fisica modulo 3 estudiantes-1

7/30/2019 Fisica Modulo 3 Estudiantes-1

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CI ENCI AS ( F SI CA, QU MI CA, BI OLOG A)MDULO 3Eje t em t i co : Mecn ica - F lu idos

I . Mecn ica1. Concepto s genera les

La mecnica en esta unidad se centra principalmente en el movimiento circularuniforme, en las rotaciones y en la ley de conservacin de la energa mecnica.

1.1 . Vecto res

Para describir en forma adecuada el movimiento de un objeto en el plano,

como el caso del movimiento circular uniforme, es de gran utilidad emplearvectores. Estos pueden ser entendidos como flechas y sirven para representarmagnitudes fsicas que poseen direccin, sentidoy mdulo.

La figura 1 ilustra las caractersticas de un vector xr

:

Esto indica su sentido

La distancia AB corresponde al mdulo de x ; es decir ar

xr

A

B

Esta es su direccin

A es el origen y B elextremo del vector

Fig. 1

xr

Las magnitudes fsicas se pueden clasificar en vectoriales y escalares. Lasprimeras son todas aquellas que tienen asociada una direccin y un sentido enel espacio, como por ejemplo la velocidad, la aceleracin y la fuerza. Entre lassegundas, en que la direccin y sentido carecen de significado, tenemos lamasa, la temperatura, y la energa. Comprender las magnitudes vectoriales esde gran importancia, pues ocupan un lugar importante en todos los contenidosde Tercer y Cuarto Ao Medio.


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2

Para los vectores se han definido algunas operaciones, de las cuales las msimportantes aqu son la suma o adicin entre vectores, el producto de unvector por escalar y la resta. Estas operaciones se ilustran en la figura 2.

ar

br

bar

r

+

ar

ar

ar

ar

ar

3

ar

br

bar

r

Fig. 2

br

Producto de y 3ar

ar

Resta deSuma de ar

br

El mdulo de un vector se representa entre barras; por ejemplo, el mdulo dela velocidad, que denominamos rapidez, se expresa como v

r

. As, cuando

decimos que un vehculo viaja a 80 km/h estamos expresando su rapidez,cuando decimos que un vehculo viaja a 80 km/h hacia el norte, como ademsestamos expresando la direccin y sentido en que se mueve, estamos habandode velocidad .v

r

Debes notar que, en general, babar

r

r

r

++ y que, cuando yar

br

son

perpendiculares, entonces22

babar

r

r

r

+=+ ; es decir, se aplica el teorema de

Pitgoras.

1 .2 . Vec to res que desc r i ben m ov im ien t os

Algunos vectores son particularmente tiles para describir los movimientos.Entre ellos estn la posicin, el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin,que expresaremos respectivamente como rr , rr , v

r

y ar

.

El esquema de la figura 3 muestra estos vectores para el caso del movimientode un insecto que se ha trasladado por cierta trayectoria (lnea de puntos)desde la posicin A a la B durante el tiempo t.

Fig. 3

Brr

v

r

P

A ar

Arr

rr

Trayectoria

B


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3

P es un punto cualquiera de un sistema de referencias y en l se han colocadolos orgenes de los vectores que indican las posiciones Ar

r y Brr .

En la descripcin vectorial de un movimiento como este hay que tenerpresente los siguientes aspectos:

- El desplazamiento corresponde a AB rrrrrr

= y su mdulo es en generalmenor que la distancia entre los puntos A y B, medida a lo largo de latrayectoria y que denominaremos camino recorrido.- La velocidad posee en cada instante la direccin y sentido del movimiento, esdecir, en cada punto es tangente a la trayectoria.

- La aceleracin en cada instante est

va

=r

r

, para un tmuy pequeo y, como

consecuencia de esta definicin, es un vector que siempre est dirigido hacia el

interior de la trayectoria, cuando ella es curva.- Si es el ngulo descrito por el insecto en el tiempo t, en relacin al punto

P, entonces su rapidez angular se define como:t

=

.

2 . Mov im ien to c ir c u la r un i fo rm e

El movimiento circunferencial uniforme es aquel cuya trayectoria es unacircunferencia y cuya rapidez es constante. La figura 4 representa estasituacin para un automvil que est dando vueltas en una rotonda.

Es importante notar que en este caso, y en relacin al centro de la trayectoria,el mdulo de rr corresponde al radio de la circunferencia, es decir, rr =

r

. La

velocidad es en todo instante perpendicular a rr , es decir, rr y su mdulo,por tratarse de un movimiento uniforme, es constante, es decir,

vr

vr

=

constante.

rr

rr =r

vv =r

vr

ar

Fig. 4


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4

Si T es el tiempo que tarda en completar una vuelta (perodo de traslacin),entonces, como el permetro de la circunferencia es 2r, la rapidez resulta

serT

rv

2=r y la rapidez angular

T

360= , si los ngulos se expresan en grados

sexagesimales, yT

2 = si los ngulos se expresan en radianes. En este ltimo

caso se ve claramente que rv =r

.

Con un poco de geometra, para el movimiento circunferencial uniforme sepuede demostrar que la aceleracin est exactamente dirigida hacia el centrode la circunferencia, razn por la cual se denomina aceleracin centrpeta, y

que su mdulo es:r

va

2r

r = , o bien, ra 2=r

.

Por ejemplo, si el radio de la trayectoria de un automvil que se mueve en unarotonda es de 100 metros y tarda 31,4 segundos en dar una vuelta

movindose uniformemente, entonces su rapidez essegundos31,4

metros0013,142 =v

r

= 20

m / s (72 km/h). Adems su rapidez angular en relacin al centro de su

trayectoria debe sersegundos4,31

360= = 11,5 /s o bien

s

rad2,0

segundos31,4

rad14,32=

= y su aceleracin centrpeta 2

2

m/s4m100

m/s)20(==a

r

.

La fuerza tambin es una magnitud vectorial. En efecto, el segundo principiode Newton (principio de masa) debe escribirse as: amF

r

r

= , en que m es lamasa del objeto y su aceleracin. Ntese que la fuerza posee la direccin ysentido de la aceleracin, razn por la cual en el movimiento circunferencialuniforme, la fuerza est dirigida en cada instante tambin hacia el centro de lacircunferencia. Por ello nos referimos a ella como fuerza centrpeta y su

mdulo lo podemos calcular con las expresiones:

ar

rmr

vmFC

2

2

==r

r

.

Si el automvil del ejemplo anterior posee una masa de 1.200 kg, la fuerza

centrpeta sobre l debe ser newton800.4m/s4kg1.200 2 ==CFr

.

La fuerza necesaria para que el automvil de la figura 4 pueda dar vueltas enla rotonda es aplicada por el pavimento. En el caso de la persona que hacegirar la piedra atada a un cordel (figura 5), la aplica el propio cordel y, en elcaso de la Luna que orbita alrededor de la Tierra, es la propia Tierra la que, adistancia, acta sobre ella por medio de la gravedad.


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5

La fuerza

centrpetame la est

aplicando el

cordel. Qu

me pasara si

se corta? Fig. 5

3 . Ro tac iones y m om en to de i ne r c ia

Cuando un disco slido, por ejemplo una rueda, gira en relacin a un eje, comose ilustra en la figura 6, hablaremos de rotacin. Debes notar que en estoscasos cada punto del disco posee un movimiento circunferencial en relacin aleje de giro. Mientras todos los puntos poseen la misma rapidez angular, soloposeen igual rapidez y aceleracin los que se encuentran a igual distancia deleje de giro.

PQTodos los puntos de la

rueda poseen, respectodel eje de giro, igual

velocidad an ular .

Respecto del eje de giro

P y Q tienen igual

rapidez angular (),pero distinta rapidez (v)y distinta aceleracincentrpeta (a), las cuales

dependen de la

distancia al eje de

rotacin.Fig. 6

El concepto de masa expresa la dificultad que presenta un objeto para que unafuerza modifique su estado de movimiento. Mientras ms masa posea unobjeto, mayor fuerza debemos aplicar para que al trasladarlo alcance ciertarapidez, o bien para detenerlo o tambin para desviar su trayectoria. Parahacer girar un cuerpo alrededor de un cierto eje ocurre algo similar.

Seguramente te has dado cuenta de que el esfuerzo que debes hacer pararotar un objeto, por ejemplo un libro, depende del eje en relacin al cual lohagas. Verifica lo que se ilustra en la figura 7.

El concepto fsico que da cuenta de este hecho es el momento de inercia, queexpresaremos por I. Esta es una magnitud ms compleja, pues depende tantode la masa, como del modo en que ella est distribuida en relacin al eje degiro.


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6

Fig. 7

Para el caso simple de una masa m situada en el extremo de una varilla delargo l, el momento de inercia corresponde, por definicin, a I = ml2, si el ejede giro es el que se indica en la figura 8. Por razones de simplicidadsuponemos despreciable la masa de la varilla.

m

l

Fig. 8

Mientras ms larga sea la varilla; es decir, a mayor l, mayor es su momento deinercia o, dicho de otro modo, mientras ms alejada se encuentre la masa deleje de giro, mayor ser el valor deI.

Esto tiene algunas aplicaciones que con seguridad ya conoces. Debes haberequilibrado, por ejemplo, una escoba con un dedo, como se ilustra en la figura9a. En cul de los siguientes casos resulta ms difcil mantener una varilla enequilibrio?


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8

En ambos casos la masa del sistema es la misma, pero ella est distribuida dedistinta manera. En el caso a la masa est ms alejada del eje de giro y portanto all el momento de inercia es mayor. Al aplicar en ambos casos un torqueque saque del reposo el sistema, constataremos que en el caso b el sistemaopone menos dificultad para rotar.

F

Caso a

F

Caso b

Fig. 11

4 . Ro tac iones y m om en to angu la r

Una cantidad fsica de gran importancia en las rotaciones es el momentoangular, que se define como el producto entre el momento de inercia y larapidez angular. Expresado con L, corresponde entonces a L =I.

Su importancia radica en que es una cantidad que se conserva en los sistemasaislados; es decir, aquellos sobre los cuales el torque externo es nulo. Un casobien conocido que pone en evidencia la tendencia a la conservacin delmomento angular es el de una bailarina que en la punta de sus pies hace girarsu cuerpo en relacin a un eje vertical (figura 12). Ella, si inicialmente gira con

sus brazos extendidos (a), incrementa su rapidez angular cuando acerca losbrazos a su cuerpo (b) y la disminuye cuando los aleja nuevamente de l. Eneste caso, como el roce entre la bailarina y el entorno es pequeo, durante unabuena parte del movimiento se lo puede despreciar y se aprecia, por lo menoscualitativamente, la tendencia de L a conservarse. Debes notar que cuando labailarina est con los brazos extendidos presenta un momento de inercia Imayor que cuando los junta a su cuerpo, de modo que I= constante.

(a) (b)

Fig. 12


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Una situacin en la que se puede apreciar fcilmente la ley de conservacin delmomento angular en la sala de clases, es la que se ilustra en la figura 13. Sihaces girar, a modo de boleadora, una goma de borrar por medio de un hiloque pasa por el tubito de un lpiz pasta, comprobars que al tirar con fuerza elhilo la rapidez de la goma aumenta significativamente; es decir, aumenta como consecuencia de la reduccin del radio de giro R, con lo cual disminuye elmomento de inercia del sistema.

Fr

R

Si tiran del hilo

disminuye mi momento

de inercia (I), pero

aumenta mi rapidezangular, de modo que

L se conserva.

Fig. 13

Otro hecho importante de destacar es que el momento angular es unamagnitud vectorial, porque la rapidez angular tambin lo es (esto se explicacon mayor detalle un poco ms adelante en este mismo texto, mediante lafigura 26). Lo anterior implica que tambin tiende a conservarse la direccin

espacial del eje de rotacin.

Ello se pone en evidencia al intentar cambiar la direccin del eje de rotacinde una rueda de bicicleta, como se ilustra en la figura 14. Resulta muy difcilcuando est girando en comparacin a cuando est en reposo.


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Si haces la misma experiencia, pero estando sentado en una silla de secretariaque pueda girar, constatars que al intentar cambiar la direccin del eje de larueda de bicicleta, t y la silla empezarn a girar. En efecto, el sistemacomplejo formado por la rueda de bicicleta y tu cuerpo con la silla giratoriatiende a conservarse para el conjunto.

Cuesta ms cambiar la

direccin del eje derotacin de la rueda

cuando ella est girandoque cuando est en reposo.

Esta es otra consecuencia

de la ley de conservacin

del momento angularL!

Fig. 14

Este es tambin el principio bajo el cual funciona el giroscopio, instrumento de

gran importancia en la navegacin area y espacial. Se trata de una rueda degran momento de inercia que gira con una gran velocidad angular en unsistema de ejes que puede rotar libremente. El eje de giro de la rueda semantiene entonces paralelo a s mismo dando cuenta a los pilotos de la navede los cambios que ella experimenta en su orientacin.

5. Traba j o m ecn ico y energ a

Otra cantidad que se conserva en el tiempo, tal vez la ms importante de lafsica, es la energa mecnica. De ella algo aprendiste en 2 Ao Medio.

Un sistema fsico posee energa (por ejemplo un automvil o una persona),

debido a que posee capacidad para realizar trabajo mecnico. Es decir, hayenerga cuando algo tiene la capacidad para aplicar sobre un objeto una fuerzacapaz de desplazarlo.

Ms exactamente, como lo ilustra la figura 15, el trabajo T que realiza una

fuerza Fr

corresponde al producto entre el componente de la fuerza que posee

la direccin del desplazamiento ||Fr

y el desplazamiento rr

; o sea rFT = ||r

. Si


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12

Puesto que en este caso FFrr

=|| = 30 newton ( 0rr

=F , o bien cos(0) = 1),

rr

= 5 metros y los vectores Fr

y rr

poseen la misma direccin y sentido, T=

150 joules.

Qu trabajo realiza en este caso la fuerza de gravedad que acta sobre elrefrigerador?

Puesto que el peso del refrigerador es perpendicular al desplazamiento, estafuerza no realiza trabajo; T = 0.

Qu trabajo realiza la fuerza de roce que acta sobre el refrigerador?

Como el movimiento del refrigerador es rectilneo y uniforme, la fuerza neta ototal sobre l es cero y, por lo tanto, la fuerza de roce debe ser de 30 newton.

Adems tiene sentido opuesto al del desplazamiento, razn por la cual eltrabajo que ella realiza es T= 150 joules.

En muchas ocasiones nosotros levantamos o bajamos objetos desplazndolos afavor o en contra de la fuerza de gravedad. En algunos de estos casos haytrabajo y en otros no. Analicemos las situaciones que se ilustran en la figura17.

Fig. 17

h

A

B

Fr

gFr

h

B

A

Fr

gFr BA

Fr

gFr

(c)(b)(a)

En los tres casos la persona mueve un objeto de masa m desde el punto A al B

con movimiento uniforme, pero en (a) lo est subiendo, en (b) lo est bajandoy en (c) lo est trasladando horizontalmente. Como el movimiento esuniforme, en los tres casos la fuerza neta sobre el cuerpo es cero, ya que lasdos nicas fuerzas que actan, la que aplica la persona (F

r

) y la gravedad( gmFg

r

r

= ), se anulan entre s.

En consecuencia, en los tres casos el trabajo neto (el realizado por la fuerzaneta) es cero.

En el caso (a) el trabajo que realiza la fuerza que aplica la persona es T = mgh,mientras que el trabajo que realiza la fuerza de gravedad es T= mgh.


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En el caso (b) el trabajo que realiza la persona es T= mgh y el que realiza lafuerza de gravedad es T= mgh.

Por ltimo, en el caso (c), tanto el trabajo realizado por la fuerza que aplica la

persona como el que realiza la fuerza de gravedad son cero, pues sonperpendiculares a la direccin del desplazamiento.

En base a lo anterior es fcil demostrar que el trabajo que realizamos a favor oen contra de la fuerza de gravedad es independiente de la trayectoria pordonde traslademos un objeto. Esta idea se ilustra en la figura 18.

Fig. 18

A

B

Cualquiera sea la

trayectoria por la que lleve

la masa m de A hasta B,realizo el mismo trabajo:

T = mgh.

r

mh

Por ltimo, es importante tener presente que en el movimiento circunferencialuniforme la fuerza centrpeta no realiza trabajo, pues es en todo instanteperpendicular al desplazamiento.

6. Po tenc ia

Una fuerza puede realizar un mismo trabajo demorando tiempos distintos. Deello da cuenta el concepto de potencia, que habitualmente designamos con laletra W.

Si Tes el trabajo realizado por una fuerza en el tiempo t, entonces la potencia

desarrollada est

TW= y su unidad en el Sistema Internacional es el

segundo

joule,

que se denomina watt.


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15

h

gr Poseo energa potencial

(EP) y cintica (EC)vr

Fig. 20

La primera cantidad (la energa potencial o posicional) corresponde a la queposee un cuerpo debido a la posicin que ocupa; la denominamos energapotencial gravitatoria y la podemos escribir como EP = mgh. La segundacantidad, que corresponde a la energa que posee un cuerpo por el hecho de

estar trasladndose con cierta rapidez, la denominamos energa cintica de

traslaciny la podemos escribir como 22

1mvECT = .

Si la piedra estuviera girando sobre s misma en relacin a un eje con unarapidez angular y un momento de inercia I, tendra tambin una energa

cintica de rotacin, que se puede calcular como 22

1IECR = . En los ejemplos

que veremos a continuacin consideraremos situaciones en que los cuerpos norotan sobre s. El caso de la energa de rotacin lo trataremos en formaespecial ms adelante en este mismo mdulo.

Si durante la cada de un objeto este no experimenta roce con el aire (o biendicho roce pueda ser despreciado), como ocurre en muchas situacionescotidianas, la energa mecnica total E = EP + EC permanece constante en eltiempo. Por eso hablamos de la ley de conservacin de la energa mecnica.

Esta ley no es aplicable solo a la cada de los cuerpos. Es en realidadcompletamente general y constituye un slido pilar de la fsica. Por otra parteresulta de gran utilidad prctica para resolver en forma simple algunoscomplejos problemas, permitiendo predecir situaciones de movimiento.

Un caso particularmente interesante en que se puede aplicar la ley deconservacin de la energa mecnica, es el de un carrito que viaja por unamontaa rusa cuando el roce puede ser despreciado.

Veamos un par de ejemplos que ilustran la manera de emplear esta ley.


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Ejemplo 1. Una pelota se deja caer libremente en condiciones de vaco desde loalto de una torre de 20 metros de altura, como se indica en la figura 21. Conqu rapidez llega al suelo?

A

B

h

Fig. 21

Sea A el punto del cual se suelta la pelota y B el punto donde llega a impactarel suelo.

Si m es la masa de la pelota, h la altura respecto del suelo desde donde essoltada y g la aceleracin de gravedad del lugar, entonces, la energa mecnicatotal de la pelota en A, respecto del suelo, debe ser EA = mgh, y en B,

2

2

1mvE

B

= , en que v es la rapidez con que llega al suelo. En A su energa

cintica es cero debido a que parte del reposo y en B la energa potencial escero porque h = 0.

Ahora bien, como las condiciones son de vaco, no hay roce y, por lo tanto, laenerga mecnica de la pelota en A y en B deben ser iguales; es decir

EB =EA, por lo tanto: mghmv =22

1

Despejando encontramos que ghv 2= . Como h= 20 metros, si consideramos g= 10 m/s2 tendremos que v = 20 m/s.

Nota que la masa de la pelota se simplifica y por lo tanto no es un datorelevante en el problema; en otras palabras, la ley de conservacin de laenerga ratifica el hecho de que, en condiciones de vaco, todos los cuerposcaen de la misma manera independientemente de la masa que posean.


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Ejemplo 2. Un carrito se suelta desde lo alto de una montaa rusa de 30 m dealtura, como se muestra en la figura 22. Si despreciamos los efectos del roce yel giro de las ruedas,

a) con qu rapidez pasa el carrito por el punto P, situado a 18 m del suelo?

P

18 m

30 m

A

Q

hQ

Fig. 22

Si m es la masa del carrito y g la aceleracin de gravedad en el lugar, laenerga mecnica total del carrito en el punto A es, respecto del suelo, EA =

mgh y, en el punto P, 22

1mvmghE PP += , en que hP es la altura a que se

encuentra P y v la rapidez con que el carrito pasa por l. Como los efectos deroce son despreciables, entonces la energa mecnica en P y en A debe ser

igual; es decir:EP =EA, o sea, mghmvmghP =+2

2

1. Despejando v encontramos:

)(2 Phhgv = . Si g = 10 m/s2

, como h = 30 m y hP = 18 m, tenemos que5,15240 =v m/s.

b) Si el carrito pasa por el punto Q con una rapidez de 17 m/s, a qu altura seencuentra este punto Q?

La energa del carrito en el punto Q debe ser 22

1QQQ mvmghE += e igual a la que

posee en el punto A:EA = mgh; es decir: mghmvmgh QQ =+2

2

1. Despejando

obtenemos 221 QQ vg

hh = . Reemplazando los datos de que disponemos

encontramos que hQ = 15,55 metros.


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20

8.2 . Desp lazamien to

Para un objeto que se traslada en el plano XY se ha definido el desplazamiento

if rrrrrr

= . Anlogamente, un cuerpo que rota describir cierto desplazamientoangular = f i, segn se ilustra en la figura 25 a y b respectivamente.

X

Y

i

Desplazamiento angular ()

P

f

Desplazamiento lineal ( rr )

X

rr

O

Y

irr

frr

a bFig. 25

8.3 . Ve loc idad med ia

Como recordars, la velocidad lineal es un concepto vectorial. Ella posee ladireccin y sentido del desplazamiento rr , como se ilustra en la figura 26a,

pues se define segn t

r

vm

=

r

r

. Anlogamente, la velocidad angular tambin esun vector, que designamos por

v

, en que su direccin es perpendicular alplano en que se realiza el movimiento, su sentido est dado por la regla de la

mano derecha y su mdulo est dado port

m

=

, segn se ilustra en la

figura 26b.

r

vr

R

irr

frr

rr

mvr a b

Fig. 26


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22

Es importante notar que para un disco slido que rota como se ilustra en lafigura 27, mientras todos los puntos que lo constituyen poseen la mismarapidez angular , poseen distinta rapidez lineal (flechas verdes), la cual esmayor mientras ms alejados estn del eje de rotacin. Lo mismo ocurre conla aceleracin centrpeta (flechas rojas), que es mayor mientras ms alejadosestemos del eje de rotacin.

Fig. 27

8.6. Acelerac in

Igual que en los casos anteriores, es posible hablar de aceleracin lineal y deaceleracin angular. La aceleracin lineal da cuenta de los cambios en la

velocidad lineal y se define comot

va

=r

r . Anlogamente, la aceleracin angular

da cuenta de los cambios en la velocidad angular y, no obstante poseer unadefinicin que alumnas y alumnos fcilmente imaginarn, no la estudiaremosaqu por no ser necesaria.

Para el caso del movimiento circular uniforme, la aceleracin angular es nula,pero la aceleracin lineal est dirigida hacia el centro de rotacin, razn por la

cual se denomina aceleracin centrpeta ( Car

) y su mdulo esRvaC

2

= o bien

.RaC2

=


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8 .7 . M as a y m om en to de i ne rc i a

La masa (m) de un cuerpo es la medida de su inercia. En otras palabras, la

masa expresa la dificultad que los objetos presentan para cambiar su estadode reposo o movimiento. Por ejemplo, entre dos objetos poseer mayor masaaquel que nos cueste ms acelerar, frenar o cambiar la direccin en que seest moviendo.

El concepto anlogo aqu es el de momento de inercia (I), que expresa ladificultad que ofrece un cuerpo para rotar alrededor de un eje. Como hemosvisto, es un poco ms complejo que el de masa, pues depende tanto del eje enrelacin al cual se lo haga girar como de la manera en que se distribuye sumasa en relacin a ese eje de rotacin o giro.

Por ejemplo, si dos ruedas poseen la misma masa, poseer mayor momento

de inercia aquella cuyo radio sea mayor. Mientras ms alejada est la masa deleje de giro o rotacin en un cuerpo, mayor ser su momento de inercia. Poresta razn, como vimos, la bailarina que rota sobre s misma tiene mayormomento de inercia cuando est con sus brazos extendidos que cuando lostiene junto a su cuerpo.

8.8 . Fuerza y to r que

Si la fuerza neta sobre una masa m es Fr

, producir en ella una aceleracin ar tal que amF r

r

= , como lo establece el segundo principio de Newton. Si sobre mno actan fuerzas, entonces el cuerpo en cuestin conservar su estado de

reposo o movimiento. Es decir, si est en reposo, continuar en reposo y, siest en movimiento, continuar movindose con rapidez constante y en lnearecta. Todo esto, claro est, se refiere a las traslaciones.

El concepto anlogo para las rotaciones es el de torque(). Si el torque netosobre un sistema es cero, entonces dicho sistema conservar su estado derotacin. Es decir, si est en reposo, continuar en reposo, y si est rotando,conservar su movimiento rotacional en dos aspectos: su rapidez angular, queser constante, y la direccin del eje de rotacin.

Recuerda que el torque, cuando la fuerza F es perpendicular al brazo r, est

dado por: = Fr.8 . 9 . Mo m e n t u m l i n ea l y m o m e n t o a n g u l ar

Como recordars de Segundo Ao Medio, una cantidad fsica importante es lacantidad de movimiento o momentum l ineal. El momentum de un cuerpo sedefine como el producto de su masa por su velocidad. El concepto fue tratadocuando no sabas de vectores, pero ahora comprenders que se trata de unamagnitud vectorial. En efecto, queda bien definido como: vmp rr = .


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Para el caso de las rotaciones tambin hay un concepto anlogo, que es el demomento angular (L ) y que corresponde al producto entre el momento deinercia (I) y la velocidad angular (

r

r ); es decir, corresponde a una magnitud

vectorial que se puede expresar como

r

r

IL = , cuya direccin y sentido son lasde r .

Ahora bien, ambas cantidades (pr y Lrr

) estn asociadas a leyes deconservacin: la primera a la ley de conservacin del momentum lineal y lasegunda a la ley de conservacin del momento angular.

La ley de conservacin del momentum lineal establece que, para un sistemaformado por uno o varios cuerpos, su momentum lineal total permanececonstante en el tiempo si sobre dicho sistema no actan fuerzas externas.Cuando esto ocurre decimos que el sistema est aislado.

Si un sistema fsico aislado est formado por n cuerpos, entonces sumomentum total es npppP

rrr

r

+++= ...21 . Los cuerpos que constituyen estesistema, pueden interactuar entre s como los carritos o bolitas que chocan,pero, si sobre ellas no actan fuerzas externas, entonces constante=P

r

.

La ley de conservacin del momento angular establece que para un sistemaformado por uno o ms cuerpos en rotacin, su momento angular totalpermanece constante en el tiempo si sobre el sistema no hay un torque netoexterno; es decir, el sistema tambin debe estar aislado.

Si un sistema de n cuerpos rota en torno a ciertos ejes (iguales o distintos),entonces el momento angular del conjunto ser nLLLL

rrrr

...21 ++= . Los cuerposen este sistema pueden interactuar entre s, como el caso de la rueda debicicleta y la persona en la silla de secretaria, pero si no hay torque externo,entonces, constante=L

r

.

8.10 . Energ a cin t i ca

Por ltimo, mencionemos la evidente analoga que existe entre la energacintica de traslacin y la energa cintica de rotaciones. Basta en este casorepetir las expresiones que permiten calcularlas para ver su parecido.

Energa cintica de traslacin: 22

1mvECT =

Energa cintica de rotaciones: 22

1IECR =

Tienen la misma unidad? Verifcalo.


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Los objetos que mejor se comportan como un slido son los cristales dediamante, pero incluso ellos pueden ser alterados. En definitiva, los conceptosde slido, lquido y gas son un tanto relativos y dependen de las circunstanciasen que se encuentre la materia. Nosotros consideraremos el vidrio de unaventana o a la madera de la cubierta de una mesa como slidos por cuantodurante el perodo de tiempo en que los podemos considerar, para el anlisisde una situacin o un experimento, conservan prcticamente inalterada suforma.

El que un material se encuentre en alguno de estos estados dependeprincipalmente de la temperatura que tenga y, como se estudi en la unidad

El Calor en Segundo Ao Medio, ello se debe a una fuerza elctrica decohesin entre tomos y entre molculas. Los slidos, tomos y molculasvibran dentro de posiciones bien definidas, ya que las fuerzas de cohesinentre ellos son muy grandes debido a su gran proximidad. En los lquidos, las

molculas estn un poco ms separadas, de modo que presentan ciertalibertad de movimiento. En los gases, en cambio, las molculas estn adistancias tan grandes unas de otras que las fuerzas de cohesinprcticamente no existen. En algunos casos (gases ideales), incluso se puedendespreciar.

En esta unidad nos preocuparemos de comprender el comportamiento de losllamados fluidos. Este es un trmino genrico que incluye a lquidos y gases;es decir, materiales en que tomos y molculas pueden moverse con ciertafacilidad unos respecto de otros. Al estudio de un fluido que est en reposo(agua quieta en un vaso, aire cuando no hay viento, etc.) se lo denomina

hidrosttica y cuando se estudia un fluido que est en movimiento o algo semueve en l (agua corriendo por un ro o saliendo de una caera, avin envuelo, etc.) se habla de hidrodinmica.

Muchos de los hechos que observamos a nuestro alrededor encuentran suexplicacin en el interesante comportamiento de los fluidos. Veremos, porejemplo, por qu se sostiene una ventosa en un vidrio, por qu podemostomar bebida con una bombilla, por qu los objetos menos densos que el aguaflotan en ella, por qu un barco de acero flota en el mar, por qu pueden volarlos aviones, etc. y descubriremos que muchas de las respuestas quehabitualmente damos a preguntas como las anteriores son profundamenteincorrectas.


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1.1 . rea , vo lum en, masa y dens idad

Para abordar adecuadamente el tema de esta unidad es necesario que tengas

presente algunos aspectos relativos a los conceptos de rea, volumen, masa ydensidad; particularmente, cmo se miden.

Tanto el rea como el volumen de los objetos pueden determinarse, muchasveces, haciendo uso directamente de nuestros conocimientos de geometra. Enla figura 29 se resumen las frmulas que usaremos con mayor frecuencia y enla figura 30 se indican las unidades que empleamos para medirlas , as comosus relaciones.

hrV 2= 3

3

4rV =abhV

2

1=abcV=

3aV=

Volumenes: r

h

r

hb

a

c

ba

a

aa

reas:r

bb

a a a

2aA = abA =2

abA = 2rA =

Fig. 29

La masa de los objetos podemos medirla con una balanza o (indirectamente)con un dinammetro. La unidad de masa en el Sistema Internacional (SI) es elkilogramo (kg), que conocemos bien porque lo empleamos en la vida diaria.Tambin empleamos algunos de sus derivados, como el gramo (g) y latonelada (1.000 kg).

Fig. 30

Concepto Unidad SI SmboloLongitud metro mrea metro2 m2

Volumen metro3 m3Masa kilogramo kg

Densidad3metro

kilogramo

3m

kg


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28

Toda porcin de materia posee una masa m y, bajo ciertas condiciones, unvolumen V que permiten definir la densidad D. Esta importante cantidad lacalculamos segn:

VmD = [1]

de donde tenemos que:

volumendeunidad

masadeunidadndidaddeUnidadde =

cuya unidad SI debe ser:3m

kg. Tambin se suele usar el

3cm

g.

Debes notar que, como 1 kg = 1.000 g y 1 m = 100 cm, se tiene que:

13cm

g= 1.000

3m

kg

En el cuadro de la figura 31 se sealan algunas relaciones entre unidades deuso frecuente en fsica que es conveniente que tengas presente.

1 m = 102

cm = 103

mm 1 litro (lt) = 103

cm3

1 m2

= 104

cm2

= 106

mm3

1 ml = 1 cm3

= 103

lt1 m

3= 10

6cm

3= 10

9mm

3

1 kg = 103

g

13m

kg= 10

3

3cm

g

Fig. 31 Algunas conversiones que conviene tenerpresente.

Notar que:

102 = 10010

3= 1.000

104

= 10.000

En la tabla de la figura 32 se dan las densidades de algunos materiales queser importante tener presente para el desarrollo esta unidad. No debeolvidarse que la densidad del agua (destilada, a 0 C y a 1 Atm) esexactamente 1 g/cm3 o 1000 kg/m3.


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Fig. 32

Material (g/cm3)Aire atmosfrico 1,29 103Corcho 0,24

Madera de pino 0,42Aceite de comer 0,98Aluminio 2,70Acero 7,80Diamante 3,50Cobre 8,90Mercurio (Hg) 13,6Oro(Au) 19,3Estos valores corresponden a cuandola temperatura es 0 C y la presin 1atmsfera.

Por otra parte, existen en el universo densidades mucho mayores a la delagua, como la de las estrellas de neutrones (1025 g/cm3), y otras muypequeas, como la del espacio interestelar (1019 g/cm3). En el Big Bang,segn los astrofsicos, la densidad habra sido infinitamente grande.

Conocer la densidad de un material puede ser muy importante. Supongamosque cierta piedra posee una densidad de 4,2 g/cm3 y una masa de 1.260 g.Qu volumen ocupa?

De [1] tenemos queD

mV= ; luego, considerando los datos, encontramos:

V=3g/cm4,2

g1.260 = 300 cm3.

Qu masa de aire habr en la sala de clases? Aventura un valor y luegorealiza las mediciones pertinentes que te permitan estimarlo con mayorexactitud.

Considerando nuestro planeta como un cuerpo esfrico de 6.370 km de radio,cuya masa es de 5,9 1024 kg, estima la densidad de la Tierra en g/cm3.Cmo explicas el hecho de que la densidad promedio de las rocas de susuperficie (~ 4 g/cm3) sea menor que la del planeta considerado en su

conjunto?

Considerando que la atmsfera posee unos 80 km de altura, estima cul es suvolumen. Cmo crees que ser su densidad a distintas alturas?


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2. H id ros t t i ca

2 .1 . Pres in h id r os t t i ca

Antes de referirnos especficamente a la presin en fluidos, que es lo que nosinteresa, veremos el caso de los slidos para introducirnos as ms fcilmenteen el concepto de presin.

2.2 . El concepto de p r es inSean dos porciones de materia (A y B) que interactan entre s con una fuerza,F, a travs de una superficie, S. La presin Pque se ejercen se define como:

S

FP= [2]

De acuerdo con esto la unidad para medir la presin debe ser:

Unidad de presin =sperficiedeunidad

fuerzadeunidad

En el SI, en que la fuerza se mide en newton y el rea de una superficie en

metros cuadrados, la unidad de presin es2metro

newtony se denomina pascal (Pa),

en honor a Blas Pascal. Lee el recuadro de la figura 33 para saber sobre estegran personaje. Ms adelante nos referiremos a otras unidades de presin deuso corriente que son muy importantes. Veamos, ahora, algunos ejemplos.


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Blas Pascal (1623 1662) Filsofo, escritor,

matemtico y fsicofrancs. Invent lamquina de calcularcuando era muy joven.Contribuy a desarrollarel concepto de presinatmosfrica, el equilibriode los lquidos y laprensa hidrulica. Enmatemticas inicia elclculo deprobabilidades.

Fig. 33

La figura 34 ilustra un libro sobre una mesa aqu en la Tierra. Como ejerce unafuerza sobre la mesa (su peso) y entre l y la mesa hay una superficie decontacto, entonces el libro est ejerciendo una presin sobre la masa.

Fig. 34

10 m/s20,3 m

2 kg

Como la masa del libro es 2 kg, su peso es F= 20 newton. Por otra parte, el

rea de contacto es S= 0,3 m 0,2 m = 0,06 m2

. Luego, reemplazando en [2]encontramos que la presin es: P= 33,3 pascal.

Es importante comprender que la presin ser mayor mientras mayor sea lafuerza y mientras menor sea el rea de contacto. Este ltimo hecho explica laeficacia con que funcionan ciertos utencilios como los que se ilustran en lafigura 35: cuchillos, tijeras, clavos, etc.; pues con fuerzas relativamentepequeas es posible ejercer presiones muy grandes, que es lo que interesarealmente en estos casos.


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Fig. 35

Cuando empujamos un mueble o a una persona, evidentemente estamosaplicando una fuerza, pero lo que sentimos en nuestras manos al empujar elmueble, y lo que siente la persona cuando la empujamos, es una presin. El

dolorcito que sentimos cuando la enfermera nos clava la aguja de una jeringa,tambin es consecuencia de una gran presin. Estima la presin que se ejerceen alguno de estos casos.

Aproximadamente qu presin ejerce sobre el suelo una persona que est depie? Si la masa es de 60 kg, como la del seor de la figura 36, y el rea decontacto entre la planta los zapatos y el suelo es 0,012 m2, entonces esta

presin esS

FP

g= , oS

mgP= ; es decir:

2

2

m012,0

m/s10kg60 =P ,

lo que corresponde a 50.000 pascal. Cmo cambia la presin si la personalevanta uno de sus pies separndolo completamente del suelo?

g = 10 m/s2

120 cm2

60 Kg

Fig. 36


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2.3 . La p res in en l qu idos

Por qu un buzo o un submarino estn sometidos a mayor presin mientras

mayor sea la profundidad a que se encuentren? La presin que ejerce unlquido en el fondo del recipiente que lo contiene depende o no de la forma deeste? De qu factores depende?

Para responder a estas preguntas consideremos un lquido de densidad D (nonecesariamente agua) que se halla en un recipiente cilndrico alcanzando unaaltura hsegn se indica en la figura 10.

h

g

D

S

P

Fig. 37

La fuerza que aplica el lquido en el fondo del recipiente debe ser su peso; es

decir, F = mg. Segn [1] su masa debe ser: m = DV y su volumen V = Sh, enque Ses el rea del fondo del recipiente. Reemplazando en [2] encontramos:

S

DShg

S

DVg

S

mgP === ; simplificando,

DghP= [3]

Esta importante relacin nos dice que la presin que ejerce el lquido en elfondo del recipiente depende solamente de su densidad D, de la altura h de lacolumna de lquido y de la aceleracin de gravedad g del lugar donde se

encuentre; es decir, no depende de la forma del recipiente, ni de la superficiedel fondo, ni del volumen de lquido.


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34

Veamos algunos ejemplos para entender el alcance de la relacin [3].

Ejemplo:

Qu presin ejerce una columna de agua de 15 cm de altura en el fondo delvaso que la contiene, aqu en la superficie terrestre?Solucin:

Como se trata de agua D = 1 g/cm3 = 1.000 kg/m3; h = 15 cm = 0,15 m.Considerandog= 10 m/s2, al reemplazar en [3] encontramos:

pascalDghP 500.115,0101000 ===

Ejemplo:

En la figura 38 se muestran tres vasos que contienen agua hasta el mismonivel. Cmo es la presin que el agua ejerce en el fondo de cada uno de ellos?

Fig. 38

Solucin:

Como el lquido, la altura y la gravedad son iguales en los tres casos, lapresin tambin lo es.


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Ejemplo:

Qu presin ejerce el agua en el fondo de un lago de 40 m de profundidad(figura 39)?

AguaFig. 39

40 m

Solucin:

Reemplazando los datos en la expresin [3] tenemos

pascals

mm

m

KgP 000.4001040000.1

23== .

N o t a i m p o r t a n t e : en los ejemplos anteriores se ha considerado solo lapresin ejercida por los lquidos. Ms adelante veremos que la presin total enel fondo de los recipientes se encuentra sumando la presin que ejerce la

atmsfera.

h

Fig. 40

Si en un recipiente practicamos orificios en diferentes posiciones, segn seilustra en la figura 40, veremos que por el orificio ms bajo, aquel para el cualh es mayor, el chorro de agua sale con mayor rapidez y llega ms lejos, lo cualprueba que all la presin es mayor. Es interesante observar que la fuerza queproduce la presin es perpendicular a las paredes del recipiente. Ms an,acta perpendicularmente a la superficie de cualquier objeto con el que est encontacto.


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Fig. 41

En la figura 41 se ilustra un recipiente de forma caprichosa en el cual tambinhay sumergido un cuerpo cualquiera de forma arbitraria. Por medio de flechasse seala la direccin en que acta la fuerza en cada punto y las longitudes delas mismas representan la magnitud de las presiones en dichos puntos. Nteseque para alturas o profundidades iguales, las longitudes de las flechas tambin

son iguales. Con esta representacin hay que ser cuidadoso pues la presin noes una magnitud vectorial.

Analicemos el caso de los vasos comunicantes: si en un tubo o manguera conforma de U colocamos agua, esta alcanzar en ambos brazos la misma alturacuando se establezca el equilibrio, es decir, hasta que en cada brazo laspresiones sean iguales. Pero si colocamos aceite en uno de los brazos veremosque el sistema queda como se ilustra en la figura 42.

10 cmhB

Agua

Aceite

AB

g = 10 m/s2

Fig. 42

Supongamos que la altura (hB) de la columna de aceite es un poco mayor que10 cm. Como la presin ejercida por el agua en el punto A debe ser la mismaque ejerce el aceite en el punto B, tenemos:

PA =PB [4]


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37

considerando [3], esto implica que:

DBghB =DAghA,

donde DB y DA son las densidades del aceite y el agua respectivamente y hB yhA(10 cm) sus respectivas alturas. Como g, la aceleracin de gravedad es lamisma, y se puede simplificar*, con lo cual queda:

DBhB =DAhA

Por ltimo, como la densidad del aceite es 0,98 g/cm3, podemos determinar laaltura de la columna de aceite. En efecto:

B

A

B

D

hDh

A

=

Reemplazando los datos del ejemplo que hemos desarrollado encontramosque:

hB = 3

3

g/cm0,98

cm10g/cm1 = 10,2 cm.

* La presin atm osfrica tam bin contribuye prcticam ente igual en am bas

columnas, r azn por la cual no la consideraremos.

2.4 . El p r in c ip io de Pasca l y la m qu in a h id r u l i ca

Si en un recipiente cerrado hay un fluido, la variacin de presin se transmiteen todas direcciones con la misma intensidad.

F= ?

4.500 kg

Pistn APistn B

g = 10 m/s2

fluido

Fig. 43


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Para comprender este enunciado del principio de Pascal, resulta convenienteanalizar la mquina hidrulica que se ilustra en la figura 43. En estos casosdespreciaremos las diferencias de presin atmosfrica que existen a diferentesalturas del fluido, as como la presin hidrosttica. Para que el camin est enequilibrio es necesario que las presiones en ambos pistones (A y B) sea lamisma; es decir,PA =PB. Considerando [2] este principio se puede escribir:

B

B

A

A

S

F

S

F= , [5]

donde FA y FB son las fuerzas ejercidas sobre los pistones y SA y SB susrespectivas reas de contacto con el fluido. Si la superficie del pistn B es 60veces mayor que la del pistn A; es decir, si SB = 60 SA; entonces la fuerza quedebe aplicarse en A, para mantener el camin en equilibrio, es la cincuentavaparte del peso del camin. En efecto, si reemplazamos los datos en [5] y

calculamosFA, encontramos:

B

BAA

S

FSF = =

A

AS

S60

newton45000= 750 newton

Esta fuerza es la que se necesita para levantar del suelo un cuerpo de unos 75kg. Como puede verse, la mquina hidrulica es muy eficiente y permitemultiplicar considerablemente las fuerzas.

Si lo deseas, puedes experimentar con una mquina hidrulica elemental comola que se ilustra en la figura 44. Se trata de dos jeringas unidas por una

manguera (una bombilla de plstico para tomar bebidas resulta ideal). Si sellena todo con agua, basta presionar con las manos ambos pistones paraapreciar que la fuerza que debe hacerse sobre cada uno de ellos paramantenerlos en equilibrio es muy diferente.

Fig. 44


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Estos sistemas hidrulicos son parte de muchas maquinarias; peroposiblemente donde ms se los emplea es en los automviles, cada vez que elchofer de un vehculo pisa el pedal de freno. En la figura 45 se ilustra unaparte de un circuito de freno hidrulico tradicional. Si te interesa la mecnica,puedes investigar los distintos tipos de frenos que existen.

Pedal de freno

Manguera de frenos

Depsito de

lquido de frenosNeumtico

Tambor

Balata

Fig. 45

2.5 . Pres in a tm os f r i ca

Pesar el aire? Para responder a esta pregunta podra pensarse en realizar lamedicin que se ilustra en la figura 46.

Fig. 46

Compara el peso de un globo cuando est desinflado con el peso que tienecuando est inflado. La diferencia correspondera a la masa del aire atrapado

en el interior del globo inflado.Como veras ms adelante, independientemente de la precisin del instrumentoque se emplee, este mtodo es profundamente errneo. Si bien no proporcionala masa del aire del interior del globo, permite convencerse de que la preguntas tiene sentido y de que la respuesta es positiva.


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Existe el vaco? Cmo puede producirse? La historia de este problema esttambin estrechamente relacionada con el concepto de presin. Aristtelesafirmaba que el vaco era imposible, que la naturaleza le tendra terror al

vaco y que cualquier intento por producirlo estara condenado al fracaso. Estaidea, como tantas otras de este pensador, no se puso en duda por ms de diezsiglos. El alemn Otn von Guericke fue uno de los primeros en realizar unamquina para intentar generar el vaco. En la figura 47 se muestra unaescultura en la que se lo recuerda junto a su mquina. El cmo lo realiz es untema muy entretenido que puedes investigar en Internet, donde hayabundante material al respecto.

El experimento ms importante lo realiz un discpulo de Galileo Galilei, elitaliano Evangelista Torricelli (1608-1647), cuyo rostro y experimento podemosver en la figura 48. Procedi a llenar con mercurio un tubo de vidrio del ordende 1 metro de longitud y luego lo invirti abriendo su extremo en un recipiente

que tambin contena mercurio, segn la secuencia que se ilustra en la figura49. Grande fue su sorpresa al constatar que parte del mercurio se derramabaen el recipiente, quedando dentro del tubo una columna de mercurio de unos76 cm de longitud.

Fue una sorpresa pues esperaba que ocurriera lo mismo que con otros lquidos,esto es, que el mercurio permaneciera dentro del tubo sin derramarse.

Fig. 18 Fig. 19Fig. 48Fig. 47


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41

Torricelli comprob despus que la altura de esta columna de mercurioresultaba igual aun cuando, segn se ilustra en la figura 50, el largo del tubo,su dimetro y forma fueran muy diferentes. Qu otra cosa aparte de vaco

poda quedar en la parte superior del tubo? Si intentas realizar t este tipo deexperimentos, debes tener mucho cuidado, pues, si bien el mercurio es muyhermoso, es altamente txico, por lo que resulta absolutamente necesariotrabajar en un lugar bien ventilado.

76 cm1 m

Llenareltubo

conHg

destapar

vaco

voltear y sumergiren recipiente con

Hg

Secuencia

Tapar sin quequede aire en

el tubo

Fig. 49

76 cm

Fig. 50

Si realizas el experimento con agua en vez de mercurio, vers que no sederrama en el recipiente y el tubo queda lleno de agua.

La explicacin de estos comportamientos no fue cosa simple. Torricelli sostuvoque la columna de mercurio era sostenida por la presin atmosfrica. Si seexamina el esquema de la figura 24 y aplicamos lo que aprendimos para elcaso de los vasos comunicantes, podremos entender mejor a Torricelli. Enefecto, la presin que ejerce la columna de mercurio de altura h en el punto B,debe ser igual a la que existe en el punto A; pero el tubo aqu est abierto y encontacto con el aire; por lo tanto, este aire atmosfrico debe ser el responsablede esta presin.


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42

Fig. 51

hg

BA

La presin atmosfrica puede ser calculada entonces con la expresin [3]; esdecir:

Patmsfera =DHg g hHg

Como DHg, la densidad del mercurio, es 13.600 g/cm3, hHg = 0,76 m y g= 10m/s2, encontramos que:

Patmsfera = 103.360,0 pascal

(Si empleamos valores ms exactos, se encuentra que la presin atmosfrica anivel del mar es en promedio 101.325,0 Pascal)

Este es evidentemente un resultado muy importante. Si quisiramos calcular lapresin total en el fondo del lago de la figura 39, a la presin del aguadebiramos sumarle este valor. Tambin es importante saber que elinstrumento construido por Torricelli, es lo que conocemos como barmetro.

Fue a Blas Pascal a quien se le ocurri un experimento que probara que estapresin se debe efectivamente a la atmsfera. La idea consista en ascenderuna montaa con un barmetro e ir midiendo, a medida que se asciende, laaltura de la columna de mercurio. Al existir cada vez menos aire encima delbarmetro, la presin ejercida por l deba ser menor y en consecuencia laaltura de la columna de mercurio deba reducirse. El experimento fue realizadocon xito en el monte Puy-de-Dme, como se ilustra en la figura 52, sin laparticipacin de Pascal, debido a que su precaria salud no se lo permita. Seencontr que, por cada 10,5 m de ascenso, la altura de la columna demercurio se reduca en 1 mm, por lo que este instrumento sirve tambin comoaltmetro.


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Fig. 52

Puy-de-Dme

Por otra parte, es interesante comprender que la altura de la columna demercurio no todos los das y a toda hora es la misma. En efecto, se observanvariaciones pequeas que estn relacionadas con el estado del clima.

2.6 . Ot ras un idad es de p res in

Las observaciones de Torricelli hacen de gran utilidad otras unidades demedicin distintas al pascal. Entre las principales encontramos el cm de Hg yel mm de Hg, tambin denominado torricelli y abreviado como torr. Estasunidades corresponden a la presin ejercida en la base de una columna demercurio de 1 cm y 1 mm, respectivamente. Otra unidad es la atmsfera,abreviada como atm y que corresponde a la presin ejercida, en su base, poruna columna de mercurio de 76 cm de altura. No debe confundirse la unidadatm con la presin que ejerce la atmsfera en un momento dado. Son por lo

general valores cercanos, pero los significados son distintos.Otras unidades usadas en meteorologa son el bar y el milibar.

1 bar = 105 pascal

Para que te familiarices con las unidades de presin, te recomendamos quecompletes el cuadro de equivalencias que se propone en la figura 53.


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Fig. 53mm Hg (torr) cm Hg atm Pascal (Pa) bar mbar

1 mm Hg 1 0,1 0,0013151 cm Hg 10 1 0,0131571 Atm 760 76 11 pascal 11 bar 105 1 10001 mbar 103 1

Por ltimo, otra unidad frecuentemente usada es la libra/pulgada2 (lb/in2), queequivale a 6.895 pascal.

2.7 . A lgunos e fec tos de la p res in a tm os f r i ca

Por qu el experimento de Torricelli no resulta si se hace con agua? Enrealidad s resulta, pero el problema es que el tubo de vidrio debiera tener msde 10 m de longitud. Ms exactamente, debiera ser a lo menos 13,6 veces mslargo que los 76 cm que se requieren al hacerlo con el mercurio, ya que elmercurio es 13,6 veces ms denso que el agua. Esto tiene una consecuenciaimportante: con una bomba de vaco, situada en la parte superior de unacaera (figura 54), es imposible hacer subir agua a ms de 10,336 metros. Enotras palabras, si queremos extraer agua de un pozo con esta tcnica y el aguaest a una profundidad mayor que esta, ser imposible lograrlo, por muypoderosa que sea la bomba que usemos. Del mismo modo, si pretendiramostomar bebida con una larga bombilla, no lo lograramos si el lquido est 10,5m ms abajo. En realidad, con la capacidad de nuestros pulmones, apenaslograramos que el agua ascienda 1 m. Intenta verificarlo.


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45

10 m

Bomba

Fig. 54

Como te has dado cuenta, vivimos en el fondo de un inmenso ocano de airey la presin que este produce est siempre presente, permitiendo que ocurranmuchas cosas. Veamos algunos ejemplos:

Podremos llenar de lquido una jeringa tirando su mbolo ya que este penetraen ella gracias a la presin atmosfrica.

Tambin una ventosa, como las que se adhieren a los vidrios para colgarobjetos (figura 55) se sostiene gracias a la presin atmosfrica. En la Luna, en

cuya superficie no hay atmsfera, una ventosa no lograra adherirse a unasuperficie lisa como la de un vidrio.

Presin

inferior a la

atmosfrica

Presin

atmosfrica

Fig. 55


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46

Si sumergimos un vaso en agua estando invertido (figura 56a), vemos que enl prcticamente no entra agua. En cambio, si lo sumergimos como se indicaen la secuencia b, observaremos que al sacarlo invertido, sale lleno de agua.Esto ltimo tambin constituye un hecho a travs del cual se pone en evidenciala presin atmosfrica. Puedes explicarlo?

Agua y vaso

Fig. 56

(b)(a)

El sifn es otro ejemplo. Si llenas una manguera con agua y la dispones comose indica en la figura 57, podrs vaciar el recipiente. Realiza el experimento.

Fig. 57


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47

Otro experimento que puedes hacer es el que se ilustra en la secuencia de lafigura 58. Si llenas un vaso con agua hasta el mismo borde, lo tapas con unatarjeta o cartulina, al invertirlo constatars que, al dejar de afirmar la tarjeta,el agua permanece en el vaso.

Fig. 58

Tambin es fcil realizar el experimento que se ilustra en la figura 59. Alcolocar el vaso sobre la vela se observa que, cuando esta se apaga una vezque ha consumido todo el oxgeno, el agua asciende en el interior del vaso.

Fig. 59

Considrese por ltimo el dispensador de agua que se ilustra en la figura 60.Gracias a l, la mascota puede beber segn sus necesidades, ya que el aguade la botella bajar en la medida que ste la consuma.

Fig. 60

Es importante que analices todos y cada uno de estos ejemplos, explicndolosy reconociendo el rol que desempea en cada caso la presin atmosfrica.


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48

Adems, debes comprender que nuestro organismo est sometidopermanentemente a la presin atmosfrica y que la presin que ejerce laatmsfera produce una fuerza perpendicular a la superficie de la piel en cadapunto de nuestro cuerpo. Un cambio pequeo en su valor puede afectarnosconsiderablemente. Es as que se producen los malestares que experimentanlos buzos al sumergirse en las profundidades del mar o los que experimentanlos alpinistas que ascienden a cumbres elevadas.

Qu ocurrir con un tarro de lata si lo calientas, luego lo tapashermticamente y por ltimo lo enfras, por ejemplo, echndole agua? Piensaantes de responder y, si haces la experiencia, cuida de no quemarte.

La figura 61 ilustra una bomba de las que se emplean en el campo paraextraer agua de los pozos. Obsrvala detenidamente y explica sufuncionamiento. Indica, por ejemplo, en qu momento las vlvulas se abren y

cierran al accionar la palanca.

Fig. 61

2 .8 . El ba rm e t ro anae rb i co

La figura 62 representa el principio bajo el cual funciona este tipo debarmetro.

Fig. 62

soporte

caraflexible

+


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49

A la izquierda, fijo a un soporte, se halla un tarro hermticamente cerrado. Si auna cara flexible fijamos una varilla y una aguja, veremos que al aumentar lapresin atmosfrica esta cara se hunde hasta que la presin del aire que esten el interior del tarro se equilibra con la presin atmosfrica. Como el panelest fijo al soporte, veremos que la aguja se desplaza hacia la izquierda; loopuesto ocurre cuando la presin atmosfrica se reduce. Como el efecto sueleser muy pequeo, los constructores de este tipo de instrumentos, por mediode un mecanismo con engranajes, amplifican este movimiento y le dan laapariencia de un reloj, como el que se muestra en la parte inferior de la figura63.

Fi . 63

2 .9 . El m anm et ro

Cuando el barmetro se emplea como se indica en la figura 64, lodenominaremos manmetro. En este ejemplo se puede apreciar que la presindel gas del baln, que puede considerarse igual en todas partes pues ladiferencia de presin en su parte superior e inferior es despreciable, es de 120torr.

Fig. 64

H

120 mm


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50

3.1 . El p r in c ip io de Arqu m edes

Cmo lo hacen los submarinos y los peces para permanecer quietos a cierta

profundidad, sumergirse y emerger? Por qu para los pjaros esto esimposible sin aletear? Cmo funcionan los chalecos salvavidas? Por quflotan los tmpanos de hielo? Por qu las burbujas de aire en el agua, o degas en las bebidas, siempre ascienden?

Si colocamos sobre agua (figura 65) distintos objetos: madera, plstico, papel,clavos, cubos de hielo, un barquito de papel, etc., veremos que algunos flotany otros se hunden. Pero esto no depende nicamente del material, tambindepende de la forma que este tenga. Si con un mismo trozo de plasticinaconstruyes una bola y un disco ahuecado, vers que el primero se hundemientras que el segundo flota, segn se ilustra en la figura 66. Por la mismarazn un clavo de hierro se hunde y un barco, del mismo material, flota. Todas

estas preguntas y los hechos sealados encuentran su explicacin en elprincipio de Arqumedes. Para saber ms sobre Arqumedes lee el recuadro dela figura 67.

moneda

a elclavo

hielolsticomaderaFig. 65 Fig. 66

plasticina

Fig. 67

Arqumedes deSiracusa nace el287 AC y en el 212AC, ao que caySiracusa en manosde los romanos, esasesinado por unsoldado a pesar deexistir la orden derespetar la vida delsabio. Realizgrandes aportes enfsica y geometra.


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Este clebre principio se puede formular del siguiente modo: Sobre un cuerposumergido en un lquido acta una fuerza, de abajo hacia arriba (el empuje),

que es igual al peso del lquido desalojado.

El anlisis de la figura 68 te ayudar a entender esto. Al sumergir la piedra elnivel del lquido sube, poniendo en evidencia el lquido desalojado por lapiedra. Al mismo tiempo, es claro que los volmenes de la piedra y el lquidodesalojado son iguales. Ahora bien, el peso de este lquido, es decir, su masamultiplicada por la aceleracin de gravedad, es igual a la magnitud de la fuerzaque acta sobre la piedra, de sentido opuesto al peso y que, por lo tanto, lahara sentir ms liviana.

Lquido

desalojado

Empuje

Fig. 68

Nadie sabe cmo Arqumedes lleg a esta conclusin, pero se conoce bien laleyenda segn la cual el rey Hern de Siracusaencarg al genio averiguar si lacorona de oro que le haba hecho un orfebre, contena todo el oro que lehaban entregado para su fabricacin. Segn se dice, hizo el descubrimientocuando se estaba baando, y tan contento se puso que sali desnudo y con lacorona en sus manos gritando por las calles de su ciudad Eureka!Eureka!..., en seal de que haba hallado la solucin al problema.

Ahora bien, lo interesante es comprender que el principio de Arqumedes esuna consecuencia de la presin hidrosttica. Para entender este punto sigamosel siguiente anlisis ayudados por la figura 69. All se muestra un lquido de

densidad D y sumergido en l un cuerpo cilndrico de altura H y rea A en suparte superior e inferior. Segn [3], en la superficie superior la presin es P1 =Dgh1, donde h1 es la profundidad a que se encuentra dicha superficie.Igualmente, en la superficie inferior es P2 =Dgh2. Arriba la fuerza producida porla presin acta hacia abajo y la de abajo acta hacia arriba, siendo mayoresta ltima dado que h2 > h1.


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h1

h2

A

PP22==DDgghh22

PP11==DDgghh11

Fig. 69

H

Los valores de estas dos fuerzas deben ser F1 = P1A y F2 = P2A,respectivamente, con lo cual la fuerza total resultante a la presin que aplica elfluido, ya que las fuerzas laterales se anulan, es:

F=F2 F1;es decir,

F= (P2 P1)A,

o bien,F= (Dgh2 Dgh1)A;

lo que se puede escribir como:

F=Dg(h2 h1)A =DgHA;

Pero como el volumen del cilindro, y tambin el del lquido desalojado, es V=HA, encontramos que la fuerza que acta hacia arriba y corresponde al empujeEes:

E=DgV [6]

Como la masa del lquido desalojado es, segn [1],

m = DV,


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el empuje corresponde a

E = mg,

que es el peso del lquido desalojado. As, hemos demostrado, gracias a lasmatemticas, el principio de Arqumedes.

No es muy difcil comprender que este es un resultado general; es decir, nodepende de la forma del cuerpo que est sumergido.

3 .2 . Em pu j e y pes o apa ren te

Todos hemos experimentado la sensacin de sentirnos ms livianos cuandoestamos sumergidos en agua. Ello no se debe a una reduccin de nuestropeso, sino a la presencia del empuje.

Si haces el experimento que se ilustra en la figura 70, podrs constatar que enapariencia el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo,si al colgar la piedra del dinammetro este indica que el peso de la piedra esde 10 newton (a) y al sumergirla en agua (b) indica 8 newton, ello se debe aque sobre la piedra, adems de la fuerza de gravedad, est actuando elempuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 newton, su pesoaparente8 newton y el empuje 2 newton.

(a) (b)

10 newton 8 newton

Fig. 70

Debes notar que, si consideramos que la densidad del agua es 1.000 kg/m3 yla aceleracin de gravedad 10 m/s2, entonces, con la ecuacin [6] podemosdeterminar el volumen de lquido desalojado y el de la piedra (que es elmismo). En efecto,

Dg

EV= ;


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55

F < E F < E F = E

(a) (b) (c)

Fig. 72

Problema:

En la figura 73 se ilustra un trozo de madera que flota en equilibrio sobre elagua. Qu parte de l sobresale del agua?

10 cm

10 cm

Agua

8 cm.

?

Fig. 73

Solucin:

Si consideramos [1] tenemos que la masa del trozo de madera es: M = DV.Como la densidad de la madera es 0,42 g/cm3, tomando en cuenta las medidasdadas en la figura 73, tenemos que:

M= 0,42 g/cm3 10 cm 10 cm 8 cmM= 336 g

Por lo tanto su peso es

Fg = mg= 0,336 kg 10 m/s2. = 3,36 newton.


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Esta fuerza debe ser igual al empuje que ejerce el agua, dado que la maderaest en equilibrio. Luego, considerando [6] podemos escribir:

3,36 newton = 1.000 kg/m3 10 m/s2 0,10 cm 0,10 cm y

de dondey = 0,0336 m = 3,33 cm;

por lo tanto, como x + y = 8 cm, tenemos que

x = 4,64 cm.

Es importante advertir que el empuje no solamente acta sobre cuerpossumergidos en lquidos. En efecto, tambin acta sobre los cuerpos sumergidosen la atmsfera. Por ejemplo, un globo lleno de helio, como el que sostiene la

persona de la figura 74, asciende porque el empuje que el aire le aplica esmayor que su peso, siendo lo mismo lo que ocurre con los globos aerostticos.Pero, por extrao que parezca, tambin acta sobre las personas y todas lascosas que nos rodean. En otras palabras, cuando nos subimos a una pesa, ellamarca un poco menos de lo que marcara si la atmsfera no existiera. Por estarazn el procedimiento indicado en la figura 46 para determinar el peso delaire es incorrecto.

Fig. 74

Hagamos una estimacin del empuje que el aire le aplica a una persona. Si ella

posee una masa de 60 kg y suponiendo que su densidad es igual a la del agua,tendremos que su volumen, considerando [1], es de 0,06 m3. Si la densidaddel aire la consideramos igual a 1,29 kg/m3, entonces, segn [6], el empujeque l ejerce sobre esta persona es del orden de 0,77 newton, que se puededespreciar si se lo compara con los 600 newton de su peso.


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Ahora te mostraremos un juego entretenido. Introduce un gotario a mediollenar con agua en una botella plstica casi llena de agua, segn se ilustra enla figura 48, y de modo que flote. Al cerrar la botella y presionar con los dedos

sus paredes, podrs constatar que el gotario desciende y, al dejar de presionarla botella, asciende. Este juguete, conocido como ludin o diablillo deDescartes (pues a l se le atribuye su invencin), se explica en base alprincipio de Arqumedes.Cul es esa explicacin?

Fig. 75

Para que este juguete funcione como lo hemos descrito y sea sensible a ladbil presin que con las manos ejerzamos sobre los costados de la botella, espreciso ajustar el agua dentro del gotario de modo que, cuando flote sobre elagua, est casi a punto de hundirse en ella.

3.4 . La cap i la r idad y la tens in sup er f i c ia l

Al introducir diferentes objetos en agua u otros lquidos, observars que laszonas en que dichos objetos estn en contacto con la superficie de taleslquidos adoptan curvaturas especiales, que llamaremos meniscos. Si el objetoes un tubo capilar, inferior a unos 4 mm de dimetro interior, observars queel nivel que alcanza el lquido dentro y fuera del tubo es diferente. Tambinpodrs constatar que algunos lquidos mojan de manera diferente los objetos;pero en algunos casos los lquidos no mojan en lo absoluto a los objetos, comoes el caso del mercurio y el vidrio. En la figura 76 se ilustran los distintosefectos sealados hasta aqu.

(a) Agua moja al

vidrio

(b) Mercurio no

moja al vidrio

Fig. 49


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Si bien estos efectos son pequeos y en la vida diaria suelen pasardesapercibidos, son de gran importancia y en muchos casos resultan de granutilidad prctica. Estos fenmenos ocurren debido a que las molculas de losdistintos materiales interactan elctricamente con las molculas de loslquidos y fluidos en general. Cuando el lquido moja al objeto, estas fuerzasson atractivas, y cuando no los mojan, repulsivas. Por otra parte, en lassuperficies de los lquidos estos tomos y molculas se atraen entre s msfuertemente que en otros lugares, produciendo lo que se denomina tensinsuperficial. El que los lquidos puedan ascender por delgados tubos sedenomina capilaridad.

A continuacin sealaremos distintas situaciones corrientes en que talesfenmenos tienen lugar. Es importante que realices las observaciones yexperimentos que se proponen y te convenzas por ti mismo de lo que aqu sedice. Si calientas en un mechero un tubo capilar de vidrio y lo estiras cuandose est fundiendo de modo que se adelgace lo ms posible, observars que al

introducir un extremo en agua esta asciende varios centmetros por el tubo,como se indica en la figura 77. Prueba con capilares de diferentes dimetros;el efecto puede llegar a ser sorprendente. Si agregas al agua una gota de tintachina, posiblemente vers que el colorante no asciende por el tubo. Por quocurrir esto?

El aguaasciende

hasta aqu

Fig. 77


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Hay papeles ms absorbentes que otros. La publicidad de servilletas y toallasde papel suelen destacar esta propiedad. La figura 78 muestra el diseo de unexperimento que permite evaluar este aspecto. Corta tiras de igual ancho perode distintos papeles y cartones e introduce sus extremos en agua. Despus deun rato vers que el agua asciende ms en unos que en otros. Qu fenmenoes el que est ocurriendo aqu? Qu tienen los papeles que permiten que estoocurra?

Fig. 78

Con un alambre muy delgado construye un resorte cuyas espiras posean unos2 cm de dimetro y midan unos 10 cm de largo cuando entre las espiras hayaalrededor de 5 mm de distancia. En su extremo conforma una argolla lo msplana posible. Lo que has construido es un dinammetro de gran sensibilidad,til para poner en evidencia la tensin superficial en lquidos. Si introduces laargolla en agua, como se indica en la figura 79, constatars que al levantar elresorte este se estira. Compara la tensin superficial que producen diferenteslquidos: aceite, mercurio, alcohol, etc.

Si eres muy cuidadoso y paciente, posiblemente sers capaz de poner unaaguja de cocer sobre el agua sin que se hunda (figura 79). Si no tienes tantapaciencia, puedes lograrlo pasando primero la aguja por una vela (parafinaslida). Qu efecto producir la esperma?

Superficie deun l uido

Fig. 79


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Posiblemente has visto que algunos insectos pueden caminar sobre el agua,cmo lo lograrn? Dato curioso: si una piscina estuviera llena de mercurio envez de agua, podras caminar por su superficie al igual que algunos insectos enel agua.

Si disuelves un poco de jabn en agua e introduces en ella una argolla, alsacarla podrs ver una delgada pelcula de lquido que se sostiene en losbordes de la argolla. Si soplas suavemente podrs formar hermosas burbujasque vuelan por el aire hasta reventar en el momento de tocar un objeto. Alagitar la superficie del agua jabonosa tambin podrs ver que en ella seforman numerosas burbujas. Cmo explicas la formacin de las burbujas?

Otra observacin interesante que tiene relacin con los hechos descritos sonlas gotas en diferentes lquidos; sern todas las gotas de agua del mismotamao? Qu pasa con gotas de agua, alcohol, aceite y mercurio si se colocan

sobre la superficie horizontal de un vidrio? Qu diferencia tiene una gota deagua, colocada sobre un vidrio horizontal, comparada con la que se forma enuna superficie de tefln? Por qu los gsfiter emplean huinchas de tefln enlas uniones de las caeras de agua?

La capilaridad es aprovechada por el reino animal y vegetal, siendo de granimportancia para la vida. Por ejemplo, en todos los organismos hay una redcapilar que lleva los nutrientes a los tejidos y los rganos, a travs de la linfaen los vegetales, y de la sangre en los animales. La capilaridad contribuyesignificativamente a que la linfa llegue a ms de 120 metros de altura en losgrandes rboles. Si te interesa la biologa puede resultar muy interesante que

realices una investigacin bibliogrfica acerca de estos aspectos.4 . H id rod inm ica

En este captulo estudiaremos algunos fenmenos interesantes que acontecencuando los fluidos se mueven en relacin a un conducto y cuando un objeto semueve en relacin a ellos. El personaje central de esta apasionante historia esDaniel Bernoulli, cuyo perfil podemos ver en el recuadro de la figura 80.


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Fig. 80Danie l Bernou l l i (1700 1782)Miembro de una familia

de grandesmatemticos. Fueinicialmente profesorde anatoma, despusde botnica yfinalmente de fsica enla universidad deBasilea. Desarroll lasleyes que rigen ladinmica de los fluidos(hidrodinmica) ycontribuy a los iniciosde la teora cintica de

los gases.

4.1 . Las leyes de Bern ou l l i

A continuacin te proponemos una serie de observaciones y experimentossimples muy interesantes de realizar. Antes de hacerlos intenta predecir lo queocurrir y, despus, intenta explicar lo que ocurre.

a) Sopla por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo tuboca, como se indica en la figura 81. A muchas personas les sorprender verque el papel se levanta. Una variante de este experimento consiste en soplarpor el espacio que hay entre dos globos ligeramente separados, como lo indicala figura 82. Aqu tambin ocurre algo inesperado para la mayora de laspersonas: los globos se juntan.

Fig. 82Fig. 81


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b) Sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcionecomo atomizador, tal como se ilustra en la figura 83. Es curioso observar queel agua asciende por el tubo vertical.

Fig. 83

c) Afirma con un dedo una pelota de pimpn en un embudo (preferiblementetransparente, para que puedas ver lo que ocurre) y justo cuando soplesfuertemente saca el dedo. Esto tambin produce una sorpresa: la pelotita, envez de caer, se mantiene dentro del embudo, como muestra la figura 84.

Fig. 84

d) Con un secador de pelo puedes mantener flotando en el aire una pelotita depimpn del modo que se ilustra en la figura 85. Lo que debe llamar tu atencines que, cuando la pelota est en equilibrio, al mover el chorro de aire de unlado a otro, la pelota sigue al chorro y contina en equilibrio. Si inclinas unpoco el chorro de aire, constatars que tampoco cae.

Fig. 85


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e) Si ests a la orilla de una carretera y pasa por ella un bus o camin muygrande y muy rpido, qu sientes? Esta observacin puede ser muy peligrosa,especialmente si vas en bicicleta, pues una fuerza te empujar hacia lacarretera y puedes caer sobre ella.

f) Si acercas una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale deuna llave observars que la pelota puede mantenerse en equilibrio en laposicin que se indica en la figura 86; es decir, parece que el flujo de agua y lapelota se atraen.

Fig. 86

Todas estas situaciones tienen algo en comn: fluidos en rpido movimiento.Las explicaciones las encontramos en el anlisis que realizaremos acontinuacin, haciendo uso de nuestros conocimientos matemticos.

Empecemos por preguntarnos: Qu ocurre con la velocidad de un fluido quese mueve por un tubo en que cambia su seccin, por ejemplo, al pasar de una

caera gruesa a otra ms delgada?

Fig. 87

La figura 87 ilustra bien esta idea. Si presionamos de igual manera el pistn de

dos jeringas idnticas, una sin aguja y otra con aguja, podremos apreciar queel lquido sale mucho ms veloz en el segundo caso; es decir, cuando laseccin del conducto es menor. En realidad la rapidez v con que se mueve elfluido es inversamente proporcional a la seccin A de la caera. Posiblementehas notado que el agua que fluye por un ro o canal se mueve tambin msrpido en los lugares en que este es ms angosto o menos profundo. Este fueel primer descubrimiento de Bernoulli, el cual puede expresarse diciendo que:

vA = constante [7]


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Analicemos un ejemplo para comprender mejor este punto. Supongamos queun flujo de agua viaja con una rapidez de 50 cm/s por una caera cuyaseccin es de 6 cm2, segn se indica en la figura 88. Si la caera se hace msangosta, de modo que su seccin se reduce a 2 cm2, con qu rapidez semover en esta zona?

50 cm/s

6 cm22 cm2

v = ?

Fig. 89

Aplicando la relacin [7] tenemos que:

v(2 cm2) = (50 cm/s) (6 cm2),

de donde se tiene que:v = 150 cm/s

Es importante preguntarse tambin cuntos litros de agua atraviesan laseccin de la caera en cada zona durante un cierto tiempo, por ejemplo en10 segundos. En la zona ms gruesa el volumen de agua que cruzar laseccin ser:

500 cm 6 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

En la zona ms delgada ser:

1.500 cm 2 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

Como se ve, el volumen de agua que atraviesa ambas secciones es el mismo,lo cual es lgico, pues en otro caso significara que cierta cantidad de agua seest perdiendo o est surgiendo de la nada.


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Otra manera de visualizar esto es considerando un tubo como el de la figura 89con dos medidores de presin como los que se usan para medir la presin delos neumticos de los automviles, semejantes al representado en la Figura89(a); o de los cuales salen tubos verticales, como en 89(b); o conectados amanmetros de mercurio. Al circular un fluido por l, la presin ser mayor enel tubo de mayor seccin.

(b)(a)

Fig. 89

Todo lo anterior es igualmente vlido para un gas, aunque los efectos trmicosy las turbulencias que se producen ya no son despreciables, como ocurre conla mayora de los lquidos

Si dos caeras de distinta seccin se encuentran a alturas distintas, ladescripcin del movimiento de un fluido a travs de ellas es ms complejo,pues influye la presin hidrosttica y su anlisis debe considerar la ley deconservacin de la energa mecnica. La expresin matemtica que describeesta situacin es conocida como ecuacin de Bernoulli.

Ella puede deducirse a partir del anlisis de la figura 90.

h1

v1t

A1F1 =P1A1

v1

v2tv2

F2 =P2A2

A1

g

D

h1

Fig. 90

La parte inferior del tubo posee una seccin A1 y se encuentra a una altura h1de cierto nivel. La parte ms elevada del tubo est a una altura h2y tiene unaseccin A2.


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El fluido est retenido por pistones en ambos extremos y se puede iniciar sumovimiento aplicando una fuerza F1 en el pistn inferior, forzando undesplazamiento del pistn superior, donde la fuerza ser F2. Estas fuerzas, enfuncin de las presiones, deben ser:

F1 =P1A1 y F2 =P2A2,

y el trabajo realizado por ellas:

T1 =P1A1d1 y T2 = P2A2d2;

en que d1 y d2 son los desplazamientos de los pistones. Como el volumen es V=Ad(iguales en la parte angosta y en la ancha), podemos escribir:

T1 =P1Vy T2 = P2V,

luego, el trabajo total realizado por estas fuerzas debe ser:

T= (P1 P2)V. [8]

Por otra parte, si m es la masa de lquido desplazado (igual arriba que abajo),la variacin de energa cintica,

2

2

1

= mvEC ,

debe ser:2

1

2

2

2

1

2

1mvmvEC = [9]

donde v2 y v1 son las velocidades con que se mueve el fluido en la parte alta ybaja respectivamente. Por ltimo, el cambio de energa potencial gravitatoria(EP = m gh) es:

Ep = mgh2 mgh1 [10]

Entonces, considerando la ley de conservacin de la energa mecnica tenemosque:

T= EC + EP.Reemplazando aqu [8], [9] y [10] queda:

12

2

1

2

2212

1

2

1)( mghmghmvmvVPP +


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Si dividimos esta expresin por V, teniendo en cuenta [1]; es decir, que la

densidad del lquido esV

mD = , tenemos:

12

2

1

2

221 DghDghDv21Dv

21 +=PP

Llevando todos los trminos con subndice 1 al primer miembro y los consubndice 2 al segundo, nos queda:

2

2

221

2

112

1

2

1DghDvPDghDvP ++=++ [11]

o bien, podemos decir que:

Constante21 2 =++ DghDvP [12]

Esta es la ecuacin de Bernoulli, y debes notar que todas las cantidades quefiguran en ella tienen unidades de presin. Si consideramos que el lquidoposee la misma densidad D en todas partes, que la aceleracin de gravedad gy que la diferencia de altura h se conservan en todo momento; entonces, sicambia P debe tambin cambiar v, de tal manera que si una aumenta la otradisminuye.

Si aplicamos esto, entonces los experimentos sealados en las figuras 54 a 59

encuentran una fcil explicacin. Por ejemplo, al soplar encima de un papel, elaire en movimiento aplica en esa cara una presin menor a la que el aire enreposo aplica sobre la otra cara, por lo que la fuerza resultante sobre la hojade papel estar dirigida hacia arriba, haciendo que el papel se eleve. Lo mismoocurre con los globos: la presin del aire en la superficie de los globos dondeest en movimiento es menor que en las restantes, produciendo sobre ellos lafuerza que los junta. Por otra parte, si soplamos el extremo superior de untubo sumergido en un lquido, la presin en este tambin ser menor que lapresin atmosfrica normal y el lquido dentro de l ascender. Adems, sisoplamos alrededor de una pelota, las zonas de esta por donde el aire circulams rpidamente, ejercern sobre ella una presin inferior que en las otras.Por ejemplo, en el caso de la pelota que se aproxima al chorro de agua, lazona en que el agua se mueve recibir una presin menor que del otro lado yen consecuencia la fuerza total sobre ella estar dirigida hacia el chorro deagua. Lo mismo explica el caso del secador de pelo.


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Es interesante analizar lo que ocurre cuando hay un fuerte viento:contrariamente a lo que podra pensarse, la presin atmosfrica es menor quela normal. Esta es la explicacin de por qu tornados y huracanes quiebran losvidrios de los ventanales hacia fuera, abren las puertas tambin hacia fuera ylevantan las techumbres, tal como se ilustra en la figura 91.

Fig. 91

Fuerza

Viento

En juegos de pelota, como el tenis o el ftbol, hay un efecto consideradocomnmente curioso que encuentra aqu su explicacin: nos referimos al

chanfle. Este efecto se consigue haciendo girar la pelota sobre s mismamientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelotarespecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene comoconsecuencia la accin de una fuerza que implica una desviacin en latrayectoria rectilnea que tendra si no girase. La figura 92 ilustra el efecto.

Fuerza

Fig. 92

El caso ms espectacular es el del ala de un avin. La figura 93 ilustra laparticular forma del corte de un ala tpica. La gracia de su diseo consiste en

obligar al aire a circular con mayor rapidez por la parte superior que por lainferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire debarecorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por arriba quepor debajo del ala, la presin que acta arriba es inferior a la que acta abajoy, en consecuencia, aparece una fuerza total sobre el ala dirigida hacia arriba.Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta diferencia de presin, esmayor que el peso del avin, este se empieza a elevar.


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Problema:

Apliquemos la ley de Bernoulli a un problema numrico interesante. Supn unestanque muy grande, lleno de algn lquido, por ejemplo agua, que sale porun agujero situado en su parte inferior, como se indica en la figura 95. Conqu rapidez sale el lquido?

g

Fig. 95

D

v2

v1 0

h

Solucin:

Si el estanque es muy grande la rapidez con que desciende el nivel superior dellquido puede considerarse nula; es decir, v1 = 0. Si h1 es la distancia ente lasuperficie del lquido y el agujero, donde h2 = 0, y consideramos otraaproximacin razonable: que la presin en la parte superior del lquido es lamisma que a la salida del agujero; es decir, la presin atmosfrica, P1 = P2,entonces al reemplazar todos estos valores en [11], encontramos que:

22

21DvDgh = ,

de donde despejando v2, que es lo que queremos conocer, obtenemos:

ghv 22 = .

Este resultado es sorprendente: la rapidez con que sale el lquido no dependede la densidad del lquido del que se trate, ni de la forma del recipiente, ni delvolumen de lquido; depende solo del desnivel h y, lo ms interesante, estesale con la misma rapidez que adquiere un objeto que cae libremente desde la

altura h.

4.2 . Roce y ve loc idad l m i t e

Compara la rapidez con que caen en el aire diferentes objetos; por ejemplo,dos hojas de papel iguales, pero estando uno estirado y el otro arrugadoconformando una pelota. O, como lo hiciera Galileo, la cada de una pluma conla de un martillo. Compara tambin la rapidez de cada de una moneda en elaire y en el agua. Cmo explicas las diferencias que se observan?


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Si no existiera el aire o el agua; es decir, en el vaco, papeles arrugados oestirados, plumas, martillos y monedas, dejados caer simultneamente desdealturas iguales, tendran en todo momento la misma rapidez y experimentaran

todos la misma aceleracin constante, del orden de 10 m/s

2

aqu, en lasuperficie terrestre. En un homenaje rendido a Galileo Galilei, el astronautaDavid Scott estando en la Luna dej caer simultneamente una pluma y unmartillo frente a las cmaras de televisin. Como en nuestro satlite no hayatmsfera, se pudo apreciar que ambos objetos caan uno junto al otro. Elvideo de este experimento puedes verlo en Internet en la direccinhttp://www.lpi.usra.edu/expmoon/Apollo15/A15_surfops.html.

Evidentemente es el fluido el que aplica sobre ellos una fuerza que los frena*,es el roce que se origina en la superficie del cuerpo que se mueve y el medioen que lo hace. Esta fuerza se opone al movimiento y depende principalmentede la rapidez, de la forma del cuerpo que se mueve y del fluido. Se trata de

una fuerza aproximadamente proporcional a la rapidez. Por lo tanto, cualquiercuerpo que se deje caer desde e

fisica modulo 3 estudiantes-1

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