clase minimos cuadrados
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MÉTODO DE
COMPENSACIÓN PORMÍNIMOS CUADRADOS
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Método de compensación por mínimos
cuadrados Introducción
Lo aplicaremos cuando realicemos más
observaciones de las necesarias con el
objetivo de aumentar la precisión y seguridad
en el resultado. Es el método de ajuste de observaciones
más adecuado.
Consiste en calcular el valor que satisfaga la
condición de que la suma de los cuadrados
de los residuos sea mínima.
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Clases de sistemas de medición:
Método de compensación por mínimos
cuadrados Introducción
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Método de compensación por mínimos
cuadrados Medidas directas
Medidas deigual precisión
Medidas dedistinta precisión
MEDIAARITMÉTICA
MEDIAPONDERADA
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En topografía clásicaobtenemos la distanciareducida y el desnivelentre dos puntos a partirde la distanciageométrica y el ángulo
cenital entre ellos.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
P
(0,0,0) E
Z
N
Dr=Dg*senV
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Lo normal no será el sencillo ejemplo anterior sinofunciones con más de una incógnita.
Vamos a suponer que tratamos de determinar tres
magnitudes x, y, z a partir de una serie deobservaciones directas.
Las observaciones y las magnitudes a determinarestán relacionadas por una función:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
0
k cz byax A la que se denomina ecuación de observación.
A, b, c y k son coeficientes conocidos, extraídos directa oindirectamente de cada medición.
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Para encontrar una solución a cadaincógnita habrá que formar tantas
ecuaciones como datos desconocidos.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
0
0
0
3333
2222
1111
k z c yb xa
k z c yb xa
k z c yb xa
Pero así sólo tenemos un resultado de cada incógnita. No podemos contrastarlo ni valorar su precisión.
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Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
Para ello establecemos más ecuaciones deobservación independientes.
0
...................................
0
0
2222
1111
nnnn k z c yb xa
k z c yb xa
k z c yb xa
Ahora el problema está en resolverlo, ya que es sobredeterminado.Esto es, con más ecuaciones independientes que incógnitas,
por tanto, imposible de encontrar valores de x, y, z que
satisfagan rigurosamente el sistema.
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Recurriremos a hallar los valores más probables de las incógnitas.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
Método de ajustede ecuaciones de observación
nnnnn r k z c yb xa
r k z c yb xa
r k z c yb xa
...................................
22222
11111Primero damosun valor aproximado
a cada incógnita
Al resolver cada
ecuación, seguramenteno se cumplirá laigualdad, sino quequedará un residuo
distinto de cero.
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Al ser el método de ajuste elegido el demínimos cuadrados, adoptaremos como
valores más probables de x, y, z los quecumplan:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
22
2
2
1 ..... nr r r Mínimo, o sea:
Mínimok z c yb xak z c yb xak z c yb xa nnnn
22
2222
2
1111 ...
02...2
02...2
02...2
2222211111
2222211111
2222211111
nnnnn
nnnnn
nnnnn
k z c yb xabk z c yb xabk z c yb xab
k z c yb xabk z c yb xabk z c yb xab
k z c yb xaak z c yb xaak z c yb xaa
z y x ,,(Derivamos e igualamos a cero)
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El sistema resultante tiene resueltos losdos problemas iniciales:
02...2
02...2
02...2
2222211111
2222211111
2222211111
nnnnn
nnnnn
nnnnn
k z c yb xabk z c yb xabk z c yb xab
k z c yb xabk z c yb xabk z c yb xab
k z c yb xaak z c yb xaak z c yb xaa
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas indirectas
Es compatible y determinadoCumple la condición
de los mínimos cuadrados
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En topografía las mediciones se extiendensobre grandes superficies.
Lo que provoca que las medidas entretramos se relacionen entre sí formandofiguras geométricas:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
a
b
c
d
e
f
g
La suma de los tres ángulos de cadatriángulo son 180°.
Cumplir el teorema de los senos.
La suma de los ángulos en a es 360°.
La suma de los ángulos interiores del polígono es (n-2)180°.
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El objetivo del ajuste es determinar el valor de las correcciones aaplicar a cada dato de campo para que se cumplan estrictamentetodas las condiciones matemáticas impuestas añadiendo la
condición de mínimos cuadrados. Para el triángulo ABC:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
''05'00180ˆˆˆ C B A
La condición geométrica impone que:
''00'00180ˆˆˆ
321 xC x B x A Restándolas: 0''05'000
321 x x x
Obteniendo la primera ecuación condicional en función
de los residuos.
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Generalizando la expresión tendremos :
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
f k xa xa xa xa nn 0...1332211
Y para cada condición independiente:
0...
...............................................................
0...
0...
332211
23322112
13322111
nnnn
nn
nn
k xn xn xn xn f
k xb xb xb xb f
k xa xa xa xa f
Ecuacionescondicionales
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Es un sistema de ecuaciones lineales e independientes.
El número de ecuaciones es igual al número de redundancias.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
0...
...............................................................
0...
0...
332211
23322112
13322111
nnnn
nn
nn
k xn xn xn xn f
k xb xb xb xb f
k xa xa xa xa f
Ecuacionescondicionales
Redundancia = datos medidos - datos independientes
ecuaciones datos incógnitas No existe una única solución. Hay que aplicar adicionalmente
el criterio de mínimos cuadrados.
Para ello determinaremos una función que los cumpla.
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Se recurre a la Función de Lagrange:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
Condición de mm.cc. Mínimo x x x x n
22
3
2
2
2
1 ...
nn f f f f F 2...222332211
No es más que multiplicar por unos factores a
cada ecuación condicional y añadir su suma a f. li son coeficientes indeterminados denominados
operadores o multiplicadores de Lagrange, y hay
tantos como ecuaciones de condición.
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Al ser equivalentes, cuando una tomevalor mínimo también lo tomará la otra
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
01
f
02
f
0n f
nn f f f f F 2...222332211
Cuando se satisfaganlas ecuaciones de
condición
03
f
F
mínmín F
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Haciendo nulas las primeras derivadas parciales de F:
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
02...222.....................................................
02...222
02...222
21
222212
112111
mnmmm
n
n
aaa x
aaa x
aaa x
Ecuaciones
correlativas
Despejando las incógnitas x1, x2,…,xm, quedarán enfunción de los multiplicadores de Lagrange.
mnmmm
n
n
aaa x
aaa xaaa x
...
.......................................
...
...
21
222212
112111
Sustituyéndolasen las ecuaciones
condicionales 0...
...............................................................
0...0...
332211
23322112
13322111
nnnn
nn
nn
k xn xn xn xn f
k xb xb xb xb f k xa xa xa xa f
ECUACIONES NORMALES
d d i
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De igual número de ecuaciones queincógnitas, pudiendo resolverse para
obtener los valores li. Que sustituimos finalmente en las
ecuaciones correlativas para obtener los
valores de las correcciones x1, x2, …,xm. Con los que corregimos las medidas
efectuadas en campo y resulta ajustada por
mínimos cuadrados la figura.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales
é d d ió
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El complejo cálculo hasido imposible hasta laaparición de los potentes
ordenadores actuales,teniendo en cuenta lacomplejidad de las figurasque se pueden dar en
Topografía.
Método de compensación pormínimos cuadrados Medidas condicionales