06 geometria (b - i - s)

91

GEOMETRÍAS

DEFINICIÓN

Figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales

mediante segmentos de recta.

Elemplos:Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, AC

Notación: ABC : triángulo de vértices A, B y C

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus

ángulos o la longitud de sus lados.

I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

a. Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un án-

gulo recto

b = a + c2 2 2

A

B

C

+

AB y BC: catetos

AC: hipotenusa

b. Triángulo Oblicuángulo.- Es aquel triángulo que no tiene

un ángulo recto y puede ser:

b.1.Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus

ángulos interiores agudos.

A

B

C

< 90° < 90° < 90°

En el ABC:

b.2.Triángulo Obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene

un ángulo interior obtuso.B

AC

En el ABC:

TRIÁNGULOSSemana 01

II. SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS

a. Triángulo Escaleno.- Es aquel triángulo cuyos lados tienen

diferente longitud.

AB BC AC

B

A C

En el ABC:

b. Triángulo Isósceles.- Es aquel triángulo que tiene dos la-

dos de igual longitud.

B

A C

AB=BC

AC: Base del ABC

En el ABC:

c. Triángulo Equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son

de igual longitud.

60°

60°

A

B

C

AB=BC=AC60°

En el ABC:

Práctica

1. Del gráfico, calcula: "x"

120°x60°

a) 50° c) 70° e) 95°

b) 68° d) 90°

2. Del gráfico, calcula: x + 20

130°

x 3x

150°

92

INGENIERÍAS

a) 10° c) 30° e) 150°b) 20° d) 40°

3. En la figura, ¿entre qué valores puede variar la longitud de

segmento AC?

B

CA

D

4 9

x

6 8

a) 5<x<13 b) 5<x<14 c) 2<x<13d) 3<x<16 e) 2<x<14

4. Del gráfico mostrado, calcula: x, si: AB=AD=DC

B

C

D

A

x

60º70º

a) 100° c) 120° e) 180°b) 110° d) 130°

5. De la figura mostrada, calcula: "x"

a) 30°

b) 45°

c) 50°50°

x

30°80°

20°30°10°

B

C

DA

d) 60°

e) 80°

6. De la figura mostrada, calcula R.

Rx

a) 90° – x b) 90° + x c) x – 90°

d) 180° – x e) 3x

7. Si en un triángulo rectángulo un ángulo externo mide 120°,

¿cuál es la medida del ángulo externo del otro ángulo agudo?

a) 100° b) 140° c) 110°

d) 150° e) 120°

8. Según el gráfico señala la relación correcta.

H

B

CA

a) = 2 b) = c) 2

d) 2

= e) 2= 3

9. De la figura, calcula: "x"

60°

22

x

B

CA

a) 10° c) 15° e) 30°b) 20° d) 25°

10. Determina el mínimo y el máximo valor entero que toma "x"

B

A C

10

x+2

8

a) 2 y 15 b) 0 y 16 c) 2 y 18

d) 0 y 18 e) 1 y 15

11. Del gráfico, calcula: x/y

20°

60° 20°

y

x

a) 0,5 b) 2 c) 3

d) 1 e) 0,3

12. Del gráfico, calcula "x"

40°40° x

70°

B C

DA

a) 5° b) 15° c) 25°

d) 10° e) 20°

13. En la figura, AB = BC y BP=BQ, calcula: "x"

a) 10°

b) 30°

c) 50°

20°

x

B

CPQ

A

d) 20°

e) 40°

14. De la figura, si BC=QC y mQCA = 48, calcula "x"

x

B

CR

Q

A

93

GEOMETRÍAS

a) 28° c) 40° e) 60°

b) 30° d) 48°

15. En la figura, calcula x + y

x

y

54°

a) 234 c) 240 e) 252

b) 210 d) 126

16. Calcular el mayor valor entero de la longitud de un lado, si el

perímetro de su región es 40

a) 20 c) 22 e) 18

b) 21 d) 19

17. Del gráfico, calcula: "x"

x

60°50°

a) 100° c) 80° e) 120°

b) 85° d) 110°

18. De la figura mostrada, ¿cuál es el menor segmento?

60°

50° 40°

75°C

A

B

D

a) AC c) CD e) AC

b) BC d) DB

19. En la figura, AB=BC, PQ=QC y BQ=7, calcula: AB

Q

B

CA

P

2x

a) 7 c) 14 e) 30

b) 12 d) 20

20. En la figura, calcula la relación entre "x" e "y"

Si AB=BC=CD

xy

B

DCA

a) 1/2 c) 1/4 e) 3

b) 1/3 d) 2

21. En la figura, AC // PQ . Calcule x.

45°

2

2

xA

B

P

A) 105ºB) 75ºC) 120ºD) 90ºE) 60º

22. En la figura, AP = PQ ; NM = NB ; FE = FC. Calcule x.

A C

B

P E

NM

x

y

z

A) 18ºB) 450ºC) 270ºD) 540ºE) 360º

23. En la figura calcule x ya b

x

b

y

a

A) 1B) 2C) 3

D) 41E) 2

24. En la figura, AB = 8 y AD = AB + CD. Calcule x.

60°A

B

C

D

A) 3B) 4C) 6D) 8E) 10

25. En la figura, calcule: a + b + c + d

a

b

160°

10°

d

c

A) 150ºB) 160ºC) 170ºD) 200ºE) 180º

26. Las medidas d elos ángulos interiores de un triángulo son (x +

y); (x – y) y (2y – x). Calcule x cuando y toma su menor valor

entero.

94

INGENIERÍAS

A) 83º B) 86º C) 88º

D) 90º E) 87º

27. En un triángulo ABC, m A 2m C , AB = 2. Calcule BC si sesabe que es entero.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

28. En la figura, PC = 12. Calcule el valor entero de AB.

A

B

CP2

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

29. En la figura, calcule x si: AB = BC y CD = DE y + – = 70º.

2

A

B

C

D

E

x

A) 110ºB) 100ºC) 130ºD) 160ºE) 170º

30. En la figura, calcule x.

x

x

A) 30º B) 45º C) 60º D) 37º E) 53º

31. Si EC = CD y FB = BP, calcule «x».

A) 80° B) 70° C) 60°

D) 50° E) 40°

32. Si 250º , , calcula «x».

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 50°

33. Si m/ /n, calcula la medida del ángulo formado entre las rectas

L1 y L2.

A) 40º B) 35º C) 30º

D) 25º E) 20º

34. En un triángulo ABC, se ubica el punto interior P tal que los trián-gulos APB y PBC son obtusos en P.Si AP=16, BP=12 y PC=9, calcular el menor perímetro deltriángulo ABC si se sabe que es un valor entero.A) 42º B) 43º C) 44ºD) 45º E) 41º

35. Calcula «x» si el triángulo AEB es equilátero y 140º.

A) 10º B) 40º C) 15ºD) 30º E) 20º

36. Según el gráfico, calcula (x + y).

A) 110º B) 150º C) 170º

D) 210º E) 220º

37. En la figura, calcula el valor de si a + b + c + d = 420º.

A) 10° B) 15° C) 20°

D) 25° E) 30°

95

GEOMETRÍAS

38. Se prolongan los lados AC y BC de un triángulo ABC hasta P

y Q, res-pectivamente. Calcula la m BPA s i

m BAC m APQ 60º y m BCA –m APQ 60º. Además: AB = BQ.

A) 10° B) 15° C) 20°

D) 25° E) 30°

39. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se toman los puntos E y

F sobre AB y BC, respectivamente, tal que el triángulo CEF es

equilátero. Halla m FEB si m ACE .A) B) 3 C) 2D) 90 – E) 45 –

40. En un triángulo dos de sus lados miden x y 3x; el tercer lado

mide 24 cm. Halla la suma de los valores que puede tomar x.

A) 18 cm B) 24 cm C) 30 cm

D) 36 cm E) 48 cm

41. El perímetro de un triángulo rec-tángulo es 30. ¿Cuántos

valores enteros puede tomar la longitud de la hipotenusa?

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

42. Según la figura BC//DE, m–n = 36º, calcula el valor de si AD

= DE.

A) 36º B) 48º C) 32º

D) 44º E) 46º

43. Un triángulo tiene como perímetro 26 m y uno de sus lados

mide 9 m. Halla la diferencia de las medidas de los otros dos

lados si el producto es 70 m2.

A) 3 m B) 4 m C) 2 m

D) 1 m E) 5 m

44. En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto «Q» tal que

BQ=AC, m QAC 48º y m ACQ 18º. Halla la

m QBC; además m BAQ y m ABQ 60º –.

A) 36º B) 18º C) 24º

D) 12º E) 32º

45. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el punto «L» exterior

relativo a BC tal que m BAL 2m LAC; m BCE 3m LCE («E»

se encuentra en la prolongación de AC ). Halla el máximo

valor entero de ALC.A) 24º B) 29º C) 19º

D) 59º E) 89º

96

INGENIERÍAS

LÍNEAS NOTABLESSemana 02

1. CEVIANA

Segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto

o de su prolongación.

2. ALTURA

Ceviana perpendicular al lado al que es relativo.

– Triángulo acutángulo

– Triángulo obtusángulo

– Triángulo rectángulo

3. BISECTRIZ

Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.

– Bisectriz interior

– Bisectriz exterior

Práctica

1. Según la figura mostrada, calcula "x".

100°

x

a) 10° c) 30° e) 80°

b) 20° d) 50°

2. Según la figura mostrada, calcula "x" si se sabe que "I" es el

incentro del ABC.

Ix

B

C

A

a) 125° c) 150° e) 145°

b) 135° d) 120°

3. Según el gráfico mostrado, calcula "x".

110°

x

a) 110° c) 130° e) 145°

b) 140° d) 135°

4. Según la figura, calcula "x".

80°

x

B

CA

a) 100° d) 140°

b) 120° e) 150°

c) 130°

5. En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que

corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y

C en M y N. Calcula MN si AB = 8u y BC = 9 u.

a) 17 u d) 16 u

b) 15 u e) 17/2 u

c) 18 u

97

GEOMETRÍAS

6. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de A y C que seintersectan formando un ángulo que es el triple de B.Calcula "A + C".

a) 14° b) 360° c) 18°d) 100° e) 144°

7. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de tal forma queAB = BD = DC y mBAC = 80°. Calcula mABC.

a) 20° c) 60° e) 80°b) 50° d) 70°

8. En un triángulo ABC, el ángulo "A" mide 70° y el ángulo "C", 92°.Calcula el ángulo que forma la bisectriz exterior del ángulo Bcon la prolongación del lado AC.

a) 8° c) 10° e) 12°b) 9° d) 11°

9. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa BC, la bisectrizAM mide igual que el cateto AB. Calcula la medida del ángu-lo "C".

a) 30° c) 22°30' e) N.A.b) 32°30' d) 18°30'

10. En un triángulo isósceles MNP (NM = MP) se prolonga NP hastaQ, de tal forma que MP es bisectriz del ángulo NMQ. Calculala medida del ángulo PMQ si el ángulo Q mide 30°.

a) 30° c) 40° e) 70°b) 60° d) 50°

11. Según la figura, calcula la medida del ángulo ADB.

a) 50°

b) 80°

c) 100°

B

CA100°

50°

D

E

d) 150°

e) 180°

12. Según la figura mostrada, calcula "x".

a) 115°

b) 125°

c) 130°

50°

x

B

CA

d) 150°

e) 155°

13. Según la figura, calcula el valor del ángulo "x", si AD y BC son

bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.

a) 30°

b) 60°

c) 90°

20°

60°x

B

CA

D

d) 120°

e) 150°

14. En la figura, BH es la altura y BM es la mediana. Calcula la

medida del ángulo "".

a) 10°

b) 20°

c) 28°

B

50°A CH M

d) 30°

e) 40°

15. Si en un triángulo ABC, el ángulo A mide 58°, ¿cuánto mide el

ángulo BDC, donde D es el punto de intersección de las bi-

sectrices de los ángulos B y C?

a) 125° c) 110° e) 102°

b) 119° d) 95°

16. En la figura, EF es la mediatriz de DC . Si AB // DE y AJ = 20

cm, calcula BE.

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cmE

G

CA D F

BJ

d) 8 cm

e) 10 cm

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediana rela-

tiva a BC mide 2 2 m que interseca perpendicularmente

con la mediana relativa a la hipotenusa. Calcula AB .

a) 2 2 m c) 4 m e) 3 m

b) 2 m d) 4 2 m

18. En un triángulo rectángulo ABC la hipotensua mide "2a" unida-des, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes delas medianas relativas a los catetos es _______.

a) 3a2 c) 7a2 e) 11a2

b) 5a2 d) 9a2

19. En la figura mostrada, el ABC es isósceles, AM y CN son

medianas que se intersectan perpendicularmente. Calcu-

la ABa) a 10b) a 5c) 2a 10

MN

B

CA H

d) 10e) 2 10

20. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), en el lado AC se

ubica el punto P de manera que el ángulo PBC mide 40°. Si

las bisectrices de los ángulos BAC y BPC se intersectan en E,

calcula mAEP.

a) 25° c) 40° e) 60°

b) 35° d) 50°

21. En la figura, calcula «x».

98

INGENIERÍAS

A) 60º B) 40° C) 30°

D) 20° E) 10°

22. Se tiene un triángulo ABC en el que se traza la ceviana interior

BD tal que BD = 4,BC = 6; mABD = 3, BCA = 2 y MBAD= .Calcula AD.

A) 6 B) 8 C) 7

D) 5 E) 10

23. Calcula «x».

A) 40º B) 30° C) 60º

D) 50° E) 45º

24. En la figura, hallar «x».

A) 10° B) 20° C) 15°

D) 30° E) 18°

25. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la ceviana AD tal que

AB = BD y mA–mC 60º. Halla mDAC.A) 28º B) 22º 30' C) 25º

D) 35º E) 30º

26. En la figura, halla «x» en función de .

A) 45° + 4

B) 60° + 5

C) 30° + 3

D) 45° + 2

E) 90° – 4

27. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior CP, de tal

manera que PB = AC. Calcula mA si mB = 3mA.A) 18° B) 24° C) 30°

D) 36° E) 45°

28. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C, de modo

que mC–mA 32. Calcula la medida del ángulo que forman

la bisectriz exterior BE y la altura BH.A) 64º B) 69° C) 90°

D) 72º E) 74°

29. Se tiene el triángulo ABC, de incentro «I», de tal manera que

mBAI mBCA, AB = C y BC = a. Halla AI.

A)ac

a cB)

a c2

C) ac

D) a – c E) 2 2a c

30. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura

BH. Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices

de los ángulos BAC y HBC.

A) 60º B) 75º C) 90º

D) 100º E) 120º

31. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AN y

CM, de tal manera que mAMC mNMB y mANC mMNB.Halla mABC.A) 18º B) 24º C) 30º

D) 36º E) 45º

32. En un triángulo rectángulo ABC, mA 4mC. Halla la medida

del menor ángulo formado por la bisectriz de B y la mediatriz

de AC al interceptarse.

A) 17º B) 23º C) 27º

D) 18º E) 36º

33. En un triángulo ABC, donde AB = 8u y BC = 11u, se traza por B

una paralela al lado AC, que corta a la prolongación de la

bisectriz interior de A en P y a la bisectriz exterior de C en Q.

Halla PQ.

A) 7,5 u B) 1,5 u C) 2 u

D) 3 u E) 5 u

34. Sea ABC un triángulo obtusángulo, obtuso en «B». Se trazan las

alturas AH y CQ . Determina la medida del ángulo formado

por las bisec-trices de los ángulos HAB y BCQ.

A) 60° B) 75° C) 45°

D) 90° E) 30°

35. En un triángulo ABC (AB > BC), se traza la bisectriz exterior BDy se ubica el punto «E» en AB tal que AE = EC. Calcula la

m ECB si la m ADB 27º. .

A) 27° B) 18° C) 36°

D) 40° E) 54°

36. En la figura, I es incentro del ABC. Calcule x.

80°

70°

A C

B

I

x

A) 20ºB) 30ºC) 36ºD) 40ºE) 45º

99

GEOMETRÍAS

37. En la figura calcule x.

80°

70°

x

A) 50º B) 55º C) 60º D) 65º E) 70º


50°

x

A) 50ºB) 55ºC) 60ºD) 65ºE) 70º


100°

2

xA) 40ºB) 30ºC) 25ºD) 50ºE) 80º

40. En la figura calcule x + y.

x

y

A) 60ºB) 90ºC) 80ºD) 100ºE) 110º

41. En la figura: m + n = 220º. Calcule x.

m

n

x

A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 45ºE) 36º

42. En la figura, P y Q son incentros de los triángulos ABC y PDC

respectivamente. Calcule x.

D

CA

P

B

Qx

A) 30ºB) 36ºC) 45ºD) 60ºE) 80º

43. En la figura, calcule x + y + z.

140° x

yz

A) 180ºB) 280ºC) 140ºD) 200ºE) 220º

44. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior del A y la

bisectriz exterior del C , las cuales se intersectan en. Por “E” se

traza la paralela a AC que corta en Q y P a BC y AB respectiva-mente. Si: AP = 15 y QC = 12, calcule PQ.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

45. Dado el triángulo isósceles ABC, m B=100º , sobre los lados

BC y AC se ubican los puntos P y Q respectivamente, tal que:

m BAP m CBQ 30º .

Calcule la m BAP m CBQ 30º A) 15º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º

100

INGENIERÍAS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSSemana 03

B

A C

c

b

Q

P R

c

b

B

A C

c

b

Q

P R

c

b

B

A C

c

b

a

Q

P R

c

b

a

2DO CASO: ÁNGULO – LADO – ÁNGULO

(L.A.L.)

ABC PQR

ABC PQR

1ER CASO: LADO – ÁNGULO – LADO

(L.A.L.)

3ER CASO: LADO – LADO – LADO

(L.L.L.)

ABC PQR

Práctica

1. En la figura mostrada, calcula ST si QP = 8 m y PT = 12 m.Q

S

TRPa) 3 m c) 4 m e) 5 m

b) 6 m d) 8 m

2. De la figura, calcula el valor de "3x + 2y".

5y

50°

x+10°

2x

a) 90° c) 60° e) 85°

b) 89° d) 73°

3. De la figura mostrada, calcula "".

20°- C

D

3 -20°

B

A

a) 10° c) 20° e) 30°

b) 15° d) 16°

4. En la figura, calcula "x", sabiendo que AB = DC y DB = DE.

2x

5x3x

C

D

E

AB

a) 10° c) 15° e) 20°

b) 12° d) 18°


4x 60° CA

a) 30° c) 15° e) 37°

b) 27° d) 20°

6. Según las figuras que se presentan, calcula " – ".

a b

c

N

M P a

bc

R

Q S70°

30°

a) 40° c) 60° e) 70°

b) 30° d) 50°

7. Del gráfico mostrado, calcula "x".

30°+

ba

A

BC

x+D

E

P

b

a

101

GEOMETRÍAS

a) 15° c) 30° e) 2 –

b) 20° d) –

8. En la figura que se presenta, calcula "x"; si AB = 16u y DE = x + 4.

B

EC

D

A

a) 8 u c) 13 u e) 20 u

b) 12 u d) 16 u

9. En la figura mostrada, calcula "x".

A Dx2+1

17u CE

B

a) 2 u c) 4 u e) 8 u

b) 3 u d) 5 u

10. De la figura mostrada calcula "x", si ABCD es un cuadrado y BH

= 3 u, PH = 7 u.

a) 5 u

b) 2 u

c) 3 u

C

D

PAH

B

x

d) 4 u

e) 7 u

11. Del gráfico, calcula AB, si AM = 8 u y CN = 6 u.

a) 8 u

b) 10 u

c) 7 u

45°A

C

NBM

d) 5 u

e) 2 u

12. En el gráf ico adjunto, calcula "x "; s i BC = BE y

AE = DC.

a) 60°

b) 50°

c) 45°x3x

xD C

B

A

E

d) 70°

e) 75°


a) 22°30'

b) 15°

c) 18°

2

B

CA

d) 40°

e) 30°


a) 46°

b) 56°

c) 134°134°

A

B

CDF

E

b

a

xab

d) 57°

e) 60°

15. Si ABC y PQR son dos triángulos de tal forma que AC = PR, AB

= QR; mA = mR; BC = 12 cm y PQ = x2 – 4. Calcula "x".

a) 2 cm d) 5 cm b) 4 cm

e) 6 cm c) 3 cm

16. En la figura adjunta, calcula "x".

a) 30°

b) 45°

c) 10°

2x +10°

x

B

CA

d) 20°

e) 60°

17. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula "2x".

a) 200°

b) 219°

c) 220°

20°

20°

x

d) 210°

e) 205°

18. En la figura mostrada, calcula "x" si AP = BC.

a) 25°

b) 30°

c) 35°

70° x

40°

B

CPA

d) 40°

e) 45°

19. Sea ABCD un cuadrado cuyos lados tienen longitud "L". Por el

vértice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los

lados. Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa

por B son 12 m y 9 m respectivamente. Calcula el valor de "L".

a) 20 m d) 25 m b) 12 m

e) 18 m c) 15 m

20. En un triángulo ABC se traza la mediana BR , de tal manera

que AB = AR, y mRBC = 14°. Calcula mABC.

a) 14° d) 51° b) 57°

e) 60° c) 37°

21. De la figura adjutna, calcula el valor de "x".

a) 12°

b) 10°

c) 9°

2x 24°-xB

CNMA

d) 8°

e) 6°

102

INGENIERÍAS

22. En la figura adjunta AD ED. Si BC = 5 cm, calcula DF.

a) 4 cm

b) 2 cm

c) 3 cm

E

B

FD

C

A

d) 5 cm

e) 6 cm

23. De la figura adjunta, calcula BM, si se sabe que BD = 6 cm.

a) 3 cm

b) 4 cm

c) 4,5 cm M

D

E

B

CAd) 5 cm

e) 6 cm

24. En la figura que se presenta, calcula "x" si AB = 25 u y DE = x2 +

9.

a) 1

b) 2

c) 3

B

CF

A

D

d) 4

e) 5

25. En la figura mostrada, calcula "x".

a) 6

b) 7

c) 8

3x+2

2x+10

d) 9

e) 10

26. De la figura mostrada, calcula el lado del cuadrado ABCD si

BH = 5 cm y PH = 17 cm.

a) 5 cm

b) 7 cm

c) 10 cm

C

D

PAH

B

d) 12 cm

e) 13 cm

27. De la figura AM + MB = 14 cm. Calcula CM + MD.

a) 10 cm

b) 12 cm

c) 14 cm

B

C

D

Ad) 16 cm

e) 20 cm

28. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden "c" y "b"

respectivamente con c < b. La longitud de la mediana BM

relativa al lado BC se encuentra entre:

a)b c b cBM

2 2 d)

b c BM 2b c2

b) b – c < BM < b + c e)a c a cBM

2 2

c) a + b < BM < b + c


a) 20°

b) 30°

c) 40°

20°

B

CAx

Ex

D

d) 50°

e) 60°


a) 38°

b) 40°

c) 58° x

38°

a

a

b

b

d) 142°

e) 70°

31. Sean ABC y PQR dos triángulos congruentes de modo que: AC

= QR, mA = mQ, mC = mR, AB = x + 1; PQ = 7 – x; PR =

6; BC = 2y. Calcula "x + y".

a) 1 u c) 3 u e) 7 u

b) 2 u d) 6 u

32. En el cuadrado ABCD; CM = 2. Calcula AN, si el lado del

cuadrado mide 6 cm.

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 3 cm M

N

B C

DA

d) 4 cm

e) 5 cm

33. En la figura se muestran los triángulos ABC y PQC congruentes.

Calcula "x".

20°

x

P

C

A

Ba) 50° d) 55° b) 60°

e) 65° c) 70°

34. En la figura AB = FC. Calcula "".

2

B

CA F

a) 15° b) 30° c) 18°

d) 36° e) 22°30'

103

GEOMETRÍAS

35. Según la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula la medida de su

lado si las distancias de los puntos A y C a la recta L es 4 m

y 3 m respectivamente.

a) 3,5

b) 5

c) 6

B

C

D

A

d) 7

e) 12

36. En un triángulo ABC se traza la mediana BR de tal forma que

AB = AR, y mRBC = 14°. Calcula mBAC.

a) 104° c) 106° e) 108°

b) 105° d) 107°

37. En un triángulo ABC, se traza la altura BH , en la cual se ubicael punto P; de tal modo que AB = PC. Si mPAC = mBCA,calcula mAPH.

a) 30° c) 45° e) 75°

b) 37° d) 53°

38. En la figura, calcule si:

A

M

B

C

N

37ºA) 2

55ºB) 2

45ºC) 2

D) 30ºE) 18º

39. En la figura, AB = PC y AC = 10. Calcule AP.

A C

P

B

2

5

A) 4 B) 5 C) 5,5 D) 6 E) 7,5

40. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que AD= BC

y m ABDm BAD m CBD2

.

Calcule la m ABC.A) 90º B) 72º C) 120º

D) 105º E) 108º

41. En la figura, AB = MC. Calcule x.

30°

75°75°

A CM

B

N

A) 45º B) 30º C) 37º

D) 50º E) 60º

42. En la figura, los triángulos ABC y PQC son equiláteros. Calcule

.

100º

A

C

B

Q

A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 20ºE) 50º

43. En la figura, AB = BC, DC = 7 y DE = 3. Calcule AE.

AE

D C

B

A) 3B) 3,5C) 4D) 5,5E) 6

44. En la figura, EL TF, TE = LF. Calcule

T F

L

E

45°2

A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 20º

45. En la figura los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Calcule

x.

A CE

B

D

x

A) 30ºB) 50ºC) 45ºD) 60ºE) 53º

46. En la figura, CD = 2 (AB). Calcule .

A C

D

B

2

A) 10º B) 18º30’ C) 22º30’

D) 26º30’ E) 28º

104

INGENIERÍAS

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIASemana 04

TEOREMA DE LABISECTRIZ

PM

Q

R

O

a

a

b

A

B

b

TEOREMA DE LAMEDIATRIZ

A BM

P

a a

MEDIANA RELATIVA BASE MEDIA

A

B

CMa a

a

2a

M N

B

A C

m

2ma

a b

b

Práctica

1. De acuerdo con la figura, calcula AD si AB = 4 m.

a) 4 2 m

b) 6 2 m

c) 8 2 m

45°

D

C

B

A 30°d) 10 2 m

e) 8 m

2. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y la ceviana BD,

que se cortan en E. Calcula DC si AE = EM y AD = 1u.

a) 1u c) 3u e) 5u

b) 2u d) 4u

3. De acuerdo con la figura, calcula "x" .

6x

x+4

B

CA

a) 2 c) 4 e) 6b) 3 d) 5

4. Calcula MN si BC = 6 cm.

37°

C

B

M

NA

a) 3 cm c) 5 cm e) 7 cm

b) 4 cm d) 6 cm

5. Si mBAC – mBCA = 30 y

AB = MC, calcula el valor de "x", L es mediatriz de AC .

Mx

B

CA

a) 60 c) 65 e) 55

b) 75 d) 70

6. Calcula PM si BM MC .

xP

M

B

CA

6cm

10cma) 2 cm c) 4 cm e) 6 cm

b) 3 cm d) 5 cm

7. De acuerdo con la figura, DC = 8m. Calcula AB.

2

B

CDA

a) 1 m c) 4 m e) 8 m

b) 2 m d) 6 m

8. De acierdo con la figura, la relación entre los perímetros de los

triángulos PQR y RST es de 1 : 2. Calcula: QS.

4 5u

30° 60°

PT

SRQa) 5 u b) (2 + 2 3 ) u c) (2 3 + 4) u

d) 2( 5 + 2) u e) (2 – 3 ) u

9. De acuerdo con la figura mostrada, calcula HQ si AC = 36m.

BQ

20°CHA

105

GEOMETRÍAS

a) 13,5 u b) 9 u c) 6 3 u

d) 18 u e) 9 3 u

10. Se tiene un cuadrado ABCD. CED es un triángulo equilátero y BP

es perpendicular. Calcula EP.

E1u

P

BA

CD

a) 1/2 u b) 312

u c) 3/2 u

d) 322

u e)

312

u

11. De acuerdo con la figura, ¿cuál es el valor de «a»?.

4 3m BA C

a

D

60° 30°

a) 6 m b) 24 3 m c) 12 3 m

d) 24 m e) 12 m

12. De acuerdo con la figura, calcula RC si el ABC es equilátero.

a) 2 u

b) 1 u

B

RP

A Q C

1u

2uc) 3 u

d) 2 u

e) 1,5 u

13. De acuerdo con la figura, calcula "x"

30°

50m

C

D

B

A

x

a) 200 3 m b)400

3 c) 3/3 m

d) 3200 3m e) 250 3 m

14. De acuerdo con los datos de la figura, calcula el valor de "x"

10m

8m

C

BAx

a) 9 m b) 18 m c) 25 m

d) 12 m e) 24 m

15. De acuerdo con la figura mostrada, calcula PQ si AB = 8m y

AC = 12m.

PQ

B

CAa) 1 m b) 3 m c) 5 m

d) 2 m e) 4 m

16. De acuerdo con la figura AB = CD y AC = BE. Calcula x + 23.

B

C

D

A

35°50°

45°x

Ea) 23° c) 35° e) 48°

b) 47° d) 38°

17. En un triángulo ABC, se traza la mediana BR de tal manera

que AB = AR y mRBC = 14. Calcula mABC.

a) 14° c) 53° e) 64°

b) 37° d) 51°

18. De acuerdo con la figura calcula "x", si mBAH=mECA=30°

23°

x16

B

E

CA

H

a) 2 u c) 6 u e) 4 u

b) 8 u d) 5 u

19.

b 2a a

2ab

A

CB

a) /12 c) /4 e) 5/2

b) /6 d) /3

106

INGENIERÍAS

20. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM ; en el

triángulo BMC, se traza la mediana BN , BN = 9 m; sobre AC

se toma un punto "F" de modo que MF//BN . Calcula: MF..UNI 1985 – I

a) 6 m c) 5 m e) 8 m

b) 4 m d) 10 m

21. De acuerdo con la figura mostrada, calcula «x».

45°CB

A

x6

M

a) 2 2 c) 4 e) 4 2b) 3 2 d) 3

22. De acuerdo con la figura mostrada, calcula "".

10°10°

B

C

A D

m

2m

a) 10º c) 30º e) 60º

b) 20º d) 40º

23. De acuerdo con la figura, calcula: MN.

B

N

C

M

A 10cma) 4 cm c) 6 cm e) 10 cm

b) 5 cm d) 8 cm

EJERCICIOS PUCP24. Según la figura, calcula QS.

2 10u

30° 60°

P T

SRQ

2

a) ( 3 6)u d) (3 3)ub) ( 3 3)u e) ( 3 4)uc) ( 3 2)u

25. De acuerdo con la figura, calcula "x".

x

4u

30°

B

E

A D C

a) 1 u c) 3 u e) 0,5 u

b) 2 u d) 1,5 u

26. Si en el cuadrado mostrado ABCD trazamos DF de tal mane-

ra que pase por el vértice E del triángulo equilátero AEB,

¿cuál es el valor de FC?

EF

BA

CD

a

a) a 32

b)a3 c) a 2

d) a(2 3) e) 3a 12

27. Se tiene un triángulo ABC recto en B, donde A = 60º. La bisectriz del

vértice "A" cae en el lado BC en el punto "D". Calcula DC si BD = 2 u.

a) 1 u c) 2 3 u e) 4 u

b) 2 u d) 3 u

28. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, BF es perpendi-

cular a BC. Si FC = 30 u, y además, mFCB = 29º y mA BF =

3º, calcula AB.

FA

B

C29°

3°

a) 22,5 u c) 10 u e) 15 u

b) 30 u d) 20 u


a) 32403

m

b)300

3m

30°

100m

C

D

B

A

x

c) 4003

m

d) 32502

m

e) 175 m

107

GEOMETRÍAS


4m

2m

C

BAx

a) 2 m c) 2 3 m e) 4 3 m

b) 4 m d) 6 m

31. De acuerdo con la figura, calcula «PM» si AB = 7 m y AC = 15

m.

P M

B

CA

a) 3 m c) 6 m e) 8 m

b) 4 m d) 7 m

32. En la figura, AB+AM=12 cm y EM = 5cm. Halla: MB.

E

M C

B

A

D

a) 7,5 cm c) 7 cm e) 6,5 cm

b) 8 cm d) 6 cm

33. En el cuadrilátero PQRS, si PQ=12 3 u y QR=8 3 u, calcu-

la PS + RS.

120°R

QP

S

a) 20 u c) 50 u e) 80 u

b) 40 u d) 60 u

34. De acuerdo con la figura, si mBAH=mECA=30º y =23º,

calcula: HE + BE.

H

E

B

CA

12cm

a) 6 cm c) 12 cm e) 20 cm

b) 8 cm d) 16 cm

35. De acuerdo con la figura mostrada, calcula CD si AB=16 cm.

A

EB30° 45° 53°

C Da) 1 cm c) 3 cm e) 1,5 cm

b) 2 cm d) 4 cm

36. Si AD y BM son medianas del ABC y AC=30 cm, calcula

las longitudes x e y en ese orden.

My

x

A

CDBa) 11 y 4 b) 8 y 9 c) 9 y 6

d) 9,5 y 5,5 e) 10 y 5

37. En el interior de un triángulo ABC (AB=BC), se toma el punto

«p» de tal manera que mPBA = 10º, PB = AC y mPBC =

30º. Calcula mPAB.

a) 10º b) 25º c) 20º

d) 30º e) 15º

38. En la figura, AD = 2 (DB). Calcule la m FPE .

A CF

B

E

A) 15º B) 30º C) 45º

D) 60º E) 75º

39. En la figura, AB si AC – PQ = 8. Calcule AB.

A C

Q

B

P

D

2

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

40. En la figura, AH = HQ, 1 2L y L

son mediatrices de BD y QC

respectivamente,

m ABC=100º . Calcule x.

A

B

CH

M

Q N

D

L1

L2

108

INGENIERÍAS

A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 20º

41. En la figura, AB = 7, AC = 15 y BM = MC. Calcule PM.

A C

B

MP

A) 3B) 4C) 6D) 7E) 8

42. En la figura AM = MC = MP. Calcule x.

A

B

CM

x

P

A) 53ºB) 60ºC) 45ºD) 30º

53ºE) 2

43. En la figura AC = BD y BC = CD. Calcule x.

C

A

x

D

B

A) 30ºB) 45ºC) 37ºD) 53ºE) 60º

44. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana BM ,

luego la perpendicular AH a dicha mediana H en BM ,

BC = 2 (AH). Calcule la m MBC .A) 10º B) 30º C) 15º

D) 20º E) 45º

45. Según el gráfico: AB = BC y 6AD CD AB5

, calcule x .

A D

CB

53º

x

A) 135º B) 120º C) 115º

D) 127º E) 118º

46. En la figura, AB = BC = CD. Calcule la m CDA

A7x

D

B C

5x

10xA) 8ºB) 10ºC) 12ºD) 15ºE) 20º


x 7º

A) 45º B) 30º C) 37º

D) 53º E) 60º

06 geometria (b - i - s)

Documents