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IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011
TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO
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GUIÓN DEL TEMA
1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.
2. Expresión algebraica.
3. Valor numérico de una expresión algebraica.
4. Monomios.
5. Grado de un monomio.
6. Monomios semejantes.
7. Suma y resta de monomios.
8. Multiplicación de monomios.
9. Potencia de un monomio.
10. División de monomios.
11. Polinomios.
12. Suma y resta de polinomios.
13. Producto de polinomios.
14. Sacar factor común.
15. Igualdades notables:
15.1. Cuadrado de una suma.
15.2. Cuadrado de una diferencia.
15.3. Producto de una suma por una diferencia.
16. Descomposición factorial.
17. Simplificación de fracciones algebraicas.
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1. LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRÁICO. El lenguaje en el que sólo intervienen números y signos de operaciones se denomina
lenguaje numérico.
Ejemplos:
Lenguaje usual Lenguaje numérico
Catorce dividido entre siete 14 : 7
Dos elevado al cuadrado 22
El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama
lenguaje algebraico.
Ejemplos:
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
La suma de dos números a + b
Un número menos tres unidades x – 3
1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda. Lenguaje usual Lenguaje numérico
La suma de once más nueve es veinte
Cien dividido entre veinte
La cuarta parte de veinte es cinco
Dos elevado al cubo es ocho
32: 8
3 . 4
2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico. La mitad de un número (m + n)
2
El triple de un número menos cinco n - 1
El anterior a un número entero 2 · (a + b + c)
El posterior a un número entero x + 1
El cuadrado de la suma de dos números 2
m
El doble de la suma de tres números 3·b - 5
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las
operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de indeterminadas y representan
números cualesquiera.
Ejemplos:
Expresión escrita Expresión algebraica
La suma de dos números menos dos x + y - 2
El triple de un número menos cinco 3 · x - 5
El cuadrado de un número más uno x2 + 1
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1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica. El doble de un número b.
El doble de la suma de dos números m y n.
El cuadrado de un número x más 4 unidades.
El producto de tres números a, b y c.
El doble de un número x más tres unidades.
2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica. El doble de un número más dos unidades. x - 5
Un número disminuido en cinco unidades. 3
x
La tercera parte de un número. 2x + 2
El cubo de un número. x + 10
El doble de un número. 2 x
Un número aumentado en diez unidades. x3
La diferencia de dos números. x + 1
El número siguiente a un número entero. x – y
3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.
EXPRESIÓN LENGUAJE
ALGEBRAICO
Los años que tenía el año pasado
Los años que tendrá dentro de un año
La edad que tenía hace 5 años
La edad que tendrá dentro de 5 años
Los años que faltan para que cumpla 70 años
3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras por números y realizar las operaciones que se indican.
Ejemplos:
Hallamos el valor numérico de la expresión 3x + 2 para x = 4.
Sustituimos x por 4 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones:
x = 4 3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14
El valor numérico de 3x + 2, para x = 4, es 14.
1. Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para:
Valor Sustituir Operación Valor numérico
x = 0 2 · 0 + 1 0 + 1 1
x = 2
x = -1
x = -2
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2. Calcula el valor de estas expresiones para los valores que se indican:
4. MONOMIOS.
Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los
números se les llama coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.
Ejemplos:
Monomio 3x -5ab -5x3 -7abx
2
Coeficiente 3 -5 -5 -7
Parte literal x ab x3
abx2
1. Completa las tablas.
Monomio Coeficiente Parte literal
x
- 3xy
- x3
- 5xy2
yx2
3
1
5. GRADO DE UN MONOMIO. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte
literal.
Ejemplos:
El grado del monomio 6 x2 es 2.
El grado del monomio – 3 x4 y
3 es 7.
1. Calcula el grado de los siguientes monomios:
a) – 5 x2 b) 7 x
2y c) ba5
3
2
d) z.x2 e) – y x f) – x
2. Completa la siguiente tabla:
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
-6 x
- 2 a4b
yzx
8 ab4c
9
- 7 mn
8 y7z
5
Valores x + y 2 x – 3 y (x + y)2
x = 1 y = 0 1 + 0 = 1
x = - 1 y = 2
x = 1 y = - 2
x = - 2 y = 3
x = - 1 y = - 1
Monomio Coeficiente Parte literal
ba2
3
2
- 2xyz
- 3 b2c
6 x2y
2
7
5xyz
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6. MONOMIOS SEMEJANTES. Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplos: 6 x y –9 x son monomios semejantes por tener la misma parte literal.
- 3 x3 y 8 x
3 son monomios semejantes.
5 xy2 y - x
2y no son semejantes.
1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado: – 5 y – 4 y
5z
4
– mn dc2
3
2
– 6yx4 8 xy
7. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS.
La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la
misma parte literal.
Ejemplos:
2x + 3x + 5x = 10 x 3 x3-7 x
3+5 x
3- 4 x
3 = - 3 x
3
2x + 5y .... La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes.
1. Realiza las siguientes operaciones.
m + m + m + m = 8 a – 3 a – a = 2 x2 + x2 + x2 = - 6 x5 – 2 x5 = 6 ab – ab – 3 ab = u – 2 u + 5 u =
2. Completa con monomios semejantes y calcula. 2x + ........ + .......... = .......... ............ + 6 p + ............. = ........... 3 x3+ ........... = ............ .............. + 2 ab + ............ = ...........
3. Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula. 9 x - .......... = .............. ................ – x5 = ......... 8 df - ........... = ............ ................. – 7 m2n = ............
4. Reduce las siguientes expresiones.
mn – mn + 7 mn + 5 mn – 3 mn 5 x6 – 2 x6 + 3 x6 – x6 = 5ab3 – 3 ab + 7 ab3 – ab + 8 ab = – 8 xy – 4 xy + 3 xy + 5 x – 9 y + 3 x =
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8. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los
coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.
Ejemplos: 3x · 2x = 6x
2 4x · (-5 x
3)= - 20 x
4
1. Realiza estas multiplicaciones. 5 m · 3 m = - 3 d · (- 6 d) = a · a2 =
6 c2 · 6 c2 = 4 x2 · (- 5 x2) = 2
8
3
3
2rr =
2. Calcula y reduce. 3 (2x + 9) = 3 ( 2x + 4x2) = 3m ( 5m2 – 3m) = (6 – cd + cd2) · 2c = 4 (x4 + 4x3) – 6 x3 = - 3x (x3 – 2x + 4) – 12 x = - x4 (- 6x + 9 – 6 x2 – 11 x) =
24 233
1xxxxx
9. POTENCIA DE UN MONOMIO.
Para elevar un monomio a una potencia se eleva cada factor (el coeficiente y la parte literal) a
dicha potencia.
Ejemplos: (3 x3)
4=(3 x
3). (3 x
3). (3 x
3). (3 x
3) =3
4(x
3)4 = 81 x
12
1. Calcula.
(3x4)4 =
3
3
3
2x
(x3)6 =
2
8
4
3x
(-5x6)3 =
7
4
2
1x
(- 4x5)4 =
3
5
2x
10. DIVISIÓN DE MONOMIOS.
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los
coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.
Ejemplos: 6x : 2x = x
x
2
6= 3 10x
3 : (-5x) = -2 x
2
1. Resuelve estas divisiones entre monomios. 8 x3 : 2 x = a8 : a3 = -12 x5: -12 x4 = - 16 y5 : - 8 y2 = 20 m6 : 4 m3 = - 20 z7 : 10 z5 =
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2. Efectúa las siguientes operaciones. (12 x5 : 3 x3) + x = (6 x7 : 2 x5) – (3 x6 : x4) = (8 m2n : 4 mn) + mn = 3p (p + 1) – (4 p2 : p) = (12 c3d2 : 3 c2d )- d = 3(4 xy2 : 2 xy) – 2y = 2x [(- 2y2x3) : (- x2y)] + x (x – 1) =
11. POLINOMIOS.
Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes.
Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.
A los términos que no tienen parte literal se les denominan términos independientes.
El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.
Ejemplos: 3 x
4 – 6 x
3 + 5 x
2 – 7 x – 1 es un polinomio ordenado, completo de grado 4º.
- 8 x5 – 9 x
7 + 4 es un polinomio de grado 7º. Su término independiente es 4.
1. Completa esta tabla. Polinomio Términos Término
independiente Grado del polinomio
3 x4 + 4 x2 – 1
3 mn – 5 mx2n 7 x – 8
3 ab – 2ª y3-4 y2 – y + 9 3 ab + 5 ab6
13
2 2 yx
2. Escribe un polinomio de grado 3 con dos términos y otro de grado 4 con 5 términos.
3. Indica el grado de los siguientes polinomios. - x + 3 x2 3 m5 – m c2d - 3 c - 5 m4 – m3 – 8
4. Halla el valor numérico del polinomio 3x3 – 2x2 + x - 3 para los valores que se indican. Valor de la indeterminada Valor numérico del polinomio
x = 0 x = 2
x = - 3
12. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes de ambos polinomios.
Para restar polinomios, se suma al polinomio primero el opuesto del segundo.
Ejemplos: A(x) = 2x
2 + 3x – 5 B(x) = x
3 – 7x + 6x
2 – 9
A(x) + B(x) = x3 + 8x
2 – 4x – 14 A(x) – B(x) = - x
3 - 4x
2 + 10x + 4
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1. Dados los polinomios A(x ) = 6 x3 – 4 x2 + 5 y B(x) = - 7 x2 – 5 x + 3, calcula: a) A(x) + B(x) b) A(x) – B(x) B(x) – A(x)
a) (6 x3 – 4 x2 + 5) + (- 7 x2 – 5 x + 3) =
2. Dados los polinomios A(x ) = 6 x4 – 3 x3 + 7x – 1 , B(x) = - 3 x2 + 7 x – 6 y C(x) = - x4 + 3x2 – 2 x, calcula:
a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) + B(x) - C(x) c) A(x) - B(x) - C(x) 3. Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.
P (x) = 4 x3 + 4 x2 – 8 x3 – 3 x2 + 8 x – 2 x3 – 7 + 3 x – 2= Q (x) = 5 x5 + 7 x3 – 7 x4 – 7 x3 + 3 x – 5 x5 – 6 + 2 x4 – 4 = R (x) = -7 x4 + 5 x3 – 6 x2 – 6 x3 + 8 x4 – 8 x2 – 8 + x – 6 =
4. Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. a) P (x) + Q (x) b)Q (x) + R (x) c) Q (x) – R (x) d)P (x) – Q (x)
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13. PRODUCTO DE POLINOMIOS. Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer
polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios
semejantes.
Ejemplos:
A(x) = x3 – 7x + 6x
2 – 9
B(x) = 2x2 – 4x + 5
A(x) . 3x2 = (x
3 – 7x + 6x
2 – 9) · 3x
2 = 3x5 – 21x3 + 18x4 – 27x2
A(x) . B(x) = (x
3 – 7x + 6x
2 – 9) · (2x
2 – 4x + 5) = 2x
5 – 4x
4 + 5x
3 – 14x
3+ 28x
2 – 35x + 12x
4
– 24x3 +30x
2 – 18x
2 + 36x – 45 = 2x5 + 8x4 - 33x3 + 40x2 + x - 45
1. Dados los polinomios A(x ) = 3 x2 – 3x + 6 y B(x) = 2 x2 – 3, calcula: a) A (x) · B (x) b) B (x) · 3x c) A (x) · x d) B (x) · ( - 3x) a) (3 x2 – 3x + 6) · (2 x2 – 3) =
14. SACAR FACTOR COMÚN. Una aplicación de la propiedad distributiva es “sacar factor común”. Esta operación consiste
en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos.
Ejemplos:
Expresión Factor común Sacar factor común
5x + 5y 5 5 (x + y)
7x2 – 3x x x (7x – 3)
3x2 – 12x + 15 x
3 3x 3x (x – 4 + 5x
2)
1. Extrae factor común en las siguientes expresiones. 3 m + 4 m = 16 y4 – 8 y2 + 4 y = 12 a2 – 3 a2 + 9 a2 = 2 b + 4 b + 8 = 6 m2n + 4 mn2 = 10 ab2 – 2 ab + 10 a2b =
2. Simplifica las siguientes fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador.
nm
nmc
sr
srb
b
bba
3
33
23
24
3
)
3
6)
5
1010)
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22
322
32
3
)
96
64)
8
12)
ba
babaf
mm
me
k
kd
15. IGUALDADES NOTABLES.
Llamamos igualdades notables a ciertas igualdades cuyo desarrollo y aplicación resultan muy útiles
para abreviar cálculos con expresiones algebraicas.
Cuadrado de una suma. El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble
del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a
2 + ab + ba + b
2 = a
2 + 2ab + b
2
(a + b)
2 = a
2 + 2ab + b
2
Ejemplos:
(2x + 3)2 = (2x)
2+2·2x·3 + 3
2 = 4x
2 + 12x + 9
(5x2 + 2y)
2 = (5x
2)
2+ 2·(5x
2)·2y + (2y)
2 = 25x
4 + 20x
2y + 4y
2
Cuadrado de una diferencia. El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el
doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a - b)2 = (a - b) · (a - b) = a
2 - ab - ba + b
2 = a
2 - 2ab + b
2
(a – b)2 = a
2 – 2ab + b
2
Ejemplos:
(2x - 3)2 = (2x)
2 – 2·2x·3 + 3
2 = 4x
2 - 12x + 9
(5x2 - 2y)
2 = (5x
2)
2- 2·(5x
2)·2y + (2y)
2 = 25x
4 - 20x
2y + 4y
2
Suma por diferencia. El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los
cuadrados.
(a + b) · (a - b) = a2 + ab - ba + b
2 = a
2 - b
2
(a + b) . (a – b) = a
2 - b
2
Ejemplos:
(2x + 3) · (2x – 3) = (2x)2 - 3
2 = 4x
2 - 9
(3x2 + 5y) · (3x
2 – 5y) = (3x
2)
2 - (5y)
2 = 9x
4 - 25y
2
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1. Calcula: (a + 5 )2 = (2 + m )2 = (x + 2 y)2 = (ab + 1)2 = (2x + 3)2 = (3x3 + 4x)2 =
2. Calcula:
( a - 1)2 = ( x – 6y)2 = ( 2x - 3y)2 = ( 5 - 3b)2 = (2x2 – 3x5)2 = (3x – 3y)2 =
3. Calcula: ( a + 1)·( a - 1) = ( 5 +b )·( 5 - b) = ( 2a + b)·(2a - b) = ( 5a + 1)·( 5a - 1) =
4. Expresa en forma de igualdad notable: a2 + 2ab + b2 = (...... + .....)2 x2 + 2x + 1 =(...... + ......)2 x2 + 10x + 25 = a2 – b2 = x2 – 16 = 4x2 – 4x + 1 = 9 a2 – 30 ab + 25 b2 = 4 x2 – 36 = 16 a2 – 25 b4 =
5. Simplifica las siguientes fracciones, utilizando cuando sea necesario las igualdades notables:
11
1)
2
21)
3
12)
15
20)
2)
2
3
45
645
4
35
2
3
xx
xe
xx
xxxd
ca
cbac
yx
yxb
a
baa
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3333
33)
2)
25
2510)
44
2)
2
2
22
22
2
2
2
xxx
xxi
ba
babah
x
xxg
xx
xf
OTRAS ACTIVIDADES
OPERACIONES CON MONOMIOS
1. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:
Monomios
- 7 x y
a2 b3 x
4
3
5
4
3a
33
2
1ba
5 x2
Grado
2. Reduce:
a. 3x + 2x + x =
b. 5x2 + 2 x2 =
c. 3x – 5 + 2x + 4 =
d. x2 + x + x2 + x =
e. 3x2 – x2 + 5 – 7 =
f. 8x + x2 – 3x – x2 + 5 =
3. Quita paréntesis y reduce:
a. ( x – 1) – (x – 5) =
b. 2x + (1 + x) =
c. 6x – (3x – 8) =
d. (4x – 5) + (3x + 4) =
e. (1 - x) – (1 – 2x) =
f. (2 – 5x) – (4 – 7x) =
4. Opera y reduce:
454
323
5
68
2)
5)
26)
)
32)
4
112)
72)
bcag
yxf
xxe
xxd
xxxc
xxb
xxa
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OPERACIONES CON POLINOMIOS:
5. Reduce las siguientes expresiones:
a. 2 – 5 x2 + 7 x2 – 2x + 6 =
b. (x + 1) – (x – 1) + x =
c. (2x2 – 3x – 8) + (x2 – 5x + 10) =
d. (2x2 – 3x – 8) – (x2 – 5x + 10) =
6. Quita paréntesis y reduce:
a. (5x2 -6x +7) – (4x2 – 5x + 6) =
b. (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x) =
7. Reduce:
a. 2· (5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4) =
b. 3· (x – 2) – 2 (x – 1) – (x + 1) =
c. 2· (x2 – 1) + 4 (2x – 1) – 11x =
8. Calcula:
a. 3x · (x3 – 2x + 5) =
b. (x + 2 ) · (x – 5) =
c. (x2 – 2) · (x2 + 2x - 3) =
d. (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)
9. Reduce:
a. x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x) =
b. (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2 =
c. (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1) =
d. (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x) =
10. Calcula:
a. (15x – 10) : 5 =
b. (12x2 – 18x + 6 ) : 6 =
c. (x4 + 5 x2 – 6 x) : x =
d. (2 x4 + 5 x3) : x2 =
e. (2 x3 – 6 x2 + 8 x) : 2x =
f. (5 x3 – 10 x2 + 15 x) : 5x =
PRODUCTOS NOTABLES Y EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN
11. Desarrolla las siguientes expresiones:
a. (x + 6) 2 =
b. (3 – x)2 =
c. (8 + a)2 =
d. (ab - 3)2 =
e. (2x - 3)2 =
f. (3a - 5b)2 =
g. (3x - 5)2 =
h. (3
2- 4x)2 =
i. (x + 4 ) · (x – 4) =
j. (y - a) · (y + a) =
k. (2x + 1) · (2x – 1) =
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12. Transforma cada expresión en un cuadrado:
a. x2 + 6x + 9 =
b. x2 – 10 x + 25 =
c. x2 + 2x + 1 =
d. x2 + x + 4
1=
e. 4x2 - 4x + 1 =
f. 9x2 – 12x + 4 =
13. Extrae factor común en estas sumas:
a. 5a + 5b – 5c =
b. 3a - 4ab + 2ac =
c. x2 – 2x =
d. 2x – 4y =
e. 3x + 6y + 9 =
f. 6x – 3x2 + 9 x3 =
g. 3x – 6x2 + 9x3 =
h. x2 – 10 x4 + 2x8 =
i. 6a2 b + 4ab2 =
j. 15 x4 + 5 x3 + 10 x2 =
k. 10 x3y2 – 2 x2 y + 4 y4 x =
14. Utiliza los productos notables y la extracción de factor común para descomponer en factores las siguientes expresiones:
a. x2 + 2xy + y2 =
b. 4 a2 b4 – 4 a b2 + 1 =
c. 4 x2 – 4 x + 1 =
d. 3 x3 – 3 x =
e. 6 x2 – 9 x3 =
f. 5 x2 + 10 x + 5 =
g. 4 x2 – 25 =
h. 16 x6 – 64 x5 + 64 x4 =
i. 5 x4 – 10 x3 + 5 x2 =
j. x4 – x2 =
k. 3 x2 – 27 =
l. 3 x3 – 18 x2 + 27 x =
m. x4 – 1 =
n. x4 – 2 x2 + 1 =
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15. Saca factor común en el numerador y el denominador y después simplifica:
22
232
23
2
2
3
2
2
23
23
23
23
2
32
)
22)
55)
)
2
3)
32)
2
105)
96
64)
yx
yxyxh
xx
xxg
x
xxf
babb
aabae
xx
xxd
xx
xxc
x
xxb
xx
xa
16. Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en cuenta los productos notables y la extracción de factor común y después simplifica:
xxx
xxh
x
xxg
xx
xxf
xx
xe
x
xd
yxyx
yxc
xx
xb
x
xxa
23
2
2
24
24
34
2
2
22
22
2
2
2
2
333)
3
93)
44
22)
144
12)
2
82)
2)
44
4)
1
12)