Traslacionesffiwmpwmmxdw

' En el plano cartesiano se muestra elrecorrido que hizo una caravana turística.El punto representa el automóvil en el que

se hizo el recorrido.

En el plano se representa la traslación de un punto que se desplazó seis unidadeshacia el oriente.

Una traslación es un movimiento en el plano, determinado por una flecha ovector, que se simboliza rnediante una letra minúscula con una flecha sobre ella.

A. Dado el polígono cuyos vértices se hallanen los puntos:A (1,4),8 (2,2),C (3,3),

D (5,2) y E (4,4), hallar la traslaciónf : cuatro unidades hacia abajo,en dirección vertical.

Para realizar el rnovimiento de traslaciónde la figura es necesario hacer la

traslación de cada uno de sus vértices,según la dirección,el sentido y lamagnitud del vector. El polígonoresultante de A'B'C'D'E'se llama imagende la traslación.

B. Dado el polígono cuyos vértices son A (- 5,3), B (-2,2) y C (-3,1), aplicarla traslación v:cinco unidades hacia la derecha en dirección horizontal,y la traslación c:cuatro unidades hacia abajo en dirección vertical.

ffi*1ü3lré+.,,.,,

.,;#,'.'

$TroslociónEs el combio deposicrón de un

cuerpo de un lugoro otro, en líneo recto,

VeclorEs uno flecho que

posee mognitud ovolor, dirección(verticol u horizontol)y seniido (hocio

orribo, hocio obojo,ol oriente, o loderecho, etc )

lmogenEs el polÍgono

resultonte de oplicorun vector troslociónsobre un poligono

orig inol

'6 -5 -4 -3 -2 -1

7##.-ffi'Wfr{ffifr{",ffi.'ffiWaWW:,o,",o,.l\,4odel0C:on*'..o',..,, r:i:' Comunicoc¡ón ,, Resolución de problen:s

Apüüc*u &wo!üswt Dados los siguientes polígonos, ubicar cada Lrno s. Describe las posibles traslaciones que realizó la

en el plano cartesiano y realizar las traslaciones figura en cada plano cartesiano.indicadas.

1.a. Pof ígono de vértices: A (*6,1), B (- 1,- 1) , r

y C (-6,5). Traslación: siete unidades hacia , , tsabajo. ry' [\a I

b.Polígonodevértices:A(-2,-1),8(-7,-1), I I i ,o#cC (-7,- 3), D (- 4,- 3) y E (.- 2,- q). Traslación:

-5-4 3 2 l."l I 2 3n,4 5seis unidades hacia la derecha. : I \, i ' 1

c. Polígono de vértices: M (3,-2), N (.7,- 1¡, ,-it , :21 '''{, \t'

q.rollgonooeverilces: y\u,t),Q\:4,-3)y K\4,4).,...,. "..^.\-.1,i.:,,;:¡

Traslación: ocho unidades hacia la izquierda . .::&!. : , .. "

En las siguientes gráficas, indicar la dirección , ,-.i'" :1,'\t, " ''f-

_...1 ..\ .: r I rl ..] "'tEn las siguientes gráficas, indicar la dirección , ,-.í" t.:1,.,1.,.,{.1:;,,,i^', '.'.f1Fi't¡,i,Í,:!iiel sentido y la magnitud de cada traslación. | | | z

t'

E*r * -l¡t to I

t!, l-,Il:l

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b. i.". .:_,i:'.^.,,',_:i..';,,t".,! .,. i. .1 ., t... ) ,.tt i,, i , 2

i t,;"'y. tl

I : t3 J': -M'3l -ñ '"I I \N'A¡': 2l l)rltttt I K'¿L'

C. ffiw*wdq¡*

'r Sobre un plano cartesiano se dibujó un polí-gono,con vértices: A (.-2,1 ), I (-6, 1), C (-6,41,D(-4,6)yE(-2,4).Sia este polígono se le aplica Ia traslación f:diezunidades hacia la derecha en dirección horizon-tal,y luego la traslación c: siete unidades haciaabajo en dirección vert¡cal, ¿cuáles son los vér-tices del polígono imagen?

':.

s-+-á ) 1o

Reflexiones en el plano

o En el museo de Amsterdam, se encuentra la obra de Maurits Corneln Escher.Observa dos ejemplos de su trabajo.En ambas se presenta elreflejo quese do en un espejo.

Los objetos que se ven en el espejo son idénticos, en formo y tomaño, al objetoreal, pero con lados invertidos; lo que en el objeto éstó a la derecha, en la imagenaparece a la izquierda,y viceversa.

Un objeto y su imagen en el espejo es un buen ejemplo de reflexión.Una reflexión es una transformación geoméirica, que a cada punto de una figurale hace corresponder un punto al otro lado de un eje de reflexión y a la mismadistancia de este.

Pasos para reflejar un punto P sobre un eje,a. 5e traza una perpendicular a / en O,

que pase por P.

Al otro lado de / se mide, sobre laperpendicular, la misma distancia OP.

b. Se mide Ia distancia de P al eje /.

ltgs|', 1o

I

d. El punto marcado al otro lado del eje, Pcorresponde a la reflexión de P.

ffiReflexiónEs un movimientoen el plono, que se

efectúo con respecto

o uno recto llomodoele de reflexión.

Eje de reflexiónLíneo recto que setomo comoreferencio en unoreflexión.

l'o,u,o..- f:'1" t'u lo

F-,

Para hallar la reflexión de una figurasobre un eje dado es necesario reflejarcada uno de sus vértices. Una reflexióninvierte los lados de la figura inicial.

Las figuras que se obtienen por reflexión son congruentes con lasoriginales y entre símismas.

! Dibuja la figura reflejada en cada caso.

a. b.

# Refleja la figura, primero sobre el eje I luegosobre el t y finalmente sobre el eje g.

/^\(?)\)

t-)¿aa_)

t _]

3ffi

ffitEI)ffi

d.C.

&¡) Di cuáles de las figuras se han obtenido por una

reflexión de la figura modelo.

Refleja la figura, primero sobre el eje f y luegosobre el eje t,

a. ¿Se podría obtener la figura final mediante unasola reflexión? Explica tu respuesta.

b. ¿Se podría obtener la figura final medianteotro tipo de transformación en el plano? Ex-plica tu respuesta.

a. ¿Se podría obtener la figura final mediante unasola reflexión?

b. ¿Se podría obtener la figura final medianteotro tipo de transformación en el plano? Ex-

plica tu respuesta.

4F Dado el siguiente polígono, considera el ejes como centro de reflexión y completa cadaexpresión.

a.PQ=

c.QR=

b. 4R:d. 4RPQ =

il*M9, A un polígono con vértices en (-1,1), (-5,1),

(-5,4), (-3,6) y (-1,4) se le aplica una reflexiónsobre el eje x. ¿Cuáles son las coordenadas delpolígono imagen?

I Si al mismo polígono del ejercicio anterior sele aplica una reflexión sobre el ejey, ¿cuáles sonlas coordenadas del polígono imagen?

I

Simetría

a El pueblo de San Jacinto, Bolívar, es conocido y visitado por muchos tur¡stospor sus tradicionales hamacas, sombreros, mochilas y artesanías en general.

¿Cuóles son la propiedades geométricas de las figuras que se utilizan paraelaborar estos diseños?

Algunas ¿" lu, figrras que aparecen en estos diseños poseen dos partesexacta mente con g ruentes.

Eje de reflexión

Cualquier recta que permita reflejar una parte de la figura, para construirla toda,se denomina eje de simetría. Una figura simétrica se puede construir reflejandouna de sus partes sobre un eje.. Una figura simétrica tiene por

lo menos un eje de reflexión.

A/ñltáFI =:=Stt\ryp\.I?\ & A

Eje de reflexiónF:#f;:;.1\ " : F" '')

\*,1"1'./\l"l/1i\¿.. r:\

ll.:.i.:\¿::i::.f,

. Si la figura se dobla, se puede hacercoincidir una de las partes con la otra.

. La línea por donde se puede doblar la figura,para hacer coincidir sus partes, correspondea un eje de reflexión.

. Algunas figuras simétricas tienenmás de un eje de reflexión.

cuolro ejes

ffi ¡j. de simetríoEs uno recto que se

tomo como eje de

reflexión poro

construir uno figurocompleto

Figuro simélricoSe construyemedionte lo

reflexión de uno de

sus podes sobre un

eje determinodo

Figuros osimélricosSon oquellos que no

tienen ningún eje de

reflexión.

ATY A/\tres ejes

Las figuras que no tienen ningúneje de reflexión se denominanfisurasasimétricas.

\\ a-7 /\._) \\ t¡ ( I I/ \,/ | L\l i

dos ejes

..,f0ces0s:''lVodel0cións.R0Zon0mienio-..o'un'.o.'on

Ap*&*m'

¡ De las siguientes figuras, indica las que son si-métricas y las que son asimétricas.

Realiza Ia reflexión de cada parte de las figuras,para obtener las figuras totales.a.

" Resofución de problemos

Alt**ü*m1. Copia las siguientes figuras en tu cuaderno.

a. Encuentra un eje de simetría en cada figura.b. Copia una de las partes simétricas y reprodu-

ce la figura mediante el eje de simetría.c. Propón dos figuras diferentes que tengan un

eje de simetría.

6' Realiza las reflexiones sucesivas a partir de lafigura inicial y obtén modelos de frisos.

'$' Dado un punto P (-S,0), halla el punto p,simé-trico de P respecto al eje y.

ffiw*xwüw6 En el plano se representa parte de una figura.

¿Cuál es la figura total, si se toma inicialmentecomo eje de simetría elejexy luego elejey?

Dobla una tira de papel en secuencias rectan-gulares iguales.

a. Dibuja en una de las secciones una figura.

b. Recorta simultáneamente todas las secuenciasdel papel doblado, siguiendo las líneas de tra-zo. ¡Obtén frisos decorativos!

>f-,L--l_f

/íü

ó

tu

wv_-/

KIl'\ ri

\11'!/ \-/

]

l

Rotaciones en el plano

o Una empresa de turismo ha diseñadoun aviso para llamar la atención de lasclientes.

En el cartel, el trióngulo gira permanentemente.

¿Mediante qué movimiento en elplanose han conseguido los diferentes posicionesque toma eltrióngulo?

. r sii:t¡ii!';j:t.i"il.iltr$.i "lfi? *i1i'.tri¡t¡1¡:ti.]:.i..i:riu;,!:i:.!:ii¡¡;!jq;¡:i,rij.r

Cada posición del cartel en su recorrido se consigue mediante una rotación.

La rotación es un movimiento en el plano, determinado por una amplitud, unaorientación y un centro de rotacién.

ffi RolociónMovimiento de un

punto o figuroolrededor de un

punto.

AmpliludCorresponde o lomedido del óngulode rotoción.

0rientociónlndico si el

movimiento se

reolizo en el sentidode los monecillosdel reloj (negotivo)

o en sentidocontrorio o estos(positivo).

Centro de lotociónEs un punto en el

plono, que se tomocomo referencioporo hocer lo

roloción

Pasos para la rotación de un polígonoa. Se unen con segmentos los vértices del

polígono con el centro de rotación. En

este caso, los vértices A, B y C con elpunto (0,0).

Con ayuda del compás se trazansegmentos congruentes y se localizanlos vértices del triángulo"

b. Se mide sobre cada segmento elángulode rotación en el sentido indicado. En

este caso,90o en el sentido de las

manecillas del reloj.

d. Se unen los vértices A', B'y C'paraobtener la imagen de rotación.

,,o,,"o,.l\4odel0ciono.,...'.]]..;;,"';:;.;;.;;;;,,.;.'.;

ed**w1 ' Desc ribe la rotación realizada.Observa el ejemplo.

Rotación:120o enel sentido de las

nnanecillas del re-loj, alrededor delpunto (0,0).

Anc!izoe Dibuja en tu cuaderno cada una de las figuras

y realiza la rotación indicada.

a. Rotar 90o a partir de R, en el sentido de las ma-necillas del reloj.

Ib. Rotar 1200 a partir de 1., en el sentido contrario

de las manecillas del reloj.

*¡ Rota la figura ABC 45", con centro de rotaciónen el punto O y en sentido positivo. Luego, rotala figura obtenída 30o alrededor del punto O yen sentido positivo.

ó

no

a. ¿Esta última figura se puede obtener por rota-ción directa de la figura inicial? Si la respuestaes afirmativa, indica cuál es la rotación directa.

b. ¿La figura conseguida se podrá obtener me-diante una traslación? Explica tu respuesta.

'4;, En cada caso,escribe falso (F) o verdadero (V),

según corresponda.

r a. La figura que se obtiene al hacer una rotación no es

I congruent! con l9 inlcial,

, b. Al describir una rotación en el sentido de las i

, maneli!!1s del relojse obt!ene un iiqOu]o

positivo.

I c. El centro de rotación es el punto que se toma c0m0

.refe1en!ana3ha59i|arota1ión'I d. Sia una misma figura se le aplica un movimiento

. de rotación y uno de traslación,las imágenes son

, igy91rt: ,

ffimqx*s*wm

5. Describe la rotación realizada sobre el triángu-lo para obtener la siguiente configuración.

1ftWffiWW U

Composición de movimientos en el plano

a En diferentes poblaciones colombianas se elaboran tapetes y carpetas, que

llaman la atención de los turistas por sus variados y curiosos diseños.

¿Qué tipo de transformaciones en el plano se empleoron para realizar el diseño

que adorna eltapete? ¿En qué orden se realizaron?

,r¡.,:.11:l¡|rii-i:,i.air.,,1 .. ¡j:11:t:ltrri¡:i.'i:1!:ii:ti:¡,{i:it;1:É:}!:iii.¡i.;. 1,¡riii;i{i:!li;a'l:il;:,:

El diseño lateral del tapete está compuesto por una figura que ocupa diferentes

posiciones.

. Observa las diversastransformaciones que se

han efectuado sobre ella.

. La figura final D se ha

conseguido mediante unatra nsformación compuesta,con una traslación, una

reflexión y una rotación.

I

#dÁc*" É.RER## tr%& &DFtrlry;@Traslacién Reflexión

Para aplicar una transformación compuesta sobre una figura, se deben

aplicar sucesivamente las transformaciones indicadas.

. La figura final H se ha obtenidoal aplicar una reflexión,luegouna traslación y finalmenteuna rotación.

Rotación

EF

^gt ffi.--

-:

-=ffi Tronsfotmociónc0mpuestoEs oquello en lo que

se oplicon dos o mús

tronsformociones o

uno figuro en el

plono.

Refiexión

) r,o,ro,ion

\ I RohciónGl /

-

tJ i /

-

B,-n

t Copia las figuras en tu cuaderno y encuentra la

figura que se obtiene al aplicar sucesivamentelas transformaciones indicadas.

a.. Troslodor fes unidodes hocic lo derecho,

. Rotcr 90o en sentido positivo, con cenfroen A,

. Reflejor con respecto o un eje horizontol,

. Reflejor con respecto o un eje verticol.

. Troslodor cuotro unidodes hocio obojo.

. Roior 60" en sentido positivo, con centroen A.

A . Troslodor cinco unidodes o lo izquierdo.

. Roicr 900 en sentido posifivo, con cenfoen A.

. Troslodor seis unidodes o lo derecho.

Procesos: lvodeloción :..: Rozonomiento ::: Comunic0ción , Resolución de problemos

I Copia en tu cuaderno la figura dada, el punto O,

el eje de reflexión s y el vector de traslación f.

I+-t+-t+->

a" Realiza sobre la figura la reflexión s y despuésla traslación f. Luego, efectúa las dos transfor-maciones, pero cambiando el orden. ¿Es con-mutativa la aplicación de las transformaciones?

b. Realiza la traslación y luego la rotación sobrela figura.lntercambia el orden de las transfor-maciones.¿Es conmutativa la aplicación de es-

tas dos transformaciones?

c. Repite el ejercicio con la reflexión y la rotación.

¿Es conmutativa la aplicación de estas dostra nsformaciones?

&&&%#ss**#Ef*

a Traslada el triángulo tres unidades hacia arri-ba, traslada OPQ hacia la izquierda cinco uni-dades y rota la figura 90o en sentido negativo,con centro en el punto Q. ¿En qué puntos estáubicada la imagen final?

6tr

4a

2

1

-3-4

tr

-f)

b.

c.

,\___.¡

A

Attm&&ww

z Realizando el proceso mentalmente, dibuja la

figura que resulta de aplicar sucesivamente las

transformaciones indicadas. Luego, realiza elproceso con lápiz y papel para comprobar turespuesta.

a. Reflexión sobre el eje horizontal.Rotación de 90o en sentido negativo.

b. Traslación de cinco unidades haciala izquierda.Reflexión sobre el eje horizontal.

Homotecias#mxw,pwwwwdm

o Para promocionor un producto lospublicistas elaboran una valla, en

la que qporece la etiqueta altamañonormaly la misma ampliada altriple.

¿Cómo se puede construir una figurasemejante a la etiqueto normal,coneltamaño indicado?

Para construir una figura semejante a una figura dada se realiza una transformación

en el plano, denominada homotecia, que aumenta o disminuye el tamaño de las

figuras,conservando la medida de los ángulos y las proporciones entre los lados.

factor de proporcionalidad que se

ffiHomotecioEs uno fronsformociónque se reolizo sobre

uno figuro en el plono

y que permite obtener

figuros semejontes o

lo originol.

Poro efectuor uno

homotecio se requiere

determinor un centroy un coeficienie de

proporciono lidod.

pt

a

D'

oltoiffibls'qs'',

Aplicación de una homotecia sobre una f¡gura5e debe establecer un punto del plano y el

va a mantener.

a. La figura ampliada al triple se puede construirfijando un centro O y aplicandoel factor de proporcionalidad 3.

b. A partir del punto O se traza una rectaque pase por el punto A.

B

o AA.'\/V

D

c. 5e determina la distancia del punto O

hasta el punto A,

d. Se multiplica la distan cia OA por el factorde proporcionalidad y se mide la distanciaconseguida a partir de O sobre la recta OA.

Se marca el punto (A) correspondiente a dichadistancia. El punto hallado corresponde a la

imagen de A por la homotecia de centro en O yfactor de proporcionalidad 3.

e. Se aplica el mismo procedimiento para

cada uno de los vértices de la figura.

La figura obtenida es semejante a la original ysus lados tienen el triple de longitud.

t Copia en tu cuaderno cada figura y aplica la ho-motecia según el punto y el factor de propor-cionalidad dados.

&w*m$ñww

*r Para cada homotecia indicada encuentra el

centro y el factor de proporcionalidad. Descri-be la homotecia realizada en cada caso.

b.b.a. a'i t]r'ADa

O8', €',t---------1ttlt,t1A' D'

a

o

foctor l

Encuentra la homoteciacuadrilátero.

afoctor 0,3

,l

indicada para cada

foctor 0,2 D

n

Para cada figura,obtén las homotecias indica-das, a partir del punto O dado en cada caso.

Con foctor 2

Con foctor 0,5

Con foctor 0,4

Con foclor 1 ,2

f; Encuentra el valor de verdad de las proposiciones.

a. Una homotecia conserva la medidade los ángulos de una figura.

b. Una homotecia conserva lamedida de los lados de la figura.

c. Toda homotecia amplía la figuraoriginal.

d. El factor de proporcionalidaden una homotecia determinaeltamaño de la figura.

e. El centro de una homotecia dependedel factor de proporcionalidad.

ffi&wwxs,w&ww

o Si el publicista decidiera presentar en la vallala etiqueta normal, aplicando homotecias confactores de proporcionalidad, Q,25,1,5 y 3, res-pectivamente, ¿cuál sería la presentación de laetiqueta y sus copias en la valla publicitaria?

U

a.a

b.

a

fqclor 2

foctor 3

foctor 2 ,-)