban que sus secciones eficaces eran consistentes con esta
interacción, secciones eficaces grandes, del orden de los milibarn); pero decaían por
procesos débiles.
Estas partículas siempre se producen en pares. Así, 00 Λ+Κ→+− pπ
Posteriormente decaen como:
p+→Λ −π0
−+ +→Κ ππ0
206
Se observa que 0Λ se produce conjuntamente con 0Κ pero no con 0π ; se observa también
que se produce con +Κ pero no con −Κ .
De igual manera +++ Σ+Κ→+ pπ
Las cuales se desintegran como:
n+→Σ ++ π 0ππ +→Κ ++
+Σ siempre se produce asociado con +Κ pero nunca con +π . Se produce también asociado
con 0Κ (y un +π adicional). −Σ se produce asociado con +Κ +−− Κ+Σ→+ pπ pero no se observa −+− Κ+Σ→+ pπ
A estas partículas se las llamó extrañas y se les asignó un nuevo número cuántico llamado
extrañeza S, el cual debía ser conservado para el caso de interacción fuerte y podía no
conservarse para el caso de la interacción débil. Todos los bariones y mesones ordinarios
(así como el fotón) se asumían como partículas no extrañas, es decir, S=0.
De las reacciones de producción de estas partículas se podía inferir la extrañeza de las
mismas para que este número cuántico se conserve. Así:
S=1 +Κ 0Κ
S=-1 −Κ 0Κ
también
S=-1 00 ΣΣΣΛ −+
De igual manera de las siguientes reacciones fuertes: +−− Κ+Ξ→+Κ p
+Κ+Ξ→+Κ 00 p
asigna
S=-2 0ΞΞ−
Isospin
El protón y el neutrón son bariones de spin ½ y tienen aproximadamente la misma masa
(degeneración en masa). Desde el punto de vista de la interacción fuerte podemos decir que
se comportan igual (independencia de carga) estados distintos de una misma partícula
“llamada nucleón”. Decimos que el protón y neutrón son dos estados ortogonales de la
misma partícula. El lenguaje es similar de aquel discutido para el spin de una partícula de
spin ½, por lo que se lo conoce como “isospin o spin isotópico” el protón sería cuando el
nucleón tiene componente de isospin “hacia arriba”, y el neutrón cuando la tiene “hacia
abajo”.
207
Las diferentes hadrones forman multipletes isospínicos. Así,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+
πππ
0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΚΚ +
0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΚΚ
−
0
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ΣΣΣ
−
+
0
η0, Λ0, Ω- son singletes isospínicos
Relación de Gell Mann Nishijima.
La asignación de la extrañeza inicialmente fue realizada de una manera ad-hoc, de hecho,
fue llevada a cabo con la observación fenomenológica en mente de que la carga de los
hadrones puede estar relacionada con los otros números cuánticos a través de la siguiente
relación:
22 33SBIYIQ +
+=+=
Donde SBY += y se le conoce como la “hipercarga fuerte”
Figura Octetos de mesones bariones y decaeto de bariones
208
Leyes de conservación
Cuando una ley física es invariante respecto de una operación de simetría generalmente
existe un principio de conservación correspondiente.
En realidad lo ponemos usar en los dos sentidos, es decir,
A) Si se encuentra o sospecha una simetría, se busca la cantidad conservada.
B) Si una cantidad se conserva se busca la correspondiente simetría.
Invariancia en traslación de tiempo (tiempo homogéneo, se conserva E)
Invariancia en traslación del espacio (espacio homogéneo, se conserva pr )
Invariancia de la rotación espacial (espacio isotrópico, se conserva Jr
)
La descripción mecánico cuántica de un sistema se realiza mediante la función de onda del
sistema, que a su vez resuelve una ecuación de movimiento.
Modelo Estandar La física de partículas, hoy en día, esta descrita por el “Modelo Estándar”. Este modelo
clasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones y los quarks.
Cada familia esta formada por tres pares (generaciones) de partículas.
Tanto los leptones como los quarks son partículas de spin ½, es decir, son fermiones34 Tabla 1. Familia de leptones y quarks. LEPTONES QUARKS
Tipo o Sabor Masa GeV/c2 Carga eléctrica Tipo o Sabor 35Masa GeV/c2 Carga eléctrica Electrón e 0.000511 -1 Up u 0.005 2/3 Neutrino νe <7 10-9 0 Down d 0.01 -1/3 Muón μ 0.106 -1 Charm c 1.5 2/3 Neutrino νμ <0.0003 0 Strange s 0.2 -1/3 Tao τ 1.7771 -1 Top t 170 2/3 Neutrino ντ <0.03 0 Bottom b 4.7 -1/3
Tanto los leptones como los quarks interaccionan a través de las cuatro interacciones
fundamentales (conocidas hasta ahora) las cuales se tabulan a continuación. Los leptones
son inmunes a la interacción fuerte (no poseen carga de color). De acuerdo con la teoría
cuántica de campos, las interacciones están mediadas por el intercambio de partículas
virtuales las cuales tienen spin 1. Las intensidades relativas de las interacciones referidas a
la interacción fuerte entre dos protones se muestran en la siguiente tabla. Tabla 2. Interacciones Fundamentales.
Interacción Actúa sobre: Intensidad relativa Partículas que median la interacción
Gravitacional Masa-Energía 10-38 36gravitón??? Electromagnética Eléctricamente-cargadas 1/137 Fotones γ
34 Los fermiones son partículas de spin semi-entero (cumplen con el principio de exclusión de Pauli). Los bosones son partículas de spin entero (no satisfacen el principio de exclusión de Pauli). 35 Note que las masas del los quarks u y d son pequeñas en comparación a la del nucleón resultante 36 La teoría que lo plantea es no renormalizable.
209
Sin carga, sin masa Débil Sabor 10-5 W+, W- (80.22 GeV/c2)
Z0 (91.187 GeV/c2) Fuerte Carga de color 1-10 Gluones g (sin masa)
En la antigua teoría de las partículas elementales se clasificaban a las partículas como:
Leptones y Hadrones. Siendo los hadrones las partículas que responden a la interacción
fuerte (hoy decimos que están formadas por quarks). Los hadrones a su vez se clasifican,
de acuerdo con su spin, en bariones (partículas con spin semi-entero) y mesones (partículas
con spin entero). Actualmente, el modelo estándar considera a los bariones como sistemas
formados por tres quarks y los mesones como formados por quarks y antiquarks. Tanto los
bariones como los mesones deben tener una carga de color total blanca. Tabla3. Algunos Bariones
Partícula Masa (MeV/c2) Vida media (seg) Composición en quarks Carga eléctrica p 938.24 ---------- uud 1 n 939.57 887 udd 0 Λ0 1115.7 2.6 10-10 uds 0 Σ+ 1189.4 0.8 10-10 uus 1 Σ0 1192.5 7.4 10-10 uds 0 Σ- 1197.4 1.5 10-10 dds -1 Ξ0 1314.9 2.9 10-10 uss 0 Ξ- 1321.3 1.6 10-10 dss -1
37Ω- 1672.4 0.8 10-10 sss -1 Λc
+ 2284.9 0.2 10-12 udc 1 El barión Δ++ esta formado por tres quarks u con momento orbital relativo l = 0 y j =3/2 su
componente jz corresponde a los tres quarks (up), siendo su función de onda simétrica
dando lugar a una estadística equivocada (de bosones). Fue por tanto necesario introducir
un nuevo número cuántico, el “color”. Cada sabor de quark tiene tres posibles colores (rojo,
verde, azul). Note que diferentes cargas de color en estado jz = 3/2 impiden la violación del
principio de exclusión de Pauli. Las mezclas de los tres colores dan un color blanco (que
describe la carga de todos los hadrones existentes ya que la separación de los quarks o
aislamiento de quarks esta prohibido, a este hecho se le conoce como confinamiento).
Adicionalmente, los quarks que forman un hadrón se comportan como partículas cuasi-libres
(libertad asintótica). No existe contradicción entre esta propiedad y la anterior, puesto que el
confinamiento solo se activa a largas distancias (del orden del radio del hadrón).
La demostración experimental de la existencia física de la carga de color se basa en la
producción electromagnética de hadrones, mediante la colisión: qqee →γ→−+ y contando
el número de estados finales producidos.
Tabla 4. Algunos Mesones
Partícula 38(antipartícula)
Masa (MeV/c2)
Composición En quarks
Vida media (segundos)
Carga eléctrica
37 Ω- tiene spin 3/2, el resto tiene spin ½. El número bariónico de todas ellas es 1 (sus antipartículas tienen número bariónico –1). La paridad intrínseca de todas ellas es positiva (sus antipartículas tienen negativas).
210
π+ (π-) 139.57 ( )duud 2.6 10-8 1 (-1)
π0 134.97 dd/uu 0.8 10-16 0 Κ- (Κ+) 439.6 ( )susu 1.2 10-8 -1 (1)
0Κ (Κ0) 497.6 ( )sdsd 0.9 10-10 (KS) 5.2 10-8 (KL)
0
η 547.4 ss/dd/uu 0.5 10-18 0
Estamos a las puertas de que el acelerador LHC (Large Hadron Collider) empiece su
operación, y entre uno de sus objetivos esta el observar la partícula de Higgs. Esta partícula,
de acuerdo con el modelo estándar, es la que proporciona masa a todas las de más
partículas.
38 Las partículas π0 y η coinciden con sus anti-partículas (partículas de Majorana). Los mesones tienen número bariónico cero y su paridad intrínseca negativa.