Matemáticas Universitaria. Sesión 10. Funciones polinomiales de

grado superior y racionales.

Contextualización

Las funciones polinomiales son las más básicas en matemáticas porque

se definen solo en términos de suma, resta y multiplicación. En la práctica,

a menudo es necesario dibujar sus gráficas y encontrar(o calcular) sus

raíces.

En esta sesión estudiaremos resultados que sirven para obtener esta

información y luego dirigiremos nuestra atención a los cocientes de

funciones polinomiales; esto es, funciones racionales.

Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/RationalDegree2byXedi.gif/250px-RationalDegree2byXedi.gif

Introducción

¿Cómo reconozco la forma de una función?

¿Una función es racional porque representa el cociente de dos polinomios?

¿Las gráficas de las funciones polinomiales y racionales son iguales?

Estas y más preguntas tenemos por responder a través del estudio de las funciones

polinomiales y racionales. Saber obtener y reconocer a través de su forma los dominios

de estas funciones es otro trabajo que realizaremos.

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/-JjE0gJabrhY/TX2DdMl61pI/AAAAAAAAABg/f1a3k0oNKnU/s1600/graficas.jpg

Explicación

Función Polinomial.

Si f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, entonces

f(x) = con

Todas las funciones polinomiales son continuas, es decir, sus graficas se

pueden dibujar sin cortes o interrupciones.

El dominio de una función polinomial son todos los valores que “x” puede

tomar, para este caso son todos los números reales. Representado este

intervalo por

01

1

1 ... axaxaxa n

n

n

n

Explicación

Trazo de gráficas.

A continuación se describe una forma rápida de trazar una función polinomial sin necesidad de realizar alguna tabulación.

Ejemplo 1: Trazo de grafica para f(x) = x3 +x2 -4x -4. Grado 3.

Solución: Primeramente se hallaran los valores de las raíces o ceros de la función, se debe de factorizar la función

f(x) = x3 +x2 -4x -4

= (x3 +x2 )+ (-4x -4)

= x2(x+1) -4(x+1)

= (x2-4)(x+1) (x+2)(x-2)(x+1)

A partir de estos factores e igualando a cero cada uno, x toma los valores de -2, 2, -1 los

cuales representan las raíces o ceros de la función.

Gráficamente significa que la función se interseca en x= -2, -1 y 2 y estos puntos dividen

al eje x en cuatro partes, considerando estas partes en intervalos abiertos, tenemos:

Estos intervalos ayudan a crear una tabla de signos:

Explicación

Intervalos

Signo de x+2 - + + +

Signo de x+1 - - + +

Signo de x -2 - - - +

Signo f(x) - + - +

Posición en la

grafica Abajo del eje x Arriba del eje x Abajo del eje x Arriba del eje x

Con base en el signo de f(x)

de la tabla, concluimos que

F(x) > 0

si x esta en U

F(x) < 0

si x esta en U .

Su aspecto grafico es:

Explicación

Función Racional.

Una función es racional si , donde g(x) y h(x) son polinomios.

El dominio de f está definido por todos los números reales, excepto los números

que hacen cero el denominador.

Explicación

Explicación

Ejemplo 2: Encuentra el dominio de las siguientes funciones racionales.

a) 2

1)(

xxf ; dominio: todos los reales excepto -2. ,2()2, U

b) 9

5)(

2x

xxf ; dominio: todos los reales excepto ±3. ,3(),3,3(),3,

c) 4

8)(

2

3

x

xxf ; dominio: todos los números reales. ,

d)

Ejemplo 3: Traza la gráfica de

Solución:

1. Encontrar las intersecciones en x, esto es, los ceros reales del numerador

g(x) y trazar los punto correspondientes en el eje x.

x+1 = 0 x= -1 y trazamos el punto (0, -1 ) en el eje x.

2. Hallar las raíces reales del denominador h(x). Para cada cero real “a”

trazar la asíntota vertical x=a con línea punteada.

x -1 = 0 x = 1, por lo que tenemos la asíntota vertical x = 1. Esta recta

deberá de dibujarse como una línea punteada.

Explicación

Explicación

3. Determinar la intersección en y considerando f(0) si existe, y trazar el

punto (0,f(0)) en el eje y.

y trazamos el punto (0, -1)

4. Si hay una asíntota horizontal y = c, trazarla con línea punteada. Como el

numerador y el denominador tienen el mismo grado 1, los coeficientes

principales son 1 y 1 de modo que la asíntota horizontal es y = 1. Se dibuja

con línea punteada.

5. Graficar f en cada una de las regiones del plano xy definido por las

asíntotas verticales. Si es necesario, usar el signo de valores de función

específicos a fin de señalar si la gráfica está arriba o abajo del eje x o de la

asíntota horizontal.

Explicación

La línea verde en la

grafica es la asíntota

vertical.

La línea roja es la

asíntota horizontal.

Las líneas azules

representan la forma

de la función.

Fuente: http://mathbas.com/imagenes/clip_image024_0007.gif

Conclusión

En esta sesión aprendimos a graficar las funciones polinomiales y racionales

sin necesidad de tabular, siguiendo una serie de pasos pudimos concretar la

gráfica de estas funciones. También aprendimos a encontrar los dominios de

las funciones y los ceros o raíces de la función.

En la siguiente sesión trabajaremos con las Funciones exponenciales y

logarítmicas.

Fuente: http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes5/fig4.gif

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Ditutor. (s.f). Función racional. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html

Funciones polinomiales. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: http://recursos.salonesvirtuales.com/wp-content/uploads/bloques/2012/08/funciones-polinomiales.pdf

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Referencias Bibliográficas.

Swokowski, E., y Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría

analítica. México. Thomson Learning.