fisica i es (modulo 2)

OndaselectromagnticasEcuaciones de Maxwell y ondaselectromagnticas

Antoni Prez Navarro

PID_00166263

CC-BY PID_00166263 Ondas electromagnticas

ndice

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Resumen de las leyes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Incompletitud de la ley de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. La corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Las ecuaciones de Maxwell completas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5. Propagacin del campo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6. La ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8. Solucin de la ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1. Carcter vectorial de las ondas electromagnticas . . . . 29

1.9. Qu hemos aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1. Qu es una onda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Descripcin de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1. El frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.2. La longitud de onda y el nmero de onda k . . . . . . . . 39

2.2.3. La frecuencia angular y el perodo T . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.4. La amplitud ~E_0 y ~B_0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.5. La fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.6. Diversas formas de expresar los campos elctrico y

magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Ondas armnicas, planas y monocromticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1. Ondas armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3. Ondas monocromticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4. Clasificacin de las ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5. Qu hemos aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Ejercicios de autoevaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

CC-BY PID_00166263 5 Ondas electromagnticas

Introduccin

En los mdulos Electrosttica y Magnetosttica e induccin electromagn-

tica, habis visto diversas leyes y comportamientos de los campos elctrico y

magntico. En el primer mdulo habis visto la ley de Gauss y, en el segundo,

la ley de Ampre, la ley de Faraday-Lenz y la ley de Gauss para el campo mag-

ntico. De hecho, estas leyes no aparecieron de repente, si no que se fueron

elaborando a lo largo de ms de diez aos.

Teorema de Gauss

Lo que hemos visto en elmdulo Electrosttica es laley de Gauss aplicada alelectromagnetismo. Sinembargo, esta es solo una delas aplicaciones del teoremade Gauss, que es un teoremamatemtico fundamental engeometra diferencial.

Ampre public sus observaciones sobre electricidad y magnetismo entre 1822

(cuando public Recueil dobservations lectro-dynamiques [Coleccin de ob-

servaciones sobre electrodinmica]) y 1827 (en su Thorie mathmatique des

phnomnes lectro-dynamiques uniquement dduite de lexprience [Teora mate-

mtica de los fenmenos electrodinmicos, deducida exclusivamente a partir

de los experimentos]). Gauss formul su ley en 1835, si bien no se public

hasta 1867. Faraday y Henry descubrieron, independentmente y prcticamen-

te a la vez, la induccin electromagntica. No obstante, puesto que el trabajo

de Faraday se public antes, es este el nombre que utilizamos para la ley de

induccin. A pesar de ello, Faraday se limit a dar el mdulo de la f.e.m. in-

ducida y fue Lenz quien, en 1834, dio la interpretacin fsica al signo de la

corriente inducida: es el signo negativo que aparece en la ley de Faraday-Lenz.

Heinrich Friedrich EmilLenz

Heinrich Friedrich Emil Lenz(Dorpat, 12 de febrero de1804 - Roma, 10 de febrerode 1865). Qumico, fsico ymatemtico estonio. Se leconoce por haberdescubierto en qu sentido seproduce la corrienteinducida. Es por ello que a laley de Faraday tambin se laconoce como ley deFaraday-Lenz.

No obstante, las leyes que se iban deduciendo se consideraban ecuaciones que

satisfacan, bien el campo electrosttico, bien el campo magntico. Solo en

el caso de la ley de Faraday vemos que hay una relacin explcita entre am-

bos. Fue Maxwell quien se percat de que, en realidad, esta relacin no era

una curiosidad si no que era ms profunda de lo que pareca a priori. Fue l

quien descubri que el campo elctrico y el campo magntico estaban relacio-

nados y constituan el campo electromagntico. Con esta afirmacin, unific

dos campos que, hasta entonces, haban estado separados, y las diversas ecua-

ciones que hemos visto se convirtieron en las ecuaciones de Maxwell. Fue en

1873 cuando aparecieron por primera vez en su forma moderna*, publicadas

en A Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado de electricidad y magne-

tismo).

* Cuando decimos que

aparecieron las leyes de

Maxwell en forma moderna, lo

decimos desde un punto de

vista conceptual. La notacin

actual, con vectores, etc. es

posterior y se debe a Oliver

Heaviside (18 de mayo de

1850 - 3 de febrero de 1925).

Este nuevo enfoque de Maxwell no fue un simple ejercicio terico, sino que

conllev una serie de descubrimientos capitales tanto para la ciencia en gene-

ral como para nuestra vida diaria en particular. Para que os hagis una idea, de

las leyes de Maxwell derivan disciplinas como la telecomunicacin o la elec-

trnica. Por tanto, no son solo un elemento de estudio, si no que son uno de

los pilares de nuestra civilizacin.


Ya veis, entonces, que si tuviramos que estudiar las leyes de Maxwell a fondo

y todas sus consecuencias, quizs no acabaramos nunca y, por tanto, no las

podemos abarcar todas en el espacio de este mdulo. Nos centraremos, enton-

ces, solo en una, e incluso as, la estudiaremos de forma muy bsica: las ondas

electromagnticas.

Hasta ahora, en los mdulos Magnetosttica e induccin electromagntica

y Electrosttica hemos obtenido expresiones que nos permiten calcular los

campos elctrico y magntico para diversas distribuciones de cargas y de co-

rrientes. Fijaos, sin embargo, en lo que hacamos: realizbamos el clculo y

decamos que ya tenamos el campo en todo el espacio. En todo el espacio!

Quiere decir esto que si ponemos una carga en un punto, instantneamen-

te todo el universo, incluso las galaxias ms lejanas, notar la presencia del

campo que crea esta carga?

La respuesta a esta pregunta es que no. Lo que ocurre es que tanto el campo

elctrico como el magntico (lo que denominaremos campo electromagntico)

se propagan a una velocidad finita y, adems, pueden hacerlo en el vaco! Por

consiguiente, el campo que crea nuestra carga no aparece instantneamente

en todo el universo, sino que sale de la carga y comienza a alejarse de ella. Lo

hace en forma de lo que se conoce como ondas electromagnticas. Estas ondas

son un elemento clave de nuestra sociedad o incluso de nuestra civilizacin:

las ondas de radio, las ondas del telfono mvil, etc., son ondas electromag-

nticas.

No obstante, como hemos apuntado, el campo electromagntico se desplaza

a una velocidad finita y lo hace en forma de ondas electromagnticas. Por lo

tanto, estamos diciendo que estas tambin se desplazarn a velocidad finita.

Esta velocidad es, en el vaco, igual a 2,9979108 m/s, que resulta que coincide

con la velocidad de la luz.

Este resultado es, por lo menos, curioso, y llev a Maxwell a afirmar, en 1864, en unartculo titulado A dynamical theory of the electromagnetic field (Una teora dinmica delcampo electromagntico), que:

El acuerdo de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son manifesta-ciones de una misma sustancia y que la luz no es ms que una perturbacin electromag-ntica que se propaga mediante el campo de acuerdo con las leyes electromagnticas.

Y efectivamente, Maxwell tena razn: la luz no es ms que una forma de onda

electromagntica.

Ya veis, pues, que el mdulo nos llevar desde los fundamentos del electro-

magnetismo hasta las ondas electromagnticas. La estructura ser precisamen-

te esta. En el primer apartado, dedicado a las leyes de Maxwell, reescribiremos

estas leyes y veremos que, en realidad, no las habamos visto completas. Por

este motivo, tendremos que completar una, la ley de Ampre, y al hacerlo po-

dris ver desde un punto de vista cualitativo que esta ley permite que los cam-


pos electromagnticos se puedan desplazar (lo que denominaremos propagar)

por el vaco. A continuacin, veremos que a partir de las ecuaciones de Max-

well es posible deducir que los campos se pueden propagar en forma de onda

y acabaremos esta primera parte expresando los campos elctrico y magnti-

co en forma de onda. Eso s, de un tipo de onda que nos simplifica mucho

la labor: expresaremos el campo solo para el caso que se conoce como onda

armnica, plana y monocromtica.

En el segundo apartado del mdulo, dedicado a la descripcin de las ondas

electromagnticas, profundizaremos ms en ellas y veremos cmo las pode-

mos describir. Para hacerlo, definiremos parmetros como la frecuencia, la

longitud de onda, el perodo, etc. Para terminar, introduciremos el espectro

electromagntico, que nos permitir ver que la luz es, efectivamente, una for-

ma de onda electromagntica.

Finalmente, encontraris un tercer apartado con un conjunto de problemas

resueltos con los que podris poner en prctica los conceptos adquiridos.

As pues, este mdulo va desde los aspectos ms abstractos (las leyes de Max-

well) a los ms concretos (las ondas electromagnticas). Las primeras son un

conjunto de ecuaciones que constituyen un elemento capital de la historia de

la fsica y de la ciencia y la ingeniera actuales. Nos permiten explicar fenme-

nos tan aparentemente dispares como por qu nos llega la luz del Sol o por

qu podemos comunicarnos a travs del telfono mvil. Y en todos estos fen-

menos hay presentes unos objetos que derivan de las leyes de Maxwell: las

ondas electromagnticas, unas ondas que estarn muy presentes a lo largo de

toda vuestra titulacin, puesto que con ellas se puede transmitir informacin.


Objetivos

Los objetivos que vais a alcanzar con este mdulo son los siguientes:

1. Aprender a mirar con espritu crtico los fundamentos del electromagne-

tismo.

2. Conocer las leyes de Maxwell y comprender que son la base del electro-

magnetismo.

3. Entender el concepto de funcin de varias variables y comprender la dife-

rencia entre representar una onda en funcin del espacio y representarla

en funcin del tiempo.

4. Saber qu es una onda.

5. Comprender cmo se propaga el campo electromagntico en forma de on-

das y entender el concepto de onda viajera.

6. Entender el concepto de ondas planas armnicas.

7. Saber describir una onda mediante la longitud de onda y la frecuencia.

8. Conocer el espectro electromagntico.


1. Ecuaciones de Maxwell.

James Clerk Maxwell

Fsico escocs (Edimburgo,13 de junio de 1831Cambridge, 5 de noviembrede 1879) conocidoprincipalmente por haberdesarrollado la teora clsicadel electromagnetismo.

Comenzaremos este mdulo por los fundamentos: las ecuaciones de Max-

well, que nos permitirn sentar las bases de todo lo que haremos durante el

mdulo y, sobre todo, entender el porqu del principal fenmeno que estu-

diaremos: la propagacin de los campos electromagnticos.

El objetivo del mdulo no es aprender pasos y demostraciones matemticas

muy complicadas, sino saber qu significan las ecuaciones de Maxwell. Como

consecuencia, veris que a menudo no haremos los pasos matemticos; en

cambio, convendr que entendis los conceptos que hay detrs y que, con

frecuencia, se encuentran en estas ecuaciones.

Comenzaremos este apartado recopilando lo que ya habis estudiado. Veris

que, en realidad, en los dos mdulos anteriores habis trabajado con las ecua-

ciones de Maxwell. Aqu las recopilaremos y las contemplaremos como un

todo. Esto nos permitir detectar una rareza y veremos que una de ellas est

incompleta. Para completarla, deberemos introducir un concepto nuevo: la

corriente de desplazamiento. Hecho esto, ya podremos ver las ecuaciones de

Maxwell completas.

Algunos fenmenos ondulatorios se

estudian en el mdulo Mecnica.

Cinemtica y dinmica al hablar del

oscilador armnico.

Un vez las tengamos, veremos que nos permiten explicar cmo se pueden

propagar los campos elctrico y magntico y que ambos cumplen un tipo de

ecuacin que se conoce como ecuacin de onda. Esta es una de las ecuacio-

nes fundamentales de la fsica, puesto que la cumplen todos los fenmenos

ondulatorios, veremos una posible solucin de la misma que nos ayudar a

entenderla y, ms adelante, a comprender el motivo de su nombre.

Qu aprenderemos?

En este apartado aprenderis:

que las ecuaciones de Maxwell no son un conjunto de ecuaciones aisladas,

sino que todas juntas constituyen la base del electromagnetismo;

el concepto de corriente de desplazamiento;

que los campos elctrico y magntico se pueden realimentar mutuamente

y que ambos cumplen la ecuacin de onda.

Qu supondremos?

Supondremos que habis asumido los conocimientos de los mdulos Elec-

trosttica y Magnetosttica e induccin electromagntica. En concreto, va-

mos a suponer:


que sabis qu es un flujo,

que sabis qu es una integral de lnea,

que sabis qu es una integral de superficie,

que conocis el campo elctrico en el interior de un condensador,

que conocis y sabis trabajar con las funciones trigonomtricas,

que sabis hacer derivadas parciales y derivadas totales,

que sabis hacer un producto vectorial.

1.1. Resumen de las leyes de Maxwell

Para comenzar, recopilaremos todo lo que tenemos; en concreto, cuatro ecua-

ciones que ya hemos visto en mdulos anteriores y que corresponden a las

ecuaciones (o leyes) de Maxwell.

Ecuaciones de Maxwell enforma integral

Hablamos de ecuaciones deMaxwell en forma integralporque hay otra manera deexpresarlas: en formadiferencial. Esta forma queda,no obstante, ms all de losobjetivos de la asignatura.

.

Las leyes de Maxwell en forma integral en el vaco son:

Ley de Gauss para el campo elctrico:

IS

~Ed~S =Qint0

(1)

Ley de Gauss para el campo magntico:

IS

~Bd~S = 0 (2)

Ley de Faraday-Lenz:

IC

~Ed~l = d

dt

ZS

~Bd~S (3)

Ley de Ampre:

IC

~Bd~l = 0Iencerrada (4)

Los diversos elementos que aparecen en las leyes de Maxwell son estos:

~E y ~B son, respectivamente, los campos elctrico y magntico.

HS ... d

~S indica la integral sobre una superficie cerrada, S.

HC ... d

~l indica la integral sobre una curva cerrada, C.

0 y 0 son, respectivamente, la permitividad elctrica y la permeabilidad

magntica del vaco.


Qint es la carga encerrada por una superficie gaussiana en la ley de Gauss.

Iencerrada es la intensidad encerrada por la curva de Ampre en la ley de

Ampre.

Recordad que es la letra

griega phi, que se lee fi.

Adems, podemos definir el flujo magntico, b, de la siguiente manera:

b =ZS

~Bd~S (5)

Entonces, podemos reescribir la ley de Faraday-Lenz de la siguiente manera:

IC

~Ed~l = dbdt

(6)

Michael Faraday

Michael Faraday (NewingtonButts, 22 de septiembre de1791 Hampton Court,Surrey, 25 de agosto de1867). Fsico y qumicoingls. Se le conoce, entremuchos otros trabajos, por sudescubrimiento de lainduccin electromagntica.La unidad de capacitancia sedenomina farad o faradio (F)en su honor.

Repasemos brevemente qu expresa cada una de las cuatro ecuaciones fun-

damentales del electromagnetismo, es decir, cada una de las ecuaciones de

Maxwell en forma integral:

La ley de Gauss afirma que el flujo neto de campo elctrico que atravie-

sa una superficie cerrada es igual a la carga contenida en esta superficie

dividida por la permitividad del medio, , que en el caso del vaco es 0.

Fijaos que no est hablando del campo elctrico, sino del flujo de campo

elctrico. Esta ley viene a decir, en palabras coloquiales, que existen car-

gas elctricas y que estas son las fuentes del campo elctrico.


griega psilon.

* Si existieran cargas

magnticas las llamaramos

monopolos magnticos.

La ley de Gauss para el campo magntico expresa lo mismo que la ley

de Gauss para el campo elctrico. Sin embargo, puesto que no hay cargas

magnticas,* el flujo de campomagntico a travs de una superficie cerrada

es, en este caso, igual a cero.

La ley de Faraday-Lenz es clave para lo que vamos a estudiar en este mdu-

lo y afirma que una variacin en el tiempo del flujo de campo magntico

produce una fuerza electromotriz inducida, un voltaje: fijaos que la expre-

sinHC~Ed~l no es ms que la expresin para el clculo del potencial que

encontramos en el mdulo Electrosttica. Eso s, advertid que es una in-

tegral sobre una lnea cerrada. Que tenga que ser cerrada tiene sentido: por

un circuito elctrico solo circular corriente si est cerrado.Tened presente la ley de Ampre, que

se ve en el mdulo Magnetosttica e

induccin electromagntica.

Recordad

Los campos magnticos secrean a partir de intensidadesde corriente elctrica, que noson ms que cargas elctricasen movimiento.

La ley de Ampre afirma que la circulacin de campomagntico, es decir, el

campo magntico sobre una determinada curva cerrada, ser igual a la in-

tensidad que atraviesa esta curva. Esta ley tambin contiene una informa-

cin importante: afirma que una intensidad genera un campo magntico,

esto es, relaciona el campo magntico con la fuente que lo origina.


Producto vectorial

Recordad que el productovectorial de dos vectores ~A y~B es ~A ~B = A B sen ,donde es el ngulo queforman. Adems, el vectorresultante es perpendicular a~A y a ~B y va en la direccinque indica la regla de lamano derecha al llevar elprimer vector, ~A, sobre elsegundo, ~B.

.

En resumen, las dos primeras ecuaciones de Maxwell, las leyes de Gauss

para el campo elctrico (ecuacin 1) y para el magntico (ecuacin 2)

hacen referencia a las fuentes del campo elctrico y magntico y nos di-

cen que existen las cargas elctricas pero que no existen las magnticas.

La tercera, la ley de Faraday-Lenz (ecuacin 3), y la cuarta, la ley de Am-

pre (ecuacin 4), hacen referencia a las circulaciones del campo elc-

trico y del campo magntico. El campo elctrico est relacionado con la

variacin del flujo de campo magntico. En cambio, la circulacin del

campo magntico solo est relacionada con su fuente, la intensidad.

Vemos, pues, que si el flujo de campo magntico vara con el tiempo, se pro-

duce un campo elctrico; pero, en cambio, si el flujo de campo elctrico vara

con el tiempo, parece que no se produce un campo magntico. Como mnimo

las ecuaciones no indican nada sobre este hecho. No os parece extrao? Qu

tiene el campo magntico que es tan especial? Por qu podemos producir un

campo elctrico a partir del campo magntico, pero no a la inversa? Podra

ser que estas ecuaciones tan importantes estuvieran mal?

La respuesta a todas estas preguntas est incluida, de hecho, en una respues-

ta afirmativa a la ltima pregunta: efectivamente, las ecuaciones estn mal!

Despus de insistir tanto en su importancia, ahora resulta que fallan! Bien,

hemos exagerado un poco; de hecho no es que estn mal, si no que hay una

que est incompleta. A continuacin, os mostraremos esta incompletitud y lo

haremos con un elemento tan real y tan comn como un condensador. Ve-

ris que, con la ecuacin completa, seremos capaces de producir un campo

magntico a partir de variaciones del flujo de campo elctrico.

1.2. Incompletitud de la ley de Ampre

Andr-Marie Ampre

Andr-Marie Ampre(Poleymieux-ls-Mont-dOr,20 de enero de 1775 Marsella, 10 de junio de1836), fsico y matemticofrancs. Se le conoce porhaber descubierto lasinteracciones mutuas entreconductores atravesados porcorrientes elctricas. Launidad de intensidad sedenomina ampere o amperio(A) en su honor.

Hemos dicho que las ecuaciones de Maxwell (ecuaciones 1, 2, 3 y 4) estaban

incompletas, y nos ha hecho pensar en ello el ver que una variacin del flujo

de campo magntico es capaz de producir un campo elctrico, pero que no

ocurre a la inversa. Esto nos da una pista de cul es la ecuacin que habr que

corregir.

Fijaos que, en la ecuacin 3, la ley de Faraday-Lenz, tenemos que la variacin

del flujo de campo magntico est relacionada con la circulacin del campo

elctrico. Podramos esperar, por tanto, que una variacin del flujo de cam-

po elctrico estuviera relacionada con la circulacin del campo magntico,

es decir, parece que la ley de Ampre (ecuacin 4) podra estar incompleta.

Vemoslo!

En el mdulo Magnetosttica e

induccin electromagntica se trabaja

con la ley de Ampre.

000 se lee mu sub cero.

Como queremos ver si la ley de Ampre est incompleta, comencemos obser-

vando esta ley y recordando cmo trabajamos con ella. Segn la ley de Amp-

re, si tomamos una curva cerrada cualquiera, la integral del campo magntico


sobre esta curva ser 0 multiplicada por la intensidad de la corriente que la

atraviesa. Es precisamente lo que dice la ecuacin 4. Ahora bien, qu quiere

decir que la intensidad atraviesa una curva? Ms explcitamente, esto quie-

re decir que atraviesa la superficie encerrada por la curva. En la figura 1a

tenis representado un ejemplo de esta situacin: una intensidad I y una cur-

va de Ampre que la envuelve, con la superficie, S1, que encierra esta curva.

Fijaos cmo la intensidad atraviesa la superficie; es esto lo que queremos decir

cuando decimos que la intensidad atraviesa la curva.

Figura 1

Curva de Ampre en un hilopor el que circula unaintensidad. En la figura seindica cul es la superficieque atraviesa la intensidad.a. Se toma la superficie S1,que es la ms pequeaencerrada por la curva.b. Se toma una superficie S2cualquiera, encerrada poruna curva cualquieraalrededor de la intensidad I.

Figura 1. Curva de Ampre

S1

S2

I

I

a.

b.

Posiblemente, si os hubiramos pedido que dibujarais la superficie cerrada

por la curva de Ampre de la figura, hubierais dibujado la que tenis en la

figura 1a. Ahora bien, es la superficie que hemos pintado la nica posible?

Fijaos que la ley de Ampre solo hace referencia a la intensidad que atraviesa

la curva, pero no a cmo debe ser la superficie encerrada por esta curva. Por

tanto, podramos haber escogido una superficie, S2, como la que tenis en

la figura 1b.

En los problemas que habis hecho en el mdulo Magnetosttica e induccin

electromagntica sobre la ley de Ampre, podais escoger una superficie u

otra. En cualquiera de ambos casos, la ley de Ampre (ecuacin 4) afirma que

la circulacin del campo magntico sobre la curva de Ampre (H~Bd~l) ser la


intensidad I que atraviesa la superficie encerrada por la curva (S1 o S2 en la

figura 1, es indiferente) multiplicada por la permeabilidad del medio, en este

caso, del vaco, 0:

I~Bd~l = 0I (7)

Ahora bien, imaginad que tenemos un circuito con un condensador. Ya veis

que no se trata de una situacin descabellada: abrid cualquier radio o cualquier

aparato electrnico y encontraris condensadores. Si repetimos la figura 1,

pero ponemos un condensador en el circuito, hallaremos el caso de la figura 2.

Figura 2

Curva de Ampre en uncircuito. En la figura se indicacul es la superficie queatraviesa la intensidad.a. Se toma la superficie S1,que es la ms pequeaencerrada por la curva.b. Se toma una superficie S2que pasa entre las placas delcondensador, encerrada poruna curva cualquieraalrededor de la intensidad I.

Figura 2. Comparacin de dos superficies cerradas por una curva de Ampre

S1

S2

I

I

Placas del condensador

a.

b.

Apliquemos ahora la ley de Ampre para cada una de las superficies. Quizs

pensis que no es necesario porque deberamos obtener los mismo. Seguro?

Vemoslo!:

Superficie 1. El resultado ser el mismo que hemos visto en la ecuacin 7:

I~Bd~l = 0I (8)


Superficie 2. En este caso no hay ninguna intensidad que atraviese la super-

ficie (fijaos que est entre las placas del condensador), por tanto, tenemos:

I~Bd~l = 0 (9)

Obtenemos dos resultados diferentes! Deberamos haber obtenido lo mismo,

puesto que la ley de Ampre no debera depender de la superficie que escoge-

mos como superficie cerrada por la curva. Qu ha ocurrido aqu?

Para responder a esta pregunta veremos que la ley de Ampre es incompleta

y es preciso aadirle un trmino nuevo. Veamos a continuacin cul es este

trmino.

1.3. La corriente de desplazamiento

Cmo podemos saber qu trmino falta en la ley de Ampre (ecuacin 4)?

Por dnde comenzamos? Cmo podemos encontrar en una ecuacin un

trmino que no sabemos qu es? Bien, tenemos algunas pistas:

1) El elemento nuevo que hemos introducido y que nos ha hecho ver que algo

no iba bien, es el condensador. Por tanto, parece razonable suponer que cuan-

do el condensador no estaba, todo iba bien.

2) El resultado no puede depender de una eleccin arbitraria nuestra, por lo

que las ecuaciones 8 y 9 deberan ser iguales y, si adems hemos dicho que

el resultado era correcto cuando no tenamos el condensador, podemos decir

que el trmino que nos falta en la ecuacin 9 deber ser igual a 0I.

De todo ello podemos deducir que lo que ya tenamos est bien y que nos falta

sumar un trmino. Adems, como sabemos que deber ser del tipo 0I, las

unidades del nuevo trmino debern ser las mismas que tiene 0I, puesto que

solo podemos sumar trminos con las mismas unidades. As pues, el nuevo

trmino deber ser de la forma:

0ID (10)

donde hemos simbolizado la intensidad con ID en lugar de I para distinguirla

de la que hay en la ley de Ampre (ecuacin 4). De hecho, esta intensidad,

la de la ecuacin 10, se denomina corriente de desplazamiento. Por consi-

guiente, podemos decir que la ley de Ampre completa deber ser de la forma:

I~Bd~l = 0I + 0ID (11)


Con esta nueva corriente, en el caso de la superficie 2 tendramos que la ecua-

cin 9 queda:

I~Bd~l = 0ID (12)

Si ID = I, ya tenemos que las ecuaciones 9 y 8 son iguales. Con esto el pro-

blema estara solucionado. No obstante, parece que nos lo hayamos sacado de

la manga. Qu es esta corriente de desplazamiento? Existe realmente? Y si

existe realmente, cmo se calcula?

Para responder a estas preguntas debemos tener presente la situacin en la que

la hemos encontrado. La hemos visto al tomar la superficie 2 (S2) de la fi-

gura 2. Era como si la intensidad hubiera desaparecido de repente cuando ha

llegado a las placas del condensador. Qu ha pasado con esta intensidad? No

puede haber desaparecido sin ms. Debe de haber algo que la haya sustituido

y que est relacionado con la intensidad. Y, efectivamente, lo hay.

El campo elctrico entre las placas de

un condensador se estudia en el

mdulo Electrosttica.

Sabemos que entre las placas de un condensador hay un campo elctrico, cuyo

mdulo es:

E =

0(13)

donde es la densidad de carga superficial que hay en las placas. El campo,

adems, es perpendicular a las placas, como podis ver en la figura 3.

Figura 3

Podis ver que el campo vadesde la placa positiva hastala negativa y que las lneas decampo son paralelas entre s.

Figura 3. Campo en el interior de un condensador de placas circulares de radio R

E

r

C

R

I

Ahora bien, segn si las placas son ms grandes o ms pequeas, habr ms

o menos lneas de campo. Por consiguiente, ms importante que el campo

elctrico es, en este caso, el flujo de campo elctrico, e. Para ver la idea que

hay detrs, tomaremos placas redondas de radio R como las que tenis en la

figura 3, puesto que sabemos calcular el rea, y calcularemos el flujo de campo

elctrico.


El flujo de una magnitud es la integral de esta magnitud sobre la superficie en

la cual queremos calcularlo. En el caso del campo elctrico ser:


griega phi, que se lee fi.

e =ZS

~Ed~S (14)

Producto escalar

El producto escalar de dosvectores ~A y ~B es~A ~B = A B cos , donde es el ngulo que forman ~A y~B. Si los vectores sonparalelos, = 0, cos = 1 y,por tanto, ~A ~B = A B.

Sin embargo, dado que el campo entre las placas de un condensador es per-

pendicular a estas placas y, por tanto, paralelo al vector superficie, como po-

dis ver en la figura 4, tenemos que el producto escalar ser el producto de

mdulos:

e =ZSEdS (15)

Figura 4

Campo y vector superficie enel interior de un condensadorde placas planas paralelas ycirculares de radio R. Podisver que el vector campo ~E yel vector superficie ~S sonparalelos.

Figura 4. Campo y vector superficie en el interior de un condensador

ER

SI

Recordad

La integral de una diferencialde la misma variable que seest integrando es,simplemente, aquellavariable. Es decir:

Zdx = x

Finalmente, dado que el campo es constante dentro de las placas del conden-

sador (vase la ecuacin 13), puede salir fuera de la integral:

e = EZSdS = E S (16)

* Recordad que hemos tomado

un condensador de placas

circulares de radio RRR.

Recordad que el rea del crculo

es: AAAcrculo === RRR222, donde RRR es el

radio.

El campo lo tenemos en la ecuacin 13 y la superficie de un crculo* es R2.

As obtenemos:

e = E S =

0R2 =

R2

0(17)

Por otro lado, la densidad de carga, , multiplicada por el rea, que es R2, es

la carga total:

Recordad

Cuando tenemos unadensidad de carga superficial constante, la carga total Qes Q = S, donde S es lasuperficie total en que haydensidad de carga.

e =R2

0=

Q

0(18)

Es importante no perder de vista a dnde queremos llegar: queremos saber c-

mo calcular el nuevo trmino ID de la ecuacin 11. Es decir, queremos encon-

trar una intensidad. Lo que estamos haciendo ahora es ver cmo la podemos


encontrar. Para hacerlo hemos visto que la intensidad que llega al condensa-

dor se transforma en flujo de campo elctrico y en la ecuacin 18 vemos que

este flujo est relacionado con la carga. Pero, hay alguna relacin entre carga

e intensidad?

Tened presente la definicin de

intensidad del mdulo Electrosttica.Pues s! Y la relacin est en la misma definicin de intensidad:

ID =dQ

dt(19)

Luego, si despejamos la carga de la ecuacin 18 tenemos:

Q = e0 (20)

Y si sustituimos la Q obtenida en la ecuacin 19, encontramos una expresin

para la ID:

ID =d(0e)

dt(21)

Vase el mdulo Electrosttica para

saber cmo es un material istropo,

homogneo y lineal (i. h. l.)

Material istropo,homogneo y lineal(i. h. l.)

Si un material es istropo, suspropiedades sonindependientes de ladireccin; si es homogneo,sus propiedades sonindependientes de laposicin; y si es lineal, suspropiedades sondirectamente proporcionalesal campo aplicado (es decir,varan linealmente con elcampo).

En el caso de materiales istropos, homogneos y lineales (los que nos ocupan,

en definitiva), la 0 puede salir de la derivada y llegamos a la definicin de

corriente de desplazamiento:

ID = 0dedt

(22)

Y ya tenemos cmo calcular la corriente de desplazamiento! Por lo tanto, si

sustituimos la ecuacin 22 en la 11, la ley de Ampre queda as:

I~Bd~l = 0I + 0

dedt

(23)

.

Es decir, la circulacin del campo magntico,H~Bd~l, depende de la in-

tensidad que atraviesa la curva de Ampre y de la corriente de despla-

zamiento, ID:

I~Bd~l = 0Iencerrada + 0ID (24)

En materiales istropos, homogneos y lineales (i. h. l.) se define la

corriente de desplazamiento, ID, como la derivada del flujo de campo

elctrico, e, con respecto al tiempo, multiplicada por la permitividad

del medio (0 en el caso del vaco):

ID = 0dedt

(25)


.

donde:

e =ZS

~Ed~S (26)

~E es el campo elctrico y ~S la superficie a cuyo travs calculamos este

flujo.

Ejemplo de clculo de la corriente de desplazamiento

Tenemos un campo elctrico variable que viene dado por la expresin:

~E = 5 sen(400t)~i N/C (27)

a) Calculad la corriente de desplazamiento debida a este campo sobre un cuadrado de1 m de lado colocado perpendicularmente al campo (es decir, en el plano yz).

b) Cul sera la corriente de desplazamiento sobre el cuadrado si ste estuviera en elplano xy?

c) Cul sera la corriente de desplazamiento sobre el cuadrado si ste estuviera en unplano que formara 45 con el plano xy?

Solucin

En los tres apartados debemos encontrar la corriente de desplazamiento. La estrategiapara hacerlo es:

1) Hallar el flujo de campo elctrico con la ecuacin 26.2) Derivar el flujo y dividir por 0, tal como indica la ecuacin 25.

Las tres situaciones que se piden en el problema estn representadas en la figura 5.

Figura 5

Las tres situaciones que sepiden en el ejemplo. En lafigura se representan losvectores campo ~E ysuperficie ~S.a. La superficie esperpendicular al campo (y,por tanto, el vector superficiees paralelo al campo).b. La superficie es paralela alcampo (y, por tanto, el vectorsuperficie es perpendicular alcampo);c. La superficie y el campoforman un ngulo de 45.

Figura 5. Situaciones del ejemplo de clculo de la corriente de desplazamiento

y

z

y

z

y

z

a. b. c.

1m

1m 45

EE E

xx x

S S

S 1m

Dispongmonos a solucionar, pues, cada apartado.

a) En el primer caso tenemos la situacin de la figura 5a, en que el vector superficie y elvector campo elctrico son paralelos. Comencemos por calcular el flujo a travs de estasuperficie mediante la expresin 26:

e =ZS

~E d~S (28)

Dado que la superficie no est curvada, independientemente del d~S que consideremos,siempre ir en la direccin de ~S. Por tanto, ~E y d~S son paralelos (forman un ngulo de0) y, si recordis cmo se calcula el producto escalar y que el coseno de 0 es igual a 1,encontramos que:

Recordad

El producto escalar de dosvectores ~A y ~B que forman unngulo es:~A ~B = A B cos .

~E d~S = E dS cos 0 = E dS (29)


Si sustituimos este resultado en la ecuacin 28, obtenemos:

e =ZS

~E d~S =ZSE dS (30)

Ahora fijaos bien que estamos haciendo una integral sobre la superficie, y no sobre eltiempo. Esto es importante, porque el campo elctrico del enunciado dado por la ex-presin 27 vara en el tiempo pero no en el espacio. Por tanto, es el mismo en toda lasuperficie. Como consecuencia, podemos sacar el campo de la integral de la ecuacin 30:

e =ZSE dS = E

ZSdS (31)

Pero la integral de dS es simplemente S. Por tanto:

Recordad

La integral de una diferencialde la misma variable que seest integrando es,simplemente, aquellavariable. Esto es:

Zdx = x

e = E S (32)

La expresin de E, la extraemos de la ecuacin 27 (y fijaos que solo necesitamos el mdu-lo). Para conseguir la expresin de S solo necesitamos aplicar que el rea de un cuadradoes el producto de los lados: S = 1 m2:

e = E S = 5 sen(400t) 1 = 5 sen(400t) N/C m2 (33)

Y ya tenemos el flujo. El paso siguiente es calcular la corriente de desplazamiento con laexpresin 25 y utilizando el resultado que acabamos de obtener (ecuacin 33):

Recordad

ddx

sen(f (x)) = df (x)dx

cos(f (x)).

ID = 0de

dt= 5 400 cos(400t) = 2.000 cos(400t) A (34)

Y ya tenemos la corriente de desplazamiento.

b) En este caso, fijaos en que el procedimiento es exactamente igual que en el apartado a.La diferencia est en el ngulo que forman ~E y d~S. Ahora forman un ngulo de 90, comopodis ver en la figura 5b. Por tanto, al calcular el producto de la ecuacin 29, tenemos:

~E d~S = E dS cos 90 = 0 (35)

Y por tanto, el flujo queda:

e =ZS

~E d~S = 0 (36)

La corriente de desplazamiento ser, en consecuencia, tambin 0:

ID = 0de

dt= 0 (37)

Hagamos ahora el tercer apartado y despus ya comentaremos un poco los resultados.

c) En este caso, el procedimiento vuelve a ser el mismo, y, por tanto, nos limitaremos aindicar los resultados. En esta ocasin, la diferencia es que ~E y d~S forman un ngulo de45. Entonces, la ecuacin 29 queda:

~E d~S = E dS cos 45 (38)


El equivalente de la ecuacin 33 ser ahora:

e = E S = 5 sen(400t) 1 cos 45 = 522

sen(400t) N/C m2 (39)

donde hemos utilizado que cos 45 =22 .

La corriente de desplazamiento ser, entonces (el equivalente de la expresin 34):

ID = 0de

dt= 5 400

22

cos(400t) = 1.0002 cos(400t) A (40)

Ya tenemos completados los tres clculos. Fijaos que el resultado que nos da un valorms grande es el del apartado a, ecuacin 34, cuando ~E y d~S son paralelos; mientras queel ms pequeo (que es 0) lo obtenemos con el apartado b, ecuacin 37, cuando ~E yd~S son perpendiculares. Esto se debe al producto escalar que hay en la definicin delflujo (ecuacin 28). Si miris las expresiones 29, 35 y 38, podis ver que el ngulo queforman ~E y d~S es lo que determina que la corriente de desplazamiento sea ms grande oms pequea. Una manera de expresarlo sera decir que solo contribuye a la corriente dedesplazamiento la parte de ~E que est en la direccin del vector superficie.

Llegados a este punto, ya podemos escribir las ecuaciones de Maxwell com-

pletas.

1.4. Las ecuaciones de Maxwell completas

Despus de haber completado la ley de Ampre, podemos volver a escribir las

leyes de Maxwell. Como veris, las ecuaciones 1, 2 y 3 quedan igual, y solo

cambia la ecuacin 4.

.

Las leyes de Maxwell completas en forma integral en el vaco, para ma-

teriales istropos, homogneos y lineales, son:

Ley de Gauss para el campo elctrico:

IS

~Ed~S =Qint0

(41)

Ley de Gauss para el campo magntico:

IS

~Bd~S = 0 (42)

Ley de Faraday-Lenz:

IC

~Ed~l = d

dt

ZS

~Bd~S (43)

Ley de Ampre:

IC

~Bd~l = 0Iencerrada + 00d

dt

ZS

~Ed~S (44)


Los diversos elementos de las leyes de Maxwell son:

La integral sobre una superficie cerrada

se estudia en el mdulo Electrosttica

y la integral sobre una curva cerrada,

en el mdulo Magnetosttica e

induccin electromagntica.

~E y ~B son, respectivamente, los campos elctrico y magntico.

HS ... d

~S indica la integral sobre una superficie cerrada, S.

HC ... d

~l indica la integral sobre una curva cerrada, C.

0 es la permeabilidad magntica del vaco.

0 es la permitividad elctrica del vaco.

Qint es la carga encerrada por la superficie gaussiana en la ley de Gauss.Integral cerrada

Recordad que el smboloH

indica integral cerrada. As,cuando hallamos

HC quiere

decir que debemos hacer laintegral en toda una curvacerrada; y cuando hallamosHS quiere decir que debemoshacerla en toda unasuperficie cerrada.

Iencerrada es la intensidad encerrada por la curva de Ampre en la ley de

Ampre.

Adems, se pueden establecer las siguientes definiciones :

Flujo elctrico, e:

e =ZS

~Ed~S (45)

Flujo magntico, b:

b =ZS

~Bd~S (46)

Corriente de desplazamiento, ID:

ID = 0d

dt

ZS

~Ed~S (47)

Fijaos que con estas ecuaciones, si el flujo de campo magntico vara con el

tiempo, genera un campo elctrico (ley de Faraday-Lenz, ecuacin 43), pe-

ro ahora, adems, si el flujo de campo elctrico vara con el tiempo, genera

un campo magntico (ley de Ampre, ecuacin 44). A continuacin, en el

subapartado siguiente veremos un ejemplo matemtico de cmo poder con-

seguir esta situacin.

1.5. Propagacin del campo electromagntico

Como hemos dicho al final del subapartado anterior, fijaos en dos hechos:

De la ley de Faraday-Lenz (ecuacin 43) podis ver que un campo magn-

tico que vara con el tiempo puede generar un campo elctrico.

De la ley de Ampre (ecuacin 44) podis ver que un campo elctrico que

vara con el tiempo puede generar un campo magntico.

Observad que aqu nos hemos centrado en el caso en que los campos elctrico

y magntico varan con el tiempo. De hecho, lo que debe variar con el tiempo

es el flujo, por tanto tambin podra ser que los campos fueran constantes y

lo que variara fuera el flujo o, dicho de otra manera, la posicin relativa de la


superficie sobre la cual calculamos el flujo, con el campo (pensad en una espira

girando en un campomagntico constante, por ejemplo).

Con estos dos hechos ya es suficiente para que los campos elctrico y magn-

tico se puedan propagar. Para verlo, imaginad una situacin en que el campo

magntico vare con el tiempo, de tal modo que el campo elctrico que genera

segn la ley de Faraday (ecuacin 43) tambin vare en el tiempo; esto es, que

el campo magntico viene dado por una funcin que depende del tiempo y

que, al derivarla, sigue dependiendo del tiempo.

Entonces, si el campo elctrico obtenido vara en el tiempo, ste generar, a

su vez, un campo magntico, siguiendo la ley de Ampre (ecuacin 44). Si este

campo magntico generado tambin depende del tiempo, es decir, la deriva-

da del campo elctrico vuelve a depender del tiempo, volveremos a tener la

situacin inicial y volveremos a comenzar el ciclo. Os dais cuenta de lo que

significa esta situacin? Significa que los campos elctrico y magntico se irn

realimentando indefinidamente.

Fijaos en lo que debe ocurrir para que se produzca esta situacin: que la fun-

cin que describe un campo dependa del tiempo, que lo haga de manera que

la podamos ir derivando indefinidamente y que siempre dependa del tiempo.

Se os ocurre alguna funcin as? Veremos una en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Pensad en una funcin f que dependa de una variable, que para nosotros ahora ser eltiempo t (por tanto la funcin ser f (t)), y que se pueda ir derivando indefinidamentesin que podamos hallar nunca que la derivada es 0.

Solucin

Fijaos por ejemplo en la siguiente funcin:

f (t) = A cos(t) (48)

No os preocupis ahora por lo que son A o . Centraos en la funcin en s. Es unafuncin que vara con el tiempo. Si la derivamos con respecto al tiempo, tenemos:

Recordad

ddx(sen(g(x))) = dg(x)

dxcos(g(x))

y ddx(cos(g(x))) =

dg(x)dx

sen(g(x)), donde g(x)es una funcin que dependede x.

df (t)dt

= A sen(t) (49)

Recordad

La notacin d2f (t)dt2

significaque derivamos dos veces lafuncin f (t) con respecto altiempo.

que tambin vara con el tiempo. Y si sta la volvemos a derivar con respecto al tiempo,obtenemos:

d2f (t)dt2

= A2 cos(t) (50)

Recordad

Podemos escribir unaexponencial compleja como:ejt = cost + j sent

Volveremos a tener un coseno, que es la funcin inicial con que hemos comenzado, demanera que ya volvemos a tener el ciclo. De hecho, tambin podramos conseguir estasituacin con una funcin exponencial, pero en el fondo sera lo mismo, porque hayuna relacin directa entre la funcin exponencial y las funciones trigonomtricas.

As pues, ya veis que con un campo variable en el tiempo, segn una funcin coseno, yatendramos la situacin que nos pedan.


En el ejemplo anterior hemos visto que una funcin coseno como la que te-

nis en la ecuacin 48 cumple los requisitos para que la podamos ir derivando

indefinidamente sin perder la dependencia en el tiempo. Por tanto, como he-

mos dicho al principio del apartado, si ocurre esto, los campos elctrico y

magntico se podrn ir realimentando mutuamente.

Ahora bien, es posible esta situacin? La encontramos en la naturaleza? Pues

s, y es ms habitual de lo que parece. Para que os hagis una idea de hasta qu

punto es un fenmeno cotidiano, solo os diremos que la luz que nos llega del

Sol (o incluso de las estrellas y, de hecho, toda la luz) es un ejemplo de ello.

Hemos hallado, as, que es posible que los campos elctrico y magntico se va-

yan realimentando mutuamente. Por tanto, siempre que esto ocurra, no ten-

dremos un campo elctrico o uno magntico por separado, sino que tendre-

mos ambos. Es por ello que a menudo, en lugar de referirnos a cada campo por

separado, hablaremos de campo electromagntico.

Ahora que sabemos cmo se genera el campo electromagntico, intentemos

determinar cmo se propaga. Para ello, no vamos a abandonar las leyes de

Maxwell, sino que partiremos de una ecuacin que se deriva de ellas y que

cumplen tanto el campo elctrico como el campo magntico: la ecuacin de

onda.

1.6. La ecuacin de onda

En el subapartado 1.5 habis podido ver que es posible generar un campo

electromagntico de forma que los campos elctrico y magntico se vayan

realimentando mutua e indefinidamente. Esto lo hemos visto a partir de las

leyes de Faraday (la ecuacin 43) y de Ampre (ecuacin 44).

* Demostrar cmo se llega

queda ms all de los objetivos

del mdulo.

.

Pues bien, se puede demostrar, a partir de las leyes de Ampre y de

Faraday que los campos elctrico, ~E, y magntico, ~B, cumplen, en un

medio lineal, unas ecuaciones que tienen la siguiente forma*:

2~E

x2=

1c2

2~E

t2(51)

2~B

x2=

1c2

2~B

t2(52)

donde x es el punto en el que estamos observando el campo (~E o ~B), es

decir, la posicin, y t es el tiempo que los campos tardan en llegar a l.

Derivada parcial

Recordad que el smbolo ft

indica la derivada parcial dela funcin f con respecto a t.Esto quiere decir quederivamos f con respecto a ty tratamos como constantecualquier otra variable quepueda contener.

Estas ecuaciones nos estn diciendo que si derivamos dos veces un campo (~E o~B) con respecto a la posicin (x), el resultado ser igual que derivar dos veces el


mismo campo (~E o ~B) con respecto al tiempo (t) pero dividido por la velocidad

de la luz (c) al cuadrado. Si os fijis, ambas ecuaciones tienen la misma forma:

2f (x,t)x2

=1c2

2f (x,t)t2

(53)

Este tipo de ecuacin se denomina ecuacin de onda y es una de las ecuacio-

nes fundamentales de la fsica. Es por ello que os la hemos querido presentar

a pesar de no haberla deducido.

Una caracterstica de la ecuacin de onda es que derivamos con respecto a x

y con respecto a t; por tanto, hemos puesto una funcin f (x,t) que depende

tanto de x como de t; es lo que se conoce como funcin de varias variables.

Precisamente, antes de continuar con el tema principal, haremos un breve

inciso sobre este tipo de funciones.

1.7. Funciones de varias variables

En el subapartado anterior hemos visto la ecuacin de onda (ecuacin 53)

en que hay una derivada parcial de una funcin f con respecto al tiempo (t)

igualada a una derivada parcial con respecto al espacio (x). Esto significa que

si la funcin no depende de x y de t simultneamente, un miembro de la

ecuacin ser igual a cero. Es necesario, pues, que una funcin f que cumpla

la ecuacin de onda dependa tanto de x como de t. Por ello hemos escrito

f (x,t), que significa que la funcin f depende tanto de x como de t, es decir,

depende de dos variables.

Qu significa, sin embargo, que una funcin dependa de dos (o ms!) varia-

bles? Pues bsicamente lo que su nombre indica, que la funcin vara cuando

vara con ms de un elemento. Este tema, por s solo, constituye una asigna-

tura completa en titulaciones como matemticas y fsica. Aqu, sin embargo,

solo pretendemos que entendis un poco la idea. Para hacerlo, utilizaremos la

siguiente funcin:

f (x,t) = A cos(t kx) (54)

Fijaos en que es una funcin que depende de x y de t. A pesar de que sea un

concepto matemtico y de que x y t puedan ser dos variables cualesquiera,

como estamos haciendo fsica, x ser la posicin y t, el tiempo. A, k y son

constantes; las hemos puesto para que os acostumbris a verlas, ya que a lo

largo del mdulo aparecern diversas veces ecuaciones con la misma forma

que la expresin 54.

Imaginad ahora que os estis quietos en un sitio (x fija). Para hacerlo fcil

vamos a considerar x = 0, con lo cual queda:

f (0,t) = A cos(t) (55)


Veris que la funcin va variando amedida que pasa el tiempo. Es lo que tenis

representado en la figura 6. Fijaos en que, a efectos prcticos, es como si la x

no estuviera o fuera una constante ms. Fsicamente sera lo que hacemos

al calcular una derivada parcial con respecto al tiempo, como tenis en la

ecuacin 53.

Figura 6

Fijaos en que el eje deabscisas es el tiempo t.

Figura 6. Funcin f (x,t) que depende de la posicin, x, y del tiempo, t, con la posicin fija

f (x,t)

t

x fijada

Ahora mantendremos fijo el tiempo. Imaginad que congelis la funcin en

un instante de tiempo y miris qu aspecto tiene (vase la figura 7). Ahora

trataremos el tiempo como una constante y, por simplicidad, podis escoger

el instante inicial, t = 0:

f (x,0) = A cos(kx) (56)

Figura 7

Fijaos en que el eje deabscisas es la posicin x.

Figura 7. Funcin f (x,t) que depende de la posicin, x, y del tiempo, t, con el tiempo fijo

f (x,t)

x

t fijado

Ya veis que las figuras 6 y 7 son aparentemente iguales, si bien en el fondo

son totalmente diferentes: una representa la evolucin de la funcin en el

tiempo y la otra, en el espacio. Puesto que es difcil representar funciones de

muchas variables, suele hacerse de esta manera: se mantiene una variable fija

y se representa cmo vara la otra. Por tanto, conviene prestar mucha atencin

a lo que se est representando.

En resumen, en las funciones de varias variables pueden variar todas simult-

neamente y de forma independiente. Para simplificar la representacin, pode-

mos fijar todas las variables menos una.

Llegados a este punto, es hora de concretar un poco y ver bien cmo se propa-

gan los campos electromagnticos, es decir, cmo son las ondas electromag-

nticas. Lo haremos en el siguiente subapartado.


1.8. Solucin de la ecuacin de onda

Hemos visto que las funciones que satisfacen la ecuacin de onda (ecua-

cin 53) deben ser funciones de varias variables como las vistas en el subapar-

tado 1.7. Por tanto, si el campo elctrico, ~E y el campo magntico, ~B, deben

satisfacer la ecuacin 53, debern depender tanto de la posicin x como del

tiempo t. Esto es, variarn tanto en el espacio como en el tiempo.

La pregunta que nos viene a la cabeza entonces es: muy bien, deben depender

de la posicin y del tiempo, pero cmo tiene que ser esta dependencia? Es

decir, cmo deben de ser el campo elctrico, ~E, y el campo magntico, ~B, que

satisfagan las ecuaciones de onda (ecuaciones 51 y 52, respectivamente)? Para

responder a esta pregunta os proponemos un ejercicio.

Ejercicio

Proponed una solucin para la ecuacin 53.

Solucin

La solucin a la ecuacin de onda, la ecuacin 53 es, precisamente, el mismo tipo defuncin que hemos comentado en el ejemplo del subapartado 1.5, ecuacin 48. Ahorabien, como hemos mencionado, la funcin deber depender tanto del tiempo, t, comodel espacio, x, por lo cual debern desaparecer ambas variables. As pues, tanto el campoelctrico como el campo magntico tendrn que ser funciones del tipo:

f (x,t) = A cos(t kx) (57)

que es precisamente el mismo tipo de funcin que la ecuacin 54, que hemos utilizadoen el subapartado 1.7 para mostraros la dependencia en varias variables. A, k y siguensiendo tres constantes cuyo significado, de momento, no nos preocupa.

Pero, es realmente la expresin 57 solucin de la ecuacin 53? Para verlo, verificaremosque cumple la ecuacin de onda, es decir, la vamos a sustituir en ambos miembros de laecuacin 53 y veremos que da lo mismo. Hagmoslo!

Recordad

ddx(sen(g(x))) = dg(x)

dxcos(g(x))

y ddx(cos(g(x))) =

dg(x)dx

sen(g(x)), donde g(x)es una funcin que dependede x.

Haremos cada derivada por separado. Comenzaremos por la derivada con respecto altiempo:

f

t= A sen(t kx) (58)

2f

t2= A2 cos(t kx) (59)

Ahora haremos las derivadas con respecto a la posicin:

f

x= Ak sen(t kx) (60)

2f

x2= Ak2 cos(t kx) (61)

Con esto ya podemos sustituir las ecuaciones 59 y 61 en la ecuacin 53:

2f

t2=

1c2

2f

x2(62)

A2 cos(t kx) =1c2(Ak2 cos(t kx)) (63)


Si simplificamos, obtenemos:

2 =1c2

k2 (64)

que, haciendo la raz en ambos lados, queda:

=1ck (65)

Fijaos en qu hemos obtenido: resulta que aquellas dos constantes que habamos puestocasi como inventadas, y k, estn, de hecho, relacionadas con la velocidad de la luz enel vaco, c:

c =k

(66)

As pues, la ecuacin 57 ser la solucin de la ecuacin de onda, si se cumple la ecua-cin 66.

Por tanto, observad que sin haber dicho nada sobre qu son estas constantes, ya sabe-mos que:

kx y t deben tener las mismas unidades, puesto que estn sumadas; el cociente de k y , k

, tiene unidades de velocidad, ya que es la velocidad de la luz

en el vaco (ecuacin 66).

Del ejemplo anterior, ya tenemos que la ecuacin 57 es una solucin para la

ecuacin de onda (ecuacin 53). En nuestro caso, en lugar de f (x,t) tendre-

mos el campo elctrico, ~E, y el campo magntico, ~B. Puesto que hasta ahora

estamos trabajando en mdulo, lo vamos a escribir, de momento, en forma de

mdulo; ms adelante ya introduciremos el carcter vectorial.

* Escribimos solo el mdulo.

.

Los campos elctrico, E, y magntico, B, de la forma*:

E(x,t) = E0 cos(kx t) (67)

B(x,t) = B0 cos(kx t) (68)

satisfacen las respectivas ecuaciones de onda (expresiones 67 y 68):

2~E

x2=

1c2

2~E

t2(69)

2~B

x2=

1c2

2~B

t2(70)

donde E0, B0, k y son constantes. En el caso de k y , cumplen la

condicin:

c =k

(71)

y c es la velocidad de la luz en el vaco.


Es importante tener presente que las ecuaciones 67 y 68 son solo una solucin

entre infinitas posibles. Os la hemos mostrado porque es el tipo de solucin en

que nos vamos a centrar. No obstante, como veris en el siguiente apartado,

sta es una solucin muy especial.

Sin embargo, todava nos falta un paso para tener realmente la solucin, ya

que los campos elctrico y magntico son vectores. De hecho, como hemos

apuntado, las expresiones 67 y 68 son las soluciones en forma escalar. A con-

tinuacin os mostraremos las expresiones en forma vectorial.

1.8.1. Carcter vectorial de las ondas electromagnticas

En las ecuaciones 67 y 68 hemos escrito la expresin de los campos elctrico

y magntico, pero sin tener en cuenta su carcter vectorial. Cmo aparecen

los vectores en estas ecuaciones?

Observando la figura 8, ya veis que si la onda se propaga en la direccin x

(es decir, en la direccin del vector unitario ~i o ~ux), el campo elctrico va en

la direccin y (es decir, en la direccin del vector unitario ~j o ~uy) y el campo

magntico, en la direccin z (es decir, en la direccin del vector unitario ~k

o ~uz). Por tanto, podemos escribir las ecuaciones 67 y 68 en forma vectorial

simplemente poniendo la direccin en que va cada campo:

~E(x,t) = ~E0 cos(kx t) = E0 cos(kx t)~j (72)

~B(x,t) = ~B0 cos(kx t) = B0 cos(kx t)~k (73)

Figura 8

Tenis representados losvectores campo elctrico, ~E,que van en la direccin deleje y y varan senoidalmente;y los vectores campomagntico, ~B, que van en ladireccin del eje z y tambinvaran senoidalmente.

Figura 8. Representacin de la onda completa de los campos elctrico y magntico que sepropagan en la direccin x

E

B

y

x

z

Ahora bien, qu ocurre si la onda no va en la direccin del eje x? Tenis la

situacin ms general representada en la figura 9. En este caso, la onda se

propaga en una direccin cualquiera ~k y la distancia al origen est expresa-

da por un vector de posicin ~r. En la figura se representan tambin los ejes

cartesianos.


Figura 9

Tenis representados losvectores campo elctrico, ~E, ymagntico, ~B, que sonperpendiculares entre s, y la

direccin de propagacin ~k.

Figura 9. Representacin de la onda completa de los campos elctrico y magntico que se

propagan en una direccin cualquiera ~k

E

B

k

r

x

zy

El vector ~k se denomina vector de propagacin y su mdulo corresponde a

la k de las ecuaciones 72 y 73. En este caso, las expresiones de los campos

elctrico y magntico sern:

~E(~r,t) = ~E0 cos(~k ~r t) (74)

~B(~r,t) = ~B0 cos(~k ~r t) (75)

Ahora bien, en la figura ya veis que ~k y ~r son vectores paralelos, y el producto

escalar de dos vectores paralelos es directamente el producto de sus mdulos:

~k ~r = k r cos 0 = k r (76)

Por tanto, podemos expresar las ecuaciones 74 y 75 como:

~E(~r,t) = ~E0 cos(k r t) (77)

~B(~r,t) = ~B0 cos(k r t) (78)

Estas ecuaciones, sin embargo, complican los clculos y conceptualmente no

aportan nada, por lo que en este mdulo utilizaremos las ecuaciones 72 y 73.

Adems, en la figura 9 ya veis que lo nico que necesitamos es girar los ejes

de coordenadas para tener la situacin de la figura 8.

Tambin habramos podido representar la onda con respecto al tiempo en

lugar de hacerlo con respecto al espacio. En este caso nos encontraramos en

la situacin representada en la figura 10. Fijaos que es igual que la figura 8,

pero ahora en funcin del tiempo, en lugar de ser en funcin del espacio.


Actividad

Por qu la figura 10 y la figura 8 tienen la misma forma?

Figura 10

Representacin de la ondacompleta de los camposelctrico y magntico enfuncin del tiempo t. Tenisrepresentados los vectorescampo elctrico, ~E, que vanen la direccin del eje y yvaran senoidalmente; y losvectores campo magntico,~B, que van en la direccin deleje z y tambin varansenoidalmente.

Figura 10. Representacin de los campos elctrico y magntico en funcin del tiempo

E

B

y

t

z

Ahora que ya tenemos una solucin para la ecuacin de onda, ha llegado la

hora de pasar a explicar las ondas electromagnticas en s y ver si el nombre

de ecuacin de onda y las soluciones que hemos encontrado (ecuaciones 72

y 73) son realmente adecuados. Lo veremos en el siguiente apartado, en el

que explicaremos qu son las ondas y cmo se describen.

1.9. Qu hemos aprendido

En este apartado:

Habis visto cules son las ecuaciones de Maxwell.

Habis aprendido a mirar un conjunto de ecuaciones como un todo y a

detectar asimetras que pueden poner de manifiesto carencias de alguna

ecuacin.

Habis visto cmo completar la ley de Ampre con la corriente de despla-

zamiento.

Habis podido ver, a partir de las ecuaciones de Maxwell completas, que

los campos elctrico y magntico se pueden realimentar, es decir, generar

mutuamente, con variaciones de flujo de uno y otro (en virtud de la ley de

Faraday, ecuacin 43, y de la ley de Ampre, ecuacin 44).

Tambin os hemos explicado que estos campos cumplen la ecuacin de

onda, que se deriva de las ecuaciones de Maxwell y, a travs de ella, os

hemos hecho una breve introduccin a las funciones de varias variables.

Finalmente, habis visto que una funcin de la forma:

~F(x,t) = ~F0 cos(kx t) (79)

puede ser solucin de la ecuacin de onda.


Bsicamente lo que hemos hecho hasta aqu es buscar, a partir de primeros

principios (es decir, de las ecuaciones de Maxwell) cmo podemos hacer que

se propaguen los campos elctrico y magntico. De esta manera hemos llegado

a la ecuacin de onda y a hallar una solucin para sta: la de la onda armnica.

Por tanto, ya sabemos cmo se generan y cmo se propagan los campos.

Seguiremos adelante, precisamente, profundizando en la solucin de la ecua-

cin de onda. Describiremos qu es una onda y veremos que las soluciones

que hemos hallado para la ecuacin de onda son un tipo de onda.


2. Ondas electromagnticas.

En los mdulos anteriores hemos visto cmo calcular los campos elctrico y

magntico a partir de, por ejemplo, una distribucin de cargas o una corrien-

te. En el apartado 1 hemos visto cmo se propagan estos campos y nos hemos

quedado en el punto en que hemos comprobado que cumplen la ecuacin de

onda. Llegados a este punto, podemos decir que hemos hallado los principios

que hacen que los campos elctrico y magntico se puedan generar y reali-

mentar mutuamente. Tambin hemos visto que cumplen la ecuacin de onda

y hemos hallado una posible solucin.

Ahora que ya hemos visto cmo se produce esta solucin, nos vamos a cen-

trar en su carcter ondulatorio. Para comenzar, vamos a ver qu es una onda

y qu tipos de onda hay. Esto nos permitir ver de qu tipo son las ondas

electromagnticas. A continuacin, os vamos a mostrar con qu parmetros

describimos la onda, y seguidamente veris que, en realidad, hemos estado

trabajando todo el tiempo con unas ondas muy especiales: las ondas armni-

cas, planas y monocromticas. Finalmente, os vamos a presentar el espectro

electromagntico que nos permitir ver que la luz y las ondas de radio estn

ms cerca de lo que pueda parecer a priori.

Qu aprenderemos?

En este apartado aprenderis:

Qu es una onda y qu tipos de onda hay. De hecho, veris que las ondas

electromagnticas son ondas transversales no mecnicas.

Cules son los parmetros que permiten describir las ondas.

Qu son las ondas armnicas, planas y monocromticas, que son de hecho

las que vamos a estudiar en este mdulo.

Qu es el espectro electromagntico y a qu corresponde.

Qu supondremos?

Supondremos que habis asimilado los conocimientos de los mdulos Elec-

trosttica y Magnetosttica e induccin electromagntica, adems de los

conocimientos del apartado 1. En lo concerniente al aspecto matemtico, so-

lo supondremos, para seguir este apartado, que:

Sabis representar una funcin trigonomtrica como el seno o el coseno.


2.1. Qu es una onda?

Todava nos quedan muchas preguntas por responder. Quizs una de las que

primero surge es que hemos dicho que la ecuacin 53 se denominaba ecua-

cin de onda pero, por qu este nombre? qu es una onda? y, quizs lo ms

importante de todo, cmo encaja todo esto en un mdulo de electromagne-

tismo?

Para responder a todas estas preguntas, bsicamente debemos responder a una:

qu es una onda? En este subapartado intentaremos daros una idea de lo que

es una onda. Comenzaremos con un primer intento de definicin que pone

de manifiesto uno de los aspectos ms relevantes de este tipo de fenmeno.

En el mdulo Mecnica. Cinemtica y

dinmica se explica qu son la energa

y el momento lineal.

.

Una onda o, mejor dicho, un movimiento ondulatorio, es un tipo de

movimiento que transporta energa y momento lineal pero no trans-

porta materia.

Direcciones web

En la direccinhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_wave2.gifpodis ver una animacinen la que se representa unmovimiento de ondas desdeel centro hacia el margen.Tambin podis ver unaanimacin en la que semuestra un objeto oscilantea causa de una onda en:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Simple_harmonic_motion_animation.gif.

El ejemplo tpico seran las oscilaciones que se forman al lanzar una piedra

al centro de un estanque. Podis ver un ejemplo en la figura 11. Esta sera la

manera de crear las ondas. Ahora bien, imaginad que en el estanque hubiera

un corcho o un objeto que se os hubiera cado y que quisierais hacerlo llegar a

la orilla. Quizs alguna vez habis intentado acercarlo golpeando el agua con

un palo y creando ondas como las de la figura 11. Si lo habis hecho, habris

visto que las ondas avanzan hacia la orilla; cuando las oscilaciones llegan al

corcho, vemos que este comienza a oscilar arriba y abajo, pero... no avanza!

Esta oscilacin es lo que se conoce como onda y el hecho de que la onda en s

avance (vaya hacia la orilla) pero no haga avanzar el corcho es lo que significa

lo que hemos apuntado antes, que transporta energa, pero no materia.

Figura 11

Visin desde arriba de lasondas que se crearan en unestanque de agua. Fijaos enla oscilacin.

Figura 11. Ondas circulares

Retened las siguientes tres ideas en relacin con las ondas:

Se desplazan.

Transportan energa y momento lineal, pero no materia.


Hay una oscilacin: algo se mueve arriba y abajo. En el caso del agua,

este algo es la propia agua.

Por otro lado, las ondas se pueden clasificar de diversas formas:

Segn el sentido de vibracin tenemos:

Ondas transversales: la vibracin es perpendicular a la direccin de pro-

pagacin. Este sera el caso del estanque y el corcho. El ejemplo de la figu-

ra 11, la onda en el agua, es, de hecho, un ejemplo de onda transversal, ya

que la onda se desplaza en direccin paralela a la superficie del agua, pero

oscila arriba y abajo, es decir, en direccin perpendicular a la superficie del

agua. En la figura 12 tenis una representacin esquemtica, en donde las

flechas indican la direccin de vibracin. Otro ejemplo de ondas transver-

sales son las ondas electromagnticas, que son las que nos interesan en este

mdulo.

Figura 12

El eje horizontal indica ladireccin de propagacin ylas flechas indican ladireccin y el sentido de laoscilacin.

Figura 12. Oscilacin transversal

+10

5

0

_10

Ondas longitudinales: la vibracin es en la misma direccin que la direc-

cin de propagacin. Sera el caso de las ondas sonoras, pero en este m-

dulo no nos preocuparemos de este tipo de ondas. En la figura 13 tenis

representada una onda longitudinal. Las zonas ms oscuras corresponden

a los mximos de la vibracin, y las zonas ms claras a los valles. Para

que veis ms claramente qu queremos decir con mximos y valles,

la figura incorpora tambin una representacin grfica de la forma de una

onda senoidal. De hecho, los trminos equivalentes seran cresta y va-

lle o mximo y mnimo.

Figura 13

Onda longitudinal. Losmximos son los puntos msoscuros. La onda se producepor la oscilacin haciaadelante y hacia atrs delmaterial por el que sepropaga la onda. Debajotenis la representacingrfica en forma de ondasenoidal.

Figura 13. Oscilacin longitudinal

Direccin de oscilacinDireccin de propagacin

a.

b.

Ondas mixtas: son una mezcla de los dos tipos anteriores.


En funcin de si necesitan un medio material para propagarse, tenemos:

Ondas mecnicas: lo que oscila es un medio material, como en el caso

del agua del estanque (figura 11). Por tanto, son ondas que necesitan un

medio material para propagarse.

Ondas no mecnicas: no necesitan ningn medio material para propagar-

se. Correspondera a las ondas electromagnticas, que son precisamente las

que nos interesan en este mdulo.

As pues, en lo concerniente a las ondas electromagnticas, que son las que

nos interesan en este mdulo, tenemos que:

Son ondas no mecnicas porque no necesitan ningn medio para propa-

garse: hemos trabajado todo el tiempo con 0 y 0, que son, respectiva-

mente, la permeabilidad y la permitividad del vaco.

Son ondas transversales, ya que se puede demostrar, a partir de las ecuacio-

nes de Maxwell (ecuaciones 41 a 44), que:

el campo elctrico y el campo magntico son perpendiculares entre s,

los dos campos son perpendiculares a la direccin de propagacin.

Tenis la situacin representada en la figura 14. Fijaos en que, dado que

tanto un campo como el otro son perpendiculares a la direccin de propa-

gacin, que en la figura es x, estamos hablando de ondas transversales.

Figura 14

Representacin de loscampos elctrico, ~E, ymagntico, ~B, en la direccin

de propagacin, ~k. Fijaos enque los tres sonperpendiculares entre s y enque el campo ~B va en ladireccin del producto

vectorial ~k ~E.

Figura 14. Campos elctrico, magntico y direccin de propagacin

y

x

z

E

Bk

.

Si lo juntamos todo tenemos que los campos elctrico y magntico (el

campo electromagntico) se propagan conjuntamente en forma de on-

da. Estas ondas son las ondas electromagnticas, que son ondas trans-

versales y no mecnicas.


Ahora que ya tenemos una idea de qu son las ondas, el siguiente paso es

describirlas matemticamente. En general, esto va a ser bastante complicado,

pero hay un caso en que es relativamente sencillo, que corresponde a una

onda del tipo que aparece en la ecuacin 54. Lo hacemos a continuacin.

2.2. Descripcin de una onda

En el subapartado anterior nos hemos quedado en el punto en que habamos

visto que los campos electromagnticos se propagan en forma de ondas elec-

tromagnticas. Estas se pueden describir mediante una funcin del tipo de la

ecuacin 54:

f (x,t) = A cos(kx t) (80)

De hecho, cuando una onda se puede describir con este tipo de funcin, se

denomina onda armnica.

Ms concretamente, para el campo electromagntico, las ecuaciones 77 y 78

que habis visto en el subapartado 1.8.1 son:

~E(r,t) = ~E0 cos(kr t) (81)

~B(r,t) = ~B0 cos(kr t) (82)

En el caso de la situacin de la figura 8, las podemos expresar con las ecuacio-

nes 72 y 73. Si bien este tipo de ondas es solo uno de los posibles tipos que

podemos encontrar, las ondas descritas de esta manera son muy tiles para

explicar los diversos parmetros que utilizamos para describirlas:

La amplitud, representada por la letra A en la ecuacin 80, y por ~E0 y ~B0 en

las ecuaciones 67 y 68.

La longitud de onda, .

El nmero de onda, que se representa con el smbolo k.

La frecuencia angular, .

es la letra griega lambda

minscula y se lee lambda;

es la letra griega omega

minscula y se lee omega.

Ya veis, por tanto, que las constantes A, k y , que hemos ido arrastrando

a lo largo de todo el mdulo, tienen un cierto significado, que aclararemos

en este subapartado. Algunos de estos parmetros ya los visteis en el mdulo

Mecnica. Cinemtica y dinmica, al hablar de oscilaciones, pero conviene

repasarlos.

No obstante, hay otro concepto importante para describir la onda: es el con-

cepto de frente de onda. Vamos a comenzar por ste y, a continuacin, pasare-

mos a describir sus diversos parmetros.


2.2.1. El frente de onda

A lo largo de todo el mdulo habis visto que los campos elctrico y magn-

tico se pueden propagar en forma de ondas. Por tanto, lo que debe ocurrir es

que una onda viaje. Y eso es precisamente lo que ocurre: la onda se desplaza

a una cierta velocidad y, entonces, es como si los campos elctrico y magntico

fueran avanzando. En la figura 15 tenis representada grficamente esta idea.

Figura 15

Representacin de cmo viajauna onda.a. Instante t = 0, cuando secrea la onda;b. Instante t = 1. Fijaos enque los campos creados ent = 0 han avanzado y losnuevos se sitan detrs;c. Un tercer instante, t = 2.Podis ver cmo los camposcreados en los instantesanteriores han seguidoavanzando.

Figura 15. Onda viajera

a. b. c.

E

B

yt = 0 t = 1

z

x

E

B

y

z

x

E

B

x

0 1 0

E

B

y

z

x

E

B

x

2 1

t = 2

x

E

B

x

0

Direccin web

Podis ver una ondaviajando en la animacindisponible en:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blender3D_CircularWaveAnim.gif

En la figura tenis representados los mximos de la onda en instantes diferen-

tes, pero comenzando a contar a partir del instante en que se generan. En la

figura 15a tenis la situacin en el instante en que se genera el campo elec-

tromagntico (el campo elctrico ~E y el magntico ~B) y tenis representado

tambin el plano en que se encuentran, que podemos denominar plano 0. Co-

mo veis, hemos representado la situacin en que un campo vibra en el eje y (el

campo elctrico) y el otro, en el eje z (el campo magntico). Tras cierto tiempo

(figura 15b), que consideramos como el instante t = 1 (las unidades son arbi-

trarias), este plano se ha desplazado una cierta distancia y ha aparecido otro

mximo: es el segundo plano que veis aparecer, que denominamos plano 1.

Fijaos en que el plano 0 est ahora un poco ms adelantado. En la figura 15c

tenis un tercer instante (t = 2) en que la onda ha avanzado otro trecho.

Fijaos en que el campo electromagntico viaja. A efectos prcticos podemos

decir que lo que transportan estas ondas es la energa electromagntica.

Estos planos que hemos dibujado en la figura 15 tienen un nombre, son los

frentes de onda.

.

Los frentes de onda son lneas o superficies (como en el ejemplo de

la figura 15) correspondientes a un determinado estado de oscilacin

(en el caso de las ondas electromagnticas de los campos ~E y ~B) que

se propagan en el espacio a medida que pasa el tiempo. Los frentes de

onda nunca pueden cruzarse entre s.

Por otro lado, hay otra caracterstica de los frentes de onda que hemos dibu-

jado en la figura 15: son paralelos y siempre perpendiculares a la direccin de

propagacin.


2.2.2. La longitud de onda y el nmero de onda kkk

.

La longitud de onda se define como la distancia entre dos puntos que

estn en el mismo estado de vibracin. Su unidad de medida en el Sis-

tema Internacional es el metro (m).

Recordad que SI es la sigla del

Sistema Internacional de

Unidades.

Tenis la situacin representada en la figura 16. Fijaos en que es la figura 8,

es decir, la onda con respecto al espacio, pero representamos solo el campo

elctrico, para simplificar la figura. En ella podis ver que la longitud de onda

es el intervalo entre dos puntos cualesquiera que estn en el mismo estado de

vibracin (no necesariamente un mximo o un mnimo).

Figura 16

Representacin de la ondacompleta de los camposelctricos en la direccin depropagacin. En ella se sealaa qu corresponde lalongitud de onda. Fijaos enque es la distancia entre dospuntos que estn en elmismo estado de vibracin,sea cual sea este estado.

Figura 16. Longitud de onda

Ey

x

A partir de esta longitud se define otro concepto, el nmero de onda:

k =2

(83)

Como tenemos la longitud de onda en el divisor, las unidades sern m1.

Direccin web

Podis ver una animacinen que se muestra lalongitud de onda en:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:1D_Progressive_Wave.gif

Para entender qu significa el nmero de onda conviene pensar un poco en

las funciones trigonomtricas. Si tenis el cos(), cuando sumamos 2 a ,

volvemos a tener el mismo valor: cos( + 2) = cos(), es decir, el coseno es

una funcin peridica de perodo 2 y, por tanto, tambin ser peridico el

campo elctrico. Para verlo, podis escribir la expresin del campo elctrico

(ecuacin 72) cuando x = 0:

~E(x,t) = E0 cos(kx t)~j (84)

~E(0,t) = E0 cos(t)~j (85)


Y ahora fijaos en lo que ocurre cuando x = :

~E(x,t) = E0 cos(kx t)~j (86)

~E(,t) = E0 cos(k t)~j (87)

~E(,t) = E0 cos(2 t)~j (88)

~E(,t) = E0 cos(2 t)~j (89)

Vemos, por tanto que, como la funcin coseno tiene perodo 2, los resultados

de las ecuaciones 85 y 89 son iguales.

Entonces, si os fijis, lo que indica el nmero de onda (ecuacin 83) es cuntas

longitudes de onda, , hay en un ciclo completo, es decir, cuando la onda ha

recorrido una distancia de 2. O, dicho en otras palabras, cuntas ondas

hay en un ciclo, que es lo que da lugar a su nombre, nmero de onda.

.

El nmero de onda se define como el nmero de oscilaciones que hace

la onda en un ciclo completo. Se puede calcular a partir de la longitud

de onda mediante la ecuacin:

k =2

(90)

La unidad de medida en el SI es la inversa del metro, el metro elevado

a menos uno (m1).

Ejemplo

Calculad el nmero de onda de una onda electromagntica de longitud de onda igual a580 nm, que corresponde al color amarillo.

Solucin

Para hacerlo, solo debemos sustituir los valores en la ecuacin 90. Para evitar problemas,pasaremos primero las unidades a m:

Recordad que 1 nm = 1110009 m.580 nm = 580 nm1 m

109 nm= 5,8 107 m (91)

k =2

=2

5,8 107(92)

k = 1,083 107 m1 (93)


2.2.3. La frecuencia angular y el perodo TTT

Direccin web

Podis ver el concepto defrecuencia de una onda enla animacin disponible en:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_frequency.gif.

Ahora vamos a ver qu es la frecuencia angular, que hemos simbolizado con .

Para hacerlo, no partiremos directamente de esta frecuencia, sino que haremos

un recorrido algo diferente.

La ecuacin del movimiento rectilneo y

uniforme se estudia en el mdulo

Mecnica. Cinemtica y dinmica.

Comenzaremos por una ecuacin que habis estudiado de sobras: la ecua-

cin del movimiento rectilneo y uniforme. Una onda electromagntica que

se desplaza en el vaco es, de hecho, un elemento que se mueve a velocidad

constante, c. Por tanto, podemos aplicarle esta ecuacin.

espacio = velocidad tiempo (94)

es la letra griega lambda

minscula y se lee lambda;

es la letra griega omega

minscula y se lee omega.

Ahora imaginad que queremos calcular el tiempo, T, que tarda la onda en

recorrer el espacio correspondiente a una longitud de onda. Para hacerlo, solo

deberemos sustituir el espacio por y la velocidad por c:

T =

c(95)

Este tiempo se denomina perodo.

Recordad que SI es la sigla de

Sistema Internacional de

Unidades.

.

El perodo es el tiempo que tarda la onda en completar una oscilacin.

Su unidad de medida en el SI es el segundo (s).

Direccin web

Podis ver una animacinque muestra el perodo en:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_period.gif.

Y ahora nos podemos plantear la misma pregunta que nos habamos hecho

para calcular el nmero de onda en el subapartado 2.2.2: cuntas oscilaciones

hace la onda en un ciclo completo? Si recordis que un ciclo son 2 y que T

es el tiempo que tarda en hacer una oscilacin, el nmero de oscilaciones que

har la onda en un perodo es 2T . A este valor se le denomina frecuencia angular

y se representa con la letra , que es la misma que hemos ido viendo a lo

largo de todo el mdulo:

=2T

(96)

.

La frecuencia angular, , indica el nmero de oscilaciones que ha he-

cho una onda en un ciclo completo. Su unidad de medida en el SI es

el radin por segundo (rad/s) o, simplemente, la inversa del segundo, el

segundo elevado a menos uno (s1).


No obstante, hay otro parmetro que se usa, la frecuencia, f , que indica cunto

tarda la onda en completar una nica oscilacin. Se calcula como la inversa del

perodo (que, recordad, es el tiempo que tarda en completar una oscilacin):Notacin

En este mdulo simbolizamosla frecuencia con la letra f .Sin embargo, en muchostextos encontraris quetambin se utiliza la letragriega nu minscula, .

f =1T

(97)

Heinrich Rudolf Hertz

Fsico alemn (Hamburgo,Alemania, 1857 Bonn,1894) conocidoprincipalmente por haberdemostrado la existencia delas ondas electromagnticas.La unidad de frecuenciarecibe el nombre de hercio(Hz) en su honor.

.

La frecuencia es el tiempo que tarda la onda en completar una nica

oscilacin. Su unidad de medida en el SI es el segundo elevado a me-

nos uno (s1), que recibe el nombre de hercio y se representa con el

smbolo Hz.

Tenis la situacin representada en la figura 17. Fijaos en que es la figura 10,

es decir, una representacin con respecto al tiempo, pero hemos representado

solo el campo elctrico para simplificar la figura. En ella podis ver que el

perodo es el intervalo entre dos puntos cualesquiera que estn en el mismo

estado de vibracin (no necesariamente un mximo o un mnimo).

Figura 17

Representacin de la onda decampo elctrico en funcindel tiempo. Se seala a qucorresponde un perodo.Fijaos en que es el tiempoque tarda la onda en volver aestar en el mismo estado devibracin, sea cual sea esteestado.

Figura 17. Perodo

E

T

T

T

T

Ty

t

Fijaos en que, en realidad, tanto la frecuencia angular como la frecuencia se

miden en s1, pero solo hemos hablado de hercios en el caso de la frecuen-

cia. El motivo es que, aunque el hercio se defina como un s1, solo se utiliza

cuando hablamos de frecuencia, ya que en el caso de la frecuencia angular, las

unidades no son en realidad s1, si no rad/s.

Cabe decir tambin que si comparamos las ecuaciones 96 y 97, vemos que

ambas frecuencias estn relacionadas de la siguiente manera:

= 2f (98)

Tambin podis encontrar una relacin parecida entre la longitud de onda y

la frecuencia, como veris en el siguiente ejercicio.


Ejercicio

Hallad la relacin entre la longitud de onda y la frecuencia.

Solucin

Para hallar la relacin entre la longitud de onda y la frecuencia, combinaremos las ecua-ciones 95 y 97:

T =

c(99)

f =1T

(100)

Si sustituimos la primera ecuacin en la segunda tenemos:

f =c

(101)

Fijaos en que la frecuencia es, por tanto, inversamente proporcional a la longitud deonda. As, cuanto mayor sea la frecuencia, menor ser la longitud de onda.

Ejemplo

El color amarillo tiene una longitud de onda de 580 nm. Si una onda de color amarillose desplaza por el vaco, calculad el nmero de onda, la frecuencia, la frecuencia angulary el perodo de la misma.

fisica i es (modulo 2)

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