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Geometra Descriptiva

Geometra DescriptivaConceptoQu es la Geometra Descriptiva?Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones.

La Geometra descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar grficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, slidos o volmenes), en doble proyeccin ortogonal.Geometra Descriptiva1.- Teora De la ProyeccinQu es una Proyeccin?Es el mtodo que se utiliza para representar un objeto en una superficie.Principios de la proyeccinEs la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de proyeccin. Esta imagen resulta de la interseccin con el plano de proyeccin de las visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a representarObservadorProyeccinPlano de proyeccinVisualesObjetoTeora de la ProyeccinEn todo sistema de proyeccin intervienen cuatro elementos denominadosa) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, slido, etc; en fin cualquier elemento geomtrico objeto en si.b) Punto de observacin. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.c) Superficie de proyeccin. Es la superficie sobre la cual se proyectar el objeto. Generalmente es un plano; aunque tambin puede ser una superficie esfrica, cilndrica, cnica, etc.d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observacin. La proyeccin (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyeccin.Un sistema de proyeccin es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyeccin de un objeto sobre una superficie.Principios de la proyeccin

ProyeccinPlano de proyeccinVisualesObjetoObservadorVisualesOrtogonal Proyeccin cilndricaOblicuaProyeccin cnica1.- Teora De la ProyeccinGeometra DescriptivaTipos de proyeccin

CnicasPerspectivasDe un punto de fugaDe dos punto de fuga

Dibujo de una perspectiva un punto de fugaDibujo de una perspectiva dos punto de fuga1.- Teora De la ProyeccinGeometra Descriptiva

Vistas mltiples

Sistema de proyeccinTipos de proyeccinSistemas de proyeccin

CilndricasOblicuasAxonomtricasAcotadoOrtogonales u Ortogrfica

DimtricaTrimtricaIsomtrica

AreaGabineteCaballera

Geometra Descriptiva2.- Sistema de representacinDefinicin:Sistemas de representacin Es el conjunto de principios que permite determinar la representacin de un objeto mediante de la seleccin de cualquier tipo de proyeccin.Tipos de sistemas de representacinEs el conjunto de principios que permite determinar la representacin de un objeto mediante de la seleccin de cualquier tipo de proyeccin.Sistema DidricoSistema de proyeccin AcotadoSistema de representacin en perspectiva

303030IsomtricaEl trmino de didirco viene de la obtencin de una doble proyeccin ortogonal, (la proyeccin vertical y horizontal del cualquier objeto).Se aplica la proyeccin horizontal pero utilizada solamente en el plano de proyeccin horizontal. Las distancias de los diferentes puntos al plano horizontal se les llama cota.Nos permite mostrar en un solo plano de proyeccin las tres dimensiones del objeto. Se representa el objeto tridimensionalmente y se pueda aplicar tanto la proyeccin cilndrica como la cnicaGeometra Descriptiva2.- Sistema de representacinSeleccin de un sistema de representacinSistemas de representacin Este depende a la conveniencia del campo de trabajo del ingeniero y la manera de comunicacin grfica del objeto. Por ejemplo en el rea de topografa, el sistema acotado es utilizado para la elaboracin de planos de curvas de niveles. El sistema ms utilizado por el ingeniero es el Didrico, y se utiliza la perspectiva como complemento de informacin del trabajo a desarrollar.

Es por ende que se utilizar para el desarrollo de esta unidad el sistema didrico como sistema de representacin para la comunicacin grfica de los diferentes elementos en el espacio en el campo de la ingeniera.Sistema didrico y cuadrantes espaciales

IIIIIIIVAAAHVSemiplano V. SuperiorSemiplano V. InferiorSemiplano H. anterior Semiplano H. posterior LTPHPVDIEDROSRefiere los problemas espaciales a dos planos de proyeccin perpendiculares entre si. La interseccin de estos dos planos forma la lnea de tierra, dividiendo el plano vertical y el horizontal en dos semiplanos, formando cuatro diedros o cuadrantes.Geometra DescriptivaVista de canto del Sistema Didrico

I BISII BISVista en perspectiva del Sistema DidricoPHPVI BISII BISIIIIVIIILTExisten dos planos de posicin, el I Bisector que divide al I y III diedro en partes iguales y el II Bisector que divide al II y al IV diedro.Los planos horizontales y verticales son planos de proyeccin y los bisectores son solo planos de posicin.NotaGeometra Descriptiva2.- Sistema de representacinPara representar un objeto en el espacio abatimos el plano horizontal alrededor de la L.T. Al ver la vista ortogonal del abatimiento, el Semiplano Horizontal Posterior (SHP) se confunde con el SVI y el Semiplano Horizontal Anterior (SHA) se confunde con el SVSTeora del giroDIEDROS

AAVPV

AAHVPHAHPHAAHVPVSHPS VSSVISHAL.T.SVSSHPSVISHASVSSHASHPSVI

AAHVAAHVSVSSHPSVISHAGeometra Descriptiva2.- Sistema de representacinRepresentacin del PuntoDIEDROS

PPvPVPhPHPPhvLos puntos se representan con letras Mayscula en el espacio, y en las proyecciones se le agrega el superndice para identificar la proyeccin vertical y la proyeccin horizontal Es el elemento geomtrico mas simple en el espacioDeterminacin de un punto mediante coordenadasP ( 95, 60, 40)P ( x, y, z )PL60xzy-y-z 9540cotavuelo956040OrigenO= Origen de replanteo de todo puntoX= Distancia del punto al plano lateral o de perfilY= vuelo del punto (distancia del punto del plano vertical)Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontalO3.- Concepto del PuntoGeometra Descriptiva3.- El PuntoSignos de coordenadas y vista de cantoIIIIVIIIY-YZ-ZEje: P (30,-30,-50)3050El punto tiene coordenadas (+ ; - ; -) esta en el III diedro.Para el replanteo en vista de canto la distancia en X no se toma en cuenta

PPhPVEstos pueden determinarse en una vista de canto. Los signos dependen de la posicin que se encuentre el punto con respecto a los diedros.Vista de cantoGeometra Descriptiva3.- El PuntoLas posiciones fundamentales que puede ocupar un punto en el espacio son 133.2.- Alfabeto del punto. Representacin espacial del punto en los diferentes diedros. A- En el I diedroB- En el II diedroC- En el III diedroD- En el IV diedro

yBBBhvDDhvDOAhVABhVBCVChDDhVBvABCD-yz-zhBVista de canto

Vista Espacial

Doble proyeccin ortogonalGeometra Descriptiva3.- El PuntoF- En el I diedro y I Bis.G- En e III diedro y I Bis.H- En el II diedro y II Bis.I - En el IV diedro y II Bis.

IIhvIII BisIvFHGIy-yz-zhBIOFhVFHhvGvhGIhvI(20;50;50)Vista de canto

Vista Espacial

Doble proyeccin ortogonalGeometra Descriptiva3.- El Punto3.2.- Alfabeto del punto. Representacin espacial del punto en los diferentes diedros. J- En el SHAK- En el SHPL- En el SVSM-En el SVI

N- En la LTy-yz-zLJNMK

NhvMJJMvvhhOhJhvvJvKhKLLvhvMMhNM (35;0;55)N (120;0;0)Vista de canto

Vista Espacial

Doble proyeccin ortogonalGeometra Descriptiva3.- El Punto3.2.- Alfabeto del punto. Representacin espacial del punto en los diferentes diedros. Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera:Geometra Descriptiva3.- El Punto3.3.- Posicin del punto con respecto a otroPor medio de coordenadas cartesianas (distancias: mas alto, mas bajo).Por coordenadas angulares (Orientacin: norte, sur, este, oeste; inclinacin).Ejemplo:Dibujar las proyeccin horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un alejamiento de 2m y un aprtamiento de 3m. El punto B est ubicado 2m al norte, 3m al este y 2m ms abajo que A. El punto C est ubicado 1m al sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.Ejercicios prcticos1- Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran: A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).Prctica N 3

La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una direccin y pendiente constante.En el espacio la lnea recta esta definida, bien sea por dos puntos o un punto y una direccin.Se acostumbra a denominar la recta con la letra minscula.ConceptoOAVhABhVBAAAhvBBBhvrepresentacin de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)Ejemplo:rrvrhrhrvGeometra Descriptiva4.- La rectaSegn la posicin de la recta con respectos a los planos de proyeccin (horizontal, vertical o frontal y de perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones.Tipos de rectasDe Pie ABDe Punta CDFrontal EFParalela a la L.T. MNHorizontal GHOblicua IJDe Perfil KL

Recta de Pie (AB):Es perpendicular al plano horizontalRecta de Punta (CD):Es perpendicular al plano vertical o Tambin llamado frontalRecta frontal (EF):Es paralelo al plano vertical o tambin llamado frontalRecta paralela a la L.T.Es paralelo a la lnea de tierraRecta Horizontal (GH):Es paralelo al plano horizontalRecta oblicua (IJ):No es paralela al PH, PV y PL.Recta de Perfil (LK):Es paralela al plano lateral o plano de perfil

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhC

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhhvGeometra Descriptiva4.- La recta

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhCRepresentacin en doble proyeccin ortogonalABhAVVhBCDhCVhDEvhEFvhFNvMvhMhNGvhGHvhHJvhJIvhIhKKvhLLv

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhhvGeometra Descriptiva4.- La recta

BVVAhBAhVVhVhHHVBAVHTrazas de la rectahBLa traza (o interseccin) es el punto de penetracin de una recta en un plano de proyeccin tambin se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta.BVAhVAhVVVhHHVPara que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyeccin sobre la proyeccin de la rectaDibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).Traza VerticalSe determina con la interseccin de la proyeccin horizontal con la lnea de tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyeccin vertical.Traza HorizontalSe determina con la interseccin de la proyeccin vertical con la lnea de tierra encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyeccin horizontal.Ejemplo:Geometra Descriptiva4.- La rectaDistancia y verdadera magnitud de la rectaCuando una recta es al menos paralela a uno de los proyeccin, su distancia se puede ser determinada en la proyeccin de la recta del plano de proyeccin al que es paralela.Mtodo del tringulo de rebatimiento:Consiste en dibujar el tringulo que se genera en el espacio, resultante de la interseccin de la recta en el espacio con su proyeccin. Este tringulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.

Cuando una recta es oblicua, su proyeccin sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes mtodos para determinar su verdadera distancia en el espacio.

hBBVAhVABaABVMABdvdcVMABdcdvBaph ABpv ABhBBVAhVAdcdvVMABVMABBaBadcdvGeometra Descriptiva4.- La rectaDistancia y verdadera magnitud de la rectaMtodo del tringulo de rebatimiento:

hBBVAhVABaABVMABdvdcVMABdcdvBaph ABpv ABPara determinar la verdadera magnitud:Se lleva sobre la proyeccin vertical de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra (beta) que es el ngulo que forma la recta con el plano vertical.Se lleva sobre la proyeccin horizontal de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra (alfa) que es el ngulo que forma la recta con el plano vertical.hBBVAhVAdcdvVMABVMABBaBadcdvGeometra Descriptiva4.- La recta

Medir distancias sobre una rectahBBVAhBaABVMABdcVMABdcdvBaCuando una recta es al menos paralela a uno de los proyeccin, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyeccin de la recta del plano de proyeccin al que es paralela.

Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y determinamos su verdadera magnitud (AvBa) sobre el verdadero tamao medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponder proporcionalmente a la relacin entre la proyeccin y verdadera magnitudEjemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)dvCCVChCVAd

Geometra Descriptiva4.- La rectangulo de una rectaUna recta en el espacio forma generalmente un ngulo (alfa) con el plano horizontal y un ngulo (beta) con el plano verticalSe debe verificar que la suma de dichos ngulos tienen que estar comprendida entre 0 y 90Ejemplos:Recta de Pie (AB):=90= 0Recta de Punta (CD):

Recta frontal (EF):

Recta paralela a la L.T.

=0= 90=se mide en el P.V.= =0=0ABhAVVhBCDhCVhDEvhEFvhFNvMvhMhN

NMNNvhMMvFEFFvhEEvhBBvhvAABDCCDDvhhChvGeometra Descriptiva4.- La rectaLvngulo de una rectaEjemplos:Recta Horizontal (GH):

Recta oblicua (IJ):

Recta de Perfil (LK):

=0=se mide en el P.V.

Se determina por el mtodo de tringulo de rebatimientoSe puede medir en un plano lateral y los ngulos son complementarios y suman 90GvhGHvhHJvhJIvhIhKKvhLLvLppKVista de perfil o lateralzyKvhLhKdvdc= 50= 40dvdcPara problemas de rectas de perfil casi siempre es necesaria construir al lado de la recta de perfil, una vista auxiliar de perfil (paralela al plano de perfil para resolverlos, (donde la recta se muestra en verdadero tamao).

IJLvhKKKvLhLvJhJHGHHvhGGvhUnidad N 2Geometra Descriptiva4.- La recta

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, (conociendo sus ngulos y por medio de tringulos de rebatimiento).Cuando la recta no es paralela a los planos de proyeccin se recurre al triangulo de rebatimiento para determinar las proyecciones de estaDado el punto A se desea conocer las proyecciones de una recta dada por el segmento AB que forma un ngulo y con los planos de proyeccin.Se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento pero empezando a dibujar en un lugar arbitrario la hipotenusa que es el segmento AB (distancia conocida en V.T.). Para obtener las proyecciones (PV y PH) dibujamos los catetos adyacentes que estarn determinada por los ngulos y .Y para determinar la distancia de la PH y la PV se traza desde B perpendiculares a estas, quedando genera con PV dv y con PH dc.Teniendo generada la PH y PV del segmento AB y sus dv y dc, se procede a colocar las proyecciones de estas en doble proyeccin ortogonal con respecto al punto AHay varias soluciones del problema cuando B tiene mayor cota o menor cota, mayor vuelo o menor vuelo, o si B este a la izquierda del punto A.Otra solucin PH de ABOtra solucin PV de AB< cota q A> cota qA< vuelo q A> vuelo qAGeometra Descriptiva4.- La recta

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Conociendo la Proyeccin Horizontal (P.H.) de una recta (AB) y el ngulo (ngulo con el mismo plano cuya proyeccin se conoce), construir la recta sabiendo que pasa por A.?La P.V. del segmento AB se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento, el problema se resuelve en determinar la diferencia de cota, para ello utilizamos la proyeccin horizontal en el cual se traza el ngulo dado y trazando una perpendicular desde la P.H. del segmento AB y con la interseccin de la hipotenusa o segmento en verdadera magnitud queda generada la dc (diferencia de cotas de los dos puntos.Determinada dc, se procede a dibujar la proyeccin desde Av Datos:Solucin:Determinamos dc? mediante la P.H. de AB conociendo

hBBVAhVAABdcpv ABdcGeometra Descriptiva4.- La recta

dvConstruccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Conociendo la Proyeccin Horizontal (P.H.) de una recta (AB), y el ngulo que forme con el plano vertical (). determinar la proyeccin vertical de ella, y que pase por el punto A.Datos:Solucin:Determinamos dv? mediante la P.H. de AB conociendo La P.V. del segmento AB se obtiene con el mtodo de triangulo de rebatimiento.

El problema se resuelve en dibujar un tringulo arbitrario conociendo el ngulo delimitado con el cateto opuesto que ser la dv de AB, quedando generada as la P.V. de segmento AB.Luego se coloca este segmento (PV) en la proyeccin vertical de la recta desde Av.hBBVAhVAABpv ABdvGeometra Descriptiva4.- La recta

Construccin de una recta, mediante un Punto y una direccin, Si conocemos la proyeccin vertical (PV) y el ngulo el problema es similar al ejemplo primero anterior.Si conocemos la proyeccin vertical (PV) y el ngulo el problema es similar al ejemplo segundo anterior.

dvhBBVAhVAABpv ABdv

hBBVAhVAABdcpv ABdcPH ?dv ?PHGeometra Descriptiva4.- La rectaOrientacin y pendiente de una rectaEs el ngulo que forma la proyeccin horizontal de una recta con el eje coordendao Norte-Sur, Este ngulo siempre se mide en el plano de proyeccin horizontal y ser en un ngulo menor a 90 Geometra Descriptiva4.- La rectaOrientacin de una recta con respecto a un punto

Ejemplo: Dado el punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientacin N 66 E.Orientacin y pendiente de una rectaEs la tangente trigonomtrica del ngulo que forma la recta en el espacio con el plano horizontal de proyeccin. Se proyectar en verdadera magnitud en un plano vertical paralelo a la recta.Geometra Descriptiva4.- La rectaPendiente de una recta con respecto a un puntoLa pendiente se puede denotar en ngulos o en porcentaje. Para determinar la pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ngulo determina el valor de la pendiente en base al 100%.

En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la lnea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ngullo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la lnea de tierra.Pendiente determinado por nguloPendiente determinado por porcentajePendiente Positiva (+)Pendiente Negativa (-)Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestos1- Dada la recta m por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta a el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB.

5. Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60 con el Plano Horizontal de proyeccin y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representacin del punto D.b) Hallar las trazas. Prctica N 4Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosPrctica N 51 Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyeccin ortogonal la boca de un tnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyeccin) donde se encuentra las estaciones de trabajo del tnel AB.c) Representar la proyeccin del tnel HC que desciende por el suelo extensin de la recta "r" que mide 45 mt.d) Determinar la ubicacin de otra estacin de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estacin ubicada en el punto D construir un segundo tnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este tnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que DDeterminar los ngulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.

2- Se desea perforar un tnel en una montaa para llegar a una mina de carbn partiendo del punto A (25;10;35) la boca del tnel, extendindose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30 con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetracin del tnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbn).c) sobre el tramo AB, Construir un segundo tnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90 con el plano horizontal y 0 con el plano vertical, este tnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH.Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notables

AvBvAhBhQvQhDada la recta m por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta a el tipo de recta y trazas y verdadera magnitud del segmento AB.Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.La extensin de la proyeccin vertical hasta la lnea de tierra ayuda a determinar el punto de penetracin (traza) de la recta AB al plano horizontal que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyeccin de la recta.AhAvHhHvBvBhVM ABSolucin de ejercicios.1 Prctica N4Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.2 Prctica N4Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60 con el Plano Horizontal de proyeccin y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representacin del punto D.b) Hallar las trazas.

Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.1 Prctica N51 Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyeccin ortogonal la boca de un tnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyeccin) donde se encuentra las estaciones de trabajo del tnel AB.c) Representar la proyeccin del tnel HC que desciende por el suelo extensin de la recta "r" que mide 45 mt.d) Determinar la ubicacin de otra estacin de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estacin ubicada en el punto D construir un segundo tnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este tnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que DDeterminar los ngulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.Representacin de la recta en el Sistema DidricoRepresentacin del punto y la recta en el sistema didricoEjercicios propuestosRectas en posiciones notablesSolucin de ejercicios.2 Prctica N5

2- Se desea perforar un tnel en una montaa para llegar a una mina de carbn partiendo del punto A (25;10;35) la boca del tnel, extendindose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30 con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetracin del tnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbn).c) sobre el tramo AB, Construir un segundo tnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90 con el plano horizontal y 0 con el plano vertical, este tnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH.