INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Uno de los problemas que posibilitan el surgimiento del Cálculo Diferencial, fue el relacionado con las rectas tangentes a una curva cualquiera. Más precisamente, el relacionado con las rectas tangentes a una curva cualquiera, encontrar una buena definición de recta tangente, y hallar un método que permitiera trazarla con exactitud. ¿Cuál es esa buena definición de recta tangente a una curva, en un punto dado de ella, y cómo trazarla? De acuerdo a tus conocimientos de geometría euclidiana contesta las preguntas:

Figura 1.

¿Cuál es la definición de recta tangente a una circunferencia, en unos de sus puntos?

 ¿Cómo trazas esa recta tangente?

Ambas preguntas son fáciles de responder, si se considera el problema de definir recta tangente a una curva cualquiera, en unos de sus puntos y, más aún si se pide un método de trazarla.

El Cálculo diferencial respondió estas dos preguntas. El objetivo es hacer un análisis, desde el punto de vista matemático, de los conceptos involucrados en ella. ¿Qué es ángulo de inclinación de una recta?

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A

¿A qué es igual la tangente del ángulo de inclinación? ¿A qué se le llama pendiente de una recta? ¿Cómo determinas la pendiente de una recta? ¿Cómo son las pendientes de dos rectas perpendiculares? ¿Qué expresión simbólica indica el hecho de que dos rectas sean perpendiculares entre ellas? ¿Qué diferencia hay entre el concepto de recta secante y el de recta tangente, a una curva dada?

Interpretación geométrica de la derivada de una función. De la Figura 2, se sabe lo siguiente: las rectas S y T se llaman secante (que pasa por los puntos A y B) y tangente en el punto A, respectivamente, a la curva dada por y=f(x).Apóyate en esta Figura para responder las siguientes preguntas.

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Figura 2.

Figura 2. Rectas secante y tangente a una curva ¿Cómo defines recta secante a una curva?  ¿Cómo defines recta tangente en un punto A de una curva? La definición que diste de recta tangente, es este caso, ¿coincide con la definición de recta tangente a una circunferencia?                

¿Por que?

 ¿Crees que haya algún método geométrico para trazar la recta tangente a una curva?

 ¿Cuál es? Interpretación geométrica de la derivada de una función, continuación

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 Apóyate en la Figura 2 para seguir el siguiente razonamiento y contestar las preguntas planteadas en seguida. Tal como está la Figura 2, el ángulo de inclinación de la recta secante S es mayor que el ángulo de inclinación de la recta tangente T ¿Por qué? Considera que la recta secante S se mueve alrededor del punto A, siguiendo el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Esto implica que el punto B tiende al punto A. Explica el sentido que tiene la expresión: B tiende al punto A.

 Considera que el ángulo de inclinación de la recta secante S es α y el de la recta tangente T es θ. ¿Qué significado geométrico tiene

la expresión: ?

                                                                                                       

De la expresión se sigue ¿Qué

significado geométrico tiene esta última expresión simbólica?

Explica, desde el punto de vista geométrico, la afirmación:

= pendiente de la recta tangente en A.

En símbolos: , Explica, desde el punto de vista

geométrico, esta afirmación.

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Por otro lado: , de aquí que la expresión simbólica precedente se convierte en

= .

Explica esta afirmación:

Si , entonces la expresión simbólica =

¿Por qué?

Información adicional sobre la interpretación geométrica de la derivada:

La expresión simbólica = tan θ representa la

derivada de la función.

y=f(x) en el punto (x, f(x)). Las notaciones más comunes, en los

libros de Cálculo Diferencial, para simbolizar el concepto de

derivada son (y), f’(x), . Así las siguientes

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expresiones simbólicas son equivalentes, pues representan exactamente lo mismo

a) = f’ (x), b) y = ,

c) Tang. del ángulo de inclinación de la recta tangente m(x)=f’(x).

De hecho, esta información puede ser resumida de la manera siguiente: el valor numérico de la derivada en algún punto (x0, f(x0)) de la curva dada por la función y= f(x) es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. O en símbolos: f’ (x0)= m(x0)

m (x)= f’(x) =

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SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA PLANTEADA CON ANTERIORIDAD:

Consideremos una función real continua con regla de correspondencia y = f(x), su gráfica y los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que se encuentran sobre la gráfica:

En la gráfica se considera lo siguiente:

Por el punto P1(x1, y1) se traza una recta tangente T a la curva y = f(x).

Por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se traza una recta secante S a la curva y = f(x).

θ denota el ángulo de inclinación de la recta secante a la curva y = f(x).

Se marca el incremento de la variable independiente Δx, donde Δx= x2 - x1

Se marca el incremento de la variable dependiente Δy, donde Δy= f(x2) – f( x1)

Se marca el triángulo rectángulo P1QP2.

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Del triángulo rectángulo P1QP2.

La tangente trigonométrica del ángulo θ es:

Representa la pendiente ms = de la recta secante a la curva y = f(x) en los puntos P1 y P2. Esto es:

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Si el punto P1 se mantiene fijo y se hace variar el punto P2 hacia el punto P1 sobre la curva, el ángulo de inclinación θ de la recta secante varía en cada una de las posiciones de la recta del punto P2.

Sí el punto P2 se aproxima cada vez más al pinto P1, el valor de la tangente trigonométrica del ángulo θ también variará.

Como la curva y = f(x) es continua, el punto P2 se puede aproximar al punto P1 tanto como se quiera, de tal manera que:

Sí Δx 0, entonces Δf (x) 0

En consecuencia la recta secante S a medida que Δx 0 se aproxima a la recta tangente T, esto es:

Sí Δx 0, entonces mS mT

Por lo tanto, en el límite cuando Δx 0

mT = = Dx f(x)

Por lo tanto la derivada de una función evaluada en un punto, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

En general, la derivada de una función es cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es:

mT = Dx f(x)

OBTENER LA DERIVADA DE f(x)= 4x2 -6x -8

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Aplicando la definición de la derivada:

Dx f(x)=

Resulta:

=

Elevando el binomio (x + h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene:

=

=

Simplificando:

=

Realizando la división:

=

Finalmente, calculando el límite cuando h 0 se obtiene la derivada de la función:

Dx f(x)=8x – 6

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