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INTRODUCCION A LAS CADENAS MARKOVEl anlisis de Markov tuvo su origen en los estudios de A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y los intentos de descubrir matemticamente los fenmenos fsicos conocidos como movimiento browiano. La teora general de los procesos de Markov se desarrollo en las dcadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros.El anlisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable, a fin de pronosticar un movimiento futuro de la misma.Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el remplazo de equipo.El anlisis de Markov, llamado as en honor de un matemtico ruso que desarrollo el mtodo en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo ms importante an, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta informacin se puede predecir el comportamiento del sistema a travs del tiempo. La tarea ms difcil es reconocer cundo puede aplicarse. La caracterstica ms importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocsticos. Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una coleccin de variables aleatorias {X(t,w), t I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El inters de los procesos estocsticos es describir el comportamiento de un sistema e operacin durante algunos periodos.Los procesos estocsticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.Las cadenas de Markov es un proceso estocstico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es decir, es una cadena estocstica de tiempo discreto.Las cadenas de Markov, se clasifican, adems, dentro de los procesos estocsticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transicin entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos.Las cadenas de markov son modelos probabilsticos que se usan para predecir la evolucin y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinmica de las averas de mquinas para decidir poltica de mantenimiento; evolucin de una enfermedad, entre otros.Como se puede definir una cadena de Markov Una Cadena de Markov (CM) es: Un proceso estocstico Con un nmero finito de estados (M) Con probabilidades de transicin estacionarias Que tiene la propiedad markovianaClasificacin de estados de una cadena de MarkovEstado transitorioEs aqul tal que despus de que el proceso ha entrado ah, nunca regresarEl estadoies transitorio si y slo si existe un estadojque es accesible desdei, pero donde el estadoino es accesible desdejAl no haber acceso al estadoidesdej, existe una probabilidad positiva (incluso igual a 1) de que el proceso se mueva al estadojy nunca regrese al estadoiEjemplo

En la siguiente matriz de transicin, el estado 2 es transitorio, ya que de l es posible pasar directamente al estado 0, pero no de regreso Por tanto existe la posibilidad de que el sistema pase del estado 2 al 0 y no regrese nuevamente

El estado 2 es transitorio. Notamos que tiene una conexin directa al estado 0, pero no de regresoEstado recurrenteEn la siguiente matriz de transicin, todos los estados, excepto el 2, son recurrentesEsto es porque desde los estados 0,1 y 3 se puede acceder a cualquiera otro estado, y a su vez, los estados 0,1 y 3 son accesibles desde cualquier otro es

Los estados 1, 2 y 3 son recurrentes. Notamos que cada estado que tiene una conexin directadesdeellos, tambin la tienehaciaellosLas flechas coloreadas por pares indican las conexiones desde y hacia el estado 1.

Estado absorbente En la siguiente matriz de transicin, el estado 0 y el estado 2 son absorbentes, ya que una vez entrando en alguno de ellos, el sistema no vuelve a salir Esto ocurre porque la probabilidad de pasar al estado 0 dado que se encuentra en el estado 0 es igual a 1 Anlogamente ocurre para el estado 2

Lectura 2

TEORIA DE COLAS

El origen de la Teora de Colas est en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestin de trfico telefnico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefnico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teora denominada teora de colas o de lneas de espera. Esta teora es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran nmero de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestin llegada salida. En los problemas de formacin de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupacin de lneas telefnicas, la espera de mquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparacin, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formacin de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestacin del servicio en la estacin de servicio.Cuando se habla de lneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relacin con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podran permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente estn siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal.Estos dos ltimos casos tipifican una situacin equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situacin estable. En la teora de la formacin de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades fsicas, integradas de tal modo que pueden operar al unsono con una serie de operaciones organizadas. La teora de la formacin de colas busca una solucin al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solucin al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino tambin en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.La teora de colas incluye el estudio matemtico de las colas o lneas de espera y provee un gran nmero de modelos matemticos para describirlas. Se debe lograr un balance econmico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teora de colas en s no resuelve este problema, slo proporciona informacin para la toma de decisiones.En muchas ocasiones en la vida real, un fenmeno muy comn es la formacin de colas o lneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situacin son: los cruces de dos vas de circulacin, los semforos, el peaje de una autopista, los cajeros automticos, la atencin a clientes en un establecimiento comercial, la avera de electrodomsticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio tcnico, etc.Todava ms frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informtica, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologas. As, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecucin forman colas de espera mientras no son atendidos, la informacin solicitada, a travs de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestin en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la seal de lneas ocupadas si la central de la que depende nuestro telfono mvil est colapsada en ese momento, etc.Modelo de formacin de colasEn los problemas de formacin de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan ladesocupacin de lneas telefnicas, la espera de mquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparacin, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formacin de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestacin del servicio en la estacin de servicio.Cuando se habla de lneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relacin con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podran permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente estn siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos ltimos casos tipifican una situacin equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situacin estable.En la teora de la formacin de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades fsicas, integradas de tal modo que pueden operar al unsono con una serie de operaciones organizadas. La teora de la formacin de colas busca una solucin al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solucin al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino tambin en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.La teora de colas incluye el estudio matemtico de las colas o lneas de espera y provee un gran nmero de modelos matemticos para describirlas.Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superiorSe debe lograr un balance econmico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicioLa teora de colas en s no resuelve este problema, slo proporciona informacin para la toma de decisionesObjetivos de la Teora de ColasLos objetivos de la teora de colas consisten en:Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema tendran en el coste total del mismo.Establecer un balance equilibrado ("ptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.Hay que prestar atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio especfico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.Elementos existentes en un modelo de colasFuente de entrada o poblacin potencial:Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestin. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, s permite (por extrao que parezca) resolver de forma ms sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la poblacin es finita pero muy grande. Dicha suposicin de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la poblacin potencial, su nmero de elementos es tan grande que el nmero de individuos que ya estn solicitando el citado servicio prcticamente no afecta a la frecuencia con la que la poblacin potencial genera nuevas peticiones de servicio.Cliente:Es todo individuo de la poblacin potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0