la elipse y la parábola en la física

5/13/2018 La elipse y la parábola en la Física - slidepdf.com

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La elipse y la parábola en la Física (RC-79)

Carlos Macho IES Mateo Alemán, Alcalá de Henares

³Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de

cuyos focos se encuentra el Sol´ (Primera Ley de Kepler, 1609).

En la Física, la elipse y la parábola aparecen en muchas leyes importantes. Es, quizá, en laMecánica (parte de la Física que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpossometidos a cualquier fuerza) en donde la encontramos de forma más inmediata.

En el Universo, el movimiento más frecuente de estrellas, planetas, satélites, etc. es eldescrito mediante trayectorias elípticas (la circunferencia es un caso particular de elipse).Esto es así porque, a grandes distancias y para objetos sin carga eléctrica neta importante, lafuerza principal que gobierna este movimiento es la Fuerza Gravitatoria.

Fue el gran físico y matemático Isaac Newton (1642-1727) quien formuló la Ley de laGravitación que explica los movimientos de los planetas y satélites en el Sistema Solar .Esta ley reúne las tres leyes de Kepler en una sola:

en donde: F = fuerza de atracción,G = la constante degravitación universal,M y m = las masas delSol y el planeta yR = la distancia al focode la elipse, ocupado



por el Sol.

Como su nombre indica, esta ley es válida en cualquier parte del Universo, y rige elmovimiento entre dos cuerpos cualesquiera de masas M y m. No podemos decir, sinembargo, que los cuerpos, sometidos a esta ley, siempre vayan a moverse describiendo

trayectorias elípticas. En primer lugar, si son más de dos los cuerpos cuyas fuerzas deatracción interactúan, el movimiento puede ser extremadamente complicado. Pero además,depende de otras magnitudes físicas: como la energía.

Supongamos que sólo son dos los cuerpos, uno de ellos con mucha más masa que el otro;como pueden ser: el Sol y la Tierra o la Tierra y un satélite artificial.

Fijémonos, para ilustrar lo anteriormente dicho, en el sistema formado por la Tierra y unsatélite artificial y analicemos como es la trayectoria seguida por el satélite alrededor de laTierra dependiendo de la energía.

Recordemos que hay dos tipos de energíamecánica: la potencial y la cinética. En nuestrocaso, la energía potencial del sistema Tierra-satélite (energía debida a la posición) es:

y su energía cinética (debida a la velocidad) es:

en donde v es la velocidad lineal del satélite.

La energía total del satélite es lasuma de las dos:

Si la Ec es menor -en valor absoluto- a la Ep, entonces la Etes negativa; ello quiere decir que el satélite no tiene lasuficiente velocidad como parasepararse de la Tierra, sutrayectoria será, entonces, unacurva cerrada: una elipse.

Si la Ec es igual a la Ep -en

valor absoluto-, la elipse pasa aser una parábola; ello quieredecir que el satélite tiene lavelocidad justa para abandonar la Tierra para siempre.

Si Ec es mayor -en valor absoluto- que la Ep, entonces, la



trayectoria sería una hipérbola,el satélite viajaría hacia elinfinito.

No hace falta salir al espacio para observar a la elipse y a la parábola comotrayectorias que sigue un cuerpo. El físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la ley quegobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra: La velocidad de

caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Estoimplica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguidaes una parábola. Esto es así porque el movimiento de dicho objeto puede descomponerse endos: uno horizontal y otro vertical -también descubierto por Galileo-, el horizontal siguecon velocidad constante mientras que el vertical sigue la ley: v = g·t, siendo g la constantede la gravedad (9,8 m/s²), t, el tiempo y v, la velocidad.

Sumando los dos movimientos -diríamos mejor componiendolos- obtenemos en la relación entrelas coordenadas cartesianas x e y la ecuación deuna parábola

del tipo:

másexactamente:

Claro que si lanzamos el objeto con tanta fuerza que la altura que alcanza es importante,entonces, g, deja de ser constante y, entonces, tenemos que utilizar la Ley de la Gravitación

de Newton, si no queremos cometer un error apreciable; de manera, que volvemos aobtener, nuevamente, una elipse en la trayectoria.

Parábolas

Ahora, detengámonos un poco más en la parábola. Nos la encontramos, sobre todo, enciertos fenómenos interesantes de reflexión: del sonido, de ondas electromagnéticas y de la



luz, como caso particular de onda electromagnética. Pero aparece también en la Mecánica.Veamos algunos ejemplos:

La parábola es la curva que adopta un cable quetenga que soportar una carga, un peso,

uniformemente distribuido, véase el puente de SanFrancisco: El Golden Gate.

La catenaria es la curva que adopta un cablesostenido por sus extremos debido a su propio peso.Por otro lado, la curva que adopta el cable es una parábola cuando, despreciando su propio peso, esuna carga uniformemente distribuida la que soporta.En el puente colgante, los cables, además de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma.Por ello, la forma exacta que adoptan los cables es

una "combinación" de la catenaria y la parábola. Ladiferencia entre ambas curvas es muy pequeña. Dehecho, los ingenieros suponen en sus cálculos que esuna parábola, dada la simplicidad de su ecuaciónfrente a la ecuación de la catenaria.

Parábolas y pantallas parabólicas

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta(directriz, perpendicular al eje de simetría) y de un punto (el foco, que se encuentra situadoen el eje de simetría de la parábola).

La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o eleluz) en una superficie parabólica (superficie generada al girar la parábolasimetría) es que todos los rayos que parten del foco salen paralelos al eje simetría); y viceversa, los rayos que incidan paralelos al eje convergerán

Las aplicaciones de la propiedad citada anteriormente son muchas; dos muy importantesson:

Las antenas receptoras de las señales de radioy televisión, procedentes de los satélites de

comunicación, tienen forma parabólica para,así, concentrar las débiles señales que le lleganen el foco.

Los telescopios reflectantes, llamados de Newton,se construyen con un espejo parabólico en cuyo plano

focal se forma la imagen invertida del cielo.



Las antenas receptoras de las señales de radioy televisión, procedentes de los satélites decomunicación, tienen forma parabólica para,así, concentrar las débiles señales que le lleganen el foco.

Los telescopios reflectantes, llamados de Newton,se construyen con un espejo parabólico en cuyo planofocal se forma la imagen invertida del cielo.

También, es la causade que las superficiesreflectantes de losfaros de losautomóviles sean paraboloides.

Otras elipses

La elipse aparece en otras leyes de la Mecánica, además de las que se presentaban al principio del artículo, quizás no tan importantes o conocidas. La comprensión de talesleyes requiere del conocimiento de ciertos conceptos y magnitudes físicas: momentos de



inercia, momento angular, velocidad angular, frente de ondas, etc.. Citaré, brevemente,algunos ejemplos.

Elipses en el movimiento armónico simple

Uno de los movimientosmás importantes en la Naturaleza es elmovimiento armónicosimple (MAS), que es unmovimiento periódico,oscilante, en torno a un punto, centro deoscilación. Por ejemplo:una masa colgando de unresorte. Si estiramos el

resorte y luego losoltamos, la masaempezará a subir y a bajar en un MAS. En estefenómeno, nosencontramos a la elipseen la representación delmovimiento en el espaciode las fases, es decir, enla representación de lavelocidad del peso (eje Y)

frente al espacio recorridorespecto al centro deoscilación o de equilibrio(eje X)

.

Elipse de inercia en el sólido rígido

En el estudio del sólidorígido aparece lallamada´Elipse de Inercia´.Supongamos una placa a la

que podemos hacer girar entorno a ejes de rotacióncontenidos en la misma placay que pasan por su centro demasas (o centro de gravedad,c.d.g.). Los puntos sobre losdistintos ejes y cuya distanciaal centro de masas es



inversamente proporcional alcuadrado de su momento deinercia forman una elipse, la³Elipse de Inercia´. Estaelipse es muy importante para

determinar la resistencia delos materiales (vigas, etc) a laflexión. Una barra es másresistente a la flexión en ladirección del eje mayor de laelipse de inercia de su seccióntransversal.

Las flechas representan la carga sobre la viga

Elipsoides de revolución

El elipsoide es un cuerpo generado por larevolución de una elipse en torno a uno desus ejes: el mayor o el menos; exagerandoun poco, diríamos que es la elipse en tresdimensiones. Pues bien, el elipsoide es ellugar geométrico que recorre el extremo delvector velocidad angular en la rotación deun cuerpo libre de fuerzas externas (o confuerzas solamente aplicadas en su centro demasas) en torno a un eje que no sea eje principal. Por ejemplo, un balón de rugby

cuando se encuentra en el aire, después dehaberle dado un puntapié; o nuestro planetaTierra, en su movimiento de rotación.Si laTierra fuera una esfera perfecta no habríaningún movimiento de precesión de w, pues cualquier eje de giro sería un eje principal, pero en la realidad no lo es.

Elipsoides en óptica



Encontramos, también, alelipsoide en la Óptica, en elestudio del fenómeno de la³Doble Refracción´. Ciertoscristales: el cuarzo, calcita,

presentan esta propiedad. Enellos, la luz se refracta en dosdirecciones diferentes; demanera que el rayo de luzincidente se desdobla en unrayo ordinario (O) y otroextraordinario (E). El frente deonda del rayo extraordinarioforma un elipsoide dentro delcristal, o una elipse en el planode incidencia

Junto con la línea recta y la circunferencia, la elipse y la parábola son delas curvas geométricas con expresión analítica más simple. Si es ciertoque la Naturaleza actúa con sus leyes de la forma más simple posible,entonces, no es extraño que nuestras protagonistas: la elipse y la

parábola, aparezcan tanto en su estudio, en la Física.

la elipse y la parábola en la física

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