deber de monografia 2
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Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicios: (1 - 80)
1.- y = 7 ex
y’ = 7 . ex
y’ = 7exRpt.
2.- y = 7 e3x
y’ = 7 . e3x. 3
y’ = 21e3x
Rpt.
3.- y = ex2
y = ex2. 2x
y = 2x ex2Rpt.
4.- y = e√x
y’ =e√x . 12x−1/2
y’ = e√x
2√xRpt.
5.- y = x ex
y’ = x . ex+ ex (1)
y’ = ex(x + 1) Rpt.
6.- y = x2 e−x
1
y’ = x2. e− x(-1) + e− x . 2x
y’ = x e− x (2- x) Rpt.
7.- y = x+1ex
y’ = ex (1 )−( x+1 )(ex)
(ex)2
y’ = ex (−x )(ex)2
y’ = −xex
(e x)2Rpt.
8.- y = e7
y’ = e7(0)
y’ = 0 Rpt.
9.- y = ex3+1
y’ = ex3+1. 3 x2
y’ = 3 x2ex3+1Rpt.
10.- y = 3 ln x
y = 3ddx
ln x
2
y = 3.1x
.ddx
x
y = 3x
Rpt.
11.- y = ex
x
y’ = xex−ex .1
x2
y’ = ex−(x+1)
x2
12.- y = ex3
ex2
y’ =ex2. ex3 .3 x−ex3 . ex
2
.2 x
(e x2)2
y’ = 3x ex5−2 x ex5
(ex2
)2
y’ = ex5(3 x+2 x )
(ex2)2
y’ = ex5(5 x)
(ex2)2Rpt.
13.- y = 1
ex
y = e− x
3
y’ = e− x d
dx(-x)
y’ = −e− x= −1ex Rpt.
14.- y = x .e− x2
y’ = x ddx
e− x2
+ e− x2 d
dx(x)
y’ = x . e− x2(-2x) +e− x2
y’ = e− x2(1 – 2x2) Rpt.
15.- y = ln(x+¿1)x+1
¿
ln (x + 1) – ln (x + 1)
y’ = 1
x+1 - 1
x+1
y’ = 1
x+1Rpt.
16.- y = ln3x2
y’ = 1
3x2 . x
2.3
y’ = 3x
2
3x2Rpt.
17.- y = x2 log (e x)
y’ =x2 . 1
ex .x2
y’ = x2Rpt.
4
18.- y = x2
ln 3x
y’ =ln 3x .2x−x2 .
1
3x.3 x− x
( ln❑3x)2
y’ =2x ln 3x− x2
3x.13x
(ln❑3x)2
y’ = 2x ln 3x− x2
9x
(ln❑3x)2 Rpt.
19.- y = ln x2+1x+1
y’ = ln (x2 + 1) – ln (x + 1)
y’ = 1
x2+1 . (x2+ 1) -
1x+1 (x + 1)
y’ = 2
x2+1 - 1
x+1Rpt.
20.- y = √x+1x2+4
y = ln √ x+1 – x2+4
y’ = 1
√x+1 . 12(x+1)−1 /2 –
1
x2+4 . 2x
y’ = 1
2(√ x+1)2 – 2 xx2+4
Rpt.
21.- y = x+2
ln(x+2)
5
y’ = ln ( x+2 ) .1−x+2 . 1
(x+2)¿¿¿
y’ =ln ( x+2 )−1
( ln(x+2)❑)2Rpt.
22.- y = log (e x)
y’ = x log e
y’ = log eRpt.
23.- y = log(ex)
x
y’ = x .1
ex. ex−log ex
x2
y’ = x−log ex
x2
y’ = log ex
xRpt.
24.- y = ln x
ex
y’ = ex .1x−ln x . ex
(ex)2
y’ = e x
x−ex ln x
(ex)2Rpt.
6
25.- y = (x+2)e3x
x2+1
y = ln (x + 2) e3x – ln (x2 + 1)
y = ln (x + 2) + ln e3x – ln (x2 + 1)
y = ln (x + 2) + 3x ln e – ln (x2 + 1)
y = ln (x + 2) + 3x – ln (x2 + 1)
y’ = 1
x+2 (1) + 3 -1
x2+1 . 2x
y’ = 1
x+2 - 2x
x2+1+ 3 Rpt.
26.- y = ln x3
ln x2
y = 3 ln x2 ln x
=12 ln x
. 3 ln x
y’ = 12 ln x
. 3x
+ 3 lnx . 12 ln x
y’ = 3
2x ln x+3 ln x2 ln x
Rpt.
27.- y = ax
y = axlna .x
y = axln a Rpt.
7
28.- y = loga x
y =log xlog a
=1log a
. log x
y = 1log a
. 1x
+ log x . 1log a
y’ = 1
x log a+log xlog a
Rpt.
29.- y = ex2
ex
y =ex2 . ex
y =ex2 . 2x + e− x. – 1
y = (2x – 1) ex2− xRpt.
30.- y = ex2+(x¿¿2)¿e
y =ex2+ x2e
y’ = ex2 . 2x + 2ex2e-1
y’ = 2 (xex2
+e x2e-1) Rpt.
31.- y = ex
x+2
y = x+2 . ex−ex(1)
(x+2)2
y’ = (x+1)ex
(x+2)2Rpt.
32.- y = 1+ex
1−ex
8
y =1 + ex + 1 + e− x
y = 2 ex− x
y = 2 ex− x– 1
y = - 2 ex− xRpt.
33.- y = e x
ex+1
y = ex+1. ex−ex . ex
(ex+1)2
y = ex
(e x+1)2Rpt.
34.- y = 3 ln x
y = 3ddx
ln x
y = 3.1x
.ddx
x
y = 3x
Rpt.
35.- y = ln x7
y = ln x – 7
y = 1x . d
dxx - 1
7 . d
dx7
1x . (1)
17=
17xRpt.
36.- y = ln2
9
y = 1/2 (1)
y = 1/2 Rpt.
37.- y = ln 3 + √ lg 4
y = ln 3 + 0.77
y =13.10.77
(1)
y = 12.31
Rpt.
38.- y = (ln 3) (ln x)
y = ln 3. 1x1
y’ = ln 3x
Rpt.
39.- y = ln xln 7
ln x – ln 7
1x (1)
17 = 17 xRpt.
40.- y = ln (3x + 7)
y =1
3x+7 . 3
y = 3
3x+7Rpt.
10
41.- y = (x2 + 5)
y =1
x2+5 . 2x
y = 2x
x2+5Rpt.
42.- y = ln (1 + ex)
y = 1
1+ex . ex
y = e x
1+exRpt.
43¿ y=¿¿
y=5 lnx
y '=5
y '=5x
44 ¿ y=√ lnx
y= (lnx )12
y '=12
y=
12∗1
x
y= 12 x
11
45¿ y= 1lnx
y= (lnx )−1
y=−1lnx
y=−1
y=−1x
46 ¿ y=ex ln (x2+1)
y '=e x∗¿
y '=e x[ 2xx2+1+ln (x2+1)]
47 ¿ y=ln (x−3)
y '= 1(x−3)
(1)
y '= 1x−3
48¿ y=ln (3 x2¿)¿
y '= 1
3 x2
y '= 6 x
3 x2
y '=2x
49¿ y=( ln5)(lnx)
y '=ln5 d lnxdx
12
y '=ln5
y '= ln 5x
50¿ y '=ex lnx
y '= ex∗1x
+¿
y '=e x[ 1x +lnx ]51¿ x2 ln (x2+1)
y '= x2∗1x2+1
∗2 x+ln (x2+1 )∗2 x
y '=2 x [ x2
x2+1+ ln(x2+1)]
52¿ y=ln (x2+6x+3)3
y=3 ln(¿ x2+6 x+3)¿
y '= 3∗1(x2+6 x+3 )
∗(2x+6 )
y '= 6 x+18(x2+6 x+3 )
53¿ y=ln¿
y=ln ¿¿
y=4 ln(3 x+5)+5 ln(2x−1)
y '= 43 x+5
∗¿
y '= 123 x+5
+ 102x−1
13
54¿ F ( s )=ln( s3
2+s3 )f ( s )=ln s3−ln (2+s3)
f ( s )= 1s3
∗3 s− 1
2+s3∗3 s
f ( s )= 3s2
− 3 s
2+s3
55¿ y=8 lnx
y '=8 d lnxdx
y '=8∗1x
dxdx
y '=8x
56¿ y=ln x6
y '=
1
x6∗d x6
dx= 1x6
∗6 x
y '= 6
x5
57.- 6 ln x
yI= 6 * 1 *1 XyI= 6 X
58. log3 (x+1)
yi= ln (x+1) = 1 * ln(x+1) Ln3 ln3
14
yI= 1 * 1 Ln3 x+1
yI= 1 (X+1) ln3
59. ln x logx
YI= log x *1 – ln x * 1 Xx (Log x)2
YI= log – ln (Log x)2
60. Y= log2x log3 x
Ln xYI= ln 2 Ln x Ln 3
YI= 3 ln x 2 ln x
YI= 3 2
61. (log3 x) (log2 x)
YI= ln x * ln 2ln 3 ln x
15
YI= ln 2 ln 3
YI= ln 3 *1 (0) – ln 2 * 1 (0) 2 3 ( ln3 )2
YI= -1 (ln 3)2
62. y=log x 2 X
YI= lnx2
Lnx
YI= ln x
63. y=logx x2
YI= lnx2
Lnx
YI= ln x
64. y=log xX
YI= ln xln x
YI= 1
65. logx(x+1)
YI= ln (x+1) = ln x-1 * ln(x+1)Lnx
16
yI= ln x-1 1 + ln (x+1) * ln x-1
x+1
yI= ln x-1 - 1 ln (x+1) x+1 x
yI= 1 - 1 ln (x+1)Ln x (x+1) x
yI= -1 x Ln (x+1)
66.- 8ln x
yI= 8 * 1 *1 xyI= 8 X
67. Encuentre f ' (1 ) si f (x )=ex ln x
f ( x )=ex ln x
f ' ( x )=e x .1x
(1 )+ ln ( x ) . ex
f '( x)=ex [ 1x + ln x ]f '(1)=e1[ 11+ ln1]f '(1)=2.72 [1+0 ]
f '(1)=2.72 [1 ]
f '(1)=2.72
68. f ' (0 ) si f ( x )=e2x ln(x+1)
f ( x )=e2 x ln (x+1)
17
f ' ( x )=e2x .1
x+1( x )+ln ( x+1 ) . e2x
f '( x)=e2x [ 1x+1 +ln( x+1)]f '(0)=e2(0)[ 10+1+ ln(0+1)]f '(0)=1 [1+0 ]
f '(0)=1 [1 ]
f '(0)=1
69. y=1−ex
1+e x en (0,0)
y '=(1+ex ) d (1−ex )
dx−(1−ex ) d (1+ex )
dx
(1+ex )2
y '=(1−ex)−(1−ex )
(1+ex )2=1−ex−1+ex
(1+ex )2= 1
(1+ex )2= 1
(1+ex )2
¿m= 1
(1+e0 )2= 1
(1+1 )2=14
y− y1=m(x−x1)
y−0=14( x−0)
y−0= x4−0
y= x4
70. y= xlnx en x=1
y= xlnx y=ln1=0 p (1,0)
18
y '=x .1x
(1 )+ln ( x ) . x
y '=x [ 1x +ln x ]m=1 [ 11+ ln1]=1 [1+0 ]=1 [1 ]=1
y− y1=m(x−x1)
y−0=1(x−1)
y−0=x−1
y=x−1
71. y=ln( ex
√ x2+1 ) en x=0
y=ln( ex
(x2+1 )12 )
y=ln ex−ln (x2+1 )12
y=x lne−12ln (x2+1 )=x−( 12 ) . 1
(x2+1 ).2 x=x−(12 ) 2 x
2 (x2+1 )
y '=x− 2 x
2 (x2+1 )
m=0−2 (0 )2 (02+1 )
=0− 02 (0+1 )
=0− 02 (1 )
=0−02=0
y− y1=m(x−x1)
y−0=0 (x−0)
y=0
19
72.y=ln (x2+1) en x=0 y=ln1=0
y= 1
x2+1.2x= 2 x
x2+1
m=2(0)
(0)2+1= 00+1
=01=0
y− y1=m(x−x1)
y−0=0 (x−0)
y=0
73. p=5−e0.1x
I=px
I=(5−e0.1x ) x
I=5 x−x e1.1 x
I '=5 x−[ x (1.1x e0.1x ) ]
I '=5 x−[1.1 x2 e0.1x ]
74. p=4+e−0.1x
I=px
I=(4+e−0.1 x )x
I=4 x−x e0.9 x
I '=4 x+[0.9 x2 e0.9 x ]
20
75. x=1000(2−e p)
I=px
I=p .1000(2−ep)
I=1000 p(2−ep)
I '=1000 pd (2−e p )
dp+(2−e p)
d (1000 p)dp
I '=1000 p+(2−ep)1000
I '=1000 [p+(2−ep)]
I '=1000 [ p+2−e p ]
76. x=100 ln (16−p2 )
x=100. 1
(16−p2 ).−2 p
x=100( −2 p16−p2 )
I=px
I=p .1000( −2 p16−p2 )
I=1000 p( −2 p16−p2 )
21
I '=1000 pd ( −2 p16−p2 )dp
+( −2 p16−p2 ) d (1000 p)
dp
I'=1000 p (1 )+( −2 p
16−p2 ) .1000
I '=1000[ p+( −2 p16−p2 )]
I '=1000[ p− 2 p
16−p2 ]I '=1000[ p(16−p2)−2 p
16−p2 ]I '=1000[ 16 p−p3−2 p
16−p2 ]I '=1000[14 p−p3
16−p2 ]
77. Calcule:
c ( x )=100+ x+e−0.5x
c ' ( x )=100+ x+e−0.5x lned (−0.5 x )
dx
c ' ( x )=d 100dx
+ dxdx
+d (e−0.5 x)
dx
c ' ( x )=0+1+(−0.5x lne)
c ' ( x )=0+1−0.5 x
22
c ' ( x )=1−0.5 x
78. c ( x )=√25+x+ ln(x+1)
c ( x )= [25+x+ ln(x+1) ]12
c ( x )=[25+x+ 1x+1
.1]12
c ( x )=[25+x+ 1x+1 ]
12
c ( x )=[25+x+ 1x+1 ]
12
c ' ( x )=12 [25+x+ 1
x+1 ]−12
c ' ( x )=1
2[25+x+ 1x+1 ]
12
c ' ( x )=1
2[ 25(x+1)+x (x+1)+1x+1 ]12
c ' ( x )=1
2[ 25x+25+x2+1+1x+1 ]12
c ' ( x )=1
2[ x2+25 x+27x+1 ]12
23
79. y=log3 (x+2 )
y=ln ( x+2 )ln 3
= 1ln 3
. ln (x+2)
y '= 1ln 3
.1
( x+2 )(1)
y '= 1ln 3 ( x+2 )
80. y= ( ln 4 ) (lnx )
y '=ln 4 ddx
. lnx
y '=ln 4. 1x(1)
y '= ln 4x
Aplicación de máximos y mínimos en la administración y en la economía.
Ejercicios (1 – 30)
1.-La función de costo y demanda de una Empresa son:
C(x)= 5x P = 20 – x
Encuentre el nivel de producción:
X=?Umax=?
24
I=p . x
I=(20 – x ) . x
I=20 x−x2
U=I−C
U=20x−x2−5x
U '=15−2 x
15−2x=0
−2 x=−15
x=−15−2
x=7.5
2.-La demanda y la función de costo de una industrial es:
P= 19 – 8x C(x)= 5x - x2
Encuentre:
X= ?P =?
3.- El costo total de producir un bien esta C=300+0.07 x2
25
I=p . x
I=(20 – x ) . x
I=20 x−x2
U=I−C
U=20x−x2−5x
U '=15−2 x
15−2x=0
−2 x=−15
x=−15−2
x=7.5
I=P . X
I=(19−8 X ) . X
I=19 X−8 X2
U=I−C
U=19 X−8 X 2−5 X+X2
U=14 X−7 X2
U '=14−7 X
¿−7 X=−14
X= 2
P=19−8 X
P=19−8 (2 )
P=19−16
P=3
Determine la tasa de producción x que maximizan las utilidades.
I=8 x
Hallar:
x=?
Umax=?
4.- Determine el valor X y maximice el valor de la ganancia si la función de costos es = C ( x )=¿
P=24−x
Encuentre:
x=?
Umax=?
26
U=I−C
U=8 X−300−0.07 x2
U '=8−0.14 X=0
X= −8−0.14
X=57
Umax=8 (57 )−300−0.07¿
¿456−300−154
¿2
I=p . x
I=(24−x ) . x
I=24 x−x2
U=I−C
U=24 x−x2−¿
U=24 x−x2−25−10x−x2
U=14 x−2 x2−25
U ´=14−4 x
¿14−4 x=0
−4 x=−14
x=−14−4
x=3.5
Umax=14 (3.5)−2¿
¿−0.5
5.- La función de costo y demanda de una Empresa son:
C(x)= 6x P = 1000-2x
Encuentre el nivel de producción:
X=?Umax=?
6. Si los costos fijos son 9000 su costo variable es 21cada uno y el precio de v 56 por unidad determine el punto de equilibrio.
Cf=9000 YC =CV+CF
Cv=21 c/u YC=9X-10P=56PE=? Yi=6x2
U=I-C
U=6x2-9X-900
27
I=p . x
I=(1000 –2 x ) . x
I=1000 x−2 x2
U=I−C
U=1000x−2x2−6 x
U=994 x−2 x2
U '=994−4 x
994−4 x=0
−4 x=−994
x=−994−4
x=248.5
Umax=994 x−2x2
¿994 (248.5)−2¿
¿247009−123504.5
¿123504.5
U´= 12x-9X=9/12X=0.75
Umax= 6(0.75)2-9(0.75)-900=-13.4
7. Consideremos que un comerciante puede vender su producto a $80 por unidad.
P=80
C(x)=5x+2000
a) PE
b) X=?U=2000
8. Si los costos diarios de una compañía son Ct=10000+100x-x2 cuando se producen por unidades por día y el precio de venta es 50 por unidad. Determine el punto de equilibrio.
Ct=100+10x-x2 U=I -C
P=50 U=50X-100-10X-X2
U=40X-100-X2
Umax=40(20)-100-(20)2
umax= 300
9. Un comerciante vende su producto en $60.00 c/u su c(x)=3x+1000 averiguar el punto de equilibrio y determine cuanto se debe vender para obtener una ganancia de 1000
a) Punto de equilibriob) U=1000
U= I-C U´=60-6xU=60X-(3X2+100) X=10U=60X-3X2-100
Umax=60(10)-3(10)2-100Umax=200
28
U=I-C
U=2X2-(10X+20)
U=2X2-10X-20
U=2X2-10x-20
U´= 4x-10X=10/4X=2.5
Umax=2(2.5)2-10(2.5)-20
umax= -32.5
U´= 40-2xX=40/2X=20
10. Un comerciante vende su producto en $8.00 c/u su c(x)=6x+1200 averiguar el punto de equilibrio y determine cuanto se debe vender para obtener una ganancia de 2000
c) Punto de equilibriod) U=2000
U= I-C U´=8- 40xU=8X-(6X2+120) X=40/8U=8X-20X2-120 x=5
umax=8(5)-20(5)2-120Umax=-580
11. Un comerciante vende su producto en $6.00 c/u su c(x)=6x+1200 averiguar el punto de equilibrio y determine cuanto se debe vender para obtener una ganancia de 2000
e) Punto de equilibriof) U=2000
U= I-C U´=6- 40xU=6X-(6X2+120) X=40/6U=6X-20X2-120 x=6.6
umax=6(6.6)-20(6.6)2-120Umax=-951.6
12. Si los costos diarios de una compañía son 13+16x+x2cuando se produce x unidades por día y el precio de venta es $30 por unidad determine el punto de equilibrio.
Ct=13+16x+x2 U´= 2X +14P=$30 X=14/2
X=7
U=30x-(13+16x+x2) Umax=(7)2+14(7)-13
U=30x-13-16x-x2Umax=134
U=x2+14x-13
29
13. Si los costos diarios de una compañía son 16+13x+x2cuando se produce x unidades por día y el precio de venta es $30 por unidad determine el punto de equilibrio.
Ct=16+13x+x2 U´= 2X +17P=$30 X=17/2
X=8.5
U=30x-(16+13x+x2) Umax=(8.5)2+17(8.5)-16
U=30x-16-13x-x2Umax=200.75
U=x2+17x-16
14.- i = 700 (x + 2)2 – 300 determine la utilidad física marginal cuando la producción es c = 10x2
U= I-C U´=1380x+2800U=700(x+2)2 -10x2 X=2800/1380
x=2.02
umax=700(2.02+2)2 -10(2.02)2
Umax=11271.45
15.- I = 400 (x + 1)2 – 500 determine la utilidad física marginal cuando la producción es x = 3x2.
U= I-C U´=894x+400U=400(x+1)2-500 -3x2 X=400/894
x=-0.44
umax=400(-0.44+1)2 -500-3(-0.44)2
Umax=-375.14
16. Consideremos que un comerciante puede vender su producto a $80 por unidad.
P=80
C(x)=9x2+100
30
U=I-C
U=80X-(9X2+100)
U=80x-9X2-100
U´= -18x-80X=80/18X=4
a) PE
b) X=?
17.- la función de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 3x P = 15 – 3x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (15 – 3x) x
I = 15x – 3x2
U = I – C
= 15x – 3x2 – 3x
= 12x - 3x2
U’(x) = 12 – 3x
= 12 – 3x = 0
= - 3x = - 12
X = 4
U(4) = 12 (4) – 3(4)2
= 48 – 48
= 0
18.- la demanda y la función de costo es P = 10 – 2x determinar la cantidad y el precio.
31
U=I-C
U=80X-(9X2+100)
U=80x-9X2-100
U´= -18x-80X=80/18X=4
Umax=80(4)-9(4)2-100
umax= 76
X = ?
P = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (10 – 2x) x
I = 10x – 2x2
U = I – C
= 10x – 2x2 – 6x – x2
= 4x - x2
U’(x) = 4x - x2
= 4 – 2x = 0
= - 2x = - 4
x = 2
U(2) = 4 (2) – (2)2
= 8 – 4
= 4
P = 10 – 2(2)
= 10 – 4
= 6
19.- determine el valor de x y maximice el valor de la ganancia si la función de costo es C(x) = 6x – 3x2 y la ecuación de demanda P = 7 – 4x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
32
I = (7 – 4x) x
I = 7x – 4x2
U = I – C
= 7x – 4x2– 6x – 3x2
= x - 7x 2
U’(x) = 7x
= 7x = 0
= x = 0
U(0) = x - 7x2
= 0 – 7 (0)2
= 0
20.- la función de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 2x P = 12 – 2x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (12 – 2x) x
I = 12x – 2x2
U = I – C
= 12x – x2 – 2x
= 10x - x2
U’(x) = 10 – 2x
= 10 – 2x = 0
33
= - 2x = - 10
X = 5
U(4) = 10x - x2
= 10(5) – (5)2 = 25
21.- determine el valor de x y maximice el valor de la ganancia si la función de costo es C(x) = 6x – 3x2 y la ecuación de demanda P = 7 – 4x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (3 – 5x) x
I = 3x – 5x2
U = I – C
u = 3x – 5x2– 5x – 10x2
u= 2x - 15x2
U’(x) = 2x - 15x
= 2 – 15x = 0
= x = 0.13
U(0) = 2x - 15x2
= 0.26 – 0.25
= 0.01
22. (UM) Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada uno. El costo total de la empresa por producir x unidades esta dado en dólares
C=50+1.3 x+0.001x2
a. Encuentre el valor de x b. Calcule el Ingresoc. ¿Cuál es el valor de la U Máxima?
34
C=50+1.3 x+0.001x2
I=p.xI=4x
U=I-C
U=4x-(50+1.3 x+0.001x2)U=4x-50−1.3x−0.001x2
U=2.7x-50−1.3x−0.001x2
U'=2.7-0.002x Umax=2.7 (1350)-50-0.001(1350 )2
2.7-0.002x=0 Umax=3645-50-1822.5
x= −2.7−0.002
Umax=1772.5
x=1350
23. (UM) Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función
de costo como (1000+ 12 ( x50 )
2)dólares por x unidades producidas.
a. I=? I=p.xb. U=? I=2x
C=(1000+12 ( x50 )
2) U=I-C
C=1000+2( 12 )( x50 ) U=2x-(1000+ x
50 )C=1000+ x
50 U=2x-1000−
x50
U=2x-1000-(-50x) U=2x-1000+50x U=52x-1000
35
24. (UM) Los artículos en cuestión se venden a $8 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la U y calcule la Um.
C=100+0.015 x2
I=p.xI= 8x
U=I-C
U=8x-(100+0.015 x2)U=8x-100−0.015 x2
U'(x) =8-0.03x Umax=8(266.67)-100-0.015(266.67)8-0.03x=0 Umax=2.02936
-0.03x=-8
x= 80.03
x=266.67
25. (UM) De los artículos que se vende a $30. Determine el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la Umax.
C (x)= (1+x )2
I=p.x I= 30x
U=I-C
U=30x-(1+x )2
U=30x-1−2 x−x2
U=28x-1-x2
U'(x) =28-2x Umax=28(14)-1- (14)2
28-2x=0 Umax=392-1-196-2x=-28 Umax=195
x=282
x=14
36
26. (UM) Para cierto artículo, la ecuación de demanda es
p=5−0.001 x ¿Qué valor de x maximiza el ingreso? Si la función de costo es C=2800+x
Encuentre el valor de x que maximiza la U.
Calcule la Umax.
C=2800+x
I=p.x
I= (5-0.001x) x
I=5x-0.001x2
U=I-C U'(x)=4-0.002x
U=5x-0.001x2-(2800+x) 4-0.002x=0
U=5x-0.001x2-2800-x -0.002x=-4
U=4x-0.001x2-2800 x=4
0.002
x = 2000
Umax=4x-0.001x2-2800
Umax=4(2000)-0.001(2000)2-2800
Umax=8000-4000-2800
Umax=1200
37
27.-La función de costo y demanda de una Empresa son:
C(x)= 6x P = 10 – x
Encuentre el nivel de producción:
X=?Umax=?
28.- La demanda y la función de costo de una industrial es:
P= 16 – 8x C(x)= 4x + x2
Encuentre:
X= ?P =?
38
I=p . x
I=(10 – x ) . x
I=10 x−x2
U=I−C
U=10x−x2−6 x
U=4 x−x2
U '=4−2x
4−2 x=0
−2 x=−4
x=−4−2
x=2
Umax=4 x−x2
¿4 (2)−¿
¿8−4
¿4
I=P . X
I=(16−8 X ) . X
I=16 X−8 X2
U=I−C
U=16 X−8 X2−4 X−X2
U=12 X−9 X2
U '=12−18 X
¿−18 X=−12
x=23
P=16−8 X
P=−16−8 ( 23 )P=16−16
3=323
29.-El costo total de producir un bien esta C=200+0.05 x2
Determine la tasa de producción x que maximizan las utilidades.
I=8 x
Hallar:
x=?
Umax=?
30.-Determine el valor X y maximice el valor de la ganancia si la función de costos es = C ( x )=¿
P=26−x
Encuentre:
x=?
Umax=?
39
U=I−C
U=8 X−200−0.05 x2
U '=8−0.1 X=0
X= −8−0.1
X=80
Umax=8 (80 )−200−0.05¿
¿640−200−320
¿120
I=p . x
I=(26−x ) . x
I=26 x−x2
U=I−C
U=26 x−x2−¿
U=26 x−x2−9−6 x−x2
U=20x−2x2−9
U ´=20−4 x
¿20−4 x=0
−4 x=−20
x=−20−4
x=5
31.-La función de costo y demanda de una Empresa son:
C(x)= 8x P = 24 – x
Encuentre el nivel de producción:
X=?Umax=?
40
Umax=20(5)−2¿
¿100−50−9
¿41
I=p . x
I=(24 – x ) . x
I=24 x−x2
U=I−C
U=24 x−x2−8 x
U=16 x−x2
U '=16−2 x
16−2x=0
−2 x=−16
x=−16−2
x=8
Umax=16 x−x2
¿16(8)−¿
¿128−64
¿64
Elasticidad de la Demanda.
Ejercicios (1 – 15)
Determine la elasticidad de la demanda para las relaciones de demanda.
1.−X=100(6−p)
41
dxdp
=−100
n= p106−100 p
(−100)
n= p2(53−50 p)
(−100)
n= −50 p(53−50 p)
2.-8 x+2 p=16
8 x=16−2 p
x=16−2 p8
x=28
dxdp
=28
n=
p1
2(8−p)8
∗−2
8=
8 p2 (8−p )
∗−2
8= −p
(8−p )= p
p−8
3.-X=100(2−√ p)
4.-3 x+15 p=30
3 x=30−15 p
x=30−15 p3
x=10
dxdp
=−5
n= p10−5 p
∗−5= p5 (2−p )
∗−5= −5 p5 (2−p )
= pp−2
42
-5p
(8-p)
(−1)¿ −28
dxdp
=−50 (p)1/2
n= p102−100( p)
(−50( p)1/2)
n= −502(51−50)
n= −25(51−50)
5.−X=700(10−p)
6.−10 x+100 p=1000
10 x=1000−100 p
x=1000−100 p10
x=¿
dxdp
=¿
n= p100−10 p
∗−10= 10 p10 (10−p )
= −p(10−p )
= pp−10
7.−t=100 (6−p)
43
dxdp
=−700
n= p710−700 p
(−700)
n= −700 p10 (71−70 p)
n= −70 p(71−70 p)
100-10p
−10
dtdp
=−100
n= p106−100 p
(−100)
n= p2(53−50 p)
(−100)
n= −50 p(53−50 p)
8.−2x+20 p=4
8 x=16−2 p
x=4−20 p2
x=¿
dxdp
=¿
n= p2−10 p
∗−10= 10 p2 (1−5 p )
= −5 p(1−5 p )
= 55 p−1
9. La función de demanda de cierto producto es p=20−0.4 √x
X unidades son vendidas a un precio p cada uno utilice la elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio aumentara o disminuirá el ingreso total.
Si la demanda
a. x =400b. x =900
p=20−0.4 (x )12
dpdx
=12
(−0.4 ) x−12
dpdx
=−0.42
( x )−12 =
−0.42
x12
=−0.2
x12
=−0.2√x
dpdx
=−√x−0.2
=−20√ x
η=20−0.4 √xx
(−20√ x )η=20−0.4√ x (−20 √x )
44
2-10p
−10
η=20 (−20−0.4 √x )
x12
η=−400−8√x√x
η=−400−8√400√400
η=−400−8 (20 )
20η=−400−160
20
η=−56020
=−28 Disminuye el ingreso
η=−400−8√900√900
η=−400−8 (30 )
30η=−400−240
30
η=−64030
=−21.3 Disminuye el ingreso
10. Determine la elasticidad de la demanda.
x =1-p-p2
dxdy
=−p−2 p
dxdy
= p1−p−2 p
(−p−2 p)
dxdy
= p
1−p−p2(−3 p)
η= −2 p1−p−p2
11. x =200-2p Elasticidad de la demanda.
dxdy
=−2
η= p200−2 p
(−2)
45
η= p2(100−p)
(−2)
η= −p100−p
12.- si la relación es x = 400 – 100p determine la elasticidad de la demanda cuando:
a) p = 1
b) p = 2
c) p = 3
dxdp
= - 100
n = p
400−100 p (-100)
n = p
25(8−4 p)(-100)
n = −4 p4 (2−p)=
−p(2−p)
n= −1
(2−1)= −12
n= −2
(2−2)= - 2
n = −3
(2−3)= −3−1= 3
13.- si la relación de demanda es x = 1000 – 50p, calcule la elastidad de la demanda cuando:
a) p = 5
b) p = 10
c) p = 15
46
ddx
= - 50
n = p
1000−50 p (- 50)
n = p
50(50−p)(- 50)
n = p
(50−p)
n= 5
(50−5) = 545
= 19
n= 10
(50−10)= 1040
= 14
n= 15
(50−15)= 1535
= 37
14.-Determine la elasticidad de la demanda para las relaciones de demanda.
X=800−100 p
15.- 6 x+2 p=12
6 x=12−2 p
x=12−2 p6
x=26
47
dxdp
=−100
n= p800−100 p
(−100)
n= p20 (40−5 p)
(−100)
n= −5 p(40−5 p)
(6-p)
(−1)¿ −26
dxdp
=26
n=
p1
2(6−p)6
∗−2
6=
6 p2 (6−p )
∗−2
6= −p
(6−p )= p
p−6
Cálculo integral Ejercicios (1 – 51)
1 .−∫ (3 x2−x−2 )dx3∫ x2dx−∫ xdx−∫ 2dx
48
3∫ x2dx−∫ xdx−2∫ dx
31x2+1
3− x1+1
1+1−2 x+c
x3− x2
2−2 x+c R /¿
2.−∫ ( x−4 x3 )dx
∫ xdx−4∫ x3dx
x2
2−4 x
4
4
x2
2−x4 R/¿
3.−∫ (15x2−2 x−6 )dx
∫15 x2dx−∫ 2xdx−∫ 6dx
15∫ x2dx−2∫ xdx−6∫ dx
15x3
3−2 x
2
2−6 x+c
5 x3−2 x2
2−6 x+c R /¿
4.-∫ (2 x−3 x )dx
∫2 xdx+∫ 3 xdx
2∫ xdx+3∫ xdx
49
2x2
2−3 x
2
2
x2−3/2 x2
5.−∫ (6 x2−3x+4 )dx
∫6 x2dx−∫3 xdx+¿∫ 4 dx¿
6∫ x2dx−3∫ xdx+4∫dx
6x3
3−3 x
2
2+4 x+c
2 x3−3/2 x2+4 x+cR /¿
6.−∫ (√x−x )dx
∫ x12 dx−∫ xdx
x32
32
−x2
2
23
7.−∫ (2t 2+5t )dt
∫2 t 2dt+∫5 tdt
2∫ t2dt+5∫ tdt
2t 3
3+5 t
2
2R /¿
8.ln x2
lnx
2lnxlnx
∫2dx=2∫dx=2x+c R/¿
50
x32
+ x2
2R /¿
9.ex+4
ex+8
ex +4−(x+8 )=e4
∫ e4dx=e4∫ dx
e4 x+c
10.ln x❑
ln √x
lnx12lnx
∫1 /2dx=1 /2∫dx=1 /2 x+c R /¿
11.ex+1
ex+2
ex +1−(x+2)=e4
∫ edx=e∫ dx
ex+c
12.exlnx
e=x
∫ x dx
x2
2+c R /¿
13.x2−9X+3
51
¿∫ (X+3 )(X−3)X+3
¿∫X−3dx❑
¿∫ xdx−3∫dx
¿ x2
2−3 x+c R /¿
❑
14.-∫ (2 t−3 t )dx
∫2 tdt+∫3 tdt
2∫ tdt+3∫ tdt
2t 2
2−3 t
2
2
t 2−3/2 t2
15.−∫¿¿
∫7 dx−∫ 3 xdx+¿∫8 dx+∫ 2
x2dx ¿
7∫ x2dx−3∫ xdx+8∫dx+2∫ x2dx
7x3
3−3 x
2
2+8 x+2 x
3
3
7 x3−3/2 x2+8x+ 23x3+c R /¿
16.ex+ xe+e+x
52
∫ exdx+∫ xedx+e∫ dx+∫ xdx
ex+ x3.7
3.7+ex+ x2
2R/¿/
17.−∫(x7+7 x+ 7x +7)dx∫ x7dx+¿7∫ xdx+7∫ xdx+7∫ dx¿
x7
7−7 x
2
2+7 x
2
2+7 x+c
7x2
2 ( x77 +7 x−1+c )R /¿
18.ex+3
e x+6
ex +3−(x +6)=e−3
∫ e−3dx=e−3∫dx
e−3 x+c
19.ln x2
ln √x
2 lnx12lnx
∫ 4dx=4∫dx=4 x+c R /¿
20.ex+3
ex+2
ex +3−(x +2)=e
∫ edx=e∫ dx
ex+c
21.e ln(x2+1)
53
∫(x2¿+1)dx ¿
∫ x2dx+1∫ xdx
x3
3+x+c R /¿
22.t 2−4t+2
¿∫ ( t+2 )(t−2)t+2
¿∫X−2dx❑
¿∫ xdx−2∫ dx
¿ x2
2−2 x+c R /¿
❑
23.−∫ (h−4h3 )dx
∫ hdh−4∫ h3dh
h2
2−4 h
4
4
h2
2−h4 R /¿
24.−∫ (6 t2−2 t−4 )dt
∫6 t 2dt−∫ 2tdt−∫ 4 dt
6∫ t 2dt−2∫ tdt−4∫dt
6x3
3−2 x
2
2−4 x+c
2 x3−x2−4 x+c R/¿
25. ∫√3 x
=∫ (3 x )12
54
= ∫(3 x )
12+1
12+1
+c=3 x32
32
+c=4.5 x32+c=20 x
32+c
26. (x-2) (2x+3)
=(2 x2+3 x−4 x−6 )dx
=∫2dx2+∫3dx−∫ 4dx−∫6 d
=∫ 2 x2+1
2+1+3∫dx−4∫dx−6
=2x3
3+3x+c−4 x+c−6
=2x3
3−x+2c−6
27. ( x+2 )2
¿∫ (x2+2x+4 )dx
¿∫ x2dx+∫2dx+∫4 dx
¿∫ x2dx+2∫dx+4∫ dx
¿ x3
3+2x+c+4 x+c
¿ x3
3+6 x+2c
28. ln x3
ln x2
55
= 3 ln x2 ln x
=32
∫ 32 dx=32∫ dx=3
2x+c
29. ln x2
ln x
= 2 ln xln x
=2
∫2dx=2∫dx=2x+c
30. 5 x2−7 x+ 9
x+4c3
¿∫(5¿x¿¿2−7 x+9x+4c3)dx¿¿
¿5∫ x2dx❑−7∫ xd x+9∫ dx
x+4 x3∫ dx
¿5 . x3
5−7 x
2
2+9 ln x+4e3 x+c
¿ x3−72x2+9 ln x+4 e3 x+c
31. x2+4x+2
¿( x+2 ) ( x−2 )
x+2dx
56
¿∫(x+2¿)dx=∫ xdx−∫2dx= x2
2−2x+c ¿
32. ∫ (x √ x−7 )2dx
¿∫ (x3−14 x32+49)dx
¿∫ x3dx−14∫ x32dx+49∫ dx
¿ x4
4−5.6 x
52+49x+c
33. ∫ (2 t+1 )2
3 tdt
¿∫ (4 t 2+4 t+1 )3 t
dt
¿∫ (4 t2+4 t+1 ).3 t . dt
¿∫ (12 t3+12 t2+3 t )dt
¿12∫ t3dt❑+12∫ t 2d t+3∫ tdt
¿12 . t4
4
+12 . t3
3+3. t
2
2
¿3 t 4+4 t3+6 t 2
34.-∫ (x2−x−2 )dx
∫ x2dx−∫ xdx−∫2dx
∫ x2dx−∫ xdx−2∫dx
57
x2+1
2+1− x1+1
1+1−2 x+c
x3
3− x2
2−2 x+c R /¿
35.-∫ (x−x2 )dx
∫ xdx−∫ x2dx
x2
2− x3
3R/¿
36.-∫ (2x2−3 x−4 )dx
∫2 x2dx−∫ 3xdx−∫ 4 dx
2∫ x2dx−3∫ xdx−4∫dx
2x3
3−3 x
2
2−4 x+c R/¿
37.-∫ (3x2+2 x)dx
∫3 x2dx+∫2 xdx
3∫ x2dx+2∫ xdx
3x3
3−2 x
2
2
x3−x2R /¿
38.-∫ (5 x2−2 x+4 )dx
58
∫5 x2dx−∫ 2xdx+¿∫ 4dx ¿
5∫ x2dx−2∫ xdx+4∫ dx
5x3
3−2 x
2
2+4 x+c
5x3
3−x
2
+4 x+c R/¿
39.-∫ (√x−x )dx
∫ x12 dx−∫ xdx
x32
32
−x2
2
23
40.-∫ (2x2+5 X )dx
∫2 x2dx+∫5 xdx
2∫ x2dx+5∫ xdx
2x3
3+5 x
2
2R/¿
41.- ln x5
lnx
5lnxlnx
59
x32
+ x2
2R /¿
∫5dx=5∫ dx=5 x+c R/¿
42.- ex+6
ex+2
ex +6−( x+2)=e4
∫ e4dx=e4∫ dx
e4 x+c
43.- 3x2 -5x + 72
+ 2e3
=∫(3 x2−5 x+ 72 +2e3)dx
= 3∫ x2dx−5∫ xdx+7∫ dxx
+ 2e3∫dx
= 3.x3
3- 5 . x
2
2+ 7 ln x + 2e3+ C
44.- (x + 2)2
= ∫(x2+4 x+4 )dx
= x2dx + 4 ∫ xdx+4∫ dx
= x3
3+4. x
2
2+ 4.x+ C
= x3
3+ 4
x2
2+ 4x+ C
45.-(2x – 3)2
∫(4 x2+6 x+9)dx
60
= 4∫ x2dx−6∫ xdx+9∫dx
= 4 . x3
3- 6.x
2
2+ 9 . x + C
= 4 x3
3- 6 x
2
2+ 9x + C
46.- x2(x + 1)
∫ x2 . x2+2 x+1
∫(x¿¿4+2x+1¿)¿¿dx
= ∫ x4dx+2∫ xdx+1∫ dx
= x5
5+ 2.x
2
2+ 1.x + C
= x5
5+ 2x
2
2+ x + C
47.- lnx3
lnx2
= ∫ 3 lnx2 lnx
= ∫ 32dx = 32∫dx
= 3x2
+ C
48.-exln 3
= ∫¿¿ln 3)dx
= ∫ ex∫dx+ ln3∫dx
61
= ex.x + ln3.x + C
= xex+ ln 3x + C
49.- 3x4−12x2+2
= ∫ 3(x¿¿4−4)x2+2
¿
= ∫ 3(x¿¿2−2)(x2+2)
x2+2¿
= ∫3 (x¿¿2−2)¿= ∫(3 x¿¿2−6)¿dx
= 3∫ x2dx−6∫dx
= 3.x3
3– 6x – C = x3– 6x + C
50.-4 x4+ 3 x2+ 2x +1 + 1x
+ 1
x3
= ∫(4 x4+3 x2+2 x+1+ 1x +1
x3 )dx
= 4∫ x3dx+3∫ x2dx+2∫ xdx+1∫dx+1∫ dxx
+ 1 ∫ dx
x3
= 4 . x4
4+ 3.x
3
3+ 2x
2
2+ 1 . x + 1 + 1 .x .x3
= x4+ x3 + 1x +1 + C
51.- lnx2
lnx
=2lnxlnx
= ∫2dx = 2∫ dx
62
= 2x + C
Método de integración por sustitución Ejercicios (1-40)
1.- ∫ e3 x+2
u = 3x + 2
dudx
= 3
dx = du3
∫ eu . du3
=13∫eu. du
=13eu
+ C
=13e3x+2+ C
2.- ∫ e5
ex
63
=∫ e5. e− x
=∫ e5− x
u = 5 – x
dudx
= - 1
dx = −du1
=∫ e−u . −du−1
= 1∫−e−u+ C
=−e5−x+ C
3.-∫¿¿dx
u = 2x + 1
dudx
= 2
dx = du2
∫u7. du2
=12∫ u7. du
=12u8
8+ C
=116
u8+ C
=116
¿+ C
64
4.-∫ 1¿¿ ¿dt
u = 2 – 5t
dudx
= - 5
dx =−du5
=∫ 1¿¿ ¿.
−du5
=−15 ∫u−2. du
=−15
u−1
−1+ C
=15u−1
+ C
=15¿+ C
5.-∫ e2x+3
e1−x dx
=∫ e2 x+3. e−1+ x
=∫ e2 x+3−1+ x
u = 3x + 2
dudx
= 3
=dx = du3
=∫ eu. du3
65
=13e3x+2+ C
6.-∫¿¿dx
u = 3x + 1
dudx
= 3
dx = du3
=∫¿¿. du3
=13∫u7. du
=13u7
7+ C
=121
u7+ C
= 121
¿+ C
7.-∫ 11−3 t dt
u = 1 – 3t
dudt
= - 3
dt = −du3
=∫ 1u (−du
5 )
66
= −13 ∫ du
u =
−13
lnu + C
= −13
ln(1−3 t )+ C
8.-∫ x √x+1dx
1¿u=x+1
dx=du1
3¿∫ x (u )12 . du
1∫ x (u )12 . du
1∫ xu32
32
+c
23xu
32+c
23x (x+1 )
32+c
9.−∫ x√3 x2+4dx
1¿u=3 x2+4
67
2) dudx
=1
2) dudx
=6 x
dx= du6 x
3¿∫ x (u )12 .
du6 x
16∫u
12 . du
16∫
u32
32
+c
19u32+c
19
(3 x2+4 )32+c
10.-∫ x
x2+1dx
1¿u=x2+1
dx= du2 x
3¿∫ xu.du2x
68
2) dudx
=2 x
12∫
duu
=12lnu+c
12ln (x2+1 )+c
11.−∫ 4 x−12 x2−x+1
1¿u=2 x2−x+1
dx= du4 x−1
3¿∫ 4 x−1u
.du4 x−1
∫ duu
=lnu+c
ln (2 x2−x+1 )+c
12.- ∫ t et2
dt
1. u = t 2
2. dudt
=2 t dt=du2t
3. ∫ t eudu2 t
= 12∫ eudu=1
2eu+c=1
2e t2+c
69
2) dudx
=4 x−1
13.-. ∫ x2 ex3dx
1. u = x3
2. dudx
=3 x2dx= du
3 x2
3. ∫ x2 eudu
3x2
=13∫eudu=1
3eu+c=1
3ex
2
+c
14.-. ∫( e2
ex+1 )2
dx
=∫ e4
e2x+2dx=∫ dx
e2 x+2
1. u = 2x-2
dudx
=2
2. dx = - du2
3. ∫ 1
eu (−du2 )=−1
2∫ du
eu=−12∫e−udu
¿ 12∫ e−u (−du )=1
2e−u+c=1
2e−(2x−2)+c
¿ 12e2−2x+c
15.-. ∫ lnxx
dx
1. u = lnx.x dx
u = (lnx)2
70
2.dudt
=2du=2dxdt=du2
3. ∫ 1u ( du2 )=12∫ du
u=12lnu+c=1
2(lnx)2+c
16.-. √ ln xx
dx
1. u = ln x12 . xu=( lnx)
32
2.dudx
=32
du=32dx dx=2du
3
3. ∫u12 .2du3
=23∫u
12du
¿23u32
32
+c=49
(lnx )32+c=
23
(lnx )32+c
71
17.-.∫ t 2
t−1dt
1. u =t 2 (t−1 )u=t 3−t 2
2.dudt
=2
du = 2dt dt=du2
3. ∫ 1u ( du2 )=12∫ du
u=12lnu+c=1
2ln t 2 (t−1 )+c
¿ t2
2+ ln ( t−1 )+c
18.- ∫ e5 x+2
u = 5x + 2
dudx
= 5
dx = du5
∫ eu . du5
=15∫eu. du
=15eu
+ C
=15e5x+2+ C
72
19.- ∫ e2 x
ex−1
=∫ e2 x. e− x+1
=∫ ex+1
u = x+1
dudx
= 1
dx = du1
=∫ eu . du1
= 1∫ ex+1+ C
=ex +1+ C
20.-∫¿¿dx
u = 2x - 1
dudx
= 2
dx = du2
∫u3. du2
= 12∫ u3. du
=12u4
4+ C
73
=18u4+ C =
18¿+ C
21.-∫ 1¿¿ ¿dt
u = 5 – 2x
dudx
= - 2
dx =−du2
=∫ 1¿¿ ¿.
−du2
=−12 ∫u−1 /2. du
=−12
u1 /2
1 /2+ C
=25u1 /¿ ¿
+ C
=25¿+ C
22.-∫ e3
e− xdx
=∫ e3. ex
=∫ e3+x
u = 3+ x
dudx
= 1
=dx = du1
=∫ eu. du1
74
=e3+ x+ C
23.-∫¿¿dx
u = 2x + 3
dudx
= 2
dx = du2
=∫¿¿. du2
=12∫ u3. du
=12u4
4+ C
=18u4+ C
= 14
¿+ C
24.-∫ 2 x+3¿¿¿ ¿dt
u = x2+3x+1
dudt
= 2x+3
dt = du2x+3
=∫ 2 x+3¿¿ ¿
= ∫¿¿* du
= u−2
−2 = -1/2 (2x+3)-2 + C
75
25.-∫√3 x+5dx
1¿u=3 x+5
dx=du3
3¿∫ (u )12 .du3
13∫ (u )
12 . du
13∫
u32
32
+c
23u32+c
23
(3 x+5 )32+c
26.−∫ (x+2 )(x2+4 x+2)dx
1¿u=x2+4 x+2
dx= du( x+2 )(x+2)
3¿∫ ( x+2 )(u). du(x+2 )(x+2)
2∫ (u ) . du
76
2) dudx
=3
2) dudx
=2 x+4
2∫ u32
32
+c
43u32+c
43
(x2+4 x+2 )32+c
27.-∫ x
4 x2+1dx
1¿u=4 x2−1
dx= du8 x
3¿∫ xu.du8 x
18∫
duu
=18lnu+c
18ln (4 x2+1 )+c
28.−∫ 4 t−12 t2−t+1
1¿u=2 t 2−t+1
77
2) dudx
=8 x
2) dudt
=4 t−1
dt= du4 t−1
3¿∫ 4 t−1u
.du4 t−1
∫ duu
=lnu+c
ln (2 t 2−t+1 )+c
29.- ∫ e3 x+9
u = 3x + 9
dudx
= 3
dx = du3
∫ eu . du3
=13∫eu. du
=13eu
+ C
=13e3x+2+ C
30.- ∫ e2 t
e t−1
=∫ e2 t. e−t+1
=∫ et+1
u = t+1
78
dudx
= 1
dx = du1
=∫ eu . du1
= 1∫ et+1+ C
=e t+1+ C
31.-∫¿¿dx
u = x3 - 3
dudx
= 3x
dx = du3x
∫u3. du3x
=13∫u3. du
=13u4
4+ C
=13u4+ C
=13¿+ C
32.-∫ x
(x2+1)dt
u = x2 +1
79
dudx
= 2x
dx =−du2x
=∫ x(u).
−du2x
=−12 ∫u. du
=−12
u2
2+ C
=-14u1 /2+ C
=−14
(x2+1)+ C
33.-∫ e2 x
e5−x dx
=∫ e2 x. e−5− x
=∫ ex−5
u = x- 5
dudx
= 1
=dx = du1
=∫ eu. du1
=ex−5+ C
34.−∫ t √1+t 2dx
80
1¿u=1+t 2
dt=du2t
3¿∫ t (u )12 .du2t
12∫ u
12 .du
12∫
u32
32
+c
13u32+c
13
(1+t 2 )32+c
35.-∫ 2 t+3¿¿¿ ¿dt
u = t 2+3t+1
dudt
= 2t+3
dt = du2t+3
=∫ 2 t+3¿¿ ¿
= ∫¿¿* du
= u−2
−2 = -1/2 (2t+3)-2 + C
81
2) dudt
=2 t
35.-∫ 2 t+3¿¿¿ ¿dt
u = t 2+3t+1
dudt
= 2t+3
dt = du2t+3
=∫ 2 t+3¿¿ ¿
= ∫¿¿* du
= u−2
−2 = -1/2 (2t+3)-2 + C
36) ∫ x3 ln (3 x )dx
∫ ln (3 x ) . x3dx
1¿u=ln3 x
82
dudx
= 13x
∗3
du=1xdx
2¿dv=x3dx
∫ dv=∫ x3dx
v= x 4
4
3¿ ln 3 x .( x44 )−∫x4
4∗1
xdx
¿ x4
4ln 3 x−1
4∫ x3dx
¿x4
4ln 3 x−
14∗x4
4+c
¿ x4
4 ( ln 3x−14 )+c
37) ∫ ( x−5 )3 ln ( x−5 )dx
∫ ln (x−5 ) . ( x−5 )3dx
83
u=ln ( x−5 )
dudx
= 1( x−5 )
du= 1x−5
dx
dv=( x−5 )3dx
∫ dv=∫ ( x−5 )3dx
v=(x−5 )4
4
ln ( x−5 )∗¿(x−5 )4
4−∫
( x−5 )4
4∗1
x−5dx¿
( x−5 )4
4ln ( x−5 )−1
4∫ ( x−5 )3dx
( x−5 )4
4ln ( x−5 )−1
4( x−5 )4
4+c
( x−5 )4
4 [ ln ( x−5 )−14 ]+c
84
38) ∫ x5 .lnxdx
∫ lnx . x5dx
u=lnx
dudx
=1x
du=dxx
∫ dv=∫ x5dx
v= x6
6
∫ lnx . x5dx
¿ lnx∗x6
6−∫
x6
6∗dx
x
x6
6lnx−1
6∫ x5dx
85
x6
6lnx−
16∗x6
6+c
x6
6 (lnx−16 )+c
39) ∫ xln (6 x )dx
∫ ln (6x ) . xdx
u=ln (6 x )
dudx
= 16 x
∗6
du=dxx
dv=xdx
∫ dv=∫ xdx
v= x2
2
86
ln(6 x )∗x2
2−∫
x2
2∗dx
x
¿ x2
2ln 6 x−1
2∫ xdx
¿x2
2ln 6 x−
12∗x2
2+c
¿ x2
2 (ln 6 x−12 )+c
40) ∫ ln (x3 )x3
dx
∫ ln ( x3 ) . x−3dx
u=ln (x3 )
dudx
= 1
x3∗3 x
du= 3
x2dx
dv=x−3dx
87
∫ dv=∫ x−3dx
v= x−2
−2=−2
x
ln x3 .(−2x )−∫ (−2x )∗3x2
dx
−2xln x3+6∫ x−3dx
−2xln x3+6∗x−2
−2+c=−2
xln x3−12
x2+c
¿−2x (ln x3+ 6x )+c
88
Integración por partes Ejercicios 1- 35
1.- x ln x dx
lnxxdx
u = lnx
dudx
= 1x
du = dxx
∫ dv= x dx
v = x2
2
∫ lnx . xdx
= lnx . x2
2-∫ x2
2. dxx
= x2
2lnx -
12∫ xdx
89
= ( x22 )lnx - x2
2+ C
2.- xnlnx dx
u = lnx
dudx
= 1x
du = dxx
∫ dv= ∫ xndx
v = xn+1
n+1
lnx . xn+1
n+1-∫ xn+1
n+1 . dxx
[ xn+1
n+1 ]lnx - xn+1
n+1+ C
3.- ∫¿¿
u = ln (x + 1)
dudx
= 1
x+1 (1)
du =1
x+1dx
dv = ¿dx
∫ dv= ¿dx
v =¿¿
u . v - ∫ v .du
90
= ln (x + 1) .¿¿- ∫¿¿¿ . dxx+1
=¿¿ln (x + 1) - 13∫¿¿dx
= ¿¿ln (x + 1) - 13¿¿+ C
= ¿¿+ C
= 19¿+ C
4.- ∫ ln (x+1 )dx
u = ln (x + 1)
dudx
= 1x
(1) = du = 1x
dx
dv =∫ dx
v = x
∫ ln (x+1 ) . dx
= ln ( x+1 ) .x - ∫ x1xdx
= x ln (x + 1) – x + C
5.-ln dx
u = ln
dudx
= 1lnx
du = dxlnx
dx
91
∫ dv = ∫ dx
V = du1
lnx. dx - ∫ dx .dxlnx
xlnx – x + C
6.-∫ x3 ln (3 x )dx
∫ ln (3 x ) . x3dx
1¿u=ln3 x
dudx
= 13x
∗3
du=1xdx
2¿dv=x3dx
∫ dv=∫ x3dx
v= x 4
4
3¿ ln 3 x .( x44 )−∫x4
4∗1
xdx
¿ x4
4ln 3 x−1
4∫ x3dx
92
¿x4
4ln 3 x−
14∗x4
4+c
¿ x4
4 ( ln 3x−14 )+c
7.−∫ x3 ln (x3 )dx
∫ ln ( x3 ) . x3dx
1¿u=ln x3
dudx
= 1
x3
du=dx
x3
2¿dv=x3dx
∫ dv=∫ x3dx
v= x 4
4
3¿ ln x3. x3dx
¿ ln x3∗x4
4−∫
x4
4∗dx
x3
¿ x4
4ln x3−1
4∫ xdx
¿x4
4ln x3−
14∗x2
2
x2
2 ( x22 ln x3−14 )+c93
8. ∫ ( x−4 )3−ln ( x−4 )dx
¿∫ ln ( x−4 ) . ( x−4 )3dx
1. u = ln ( x−4 )
dudx
= 1x−4
.1du= dxx−4
2.
∫ dv=∫ ( x−4 )3dx
v=(x−4 )4
4
3.
∫ ln (x−4 ) . ( x−4 )4
4−∫ ln ( x−4 )4
4dxx−4
¿( x−4 )4
4ln (x−4 )−1
4∫ ( x−4 )3dx
¿( x−4 )4
4ln (x−4 )−1
4.
( x−4 )4
4+c
94
¿( x−4 )4
4 [ ln ( x−4 )−14 ]+c
9. ∫ x e−x dx
¿∫ x . e− xdx
1. u = x
dudx
=1du=dx1
2. ∫ dv=∫e− xdx
v= e−2x
2
3. ∫ x . e−x dx
= x . e−2x
2 - ∫ e−2x
2.dx1
= e−2x
2. x−1
2∫ e−2x dx
¿ e−2x
2. x−1
2.e−2x
2+c
¿ e−2x
2x (1−12 )+c
10. ∫ ln (x3 )x3
dx
95
¿∫ ln (x3 ) . x−3dx
1. u = ln x3
dudx
= 1
x3.3x2du=3
xdx
2.
∫ dv=∫ x−3dx
v= x−2
−2=−2
x
3.
∫ ln x3 .(−2x )−∫(−2x )( 3x )dx
¿−2xln x3+6∫ x−2dx
¿−2xln x3+6 x
−1
−1+c
¿−2xln x3−6
x+c
¿−2x
( ln x3+3 )+c
11. ∫ e2 x ln (ex )dx
¿∫ ln (e x) . e2x dx
96
1. u = ln (ex)
dudx
= 1
exdu= dx
d ex
2. ∫ dv=∫e2x dx
v= e3 x
3
3. ∫ ln (ex ) . e2x dx
¿ ln (ex) . e3 x
3−∫ e3x
3.dxex
¿ e3 x
3ln (ex )−1
3∫ e2 xdx
¿ e3 x
3ln (ex )−1
3.e3x
3+c
¿ e3 x
3 [ ln (ex)−13 ]+c
12. ∫ x4 e2x dx
¿∫ x2. x4dx
1. u = x2
dudx
=2 xdu=2 xdx
2. ∫ dv=∫ x4dx
v= x3
3
3. x2 .x3
3−∫ x3
32xdx
97
¿ x2 . x3
3−23∫ x4dx+c
¿ x2 . x3
3−23.x5
5
¿ x5
3−23.x5
5
¿ x5
5 (1−23 )
13.- t ln t dt
Lnt t dt
u = lnt
dudt
= 1t
du = dtt
∫ dv= t dt
v = t2
2
∫ lnt . tdt
98
= lnt . t2
2-∫ t 2
2. dtt
= t2
2ln t -
12∫ tdt
= ( t22 )lnt - t2
2+ C
14.- x2lnx dx
u = lnx
dudx
= 1x
du = dxx
∫ dv= ∫ x2dx
v = x2+1
2+1
lnx . x3
3-∫ x3
3 . dxx
[ x33 ]lnx - x3
3+ C
15.- ∫¿¿
u = ln (x + 2)
dudx
= 1
x+2 (1)
du =1
x+2dx
dv = ¿dx
99
∫ dv= ¿dx
v =¿¿
u . v - ∫ v .du
= ln (x + 2) .¿¿- ∫¿¿¿ . dxx+2
=¿¿ln (x + 2) - 13∫¿¿dx
= ¿¿ln (x + 2) – 19(x+2)3+ C
= ¿¿+ C
= 19¿+ C
16.- ∫ x2 ln (ex )dx
u = ln (ex)
dudx
= 1ex
= du = 1ex
dx
dv =∫ x2dx
v = x3/3
∫ x2 ln (ex ) . dx
= ln (ex ) .x3/3 - ∫ x3
31ex
dx
= -x3/3 ln (ex) + C
100
17.-ln dh
u = ln
dudh
= 1lnh
du = dhlnh
dh
∫ dv = ∫ dx
V = du1
lnh. dh – ∫ dh .dhlnh
hlnh – h + C
18.-∫ x3 log (3x )dx
∫ ln (3 x ) . x3dx
1¿u=ln3 x
dudx
= 13x
∗3
du=1xdx
2¿dv=x3dx
∫ dv=∫ x3dx
v= x 4
4
101
3¿ ln 3 x .( x44 )−∫x4
4∗1
xdx
¿ x4
4ln 3 x−1
4∫ x3dx
¿x4
4ln 3 x−
14∗x4
4+c
¿ x4
4 ( ln 3x−14 )+c
19.−∫ x2 log dx
∫ ln ( x2 ) . x2dx
1¿u=ln x2
dudx
= 1
x2
du=dx
x2
2¿dv=x2dx
∫ dv=∫ x2dx
v= x3
3
3¿ ln x2. x2dx
¿ ln x2∗x3
3−∫
x3
3∗dx
x2
¿ x3
3ln x2−1
3∫ xdx
102
¿x3
3ln x2−
13∗x2
2
x2
2 ( x22 ln x2−13 )+c
20.- t log t dt
Lnt t dt
u = lnt
dudt
= 1t
du = dtt
∫ dv= t dt
v = t2
2
∫ lnt . tdt
= lnt . t2
2-∫ t 2
2. dtt
= t2
2ln t -
12∫ tdt
= ( t22 )lnt - t2
2+ C
21.- x2log x dx
u = lnx
dudx
= 1x
103
du = dxx
∫ dv= ∫ x2dx
v = x2+1
2+1
lnx . x3
3-∫ x3
3 . dxx
[ x33 ]lnx - x3
3+ C
22.- ∫¿¿
u = ln (x + 2)
dudx
= 1
x+2 (1)
du =1
x+2dx
dv = ¿dx
∫ dv= ¿dx
v =¿¿
u . v - ∫ v .du
= ln (x + 2) .¿¿- ∫¿¿¿ . dxx+2
=¿¿ln (x + 2) - 13∫¿¿dx
= ¿¿ln (x + 2) – 19(x+2)3+ C
= ¿¿+ C
104
= 19¿+ C
23.- ∫ x2 log (ex )dx
u = ln (ex)
dudx
= 1ex
= du = 1ex
dx
dv =∫ x2dx
v = x3/3
∫ x2 ln (ex ) . dx
= ln (ex ) .x3/3 - ∫ x3
31ex
dx
= -x3/3 ln (ex) + C
24.-log dt
u = ln
dudt
= 1lnt
du = dtlnt
dh
∫ dv = ∫ dt
V = du1
lnt. dt – ∫ dt .dtlnt
t ln t – h + C
105
25.-∫ x log xdx
∫ ln (x ) . xdx
1¿u=ln x
dudx
=1x
du=1xdx
2¿dv=x dx
∫ dv=∫ x dx
v= x2
2
3¿ lnx .( x22 )−∫x2
2∗1
xdx
¿ x2
2lnx−1∫ x2
2dx
¿ x2
2lnx−1∗x2
2+c
¿ x2
2(lnx−1 )+c
26.−∫ t 2 log dx
∫ ln ( t2 ) . t2dt
1¿u=ln t 2
dudt
= 1t2
du=dt
t 2
106
2¿dv=t 2dt
∫ dv=∫ t 2dt
v= t3
3
3¿ ln t 2 . t2dx
¿ ln t2∗t3
3−∫
t 3
3∗dt
t2
¿ t3
3ln t 2−1
3∫ tdt
¿t3
3ln t 2−
13∗t2
2
t2
2 ( t22 ln t 2−14 )+c
27. ∫ log (x3 )x3
dx
¿∫ ln (x3 ) . x−3dx
4. u = ln x3
107
dudx
= 1
x3.3x2du=3
xdx
5.
∫ dv=∫ x−3dx
v= x−2
−2=−2
x
6.
∫ ln x3 .(−2x )−∫(−2x )( 3x )dx
¿−2xln x3+6∫ x−2dx
¿−2xln x3+6 x
−1
−1+c
¿−2xln x3−6
x+c
¿−2x
( ln x3+3 )+c
28. ∫ e2 x log (ex )dx
¿∫ ln (e x) . e2x dx
4. u = ln (ex)
dudx
= 1
exdu= dx
d ex
108
5. ∫ dv=∫e2x dx
v= e3 x
3
6. ∫ ln (ex ) . e2x dx
¿ ln (ex) . e3 x
3−∫ e3x
3.dxex
¿ e3 x
3ln (ex )−1
3∫ e2 xdx
¿ e3 x
3ln (ex )−1
3.e3x
3+c
¿ e3 x
3 [ ln (ex)−13 ]+c
30. ∫ t 4 et2 tdt
¿∫ t 2 . t 4dx
4. u = t 2
dudt
=2 t du=2 tdt
5. ∫ dv=∫ t 4dt
v= t3
3
6. t 2 .t3
3−∫ t3
32 tdt
¿ t 2 . t3
3−23∫ t 4dt+c
109
¿ t 2 . t3
3−23.t 5
5
¿ t5
3−23.t 5
5
¿ t5
5 (1−23 )
31) ∫ t 3√2+t 4dt
1¿u=2+t 4
2¿ dudt
=4 t 3
dt= du
4 t3
∫ t 3 ¿¿
14∫ u
12 . du
14∗u
32
32
+c
110
16u32+c
16
(2+ t4 )32+c
32) ∫( e4
ex−1 )3
dx
∫ e12
e3x−3dx
∫ dx
e3x−15
1¿u=3 x−15
2¿ dudx
=3
dx=−du3
3¿∫ 1
eu (−du3 )
¿ 13∫
du
eu=−13 ∫ e−udu
¿ 13∫e−u (−du )
111
¿ 13e−(3 x−15)+c
¿ 13e (15−3x )+c
33) ∫ x √x+1dx
1¿u=x+1
dx=du1
3¿∫ x (u )12 . du
1∫ x (u )12 . du
1∫ xu32
32
+c
23xu
32+c
23x (x+1 )
32+c
112
2) dudx
=1
34) ∫ x √3 x2+4 dx
1¿u=3 x2+4
dx= du6 x
3¿∫ x (u )12 .
du6 x
16∫u
12 . du
16∫
u32
32
+c
19u32+c
19
(3 x2+4 )32+c
35) ∫ x
x2+1dx
1¿u=x2+1
113
2) dudx
=6 x
2) dudx
=2 x
dx= du2 x
3¿∫ xu.du2x
12∫
duu
=12lnu+c
12ln (x2+1 )+c
114
Integrales definidas Ejercicios (1-30)
1.- y = 2 + x - x2
∫−1
2
−x2+ x+2dx
−x3
3+x2
2+2x ]
−1
2
−(2)3
3+
(2)2
2+ 2(2) -
−(1)3
3 +
(1)2
2+ 2 (– 1)
−83
+ 42
+ 4 - 13
+ 12
– 2
−83
+ 6 −116
103
−116
−13
2.- y = x3 – x
∫−1
0
x3– x
−x 4
4−x2
2 ]−1
0
(0)4
4- (0)
2
2- (1)
4
4- (1)
2
2
−1256
- 14
−65256
= - 0.25
3.- y = (2x+1 ) ( x−2 )
xdx
115
∫1
2 (2 x+1 ) ( x−2 )x
u =2 x2-3x – 2
dudx
= 4x – 3
dx =du4 x−3du
∫1
2
ux−1 .du4 x−3
du
∫1
2
u−1 . du
u ]12
2(2)2 – 3 (2) – 2(1)2 – 3(1) – 2
0 + 3 = 3
4.- y = (x)1/3 dx
∫0
8
(x)1 /3dx
34x4 /3]
0
8
34(8)4/3 -
34(0)4/3
34
(15.9)
11.93
5.- y = lntt
116
∫e
e2
lntt
u = lnt
dudx
=1t
dx =du
t−1
∫e
e2
ut.du
t−1
∫e
e2
ut.tdu
∫e
e2
udu
ln ( t)]ee2
lne2 – ln e
1 – 1 = 0
6.- y = lnxx
∫1
e2
lnxx
u = lnx
dudx
=1x
dx =1xdu
∫1
e2
ux.1xdu
∫1
e2
ux.x1du
117
∫1
e2
u .du
u2
2 ]1
e2
= lne2
2−ln (1 )2
=12
7.- y = (x + 1) ¿ dx
∫2
2
( x+1 ) ¿
u = x2+2x+7
dudx
= 2x + 2
dx =du
2(x+1)
∫2
2
( x+1 ) ¿
12∫1
e2
u5du
12u6
6 ]2
2
62u6 ]2
2
8.- y =xex
∫0
1
xe xdx
xex ]01
1e(1)−0e(0)
e =2.72
118
9.-y = x2−x
∫−1
0
x2−x dx
x3
3−
x2
2 ]−1
0
(0)3
3−
(−1 )2
2=−14
10.- y = xex2
∫0
1
xe x2dx
xex2 ]01
(1)e(1)2−(0)e(0)2= 7.39
11.- y = 4 - x2x = 0 x = 2
∫0
2
4−x2dx
∫0
2
4 x− x3
3
4 (2) - (2)3
3– 4(0) -
(0)3
3
8 - 83
= 24−83
= 163
12.- y = 2 x2+3 x−1x = 1 x = 4
119
∫1
4
2 x2+3x−1dx
∫1
42(x )3
3+3(x)2
2−1 x
2(4 )3
3+3(4 )2
2−1 (4 )−2 (1 )3
3+3 (1 )2
2−1(1)
42.6 + 24 – 4 – 0.6 + 1.5 – 1
62.6 – 1.1 = 61.5
13.- ∫−1
2x
x2+1dx
u =x2+1
dudx
= 2x
dx =du2x
∫−1
2xu ( du2x )
12∫−1
2duu
12ln u ]−1
2
12
ln(2)2+1−12ln (−1 )2+1
12
ln 5 -12
ln 2
12
(1.61) - 12
(0.69) = 0.46
14.- y = 1
x+1x = 0 x = 3
120
∫0
3
❑ 1x+1
u = x + 1
dudx
= 1
dx =du1
∫0
31u ( du1 )
11∫0
3duu
11ln u ]0
3
11
ln (3) + 1 - 11
ln (0) + 1
11
ln4 - 11
ln 1
1.38 - 11
= 0.38
15.- x3x = 0 x = 3
∫0
3
x3dx
x4 ]03
(3)4−(0) = 81
16.- y = 2 + t – t2
∫−1
2
−t 2+ t+2dx
−t3
3+t 2
2+2 t ]
−1
2
121
−(2)3
3+
(2)2
2+ 2(2) -
−(1)3
3 +
(1)2
2+ 2 (– 1)
−83
+ 42
+ 4 - 13
+ 12
– 2
−83
+ 6 −116
103
−116
−13
17.- y = t 3 – t
∫−1
0
t 3– t
−t4
−t2
2 ]−1
0
(0)4
4- (0)
2
2- (1)
4
4- (1)
2
2
−1256
- 14
−65256
= - 0.25
18.- y = (2t+1 ) ( t−2 )
tdx
∫1
2 (2 t+1 ) (t−2 )t
u =2 t2-3t – 2
dudx
= 4t – 3
dx =du4 t−3du
122
∫1
2
ut−1 .du4 t−3
du
∫1
2
u−1 . du
u ]12
2(2)2 – 3 (2) – 2(1)2 – 3(1) – 2
0 + 3 = 3
19.- y = (x)1/3 dx
∫0
8
(x)1 /3dx
34x4 /3]
0
8
34(8)4/3 -
34(0)4/3
34
(15.9) = 11.93
20.- y = log tt
∫e
e2
lntt
u = lnt
dudx
=1t
dx =du
t−1
∫e
e2
ut.du
t−1
∫e
e2
ut.tdu
123
∫e
e2
udu
ln ( t)]ee2
lne2 – ln e
1 – 1 = 0
21. ∫0
1
x32 dx
¿ [ x32
+1
32+1 ]
0
1
=25x52 ]0
1
=25¿
22. ∫0
3
( x+1 ) (2x+3 )dx x=0 x=3
¿ (2 x2+3 x+2 x+3 )dx
¿ [23 x3+ 32 x2+ 22 x2+3 x ]03
¿ [ 23 (3 )3+ 32
(3 )2+ 22
(3 )2+3 (3 )]−[ 23 (0)3+ 32(0)2+ 2
2(0)2+3(0)]
¿ (6+9+6+9 )−0=30−0=30
23. ∫−1
1
x √x2+4 dx
1. u= (x2+4 )u=2 x
124
2.dudx
=2 xdu=2 xdxdx= du2 x
3. 2 x ( du2 x )
∫−1
11udu=∫
−1
1duu
=ln (x2+4 ) ]−11
¿ ln (12+4 )−ln ( (−1 )+4 )=1.61−1.61=0
24. y=3 x+2 x=1x=3
1. u = 3x+2
2.
dudx
=3dx=du3
3. 3( du3 )
∫1
31udu=∫
1
3duu
=l n (3x+2 ) ]13
¿ ln (3(3)+2 )−ln (3(1)+2 )=ln 11−ln5=2.40−1.61=0.79
25. y=5 x2 x=0 x=2125
∫0
2
5 x2dx
¿ 53x3]
0
2
=53
(2 )3
−53
(0 )3
=53
(8 )=403
26) ∫1
2
(3x2−5 x+7 )dx
∫3 x2−∫5 x+∫ 7dx
3∫ x2dx−5∫ xdx+7∫dx
3∗x3
3−5 x
2
2+7x
¿ (2 )3−5 (2 )2
2+7 (2 )=8−10+14=12
¿ (1 )3−5 (1 )2
2+7 (1 )=1−5
2+7=11
2=5.5
27) ∫1
3
x √x2+1dx
u=x2+1
dudx
=2 x
dx= du2 x
126
[ x3−5 x22 +7 x ]1
2
∫ x (u)12 .( du2 x )
12∫
u32
32
26
(12+1 )32=26
26¿
28) ∫1
2x
x2+1dx
u=x2+1
dudx
=2 x
dx= du2 x
∫ xu ( du2 x )
12∫
duu
=12lnu
[12 ln (x2+1 ) ]1
2
¿ 12ln (22+1 )−1
2ln (1+1 )
¿ 12ln 5−1
2ln 2
¿ (0.5 ) (1.60 )−(0.5)(0.69)
127
[ 26 (x2+1 )32 ]0
1
¿0.80−0.35
=0.45
29) ∫1
3
(3 x−1x )2
dx
∫1
3
(9 x2−6+ 1x2 )dx
∫1
3
(9x2−6+x−2 )dx
[ 9 x33 −6 x+x−1
−1 ]1
3
[ 9 x33 −6 x−1x ]1
3
9(3)3
3−6 (3 )−1
3
9(1)3
3−6 (1 )−1
81−18−13=1883
=62.66
93−7=9−21
3=4
30) y=4 x
x4+1
128
x=1 ; x=2
∫1
24 xx4+1
dx
u=x4+1
dudx
=4 x
dx= du4 x
∫1
24 xu ( du4 x )
∫1
2duu
=lnu
[lnu ( x4+1 ) ]12
¿ ln (24+1 )−ln (14+1 )
¿ ln 17−ln 2
¿2.83−1.60
¿1.23
129
130