clase 14 geometria cpech - geometria de proporcion i (oliverclases)

7/28/2019 Clase 14 Geometria Cpech - Geometria de Proporcion I (OliverClases)

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Geometra2010

Propiedad Intelectual Cpech

Clase N 14Geometra de Proporcin I

PPTCANMTGEA04014V1


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APRENDIZAJES ESPERADOS

Identificar tringulos congruentes y semejantes.

Resolver ejercicios que involucren segmentosdivididos interior y exteriormente, armnicamenteo en seccin urea.

Resolver ejercicios que involucren congruencia y

semejanza de tringulos.

Resolver ejercicios que involucren equivalencia defiguras.



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1.Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definicin

1.2Tringulos Congruentes

3.1 Definicin

3.2 Tringulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homlogos3.4 Razn entre reas y permetros


3.5 Postulados de semejanza


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4.1Divisin Interior

4.2Divisin Exterior

4.3 Divisin Armnica

4. Divisin de un segmento

4.4 Seccin urea o Divina



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1. Figuras congruentes ( )

1.1 DefinicinDos figuras son congruentes cuando tienen la mismaforma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si alcolocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda suextensin.

Ejemplos:



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A

C

B D

F

E

1.2 Tringulos congruentesPara determinar si dos tringulos son congruentes,existen algunos criterios. Los ms utilizados son:

1 Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos tringulos son congruentes si sus ladoscorrespondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF



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2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos ladosrespectivamente congruentes y el ngulo comprendido

entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

aa

5

3

5

3

Ejemplo:




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3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulosrespectivamente congruentes y el lado comprendido entre

ellos congruente.

A B

C

E

F

D

aa

1212

Ejemplo:

b b




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2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma rea.

Ejemplo:El cuadrado de lado 2p , es equivalente al crculo de radio2 de la figura:

rea = 4p rea = 4p



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3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polgonos sean semejantes es necesarioque se cumplan dos condiciones:

3.1 Definicin

Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices

con ngulos congruentes.

G

F

J

I

Ha

b

gd

e

A

E

D

C

Ba

b

gd

e

1que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y

2que sus lados homlogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.



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A

E

D

C

B

a

b

gd

e

G

F

J

I

Ha

b

gd

e

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Adems, estn en razn 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homlogos, comotambin lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.



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Dos tringulos son semejantes si sus nguloscorrespondientes son congruentes, y sus ladoshomlogos proporcionales.

3.2 Tringulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

a

b

g

E

F

D

a

b

g

Los Lados homlogos estn enrazn: 1:3 = k

5

3

15

9

4

12

Recuerda que al establecer unasemejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homlogo a DE

BC es homlogo a EF

AC es homlogo a DF ABDE

BCEF

ACDF

13

= = = = k



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P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomlogosLos lados homlogos en los tringulos semejantes, correspondena los lados proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 510

= 36

= 48

= 12

Adems, los elementos que cumplen la misma funcin en cadatringulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales,tambin son homlogos y proporcionales.

= k



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PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hChR

Adems, =hChR

2,4

4,8=

12

= k


Recuerda: Teorema de Euclides

hC = a bc


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La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, esigual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos.

Ejemplo:

Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

ABPQ

= = k510

= 12

AABC

APQR=

6

24=

1

4= k2



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3.5 Postulados de semejanza

1 Postulado AA.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulosrespectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

34o 55o

E

F

D

34o

55o

ABDF

BCFE

ACDE

= = = kAdems


ABC ~ DFE por AA


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2 Postulado LLL.

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ladosrespectivamente proporcionales.

Ejemplo:

ABC ~ FDE por LLL

A B

C

4

E

F

D

5

6

12 8

10

ABFD

BCDE

ACFE

12

= = = = k

Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED



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3 Postulado LAL.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ladosrespectivamente proporcionales y el ngulo comprendidoentre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

4

E

F

D

5 12

15

57

57

ABC ~ FED por LAL

Adems BAC=DFE y CBA=FED

BCED

412

515

13

= = = kACFD

=



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Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

a

b

g4 10

Q

R

P

a

g

b

6Solucin:

10QR

46

= 60 = 4QR 15 = QR

Es decir:

ABPR

10QR

46

= =

Los tringulos de la figura son semejantes por AA y se tieneque ABC ~ PRQ , entonces:

ABPR

CBQR

ACPQ= = = k Con k razn de semejanza



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4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior

CA B

Si el punto Cdivide interiormente al segmento AB en raznm:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB

= mn

Si Q divide interiormente al segmento AB en la razn 3:5,y QB= 45, entonces, cunto mide AB?



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QA B

45

AQQB

= 35

Solucin:

AQ45

= 35

AQ =345

5

AQ = 27

27

Por lo tanto, AB mide 72



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4.2 Divisin exteriorSi el punto Ddivide exteriormente al segmento AB en raznm:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD

= mn

Si D divide exteriormente al segmento AB en la razn5:2, y AD = 20, entonces, cunto mide BD?



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AD

BD

= 5

2

20

BD

= 5

2BD

=

202

5BD = 8

BA D812

20Solucin:



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4.3 Divisin armnicaDividir el segmento ABarmnicamente en razn m:n,implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn.

Ejemplo:

mACCB

= = nADBD

Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2,cunto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12


Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:


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12+yy

Solucin:

x y

ACCB = 32 = 32 3x = 2(12 - x) 12- xx3x = 24 - 2x

5x = 24

ADBD

= 32

= 32

24 + 2y = 3y

365

x = 245

24 = y

245

24A C B D

12 - x

12



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4.4 Seccin urea o DivinaEl punto X divide el trazo ABen seccin urea,si el trazo mayor es media proporcionalgeomtrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX

= AXBX

(AX)2 = ABBX

En la figura, P divide al segmento AB en seccin urea,con AP > PB. Cul es la ecuacin que permite calcular lamedida de AP, si PB = 5?

5



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Solucin:

(AP)2 = (AP + 5)5(AP)2 = 5AP + 25

(AP)2 - 5AP - 25= 0

5

PA B

(AP)2 = ABPB



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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, en las pginas 273, 274 y 276.



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Equipo Editorial: Patricia Valds

Olga Orchard

Pablo Espinosa

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