40

Tabla de contenido VALOR PRESENTE NETO VPN Ó VNA. ........................................................................ 41

PROYECTOS O ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (VIDAS IGUALES) 43

PROYECTOS DE INGRESOS Y PROYECTOS DE SERVICIOS .................................... 43

VIDA DEL PROYECTO MÁS EXTENSA QUE EL PERIODO DE ANÁLISIS .................. 46

PROYECTOS MÁS CORTOS QUE EL PERIODO DE ANÁLISIS .................................... 47

TASA INTERNA DE RETORNO TIR ............................................................................... 48

PREDICCION DE VALORES i ......................................................................................... 49

INVERSION NETA O PURA ............................................................................................ 57

PRESTAMO PURO ......................................................................................................... 57

INVERSION MIXTA ......................................................................................................... 57

TIR DE UNA INVERSION MIXTA .................................................................................... 59

RELACIÓN COSTO BENEFICIO- B/C ............................................................................. 61

RELACION B/C Y VPN .................................................................................................... 62

PUNTO DE EQUILIBRIO (o umbral de rentabilidad) ........................................................ 63

PUNTO DE EQUILIBRIO EN UNIDADES FISICAS VENDIDAS ...................................... 64

PUNTO DE EQUILIBRIO EN TERMINOS DE INGRESOS POR CONCEPTO DE VENTAS ........................................................................................................................................ 64

TASA DE UTILIZACION DE LA CAPACIDAD EN EL PUNTO DE EQUILIBRIO .............. 64

41

VALOR PRESENTE NETO VPN Ó VNA.

Un proyecto o una inversión se debe evaluar financieramente para averiguar si es viable o no. El VPN es el más utilizado porque pone en pesos de hoy los ingresos y los egresos. Los ingresos son (+) y los egresos son (-). Se compara el valor actual de los flujos de entrada del efectivo con el valor actual de salida, la diferencia es el VPN O VNA (el valor neto actual). - Si el VPN>0, El proyecto es viable. El proyecto generara ganancias y la inversión se acepta - Si el VPN<0, El proyecto no es viable, los ingresos son menores que los egresos. El proyecto genera pérdidas, la inversión se rechaza. - Si el VPN=0, Los ingresos son iguales a los egresos, es indiferente el proyecto. Procedimiento para aplicar el criterio el valor presente neto a un proyecto de inversión. 1) Determinar la tasa de interés que desea obtener la empresa para su inversión: se denomina rendimiento requerido o tasa de rendimiento mínima atractiva (TMAR o TRMA). La selección es política de la empresa. 2) Estimar la vida económica del proyecto n. 3) Estimar el flujo de entrada efectivo de cada periodo económico. 5) Determinar el flujo neto de efectivo= Entrada - Salida. 6) Encontrar el valor presente neto usando la TMAR.

��� = ��(1 + )� +��(1 + )� +

� (1 + ) …… ��(1 + )�

��� = � ��(1 + )��

���= ���(

�

����

�, , �) VPN = Valor presente calculado con i. Sumatoria de los flujos de caja a pesos de hoy. An = Flujo neto calculado al final de cada periodo n. i = TMAR-TIO. Tasa de interés de oportunidad de TIO, es la tasa más alta que un inversionista sacrifica con el objeto de realizar un proyecto. n = vida económica del proyecto Problema: Un proyecto requiere una inversión inicial de $100.000 y otra de $ 50.000 al final del primer mes, en los meses 2 y 3 los ingresos son iguales a los egresos, el mes 4 entran $30.000, en el mes 5 $60.000 y en el mes 6 $90.000. Si existen 2 inversionistas que tienen una TIO diferente, el A= 3% y el B=2% Determinar si el proyecto se puede realizar.

42

Se pone en pesos de hoy tanto ingresos como egresos -Inversionista A: TIO =3%

VPN= -100.000− �����(���,��)+ �����

(���,��)� + �����(���,��)� + �����

(���,��)� VPN=$5.241,03>0 Si se puede realizar el proyecto, se gana el 3% más el VPN. -Inversionista B: TIO =2%

VPN= -100.000− �����(���,� )+ �����

(���,� )� + �����(���,� )� + �����

(���,� )� VPN=$12.957.03>0, además se gana el 2% a pesos de hoy. Entre más alta es la tasa, más difícil que el proyecto sea aprobado. Problema: Una empresa de cálculo y diseño estructural piensa adquirir un programa que cuesta $200.000.000, la impresa tiene unos ingresos operacionales anuales de $300.000.000 al año con unos costos y gastos de $80.000.000 al año. Con la compra del programa se puede ahorrar $25.000.000 durante los próximos 5 años y la TMAR de la empresa es del 15%.

Año entrada costos operacionales Ahorros Flujo neto

0 0 200 -200 1 300 100 25 175 2 300 100 25 175 3 300 100 25 175 4 300 100 25 175 5 300 100 25 175

43

��� = −200 + 175 ∗ $(1 + 0,15)� − 10,15(1 + 0,15)�%

��� = −200 − 586.63 = $386.63+,--.�/0123456178591:7138: Problema: Un contratista quiere comprar una retroexcavadora de $300 millones, una vida útil de 10 años y valor de salvamento de $100 millones. Producirá ingresos anuales crecientes en 20%, se estima que el año 1 serán $50 millones. Los costos de operación y mantenimiento se estiman en $10 millones y que cada año crecen $5 millones. Evaluar el proyecto a una TIO=30%. PROYECTOS O ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (V IDAS IGUALES) En la vida real es común tener 2 opciones o más de proyectos para alcanzar un objetivo parte de la planeación estratégica. Se pueden presentar varios proyectos simultáneamente, pero la ejecución de uno excluye el otro. Se debe evaluar cada alternativa por separado, pero usando el mismo horizonte de planeación para poder compararlos. Cualquiera de las alternativas satisface la misma necesidad, la selección de una excluye la otra o si el sistema comienza a fallar o se espera que falle. “No hacer nada” es una alternativa implícita, es otra opción. Se calcula el VPN y se escoge el de mayor valor para proyectos de ingresos y menor valor para el proyecto de egresos. La mejor aplicación del VPN es para seleccionar proyectos. PROYECTOS DE INGRESOS Y PROYECTOS DE SERVICIOS Al comparar alternativas se puede clasificar los proyectos en: -Proyectos de Servicios: Los ingresos no dependen de la elección del proyecto. Por ejemplo una empresa desea comprar maquinaria, pero sus ingresos dependen de los clientes que tenga, la diferencia

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está en los costos operacionales, si se usa el VPN, se escoge la alternativa de menor costo, durante la vida de servicio. -Proyectos de Inversión: Los ingresos dependen de la alternativa elegida. Un fabricante de prefabricados de concreto, desea lanzar 2 productos al mercado: bloque y baldosa, la capacidad productiva solo le da para fabricar uno con diferente costo de producción. Si se utiliza el criterio del VPN, se escoge la alternativa de valor más alto. PERÍODO DE ANÁLISIS UN HORIZONTE DE PLANIFICACIÓN Tiempo durante el cual se evalúan los efectos económicos de una inversión. Puede determinarse de varias formas: -Intervalo de tiempo definido por las políticas empresariales. -Definido por la necesidad que se trata de satisfacer ó parte de los objetivos estratégicos de la compañía. -Un problema que puede ocurrir es tener 2 ó más proyectos con vidas útiles diferentes. Problema: Una fábrica produce 500.000 ladrillos al mes, con un costo operacional de $1.500’millones al año y un aumento de sueldo promedio (IPC) del 5%. El precio de venta de cada ladrillo es $500 y todos los años aumenta 10%. Se presenta la oportunidad de comprar una máquina de $2.000’ millones y vida útil de 10 años, valor de salvamento de $100’, con 2 técnicos para su operación con sueldo de $360’ millones/año y aumento 5% anual. ¿Cuál alternativa es mejor con una TIO al 20%? ALTERNATIVA 1 : No se compra la máquina, se sigue trabajando con el personal que hay. El primer ingreso será $ 500 x 500.000 x 12 meses = $3.000’ y de ahí se incrementa 10% al año. El egreso del primer año es $1.500’ y crece según IPC=5% anual.

VPN = 3000;�<(���.�)=>(���. )?=>�. <�.� @ − 1500 ;�<(���.��)=>(���. )?=>�. <�.�� @ VPN= $17.432.88-$7.369.24= $10.063’.64

10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 1

6430.77

3993 3630

2216.18 2010.14 1914.42 1822.21

1736.44 1653.75 1575 1500

4831.53 5846.15

3300 3000

5314.68

4392.3

45

ALTERNATIVA 2: Se compra la máquina

VPN =3000;�<(���.�)=>(���. )?=>�. <�.� @ + ���(���. )=> − 360 ;�<(���.��)=>(���. )?=>�. <�.�� @-2000’

VPN= $13.680.41 Se decide comprar la máquina. PROBLEMA: El jefe de producción de una fábrica de concreto debe decidir entre la planta A y la B, con una tasa de 30% (TIO). Las dos alternativas se evalúan a 10 años. Determinar la mejor alternativa. Características

Planta A Planta B Costo 300' 400' Vida Útil (años) 5 10 Valor de Salvamento 80' 100' Costo Anual de Operación 10' 20'

2000’ 459.46

506.56

3000’

8 0

531.88

1 2 3 6 5 4 7

6430’.77+ 100’

10 9

360’

416.75

482.43

437.58

378’ 396.9

46

ALTERNATIVA 1: Al final de los 5 años tendrían que adquirir otra máquina.

VPN = -300− ���(�.�)� + A�

(�.�)� − 10 ; (�.�)=><��.�(���.�)=>@ + A�

(�.�)=> VPN= $-384’.36 ALTERNATIVA 2:

VPN = -400+ ���(�.�)=> − 20 ; (�.�)=><�

�.�(���.�)=>@ VPN= $ -454’.58

Se escoge la alternativa 1

VIDA DEL PROYECTO MÁS EXTENSA QUE EL PERIODO DE AN ÁLISIS Las vidas de los proyectos no coinciden con el periodo de análisis generalmente. Por ejemplo un proyecto de producción a 3 años y un equipo con vida útil de 5 años. En este caso se analizan los proyectos para el periodo de servicio requerido 5 años. La porción no utilizada del equipo se incluye como valor residual: cantidad monetaria por la cual podría venderse el equipo después de haber servido al proyecto, o medición monetaria de su utilidad al restante. PROBLEMA: Una empresa tiene un contrato a dos años para realizar un movimiento de 1’000.000 m3 de tierra; para lo cual se requiere un buldozer. El modelo A cuesta $250’ cuyo rendimiento es de 100 volquetas/día de 10 m3, y tiene una vida útil de 5 años antes de una reparación; costo operativo es de $20’/unidad; el valor residual o costo de salvamento sería $120’ millones, al finalizar 2 años. Se necesitan dos.

300’

0 1 2 3 4 5 6 7 98

80’

10

80’

300’

400’

0 1 2 3 4 5 6 7 98

100’

10

20’

47

El modelo B es más grande, cuyo rendimiento es de 200 volquetas/día de 10 m3 cuesta $400’ millones, vida útil de 6 años antes de una reparación. La operación cuesta 30’ millones año /unidad, el costo de salvamento es de 160’ al cabo de 2 años. Se necesita 1 buldozer. Buldozer A 250 días hábiles/año *100 volq/día*10 m3=250.000 m3/año* 2 años=500.000 m3/2 años. 1.000.000 m3/500.000m3=2 buldozer. Se necesitan 2 buldozer tipo A para mover 1.000.000 m3 en dos años Buldozer B 250 días hábiles/año *200 volq/día*10 m3=500.000 m3/año* 2 años=1.000.000 m3/2 años. 1.000.000 m3/1.000.000m3= 1 buldozer. Se necesitan 1 buldozer tipo B para mover 1.000.000 m3 en dos años La vida útil de los 2 modelos excede el periodo de servicio (2 años). Modelo A Modelo B

VPNA = VPNB= Se escoge la alternativa

PROYECTOS MÁS CORTOS QUE EL PERIODO DE ANÁLISIS Se requieren proyectos de reemplazo una vez el proyecto llegue al final de la vida útil, se supone que el proyecto de reemplazo es igual al inicial en algunas cosas. También se puede por arrendar el equipo o subcontratar el trabajo restante en lo que resta del periodo. PROBLEMA: Una empresa de construcción quiere comprar un software para integrar los costos y gastos de compra de materiales, alquiler de equipo, contratos M.O, en un sistema de control en tiempo real con la contabilidad de la empresa. La empresa debe

500’

0 1 2 3 4 5

$ 40’ $ 30’

400’

0 1 2 3 4 5 6 7 8

240’ 160’

48

elegir entre 2 software con igual función. El A cuesta $80’ la licencia hay que renovarla cada 3 años, el B cuesta $120’ y la licencia se renueva cada 5 años. No hay valor residual. Conforme la empresa crece, en 8 años será necesario instalar un software más potente o hacerle modificaciones al existente para manejar el volumen de la empresa. Para ambos programas hay que pagar anualmente una plata de acuerdo al siguiente cuadro. ¿Qué software se debe comprar si TRMA =15% ?

Se supone un trabajo restante en lo que queda del periodo de análisis de $10’. R/ como es un proyecto de servicio la opción más económica es la mejor.

TASA INTERNA DE RETORNO TIR Es uno de los índices más usados, mide la rentabilidad de una inversión, los especialistas no la usan mucho porque se presentan errores. Algunas veces la decisión tomada con el VPN no coincide con la TIR porque no se aplica correctamente. En algunos casos se prefiere análisis de la tasa de rendimiento en función de la inversión. Tasa de Rendimiento: Tasa de interés devengada sobre el saldo no pagado de un préstamo amortizado. Definiciones: -Financieramente es la tasa a la cual son descontadas los flujos de caja, de tal forma que los ingresos y egresos son iguales, la TIR es la tasa a la cual el VPN =0 matemáticamente -Rendimiento real que promete generar un proyecto de inversión durante su vida útil. -Tasa de interés obtenida en el saldo de inversión no recuperado de un proyecto, de tal forma que el saldo no recuperado sea cero. Los FLUJOS DE CAJA se pueden clasificar en: -Simples o convencionales: Primero aparecen los ingresos y después los egresos o viceversa, solo hay un cambio de signo en el flujo de efectivo neto. -No convencionales o complejo: Hay más de un cambio de signo en la serie de efectivo, están intercalados los ingresos y egresos.

A B 0 80' 120' 1 2' 1,5' 2 2' 1,5' 3 2' 1,5' 4 10' 1,5' 5 10' 1,5' 6 10' 10' 7 10' 10' 8 10' 10'

49

Perfil Flujo Complejo

Perfil Flujo Simple

VA(i) VA(i)

PREDICCION DE VALORES i El problema es determinar un valor único de i para un proyecto a través de su flujo. Hay 2 reglas que permitan hacerlo observando los cambios de signo. 1. Regla de signos del Flujo Efectivo Neto (descartes) El número de valores i reales que son mayores que -100% en un proyecto con “n” periodos, nunca será mayor que el número de cambios de signo en la secuencia An (Flujo). Un polinomio no tiene más raíces que el número de veces que los coeficientes cambian de signo. :B� − CB�<� + 1B�< +⋯CB −E = 0 (2 cambios)

Hay 2 cambios de signo, hay al menos 3 o menos valores reales positivos de i

Periodo A B 0 -1000 1 -100 2 200 X 3 0 4 100 5 -300 X

-1000

0

1 2 3 4 5

200 500

-300 -100

i

50

Flujo de Efectivo Acumulado Es la suma de flujos de efectivo neto hasta cierto momento. Si se obtienen múltiples valores de i, se debe pasar a la regla 2 para eliminar algunas alternativas.

An: Flujo Efectivo Neto

Sn: Flujo Efectivo Acumulado

2. Regla del Flujo Efectivo Acumulado Si la serie Sn comienza con un valor negativo y solo cambia una vez de signo, hay un valor único positivo de i. PROBLEMA: Se quiere construir un parqueadero, para lo cual se alquila un lote por 6 años. El costo de construcción es de $100’, los ingresos netos después de descontar gastos e impuestos son $30’ el primer año y crecen con el PIB = 5%. Si el inversionista gana en todos sus negocios TIO=30% (solo capital propio), es viable el negocio?

VPN = -100+30 ;�<(���.��)�(��F)?�F<�.�� @ = 0

= 23.87% El proyecto no debe ser aceptado porque la TIR =23.87% es menor a la TIO (tasa del inversionista). PROBLEMA: Se presentan 2 proyectos de inversión A y B. Calcular la tasa de rendimiento de ambos proyectos.

Periodo An Sn 0 A0 S0= A0 1 A1 S1 = A0+ A1 : : : : : :

n An Sn = A0+ A1+…An

01

100’

2 3 54 6

30’

31’.5

33’.08

36’.47 38’29

34’.73

51

Proyecto A: � = �(1 + )�

1800 = 1000(1 + )� ln 1.8 =5 ln(1 + ) 0.11756 = ln(1 + ) 1�.��J��=(1 + ) = 12.47% Proyecto B: VPN = -3000+ ����

(��F) + ���(��F)L + ����

(��F)M Suponiendo N = �

(��F) −3000 + 1500N + 2500N + 3500N� = 0 Se obtiene un polinomio de tercer grado con 3 raíces N� = 0.6508 N = −0.6825 N� = −0.6825

1. �(��F) = 0.65081 = 0.6508 + 0.6508

� = 0.536 = 53.6% (se escoge esta)

2. �(��F) = −0.68251 + 0.6825 = −0.6825

= −2.465 = −246.5% Una tasa negativa no tiene importancia económica PROBLEMA: Para un inversionista la TIO es de 25% mensual, escoger el mejor proyecto en un año.

Proyecto A: Inversión de $100’, ingresos operacionales de $50’ el primer mes y los meses siguientes $10’.

Proyecto B: Inversión de $100’ y al final del año el ingreso es de $180’.

n A B 0 -1000 -3000 1 1500 2 2500 3 3500 4 5 1800

52

Proyecto A:

VPNA=-100′ + ��(���.� �) + 10 ; (���.� �)=L<�

�.� �(���.� �)=L@ − ��(���.� �)=

VPNA =$41’602. 036

Proyecto B:

VPNB =-100′ + ��

(���.� �)=L

VPNB=$48’711.177

VPNA < VPNB usando VPN el mejor proyecto es B

Usando el análisis de la TIR

Proyecto A:

VPNA = 0 = -100′ + ��(��F) + 10 ;(��F)=L<�F(��F)=L @ − ��

(��F)=

= 0.1128 = 11.28%

Proyecto B:

VPNB = 0 = -100′ + ��(��F)=L

= 0.0595 = 5.95%

TIRA > TIRB Usando la TIR, el mejor proyecto es A

¿Cuál de los 2 proyectos es mejor para invertir?

10’

11 12

200’

0

100’

50’

0 4 5 3 2 1

100’

53

Proyecto A: Proyecto B:

TIRA =11.28% TIRB =5.95%

Proyecto A: La inversión de $100’ solo dura un mes porque se está reintegrando $500’ al final del primer mes y meses restantes $10’ mensuales.

Proyecto B: La inversión de $100’ dura todo el año, y aunque el dinero está colocado a una tasa menor, la ganancia en pesos de hoy es mayor.

El problema consiste en que la TIR solo mide la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en el proyecto y no toma en cuenta los dineros que son liberados, o los toma en cuenta suponiendo que los reinvierte a la misma tasa del proyecto; lo cual es un error.

Para solucionar esto, se debe tener en cuenta la reinversión y está nueva TIR se llama TIRM (modificado) o VTR (verdadera tasa de retorno)

TIRM: Elimina la inconsistencia de ordenamiento entre la TIR y el VPN, aunque hay algunas cosas que hay que usar TIRM ponderada.

Calculo TIRM

Se trasladan a valor presente todos los egresos usando la tasa de financiación que puede ser la misma del mercado de colocación y se traslada a valor final los ingresos usando la TIO (tasa del mejor proyecto que se sacrifica a fin de realizar otra actividad).

TIR+R (Tasa interna de retorno con reinversión)

Si los traslados de ingresos a valor futuro y de los egresos a valor presente; se hacen a la tasa del inversionista, la TIR se llama TIR+R.

Proyecto A:

-Solo hay un egreso y está en el punto inicial.

-Se trasladan a valor futuro todos los ingresos a la tasa de 2.5% mensual del inversionista.

Ingresos= = 50′(1 + 0.025)�� + 10′ ;(���.� �)==<��.� � @ Ingresos= 65′. 6 + 124Q. 83 = $190Q438.996

Usando la formula de interés compuesto

$190Q438.996 = 100Q000.000(1 + TIRM)� TIRMA = 0.0551 = 5.51%

$190’.438.996

$100’

54

Proyecto B: TIRMW = TIRW = 5.95%

TIRMX ≤ TIRMW , por lo tanto el proyecto B es mejor que el A y concuerda con el VPN.

Problema: Se tienen 2 opciones de inversión:

1. Proyecto A: Inversión de $ 100, ingresos de $ 16,28 durante 10 años. 2. Proyecto B: Inversión de $ 200, ingresos de $ 31,16 durante 10 años.

Si la TIO es de 5%. Determine el mejor proyecto

Proyecto A

• Método VPN

VPNA = - 100 + 16,28 ; (���,��)=><��,��(���,��)=>@ = 25,71

VPNB = - 200 + 31,16 ;(���,�)=><��,�(���,�)=>@ = 40,61

• Método TIR

VPNA = - 100 + 16,28 ;(��F)=><�F(��F)=> @ = 0, ia= 0,1= 10%

TIRB = - 200 + 31,16 ;(��F)=><�F(��F)=> @ = 0, ib= 0,09= 9%

No se puede determinar, por lo tanto se calcula la TIRM (TIR modificada)

• TIRMA - Se traslada a valor final la serie. 10 ingresos

F= 16,28 ;(���,��)=><��,�� @ = 204,77

$ 100

$ 16,28

1 2 9 10

$ 31,16

$ 200

MEJOR PROYECTO

55

• TIRMB

F= 31,16 ;(���,��)=><��,�� @ = 391,93

Proyecto A

204,77= 100(1 + )��

ia= 7,43%

Proyecto B

391,93= 200(1 + )��

Ib= 6,96%

TIRMA > TIRMB Sigue contradiciendo en VPN. Por lo tanto es necesario emplear un proyecto adicional.

Como la inversión del proyecto B es mayor que el , se adiciona una inversión inicial, de $ 100 al proyecto A y se evalúa a una tasa de 5%

F= 100(1 + 0,05)�� = 162,89

El proyecto A es la suma de los dos proyectos, el inicial más el que se adicionó

367,66= 200 (1 + i)��

i= 6,28 %

$ 200

$ 100 $ 391,93

$ 204,77

0 10

0 10

0 10

$ 100

$ 162,89

0 10

$ 200

$ 367,66

56

TIRMA= 6,28% < TIRMB = 6,96%, Coincide con el VPN

Cuando el VPN no coincide con la TIR es porque se cometió un error en la aplicación de la TIR. El verdadero ordenamiento es el del VPN.

Problema: Se requiere un proyecto con una inversión inicial de $ 50, al final del segundo periodo hay un ingreso de $ 120, al final del proyecto se dan más egresos de $ 80, en el resto de periodos los ingresos son iguales a los egresos.

VPN= 0 = -50 + � �

(��F)L − A�(��F)�

i= 11,22 %

i= 27,83%

Se obtienen 2 raíces porque hay 2 cambios de signo, por lo tanto se usa la TIRM para obtener una sola tasa suponiendo una tasa de 30% para la reinversión (TIO). Los ingresos en valor futuro son:

F= 120(1+0,3)3 = 263,64

Los egresos en valor presente a una tasa de financiación de un crédito de consumo normal de 25% son:

VP= -50 - A�

(���, �)� = −766,214

TIRM

263,64= 76,214 (1+i)5

i= 28,17%

$ 50 $ 80

$ 120

0 1 3 4 5

$ 76,214

$ 263,64

2

0 1 2 3 4 5

57

Esta tasa se debe comparar con la TIO

Si TIR > TIO, se acepta el proyecto

Si TIR = TIO, es indiferente

Si TIR < TIO, se rechaza el proyecto

INVERSION NETA O PURA

Cuando los saldos del proyecto SP (i*) con el valor i* (tasa múltiples, n raíces de polinomio) son menores o iguales que cero en toda la vida de la inversión, con Ao < 0. La empresa no tiene que exceder su rendimiento en ningún momento y por lo tanto no se endeuda para financiar el proyecto.

PRESTAMO PURO

Los valores del saldo del proyecto SP(i*) son positivos o cero en toda la vida del proyecto Ao > 0. Las inversiones simples siempre serán putas porque siempre hay financiación durante la vida del proyecto. Si una inversión compleja pasa la prueba de la neta, es inversión pura.

INVERSION MIXTA

Si una de las tasas del proyecto calculadas al resolver i* es positivo en algún momento de la vida del proyecto, la empresa actúa como préstamo SP(i*)n > 0 y no como inversionista SP(i*)n < 0 por consiguiente la inversión no es pura.

Problema: Determine cuál de los siguientes proyectos son inversiones puras.

n A B C D 0 -2000 -2000 -2000 -2000 1 -2000 3200 1000 7800 2 4000 -600 -1000 -10000 3 2980 -400 4000 4300

i* 33,50% 22% 30% 10%, 30%,

50%

Se calculan los saldos del proyecto con sus respectivas i*. Si hay varias tasas se usa el mayor valor positivo.

• Proyecto A

SP(33,5%)= -2000 SP(33,5%)1= -2000- 2000(1+0,335)= -4670

58

SP(33,5%)2= 4000- 4670(1+0,335) = -2234,45 SP(33,5%)3= 2980- 2234,45(1+0,335)= -3 Todas SP(i*) < 0, inversión pura.

• Proyecto B

SP(22%)0 = -2000 SP(22%)1 = 3200 – 2000(1+ 0,22)= 760 SP(22%)2 = -600 + 760 (1 + 0,22)= 3272 SP(22%)3 = -4000 + 327,2 (1+0,22)= -0,82 Hay 2 saldos positivos y 2 cambios de signo, inversión mixta.

• Proyecto C

SP(30%)0= -2000 SP(30%)1= 1000- 2000 (1+0,3)= -1600 SP(30%)2= -1000-1600(1,3)= -3080 SP(30%)3= 4000- 3080(1,3= = -4 SP(i*)< 0, inversion pura

• Proyecto D

SP(50%)0= -2000 SP(50%)1= 7800 – 2000(1,5)= 4800 SP(50%)2= - 1000+ 4800(1,5)= -2800 SP(50%)3= 4300- 2800(1,5)= 100 El periodo 1 SP(i*) > 0, inversión mixta

Cuando se calcula el saldo del proyecto con i* en inversiones mixtas, se supone el efectivo tomado en préstamo (liberado). Ganara la misma tasa de interés, por medio de una inversión externa, que el dinero que permanece invertido internamente, o el dinero tomado en préstamo puede reinvertirse de manera que genere una tasa de rendimiento igual que la que recibe el proyecto.

• El dinero se obtiene en préstamo. Cuando SP(i*) > 0 y el monto del préstamo es el saldo del proyecto.

• Cuando SP(i*) < 0 , no se obtiene dinero prestado aunque el flujo de efectivo sea positivo, no se endeuda.

• Se requieren 2 tasas de interés, una para la inversión interna y otra para la externa (financiación).

59

TIR DE UNA INVERSION MIXTA

• Determinación de la tasa de rendimiento TIR de la porción de capital que permanece invertida internamente.

• El saldo neto positivo debe devolverse al proyecto el cual se deposita en el fondo de inversión de la empresa hasta ser requerido para el proyecto, la tasa de este fondo es la que puede invertirse fuera del proyecto.

• La TMAR será una tasa de interés externa, la TIO la interna.

Procedimiento:

1. Identificar la TMAR o tasa externa 2. Calcular SP(i, TMAR)n o SPn de acuerdo a:

SP(i, TMAR)0 = Ao SP(i, TMAR)1 =

SP(i, TMAR)N=

3. Calcular i resolviendo SP(I, TMAR)n= 0

Problema: Un contratista se gana una licitación por $8000 millones para la construcción de una vía. El gobierno le da un anticipo del 40% a la firma del contrato y se le pagan actos parciales mensuales que sumadas al final del primer año $4200 y al final del año 2 se liquida el saldo por $ 1100. Los costos del contrato y el flujo se presentan a continuación.

Año Entrada Salida Flujo efectivo

neto 0 3200 4200 -1000 1 4200 2100 2300 2 1100 2320 -1320

a. Calcular los valores múltiples i* del proyecto. b. Calcular la TIR del proyecto usando TMAR= 15% c. Determine si el proyecto se acepta o se rechaza.

a. VPN= 0

-1000 + ���(��F)− �� �(��F)L = 0

SP0 (1+i) + A1 Si SP0 < 0

SP0 (1+TMAR)+ A1 Si SP0 >0

SPn-1 (1+i) + An Si SPn-1 < 0

SPn-1 (1+TMAR)+ An Si SPn-1 >0

60

-1000 + 2300 X – 1320 X2 = 0

���F = 0,833 i= 20%

���F = 0,9 i= 11,11%

Se presenta un flujo mixto se requiere hallar la TIR del proyecto.

b. Si n=0, hay una inversión neta de la empresa y la expresión de saldo del proyecto es SP(i, 15%)= - $ 1000

La inversión permanece invertida a una tasa i hasta el siguiente periodo

SP(i, 15%)= -1000(1+i) + 2300

SP(i, 15%)= 1300 – 1000i = 1000(1,3 – i)

No se sabe si SP(i, 15%) es positivo o negativo, requisito para determinar la inversión neta y un valor único de i* se consideran 2 situaciones.

1. i < 1,30 SP(i, 15%) > 0

El efectivo obtenido en préstamo, se devolvería al fondo de inversión de la empresa, donde crece con la TMAR hasta que se requiera de nuevo en el proyecto.

Al final del año 2 el efectivo en el fondo crece a una tasa 15% y debe ser igual a la inversión en el proyecto- 1320.

El saldo al final es:

SP(i, 15%)= 1000(1,3-i)(1+0,15)- 1320= 0 SP(i, 15%)= (1300- 1300i)(1+01,5) – 1320= 0 175- 115i=0 TIR= 15,22%

2. i> 1,30 SP(i, 15%) < 0

La empresa sigue en modo de inversión; el saldo al final del año 1 que permanece invertido crece a una tasa i hasta el siguiente periodo.

El saldo al final del año será:

SP(i, 15%)= 1000(1,3 – i) (1+i) – 1320= 0

-20+ 300i – 1000 i2 = 0

TIR1 = 0,1 < 1,3

TIR2= 0,2< 1,3

61

El caso 1 es la verdadera TIR

c. De acuerdo a la TIR calculada TIR = 15,22% > TMAR= 15%, por lo tanto el proyecto apenas es aceptable. Usando VPN= 0,0018 > 0.

RELACIÓN COSTO BENEFICIO- B/C Consiste en poner en valor presente los beneficios o utilidades netas derivadas entre los costos del proyecto. La tasa depende de quién ejecute el proyecto. Proyecto privado: Tasa del inversionista Proyecto público: Se usa la tasa de interés social (muy baja).

Relación B/C= [\]^_`abcdc[\]edcfdc

B/C puede tomar 2 valores B/C < 1 B/C = 1 B/C > 1

• B/C < 1. Los ingresos son menores que los costos, el proyecto no es viable. • B/C = 1. En VPN los ingresos son iguales a los egresos, se gana la tasa del

inversionista, el proyecto es indiferente. • B/C > 1. En VPN los ingresos son mayores que los egresos, el proyecto es viable

El Banco Mundial, BID, FMI, etc. Evalúan los proyectos en B/C junto con el VPN B: Beneficio neto, beneficios menos perdidas. C: Recursos invertidos por el gobierno En proyectos estatales los beneficios los recibe la sociedad. En proyectos privados, el dueño recibe los beneficios, asume las perdidas y hace los gastos a cuotas. Problema: Se piensa construir una nueva variante de 10 km A y B cuyo costo por kilometro es de $ 1000, generara los siguientes beneficios: reducción en tiempo de viaje, consumo de combustible, desgaste de vehículo y se estima un ahorro de $ 3000 al año. Los comercios en la vía antigua, debido a la disminución del flujo vehicular tienen perjuicios de $ 1000 millones al año aproximadamente. Usando el método B/C, determinar:

• Determinar la viabilidad del proyecto con una tasa de 30% • Determinar la viabilidad del proyecto con una tasa de 15%

62

El costo anual uniforme equivalente (CAVE), consiste en reducir todos los ingresos y egresos a una serie uniforme de pagas, para comparar costos de varias alternativas. CAVE= 3000- 1000= $ 2000/año CAVE del costo del proyecto se puede calcular asumiendo VPN= $ 10000 de una serie infinita

El VPN de una anualidad infinita es:

VP= gh, x= VP(i)

X= 10.000(0,3)= 3000

B/C= ������� = 0,66 < 1 El proyecto no es viable

Todo proyecto debe ser evaluado al menos por dos índices usando el VPN de una anualidad infinita.

VPN= -10.000 + ����,� =−3333,33millones < 0.

RELACION B/C Y VPN

Se puede presentar una inconsistencia cuando se presentan ambas alternativas. El error se presenta en el cálculo incorrecto de los beneficios de la relación B/C, se debe analizar el exceso de inversión.

Problema: Un inversionista tiene dos opciones: en la primera invierte $200 y retorna $90, al final de cada año durante 4 años. La segunda invierte $300 y recibe $650 al final de los 4 años. Si la tasa es 15% EA, determine la mejor alternativa.

0 1 2 3 ∞

10 000

0 1 2 3 4

90 90 90 90

200

300

650

B/C = �� �� ; (���,��)

�<��,��(���,��)�@ = 1,28

650= 300(1+0,15)4

B/C = ������ (1 + 0,15)n = 1,24

63

En conclusión la mejor opción es la 1

De acuerdo al VPN1 = -200 + 90 [ ]= 56,953

VPN2= -300 + 650(1+0,15)4 = 71,64

Usando el método incremental en la relación B/C

Año A B B-A 0 -200 -300 -100 1 90 -90 2 90 -90 3 90 -90 4 90 650 560

Aplicando B/C al exceso de inversión

B/C= ���(���,��)?�

������o (=p>,=�)M?=>,=�(=p>,=�)Mq= 1,048 > 0

Se puede aceptar el exceso de la inversión, confirmando el VPN de la segunda opción como la mejor inversión.

PUNTO DE EQUILIBRIO (o umbral de rentabilidad)

Los ingresos de las ventas del negocio son iguales a los costos de operación y de financiación.

Número de unidades físicas producidas. El punto de equilibrio se basa en los siguientes supuestos:

• Los costos de operación y financiación son una función del volumen de producción o ventas.

• El volumen de producción es igual al volumen de ventas • Los costos fijos de operación son iguales para todos los volúmenes de producción. • Costo unitario variable es igual para todos los volúmenes de producción. • Precio de venta unitario es igual para todos los volúmenes de producción a lo largo

del tiempo

100

90 90 90

560

64

PUNTO DE EQUILIBRIO EN UNIDADES FISICAS VENDIDAS

Ingresos totales (I)= precio unitario de venta (p) por el volumen de venta (x)

Costos totales(C)= Costo unitario variable (v) por volumen de ventas (x) + costos fijos (F)

I= p x

C= v x + F

El punto de equilibrio I=C

P x= v X + F, x=s

t�u

• Entre mayor costo fijo, mayor x • X altos significa mayor nivel de producción y ventas • Mayor diferencia en el denominador, x será más bajo

PUNTO DE EQUILIBRIO EN TERMINOS DE INGRESOS POR CONCEPTO DE VENTAS

I= p; vt<u@

TASA DE UTILIZACION DE LA CAPACIDAD EN EL PUNTO DE EQUILIBRIO

X: unidades vendidas en el punto de equilibrio

Q: unidades físicas vendidas a toda capacidad de producción

La tasa de utilización de la capacidad en el Punto de Equilibrio es:

NV= wx

Reemplazando x=s

t�u

NV= v

xt<xu = vyz<[z

IQ = Ingresos por ventas

VQ = Costos variables a toda capacidad de producción

Gráficamente se puede obtener el PE= x de la siguiente manera:

65

Costos fijos F

Punto de equilibrio

en unidades físicas

vendidas

Utilidad

I= p x (ingresos por ventas)

Perdida

Unidades producidas

Punto de

equilibrio en

ingresos por

ventas

Costos de operación y

financiación C= v x + F