República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas ArmadasNúcleo Carabobo - Extensión Guacara

Integrantes: José Martínez Nathali Barrios

Guacara, 22 de octubre del 2015

Magnitudes físicas

En Física, se llaman magnitudes a aquellas propiedades que pueden medirse y expresar su resultado mediante un número y una unidad. Son magnitudes las longitud, la masa, el volumen, la cantidad de sustancia, el voltaje, etc.Las siguientes magnitudes se denominan magnitudes físicas fundamentales. Si a estas magnitudes se les añaden dos magnitudes complementarias: el ángulo sólido y el ángulo plano, a partir de ellas pueden expresarse TODAS las demás magnitudes físicas.

Una magnitud fundamental es aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud, etc.).

En el cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se emplea para representarla:

Magnitud fundamental Unidad Abreviatura

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Temperatura kelvin K

Intensidad de corriente amperio A

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas, por ejemplo una temperatura, una longitud, una fuerza, la corriente eléctrica, etc. Encontramos dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales. 

Magnitudes escalares

Las magnitudes escalares tienen únicamente como variable a un número que representa una determinada cantidad. Por ejemplo la masa de un cuerpo, que se mide en Kilogramos.

Magnitudes vectoriales

En muchos casos las magnitudes escalares no dan información completa sobre una propiedad física. Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad y la fuerza.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando utilizamos vectores con diferente número de componentes. Los más comunes son los de una, dos y tres coordenadas que permiten indicar puntos en la recta, en el plano y en el espacio respectivamente.

medidas de una magnitud

cantidad + unidad

medida directa es cuando el valor de la magnitud que busca el experimentador viene directamente indicado en el aparato de medida, como por ejemplo cuando se mide longitudes con un metro o calibre.

Medida Indirecta cuando el valor de la magnitud se obtiene midiendo valores de otras magnitudes relacionadas con aquella mediante alguna forma o ley física.

Sistema M.K.S (metro, kilogramo, segundo)

El nombre del sistema está tomado de las iniciales de sus unidades fundamentales.

La unidad de longitud del sistema M.K.S.:

Metro: Es una longitud igual a la del metro patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

La unidad de masa es el kilogramo:

Kilogramo: Es una masa igual a la del kilogramo patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

Un kilogramo (abreviado Kg.) es aproximadamente igual a la masa de un decímetro cúbico de agua destilada a 4 º C.

La unidad de tiempo de todos los sistemas de unidades es el segundo.

Segundo: Se define como la 86,400 ava. Parte del día solar medio.

Los días tienen diferente duración según las épocas del año y la distancia de la Tierra al Sol. El día solar medio es el promedio de duración de cada no de los días del año.

Sistema C.G.S. (centímetro, gramo, segundo).

El sistema C.G.S. llamado también sistema cegesimal, es usado particularmente en trabajos científicos. Sus unidades son submúltiplos del sistema M.K.S.

La unidad de longitud: Es el Centímetro, o centésima parte del metro.

La unidad de masa: Es el Gramo, o milésima parte del kilogramo.

La unidad de tiempo: Es el Segundo.

Unidad/Sistema C.G.S M.K.S Técnico otros 1 otros 2Masa g Kg slug Lb

Longitud cm m m pulg pieTiempo s s s s s

Velocidad cm/s m/s m/s pulg/s pie/sAceleración cm/s 2 m/s 2 m/s 2 pulg/s 2 pie/s 2

Fuerza dina N Kgf LbfPresión dina/cm 2 Pa = N/m 2 Kgf/m 2 Lbf/pulg 2 atm o lbf/pie 2Trabajo ergio (J) Joule B.T.U calPotencia ergio/s Watt (J/s) H.P C.V cal/sMomento dina.cm N.m Kgf.m Lbf.pulg Lbf.pie

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, es el sistema de unidades que se usa en todos los países del mundo, a excepción de tres que no lo han declarado prioritario o único.

Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales. Excepción única es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo»

La existencia de un Sistema Internacional de Unidades es de gran importancia por que garantiza la uniformidad y equivalencia en las mediciones, así como facilitar las actividades tecnológicas industriales y comerciales en diversas naciones del mundo. Además, de que necesitamos de las medidas y de que se rigieran las medidas, tanto como las unidades, en todas sus dimensiones, siempre han estado

presentes en nuestras vidas, ya que como todo lo que nos rodea tiene un tamaño exacto y dentro de estos no caben los errores por lo cual es muy importante un sistema de medición.

Ecuaciones dimensionales

Son aquellas que expresan la relación existente entre la magnitud derivada y las magnitudes fundamentales Las ecuaciones dimensionales se usan los símbolos de las magnitudes fundamentales .Cada símbolo esta afectado de un exponente que indica las veces que dicha dimensión interviene en la magnitud derivada.

Fines del análisis dimensional

1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.

2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Definición de escalares y vectores

Las cantidades físicas que son objeto de estudio tienen propiedades, que es conveniente representar de alguna manera con el fin de poder operarlas y establecer relaciones entre ellas, por tal motivo se han creado “entes matemáticos”, que en la medida de posible incluyen una descripción de las propiedades de estudio

Una cantidad física que solo posee MAGNITUD y que es descrita por un escalar (número) y sus respectivas unidades se conoce con CANTIDAD ESCALAR, ejemplos de este tipo de cantidades son: tiempo, longitud, área, volumen, masa, densidad, energía, potencia, presión, temperatura, carga eléctrica, corriente eléctrica, potencial eléctrico, etc. Las operaciones de cantidades escalares como suma, resta, multiplicación, división, sacar raíz y demás, se realizan aplicando las conocidas propiedades de los números reales.

Representación geométrica de un vector y analítica de un vector.

Notación de un vector

Las cantidades vectoriales o simplemente vectores para distinguirse de las cantidades escalares son representadas mediante cualquiera de las notaciones siguientes: A

Geométricamente se representan por medio de un segmento de recta dirigido

(flecha) como indica la figura 1.1.

El vector como se observa tiene un punto inicial O y un punto final P, en el punto final se dibuja la punta de la flecha.

Ciertas magnitudes físicas se definen por completo dando un número. Por ejemplo, la masa, el tiempo o la energía. Estas magnitudes se denominan escalares.

Otras magnitudes físicas, para estar totalmente definidas necesitan que además de la masa se especifiquen su dirección y sentido. Por ejemplo, la fuerza, la velocidad o el campo eléctrico. Estas magnitudes se denominan vectoriales.

Vector: consta de Módulo, Sentido, Dirección

Para definir una magnitud vectorial necesitamos conocer su módulo, dirección y sentido.

Dos vectores serán iguales cuando tengan igual módulo, dirección y sentido.

Los vectores se representan gráficamente con una flecha que une dos puntos:

La distancia entre los puntos A y B es el módulo (longitud) del vector AB.

El vector AB tiene su origen en el punto A y su final en el punto B. Su dirección es la de la recta que une A con B. Su sentido es desde A hasta B.

Suma y resta de vectores

Sistema de referencia o base de un espacio vectorial

Es un conjunto de vectores capaces de generar por combinación lineal todos los vectores de ese espacio vectorial. Es la “escala” respecto a la cual representamos los demás vectores. Una base ha de estar formada por vectores linealmente independientes.

Coordenadas de un vector

Vectores linealmente independientes

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si para obtener una combinación lineal nula, todos los coeficientes de la combinación lineal (a, b, c) son cero:

a∙u1+ b∙u2+c∙u3=0 a= b= c= 0.

Es decir, si el sistema de ecuaciones lineales formado por esos vectores es compatible determinado. Un sistema de referencia ampliamente usado en física es el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. En 3-D, en este sistema de coordenadas se elige la base:

i (1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1)

uA es un vector unitario en la dirección y sentido de A

(ax, ay, az) son las coordenadas del vector. Son los coeficientes de la combinación lineal.

Algebraicamente, los vectores se suman (restan) componente a componente.

Suma algebraica de dos vectores

Resta algebraica de dos vectores

Multiplicación por un escalar

Por ejemplo, sea el vector: A = (2, 3,-1) = 2(1, 0,0)+3(0, 1,0)-(0, 0,1)

Además, cualquier vector se puede expresar como su longitud por un vector unitario que indica su dirección y sentido:

A = |A|∙ uA

El módulo del vector se calcula aplicando:

El vector unitario se calcula aplicando:

Suma de Vectores. Método Gráfico 

Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Usted se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un

ángulo   = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:(1) Use una misma escala para las magnitudes. (2) Trace uno de los vectores, digamos V1 (3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:

VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa.

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

Suma de Vectores. Método Analítico

• Suma de Componentes

La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.

Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelogramo.

Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que Vy = Vsen  y Vx = Vcos

• Suma de Vectores Unitarios

Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, jy k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirseV = Ax i + Ay j 

Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vectorB = Bx i + By j escribimos

R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By 

Problema Ilustratorio

El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico.

Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando vectores unitarios, tenemos:

R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota   y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo  .A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )

B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego,R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.La magnitud se obtiene de

 2 = (37.5km)2 + (30.3km)2     = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo  . En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg  = 30.3/37.5    = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.

Producto Escalar

Conocidas las componentes de los vectores:

El producto escalar es nulo si: A ó B son cero

Son perpendiculares ( α=90º)

Producto Vectorial

Su módulo viene dado por

:

Su dirección es:

:

Su sentido viene dado por la regla del sacacorchos (o la regla de la mano derecha).

Para calcular este vector hay que resolver el determinante:

El producto vectorial es nulo si: A= 0 B = 0

A B