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TABLA DE CONTENIDO

INGENIERA ECONMICA ............................................................................................................................... 2

TRANSACCIONES QUE IMPLICAN INTERS ..................................................................................................... 2

POSTULADO .................................................................................................................................................... 2

INTERES SIMPLE ............................................................................................................................................. 2

FLUJO DE CAJA................................................................................................................................................ 3

INTERS COMPUESTO .................................................................................................................................... 4

TASA EFECTIVA: i ............................................................................................................................................ 5

TASA NOMINAL: j ........................................................................................................................................... 5

RELACIN ENTRE TASA EFECTIVA ANUAL Y NOMINAL .................................................................................. 5

Equivalencia de Tasas: .................................................................................................................................... 7

ECUACIN EQUIVALENCIA DE TASAS ............................................................................................................. 8

RELACIN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA Y UNA VENCIDA .......................................................................... 8

GRFICOS DE EQUIVALENCIA DE TASAS ........................................................................................................ 9

ECUACIONES DE VALOR ...............................................................................................................................11

TALLER DE PROYECTO ..................................................................................................................................21

DEPSITO A TERMINO FIJO (DTF) ................................................................................................................11

INFLACION: ...................................................................................................................................................12

DEVALUACION: .............................................................................................................................................12

TASAS COMBINADAS: ...................................................................................................................................14

TASA REAL O DEFLACTADA...........................................................................................................................14

TASAS PREFERENCIALES ...............................................................................................................................15

TIPOS DE FLUJO EFECTIVO ...........................................................................................................................22

ANUALIDADES (SERIE UNIFORME) ...............................................................................................................23

VALOR FUTURO ............................................................................................................................................23

AMORTIZACIN ............................................................................................................................................26

CAPITALIZACION ...........................................................................................................................................27

GRADIENTES .................................................................................................................................................28

GRADIENTE GEOMETRICO O LINEAL ............................................................................................................28

FACTOR DE SERIE DE PAGOS IGUALES O ANUALIDADES .............................................................................30

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INGENIERA ECONMICA

INTERESES (I) El dinero es un bien que se compra y vende y que cuesta dinero, el inters es el canon de arrendamiento.

Es la retribucin econmica por la desvalorizacin de la moneda

TRANSACCIONES QUE IMPLICAN INTERS

CAPITAL: (P) Cantidad de dinero que se invierte, conocido como valor actual, valor inicial, valor presente, se designa por la letra P.

TASA DE INTERS (i) Porcentaje que se paga por el alquiler del dinero expresada como un porcentaje por periodo.

PERIODO DE INTERES (n) Determina la frecuencia del clculo del inters. Duracin de inversin. En inters simple la unidad de tiempo es ao.

POSTULADO El inters depende de 3 variables:

Capital: Entre mayor sea mayor es el inters Tasa: Depende del mercado, cuando hay escases de dinero o los precios suben, la

tasa aumenta. Tiempo: A mayor tiempo, mayor inters

INTERES SIMPLE Se genera para el capital en cada perodo de inters. El inters en cada periodo de no produce inters adicional en periodos restantes. I = iPn F = P + I = P + ipn I = P(1 + in)

P= Depsito o capital I= Tasa de inters n= Periodos F= Valor futuro al final del periodo. I= Intereses devengado en periodo (n)

Para calcular I se puede suponer que los meses son de 30 das o usar los das exactos.

Problema: Si se realiza un prstamo de $10.000 en marzo a una tasa i=30% nominal anual, calcular el inters mensual

1) Inters bancario: Se divide en tiempo de das reales entre 360 das.

3

I = 10.000x0,3x 31360 = 258,33 2) Tiempo aproximado: Inters comercial, se basa en meses de 30 das y ao de 360 das. I = 10.000x0,3x 30360 = 250 3) Inters Racional: Produce resultado exacto. I = 10.000x0,3x 31365 = 254,79 FLUJO DE CAJA La lnea horizontal representa los periodos de tiempo. Las flechas hacia arriba son los ingresos Las flechas hacia abajo son los egresos

Problema: Calcular el valor futuro F de $ 50.000, desde el 30 de junio al 30 de octubre a una tasa de 32% anual.

F=?

30/06 123 das

30/10

P=30.000

F = 30.000 1 + 0,32x 123365 P = $33,235,06

Problema: Cual es el valor presente P a depositar hoy, en una cuenta a un i=27% anual, para que en 90 das pueda retirar $150.000? F= $150.000

90 das

P=?

P = ( )= !"."""#",$% &'()*+ = $140.637,04

4

Problema: Cual es la tasa de inters i anual; para que P=$65.000 se conviertan en F=$75.000 en 6 meses? I = F PPn = 75.000 65.00065.000x 612 = 0,3077 = 30,77%

INTERS COMPUESTO Prcticamente todas las operaciones financieras se realizan con inters compuesto. Cada vez que se liquidan los intereses al final de un periodo, se acumular al capital para formar un nuevo monto, formado por el capital original mas el inters acumulado, y sobre este monto se vuelve a liquidar. Se puede representar de la siguiente forma

PERIODO CAPITAL INTERES VALOR FUTURO 1 P PI F1= P+Pi = (1+i)P 2 P(1+I) P(1+i)i F2 = P(1+i) + P(1+i).i = P(1+i)2 3 P(1+I)2 P(1+i)2 i F3 = P(1+i)2+P(1+i)2.i=P(1+i)3 4 P(1+I)3 P(1+i)3 i F4=P(1+i)3+P(1+i)3.i =P(1+i)4 n P(1+I)n-1 P(1+i)n-1.i Fn=P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1.i = P(1+i)n

La formula de inters compuesta es: La Equivalencia entre una cantidad P actual, y una cantidad futura F para una tasa de inters i, en un nmero de periodo de inters n F = P(1 + i)

F = Valor futuro o final P = Valor presente o inicial i = Tasa de periodo n = Numero de periodo Nota: el periodo n y la tasa i deben estar en las mismas unidades de tiempo. La tasa siempre debe entrar como efectiva en la ecuacin.

Problema: Se depositan $5.000 en una cuenta de ahorros que paga inters al 10% compuesto anual, no se retira el inters al final de cada periodo (ao), se acumula, Cul es el valor acumulado al final del ao 5?

F = 8052,55 F = P(1 + i) F = 15.000(1 + 0,1)! = $8.052,55

P = 5.000

El inters total I = 3052,55

5

PERIODO CANTIDAD AL INICIAR EL PERIODO INTERS EN EL

PERIODO CANTIDAD AL FINALIZAR

EL PERIODO 1 $ 5,000.00 $ 500.00 $ 5,500.00 2 $ 5,500.00 $ 550.00 $ 6,050.00 3 $ 6,050.00 $ 605.00 $ 6,655.00 4 $ 6,655.00 $ 665.50 $ 7,320.50 5 $ 7,320.50 $ 732.05 $ 8,052.55

TASA EFECTIVA: i Es la tasa del periodo, se representa por i, puede ser mensual (EM), trimestral (ET), semestral (ES), anual (EA), etc. Para la tasa anual se puede omitir el nombre de efectivo, ya que toda tasa sin nombre se asume efectiva anual. En Colombia la superintendencia Bancaria solo reconoce la tasa efectiva como anual, y es la que debe usarse como base de comparacin entre tasas.

TASA NOMINAL: j Es la tasa del ao representada por j, se debe indicar cuantas liquidaciones hay en el ao, por ejemplo:

Si la tasa es j = 10% ET. El ao tiene 4 trimestres, para el ao se cobrar 40% EA, pero los intereses, se liquidaran trimestralmente.

1ra Forma. Para j = 40% NT (nominal trimestral) 2da Forma. Para j = 40% NTV (nominal trimestre vencido) se usa en Colombia. En todo el ao se paga el 40%, pero los intereses por trimestre vencido.

RELACIN ENTRE TASA EFECTIVA ANUAL Y NOMINAL Tasa nominal = tasa efectiva * numero de periodos en ao. i: Tasa efectiva m: Nmero de periodos en un ao j = i m i = 12

Problema: Calcular j e i a) Dado el 3% EM, m = 12 b) Dado el 5% EB , m = 6 c) Dado 20% NS, m = 2

J = 3x12 = 36%NMV j = 5x6 = 30%NBV i = 202 = 10ES

6

Problema: Se invierte $ 100.000 en DTF (Depsito a termino fijo) a 6 meses, en un banco con j = 27.6% NMV calcular el monto al vencimiento de DTF. i = 27,512 = 2,3%EM n= 6 meses (numero de periodos) F=?

0

6 P=100.000

F = 1000.000(1 + 0,023): = $ 114.618, 26

Problema: Se debe pagar en 24 meses $ 4.000.000 Cul es el valor del depsito hoy (P) en una cuenta que pague 8% ET para poder retirar el monto?

P P=? 8 F=$4.000.000

n= 24/3 = 8 periodos de 3 meses en 24 meses

F=$4.000.000 P = F(1 + j) = 4;000.000(1 + 0,08)< = $2;161.075, 54

Problema: A qu tasa efectiva mensual EM se triplica un capital en 5 aos?

F=3 P= 1 m=12 i=? F=3 i= ? 0 60 N= 5x12= 60 P=1 F = P(1 + i) FP = (1 + i) =FP> = 1 + Ii = =FP 1

Problema: En cunto tiempo se duplica un capital al 24% NMV? F=2 i= i/m = 24/12 = 2% EM O n P=1

i= 8%ET

1 2

7

F = P(1 + i) log F = n log P(1 + i) n = log Flog P(1 + i) = log 2log 1(1 + 0,02) = 35BCDCD

Equivalencia de Tasas: Se utiliza para comparar alternativas que requiere una base temporal comn. Hay que llevar los flujos de efectivo a una base comn para comparar su valor. Tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad, producen el mismo monto al final de un ao.

Por ejemplo:

i= 10% ET

n = 123 = 4 trimestresao

Se quiere hacer liquidaciones semestrales con la tasa i= 10% ET 1464.1 1000

F = 1000(1 + i)$,igualando1000(1 + i)$ El 10% efectivo trimestral (1 + 0,1)M = (1 + N)2 Es igual al 21% efectivo Semestral i= 21% ES

La equivalencia de tasas produce el mismo monto sin importar el capital y el tiempo. Para P= 40.000, i= 10% ET, n = 3 aos F = 40000(1 + 0.1)$ = $125537,14

10% 10%

10%

10%

i % i %

1100

1210

1331

F= 1464.1

0 1 2 3 4

P= 1000

8

O = 40000(1 + 0.21): = $125.537,14

ECUACIN EQUIVALENCIA DE TASAS

(1 + N1)PQ = (1 + N2)PR

i1: tasa conocida o inicial m1: periodo inicial que hay en un ao i2: nueva tasa a calcular m2: periodo de la nueva tasa

Problema: Calcular la tasa efectiva trimestral si la tasa efectiva bimestral i= 8% EB

(1 + 0.08): = (1 + N)M i= 12.24%ET S = $$ = 6en un ao hay 6 bimestral S = $V = 4 en un ao hay 4 trimestres Problema: Hallar una tasa nominal semestral equivalente si j= 30% NM

i = j/m = V"$ = 2.5 %EM

La tasa efectiva 2.5 % mensual se convierte en efectiva semestral

(1 + 0,025)$ = (1 + N)$ i= 16% ES Luego se convierte en nominal semestral

i = 16%x2 = 32%NS Problema: Hallar una tasa nominal trimestral equivalente si i = 3% EM

(1 + 0,03)$ = (1 + N)M = i = 9,27% ET Nominal Trimestral es j = 9.27x4= 37,1 % NT

RELACIN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA Y UNA VENCIDA La tasa de inters es la relacin entre el inters ganado sobre el capital invertido N = IP

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- Tasa anticipada (ia): es la que genera el inters anticipado - Descuento simple: cobrar intereses por anticipado sobre el valor final

D = F.d.n D = cantidad descontada d = Inters descontado

- Valor liquido (VL): valor de transaccin al valor nominal menos el descuento VL = F D VL = F Fdn = F(1 d. n) al final de un periodo n= 1, P es el valor liquido VL y el inters es I = F.d reemplazando en *

N = FdF(1 d) = d(1 d)

Como la tasa anticipada es la misma de descuento, conociendo una tasa anticipada se puede hallar la tasa vencida N = N[1 N[ Despejando ia ia = i1 + iLas tasas nominales anticipadas

ia

ja = iaxm

ia = 1\]

GRFICOS DE EQUIVALENCIA DE TASAS Para un banco es mejor la tasa anticipada porque recoge plata ms rpido que a una tasa vencida.

i = tasa ordinaria o vencida ia = tasa efectiva anticipada j = tasa nominal vencida ja = tasa nominal anticipada

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Problema: hallar las siguiente tasa si: j = 30%NM 1) efectivo anual EA i = j/m = 30/12 = 2,5%EM(1 + 0,025)$ = (1 + N) i = 34,49% EA 2) nominal semestral j = 30% NM i = j/m = 30/12 = 2,5%EM (1 + 0,025)$ = (1 + N)$ i = 16%ESj = 16x2 = 32%NS

3) Tasa efectiva bimestral j = 30% NM N = 1]= V"$ = 2,5% EM (1 + 0,025)12 = (1 + N)6 i = 5,06% EB

4) tasa nominal semestre anticipado j = 30% NM N = 1]= V"$ = 2,5% EM (1 + 0.025)12 = (1 + N)2 i = 16% ES i\ = = 13,79ESA ja = iaxm = 13,79x2 = 27,59 NSA

Problema: dado el 20%nominal trimestre anticipado calcular la tasa efectivo mensual anticipada equivalente

ja = 20% NTA i\ = 1_] = ",$"M = 0.05 = 5%TA i = i\1 i\ = 0,051 0,05 = 5,26%ET

Problema: Hallar tasa efectiva anual, dado 30% nominal anual en periodos de 250 das tasa nominal vencida. N 250 dv

j = N250 dv i = jm

En un ao hay V:!$!" = 1,46 periodos

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i = ",V",M: = 0,2055 = 20,55% periodo de 250 das (1 + 0,2055)()*R*' = (1 + N)1 i = 31,37%EA

Problema: Calcular la tasa nominal vencida con periodo de 100 das dado 20% en periodo de 250 das anticipada.

ia = 20% i = abcab = ",$c",$ = 0,25 = 25% efectivo en 250 das (1 + 0.25)()*R*' = (1 + N)()*Q'' , i = 9,34% j = i m = 9.34 x V:!"" = N 34,08% dv

DEPSITO A TERMINO FIJO (DTF) Tasa de captacin: tasa de inters para incentivar a los inversionistas a invertir sus ahorros. Tasa pasiva: para el intermediario financiero es un pasivo por la cual debe pagar el inversionista

Tasa de colocacin: tasa mayor a la que se prestan los dineros. Tasa activa: para la entidad financiera es una cuenta por cobrar.

Margen de intermediacin = tasa activa tasa pasiva.

Ganancia en DTF = margen de intermediacin impuestos.

EXISTEN 4 TASAS DE CAPTACIN 1. CDT: Tasa promedio de captacin de los depsitos al mismo plazo.

2. DTF (Depsito a Trmino Fijo) en Colombia: Promedio ponderado semanal de la tasa de captacin con certificados de depsitos en 90 das pagando intereses por anticipado de todo el sistema: bancos, corporaciones financieras, compaas de financiamiento comercial, corporaciones de ahorro y vivienda. Tienen un atraso semanal.

3. TCC: Tasa promedio de captacin de los depsitos a 90 das en las corporaciones financieras privadas a travs del CDT a 90 das, es un subconjunto DTF.

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4. TBS: Indicador de la superintendencia bancaria, tasa pasiva para crear indicador de rendimiento financiero, en mercado primario calculada de 2 a 14 das hasta plazos superiores a un ao.

CDAT: Depsito a trmino fijo menor a un ao o una tasa menor puede ser de 2 14 das o de 15 30 das.

Las 3 primeras tasas son producidas por el Banco de la Repblica con base en la informacin de la superbancaria, la 4ta TBS la calcula la superbancaria.

Problema: un contratista invierte $1.000 en un DTF a 12 meses a una tasa 30 % NM, hallar el valor final despus de impuestos (5 %) sobre las utilidades.

N = V"$ = 2.5%EMd O = 1000(1 + 0.025)$ O = $1344.89 1000 e = O f = 1344.89 1000 = 344.89 - Rte. Fuente 5 % de intereses = 0.05 * 344.89 = $17.24.

- Monto despus de impuestos = $1344.89 $17.24 = 1327.65

- Rentabilidad = 1327.65 = 1000(1 + N) N = 32.76%EA Para un DTF a 2.5 % EM la rentabilidad es 32.76 % EA despus de impuestos.

INFLACION: Aumento general de precios debido a la variacin de fuerzas del mercado de la oferta y demanda. Se mide con los productos de la canasta familiar IPC (ndice de precios al consumidor). DEVALUACION: Beneficia a los exportadores porque reciben ms pesos por la venta de los productos en el exterior. Es la prdida de valor de una moneda respecto a otra, por ejemplo respecto al dlar, el peso en julio estaba en $ 1770 y en agosto $ 1810.

0

O =? 12

N = 2.5%

13

Devaluacin=

14

20;790.000 = 18000.000(1 + N)1 N = 15.5%EA

La rentabilidad por lo tanto es l suma del inters que se gana en USA por el monto de la inversin ms el inters de la devaluacin. Si la moneda se revala se perdera plata.

TASAS COMBINADAS: Se usa para reemplazar 2 o ms tasa ii por una sola tasa

- Al final de un periodo a la tasa N el monto es (1 + N) - Al final de un periodo a la tasaN$ es : (1 + N) (1 + N$) - El monto en el mismo periodo a tasa N es: (1 + N) -

(1 + N)= (1 + N) (1 + N$) 1 + N = 1 + N$ + N + N N$

N = N$ + N + N N$

Nota: Las tasas nominales se suman algebraicamente, las efectivas se combinan

Problema: Resolver el problema anterior usando tasas combinadas

N = 5%N$ = 10% N = 0.05 + 0.10 + 0.05 0.10 = 0.155 = 15.5%

TASA REAL O DEFLACTADA. En un proyecto de inversin, la inflacin afecta la rentabilidad real, la cual debe ser mayor a la inflacin. Donde f es la inflacin, Nl es la rentabilidad real N = m + Nl + m Nl = m + Nl(1 + m) Nl = N mN + m

Problema: Calcular la rentabilidad real Nl del problema anterior si la inflacin f= 4.5% (tasa efectiva anual) Nl = 0.155 0.0450.155 + 0.045 = 0.55 = 55%

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TASAS PREFERENCIALES Algunos crditos tienen una tasa principal ms unos puntos adicionales (SPREAD) si la inflacin f = 5.5% y el SPREAD = 8% la tasa del crdito es: N = 0.055 + 0.08 + 0.055 0.08 = 0.1394 = 13.94%

Si el SPREAD se le adiciona a una tasa nominal entonces se suma a la tasa principal

Problema: A un empleado se le otorga un prstamo para vivienda a la DTF=12% NTA + 8.5 puntos, la tasa del crdito efectiva anula es: n[ = 0.12 + 0.085 = 0.205 = 20.5%NTA N[ = n[B = 20.54 = 5.125%ETA N = N[1 N[ = 0.051251 0.05125 = 5.40%ETV(Trimestralvencido) (1 + 0.0540)M = (1 + N) N = 23.42%EA

Problema: Un contratista tiene un crdito hipotecario al IPC = 5.5% + 6.5 puntos cul es el SPREAD si cambia a otro plan DTF = 8% NTA +x?

IPC + 6.5 = DTF + x

IPC: efectivo anual

X: nominal trimestral anticipada

Para sumar 2 tasas efectivas se usan tasas combinadas

IPC + 6.5 = 0.055 + 0.065 + 0.055x 0.065 = 0.1236 = 12.36% EA

Como las tasas estn en diferentes unidades de tiempo

Se convierten a TA:

(1 + 0.1232) = (1 + N)MN = 2.96%TV N[ = N1 + N = 0.02961 + 0.0296 = 2.87%TA

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n[ = 2.87 4 = 11.48%NTA Dos tasas nominales se suman algebraicamente

DTF + x = 0.08 + x (NTA) = 0.1148

X = 0.1148 - 0.08 = 0.0348 = 3.48% TA

Al cambiarse de plan la nueva tasa es DTF +3.48%TA

Problema: Una empresa de la construccin tiene un prstamo con el banco a una tasa TCC +4 puntos cul es el SPREAD en puntos bsicos para que financieramente sea independiente el prstamo en el banco o en el mercado de USA?

TCC = 9.5%NTA;Nqrs =10% EA; PRIME RATE = 8%EA (Devaluacin)

La ecuacin de equilibrio es:

Nqrs + (PR + X) = TCC + 4 -TCC: trimestre anticipado (Las tasas nominales se suman algebraicamente) TCC + 4 = 9.5 + 4 =13.5% NTA

N[ = wb2 = V.!M = 3.375%ETA N = 0.033751 0.03375 = 3.49%TV (1 + 0.0349)M = (1 + N) N = 14.72%EA

-Prime Rate: Efectivo anual (las tasas efectivas se suman usando tasas combinadas) N = Nqrs + (PR + X) + Nqrs (PR + X) N = 0.10 + (0.08 + X) + 0.10 (0.08 + X) = 0.1472 0.10 + 0.08 + X + 0.008 + 0.10X = 0.1472 1.1X = 0.0408 X = 0.0371 = 3.71% TCC + 4 puntos es lo mismo que cobrar la devaluacin ms Prime Rate - 3.71 puntos.

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ECUACIONES DE VALOR Es comn cambiar varias obligaciones que se deben en un banco, por una sola en el mismo banco que otro banco que compre la cartera, para esto se hace una igualdad a una fecha determinada

t t: fecha focal de igualdad de ingresos y egresos

ingresos = egresos ( en la fecha t t ) deudas = pagos ( en la fecha t t ) Ecuacin contable

Activos = Pasivos + patrimonio (fecha t t ) VPN: valor presente neto en la sumatoria de ingresos en pesos de hoy, menos de la sumatoria de egresos en pesos de hoy (en Excel VNA).

Ingresos: flechas hacia arriba

Egresos: flechas hacia abajo

Problema: Se tiene una deuda de $500.000 para cancelar en 2 meses, $800.000 en 4 meses y $1.500.000 en 6 meses. Debido a problemas de liquidez el deudor solicita una restructuracin y nuevo plan de pagos: $200.000 hoy, $1.000.000 en 8 meses y el saldo en 12 meses. Si la tasa es 2.5%EM, calcular el saldo al final del mes 12 Xp.

I= 2.5 %

Se grafica poniendo obligaciones inciales hacia arriba y el nuevo plan de pagos hacia abajo en una sola grafica la fecha focal se pone en el mes 6.

0

4 2

8

10

800.000 500.000 1.500.000

200.000

6

1.200.00

Xp=?

1 3 5 7 9 11

12 | | | | | | |

18

1) Deuda del mes 2 a pagar en el mes 6 F = 500.000(1 + 0.025)M = $551.906,45

2) Deuda mes 4 F = 800.000(1 + 0.025)$ = 840.500

3) Deuda mes 6 $1.500.000 no se modifica

4) Nuevo plan de pago mes 0 FFF = 200.000(1 + 0.025):

5) Nuevo plan de pago mes 8 PFF = y$""."""(",$!)

6) Nuevo plan de pago mes 12 PFF = {|(","$!)}

Ecuacin de valor queda de la siguiente manera

800.000(1 + 0.025)$ + 500.000(1 + 0.025)M + 1.500.000= 1.200.000(1 + 0,025)$ + 200.000(1 + 0,025): + ~(1 + 0,025): 2.892.406,4 = 1.142.177,27 + 231.938,68 + 0,8623XpXp = 1;518.290,490,8623 = $1;760.751,01

Problema: Un contratista de la construccin tiene una deuda de $2000.000 desde hace 2 meses de un crdito rotativo para pagar en 3 meses, y otra deuda de $5000.000 con el banco hace 3 meses para pagar en 12 meses, con intereses 28%NTV.Se hace un plan de pago nuevo para pagar en 3 cuotas iguales: hoy, en el mes 4 y en el mes 8 con intereses 30%NMV. Hallar el valor de los pagos en el mes 6.

- Se liquida el valor en la fecha de vencimiento

FFF 2.000.000 ( 1+0,28)1 = $ 2140.000

j= 28% NTV i= $

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- La fecha focal se establece en el mes 6

i = jm = 3012 = 2,5%EM 2140.000(1 + 0,025)! + 6.125.215 = X(1 + 0,025): + X(1 + 0,025)$ + (","$!)R

$8265.215 = 3,162X

X = $2613.810,2 Problema: Un contratista tiene que pagar $10000.000 en 24 meses, $20.000.000 en 36 meses y $40000.000. En 48 meses. Hallar la fecha para hacer un solo pago de $70000.000 a una tasa del 24%NMV.

X=? FF: mes 48

0 24 36 48

n= 6

10(1 + 0,02)$M + 20(1 + 0,02)$ + 40 = 70(1 + 0,02)M

20

j = 24%NM i = 24%NM12 = 2EMV

Problema: Un contratista quiere pagar $50.000 en 3 meses, $80.000 en 8 meses por prstamos en un banco. Como no le pagaron el acta de obra en la entidad contratante, ofrece pagar 2 cuotas de $50.000 en mes 6 y $100.000 en mes 12 Cul sera la tasa nominal mensual?

50.000 80.000

50.000 100.000

F = P(1 + i) 50.000(1 + N)V + 80.000(1 + N)< = 50.000(1 + N): + 100.000(1 + N)$ I= 0,03754 = 3,75 NM

FF= 0 3 6 8 12

21

TALLER DE PROYECTOS

1. se invierten 35.000 en un DTF a 3 aos al 28% NTV determinar el monto al vencimiento.

2. Qu capital se debe invertir hoy, para retirar 1.000.000 en 18 meses suponiendo una tasa 28% NSV?

3. A que tasa efectiva anual se duplica un capital en 2.5 aos?

4. A que tasa nominal trimestral se triplica un capital en 4 aos?

5. En cuanto tiempo se triplica un capital al 8% peridico semestral, sabiendo que el inters solo se pago pro trimestre completos?

6. Hallar una tasa efectiva trimestral equivalente al 7% efectivo trimestre anticipado.

7. Halla una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 3% efectivo mensual.

8. Halla una tasa nominal semestre vencido equivalente al 24% nomina trimestre vencido.

9. Dado el 27% NSV hallar una tasa nominal mes anticipado equivalente.

10. Dado el 40%N185dv hallar una tasa efectiva anual equivalente, base 365 das.

11. Dado el 32%EA hallar: la tasa nominal 158dv y la tasa nominal 205 das anticipados.

12. Un contratista tiene dos deudas con un banco, la primera es de $100.000 con i= 30%NM de hace 6 meses y se vence hoy. La segunda por%200.000 al 32%NM de hace 2 meses y vence en 4 meses. Debido a problemas de liquidez, propone refinanciar la deuda llegando al siguiente acuerdo: hacer 3 pagos iguales con vencimiento al mes 6, 9 y 12 con i= 33%NM Cul es el valor de cada pago?

13 Un contratista se mete en una deuda por %50.000 con intereses al 30%NT y vence en 6 meses y arrastra otra deuda de $80.000 hace 3 meses con i=32%NS y vence en 1 ao en qu fecha deber pagar $170.000 para cancelar las deudas suponiendo un rendimiento de 2.5% mensual?

22

TIPOS DE FLUJO EFECTIVO Se clasifican en 5 tipos.

1. PAGO NICO: Equivalencia entre una cantidad presente P y futura F

2. SERIE UNIFORME (A): Serie de flujos iguales a intervalos regulares iguales o uniformes. Representan los flujos de efectivo de un contrato comn de prstamos con pagos parciales iguales en periodos iguales.

3. GRADIANTE LINEAL (G): flujo de efectivo con cantidades desiguales. La cantidad aumenta o desciende en una cantidad fija, cuyo diagrama de flujo es una lnea recta ascendente o descendente, G es una cantidad constante del cambio en cada flujo.

4. SERIE GRADIANTE GEOMETRICA (g): la serie del flujo no es determinado por una cantidad fija, sino por una tasa fija en porcentaje. La tasa de cambio se representa por la letra g.

F

0 n

P

0 A

P

1

A A A A

2 n-1 n

1 2 5 3 4

G

2G

1

4

5G

0

P

23

P = (1 + )Pc

5. SERIE IRREGULAR: serie de flujos de efectivo sin patrn regular, aunque puede aparecer uno o ms patrones de la serie en ciertos periodos consecutivos.

ANUALIDADES (SERIE UNIFORME) Una serie de pagos tiene las siguientes caractersticas: 1. Todos los pagos son iguales o uniformes (Factorizar) 2. Todos los pagos se hacen a intervalos iguales de tiempo. (Los exponentes son ascendentes o descendentes) 3. Todos los pagos tienen la misma tasa. (Se utiliza para llevar a VP o valor final). 4. El nmero de pago es igual al nmero de periodos. Se tiene que cumplir lo siguiente:

Anualidad Vencida Anualidad Anticipada

RENTA: Pago peridico de igual valor: cuota, deposito, pag, etc. en un periodo de renta (tiempo que transcurre entre 2 pagos peridicos consecutivos).

VALOR FUTURO Todos los pagos se trasladan al final de la anualidad. Se utiliza la siguiente notacin (F/A, n, i) calcular F, dado A, n, i F n T i : notacin actuarial.

1 2 5 3 4

A1 A2 A3

0

P

A4

A5

0

A

1 2 3 4

A A A

0

A

1 2 3 4

A A A

24

Se quiere calcular la cantidad futura F de un fondo en el que se depositan A pesos, a una tasa i por periodo. Los pagos se realizan al final de cada uno de los periodos.

Al final de cada periodo la cantidad que se obtiene es O = (1 + N)Pc La cantidad total al final nsimo periodo es: O = (1 + N)Pc + (1 + N)Pc$ +(1 + N) + Ec. 1

Multiplicando por (1 + N) (1 + N)O = (1 + N)P + (1 + N)Pc+ (1 + N)$ + (1 + N) Ec. 2

Resto (2) de (1) O = (1 + N) O = + (1 + N)P O = (1 + N)P 1N = (O/, N, S)

Factor de cantidad compuesta de serie de pagos iguales o uniforme

Problema: Se supone una contribucin anual de $10.000 a una cuenta de ahorros al final de cada ao, durante 10 aos a una tasa de 6.5% EA Cul es el valor que tendr al final? O = 10.000(1 + 0.065)" 10.065 = $134.944.22 VALOR PRESENTE. Se representa por P (P/A, i, n) hallar el valor presente de una anualidad A en n pagos a una tasa i

A A A A A A A A

1 4 2 3 0 n-4 n-3 n-2 n-1

F=?

n

A A A A

A A A A

1 n-1 2 3 0

1 2 3 0

A

n

=

A

n-1 n

25

La relacin entre P y F es F= P (1+i)n reemplazando en la ecuacin anterior.

= O N(1 + N)P 1 = f(1 + N)P N(1 + N)P 1 = f(/f, N, S) = f N(1 + N)P(1 + N)P 1 Problema: Una pequea empresa de construccin obtiene un prstamo de $100000.000.para comprar maquinaria a una tasa 12 % anual, con pagos iguales en 5 aos. Calcule el monto del pago anual.

= f N(1 + N)P(1 + N)P 1 = 100;0000.12(1 + 0.12)!(1 + 0.12)! 1 = $27.740.973$"

Problema: Un documento estipula pagos trimestrales de $100.000 durante 5 aos, si se cancela con j=28% NT en un solo pago hallar: 1) El pago al principio. 2) el pago al final.

1 i=28/4=7% periodo trimestral. 2

Numero de pagos =4*5=20 pagos $100.000/ trimestre

2)

1 2 5 3 4 0

A A A A A

P =100000.000

i=12%

100 100 100 100 100

1 2 20 3 19

P=?

f = 100 (1 + 0.07)$" 10.07(1 + 0.07)$" 1 f = $1.059.401M$

100 100 100

F=?

O = $5.817.667".% 100

0

26

Problema: Comparacin de 2 opciones, se ofrece:

1- Una anualidad de 4 aos con pagos $100.000 a i=8%EA 2- Pago nico presente.

AMORTIZACIN Pagar una deuda en varios pagos, se presentan en una tabla de amortizacin donde se muestran los intereses, pagos y amortizacin (abono capital).

Problema: Realizar una tabla de amortizacin para un prstamo de un $1.000.000 en 6 cuotas anuales al 20 %NTA. n[ = $"M = 5%TA N = "."!c"."! = 5.26%TV (1 + 0.05563)M = (1 + N) N = 0.2277 = 22.77%EA

PERIODO CAPITAL PAGO INTERS AMORTIZACIN 0 $ 1,000,000.00 1 $ 906,079.28 $ 321,658.38 $ 227,737.66 $ 93,920.72 2 $ 790,769.28 $ 321,658.38 $ 206,348.38 $ 115,310.00 3 $ 649,198.85 $ 321,658.38 $ 180,087.95 $ 141,570.43 4 $ 475,387.50 $ 321,658.38 $ 147,847.03 $ 173,811.35 5 $ 261,992.76 $ 321,658.38 $ 108,263.64 $ 213,394.74 6 $ 0.00 $ 321,658.38 $ 59,665.62 $ 261,992.76

TOTAL $ 1,929,950.28 $ 929,950.28 $ 1,000,000.00

PERIODO (1) (2)

0 1 2 3 4

P

100 100 100 100

A A A A A A

6 5 4 3 1 2

0

$1.000.000

P=?

F=?

= 1000.0000.2277(1 + 0.2277):(1 + 0.2277): 1 = $321.658.38

27

GRAFICA. Amortizacin pago constante

CAPITALIZACIN Se entiende como reunir capital por medio de depsitos peridicos. En una tabla se muestra en cada periodo la forma como se rene capital

Problema: Capitalizar $5000.000 en 4 aos al 28% Nominal anual.

PERIODO ACUMULADO INTERESES INTERESES

DEPOSITO INCREMENTO /acumulado /incremento

1 $ 1,126,140.58 $ - $ 1,126,140.58 0 2 $ 2,331,111.01 $ 78,829.84 $ 78,829.84 $ 1,126,140.58 $ 1,204,970.42 3 $ 3,620,430.36 $ 163,177.77 $ 84,347.93 $ 1,126,141.58 $ 1,289,319.35 4 $ 5,000,003.07 $ 253,430.13 $ 169,082.20 $ 1,126,142.58 $ 1,379,572.71

TOTAL $ 495,437.74 $ 332,259.97 $ 4,504,565.33 $ 3,873,862.49

$0.00

$200,000.00

$400,000.00

$600,000.00

$800,000.00

$1,000,000.00

$1,200,000.00

0 1 2 3 4 5 6 7

CAPITAL

PAGO

INTERES

AMORTIZACION

1 3

A A A A

2 4 0

5.000.000

N = 284 = 7% = O N(1 + N)P 1 = 1;126.140!<

28

GRADIENTES Modelos matemticos que implican pagos peridicos que aumentan o disminuyen. Se utiliza para poder usar factores de equivalencia entre el gradiente aritmtico con otros flujos.

CARACTERISTICAS 1) Todos los pagos se cumplen con una ley matemtica 2) Todos los pagos se efectan a intervalos iguales 3) Los pagos se trasladan al principio o al final con la misma tasa 4) El nmero de pagos es igual al nmero de periodos

GRADIENTE GEOMTRICO LINEAL Cada pago es igual al anterior ms una constante, si es (+) es creciente, si es (-) es decreciente. Se trata de encontrar el valor presente P, para los pagos mostrados.

A

+

El gradiente lineal ser. G1 = A G2 = A+G G3 = A+ 2G = G1 + 2A G4 = A + 3G

Gn = G1 + (n-1) G

0 1 2 3

A+G

A

5 4

A+2G

A+3G A+4G

5 0 4 3 2 1 5 2 3 4 1 0

G 2G

3G 4G

29

El valor presente de la serie, trasladando cada uno de los pagos a la fecha focal n =0 a una tasa efectiva i es:

f = 0 + (1 + N)$ + 2(1 + N)V+. . . . . (S1)(1 + N)P (S 1)(1 + N)cP = (S 1)(1 + N)P

Pa

Pa

Haciendo la siguiente sustitucin de variables, la serie se puede expandir a: = 1(1 + N) = ~ f = 0 + ~$ + 2~V ++ (S + 1)~P f = ~(0 + ~ + 2~$ ++ (S + 1)~Pc)

Reemplazando por una serie geomtrica de la forma. f = 1 S~Pc + (S 1)~P(1 ~)$ ~

Reemplazando a y X f = (1 + N)P NS 1N$(1 + N)P = (f/, N, S)

Problema: Una constructora acaba de comprar una volqueta con una vida til de 8 aos, los costos de mantenimiento del primer ao son $1.000.000 y suben $500.000 al final de cada ao, si se quiere depositar un dinero ahora a una tasa 15% anual para sufragar todos los gastos de mantenimiento, cual es el valor de P?

Serie gradiente

P = P1 + P2 = (P/A, 15%,8) + (P/G, 15%, 8) f = (1 + N)P 1N(1 + N)P + (1 + N)P NS 1N$(1 + N)P

30

f = 1000.000 (1 + 0.15)

31

segunda cuenta se quiere depositar una cantidad igual cada ao Cul debe ser el depsito anual uniforme para que las 2 cuentas tengan el mismo saldo al final de 5 aos? A1 = 5000, G = 500, i = 8%, n =5

=

A = $5000 + $500 (A/G, 8%, 5)

= 5000 + 500(1 + 0.08)! 0.08 5 10.08[(1 + 0.08)! 1] = 5000 + 500 1.8465 = 5000 + 923.25 = $5923,25

Alternativamente se puede calcular: P = 5000 (P/A, 8%, 5) + 500(P/G, 8%, 5)

f = 5000(1 + 0.08)! 10.08(1 + 0.08)! + 500(1 + 0.08)! 0.08 5 10.08$(1 + 0.08)! f = 19963.55 + 3686.21 = $23649.76

El depsito uniforme es: = 23649.760.08(1 + 0.08)!(1 + 0.08)! 1 = $5923.23

VALOR FUTURO

Encontrar F, dado A, G, i, n. La ecuacin equivalente para valor futuro de una serie de gradiente se encuentra remplazando la ecuacin de anualidades y deG (A/G,i,n) en la de (F/A,i,n) y se obtiene: O = O , N, S = N (1 + N)P 1N S

A=5000

5 2 3 4 1 0 4

5000

3 0

7000

5500

6000

6500

+

2 1

1000

1500

5

500

4 51 3 2 0

2000

32

Problema: Se realizaran depsitos anuales en una cuenta bancaria a una tasa del 12%. El depsito inicial al trmino del primer ao es de $10.000, y disminuyen $800 al final de los siguientes 6 aos cul es el monto despus del ltimo depsito?

F= F1-F2 = A(F/A,12%,6) - G(F/G,12%,6)

O = 10000(1 + 0.12): 10.12 8000.12(1 + 0.12): 10.12 6 = O = 81.151.89 14101.26 = $67.050,63

GRADIENTE GEOMTRICO CRECIENTE O DECRECIENTE g

Es una serie de datos en la que cada pago es igual al anterior multiplicado por una constante (1+g). Si g es (+) el gradiente es creciente, si es (-) es decreciente si g=0 el gradiente se vuelve una anualidad.

En la industria de la construccin los flujos aumentan o disminuyen en el tiempo en un porcentaje (g), tambin conocido como gradiente compuesto. Por ejemplo por los cambios de precios debidos a la inflacin. El n-simo pago se relaciona con el primer pago. S = (1 + )PcS = 1,2,3, . . S g= cambio porcentual en el pago por periodo.

33

VALOR PRESENTE P=A1(P/A1, g, i, n) Encontrar P, dado A,g,i,n. El valor Pn de cualquier Flujo de efectivo An a una tasa de inters i es: fS = P(1 + N)cP = (1 + )Pc(1 + N)cP

Aplicando el factor de valor presente de pago nico a cada trmino de la serie

fS = (1 + )PcPa (1 + N)cP = (1 + )cCDSDSC f = 1 + 1 + 1 + N P

Pa

Haciendo una sustitucin: = Q = a Queda un polinomio de grado n, representa los n primeros trminos de una serie geomtrica de la forma.

f = ( + $ + V + M . . +P) (Ec. 1)

34

Multiplicando por x: f = ($ + V + M . . +P) (Ec. 2) Resto (1)-(2) f ~f = P f(1 ) = ( P) f = [(cQ)(c) , x1

Remplazando a y x

f = 1 + 1 + 1 + N #1 + 1 + N +P1 1 + 1 + N

f = 1 (1 + )P(1 + N)cPN DNN S1 + N DNN =

Problema: Una planta de cemento espera generar un ingreso neto de $10.000 millones al final del ao, y que la cantidad aumente 6% anual en los prximos 5 aos se tiene un prstamo a un inters del 12% anual Cul es el valor del financiamiento hoy si todos los ingresos ocurren al final e cada ao? A1=10.000, g= 6%, n= 5 aos, i=12%. f = 1 (1 + )P(1 + N)cPN f = 10.0001 (1 + 0.06)!(1 + 0,12)c!0,12 0,06 = $40.109,14BNSCD

VALOR FUTURO: F= A1(F/ A1,g,i,n) Encontrar F, dado A1,g,i,n el valor futuro de la serie geomtrica se puede obtener multiplicando la ecuacin anterior por (1 + N)n

O = (1 + N)P (1 + )PN ,DN N

(1 + N)P ,DNN =

35

Problema: Un contratista abre cuenta en un banco, para acumular 1,000 millones en 20 aos, a una tasa del 8% el contratista espera que los ingresos aumenten 10% anual durante los 20 aos cul es el monto del primer deposito A1 al final del primer ao? F= 1000, g=10%, i= 8%,n=20 aos

1.000 = (1 + 0,08)$" (1 + 0,1)$"0,08 0,1 = $9.678.000

Problema: Hacer una tabla para amortizar $1000.000 en n=5 pagos a una tasa de i=12% EA, si el crecimiento geomtrico de la cuota es de 8%. 1000.000 = (1 0,08)!(1 + 0,12)c!0,12 0,08 = 240581.55 $ = 240581.55(1 0,08) = 259.828,07. V = 240581.55(1 0,08)$ = 280.614,32 M = 240581.55(1 0,08)V = 303.063,46 ! = 240581.55(1 0,08)M = 327.308,54

PERIODO SALDO DEUDA INTERESES PAGOS AMORTIZACIN 0 $ 1,000,000.00 1 $ 879,418.45 $ 120,000.00 $ 240,581.55 $ 120,581.55 2 $ 725,120.59 $ 105,530.21 $ 259,828.07 $ 154,297.86 3 $ 531,520.74 $ 87,014.47 $ 280,614.32 $ 193,599.85 4 $ 292,239.76 $ 63,782.49 $ 303,063.47 $ 239,280.98 5 $ 0.0 $ 35,068.77 $ 327,308.54 $ 292,239.77

36

GRAFICA. Amortizacin pago creciente

Problema: Cuanto debe crecer linealmente una serie de 12 pagos al final de cada periodo, si el primer pago A1=1000, para que el valor presente sea equivalente a una serie de 15 pagos que crecen geomtricamente al 20%y cuyo primer pago es 200? Suponga una tasa i= 5% para cada periodo.

A1=1000, i= 5%, G=?, n=12

A1=200, i= 5%, g= 20%, n=15

Igualando las dos series en valor presente n=0; P1=P2

$0.00

$200,000.00

$400,000.00

$600,000.00

$800,000.00

$1,000,000.00

$1,200,000.00

0 1 2 3 4 5 6

SALDO DEUDA

INTERESES

PAGOS

AMORTIZACIN

37

1000(1 + 0,05)$ 10,05(1 + 0,05)$ + (1 + 0,05)$ 0,05 12 10,05$(1 + 0,05)$ = 200 1 (1 + 0,2)! (1 + 0,05)c!0,05 0,2

8.863,25+ 43.62G=8548.05

G=-7.23

FLUJOS DE EFECTIVO MIXTOS Flujos que no presentan un patrn general

Problema: Si los dos flujos mostrados son equivalentes, calcule X a una tasa i= 10%EA?.

1. Se calcula el valor presente de cada flujo en n=0

1.1. Se calcula el valor presente de 500(P/ F, 10%,1) f = 500/(1 + 0,1) = 454.55

1.2. Se tiene una serie de pagos iguales en aos 2 y 3, se puede obtener una anualidad de 3 aos y restar una anualidad de un ao, quedando una anualidad de 3 aos con el primer pago en ao 2. f = 1000[(f/, 10%, 3) (f/O, 10%, 1)] f = 1000 (1 + 0,1)V 10,1 (1 + 0,1)V 10001.1 = 2486.85 909.09 = 1577.76

38

1.3. Se hace lo mismo con la serie de 1500 f = 1500[(f/, 10%, 6) (f/, 10%, 3)] f = 1500 (1 + 0,1): 10,1 (1 + 0,1): 1500 (1 + 0,1)V 10,1 (1 + 0,1)V = 6532.9 3730.28 = 2802.61

Igualando a X en n=0 f$ = ~(f/, 10%, 6) ~(f/O, 10%, 4) f$ = ~ (1 + 0,1): 10,1 (1 + 0,1): ~ 1(1 + 0,1)M 4834.92 = 3.6722~ ~ = 1316.61

COMBINACIN DE GRADIENTE LINEAL Y GEOMTRICO Un concesionario obtiene un prstamo de $10 millones para un proyecto de construccin de una va. El concesionario realizar pagos anuales a la entidad financiera que le presto la plata de $800.000 al final de cada ao durante 5 aos y el pago del saldo a capital al concluir el quinto ao a una tasa de inters de 15%EA. El concesionario deposita cada ao el saldo de los ingresos despus de cubrir costos y gastos, en una cuenta especial que produce una rentabilidad del 7% EA. Cunto dinero queda en la cuenta al final del ao 5 si los ingresos netos al final del primer ao son de 1 000.000 y aumentan 10% cada ao?

1) Se calculan los ingresos del peaje en los prximos 5 aos. Para calcular el valor futuro del gradiente creciente se debe llevar cada pago al futuro teniendo en cuenta el inters.

PERIODO INGRESOS 1 $1.000.000 2 $1.000.000(1 + 0,1) =$1.100.000 3 $1.000.000(1 + 0,1)$=$1.210.000 4 $1.000.000(1 + 0,1)V= $1.331.000 5 $1.000.000(1 + 0,1)M =$1.464.000

39

2) Se calcula el pago anual de inters el prstamo y las obligaciones. El capital se paga al finalizar el ao 5.

periodo saldo deuda intereses pagos amortizacin 0 $ 10,000,000.00 1 $ 9,800,000.00 $ 600,000.00 $ 800,000.00 $ 200,000.00 2 $ 9,587,999.00 $ 588,000.00 $ 800,001.00 $ 212,001.00 3 $ 9,363,276.94 $ 575,279.94 $ 800,002.00 $ 224,722.06 4 $ 9,125,070.56 $ 561,796.62 $ 800,003.00 $ 238,206.38 5 $ 8,872,570.79 $ 547,504.23 $ 800,004.00 $ 252,499.77

3) Se encuentra el valor futuro de los 2 flujos a los 5 aos, se calcula el equivalente a la serie de ingresos a los 5 aos F1 y luego se resta el equivalente de las obligaciones tambin a los 5 aos F2. La diferencia sern los fondos sobrantes. O = (O/, , N, S) = 1.000.000(O/, 10%, 8%, 5) O = (1 + N)P (1 + )PN = 1.000.000(1 + 0,07)! (1 + 0,1)!0,07 0,1 O = $6.931.942.31 O$ = 800.000(O/, 15%, 5) + 8.872.570.79 O$ = 800.000(1 + 0,15)! 10,15 = 5.393.905 + 8.872.570.79 O2 = $14.266.475.79 O1 O$ = $7.334.533.48

Calcular el plazo de la cuota para llegar a punto de equilibrio.

TASAS DE INTERS DESCONOCIDAS. Las tasas de inters se especifican en la mayora de los contratos, sin embargo cuando se invierten en activos financieros como acciones, se desea saber cul es la tasa de crecimiento o rendimiento del activo.

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Problema: Un banco presta 100 millones para construccin. Se firma una hipoteca sobre el lote con el primer pago de $1.800.000 mensuales durante 6 aos y la cuota crece 5% anual cul es la tasa de inters?

P=$100.000.000 n=6 aos A1=$1.800.000*12=$21.600.000 g=5% P= A1(P/A1,i,n)= $21600.000(P/A,i,6) f = 1 (1 + )P(1 + N)cPN

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TIPO DE FLUJO

Notacin Actuarial

Formula Diagrama de flujo de efectivo

Relacin de factor

UNICO

Cantidad compuesta (F/P, i, N)valor actual (P/F, i, N)

F = P(1 +i)N

P = F(1 +i)-N

(F/P, i, N)= i(F/A, i, N)+1

(P/F, i, N)= 1-(P/A; i, N)i

SERIE DE PAGOS IGUALES

Cantidad compuesta (F/A, i,N) Fondo amortizacin (A/F, i, N)

(1 + 1)N - 1 F = A i

i A = F (1 + i)N - 1

(A/P; i, N) = (A/P, i, N)-i

Valor actual (P/A, i, N) Recuperacin de capital (A/P, i, N)

(1 + i)N -1 P = A i (1 + i)N

i(1 + i)N A = P (1 + i)N -1

i (A/P, I, N)= i - (P/F, i, N)

SERIE DE GRADIENTE

Gradiente uniforme Valor actual (P/G; i, N)

(1 + i)N - iN-1 P = G i 2(1 + i)N

(F/G, i, N)=(P/G, i, N) (F/P; i, N)

(A/G, I, N)= (P/G, I, N)(A/P, I, N)

Gradiente geomtrico Valor actual (P/A1, g, i, N)

1- (1 + g)N (1+i)-N P = A1 i - g

NA1 (si i = g) 1 + i

(F/A1, g, I, N)=(P/A1,g, I, N) (F/P, I, N)

O N

F

P

.

A A A A

0 1 3 2

N

N-1

A

F

A A A A A

1 2 3

P

N-1 N 1 2 3

N-1 N

A1

G 2G

1 2 3

A1(1 +g) N- 1

N-1 N

P