Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si ,

entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical

interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la

superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical

interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .

Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la

pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es

la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el

punto es

En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Figura 1: derivada parcial en P respecto a y [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse

geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y en

el punto , respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio.

Si , entonces representa la razón de cambio de con respecto a ,

cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio

de con respecto a , cuando permanece fija.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del

paraboloide y el plano , cuando .

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es : , pero pasa por el

punto y así

En la figura 1 se muestra la recta tangente y la

parábola

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Figura 4: Tangente en P

Ejemplo 8

El plano interseca al elipsoide formando una elipse.

Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el

punto .

Solución

La ecuación define a implícitamente como una función de

e , entonces :

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

Pero como la recta tangente pasa por el punto , entonces

De donde su ecuación es : ; y sus ecuaciones paramétricas son

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Observación : si es una función de dos variables e , entonces sus derivadas

parciales y también son funciones de dos variables, de modo que podemos

considerar sus derivadas parciales y , las cuales cuales se

llaman segundas derivadas parciales de Si , utilizamos la siguiente

notación :

La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego

con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.

Ejemplo 9

Calcule las segundas derivadas parciales de

Solución

Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Entonces tenemos que :

Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo

anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se

da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 -

1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.

Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

Sea una función escalar donde es un disco abierto con

centro en y radio , entonces si las funciones y son

continuas en entonces

Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como

y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que si estas

funciones son continuas.

Ejemplo 10

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas.

Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las

soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel

fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y

potencial eléctrico.Compruebe que la función satisface la ecuación

de Laplace.

Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por

con lo cual

de donde

Ejemplo 11

La ecuación de onda

donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda

de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.

Si y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la

función

satisface la ecuación de onda.

Solución

Las derivadas de con respecto a están dadas por :

Las derivadas de con respecto atestan dadas por :

Sustituyendo obtenemos que

Ejemplo 12

Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la

función

satisface la ecuación diferencial parcial

Solución

Las derivadas de con respecto a están dadas por :

Sustituyendo

Ejemplo 13

Si se dijera que existe una función cuyas derivadas parciales

son y ¿usted lo creería?

Solución

Por el teorema de Clairaut, puesto que y son continuas

en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.

Ejemplo 14

Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal

que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en

grados centígrados esta dada por

con

1. Trace la gráfica de para y

2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en

términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada

una tiene el signo que tiene.

3. Calcule ¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de

temperatura?

Solución

1. La gráfica de las funciones y se muestran en la figura 2.

Figura 6

Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra

y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la

barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).

2. La derivada parcial respecto a esta dada por y

al evaluar obtenemos que

como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva para

cualquier valor de concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las

pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más

pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo

izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la

dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la

temperatura aumenta.

Por otro lado,

observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente

conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la

temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes

a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto

cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la

derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia

el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye.

Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad

lo explicado antes.

0 254.16 58.7785

10 93.5003 21.6234

20 34.3968 7.95641

30 12.6539 2.92641

40 4.65511 1.07657

50 1.71252 0.39605

0 -254.16 58.7785

10 -93.5003 21.6234

20 -34.3968 7.95641

30 -12.6539 2.92641

40 -4.65511 1.07657

50 -1.71252 0.39605

3. La derivada parcial respecto a está dada por

Observe que para y cualquier valor de

y para y cualquier valor de lo cual nos permite

concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de

la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente

de la barra es la mitad.

Ejemplo 15

Las ecuaciones

definen a y como funciones de las variables independiente e . Exprese

en términos de y .

Solución

Para calcular derivemos las ecuaciones (4) respecto a

Ahora usemos la regla de Cramer para hallar

De donde

Ejemplo 16

Compruebe que la función satisface la ecuación diferencial

de Laplace en derivadas parciales

Solución

Calculemos las derivadas parciales

y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.

Definición (vector gradiente)

Sea una función escalar de dos variables, entonces el

gradiente de es la función vectorial definida por

Observación: si es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por

Ejemplo 17

Si calcule

Solución

El gradiente está dado por :

y evaluando

C A P I T U L O I I I g

Derivadas parciales

En las aplicaciones de las funciones de varias

variables surge una pregunta: ¿Cómo será

afectada la función por una variación de una de

las variables independientes?. Podemos

responder esta interrogante considerando cada

vez una variable independiente. Por ejemplo,

para determinar el efecto de un catalizador en

un experimento, un químico llevaría a cabo el

experimento varias veces usando cantidades

distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como

la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar

la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables

independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una

variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se

conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada

parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

La introducción de las derivadas parciales tardó

varios años en seguir a los trabajos de Newton

y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y

Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783)

publicaron separadamente varios artículos de

dinámica, en los cuales establecieron gran parte

de la teoría de las derivadas parciales. Estos

artículos usaban funciones de dos o más

variables para estudiar problemas que trataban

del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.

Derivadas parciales

Definición 3.1

Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fxy fy respectivamente, definidas mediante

Leonhard Euler

Jean Le Rond d´Alembert

siempre y cuando existan los límites.

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y

es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para

obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

Ejemplo 3.1

Calcular fx y fy para la función

Solución

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación

damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo 3.2

Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el

punto (1, ln2)

Solución

Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1,

ln2) es

Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1,

ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una

interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva

formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como

muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1

representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva

como la tangente pertenecen al plano y=c).

De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el

plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2

Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de

la superficie en las direcciones x e y respectivamente.

Ejemplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el

punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

Solución

En la dirección x, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.3)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.4)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas

parciales pueden interpretarse como razones de cambio.

figura 3.3 figura 3.4

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas

parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y

superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de

orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas

distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se

debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas,

según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas

notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo 3.4

Encontrar las derivadas parciales segundas de y

calcular el valor de fxy(-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede

frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1

Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la

función

Solución

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

Ejercicios

Ejercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicio 3.2

Evaluar fx y fy en el punto que se indica

1. , (2,-2)

2. , (1,0)

3. , (2,-2)

4. , (1,0)

Ejercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx

1.

2.

3.

4.

Ejercicio 3.4

Demostrar que fxy=fyx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio 3.5

Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace

Ejercicio 3.6

Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para

encontrar fx(x,y) y fy(x,y)

Ejercicio 3.7

Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la

pendiente de la curva en el punto que se especifica

superficie plano punto

x=2 (2,3,6)

y=1 (2,1,8)

y=3 (1,3,)

x=1 (1,3,0)

Evaluación

1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y

alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y

de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas

parciales fueran negativas?

2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación sobre la

horizontal y con velocidad

Evaluar cuando v0=2000 m/s y =5º

3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por

donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio

de la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las

direcciones de los ejes x e y.

4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T

la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar

5) Consideremos la función definida por

a) Encontrar fx(x,y) y fy(x,y) para (x,y) distinto de (0,0)

b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fx(0,0) y fy(0,0)

c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fxy(0,0) y fyx(0,0