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Tema 20: El lenguaje algebraico

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TEMA 20

EL LENGUAJE ALGEBRAICO. SÍMBOLOS Y NÚMEROS. IMPORTANCIA DE SU DESARROLLO Y

PROBLEMAS QUE RESUELVE. EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA.

EL LENGUAJE ALGEBRAICO ........................................................................................................................ 2

SÍMBOLOS Y NÚMEROS .................................................................................................................................. 3

1.- SÍMBOLOS Y SIGNOS ....................................................................................................................................... 3 2.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................................................................................................................... 6 3. FÓRMULAS ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. ......................................................................................................... 8

IMPORTANCIA DE SU DESARROLLO Y PROBLEMAS QUE RESUELVE .......................................... 10

1. ÁLGEBRA ELEMENTAL ................................................................................................................................... 10 2. ÁLGEBRA LINEAL ........................................................................................................................................... 11 3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ........................................................................................................................ 11 4. PROGRAMACIÓN LINEAL ................................................................................................................................ 11 5. OTRAS APLICACIONES .................................................................................................................................... 12

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA ................................................................................................ 12

1. ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA .................................................................................................................... 14 2. ÁLGEBRA BABILÓNICA ................................................................................................................................... 15 3. ÄLGEBRA CHINA ............................................................................................................................................ 16 4. ÁLGEBRA DE LA INDIA ANTIGUA ................................................................................................................... 17 5. ÁLGEBRA GRIEGA .......................................................................................................................................... 18 6. ÁLGEBRA ÁRABE ........................................................................................................................................... 19 7. ÁLGEBRA EUROPEA MEDIEVAL Y RENACENTISTA ......................................................................................... 20 8. SIGLOS XVI, XVII Y XVIII ........................................................................................................................... 21 9. ÁLGEBRA MODERNA Y CONTEMPORÁNEA ...................................................................................................... 23

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................. 26

(Nota: Determinados párrafos se encuentran en letra verde. Son más bien relativos a Historia de las Matemáticas en general que del Álgebra en particular, o bien son redundantes, por lo que pueden ser omitidos en aras a una mayor brevedad del tema)



EL LENGUAJE ALGEBRAICO

El Álgebra es uno de los grandes bastiones que conforman el edificio de las

matemáticas. Esta parte de las matemáticas abrió las puertas del camino de la abstracción y la

deducción mediante conceptos como la ecuación y la incógnita.

Fue por tanto genial el hallazgo de expresiones generales en que las letras sustituían a

los números, y que podían tener en cada caso valores distintos.

Así como la Aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de

medir el tiempo y de contar sus posesiones, el lenguaje del Álgebra es muy posterior, puesto

que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de

número que es el fundamento del Álgebra. El gran desarrollo del Álgebra se debió sobre todo

a los matemáticos árabes, y muy particularmente a Al-Hwarizmi (siglo IX d.c.), que sentó las

bases del Álgebra tal como la conocemos hoy en día.

El Álgebra es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las

cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto

que mientras en Aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan

valores determinados, en el Álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden

representar cualquier valor que se les asigne. Así, por ejemplo, 18 sólo representa un valor

determinado, mientras que la letra x puede representar cualquier valor que le asignemos.

Se define lenguaje como todo conjunto de secuencias formadas por caracteres o

símbolos pertenecientes a un determinado alfabeto finito. En el estudio de los lenguajes hay

que distinguir entre “sintaxis” (conjunto de las reglas según las que se combinan formando

secuencias los caracteres del alfabeto), “semántica” (estudio de los significados que se

pueden dar a las secuencias) y “pragmática” (estudio de las situaciones en las que se estudia

un lenguaje).

El lenguaje algebraico, como todo lenguaje, consta de un sistema de signos, unas

relaciones entre ellos para formar frases, una sintaxis y una semántica.

Los signos son de dos tipos: unos que pudiéramos llamar genuinos, comúnmente

aceptados, salvo excepciones contadas, y otros signos más complejos.



El conjunto de los signos con sentido forman una frase. La sintaxis tiene por objeto precisar

lo que se entiende por una frase correctamente formada. Para ello, la gramática enseña unas

ciertas leyes de formación. Por ejemplo, según las leyes de la gramática del lenguaje

algebraico, x + y = 8 es una frase bien formada, mientras que x + = y8 es una frase

incorrecta.

Una frase escrita correctamente no transmitirá información a menos que el emisor le

atribuya un sentido, de manera que el receptor pueda comprenderlo y utilizarlo.

El lenguaje algebraico es mixto, contiene símbolos matemáticos y palabras y frases

del idioma común, no específico. Un símbolo puede representarse por un sonido, un grafema

o algo visible conectado mentalmente a una idea, es como una etiqueta que sirve para

identificar y manipular conceptos. El concepto o idea es el significado del símbolo. Sin una

idea ligada, un símbolo carece de significación.

La sintaxis algebraica, por tanto, estudia las reglas a que han de someterse los

símbolos para formar frases algebraicamente correctas.

Distinguimos entre lenguaje algebraico o literal y lenguaje numérico o aritmético,

siendo el primero el usado en operaciones en las que intervienen números y letras, mientras

que el segundo es el usado en operaciones en las que intervienen solamente números. Y, de

manera intuitiva, podemos denominar al Álgebra como la parte de las Matemáticas que

utiliza en sus operaciones letras y números, siendo los procedimientos algebraicos aquellos

procedimientos matemáticos que tienen como base operativa el Álgebra.

Para resolver un problema mediante el Álgebra lo primero que hay que hacer es

expresar en lenguaje algebraico las partes del problema, descomponiendo todos sus

elementos hasta expresarlos con números o letras y los signos que los unen, para después,

aplicando las reglas del Álgebra, operar hasta llegar a la solución deseada.

SÍMBOLOS Y NÚMEROS

1.- Símbolos y signos

Los símbolos que se emplean en Álgebra para representar cantidades pueden ser de

dos tipos: números y letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente

determinadas.



Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades, tanto conocidas como

desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras

letras del alfabeto: a, b, c, d.... Mientras que las cantidades desconocidas se representan

utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z...

También se utilizan en Álgebra signos de tres tipos: signos de operación, signos de

relación y signos de agrupación.

* Signos de operación: Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas

operaciones que con las aritméticas, es decir, suma o adición, resta, multiplicación o

producto, división, potenciación, radicación, logaritmación, etc...

En la suma se utiliza el signo más (+). Así, la expresión x + y se leerá x más y.

En la resta se utiliza el signo menos (-). Leeremos la expresión x - y como x menos y.

En la multiplicación se utiliza el signo multiplicado por (×) ó (⋅). La expresión x× y

ó x·y se lee x multiplicado por y. El signo multiplicado por suele omitirse cuando los

factores están indicados por letras o bien por números y letras. Así xyzzyxzyx =⋅⋅=×× y

también yzzyzy 333 =⋅⋅=××

En la división se usa el signo dividido entre (:). También se acostumbra a separar

dividendo y divisor por una raya oblicua o virgulilla, colocando el numerador a la izquierda

de la raya y el denominador a la derecha. Ejemplo de división es yxyx /: = que se lee, en

ambos casos, x dividido entre y.

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa

arriba y a la derecha de una cantidad llamada base y que indica el número de veces que ha de

multiplicarse la base por sí misma. De este modo, ....xxxxx y⋅⋅⋅= y veces, se leerá x

elevado a y. En el caso de que una letra no lleve exponente, se sobreentiende que su

exponente es la unidad: 111 zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅

En la radicación se utiliza el signo radical ( ) debajo del cual se coloca la cantidad

a la que se le extrae la raíz. Ejemplo: x se lee raíz cuadrada de x, 3 x se lee raíz cúbica de

x, y así sucesivamente.

* Signos de relación: Son signos que se utilizan para indicar la relación que hay entre

dos cantidades. Los más usados son: ≥≤><≠= ,,,,,

El signo = se lee igual a. yx = se leerá x igual a y

El signo ≠ se lee distinto de. yx ≠ se lee x distinto de y



El signo > se lee mayor que. Ejemplo: yx > se lee x mayor que y, siendo

estrictamente mayor.

El signo < se lee menor que. Ejemplo: yx < se lee x menor que y, siendo

estrictamente menor.

El signo ≥ se lee mayor o igual que. Ejemplo: yx ≥ se lee x mayor o igual que y,

siendo x bien mayor o bien igual que y.

El signo ≤ se lee menor o igual que. Ejemplo: yx ≤ se lee x menor o igual que y,

siendo x bien menor o bien igual que y.

* Signos de agrupación. La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de

las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad

de lectura del lenguaje algebraico. Los signos de agrupación más utilizados son: los

paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}

.Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe

efectuarse en primer lugar. Así, por ejemplo, )( zyx ++ indica que en primer lugar se debe

efectuar zy + , y a continuación, el resultado obtenido debe sumarse con x .

Las operaciones se realizan en un orden de precedencia, sirviendo los signos de

agrupación para alterar este orden. Así, se opera de izquierda a derecha, haciéndose en primer

lugar las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas, pero, al

presentarse signos de agrupación, se realizan en primer lugar todas las operaciones dentro de

un mismo grupo, comenzando por el grupo más interno cuando se presentan varios niveles de

agrupación.

En lenguaje algebraico se llama coeficiente al número o letra que se coloca delante de

una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad

debe tomarse como sumando.

Así, si consideramos el producto x5 , el factor 5 es el coeficiente del factor x e indica

que el factor x se debe sumar cinco veces, es decir, xxxxxx ++++=5 . En este caso, el

coeficiente 5 recibe el nombre de coeficiente numérico. Si consideramos el producto xy , el

factor x es el coeficiente del factor y e indica que el factor y se debe sumar x veces. En

este caso, el coeficiente x recibe el nombre de coeficiente literal.



Si se tiene un producto de dos o más factores, uno o varios de los factores son el

coeficiente de los restantes factores. De este modo, en el producto xyz , x es el coeficiente de

yz , mientras que xy es el coeficiente de z

.En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico, se

sobreentiende que el coeficiente es la unidad. Así, equivale x a x1 y xy es equivalente a

xy1 .

Se llama exponente al número o letra que se escribe a la derecha y en la parte

superior de una cantidad para indicar el número de veces que dicha cantidad se toma como

factor, es decir, se multiplica por ella misma. Por ejemplo 6y , equivale a yyyyyy ⋅⋅⋅⋅⋅

mientras que 3)( yx − equivale a ))()(( yxyxyx −−−

En el caso de que una cantidad no lleve exponente, se sobreentiende que es la unidad.

2.- Expresiones algebraicas

Se llama expresión algebraica a toda representación de cantidades algebraicas

mediante letras y números unidos por los signos de cálculo algebraico. Si los símbolos y

signos son las letras del alfabeto algebraico, las expresiones algebraicas son las frases que se

forman con esos símbolos y signos para expresar algo.

Llamamos a una expresión algebraica entera cuando no tiene denominador algebraico

ni radical. Ejemplo de expresión algebraica entera es: yx3 .

Llamamos a una expresión algebraica fraccionaria cuando tiene denominador. Por

ejemplo zyx /3 es una expresión fraccionaria algebraica.

Se dice que una expresión algebraica es racional cuando ninguna de sus letras está

afectada por un signo radical o por un exponente fraccionario. Ejemplo: 2xy

Se dice, por el contrario, que una expresión algebraica es irracional cuando alguna de

sus letras está afectada por un signo radical o por un exponente fraccionario. Así, por ejemplo

xyz , es una expresión algebraica irracional.

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una

ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las

variables o letras; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para

otros, la ecuación es condicional.



Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los

signos + ó -. Así, por ejemplo 2xy , es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el

coeficiente, la parte literal y el grado.

En cuanto al signo, encontramos términos precedidos por el signo más (+), que se

llaman términos positivos, en tanto que los que van precedidos del signo menos (-) se llaman

términos negativos. El signo más (+) se acostumbra a omitir delante de los términos

positivos. Es igual xy+ l que xy . Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún

signo, se sobreentiende que es positivo.

El coeficiente, como ya se ha indicado, es generalmente el primer factor del término.

Por ejemplo, en el término xy7− el coeficiente es -7.

La parte literal está formada por las letras que haya en el término. En el término

yx 26 la parte literal es yx 2

El grado de un término puede ser total o referido a una letra. El grado total de un

término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, el término zyx 235 es de

sexto grado, puesto que la suma de los exponentes de sus factores literales es 3+2+1=6.

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. El

ejemplo anterior es de tercer grado respecto a x , de segundo grado respecto a y , y de primer

grado respecto a z .

Los términos, a su vez, pueden ser: enteros cuando no tienen denominador literal, por

ejemplo 35xy ; fraccionarios cuando tienen denominador literal, como por ejemplo yx /2 2 ;

racionales cuando no tienen radicales, como por ejemplo 223 yx e irracionales cuando tienen

radicales, como es el caso de xy9 .

Dos términos son homogéneos cuando tienen el mismo grado absoluto. Por ejemplo

son homogéneos los términos yx23 y yx 27 , pues ambos son de tercer grado total o absoluto.

Dos términos son heterogéneos cuando tienen distinto grado absoluto. Son, por

ejemplo, heterogéneos los términos yx 26 y 38xy , dado que el primero es de tercer grado y el

segundo de cuarto grado total o absoluto.



3. Fórmulas algebraicas. Polinomios.

Una fórmula algebraica es una expresión algebraica usable para representar una

regla o un principio.

Así, por ejemplo, si decimos que el área de un círculo viene dada por la expresión

2rS π= , siendo S el área del círculo, r el radio y π el número irracional 3,141592..., estamos

empleando una fórmula algebraica que se podrá utilizar para calcular el área de cualquier

círculo, conocido el valor del radio.

Llamamos variables en una expresión algebraica a las letras que forma parte de ella y

que pueden ser sustituidas por cualquier valor. Los números que la componen son las

constantes. También, en las fórmulas genéricas, se representan las constantes por letras, de

las primeras del alfabeto, que indican valores constantes para cada problema tratado en

particular.

Las expresiones algebraicas que constan de un solo término reciben el nombre de

monomios. Ejemplo 323 yzx

Las que constan de dos términos reciben el nombre de binomios. 232 xyx −

Las que constan de tres términos reciben el nombre de trinomios. 332 32 zxyyx −+

En general, las expresiones algebraicas que constan de dos o más términos reciben el

nombre de polinomios.

El grado total de un polinomio es el grado del término que lo tenga más elevado.

Por ejemplo, el polinomio xxxx −+−325 732 es de grado total 5, al ser el grado más

elevado de uno de sus términos.

El grado de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente de dicha

letra en el polinomio. Por ejemplo el polinomio 223 73 yyxx +− es de tercer grado respecto a

la letra x y de segundo grado respecto a la letra y.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal,

siendo fraccionario cuando alguno de sus términos tiene denominador literal. Por ejemplo el

polinomio 43 2+− xx es entero, en cambio el polinomio 4/3/5 2

+− xx es fraccionario.

Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contiene radicales, siendo

irracional cuando alguno de sus términos contiene radicales. Ejemplo de polinomio racional

es 7335 +− xx y de polinomio irracional es xx 35 −+ .

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado total,

como por ejemplo 3223 yxyyxx +−+ en que todos sus términos son de tercer grado total.



Un polinomio es, por el contrario, heterogéneo cuado no todos sus términos son del mismo

grado total, como por ejemplo 224 xyyxx +− , donde el primer término es de cuarto grado y

los restantes términos son de tercer grado.

Se dice que un polinomio es completo con respecto a una letra si contiene todos los

exponentes desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. El polinomio

3223 yxyyxx +−+ es completo respecto a la letra x, dado que contiene todos los grados

desde 1 hasta 3, los grados más alto y más bajo, e igualmente es completo respecto a la letra

y.

Un polinomio es incompleto respecto a una letra determinada si no contiene todos

los exponentes desde el más alto hasta el más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Por

ejemplo el polinomio 52 25−++ xxx es incompleto, puesto que faltan los términos de grado

4 y 3.

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los

exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta

el último término con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra

ordenatriz. Por ejemplo el polinomio 3223 yxyyxx +−+ está ordenado en orden

ascendente respecto a la letra ordenatriz y, estando además ordenador en orden descendente

con respecto a la letra ordenatriz x.

Ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal que los

exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o aumentando desde

el primer término hasta el último.

Se llama término independiente de un polinomio con respecto a una letra, al término

que no contiene dicha letra. Por ejemplo, en el polinomio 623 2+− xx el término

independiente con respecto a x es 6, puesto que es el único término que no contiene la letra x.

Puede considerarse el término independiente con respecto a una letra como el término

del polinomio en el cual dicha letra está elevada a exponente cero, puesto que cualquier

número elevado a cero es la unidad. En el ejemplo anterior 61666 0=⋅=⋅= x

Términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con iguales

exponentes aunque tengan distintos signos y coeficientes. Por ejemplo, son términos

semejantes 35xy− y 38xy

Se llama reducción a términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar

varios términos semejantes en uno solo.



Llamamos valor numérico de una expresión algebraica al resultado que se obtiene

efectuando las operaciones indicadas en ella, después de sustituir cada letra por el valor que

se le atribuye.

IMPORTANCIA DE SU DESARROLLO Y PROBLEMAS QUE

RESUELVE

Ya se ha comentado que el Álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan

letras para representar relaciones aritméticas. Trata de la cantidad en general, esto es,

independientemente de toda magnitud concreta y de todo sistema de numeración. Este

enfoque la hace fundamental tanto en el desarrollo de otras partes de las Matemáticas, que se

sirven de ella, como en otras muchas áreas de las ciencias: Física, Mecánica, Química,

Ingeniería, etc…

El Álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de

números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El

Álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las

estructuras matemáticas. Se considera al Álgebra moderna como un conjunto de objetos con

reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de

Álgebra es la que dice que el Álgebra es el idioma de las matemáticas.

1. Álgebra elemental

Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición,

sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La Aritmética, sin embargo, no es

capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que

en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las

áreas de los cuadrados de lado los catetos. La Aritmética sólo da casos particulares de esta

relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El Álgebra, por el contrario, puede dar

una generalización que cumple las condiciones del teorema: 222 cba =+ . Un número

multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por

ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, aa× es igual que 2a .

El Álgebra elemental permite plantear problemas que consisten en encontrar números

a partir de unas condiciones de partida o hipótesis. Proporciona métodos de planteamiento de



problemas y procedimientos de hallazgo de soluciones. Se vale, para ello, del uso de las

fórmulas, proporcionando éstas la forma de llegar al resultado final de un problema,

expresando las operaciones necesarias y suficientes que se deben realizar con los datos.

2. Álgebra lineal

Otro de los campos de desarrollo del Álgebra es el Álgebra lineal, cuyo problema

central es la solución de ecuaciones lineales simultáneas. El caso más importante, y el más

simple, es aquel en que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, es decir, n

ecuaciones con n incógnitas.

3. Resolución de ecuaciones

Uno de los aspectos más importantes del Álgebra es la resolución de ecuaciones.

Muchos problemas en la actualidad encuentran su solución a través de su transformación en

una ecuación o un sistema de ecuaciones.

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el

concepto general de identidad a = a

Son sistemas de ecuaciones simultáneas todo conjunto de ecuaciones que deben

verificarse simultáneamente para unos mismos valores de las incógnitas.

El Álgebra proporciona métodos para el planteamiento de la ecuación o sistema que

resuelve el problema y para la resolución de los mismos encontrando la solución final. Así,

los determinantes y las matrices son herramientas importantes para el estudio de los sistemas

de ecuaciones lineales.

4. Programación lineal

La Programación lineal, considerada como parte del Álgebra lineal, trata de

desigualdades. La idea clave es entender el significado geométrico de las desigualdades

lineales. Una desigualdad divide el espacio n-dimensional en dos semiespacios, uno donde se

satisface la desigualdad y otro donde no se satisface.

Se pueden llamar problemas de Programación lineal todos los que permiten

hallar el reparto más eficiente (con vistas a cierto objetivo) de recursos limitados. Por

ejemplo, un industrial desea utilizar de la mejor manera posible sus recursos y su capacidad



de producción con el fin de hacer máximo su beneficio. Es aquí donde intervienen los

métodos de la Programación lineal, resolviendo problemas de Matemáticas, Economía, etc…

En general, problemas de optimización.

5. Otras aplicaciones

Son muchos más que los enumerados los aspectos que desarrolla el Álgebra. Entre

ellos:

o El estudio de los espacios vectoriales, mediante los cuales se definen los espacios

afines abstractos.

o Estudio de las matrices y determinantes como medio fundamental para la

descripción de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión

finita y, análogamente, de las aplicaciones afines entre espacios afines.

o Las formas bilineales, cuadráticas y hermíticas que encuentran aplicación en los

espacios unitarios y normados.

o Aplicaciones en Física contemporánea y Cristalografía. E.S. Federov ha

desarrollado una teoría sobre la simetría de los cristales basada en la unión de la

geometría y la teoría de grupos.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA

En un principio, las nociones primitivas de número, magnitud y forma pueden haber

estado relacionadas más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas, tales como son

la diferencia entre un lobo y muchos, la desigualdad en tamaño entre un pececillo y una

ballena, el contraste entre la redondez de la luna y la derechura de un pino. Después, y de una

manera gradual, debe haber surgido, a partir de la confusión de un gran número de

experiencias desordenada, la constatación de que hay ciertas igualdades o semejanzas, y de

esta conciencia de las semejanzas, tanto en el número como en la forma, nacieron las

matemáticas y la ciencia en general. Las diferencias mismas parecen estar apuntando ya a las



semejanzas, puesto que el contraste que se observa entre un lobo y muchos, entre una oveja y

un rebaño, entre un árbol y un bosque, viene a sugerir que un lobo, una oveja y un árbol

tienen algo en común, su unidad. De la misma manera puede uno llegar a darse cuenta de que

algunos otros grupos de cosas, como son los pares, pueden ponerse en correspondencia

biunívoca: las manos pueden emparejarse con los pies, con los ojos, con las orejaa o con los

agujeros de la nariz. Este reconocimiento de una propiedad abstracta que tienen en común

ciertos grupos, y a la que nosotros llamamos número, representa una importante etapa en el

camino hacia la matemática moderna.

Nuestros antepasados muy primitivos contaban al principio sólo hasta dos, y cualquier

conjunto que sobrepasara este nivel quedaba degradado a la condición de “muchos”. Algunas

lenguas, incluida el griego, han conservado en su gramática una distinción tripartita entre

uno, dos y más de dos, mientras que la mayor parte de las lenguas actuales hacen sólo la

distinción dual en el “número” gramatical entre singular y plural.

La conciencia del número se hizo al fin lo suficientemente extendida y clara como

para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al

principio presumiblemente sólo en un lenguaje simbólico. Los dedos de la mano pueden

usarse fácilmente para representar un conjunto de dos, tres, cuatro o cinco objetos, y si no de

uno, ello fue debido a que el número uno no era reconocido generalmente al principio como

un “verdadero número”. Por medio de los dedos de las manos se podían representar

colecciones de hasta diez elementos y, usándolos junto con los de los pies, podía uno

remontarse hasta veinte. Cuando el uso de los dedos resultaba ya inadecuado, podían ya

utilizarse pequeños montones de piedras para representar una correspondencia biunívoca con

los elementos de otros conjuntos, y cuando el hombre primitivo empleaba este sistema de

representación, a menudo amontonaba las piedras por grupos de cinco, debido a que antes se

había familiarizado con los quíntuplos de objetos por observación de su propia mano o pie. El

uso del sistema decimal no es sino la consecuencia del accidente anatómico de que tenemos

diez dedos en las manos y otros diez en los pies.

Los montones de piedras constituyen un mecanismo demasiado efímero para

conservar información, y en vista de ello el hombre prehistórico a veces registraba un número

cortando muescas en un palo o en un trozo de hueso. A menudo, las escisiones estaban

agrupadas de cinco en cinco.

Las palabras para expresar ideas numéricas nacieron muy lentamente; los signos para

representar números precedieron con toda probabilidad a las palabras para representar



números, simplemente porque es mucho más fácil cortar muescas en un palo que establecer

una frase bien modulada para identificar un número concreto.

Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los

sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

En principio aparecen los sistemas de numeración simple, donde se utiliza un único

símbolo que se repite tantas veces como indique el número que se cuenta. A partir de aquí

surgen los sistemas de agrupamiento múltiple, que consisten en la invención de símbolos que

representan grupos de un solo símbolo y evitan la tarea de repetirlo. Por ejemplo, el sistema

egipcio empleaba símbolos para el 1, 100, 1000, etc. Aún no importa el lugar que ocupe el

símbolo,aunque los egipcios ordenaban de menor a mayor, de izquierda a derecha, de arriba

abajo. En el sistema de numeración romano aparece el orden de los símbolos como precepto:

un símbolo suma o resta según quien le preceda o suceda. Este sistema de numeración

conjuga los sitemas binario y quinario. Así cinco veces I es V; dos veces V es X, cinco veces

X es L, dos veces L es C.

Los sistemas posicionales, más avanzados, utilizan unos pocos grafismos para

representar grandes cantidades, ya que el mismo símbolo puede tener diferente valor

dependiendo del lugar donde se encuentre. En nuestro sistema decimal, con solo 10 símbolos

podemos expresar una cantidad infinita de números.

El Álgebra nace cuando se comienzan a plantear problemas que consisten en

encontrar números a partir de unas condiciones de partida o hipótesis, buscandose métodos

para el planteamiento de los problemas y procedimientos para el hallazgo de las soluciones.

1. Antigua civilización egipcia

La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo

suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un

cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo

Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático, y algunos

pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y

templos.

El documento más extenso que contiene información matemática es el Papiro de

Ahmes, escrito hacia 1650 a.c., también conocido como Papiro Rhind en honor al anticuario

escocés que lo compró. Este papiro fue escrito en escritura hierática (o “sagrada” que se

distingue de la escritura demótica o “popular”), no en escritura jeroglífica, lo que lo hace



mucho más simple. El sistema de numeración que utiliza es decimal, pero el tedioso principio

repetitivo de la numeración jeroglífica se ve reemplazado por la introducción de cifras o

signos especiales para representar los dígitos y las potencias de diez.

Aparte de la gran importancia de los contenidos de estos papiros en cuanto al

desarrollo de la Aritmética, que no es objeto de este tema, en cuanto al Álgebra encontramos

problemas que pueden clasificarse como algebraicos y que no se refieren a objetos concretos

y específicos, como pan o cerveza, ni tampoco piden el resultado de operaciones con números

conocidos, sino que piden lo equivalente a resolver ecuaciones lineales de la forma

baxx =+ ó cabaxx =++ , donde a, b y c son números conocidos y x es desconocido; a

este número desconocido o incógnita se le llama “aha” o montón. El problema 24, por

ejemplo, pide calcular el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a

19. Para la solución Ahmes utiliza un procedimiento que conocemos hoy como “método de la

falsa posición” o “regula falsi”. En este método se supone un valor concreto para el montón,

lo más probable es que seacincorrecto, y se efectúan con dicho número las operaciones

indicadas en el miembro de la izquierda de la igualdad; a continuación se compara el

resultado de estas operaciones con el resultado que debería haberse obtenido, y mediante el

uso de proporciones se halla la respuesta correcta.

2. Álgebra babilónica

Bajo la denominación de Mesopotamia o Babilonia se engloban los Estados situados

entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C.

Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es

mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros,

utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del

tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos

y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen

únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general,

lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas

no pudieron deberse al azar.

Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el

que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban

por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que

permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución



y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se

atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de

Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto de número

inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división.

Encontramos en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la

potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la

solución para ecuaciones de la forma 0,0,2>>=+ qpqpxx y también cbxax =+

2

mediante el cambio de variable ax= . Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron

para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta

materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de

progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tan grande

que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas.

3. Älgebra china

Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones

egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra

matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más

importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos.. Los problemas

que presenta resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos,

cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son

las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la

previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números

negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución

algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de

resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método

genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss,

expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera

escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de

palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los

negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.



Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene

hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas

de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el

desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi

Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso

aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma

012

23

34

4)( axaxaxaxaxPn ++++= . El método del elemento celeste es equivalente al que

en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más

tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por

Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron

elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso"

de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

4. Álgebra de la India Antigua

Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras

manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el

caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al

igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo

teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C,

centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y

también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración

posicional y decimal

La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio

de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números

negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los

números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones

lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas.

Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de

resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la

ecuación 22 1 ayx += , denominada ecuación de Pelt.

Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de

numeración decimal y las reglas de cálculo.



5. Álgebra griega

En menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, los

pensadores griegos construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta

nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

Ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos

matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. En esta época ya resultaban

conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban

cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones

aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la

armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el

método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es,

ternas de números que satisfacen la ecuación 222 cba =+ .

En la época de Platón la matemática griega había sufrido ya cambios drásticos. La

dicotomía abierta entre número y magnitud continua exigía un nuevo planteamiento del

álgebra babilónica que habían heredado los pitagóricos. Había que construir un “álgebra

geométrica” que generalizase y ocupase el lugar de la vieja “álgebra aritmética” y en este

nuevo álgebra ya no se podría sumar segmentos a áreas o áreas a volúmenes, sino que tendría

que haber una homogeneidad estricta de los términos en las ecuaciones, y las formas

canónicas mesopotámicas ayx =⋅ , byx =± deberían ser interpretadas geométricamente.

De este modo, los griegos consiguieron resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de los

procedimientos conocidos como “aplicación de áreas”, parte del álgebra geométrica que

aparece tratada de una manera muy completa en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a.c.),

en el Libro II. Muchos aspectos del “álgebra aritmética” pasan a ser resueltos con los

procedimientos del “álgebra geométrica”.

A comienzos de la Edad de Plata o Edad Alejandrina Tardía que ocupa el perído entre

250 y 350, nos encontramos con el más importante de todos los algebristas griegos, Diofanto

de Alejandría, quien puede ser considerado el padre del Álgebra, aunque su obra no contiene

nada del material que constituye la base del Álgebra elemental moderna, ni tampoco se

parece en absoluto al Älgebra geométrica que nos encontramos en Euclides. Su obra más

importante es la Arithmetica, tratado original de trece libros de los que han sobrevivido los

seis primeros. Lo que ha llegado hasta nosotros de su obra está dedicada, casi completamente,



a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas. La contribución genial

de Diofanto de Alejandría fue la introducción de símbolos y signos para expresar las

cantidades y las operaciones. Esto constituye la mayor contribución griega al Álgebra.

6. Álgebra árabe

A partir de la segunda mitad del siglo VIII comenzó el desenfrenado proceso de

traducir al árabe todas las obras griegas conocidas. Se fundaron escuelas por todo el Imperio,

entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría). Entre los miembros de esta

escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de

media docena de obras matemáticas y astronómicas, dos de las cuales han tenido especial

importancia en la historia. La primera de ellas está basada en una traducción árabe de

Brahmagupta y en la que se da una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo

que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del

árabe. El "nuevo" sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y

a través de deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término

que, actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de

su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre

mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones

cuadráticas, así como un sinfín de elementos griegos.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de

cálculo y algoritmos especiales, entre ellos: cálculo de raíces por el método conocido

actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha

colaboración con los matemáticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del

desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales; Extracción

aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal; Sumación de progresiones

aritméticas y geométricas.

Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de

ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas

últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la

trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados... Otra dirección

en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la imagen geométrica de

la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas, convenientemente



elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la ausencia de una

simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.

7. Álgebra europea Medieval y Renacentista

En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en

muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del

medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.. Sin embargo hubo que esperar a

que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una

oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los

traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de

80 obras. Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más

conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el

libro del ábaco), en el que se encuentran expuestos, entre otros muchos temas, problemas de

progresiones y ecuaciones. En su “Liber Abaci” formula una serie de problemas, entre ellos

uno que da lugar a la llamada “sucesión de Finobacci”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… un donde

un=un-1+un-2 para n≥3. Se han descrito muchas e interesantes propiedades de esta sucesión.

Regiomontano (1436-1474), además de sus grandes aportaciones a la trigonometría,

enriqueció el concepto de número, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos,

ampliando así las posibilidades de resolución de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557),

Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron fórmulas para la búsqueda de ecuaciones

de tercer grado.

Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de

resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se

expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de

un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se

establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.

François Viète (1540-1603) dió un sistema único de símbolos algebraicos

consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la expresión de

ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció en todo

momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que



de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como

uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.

8. Siglos XVI, XVII y XVIII

A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las

obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta nuestros

días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto

simbolismo. Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de

símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este

avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René

Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Su libro de geometría contiene

también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio

Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas)

y falsas (negativas) de una ecuación.

Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En

sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las

Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades

científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de los científicos.

El álgebra siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato

simbólico literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones. La teoría de números se

enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él pertenece el

conocido "Gran teorema de Fermat". Utilizó su método de descenso infinito para demostrar

que no hay ningún cubo que pueda desomponerse en dos cubos, es decir, que no hay números

enteros positivos zyx ,, tal que 333 zyx =+ . Formuló incluso la proposición general de que

para 2>n no hay números enteros positivos tales que zyx nn=+ En el año 1665 B. Pascal

formuló el principio de inducción matemática.

Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi

exclusivamente en Europa. La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas

de Descartes) se determinó ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética

Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo de

los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las aplicaciones.

La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación



algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados de la

teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas, mediante la construcción

geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las

potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como

"identidades de Newton". Aparece también un teorema que permite determinar el número de

raíces reales de un polinomio, así como una regla para determinar una cota superior de las

raíces positivas.

Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,

especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,

elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.

En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya

estaba ciego. En ella se analizan un sinfín de resultados: se generalizan las reglas de

resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se

aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los

logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones

algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las funciones

racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos de una

potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las

fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones

algebraicas.

Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas.

En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la

resolución de tales ecuaciones. También se profundizó en el concepto de número,

produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente

se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero

siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.

Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día

conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para

desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando

métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis

infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos

trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo

m.



No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre

problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de

las fracciones continuas.

En 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que

toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.

9. Álgebra moderna y contemporánea

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro

de la Matemática. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la

resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el

álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer

lugar el concepto de grupo.

El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que

se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son

las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones

del álgebra elemental.

El problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX fue la Teoría General de las

Ecuaciones algebraicas, entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la ecuación con

ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.

En esta época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo,

que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss,

N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en radicales de las

ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.

Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven,

advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la

división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema

fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones.

Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por

Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo

de los polinomios.

Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las

raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes



conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois

y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie

hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el

matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de

los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la

forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann

empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.

W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del

mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este

enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del

pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra

moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido

resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las

matemáticas y en muchas otras ciencias.

Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la

demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por este

camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer éxito real

lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones fundamentales en el

campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de funciones especiales como

las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en

radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos. Sin embargo, la solución a este

problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois.

El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles

mediante radicales las ecuaciones polinómicas.El aparato algebraico introducido tuvo, sin

embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su idea del

estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la estructura

de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base fructífera del álgebra moderna.

la teoría actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja y

ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las

ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.

Teoría de Grupos: Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto

de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un



papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose,

predominantemente, la teoría de los grupos finitos.

Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a

aparecer definiciones abstractas más generales de grupo. este proceso se aceleró desde el año

1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de

grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría

algebraica.

A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo,

resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas

espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que

pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios

multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.

Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como

continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las necesidades de

la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos

de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.

En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó

desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie de

teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos

continuos, entre ellos los grupos de Lie.

Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y

sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la

mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física

moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la

representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas

por Cartan, H. Weyl y otros científicos. Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y

Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de

grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de las matemáticas

modernas.



BIBLIOGRAFÍA

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