1

PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE FSICA PARA BIOCIENCIAS

(Seleccin de Fsica General I)

2

NDICE

PAG. INTRODUCCIN 3

I. PRIMERA PARTE: MECNICA 4 I.1.-Problemas introductorios. Clculos numricos 4 I.2. Cinemtica 8 I.3. Dinmica 25 II.4. Trabajo y Energa. Momentos lineal y angular 38 I.5. Oscilaciones y Ondas 75 I.6. Hidromecnica 95

II. SEGUNDA PARTE: CALOR 121 II.1. Neumtica. Gases 126 II.2. Calorimetra 135 III. 142 145 151 IV. 158 V. 168 VI. 186

ANEXO: Tablas tiles 202 ALGUNAS CONSTANTES FSICAS 202 EL PLANETA TIERRA 204 EL SISTEMA SOLAR 205 DIMENSIONES Y UNIDADES DE ALGUNAS CANTIDADES FSICAS

206

ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA 208 FACTORES DE CONVERSIN: LONGITUD PRESIN ENERGA, CALOR CAMPO MAGNTICO

210 210 210 211 212

ALGUNAS MASAS APROXIMADAS 212 ALGUNAS DENSIDADES 213 ALGUNAS PRESIONES 215 CALORES ESPECFICOS DE ALGUNAS SUSTANCIAS A TEMPERATURA AMBIENTE

216

CALORES ESPECFICOS DE ALGUNOS GASES 218 EL ESPECTRO ELECTROMAGNTICO 219 LA TABLA PERIDICA 220 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 221 LOGARITMOS 222 POTENCIAS Y RAICES 223 NMEROS COMPLEJOS 223 VOLMENES DE CUERPOS GEOMTRICOS 227 ALGUNAS INTEGRALES 229

3

INTRODUCCIN Este pequeo libro surgi como una necesidad de elaborar un material algo diferente de las colecciones de problemas de fsica que se emplean con mayor frecuencia en la enseanza universitaria, es decir, dirigidos a estudiantes de fsica e ingeniera. A pesar de que existen manuales de este tipo concebidos para estudiantes de biociencias, ha sido necesario tener en cuenta el nivel y contenido del programa que se imparte a nuestros estudiantes en la UAEM. TODOS los problemas tienen solucin y abundan los problemas totalmente resueltos. No cabe duda de que analizar detalladamente la solucin de un problema es de mucha utilidad pues enriquece al estudiante con mtodos y enfoques que muchas veces no son los clsicos de aplicar la frmula, pero tambin abundan problemas que simplemente requieren la aplicacin de la frmula necesaria sin mayor trascendencia. Ese tipo de problemas tambin es necesario. Al inicio se ha incluido una breve seccin en la que se aspira a que el estudiante perfeccione su trabajo con las unidades de las magnitudes fsicas y trabaje con magnitudes numricas. Es inaceptable que al resolver un problema, aunque se apliquen formalmente los pasos necesarios, la respuesta numrica sea un disparate ya sea en rdenes de magnitud o en unidades. Se incluy un anexo con tablas y frmulas que pueden simplificar el trabajo. A pesar de que ese anexo termina con algunas integrales de uso frecuente, este material se concibi para que no fuera necesario aplicar el clculo infinitesimal, ya que muchos estudiantes a este nivel se cohben de aplicar esta poderosa herramienta en la fsica, y porque hemos querido demostrar que se pueden resolver muchos problemas interesantes con mtodos matemticos ms simples. Las integrales del anexo estn para que los estudiantes con inclinacin por el clculo (por suerte siempre existen) dispongan de ellas. Queda, en dependencia de la aceptacin que este material tenga entre los estudiantes, enriquecer el contenido con algo de Anlisis Dimensional e incluir clculo de dosis de radiacin, etc. Ambos aspectos son de utilidad para todo el que trabaje en ciencias de la vida, pero el volumen que ya tiene esta coleccin hace pensar que quizs estos y otros temas deban ser incluidos en cursos de posgrado. Queda a los estudiantes hacer sus sugerencias respecto a esto y a cualquier otro aspecto que deseen. Agradeceremos cualquier opinin o sugerencia. Los autores. Cuernavaca, Julio 2014.

4

PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE FSICA PARA BIOCIENCIAS

I.- PRIMERA PARTE: MECNICA

I.1.- Problemas introductorios: clculos numricos

I.1.1.-. Con ayuda de la tabla siguiente:

Metro (m) Pulgada (in.) Pie (ft) Milla (mi)

m 1 39.37 3.281 6.214 10-4

in 2.54 10-2 1 8.33 10-2 1.578 10-5

ft 0.3048 12 1 1.894 10-4

mi 1609 63360 5280 1

i) Convierta 35 mi a: a) km b) m y c) ft

ii) Convierta 35mi/h a: a) km/h, b) m/s, c) ft/h

R: i) a) 56.32 km b) 56315 m c) 184800 ft

ii) a) 56.32 km/h b) 15.64 m/s c)184800 ft/h

El planeta en que vivimos tiene propiedades asombrosas. Le invitamos a

reflexionar, ayudado con papel y lpiz, sobre la maravilla en que vivimos y que

muchos se empean en maltratar. Y algunos datos interesantes son:

5

Presin de la atmsfera normal 1.013105 N/m2

velocidad del sonido en el aire seco a TPN 331.4 m/s

aceleracin de la gravedad 9.8066 m/s2

constante solar (intensidad solar media en la

superficie de la tierra) 495 W/m2

radio ecuatorial de la Tierra 6.4106 m

radio polar 6.357106 m

densidad media de la Tierra 5522 kg./m3

distancia a la Luna 380000 km.

rea del planeta ocupada por tierra (km2) 1.5108

rea ocupada por los ocanos (km2) 3.6108

I.1.2.-Por ejemplo, con el dato de la constante solar (y otros ms) Ud. puede

calcular la cantidad de energa que el Sol nos suministra en un da. Hgalo.

R: 221.12*10 J

I.1.3.- Comprela con otras energas conocidas. (Por ejemplo, la bomba que

destruy Hiroshima tena una energa del orden de los 1020 erg, o sea 1013 J). Ah

tiene un buen ejercicio de clculo y meditacin....

R: La energa suministrada a la Tierra por el Sol en 24 horas equivale a mil

millones de bombas como la de Hiroshima. Puede decir qu fraccin cae en los

ocanos?

I.1.4.- El dimetro de la luna es de 3476 km. Trace una circunferencia de 2 cm

para representar a la Tierra. Al lado, trace una circunferencia que represente a la luna.

De qu tamao debe ser esa circunferencia?

R: aproximadamente de 6 mm

6

I.1.5.- Si una hormiga cae desde una altura de 5 m no le pasa nada. Un caballo que caiga

de esa altura probablemente se parta las patas. Puede Ud. explicar por qu? Los animales

ms grandes, son relativamente ms dbiles?

R: La clave est en cmo aumenta el peso con el tamao y cmo aumenta la resistencia

al peso. El peso de un cuerpo, al ser proporcional a su volumen, aumenta como el cubo de

la dimensin (longitud elevada al cubo) mientras la resistencia de los huesos aumenta en la

medida en que son ms anchos y pueden, entonces, soportar ms peso. La anchura del

hueso es el rea de su seccin transversal por lo que es proporcional al cuadrado de la

dimensin (longitud elevada al cuadrado), o sea la resistencia aumenta slo en razn del

cuadrado. Al aumentar las dimensiones de un organismo, pues, el peso aumenta ms que su

resistencia, por lo que los animales ms grandes son relativamente ms dbiles.

A continuacin, otros datos interesantes, esta vez sobre nuestro sistema solar

cuerpo masa

respecto a la

Tierra

Distancia al

Sol (millones

de km.)

revolucin

sideral (das)

Densidad

(g/cm3)

dimetro

(km.)

gravedad en

su superficie,

g (cm/s2)

Sol 329390 -- - 1.42 1390600 27440

Mercurio 0.0549 58 87.97 5.61 5140 392

Venus 0.8 108 244.7 5.16 5.14 882

Tierra 1 149 365.26 5.52 12756 980

Marte 0.1 228 687 3.95 6860 392

Jpiter 314 778 4332 1.34 143600 2646

Saturno 94.1 1426 10759 0.69 120600 1176

Urano 14.4 2869 30686 1.36 53400 980

7

Neptuno 16.72 4495 60187 1.3 49700 980

Plutn - 5900 90885 - - -

Luna 0.0123 - - 3.36 3476 167

I.1.6.- Aqu presentamos una fotografa del planeta Jpiter. Con los datos aqu expuestos, podra Ud. trazar sobre esta figura una circunferencia correspondiente

al dimetro de la Tierra?

R: Basta con trazar una circunferencia de dimetro 11.26 veces menor que en

la figura.

I.1.7. Ejemplo- Si sabe usted la altura que es capaz de saltar en nuestro planeta, se

atreve a calcular cunto saltara en la Luna? Y en Jpiter?

R: La altura que se alcanza en el salto es inversamente proporcional a la aceleracin de

la gravedad en el lugar, (es decir, si g se duplica, el salto se reduce a la mitad).

Veamos por qu. Al saltar, Ud., tiene una velocidad inicial 0v . Al llegar a la mxima

altura la velocidad es nula por lo cual podemos decir que, como 2 20 2fv v gh= ,

entonces 20

2vhg

= . De acuerdo con esto, solo hay que aplicar la frmula para el caso de

la Tierra y de la Luna:

8

20

20

,2

.2

TierraTierra

LunaLuna

vhgvhg

=

=

Donde ( )Tierra Lunah es la altura que se alcanza en la Tierra (Luna) y ( )Tierra Lunag es la aceleracin

de la gravedad en la Tierra (Luna)

Dividiendo una ecuacin entre la otra tenemos:

Tierra lunaluna Tierra

h gh g

= .

La altura que se alcanza en el salto es inversamente proporcional a la aceleracin de la

gravedad en el lugar, es decir, si g se duplica, el salto se reduce a la mitad. De acuerdo con

esto, un salto de 1 m en la Tierra equivale a uno de 87 m en la Luna. .Aplique Ud. El

mismo razonamiento en el caso de Jpiter.

I.1.8. Ejemplo- Con los datos que aqu aparecen, puede decir por qu la Luna no

posee atmsfera, al menos en el sentido "usual?" Es la Luna una buena plataforma de

lanzamiento de naves interplanetarias? Por qu?

R: La luna no posee atmsfera porque la gravedad no es suficiente para retener las

molculas de gas que pudieran constituirla. Sera, en este sentido, una buena plataforma de

lanzamiento de naves interplanetarias pues el gasto de combustible para vencer la gravedad

lunar sera pequeo.

I.2.- Cinemtica .En el movimiento rectilneo, si representamos con s el desplazamiento y con t

el tiempo, la velocidad instantnea:

dsvdt

= ,

y la aceleracin

9

2

2

dv d sadt dt

= =

Cuando el movimiento es rectilneo y uniforme:

;

0

sv constt

a

= =

=

Y si el movimiento es rectilneo y uniformemente variado

2

0

02 2

0

,2,

2 ,

ats v t

v v atv v asa const

= +

= +

= +

=

En estas ecuaciones, la aceleracin ser positiva cuando el movimiento sea uniformemente

acelerado y negativa cuando sea uniformemente retardado.

Si el movimiento es curvilneo, la aceleracin total es:

2 2l na a a= + ,

donde na es la aceleracin normal (centrpeta) y ta la tangencial, dadas por:

2

n

t

vaR

dvadt

=

=,

donde v es la velocidad del movimiento y R el radio de curvatura de la trayectoria en un punto dado.

En el caso de un movimiento circular, la velocidad angular

ddt = ,

y la aceleracin angular:

10

2

2

d ddt dt = = ,

siendo el ngulo de rotacin.

Si el movimiento circular es uniforme, la velocidad angular

2 2

t T = = = ,

donde ,T son respectivamente el perodo de rotacin y la frecuencia de rotacin, es

decir, el nmero de revoluciones por unidad de tiempo.

Se cumple que:

2 .

t

n

v Ra Ra R

==

=

I.2.1.- Qu mide el velocmetro de un automvil: rapidez, velocidad o ambos?

R: rapidez

I.2.2.- Un objeto puede tener una rapidez variable si su velocidad es constante? Si es

as proporcione ejemplos.

R: No. La velocidad es un vector, es decir, tiene mdulo (rapidez) y adems direccin.

Si esta es constante, tambin la rapidez debe serlo. Piense Ud. Si puede darse el caso

contrario.

I.2.3.- Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, su velocidad promedio

durante cualquier intervalo de tiempo, difiere de su velocidad instantnea en cualquier

instante? `

R: no

I.2.4.- Si un objeto tiene una rapidez mayor que un segundo objeto, el primero

necesariamente tiene una mayor aceleracin? Explique su respuesta con el uso de ejemplos.

11

R: No, ya que el primero puede moverse con movimiento rectilneo uniforme (MRU)

aunque con velocidad alta.

12.5.- Compare la aceleracin de una motocicleta que acelera desde 80 km/h hasta 90

km/h con la aceleracin de una bicicleta que acelera desde el reposo hasta 10 km/h en el

mismo tiempo.

R: son iguales

I.2.6.- Un objeto puede tener una velocidad hacia el norte y una aceleracin hacia el

sur? Explique su respuesta.

R: Si. Puede, por ejemplo, dirigirse al norte frenando.

I.2.7.- La velocidad de un objeto puede ser negativa cuando su aceleracin es positiva?

Y qu hay de lo contrario?

R: S, si estn en sentidos opuestos

I.2.8.- Un objeto puede aumentar su rapidez mientras disminuye su aceleracin? Si es

as, proporcione un ejemplo. Si no, explique por qu.

R: Puede, pues no importa si la aceleracin disminuye mientras est dirigida en la

direccin de la velocidad.

I.2.9.-Un jugador de bisbol batea un faul recto en el aire. La pelota deja el bate con

una rapidez de 120 km/h. En ausencia de resistencia del aire, cul ser la rapidez de la

pelota cuando la atrape el ctcher?

R: 120 km/h

I.2.10.-Usted viaja desde el punto A hasta el punto B en un automvil que se mueve

con una rapidez constante de 70 km/h, Luego viaja la misma distancia desde el punto B

hasta otro punto C, con una rapidez constante de 90 km/h. La rapidez promedio para

todo el viaje desde A hasta C es de 80 km/h? Explique por qu s o por qu no.

R: No. Para que la velocidad media sea la media aritmtica, como aqu se plantea, debi

haber viajado con las distintas velocidades no la misma distancia sino el mismo tiempo.

12

I.2.11.Ejemplo-En una demostracin durante una conferencia, una cuerda vertical de

3.m de largo que tiene amarrados 10 tornillos a intervalos iguales se suelta desde el techo

del saln de conferencias. La cuerda cae en una placa de lmina, y la clase escucha el

tintineo de cada tornillo conforme golpea la placa. Los sonidos no ocurrirn a iguales

intervalos de tiempo. Por qu? El tiempo entre tintineos aumentar o disminuir cerca

del final de la cada? Cmo amarrara usted les tornillos de modo que los tintineos

ocurran a intervalos iguales?

R: Claramente, el tiempo entre tintineos disminuir, ya que los tornillos ms cercanos al

techo adquieren mayor velocidad.

El tiempo de cada de los tornillos es:

2htg

=

Comencemos por esquematizar el experimento. (ver figura)

El primer tiempo es el de cada del primer tornillo,

13

112htg

= .

Una cada regular de los tornillos significa que el tornillo n-simo cae en un tiempo:

2 nn

htg

= .

As, las alturas a que se deben disponer debe ser como:

21nh n h=

En la figura se esquematiza la disposicin de los tornillos, representados por los puntos

rojos. O sea, si tomamos como unidad a 1h , entonces:

2 3 44, h 9, h 16....h = = = etc. veces 1h

I.2.12.-Cul de estos movimientos no tiene aceleracin constante: una roca que cae desde

un risco, un elevador que asciende desde el segundo piso hasta el quinto con paradas

durante el trayecto, un plato que descansa sobre una mesa.

R: El elevador.

I.2.13.-Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba regresa a su posicin original

con la misma rapidez que tena en un principio, si la resistencia del aire es despreciable. Si la

resistencia del aire es apreciable, este resultado se alterar y, si es as, cmo? [Sugerencia:

Tenga en cuenta que la aceleracin debida a la resistencia del aire siempre est en direccin

opuesta al movimiento.]

R: La rapidez con que baja ser menor que aquella con que sube, ya que el aire siempre

est frenando al cuerpo.

I.2.14.- Un objeto puede tener velocidad cero y aceleracin distinta de cero al mismo

tiempo? Proporcione ejemplos.

R: Un cuerpo lanzado hacia arriba, en la altura mxima tiene velocidad cero y

aceleracin constante g.

14

I.2.15.- Cul debe ser la rapidez promedio de un automvil para viajar 235km en 3.5

h?

R: 67,14 km/h

I.2.16.-Un ave puede volar a 25 km/h. Cunto le toma volar 15km?

R: 36 minutos

I.2.17.-Si usted conduce a 110 km/h a lo largo de un camino recto y mira a un lado

durante 2.0 s, cunto ha avanzado durante este periodo de falta de atencin?

R: 61 m.

I.2.18.-Un caballo que trota a buen paso alejndose de su entrenador en una lnea recta,

se aleja 116m en 14.0 s. luego da la vuelta abruptamente y galopa la mitad del camino

de regreso en 4.8 s. calcule a) su rapidez promedio y b) su velocidad promedio durante

todo el viaje; considere alejndose de su entrenador como la direccin positiva.

R: a) 9,26 m/s, b) 2,98 m/s

I.2.19.Ejemplo-Una bola de boliche se desliza con rapidez constante y golpea los pinos

al final de la pista de 16.5 m de largo. El jugador escucha el sonido de la bola al golpear

los pinos 2,50s despus de haber soltado la bola. Cul es la rapidez de la bola?

Suponga que la rapidez del sonido (compare con el dato de la tabla de la pgina 2) es de

340 m/s.

R: El tiempo t desde que el jugador suelta la bola con velocidad v hasta que oye el

sonido est compuesto por el del viaje de la bola 1Ltv

= , donde L es la longitud de la

pista, y el de transmisin del sonido 2Ltc

= , siendo c la velocidad del sonido.

Entonces la velocidad de la bola es:

6,73 m/sLv Ltc

= =

I.2.20.-Una velocista acelera desde el reposo hasta 10,0 m/s en 1,35 s. Cul es su

aceleracin a) en 2/m s y b) en 2/km h ?

R: a) 7,4 m/s2, b) 96000 km/h2

I.2.21.-Un avin ligero debe alcanzar una rapidez de 33 m/s para despegar. Cul debe

ser la longitud mnima de una pista si la aceleracin (constante) es de 3.0 m/s2?

R: mayor que 182 m

15

I.2.22.-Un automvil que va a 85 km/h golpea un rbol. La parte frontal del automvil

se comprime y el conductor llega a detenerse despus de viajar 0.80 m. Cul fue la

aceleracin promedio del conductor durante la colisin? Exprese: la respuesta en

trminos de "g" donde g = 9.80 m/s2

R: 461 g. Esto es claramente mortal!!

I.2.23.Ejemplo-Un automvil est detrs de un camin que va a 25 m/s sobre la

autopista. El conductor del automvil busca una oportunidad para rebasarlo, y estima

que su auto puede acelerar a 1,0 m/s2. Tenga en cuenta que tiene que cubrir los 20 m

de largo del camin, mas 10 m de espacio libre atrs de ste y 10 m mas al frente del

mismo. En el carril contrario ve que otro automvil se aproxima, y que probablemente

tambin viaja a 25 m/s El conductor estima que el automvil est aproximadamente a

400 m de distancia. Debe intentar rebasar? Proporcione detalles.

R: El esquema de la situacin es el siguiente:

Suponemos que inicialmente los vehculos tienen igual rapidez. Podemos tomar cono

referencia al camin y en ese caso el problema se plantea as:

El auto debe rebasar la distancia L antes que el otro auto, que viene al encuentro,

llegue al borde derecho. Desde el sistema de referencia del camin, el auto que viene

detrs tiene un MRUA partiendo del reposo con una aceleracin de 1 m/s2, y el auto

que viene al encuentro se acerca con una velocidad de 50 m/s.

El tiempo que demora el auto que viene al encuentro en llegar a la zona peligrosa es

2el Lt

v

= , donde v=25 m/s. El tiempo que demora el automvil que viene detrs en

rebasar la zona es 2aLta

= . Para que no haya accidente, debe cumplirse que a et t< .

L=40 m

v v

v

l=400 m

16

Ud. puede comprobar que, con los datos que da el problema, esta condicin no se

cumple, por lo cual el conductor del auto trasero NO DEBE REBASAR.

I.2.24.- Un objeto parte del reposo y cae bajo la influencia de la gravedad. Dibuje

grficas de: 1) su rapidez y b) la distancia que ha cado, como funcin del tiempo, desde

t=0 hasta t =5,00 s Ignore la resistencia del aire.

R: Las grficas son:

Para la velocidad en m/s y t en s

Para el desplazamiento en m y t en s.

I.2.25.Ejemplo-Un helicptero asciende verticalmente con una rapidez de 5.20 m/s. A

una altura de 125 m, una persona deja caer un paquete desde una ventanilla, soltndolo.

Cunto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

R: Esencialmente el problema consiste en que, a una altura h=125 m, se lanza un

objeto a una velocidad de 5,20 m/s hacia arriba.

En efecto, el hecho de soltar el paquete desde un helicptero que est subiendo

significa que con relacin al suelo, el objeto inicialmente sube. As, un observador

17

desde el suelo ver al paquete subir, alcanzar una altura mxima y luego caer en cada

libre.

El tiempo de subida se calcula sabiendo que:

0v v gt= ,

siendo 0v = , la velocidad final, o sea al alcanzar la mxima altura, y 0 5,20 m/sv = .

Conociendo la aceleracin de la gravedad tenemos que 0,53 st = .

En este tiempo el paquete subi:

20 1,38 m

2svhg

= = ,

que se aaden a la altura inicial de 125 mh = que ya tena. El tiempo de cada desde esa

altura es 2( ) 5,1 ssch ht

g+

= = ,

por lo que el cuerpo demora en caer desde que es soltado unos 5,63 s.

Hay que decir que estos son clculos idealizados, la influencia del aire impulsado por el

helicptero sera un factor importante a considerar en clculos ms rigurosos.

I.2.26.Ejemplo-Para un objeto que cae libremente desde el reposo, demuestre que la

distancia recorrida durante cada segundo sucesivo aumenta en la razn de enteros

nones sucesivos (1,3,5, etctera). Esto lo demostr por primera ocasin Galileo.

R: Esta es una muestra de la brillantez del mtodo

experimental de Galileo: la combinacin de un anlisis

matemtico con las observaciones.

Hagamos un esquema geomtrico de la cada libre de un

cuerpo. Como la cada libre es un MRUA lo representaremos

por comodidad horizontalmente. (esto lo hacemos adrede,

Galileo en realidad estudi la cada libre en un plano

inclinado, pues se dio cuenta de que eso no cambia nada esencialmente, discuta por

qu)

Dividamos el espacio recorrido en intervalos determinados por tiempos de un segundo:

18

Como parte del reposo:

1 2gS = .

. En efecto, 21 112

S gt= pero t1=1s). El otro intervalo es:

22 0 2 212

S v t gt= + ,

y de nuevo vemos que como t2=1s y 0 1v gt g= = , entonces 2 1 1 12 3S S S S= + = .

Ya va resultando claro que:

23 1 2 3

1( )2

S g t t gt= + + ,

pero ya sabemos que todos los intervalos de tiempo son de 1 segundo y con lo

obtenido anteriormente tenemos 3 1 1 112 4 52

S g g S S S= + = + = . Ya est claro que se

cumplir:

1(2 1)nS n S= ,

es decir, las distancias recorridas en cada segundo referidas a la del primer segundo

estn en la razn de los nmeros nones sucesivos, Q.E.D.

I.2.27.Ejemplo-Si se desprecia la resistencia del aire, demuestre (algebraicamente) que

una bola lanzada de manera vertical hacia arriba con una rapidez 0v tendr la misma

rapidez 0v cuando regrese de vuelta al punto de partida.

R: Al subir, la velocidad va disminuyendo hasta que, al llegar a la altura mxima en el

tiempo de subida st , es cero. Entonces, 0 00s sv v gt v gt= = = La altura mxima

es:

212 s

h gt= .

Al bajar en cada libre, el tiempo de bajada es:

2cht

g= ,

S2 S3 S4 S1

19

por lo que s ct t t= = o sea los tiempos de subida y bajada son iguales.

En la bajada, la velocidad al llegar al suelo es 0 0f c s fv gt gt gt v v v= = = = = que es

lo que se quera demostrar, Q.E.D. I.2.28.-Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 18,0 m/s. a)

Qu rapidez lleva cuando alcanza una altura de 11,0 m? b) Cunto tiempo se requiere

para alcanzar esta altura?

R: a) 3,32 m/s; b) 1,5 s

I.2.29.- Cierto tipo de automvil acelera aproximadamente como se muestra en la

grafica velocidad-tiempo de la figura. (Los breves puntos planos en la curva representan

cambios de velocidad.) a) Estime la aceleracin promedio del automvil en le segunda

velocidad y en la cuarta. b) Estime cunto ha recorrido el automvil mientras se

encuentra en cuarta.

V (km/h)

10

50

T (s)5 25 50

R: a) 0,5 m/s2 en ambas velocidades (observe que la inclinacin de ambos tramos es la

misma); b) En cuarta, va de 40 km/h a 60 km/h en 10 s aproximadamente. La

aceleracin es entonces de 0,6 m/s2. En ese intervalo recorre 385 m.

20

I.2.30.- En la figura, estime la distancia que el objeto ha recorrido durante a) el primer

minuto y b) los siguientes 4 minutos.

R: a) 60 m; b) 2245 m.

Sugerencia: tenga cuidado con las unidades y con la manera en que cuenta los

diferentes desplazamientos.

I.2.31.- Construya la grafica de v contra t para el objeto cuyo desplazamiento como funcin del tiempo se proporciona en la figura.

R: la grfica es:

1 2 3 4 5tmin

5

10

15

vm

s

1 2 3 4 5tmin5

10

15

20

25

30

35

xm

21

I.2.32.Ejemplo- Una persona salta desde la ventana de un cuarto piso, 15,0 m hacia

arriba de la red de seguridad de los bomberos. La sobreviviente estira le red 1,0 m antes

de regresar al reposo, a) Cul fue la desaceleracin promedio experimentada por la

sobreviviente cuando fue frenada hasta el reposo por la red? Exprese la respuesta en

unidades de g .

R: La velocidad de la persona al llegar a la red es:

2v gh= ,

donde h es la altura de la que salta. Si para detener a la persona la red se estira 1 ml =, la desaceleracin experimentada es

2

2va

l= .

Entonces:

a) 15ha g gl

= = ,

Una magnitud considerable! Sugiere Ud. algo a los bomberos para que la persona no

sufra esa enorme aceleracin?

I.2.33.-Un restaurante de comida rpida usa una banda transportadora para enviar las

hamburguesas a travs de una mquina freidora. Si la mquina tiene 1,1 m de largo y las

hamburguesas requieren 2,5 min. para frerse, con que rapidez debe viajar la banda

transportadora? Si las hamburguesas estn separadas 15 cm., cual es la tasa de

produccin de hamburguesas, en hamburguesas/min.?

R: 7,33 mm/s=0,44 m/min. Produce 2,5 hamburguesas por minuto.

1 2 3 4 5tmin2

4

6

8

10

12

14

speedm

s

22

I.2.34.- Un trueno se ha odo 50 s despus de verse el relmpago. A qu distancia ha

cado el rayo?

R: 17 km.

I.2.35.- Para medir la distancia entre dos buques, uno de ellos lanza simultneamente

una seal por radio y un sonido mediante una campana sumergida. La seal de radio

llega casi instantneamente al otro buque mientras que la sonora llaga algo ms tarde. Si

el sonido se propaga en el agua a 1435 m/s y el tiempo transcurrido entre las dos

seales fue de 12 s, calcule la distancia entre ellos.

R: 17,2 km.

I.2.36.-Una mesa de billar tiene 2,5 m. de largo. Qu velocidad debe imprimirse a una

bola en un extremo para que vaya hasta el otro y regrese en 10 s.?

R: 50 cm/s.

I.2.37.- la velocidad de la luz es 300000 km/s. Calcule el tiempo empleado por un rayo

luminoso en recorrer el ecuador terrestre.

R: 0,13 s.

I.2.38.- Dos trenes parten de una misma estacin; uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. A

qu distancia se encontraran al cabo de 50 minutos a) si marchan en el mismo sentido

b) si marchan en sentido contrario?

R: a) 16,66 km

b) 116,66 km.

I.2.39.- Una pelota rueda por un plano inclinado Si parte del reposo Cul es su

aceleracin si al cabo de 10 s. ha adquirido una velocidad de 80 cm/s? Qu distancia

ha recorrido en ese tiempo?

R: 8 cm/s, 400 cm.

I.2.40.- Un automvil arranca y en 10 minutos adquiere una velocidad de 60 km/h.

Calcule su aceleracin y el espacio recorrido

R: 9,25 cm/s2 , 1498,5 m.

I.2.41.- Un avin para despegar recorre una pista de 600 m en 15 s. Con qu

velocidad despega en km/h y cul es su aceleracin en cm/s2 ?

R: 288 km/h, 533,3 cm/s2 .

I.2.42.- En un mvil la velocidad disminuye de 3000 m/min. a 10 m/s. en 4 s. Calcular

la aceleracin negativa y el espacio recorrido.

R: 10 m/s2, 120 m.

23

I.2.43.- Un automvil cambia su velocidad de 18 km/h a 72 km/h al recorrer 200 m.

Calcular su aceleracin y el tiempo transcurrido.

R: 0,9375 m/s2, 16 s.

I.2.44.- Un avin aterriza con una velocidad de 84 km/h y se detiene despus de

recorrer 120 m. Calcular la aceleracin retardatriz producida por los frenos y el tiempo

transcurrido.

R: -2,26 m/s2, 10,28 s.

I.2.45.- Cul es la velocidad angular de un disco que gira 13,2 radianes en 6 s.?

Cul es su perodo? Cul es su frecuencia?

R: 2,2 rad/s., 2,8s., 0,25 rev/s.

I.2.46.- Calcule la velocidad angular de cada una de las agujas de un reloj.

R: 6,28 rad/min., 0,1047 rad/min., 34,272 rad/min.

I.2.47.- Un disco de 50 cm. de radio da 400 revoluciones en 5 minutos. Calcule a) su

frecuencia, b) su periodo, c) su velocidad angular y d) la velocidad lineal de los puntos

de su periferia.

R: a)1,33 rev/s

b) 0,75 s

c) 8,37 rad/s.

d) 418,5 cm/s.

I.2.48.- Bajo la accin del viento una puerta gira un ngulo de 900 en 5 s. Calcule su

velocidad angular y la velocidad lineal de los puntos del borde si el ancho de la puerta

es de 50 cm.

R: 0,314 rad/s., 15,7 cm/s.

I.2. 49.- Un disco cuyo radio es 30 cm recorre rodando una distancia de 5 m. en 6 s.

Calcule a) el nmero de vueltas que dio, b) su periodo, c) su velocidad angular.

R: a) 2,65 vueltas

b)2,26 s.

c) 2,77 rad/s.

I.2.50.- Calcule las velocidades angular y lineal de la Luna sabiendo que da una vuelta

completa alrededor de la Tierra en 28 das aproximadamente y que la distancia media

entre ambos cuerpos celestes es 382200 km.

R: 2,6 * 10-6 rad/s., 993 m/s.

I.2.51.- El motor de una centrfuga da 2*104 r.p.m. Una vez desconectado el motor, la

rotacin cesa al cabo de 8 minutos. Halle la aceleracin angular y determine cmo vara

24

el ngulo de rotacin con el tiempo. Indique las direcciones de los vectores

velocidad angular y aceleracin angular.

R: 24,36s = , 2

22,182t t = = .

I.2.53.-para observar objetos muy pequeos, como los virus, se emplean los

microscopios electrnicos en los cuales los lentes consisten en campos elctricos y

magnticos que controlan el haz de electrones. Considere un electrn que se desplaza a

lo largo del eje x alejndose del origen con velocidad inicial 71,80 10 /m s y

experimenta una aceleracin de 14 15 2(8,00 10 1,60 10 ) /m s + i j cuando pasa entre

0x = y 21,00 10x m= . Al recorrer esta distancia, halle:

a) la posicin del electrn

b) su velocidad

c) su rapidez

d) el ngulo entre el vector velocidad y el eje x

R: a) 41,0 , y=2,41 10x cm m=

b) ( )7 51,84 10 8,78 10 /m s= + v i j c) 71,85 10 /v m s=

d) 02,73 =

I.2.54.- En una competencia un discbolo hace girar un disco de 1,00 kg en una

trayectoria circular de 1,06 m de radio. La mxima rapidez del disco es 20,0 m/s.

Determine la magnitud de la mxima aceleracin radial del disco

R: 377 m/s2

I.2.55.- Antes de su duelo con el gigante Goliat, David experiment con hondas,

encontrando que poda hacer girar una honda de 60 cm de longitud a 8,00 rev/s. Si

aumentaba la longitud a 90,0 cm solo llegaba a 6,00 rev/s. a) Cual rapidez de rotacin

da la mxima rapidez a la piedra que est en el extremo de la honda? b) cual es la

aceleracin centrpeta de la piedra a 8,00 rev/s? c) Cual es la aceleracin centrpeta a

6,00 rev/s?

R: a) 6,00 rev/s; b) 1,52 km/s2 ; c)1,28 km/s2

25

I.3. - Dinmica

Isaac Newton

La ley fundamental de la dinmica (segunda ley de Newton) se expresa por la ecuacin:

= ()

Donde m es la masa del cuerpo y su velocidad; el producto = se conoce como momento lineal o cantidad de movimiento.

Si la masa es constante

= donde es la aceleracin que adquiere el cuerpo de masa m sometido a la fuerza .

Observar que la fuerza es un vector, as como lo son la velocidad y la aceleracin.

Cuando el movimiento es curvilneo, la fuerza que acta sobre una partcula se puede

dividir en dos componentes: una tangencial y otra normal a su trayectoria (ver figura)

26

Componentes tangencial y normal de la fuerza en una trayectoria.

La componente normal

= 2 es la fuerza centrpeta. Aqui R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto

dado.

La fuerza debida a la deformacin elstica x es proporcional a la magnitud de la

deformacin:

= donde k es un coeficiente cuyo valor numrico es igual a la fuerza que produce una

deformacin unitaria (coeficiente de deformacin)

Dos puntos materiales se atraen mutuamente con una fuerza:

= 2

donde G es la constante de gravitacin universal (6,67. 10-11 m3 /kg.s2 . m y m' son las

masas de los puntos materiales y R la distancia entre ellos. Esta ley tambin es vlida

para esferas homogneas; en este caso R es la distancia entre sus centros.

En el sistema internacional la unidad de fuerza es el Newton (N), definida como la

fuerza que al aplicarse a un cuerpo de masa 1 kg lo acelera a 1 m/s2.

27

La dina (din) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo de masa 1g, lo acelera a 1cm/s2.

El kilogramo-fuerza (kgf) es la fuerza que le imprime la aceleracin de la gravedad a un

cuerpo de masa 1 kg. Por definicin 1 kgf=9,8N.

I.3.1.- Ejemplo- Qu peso debe tener el lastre que hay que tirar desde un aerstato que

desciende con velocidad uniforme para conseguir que comience a ascender

uniformemente con la misma velocidad que antes bajaba?. El peso del aerstato con el

lastre es 1600 kgf y su fuerza de elevacin 1200 kgf. Considere que la resistencia del aire

es igual al ascender que al descender.

R: Sobre el aerstato que desciende actan la fuerza de elevacin F1 hacia arriba, la

resistencia del aire F2 hacia arriba tambin y el peso del aerstato F3 hacia abajo. Como

el aerstato se mueve uniformemente, la fuerza resultante es cero, o sea:

1 + 2 = 3

Cuando se tira el lastre y el aerstato

comienza a elevarse, entonces tendremos

1 = 2 + (3 ) De edstas ecuaciones se desprende que

= 2(3 1). Sustituyendo los valores numricos correspondientes tenemos:

=7,85.103 N=800 kgf.

I.3.2.- El peso de un ascensor con los pasajeros es 800 kgf. Halle con qu aceleracin y

en qu direccin se mueve el ascensor sabiendo que la tensin del cable que lo

sostiene es a) 1200 kgf ; b)600kgf

R:a) 4,9 m/s2 hacia arriba; b) 2,45 m/s2 hacia abajo

I.3.3.- Una pesa est colgada de un hilo. Si esta pesa se eleva con una aceleracin de 2

m/s2 la tensin del hilo ser dos veces menor que la necesaria para que el hilo se

rompa. Con qu aceleracin hay que subir la pesa para que se rompa el hilo?

R:13,8 m/s2

28

I.3.4.-Un cuerpo cuya masa es 24 g. posee una aceleracin de 3 cm/s2. Calcule la

intensidad de la fuerza aplicada.

R: 72 dinas

I.3.5.- Sobre un cuerpo de masa 20 kg acta una fuerza de 40 kgf. Halle su aceleracin.

R: 19,6 m/s2

I.3.6.- Sobre un cuerpo de masa 12 g. acta una fuerza de 72 dinas. Qu aceleraci'n

experimenta?

R: 6 cm/s2

I.3.7.- Qu fuerza debe aplicarse sobre un cuerpo cuya masa es 10.8 g. para imprimirle

una aceleracin de 5 cm/s2?

R:54 din.

I.3.8.- Cul es la masa de un cuerpo en el cual una fuerza de 420 N produce una

aceleracin de 8,4 m/s2?

R: 50 kg.

I.3.9.- A un automvil cuya masa es 1500 kg y va a 60 km/h se le aplican los frenos y se

detiene en 1,2 minutos. Cul es la fuerza de friccin que el pavimento ejerce sobre

el mismo?

R: 345 N.

I.3.10.- Sobre un cuerpo de masa 8 kg. y que tiene una velocidad de 3 m/s comienza a

actuar una fuerza de 30 N. Cul es su velocidad y cual el espacio recorrido cuando

han transcurrido 8 s?

R: 33m/s; 14 m.

I.3.11.- Una bala de 20 g. adquiere una velocidad de 400 m/s al salir del can de un

fusil que tiene 50 cm. de longitud. Hallar a) la aceleracin b) la fuerza.

R: a) 160000m/s2 ; b) 3200 N.

I.3.12.- Cul es la fuerza de friccin ejercida por el aire sobre un cuerpo que tiene una

masa de 400 g. si cae con una aceleracin de 900 cm/s2?

R: 3,6 N.

I.3.13.- Ejemplo- Un hombre que pesa 90 kgf est apoyado sobre el piso de un

elevador. Qu fuerza ejerce el elevador sobre el hombre: a) si sube con

movimiento uniforme; b) si baja con movimiento uniforme; c) si sube con una

aceleracin de 3 m/s2; d) si baja con la misma aceleracin; e) si se rompe el cable y

cae libremente.

29

R: a) y b) Tanto si el elevador sube como si baja con movimiento uniforme, la fuerza

aplicada sobre el hombre debe ser nula por la primera ley de Newton. Entonces la

respuesta a los incisos a) y b) es 882 N;

c) Si sube con aceleracin de 3 m/s2 es porque la fuerza que ejerce el ascensor sobre el

hombre supera el peso del hombre y podemos plantear:

= donde P es el peso del hombre y m su masa; a es la aceleracin y la fuerza que el

elevador ejerce sobre el hombre. As:

= + = 90 + 90. 3/2 Aqu hay que tener presente llevar todo a las mismas unidades ya que el primer )

sumando est en kgf y el segundo en N. En esta ltima unidad la respuesta es:

c)1152 N.

d) Si el elevador baja entonces debemos plantear:

= ya que la aceleracin ira en el sentido del peso. Entonces

= Y la respuesta sera

d) 612 N.

e) Al romperse el cable tanto el hombre como el elevador caen en cada libre por lo

cual no interactuan entre ellos. La fuerza entre ambos es nula.

I.3.14.- Con qu aceleracin subir un elevador de masa 250 kg y en cuyo interior van

3 personas cuyos pesos son 60 kgf, 80 kgf y 100 kgf si la fuerza ejercida por el

motor es 1000 kgf? Qu altura subir en 5 s?

R: 10,2 m/s2; 127,5 m.

I.3.15.- Un jugador de futbol lanza una pelota de 900 g. con una velocidad de 12 m/s.

Si el tiempo de la patada fue de 0,1 s. qu fuerza ejerci sobre la pelota?

R: 108 N.

I.3.16.- Un hombre que pesa 75 kgf va sentado en un automvil que en un momento

acelera a razn de 0,9 m/s2.Qu fuerza ejerce el, asiento sobre el hombre? Qu

fuerza ejerce el hombre sobre el asiento?

R: 67,5 N.

30

I.3.17.- Un automvil cuya masa es 1200 kg va a 72 km/h. Se le aplican los frenos y

cuando ha recorrido 10 m. su velocidad es 36 km/h. Hallar la fuerza ejercida por

los frenos.

R: 1836,7 kgf.

I.3.18.- Un muchacho cuya masa es 60 kg se encuentra sobre una pesa. Si

instantneamente se impulsa hacia arriba con una aceleracin de 245 cm/s2, cul

ser la lectura de la pesa?

R: 75 kgf.

I.3.19.- Qu tiempo deber actuar una fuerza de 80 N sobre un cuerpo de masa 12,5

kg para detenerlo si posee una velocidad de 720 km/h?

R: 31,2 s.

I.3.20.- Calcule el radio de la circunferencia descrita por un cuerpo de 20 kg que se

mueve con movimiento circular uniforme (m.c.u.) a 120 rpm si la fuerza centrpeta

es 7264,32 N. cul es la aceleracin centrpeta?

R: 2,3 m. ; 363,216 m/s2.

I.3.21.- A un vaso con agua se le hace describir un m.c.u. en un plano vertical mediante

un hilo de 98 cm. de longitud. Con qu velocidad angular mnima debe girar para

que no se derrame el agua?. Si el vaso contiene 10 cm3 de agua cual es la fuerza

centrpeta?

R: 3,16 rad/s; 9800 din.

I.3.22.- Un avin desciende en picada con una velocidad de 540 km/h describiendo al

nivelarse un arco de 300 m de radio. Cul es la fuerza ejercida por el asiento sobre

el piloto cuya masa es de 80 kg?

R: 6784 N.

I.3.23.- Ejemplo- La figura muestra un bloque de masa m1 en una superficie lisa

horizontal, halado por una cuerda fija a un bloque de masa m2 que cuelga de una

polea sin masa ni friccin. Encuentre la aceleracin del sistema y la tensin de la

cuerda.

31

R:

Las fuerzas en el bloque de masa m1 se muestran a continuacin:

T, la tensin de la cuerda, hala el bloque a la derecha. m1g y N son el peso y la normal

a la superficie lisa. El bloque acelerar solo en la direccin x, de modo que 1 =0. Podemos escribir:

1 = 0 = 11 = 11

De estas ecuaciones no podemos sacar otra informacin que = 1. Al no saber nada de T, no podemos saber la aceleracin en el eje x.

Para determinar la tensin T consideremos las fuerzas que actan sobre el bloque de

masa m2. Las fuerzas que actan sobre el mismo se representan en esta figura:

32

Como la cuerda y el bloque estn acelerando, no podemos

concluir que T sea igual a m2g. La ecuacin de movimiento de

este bloque es:

2 = 22

Como la cuerda tiene una extensin fija (inextensible):

1 = 2 Y podemos representar la aceleracin de este sistema

simplemente por a. La solucin de este sistema de ecuaciones da:

= 21 + 2

= 121 + 2

Que nos dan la aceleracin del sistema y la tensin en la cuerda.

I.3.24.- A un resorte se le aplica una fuerza de 30 N y se estira 1 cm. Halle su constante

elstica.

R: 3000 N/m

I.3.25 .- El radio de rotacin de una centrfuga de entrenamiento es de 5 m. Halle la

fuerza sobre un piloto durante el entrenamiento si su masa es de 80 kg y la

sobrecarga fue de 6 g. (6 veces la aceleracin de la gravedad). Con qu frecuencia

debe rotar la centrfuga para crear tal sobrecarga?

R: 1497 N. La frecuencia debe ser 1.935 Hz.

I.3.26.- Qu sobrecargas surgen en una centrfuga que gira alrededor de un eje vertical,

siendo R=2 m. = 0,34 ? R: 2

I.3.27.- Halle la fuerza que, durante la centrifugacin, acta sobre los ncleos de clulas

hepticas siendo el dimetro de stos de 8 micras(considere los ncleos como

esferas)- La densidad de los ncleos es 1300 kg/m3; el radio del rotor de la

centrfuga 0,05 m; la frecuencia de rotacin del rotor 2 kHz.

33

R: 634 nN.

I.3.28.- Halle la velocidad angular de rotacin del rotor de la ultracentrfuga en la que se

depositan lisosomas bajo el efecto de una fuerza de 43 nN. La densidad de la

sustancia de los lisosomas es de 1200 kg/m3; el radio del lisosoma es de 0,7m; el

radio del rotor de la ultracentrfuga es de 0,045 m.

R: 332. 103 rad/s.

I.3.29.- Ejemplo- Una plomada cuelga del techo de un vagn de ferrocarril actuando

como acelermetro. Deduzca una expresin que relacione la aceleracin horizontal

a del vagn con el ngulo que hace la plomada con la vertical. Dibjese la grfica

de en funcin de a.

R:

En la figura se representa el dispositivo sometido a una aceleracin a, por lo que se

desva un ngulo de la vertical.

Cuando la plomada est en equilibrio se cumple que:

= =

y como = 90 , el sistema de ecuaciones anterior se transforma en: = =

Dividiendo una ecuacin entre la otra:

= y tenemos una expresin que nos relaciona la inclinacin de la plomada con la

inclinacin.

34

Para hacer la grfica de veamos que =

Este grfico nos permite relacionar la inclinacin de la plomada con la aceleracin

medida en unidades de la aceleracin de la gravedad.

I.3.30.-Ejemplo- Localizar el centro de masa de tres partculas de masa m1=1,0 kg,

m2=2,0 kg y m3=3,0 kg que estn en los vrtices de un tringulo equiltero de 1,0 m

de lado.

R:

el sistema es como en la figura:

Entonces:

=

= 1,0 . (0) + (2,0 )(1,0 ) + (3,0 )(0,5 )(1,0 + 2,0 + 3,0) = 712

1 2 3 4 5 6 7ag

20

40

60

80

35

=

= (1,0 )(0) + (2,0 )(0) + (3,0 )(3/2 )(1,0 + 2,0 + 3,0) = 34

Se deja al lector localizarlo en la figura.

I.3.31.- Ejemplo - La figura muestra partculas sobre las que actan fuerzas externas.

Halle la aceleracin del centro de masas del sistema.

R: hallemos la posicin del centro de masa.

= 8,0 . 4 + 4,0 . (2 ) + (4,0 . 1 )16 = 7 4 = 8,0 . 1 + 4,0 .2 + 4,0 . (3 )16 = 14

Determinemos la fuerza externa resultante sobre el sistema. La componente x de la

fuerza resultante es 8,0 N, mientras que la componente y es 16 N. Entonces la

fuerza externa resultante es

= 8,02 + 162 = 18 y forma un ngulo con el eje x tal que = 16

8 = 2,0 = 63 Entonces la aceleracin del centro de masa es =

= 1,1/2 haciendo un ngulo

de 63o con el eje x

I.3.32.- Ejemplo- Una partcula alfa (el ncleo de un tomo de Helio) es emitida por un

ncleo de Uranio 238 que originalmente estaba en reposo, con una velocidad de

1,4. 109m/s. Encuentre la velocidad de retroceso del ncleo residual (Torio 234).

36

R:

Consideremos que el sistema consiste en un ncleo de Torio 234 con una partcula

alfa. La cantidad de movimiento inicial de este sistema es cero. Como no hay

fuerzas externas, la cantidad de movimiento despus de la fragmentacin tambin

es cero. Entonces

+ = 0 =

La relacin entre la masa de la partcula alfa y la del ncleo de Torio es 4/234 y

sabemos que la velocidad de la partcula alfa es 1,4. 109 m/s. Sustituyendo estos

valores en la frmula obtenida obtenemos que = 2,4. 107 El signo menos indica que el ncleo de Torio retrocede en direccin opuesta a la

partcula alfa, de tal manera que el vector resultante cantidad de movimiento es

cero.

I.3.33.- Con qu fuerza se atraen dos masas de 5 kg y 10 kg separadas una distancia de

2 cm?

R: 0,834 din

I.3.34.- La masa del Sol es 330000 veces la de la Tierra y su distancia a la Tierra es

1,490.1010 cm. Calcular la atraccin entre esos astros si la masa de la Tierra es

5,0.1027 g. Nota: La constante de gravitacin universal (constante de Cavendish)

vale 3

826,67.10 .

cmg s

R:3,5.1022 N.

I.3.35.- A qu distancia se encuentran dos masas de 10 y 20 kg si se atraen con una

fuerza de 5 dinas?

R: 1,63 cm.

I.3.36.-Calcular la constante de Cavendish en Nm2/kg2.

R: 6,67.10-11.

I.3.37.- Dos trasatlnticos, ambos con masa de 75000 toneladas se hallan a una

distancia de 300 m. Halle la fuerza de atraccin gravitatoria entre ellos.

R: 4,17 N.

I.3.38.- cul ser el peso de un hombre a) a 3000 km sobre la superficie terrestre b) a

una altura igual al radio de la Tierra, si su peso al nivel del mar es 80 kgf?

37

R: a) 37 kgf b) 20 kgf

I.3.39.- Cul ser el peso de un hombre que pesa 75 kgf si el radio de la Tierra se

duplicara a) permaneciendo constante la masa de la Tierra b) permaneciendo

constante su densidad media?

R: a) 17,5 kgf b) 140 kgf

I.3.40.- Se tienen 3 masas de 45 kg, 50 kg y 80 kg situadas en lnea recta. La distancia

entre las dos primeras es de 2 cm y entre la segunda y la tercera es de 1 cm. Calcular

la fuerza resultante sobre la tercera masa debida a las dos primeras.

R: 293,48 din.

I.3.41.- En el problema anterior calclela fuerza resultante sobre la segunda masa

debida a la primera y la tercera.

R: 229,28 din.

38

I.4. TRABAJO Y ENERGA.MOMENTOS LINEAL Y ANGULAR

El trabajo realizado por la fuerza F al desplazarse su punto

de aplicacin una magnitud s es:

ss

W F ds=

J.P.Joule

Donde sF es la proyeccin de la fuerza sobre el camino que recorre el punto de

aplicacin y ds la magnitud de una parte infinitesimal de camino. La integral abarca todo

el camino s .

Si la fuerza F es constante y forma un ngulo invariable con el desplazamiento,

entonces

cosW Fs =

La potencia se determina por la frmula:

dWNdt

=

Si la potencia es constante

WNt

=

39

Donde W es el trabajo realizado en el tiempo t.

La potencia tambin se calcula mediante:

cosN Fv =

O sea, el producto de la componente de la fuerza en la direccin del movimiento por la

velocidad del movimiento

La energa cintica de un cuerpo de masa m que se mueve con la velocidad v es

2

2kmvE =

En todo sistema aislado la cantidad de movimiento total de todos los cuerpos que lo

forman permanece invariable, es decir,

1 1 2 2 .n nm v m v m v const+ + + =

En el movimiento curvilneo la fuerza que acta sobre una partcula se puede dividir en

una componente tangencial y una normal a la trayectoria. La componente normal es:

2

nmvF

R=

Y se conoce como fuerza centrpeta. Aqu R es el radio de curvatura de la

trayectoria en un punto dado.

La fuerza producida por la deformacin elstica x de un cuerpo es proporcional a la

misma:

F kx=

40

K es una constante que simboliza a la fuerza capaz de provocar una deformacin igual

a la unidad. En los resortes se llama constante recuperadora.

La energa potencial de las fuerzas elsticas es

212p

E kx=

La energa potencial de las fuerzas gravitatorias entre dos masas 1m y 2m es

1 2pm mE G

R=

Aqu R es la distancia entre las masas. El signo (-) corresponde a que la fuerza entre

ambos cuerpos es de atraccin.

Es til conocer una forma particular de esta ecuacin: Si se trata de un cuerpo de masa

m que se halla a una altura h sobre la superficie de la Tierra, siendo h mucho menor que el

radio de la Tierra, esta frmula se reduce a:

pE mgh= ,

donde g es la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra

El momento o torca de una fuerza F con relacin a un eje de rotacin cualquiera se

determina por:

Fl =

Siendo l la distancia desde el eje de rotacin hasta la recta a lo largo de la cual acta la

fuerza.

41

El momento de inercia de un punto material con respecto a un eje de rotacin

cualquiera es:

2I mr=

Donde m es la masa del punto material y r la distancia desde el punto al eje.

El momento de inercia de un cuerpo slido respecto a un eje es

2I r dm= .

La integral se extiende a todo el volumen del cuerpo. Integrando se obtienen las

frmula de los momentos de inercia reportados en el anexo. Todos son calculados respecto

a un eje que pasa por el centro de gravedad.

Conociendo el momento de inercia 0I de un cuerpo respecto a un eje que pasa por su

centro de gravedad, puede calcularse el momento de inercia con relacin a otro eje

cualquiera paralelo al primero, mediante la frmula de Steiner

20I I Md= +

Donde M es la masa del cuerpo y d la distancia entre ambos ejes.

La ley fundamental de la dinmica de la rotacin viene expresada por

( )d Idt

=

Donde el producto L I= es conocido como momento angular o momento de la

cantidad de movimiento del cuerpo de momento de inercia I que rota con velocidad

angular respecto al eje con relacin al cual se defini el momento de inercia. Es decir,

tanto I como estn relacionados al mismo eje.

42

Si .I const= tenemos que

dI Idt = =

Donde es la velocidad angular que adquiere le cuerpo por la accin de la torca de

las fuerzas.

La energa cintica de un cuerpo que gira

212k

E I=

En la siguiente tabla comparamos las ecuaciones principales de la dinmica de la

rotacin y las de la traslacin.

TRASLACIN ROTACIN

Segunda ley de Newton

F ma= I =

Ley de conservacin de la cantidad de

movimiento

.mv const=

Ley de conservacin de la cantidad de

movimiento

.I const =

Trabajo y energa cintica

2 22 1

2 2mv mvW Fs= =

2 22 1

2 2I IW = =

43

I.4.1.-Ejemplo-Qu ngulo formar con la horizontal la superficie de la gasolina

que hay en el depsito de un automvil que marcha por una carretera horizontal con una

aceleracin constante de a=2,44 m/s2? Se realiza algn trabajo sobre la gasolina?

R: Supongamos que la capacidad del tanque en relacin con la cantidad de gasolina

permite que la misma se incline uniformemente en el mismo como indica la figura:

Sobre cada partcula de lquido acta, adems de la fuerza de gravedad, la producida por

la aceleracin del depsito. Para que la gasolina est en equilibrio, la fuerza resultante en

cada elemento del fluido debe ser perpendicular a la superficie libre del fluido.

En este caso, la fuerza resultante en un elemento de fluido como el mostrado en la

figura es:

2 2( ) ( )F mg ma= +

Y el ngulo que forma con la vertical, siendo igual al ngulo de inclinacin de la

superficie libre del lquido, (por qu?) viene dado por

2 2 2 2

arccos arccos( ) ( )

mg gmg ma g a

= = + +

44

Tomando 29,8mgs

= , tenemos que en este caso 13,98 14o o =

Como se ve, este ngulo no depende del tipo de lquido que hay en el depsito, slo de

la aceleracin del mismo. El ngulo de inclinacin vara de forma curiosa con la

aceleracin, como puede verse de graficar la ecuacin obtenida de (en grados) vs. a (en

m/s2):

Observe que a medida que la aceleracin aumenta el ngulo de inclinacin aumenta

tendiendo a 90o, como es de esperar.

Sobre la gasolina se realiz un trabajo, el necesario para llevar toda su masa de la

posicin horizontal a la posicin inclinada en que ahora se encuentra. Este trabajo lo

realiz la fuerza aceleratriz. Esta misma fuerza est haciendo aumentar la velocidad del

vehculo y por tanto tambin la de la gasolina que transporta, por lo que contina

realizndose trabajo sobre la gasolina.

20 40 60 80 100 120a, m

s2

20

40

60

80

, grados

45

I.4.2.- Ejemplo Calcule el trabajo efectuado por una fuerza de 20 din. Al mover el

punto de aplicacin 3m. en su propia direccin

R: Como la fuerza es constante y el ngulo con su trayectoria no vara y es nulo,

podemos calcular directamente el producto de la fuerza por el desplazamiento, teniendo

presente usar las unidades adecuadas

W=Fx=20 din.300cm=6000 erg.

I.4.3.- Calcular la distancia recorrida por el punto de aplicacin de una fuerza constante

de 4,5 N si el trabajo realizado es de 13,5 J.

R: 2 2

2

13,5 13,5 . / 3 m4,5 4,5 . /

W J kg m sxF N kg m s

= = = =

I.4.4.-Ejemplo- Un motor efecta un trabajo de 1800000 J en un cuarto de hora.

Calcular su potencia.

R: Tengamos presente que t=15 min=900 s. Entonces:

1800000 J 200 J/s=200 W900 s

WNt

= = =

I.4.5.- Calcular la potencia del motor de un automvil que desarrolla una fuerza de 500

kgf cuando su velocidad es 72 km/h.

R: Aqu debemos tener cuidado al trabajar con las unidades. Expresemos la potencia en

Watt, que es lo ms usual. Para eso debemos expresar la fuerza en Newton y la velocidad

en m/s.

1 kgf =9,8 N. Entonces 500 kgf=500.9,8 N=49000 N.

1 km/h =1000m/3600 s. Entonces 72km/h=72.1000m/3600 s=20 m/s

46

La potencia es N=Fv=49000.20 Nm/s=980000 W=980 kW.

I.4.6.- Ejemplo- Un cuerpo tiene una masa de 2 kg y una velocidad de 3 m/s. Calcular

su energa cintica

R:

2 2 2 21 1 .2 .(3 / ) 9 / 92 2k

E mv kg m s kgm s J= = = =

I.4.7.- Ejemplo- Un cuerpo posee una energa de 50 J. Si sobre l se hace un trabajo de

18 J. cul ser su energa? Cul ser si es l el que efecta un trabajo sobre otro cuerpo?

R: En el primer caso su energa aumente en una cantidad igual al trabajo recibido,

luego:

E=50 J+18 J=68 J.

En el segundo caso disminuir en una cantidad igual al trabajo efectuado. Luego:

E=50 J-18 J=32 J

I.4.8.- Ejemplo- Un farol pesa 4 kgf y est colgado a 5 m. del suelo. Calcule su energa

potencial.

R:

24 . 9,8 / . 5 196 JpE mgh kg m s m= = = .

47

I.4.9.- Ejemplo- Un avin se mueve a 200 km/h a 800m de altura y lanza una bomba

de 20 kg. Calcule la energa mecnica total de la bomba y la velocidad con que llegar al

suelo.

R: La energa mecnica total es la suma de la energa cintica y la potencial.

2 2 21 1 .20 kg. (5,5m/s) 20 .9,8 / . 800 m=187000 J2 2

E mv mgh kg m s= + = +

Al llegar al suelo toda esta energa se ha transformado en cintica y la bomba tendr

entonces una velocidad V , de modo que

212

mV E=

Y su valor es:

2 137 m/sEVm

= =

I.4.10.- Ejemplo- Un bloque de cedro pesa 20 kgf y descansa sobre una mesa tambin

de cedro. El coeficiente de friccin esttica es 0,4. Determine la fuerza necesaria para poner

el bloque en movimiento.

R: Lo lgico es suponer que la superficie de la mesa est en posicin horizontal, de

modo que la normal N es numricamente igual al peso. Entonces calculamos directamente

la fuerza de friccin esttica:

48

0,4.20 kgf=8 kgf.rf N= =

En qu direccin hay que aplicar esta fuerza?

I.4.11.- Qu trabajo hace una fuerza de 87 din. cuando mueve su punto de aplicacin

14 cm en su propia direccin?

R: 1218 erg.

I.4.12.- Qu trabajo hace una fuerza de 12 N cuando mueve su punto de aplicacin 7

m en su propia direccin?

R: 84 J.

I.4.13.- Entre varios hombres suben un piano que pesa 50 kgf hasta un tercer piso de

una casa que est a una altura de 8 m. respecto a la calle. Qu trabajo hacen?

R: 400 kgm= 3920 J.

I.4.14.- Calcule la distancia que debe moverse el punto de aplicacin de una fuerza de

10 kgf. para que el trabajo realizado sea de 400 J.

R: 4,08 m.

I.4.15.- Qu trabajo hay que efectuar para sacar de un pozo un cntaro que contiene

10 dm3 de agua si la superficie del lquido se encuentra a una profundidad de 3 m.?

R: 294,3 J.

49

I.4.16.- Qu trabajo por km debe hacer el motor de un camin que tiene una masa de

12 toneladas si e erce una fuerza propulsora de 500 kgf?

R: 4,9 .106 J.

I.4.17.- Qu trabajo realiza un hombre que arrastra un saco de harina que pesa 65 kgf.

una distancia de 10 m. con una fuerza de traccin de 25 kgf. Y despus lo sube a una

plataforma que est a una altura de 75 cm del suelo?

R: 298,75 kgm.

I.4.18.- Qu potencia han desarrollado los hombres del problema I.4.13 si han subido

el piano en 3 minutos?

R: 21,77 W.

I.4.19.- Un caballo enganchado de un carro tira del mismo con una fuerza de 50 kgf.

Recorriendo una pista circular de 6 m. de radio. Si da 5 vueltas cada 6 minutos y trabaja 8

horas diarias calcular a) su potencia , b) su trabajo diario.

R: a) 26,167 kgm/s. b) 753,61 kgm.

I.4.20.- Un motor tiene una potencia de 25 kW. con qu velocidad subir un elevador

que pesa 1000 kgf?.

R: 2,56 m/s.

I.4.21.- Cul es la potencia de un motor que eleva 50 litros de agua por minuto a una

altura de 6 m.?

R: 49 W.

50

I.4.22.- Cul es la energa cintica de un automvil cuya masa es 1600 kg. si posee una

velocidad de 72 km/h?

R: 3,2 .105 J.

I.4.23.- Un cuerpo cae en 5 s. partiendo del reposo. Cul ser su energa cintica al

llegar al suelo si tiene una masa de 10 g.?

R: 12 J.

I.4.24.- Qu trabajo debe hacerse para elevar un cuerpo que pesa 10 kgf. desde un

punto a 2m. del suelo a un punto a 8 m. Cul ha sido el aumento de energa potencial?

R: 60 kgm.

I.4.25.- Desde un avin cuya velocidad es 270 km/h en sentido horizontal se deja caer

una bomba de 10 kg. Si el avin est a una altura de 1000 m. calcule: a) su energa cintica

inicial b) su energa potencial inicial c) su energa total. d) la velocidad con que llegar al

suelo.

R: a) 28,125 J. b) 98,000 J. c) 126.125 J. d) 158,8 m/s.

I.4.26.- En el problema anterior calcula la velocidad de la bomba cuando se encuentra

a 500 m. de altura.

R: 124,2 m/s.

I.4.27.- Diga la altura de la bomba cuando su energa cintica haya aumentado en un

30% de su valor inicial. Halle tambin su altura cuando su velocidad es de 100 m/s.

R: 913,9 m., 776,8 m.

51

I.4.27.- Cul es la velocidad de un mvil cuya energa cintica es 1800 erg. Si tiene una

masa de 4 g.?

R: 30 cm/s.

I.4.28.- Una fuerza de 60 din. acta sobre un cuerpo de masa de 10 g. durante 12 s. Si

la velocidad inicial del cuerpo era de 60 cm/s. calcular a) el trabajo efectuado por la fuerza,

b)la potencia desarrollada, c) la energa cintica final, d) el aumento de energa cintica.

R: a) 69,12 erg., b) 5760 erg/s., c) 87,12 erg. , d) 16 erg.

I.4.29.- Un cuerpo que pesa 10 kgf est sobre un plano horizontal. Qu fuerza hay que

aplicarle para que se mueva a)con movimiento uniforme b) con una aceleracin de 3 m/s2.

?. El coeficiente de friccin es 0,6.

R: a) 58,8 N. b) 88,8 N.

I.4.30.- Un trineo pesa 50 kgf y es arrastrado por una calle horizontal cubierta de hielo.

Calcule el trabajo necesario para arrastrarlo una distancia de 200 m. El coeficiente de

friccin es 0,03. Qu potencia se ha desarrollado si el trineo se movi con una velocidad

de 60 cm/s.?

R: 300 kgm., 8,82 W.

I.4.31.- Un bloque que pesa 5 kgf. Es comprimido contra una pared vertical mediante

una fuerza perpendicular a la misma. Qu valor ha de tener esa fuerza para que el cuerpo

no caiga si el coeficiente de friccin es 0,50?

R: 10 kgf.

52

I.4.32.- A un bloque de 20 kg que se encuentra sobre un plano horizontal se le

comunica una velocidad de 12 m/s. Si se detiene despus de recorrer 10 m., calcular la

fuerza de friccin y el coeficiente de friccin.

R: 144 N, 0,73.

I.4.33.- Un cuerpo de masa 10 kg se desliza sobre una superficie horizontal con un

coeficiente de friccin de 0,2. Su velocidad inicial es de 20 m/s. Calcule su velocidad

despus de recorrer 30 m.

R: 16,8 m/s.

I.4.34.- Ejemplo-

En el sistema de la figura, el resorte tiene una constante de 5 23.10 g/s , se comprime

2,5 cm. y se suelta, empujando una bola de 90 g. de masa a lo largo del plano inclinado con

inclinacin de 300.

a) Si la bola alcanza su mxima altura en el punto c, cul es la distancia entre b y c? b) cul es la velocidad de la bola cuando ha recorrido 5 cm a lo largo del plano

inclinado? R:

a) La energa elstica acumulada en el resorte al comprimirse, se le comunica a la bola cuando ste se libera. La energa de la bola ser en ese momento energa cintica, que se convierte totalmente en energa potencial al llegar al punto c. (el sistema no tiene rozamiento). Entonces podemos plantear:

53

212

kx mgh= .

Aqu x es la compresin del resorte, m la masa de la bola, g la aceleracin de la gravedad y h la

altura que alcanza en el punto c del plano inclinado.

De aqu, dicha altura es:

2

2kxhmg

=

Si llamamos l a la distancia bc , entonces 0sin 302lh l= = .

As, 2

21 cm .kxl bcmg

= = =

b) Cuando la bola se encuentra en camino de subir por el plano inclinado, la energa del resorte transmitida al cuerpo se va transformando en energa mecnica, suma de energas cintica y potencial. As:

2 2 11 12 2

kx mv mgh= +

Donde v es la velocidad y 1h la altura correspondiente a 5 cm recorridos en el plano inclinado.

01 5 .sin 30 2,5h cm cm= = ,

Entonces

2kx mgvm

=

126 /v cm s =

54

I.4.35.- Ejemplo-Una carretilla se encuentra en reposo sobre unos rieles lisos. Un

hombre parado inicialmente en un extremo de la caretilla se desplaza al otro extremo de la

misma. La masa del hombre es 1 60 kg.m = y la de la carretilla es 2 120 kg.m = la longitud

de la carretilla es de 3 m. Diga qu distancia se desplaza la carretilla.

R: Esquemticamente la situacin es as:

Para medir distancias tomemos un sistema de coordenadas fijo a tierra cuyo origen

coincida con la posicin inicial de un extremo de la carretilla como indica la figura. El

lector puede escoger cualquier otro, y los resultados no cambiarn, como puede

comprobarse

Como los rieles son lisos, las nicas fuerzas sobre el sistema son las internas hombre-

carretilla, que no la pueden variar la posicin de su centro de masas. En la figura se

55

representa la posicin inicial del centro de masa del hombre, a 3 m del otro extremo de la

carretilla, y de la carretilla que, supuesta homognea, debe estar a la mitad de su longitud.

La posicin final es tal que la carretilla se desplaz una distancia x, donde adems ha

ido a parar el hombre, por lo que la posicin del centro de masa de la carretilla ser x+1,5

m.

La posicin inicial del centro de masa del sistema puede hallarse por:

1 2 21 2

ci icm

m x m xXm m

+=

+ (a)

Aqu cmX es la posicin del centro de masa, 1 2,m m son las masas de la carretilla y el hombre

respectivamente, las cuales conocemos, 2,ci ix x son las posiciones iniciales de los centros de masa

de la carretilla y el hombre respectivamente, que tambin son conocidas aunque no sean datos

explcitos del problema. En efecto, ya sabemos que 1,5cix m= y como el hombre est

inicialmente en un extremo de la carretilla, su posicin inicial es la longitud de la carretilla

56

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin para la posicin final del centro de masa

(b) e igualando la expresin que de ah resulte con (a), obtenemos

2 21 2

1im xx mm m

= =+

.

La carretilla se desplaza 1 m. Dejamos al lector analizar por qu en esta expresin no aparece la

masa de la carretilla en el numerador.

I.4.36.- Ejemplo- Una tabla de masa 1m se desliza libremente (sin rozamiento) por la

superficie del hielo a la velocidad 1v . Sobre la tabla salta un hombre de masa 2m desde la

orilla. La velocidad del hombre es perpendicular a la de la tabla e igual a 2v . Determine la

velocidad v de la tabla con el hombre.

R: Hagamos un esquema para aclarar la situacin: inicialmente la tabla se desliza

paralelamente a la orilla donde se encuentra el hombre (a). Luego el hombre salta sobre la

tabla y el nuevo sistema adquiere una velocidad v

desviada de la inicial en un ngulo (b).

Se trata entonces de un choque plstico,

donde el sistema conserva la cantidad de

movimiento. El sistema est compuesto por la tabla

y el hombre. Si tomamos un sistema de

coordenadas con x como coordenada horizontal

orientado a la izquierda e y como coordenada

57

vertical orientado hacia arriba, entonces inicialmente el momento es:

En el eje x: ( ) 2 2a

xp m v=

En el eje y: ( ) 1 1a

yp m v=

Despus del salto del hombre a la tabla, el momento ser:

En el eje x: ( ) 1 2( ) sinb

xp m m v = +

En el eje y: ( ) 1 2( ) cosb

yp m m v = +

La igualdad de los momentos en cada eje antes y despus del salto, nos lleva al sistema

de ecuaciones:

1 1 1 2

2 2 1 2

( ) cos( ) sin

m v m m vm v m m v

= + = +

De donde la solucin para v es:

2 2 2 21 1 2 2

1 2

m v m vv

m m+

=+

Formando un ngulo con la direccin inicial de :

2 21 1

arctan m vm v

=

I.4.37.- Ejemplo- En la figura se representa dos bloques A y B que deslizan sin friccin. Las

masas son 1 kg, 2kgA Bm m= = con velocidades 5 m/s, 2 m/sA Bv v= = . Al chocar ambos

cuerpos quedan unidos. Calcule su velocidad final v .

58

R: Por la ley de conservacin de la cantidad de movimiento:

( )

3 /( )

A A B B A B

A A B B

A B

m v m v m m vm v m vv m s

m m

+ = +

+= =

+

El sistema se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s.

I.4.38.- Ejemplo- Dos bloque A y B de masas y A Bm m estn unidos por un resorte cuya

energa potencial es V. Calcule la razn de las energas cinticas de los cuerpos despus de haberse

separado.

R: Como solo actan fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema es constante e

igual a la inicial que es nula, por consiguiente,

A A B Bm v m v=

La fuerza interna (el resorte) es conservativa, por lo que la energa mecnica se

conserva,

2 21 12 2A A B B

V m v m v= +

59

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, simbolizando por kE la energa

cintica:

AkB

A B

BkA

A B

kA B

kB A

mE Vm m

mE Vm m

entonces

E mE m

=+

=+

=

I.4.39.- Ejemplo- Calcule las energas cinticas inicial y final en el problema I.4.37.

R: El problema I.4.37 corresponde a un choque perfectamente inelstico, despus del

cual ambos cuerpos se mueven como uno solo. La energa cintica inicial era

2 21 1 16,5 J2 2ki A A B B

E m v m v= + =

La energa cintica final es:

21 21 ( ) 13,5 J.2kf

E m m v= + =

As, aunque la cantidad de movimiento no ha variado durante el choque, la energa

cintica disminuy en 3 J. El lector debe discutir adnde fue a parar esta cantidad.

I.4.40.- Ejemplo (Pndulo balstico)- Un proyectil de masa m se incrusta en un bloque

de masa M colgado en reposo. M>>m. Al incrustarse el proyectil, el sistema sube una

altura h. Halle la velocidad del proyectil.

60

R: Por la ley de conservacin del momento:

( )mv M m V= +

Donde V es la velocidad con que el sistema se mueve inmediatamente despus que el

proyectil se incrusta. La energa cintica del sistema

21 ( )2k

E m M V= +

El pndulo entonces se mueve, subiendo hasta que la energa cintica se transforma en

potencial,

21 ( ) ( )2

m M V M m gh+ = +

Con estas ecuaciones se llega a:

2m Mv ghm+

=

Conociendo M, m y h puede calcularse la velocidad del proyectil.

Es importante observar que la energa cintica no se conserva en este choque. La razn de la

energa cintica del pndulo con el proyectil, despus del choque, a la energa cintica inicial del

proyectil es:

61

2

2

1 ( )2

12

m M V mm Mmv

+=

+

As, si M=1kg y m=1g, solo un 0,1% de la energa inicial queda en forma de energa

cintica, el 99,9% restante se ha convertido en calor.

I.4.41.- Dos esferas plsticas de masas 50 y 30 g. tienen movimientos uniformes de

igual direccin y sentido, con velocidades de 80 y 40 cm/s. Cul es la velocidad del

conjunto si chocan centralmente?

R: 65 cm/s.

I.4.42.- Resolver el problema anterior si se invierte la direccin del movimiento de la

segunda esfera

R: 35 cm/s.

I.4.43.- Cules seran las velocidades finales de las esferas del problema I.4.41 si fueran

perfectamente elsticas?

R: 50 cm/s. y 90 cm/s.

I.4.44.- Resolver el problema I.4.42 cuando las esferas son perfectamente elsticas.

R: -10 cm/s. y 110 cm/s.

I.4.45.- Si dos esferas elsticas, cuyas masas son de 300 y 700 g. chocan centralmente

movindose en direcciones opuestas y la segunda, que antes del choque se mova con 60

cm/s. retrocede despus del choque con la misma velocidad, Cules son las velocidades de

la primera esfera antes y despus del choque?

62

R: 140 cm/s. y -140 cm/s.

I.4.46.- Ejemplo- En la figura se esquematiza la disposicin de varios huesos de la

pierna.

Digamos que corresponde a un hombre de 70 kgf de

peso, que se apoya solo en los dedos de su pie dejando

el taln en alto.

La representacin del hueso de la pierna nos

permite ver que el mismo no solo soporta la masa del

cuerpo sino que tambin est comprimido por el

msculo.

Suponga que el ngulo entre el pie y el piso es tan

pequeo que las fuerzas (mg y F) son perpendiculares a

los huesos del pie.

a) Halle la fuerza en el msculo de la pierna.

b)Halle la fuerza de compresin sobre el hueso de la pierna.

R: A lo largo de la lnea del pie las fuerzas que actan pueden representarse como en la

figura:

63

Observar que la fuerza

F+mg hacia abajo, o sea la fuerza de compresin en el hueso, acta sobre la lnea del

tobillo. En una representacin de palanca podra considerarse el tobillo como punto de

apoyo para analizar el equilibrio de las torcas de F y mg en los extremos de la palanca. O

sea, el sistema sera el siguiente:

En nuestro caso, tomemos una va diferente. Tomemos como centro de momentos el

punto correspondiente a los dedos, donde acta la fuerza mg. (Represntelo Ud. mismo)

La igualdad de las torcas en el equilibrio se expresa entonces:

( ).20 .25 F mg cm F cm+ =

Entonces, la solucin de esta ecuacin da:

a)

64

280 kgf.F =

Por lo cual la fuerza de compresin sobre el hueso es:

b)

350 kgf.F mg+ =

Observe que las fuerzas son grandes en comparacin con el peso del cuerpo

Se invita al lector a resolver el problema tomando como centro de momentos el

correspondiente al tobillo.

I.4.47.- El sistema del bceps en el brazo se muestra en la figura con dimensiones

tpicas.

a)Halle la fuerza en el msculo cuando

se sostiene una carga de 10 kgf

manteniendo el antebrazo a 900.

Si el brazo se extiende hasta que sea

=300, permaneciendo el antebrazo

horizontal, halle la fuerza necesaria para

sostener los 10 kgf.

R: a) Tomamos el codo como centro de momentos, por lo que el momento de la carga

con relacin al codo: .30 cm.mg se equilibra con el de la fuerza en relacin al mismo

punto: sin .4 cm.F . Igualando dichos momentos se obtiene que

742 N.F =

65

(Observar que 2 2

sin LL l

=+

, donde L= 30 cm. y l=4 cm.)

b) Ahora se extiende el brazo, por lo cual el ngulo vara, pero sabemos que el valor

de 0 1sin 302

= . Esto es lo nico que cambia, de modo que se obtiene:

1470 NF =

En esa posicin es bastante ms difcil sostener la carga.

I.4.48.- Hallar el momento de inercia y el momento angular de la Tierra respecto a su

eje de rotacin.

R: 9,7.1037kg.m2; 7.1033 kg.m2/s.

I.4.49.- Dos esferas de radio muy pequeo y masa m= 1kg estn unidas por una varilla

rgida de masa despreciable. La distancia entre los centros de las esferas es de R=0,5 m.

Halle el momento de inercia I del sistema respecto a un eje que pasa por el centro de la

varilla y perpendicular a la misma.

R: 0,5.10-3 kg.m2

I.4.50.-Una fuerza de 98,1 N. se aplica tangencialmente al borde de un disco

homogneo de radio 20 cm. Cuando el disco gira sufre la accin del momento de la fuerza

de rozamiento 0,5 kgf.m.f = Halle el peso del disco sabiendo que gira con la aceleracin

angular constante de 100 rad/s2.

R: 72 N.

66

I.4.51.- La ecuacin de movimiento de rotacin de un cuerpo slido tiene la forma

2A Bt Ct = + + donde A=2 rad, B=3 rad/s, C=1rad/s2. Halle el ngulo , la velocidad

angular , y la aceleracin angular en los momentos de tiempo 1 s. y 4 s.

R: 2 21 1 1 2 2 26 rad, 6 rad/s, 6 rad/s ; 78 rad, 51 rad/s, 6 rad/s = = = = = =

I.4.52.- La velocidad angular de un cuerpo que rota vara segn la ley 2At Bt = + ,

donde A= 2 rad/s2, B= 3 rad/s3. Halle qu ngulo rot el cuerpo durante el intervalo de

tiempo de 1 s. a 3 s.

R: 34 rad.

I.4.53.- Al considerar el cuerpo humano como un cilindro de radio R= 20 cm., altura

h= 1,7 m. y masa m= 70 kg, determine el momento de inercia del cuerpo humano en

posicin vertical respecto a un eje vertical coincidente con el eje del cilindro.

R: 1,4 kg.m2.

I.4.54.- Una persona con los brazos cados, siendo su momento de inercia

21, 2 kg.mI = , se encuentra de pie en el centro de una plataforma ligera en rotacin. Qu

momento de inercia le comunica a la persona la aceleracin angular 0,3 rad/s = ?. Qu

aceleracin angular tendr la persona si con la misma torca aplicada sus manos toman

posicin horizontal, siendo el momento de inercia 22 2,5 kg/mI = ? Desprecie la masa de

la plataforma y el rozamiento.

R: 0,36 N.m; 0,144 rad/s2.

I.4.55.- La masa de un brazo humano es de m=4,2 kg, la longitud es de 83 cm, su

centro de masa est situado a una distancia de 34 cm. de la articulacin humeral (hmero

67

con hombro); el momento de inercia del brazo respecto a esta articulacin es de 0,3 kg.m2.

Se deja caer el brazo libremente de la posicin horizontal a la vertical. Hllese la energa

cintica del brazo y la velocidad lineal de la parte inferior de la mano al final de la "cada".

R: 14 J; 8 / .kE mgr v m s= = =

I.4.56.- El radio de rotacin de una centrfuga de entrenamiento es de 5 m. Halle la

fuerza que influye en un piloto durante el entrenamiento si su masa es 80 kg y la sobrecarga

es 6 veces la aceleracin de la gravedad.

R: 1497 N.

I.4.57.- Un patinador gira con 1 6 rad/s. = Cmo variar el momento de inercia del

patinador en relacin al momento de inercia inicial si acerca las manos al pecho llegando a

ser la nueva frecuencia de giro de 2 18 rad/s = ?

R: Disminuir 3 veces.

I.4.58.- Un ventilador comienza a girar con una aceleracin constante de 0,3 rad/s2. al

cabo de 15 min. la rotacin adquiere un momento angular de 30 kg.m2/s. Halle la energa

cintica del ventilador al cabo de 20 s. despus de comenzar la rotacin.

R: 120 J.

I.4.59.- Un atleta demora 1,5 s. para levantar una barra de una masa de 150 kg desde el

pecho hasta arriba (65 cm). Halle la potencia media desarrollada en este caso.

R: Aproximadamente 0,64 kW.

68

I.4.60.- Una centrfuga de entrenamiento de astronautas hace 0,5 rev/s con un radio de

trayectoria de R=4 m. Halle el ngulo entre la vertical y la direccin de una plomada en el

lugar donde est el astronauta. Diga qu sobrecargas surgen en este caso.

R:

2

arctan Rg

=

Sobrecarga: ( )22

4g R

g+

I.4.61.- Un disco que pesa 2 kgf rueda sin resbalar por un plano horizontal con 4 m/s.

Halle la energa cintica del disco.

R: Tener en cuenta que la energa cintica se compone de la de rotacin y la de

traslacin. 2 2

2 2kmv IE = +

Ek=24,0 J.

I.4.62.- Una esfera de 6 cm. de dimetro rueda sin resbalar por un plano horizontal a 4

rev/s. La masa de la esfera es 0,25 kg. Halle su energa cintica.

R: 0,1 J.

I.4.63.- Un aro y un disco, ambos de igual peso, ruedan sin resbalar con velocidades

lineales iguales. La energa cintica del aro es 4 kgm. Halle la energa cintica del disco.

R: 29,4 J.

69

I.4.64.- Ejemplo- Hallar el error relativo que resulta si al calcular la energa cintica de

una esfera que se desplaza rodando sin resbalar no se tiene en cuenta su rotacin.

R:

En la figura se esquematiza el problema. Consiste en una esfera que rueda sin resbalar

en una superficie plana, de ah su desplazamiento. El centro de masas de la esfera se mueve

con velocidad v respecto al piso, por lo que puede calcularse su energa cintica de

traslacin.

212kt

E mv=

La energa cintica de rotacin puede tambin calcularse teniendo en cuenta que para un

observador situado en el centro de masas de la esfera, la misma est girando y los puntos de la

superficie situados en el ecuador de giro tienen una velocidad v. Su energa cintica de rotacin es:

2

22; I=2 5kr

IE mR= ,

donde R es el radio de la esfera. La energa cintica total

( )2 212k kr ktE E E mv I= + = +

70

El error relativo podemos evaluarlo como lo que representa la energa cintica de

rotacin en comparacin con la de traslacin, o sea

2

2225

2

k kt k r

kt kt

IE E EmvE E

= = = =

Quiere decir que el error es de orden del 40%. Nada despreciable, por cierto!!

I.4.65.- Ejemplo- Se tienen dos cilindros de igual tamao y apariencia: uno de aluminio,

macizo y otro de plomo, hueco, que tienen el mismo radio de 6 cm. y el mismo peso de 0,5

kgf. Cmo se pueden distinguir estos cilindros midiendo sus velocidades de traslacin al

llegar a la base de un plano inclinado?. Calcule cunto tiempo tarda cada cilindro en bajar

rodando el plano inclinado sin resbalar, partiendo del reposo.

R: Es fcil calcular que la velocidad de traslacin de los cilindros al llegar a la base del

plano inclinado se determina por:

2

2mghv ImR

=+

El cilindro de aluminio, cuyo momento de inercia es menor que el del cilindro de

plomo, alcanzar una velocidad mayor al llegar a la base. Por tanto, rodar por el plano con

ms rapidez.

Como los cilindros ruedan por el plano impulsados por una fuerza constante,

2

y l=sin 2

h atv at

= = , de donde

71

sin 22 t=sin

h vt

hv

=

Sustituyendo aqu la frmula para v , tenemos

221

sin

Ih mRt

mg

+ = (1)

El momento de inercia del cilindro macizo de aluminio es

2

1 2mRI = (2)

Y el del de plomo es

2 2

12 2

R RI m +=

Hallemos el radio interior R1 del cilindro interior. Como las masas de los dos cilindros

son iguales, ( )2 2 21 2 2 1L R L R R = , donde L es la longitud del cilindro. 1 la densidad

del aluminio y 2 la del plomo. De aqu se deduce que 2 2 2 1

12

R R

= . Entonces el

momento de inercia del cilindro de plomo es

2

2 12

2

22

mRI

= (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos que para el cilindro de aluminio

1 3 0,78 .sin

ht sg

= =

72

y para el de plomo

2 1

2

22 (1 ( )21 0,88 s.

sin

ht

g

+

= =

I.4.66.- Un disco que pesa 1 kgf y de 60 cm. de dimetro gira alrededor de un eje que

pasa por su centro perpendicularmente al plano del disco y da 20 rev/s. Qu trabajo hay

que realizar para detener el disco?

R: 355 J.

I.4.67.- La energa cintica de un rbol que gira con velocidad angular de 5 rev/s. es de

60 J. Halle el momento angular de este rbol.

R: 3,8 kg.m2/s.

I.4.68.- Halle la energa cintica de un ciclista que marcha a 9 km/h. El peso del ciclista

con la bicicleta es 78 kgf. y a las ruedas les corresponde un peso de 3 kgf. Considere que las

ruedas son aros.

R: 253 J.

I.4.69.- Un nio hace rodar un aro por un camino horizontal a 7,2 km/h. Hasta qu

distancia podra subir el aro por una cuesta a costa de su energa cintica? La inclinacin de

la cuesta es de 10 m. por cada 100 m. de camino.

R: 4,1 m.

I.4.70.- Una rueda de afilar de 90 cm de dimetro y masa 50 kg gira a 900 rpm. Se aplica

una herramienta normalmente contra el borde con una fuerza de 20 kgf y la rueda se

73

detiene al cabo de 10 s. Halle el coeficiente de rozamiento entre la herramienta y la piedra.

Desprecie el rozamiento en los cojinetes

R: 0,540

I.4.71.- Sobre una rueda pivotada se ejerce un momento constante de 20 N.m por 10 s.

con lo cual la velocidad angular de la rueda aumenta de 0 a 100 rpm. se suprime entonces el

momento exterior y la rueda se detiene por el rozamiento de sus cojinetes al cabo de 100 s.

Calcule a) el momento de inercia de la rueda; b) el momento del rozamiento; c)el nmero

total de vueltas dadas por la rueda.

R: a) 174 kg.m2.; b) 1,82 N.m; c) 91,6 vueltas.

I.4.72.- Una cuerda esta arrollada sobre la llanta de un volante de 60 cm. de radio y

mediante la cuerda se ejerce una traccin constante de 5 kgf como se indica en la figura. La

rueda est montada en cojinetes sin rozamiento. El momento de inercia del volante es de

2,45 kg.m2 Calcule la aceleracin del volante

R: 12 rad/s2.

I.4.73.- Un hombre est sentado sobre un taburete de piano sosteniendo un par de

pesas de gimnasia a 90 cm. del eje de rotacin de la silla. Se le comunica una velocidad

angular de 2 rad/s., despus de lo cual acerca las dos pesas hasta 30 cm. del eje. El

74

momento de inercia del hombre respecto al eje de rotacin es 4,9 kg.m2 y puede

considerarse constante. Las pesas tienen cada una 8 kg y pueden considerarse puntuales. Se

desprecia el rozamiento.

a) Halle el momento angular inicial del sistema.

b)Halle la velocidad angular del sistema despus de acercarse las pesas.

c) Calcule la energa cintica del sistema antes y despus de acercar las pesas, as como

su diferencia.

R: a) 35,7 kg.m2/s.

b) 5,68 rad/s.

c) 3,64 kgf.m; 10,32 kgf.m.

75

I.5.-OSCILACIONES Y ONDAS.

Cristian Huygens

La ecuacin del movimiento vibratorio armnico de un punto material tiene la forma:

( ) ( )2sin sin 2 sin ,tx A A t A tT = + = + = +

donde , , ,x A T representan respectivamente la elongacin, la amplitud el periodo y la

fase inicial del movimiento respectivamente, 1T

= la frecuencia de las vibraciones y

2T =

la frecuencia angular o circular.

La velocidad del punto es

2 2cosdx a tvdt T T

= = +

y la aceleracin

2 2

2 2

4 2sindv d x A Tadt dt T t

=