Matemáticas Sesión #10. Integrales

Contextualización

En esta sesión trabajaremos con el cálculo integral, nuestro objetivo es definir la anti derivada y la integral indefinida de una función diferencial así como aplicar algunas fórmulas básicas de integración.

También aprenderemos a utilizar el teorema fundamental del cálculo que es una de las aplicaciones principales de la integral para el cálculo de áreas por debajo de una curva.

Extraído de: http://knoji.com/images/user/cropped%20integral%20function(1).jpg solo para fines educativos.

Introducción

En la sesión anterior se trabajó el cálculo diferencial.

Diferenciamos una función y obtuvimos otra función que era su

derivada. El cálculo integral se ocupa del proceso inverso.

Dada la derivada de una función se debe de encontrar la función

original. La necesidad de hacer esto surge de manera natural.

Por ejemplo, podemos tener una función de velocidad en función

del tiempo y queremos encontrar la función de posición a partir

de ella.

Al trabajar el cálculo integral nos encontramos con las siguientes

interrogantes:

• ¿Qué es una integral indefinida?

• ¿Qué es la constante de integración?

• ¿Cuál es la diferencia entre la integral indefinida y la

definida?

Explicación

Definición de integral indefinida.

Una anti derivada de una función f, es una función F tal que F´(x) = f(x)

o en forma equivalente, en notación diferencial: dF = f(x) dx.

Por ejemplo:

Dx(x2+1) = 2x y Dx(x

2-5) = 2x

Tanto la primera expresión como la segunda son las anti derivadas de 2x, es

claro que como la derivada de una constante es cero, x2+C es también la

anti derivada de 2x para cualquier constante C. Así, 2x tiene un número

infinito de anti derivadas. Por lo tanto se concluye que: Dos anti derivadas

cualesquiera de una función difieren sólo en una constante.

Explicación

Forma general de la integral indefinida:

;

Donde:

El símbolo se llama símbolo de integración, f(x) es el integrando; dx es parte de la notación integral e indica la variable a integrar y C es la constante de integración.

Cálculo de integrales

Ahora se darán algunas fórmulas de integración básica para el cálculo de esta operación.

Explicación

Formulas básicas de integración:

1. Ckxkdx K es una constante

2.

Cn

xdxx

n

n

1

1

n= cualquier número excepto el

-1.

3. Cedxe xx

4. Cn

xkxkdxkx

n

nn

1

1

Donde k es una constante y n es

cualquier número real excepto el

-1.

5. Cxdxxdxx

ln1 1

Solamente cuando n= -1

6.

C

mn

xdxxdxx

mn

mnm n

1

1

Explicación

Ejemplos: Resuelve las siguientes integrales

Regla Resultado

1. dx3 Ckxkdx 3x + C

2. dxx7

Cn

xdxx

n

n

1

1

Cxx

817

817

3. dxx26 C

n

xkxkdxkx

n

nn

1

1

3

312

23

612

6 xxx

4. xe

5

6

Cedxe xx Ce x

5

6

Explicación

1. dxxx 172 35 4

Aquí se deberán aplicar la regla

1,2 y 6 para este polinomio, ya

que se integra término por

término

Cxxx

Cxxx

xxx

45

9

459

1315

4

4

7

2

5

14

74

52

113

71

54

2

Explicación

Aplicación de integrales

Una de las principales aplicaciones de la integral es el uso del Teorema fundamental del calculo que es utilizado para calcular el área por debajo de una curva representada por una función f(x) en un intervalo determinado.

Definición del teorema:

Si f es continua en el intervalo [a,b] y F es cualquier anti derivada de f en el intervalo, entonces

Es importante que entienda la diferencia entre una integral definida y una integral indefinida. La integral definida es un número definido como el límite de una suma.

Explicación

Ejemplo: encontrar 3

1

2 63 dxxx

Integremos cada uno de los términos que forma la expresión:

xxx

dxxdxdxx 61112

3631112

2

Simplificando nos quedara la siguiente anti derivada:

xx

x 62

2

3

Explicación

En esta expresión haremos las evaluaciones de los límites de la integral,

recordemos que estos valores son -1 y 3, primeramente se sustituirá por el

valor de 3

2

8118

2

927)3(6

2

3)3(6

2

2

3

2

3 xx

x

Ahora haremos el mismo proceso pero con el valor de -1

2

156

2

11)1(6

2

1)1(6

2

2

3

2

3

xx

x

Ahora ya para finalizar se realiza la resta de estos dos procesos:

482

96

2

15

2

81

2

15

2

81

Conclusión

Una anti derivada o integral de una función f es una función F tal que F´(x) = f(x). Dos anti derivadas cualesquiera de f difieren cuando mucho en una constante. La anti derivada más general de f se llama integral indefinida de f y se denota.

Así que,

Las fórmulas que se nos dan son para calcular distintas anti derivadas, se deben de utilizar de manera apropiada identificando primeramente la forma que se tiene para integrar.

Una de las principales aplicaciones de la integral es el teorema fundamental del cálculo, su uso principal es para calcular el área por debajo de la curva que se tiene de la función F(x) en un intervalo [a, b].

En la siguiente sesión iniciaremos nuestro aprendizaje en las matemáticas financieras a través de los temas de interés simple y compuesto.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para

enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de

Internet.

Integral indefinida. Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.ht

ml

Ejercicios resueltos de integrales indefinidas inmediatas.

Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-

INM.HTML

Teorema fundamental del cálculo. Recuperado el día 21 de abril

del 2014 de: http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/TeoFun.pdf

Para aprender más…

Video donde se explica el concepto de anti derivada

Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:

http://www.youtube.com/watch?v=RH26P2Yn1fQ

Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:

https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-

definite-integrals/indefinite_integrals/v/antiderivatives-and-

indefinite-integrals

Video que explica el teorema fundamental del cálculo:

Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:

http://www.youtube.com/watch?v=4rqv70-XC7E

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall

hispanoamericana, S.A.