modulo de fisica 2011-ucv

Lic. JORGE LUIS RONDO VASQUEZ

1

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

FACULTAD DE INGENIERIA

AUTOR:

Lic. JORGE LUIS RONDO VÁSQUEZ

– 2011 –

MÓDULO DE FÍSICA


2

I. FUNDAMENTACIÓN

La asignatura de Física tiene como objetivo presentar en forma clara y lógica las

definiciones básicas y principios que permiten explicar, como los fenómenos

mecánicos, energéticos, termodinámicos, de mecánica de fluidos, eléctricos y

magnéticos.

El proceso de enseñanza aprendizaje de esta asignatura se realiza en un marco de

diálogo entre el estudiante y el docente, fortaleciendo la comprensión de las

definiciones y principios, a través de una amplia gama de interesantes aplicaciones al

mundo real.

El desarrollo del curso permite erradicar el conocimiento Intuitivo e irracional, para

hacer madurar un conocimiento racional y despertar así actitudes científicas que deben

ser el fundamento de toda carrera de ingeniería.

Se desarrollará en cuatro unidades: la primera unidad relacionada a la estática y

cinemática; la segunda unidad comprende dinámica, trabajo y a la energía de los

cuerpos rígidos; tercera unidad a la mecánica de fluidos y procesos termodinámicos y

la cuarta unidad, electricidad y magnetismo.


3

Según acuerdo de la conferencia general de pesas y medidas que tuvo lugar en los años

1967 y 1971. Esta conferencia tuvo por objetivo, perfeccionar y unificar los sistemas de

unidades empleadas por la ciencia, la industria y el comercio. Se ideo el sistema

Internacional (S.I.) de unidades.

1. Estructura del S.I: El S.I. consiste en 7 unidades de base o fundamentales y 2 unidades

suplementarias y una serie de unidades derivadas congruentes con las unidades

fundamentales y suplementarias, y una serie fe prefijos aprobados para la formación de

múltiplos y submúltiplos de las diferentes unidades

a. Unidades de Base o Fundamentales: son:

MAGNITUD FISICA UNIDAD SIMBOLO

Longitud metro m

Tiempo segundo S

Masa Kilogramo Kg.

Intensidad de corriente

eléctrica Ampere A

Temperatura

Termodinámica Kelvin K

Intensidad Luminosa Candela Cd

Cantidad de sustancia mol mol

b. Unidades Derivadas: Son:


Angulo Plano Radian rad

Angulo Sólido Estereorradián sr

c. Unidades Derivadas: Las unidades para otras magnitudes físicas pueden ser derivadas

de las unidades fundamentales y de las suplementarias, mediante las ecuaciones físicas

que definen a estas magnitudes.

Ejemplo: La unidad de superficie se deriva de la unidad de Longitud mediante la

definición: Superficie= Longitud x Ancho

Lo que hace que la unidad de superficie sea: 1m x 1m = 1m2

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES


4


Área Metro Cuadrado m2

Volumen Metro Cúbico m3

Densidad Kilogramo por

metro cúbico Kg./m

3

Velocidad Metro por segundo m/s

Fuerza Newton N

Presión Pascal Pa.

2. Múltiplos y Submúltiplos del S.I: Tanto los múltiplos como los submúltiplos tienen su

propio nombre que consiste en el nombre de la unidad y del prefijo.

MULTIPLOS

PREFIJO SIMBOLO FACTOR

Exa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo K 103

Hecto h 102

Deca da 101

SUBMULTIPLO

Deci d 10-1

Centi c 10-2

Mili m 10-3

Micro u 10-6

Nano n 10-9

Pico P 10-12

Femto f 10-15

Atto a 10-18


5

MAGNITUDES FISICAS

1. Concepto: Es todo aquello que es susceptible a ser medido, teniendo en cuenta que

esta es inmaterial.

Ejemplo: La Longitud, superficie, masas, velocidad, etc.

2. Clasificación: Se agrupan por:

A. Su origen: Son:

a. Fundamentales: Son las que sirven de base para escribir las demas

magnitudes. Las Cuales son: la Longitud (L), la Masa (M), el Tiempo (T).

b. Derivadas: Son las que se definen o expresan en función de las magnitudes

fundamentales.

Ejemplo: Area, volumen, aceleración, velocidad, potencia, trabajo, presión,

fuerza, densidad, etc.

B. Su Naturaleza: Son:

a. Escalares: Son aquellas magnitudes que están determinadas por un

número y por una unidad correspondiente. Ejemplo: Longitud →30 m,

Tiempo→80min, Masa → 20 Kg., Área →40 cm2, etc.

b. Vectoriales: Son aquellas magnitudes que están determinadas por su

valor o modulo y su unidad, se necesita conocer su dirección y

sentido. Ejemplo:

MAGNITUD VALOR DIRECCION

Fuerza 50 N 30º

Velocidad 60 Km. / h Al norte

Aceleración 5 m / s2 90º


6

CONVERSION DE UNIDADES

Para transformar una unidad en otra se utiliza el método denominado factores de conversión,

que consiste en colocar a partir del dato, equivalencias en forma de fracción, de modo que la

unidad a eliminarse debe estar en forma opuesta.

EQUIVALENCIAS PARA OTROS SISTEMAS DE UNIDADES

CANTIDAD FÍSICA UNIDAD SI CONVERSION DE UNIDADES

LONGITUD Metro (m)

1 m= 39,37 pulg

1 pulg = 2,54 cm

1 nm =100

1 yarda = 0,9144 m

1 milla = 1,609 km

1 pie = 0,3048 m = 12 pulg

MASA Kilogramo (Kg.)

1 kg = 2,205 lb

1 onza = 28,35 g

1 Tn métrica = 1000 kg

1 libra = 453,6 g

1 g = 1000 mg

VOLUMEN Metro cúbico (m3)

1 m3= 1000 L = 35,315 pies

3 = 264,17 gal

1 dm3 = 1 L

1 L = 1000 cm3 = 1000 mL

1 gal (USA) = 3,785 L

1 pie3 = 28,32 L = 0,0283 m

3

1 pulg3 = 16,387 mL

1 onza líquida = 29,57 mL

ENERGIA Joule (J)

1 J = 107 ergios

1 Joule = 0,23901 cal

1 Joule = 2,777x10-7

kw.h

1 Caloria = 4,184 J

1 BTU = 252 cal

1 BTU = 1054,3 J

1 eV = 1,6022x10-19

J

PRESION Pascal (Pa.)

1 atm = 14,7 lb/pulg2 = 14,7 psi

1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg

1 torr = 1 mmHg

1 bar = 105 Pa

1 atm = 1,033 kg-f / cm2

.101 80

1 cmxAnstrong 1h=60 min 1min=60 s 1h=3600 s

Ejémplo:

1. Expresar el volumen de 50 galones de gasolina en litros.

Lgal

Lgal 5.189

1

79.350


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Cuando termine de estudiar la presente unidad debe haber alcanzado los siguientes

objetivos.

OBJETIVOS:

1. Describir e interpretar gráficamente las operaciones con vectores.

2. Componer y descomponer vectores.

3. Realizar operaciones con vectores.

1.1. INTRODUCCION:

Para muchos fines de la física, la dirección de una cantidad es de igual importancia

que su magnitud. Esta unidad está dedicada al uso de cantidades que tienen

dirección y magnitud. Estas cantidades se denominan vectores.

Gráficamente un vector es una flecha dibujada para representar una cantidad. Su

longitud es

1.2. OPRERACIONES CON VECTORES:

1.2.1. SUMA DE EVCTORES:

Dados dos vectores y , la suma se obtiene utilizando la REGLA

DEL PARALELOGRAMO, que consiste en dibujar los vectores y

coincidiendo en su origen y luego trazar paralelas a estos vectores hasta formar

un paralelogramo. La diagonal mayor representa la suma y la diagonal

menor la diferencia .

Nota: una forma sencilla de hallar es también dibujado un triangulo

con los vectores , y , como se indica a continuación es la grafica.

SESIÓN Nº 01: ANÁLISIS VECTORIAL


8

1.2.2. SUMA DE MÁS DE DOS VECTORES:

Para sumar mas de dos vectores, digamos , sumamos primeros dos de

ellos por el método del triangulo, digamos y finalmente sumamos a

.

Gráficamente se obtiene un polígono.

1.2.3. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR.

El producto de un vector por un escalar “K”, es un vector , con magnitud

veces la magnitud de . El sentido de depende del signo de “K”, tiene el

mismo sentido de si K es positivo y sentido opuesto a si K es negativo.

1.3. MUDULO Y DIRECCION DE LA RESULTANTE DE DOS VECTORES.

1.3.1. MODULO DE LA RESULTANTE:

Dados dos vectores y , y la resultante . Se llama módulo de la

resultante al valor definido por:

……………………. (1.1)

Donde “θ” es el ángulo entre los vectores .

Nota: en (1.1) y en lo que sigue del Manual por comodidad utilizaremos las

siguientes notaciones:


9

1.3.2. DIRECCION DE LA RESULTANTE:

Se determina con el ángulo que forma la resultante con el vector , como

sigue:

………………..…………… (1.2)

1.4. DESCOMPOCICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES

RECTANGULARES.

1.4.1. CASOS DE UN VECTOR EN EL PLANO.

Si por el origen de un vector trazamos un sistema de coordenadas

rectangulares, entonces tendremos que las componentes rectangulares del vector

y .

En donde se tiene las siguientes definiciones:

(i) Vector en términos de sus componentes:

(ii) Modulo o longitud del vector a.

…………………….. (1.3)

(iii) Longitud de las componentes del vector a.

; ……………….. (1.4)

(iv) Dirección de un vector .

…………………………..(1.5)

0

Y

X


10

1.4.2. CASO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO:

Las componentes ortogonales del vector son:

, y

1.5. MODULO Y DIRECION DE LA RESULTANTE DE MAS DE DOS

VECTORES

Módulo de la Resultante.-

Para calcular el módulo de la resultante de un conjunto de vectores, se dibujan todos

los vectores en sistemas de coordenadas rectangulares, de modo que su origen

coincida con el origen del sistema, luego se calculan las componentes horizontal y

vertical de cada uno de los vectores. Finalmente el módulo de la resultante se

calcula por formula:

………………………………(1.6)

Donde:

Suma de las componentes en la dirección del eje X.

Suma de las componentes en la dirección del eje Y.

X

Y

Z

β

γ

α


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Gráficamente:

Nota: El signo negativo de algunas componentes se debe al sentido de los ejes

del sistema de coordenadas rectangulares.

1.6. VECTORES UNITARIOS:

1.6.1. Definición: se dice que un vector es unitario si su longitud es igual a 1, es

decir, si .

Nota: si es un vector no nulo, el vector unitario en la dirección de esta

dado por:

De donde se deduce que todo vector es igual al producto de su longitud por su

vector unitario, es decir:

……………………………….. (1.7)

1.6.2. Vectores Unitarios Rectangulares.

Son los vectores unitarios en la dirección de los ejes de un sistema de

coordenadas rectangulares y se les denota por .

X

Y

X

X

Y

Z

X

X


12

1.7. ALGEBRA VECTORIAL.

Sean los vectores:

Definamos las siguientes operaciones en términos de sus componentes

rectangulares:

1.7.1. Suma de Vectores.

…………….(1.8)

Es una cantidad vectorial.

1.7.2. Diferencia de Vectores.

……………. (1.9)

Es una cantidad vectorial.

1.7.3. Producto escalar de vectores.

…………………………(1.10)

Es una cantidad escalar.

Este producto también se define como sigue:

…..………………………………… (1.11)

Donde “θ” es el ángulo que hacen los vectores .

De acuerdo a esta definición se deduce que el producto escalar de los vectores

unitarios rectangulares i, j y k arroja los siguientes resultados:

(a)

(b)

1.7.4. Producto vectorial de dos vectores.

Sean los vectores , el producto vectorial de estos vectores se

define por:

Si no se conoce el ángulo se usa:

…...(1.12)

Es una cantidad vectorial. Este resultado también se obtiene desarrollando el

siguiente “Determinante”:


13

Nota: formalmente no se trata de un determinante, pero es un buen artificio para

retener en la memoria los cálculos en (1.12). Que puede resolverse usando

métodos conocidos.

PRACTICA DE CLASE

1. Los módulos de dos vectores son de 3

y 5 u nida des; ha l l a r e l ve ctor

resultante, cuando éstos forman

un ángulo de 60°.

2. ¿Cuál debe ser el valor de "m"

para qu e el vector A (1 , m, 2 )

forme u n ángulo de 60° con el eje z?

3. Calcular la resultante y la

dirección d e l s i s t e m a

f o r m a d o s p o r l o s ve ct ore s

A (3 , -2 ,3 ) ;B(1 ,1 , -2 ) y C(2,2,-1)

4. D a d o e l v e c t o r A ( 2 , 6 , - 4 ) ,

Determinar un vector unitario en

la misma dirección y sentido.

Además calcular 3/2 A

5. S e a n l o s v e c t o r e s A( 3 , -2 , 4 )

y B(1,1,-2). Determinar:

A) Proyección de A sobre B

B) Proyección de B sobre A

C) E l á n g u l o f o r m a d o p o r

l o s vectores A y B.

6. Da dos lo s ve ctor es U(1 , -1 ,0 )

V(2,0,-2) y W(1,-2,-3), hallar:

A) Producto escalar de U y V.

B) El ángulo que forman U y V

C) Un vector unitario ortogonal a

U y V.

D) El valor de x para que el

vector (2, 5, x) sea ortogonal a W.

E ) E l á n g u l o fo r m a d o p o r l o s

vectores W y V.

7. Un vector A tiene de

componentes (1 ,2 ,3 ) . O t r o

v e ct or B t i e n e d e módulo 3 1/2

y

su componente x (Bx) vale 1.

determinar B para que sea

perpendicular a A.

8. Sie nd o l os v ect or e s A ( A x , 5 ,3 )

y B (3 ,1 ,0) y sabiendo que A-B

= 4j+3k y que el módulo de su

suma vale 9. Determinar Ax.

9. Hallar el producto vectoria l de

los vectores A(3,-3,2) y B(3,4,0)


14

LABORATORIO Nº 01: “ANÁLISIS VECTORIAL”

1. Un vector situado en el plano XY tiene

una magnitud de 25 unidades y forma

un ángulo de 37º con la abscisa.

Determine sus componentes

rectangulares.

2. La componente x de un vector que está

en el plano XY es de 12 unidades, y la

componente y es de 16 unidades.

¿Cuál es la magnitud y dirección del

vector?

3. Un vector tiene una magnitud de 9

[cm] y está dirigido hacia +X. Otro

vector tiene una magnitud de 6 [cm] y

forma un ángulo de 45º respecto de la

abscisa positiva. El vector tiene una

magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo

de 75º respecto del eje +X. Determine el

vector resultante.

4. Dado el vector

, determine sus

ángulos directores.

5. Dados los vectores:

Encontrar:

a. b.

c. d.

e. Los ángulos directores de

6. Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5

que forman un ángulo de 60º entre sí.

7. Dados los vectores A = 3ˆi - 2ˆj y B = ˆi

- 2ˆj, encontrar su producto vectorial.

8. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las

coordenadas:

a) 2u, b) 0v, c) –u, d) 2u +v,

e) u –v, f) 5u – 3v.

9. En una base ortonormal tenemos

a (1, 2, 2) y b (–4, 5, –3). Calcula:

a) a · b b) y

c) La proyección de b sobre a.

10. Calcula el volumen del paralelepípedo

determinado por u (1, 2, 3), v (–2, 1, 0)

y w = u × v.

11. Calcula el volumen del paralelepípedo

determinado por a(3, –1, 1), b(1, 7, 2) y

c(2, 1, –4).

12. Hallar un vector unitario

perpendicular al plano formado por

los vectores:

P = 2i – 6j – 3k y

Q = 4i + 3j – k

13. Hallar el área de un triángulo cuyos

vértices son: P(1,2,3), Q(2,-1,1) y

R(4,5,6)

14. Hallar los ángulos directores de la

recta que pasa por los puntos (3,2.-

4) y (1,-1,2)


15

15. Hallar la proyección del vector A =

2i – 3j + 6k sobre el vector B = i +

2j + 2k.

16. Hallar la proyección del vector M =

4i – 3j + k sobre la recta que pasa

por los puntos (2,3,-1) y (-2,-4,3).

17. Si el producto vectorial de dos

vectores es a x b = 3i – 6j + 2k,

siendo a = 4 y b = 7. Calcular el

producto escalar a.b

18. Que ángulo forma las fuerza F(5,9)

y P(-3,6)

19. Calcular x para que el vector a =

(1,3) sea ortogonal a b = (x,2)

20. Buscar un vector perpendicular al

vector a = 3i – 4j y de módulo 10.

21. Dados los vectores a = 7i + 4j –

5k y b = -3i + k, Calcular: a) el

ángulo que forman ambos

vectores, b) los cosenos

directores de los dos vectores, y

c) el área del paralelogramo

formado por ambos vectores.

22. Una caja de 16 cm de largo, 18

cm de ancho y 10 cm de alto.

Encuentre la longitud de la

diagonal de la caja y el ángulo

que ésta forma con cada uno de

los ejes.

23. Dados los vectores a = 5i + 2j +

3k, b = bxi + 2j + bzk y c = 3i +

cxj + k. Determinas bx, by y cy

para que los vectores sean

mutuamente ortogonales

24. Los puntos A(1,1,1), B(3,1,1),

C(0,4,0) y D(1,0,5) delimitan un

tetraedro. Calcular: a) la longitud

del lado AB, b) el área del

triángulo ABC, y c) el volumen

del tetraedro.


16

CONCEPTO:

Rama de la mecánica, cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las

fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste se encuentre en equilibrio.

ESTATICA

EQUILIBRIO TORQUE

2ªCONDICION

DE EQUILIBRIO

APLICACIONES

1ªCONDICION

DE EQUILIBRIO

SESION Nº 02: ESTATICA


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LAS LEYES DE NEWTON

I. Ley de inercia

Al estructurar los principios de la Mecánica, Newton se basó en

los estudios realizados por los físicos que lo precedieron, entre

ellos Galileo. Así la primera ley de Newton no es más que una

síntesis de las ideas de Galileo referentes a la inercia, y por eso

mismo, también se le denomina ley de la inercia:

“Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento

uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza externa”.

II. Ley de acción-reacción

En sus estudios, Newton se dio cuenta de que las fuerzas siempre aparecen como

resultado de la interacción de dos cuerpos. En otras palabras, la acción de una fuerza

sobre un cuerpo no se puede manifestar sin que haya otro cuerpo que lo provoque.

Además Newton pudo comprobar que en la interacción de dos cuerpos, las fuerzas

siempre aparecen en pares: para cada acción de un cuerpo sobre otro siempre existirá

una reacción igual y contraria de éste sobre el primero. Tales observaciones de

Newton se pueden sintetizar en el enunciado de su tercera ley, que también se conoce

como ley de la acción y la reacción:

"Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (Acción); entonces el otro le aplica una

fuerza igual y en sentido contrario al primero (Reacción)".

Ejemplo:

a. Si soltamos desde una altura una pelotita de jebe, esta llega al suelo aplicándole

una fuerza ; pero en ese instante el suelo reacciona y le aplica otra fuerza a la

pelotita (en sentido contrario y de una misma magnitud y dirección). Por cada

acción hay una reacción igual y de signo opuesto.


18

b. Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, entonces B ejerce sobre A

una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta. FA + FB = 0

Definición de fuerza

La fuerza es igual a la masa por la aceleración producida en el cuerpo.

Fuerzas fundamentales de la naturaleza

a. La fuerza gravitatoria hace que los planetas giren en torno a una estrella o que los

objetos caigan.

b. La fuerza electromagnética mantiene cohesionados átomos, moléculas y sistemas

macroscópicos.

c. La fuerza débil es la responsable de la transformación de unas partículas en otras (ej:

protón en neutrón).

d. La fuerza fuerte mantiene unido al núcleo atómico.


19

INTERACCIONES Y FUERZAS:

Fuerzas de contacto.

Son de origen electromagnético debidas a interacciones entre las moléculas de cada objeto.

1. Objetos deslizándose sobre superficies

Fuerza Normal : fuerza perpendicular a una superficie que se opone a su deformación.

Fuerza de rozamiento:

Es la fuerza que se opone al desplazamiento de un cuerpo sobre otro y que es devida a la

irregularidades de las superficies de contacto y las fuerzas de adherencias entre moleculas de

los 2 superficies en contacto.

Experimentalmente:

Fuerzas elásticas

W

g

N

F


20

Ley de Hooke : Un muelle ( o cuerda elástica) se opone a su deformación.

Constante elástica F = −k x del muelle

FUERZAS INERCIALES: En algunos casos, el movimiento es tal que su estudio se

simplifica haciedo uso de un sistema de referencia No inercial. Si es así, al aplicar las leyes

de Newton, añadimos a las fuerzas reales una fuerza inercial o ficticia.

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

EQUILIBRIO TRESLACIONAL:

1ª Condición de Equilibrio

"Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él sea

igual a cero; para eso, las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y

concurrentes".

Si la resultante de un sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado.


21

(3)

En este caso, por la 1ª ley de Newton, el cuerpo permanece en reposo (equilibrio estático), o

esta en movimiento con velocidad constante [a=0] (equilibrio cinético).

Ejemplo:

Ejemplo para cuerpos en rozamiento.

Como el cuerpo tiene aceleración nula entonces

es decir la fuerza de roce es igual a la fuerza aplicada F. Si se aumenta F aumenta la fuerza

de roce de la misma manera. Pero eso tiene un límite. La fuerza de roce no puede crecer

indefinidamente. Este límite tiene que ver con propiedades de las superficies en contacto y

con el grado en que las superficies están apretadas entre sí. El modelo que utilizaremos es:

, donde se denomina coeficiente de roce estático entre las

superficies.

Si la fuerza aplicada supera al máximo valor de la fuerza de roce o si el cuerpo está

en movimiento relativo, la fuerza de roce, llamada ahora fuerza de roce cinética, está

dada por:

donde se denomina coeficiente de roce cinético. Normalmente que

pone de manifiesto que cuesta menos mantener el movimiento que iniciarlo.

EJEMPLOS

1. Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura.

Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.


22

SOLUCIÓN:

El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre:

Al sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos:

Al simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos:

-0.5A + 0.7660B = 0 (1)

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto

tenemos:

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de

sustitución. Si despejamos A tenemos:

Ahora vamos a sustituir esta igualdad en la ecuación 2

Para B tenemos:


23

Para calcular la tensión en A sustituimos

La tensión en la cuerda C es 300N, puesto que debe ser igual al peso.

2. Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma

horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un

ángulo de 30° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

SOLUCIÓN

Primero dibujamos le diagrama cuerpo libre:

Ahora se aplica la primera condición de equilibrio. La suma de las fuerzas a lo largo del eje

X:


24

Ahora al sumar las componentes en Y:

Por lo que: A sen 60° = 100N

Ahora se despejan las fuerzas desconocidas:

0

Conocemos el valor de A, ahora despejamos B de la ecuación 1:

TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO.

En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente. De

traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se está trasladando, en este caso

la rotación puede ser sobre un eje que pase por el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando

en torno a un eje vertical, a la rotación del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de

precesión (por ejemplo un trompo), y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se

traslada y gira. Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy complejo,

por esta razón se estudia cada movimiento en forma independiente.

Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de otro punto

del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de manera similar, por lo que ya

no se puede representar por una partícula. Pero se puede representar como un objeto

extendido formado por un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y

aceleración. Al tratar la rotación del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un

objeto rígido y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.

Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman)

tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no

deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento

de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales

la deformación del objeto es despreciable.


25

El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación

y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos

movimientos.

TORQUE DE UNA FUERZA.

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar

un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al

cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se

prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos

al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes

físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.

Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede producir sobre un

cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla fija en un punto O ubicado en

un extremo de la regla, como se muestra en la figura 1, sobre el cual pueda tener una

rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en

distintos puntos, produce sobre la regla fija en O. La fuerza F1 aplicada en el punto a

produce en torno a O una rotación en sentido antihorario, la fuerza F2 aplicada en el punto b

produce una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, la fuerza F3 aplicada

en b, pero en la dirección de la línea de acción que pasa por O, no produce rotación (se

puede decir que F3 „empuja‟ a la regla sobre O, pero no la mueve), F4 que actúa inclinada en

el punto b produce una rotación horaria, pero con menor rapidez de rotación que la que

produce F2; F5 y F6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de

la figura respectivamente, no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que

produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos

como el torque de la fuerza.

Figura 1


26

Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una

posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se

produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza

aplicada F, por la siguiente expresión:

…………….……………………………..(1)

El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor numérico, por

definición del producto vectorial, es:

……………………………………(2)

su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama vectorial

se muestra en la figura 2, su sentido esta dado por la regla del producto vectorial, la regla

del sentido de avance del tornillo o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano

derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F

a través del ángulo α , la dirección del pulgar derecho estirado da la dirección del torque y en

general de cualquier producto vectorial.

Figura 2

Por convención se considera el torque positivo (negativo) si la rotación que produciría la

fuerza es en sentido antihorario (horario); esto se ilustra en la figura 3. La unidad de medida

del torque en el SI es el Nm (igual que para trabajo, pero no se llama joule).

Figura 3

El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación

respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque es cero. Si

, es decir, F está sobre la línea de acción de r, y el torque es


27

cero. es la componente de F perpendicular a r, sólo esta componente realiza torque,

y se le puede llamar De la figura 3 también se ve que es la distancia

perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a se le llama

brazo de palanca de F.

Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como:

TEOREMA DE VARIGNON:

“El momento de la resultante de dos fuerzas concurrentes, con respecto a un centro en su

plano, es igual a la suma algebraica de los momentos de los componentes con respecto al

mismo centro”.

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE VARINGNON*.

Para determinar el momento resultante de dos o más fuerzas paralelas, se obtiene sumando

sus módulos algebraicamente:

mFFFFFR

000000 ....4321

Convención de signos en torque:

1) El signo de la resultante depende del sentido con respecto al eje de giro, si es

antihorario será positivo y si es horario negativo.

2) El signo de las fuerzas depende que sentido tienen con respecto al eje de giro. Si es

horario (-); antihorario (+).

Por ejemplo en la figura:

54321 F

A

F

A

F

A

F

A

F

A

R

A

Tomando como referencia al punto A, y siendo R la resultante de las fuerzas.

O


28

Luego: xFxFaFaFFR

A 54321 2.2..0. ......... (1)

EJEMPLOS SOBRE “N” FUERZAS PARALELAS

1. Calcular la resultante y el punto de aplicación del sistema mostrado.

b) Cálculo del punto de aplicación con respecto al punto “A” usando el teorema de

Varignon.

82645

AAAAA

R

A

)5(8)2(2)6(6)4(4)0(5xR

40436165x

2ª CONDICIÓN DE EQUILIBRIO:

Un cuerpo esta en equilibrio rotacional si la suma de los torques que actúan sobre el es

CERO.

En este caso, el objeto rotacionalmente en reposo o rota con velocidad angular constante

[α=0].

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de

las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con

Solución:

a) Cálculo de la Resultante

Luego la resultante apunta hacia arriba.

El punto de aplicación se encuentra a 1,6cm del punto “A”.

cmxx 6,15

8


29

velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio

estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación.

En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el

cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en

reposo, estará en equilibrio estático. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio

estático de los cuerpos se llama estática.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos

simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es

la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. La segunda condición

de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “la

suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de

cualquier origen es cero”.

Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible

tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la

pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una mano, extiendes y levantas el otro

brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de

gravedad y su aplicación al equilibrio estático.

Centro de gravedad.

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes

actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar

actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se

concentra el peso total del cuerpo.

Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro

geométrico, pero no para un objeto irregular.

Centro de masa.

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda

su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el

cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un

eje se simetría.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta

aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una

partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de

gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es


30

equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante, esto

es, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Existen métodos de cálculo integral para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las

detallaremos.

Ahora se pueden responder las preguntas anteriores. Respecto a la Torre de Pisa, la respuesta

a la pregunta de porque no se cae, es porque su centro de gravedad está geométricamente

dentro de su base, que se llama “área de sustentación”.

Si la torre continúa inclinándose hasta que su centro de gravedad caiga fuera del área de

sustentación, entonces se derrumbará. Pero se le han puesto apoyos en su base para evitar

que continué inclinándose. Las otras preguntas ahora las puedes responder tu.

Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes

instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido:

a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.

b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las

fuerzas efectivamente actúan.

c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde

dibujar la componente perpendicular a la posición.

d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques

de (algunas) fuerzas desconocidas.

EJEMPLO

1. Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza ,

que se aplica a un objeto en la posición

Solución:

Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:


31

2. Calcular el torque neto por los puntos A y por B en el sistema de la figura mostrada,

donde

Solución:

El torque neto es la suma de los torques realizados por cada fuerza. Los puntos A y B

se consideran ejes de rotación en forma independiente, por supuesto no

simultáneamente, por lo tanto los torque se calculan en forma separada en cada

punto.

Para rotación en torno al punto A, considerando el sentido de la rotación que produce

cada fuerza, lo que le da el signo al torque, se tiene:

los valores de las distancias son:

Para rotación en torno al punto B, considerando el sentido de la rotación:

ahora los valores de las distancias son:

3. Una barra uniforme de longitud L y peso P está articulada en A en una pared. Un

alambre fijo en la pared a una distancia D sobre la articulación, sujeta a la barra por

el extremo superior, como se muestra en la figura 6.5a. El alambre permanece

horizontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el extremo superior de la barra.

Calcular la tensión del alambre y la fuerza de reacción en la articulación de la barra.

Solución

Se elige como eje de rotación la articulación de la barra en la pared, en el punto A, se

identifican las fuerzas que actúan sobre la barra, se dibuja el DCL de la barra (figura

adjunta) y se aplican las condiciones de equilibrio.


32

a) izquierda, b) derecha.

1ª condición de equilibrio:

Eje x: (1)

Eje y: (2)


(3)

De la geometría de la figura se obtienen en términos de los valores

conocidos D y L:

que se reemplazan en (3), luego se despeja T:

Ahora se calculan FAx y FAy de las ecuaciones (1) y (2).

De (1):

De (2):

4. En el sistema de la figura adjunta, una fuerza horizontal F, cuya línea de acción pasa

por el centro de un tambor de radio R y peso P, se aplica sobre el tambor, para

hacerlo subir por un escalón de alto R/2. Hacer las suposiciones necesarias para

calcular el valor de la: a) fuerza F, b) fuerza del borde del escalón en A, c) dirección

de la fuerza en A.


33

a) izquierda, b) derecha.

Solución

Se conocen sólo el peso P y el radio del cilindro R. Hay que calcular la fuerza

aplicada F y la fuerza del borde del escalón en A, FA.

Las condiciones de equilibrio son:

Se hace el DCL (figura b), se elige como eje de rotación el punto A, y al aplicar las

condiciones de equilibrio se obtiene:

Eje x: (1)

Eje y: (2)

(3)

donde d es la distancia perpendicular, o brazo de palanca, desde A hasta las fuerzas

peso P y normal N, y el brazo de palanca de F es R/2. De la geometría de la figura, se

calcula d:

De (3) se obtiene el valor de la fuerza aplicada:

De (1):

De (2):

El vector fuerza es:

Su magnitud:


34

Dirección de FA:

Notar que no se conoce N, se puede suponer que N = 0 cuando F es la fuerza mínima

para hacer subir al tambor.

APLICACIONES DEL TORQUE AL CUERPO HUMANO.

La técnica para calcular el valor de las fuerzas sobre cuerpos en equilibrio, puede ser

aplicada al cuerpo humano, donde existen fuerzas en músculos, huesos y

articulaciones, que permiten las diferentes posturas y movimientos.

El torque producido por la fuerza de gravedad juega un papel importante en el

equilibrio de un cuerpo. La fuerza de gravedad produce un torque cero en torno al

centro de gravedad (c.g.) El c.g. de una persona en posición firme está sobre una

línea vertical que toca el suelo a 3 cm delante de los tobillos (figura a). Si se inclina

para tocar la punta de los pies, su c.g. tiende a moverse hacia delante, más allá del

área de contacto, perdiéndose el equilibrio. Para evitar esto, sus piernas y nalgas se

mueven hacia atrás, con lo cual el cuerpo vuelve a estar en equilibrio (figura b). Los

centros de gravedad de la mayoría de las partes del cuerpo no están encima de las

articulaciones de apoyo y hacen falta fuerzas musculares para mantener el equilibrio.

Es así que para mantener el equilibrio y evitar que el cuerpo vuelque hacia adelante

teniendo como eje la articulación del tobillo, se necesita una fuerza aplicada por el

músculo del tendón de Aquiles que va unido al tobillo (figura c).

El problema de mantener el equilibrio cuando caminamos es aún mayor. Al levantar

un pie del suelo, el c.g. del cuerpo tiene que desplazarse por encima del pie apoyado.

Esto exige que todo el cuerpo se mueva lateralmente. Es así que al caminar el cuerpo

se mueve de un lado a otro para mantener el c.g. sobre su área de apoyo, en continuo

movimiento. Una buena estabilidad se obtiene teniendo el c.g. de un objeto en una

posición debajo de su área de sustentación.

Para un cuadrúpedo, el área de apoyo es el área que hay entre las patas, lo cual hace

que el animal tenga gran estabilidad. Si el c.g. está realmente debajo del área de

apoyo se logra una gran estabilidad. A lo largo de la evolución, los animales han

desarrollado posturas cada vez más inestables. La inestabilidad permite a los

animales moverse más rápidamente, pero requiere un control neuromuscular

complejo para mantener el equilibrio. La posición humana es tan mecánicamente


35

inestable que a un niño le cuesta mas de un año desarrollar el control neuromuscular

suficiente para mantenerse en pie sin ayuda.

Figura a) b) c)

La columna vertebral humana consta de 24 vértebras separadas por discos

impregnados de un fluido. Cuando una persona se agacha para recoger aunque sea un

objeto liviano, se produce una gran fuerza sobre el disco sacro lumbar que separa la

última vértebra del sacro, el hueso que sostiene la columna vertebral.

Si este disco se debilita puede deformarse o romperse y ejercer presión sobre los

nervios próximos produciendo grandes dolores.

Para comprender por qué esta fuerza es tan grande podemos usar un modelo que trata

la columna como una barra con pivote que corresponde al sacro (figura 8a). Los

diversos músculos de la espalda los representaremos como un solo músculo que

produce una fuerza . Si la espalda está horizontal, el ángulo α que forma respecto a

la columna es aproximadamente 12º. Representa el peso del torso, cabeza y

brazos, que corresponde aproximadamente al 65% del peso total del cuerpo.

Obsérvese que como el ángulo α es pequeño, la línea de acción de pasa cerca del

pivote (sacro), por lo cual su distancia perpendicular es pequeña. El peso P r actúa en

ángulo recto respecto a la columna y su distancia perpendicular es mucho mayor. Por

lo tanto, para que se equilibren los torques, la fuerza muscular T r debe ser mucho

mayor que el peso P r. Como T r es grande, también lo es su componente horizontal,

por lo tanto la fuerza R r debida al sacro debe tener una componente de igual valor y

sentido opuesto. La fuerza debida al sacro también debe ser mayor que el peso P r.


36

Ejemplo. Realicemos los cálculos para una persona que pesa 700 N (masa de 70kg).

El valor de P es 65% de 700 = 455N. Se supone que P y T actúan a una distancia del

sacro de ½ y 2/3 del largo l de la columna (figura 8a). Para determinar el valor de T

y R se aplican las condiciones de equilibrio.

Figura 8 a). b)

2ª condición de equilibrio, considerando el eje O en el hueso sacro:


Luego:

Tales fuerzas en los músculos y en el disco son potencialmente peligrosas, pues el valor de

dichas fuerzas son grandes aún sin levantar un cuerpo. Si se flexionan las rodillas

manteniendo la espalda vertical, los centros de gravedad de todos los pesos están

aproximadamente en la vertical del sacro, por lo tanto sus torques respecto al sacro son

pequeños y los músculos no deben realizar gran fuerza (figura 8b). La fuerza sobre el disco

respectivo es entonces aproximadamente, igual al peso que sostiene. El diagrama de la

figura 9 ilustra los valores de presión (fuerza) sobre el tercer disco lumbar, en atmósferas, si

la persona está de pie (A), de pie y sostiene 20kg (B), levantando correctamente un bulto de

20kg (C), levantando incorrectamente un bulto de 20kg (D). Notar como aumenta la fuerza

„lumbar‟ en los distintos casos.


37

LABORATORIO Nº 02: ESTATICA

Resuelva los siguientes ejercicios en hojas blancas en forma clara y ordenada.

1. Una pelota de 250N cuelga atada a otras dos cuerdas,

como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en

las cuerdas A, B Y C.

2. Una pelota de 250N suspendida por una cuerda A es

tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda

B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo

de 40° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las

cuerdas A y B.

3. Una pelota de 300N suspendida por una cuerda A es tirada

hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y

sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de

45° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las

cuerdas A y B.

4. Encuentre la tensión el cable “A” y la compresión en el soporte “B” en la siguiente

figura, si el peso es de 95 N.

5. Un bloque de masa m= 4 Kg. se abandona sobre un plano inclinado 30º respecto a la

horizontal perfectamente liso. En la parte inferior del plano se encuentra un resorte fijo de

constante elástica igual a k= 2 000 N/m. El bloque se detiene luego de recorrer una

distancia de 2 m. La máxima deformación del resorte, es: (Tómese g=10 m/s)


38

6. El extremo de una tabla de madera se ha levantado

gradualmente hasta el instante en que está a una altura “h” del

piso y la moneda está a punto de resbalar, la tabla mide 60 cm

y e = 0.75. Calcular “h”.

7. En el siguiente diagrama el bloque A pesa 4 N y el bloque B

8N. Si el coeficiente cinético entre todas las superficies es de

0.25, calcúlese la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque

B hacia la izquierda con velocidad constante, si A y B están

unidos por una cuerda ligera que pasa por una polea sin

rozamiento.

8. Una barra homogénea de masa m = 20 Kg se apoya sobre dos superficies lisas (sin

rozamiento) como se muestra en la figura. Determinar el valor de F necesaria para

mantener el equilibrio de la barra.

9. Determine el momento resultante respecto de A.

10. Sabiendo que la esfera mostrada pesa 60N y se encuentra

en equilibrio, calcular la reacción en el piso horizontal.

No hay rozamiento.

11. En el sistema mostrado, calcular la reacción de la pared y el plano inclinado

sobre la esfera. No hay rozamiento.

12. Un bloque de 80N de peso esta sostenido mediante dos cuerdas que forman con el techo

ángulos de 37º y 53º. Hallar las tensiones en cada una de las cuerdas.


39

13. Determinar la reacción del piso sobre la barra mostrada en la

figura si su peso es 40N. La fuerza horizontal es de 30N y el

sistema se encuentra en equilibrio.

14. En el sistema mostrado, la barra pesa 100N y la carga Q, 200N. Calcular la tensión de la

cuerda.

15. Sabiendo que el cuerpo mostrado se encuentra en reposo, se pide encontrar la fuerza de

rozamiento.

16. El collarín A de 10 Kg se mantiene en equilibrio sobre la barra vertical lisa por el resorte.

¿Qué valor tiene la altura h, en m, si: K=300 N/m, la longitud del resorte no estirado es

30cm?

17. En el sistema mostrado, el peso de la barra es despreciable y tiene un metro de longitud.

La comprensión, en N, de dicha barra es:.


40

18. En la viga de peso despreciable que se muestra en la figura,

Determine las reacciones, en N, en los puntos A y C. BC = 0,7m,

AB = 0,5m, la Fuerza F = 400N actúa sobre el punto medio de AB.

19. El peso total de la carretilla y su carga es 900N. (a). si F = 0, ¿Qué valor, en N tiene la

reacción en A? (b) ¿Qué fuerza “F” en N, mínima es necesaria para levantar del suelo el

soporte A?

20. Suponga que la fuerza ejercida por el martillo sobre la cabeza del clavo es vertical, e

ignore su peso. Si F = 50N, ¿Qué valor tiene la fuerza ejercida por el martillo sobre el

clavo, en N?


41

1. CONCEPTO: Es una parte de la mecánica que estudia única y exclusivamente el

movimiento de los cuerpos prescindiendo de las causas que lo producen (masas y fuerzas

aplicadas)

La cinemática trata sobre el movimiento de los cuerpos con respecto a un sistema de

referencia.

2. SISTEMA DE REFRENCIA: Es aquel lugar del espacio donde se encuentra un

observador (real o imaginario) inmóvil, este “Observador” se debe ubicar dentro del tiempo

y espacio.

3. MOVIMIENTO: Es aquel fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que

realiza en cada instante con respecto a un sistema de referencia el cual se considera fijo.

SESIÓN Nº 03: CINEMATICA DE UNA PARTICULA

Movimiento


42

4. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO:

4.1. Móvil.- Es todo cuerpo o partícula en movimiento.

4.2. Trayectoria.- Línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas ocupadas por

un móvil durante su movimiento.

4.3. Espacio recorrido (d).- Es la longitud de la trayectoria.

4.4. Desplazamiento (x).- Sentido Vectorial que define la posición final de un móvil

respecto a su origen o punto de partida.

4.5. Velocidad.- Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez con que el

móvil cambia de posición.

Las unidades de la velocidad son: .,,, etcs

cm

h

Km

s

m

5. Clasificación del movimiento:

I. Según su trayectoria:

1. Por su Trayectoria:

Rectilíneo

Circular

Parabólico

Elíptico

II. Por su rapidez:

2.1. Uniforme: Cuando su modulo de la velocidad permanece constante.

2.2. Variado: Cuando el modulo de la velocidad cambia al transcurrir el tiempo.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

MRU

1. CONCEPTO: Llamamos movimiento rectilíneo uniforme, al movimiento de un punto

material que recorre espacios iguales en tiempos iguales. Dado que hemos definido la

velocidad como la variación del vector posición con relación al tiempo, en este tipo de

movimiento la velocidad será constante:


43

0 velocidad instantánea

En el caso unidimensional, si queremos establecer la ecuación que nos dé la posición del

punto material (x), en un instante cualquiera (t), sabiendo que la posición inicial es ( ) para

el instante (t = 0), tendremos:

de donde:

Vemos que obtenemos para x una función lineal de t, en la cual v es el coeficiente de la

variable independiente y es la abscisa para el instante .

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

MRUV

Se ha denominado movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a aquel movimiento que

describe una partícula de modo que son constantes las variaciones del vector velocidad en la

unidad de tiempo, es decir aquel cuya aceleración permanece constante.

Dado que la velocidad no permanece constante pero sí sus variaciones podremos escribir:

Si consideramos que en un instante cualquiera (t) el móvil lleva una velocidad (v), y fue ( )

la velocidad con la que inició el movimiento, es decir la que tuvo en el instante t = 0,

tendremos:

o lo que es igual v = v0 + at

Obteniendo para la velocidad una función lineal de en la cual es la aceleración el

coeficiente de la variable. Al representar la recta obtenida tendremos en cuenta que su

pendiente igual a (a).


44

Por otra parte, podremos calcular la velocidad media vm de la partícula dividiendo el espacio

total recorrido por el tiempo empleado en recorrerlo, es decir:

y por lo tanto

Por otra parte, dado que las variaciones de la velocidad son directamente proporcionales al

tiempo, podremos escribir para la velocidad media:

y sustituyendo en la ecuación precedente:

Sustituyendo v por su valor en función de la aceleración y del tiempo:

Con lo cual

Como vemos, la ecuación obtenida para el espacio recorrido en un instante es una función

del cuadrado del tiempo, y su representación gráfica en función del tiempo será una

parábola, cuya tangente en cada punto tendrá por pendiente el valor de la velocidad.

Si eliminamos el tiempo entre las ecuaciones de la velocidad y del espacio:

Sustituyendo t por el valor obtenido en la ecuación de la velocidad


45

CAIDA LIBRE

Con la experiencia de Galileo Galilei, se comprobó que la caída libre de los cuerpos, es un

movimiento vertical uniforme variado y que todos los cuerpos, en el vacio, caen con la

misma aceleración, siendo esta la aceleración de la gravedad .

De la figura:

a) Hacia arriba: movimiento desacelerado.

b) Hacia abajo: movimiento acelerado.

1. Al mismo nivel:

2. En la altura máxima:

3. Para iguales desplazamientos:

Por lo tanto las formulas deducidas para tal movimiento son las mismas que utilizaremos

para caída libre, con las siguientes consideraciones:

a=g (aceleración de la gravedad)

x=h (altura de caida)

como la aceleración de la gravedad varia inversamente con la altura, de modo que a mayor

altura “g” es menor; asi tenemos que en los polos:

Y en el Ecuador:

Sin embargo, para nuestro propósito utilizaremos un valr promedio:

Formulas:

B


46

Son las mismas que las de MRUV, con las consideraciones de que: y se

desprecia la resistencia del aire.

Calculo de la altura máxima

Cálculo de tiempo de vuelo:

MOVIMIENTO PARABOLICO

El movimiento de un proyectil es aquel que tiene una trayectoria parabólica en un plano.

Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal (MRU) y un

movimiento vertical de caída libre (MRUV).

donde:

Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con

aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del

proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A.

Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:


47

FORMULAS:

Tiempo de vuelo:

Alcance máximo:

Altura máxima:

Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-

parabólico.

Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:

X = Vxi t

y = yo - ½ gt2

CASOS:

Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad

dada el máximo alcance se logra con una inclinación de 45o respecto a la horizontal.


48

MOVIMIENTO CIRCULAR

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez

situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes

magnitudes.

Posición angular,

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su

posición angular viene dada por el ángulo , que hace el

punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de

ángulos O.

El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el

radio de la circunferencia r, . La posición angular

es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene

dimensiones.

Velocidad angular,

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P'

dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado

Dq=q ' -q en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido

entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se

obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#rectil�neo


49

Aceleración angular, a

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en

el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La

velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w' -w en el

intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el

intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en

un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya

velocidad angular w es constante, por tanto, la

aceleración angular es cero. La posición angular del

móvil es:

Gráficamente se representa w en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento

circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#uniforme


50

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es

aquél cuya aceleración a es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el

cambio de velocidad angular w -w0 entre los instantes

t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad angular w en función del tiempo,

obtenemos el desplazamiento q -q0 del móvil entre

los instantes t0 y t, gráficamente (área de un

rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento

circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos

la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

Aceleración

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro,

aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya que, en

virtud de la relación , resulta

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#acelerado




51

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad

constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro

mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como

correspondería por la ley de inercia.

Período y frecuencia

El periodo representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa

y viene dado por:

La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la

unidad de tiempo y viene dada por:

Obviamente, la frecuencia la inversa del período:

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADpeta


52

LABORATORIO Nº 03: CINEMATICA

MRU - MRUV

1. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x se localiza en

. Encuentre su desplazamiento,

velocidad promedio y rapidez promedio durante este intervalo de tiempo.

2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x. su coordenada x varia con el

tiempo de acuerdo con la expresión , donde x esta en metros y t en

segundos. La grafica posición – tiempo para este movimiento se muestra en la figura.

advierta que la partícula se desplaza en la dirección de x en t > 1 s.

a. Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo t=0 a t=1 s

y t=1 a t=3 s.

b. La velocidad promedio en los intervalos de tiempo antes mencionados.

c. La velocidad instantánea de la partícula en t=2.5 s.

x(m)

m=2m/s2

m=4m/s2

t (s)


53

3. Un fabricante de cierto automóvil afirma que su auto deportivo de superlujo

acelerara desde el reposo hasta una rapidez de 42m/s en 8 s. en el improbable caso de

que la aceleración sea constante:

a) Determine la aceleración del automóvil en m/ s2.

b) Encuentre la distancia que el automóvil recorre en los primeros 8 s.

c) ¿Cuál es la rapidez del automóvil 10 s después de que inicia su movimiento?

Suponga que continua acelerando a la tasa promedio de 5.25 m/s2.

4. Un motociclista debe llegar a su destino a las 10 am. Si viaja a 15 km/h

llegaría a la 1 pm y si viaja a 40 km/h llegaría a las 8 am. ¿Con qué velocidad debe

viajar para llegar a las 10 am exactamente?

5. Una moto y un auto se encuentran separados una distancia de 1000 m. Si

parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s,

respectivamente. ¿A qué distancia del punto de partida de la moto, se produce el

alcance?

6. Un tren tarda 40 s en cruzar totalmente un túnel de 500 m y tarda 1 minuto en

pasar completamente por otro túnel de 800 m. Hallar el valor de la velocidad del tren

(Considerar que le tren posee MRU).

7. Dos móviles están separados 1 600 m y parten simultáneamente al encuentro

con velocidades de 10 y 15 m/s. ¿Después de qué tiempo máximo estarán separados 400

m?

8. Un coche parte con una velocidad de 2 m/s y con una aceleración de 2 m/s2.

Hallar la velocidad del coche luego de 2 s.

9. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 24 s/m . Hallar la

distancia que recorre durante los cuatro primeros segundos.

10. Un coche viaja a la velocidad de 20 m/s desacelera uniformemente y luego de

20 s se detiene. Hallar la distancia que recorre.

11. Un coche se desplaza con una aceleración de 22 s/m , si en 3 s logra triplicar su

velocidad. ¿Qué distancia recorrió en dicho intervalo de tiempo?

12. Un móvil que se mueve con MRUV pasa por un punto A con una velocidad

de 3 m/s y 2 s después se encuentra a 16 m del punto A. Determinar a qué distancia de

A se encontrará cuando su velocidad sea de 23 m/s.

13. Un conductor de un automóvil ve a una persona en la pista y aplica los frenos,

su reacción para frenar tarda 0.60 s el coche avanza con una velocidad uniforme de 80


54

km/h. Al aplicar los frenos desacelera a razón de 5 m/s2. A que distancia del punto en

que el chofer vió a la persona se detendrá en coche.

14. Para atravesar el puente de Virú, de 150 m de longitud, un ómnibus

de la empresa Virú que se mueve con v el o ci da d c o n sta nt e d e m ó du lo

5 6,88 Km/h em plea 1 0 s. ¿Qu é longitud tiene el ómnibus, en m.?

15. Dos automóviles, que se mueven en vías paralelas en la misma dirección pero

de sentido opuesto y con M.R.U, pasan simultáneamente por dos estaciones A y B,

separadas 108 Km. S i cua ndo se cru za n, un automóvil habrá recorrido 36 Km

más que el otro, y a partir de ese instante el primero tarda 1 h en llegar a B y el

segundo 4 h en llegar a A; determine la velocidad con que se mueven ambos

automóviles.

16. Un t r en par te del r eposo con a celera ción consta nte. En un

momento dado, lleva una velocidad de 9 m/s, y 50 m más adelante, su velocidad es de 15

m/s. Calcúlese la aceleración del tren, en m/s2.

17. La velocidad de un punto móvil q u e d a d e t e r m i n a d a p o r l a s ecuaciones

paramétricas siguientes: Vx =3; vy =3t; vz =2+ 8t. Sabiendo que en t =O estaba en el

punto (4,5,0), calcular el vector posición, velocidad y aceleración en t =1s.

18. Simul tá nea mente, desde los extremos opuestos de una piscina de 1 0 0 m d e

l a r g o p a r t e n d o s nadadores con velocidades de 2 y 3 m/s respectivamente, los

cuales al llegar al otro extremo voltean instantáneamente. ¿Qué tiempo, en s, es

necesario para el segundo encuentro?.

20. Un atleta debe correr entre dos puntos separados en 300 m para lo cual dispone de

1 minuto, habiendo recorrido 200 m observa que su velocidad es 1 m/s menos que la

necesaria. ¿Qué velocidad, en m/s, debe tener el atleta en el tramo restante de manera

que llegue justo a tiempo?

21. Una partícula con MRUV recorre 15 m en 1 s, ¿Qué espacio, en m, recorrerá la

partícula en el segundo siguiente, si la aceleración es de 4 m/s2 ?

22. Un auto se mueve sobre una carretera recta y plana. De la gráfica, determinar el

desplazamiento en km entre t = 2h y t = 8h y la aceleración media en km/h2

entre t = 2h y t = 3h.


55

0

80

t(h)

V(km/h)

53

40

1 2 6 8

23. Un cohete se dispara verticalmente con aceleración constante de 20 m/s2, durante 1

min. Entonces se agota el combustible y el cohete sigue subiendo como partícula

libre. ¿Cuál es la máxima altura , en Km, que alcanza respecto del piso?.

24. Desde el borde de un precipicio, se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una

velocidad inicial de 2m/s. ¿Cuántos metros a recorrido en el 3er

segundo.

25. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad de 12 m/s desde la

cima de un edificio, inclinado el lanzador sobre el borde de modo tal que la pelota no

choque con el edificio en su viaje de regreso. La pelota llega al piso 6.4 s después de

haber sido lanzada. a) Halle la altura máxima que alcanza la pelota. b) Encuentre la altura

del edificio. c) Calcule la velocidad de la pelota en el instante en que llega al piso.

26. Se deja caer un objeto al mismo tiempo que otro es lanzado hacia abajo con una

velocidad de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo pasará para que la distancia entre ellos sea de 18

metros?

27. Se deja caer una piedra en el pozo de un aljibe. El sonido de la piedra al golpear el agua

se escucha 6.5 s después. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcule la profundidad

del pozo.

28. Desde una de las torres de una fortaleza de altura desconocida, una catapulta lanza

continuamente grandes piedras con una velocidad de salida de 20 m/s y con una

inclinación hacia arriba de 37º con la horizontal. Si cada piedra tarda 5 s en caer. a) ¿Cuál

es la altura de la torre? b) ¿A qué distancia horizontal del lanzamiento caen al piso? c)

¿Cuál es la altura máxima que alcanzan las piedras? d) ¿Con qué velocidad caen las

piedras al piso?

29. Natalia arroja horizontalmente una pelota desde la ventana de su dormitorio que da a la

calle en los altos de un edificio, y Federico lo recibe a 1.8 m de altura sobre el piso, 1.2

segundos después. Sabiendo que Federico se encuentra a 6 m del frente del departamento

de Natalia, hallar: a)¿Desde qué altura del piso partió la pelota? b)¿Con qué velocidad

llegó a las manos de Federico? c)¿Cuál es la ecuación de la trayectoria de la pelota?


56

30. Guillermo Cañas se encuentra a 8 m de la red, e inicia el juego lanzando la pelota con

una velocidad inicial horizontal, desde una altura de 2.15 m. Es tan hábil que logra que la

pelota pase justo por el borde superior de la red que tiene 0.90 m de altura. a) Haga un

esquema de la situación y halle el tiempo que dura el vuelo de la pelota desde que es

lanzada por el tenista hasta que pasa justo por encima de la red. b) Halle la velocidad

inicial de la pelota. c) ¿A qué distancia de la red la pelota toca el suelo?

1. CONCEPTO: La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo

de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico

y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de

producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de

movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación

2º SEGUNDA LEY: “cada vez que sobre un cuerpo de masa “m” actue una fuerza exterior

resultante, el cuerpo adquiere una aceleracion proporcional y del mismo sentido que dicha

fuerza”.

SESION Nº 04: DINAMICA LINEAL Y CIRCULAR

DINAMICA

2ªLEY DE

NEWTON

APLICACIONES


57

UNIDADES:


58

SISTEMA MASA ACELERACION FUERZA

c.g.s gr Cm/s2 Dina

M.k.s. kg m/s2 Newton

tecnico kg 9.8 m/s2 Kg – f

ingles slug Pie/s2 libra

Kg-f=9.8Newton y 1Newton=105dinas

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

La fuerza que resulta de este movimiento entonces también debe apuntar hacia el centro. No

hay que olvidar que esta es la dirección adecuada de la fuerza, si solo nos imaginamos

girando un objeto fijo a una cuerda de longitud fija. La cuerda tiene tensión constante, y es

la que “fuerza” al objeto a seguir su movimiento circular. De acuerdo a la experiencia

cotidiana, se sabe que el objeto en movimiento jala hacía afuera la mano que sostiene la

cuerda. De la tercera ley de Newton, se concluye que la fuerza que debe ejercer la mano

sobre el objeto, a través de la cuerda, será un tirón hacia adentro igual. Esta fuerza que se

dirige hacia el centro, y que gira sobre el objeto, se denomina fuerza centrípeta y la

aceleración que se dirige hacia el centro de giro del objeto se llama aceleración centrípeta a.

FUERZA CENTRÍPETA

La segunda ley de Newton determina el movimiento circular y los demás movimientos de

una partícula. La aceleración, dirigida el centro del circulo, que tiene una partícula con

movimiento circular uniforme ha de ser producida por una fuerza dirigida también hacia

el centro. Como la magnitud de la aceleración normal es igual a v2

/ R, y su dirección es

hacia su centro, la magnitud de la fuerza normal sobre una partícula de masa m es

R

vmmaF

2

Generalmente hay varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo con movimiento circular

uniforme. En este caso, el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo ha

de tener la magnitud dada por la ecuación y de estar dirigido directamente hacia el centro

del circulo.

La fuerza que aparece en la ecuación se denomina a veces fuerza centrípeta. El termino

no es un afortunado, puesto que parece implicar que esta fuerza es de alguna manera

diferente de las demás fuerzas ordinarias, o que el movimiento circular genera de algún


59

modo una fuerza adicional; nada de este es correcto. El término de centrípeta se refiere al

efecto de la fuerza, es decir, al hecho de que ocasionan un movimiento circular en el cual

cambia la dirección de la velocidad, pero no su magnitud.

Centrífuga significa <<escapar de un centro>> examinemos esta opinión. En primer

lugar, el cuerpo no permanece en esa posición. Un instante después ocupara una posición

distinta sobre su trayectoria circular. En el instante considerado esta moviéndose en la

dirección del vector velocidad v y a menos que actué una fuerza resultante sobre él,

continuará moviendo en esta dirección, según la primera ley de Newton. Si estuviera

actuando sobre él una fuerza hacia fuera, igual y opuesta a la componente hacia dentro de

la fuerza T, no habría fuerza resultada hacia dentro para desviarlo lateralmente de su

dirección de movimiento actual.

Cuando se hace girar en círculo una pelota, ésta es acelerada „hacia dentro‟. La

aceleración se debe a una fuerza centrípeta (que tiende hacia el centro): la tensión de la

cuerda. La fuerza necesaria es igual a mv2/r, donde m es la masa de la pelota, v su

velocidad y r el radio de la circunferencia descrita. La mano que tira de la cuerda

experimenta una fuerza de reacción centrífuga (dirigida hacia fuera).

FUERZA CENTRÍFUGA

El sistema de rotor de un helicóptero depende principalmente de su rotación para generar

la sustentación necesaria para el vuelo. Debido a su rotación y peso, el rotor esta sujeto a

fuerzas y momentos característicos de todas las masas en rotación. Una de las fuerzas

producidas es la Fuerza Centrífuga. Esta, es definida como la fuerza que tiende a que

todos los cuerpos en rotación traten de alejarse de su eje.

Otra de la fuerza que se generan es la Fuerza Centrípeta. Esta es la fuerza opuesta a la

centrífuga, que hace que los componentes de un sistema en rotación traten de acercarse a

su eje.

La rotación de las palas de un helicóptero producen una muy alta fuerza centrífuga,

cargando la misma sobre el rotor y el conjunto de las palas. Imaginen que la carga sobre

la raíz de la pala puede estar en el orden de las 6 a las 12 toneladas, en un helicóptero de

2 a 4 pasajeros. Helicópteros más grandes pueden experimentar, en cada pala, unas 40

toneladas sobre la raíz.

La fuerza Centrífuga es una de las fuerzas dominantes en el estudio de las alas rotativas.

Cuando las palas del rotor de un helicóptero no están girando, caen hacia abajo debido a

su propio peso. Cuando comienza la rotación de¡ conjunto las palas comienzan a elevarse


60

de su posición de descanso debido a la fuerza centrifuga. A velocidad operacional,

debido a su ángulo de ataque, las palas se encuentran en posición "recta", todavía no

están generando sustentación.

Cuando el rotor comienza a generar sustentación. Las palas abandonan su posición

"recta" y comienzan a generar una posición de "cono". La medida de este cono depende

de las RPM, el peso total, y las fuerzas G experimentadas en el vuelo. Si las RPM

permanecen constantes, el cono aumenta si, el peso total y las fuerzas G son aumentadas.

También, si las RPM disminuyen, manteniendo el peso y las G constantes, el cono va a

aumentar.

Excesivo "cono" (coning) causa fatiga sobre las palas además de una disminución de la

sustentación al disminuir el área del disco rotor.

Note que el diámetro efectivo del disco del rotor, con el coning incrementando, es menor

que el otro disco sin coning. A menor diámetro de disco obtendremos menor

sustentación.

La fuerza centrífuga y los efectos de la sustentación pueden ser mejor entendidos con un

gráfico. Primero mire un eje de rotor y una pala rotando.

DISMINUCIÓN DE SUSTENTACIÓN POR

DISMINUCIÓN DEL ÁREA DISCAL

b LOWER CONING

INCREASED CONING

A

Fuerza centrífuga

Eje del rotor


61

Ahora observe el mismo rotor cuando una fuerza vertical le es aplicada en la puntera de

la pala.

La fuerza aplicada es la sustentación producida cuando las palas aumentan su ángulo de

ataque. La fuerza horizontal es la fuerza centrifuga generada por el rotor al girar. Debido

a que la raíz de la pala esta sujeta al árbol, solo el otro extremo tiene la libertad de

moverse y se obtiene una resultante en la pala.

La posición de la pala es la resultante de dos fuerzas: La sustentación y la fuerza

centrífuga.

LABORATORIO Nº04: DINÁMICA

1. Los valores de las aceleraciones de los bloques, en m/s2, en los casos a), b) y c),

respectivamente, son (no existe rozamiento y g= 10 m/s2):

b)60N 40N5Kg40N 8 Kg

a)

12N4Kg

50N

37°

c)

2. Sobre una superficie horizontal y lisa se mueve un bloque de 6 kg con una velocidad

constante de 5 m/s. ¿Qué fuerza se le debe aplicar horizontalmente para triplicar su

velocidad en 2,5 segundos?

3. Para el sistema mostrado, calcular la tensión en la cuerda que une a los bloques, si mA =

12 Kg. y mB = 8 Kg . Considere F = 100N y desprecie la fricciòn.

A BF

4. Determinar la masa, en Kg, del bloque que sube por el plano inclinado liso con una

aceleración de 4m/s2 ( g = 10 m/s

2).

Fuerza centrífuga

Eje del rotor

Fuerza de tentación

Fuerza centrífuga

Eje del rotor

Resultante de la pala

Sustentación

sobre la pala


62

30°

90 N

5. Hallar la aceleración, en m/s

2, del sistema que se muestra. Considere m1 = 4m2 = 4 kg, F

= 120 N, y g = 10m/s2. Desprecie la fricción.

F2

1

30° 6. Dos bloques están unidos por una cuerda que contiene un resorte de rigidez

K = 700 N/m, si no es considerable la fricción y el sistema tiene aceleración constante,

determinar, en cm, el estiramiento del resorte (g = 10 m/s2).

50 N

53°175 N

7. Una partícula de 5 Kg.. avanza con la velocidad v = i – 4 j + 8 k. Se le aplica la fuerza

constante F = i + 5 j - k. Calcular la velocidad al cabo de 10 s

8. En el sistema de la figura la masa de A es 20 Kg. y el coeficiente de rozamiento con el

plano inclinado es 0,4. Determina: el valor máximo de la masa de B para que ésta

ascienda; y valor mínimo de la masa de B para que descienda.

9. Se desea subir un cuerpo de 20 Kg. por una rampa de 37º de inclinación. ¿Qué fuerza

horizontal se necesita para que ascienda con velocidad constante? Despreciar el

rozamiento.

10. Un cuerpo se encuentra en el punto A de la figura. Se

le comunica una velocidad inicial de 6 m/s hacia la

derecha de forma que rebasa el punto B, siguiendo la

trayectoria que se indica. Calcular la velocidad con

que llega al suelo teniendo en cuenta que el

coeficiente de rozamiento en el tramo AB es 0,1; las distancias AB y BD miden 10 y 1,25

m, respectivamente. Considere g = 10 m/s2.

11. Por un suelo horizontal se dispara un cuerpo con velocidad de 6 m/s. Si el coeficiente de

rozamiento entre el suelo y el cuerpo es 0,3, calcular la distancia que recorre hasta

detenerse.

12. A un cuerpo de 20 Kg. en reposo sobre un suelo horizontal,

con un coeficiente de rozamiento 0,2, se le aplica una fuerza


63

de 100 N formando un ángulo de 37º por debajo de la horizontal (ver la figura). Calcular

la distancia que recorre al cabo de 10 s.

13. Un cubo está atado a una cuerda de 60 cm. El cubo contiene agua; la masa del cubo más

el agua es 3 Kg. Hallar la velocidad mínima para que no se derrame el agua al pasar el

cubo por la posición más desfavorable de su trayectoria circular en el plano vertical.

14. En el sistema de la figura las masas son: A = 2 Kg, B = 3 Kg, C = 5 Kg. El

coeficiente de rozamiento entre A, B y el suelo es 0,2. Calcular la aceleración del sistema.

15. Con los datos del problema 14 calcular las tensiones en cada cuerda.

16. Un avión vuela a 900 km/h y «riza el rizo», es decir, describe una circunferencia en un

plano vertical. ¿Qué radio debe tener el rizo si la fuerza que ejerce el piloto contra el

asiento es diez veces su peso, al pasar por el punto más bajo?

17. La figura muestra a un hombre que tira de una cuerda y arrastra un bloque m1

= 5 Kg. con

una aceleración de 2 m/s2

. Sobre m1

yace otro bloque más pequeño m2

= 2 Kg. Si los

coeficientes de fricción estática y cinética entre m1

y m2

son respectivamente μe = 0.2 y μ

c

= 0.1. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (no hay roce con el suelo). ¿Cuál es la aceleración

del bloque de 2 Kg?

18. Al dejarse libres a partir del reposo se observa que los tres bloques de la figura anexa

adquieren una aceleración cuya magnitud es 1.5 m/s2

. Si M = 2 Kg., calcula la

magnitud de la fuerza de roce que actúa sobre el bloque que se desliza

horizontalmente.

19. Suponga que la rapidez de un bloque m en la parte inferior de un plano inclinado θ =

20º es 10 m/s y en sentido ascendente. Tomando en cuenta que el coeficiente de roce


64

cinético entre el bloque y el plano es 0.15, determina la altura h hasta la que asciende

el bloque.

20. Las fuerzas F1

y F2

mostradas en la figura, le imprimen a una partícula de masa m

(ubicada en el origen) una aceleración paralela al eje X. Si m = 8 Kg., Θ1

= 40º y Θ2

= 70º y la magnitud de la aceleración es 3 m/s2

; encuentra las fuerzas F1

y F2.

21. Las fuerzas F1

y F2

mostradas en la figura anexa, actúan sobre una partícula de masa

m. Si F1

= 20 N y F2

= 15 N; determina las aceleraciones en los casos a) y b)

22. En el sistema mostrado en la figura anexa, determina M2

tomando en cuenta que la

tensión de la cuerda es de 35 N. En estas condiciones ¿En qué sentido se moverá la

masa de 4 Kg? Determina la magnitud de la aceleración. Asume que los planos son

lisos y que la polea es ideal.

R.- M2 = 7.1 Kg.; a = 0.09 m/s2

; la masa de 4 Kg. ascenderá por el plano


65

23. La figura muestra una máquina de Atwood (polea). Suponga que inicialmente el

sistema se encuentra en reposo. Al comenzar a moverse, se observa que la masa m1

=

8 Kg. desciende 1 m en exactamente 1 s. a) Determina la masa m2.

R.- m2 = 5.3 Kg.

24. Suponga que se impulsa un cajón cuya masa es 115.47 Kg. por un plano inclinado

30º. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cajón y el plano son

respectivamente μe

= 0.4 y μc

= 0.3; determina: a) La magnitud dela fuerza mínima

Fm

, paralela al plano que debe aplicarse para que el cajón comience a moverse. b) Si

se continua aplicando la misma fuerza luego de que el cajón ya está en movimiento,

¿Cuál es la magnitud de la aceleración? c) Si queremos que luego de que el cajón

comienza a moverse, lo haga con velocidad constante ¿Qué fuerza debemos aplicar?

d) Si después que hemos ascendido un trecho por el plano inclinado queremos tomar

un descanso ¿Podemos dejar el cajón con seguridad sobre el plano? Explica e) De no

ser así, ¿Qué fuerza es necesaria aplicar para impedir que resbale?

R.- a) Fm

= 977.35 [N]; b) a = 0.866 [m/s2

]; c) F1

= 877.35 [N]; d) No; e) F1

= 177.35

[N]

25. Suponga que un hombre pesa un pescado de masa m con un dinamómetro que está

fijo al techo de un ascensor. a)

Muestra de manera general, que

si el ascensor acelera

verticalmente en cualquier

sentido el dinamómetro produce

una lectura diferente al peso real

del pescado. b) Suponga que m

= 76 Kg. y que el ascensor parte


66

del reposo descendiendo con aceleración constante y que en 4 s alcanza una rapidez

de 10 m/s; seguidamente continua con rapidez constante durante 10 s.y finalmente se

detiene en 5 s. Determina el peso del pescado en cada lapso (primeros 4 s; 10

ssiguientes y 5 s finales)

TRABAJO

Definiremos trabajo elemental, dW, como el producto escalar entre la fuerza aplicada en un

punto, F y el desplazamiento diferencial en ese punto, ds.

Ejemplo de trabajo

La fuerza normal, n y la fuerza gravitatoria, mg, no realizan trabajo sobre el objeto.

= 0

La fuerza F sí realiza trabajo sobre el objeto

SESION Nº 05: TRABAJO – POTENCIA Y ENERGIA


67

Unidades del trabajo (y de energía)

El trabajo es una magnitud escalar

La unidad del trabajo en el S.I. es el julio (J)

1 julio = 1 newton. 1 metro

J = N · m

El trabajo es una transferencia de energía

Si se realiza un trabajo positivo sobre un sistema, se transfiere energía al sistema.

Si se realiza un trabajo negativo sobre un sistema, se transfiere energía del sistema al

exterior del mismo.

Trabajo realizado por una fuerza variable

Cuando la fuerza que actúa sobre un sistema es variable, es necesario integrar el

trabajo elemental .

El trabajo realizado es el área de la figura

Ley de Hooke

La fuerza ejercida por el muelle es Fs = - Kx

- x es la posición del bloque con respecto a la posición de equilibrio (x = 0)

- K es la constante elástica o del muelle y mide la respuesta del muelle


68

Esta ley se conoce como ley de Hooke

Ley de Hooke, cont.

Cuando x es positivo (el muelle se estira),

F es negativo.

Cuando x es 0 (en la posición de

equilibrio), F es 0

Cuando x es negativo (el muelle se

comprime), F es negativa.

Trabajo realizado por un muelle

Tomaremos el bloque como el sistema

Calcularemos el trabajo desde xi = -

xmax hasta xf = 0

El trabajo total hecho por el bloque

desde –xmax a xmax es nulo

Energía cinética

La energía cinética es la energía que tiene una partícula por el hecho de estar en

movimiento

- EK es la energía cinética

- m es la masa de la partícula

- v es la velocidad de la partícula

Un cambio en la energía cinética es uno de los posibles resultados de realizar un

trabajo para transferir energía al sistema.

Teorema de las “fuerzas vivas”

El teorema de las “fuerzas vivas” establece que

En el caso de que el trabajo sea realizado en un sistema y que el único cambio en el

sistema sea en su velocidad, el trabajo hecho por la fuerza neta es igual al cambio en

la energía cinética.

Ejemplo del teorema de las “fuerzas vivas”

La fuerza normal y la gravitatoria no

realizan trabajo, ya que son


69

perpendiculares a la dirección del desplazamiento.

Fuerzas conservativas

Se dice que una fuerza es conservativa (en una determinada región) cuando el trabajo

realizado

a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo

Esta definición es equivalente a que el trabajo realizado entre dos puntos

cualesquiera no depende del camino. Y también equivale a que el campo de fuerzas

deriva de un potencial

Fuerzas conservativas y energía potencial

Energía mecánica

Fig. El trabajo de una

fuerza F conservativa que

se calcula con caminos

C1, C2 etc. entre puntos r0

y r es siempre el mismo.

Se dice que una fuerza es conservativa cuando la integral de trabajo que se le asocia no

depende del camino C escogido.

Si se integra por diversos caminos entre un puntor0, que se fija arbitrariamente y un punto r,

siempre se obtiene el mismo valor W(r).

Resulta natural, entonces, definir la función asociada a la integral trabajo.

Supongamos que se escoge un punto arbitrario r0 y se hace la integral de trabajo desde este

punto a un punto cualquiera r. En general esta integral depende del camino escogido. Si la

fuerza que se está considerando es tal que el trabajo que se le asocia no depende del camino

de integración, sino que da el mismo valor cada vez que se integra desder0 hasta r.


70

LABORATORIO Nº 05: TRABAJO – POTENCIA Y ENERGIA

Trabajo hecho por una fuerza constante

26. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo equivalente a

6.00 kJ, ¿Cuál es la profundidad del pozo? Suponga que cuando se levanta la cubeta su

velocidad permanece constante.

27. Una gota de lluvia (m = 3.35 x 10-5

kg) cae verticalmente a velocidad constante bajo la

influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Después de que la gota ha descendido

100 m, ¿Cuál es (a) el trabajo realizado por la gravedad y (b) la energía disipada por la

resistencia del aire?

28. Un bloque de 2.5 kg de masa es empujado 2 m a lo largo de una mesa horizontal sin

fricción por una fuerza constante de 16 N dirigida a 37° debajo de la horizontal.

Encuentre el trabajo efectuado por: (a) la fuerza aplicada, (b) la fuerza normal ejercida

por la mesa, (c) la fuerza de la gravedad, y (d) la fuerza neta sobre el bloque.

29. Dos objetos que tienen masas m1 = 10.0 kg y m2 = 8.0 kg cuelgan de una polea sin

fricción, como muestra la figura. (a) Determine el trabajo realizado por la fuerza de la

gravedad sobre cada objeto por separado cuando la masa de 10.0 kg se desplaza 0.50 m

hacia abajo. (b) ¿cuál es el trabajo total realizado sobre cada objeto, incluido el efectuado

por la fuerza de la cuerda?

30. Un grupo de perros arrastra un trineo de 100 kg en un tramo de 2.0 km sobre una

superficie horizontal a velocidad constante. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y

la nieve es 0.15, determine (a) el trabajo efectuado por los perros y (b) la energía perdida

debido a la fricción.


71

31. Un bloque de 15 kg es arrastrado con velocidad constante sobre una superficie horizontal

rugosa por una fuerza de 70 N que actúa a 37o sobre la horizontal. El bloque se desplaza

5.0 m y el coeficiente de fricción cinético es 0.30. Determine el trabajo realizado por (a)

la fuerza de 70 N, (b) la fuerza normal, y (c) la fuerza de la gravedad. (d) ¿Cuál es la

energía perdida debido a la fricción?

32. Una carretilla cargada con ladrillos tiene una masa total m y se jala con velocidad

constante por media de una cuerda. La cuerda está inclinada a un angula θ; sobre la

horizontal y la carretilla se mueve una distancia d sobre una superficie horizontal. El

coeficiente de fricción cinético entre el suelo y la carretilla es μc (a) ¿Cuál es la tensión

en la cuerda? (b) ¿Cuánto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla? (c) ¿Cuál es la

energía perdida debido a la fricción?

Trabajo hecho por una fuerza variable

33. Una fuerza F = (4x + 3) N actúa sobre una partícula conforme el objeto se mueve en la

dirección del eje x desde el origen hasta x = 5.0 m. Encuentre el trabajo efectuado sobre

el objeto por la fuerza.

34. Una partícula se somete a una fuerza F que varia con la posición, como se ve en la figura.

Determine el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo cuando este se mueve: (a)

desde x = 0 hasta x = 5.0 m, (b) desde x = 5.0 m hasta x = 10 m, y (c) desde x = 10 m

hasta x = 15 m. (d) ¿Cuál es el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de una

distancia desde x = 0 hasta x = 15 m?

35. Una arquera jala la cuerda de su arco una distancia de 30 cm, ejerciendo una fuerza que

aumenta de manera uniforme desde cero hasta 230 N. (a) ¿Cuál es la constante de resorte

equivalente del arco? (b) ¿Cuánto trabajo se efectúa al jalar el arco?

36. Una bala de 100 g se dispara de un rifle de gas que tiene un cañón de 0.60 m de largo. Se

considera que el origen se sitúa donde la bala empieza a moverse, la fuerza (en Newton)

ejercida sobre la bala por la expansión del gas es (1,5 + x)104 donde x se mide en metros.

(a) Determine el trabajo hecho por el gas sobre la bala cuando esta recorre la longitud del


72

cañón. (b) Si este tiene una longitud de 1.00 m, ¿Cuánto trabajo se realiza y como se

compara este valor con el trabajo calculado en (a)?

Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía

37. Una partícula de 0.6 kg tiene una velocidad de 2 m/s en el punto A y una energía

cinética de 7.5 J en B ¿Cuál es (a) su energía cinética en A? (b) ¿su velocidad en B? (c)

¿el trabajo total realizado sobre la partícula cuando se mueve de A a B?

38. Un cinescopio de cierto televisor mide 36 cm de largo. La fuerza eléctrica acelera un

electrón en el tubo desde el reposo hasta 1% de la velocidad de la luz a lo largo de esta

distancia. Determine: (a) la energía cinética del electrón cuando incide sobre la pantalla al

final del cinescopio, (b) la magnitud de la fuerza eléctrica promedio que actúa sobre el

electrón en esta distancia, (c) la magnitud de la Aceleración promedio del electrón a lo

largo de esta distancia, y (d) el tiempo de vuelo.

39. Una bola de boliche de 7.00 kg se mueve a 3.00 m/s, ¿Qué tan rápido se debe mover una

bola de golf de manera que las dos tengan la misma energía cinética?

40. Un mecánico empuja un auto de masa m desde el reposo hasta alcanzar una velocidad v,

efectuando un trabajo de 5000 J durante el proceso. Durante este tiempo, el auto se

mueve 25.0 m. Ignore la fricción entre el auto y el camino, y encuentre: (a) ¿Cuál es la

velocidad final, v, del auto? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza horizontal ejercida sobre el

auto?

41. Una masa de 3.0 kg tiene una velocidad inicial v0 = (6.0i + 22.0j) m/s. (a) ¿Cuál es la

energía cinética en este tiempo? (b) Determine el cambio en su energía cinética si su

velocidad cambia a (8.0i + 4.0j) m/s. (Sugerencia: Recuerde que v2 = v⋅v)

42. Un bloque de masa m cuelga del extremo de una cuerda, y está conectado a un bloque de

masa M por medio de un juego de poleas, como el que se presenta en la figura. Utilizando

consideraciones de energía, (a) encuentre una expresión para la velocidad de m Como

una función de la distancia que ha descendido. Suponga que el bloque se encuentra

inicialmente en reposo y que no hay fricción. (b) Repita (a) suponiendo una fricción de

deslizamiento (coeficiente k μ ) entre M y la mesa. (c) Muestre que el resultado obtenido

en (b) se reduce a lo encontrado en (a) en el límite cuando k μ tiende a cero.


73

43. Una maquina de Atwood tiene una masa de 3.00 kg y una masa de 2.00 kg en los

extremos de la cuerda. La masa de 2.00 kg se deja caer al piso desde el reposo, 4.00 m

abajo de la masa de 3.00 kg. (a) Si la polea no ofrece fricción, ¿Cuál será la velocidad de

las masas cuando pasen una frente a la otra? (b) Suponga que la polea no gira y que la

cuerda desliza sobre ella. Si la fuerza de fricción total entre la polea y la cuerda es 5.00 N,

¿Cuáles son la velocidades cuando las masas pasan una frente a la otra?

44. Una ciclista que, junto con su bicicleta, tiene una masa combinada de 75 kg, desciende a

4.0 m/s por un camino inclinado 2.0° con la horizontal, y desciende a 8.0 m/s por otro

camino inclinado 4.0°. Luego se sostiene de un vehículo en movimiento y viaja sobre un

camino pIano. ¿Qué potencia debe consumir el vehículo para mantener su velocidad en

3.0 m/s? Suponga que la fuerza de la resistencia del aire es proporcional a su velocidad y

suponga que las demás fuerzas friccionantes permanecen constantes.

Conservación de la energía

45. Una bola de 250g se suelta desde una altura de 1m y, después de chocar con el suelo

rebota 0,8m. Determine la energía mecánica antes y después del choque determinando el

% que se ha perdido.

46. Una fuerza conservativa aislada, F = 2x+4 actúa sobre una partícula de 5 Kg, donde x se

mide en metros y F en Newton. Cuando la partícula se mueve a lo largo del eje x, desde x

= 1 m hasta x = 5 m. Calcule:

El trabajo efectuado por esta fuerza

El cambio en energía potencial

La energía cinética en x = 5 m si la velocidad en x = 1 m es de 3 m/s

47. Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción y sin

masa. El otro extremo de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio de

Conservación de la Energía para determinar la velocidad final de la masa de 3 Kg

después de haber caído (desde reposo) 4 m. Encuentre la altura máxima a la cual sube la

masa de 3 Kg.


74

48. Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción y sin

masa. El otro extremo de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio de

Conservación de la Energía para determinar la velocidad final de la masa de 5 Kg

después de haber caído (desde reposo) 2,5 m.

49. Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado de 30 º con

la horizontal. La velocidad inicial del lanzamiento es de 8 m/s. El bloque se detiene

después de recorrer 3 m a lo largo del plano. Determinar:

El cambio de energía cinética

El cambio de energía potencial

La fuerza de fricción ejercida sobre él

El coeficiente de fricción cinético

50. Una masa de 3 Kg parte del reposo y se desliza por una pendiente, sin fricción de 30o ,

una distancia d y hace contacto con un resorte no deformado de masa despreciable. La

masa se desliza 0,20 m adicionales cuando alcance momentáneamente el reposo y

comprime un resorte (K = 400 N/m). Encuentre la separación inicial d entre la masa y el

resorte.

51. Una bala con masa m y una velocidad v penetra un árbol hasta una distancia d. Utilice

consideraciones de energía para encontrar la fuerza de fricción promedio que detiene la

bala. Suponga que la fuerza de fricción es constante y determine cuanto tiempo transcurre

entre el momento en que la bala entra en el árbol y el momento en que se detiene.

52. Un paracaidista de 50 Kg de masa salta desde un avión a una altura de 1000 m y llega al

suelo con una velocidad de 5,00 m/s. ¿Cuánta energía perdió por la fricción del aire

durante el salto?

53. Una partícula de masa m=2 kg es abandonada en “A”. Calcular la reacción normal

cuando pasa por la posición “C”, sobre la superficie de curvatura “2 R”. No existe

rozamiento. (Tómese g= 10 m/s2).


75

54. Una cadena uniforme de longitud “L”, se abandona sobre una superficie horizontal

perfectamente liso, como indica la figura. Calcular la velocidad de la cadena en el

instante en que el ultimo eslabón se desprende de la superficie horizontal.

SESIÓN Nº 06: MECANICA DE FLUIDOS


76

OBJETIVO: Analizar los métodos que permiten describir la estática y la dinámica de

fluidos.

6.1. INTRODUCCION

Mecánica de fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en

reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que

utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la

aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones

navales y la oceanografía.

La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de

fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos,

que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de

líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas

es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del

comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo

suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad.

Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las

turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería

de la presión del agua o del aceite.

6.2. ESTATICA DE FLUIDOS

6.2.1. FUERZA DISTRIBUIDA Y FUERZA CONCENTRADA

Hasta este momento se han considerado fuerzas que

están aplicadas sobre una partícula de un cuerpo. A

este tipo de fuerza se le conoce como fuerza

concentrada por el hecho de actuar sobre un punto del

cuerpo. Otro tipo de fuerza se conoce como fuerza

distribuida, donde a diferencia de las fuerzas

concentradas, éstas actúan sobre una superficie determinada de un cuerpo o

sustancia.

Esta situación se presenta cuando en un recipiente que contiene un fluido, se dispone

de un émbolo hermético y móvil, como se muestra en la figura 6.1, donde el peso del

émbolo está distribuido sobre toda la superficie en contacto con el fluido.


77

Para un fluido en reposo, la fuerza distribuida en la superficie siempre debe estar

dirigida perpendicularmente a la superficie. En efecto, un fluido en reposo no puede

resistir una fuerza tangencial ya que las capas del fluido resbalarían unas sobre las

otras cuando se las sometiera a tal fuerza. Por otra parte, es precisamente la

incapacidad de los fluidos de resistir tales fuerzas tangenciales (o esfuerzos

cortantes) lo que les da la propiedad característica de cambiar su forma y por ende de

fluir. Lo anterior se ilustra en las figuras 6.2 y 6.3.

6.2.2. PRESION EN UN FLUIDO

Se define la presión en un fluido como la magnitud de la fuerza “normal” por unidad

de área de la superficie. La presión se transmite a los límites sólidos o a través de

secciones arbitrarias de un fluido en tal forma que la fuerza de presión es

perpendicular a esos límites o secciones en todos sus puntos. Así, como en la figura

6.4 la presión en cualquier punto se define como la razón de la magnitud de la fuerza

normal Fd , ejercida sobre una pequeña superficie dA que incluya dicho punto, al

área dA, como se muestra en la figura 6.5.

Matemáticamente, lo anterior se puede escribir en la forma

(6.1.a)

donde por la definición dada en la ecuación (6.1.a), se tiene

que la presión es una cantidad escalar. Por otro lado, si la

presión es la misma en todos los puntos de una superficie

plana finita de área A, como en la figura 6.6, se obtiene

(6.1.b)


78

Dimensiones y unidad de presión

De acuerdo con la definición dada por las ecuaciones (6.1), las dimensiones de

presión están dadas por [p] = [F] [A] 1 . Por ello, la unidad en el sistema SI de

unidades es el N m 2 , unidad conocida como Pascal (Pa), es decir, 1Pa=1Nm-2

. Esta

es la unidad más utilizada de presión.

6.2.3. PRINCIPIO DE PASCAL

Como se indica en la figura 6.7, mediante un

émbolo se ejerce una presión al fluido que se

encuentra en el interior de un recipiente de forma

rectangular. Se considerará la presión sobre el

elemento infinitesimal de fluido de forma triangular.

Sólo se consideran las tres caras (lados) al trabajar

en el plano, pero el resultado es válido para las otras

dos caras.

En realidad, las fuerzas están uniformemente distribuidas sobre las caras, pero por

simplicidad se consideran como si estuvieran concentradas en el centro de las caras

sobre las cuales actúan.

Como el fluido está en equilibrio estático, el

elemento infinitesimal de volumen, de la figura

6.8, está igualmente en equilibrio estático. Esto

ocurre si la fuerza neta que actúa sobre el

elemento de volumen es cero. Por ello se trata este

elemento como cuerpo libre, donde el diagrama de cuerpo libre se muestra en la

figura 6.8.

Aplicando las condiciones de equilibrio, se tiene

(6.2)

(6.3)

Por la ecuación (6.1.a), se tiene que la presión del fluido sobre la cara vertical, está

dada por

, (6.4)

donde, de acuerdo con la figura 6.8

(6.5)

Igualmente, la presión del fluido en la cara horizontal, es


79

, (6.6)

Con

. (6.7)

Mediante las ecuaciones (6.2), (6.4) y (6.5) se obtiene el resultado

(6.8)

Similarmente, mediante las ecuaciones (6.3), (6.6) y (6.7) se obtiene

(6.9)

De las ecuaciones (6.8) y (6.9), se puede concluir que

resultado que es válido sólo si no se consideran efectos gravitacionales.

Así, la presión sobre el elemento infinitesimal de fluido situado en una posición dada

cualquiera dentro del fluido en reposo, es independiente de la orientación de sus

superficies, es decir, la presión es isótropa, o sea, igual en todas las direcciones. Este

es un resultado conocido como principio de Pascal.

La presión ejercida sobre un fluido, que se encuentra en el interior de un recipiente,

se transmite sin disminución a cada punto del fluido y a las paredes del recipiente

que lo contiene. En síntesis, el principio de Pascal se expresa en la forma: la presión

se transmite a todos los puntos en el interior del fluido, de manera uniforme en todas

las direcciones.

6.2.4. DENSIDAD

Cuando se trata de determinar la presión en el interior de un fluido, sometido al

efecto de la gravedad, se hace necesario considerar el fluido que se encuentra por

encima del punto de interés y por tanto la masa de ese fluido. En este caso, es de

utilidad definir la densidad, que es una cantidad relacionada con la masa m del

fluido, pero independiente del volumen V de la muestra particular que se considere.

Se define la densidad como la masa por unidad de volumen, o sea

(6.10)


80

Dimensiones y unidades de densidad

La ecuación (5.10) muestra que las dimensiones de densidad son 3ML . De este

modo, la unidad en el sistema de unidades SI es el kg m 3 y en el sistema gaussiano

el g cm 3 .

Tabla 6.1. Densidades de varias sustancias.

SUSTANCIA DENSIDAD (Kg m

-3)


-3)


-3)

SÓLIDOS

Hielo 9.17x102 Alcohol etílico 7.91x102

Platino 21.4x103 Ladrillo 1.7x102 Gasolina 6.7x10

2

Oro 19.3x103

FLUIDOS

Oxígeno 1.429

Plomo 11.3x103 Núcleo Sol 1.6x105 Aire(nivel mar) 1.29

Cobre 8.93x103 Mercurio 13.6x105 Nitrógeno 1.25

Hierro 7.86x103 Núcleo tierra 9.5x103 Vapor gua(100ºC) 0.6

Acero 7.85x103 Glicerina 1.26x103 Aire (20ºC) 0.20

Tierra (prom) 5.52x103 Agua de mar 1.025x103 Helio 1.78x10

-1

Aluminio 2.7x103 Agua 1.00x103 Hidrógeno 8.98x10

-2

Vidrios 2.5x103 Aceite oliva 0.92x103

Hueso 2.0x103 Aire(-147ºC) 9.2x102

En la tabla 6.1 se muestran las densidades de algunas sustancias.

. Densidad relativa

6.2.5. VARIACION DE LA PRESION CON LA

PROFUNDIDAD

En esta sección, se desea determinar la relación

general entre la presión p en cualquier punto del

interior de un fluido situado en un campo

gravitacional y a la profundidad h. El fluido de la

figura 6.9 se encuentra encerrado en un recipiente provisto de un émbolo hermético y

móvil.

La pregunta a responder es ¿Cuál es la presión en un punto arbitrario Q situado a

una profundidad h por debajo de la parte superior del fluido?

La presión en el punto Q depende de dos fuentes, la primera tiene que ver con la

fuerza externa F ejercida sobre el pistón de área A y la segunda con la fuerza hacia

abajo ejercida por el fluido que se encuentra por encima del punto Q. Ambas dan

lugar a presiones isótropas en el fluido, esto es, igual presión en todas las


81

direcciones. De este modo, la presión Qp en el punto Q, se puede expresar como la

suma de dos términos, uno externo y otro interno, en la forma

,

donde la presión externa ext p está dada por

.

La presión interna , se puede obtener mediante el siguiente procedimiento.

Como el fluido se encuentra en reposo, necesariamente cualquier elemento de

volumen se encuentra en reposo. Por ello, se considera el elemento en forma de

lámina delgada representado en la figura 6.10, cuyo espesor es dy y cuyas caras

superior e inferior tienen área a. Si es la densidad del fluido, la masa del elemento

es y su peso .

Ahora, la fuerza ejercida sobre el elemento por el

fluido que lo rodea, en cualquier punto, es normal

a la superficie. Por simetría, la fuerza horizontal

resultante sobre los lados laterales es cero ya que

está en reposo.

En cuanto a la vertical se tiene

,

donde al simplificar se encuentra que

. (6.11)

Como y g son cantidades positivas, de la

ecuación (6.11) se deduce que a una dy positiva

(aumento de y) corresponde una dp negativa

(disminución de p), y viceversa.

Si en la figura 6.11, p1 y p2 son las presiones a las

alturas y1 e y2 respecto al origen de coordenadas, la

ecuación (6.11) se puede transformar en

,

donde luego de integrar y evaluar se obtiene

(6.12)

Para el caso de interés mostrado en la figura 5.13, con


82

, la ecuación (6.12) adquiere la forma

, (6.13)

con .

Cuando se trata de un líquido contenido en un recipiente abierto, como en la figura

6.14 y de acuerdo con la ecuación (6.13), la presión externa es la presión

atmosférica ap y la presión interna en el punto de interés es p, esto es

ghpp a . (6.14)

En la ecuación (5.14) se observa que la forma del recipiente no influye en la presión

y que esta sólo depende de la profundidad. Igualmente, se tiene que la presión

externa ap , es la misma a cualquier profundidad, como lo exige el principio de

Pascal, es decir, en un fluido la presión varía con la profundidad debido a la fuerza

gravitacional.

6.2.6. PRESION EN LA INTERFASE DE DOS FLUIDOS

Para determinar la presión en la interfase dos fluidos, se considera el tubo en U como

se ilustra en la figura 6.14.a, donde inicialmente se deposita un fluido de densidad

1 , y luego se deposita otro fluido de densidad menor 2 en la rama izquierda del

tubo, como se ilustra en la figura 6.14.b.

Como la presión es independiente de la forma del recipiente, en todos los puntos de

la base del tubo se debe tener el mismo valor. Por otro lado, en el punto C la presión

es la misma independientemente que se considere la rama derecha o la rama

izquierda de la figura 6.14.b, pues de lo contrario los dos líquidos estarían en

movimiento. De este modo, de acuerdo con la ecuación (6.14), se satisface la

igualdad

Fig. 6.13. Presión en la interface de dos líquidos.


83

gdghpgdghp 111a122a , (6.15)

donde al cancelar el término común a ambos lados de la igualdad en la ecuación

(6.15), con 22aA ghpp y 11aB ghpp , se obtiene

BA pp ;

por consiguiente, la presión al nivel de la interface entre los dos fluidos, es la misma

a ambos lados del tubo en U. Igualmente, este resultado es válido para puntos por

debajo de la interface que se encuentren a la misma altura respecto a base.

6.2.7. MEDICION DE LA PRESION

Barómetro de mercurio

Este dispositivo, que permite medir

la presión atmosférica, consiste en un

tubo largo de vidrio que se ha

llenado completamente de mercurio

y luego se ha invertido en una

cubeta con mercurio, como en la figura 6.15. El espacio que se forma arriba de la

columna de mercurio contiene sólo vapor de mercurio, cuya presión es tan pequeña a

temperaturas ordinarias, que se puede despreciar.

De acuerdo con la ecuación (6.12), para este caso, hyy 12 , a1 pp y 02p .

De este modo,

ghpa ,

donde ap es la presión atmosférica.

La mayoría de los instrumentos que miden presiones, utilizan la presión atmosférica

como nivel de referencia y miden la diferencia entre la presión real o absoluta y la

presión atmosférica, llamándose a este valor presión manométrica o diferencial. La

presión real, en un punto de un fluido, se llama presión absoluta. Es decir, en la

expresión ghpp a , p es la presión absoluta y app la presión manométrica o

diferencial. La presión manométrica se da ya sea sobre la presión atmosférica o

debajo de ella.

Al nivel del mar, la columna de mercurio tendrá una altura cerca de

mm760cm76 , variando con la presión atmosférica. Una presión equivalente a la

ejercida por Hgmm760 a o0 en las condiciones de aceleración de la gravedad

normal, 2scm665.980g , se llama una atmósfera (1 atm), esto es


84

Pa100131atm1 5. .

Otras unidades de presión que también son utilizadas, se definen mediante las

relaciones Pa10bar1 5, Pa106.9psi1pullb1 32

y Pa133.32torr1 , que

es la presión debida a una columna de mercurio de un milímetro de altura.

A menudo se especifican las presiones dando la altura de la columna de mercurio,

que es el origen de la expresión “presión en mm Hg”; sin embargo, una presión es la

relación de fuerza entre área y no es una longitud.

El manómetro

Es un dispositivo que permite medir la

presión de un gas dentro de un

recipiente, como el mostrado en la

figura 6.16.

Un tubo en forma de U contiene un

líquido tal como mercurio, que se

encuentra a distintos niveles en cada lado una vez que se abre la llave. La presión en

el punto A es la presión atmosférica ap , ya que el tubo es abierto por encima de A.

Así, la presión en el punto B es ghpa , donde es la densidad del fluido

manométrico. La presión en la interface C es igual a la presión en el punto B, ya que

están al mismo nivel. Por lo tanto, la presión de salida en el recipiente de la figura

6.16 es

ghpp a ,

donde de nuevo p es la presión absoluta y ghpp a es la presión manométrica o

diferencial.

6.2.8. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

El empuje de los líquidos es un

fenómeno muy conocido. Un cuerpo

sumergido en agua parece pesar

menos que en aire, y un cuerpo cuya

densidad media es menor que la del


85

fluido en que está sumergido puede flotar en él. Son ejemplos de este fenómeno un

globo lleno de helio en el aire, un pedazo de corcho en agua, hielo en agua. Así,

cuando un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido (ya sea líquido o

gas) en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas las partes de la superficie del

cuerpo en contacto con el fluido. La presión es mayor en las porciones sumergidas a

mayor profundidad, por ello, la resultante de todas las fuerzas de presión es una

fuerza ascendente llamada fuerza de flotación (EMPUJE) del cuerpo sumergido. Se

puede determinar la magnitud y dirección de esta fuerza resultante de una manera

simple, mediante el principio de Arquímedes que es, al igual que el principio de

Pascal, una consecuencia de las leyes de la estática de fluidos.

Se considera una porción de un fluido en reposo de forma arbitraria. El contorno

irregular de la figura 6.17. (a) representa la superficie que limita esta porción del

fluido. Las flechas representan las fuerzas ejercidas por el fluido envolvente sobre

pequeños elementos de la superficie límite. Como todo el fluido está en reposo, la

componente horizontal de la resultante de estas fuerzas superficiales es nula. En

cambio, la componente vertical de la resultante EBFv , ha de ser compensada

por la magnitud del peso mg del fluido contenido dentro de dicha superficie y su

línea de acción ha de pasar por el centro de gravedad de la porción de fluido, es

decir,

gVgmF ffv , (6.16)

donde fm es la masa de la porción de fluido y fV su volumen.

Como la presión, en cada punto de la superficie de un cuerpo sumergido en un fluido,

no depende del material que está hecho el cuerpo, al reemplazar la porción de fluido

por un cuerpo sólido, figura 6.17.(b), de forma y volumen exactamente igual a la de

la porción de fluido considerada, la presión en cada punto será exactamente la misma

que antes, esto es, la fuerza ejercida sobre el sólido por el fluido envolvente

permanecerá inalterada y, por lo tanto, será igual al peso gmf del fluido desalojado

o desplazado por dicho cuerpo. La única diferencia es que la línea de acción de esta

fuerza pasa por el centro de gravedad del fluido desalojado, que no coincide

necesariamente con el centro de masa del cuerpo. De este resultado se deduce el

principio de Arquímedes que se expresa en la forma

Un cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia

arriba por una fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado y dirigida


86

verticalmente según una línea que pasa a través del centro de gravedad del fluido

desalojado.

De este modo, teniendo en cuenta la ecuación (6.16), el empuje debido al principio

de Arquímedes se expresa por

gVB sf ,

donde B es el empuje o fuerza ejercida por el fluido sobre el cuerpo, f la densidad

del fluido y sV el volumen de fluido que ha desalojado o desplazado el cuerpo. Este

volumen no siempre coincide con el volumen total del cuerpo, ya que este puede

estar parcialmente sumergido.

Se sabe entonces que el empuje obra verticalmente hacia arriba pasando por el centro

de gravedad del fluido antes de ser desalojado; al punto correspondiente en el cuerpo

sumergido se le conoce como centro de flotación.

6.3. DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

Flujo de los fluidos

Se puede estudiar el movimiento de un fluido especificando la densidad

y la velocidad en un punto . De esta forma estudiaremos lo

que esta sucediendo en un punto del espacio en un instante determinado y no lo que

está ocurriendo a una partícula de flujo determinada. Aun cuando esta descripción

del movimiento del fluido enfoca la atención de un punto del espacio más que en una

partícula, no podemos evitar seguir a las partículas mismas, cuando menos, durante

cortos intervalos de tiempo , puesto que es a las partículas a las que se les aplican

las leyes de la mecánica.

Analicemos ahora ciertas características que presenta el flujo de los fluidos.

El flujo de los fluidos puede ser:

a) de régimen estable o inestable c) compresible o incompresible

b) rotacional o irrotacional d) viscoso o no viscoso

a) Se entiende por flujo de régimen estable cuando en cada punto del fluido la

velocidad permanece constante a través del tiempo, de tal manera que cada

partícula que pasa por ese punto tendrá dicha velocidad. En caso contrario el flujo

es de régimen inestable.


87

b) Se entiende por flujo irrotacional aquel movimiento de fluido que en cada punto

no tiene velocidad angular neta con respecto a ese punto. En caso contrario el

flujo se denomina rotacional.

c) El flujo de un fluido se considera incompresible si su densidad no varía o varía

muy poco. En caso contrario se considera compresible. En general se puede

considerar que los líquidos son incompresibles.

d) La viscosidad, en el movimiento de los fluidos, es el fenómeno análogo al

rozamiento en el movimiento de los sólidos. La viscosidad introduce fuerzas

tangenciales entre las capas del fluido en movimiento relativo y da lugar a pérdida

de energía mecánica.

En el estudio que se realizará de la dinámica de los fluidos se harán simplificaciones

en su naturaleza. El estudio se limitará fundamentalmente a fluidos de régimen

estable, irrotacional, incompresible y no viscoso. A pesar de lo restringido de este

análisis veremos que tiene amplias aplicaciones en la práctica.

Líneas de corriente

La trayectoria de una partícula en un fluido

determina una línea de corriente. Una línea de

corriente es paralela a la velocidad de la partícula

en todos los puntos.

En un régimen estable cualquier partícula que pase

por P se moverá a través de la misma línea de

corriente.

En un fluido en régimen estable se entiende

por tubo de flujo a una región tubular que

está formada por un número finito de líneas

de corriente que forman un haz.

Ecuación de continuidad


88

Consideremos un tubo de flujo delgado como

el que se muestra en la fig. Designemos por r

la velocidad de la partícula en P y por la

velocidad de las partículas en Q.

Tenemos que un fluido en un tiempo

recorre una distancia donde

Tenemos entonces que por el área transversal en un intervalo de tiempo pasa

un volumen de fluido

por lo tanto la masa de fluido que atraviesa dicha área está dada por

se debe considerar el intervalo de tiempo suficientemente pequeño para que la

velocidad y el área no varíen de forma apreciable.

Tenemos entonces que la cantidad de masa que atraviesa el área por

unidad de tiempo está dada por

De igual manera para el área

Si en el tubo de flujo no hay fuentes ni sumideros en los que se pueda crear o destruir

fluidos, entonces el flujo de fluido que pasa por P debe ser igual al que pasa por Q,

tenemos entonces que

Si se trata de un líquido incompresible en ese caso podemos escribir la

ecuación de continuidad como

De donde podemos ver que la velocidad de un fluido incompresible de régimen

estable varía en relación inversa al área de la sección transversal, por lo cual la

velocidad será mayor en la parte angosta del tubo.

Apliquemos la expresión (6.18) al tubo de flujo que estamos analizando


89

Este efecto se puede observar en los rápidos de los ríos. En las partes en las cuales el

cause del río es muy angosto las aguas se deslizan con bastante velocidad, en cambio

en las partes que el cause es muy ancho se forman verdaderas lagunas con una baja

velocidad de la corriente.

En este caso tenemos que la velocidad del fluido disminuye desde P a Q, por lo cual

debe existir una fuerza que actúe sobre las partículas de fluido y que desacelere su

movimiento. Lo cual puede ser debido a una diferencia de presión o a la acción de la

gravedad. Si tenemos un tubo horizontal la fuerza gravitacional no cambia por lo

tanto este efecto sólo puede deberse a una diferencia de presión.

Analicemos un tubo de flujo horizontal

como se muestra en la fig.

Puesto que entonces de

acuerdo a la ecuación (10T).

Por lo cual para que el fluido

desacelere desde .

Considerando que tenemos entonces que

Podemos entonces concluir que en un flujo horizontal de régimen estable la presión

es máxima donde la velocidad es mínima.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se deduce de las leyes fundamentales de la mecánica

Newtoniana. Se deduce del teorema del trabajo y la energía, porque esencialmente es

un enunciado del teorema del trabajo y la energía para el flujo de los fluidos.

Analizaremos el flujo de un fluido que tiene las siguientes características, es: no

viscoso, de régimen estable e incompresible y se desplaza por una tubería como se

muestra en las fig. a) y b). Esta tubería está compuesta por dos tramos horizontales

de distinta área unidos por un tramo inclinado.


90

Se estudiará la porción de fluido, que aparece sombreada en la fig. a), al moverse

desde la posición indicada en esa fig. a la posición indicada en la fig.

b) Consideraremos como sistema a la porción de fluido que se desplaza desde

la posición 1 a la posición 2.

Tenemos que en el lado izquierdo, del tubo de flujo que estamos analizando, actúa

una fuerza sobre el área lo cual produce una presión ; de igual manera

sobre el extremo derecho actúa una fuerza sobre el área lo cual produce una

presión .

Sobre el fluido que estamos analizando actúan las fuerzas y la fuerza

gravitacional. Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza resultante está dado por

Calculemos cada uno de estos trabajos

Tenemos que la fuerza gravitacional no realiza trabajo en los desplazamientos

horizontales por lo cual

Remplazando las expresiones tenemos

Puesto que hemos considerado que el fluido es incompresible

tenemos entonces que

Remplazando esta expresión en (6.23) tenemos

Recordemos el Teorema del trabajo y la energía: El trabajo efectuado por la fuerza

resultante que actúa sobre un sistema es igual al cambio de energía cinética del

sistema.

Por lo tanto la expresión (6.24) podemos escribirla como

Agrupando las variables de las posiciones 1 y 2 y simplificando la masa tenemos


91

Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a puntos cualesquiera en el tubo podemos

escribir esta expresión como

Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación de Bernoulli para el flujo de régimen

estable, no viscoso e incompresible.

La ecuación de Bernoulli señala que la suma de la presión , la energía cinética

por unidad de volumen y la energía gravitacional por unidad de volumen

tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

En la ecuación Ecuación de Bernoulli la presión , que existe cuando ,

recibe el nombre de presión estática y el término recibe el nombre de presión

dinámica.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli y de la ecuación de continuidad

1) Ley de Torricelli

La figura muestra un líquido que está saliendo por un

orificio en un gran tanque a una profundidad h bajo el

nivel del agua.

Se puede demostrar que la velocidad de salida del

líquido está dada por:

Esta expresión es conocida como la Ley de Torricelli.

Para demostrar la expresión (6.27) se aplica la ecuación de Bernoulli a la línea de

corriente que une los puntos 1,2 y 3.

En primer lugar aplicaremos la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2

Puesto que la superficie del líquido en el tanque es mucho mayor que el área del

orificio de salida, la velocidad con la cual desciende la superficie del líquido es muy

pequeña. Por lo tanto podemos considerar que la superficie del líquido está en reposo

.

Entonces considerando que tenemos


92

Aplicaremos ahora la ecuación de Bernoulli a los puntos 2 y 3

Puesto que tenemos

Remplazando y teniendo en cuenta que y se

tiene

2) Medidor de Venturi

El medidor de Vénturi se usa para medir la

velocidad de flujo de un fluido.

Consta de un tubo que tiene dos diámetros diferentes

y por el cual se desplaza un fluido. A dicho tubo se

conecta un manómetro como se muestra en la fig.

Para determinar la velocidad v del fluido podemos

aplicar la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 que

se muestran en la fig.

Sean las coordenadas verticales del fluido en esas posiciones.

Sean y las coordenadas del nivel del líquido en el manómetro.

Considerando tenemos por Bernoulli

Podemos escribir esta expresión como

Aplicando a los mismos puntos la ecuación de

continuidad tenemos

Remplazando (6.34) en (6.33) y considerando que tenemos


93

Llamemos p1 a la presión en la rama a izquierda del manómetro y a la presión

en la rama derecha.

Tenemos que las presiones y las presiones están relacionadas como

Por otra parte tenemos que las presiones en las ramas del manómetro están

relacionadas como

Remplazando estas expresiones en (6.35) tenemos

Considerando que tenemos que la velocidad del fluido está dada por

3) Fuerza ascensional dinámica

Se llama fuerza ascensional dinámica a la fuerza que obra sobre un cuerpo debido a

su movimiento a través de un fluido. Esta fuerza aparece por ejemplo: en el ala de un

avión en movimiento, en una pelota de fútbol o béisbol que va girando.

Se debe distinguir la fuerza ascensional dinámica de la fuerza ascensional estática.

La fuerza ascensional estática es la fuerza de flotación que obra sobre un objeto

como consecuencia del principio de Arquímedes. Esta fuerza aparece por ejemplo en

un globo de aire, en un cuerpo que flota en el agua.

Para explicar el origen de la fuerza ascensional dinámica, analicemos las situaciones

físicas planteadas en las fig. a) y b). Para realizar este análisis es más conveniente

examinar la situación tomando como marco de referencia aquél en el cual la pelota se

encuentra en reposo y es el aire el que se mueve con respecto a ella. Esto se puede

conseguir en un túnel de aire.


94

Fig. a) En ella se muestra una pelota de béisbol que se mueve hacia la izquierda, por

lo tanto el aire que rodea la pelota se desplaza con respecto a ésta hacia la derecha,

teniendo una velocidad rv en los puntos 1 y 2 que quedan sobre y bajo ella.

Fig. b) Se muestra una pelota que gira en sentido horario, puesto que la pelota no es

perfectamente lisa ella arrastra algo de aire consigo en el mismo sentido, por lo tanto

la velocidad del aire en las posiciones 1 y 2 está dada que se muestran en

la fig. b).

Fig. c) Se muestra la superposición de ambos movimientos. En ella podemos ver que

la velocidad del fluido en el punto 1 es mayor que la velocidad en el punto 2.

Apliquemos la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 de la fig. c

Considerando que la densidad del aire y la separación entre los puntos 1 y 2 es

pequeña tenemos

Puesto que entonces tenemos que

La presión del aire en la parte inferior de la pelota es mayor que en la parte superior.

Recordando que tenemos entonces que donde la fuerza 1actúa

sobre la pelota empujándola hacia abajo y la fuerza actúa empujándola hacia

arriba. Resultando entonces una fuerza ascendente que apunta hacia arriba.

LABORATORIO Nº 06: HIDROSTATICA E HIDRODINAMICA

1. Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene 0,250m3 de queroseno, con una

masa de 205Kg. La presión de la superficie del queroseno es 2,01x105Pa. El queroseno

ejerce una fuerza de 18KN sobre el fondo del tanque (área= 0,08m2). Calcule la

profundidad del queroseno.

2. Un corto circuito deja sin electricidad a un submarino que está 50m debajo de la

superficie del mar (ρagua del mar=1, 03x103 Kg/m

3). Para escapar la tripulación debe

empujar hacia fuera una escotilla en el fondo con 0, 8m2 de área y 300N de peso. Si la

presión interior es de 1atm. ¿Qué fuerza se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?


95

3. El líquido en un manómetro de tubo abierto, como se muestra en la figura donde y1 =

4cm; y2 = 7cm y la presión atmosférica es de 970milibares. (a) Qué presión absoluta hay

en la base del tubo en U. (b) y en el tubo abierto 3cm por debajo de la superficie libre. (c)

Cuál es la presión absoluta del gas en el tanque. (d) ¿Qué presión manométrica tiene el gas

en pascales? [Considere ρHg = 13,6gr/cm3, 1bar = 10

5Pa]

Problema 03 Problema 04

4. En la figura se tienen dos balones de gas A y B que se comunican con el mercurio. Siendo

la lectura del barómetro A: 180Kpa. Determinar la lectura del barómetro B.

5. La presión barométrica es de 91Kpa. Calcular la presión de vapor del

líquido y la lectura del manómetro (Densidad relativa de líquido: 0,9).

6. Un bloque de Latón cúbico con lados “L” flota en mercurio. (a) ¿Qué fracción del bloque

está sobre el mercurio? (b) Si se vierte agua sobre el mercurio, qué espesor (en términos de

L) debe de tener la capa de agua para que la superficie esté al nivel de la cara superior del

bloque. [ρLatón=8,6x103Kg/m

3]

7. Un trozo de madera de 0,5m de largo; 0,2m de ancho y 0,04 de espesor tiene una densidad

de 600Kg/m3. (a) ¿Qué volumen de plomo debe sujetarse a su base para hundir la madera

en el agua tranquila de modo que su cara superior esté al nivel del agua? (b) ¿Qué masa

tiene el plomo? [ρPlomo=11,3x103Kg/m

3]

8. Una esfera hueca de radio interior “R” y radio exterior “2R” está formado de un material

de densidad ρ0 y flota en un líquido de densidad 2ρ0. El interior se llena ahora de

material de densidad ρ de tal modo que la esfera flota justamente totalmente

sumergido. Determinar ρ .


96

9. Una barra uniforme de 6m de longitud se mantiene en la posición mostrada en la figura,

apoyada en un borde rugoso (fijo) del recipiente que mantiene agua. Determine el peso

específico de la barra


10. El listón de madera de 0,05mx0,05m.x3m. (Densidad = 400Kg. /m3) como se muestra en

la figura. Manteniéndose en la posición mostrada por la cuerda fija A. Calcular: (a) El

ángulo θ cuando h = 0,9m. (b) El valor mínimo de h para que el ángulo θ sea 90°.

11. El tapón circular de 0,25m de diámetro y 0,025m de espesor, tiene un peso especifico de

76000 N / m3. Calcular el diámetro (D) de la esfera de peso despreciable para que la

válvula se abra cuando el agua tenga 1,5m de profundidad.

Considerar que el peso del cable es despreciable.

12. Si el manómetro indica lo mostrado, calcular Px. [Densidad

relativa del aceite 0,85 y del mercurio 13,6]

HIDRODINÁMICA

1. Está fluyendo agua a 3m/s por una tubería horizontal bajo una presión de 200KPa. La

tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro original. (a) ¿Cuál es la velocidad del

flujo en la sección estrecha? (b) ¿Cuál es la presión en la sección más estrecha de la

tubería? (c) ¿Qué relación existe entre el volumen del agua que fluye por la sección

estrecha cada segundo, con el que circula a través de la sección más ancha?

2. Se descarga agua por un tubo horizontal a una razón de 5x10-3

m3/s. En un punto del tubo

donde el área transversal es de 1x10-3

m2, la presión absoluta es de 1,6x10

5Pa. ¿Qué área

transversal tiene una constricción en el tubo donde la presión se reduce a 1,2x105Pa?


97

3. A través de este sistema como se muestra en la figura, fluye agua a lo largo de ésta tubería

de diámetro 9,5cm que en el estrechamiento se reduce a 5,6cm. El manómetro en U está

parcialmente lleno de mercurio. Determinar la velocidad de flujo del agua en la tubería de

9,5cm de diámetro si la diferencia en los niveles de mercurio del tubo en U es de 2,4cm.


4. En un medidor de Venturi como se muestra en la figura tiene un diámetro de 20cm. en la

sección de la entrada y de 10cm. en la sección más angosta, circula, circula gasolina

(ρr=0,82). La caída o deferencia de presiones entre la sección mayor y la garganta, medido

en el aparato es de 0,3kp/cm2. Hallar el valor del caudal en m

3/min.

5. El chorro pasa a través del punto A. Calcular el régimen de flujo.


6. Demostrar que para los dos orificios que descargan como se muestra en la figura: h1 y1 =

h2 y2

7. Aceite (ρr=0.9) está fluyendo hacia abajo por el medidor de Venturi que se muestra en la

figura. Si la velocidad del flujo en la sección de 2pulgadas es de 10pies/seg. Calcular la

desviación “h” del manómetro (en pies).


98


8. Dos láminas de acero de sección 0,72m2 están inclinadas a 30° con respecto a la

horizontal y se encuentra separados por 1cm de aceite de viscosidad η=0,0306Kgf.seg./m2

y γaceite=7,8grf/cm3. Si se ejerce una fuerza horizontal de 20Kgf sobre la plancha superior.

Calcular la velocidad del desplazamiento del líquido. (Considerando su peso y movimiento

hacia abajo)

9. Una bola emerge con velocidad constante de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor

que la del material de que está hecho la bola ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de

rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de esta?

10. ¿Cuál será la velocidad máxima que puede alcanzar una gota de lluvia de diámetro

d=0,3mm si la viscosidad dinámica del aire es igual a 1,2x10-4

gr/cm.seg?

11. En una pared lateral de un recipiente va mostrado horizontalmente un tubo capilar de

radio interior es 1mm y longitud L=1,5cm. El recipiente contiene glicerina, cuya

viscosidad dinámica en las condiciones del experimento es η=1,0Nseg/m2. El nivel de la

glicerina se mantiene constante a una altura h=0,18m sobre el tubo capilar. ¿Cuanto

tiempo será necesario para que el tubo capilar salga 5cm3 de glicerina?

SESION Nº 07: TERMODINAMICA


99

OBJETIVO: Analizar y aplicar las leyes de la termodinámica, en situaciones físicas donde

intervienen fenómenos térmicos.

7.1. INTRODUCCION

En esta unidad se analizara el comportamiento de un sistema al

interactuar con sus alrededores.

Un ejemplo de esto se ilustra en la figura 7.1, donde si el gas

encerrado en el depósito es el sistema, su medio ambiente lo

conforman el pistón móvil y el mechero.

En esta situación particular, el objetivo es analizar el

comportamiento del gas cuando interactúa con el pistón y el

mechero.

En el ejemplo de la figura 7.1 y en los procesos donde interviene el concepto de calor,

las Leyes que relacionan las cantidades macroscópicas: presión, volumen, temperatura,

energía interna y entropía, conforman la base de la termodinámica.

Ahora, como es de esperarse, en un sistema cualquiera las cantidades macroscópicas y

microscópicas deben estar físicamente relacionadas ya que estas son sólo dos formas

diferentes de describir o analizar la misma situación.

Para analizar fenómenos en los que interviene el calor, es decir fenómenos térmicos o

caloríficos, se requiere la utilización de una cantidad física como lo es la temperatura.

Por ello se inicia con un estudio de la temperatura.

7.2. TEMPERATURA Y LEY CERO DE LA TERMODINAMICA

Las conocidas sensaciones de calor y frío se expresan con

adjetivos tales como fresco, tibio, cálido, caliente, etc.

Cuando se toca un objeto, se utiliza el sentido del tacto para

atribuirle una propiedad denominada temperatura, que

determina si se percibe caliente o frío al tacto. Cuanto más

caliente se percibe, más alta es la temperatura. Este es un

procedimiento bastante subjetivo para determinar la

temperatura de un cuerpo, que no es muy útil para los fines científicos buscados en esta

unidad.

Por tanto; definiremos a la temperatura como la magnitud física que mide el estado de

agitación de las partículas de un cuerpo, caracterizando su estado térmico.


100

7.2.1. LEY CERO

Suponiendo que dos sistemas A y B se

separan entre sí por medio de una pared

adiabática, pero simultáneamente en

contacto térmico con un tercer sistema C,

mediante una pared diatérmica;

igualmente, el conjunto formado por los

tres sistemas está rodeado por una pared adiabática, como se muestra en la figura

7.2. El experimento muestra que luego de un tiempo, los sistemas A y B alcanzarán

el equilibrio térmico con C, y que no tendrá lugar ningún cambio posterior en sus

estados, si se retira la pared adiabática y se cambia por una pared diatérmica.

Si en lugar de permitir que los sistemas A y B alcancen el equilibrio con C al mismo

tiempo, se hace que C alcance primero el equilibrio térmico con A y luego con B,

donde el estado del sistema C es el mismo en ambos casos, entonces al poner A y B

en comunicación mediante una pared diatérmica, se encontrará que los tres sistemas

están en equilibrio térmico entre sí.

En lo que sigue se utilizará la expresión, dos sistemas están en equilibrio térmico,

para indicar que ambos sistemas se encuentran en estados tales que si se conectaran a

través de una pared diatérmica, el sistema constituido por ellos estaría en equilibrio

térmico.

Los hechos experimentales anteriores, se pueden resumir en la forma: dos sistemas

en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio térmico entre sí; principio

conocido como ley cero de la termodinámica.

En síntesis, cuando dos o más sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre

sí, se dice que tienen la misma temperatura.

7.2.2. TERMOMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURA

Escalas Termométricas

Para conocer cuantitativamente el

valor de una temperatura,

generalmente se emplea la escala

fundamental de temperaturas,


101

también conocida como escala Kelvin o absoluta. Esta escala de temperaturas es la

que se emplea con fines científicos.

Otra escala de temperatura conocida como Celsius, emplea un grado de igual

magnitud que la escala Kelvin, pero el punto cero está desplazado de tal forma que el

cero en la escala Celsius equivale a 273.15 en la escala Kelvin, como se ilustra en la

figura 7.3. Por consiguiente, si Tc representa la temperatura Celsius, su relación con

la temperatura T en la escala absoluta es:

De este modo, la temperatura Kelvin a la cual se condensa el vapor de agua a 1 atm

de presión es , lo que en la escala Celsius equivale a

. Normalmente se toman como válidas las

aproximaciones y .

Relación entre escalas absolutas y relativas

7.2.3. TERMÓMETRO DE GAS

El termómetro de gas de volumen constante, mencionado al hablar del

establecimiento de la escala termodinámica de temperaturas, pertenece a la categoría

de termómetros llenos de gas y es el más exacto de este tipo. Para usos industriales,

un termómetro por presión de gas consta de un elemento que mide la presión. El

sistema se llena, a presión, con un gas inerte, ordinariamente el nitrógeno. Como el

gas del elemento medidor y del tubo de conexión no está a la temperatura del bulbo,

el volumen de éste tiene que ser grande para que los errores introducidos por la

diferencia de temperatura del elemento medidor de la presión y del tubo capilar

resulten insignificantes. El bulbo debe tener por lo menos cuarenta veces el volumen

del resto del sistema. Por ello, y a causa del retardo en la transmisión de los cambios

Relación entre las Escalas

Termométricas


102

de presión por el tubo capilar, la longitud de éste se limita a un máximo de 60 m, y es

preferible mucho menos.

El termómetro de gas a volumen constante

Las lecturas de temperatura en un termómetro de gas son

casi independientes de la substancia utilizada, para bajas

densidades y presiones (gas ideal). La propiedad que

define la temperatura es el cambio de presión con la

temperatura. Ver figura 7.4.

Se hace un gráfico P versus T (Celsius) y se extrapola a

P nulo. Se obtiene T (Celsius)= -273.15. A esta

temperatura el gas tiene presión cero. Se llama el cero

absoluto de temperatura. Así se introduce la escala

absoluta de temperatura, que se mide en grados Kelvin (K):

A partir de 1954 se usa como referencia el punto triple del agua: En este punto

coexisten el gas, el líquido y el sólido. Se da para una única presión y temperatura:

, .

En algunos países se usa la escala Fahrenheit:

Ejemplo:


103

1. La temperatura de ebullición del oxígeno es de 90,19 K. Determine dicha

temperatura en las escalas Celsius, Fahrenheit y Rankine.

Datos:

2. Expresar la temperatura normal del cuerpo, 37°C, en las escalas: Fahrenheit, Kelvin.

Datos:

7.3. EXPANSION TERMICA DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

Cuando la temperatura de una sustancia cambia, se

puede presentar bien sea un cambio en su volumen o un

cambio de fase. En esta sección, sólo se consideran los

cambios de tamaño sin cambio de fase.

Como ejemplo, se considera el modelo simple de un

sólido cristalino, donde los átomos están unidos entre sí

con un ordenamiento regular, mediante fuerzas de tipo

eléctrico. Dentro de un modelo mecánico, las fuerzas entre los átomos son similares a las

ejercidas por un conjunto de resortes que unen los átomos, de manera que se puede

imaginar el cuerpo sólido como un colchón de resortes, idéntico al mostrado en la figura

7.5. Estos resortes son muy rígidos y hay aproximadamente resortes por .

Además, a una temperatura cualquiera, diferente de 0 K, los átomos de los sólidos vibran

con amplitud de vibración del orden de m c10 9

y frecuencia del orden de Hz10 13.

Ahora, cuando la temperatura aumenta, la distancia media entre los átomos también se

incrementa, lo que conduce a una dilatación del cuerpo sólido como un todo conforme se

eleva la temperatura. En este caso, el cambio en cualquiera de las dimensiones lineales

del sólido, tales como su longitud, anchura o profundidad, se denomina dilatación

lineal.

Para expresar cuantitativamente este efecto de la temperatura sobre el sólido, se supone

que una de sus dimensiones tiene longitud L0 a una temperatura inicial T0, y que una vez


104

que la temperatura se incrementa en una cantidad , su longitud aumenta en una

cantidad .

Por consiguiente, y , es decir, . Así, cuando se

introduce la constante de proporcionalidad , que es distinta para diferentes materiales

como se muestra en la tabla Nº 02, se obtiene la relación

donde la constante , que caracteriza las propiedades de dilatación térmica de un

material determinado, se denomina coeficiente de dilatación lineal.

Tabla Nº 02. Coeficientes de expansión térmica para algunas sustancias.

SUSTANCIA

Sustancia

Hielo 52 Helio ( C0 o) 3.665

Plomo 29 Aire a 1 atm 3.5

Zinc 26 Gasolina 0.95

Aluminio 24 Glicerina 0.485

Latón 19 Agua 0.21

Bronce 19 Mercurio 0.18

Cobre 17 Acetona 0.15

Concreto 12 Benceno 0.124

Acero 11 Alcohol etílico 0.112

Hierro 11

Vidrio 9

Pyrex 3.2

Cuarzo 0.4


105

De manera general, para cualquier

temperatura el coeficiente de dilatación

térmica se puede definir mediante la

expresión

de acuerdo con la ecuación (2), el

coeficiente de dilatación lineal se expresa

en . En el caso de un sólido

bidimensional, tal como una lámina

rectangular isotrópica y de espesor

despreciable, se puede demostrar con alto

grado de exactitud, que la fracción de

cambio del área A por cambio de

temperatura de un grado es 2 , es decir

Igualmente, para un cuerpo tridimensional e isotrópico, igualmente es posible

demostrar que la fracción de cambio de volumen V, por cada grado que varía la

temperatura, es 3 , es decir

7.4. CALOR

Hasta este momento se ha tratado el concepto de

temperatura en conexión con el equilibrio

térmico, esto es, cuando dos cuerpos que no

están inicialmente en equilibrio térmico se ponen

en contacto térmico, sea directo o por medio de

una pared diatérmica, sus temperaturas varían

hasta alcanzar el equilibrio térmico, que se logra

cuando los cuerpos adquieren la misma temperatura En esta sección se tratará la

interacción que tiene lugar entre los cuerpos mientras tienden a dicho equilibrio; el

tratamiento cuantitativo de esta interacción conduce al concepto de calor que constituye

el tema presente.

En la figura 7.6 se supone que el sistema A, inicialmente a mayor temperatura que el

sistema B, se pone en contacto térmico directo con este.


106

Al alcanzar el equilibrio térmico, el sistema A habrá experimentado una disminución en

su temperatura y B un aumento. Por lo tanto, parece, natural suponer que algo se

transfiere de A a B, mientras los sistemas interactúan térmicamente. Cuando se producen

estas variaciones de temperatura, es habitual referirse a ello diciendo que existe una

transferencia de calor de A a B.

De una forma experimental, fue posible establecer que el flujo de calor es una

transferencia de energía generada exclusivamente en virtud de una diferencia de

temperatura; a dicha transferencia de energía se le denomina flujo calorífico. De acuerdo

con esto, hay dos formas de transferir energía; la primera, denominada flujo calorífico,

corresponde a una transferencia de energía térmica cuando se presentan diferencias de

temperatura, y la segunda conocida como trabajo, la cual no es más que una

transferencia de energía mecánica, pero en los casos que no se presentan a diferencias de

temperatura.

Unidad de calor

La unidad de calor se define cuantitativamente en función de cierto cambio producido en

el agua durante un proceso específico. Así, si se eleva la temperatura de un kilogramo de

agua de 514. a C15.5 o, calentándolo, se dice que se ha agregado al sistema una

kilocaloría (Kcal). Otra unidad definida en función de la anterior es la caloría (cal) que

equivale a 310 Kcal, la cual también se utiliza como unidad de calor.

PROBLEMAS

1. Considere el aparato de Joule descrito en la figura. Las dos

masas son de 1.50 kg cada una y el tanque se llena con 200

g de agua. ¿Cuál es el aumento de la temperatura del agua

después de que las masas descienden una distancia de 3.00

m?

Solución:

Suponiendo que toda la energía potencial se convierte en calor, el aumento en la

temperatura es ΔT = 2mgh/magua C = 2(1.5 kg)( 9.81 m/s2)(3 m)/(0.2 kg)(1480 J/kg

ºC) = 0.29 ºC


107

2. Una persona de 80 kg que intenta de bajar de peso desea subir una montaña para

quemar el equivalente a una gran rebanada de pastel de chocolate tasada en 700

calorías (alimenticias). ¿Cuánto debe ascender la persona?

Solución:

3. El agua en la parte superior de las cataratas del Niágara tiene una temperatura de

10°C. Si ésta cae una distancia total de 50 m y toda su energía potencial se emplea

para calentar el agua, calcule la temperatura del agua en el fondo de la catarata.

Solución:

Energía potencial: Ep = mgh

Calor absorbido por el agua para elevar su temperatura: Q = mcΔT

La energía potencial se transforma en calor: Ep = Q

mcΔT = mgh

ΔT = gh/c = (9.81 m/s2)(50 m)/4186 J/kg ºC) = 0.117 ºC

Tf – Ti = 0.117

Tf = Ti + 0.117 = 10.117 ºC

7.5. CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECIFICO

Las sustancias difieren unas de las otras en la

cantidad de calor que se necesita para producir un

aumento de temperatura en una masa determinada.

Como se muestra en la figura 7.7, la relación entre

la cantidad de calor Q suministrada a una

sustancia y su correspondiente incremento de temperatura T , se define como

capacidad calorífica C de la sustancia, esto es

La palabra capacidad se debe entender como la cantidad de calor agregada por

unidad de elevación de temperatura.

Por otro lado, si la sustancia tiene masa m, la capacidad calorífica de un cuerpo por

unidad de masa se define como el calor específico de la sustancia y es característica

del material que esté hecho el cuerpo, o sea, teniendo en cuenta la ecuación (4), se

tiene


108

donde el calor se suministra a presión constante.

Por ello, se habla de la capacidad calorífica de un bloque metálico y del calor

específico del cobre, si el bloque es de este material.

La capacidad calorífica de un cuerpo y el calor específico de un material no son

cantidades constantes, sino que dependen de la temperatura inicial y del intervalo de

temperatura. Las ecuaciones (4) y (5) dan solamente valores aproximados de estas

cantidades en el intervalo de temperatura T .

Generalizando la relación dada por la ecuación (5) se tiene que el calor específico de

un material a cualquier temperatura está dado por

donde de nuevo la presión permanece constante.

De acuerdo con la ecuación (6), la cantidad de calor infinitesimal Q , necesaria

para aumentar la temperatura de una masa m de sustancia en una cantidad Td es

Entonces, por la ecuación (6.7), la cantidad de calor que se debe suministrar a una

sustancia con masa m y de calor específico c, para elevar su temperatura de 1T a 2T ,

es:

donde )T(cc , esto es, el calor específico es una cantidad que depende de la

temperatura.

Ahora, si el calor específico es constante en el intervalo de temperatura comprendido

entre 1T y 2T , de la ecuación (8) se deduce que la cantidad de calor Q que se debe

suministrar a un cuerpo de masa m para que su temperatura varíe desde 1T hasta 2T

es:

Si en la ecuación (6.9) 12 TT se tiene que 0Q , lo

que indica que se transfiere calor desde el sistema

hacia los alrededores. Ahora, si se transfiere calor


109

desde los alrededores hacia el sistema 0Q , es decir, cuando 12 TT . Estas dos

situaciones se ilustran en figura 7.8 mediante flechas que atraviesan el sistema.

Para los fines de esta unidad, a temperaturas ordinarias y en intervalos de

temperaturas ordinarios, los calores específicos se pueden considerar como

constantes.

Las ecuaciones (5) a (9), no definen el calor específico en forma unívoca, ya que

también se deben especificar las condiciones bajo las cuales se suministra calor a la

muestra. En dichas ecuaciones se impone como condición que la muestra se

mantenga a la presión atmosférica normal ( constantep ) mientras se agrega el

calor. Aunque esta es una condición común, hay otras posibilidades, donde cada una

de ellas conduce generalmente a un valor diferente del calor específico. De este

modo, para obtener un valor determinado del calor específico, se deben especificar

condiciones tales como calor específico a presión constante pc , o calor específico a

volumen constante Vc .

Unidades de la capacidad calorífica y el calor específico

De acuerdo con las ecuaciones (4) a (9), la capacidad calorífica se expresa en

1oCcal ó 1oCJ y el calor específico por

1o1 Cgcal ó 1o1 CkgJ . Como ambas

cantidades se definen en función de un cambio de temperatura, también son válidas

las unidades 1Kcal ó

1KJ y 11 Kgcal ó

11 KkgJ , ya que un cambio de

temperatura tiene igual valor en ambas escalas de temperatura.

En al tabla 03 se dan los calores específicos de algunas sustancias, donde se aprecia

que para el agua su valor es grande comparado con la mayoría de las sustancias.

Tabla Nº03. Calor específico y capacidad calorífica molar de algunas sustancias.

SUSTANCIA K)(cal/gc K)(cal/molcV

Agua 1.000 18.0

Agua de mar 0.930

Helio gaseoso 0.750 3.00

Argón gaseoso 0.750 3.00

Alcohol etílico 0.580

Hielo (-10 oC) 0.500

Berilio 0.430 3.85


110

Madera (promedio) 0.400

Aire (-5 oC) 0.250

Aluminio 0.220 5.82

Vidrio 0.200

Granito 0.190

Nitrógeno gaseoso (N2) 0.176 4.94

Silicio 0.170 4.78

Oxígeno Gaseoso (O2) 0.155 4.97

Diamante 0.120 1.46

Hierro o acero 0.110

Cobre 0.092 5.85

Latón 0.091

Plata 0.056 6.09

Mercurio 0.033 6.70

Tungsteno 0.032 5.92

Plomo 0.031 6.32

Ejemplos:

1. ¿Cuántas calorías de calor son necesarias para aumentar la temperatura de 3.0 kg de

aluminio de 20°C a 50°C.

Solución:

2. La temperatura de una barra de plata aumenta 10.0°C cuando absorbe 1.23 kJ de

calor. La masa de la barra es de 525 g. Determine el calor específico de la plata.

Solución:

7.6. EQUIVALENTE MECANICO DEL

CALOR

Como el calor es otra forma de transferir energía,

necesariamente cualquier unidad de energía


111

también puede ser unidad de calor. Por esto fue posible encontrar la relación entre la

unidad de energía mecánica y la unidad de calor, es decir, el número de Joules

equivalentes a una caloría. Esta relación se puede hallar llevando a cabo experimentos

en los cuales una cierta cantidad de energía mecánica se transforme en calor.

En el experimento más conocido se utiliza el montaje de la figura 7.9, donde la caída

del bloque hace girar un conjunto de aspas que se encuentran en el interior de un

recipiente con agua. La energía inicial del bloque, potencial gravitacional, se transforma

en energía cinética del bloque y energía cinética de rotación de las aspas al caer este.

La rotación de las aspas le comunican energía a las moléculas de agua y se tiene como

resultado un aumento en la temperatura del agua. Así, una parte de la energía mecánica

se transforma en calor, donde la pérdida de energía mecánica se calcula conociendo,

además del peso, la altura desde la cual cae el bloque, y la ganancia de energía calorífica

se obtiene, conociendo la masa de agua y la variación en la temperatura, mediante la

ecuación (9). El resultado aceptado es J4186cal10Kcal1 3, relación conocida

como el equivalente mecánico del calor.

De lo anterior y de acuerdo con la definición de la unidad de calor, mediante 4186 J de

energía mecánica, es posible elevar la temperatura de 1 kg de agua de 14.5 a C515 o. .

Ejemplo:

1. En un termo con paredes internas adiabáticas, se

tienen 100 g de agua a C30 o. Determinar la

temperatura inicial de un trozo de plomo de 500 g,

para que la temperatura final del sistema agua-plomo

sea de C60 o.

Solución

Como la temperatura final del agua es mayor que la inicial, esta absorbe energía en

forma de calor, en la cantidad

Ahora, el trozo de plomo debe perder la energía térmica

Por otro lado, de acuerdo con la conservación de la energía, el calor neto transferido

en el proceso es nulo, esto es


112

0QQ 21 .

Mediante las ecuaciones anteriores y luego de reemplazar valores con ayuda de la

tabla 03 se encuentra que la temperatura inicial del trozo de plomo, está dada por

C55.253T o

Pbo,,

que es una temperatura mayor que la del agua como es de esperar y menor que la

temperatura de fusión del plomo (ver tabla Nº 04).

2. Si 100 g de agua a 100°C se vierten dentro de una taza de aluminio de 20 g que

contiene 50 g de agua a 20°C, ¿cuál es temperatura de equilibrio del sistema?

Solución:

Sean m1 = 100 g, m2 = 50 g, m3 = 20 g, CH2O= 1 cal/ g ºC, el calor específico del

agua, CAl = 0.215 cal/ g ºC, el calor especifico del aluminio y Tf la temperatura final

del sistema:

Despejando Tf, se obtiene

Sustituyendo los valores de los parámetros conocidos, se obtiene que

3. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio final cuando l0 g de leche a 10°C se agregan a

160 g de café a 90°C? (Suponga que las capacidades caloríficas de los dos líquidos

son las mismas que las del agua, e ignore la capacidad calorífica del recipiente).

Solución:

Sea mleche = 10 g, Tleche = 10 ºC, Cleche la capacidad calorífica de la leche, mcafe = 60

g, Ccafe la capacidad calorífica del cafe, Tcafe = 90ºC, Tf, la temperatura final de la

mezcla. El balance de energía nos da como resultado que

Despejando la temperatura final de la mezcla, Tf, resulta

Como , la ecuación se simplifica a la siguiente

Sustituyendo los valores, de obtiene


113

7.7. CAPACIDAD CALORIFICA MOLAR

Cuando el calor específico de una sustancia se multiplica por su masa molecular M,

la capacidad calorífica molar está dada por

donde nM/m es el número de moles de la sustancia. Así que la ecuación (10)

adquiere la forma

Unidades de la capacidad calorífica molar

La capacidad calorífica molar, de acuerdo con la definición dada por la ecuación

(6.10), se expresa en 1o1 Cmolcal ó

11 Kmolcal y 1o1 CmolJ ó

11 KmolJ .

En la tabla Nº 03 se muestran las capacidades caloríficas molares de algunas

sustancias, obtenidas a temperatura ambiente.

Teóricamente se ha encontrado que la capacidad calorífica molar en la mayoría de

los sólidos es del orden de 1o1 Cmolcal6 o lo que es equivalente

1o1 CmolJ25 .

Este resultado conocido como la ley de Dulong y Petit, aunque sólo es una regla

aproximada, contiene el germen de una idea muy importante. Se sabe que el número

de moléculas que hay en un mol es el mismo para todas las sustancias, cuyo valor

está dado por molmoléculas/100236 23. , que corresponde al número de Avogadro.

7.8. CAMBIOS DE FASE

En esta sección se analiza el efecto de la temperatura sobre una sustancia, que está

relacionado con los cambios de fase macroscópicos que se pueden generar.

Cuando se transfiere o extrae calor a una sustancia, la variación de temperatura puede

generar un cambio de fase macroscópico, como por ejemplo pasar de la fase sólida a la

líquida o viceversa.

Así, la absorción o liberación de calor puede ir acompañada de un cambio de fase y

generalmente de una variación de volumen. Aunque la temperatura a la que tiene lugar la

transición también depende de la presión, no se tiene en cuenta esta situación por ahora,

ya que se asume que es constante.


114

En este punto se hace necesario distinguir entre calor sensible y calor latente. Calor

sensible es el que siempre implica una variación de la temperatura y calor latente el que

no conlleva a una variación de temperatura, es decir, mientras se suministra o extrae

calor latente a una sustancia, la temperatura permanece constante.

Cuantitativamente, si se suministra o extrae calor a una sustancia, a presión constante, la

ecuación (6.9) es válida si este es sensible, pero si es latente se

habla de un calor de transformación, el cual se aplica al calor de

fusión (sólido a líquido), al calor de congelación (líquido a

sólido), al calor de vaporización (líquido a vapor) y al calor de

condensación (vapor a líquido). En todos los casos se designa por

la letra L, que representa el calor absorbido o liberado en un

cambio de fase por unidad de masa. El calor latente absorbido o

liberado por una masa m en el cambio de fase, se define por ,

donde si se funde un sólido o entra en ebullición un líquido, se suministra calor a la

sustancia y Q>0; en cambio, cuando se condensa un vapor o se solidifica un líquido, la

sustancia libera calor y Q<0.

La diferencia entre estos tipos de calor se puede explicar mediante el siguiente ejemplo.

En la figura 7.10 el recipiente inicialmente contiene hielo triturado a -25ºC, al cual se le

puede suministrar calor a ritmo constante mediante una fuente de calor y un control de

temperatura. El recipiente se aísla de tal forma que no llegue otro calor al hielo y se

introduce un termómetro en el mismo. Cuando el experimento se lleva a cabo, se observa

que la temperatura del hielo aumenta uniformemente, como lo indica el segmento ab de

la figura 7.11, hasta que la temperatura es 0ºC. En este caso el calor suministrado es

sensible y se cumple la relación

.

Tabla Nº 04. Calor latente, temperaturas de fusión (Tf) y ebullición (Te) de algunas

sustancias.

SUSTANCIA fT (K) fL (

1gcal ) eT (K) vL (

1gcal )

Hierro 1808 69.04 3023 1509.8

Silicio 1685 395.13 2628 2528.43

Cobre 1356 48.97 2840 1145.72

Oro 1337 15.29 3080 376.73


115

Plata 1235 26.52 2485 562.83

Aluminio 933 95.32 2740 2515.53

Zinc 693 24.37 1180 401.1

Plomo 601 5.49 2013 205.21

Estaño 508 14.33 2540 463.45

Sodio 371 27.47 1156 242.95

Agua 273 80 373 542.76

Mercurio 234 2.63 630 70.47

Amoníaco 198 107.98 240 326.8

Alcohol etílico 159 24.84 351 204.01

Nitrógeno 63.18 6.09 77 48.02

Oxigeno 55 3.34 90 50.88

Hidrógeno 14 14.1 20 107.98

Helio 3.5 1.25 4.22 4.99

Tan pronto como se ha alcanzado esta temperatura, se observará algo de agua líquida

en el recipiente, esto es, el hielo empieza a fundirse. Así, el proceso de fusión es un

cambio de fase, pues el hielo pasa de la fase sólida a la líquida. Sin embargo, durante

un tiempo el termómetro no indicará aumento de temperatura aunque continúa el

suministro calor al mismo ritmo, es decir, la temperatura permanecerá a C0 o hasta

que se funda todo el hielo, lo cual ocurre en el punto c de la figura 7.11, manteniendo

constante la presión a una atmósfera. En este caso, se suministra calor latente de

fusión y se cumple la expresión .

Una vez que se ha fundido la última porción de hielo, la temperatura comienza a

elevarse de nuevo a ritmo constante, desde c hasta d en la figura 7.11, aunque más

despacio que en el segmento ab, por ser el calor específico del agua (1o1 Cgcal1 )

mayor que el del hielo (1o1 Cgcal50. ). Cuando se alcanza la temperatura de


116

C100 o, punto d en la figura 7.11, comienzan a escapar de la superficie del agua

burbujas de vapor (agua gaseosa o vapor de agua); así, el agua empieza a hervir y el

calor es sensible por lo que se satisface la relación

.

En forma similar, la temperatura permanecerá constante a C100 o y a presión

atmosférica constante, hasta que se evapora toda el agua. De este modo, se ha

producido un cambio de fase, de la líquida a la gaseosa y se tiene calor latente de

vaporización, por lo que se cumple la igualdad . Del punto e en

adelante sólo se tiene vapor recalentado o sea que el calor suministrado es sensible.

En síntesis, es necesario suministrar la cantidad neta de calor 4321 QQQQQ ,

para que el hielo pase desde la fase sólida a la fase gaseosa. Si se desea llevar el

vapor de agua desde 100ºC hasta hielo a -25ºC, será necesario extraer la misma

cantidad de calor, es decir, se debe realizar el proceso inverso.

Ejemplo:

1. En el interior de un termo, con paredes adiabáticas, se mezclan 50 g de agua a

C30 o, con cierta cantidad de hielo a C3 o

. Determinar la masa de hielo que

permite al sistema alcanzar una temperatura final de C2 o.

Solución

El hielo debe absorber calor sensible que le permita pasar de C3 o hielo a C0 o

hielo, en una cantidad

C)3C(0cmQ oo

hh1 .

Adicionalmente debe absorber calor latente para que pueda fundirse, en un valor

dado por

hf,h2 LmQ .

Finalmente, para pasar de C0 o agua a C2 o

agua, absorbe el calor

C)0C(2cmQ oo

OHh3 2. (3)

Por otro lado, el agua emite calor sensible para pasar de C30 o agua a C2 o

agua,

dado por

C)30C(2cmQ oo

OHOH4 22.

Ahora, como la energía se conserva, el calor neto transferido es nulo, esto es


117

0QQQQ 4321 .

Por medio de las ecuaciones anterirores y luego de reemplazar valores con ayuda

de las tablas 03 y 04, se obtiene el valor

g77.16mh .

LABORATORIO Nº 08: CALORIMETRÍA

1- El calor de combustión de la leña es 4 x 103 cal /g. ¿Cuál es la cantidad de leña que

debemos quemar para obtener 12 x 107 cal?

2- Para calentar 800 g de una sustancia de 0 °C a 60° °C fueron necesarias 4.000 cal.

Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.

3- Para calentar 2.000g de una sustancia desde 10°C hasta 80°C fueron necesarias 12.000

cal. Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.

4- ¿Cuál es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 200 g de cobre de

10 °C a 80 °C?.calor específico del cobre igual a 0,093 cal /g °C.


118

5- Considere un bloque de cobre de masa igual a 500 g a la temperatura de 20 °C. Siendo: c

cobre = 0,093 cal /g °C. Determine: a) la cantidad de calor que se debe ceder al bloque

para que su temperatura aumente de 20 °C a 60 °C y b) ¿cuál será su temperatura cuando

sean cedidas al bloque 10.000 cal?

6- Un bloque de 300 g de hierro se encuentra a 100 °C. ¿Cuál será su temperatura cuando

se retiren de él 2.000 cal? Sabiendo que: c hierro = 0,11 cal /g °C.

7- Sean 400 g de hierro a la temperatura de 8 °C. Determine su temperatura después de

haber cedido 1.000 cal. Sabiendo que: c hierro = 0,11 cal /g °C.

8- Para calentar 600 g de una sustancia de 10 °C a 50 °C fueron necesarias 2.000 cal.

Determine el calor específico y la capacidad térmica de la sustancia.

9- ¿Cuál es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 300 g de cobre de

20 °C a 60 °C?. Siendo: c cobre = 0,093 cal /g °C.

10- Sea 200 g de hierro a la temperatura de 12 °C. Determine su temperatura después de

haber cedido 500 cal. Siendo: c hierro = 0,11 cal /g °C.

11- Suministrando una energía de 10 J a un bloque de una aleación de aluminio de 5 g; su

temperatura varía de 20 °C a 22 °C. Determine el calor específico de este material.

12- Un recipiente térmicamente aislado contiene 200 g de agua, inicialmente a 5 °C. Por

medio de un agitador, son suministrados 1,26x 104 J a esa masa de agua. El calor

específico del agua es 1 cal /g °C; el equivalente mecánico de la caloría es de 4,2 J/cal.

Considere despreciable la capacidad térmica

13- Se colocan 200 g de hierro a 120 °C en un recipiente conteniendo 500 g de agua a 20 °C.

Siendo el calor específico del hierro igual a 0,114 cal /g °C y considerando despreciable

el calor absorbido por el recipiente. Determine la temperatura de equilibrio térmico.

14- Se colocan 400 g de cobre a 80 °C en un recipiente conteniendo 600 g de agua a 22 °C.

Determine la temperatura de equilibrio térmico sabiendo que el calor específico del

cobre es de 0,092 cal /g °C.

15- Un calorímetro de cobre de 80 g contiene 62 g de un líquido a 20 °C. En el calorímetro

es colocado un bloque de aluminio de masa 180 g a 40 °C. Sabiendo que la temperatura

de equilibrio térmico es de 28 °C, determine el calor específico del líquido. Considere: c

Cu = 0,092 cal /g °C y c Al = 0,217 cal /g °C.

16- Un calorímetro de cobre de 60 g contiene 25 g de agua a 20 °C. En el calorímetro es

colocado un pedazo de aluminio de masa 120 g a 60 °C. Siendo los calores específicos

del cobre y del aluminio, respectivamente iguales a 0,092 cal /g °C y 0,217 cal /g °C;

determine la temperatura de equilibrio térmico.

17- Un calorímetro de equivalente en agua igual a 9 g contiene 80 g de agua a 20 °C. Un

cuerpo de masa 50 g a 100 °C es colocado en el interior del calorímetro. La temperatura

de equilibrio térmico es de 30 °C. Determine el calor específico del cuerpo.


119

18- Un calorímetro de cobre con masa igual a 50 g contiene 250 g de agua a 100 °C. Un

cuerpo de aluminio a la temperatura de 10 °C se coloca en el interior del calorímetro. El

calor específico del cobre es c Cu = 0,094 cal /g °C y el de aluminio es c Al = 0,22 cal /g

°C. Sabiendo que la temperatura de equilibrio es 50 °C. ¿Cuál es la masa del cuerpo de

aluminio (aproximadamente)?.

19- Sea un calorímetro de agua de capacidad térmica 50 cal /g °C. Tomamos un pedazo de

hierro con masa de 70 g; lo calentamos en un reservorio lleno de vapor de agua en

ebullición, lo introducimos seguidamente en el calorímetro que contiene 412 g de agua a

la temperatura de 12,4 °C. Sabiendo que la temperatura final del sistema fue de 13,9 °C.

Determine el calor específico del hierro.

20- Un bloque de platino de masa 60 g es retirado de un horno e inmediatamente colocado

en un calorímetro de cobre de masa igual a 100 g y que contiene 340 g de agua. Calcular

la temperatura del horno, sabiendo que la temperatura inicial del agua era de 10 °C y que

subió a 13 °C, ¿cuando se alcanzó el equilibrio térmico?. El calor específico del platino

es de 0,035 cal /g °C y el calor específico del cobre es de 0,1 cal /g °C.

21- Un joyero vendió un anillo que dijo contener 9 g de oro y 1 g de cobre. Se calienta el

anillo a 500 °C (temperatura inferior a la temperatura de fusión del oro y del cobre). Se

introduce el anillo caliente en un calorímetro con agua, cuya capacidad calorífica es 100

cal /g °C y cuya temperatura inicial es 20 °C; se constata que la temperatura en el

equilibrio térmico es de 22 °C. Los calores específicos del oro y del cobre son 0,09 y

0,031 cal /g °C, respectivamente. Determine las masas del oro y del cobre en el anillo.

22- Calcular la velocidad que debe llevar una bala de plomo para que funda al chocar contra

un obstáculo, suponiendo que toda su energía se transforma en calor y que éste actúa

solamente sobre la bala, cuya temperatura inicial era de 20°C. DATOS: Calor específico

del plomo: 0,031 cal/gºC ; Calor latente de fusión del plomo: 5,8 cal/g. Tª de fusión del

plomo: 326ºC

26.Un estudiante de 70 Kg sueña con poder subir en un ascensor de 200 Kg hasta una altura

de 15 m solamente con la energía acumulada en un mol de agua cuando ésta pasa de líquido

a 0ºC hasta vapor a 100º C a la presión de 1 atm. ¿Es termodinámicamente posible?

DATOS: Calor latente vaporización del agua: 540 cal/g Calor específico medio del agua

líquida entre 0º C º y 100º C = 1 cal/g. ºC

26.Calcula la altura desde la que es necesario dejar caer un bloque de hielo, inicialmente a

0°C, para que funda al chocar contra el suelo suponiendo que toda la energía se transforma

en calor y despreciando el rozamiento con el aire. ¿Con qué velocidad llegaría al suelo?

(Despreciar la variación de "g")

27. Una bala choca contra un obstáculo a una velocidad de 200 m/s. Si toda su energía se

transforma en calor y si éste calentara solamente a la bala, ¿Cuanto aumentaría su

temperatura?. DATOS: Calor específico de la bala: 0,1 cal/°C.g

28. Se tiene una mezcla de dos moles de hidrógeno y un mol de oxígeno a 0°C y 1 atm. Se

hace saltar una chispa eléctrica con lo que se forma agua, volviéndose después a las

condiciones iniciales de presión y temperatura. Calcular la variación de energía interna que


120

tiene lugar en el proceso. DATOS: Calor de formación del agua a esa temperatura.: ÄH = -

288,42 Kj/mol

29. Calcular la variación de energía interna que tiene lugar durante la vaporización de 1 Kg

de agua a 150°C y 1atm, suponiendo un comportamiento ideal para el vapor de

agua.DATOS: Calor latente de vaporización a esa T°: 504,6 cal/g.

30. Calcular la variación de energía interna que tiene lugar cuando calentamos 1 Kg de hielo

desde 0°C hasta 4°C a 1 atm. DATOS: Densidad del hielo a 0°C: 0,917 g/ml Calor latente

de fusión del hielo: 80 cal/g ; Densidad del agua a 4 °C: 1 g/ml.

31.. Un Kg de agua cuando se hace hervir a 100ºC y presión atmosférica, produce 1594

litros de vapor. Calcular: el trabajo exterior realizado y la variación de energía interna del

sistema. DATOS: Calor de vaporización del agua a esa temperatura = 539 cal/g

32. En cierto proceso se suministran a un sistema 50 Kcal y, simultáneamente el sistema se

expande venciendo la presión exterior, constante, de 7,2 Kg/cm2. Si la energía interna del

sistema es la misma al comienzo que al final del proceso, ¿Cuál será el incremento de

volumen del sistema?

7.9. ECUACIONES DE ESTADO

El estado de cierta masa m de sustancia queda determinado por su presión p, su

volumen V y su temperatura T, donde en general, estas cantidades no pueden variar

de manera independientemente. Hasta este momento sólo se ha considerado la

variación del volumen únicamente con la presión y con la temperatura.

En términos matemáticos existe una relación funcional entre estas cantidades, que

simbólicamente se puede representar por

)m ,T ,p(fV , (11)


121

o en función del número de moles n

)n ,T ,p(fV , (12)

Así, las ecuaciones (11) y (12) muestran que el volumen de la cantidad de sustancia

depende de p, T y m, o de p, T y n.

Generalizando, se tiene que cualquier relación de esta forma se conoce como

ecuación de estado, donde el término estado utilizado aquí implica un estado de

equilibrio, lo que significa que la temperatura y la presión tienen igual valor en todos

los puntos en el interior de un sistema dado. Por consiguiente, si se suministra calor

en algún punto de un sistema en equilibrio, hay que esperar hasta que el proceso de

transferencia de calor dentro del sistema haya producido una nueva temperatura

uniforme, para que este se encuentre de nuevo en un estado de equilibrio.

Igualmente, cuando se produce una expansión o una compresión hay una masa en

movimiento que requiere aceleración y presión no uniforme, y solo cuando se

restablece el equilibrio mecánico queda descrito el estado del sistema por una presión

fija. En general, se dice que un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico

cuando se presenta tanto equilibrio térmico como equilibrio mecánico.

7.10. GAS IDEAL

Como ejemplo de un sistema termodinámico se

considera un gas a baja presión, en cuyo caso la

ecuación de estado es bastante sencilla.

Se estudiará el comportamiento del gas por medio de

un cilindro provisto de un pistón móvil y equipado con

un manómetro y un termómetro. Se puede variar la

presión, el volumen y la temperatura, y bombear en el cilindro la masa deseada de

cualquier gas, para investigar las relaciones existentes entre p, V, T y m. A menudo

conviene medir la cantidad de gas en función del número de moles n en lugar de

hacerlo en función de la masa m. Si la masa molecular es M, la masa total m está

dada por

nMm .

A partir de la medición de p, V, T y n en diferentes gases, se llega a varias

conclusiones como se considera en lo que sigue.

Se supone que en el interior del recipiente mostrado en la figura 7.12 se tiene un gas,

al cual se le pueden variar a voluntad el número de moles, la presión, el volumen y la


122

temperatura. El número de moles varía al introducir o extraer gas por el orificio, la

presión cambia al variar la masa M, el volumen lo hace al permitir que el émbolo

ascienda o descienda y la temperatura se varía mediante el control de temperatura.

Generando cambios en estas cantidades físicas, puede ocurrir

a) Si se duplica el número de moles, manteniendo constantes la presión y la

temperatura, el volumen se duplica, es decir nV .

b) Si se aumenta la presión, manteniendo constantes el número de moles y la

temperatura, el volumen disminuye, esto es .

c) Si se aumenta la temperatura, manteniendo constante el número de moles y el

volumen, la presión aumenta, es decir Tp .

Las relaciones anteriores, se pueden resumir de forma compacta mediante la ecuación

de estado

nRTpV , (6.13)

donde la constante de proporcionalidad R tiene el mismo valor para todos los gases, a

temperaturas suficientemente altas y presiones bajas y es conocida como la constante

universal de los gases.

Así, en el sistema internacional de unidades tiene el valor 11KmolJ3148.R ,

y en el sistema gaussiano 117 Kmol ergios103148.R .

Teniendo en cuenta el equivalente mecánico del calor, en función de unidades térmicas,

la constante adquiere el valor 11Kmol cal991.R .

En química generalmente el volumen se expresa en litros (l) y la presión en atmósferas.

Con estas unidades y haciendo las respectivas conversiones, la constante universal de

los gases adquiere el valor

11Kmol l atm0820710.R .

En este punto, se define un gas ideal como aquel que verifica exactamente la ecuación

de estado dada por la ecuación (13), para todas las presiones y temperaturas.

Para un número de moles dado, en un gas ideal el producto nR es constante, es decir,

TpV / también es constante. Entonces, si los subíndices 1 y 2 designan dos estados

diferentes del mismo gas, pero con presión, volumen y temperatura diferentes, de

acuerdo con la ecuación (13), se satisface la relación:

ConstantenRT

Vp

T

Vp

2

22

1

11. (614)


123

Ahora, si adicionalmente las temperaturas 1T y 2T son iguales, entonces la ecuación

(14) se transforma en:

ConstantenRTVpVp 2211 .

El hecho que a temperatura constante el producto de la presión por el volumen de una

masa de gas sea constante, se conoce como ley de Boyle. Aunque por definición es

exactamente cierta para una gas ideal, solamente es aproximada en el caso de los gases

reales y no es una ley fundamental como las leyes de Newton o la de conservación de la

energía.

Ejemplo:

1. n moles de un gas ideal se encuentran en un estado caracterizado por una presión 1p

y un volumen 1V . Si al sistema se le triplica la presión cuando el volumen se reduce

a la mitad, determinar la relación entre las temperaturas de los dos estados.

SOLUCIÓN

Mediante la ecuación de estado de un gas ideal se encuentra que

111 TRnVp , (1)

222 TRnVp . (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene que la relación entre las temperaturas

está dada por

123

2 TT ,

lo que indica que la temperatura del sistema debe aumentar cuando el sistema pasa

de un estado a otro.

7.11. CALOR Y TRABAJO

En la sección 7.4 se vio que el calor es energía que fluye de un cuerpo a otro sin

cambio de fase, debido a que hay entre ellos una diferencia de temperatura.

Solamente cuando fluye debido a una diferencia de temperaturas, a esta energía se le

llama energía calorífica.

El trabajo igual que el calor, requiere de una transmisión de energía. En mecánica, se

considera el trabajo desarrollado cuando hay transmisiones de energía, pero donde la

temperatura no juega ningún papel. Si la energía calorífica se transmite por

diferencias de temperatura, es posible distinguir entre calor y trabajo, definiendo el


124

trabajo como energía que se transmite de un sistema a otro, de forma que no

interviene directamente una diferencia de temperatura. Esta definición está de

acuerdo con el uso que anteriormente se le ha dado a este término, es decir, en la

expresión rF dWd , la fuerza F puede provenir de fuentes eléctricas,

magnéticas, gravitacionales, etc.

Por otro lado, el calor y el trabajo no son cantidades físicas que caracterizan el estado

de equilibrio de un sistema sino, más bien que caracterizan el proceso termodinámico

en virtud del cual el sistema pasa de un estado de equilibrio a otro, al interactuar con

su medio ambiente. Por ello, sólo durante el proceso termodinámico se puede dar un

significado físico a calor y trabajo. De esta forma, se puede identificar a Q con el

calor transmitido o extraído del sistema y a W con el trabajo efectuado sobre o por el

sistema.

7.12. TRABAJO EN UN PROCESO TERMODINAMICO

En la figura 7.13 se tiene un gas en el interior

de un depósito provisto de un émbolo móvil. El

sistema es el gas, que inicialmente se

encuentra en equilibrio con su medio ambiente,

depósito de calor y émbolo, y tiene una presión

ip , un volumen iV y se supone que las

paredes del recipiente son las fronteras del

sistema. Por otro lado, puede fluir calor desde el sistema o hacia el sistema por la

base del depósito y se puede realizar trabajo sobre el sistema, comprimiendo el gas, o

el sistema puede efectuar trabajo expandiendo el gas.

Ahora se lleva a cabo un proceso en el cual el sistema interactúa con su medio

ambiente y alcanza un estado final de equilibrio caracterizado por una presión fp y

un volumen fV . Suponiendo que el depósito tiene una sección transversal A y que la

presión ejercida por el gas en la cara del pistón es )(Vpp , la fuerza ejercida por el

sistema es pA y si además el pistón se desplaza una distancia infinitesimal Sd , el

trabajo realizado por esta fuerza de presión es VpSpAW dddrF , donde

SAV dd es la variación de volumen del sistema. Por lo tanto, para una variación

finita de volumen desde iV hasta fV , el trabajo total realizado por el gas es


125

f

i

V

V

VdpW . (15)

En general, la presión del sistema puede variar durante el cambio de volumen, y la

integral sólo se puede calcular si se conoce la presión como función del volumen.

Como se ilustra en la figura 7.15, es habitual representar gráficamente la ecuación

(15) en un diagrama de presión en función del volumen, conocido como diagrama p-

V.

De este modo, se puede interpretar gráficamente la expresión para W como el área

comprendida bajo la curva limitada por iV y fV .

De acuerdo con la ecuación (15) el trabajo es positivo cuando el sistema se expande,

esto es, si el sistema se expande de i a f, el área se considera positiva ya que el

cambio de volumen es positivo ( 0dV ). Por otro lado, una compresión desde f

hasta i genera un área negativa, o sea que cuando el sistema se comprime su volumen

disminuye ( 0dV ) y este realiza un trabajo negativo sobre los alrededores.

En el caso particular que la presión permanezca constante mientras el volumen varía,

la ecuación (15) permite mostrar que el trabajo está dado por:

)( if VVpW ,

pero sólo si la presión es constante.

En el diagrama Vp de la figura 7.16 se ha representado un estado inicial 1

caracterizado por la presión 1p y el volumen 1V , y un estado final 2 caracterizado


126

por la presión 2p y el volumen 2V . Hay muchas formas de pasar del estado 1 al

estado 2, esto es, mediante diferentes procesos termodinámicos es posible llevar el

sistema de un estado a otro.

Uno de tales procesos se consigue al mantener constante la presión desde 1 hasta 3 y

después dejar constante el volumen desde 3 hasta 2, en cuyo caso el trabajo realizado

es igual al área comprendida bajo la línea 1-3. Otra posibilidad es mantener constante

el volumen desde 1 hasta 4 y luego dejar constante la presión entre 4 y 2, situación

en la cual el trabajo es igual al área comprendida bajo la línea 4-2. Otra posibilidad

es la representada por la línea que une directamente los puntos 1 y 2, pero el trabajo

realizado es diferente al de las trayectorias anteriores. Se puede concluir entonces,

que el trabajo efectuado por un sistema, o sobre el sistema, depende no solo de los

estados inicial y final sino también de los estados intermedios, es decir, de la

trayectoria seguida en el proceso. Este resultado está de acuerdo con el hecho que el

trabajo no es una cantidad física que caracteriza el estado de un sistema.

7.13. FLUJO DE CALOR EN UN PROCESO

Si el estado termodinámico 1 se caracteriza por la temperatura 1T y el estado 2 por la

temperatura 2T , el calor que fluye al sistema o desde el sistema, depende de la forma

como este se calienta o enfría. Una forma es hacer que la presión 1p permanezca

constante, hasta alcanzar la temperatura 2T , para luego cambiar la presión, a

temperatura constante, hasta llegar al valor final 2p . O bien, se puede cambiar

primero la presión a 2p , con 1T constante, y posteriormente variar la temperatura

hasta 2T , con 2p constante. O se pueden seguir otros recorridos, pero cada recorrido

da un resultado diferente para el valor del calor que fluye en el proceso. Lo anterior

significa que el calor absorbido o emitido por el sistema, igual que el trabajo, no

depende solamente de los estados inicial y final sino también de la trayectoria

seguida en el proceso.

Se ha encontrado entonces que tanto el calor como el trabajo dependen del recorrido

que se siga en el proceso termodinámico y ninguno de los dos es independiente de la

trayectoria, esto es, ninguno de ellos se conserva por sí solo.

7.14. ENERGIA INTERNA Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Como se encontró en la sección 7.11, la transferencia de calor y la realización de

trabajo constituyen dos formas diferentes de suministrar o extraer energía a un


127

sistema. Una vez que ha tenido lugar la transferencia de energía, se dice que el

sistema, en general, ha experimentado una variación de energía interna. Así que un

proceso termodinámico generalmente genera un cambio en la energía interna del

sistema.

Se supone que un sistema pasa del estado 1 al estado 2 siguiendo una trayectoria

definida, y que se mide el calor absorbido por el sistema y el trabajo realizado por el

sistema. Expresando Q y W en las mismas unidades, térmicas o mecánicas, entonces

se puede calcular la diferencia WQ . Si ahora se hace lo mismo entre los estados 1

y 2, pero siguiendo trayectorias diferentes, experimentalmente se encuentra que la

diferencia WQ es idéntica a la obtenida en el caso anterior.

Como Q es la energía suministrada al sistema por transferencia de calor y W la

energía generada por el sistema al efectuar trabajo, la diferencia WQ representa la

variación de energía interna del sistema, esto es, por definición es el cambio de

energía interna del sistema. De ello se deduce que la variación de energía interna de

un sistema es independiente de la trayectoria, y es igual a la energía interna del

sistema en el estado 2 menos la energía interna del sistema en el estado 1. La energía

interna se designa generalmente con la letra U, o sea que si 1U es la energía interna

en el estado 1 y 2U en el estado 2, entonces

WQUUU 12 , (16)

expresión conocida como la primera ley de la termodinámica.

Si a cierto estado normal de referencia se le asigna un valor arbitrario a la energía

interna, su valor en cualquier otro estado queda bien determinado, porque WQ es

igual para cualquier proceso que lleve el sistema de un estado a otro.

Al aplicar la primera ley de la termodinámica se debe tener presente que

1. Todas las magnitudes se deben expresar en las mismas unidades, térmicas ó

mecánicas.

2. Q es positivo cuando se transfiere calor de los alrededores al sistema (gana energía

térmica) y negativo cuando el sistema emite calor hacia los alrededores (pierde

energía térmica).

3. W es positivo cuando el sistema se expande y realiza

trabajo sobre el medio ambiente, es decir, cuando pierde


128

energía por trabajo realizado, y es negativo cuando el sistema se comprime ya que el

sistema gana energía.

Escribiendo la ecuación (16) en la forma

WUQ , de acuerdo con la figura, se puede decir que cuando un sistema recibe

una cantidad de calor Q durante un proceso, parte de esta energía permanece en el

sistema como incremento de la energía interna UΔ , mientras que el resto abandona

de nuevo el sistema en forma de trabajo W.

La energía interna así definida, se puede interpretar en función de energía mecánica

microscópica, es decir, de energía cinética y potencial de cada una de las moléculas

de la sustancia. Sin embargo, desde el punto de vista macroscópico o de la

termodinámica, esto no es necesario. La expresión de la primera ley es la definición

de energía interna de un sistema o de forma más precisa, de la variación de su

energía interna en cualquier proceso. Como sucede con otras formas de energía, sólo

se definen diferencias de energía interna, pero no valores absolutos, ya que la energía

interna es una cantidad física que define el estado de un sistema.

Por otro lado, en el caso particular de un gas ideal monoatómico, es posible

demostrar que la energía interna o energía cinética media de las moléculas, está dada

por

nRTU23 .

O sea que si la temperatura de un gas ideal cambia en T , su energía interna cambia

en U .

Si el proceso realizado en el sistema, es tal que eventualmente regresa a su estado

inicial, se dice que el proceso es cíclico y por la ecuación (16) se tiene que

0UóWQyUU 21 .

En este caso particular, aunque durante el proceso se haya realizado un trabajo neto

W, no se ha variado la energía interna ya que el sistema ha recibido una cantidad

igual de energía en forma de calor Q.

Como en un sistema aislado no se realiza trabajo, paredes rígidas, ni se transfiere

calor, paredes adiabáticas, en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema de este

tipo, la ecuación (6.16) adquiere la forma

0UóUUy0WQ 21 .

Es decir, la energía interna en un sistema aislado permanece constante, enunciado

correspondiente al resultado más general del principio de conservación de la


129

energía. La energía interna de un sistema aislado no cambia mediante ningún

proceso, mecánico, eléctrico, químico, nuclear o biológico, que tenga lugar dentro

del sistema. La energía de un sistema sólo puede variar por un flujo calorífico a

través de la superficie que lo limita o por la realización de trabajo. Si tiene lugar

cualquiera de estos procesos, el sistema ya no es aislado y el incremento de energía

interna del sistema es igual a la energía que recibe en forma de calor, menos la

energía que sale del sistema en forma de trabajo.

Hasta ahora se ha utilizado la primera ley de la termodinámica sólo en la forma finita

dada por la ecuación (16), que se refiere a un proceso en el que los estados 1 y 2

difieren en presión, volumen y temperatura en una cantidad finita. Suponiendo ahora

que los estados 1 y 2 difieren infinitesimalmente, entonces al transferir una pequeña

cantidad de calor Q , se realiza una pequeña cantidad de trabajo W y la pequeña

variación de energía interna es Ud . En estas condiciones, la primera ley de la

termodinámica se convierte en

WQUd .

En sistemas como el considerado antes, depósito de gas, el trabajo está dado por

VdpW y la primera ley en forma diferencial es

VdpQUd .

7.15. APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

7.15.1. PROCESO ADIABATICO

Este es un proceso en el cual el sistema no gana ni pierde energía en forma de

calor, es decir, 0Q . Este impedimento de flujo de calor se puede lograr

rodeando el sistema de una capa gruesa de material aislante (corcho, asbesto) o

realizando rápidamente el proceso, ya que como el flujo de calor es lento, un

proceso cualquiera se puede hacer prácticamente adiabático si se efectúa con

suficiente rapidez. Aplicando la primera ley a un proceso adiabático, se tiene:

WUUU 12 .


130

Así, la variación de energía interna en un proceso adiabático, es igual en

magnitud al trabajo realizado por o sobre el sistema, donde si 0W , como

sucede cuando hay una compresión, entonces 0W y 12 UU , esto es, la

energía interna del sistema aumenta, y en caso contrario si 0W , como ocurre

en una expansión, la energía interna del sistema disminuye. Aunque no siempre,

en el caso particular de un gas, un aumento en la energía interna va acompañado

normalmente de una elevación de temperatura, y una disminución de energía

interna por un descenso de temperatura. Si en la figura se varía la masa m, el gas

se puede expandir o comprimir adiabáticamente, solo si las paredes son aislantes

del calor y el émbolo tiene contacto sin fricción y es hermético. O sea que es

posible realizar trabajo y así la energía interna puede aumentar o disminuir, lo

cual permite que en algunos casos se puedan obtener altas o bajas temperaturas

mediante procesos de este tipo y sin transferencia de calor.

7.15.2. PROCESO ISOCORO

Es un proceso que ocurre a volumen constante ( 0V ), como se muestra en la

figura. El aumento de presión y temperatura que provoca un flujo de calor hacia

el interior de una sustancia contenida en un recipiente rígido o de volumen

constante, es un ejemplo de proceso isocoro. Como no varía el volumen, en este

caso no se realiza trabajo y la primera ley de la termodinámica indica que

QUUU 12 ,

es decir, el calor añadido al sistema se ha utilizado en aumentar su energía

interna. En caso contrario, si el sistema emite energía en forma de calor, la

presión y la temperatura disminuyen, generando una disminución en la energía

interna.

7.15.3. PROCESO ISOTERMICO

Es un proceso realizado a temperatura constante, y para que esta no cambie, las

variaciones de presión y volumen se deben llevar a cabo muy lentamente a fin de que

el estado del sistema se aproxime al equilibrio térmico durante todo el proceso.


131

Generalmente ninguna de las magnitudes Q, W o U es nula en este tipo de

procesos.

En algunos casos la energía interna del sistema sólo depende de la temperatura y no

de la presión o el volumen, como ocurre en un gas ideal. Cuando un sistema como

este pasa por un proceso isotérmico, su energía interna no varía ( 0U ) y por lo

tanto la primera ley de la termodinámica tiene la forma WQ , que es de validez

únicamente para el sistema mencionado. En la figura, se muestra el diagrama Vp

en un proceso isotérmico.

6.15.4. PROCESO ISOBARICO

Ocurre cuando un proceso tiene lugar a presión

constante, esto es, cuando el trabajo realizado por

un sistema es dado por

)VV(pW 12 .

En este proceso ninguna de las cantidades físicas

que intervienen en la primera ley de la termodinámica es nula.

En la figura, se muestra el diagrama Vp de un proceso isobárico.

Un ejemplo sencillo de un proceso isobárico, es la evaporación de una masa m de

líquido a presión y temperatura constantes. Si LV es el volumen de líquido y VV el

volumen del vapor, el trabajo realizado por el sistema al aumentar el volumen de LV

a VV , a la presión constante p, es

)VV(pW LV .

Ahora, el calor absorbido por unidad de masa es el calor de vaporización VL , y el

calor neto está dado por VmLQ , donde en virtud de la primera ley de la

termodinámica se tiene

)VV(pmLU LVV .

Ejemplo:


132

1. El estado inicial de dos moles de nitrógeno ( 2N ), considerado como un gas ideal, es

tal que la presión es op y el volumen oV . El sistema se somete a un ciclo reversible

constituido por los procesos: Proceso AB, isotérmico y mediante el cual se duplica el

volumen del sistema. Proceso BC, isocoro el cual permite reducir la temperatura a la

mitad de la inicial. Proceso CD, isobárico que lleva el sistema al volumen inicial.

Proceso DA, isocoro que regresa el sistema al estado inicial.

a) Encontrar, en función de op y oV , la temperatura del sistema al final de cada

proceso.

b) Hacer el diagrama Vp del ciclo.

c) Determinar, en función de op y oV , el trabajo neto realizado en el ciclo.

Solución

a) De acuerdo con el enunciado, el nitrógeno se considera como un gas ideal y por

ello mediante la ecuación de estado y la información dada, se encuentra que la

temperatura al final de cada proceso está dada por

R2

VpTT oo

BA , R4

VpTT oo

A21

C , R8

VpT oo

D .

b) En el siguiente diagrama se muestran los cuatro procesos que conforman el ciclo

reversible descrito en el enunciado.

c) Para determinar el trabajo neto realizado en el ciclo, primero se obtiene el trabajo

efectuado en cada uno de los diferentes procesos partiendo de la ecuación (6-15).

De este modo, el trabajo neto realizado se obtiene mediante la expresión

DAABneto WWWWW CDBC . (1)

Como el proceso AB es isotérmico, mediante las ecuaciones (6-13) y (6-15) es

posible llegar a


133

2lnVpW ooAB . (2)

La ecuación (2) indica que el trabajo realizado en este proceso es positivo por

tratarse de una expansión, lo que significa que el sistema pierde energía por

trabajo realizado sobre los alrededores.

En el proceso BC no cambia el volumen del sistema por tratarse de un proceso

isocoro. Por ello, y de acuerdo con la ecuación (6-15), no se realiza trabajo en el

proceso, esto es

0WBC , (3)

Lo cual muestra que en este proceso el sistema no gana ni pierde energía por

trabajo realizado.

A diferencia de los casos anteriores, como el proceso CD es isobárico, el trabajo

realizado corresponde al área bajo la recta CD en el diagrama Vp del ciclo, es

decir,

ooCD Vp25.0W . (4)

Como el trabajo es negativo por tratarse de una compresión, el sistema gana

energía en el proceso CD ya que los alrededores realizan trabajo sobre el sistema.

En el último proceso del ciclo, igual que en el proceso BC, el trabajo realizado es

nulo ya que el volumen no cambia por tratarse de un proceso isocoro, así

0WDA , (5)

donde por ser nulo el trabajo realizado, el sistema no gana ni pierde energía en el

proceso DA.

Finalmente, reemplazando las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), se

encuentra que el trabajo neto realizado en el ciclo completo está dado por

)25.02(lnVpW ooneto .

Este resultado indica que en el ciclo completo el sistema gana energía por trabajo

realizado, ya que este es positivo. Esto también se puede ver en el diagrama

Vp , donde el área positiva en la expansión AB es mayor que el área negativa

en la compresión CD.

2. Resolver el ejemplo 6.7 para atm2po y lt8Vo . Dar las respuestas en el sistema

de unidades SI.

7.15.4. EXPANSION LIBRE


134

Este es un proceso adiabático en el cual no se efectúa trabajo sobre el sistema, ni este

hace trabajo sobre los alrededores. Un fenómeno de este tipo se puede lograr

conectando un depósito que contiene gas con otro en el cual se ha hecho el vacío,

estando todo el sistema encerrado y aislado térmicamente, es decir, las paredes son

rígidas y adiabáticas, como se indica en la figura.

Si la llave se abre repentinamente, el gas se precipita o difunde en el vacío y se

expande libremente. Debido al aislamiento de calor, este proceso es adiabático, y

como las paredes de los depósitos son rígidas, no se realiza trabajo externo sobre el

sistema. Por consiguiente, en la primera ley de la termodinámica se tiene 0Q y

0W , de manera que 21 UU , para este proceso, esto es, la energía interna inicial

y final es la misma en la expansión libre.

La expansión libre difiere de los procesos que se han analizado hasta ahora, en que

no hay forma de llevarla a cabo lentamente, esto es, casi estáticamente, ya que una

vez abierta la llave no se tiene ningún dominio sobre el proceso. Mientras ocurre el

proceso, la presión, el volumen y la temperatura carecen de valores únicos

característicos del sistema en conjunto, es decir, el sistema pasa por estados de no

equilibrio, de manera que no se puede trazar la trayectoria seguida en el proceso,

mediante una curva en el diagrama Vp . En síntesis, únicamente es posible

representar los estados inicial y final como puntos en esa gráfica, ya que son estados

bien definidos como se ilustra en la figura. La expansión libre es un buen ejemplo de

un proceso irreversible, como se verá en la sección 6.18.

7.16. CAPACIDAD CALORIFICA MOLAR DE UN GAS IDEAL

La temperatura de una sustancia se puede variar bajo condiciones diversas, pues se

puede mantener la presión o el volumen constante, o permitir que ambas cantidades


135

físicas varíen de alguna manera definida. La cantidad de calor por mol, necesaria

para elevar la temperatura en una unidad, es diferente en cada caso, es decir, una

sustancia tiene muchas capacidades caloríficas molares diferentes. Sin embargo, las

correspondientes a volumen constante y presión constante son especialmente útiles, y

se designan, respectivamente, por VC y pC . En lo que sigue, la sustancia

correspondiente es un gas ideal.

Cuando en un gas ideal se varía la temperatura a volumen constante, no se realiza

trabajo, 0W , y la variación de energía interna es igual al calor suministrado,

esto es VQUd . Por el contrario, si se varía la temperatura a presión constante, el

volumen debe cambiar ya que de otra forma la presión no permanecerá constante, y

así el gas realiza trabajo, o sea que se cumple la expresión WUQ p d .

Por ello, para una variación dada de la temperatura, el suministro de calor en un

proceso a presión constante debe ser mayor, que en un proceso a volumen constante,

pues en el primer caso se debe suministrar una energía adicional que de cuenta del

trabajo W realizado en la expansión, en otras palabras, la capacidad calorífica

molar a presión constante es mayor que la capacidad calorífica a volumen constante.

De hecho, como se deducirá a continuación, para un gas ideal existe una relación

sencilla entre las dos capacidades caloríficas molares a volumen constante y presión

constante, que permite llegar a la misma conclusión.

Se encierra cierto número de moles de un gas ideal en un depósito provisto de un

émbolo y un control de temperatura, como se muestra en la figura anterior.

El depósito descansa sobre el control de temperatura, que permite variar la

temperatura del gas a voluntad, esto es, se puede elevar o reducir a voluntad, de

manera que es posible agregar o extraer calor del sistema. El gas tiene una presión p

tal que la fuerza hacia arriba


136

sobre el é mbolo sin rozamiento, es exactamente la que puede equilibrar el peso del

émbolo y su carga m. El estado inicial del sistema se representa por el punto a en el

diagrama Vp de la segunda figura. En este diagrama se muestran dos isotermas,

correspondiendo todos los puntos de una de ellas a la temperatura T y todos los

puntos de la otra a la temperatura superior TT d .

Ahora se eleva la temperatura del sistema en una cantidad Td , aumentando

lentamente la temperatura con ayuda del control. A medida que se hace esto, se

aumenta la masa m de manera que no cambie el volumen V, y este proceso a

volumen constante lleva el sistema del estado inicial al estado final, que en la figura

equivale a llevar el sistema del estado a al estado c en el diagrama Vp .

Cabe recordar, que en forma diferencial, la primera ley de la termodinámica para un

proceso tiene la forma

WUQ d . (17)

Con TnCQ VV d y 0dVpW , la ecuación (6.17) se convierte en

TnCU V dd . (18)

Ahora se regresa el sistema a su estado inicial y nuevamente se eleva la temperatura

en una cantidad Td , pero dejando esta vez la masa sobre el émbolo sin alterar, de

manera que la presión p no varíe. En esta forma el proceso va del punto a al punto b

en el diagrama Vp de la segunda figura.

Aplicando la ecuación (6.17) a este proceso, donde TnCQ pp d y VpW d ,

se tiene

VpTnCU p ddd . (19)

Como los procesos de a a b y de a a c representados en la figura, se refieren al

mismo cambio de temperatura Td , también se deben referir al mismo cambio de

energía interna Ud , ya que en un gas ideal la energía interna depende solamente de


137

la temperatura, pues esta es totalmente cinética. Así, igualando las ecuaciones (18) y

(19) se obtiene

VpTnCTnC pV ddd . (20)

Además, mediante la ecuación de estado para un gas ideal, es posible transformar la

ecuación (6.20) en la forma

TnRTnCTnC Vp ddd ,

donde al simplificar, se llega finalmente a la relación

RCC Vp . (21)

Como se predijo inicialmente, la capacidad calorífica molar de un gas ideal a presión

constante es mayor que a volumen constante ( Vp CC ) y la diferencia entre ellas es

la constante universal de los gases. Aunque la ecuación (21) se ha deducido para un

gas ideal, es válida con bastante aproximación para muchos gases reales a presiones

moderadas (baja presión).

Con el fin de comparar los resultados de este modelo teórico, con los resultados

experimentales, se acostumbra definir la cantidad por medio de la relación

1V

p

C

C,

la cual permite conocer el valor teórico para diferentes gases reales, así

- Para gases monoatómicos donde RCV 23 , 671

35 . .

- Para gases diatómicos con RCV 25 , 41

57 . .

Tabla Nº 05. Capacidades caloríficas de algunos gases y los correspondientes valores

de .

TIPO GAS PC

(cal/mol K)

VC

(cal/mol K)

Vp CC VP CC /

Monoatómico He 4.97 2.98 1.99 1.67

Monoatómico Ar 4.97 2.98 1.99 1.67

Diatómico H2 6.87 4.88 1.99 1.41

Diatómico O2 7.03 5.03 2.00 1.40

Diatómico N2 6.95 4.96 1.99 1.40


138

Diatómico Cl2 8.29 6.15 2.14 1.35

Poliatómico CO2 8.83 6.80 2.03 1.30

Poliatómico SO2 9.65 7.50 2.15 1.29

En el caso de gases poliatómicos, esta cantidad no presenta regularidad en el valor

teórico ni experimental, como se muestra en la tabla 05, donde adicionalmente se tienen

los valores experimentales para gases monoatómicos y diatómicos, medidos a

temperatura ambiente.

Ejemplo :

1. Encontrar, en función de op y oV , el calor neto transferido para el ciclo descrito en

el ejemplo 6.7.

Solución

El calor neto transferido corresponde a la suma de los calores transferidos en cada

uno de los procesos del ciclo, o sea

DACDBCABneto QQQQQ . (1)

Como en el proceso AB la temperatura permanece constante por ser un proceso

isotérmico, se tiene que la energía interna del sistema no cambia durante el proceso

ya que se trata de un gas ideal y en este caso la energía interna del sistema es

directamente proporcional a la temperatura. Así, la primera ley de la termodinámica

adquiere la forma

2lnooABAB VpWQ . (2)

Debido a que el calor transferido en este proceso es positivo, el sistema gana energía

absorbiéndola desde los alrededores.

En el proceso BC que es isocoro, y teniendo en cuenta que para un gas ideal

diatómico la capacidad calorífica molar a volumen constante es RC25

V , se

encuentra que el calor transferido está dado por

oo45

BC VpQ . (3)

Debido a que el calor es negativo, en este proceso el sistema pierde energía

emitiéndola hacia los alrededores.


139

Como para un gas ideal diatómico la capacidad calorífica molar a presión constante

está dada por RC p 27 , el calor transferido en el proceso a presión constante CD, es

oo87

CD VpQ . (4)

Idéntico al caso anterior, el sistema emite energía hacia los alrededores ya que el

calor transferido es negativo.

Igual que en el proceso BC, en el proceso DA se satisface la relación RC25

V , por

lo que el calor transferido en este caso está dado por

oo815

DA VpQ , (5)

El cual es transferido desde los alrededores hacia el sistema ya que este es positivo.

Finalmente, mediante las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se encuentra que el calor

neto transferido en el ciclo es

)2502(lnooneto .VpQ . (6)

El resultado dado por la ecuación (6), al ser comparado con el obtenido en el ejemplo

6.7, indica que el calor neto transferido en el ciclo es igual al trabajo neto realizado

en él. Físicamente significa que el calor neto absorbido por la máquina térmica en el

ciclo, es empleado para realizar trabajo, es decir, se presenta una transformación de

energía térmica a energía mecánica.

Ejercicio 6.9.

Resolver el ejemplo 6.8 para atm2op y lt8oV . Dar las respuestas en el sistema

de unidades SI.

7.17. PROCESO ADIABATICO EN UN GAS IDEAL

Como el nombre lo indica, es un proceso en el que no fluye calor desde o hacia el

sistema, constituido en este caso por un gas ideal. Para que el proceso tenga lugar, el

sistema se debe rodear con una pared adiabática, o el medio externo se debe

mantener a la misma temperatura que el sistema. Sin embargo, se sabe que cuando

un proceso como la compresión o expansión de un gas se realiza muy rápidamente,

este es prácticamente adiabático, ya que el flujo de calor que entra o sale del sistema

requiere un tiempo finito para poderse propagar.

En un proceso adiabático se satisface la condición matemática 0Q y la primera

ley de la termodinámica, ecuación (16), se transforma en


140

WUd . (22)

Por consiguiente, cuando un gas ideal se expande adiabáticamente, el trabajo es

positivo y disminuye tanto su energía interna como la temperatura, ya que la energía

interna de este sistema únicamente depende de la temperatura. En caso contrario, la

compresión adiabática de un gas ideal aumenta la energía interna y también la

temperatura.

Para el análisis de procesos adiabáticos, es útil establecer relaciones matemáticas

entre el volumen y la temperatura, o el volumen y la presión. Con este fin, en primer

lugar se considera una pequeña variación en el estado del gas ideal variando la

temperatura en una cantidad infinitesimal Td y el volumen en Vd . Es posible

demostrar que la expresión

TnCU V dd , (23)

da la variación en la energía interna del gas ideal en cualquier proceso, sea adiabático

o no, teniendo como única excepción los procesos isotérmicos. Igualmente, el trabajo

realizado por el gas durante el proceso viene dado por

VpW d . (24)

Entonces, para el proceso adiabático, al reemplazar las ecuaciones (23) y (24) en la

ecuación (22), se encuentra que

VpTnCV dd . (25)

Para obtener una relación que contenga solamente las variaciones de temperatura y

volumen, se elimina la presión en la ecuación (25), utilizando la ecuación de estado

del gas ideal, lo que permite llegar a

.V

V

C

R

T

T

V

0dd

(6.26)

Como

1V

Vp

V C

CC

C

R,

es posible escribir la ecuación (26) en la forma

.V

V

T

T0

d)1(

d (27)

La ecuación (27) proporciona la relación entre dT y dV en un proceso infinitesimal.

Ahora, para una variación finita, se integran de manera indefinida los dos términos

de la ecuación (27), lo que permite obtener


141

Constanteln)1(ln VT . (28)

Luego de aplicar propiedades de los logaritmos en la ecuación (28), se llega a la

primera relación buscada que tiene la forma

Constante1VT . (29)

Entonces, cuando en un proceso adiabático el gas ideal pasa del estado inicial

caracterizado por las variables termodinámicas ( 11 ,TV ) al estado final caracterizado

por las variables termodinámicas ( 22 , TV ), la ecuación (6.29), exige que

1

22

1

11 VTVT ,

donde las temperaturas están dadas en la escala absoluta, o lo que es igual, en la

escala Kelvin.

La ecuación (29) se puede transformar en una relación entre la presión y el volumen,

eliminando T, mediante la ecuación de estado del gas ideal. Como R y n son

constantes, es posible obtener

ConstanteVp . (30)

Así, entre un estado inicial caracterizado por las variables termodinámicas ( 11 ,Vp ) y

un estado final caracterizado por( 22 ,Vp ), la ecuación (30) indica que se cumple la

condición

2211 VpVp .

Como en un proceso adiabático y finito UW , es fácil calcular el trabajo

realizado por un gas ideal, cuando la temperatura cambia de 1T a 2T , empleado la

igualdad TCnU V . Cuando se lleva a cabo el procedimiento se obtiene la

expresión

)( 21 TTCnW V , (31)

donde 1T y 2T son, respectivamente, las temperaturas inicial y final.

Adicionalmente, si se conocen la presión o el volumen, se utiliza la ecuación de

estado de los gases ideales, para obtener

)(1

12211 VpVpW . (32)


142

Se observa que si el proceso es una expansión, donde la temperatura desciende,

entonces 21 TT y 2211 VpVp por lo que el trabajo es positivo, como era de

esperarse. En caso contrario, si se trata de una compresión el trabajo será negativo.

Ejemplo.

Obtener, para un gas ideal, el valor de la capacidad calorífica molar a volumen

constante.

SOLUCIÓN

Como se sabe, la energía interna de un gas ideal depende de la temperatura en la

forma

nRTU23 .

Diferenciando esta expresión y comparando con la ecuación (23), se encuentra que la

capacidad calorífica molar de un gas ideal, a volumen constante, está dada por

RCV 23 ,

donde al reemplazar 11KmolJ3148.R , se obtiene el valor

11KmolJ47112.CV .

7.18. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES

Se considera un sistema constituido por una masa m de un gas real, en el interior de

un recipiente provisto de un émbolo y en un estado caracterizado por un volumen V,

una presión p y una temperatura T. En este estado de equilibrio las variables

termodinámicas permanecen constantes con el tiempo. Igualmente se supone que las

paredes son adiabáticas, a excepción de la base que es diatérmica. Ahora se coloca en

un gran depósito de ca

lor que se mantiene a la misma temperatura T, como se observa en la primera figura.

A continuación se pasa el sistema a otro estado de equilibrio, mediante un proceso


143

isotérmico, y de tal manera que el volumen se reduzca a la mitad. De las muchas

formas como puede llevar a cabo este proceso, a continuación se discuten dos casos.

Se introduce el émbolo con gran rapidez y se espera a que el equilibrio se restablezca

en el depósito. Mientras ocurre el proceso, el gas presenta turbulencia y tanto la

presión como la temperatura no están bien definidas.

Esto es, no se puede hacer una gráfica del proceso mediante una línea continua en el

diagrama Vp de la segunda figura. (a), ya que no es posible saber el valor de la

presión ni de la temperatura para un volumen determinado. El sistema pasa entonces

de un estado de equilibrio i a otro estado f, por una serie de estados de no equilibrio.

Un proceso de este tipo se llama irreversible, pues no es posible que en el proceso

inverso se siga una trayectoria que regrese el sistema a la situación inicial.

1. Partiendo del estado inicial i se introduce el émbolo lentamente, que se supone

carece de rozamiento. Esto se puede lograr agregando granos de arena en la parte

superior del émbolo, de manera que la presión, el volumen y la temperatura del

gas, sean en todo momento cantidades bien definidas. Al depositar primero unos

cuantos granos de arena en el recipiente que se encuentra sobre el émbolo, se

reducirá el volumen del sistema un poco y la temperatura tenderá a elevarse,

permitiendo con esto que el sistema se aleje del equilibrio sólo ligeramente. En

este proceso, se comunicará una pequeña cantidad de calor al gas y en un tiempo

corto el sistema alcanzará un nuevo estado de equilibrio, quedando la

temperatura nuevamente igual a la del depósito. Después de depositan otros

cuantos granos de arena sobre el émbolo, reduciendo algo más el volumen y

nuevamente se espera a que se restablezca el nuevo estado de equilibrio y así

sucesivamente. Mediante muchas repeticiones de este procedimiento, se reduce

finalmente el volumen a la mitad, de tal modo que en todo el proceso el sistema

nunca se encontrará en un estado que difiera notablemente de un estado de

equilibrio. Si se imagina que el proceso se efectúa mediante aumentos

consecutivos de presión todavía más pequeños, los estados intermedios se


144

alejarán aún menos del equilibrio. Aumentando indefinidamente el número de

cambios y disminuyendo correspondientemente la magnitud de cada cambio, se

llega a un proceso ideal en el cual el sistema pasará por una sucesión continua de

estados de equilibrio que es posible representar como una línea continua en un

diagrama p-V, como la mostrada en la segunda figura. (b). Necesariamente,

durante este proceso se ha transferido cierta cantidad de calor del sistema al

depósito. Procesos de este tipo reciben el nombre de reversibles, ya que mediante

un cambio diferencial del medio ambiente, se puede hacer que el sistema recorra

la trayectoria en sentido inverso. Así, en el proceso reversible, el émbolo se

mueve lentamente hacia abajo y la presión externa del mismo excede a la presión

que produce el gas sobre él sólo en una cantidad diferencial dp. Si en un instante

cualquiera se reduce la presión exterior en un valor también muy pequeño,

quitando unos cuantos granos de arena, de manera que la presión interna del gas

sea menor en un valor dp, el gas se expande en lugar de contraerse y el sistema

volverá a pasar por los estados equilibrio a través de los cuales acababa de pasar.

Aunque en la práctica todos los procesos termodinámicos son irreversibles, se

puede lograr la reversibilidad hasta el grado que se desee, mediante refinamientos

experimentales adecuados. El proceso estrictamente reversible es una abstracción

útil, que guarda con los procesos reales, una relación semejante a la que existe

con procesos en un gas ideal comparados con de los un gas real.

7.19. CICLO DE CARNOT

Asumiendo que se tiene como sistema el gas

real de la figura, se emplea la posibilidad de

efectuar cambios pequeños en el medio

ambiente del sistema, para llevar a cabo una

gran variedad de procesos. Se puede dejar que

el gas se expanda o se comprima, se le puede agregar o quitar energía al sistema en

forma de calor, es decir, se pueden hacer estas cosas y otras más de forma reversible

o irreversible. Igualmente, se pueden llevar a cabo una serie de procesos

consecutivos de tal forma que el sistema regrese a su estado inicial de equilibrio, esto

es, la trayectoria es cerrada y se conoce como un ciclo.


145

Por otro lado, si todos los procesos que intervienen son reversibles, en este caso se

habla de un ciclo reversible.

La figura siguiente muestra un ciclo reversible en el diagrama p-V, ya que mediante

la curva abc se permite que el gas se expanda y el área bajo esta curva representa el

trabajo efectuado por el sistema durante tal expansión. Siguiendo la curva cda que

regresa el sistema a su estado inicial, se comprime el gas y el área bajo esta curva

representa el trabajo que se debe hacer sobre el sistema durante la compresión. Por

consiguiente, el trabajo neto efectuado por el sistema queda representado por el área

encerrada dentro de la curva y en este caso es positivo. Si se decide recorrer el ciclo

en sentido opuesto, es decir, expandiendo el gas según adc y comprimiéndolo según

cba, el trabajo neto efectuado sobre el sistema sería igual al del caso anterior pero

negativo.

Un ciclo reversible muy importante es el ciclo de Carnot, que determina el límite de

la capacidad para convertir calor en trabajo. El sistema consiste en una sustancia que

trabaja, tal como un gas, y el ciclo lo constituyen dos procesos isotérmicos

reversibles y dos procesos adiabáticos reversibles. La sustancia que trabaja, que para

concretar corresponde a un gas ideal, está en el interior de un recipiente que tiene una

base diatérmica y sus paredes y émbolo adiabáticos. También se proporciona, como

parte del medio ambiente, un receptáculo de calor en forma de un cuerpo de gran

capacidad calorífica a una temperatura T, Otro receptáculo de gran capacidad

calorífica a una temperatura 2T , y dos bases adiabáticas. Como se ilustra en lo que

sigue, se lleva a cabo el ciclo de Carnot mediante las cuatro etapas mostradas en la

figura.

Etapa I: El gas se encuentra en un estado de equilibrio inicial caracterizado por las

variables termodinámicas 1p , 1V , 1T . Cuando se coloca el recipiente en el depósito

de calor a la temperatura 1T el gas se expande lentamente hasta alcanzar los valores


146

2p , 2V , 1T , como se ilustra en la figura. Durante este proceso, el gas absorbe una

cantidad de calor 1Q a través de la base, mediante una expansión isotérmica, la cual

permite que el gas realice trabajo al levantar el émbolo y su carga.

De acuerdo con el diagrama p-V de la figura, este proceso isotérmico lleva el sistema

del punto a al punto b donde ba UU , ya que 1T es constante, o sea que 0U y

por la primera ley de la termodinámica WQ1 . Como 0W por tratarse de una

expansión, entonces 01Q y desde el depósito de calor entra la energía térmica 1Q

al sistema.

Etapa II: Se pone el recipiente en una base adiabática y se deja que el gas se

expanda lentamente hasta que las variables termodinámicas alcancen los valores 3p ,

3V , 2T . La expansión es adiabática ya que no entra ni sale calor del sistema, el gas

hace trabajo levantando el émbolo y la temperatura desciende a 2T , como se muestra

en la figura.

El proceso ocurre entre los puntos b y c del diagrama p-V de la figura, en el cual con

0Q , la primera ley de la termodinámica adquiere la forma WU . Como

0W entonces 0U y 0T , por lo que la temperatura disminuye a 2T .

Etapa III: Se coloca el recipiente en el depósito de calor a temperatura 2T ( 12 TT )

y se comprime el gas lentamente hasta alcanzar los valores 4p , 4V , 2T , figura.

Durante este proceso se transfiere al depósito de calor una cantidad de calor 2Q , a

través de la base. La compresión es isotérmica a la temperatura 2T , y el émbolo y su

carga hacen trabajo sobre el gas.


147

En el diagrama p-V de la figura, el proceso permite que el sistema pase del punto c al

punto d, y como en este caso 0U , la primera ley de la termodinámica se

convierte en WQ2 . Como 0W , entonces 02Q y se presenta una

transferencia de energía térmica desde el sistema hacia los alrededores.

Etapa IV: Finalmente, se pone el cilindro en la base adiabática y se comprime el gas

lentamente hasta las condiciones iniciales 1p , 1V , 1T . Como la compresión es

adiabática no puede entrar ni salir calor del sistema, por lo que se debe hacer trabajo

sobre el gas, lo cual lleva a un incremento en la temperatura hasta 1T , como se

muestra en la figura.

Este proceso lleva el sistema desde el punto d hasta el punto a del diagrama p-V de la

figura. Como 0Q , la primera ley de la termodinámica se expresa en la forma

WU , donde 0W , es decir, 0U , y por consiguiente 0T , así que la

tem

peratura aumenta hasta el valor inicial 1T .

De este modo, el trabajo neto W realizado por el sistema durante el ciclo completo,

está representado por el área encerrada dentro de la curva abcda del diagrama p-V

de la figura. Por otro lado, la cantidad neta de calor Q, transferida al sistema durante

el ciclo, es 21 QQ , donde 1Q es la cantidad de calor absorbida en la etapa I y 2Q la

cantidad de calor emitida en la etapa III. Igualmente, como los estados inicial y final

son los mismos, en el ciclo completo no hay un cambio neto en la energía interna del

sistema, y de acuerdo con la primera ley de termodinámica, con 0U , se tiene

que WQ , es decir

21 QQW , (33)


148

para el ciclo completo, donde 1Q y 2Q se toman como cantidades positivas. La

ecuación (6.33) muestra como resultado del ciclo, que el sistema ha convertido en

trabajo parte del calor absorbido en la etapa I, y se puede obtener una cantidad

cualquiera de trabajo, la que se requiera, simplemente repitiendo el ciclo. Por

consiguiente, el ciclo de Carnot funciona como una máquina térmica.

Aunque se ha utilizado un gas ideal como la sustancia que trabaja, en general, la

sustancia puede ser cualquiera, si bien los diagramas p-V para otras sustancias serían

diferentes. Las máquinas térmicas comunes emplean vapor de agua o una mezcla de

combustible y aire o combustible y oxígeno, como sustancia de trabajo. Se puede

obtener calor mediante la combustión de un combustible, tal como gasolina o carbón,

o mediante el aniquilamiento de masa en el proceso de fisión nuclear, en los

reactores nucleares. Aun cuando las máquinas térmicas reales no funcionan con un

ciclo reversible, el ciclo de Carnot, que es reversible, da información útil respecto al

funcionamiento de una máquina térmica.

La eficiencia e de una máquina térmica cualquiera, se define como el trabajo neto

realizado por la máquina durante un ciclo, dividido por el calor absorbido en el ciclo,

es decir

absorbidoQ

We .

En el caso particular de una máquina Carnot, la eficiencia está dada por

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

We , (34)

donde se ha utilizado la ecuación (6.33).

La ecuación (34) muestra que la eficiencia de máquina térmica, que funciona

mediante un ciclo de Carnot, es menor que uno (<100%) siempre que la cantidad de

calor 2Q expulsada en el escape no sea cero. La experiencia enseña que toda

máquina térmica arroja algo de calor durante el tiempo de escape y este calor

representa el calor absorbido por la máquina, el cual no se convirtió en trabajo

durante el ciclo.

Para el ciclo de Carnot, es posible demostrar que la eficiencia se puede expresar en la

forma

1

21

1

21T

TT

T

Te .


149

Este resultado muestra que el rendimiento o eficiencia de un motor de Carnot, sólo

depende de las temperaturas de los dos focos caloríficos, esto es, cuando la diferencia

entre ambas temperaturas es grande, el rendimiento es prácticamente la unidad, pero

cuando la diferencia es pequeña, la eficiencia es mucho menor que la unidad.

De igual forma, se puede optar por llevar a cabo el ciclo de Carnot empezando en un

punto cualquiera, tal como a en el diagrama p-V de la figura, y recorriendo cada

proceso en sentido opuesto al de las flechas en esa misma figura. Entonces, esto lleva

a extraer una cantidad de calor 2Q del depósito a la temperatura menor 2T y

suministrar una cantidad de calor 1Q al receptáculo de temperatura mayor 1T ; pero

para que esta situación se presente, algún agente externo debe hacer trabajo sobre el

sistema, en otras palabras, para el ciclo invertido se debe hacer trabajo sobre el

sistema, para poder extraer calor del receptáculo de temperatura más baja. Repitiendo

el ciclo invertido, se puede extraer cualquier

cantidad de calor de este receptáculo. Por consiguiente, el sistema trabaja como un

refrigerador ya que transporta calor de un cuerpo a baja temperatura, el

compartimento de refrigeración, a otro de mayor temperatura, la habitación, por

medio del trabajo que le proporciona la energía eléctrica aplicada, por medio de un

compresor.

A diferencia de un refrigerador, cualquier dispositivo que convierta calor en energía

mecánica se le denomina motor térmico.

En la figura se muestra el diagrama esquemático de un motor térmico, donde este

toma calor de un foco caliente a la temperatura 1T , convierte una parte en trabajo

mecánico, y la diferencia es cedida en forma de calor a un foco frío que se encuentra

a la temperatura 2T .

Por otro lado, en la figura se tiene el diagrama esquemático de un refrigerador o

frigorífico, donde el refrigerador toma calor de un foco frío a la temperatura 2T , el

compresor suministra trabajo mecánico y el calor se expulsa a un foco caliente a la


150

temperatura 1T . En una nevera, los alimentos y el hielo constituyen el foco frío, el

trabajo lo realiza el compresor y el foco caliente es el aire de la cocina.

7.20. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA Y ENTROPIA

La primera ley de la termodinámica establece que la energía se conserva en un

sistema aislado, lo que hace posible imaginar muchos procesos termodinámicos en

los que se conservaría la energía pero que nunca ocurren. Por ejemplo, cuando un

cuerpo caliente se pone en contacto con un cuerpo frío, no ocurre que el cuerpo

caliente se ponga más caliente y el frío se haga más frío. Tampoco se presenta una

situación en la que un estanque se congele repentinamente en un día de verano,

proporcionándole calor a los alrededores. Sin embargo, aunque ninguno de estos

procesos viola la primera ley de la termodinámica, no ocurren de una forma natural o

espontánea, es decir, sin ayuda de agentes externos.

Igualmente, la primera ley de la termodinámica no restringe la posibilidad de

convertir trabajo completamente en calor o calor completamente en trabajo, pues

solo tiene como condición que la energía se conserve en el proceso. Sin embargo, en

la práctica es posible convertir una cantidad dada de trabajo totalmente en calor, pero

no se ha encontrado un método que permita convertir una cantidad dada de calor

completamente en trabajo.

La segunda ley de la termodinámica se ocupa de situaciones como las anteriores, es

decir, qué procesos ocurren en la naturaleza y cuáles no tienen lugar, pero que sean

compatibles con la primera ley de la termodinámica. Aunque las ideas contenidas en

la segunda ley de la termodinámica puedan parecer sutiles o abstractas, en sus

aplicaciones son sumamente prácticas.

Ningún motor térmico tiene una eficiencia del 100%, es decir, ninguno de ellos

absorbe calor y lo convierte totalmente en trabajo, a pesar que la primera ley de la

termodinámica no impide que esto ocurra. La imposibilidad de convertir una


151

cantidad dada de calor completamente en energía mecánica, constituye el

fundamento del siguiente enunciado de la segunda ley de la termodinámica

Es imposible que un sistema experimente un proceso termodinámico en el que

absorba calor de un foco a una temperatura determinada y lo convierta

completamente en trabajo mecánico, finalizando el proceso en el mismo estado

inicial.

En otras palabras, ningún motor térmico puede tener una eficiencia igual a la

unidad.

El hecho que la energía mecánica se pueda disipar completamente en forma de calor,

pero que el calor no se pueda convertir totalmente en trabajo, expresa una

unilateralidad esencial de la naturaleza. Es por ello que todo proceso natural y

espontáneo se puede estudiar a la luz de la segunda ley de la termodinámica, y en

todos los casos se encuentra esta peculiar unilateralidad. El calor espontáneamente

fluye del cuerpo más caliente al más frío; los gases espontáneamente se difunden

desde una región de alta presión a otra de baja presión; los gases y los líquidos por sí

mismos tienden siempre a mezclarse y no a separarse; la sal se disuelve en agua, pero

una disolución salina no se descompone por sí misma en sal pura y agua pura; el

hierro se oxida; la gente envejece.

Todos estos son ejemplos de procesos irreversibles que ocurren de forma natural en

una sola dirección, y por su unilateralidad, expresan la segunda ley de la

termodinámica. En termodinámica también se observa que un proceso irreversible es

un proceso de desequilibrio. Un flujo de calor irreversible va acompañado de la

pérdida del equilibrio térmico, la expansión libre de un gas implica estados que no

están en equilibrio térmico, etc. En todos los casos, el proceso ocurre en el sentido

que tienda a llevar el sistema hacia un nuevo estado de equilibrio.

El análisis de los frigoríficos, constituye el fundamento de otro enunciado de la

segunda ley de la termodinámica. El calor fluye espontáneamente de los cuerpos

calientes a los fríos y nunca en sentido contrario. Un frigorífico lleva calor de un

cuerpo frío a uno caliente, pero su funcionamiento depende del suministro de energía

mecánica en forma de trabajo, es decir, depende de un agente externo. Generalizando

lo anterior, se tiene

Es imposible que en cualquier proceso se tenga como único resultado la

transferencia de calor desde un cuerpo frío a uno caliente.


152

En otro enunciado equivalente, dado en función de la máquina térmica más eficiente,

se afirma

Ningún motor que funcione entre dos temperaturas dadas puede ser más eficiente

que un motor de Carnot operando entre las mismas dos temperaturas.

En este punto se puede afirmar que todo proceso natural, sea mecánico, químico,

eléctrico o biológico, se debe desarrollar de acuerdo con la primera y segunda ley de

la termodinámica.

Para poder expresar cuantitativamente la segunda ley de la termodinámica, es

necesario definir una nueva cantidad física que de cuenta de ello. Así como la ley

cero de la termodinámica está relacionada con el concepto de temperatura T y la

primera ley de la termodinámica se encuentra relacionada con el concepto de energía

interna U, la segunda ley de termodinámica está directamente relacionada con una

variable termodinámica llamada entropía S.

La entropía está directamente relacionada con la irreversibilidad y direccionalidad de

los procesos naturales, tales como flujo calorífico o la conversión de trabajo en calor,

y como se verá en lo que sigue, cualquier proceso irreversible siempre debe ir

acompañado de un aumento en la entropía.

Para definir la entropía, se retoma la definición de energía interna. Cuando un

sistema pasa de un estado a otro, experimentalmente se encuentra que la diferencia

entre el calor suministrado al sistema y el trabajo realizado por el sistema, WQ ,

tiene el mismo valor para todas las trayectorias. Esto hizo posible introducir el

concepto de energía interna, donde en todo proceso termodinámico la variación de

energía interna está dada por la cantidad WQ .

La variación de entropía se puede definir de manera similar, y para ello se considera

un número cualquiera de transformaciones intermedias que lleven un sistema de un

estado a otro. De momento solamente se consideran procesos reversibles o en

equilibrio, condición que no era necesaria al definir la energía interna. Si se designa

la entropía por el símbolo S, se define la variación de entropía S en cualquier

proceso reversible que conduzca un sistema del estado 1 al estado 2, como

2

1T

QS , (35)

Aplicable únicamente en procesos reversibles.


153

Es decir, el proceso reversible se representa como una secuencia de pasos

infinitesimales, en cada uno de los cuales hay una transferencia de calor Q a la

temperatura absoluta T, y luego se suman los cocientes TQ / para el proceso

completo.

Utilizando la segunda ley de la termodinámica se puede demostrar que el cambio de

entropía S definido por la ecuación (35), tiene el mismo valor para todos los

procesos reversibles que conduzcan del estado 1 al estado 2. Por lo tanto, la entropía

del sistema tiene un valor definido en cualquier estado del sistema, esto es, depende

sólo de ese estado, y en un proceso irreversible o reversible varía en una cantidad que

está determinada únicamente por los estados inicial y final, ya que no depende de la

trayectoria seguida para ir de un estado a otro.

Ahora, si el proceso es isotérmico T puede salir de la integral, y la ecuación (35) se

convierte en

T

QS ,

que solo es aplicable en procesos isotérmicos reversibles.

De acuerdo con la definición dada por la ecuación (35), la entropía tiene unidades de

energía sobre temperatura, es decir, 1KJ en unidades mecánicas o

1Kcal en

unidades térmicas.

Desde un punto de vista microscópico, la entropía se puede interpretar en función del

desorden o aleatoriedad de un sistema. Así, suministrar calor a una sustancia implica

aumentar su desorden, pues el movimiento molecular se hace más aleatorio. De igual

modo, durante una expansión libre la entropía de un gas aumenta, al hacerlo la

aleatoriedad en la posición de las moléculas.

Una de las características que distingue a la entropía de otras cantidades como la

energía, el momento lineal y el momento angular, es que no hay un principio de

conservación de la entropía, sino que en realidad sucede lo contrario, esto es, la

entropía de un sistema aislado puede variar, pero nunca parece disminuir. De hecho,

la entropía aumenta en todos los procesos naturales cuando se incluyen todos los

sistemas que toman parte en el proceso. En un proceso ideal o completamente

reversible, que implique solamente estados de equilibrio, no hay variación de

entropía; pero todos los procesos naturales o irreversibles tienen lugar con aumento

de entropía.


154

Un proceso natural que comienza en un estado de equilibrio y termina en otro,

siempre ocurre en el sentido que haya aumento de la entropía del sistema más el

medio ambiente.

Para los procesos reversibles, la entropía del sistema más el medio ambiente

permanece inalterada, por ello, en un proceso adiabático reversible

if SS ,

y si se trata de un proceso adiabático irreversible

if SS ,

donde fS y iS corresponden, respectivamente, a la entropía de los estados final e

inicial del sistema.

La mezcla de sustancias a diferentes temperaturas, o el flujo de calor desde una

temperatura superior a una inferior, son ejemplos de procesos naturales o

irreversibles. Cuando se incluyen todas las variaciones de entropía que se presentan

en un proceso, los aumentos de entropía son siempre mayores que las disminuciones,

a diferencia de un proceso reversible, donde los aumentos y las disminuciones son

iguales. Por consiguiente, el principio general que se considera como otro enunciado

de la segunda ley de la termodinámica, establece

Cuando se tienen en cuenta todos los sistemas que toman parte en un proceso, la

entropía aumenta o permanece constante.

En otras palabras, No es posible que ocurra un proceso en el que la entropía

diminuya, cuando se incluyen todos los sistemas que forman o toman parte en él.

¿Qué importancia tiene el aumento de entropía que se presenta en todos los procesos

naturales? La respuesta o al menos una respuesta, es que representa la medida en que

el universo se desordena o se hace más aleatorio en un proceso. Considerando una

mezcla de agua caliente y fría, se puede utilizar el agua caliente y la fría como los

focos a alta y baja temperatura de un motor térmico, y en el proceso de extraer calor

del agua caliente para cederlo al agua fría se podría haber obtenido trabajo mecánico.

Pero una vez que el agua fría y el agua caliente se han mezclado y se ha alcanzado

una temperatura uniforme, se pierde la posibilidad de convertir calor en trabajo

mecánico, y además, se pierde de forma irrecuperable ya que el agua tibia nunca se

separará espontáneamente en una parte caliente y en otra fría. Por supuesto, al

mezclar el agua caliente y la fría no hay disminución de energía, y lo que se pierde

en el proceso de la mezcla no es energía sino la posibilidad de que una parte del flujo


155

calorífico que sale del agua caliente se convierta en trabajo. Por consiguiente, cuando

aumenta la entropía, la energía se vuelve más inaprovechable y se dice que el

universo se ha hecho más aleatorio o que se ha degradado. Este es el auténtico

significado del término irreversible.

Por otro lado, la tendencia en todos los procesos naturales, como el flujo calorífico,

la mezcla de líquidos, la difusión de gases, etc., es la de alcanzar en todos los puntos

una uniformidad de temperatura, presión, composición, etc. Es posible imaginar un

futuro lejano en el que, debido a estos procesos, el universo completo haya alcanzado

un estado de uniformidad absoluta en todas partes. Si se alcanzara tal estado, pese a

no haber variado la energía del universo, todos los procesos físicos, químicos y

presumiblemente biológicos, cesarían. Este destino hacia el cual parece que se dirige,

se ha descrito como la muerte térmica del universo.

Finalmente, con lo analizado en esta unidad es posible describir el comportamiento

de un sistema, mediante los cambios que se pueden presentar en las variables

termodinámicas volumen, presión, temperatura, energía interna y entropía, cuando el

sistema pasa de un estado a otro mediante la transferencia de calor o la realización de

trabajo.

Ejemplo 6.10.

Calcular el cambio de entropía del sistema completo considerado en el ejemplo 6.3.

Solución

g100OH2m , K303OHo, 2

T , g500Pbm , K55526Pbo, .T , K333eqT .

Para hallar el cambio de entropía una vez que ha ocurrido el proceso en el sistema

agua-plomo, es necesario encontrar, por separado, el cambio de entropía de cada una

de las partes del sistema, es decir, del agua y del plomo.

Cambio de entropía del plomo, donde se supone que el proceso es isobárico

reversible

T

QS , (1)

donde para el proceso isobárico, es válida la expresión

TcmQ dPbPb . (2)

Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), e integrando, se llega finalmente a

que la entropía del plomo disminuye en el valor


156

1

Pb Kcal107.S . (3)

Cambio de la entropía del agua, donde de nuevo se supone un proceso isobárico

reversible, esto es

TcmQ dOHOH 22. (4)

Reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (1) y luego de integrar, es posible

encontrar que el aumento en la entropía del agua es

1

OH Kcal4492

.S . (5)

Como la entropía es una cantidad aditiva, el cambio de la entropía en el sistema

completo se obtiene sumando los cambios de cada una de sus partes, esto es, con

ayuda de las ecuaciones (3) y (5) se encuentra

1Kcal342.S .

Este resultado muestra que la entropía del sistema completo aumenta, situación

esperada ya que se trata de un proceso irreversible, como lo exige la segunda ley de

la termodinámica.

Ejercicio.

Calcule el cambio de entropía para el sistema completo tratado en el ejercicio 6.3.

Analice el resultado.

Ejemplo.

Hallar el cambio de entropía en el sistema completo analizado en el ejemplo 6.4.

Solución

g50OH2m , K303OHo, 2

T , g7716h .m , K270ho,T , K275eqT .

Cambio en la entropía del agua, suponiendo un proceso isobárico reversible

T

QS , (1)

Con

TcmQ dOHOH 22. (2)

Mediante las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que la disminución en la entropía del

agua está dada por

1

OH Kcal8542

.S . (3)


157

Como el hielo sufre un cambio de fase, es necesario considerar tres cambio en la

entropía de la masa inicial de hielo hm .

Sea h,1S el cambio de entropía al pasar el hielo de C3 o hielo a C0 o

hielo. En

este caso, se supone un proceso isobárico reversible, esto es

TcmQ dhhh,1 . (4)

Con ayuda de las ecuaciones (1) y (4), este cambio de entropía adquiere el valor

1

h1, Kcal0930.S . (5)

El segundo cambio en la entropía de la masa hm , se presenta cuando el hielo se

funde. Lo cual ocurre a C0 o, esto es, se supone un proceso isotérmico reversible,

donde el calor transferido corresponde al obtenido en el ejemplo 6.4, dado por

hf,hh,2 LmQ . (6)

En este caso, la ecuación (1) adquiere la forma

T

QS

h,2

h2, . (7)

De este modo, las ecuaciones (6) y (7), permiten encontrar que el aumento en la

entropía de la masa hm debido a la fusión, es

1

h,2 Kcal914.S . (8)

El tercer cambio en la entropía de la masa hm ocurre cuando esta pasa de C0 o agua

a C2 o agua, donde se supone un proceso isobárico reversible y se encuentra que la

entropía aumenta en el valor

1Kcal120h,3 .S . (9)

Mediante la propiedad aditiva de la entropía y con ayuda de las ecuaciones (3), (5),

(8) y (9), el cambio en la entropía para el sistema completo es

1Kcal27S ,

resultado que está de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica por tratarse de

un proceso irreversible.

Ejercicio.

Encontrar el cambio de entropía en el sistema completo tratado en el ejercicio 6.4.

Analice su resultado.

Ejercicio.


158

Para el ciclo del ejemplo 6.7, encuentre el cambio de entropía

a) Para cada proceso del ciclo.

b) Para el ciclo completo. ¿Está su resultado de acuerdo con lo esperado? ¿Por qué?

PREGUNTAS

1. El sistema A se encuentra a una temperatura AT y el sistema B a una temperatura

diferente BT . Suponga que los sistemas se separan mediante una pared

diatérmica.

a) ¿El estado térmico de estos sistemas cambia indefinidamente mientras

interactúan? ¿Por qué?

b) Cuando los sistemas alcanzan un estado térmico común, ¿qué variable

termodinámica caracteriza dicho estado?

c) ¿Qué se puede afirmar respecto al valor final que adquiere esta variable

termodinámica? ¿Por qué?

d) Si los sistemas consisten en masas iguales de la misma sustancia, ¿cómo se

determina dicha variable termodinámica?

2. Un sistema pasa de un estado inicial a un estado final debido a un proceso

termodinámico. Para analizar dicho proceso es necesario considerar la cantidades

físicas p , V , T , Q , W , U , S y n . ¿Cuáles de estas cantidades física pueden

sufrir cambios al pasar el sistema de un estado a otro? ¿Por qué?

3. Un sistema se somete a un proceso isotérmico. En este caso, ¿es posible que la

presión y el volumen aumenten simultáneamente? ¿Por qué?

4. A un sistema se le incrementa la temperatura mediante un proceso

termodinámico determinado. Para generar este cambio en la temperatura, ¿es

necesario transferir energía en forma de calor al sistema? Explique su respuesta.

APÉNDICE

APENDICE A: NOTACION CIENTIFICA

1. NOTACIÓN DE ÍNDICES - POTENCIAS DE 10

El índice de un número te dice cuántas veces usas el número en una multiplicación.

Ejemplo 1: 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000


159

Con palabras: 103 se podría llamar "10 a la tercera potencia", "10 a la 3" o

simplemente "10 cubo"

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta

notación, pero las potencias de 10 tienen una utilidad especial...

1.1. POTENCIAS DE 10: Las "potencias de 10" son una manera muy útil de

escribir números muy grandes.

En lugar de muchos ceros, puedes poner qué potencia de 10 necesitas para hacer

todos esos ceros

Ejemplo: 5.000 = 5 × 1.000 = 5 × 103

Cinco mil es 5 veces mil. Y mil es 103. Así que 5 × 10

3 = 5.000

¿Ves cómo 103 es una manera cómoda de escribir 3 ceros?

Científicos e ingenieros (quienes a veces usan números muy grandes o muy

pequeños) encuentran muy útil esta manera de escribir números como:

9,46 x 1015

metros (la distancia que la luz viaja en un año), o

1,9891 x 1030

kg (la masa del Sol).

Así evitan tener que escribir muchos ceros. Se suele llamar notación científica, o

forma estándar.

Aunque parezca difícil al principio, hay un sencillo "truco": El índice de 10 dice

cuántas posiciones se mueve el punto decimal a la derecha.

Ejemplo: ¿Cuánto es 1,35 × 104 ?

Lo puedes calcular así: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10.000 = 13.500

1.2. POTENCIAS NEGATIVAS DE 10

¿Negativas? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir!

Una potencia negativa significa cuántas veces se divide por el número.

¡Los exponentes negativos van en la dirección contraria!

Ejemplo: 5 × 10-3

= 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005

Sólo tienes que recordar que para potencias negativas de 10:

Para las potencias negativas de 10, mueve el punto decimal a la izquierda.

Ejemplo: ¿Cuánto es 7,1 × 10-3?

Bueno, en realidad 7,1 x (1/10 ×

1/10 ×

1/10) = 7,1 x 0,001 = 0,0071

RESUMEN

El índice de 10 dice cuántas veces se mueve el punto decimal. Positivo es a la

derecha, negativo a la izquierda. Ejemplo:


160

Número En

notación

científica

Con palabras

Potencias

positivas

5.000 5 × 103 5 miles

Potencias

negativas

0,005 5 × 10-3 5 milésimos

APENDICE B: REDONDEO DE NÚMEROS

2. ¿Qué es "redondear"?

Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor

parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.

Ejemplo: 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70

que de 80.

1.1. Método normal

Hay varios métodos para redondear, pero aquí sólo vamos a ver el método normal, el

que más se usa...

Cómo redondear números

Decide cuál es la última cifra que queremos mantener

Auméntala en 1 si la cifra siguiente es 5 o más (esto se llama redondear arriba)

Déjala igual si la siguiente cifra es menos de 5 (esto se llama redondear abajo)

Es decir, si la primera cifra que quitamos es 5 o más, entonces aumentamos la última

cifra que queda en 1.

1.1.1. Redondear decimales

Primero tienes que saber si estás redondeando a décimas, centésimas, etc. O a

lo mejor a "tantas cifras decimales". Así sabes cuánto quedará del número

cuando hayas terminado.

Ejemplos Porque ...

3,1416 redondeado a las centésimas es 3,14 ... la cifra siguiente (1) es menor que 5

1,2635 redondeado a las décimas es 1,3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más

1,2635 redondeado a 3 cifras decimales es 1,264 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más

1.1.2. Redondear números enteros

Si quieres redondear a decenas, centenas, etc. tienes que sustituir las cifras que

quitas por ceros.

Ejemplos Porque ...


161

134,9 redondeado a decenas es 130 ... la cifra siguiente (4) es menor que 5

12.690 redondeado a miles es 13.000 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más

1,239 redondeado a unidades es 1 ... la cifra siguiente (2) es menor que 5

1.1.3. Redondear a cifras significativas

Para redondear "tantas" cifras significativas, sólo tienes que contar tantas de

izquierda a derecha y redondear allí. (Nota: si el número empieza por ceros

(por ejemplo 0,006), no los contamos porque sólo se ponen para indicar lo

pequeño que es el número).

Ejemplos Porque ...

1,239 redondeado a 3 cifras significativas es 1,24 ... la cifra siguiente (9) es 5 o más

134,9 redondeado a 1 cifra significativa 100 ... la cifra siguiente (3) es menor que 5

0,0165 redondeado a 2 cifras significativas es 0,017 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más

APENDICE C: LO GARITMO S

1. Def inic ió n de logari tmo:

De la definición de loga ri tmo podemos dedu c ir :

El logar itmo en ba se a de u na potencia en ba se a es igua l a l exponente.

2 . Pro pie dade s de lo s log ar itmo s

El logar i tmo de u n produ cto es igua l a la su ma de los logar itmos de los

fa ctores.

El logar itmo de u n cociente es igua l a l logar itmo del d ividendo menos

el loga ri tmo del d ivi sor .

El loga ri tmo de u na potencia es igua l a l produ cto del exponente por e l

logar itmo de la ba se.

El logar itmo de u na ra íz es igua l a l cociente ent r e el logari tmo del

ra dica ndo y el índice de la ra íz.


162

Ca mbio de ba se:

APENDICE D: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo:

α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo

arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de

los lados de este triángulo rectángulo que se usará en

el sucesivo será:

2. Funciones trigonométricas de ángulos notables

β 0° 30° 37 45° 53 60° 90°

Sen 0 1/2 3/5

4/5

1

Cos 1

4/5

3/5 1/2 0

Tan 0

3/4 1 4/3

∞


163

3. Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las

funciones trigonométricas:

4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Relaciones básicas

Relación pitagórica

identidad de la razón

5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN FUNCIÓN DE LAS OTRAS CINCO.

Función Sen Cos Tan Csc Sec Cot

Sen

Cos

Tan

Csc

Sec

cot


164

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

;

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Fórmula del ángulo doble

Fórmula el ángulo triple

Fórmula del ángulo medio

Identidades para la reducción de exponentes

Sen

o


165

Coseno

Otros

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

;

;

Paso de Suma a Producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se

tiene:

APENDICE E: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En genera l para r esolver u na ecua ción de primer gra do debemos segui r

los sigu ientes pa sos:


166

1º Qu i tar paréntesi s .

2º Qu i tar denomina dores.

3º Agru par los t érminos en x en u n miembro y los términos

independientes en el o tro .

4º Redu ci r los t érminos semeja ntes.

5º Despeja r la incógni ta .

Eje mplos:

1 .

Agru pa mos los t érminos semeja ntes y los indepe ndientes, y

su ma mos:

2.

Qui ta mos paréntesi s:

Agru pa mos t érminos y su ma mos:

Despeja mos l a incógnita :

3.

Qui ta mos denomina dores, para el lo en pr imer lu ga r ha l l amos el

mínimo comú n múl tip lo .

;

Qui ta mos paréntesi s , a gru pa mos y su ma mos los t érminos

semeja ntes:


167

Despeja mos l a incógnita :

4.

Qui ta mos paréntesi s y simpli fi ca mos:

Qui ta mos denomina dores, a gru pa mos y su ma mos los t érminos

semeja ntes:

5.

Qui ta mos corchete:


Qui ta mos denomina dores:


Agru pa mos t érminos:


168

Su ma mos:

Dividimos los dos miembros por : −9

APENDICE F: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecu a ción de segu ndo gra do es toda expresión de la forma :

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0

Se r esu elve media nte la s iguiente fórmu la:

Ejm:

Ec uacio ne s de seg undo grado incom ple tas

Se dice qu e u na ecua ción de segu ndo gra do es inco mple ta c uando

alguno de lo s coe fic ie ntes , b o c , o ambos , son ig uale s a c e ro.

Resoluc ió n de ec uac io nes de seg undo gr ado inco mple tas

1º. ax2 = 0

La soluc ió n e s x = 0 .

Eje mplo:

2º. ax2 + bx = 0

Ext ra emos fa ctor comú n x:


169

;

Ejemplo:

3º. ax2 + c = 0

Despeja mos:

Ejemplo:

Estudio de las soluc io nes de la ec uac ió n de 2º gr ado

ax2 + bx +c = 0

b2 − 4ac se l la ma DI S CRI M I NA N TE de la ecua ción y permite a verigua r en

ca da ecua ción el nú mero de solu ciones. Podemos di st ingu ir t r es ca sos:

1º. b2 − 4ac > 0

La ec uac ión t ie ne dos soluc io nes , que son números reales

di st intos .

Ejemplo:


170

2º. b2 − 4ac = 0

La ec uac ió n tie ne una soluc ió n do ble .

E jemplo:

3º. b2 − 4ac < 0

La ec uac ió n no t ie ne soluc io nes re ales .

E jemplo:

APENDICE G: TABLA DE DERIVADAS

APENDICE H: INTEGRALES


171

TABLAS DE INTEGRALES


172


173


174


175


176

APENDICE I: TABLA DE CONSTANTES FISICAS

CONSTANTES FÍSICAS

Cantidad Símbolo Valor

Carga elemental e 1,602 x 10-19

C

Constante de Boltzman kB 1,380 x 10-23

J/K

Constante de Coulomb k 8,987 x 109 N m

2/C

2

Constante de Faraday F 9,648 x 104 C/mol

Constante de los gases R 8,314 J/K mol

Constante gravitatoria G 6,672 x 10-11

N m2/kg

2

Constante de Planck h 6,626 x 10-34

J s

Constante de Rydberg R 1,097 x 107 m

-1

Constante de Stefan-Boltzman σ 5,670 x 10-8

W/m2 K

4

Electrón-voltio eV 1,602 x 10-19

J

Energía del electrón en reposo mec2 0,510 MeV

Energía del neutrón en reposo mnc2 939,566 MeV

Energía del protón en reposo mpc2 938,272 MeV

Longitud de onda Compton λC 2,426 x 10-12

m

Magnetón de Bohr μB 9,274 x 10-24

J/T

Masa del electrón en reposo me 9,109 x 10-31

kg

Masa del neutrón en reposo mn 1,674 x 10-27

kg

Masa del protón en reposo mp 1,672 x 10-27

kg

Momento magnético del electrón μe 9,284 x 10-24

J/T

Momento magnético del neutrón μn 9,662 x 10-27

J/T

Momento magnético del protón μp 1,410 x 10-26

J/T

Número de Avogadro NA 6,022 x 1023

mol-1

Permeabilidad del vacío μ0 1,256 x 10-6

T m/A

Permitividad del vacío ε0 8,854 x 10-12

C2/N m

2

Radio de Bohr r1 5,291 x 10-11

m

Unidad de masa atómica u 1,660 x 10-27

kg

Velocidad de la luz en el vacío c 2,997 x 108 m/s


177

OTRAS CONSTANTES

Cantidad Valor

Aceleración de caída libre 9,81 m/s2

Calor de fusión del agua 333,5 kJ kg-1

Calor de vaporización del agua 2,257 MJ kg-1

Densidad del agua (20º C y 1atm) 1,00 x 103 kg m

-3

Densidad del aire (0º C y 1atm) 1,29 kg m-3

Distancia media Tierra-Luna 3,84 x 108 m

Distancia media Tierra-Sol 1,496 x 1011

m

Masa de la Luna 7,36 x 1022

kg

Masa de la Tierra 5,98 x 1024

kg

Masa del Sol 1,99 x 1030

kg

Radio de la Tierra 6.370 km

Velocidad de escape en la superficie de La Tierra 11,2 km s-1

Velocidad del sonido en aire seco (CN) 331 m s-1


178

BIBLIOGRAFÍA

BASICA:

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Long man, 1999. ISBN: 9684442785 (530/S32/V2). Pàg. 10 – 34

SERWAY, Raymond A. Fìsica Tom I. 4ta. Ed. Libros Mc Graw Hill. México, 2001.

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TIPLER, Paúl. Física Vol. I. 2da. Ed. Reverte, España, 2001. ISBN: 84-291-4356-4

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BLATT, Frank J. Fundamentos de Física, Vol. 2. 3 a

Ed., Prentice may, México,

1991. (530/B57/E2-E3)

FREDERICK BEUCHE. Fundamentos de Física. Editorial Xalco, México, 1990.

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FISHBANE, Paúl M. Física para Ciencias e Ingeniería Vol. 2. Prentice may, México,

1993. ISBN: No tiene (530/F57/V2). Pág. 8 – 12

HALLIDAY D., RESNICK R KRANE K. Fìsica V2. 4ta. Ed. Edit. CESCA. 2001.

ISBN: 0-471 – 548004 – 9 (530/418/V2/E1). Pág. 5 – 15.

COMPLEMENTARIA:

CERNUSCHI, Félix. Experimento, Razonamiento y creación en Física. The Pan

American Union, Whashinton, DC,1969. (530/C45/E2).

ALVARENGA ALVARES, Beatriz. Física Experimental con Experimentos

sencillos. Editorial Harla S. A., México, 1985. (530/A45).

modulo de fisica 2011-ucv

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