cÓnicas 1. cÓnicas 2 cÓnicas superficie cÓnica. cortes con un plano un poco de historia la...

CÓNICASCÓNICAS 11

CÓNICASCÓNICAS 22

CÓNICAS CÓNICAS• SUPERFICIE CÓNICA.

CORTES CON UN PLANO • UN POCO DE HISTORIA• LA CIRCUNFERENCIA• LA ELIPSE• LA HIPÉRBOLA• LA PARÁBOLA• PARA QUÉ SE UTILIZAN

LAS CÓNICAS (enlace)

• EJERCICIOS (Enlace)• ENLACES

CÓNICASCÓNICAS 33

SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS

SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS

Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica.

e

Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas:

CircunferenciaElipse

Parábola Hipérbola

UN POCO DE HISTORIA

UN POCO DE HISTORIA

Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol.

Otras aplicaciones de las cónicas

CÓNICASCÓNICAS 55

Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante.

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante .

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz.

Las Cónicas como lugar geométrico Las Cónicas como lugar geométrico

La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)

CÓNICASCÓNICAS 66

LA CIRCUNFERENCIA

• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• CIRCUNFERENCIA TRASLADADA• POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA• POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS• POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA

CIRCUNFERENCIA• EJE RADICAL

CÓNICASCÓNICAS 77

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio.

LA CIRCUNFERENCIAECUACIÓN REDUCIDA

geogebra

P(x,y)

x

yr

d(P,O) rP(x,y)

2 2x 0 y 0 r

22 2 2x y r

2 2 2x y r

Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r

Ecuación reducida de la circunferencia

CÓNICASCÓNICAS 88

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio.

LA CIRCUNFERENCIA

P(x,y)

x-a

yr

d(P,C) rP(x,y)

2 2x a y b r

Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r

x

y-b

bC(a,b)

22 2 2x a y b r

2 2 2x a y b r

2 2 2 2 2x 2ax a y 2by b r 2 2x y Ax By C 0 2 2 2

A 2a

B 2b

C a b r

Tambien:

a

CÓNICASCÓNICAS 99

LA ELIPSE

• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• ELIPSE TRASLADADA• EXCENTRICIDAD

CÓNICASCÓNICAS 1010

Ecuación reducida de la elipse

LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDA

Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

2 22 22 2x c y 2a x c y

geogebra

d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)

2 22 2x c y x c y 2a

2 2

2 2

x y1

a b

P(x,y)

2 22 2x c y 2a x c y

22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

2 2 24a x c y 4a 4cx

222 2 2a x c y a cx

2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

FF’

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2

2 2 2 2

b x a y1

a b a b

a ab

c

ab

c2 2 2 a c b


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje mayor:

Eje menor:

Ecuación eje mayor:

Ecuación eje menor:

Excentricidad:

a a

C(0,0) A(a,0)A’(-a,0) F(c,0)F’(-c,0)

B’(0,-b)

B(0,b)

LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

d(P,F') d(P,F) 2a

2 2

2 2

x y1

a bb

c

ab

c


C(0,0)

F(c,0) y F’(-c,0)

A(a,0), A’(-a,0),

B(0,b) y B’(0,-b)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=0

x=0

e=c/a2 2 2 a c b

NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor

a c

a b

(e<1)


EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

2 2

2 2

x y1

a b


c

ea

Excentricidad de la elipse:

c=0 , es decir, los focos coínciden:e = 0

Se trata de una CIRCUNFERENCIA

c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices:

e = 1

Se trata de un SEGMENTO

c < a :0 < e < 1 Se trata de una ELIPSE

propiamente dicha


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje mayor:

Eje menor:



Excentricidad:

a

a

C(0,0)

A(0,a)

A’(0,-a)

F(0,c)

F’(0,-c)

B’(-b,0) B(b,0)

LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (llamados focos) es constante (2a).

a b

d(P,F') d(P,F) 2a

2 2

2 2

x y1

b a

b

c

ab

c


C(0,0)

F(0,c) y F’(0,-c)

A(0,a), A’(0,-a),

B(b,0) y B’(-b,0)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

x=0

y=0

e=c/a2 2 2 a c b

a c

NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje mayor:

Eje menor:



Excentricidad:

a

C(x0,y0)

ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)

Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante (2a).

2 2

0 02 2

x x y y1

a b

b

Ecuación de una elipse de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas

C(x0,y0)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=y0

x=x0

e=c/a

O

A(x0+a,y0)

A’(x0-a,y0)

B(x0,y0+b)

B’(x0,y0-b)

c

F(x0+c,y0)

F’(x0-c,y0)

A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0),

B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b)

F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0)


LA HIPÉRBOLA

• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• HIPÉRBOLA TRASLADADA• EXCENTRICIDAD DE

UNA HIPÉRBOLA• HIPÉRBOLA EQUILÁTERA


Ecuación reducida de la hipérbola

LA HIPÉRBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

2 22 22 2x c y 2a x c y

geogebra

d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)

2 22 2x c y x c y 2a

2 2

2 2

x y1

a b

2 22 2x c y 2a x c y

22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

22 24cx 4a 4a x c y

22 22 2cx a a x c y

2 2 2 4 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2cx c y

2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2

2 2 2 2

b x a y1

a b a b

P(x,y)


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje real:

Eje imaginario:

Ecuación eje real:

Ecuación eje imaginario:

Excentricidad:

Asíntotas:

aC(0,0)

A(a,0)A’(-a,0)

F(c,0)F’(-c,0)

B’(0,-b)

B(0,b)

LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICAS

b

y xa

c a

d(P,F') d(P,F) 2a

2 2

2 2

x y1

a bb c

cb

a


C(0,0)

F(c,0) y F’(-c,0)

A(a,0), A’(-a,0),

B(0,b) y B’(0,-b)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=0

x=0

e=c/a2 2 2 c a b

NOTA: Los focos siempre están en el eje real

(e>1)

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

c a


EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA

1 c

ea

2 2

2 2

x y1

a b


Excentricidad de la hipérbola:

c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices:

e = 1

Se trata de dos SEMIRRECTAS

c > a :e > 1 Se trata de una HIPÉRBOLA

propiamente dicha

semidis tancia focal

excentricidadsemieje real


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje real:

Eje imaginario:

Ecuación eje real:


Excentricidad:

Asíntotas:

a

C(0,0)

A(0,a)

A’(0,-a)

F(0,c)

F’(0,-c)

B’(-b,0) B(b,0)

LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS

b

cC(0,0)

F(0,c) y F’(0,-c)

ay x

b

2 2

2 2

y x1

a b


|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=0

e=c/a

NOTA: Los focos siempre están en el eje real

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.

cb

a

2 2 2 c a b

c a

A(0,a), A’(0,-a),

B(b,0) y B’(-b,0)

(e>1)

x=0


Centro:

Focos:

Vértices:

Eje real:

Eje imaginario:

Ecuación eje real:


Excentricidad:

Asíntotas:

C(x0,y0)

HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)

2 2

0 02 2

x x y y1

a b

Ecuación de una hipérbola de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas

C(x0,y0)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=y0

x=x0

e=c/a

O

A(x0+a,y0)A’(x0-a,y0)

B(x0,y0+b)

B’(x0,y0-b)

a

bc

F(x0+c,y0)F’(x0-c,y0) A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0),

B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b)

F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0)

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante.

0 0

by y x x

a

X

Y


HIPÉRBOLA EQUILÁTERA


LA PARÁBOLA

• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• PARÁBOLA TRASLADADA


Ecuación reducida de la parábola

Vértice (0,0) y eje OX

LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a).

pF ,0

2

d(P,F) d(P,r)P(x,y)

22 2

2p px y x

2 2

V(0,0)

p

x2

22p p

x y x2 2

2 2

2 2 2p px px y x px

4 4

2y 2px

El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

p


Ecuación reducida de la parábola

LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICAS

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).).

pF ,0

2V(0,0)

p

x2

2y 2px


pFoco:

Vértice:

Eje :

Directriz:

Parámetro:

pF ,0

2

V(0,0)

y=0

eje

p

x2

p>0

2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICASCÓNICAS 2525

2

p 0

y 2px

2

p 0

y 2px

2

p 0

x 2py

2

p 0

x 2py

pF ,0

2

V(0,0)

y=0

p

x2

2y 2px

Foco:

Vértice:

Eje :

Directriz:

2x 2py

Foco:

Vértice:

Eje :

Directriz:

pF 0,

2V(0,0)

x=0

p

y2


Ecuación de una parábola

de eje paralelo al eje OX

LA PARÁBOLA TRASLADADAParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano

que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz .

0 0

pF x ,y

2

d(P,F) d(P,r)P(x,y)

V(x0,y0)

0

px x

2

2

0 0y y 2p x x


O

Y

Foco:

Vértice:

Eje :

Directriz:

Parámetro:

y=y0

p>0

0 0

pF x ,y

2

V(x0,y0)

0

px x

2


CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA ELIPSEELIPSE

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA PARÁBOLAPARÁBOLA


• Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana.


ENLACES• DE TODO.• TEORIA Y EJERCICIOS:

• http://personales.unican.es/gonzaleof/• http://soko.com.ar/index.htm

• CÓNICAS:• FLASH:

• http://perso.wanadoo.es/j.antonio_cuadrado/• http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/• http://www.rena.edu.ve/CuartaEtapa/Matematica/tema6/tema6b.html• http://almez.pntic.mec.es/~aberho/conicas/resumen.htm• http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm• http://www.fcen.uba.ar/museomat/maquinas.htm

• Con Geogebra:• http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm• http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Lugares_geometricos_conicas/index.htm• http://soko.com.ar/matem/matematica/Conicas.htm• http://www.revista.dominicas.org/conicas.htmCon cABRI:

http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice

http://personales.unican.es/gonzaleof/


• http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi12.JPG&imgrefurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi1.htm&h=210&w=364&sz=20&hl=es&start=68&um=1&tbnid=aoKTWiBZHOLGQM:&tbnh=70&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D60%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DN

http://images.google.es/imgres?imgurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/media/vrml/thumbnails/hiperbola.gif&imgrefurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html%3Bjsessionid%3D22B83B293E5F770268DE4BC2DE33EDB1%3Faction%3DentryByConcept%26id%3D859&h=25&w=25&sz=2&hl=es&start=98&um=1&tbnid=Mp1GbTdIniPemM:&tbnh=25&tbnw=25&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D80%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DN

cÓnicas 1. cÓnicas 2 cÓnicas superficie cÓnica. cortes con un plano un poco de historia la...

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