UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL

DEL CARCHI

ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN

COMERCIAL INTERNACIONAL

TEMA:

Mínimos cuadrados, prueba de

hipótesis, t de student

Tutor:

MSC. JORGE POZO

Integrantes:

Tania herrera

Marzo-agosto

1.-TEMA:

Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de student

2.-PROBLEMA:

Escaso conocimiento de lo que son los Mínimos Cuadrados, Prueba de

Hipótesis, T de student, provocara el no aplicarlos al contexto de nuestra

carrera para una buena toma de decisiones.

3.- OBJETIVOS:

3.1.- Objetivo General:

Determinar que es Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de

student y así poder aplicarlo en el contexto de nuestra carrera.

3.2.- Objetivos Específicos:

Investigar que son Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de

student

Resolver los ejercicios.

4.-JUSTIFICACION:

El presente trabajo tienen como finalidad conocer lo que es la regresión y

correlación lineal al trabajar con dos variables cuantitativas podemos estudiar la

relación que existe entre ellas mediante mínimos cuadrados. Aunque los

cálculos de ambas técnicas pueden ser similares en algunos aspectos e incluso

dar resultados parecidos, no deben confundirse. Los mínimos cuadrados tan

solo medimos la dirección y la fuerza de la asociación de una variable frente a

la otra, pero nunca una relación de causalidad.

5.-MARCO TEORICO:

Métodos de mínimos cuadrados.

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos

presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los

mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características

importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la

recta de ajuste

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra

recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ -

Y)² → 0 (mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones

resultante. Veamos el siguiente ejemplo:

En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de

instrucción de las personas y el ingreso.

Se debe tener presente la diferencia entre el valor de obtenido con la ecuación

de regresión y el valor de Y observado. Mientras es una estimación y su

bondad en la estimación depende de lo estrecha que sea la relación entre las

dos variables que se estudian; Yｰ es el valor efectivo, verdadero obtenido

mediante la observación del investigador. En el ejemplo Yｰ es el valor mediano

del ingreso que obtuvo el investigador utilizando todos los ingresos observados

en cada ciudad y es el valor estimado con base en el modelo lineal utilizado

para obtener la ecuación de regresión

Los valores estimados y observados pueden no ser iguales por ejemplo la

primera ciudad tiene un ingreso mediano observado de Yｰ = 4.2 al remplazar

en la ecuación el porcentaje de graduados obtenemos un estimado de

Gráficamente lo anterior se puede mostrar así:

Prueba de Hipótesis

Afirmación acerca de los parámetros de la población. Etapas Básicas en

Pruebas de Hipótesis.

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en

parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se

compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro

hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se

acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor

hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la

hipótesis es cierta.

Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula

(H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado

muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de

significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el

resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de

esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de

1.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la

estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o

una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar

el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra

aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la

media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.

Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba.

Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística

de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos

de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores,

dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.

Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al

probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra

aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se

establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un

valor de z.

Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística

muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después

se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la

alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los

administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de

desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones:

una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en

esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la

conclusión de que el proceso funciona correctamente.

Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el

valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la

cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora

bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS

Expresar la hipótesis nula

Expresar la hipótesis alternativa

Especificar el nivel de significancía

Determinar el tamaño de la muestra

Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo

de las de no rechazo.

Determinar la prueba estadística.

Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba

estadística apropiada.

Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una

de no rechazo.

Determinar la decisión estadística.

Expresar la decisión estadística en términos del problema.

CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL PROCEDIMIENTO DE PRUEBAS DE

HIPÓTESIS.

Hipótesis Estadística:.- Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer

hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada.

Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.

Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las

poblaciones.

Hipótesis Nula..- En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con

el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una

moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o

sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).

Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro,

formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que

cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el

muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis

nula y se denotan por Ho.

T de Student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución

de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población

normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la

determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la

construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de

dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y

ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de

Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el

error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza

para la media = .

Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la

diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se

distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar

si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.

para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son: E(t(n))= 0 y Var (t(n-

1)) = n/(n-2) para n > 3

EJERCICIOS

9. El gerente de personal de la empresa P&C quiere estudiar la relación entre

el ausentismo y la edad de sus trabajadores, tomó una muestra aleatoria de 10

trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.

Edad (años) Ausentismo

(días por año) ( ) ( )

25 46 58 37 55 32 41 50 23 60

18 12 8

15 10 13 7 9

16 6

450 552 464 555 550 416 287 450 368 360

625 2116 3364 1369 3025 1024 1681 2500 529

3600

324 144 64

225 100 169 49 81

256 36

313,29 10,89

234,09 32,49

151,29 114,49

2,89 53,29

388,09 299,29

43,56 0,36

11,56 12,96 1,96 2,56

19,36 5,76

21,16 29,16

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ ) ][ (∑ ) (∑ ) ]

( ) ( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√[( )( )]

√( )( )

√

PRIMER MÉTODO

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

SEGUNDO MÉTODO

(

) (

)

( ) (

) ( ) (

)

( )( ) ( )( )

√∑( )

√

√

√∑( )

√

√

TERCER MÉTODO

∑

( )( )

∑

( )

( )

CUARTO MÉTODO

( )

( ) ( )( )

QUINTO MÉTODO

10.- El banco de préstamos estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros

(Y) mensuales de sus clientes.

Serie 1

f(x)=-0.25985876*x+22.495969; R²=0.7281

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

-20

-10

10

20

30

40

50

x

y

a) Determinar la ecuación lineal de las dos variables.

b) Trace el diagrama de dispersión en el plano cartesiano

c) Estime el ingreso que corresponde a un ahorro semanal de 90 dólares.

( )

d) Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en

dicha semana.

( )

e) Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Títu

lo d

el e

je

Título del eje

Y

Lineal (Y)

Desarrollo

Ingresos Ahorros

x Y X Y X2 Y2 (xi-x) (xi-x)2 (yi-y) (yi-y)2

350 100 35000 122500 10000 -283,33 80275,89 -111,11 12345,43

400 110 44000 160000 12100 -233,33 54442,89 -101,11 10223,23

450 130 58500 202500 16900 -183,33 33609,89 -81,11 6578,83

500 160 80000 250000 25600 -133,33 17776,89 -51,11 2612,23

950 350 332500 902500 122500 316,67 100279,89 138,89 19290,43

850 350 297500 722500 122500 216,67 46945,89 138,89 19290,43

700 250 175000 490000 62500 66,67 4444,89 38,89 1512,43

900 320 288000 810000 102400 266,67 71112,89 108,89 11857,03

600 130 78000 360000 16900 -33,33 1110,89 -81,11 6578,83

5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89

Primer caso

(

) (

)

X=∑

Y=∑

∑ ∑ ∑

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ (∑ ) ]

( ) ( )( )

√( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√

√∑( )

√

( )

√∑( )

√

( )

(

) (

)

(

) (

)

11.- Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la

relación entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de

sus productos. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.

Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gasto de Publicidad ($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80

Venta ($) 300 250 400 - 550 750 630 930 700 840

En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio

a) Determine la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de

publicidad

Semanas Ingresos Ahorros

x Y xy

2 30 300 9000 900 90000 -25,6 652,80 -294,44 86694,91

3 20 250 5000 400 62500 -35,55 1263,80 -344,44 118638,91

4 40 400 16000 1600 160000 -15,55 241,80 -194,44 37806,91

6 50 550 27500 2500 302500 -5,55 30,80 -44,44 1974,91

7 70 750 52500 4900 562500 14,45 208,80 155,56 24198,91

8 60 630 37800 3600 396900 4,45 19,80 35,56 1264,51

9 80 930 74400 6400 864900 24,45 597,80 335,56 112600,51

10 70 700 49000 4900 490000 14,45 208,80 105,56 11142,91

11 80 840 67200 6400 705600 24,45 597,80 245,56 60299,71

500 5350 338400 31600 3634900 0,05 3822,22 454622,22

( ) ( )

Primer caso

(

) (

)

X=∑

Y=∑

∑ ∑ ∑

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ (∑ ) ]

( ( )( )

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ ( )]

√( )( )

√∑( )

√

( )

√∑( )

√

( )

(

) (

)

∑ ∑ ∑

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ (∑ ) ]

( ( )( )

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ ( )]

√( )( )

b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.

a) Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este

valores

yr= -5,27 + 10,79(30) yr= 318,43

12.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre

cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea.

Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76

a) Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante,

por el método de mínimos cuadrados.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100

Títu

lo d

el e

je

Título del eje

Ahorros Y

Lineal (Ahorros Y)

∑ ∑ ∑

∑ (∑ )

∑

∑

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el

error o residual?

( ) -76=1.63 es el error.

b) Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre

este valores

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ )

][ (∑ ) (∑ ) ]

( ) ( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√( )( )

√( )( )

√( )

13.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales

en un curso de matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los

siguientes resultados:

Alumno

Horas de estudio 14 16 22 20 18 16 18 22 10 8

Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 8 5

a) Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de

horas de estudio invertidos. Interprete la ecuación de regresión.

Alumno Horas de

Estudio X

Calificación

Y XY

A1 14 12 168 196 -2,40 5,76

A2 16 13 208 256 -0,40 0,16

A3 22 15 330 484 5,60 31,36

A4 20 15 300 400 3,60 12,96

A5 18 17 306 324 1,60 2,56

A6 16 11 176 256 -0,40 0,16

A7 18 14 252 324 1,60 2,56

A8 22 16 352 484 5,60 31,36

A9 10 8 80 100 -6,40 40,96

A10 8 5 40 64 -8,40 70,56

( )

∑

∑

∑

( )( )

√∑( )

𝐗𝐢 𝐗

√

( )

14.- Sobre la base de una muestra de tamaño 28 se encontró que la

ecuación de regresión muestral de gastos mensuales (Y) sobre tamaño de

la familia (X) es:

Además la covarianza de Y con X es igual a 32, y la desviación estándar de Y

es igual a 5,

a) Determine el coeficiente de correlación y analizar la bondad del ajuste

de la línea de regresión con el coeficiente de determinación.

15.- Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de

una importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por

agencia), Y (ventas en miles de dólares) ha dado los siguientes

resultados:

∑ ∑ ∑

a) Determine la ecuación de regresión:

∑

∑

( )

( )

( )( )

Ecuación

b) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la

variación total es explicada por la regresión?

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

√( ∑ (∑ ) )[ ∑ (∑ ) ]

( ) ( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

16.- Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados

en el nivel de producción. En la tabla que sigue se da la información

recabada sobre gastos generales y las unidades producidas en 10 plantas

y se desea estimar una ecuación de regresión para estimar gastos

generales futuros.

Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200

Unidades producidas 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10

a) Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de

regresión.

∑

∑

∑

( )( )

√∑( )

√

( )

17.- el banco “préstamo” estudia la relacion entre las variables, ingreso

(x) y ahorros (y) mensuales de susu clientes. una muestra aleatoria de

susu clientes revelo los siguientes datos en dolares:

X 350 400 450 500 950 850 700 900 600

Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130

A) Cuáles son los supuestos del modelo de regresión?

B) Dibuje el diagrama de dispersión y describa la tendencia trazando una línea a

través de los puntos.

C) Determinar la ecuación de regresión muestral. interprete esta ecuación

D) Calcule el error estándar de estimación. ¿Entre dos valores estarán

aproximadamente 95% de las predicciones? (suponga muestra grande)

E) Analice que tan bien se ajustan los puntos del diagrama de dispersión a la línea

de regresión utilizando el coeficiente de determinación.

XY ( ) ( )

350 100 1225 100 350 802.59 123.43

400 110 1600 121 440 544.29 102.21

450 150 2025 169 585 335.99 65.77

500 160 2500 256 800 177.69 26.11

950 350 9025 1225 3325 31.67 192.93

850 350 7225 1225 2975 21.67 192.93

700 250 4900 625 1750 6.67 15.13

900 320 8100 1024 2880 26.67 118.59

600 130 3600 169 780 11.09 65.77

570 190 40200 4914 13885 1958.33 902.87

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ ) ][ (∑ ) (∑ ) ]

( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√[( ) ( )]

=

=63.33

=

=21.11

Sx = √∑( )

= 14.75

Sy = √∑( )

= 10.2

1) y= +r (

) x – r (

)

y= 21.11 +0.96 (

) x – 0.96 (

) (63.33)

y= 21.11 + 0.96 (0.68)x – 0.96 (43.06)

y= 21.11 + 0.65x -41.34

y = -20.23+0.65x

2) B=

=

= 0.45

Sxy = ∑

- =

- (21.11) (63.33) = 1542.78 – 1336.89 = 205.89

= ∑

- =

– ( ) = 4466.67-4010.69= 455.98

= 21.11-0.45 (63.33)

a= -7.51

y= a + bx

y -7.51+0.45x

3) y= +

( x - )

y = 21.11 +0.45 (x -63.33)

y = -7.39 +0.45x

18.- a) Calcule la desviación estándar de la pendiente b (error estándar de b)

b) halle un intervalo de confianza de 0.95 para b. ¿se puede afirmar que b = 0?

c) utilice t bilateral para probar la hipótesis nula b= 0 al nivel de significación del 5%.

Calcule la probabilidad p.

Sx = √∑( )

= 14.75

Sy = √∑( )

= 10.2

19.- la pendiente de la línea de regresión muestral resulto b= 0.452 se quiere

determinar si está pendiente es significativa en la población utilizando el

método de análisis de varianza.

1) B=

=

= 0.45

a) plantee las hipótesis nula y alternativa

b) determinar la región de rechazo al nivel de significación 0.05 y describa la

regla de decisión

c) describa la tabla ANOVA y tome la decisión

d) halle la probabilidad p de la prueba.

20.- determinar el intervalo de confianza del 95% para;

a) la cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es = 1200 $

1) y= +

( x - )

y = 21.11 +0.45 (x -63.33)

y = -7.39 +0.45x

Y = -7.39+ 0.45( 1200)

Y= 398.536

b) la cantidad de ahorro cuando el ingreso es = 1200 $

1) y= +

( x - )

y = 21.11 +0.45 (x -63.33)

y = -7.39 +0.45x

1200= -7.39+ 0.45( x)

X= 366.657.5

15,. Continuando con el ejercicio 10

a) Calcule el coeficiente de correlación interprete la tendencia

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ ) ][ (∑ ) (∑ ) ]

( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√[( ) ( )]

b) B) ¡porque son iguales las signos de b y r?

c) C) utilizando la significación al 5% del coeficiente regresión muestral

¿podemos concluir que hay relación positiva entre ahorros e ingresos?

d) Realice la prueba bilateral de la hipótesis nula p=0 al nivel significación

0.05

21.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre

cantidad e fertilizante y producción de papa por hectárea.

Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76

∑

∑

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

X Y XY

2

2

3 45 135 9 2025 20,25 265,69

4 48 192 16 2304 12,25 176,89

5 52 260 25 2704 6,25 86,49

6 55 330 36 3025 2,25 39,69

7 60 420 49 3600 0,25 1,69

8 65 520 64 4225 0,25 13,69

9 68 612 81 4624 2,25 44,89

10 70 700 100 4900 6,25 75,69

11 74 814 121 5476 12,25 161,29

12 76 912 144 5776 20,25 216,09

75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1

a) Y= +r(

) (

)

Y=61.3+0.47(

) (

)

Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5

Y=61.3+1.76X-13.2

Y=48.10+1.76X

Y=a+bx

Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6

b) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( ) ( )( )

( ) ( )

c) b=

a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44

SXY= ∑

SX2=∑

d) Y= +

( )

Y=61.3+

( )

Y=61.3+1.715(X-7.5)

Y=48.44+1.715X

e) Y=48.44+1.715X

48=48.44+1.715X

X= 0.26

22.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso de

matemática de una muestra de 10 alumnos ha dado los siguientes resultados.

ALUMNO A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

HORAS DE ESTUDIO 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08

CALIFICAIONES 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05

X Y XY

2

2

14 12 168 196 144 5,76 0,36

16 13 208 256 169 0,16 0,16

22 15 330 484 225 31,36 5,76

20 15 300 400 225 12,96 5,76

18 17 306 324 289 2,56 19,36

16 11 176 256 121 0,16 2,56

18 14 252 324 196 2,56 1,96

22 16 352 484 256 31,36 11,56

10 8 80 100 64 40,96 21,16

8 5 40 64 25 70,56 57,76

164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4

∑

∑

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

a) Y= +r(

) (

)

Y=126+0.94(

) (

)

Y=126+0.768x-12.6

Y=0+0.768x

Y=a+bx

Y=0+0.768(22)=16.72

b) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( )( )

( ) ( )

c) b=

a= a= -b =0.3

SXY= ∑

SX2=∑

d) Y= +

( )

Y=12.6+

( )

Y=12.6+0.06(16.4)

Y=12.6+0.98x

e) Y=12.6+0.98x

16=12.6+0.98x

X= 20.9

23.- a) Calcule la desviación estándar de la pendiente b (error estándar de b)

b) halle un intervalo de confianza de 0.95 para b. ¿se puede afirmar que b = 0?

c) utilice t bilateral para probar la hipótesis nula b= 0 al nivel de significación del 5%.

Calcule la probabilidad p.

Sx = √∑( )

= 14.75

Sy = √∑( )

= 10.2

24.- la pendiente de la línea de regresión muestral resulto b= 0.452 se quiere

determinar si está pendiente es significativa en la población utilizando el método de

análisis de varianza.

2) B=

=

= 0.45

a) plantee las hipótesis nula y alternativa

b) determinar la región de rechazo al nivel de significación 0.05 y describa la regla de

decisión

c) describa la tabla ANOVA y tome la decisión

d) halle la probabilidad p de la prueba.

20.- determinar el intervalo de confianza del 95% para;

a) la cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es = 1200 $

2) y= +

( x - )

y = 21.11 +0.45 (x -63.33)

y = -7.39 +0.45x

Y = -7.39+ 0.45( 1200)

Y= 398.536

b) la cantidad de ahorro cuando el ingreso es = 1200 $

2) y= +

( x - )

y = 21.11 +0.45 (x -63.33)

y = -7.39 +0.45x

1200= -7.39+ 0.45( x)

X= 366.657.5

25.- Calcule el coeficiente de correlación interprete la tendencia

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ ) ][ (∑ ) (∑ ) ]

( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√[( ) ( )]

e) B) ¡porque son iguales las signos de b y r?

f) C) utilizando la significación al 5% del coeficiente regresión muestral ¿podemos

concluir que hay relación positiva entre ahorros e ingresos?

g) Realice la prueba bilateral de la hipótesis nula p=0 al nivel significación 0.05

26.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad e

fertilizante y producción de papa por hectárea.

Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76

∑

∑

X Y XY

2

2

3 45 135 9 2025 20,25 265,69

4 48 192 16 2304 12,25 176,89

5 52 260 25 2704 6,25 86,49

6 55 330 36 3025 2,25 39,69

7 60 420 49 3600 0,25 1,69

8 65 520 64 4225 0,25 13,69

9 68 612 81 4624 2,25 44,89

10 70 700 100 4900 6,25 75,69

11 74 814 121 5476 12,25 161,29

12 76 912 144 5776 20,25 216,09

75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

f) Y= +r(

) (

)

Y=61.3+0.47(

) (

)

Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5

Y=61.3+1.76X-13.2

Y=48.10+1.76X

Y=a+bx

Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6

g) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( ) ( )( )

( ) ( )

h) b=

a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44

SXY= ∑

SX2=∑

i) Y= +

( )

Y=61.3+

( )

Y=61.3+1.715(X-7.5)

Y=48.44+1.715X

j) Y=48.44+1.715X

48=48.44+1.715X

X= 0.26

28.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso de

matemática de una muestra de 10 alumnos ha dado los siguientes resultados.

ALUMNO A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

HORAS DE ESTUDIO 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08

CALIFICAIONES 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05

X Y XY

2

2

14 12 168 196 144 5,76 0,36

16 13 208 256 169 0,16 0,16

22 15 330 484 225 31,36 5,76

20 15 300 400 225 12,96 5,76

18 17 306 324 289 2,56 19,36

16 11 176 256 121 0,16 2,56

18 14 252 324 196 2,56 1,96

22 16 352 484 256 31,36 11,56

10 8 80 100 64 40,96 21,16

8 5 40 64 25 70,56 57,76

164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4

∑

∑

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

f) Y= +r(

) (

)

Y=126+0.94(

) (

)

Y=126+0.768x-12.6

Y=0+0.768x

Y=a+bx

Y=0+0.768(22)=16.72

g) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( )( )

( ) ( )

h) b=

a= a= -b =0.3

SXY= ∑

SX2=∑

i) Y= +

( )

Y=12.6+

( )

Y=12.6+0.06(16.4)

Y=12.6+0.98x

j) Y=12.6+0.98x

16=12.6+0.98x

X= 20.9

CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES:

Se debe tener presente la diferencia entre el valor de obtenido con la

ecuación de regresión y el valor de Y observado. Mientras es una

estimación y su bondad en la estimación depende de lo estrecha que

sea la relación entre las dos variables que se estudian

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de

datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el

método de los mínimos cuadrados

7.- CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

MES DE JUNIO

ACTIVIDADES M J V S D L M

Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas

X X

Ejecución del Formato del Trabajo X

Resumen de los textos investigados X X

Finalización del Proyecto X

Presentación del Proyecto X

8.-BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA:

http://www.monografias.com/trabajos16/metodos-lineales/metodos-

lineales.shtmlfile:///K:/magnitudes-fundamentales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student

http://www.monografias.com/trabajos17/pruebas-de-hipotesis/pruebas-de-

hipotesis.shtml

9.- ANEXOS:

ANEXOS:

9. El gerente una empresa de exportaciones e importaciones quiere estudiar la

relación entre el entrada y salida de sus trabajadores, tomó una muestra

aleatoria de 10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.

entrada salida ( ) ( ) 25 46 58 37 55 32 41 50 23 60

18 12 8

15 10 13 7 9

16 6

450 552 464 555 550 416 287 450 368 360

625 2116 3364 1369 3025 1024 1681 2500 529

3600

324 144 64

225 100 169 49 81

256 36

313,29 10,89

234,09 32,49

151,29 114,49

2,89 53,29

388,09 299,29

43,56 0,36

11,56 12,96 1,96 2,56

19,36 5,76

21,16 29,16

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√[ (∑ ) (∑ ) ][ (∑ ) (∑ ) ]

( ) ( )( )

√[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]

√[( )( )]

√( )( )

√

PRIMER MÉTODO

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

SEGUNDO MÉTODO

(

) (

)

( ) (

) ( ) (

)

( )( ) ( )( )

√∑( )

√

√

√∑( )

√

√

TERCER MÉTODO

∑

( )( )

∑

( )

( )

CUARTO MÉTODO

( )

( ) ( )( )

QUINTO MÉTODO

18.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre

exportaciones e importaciones de tela.

importaciones 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Serie 1

f(x)=-0.25985876*x+22.495969; R²=0.7281

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

-20

-10

10

20

30

40

50

x

y

exportaciones 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76

∑

∑

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

k) Y= +r(

) (

)

Y=61.3+0.47(

) (

)

X Y XY

2

2

3 45 135 9 2025 20,25 265,69

4 48 192 16 2304 12,25 176,89

5 52 260 25 2704 6,25 86,49

6 55 330 36 3025 2,25 39,69

7 60 420 49 3600 0,25 1,69

8 65 520 64 4225 0,25 13,69

9 68 612 81 4624 2,25 44,89

10 70 700 100 4900 6,25 75,69

11 74 814 121 5476 12,25 161,29

12 76 912 144 5776 20,25 216,09

75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1

Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5

Y=61.3+1.76X-13.2

Y=48.10+1.76X

Y=a+bx

Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6

l) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( ) ( )( )

( ) ( )

m) b=

a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44

SXY= ∑

SX2=∑

n) Y= +

( )

Y=61.3+

( )

Y=61.3+1.715(X-7.5)

Y=48.44+1.715X

o) Y=48.44+1.715X

48=48.44+1.715X

X= 0.26

19.- El número de horas de que se utiliza para un viaje de Tulcán a Guayaquil en

cuanto se demoran los transportistas ha dado los siguientes resultados.

transportistas A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

Tulcán 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08

Guayaquil 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05

X Y XY

2

2

14 12 168 196 144 5,76 0,36

16 13 208 256 169 0,16 0,16

22 15 330 484 225 31,36 5,76

20 15 300 400 225 12,96 5,76

18 17 306 324 289 2,56 19,36

16 11 176 256 121 0,16 2,56

18 14 252 324 196 2,56 1,96

22 16 352 484 256 31,36 11,56

10 8 80 100 64 40,96 21,16

8 5 40 64 25 70,56 57,76

164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4

∑

∑

SX= √∑

SY=√∑

(∑ ) (∑ )(∑ )

√( (∑ ) (∑ ) )( (∑ ) (∑ ) )

( ) ( )( )

√ ( ) ( ) )( ( ) ( ) )

√( )( )

k) Y= +r(

) (

)

Y=126+0.94(

) (

)

Y=126+0.768x-12.6

Y=0+0.768x

Y=a+bx

Y=0+0.768(22)=16.72

l) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24

∑ (∑ )(∑ )

(∑ ) (∑ )

( )( )

( ) ( )

m) b=

a= a= -b =0.3

SXY= ∑

SX2=∑

n) Y= +

( )

Y=12.6+

( )

Y=12.6+0.06(16.4)

Y=12.6+0.98x

o) Y=12.6+0.98x

16=12.6+0.98x

X= 20.9

4.- Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras

realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de

los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1%

¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

• a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

• b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

Datos:

n = 1000

x = 25

Donde:

x = ocurrencias

n = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuesta

Solución:

a)

a = 0,01

H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo

que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

b)

a = 0,01

H0 es rechazada, ya que zprueba (1,13) es menor que ztabla (2,326), por lo

que es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

5.- Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca

de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera

razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de

esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de

marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados,

seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en

relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes

resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5

unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se

distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la

situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva

campaña publicitaria?

Datos:

n = 51

Solución:

H0: ( = 170000

H1: ( < 170000

a = 0,05

Se rechaza Ho, porque zprueba (-0,12) es menor que ztabla (1,645), por lo

tanto se acepta H1: ( < 170000, y se debe considerar oportuno lanzar una

nueva campaña publicitaria.

10.-MATRIZ DE LOGROS:

MATRIZ PARA TRABAJOS Y PRODUCTOS FINALES

NO

AP

LIC

A

NA

DA

PO

CO

P

AR

CIA

LM

EN

TE

EN

SU

MA

YO

R

PA

RT

E

TO

TA

LM

EN

TE

NIVEL.- 6 B FECHA.-

Asignatura.- estadística Inferencial 1 2 3 4 5

1

Utiliza el método científico en la planificación de la investigación y/o trabajos

2

Utiliza el método científico en la ejecución de la investigación y/o trabajos

3

Utiliza el método científico en el informe de la investigación y/o trabajos

4 Identifica las causas del problema

5 Identifica los efectos del problema

6

Expresa claramente los antecedentes del problema (planteamiento)

7

Formula el problema identificando claramente las variables

8

Analiza la factibilidad económica del proyecto y/o trabajo

9

Analiza la factibilidad tecnológica del proyecto y/o trabajo

10

Analiza la factibilidad bibliográfica del proyecto y/o trabajo

11

Plantea soluciones al problema de investigación

12

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Tic´s. en la redacción del informe

13

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Sintaxis

14

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Ortografía

15

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Redacción (citas)

16

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Estadística

1 Análisis de resultados

7

18

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: matemática

19

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Protocolos de redacción

20 Conclusiones y Recomendaciones

21

Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Bibliografía

22

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con facilidad.

23

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con claridad

24

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con coherencia.

25

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación digital precisa y pertinente

26

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita precisa y pertinente

27

Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita (ABSTRACT)

28

Las investigaciones y/o trabajos son temas de actualidad

29

Las investigaciones y/o trabajos ayudan a la solución de problemas contemporáneos

30

Utiliza información actualizada para los trabajos y/o investigación

31 Trabajo en equipo: Es colaborador (a)

32 Trabajo en equipo: Es creativo (a)

33 Trabajo en equipo: Es propositivo (a)

34 Trabajo en equipo: Acepta propuestas

35 Trabajo en equipo: Es puntual

3 Trabajo en equipo: Plantea estrategias de

6 trabajo

37 Trabajo en equipo: Es operativo (a)

TOTAL

SUMAN TOTAL

NOTA FINAL

Nombre.- Tania Herrera

PROTOCOLO DE REDACCION.

TAMAÑO DE PAPEL A4

PESO 75 GMS

ESPACIO INTERLINEAL 1,5

FIRMA ESTUDIANTE

TAMAÑO LETRA 12

TIPO DE LETRA ARIAL

COLOR LETRA NEGRO

MARGENES

superior 2,5

izquierdo 4

inferior y derecho 2,5

NÚMERO DE PÁGINA

INFERIOR CENTRO FIRMA DOCENTE

PÁGINAS PRELIMINARES

ROMANOS

MINÚSCULA

CUERPO DEL INFORME

arábigos -2-

TÍTULO DEL CAPÍTULO

SIN NÚMERO