hendrik w. bode

Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un mayor rango de representación. En tal caso, se mayor rango de representación. En tal caso, se denominan “denominan “diagramas de Bodediagramas de Bode”, en honor a ”, en honor a quién les dio popularidad a través de sus trabajos.quién les dio popularidad a través de sus trabajos.

Hendrik W. Bode

Los “diagramas de Bodediagramas de Bode” consideran trabajar con escalas logarítmicas en escalas logarítmicas en las frecuenciaslas frecuencias. Por otra parte, las magnitudes se grafican en “decibelesdecibeles” mientras que las fases en forma lineallas fases en forma lineal.

HdBH 10log20][

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RCRespuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC

Respuesta en frecuencia Respuesta en frecuencia y Diagramas de Bodey Diagramas de Bode

Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación de que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación de varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir de la varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir de la suma de las gráficas de cada una de las ganancias suma de las gráficas de cada una de las ganancias individuales.individuales.

20 )(1

1

H

Por lo tanto:

202

0

)(1log10)(1

1log20log20][

HdBH

A partir de esta última expresión, puede hacerse el siguiente análisis:

Para el caso de un circuito de primer orden, la ganancia viene dada por:


• Para bajas frecuencias, es decir, para Para bajas frecuencias, es decir, para <<<<00, , la ganancia logarítmica resultante será:la ganancia logarítmica resultante será:

02

0 log20)(log10log20][ HdBH

En un diagrama de Bode de magnitud, la frecuencia para la cual la magnitud cae –3dB respecto de la que corresponde a =0, se conoce como “frecuencia de quiebrefrecuencia de quiebre” o “frecuencia de cortefrecuencia de corte” del circuito.

dBHdBH 01log10log20][ • Para =0 se tiene:

dBHdBH 01,32log10log20][

• Para >>0 resulta:


El intervalo entre dos frecuencias cuya razón es 10 se llama “décadadécada”. Así, dadas 1 y 2, siendo y 2 =101, el intervalo entre ellas es una década.


Se vio anteriormente que para Se vio anteriormente que para >>>>00, se cumple que:, se cumple que:

Por lo tanto, la diferencia entre las ganancias de frecuencias separadas por una década, cuando se cumple la condición anterior será:

Como conclusión, puede decirse que:

log20log20log20][ 00 dBH

dBdBH 20101log20log20)log20(log20][

2

121

• La pendiente de la recta asintótica para un circuito de primer orden, cuando >>0, es de –20dB/década–20dB/década.

• La asíntota interseca la línea de 0dB en =0 (frecuencia de cortefrecuencia de corte).


Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.En Matlab, se usa el comando “tftf” para crear funciones de transferencia.

Ejemplo:

ssG

51

1)(

>> num=[1]; , den=[5 1];>> G=tf(num,den)Transfer function: 1-------5 s + 1

Las raíces del denominador se conocen como “polospolos”de la función de transferencia, mientras que las del numerador como “cerosceros”. Se determinan como:

>> pole(G)ans = -0.2000

>> zero(G)ans = Empty matrix: 0-by-1

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Para obtener el diagrama de Bode, puede hacerse:

>> bode(G)

obteniendo:

•Los Los filtros pasivosfiltros pasivos son circuitos selectores de son circuitos selectores de frecuencias construidos sólo con frecuencias construidos sólo con elementos elementos pasivospasivos ( (resistenciasresistencias, , condensadorescondensadores e e inductanciasinductancias). ).

•Este hecho hace que sean Este hecho hace que sean incapacesincapaces de de amplificar señales, por lo que amplificar señales, por lo que atenuanatenuan prácticamente las señales en todo su rango de prácticamente las señales en todo su rango de operación (salvo excepciones en torno a la operación (salvo excepciones en torno a la frecuencia de resonancia).frecuencia de resonancia).

•Por su parte, los Por su parte, los filtros activosfiltros activos son dispositivos son dispositivos que no sólo son capaces de que no sólo son capaces de seleccionar seleccionar frecuenciasfrecuencias sino también de sino también de amplificarlasamplificarlas. Para . Para que esto sea posible, hay que agregar que esto sea posible, hay que agregar elementos elementos activosactivos como los transistores o los amplificadores como los transistores o los amplificadores operacionales (que se estudiarán más adelante).operacionales (que se estudiarán más adelante).

IntroducciónIntroducciónFiltros pasivosFiltros pasivos

• En la clase anterior se vio que los circuitos pasivos, En la clase anterior se vio que los circuitos pasivos, con componentes de almacenamiento de energía, con componentes de almacenamiento de energía, presentan presentan características selectivas de frecuenciacaracterísticas selectivas de frecuencia. .

• Un “Un “filtro eléctricofiltro eléctrico” es un circuito diseñado para ” es un circuito diseñado para dejar pasar una gama de frecuencias dejar pasar una gama de frecuencias predeterminada, con un predeterminada, con un cambio de ganancia (o cambio de ganancia (o magnitud) y fasemagnitud) y fase característicos para cada característicos para cada circuito particular.circuito particular.

• Definiendo el espectro de magnitud o respuesta en Definiendo el espectro de magnitud o respuesta en frecuencia, frecuencia, HH((jj)), que es función de la frecuencia, , que es función de la frecuencia, se pueden determinar las características de las se pueden determinar las características de las ondas sinusoidales que deja pasar para cada ondas sinusoidales que deja pasar para cada frecuencia en particular.frecuencia en particular.

• Conforme a lo expresado y al tipo de aplicación que Conforme a lo expresado y al tipo de aplicación que se requiera, un se requiera, un filtro idealfiltro ideal debe presentar las debe presentar las siguientes características:siguientes características:

Circuitos FiltroCircuitos Filtro


H(j)

H(j)

H(j)

H(j)

Filtro pasabajas Filtro pasaaltas

Filtro pasabandas Filtro rechazabandas

c c

2 21 1

1 1

1 1

Un “Un “circuito filtrocircuito filtro” incorpora una magnitud de ” incorpora una magnitud de frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que contengan las frecuencias deseadas y eliminar o contengan las frecuencias deseadas y eliminar o rechazar las indeseadas.rechazar las indeseadas.

Por lo visto hasta ahora, puede notarse lo siguiente:

• El filtro pasabajos idealfiltro pasabajos ideal dejará pasar todas las frecuencias hasta cc (frecuencia de corte), y rechazará perfectamente las que estén por encima de dicha frecuencia.

• Los circuitos de primer orden RL y RC vistos tienen carac-terísticas pasabajos o pasaaltos (según su configuración), con frecuencia de corte cc = 1/ = 1/..

• Un filtro resonante RLC tendrá características pasabandas o rechazabandas, según su configuración circuital.


Un circuito rechazabanda puede conformarse como se muestra a continuación:

Vent

R1

C

L

R2 Vsal

Puede notarse que la impedancia que presentará el circuito será mínima para la frecuencia de resonancia y la banda de frecuencias cercana a la misma.


Unidad Unidad 22:: “CIRCUITOS DE “CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (CA)”CORRIENTE ALTERNA (CA)”

Conceptos preliminaresConceptos preliminaresEn los circuitos eléctricos es necesario poder En los circuitos eléctricos es necesario poder determinar tanto la potencia suministrada a (o la determinar tanto la potencia suministrada a (o la absorbida por) dicho circuito, así como por cada absorbida por) dicho circuito, así como por cada uno de los componentes que lo conforman.uno de los componentes que lo conforman.

Potencia InstantáneaPotencia Instantánea

Se define como: W)()()( titvtp

tVtv m cos)( )(cos)( tIti m

la potencia instantánea entregada a dicho circuito será:ttIVtitvtp mm cos)(cos)()()(

Recordando que: )(cos)(coscoscos

Sea un circuito que entrega un voltaje vv((tt)) y una corriente ii((t)t), donde:

)2(cos2

cos2

)( tIVIV

tp mmmm

Potencia InstantáneaPotencia Instantánea ( (contcont.).)La expresión de la potencia instantánea puede reescribirse como:

Puede notarse que la potencia instantánea tendrá dos términos, con las siguientes características principales:

• Un término constante (independiente del tiempo);Un término constante (independiente del tiempo);

• Un término función del tiempo, el que variará Un término función del tiempo, el que variará sinusoidalmente con el doble de la frecuencia de la sinusoidalmente con el doble de la frecuencia de la señal aplicada.señal aplicada.

Potencia PromedioPotencia Promedio

Tt

tdttp

TP

0

0

)(1

La potencia promediopotencia promedio, , para un periodo T, se puede definir como:

P

Ejemplo:

v(t)

t0 T 2T 3T

Vm

Como: )()( TtT

Vtv m

la potencia instantánea será:

22

22 )()( Tt

TR

V

R

tvtp m

Por lo tanto, la potencia promedio vendrá dada por:

T

o

m dtTtTtTR

VP 22

3

2

2 W3

2

R

VP

m

Potencia PromedioPotencia PromedioPara un circuito de CA sinusoidalsinusoidal, considerando tt00=0=0, será:

TTmm

T

dttdtT

IVdttp

TP

000

)2(coscos2

)(1

cos2

mm IVP

La potencia instantánea sobre una impedanciapotencia instantánea sobre una impedancia vendrá dada por la mitad entre el producto del máximo valor del voltaje aplicado y de la corriente producida por el coseno del ángulo entre el voltaje y la corriente.

También se cumple para el caso de aplicar un voltaje fasorial, , a una impedancia, , donde circulará una corriente fasorial , las que se relacionan como:V ZI )con( ZZIZV


2mm

R

IVP

Si la impedancia es una resistencia, ZZRR=R=R00 (=0), por lo que la potencia instantánea vendrá dada por:

0º90cos2

mmL

IVP

En una inductancia, ZZLL==LL9090 (=90º):

0)º90cos(2

mmC

IVP

En un condensador, ZZCC=1/=1/CC-90-90 (=-90º):

Conclusión: La potencia promedio entregada a un capacitor o a un inductor es cerocero.


Z

Rcos

Del diagrama de impedancias, se tiene:

22cos

2

22 RI

Z

RIZIVP mmmm

Z

Por otro lado, VVmm=Z I=Z Imm , por lo que:

Im

ReR

XZ

Como RR es la parte real de la impedancia ZZ, la potencia entregada a RR es la potencia entregada a ZZ, ya que PPL L = P= PC C =0=0.

Principio de SuperposiciónPrincipio de Superposición

Sea el siguiente circuito:

)2(

)(2221

21

221

2

iiiiR

iiRRip

Por lo tanto, la potencia promedio será:

V

1

R

V2

i

Aplicando el principio de super-posición, la potencia instantánea puede determinarse como:

TTTT

o

T

o

T

o

dtiiT

RPPdtidtiidti

T

R

dtiiiiT

Rdtp

TP

0 21210

220 21

21

2221

21

22

)2(1


PP11 es la potencia promedio debida a vv11 y PP22 la potencia promedio debida a vv22. Se analizará el último término, discutiendo las condiciones necesarias para que sea cerocero.

Se considerará primero el caso más general, en que ambas fuentes tienen frecuencias relacionadas como:

21 n

donde “nn” es no necesariamente un número entero. Así, si se tiene:

)(cos;)(cos 222111 tIitIiel término en cuestión queda como:


La última integral es cerocero para todo nn11. Por lo tanto, la potencia promedio entregada por dos fuentes a una carga es la suma de las potencias promedio entregadas por cada carga individual, salvo en el caso en que n=1n=1 (es decir, cuando las frecuencias de ambas fuentes son idénticas).

La superposición de la potencia promedio debida a múltiples fuentes sinusoidales se cumple mientras las fuentes no tengan la misma frecuencialas fuentes no tengan la misma frecuencia.

T

T

dttntIIT

R

dtttIIT

RP

021

0 212112

)(cos)(cos

)(cos)(cos


2

2 RIp m

IMPORTANTE: recordar que los fasores que provienen de fuentes con frecuencias distintas no se pueden superponer.

donde: .tII m cos

La superposición de la potencia promedio no es aplicable cuando las fuentes son coherentescoherentes (fuentes que tienen la misma frecuencia ), incluyendo el caso de las fuentes constantes ( = 0 rad/s = 0 rad/s). En este caso, se aplica el principio de superposición fasorial y, después de hallar la corriente fasorial resultante, , se determina la potencia promedio como:

I

Teorema de la Máxima PotenciaTeorema de la Máxima Potencia

Recordando que la potencia promedio entregada a la carga viene dada por:

Lm R

IP

2

2

En la Unidad 1 se vio que en un circuito resitivo puro, la máxima transferencia de potencia se produce cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin. Ahora se analizará el mismo problema, para cuando la carga es ZL. Supóngase el siguiente circuito:

VT

ZT

ZL

i

LLL

TTT

XjRZ

XjRZcon

Teorema de la Máxima PotenciaTeorema de la Máxima Potencia

Para el caso indicado se tendrá:

La corriente fasorial será:

)()( LLTT

T

LT

T

XjRXjRV

ZZV

I

Por lo tanto, la potencia promedio viene dada por:

22

22

)()(

2/

2 LTLT

LTL

XXRR

RVRIP

Por una parte, la potencia promedio transferida sea máxima cuando:

LT XX

2

2

)(

2/

LT

LT

RR

RVP

Teorema de la Máxima PotenciaTeorema de la Máxima PotenciaSólo resta por determinar el valor de RL para los requerimien-tos buscados. Derivando la potencia promedio (dada por la expresión anterior) respecto de RL e igualando a cero, resulta que la máxima transferencia de potencia se tendrá cuando:

por lo que resulta finalmente:

LT RR

T

T

RV

P 2

2

La máxima transferencia de potencia de un circuito equivalente de Thévenin se logra cuando , donde es el complejo conjugado de ZT .

*TL ZZ

*TZ

FINFIN

Tarea:Tarea:

hendrik w. bode

Documents