parábola y elipse - aplicaciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA Tema: “Aplicaciones de la parábola y la elipse” Curso: Geometría analítica y álgebra lineal Integrantes: Pachamango Rodríguez, Erick Junior Villarreal Núñez, César Antonio

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Aplicaciones prácticas de estas cónicas en la física, la arquitectura, la óptica y en la geometría descriptiva.

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Page 1: Parábola y elipse - aplicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

Tema: “Aplicaciones de la parábola y la elipse”

Curso: Geometría analítica y álgebra lineal

Integrantes:

Pachamango Rodríguez, Erick Junior Villarreal Núñez, César Antonio

Profesor: Manuel Montalvo

Trujillo, 16 de agosto de 2010

Page 2: Parábola y elipse - aplicaciones

I. La parábola y sus aplicaciones:

1. Información previa:

La parábola es una sección cónica, es decir, una curva de intersección de un plano

con un cono circular recto de dos hojas. En particular, esta sección se origina

cuando el plano es paralelo a la generatriz del cono.

Su definición analítica se centra un poco más en sus propiedades, y nos la

presenta como el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un

punto fijo y de una recta fija. Al punto fijo se le llamará foco y a la recta fija,

directriz.

Como último añadido mostraremos las partes de la parábola, pues la deducción

de su ecuación, por medio de los vectores, ya ha sido hecha en clase.

2. Aplicaciones

2.1. En base a su propiedad óptica

Esta cualidad consiste en que cualquier onda que sea paralela al eje focal de

la parábola será reflejada al foco de ésta. De la misma manera, cualquier

onda que salga del foco, será reflejada por la parábola de manera paralela al

eje.

Page 3: Parábola y elipse - aplicaciones

La demostración de esta característica es la siguiente:

Según la gráfica, tenemos el punto de tangencia

P = (xi ; yi), el foco F = (p ; 0) y el punto Q = (a; 0),

en donde la tangente forma un ángulo con el eje X

congruente al que forma con la recta G, paralela

al eje focal. También debemos suponer que la

ecuación de la recta es:

y2=4 px

Con estos datos, probaremos que los ángulos α y β son congruentes. Esto equivale

a probar que el triángulo QPF es isósceles gracias a dichos ángulos. Partimos de la

ecuación de la tangente como una recta cualquiera que pasa por P, para luego

despejar x y reemplazarla en la parábola.

y− yi=m(x−xi) x=y+m. xi− yi

m

y2=4 p ( y+m. xi− yi)

m

En consecuencia, acomodamos la ecuación cuadrática para luego poder igualar su

discriminante a cero (condición de tangencia). La pendiente de la tangente será

despejada en base a la fórmula cuadrática.

m . y2−4 py−4 p (m. xi− yi )=0

∆=16 p2+4m .4 p (m .xi− yi )=0

4 p+4m (m .xi− yi )=0 p+xi .m2− yi .m=0

m= yi ±√ yi2−4.xi . p2. xi

Page 4: Parábola y elipse - aplicaciones

Para simplificar la expresión de este valor encontrado, usaremos los datos que

nos den las coordenadas de P cuando se reemplazan en la parábola:

yi2=4 p . xi 2. xi=yi2

2 p

Así, la pendiente toma el siguiente valor y la tangente tomaría la forma a

continuación.

m= yi ±√4 p . xi−4 p . xi2. xi

m= yi

yi2

2 p

m=2 pyi

y− yi=2 p(x−xi)

yi

Esto nos va a facilitar la obtención de la abscisa de Q = (a ; 0). Cabe recordar que

este punto también pertenece a la parábola.

− yi=2 p (a−xi)

yi − yi2=2 p(a−xi)

−4 p . xi+2 p . xi=2 p .a −2 p . xi=2 p .a

a=−xi

Las consecuencias serán esenciales para la parte final de la prueba. Obtendremos

las longitudes de FP y QF.

|FP|=|(xi−p ; yi)|=x=√(xi−p)2+ yi2=√ xi2+ p2−2 p . xi+4 p . xi

|FP|=√xi2+ p2+2 p . xi=x=√(xi+ p)2=|p+ xi|

Para QF:

|QF|=|( p−a; 0)|=√( p−a)2=|p−a|=|p+xi|

Los módulos resultan tener el mismo valor, por lo que el triángulo que

mencionamos anteriormente es isósceles. En consecuencia, α = β.

Page 5: Parábola y elipse - aplicaciones

Esto prueba que los haces que se dirigen a la parábola en dirección paralela al eje

focal, sí convergen en el foco de ésta.

Las aplicaciones prácticas son muchas: las

antenas, satelitales y radiotelescopios aprovechan

el principio concentrando señales recibidas desde

un emisor lejano en un receptor colocado en la

posición del foco.

La concentración de la radiación solar

en un punto, mediante un reflector

parabólico tiene su aplicación en

pequeñas cocinas solares y grandes

centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en

el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje:

diversas lámparas y faros tienen espejos con

superficies parabólicas reflectantes para poder

enviar haces de luz paralelos emanados de una

fuente en posición focal.

2.2. En mecánica clásica y moderna

Se podrían citar varios casos en este apartado, pero nos centraremos en los

que más explícitamente incluyan a la ecuación de la parábola.

Galileo Galilei desarrolló, en su tiempo, las bases necesarias para el estudio

analítico del movimiento parabólico. Es así, que al lanzar un cuerpo con cierta

inclinación hacia arriba, la trayectoria resultante, en un medio ideal, es una

parábola. Esto se debe a la composición de dos movimientos: uno vertical

(afectado por la aceleración de la gravedad) y otro horizontal (movimiento

rectilíneo uniforme). Así obtenemos la ecuación:

Page 6: Parábola y elipse - aplicaciones

Donde g es la aceleración de la gravedad y φ es el ángulo de la recta

tangente a cada punto de la parábola.

También existen aplicaciones de la parábola en el movimiento de entes

cósmicos, pero lo anexaremos a los ejemplos de la elipse, pues es con ésta

donde radica su relación en estos casos.

Un ejemplo un poco más cercano a nuestras vidas es la aplicación de la

teoría de parábolas, en la construcción de puentes de alta resistencia.

En la figura adjunta, el

cable toma una forma

parabólica por dos

razones: soporta su

propio peso (tomado

como despreciable en

los cálculos

matemáticos), y el del puente en sí. Esta curvatura se vuelve más notoria

conforme avanzamos al centro.

La curvatura de la cuerda por su propio peso es denominada catenaria. Por

la dificultad que presenta su ecuación, en lugar de combinar catenaria y

parábola, sólo se toma la segunda. Aquí tenemos la demostración:

Las fuerzas que actúan en esta sección del

cable (figura) son: H = Tensión horizontal en

O, T = Tensión tangencial en P, W = mx = peso

de x metros de cable. Cuando el puente se

equilibra (T equilibra a H y W) sucede lo

siguiente:

H = T.cosθ mx = T.senθ

Llamamos y (x) a la función que describe la forma del puente. La curva pasa

por el origen, así quese debe resolver con esta condición: y (0) = 0. T es

tangente al puente. Luego:

∆ y∆ x

=tanθ=mxH

Page 7: Parábola y elipse - aplicaciones

Integrando los lados extremos:

y=∫ mxH dx=mHx2+k

Como y (0)=0, entonces k es igual a cero. Obteniendo una parábola:

x2=Hmy

2.3. En dibujo técnico y geometría descriptiva

El dibujo técnico constituye el nivel más básico y más general del diseño

exacto y científico de objetos, para ser construidos en la realidad. Es usado

por arquitectos, ingenieros y técnicos en general.

La geometría descriptiva es la ciencia del dibujo que trata de la

representación exacta de objetos compuestos de formas geométricas, y de la

solución gráfica de problemas que implican las relaciones de esas formas en

el espacio. Es muy usada en la carrera que seguimos actualmente: una

estructura o una máquina están hechas de partes compuestas de formas

sólidas tales como prismas pirámides, cilindros, conos, etc. Cada una de estas

partes está limitada por superficies que son planas, de curvatura simple,

doble, o alabeadas. Así, esta ciencia, que es muy esencial en el diseño

industrial, busca las relaciones gráficas entre estos elementos.

Lo que haremos ahora es tomar una pequeña parte de estos cursos, en la

cual podremos ver cómo la parábola, y posteriormente la elipse, son usadas

en base a sus propiedades.

Existen varias formas de construir una parábola en el dibujo técnico.

Mostraremos sólo algunas. La primera opción de diseño de la parábola, nos

dejará más claramente la aplicación de la propiedad (equidistancia al foco y a

la directriz).

En el primer método, tenemos el foco F, la

directriz que pasa por O, y el vértice A. Para

formar la parábola, se marca, con el compás

haciendo tierra en F, la distancia con la directriz.

Luego se trazan dos puntos que son parte de la

Page 8: Parábola y elipse - aplicaciones

recta perpendicular al eje, que pasa por F, manteniendo la medida de la

distancia mencionada. Así hemos obtenido el lado recto.

Luego, para S, R, y O, se marca con el compás su distancia a O. Desde el

foco, con dicha distancia, se ubica dos puntos en cada perpendicular al eje,

por cada punto mencionado al comienzo del párrafo. Se puede tabular de

esta manera, cualquier cantidad de puntos, que finalmente se unen con un

pistolete.

El segundo método es un poco más gráfico, y para su ejecución no se utiliza

la propiedad especial de esta cónica.

Con dos segmentos

del mismo módulo y

no paralelos, se tabula

puntos que guarden la

misma distancia.

Luego se unen de la

manera que se puede

apreciar en la figura.

Al acabar esto, ya se podrá vislumbrar las intersecciones que formarán la

parábola.

Esto sirve de base para diversas aplicaciones en la geometría descriptiva.

Una de ellas es la construcción del paraboloide hiperbólico, una superficie

alabeada que es usada en arquitectura y en construcciones de concreto.

Page 9: Parábola y elipse - aplicaciones

II. La elipse y sus aplicaciones:

1. Información previa:

Al igual que la parábola, la elipse es también una sección cónica. Lo que la

diferencia es que ésta se origina cuando la inclinación del plano secante no supera

la inclinación de la generatriz del cono de dos hojas. Dicha inclinación tampoco

puede ser nula, pues así se originaría un círculo.

Analíticamente, es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma

de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante positiva. La

ecuación de la elipse también se analizó en clase. He aquí sus partes:

2. Aplicaciones:

II.1. En base a su propiedad óptica

La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la de la parábola, en

este caso cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se

reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco.

En la medicina se usa un aparato

llamado litotriptor, para desintegrar

"cálculos" renales por medio de ondas

acuáticas de choque. El funcionamiento

de este aparato es de la siguiente forma:

se coloca un medio elipsoide lleno de

Page 10: Parábola y elipse - aplicaciones

agua pegado al cuerpo del paciente; en el foco de esta parte del elipsoide se

pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe

localizar en estos "cálculos". Así, al reflejarse las ondas en la superficie del

elipsoide de afuera del paciente todas convergerán en el "cálculo" y este se

desintegrará.

Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con

techos elipsoidales; aquí se puede oír a una persona que está en un foco

desde el otro foco, y las personas que están entre las otras dos no oirán

nada.

II.2. En mecánica clásica y astronomía

Una de las principales

aplicaciones de la elipse se da en la

astronomía. Johannes Kepler,

estudiando los movimientos de

Marte al aplicar el modelo de

Copérnico de órbitas circulares

alrededor del sol, vio que los

cálculos discrepaban ligeramente de la posición real del planeta en el

firmamento. Así que intentó ajustar la órbita a otras curvas y finalmente

encontró que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su

primera ley del movimiento de los planetas. En realidad, Kepler tuvo una

suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya órbita

era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus,

cuya órbita es prácticamente circular, posiblemente nunca hubiera

descubierto sus leyes del movimiento.

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son:

Los planetas se mueven en órbitas elípticas, uno de cuyos focos es el Sol.

Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales.

El cuadrado del período de un planeta (el tiempo que tarda en dar una

vuelta completa alrededor del sol) es proporcional al cubo de su distancia

media (la longitud del semieje mayor de la elipse) al sol.

Page 11: Parábola y elipse - aplicaciones

Kepler encontró sus leyes empíricamente, pero fue Newton, utilizando el

Cálculo Diferencial (que acababa de inventar) y su modelo de gravitación

universal, quien probó dichas leyes.

Así surgió la Ley de la Gravitación Universal, aplicable para dos cuerpos

cualesquiera en cualquier parte del universo.

F=G M .mR2

G= (6,67428±0,00067 ) .10−11 m3

kg . s2

Donde F es la fuerza de atracción, G es la constante de gravitación, M y m

las masas de los cuerpos, y R la distancia entre los cuerpos. En el caso

particular de Kepler, R es la distancia del planeta al sol (foco).

Cabe aclarar que esta ley va mucho más allá de las trayectorias elípticas. Si

los cuerpos que participan son más de dos, la trayectoria se puede tornar

complicadísima. Además, interviene la energía como factor.

Tomemos de ejemplo a la Tierra y a un satélite. Así tendríamos:

Ec=m.v2

2 Ep=−G M .m

R Em=Ec+Ep

Donde Ec es energía cinética del satélite con su respectiva velocidad, y Ep

su energía potencial o la atracción que le ejerce la Tierra. Em es la energía

mecánica.

Si la Ec es

menor (en

valor absoluto)

a la Ep,

entonces la Em

es negativa;

ello quiere

decir que el

satélite no tiene la suficiente velocidad como para separarse de la Tierra, y su

trayectoria será, entonces, una curva cerrada: una elipse.

Page 12: Parábola y elipse - aplicaciones

Si la Ec es igual a la Ep, la elipse pasa a ser una parábola; ello quiere decir

que el satélite tiene la velocidad justa para abandonar la Tierra para siempre.

Si Ec es mayor que la Ep, entonces, la trayectoria sería una hipérbola, el

satélite viajaría hacia el infinito.

Saliendo ya de este campo, encontramos otros usos de este conjunto de

puntos.

Uno de los movimientos más importantes en la Naturaleza es el

movimiento armónico simple (MAS), que es un movimiento

periódico y oscilante, en torno a un punto, llamado centro de

oscilación. Por ejemplo: una masa colgando de un resorte. Si

estiramos el resorte y luego lo soltamos, la masa empezará a subir y

a bajar en un MAS. En este fenómeno, nos encontramos a la elipse

en la representación del movimiento en el espacio de las fases, es

decir, en la representación de la velocidad del peso frente al espacio

recorrido respecto al centro de oscilación o de equilibrio.

También

encontramos

elipses a la hora de

estudiar sólidos

rígidos; éstas son

las elipses de

inercia. Se nos

presenta una placa

a la que podemos hacer girar gracias a ejes de rotación que están en la

misma placa, y que pasan por su centro de gravedad (cdg.). Los puntos sobre

los distintos ejes y cuya distancia al centro de masas es inversamente

proporcional al cuadrado de su momento de inercia forman una elipse. Esta

propiedad es importante en cursos como Resistencia de materiales.

Page 13: Parábola y elipse - aplicaciones

El elipsoide de revolución es un

cuerpo generado por el giro de una

elipse en torno a uno de sus ejes: el

mayor o el menor. Pues bien, el

elipsoide es el lugar geométrico que

recorre el extremo del vector

velocidad angular en la rotación de un

cuerpo libre de fuerzas

externas (o con fuerzas solamente aplicadas en su centro de masas) en torno

a un eje que no sea eje principal. Por ejemplo, un balón de rugby cuando se

encuentra en el aire, después de haberle dado un puntapié; o la Tierra, en su

movimiento de rotación.

II.3. En dibujo técnico y geometría descriptiva

Realizaremos un proceso similar al desarrollado en el capítulo de la

parábola. Mencionaremos algunos métodos de construcción y una serie de

usos inmediatos.

Podemos graficar la elipse en base a su definición de la siguiente manera:

En la figura, F y F’ son los

focos, y, A y B, los vértices.

Los focos se obtienen con

un arco circular, cuyo radio

mide lo mismo que el

semieje focal, es decir, b

según la estandarización de

la elipse. Para hallar, en

general, varios puntos de la

elipse, se comienza tomando con el compás las medidas de un punto en el

eje, a cada uno de los vértices. Esto marca un módulo total equivalente a 2a,

que, según la definición de elipse, es el eje mayor y la constante de la suma

de las distancia a los focos. Después, colocando la aguja del compás en cada

foco, y usando cada medida obtenida, se hacen marcas que irán formando la

elipse.

Page 14: Parábola y elipse - aplicaciones

Para la elipse también existe una técnica más gráfica. Se usan haces

proyectivos.

Desde los puntos C y D se

traza rectas hacia los

puntos que no superan la

mitad del rectángulo en el

eje vertical. También hay

puntos en el eje horizontal

central, donde se van

trazando rectas desde los

mismos puntos que van

aumentando de “nivel” conforme se acercan al centro. Cada “nivel”

representa un punto de la elipse. Finalmente se realiza la sección cónica con

un pistolete.

Echémosle un vistazo a las siguientes construcciones con algunas cónicas

(hay elipses, parábolas e hipérboles, además de circunferencias y otras

curvas especiales).

Page 15: Parábola y elipse - aplicaciones

También existen aplicaciones más específicas en la geometría descriptiva

para la ingeniería. Por ejemplo, por el método de las vistas (descriptivas) y de

la elevación auxiliar, se puede representar la sombra de una esfera o de una

circunferencia en un determinado plano; el resultado es una elipse.

Estos procesos constan de varios pasos que al menos por ahora, no vale la

pena mencionar, pues va más allá del marco de este informe. He aquí las

imágenes.

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III. Bibliografía:

LEITHOLD, Luis. “El cálculo”. Segunda edición. Harla S.A. México D.F. 1973

ROWE, Charles. MCFARLAND, James. “Geometría descriptiva”. Quinta edición.

Editorial Continental S.A. México D.F. 1974

http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/

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http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-

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http://es.wikipedia.org/wiki/Parábola_(matemática)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/

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