Espiral, Óvalo y Ovoide. Elipse, Parábola e Hipérbola. Rectas tangentes.

I.E.S. La Asunción © Mario Ortega González

Curvas planas. Espiral.Curvas planas. Espiral.

Procedimiento:

1.Dibujamos una línea recta y situamos los dos centros. El espacio queda dividido en dos, en uno haremos los arcos con un centro y biceversa con el otro.

2.El primer radio que usaremos es de 5mm. y el centro será O2, después iremos al otro centro y dibujaremos el siguiente arco con radio hasta el final del anterior, y así iremos alternando uno y otro sucesivamente.

12.7. Trazar un espiral de dos centros. La distancia entre centros es de 5mm.12.7. Trazar un espiral de dos centros. La distancia entre centros es de 5mm.

La espirales son curvas planas que se van abriendo continuamente. Las que vamos a dibujar nosotros realmente son falsas espirales, por que su crecimiento es por facetas, son arcos hechos con dos o más centros

Curvas planas. Espiral.Curvas planas. Espiral.

Procedimiento:

1.Dibujamos un hexágono de 5mm. de lado y en cada vértice situamos un centro.

2.Prolongando los lados trazamos seis ángulos que delimitan los espacios para cada arco y centro.

3.Con centro en 2 y radio hasta 1 trazamos el primer arco y luego sucesivamente vamos cambiando de centro y aumentando el radio hasta el final del arco anterior.

12.8. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5mm.12.8. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5mm.

Curvas planas. Óvalo.Curvas planas. Óvalo.

Procedimiento:

1.Dibujamos la mediatriz del eje menor.

2.En los extremos del eje menor tenemos dos de los cuatro centros que vamos a usar.

3.Trazamos una circunferencia con diámetro el eje menor y su cruce con la mediatriz determina los dos centros que faltaban.

4.Unimos los centros y ponemos los límites de los cuatro arcos.

5.Por último, con centro en O1 radio A,B dibujamos el primer arco, con O2 hacemos lo mismo y con O3 y O4 cerramos la curva.

12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.El Óvalo es una curva plana cerrada formada por cuatro o más arcos y es simétrica respecto de sus dos ejes.

Curvas planas. Óvalo.Curvas planas. Óvalo.

Procedimiento:

1.Dividimos en tres partes el eje mayor y tenemos dos centros, O3 y O4.

2.Trazamos dos circunferencias de radio un tercio del eje mayor y sus cortes nos dan los dos centros que faltaban O1 y O2 .

3.Con rectas que pasan por los centros dibujamos los límites de los cuatro arcos

4.Los arcos de O3 y O4 ya los tenemos, solo nos falta cerrar los otros dos.

12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.

Curvas planas. Curvas planas. OvoideOvoide..

Procedimiento:

1.Dibujamos la mediatriz de C,D y tenemos el lugar geométrico del eje simétrico.

2.En los extremos del eje tenemos dos centros, O3 y O2 y en la mitad del eje otro O1.

3.Trazamos la circunferencia de diámetro C,D y tenemos por un parte la semicircunferencia y por otra el centro O4 en su cruce con la mediatriz.

4.Con los centros dibujamos las líneas límites de los arcos y luego los trazamos.

12.4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico.12.4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico.El Ovoide es una curva plana cerrada. Es simétrica respecto de su eje mayor y está dividida en en semicírculo y semióvalo por su eje menor o asimétrico.

Curvas planas. Curvas planas. OvoideOvoide..

Procedimiento:

1.Dividimos el eje en 6 partes, en la quinta hay un centro, O4 y en la segunda trazamos el lugar geométrico del eje asimétrico y también tenemos el centro O1 de la semicircunferencia.

2.Con dos unidades como radio localizamos en el exterior del eje asimétrico los centros O2 y O3.

3.Ahora dibujamos los límites de los arcos uniendo los centros y los trazamos.

12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico.12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico.

Curvas cónicas. Definición y clases.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Elipse.Elipse.

La elipse es una curva plana dividida simétricamente por sus ejes que está generada por dos focos situados en el eje mayor. Las dos distancias desde un punto hasta el foco son los radios vectores y la característica fundamental de esta cónica es que la suma de los radios vectores de cualquier punto de la curva es igual al eje mayor.

13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores.13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Elipse.Elipse. Procedimiento:

•Trazamos un arco de radio el semieje mayor A,B y tenemos los focos.

•En el eje mayor localizamos puntos al azar y haciendo centro en los focos vamos dibujando parejas de arcos que siempre sumarán el eje A,B, por ejemplo el punto 1’ se obtiene con los radios A,1 y 1,B.

•Como la curva es simétrica repetiremos la misma operación en los cuatro sectores.

•Una vez obtenido un números de puntos suficiente dibujaremos con el lápiz la curva para después rotularla con la ayuda de una plantilla.

13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores.13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Parábola.Parábola.

Esta curva está estructurada por el eje y la directriz que se cortan en el punto D, y por un vértice y el foco.

La característica principal de la parábola es que todos sus puntos equidistan del foco y la directriz.

13.2. Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores.13.2. Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Parábola.Parábola.

Procedimiento:

1.Hallamos el Foco. Como V es un punto de la curva la distancia V,D será igual la V,F.

2.Trazamos puntos cualquiera en el eje y los utilizamos de dos formas como paralelas que son lugares geométricos para mantener la distancia a la directriz, y como radios para los arcos de radio equidistante. Por ejemplo: el punto 4’ esta en una paralela a la directriz desde 4 y en un arco de centro el foco cuyo radio es 4,D.

13.2. Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores.13.2. Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Hipérbola.Hipérbola.

En la hipérbola hay un eje real A,A’ que va de vértice a vértice y un eje imaginario B,B’ que nos define la apertura de la curva; esta apertura está limitada por las asíntotas que son la prolongación de las diagonales del rectángulo formado con los ejes. Los focos se obtienen con la circunferencia circunscrita del citado rectángulo al cortar el eje real.

Todos los puntos de la hipérbola cumplen la siguiente característica: la resta de sus radios vectores es igual al eje real A,A’.

13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores.13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores.

Curvas cónicas. Curvas cónicas. Hipérbola.Hipérbola. Procedimiento:

1.Dibujamos un rectángulo con paralelas a los ejes como lados y dibujamos las asíntotas.

2.Con la circunferencia circunscrita del rectángulo hallamos F y F’ en la prolongación del eje real.

3.Localizamos puntos al azar en el eje real y luego usamos las medidas hasta los vértices A y A’ como radios para hacer los arcos con centro en los focos.

4. Unimos con lápiz HB y después rotulamos con plantilla.

13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores.13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores.

Recta tangente a la Elipse pasando por un puntoRecta tangente a la Elipse pasando por un puntoRectas tangentes a la Elipse pasando por un punto exteriorRectas tangentes a la Elipse pasando por un punto exteriorRecta tangente a la Parábola pasando por un puntoRecta tangente a la Parábola pasando por un puntoRectas tangentes a la Parábola pasando por un punto exteriorRectas tangentes a la Parábola pasando por un punto exteriorRecta tangente a la Hipérbola pasando por un puntoRecta tangente a la Hipérbola pasando por un puntoRectas tangentes a la Hipérbola pasando por un punto exteriorRectas tangentes a la Hipérbola pasando por un punto exterior

© Mario Ortega González

Recta tangente a la elipse en el punto T. Recta tangente a la elipse en el punto T.

Recta tangente a la elipse en el punto T. Recta tangente a la elipse en el punto T.

La recta tangente es la bisectriz de los radios vectores que pasan porpor T.

La recta tangente es la bisectriz de los radios vectores que pasan porpor T.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior. Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior.

Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior. Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior.

Procedimiento de circunferencia focal.Hallamos la intersección entre la cicunferencia focal (radio eje mayor) y la de radio P,F2, trazamos rectas desde los puntos de intersección hasta los focos y obtenemos: por un lado con el foco mas lejano los puntos de tangencia, y con el otro foco los segmentos cuyas mediatrices son las rectas tangentes.

Procedimiento de circunferencia focal.Hallamos la intersección entre la cicunferencia focal (radio eje mayor) y la de radio P,F2, trazamos rectas desde los puntos de intersección hasta los focos y obtenemos: por un lado con el foco mas lejano los puntos de tangencia, y con el otro foco los segmentos cuyas mediatrices son las rectas tangentes.

Recta tangente a la parábola desde un punto. Recta tangente a la parábola desde un punto.

Rectas tangente a la parábola desde un punto. Rectas tangente a la parábola desde un punto.

La recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman las distancias desde T al foco y la directriz.

La recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman las distancias desde T al foco y la directriz.

Rectas tangente a la parábola desde un punto exterior. Rectas tangente a la parábola desde un punto exterior.

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior. Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior.

Trazamos la circunferencia de radio P,F, esta produce dos intersecciones con la directriz, desde estos puntos dibujamos las perpendiculares que nos dan los puntos de tangencia y con las distancias a F obtenemos las mediatrices que son las rectas tangentes.

Trazamos la circunferencia de radio P,F, esta produce dos intersecciones con la directriz, desde estos puntos dibujamos las perpendiculares que nos dan los puntos de tangencia y con las distancias a F obtenemos las mediatrices que son las rectas tangentes.

Recta tangente a la hipérbola desde un punto. Recta tangente a la hipérbola desde un punto.

Recta tangente a la hipérbola desde un punto. Recta tangente a la hipérbola desde un punto.

Como en la elipse la recta tangente que pasa por T es la bisectriz de los radios vectores.

Como en la elipse la recta tangente que pasa por T es la bisectriz de los radios vectores.

Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior. Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior. Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

Hallamos la intersección de la circunferencia focal con la de radio P,F1, con estos dos puntos pasando por F2 obtenemos los puntos de tangencia y con las distancias a F1, las mediatrices, que son las rectas tangentes.

Hallamos la intersección de la circunferencia focal con la de radio P,F1, con estos dos puntos pasando por F2 obtenemos los puntos de tangencia y con las distancias a F1, las mediatrices, que son las rectas tangentes.

I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González