CÓNICASElipse y

Parábola PROFESORES: Brandon Mella

Ramón Bustos

Cónicas Definición Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a

todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y parábola)

Elipse

Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.

elipse Definición geométrica: sean , dos

puntos diferentes del plano y mayor que la distancia entre .

La elipse de focos , y eje mayor de longitud , es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancia a es igual a .El punto central entre se llama centro de la elipse. La recta que pasa por contiene 2 puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse y

Elipse

Observacion: se demuestra que la distancia entre y es , por lo que el segmento es el eje mayor de la elipse.

Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal

Sean Y , los focos de la elipse y sea la longitud del eje mayor, con es decir, .

Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal

Deducción ecuación:

⇔⇔ , elevamos al cuadrado.

⇔⇔⇔, multiplicamos por y elevamos

Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal ⇔⇔.⇔(=(), div. Por ()

Observación como ()⇔ luego definimos =(

2 2

2 21, es la ecuacion de elipse con

centro 0,0 y focos de 2 de distancia.

x y

a bc

Elipse

De forma similar se demuestra la ecuación elipse con centro y eje mayor vertical. además mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.

Ecuacion de una elipse con centro en y el eje mayor horizontal

Ecuacion de una elipse con centro en y el eje mayor vertical

2 2

2 21,

x h y k

a b

2 2

2 21,

x h y k

b a

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h a k v h a k

F h c k F h c k

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h k a v h k a

F h k c F h k c

Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la forma general.

Con fijos y 0, A≠B(ambos negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación de esta forma con las condiciones mencionadas representa una elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados o una elipse degenerada((negativa) o un punto(

Ejemplo: determine todos los elementos

de la elipse.

Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.

dividimos por 2

Continua próxima diapositiva.

Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse

Como ⇒ por tanto horizontal. luego el centro y eje mayor horizontal.= ⇒ = ,=.Entonces =-== ⇒=Finalmente los focos y vértices son los siguientes.

1 2 1 2

1 2 1 2

2 3 2 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

3 2 3 2

1 3 1 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

2 26 6

v h a k v h a k v v

F h c k F h c k F F

Parábola Una parábola es una curva abierta, producida

por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

PARÁBOLA:Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

Concepto previo «distancia de un punto a

una recta»Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de la parábola es necesario saber obtener la «distancia de un punto a una recta»

Distancia de un Punto a una recta

Sea una recta de ecuación con 0 y sea ) un punto que no pertenece a Si se denota la distancia de a Se demuestra que .

( , ) ( , )d P F d P lLos puntos de la parábola cumplen:

Ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parabola y

Deducción ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parábola y

Entoces parábola ⇔ (la condición).⇔= (distancia Punto a recta )⇔ =( eleva cuadrado ambos +)

⇔+= (cancelamos) continuamos próxima diapositiva……

Deducción ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parábola y

Continuemos.2

2

2

4 / multiplicamos por -1

4

(finalmente lo que buscabamos)4

cy x

cy x

xy

c

La parábola en otros casos

Ecuacion de una parábola con vértice en V

1) Vertical.,

Donde es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz.2) Horizontal.

Ecuación general de una parábola

La ecuación de cualquier parábola con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es de la forma general.

Con fijos y =0 o bien =0. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior cono bien =0 representa una parábola en el plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados o una parábola degenerada(vacia, una recta o la unión de dos rectas)

Ejemplos: determine todos los elementos de la

parábola1. .Solución.

Continua próxima diapositiva.

Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola

Continuación solución, cuando la parábola es de la forma . Eje de simetría Vertical . Comparando con lo obtenido. Se obtiene el vértice es como , luego .) , Bisectriz:

5

Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola

2) .Solución:

Continua próxima diapositiva…..

Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola

Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de simetría Horizontal.

, continua prox. Diapositiva.

Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola

85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de

12 2

simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.

3 3 54 , eje de simetria

5 20 285 3 5 104 5

foco , ,12 20 2 15 2

85 y la directriz es:

1

V h k V

c c y

F F

x

3 217

2 20 30