DESIGUALDADES E IN ECUACI ON ES

I N E CUA CI ÓNA sí:

)x(G)x(F

Símb olos d ere lación d e orden

E xp resionesmatemáticas

I N T E R V A L O

Intervalo noA cotado

X n

X X X Xa b

IntervaloA b ier to

IntervaloC er rad o

q P

IntervaloSemi ab ier to

Intervalo noacotad o

t r m +

*n;x

nx

*ó

b;ax

bxa

]p;q[x

bxq

]r;tx

rxt

;m[x

mx

* x;x . . .

. . .

kbka

kba:Si)i

m

b

m

a

b mam

)0m(mba:Si)i i

nb

na

b nan

)0n(nba:Si)i ii

TEO R EM A S

E s unaDesig ualdad

7<135>3

IN ECUACIÓN P OLIN OM IAL

}na;....;2a;1a;0a{;0na...1nx1anx0a)x(P

0

A sí:

I N E C U A C I Ó N L I N E A L

}b;1{

0

0bax

For m a:

I N E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A

For m a:

}c;b;a{0

0cb x2ax)x(F

I N E C U A C I Ó N D E G R A D OS U P E R I O R

C uan d o : n ³ 3

(E x p li c ac ió n e n c lase )

S E R E S U E L V ES E R E SU E L V E

cr iticop untosp o r

0)x(Q)x(P

0)X(F

yenlefactor izabE s

tr inom ioE l

0:Si

x

02)100x(*

PCTE s

tr inom ioE l

0:Si

0x

1x2x*

0a

x)(E s

tr inom ioE l

0:Si

N ota :

I mpor tante:E n la resolución d e la

Inec . cuad rática y sup er iores imp or tante ap licar el

método d e “PUNTO SC RÍTIC O S” . . .

T A M B I É N E S A P L I C A B L E

0)x(G0)x(F

0)x(G0)x(F

0)x(G)x(F

0)x(G0)x(F

0)x(G0)x(F

0)x(G)x(F1

2

I N E C U A C I Ó N E X P O N E N C I A L

1a0:Si)x(G)x(F

)x(Ga)x(Fa

1a:Si)x(G)x(F

)x(Ga)x(Fa

1

2

A sí:

I N E C U A C I Ó N I R R A C I O N A L

:S.C

)......x(2Q)x(P0)x(Q

...............................0)x(P

)(:.S.C

...............................0)x(Q

).......x(2Q)x(P0)x(Q

................................0)x(P

)x(Q)x(P;)x(Q)x(P

1

. . .

O BSER VACIO N ES

T razad o d e la g r áfi c a d e lPo l ino m io : cb x2ax)x(P

D e las ra íc e s

Ra íc e s sim é tr i c as uo p u e stas

U na raíz e s: x =m , lao tra e s : x = m

1

2

si

se c u m p le

02x1x

Raíc e s re c íp ro c aso inv e r sas

si

U na raíz e s: , l a

o tra e s :

m1x

m

1ax

se c u m p le

1ax1x

E c u ac io ne s c uad r átic asE q u iv ale n te s

si l as e c uac io ne s so n :

0m;0pnx2m x

0a;0cb x2ax

tie ne n

las m ism as ra íc e so so luc io n e s

se c u m p le

p

c

n

b

m

a

si >0

si =0

si <0

P

P

y

x

a> 0

a< 0

x1 x 2

P

P

P

P

y

y

x

x

a> 0

a> 0

a< 0

a< 0

x1

x2

ECUACI Ó N CUADRÁTICA

F O R M A G E N E R A L

0a;0cb x2ax

Se resuelve p o r

Factor ización Fórmula

0)x(B0)x(A

0)x(B)x(A

a2ac42bb

2,1x

N A TU R A L E ZA D E R A Í C E S

d ep e nd e

antem inD iscr i

ac42b

si

> 0Raíces re ales

d i fe rentesx x1 2

> 0Raíces re ales

ig uale sx = x1 2

< 0Raíces co m p le jo s

co n jugad asx =

x1

2

=m n im ; n

m +ni

A d em às:

0Raíces reale s

1i x x1 2

so n raíces d e la ec uac ió n

P R O P I E D A D E SD E L A S R A ÍC E S

D i ferenc i a

P rod uc to

Su m aab

2x1x

ac

2x1x

|a||2x1x|

2x1x42)2x1x(2)2x1x(

F O R M A C I Ó N D EL A E C U A C IÓ N

Si se tie ne las raíce sse d eb e calcu lar :

Sum a = 5 P rod ucto =P

d o nd e

0PSx2x

I mpor tante:Se a la e cuac ió n: ax +b x+c=0a 0; d e raíces x xd o nd e : {a, b , c } Q

Si : e s raíz

e nto nces:

e s la otra raíz i r rac io nal

2

1 2

nm1x

nm2x

ECUACIÓ N LIN EAL

Fo r m a G e n e ral

ax + b = 0

A N Á L I S IS D E S U R A Í Z TE O R E M A S

sia

bxb0a

so luc ión ún ica(co m p atib le d e ter m inad a)

0x00b0a

“ x” ad m ite cualq u ie r so luc ió n(co m p atib le ind e te rm inad a)

bx00b0a no ex iste n ing ún valo r “ x”q ue m ul tip l icad o p o r cero

d a co m o resul tand o b(inco m p atib le )

si

si

d e

Tran sp osición C an celación

si si

bcacba

b cacb

ab

cacab

bcacba

0c:Si

bac

b

c

a

0c:Si

bab cac

c:Si

bacbba

CLASIFICACIÓ N DE LAS ECUACIO N ES

Se g ún

su

E S TR U C T U R A

P o l i n om ia l d e u n a S o la V a r iab le

E s aq ue lla ecuación q ue p resenta lasig u iente fo rm a g eneral :

d o nd e :

:Sea P (x) un p ol inom io no c onstante,“ a” es una raíz d e P (x) s i: P(a)=0

P (x)=(x a)q (x)

Raíz d e un p o linom io

00a;0na...2nx2a1nx1anx0a

incóg n i talaes"x"

escoeficientson;na;...2a;1a;0a

p o linom io

unes;na...2nx2a1nx1anx0a)x(P

F raccion ar ias

C uand o p resenta la incóg n ita en sud enom inad or :E jm :

9x4

9x5x

I r racion a les

C uand o la incó g n ita se encuentra afec tad o p o r un sig no rad ical .E jm :

74x1x

LinealesC uadráticasC úbicasG rado Super ior

e l

N Ú M E R O D E E C U A C I O N E S

se rá

C omp atib le Incomp atib leo inconsistente

cuand o cuand o

A d mite p o r lomenos una so luc ió n

N o ex iste n ing unaso luc ión: C .S.=

y es así

D e te rm inad a Ind e ter m inad a

si si

E x iste un númerofin i to d e so luc iones

E x iste un númerofin i to d e so luc iones

asi asi

D ad a: x =xtiene 3 so luc iones

1; 0; 1C .S.={ 1;0;1}

3

D ad a: 2(x 1)=2x 2tiene infin i tas

so luc ionesC .S.=

D ad a:4(x 3)+2x+5=6+2(3x 6)

al red uc ir se ob tiene :5=6

ésta e s ab surd a

CO N CEP TO S FUN DAM EN TALES

S o lu ciónC on ju n toS o lu ción

R eso lu ción d e u na ecu ación

E cu acion esE qu iva len tes

así así así así

D ad a la e c u ac ió n :x -5x =x -11x +6p ara: x =1 4 = 4

3 2 2

p ara: x =2 = p ara: x =3 = Lu e g o las so luc io ne sso n : x =1, x =2, x =3

C o m o las so lu c io n e s d e la e c uac ió n :x -5x =x -11x +6so n : x =1, x =2, x =3e n to n c e s e l c o n jun toso luc ió n (C .S.) e s :C .S.0{1;2;3}

3 2 2

C o n se g u ir lo se le transfo r m a su c e si -v am e n te e n o tras e q uiv a le n c ias

así

Si: x =x1e r x x =02d o

3

3 x (x =0

3ro x (x +1)(x x =04to x =0 ;x = 1; x =1

C .S. ={ 1;0;1}

2

Las e c uac io n e s:

So n e q u iva le n te s p ue s toq ue am b as e c uac io ne sse ve r ifi c an so lam e n tep ara: x =12

x236x5

143x2

2x

so n es e l es d o s

A q u e l lo s va lo re s q uea su m en la s in c ó g n i ta s

la s c u ale s ve r ifi c a n un ad e te r m in a d a e c ua c ió n

C o n jun to fo r m a d op o r to d a s la s

c o lu c io n e s

E fe c tu ar e n e l la s to d asla s o p e ra c io n e s n e c e sa r ias p a ra

o b ten e r su s s o l uc i o n e s

E c ua c io n e s s o n e q u iv ale n te s s i ti en e n la s m ism a s so lu c io n e s

TEO RÍ A DE ECUACI O N ESuna

IG U A L D A D

U na relació n de co m para ció n que se esta b lece en tre do s expresio n es e l cua lno s ind ica qu e tien en el m ism o valo r.

m iem b rod o2m iem b roe r1

BA

una

C L A S E S D E I G U A L D A D

A bso lu tas - I n con d i cion a les R ela tiva s - C on d icio na les

e s e s

A q ue lla q ue se ve r ifi ca p arato d o s lo s valo re s asig nad o s

a sus in có g n i tas .E je m : (x +1) =x +2x+1

La ig uald ad se ve r ifi ca p aracua lq u ie r valo r re al d e “ x ”

2 2

A q ue lla q ue se ve r ifi ca p arac ie r to valo re s p ar ti cu lare s q ue se le s a tr ib uye a su in có g n i tas.

E je m : 2x+1=x+7Se ve r ifi ca só lo si : x=6

2(6)+1=6+7

E C U A C I Ó N

Ig ua ld ad d e d o se xp re s io ne s m ate m átic as

q ue al m e n o s co n tie ne una var iab le , l l am ad a

in có g n i ta

E xp resionesM atemáticas

,...)y,x(,...)y,x( RP

Var iables

FUN CIÓN

R E L A C I ÓNSe l lam a re lac ió n , a to d ov ínc u lo d e e le m e n to s.

E N U N P A R O R D E N A D O

E N U N D I A G R A M A C A R T E S I A N O

A sí:

H={(3;5)(6;7)(4;8)}R={(2;7)(3;7)( 2;7)}

* Son funciones, p orq ue las p r i m e r as co m p o n e n te s so n d iferentes.Pero :F={(7;2)(3;5)(7;8)}No es función, p orque se ob serva que los p r imeros comp onentes se rep iten: 7; 3; 7.

C onformad o por los p r imeros comp onentes d e los p ares ord enand os.

C onform ad o p or las segundas comp onentes d e los p ares ord enad os.

D om in io:

R an go:

A sí:

h: es función, p orque cuando trazamos una recta perp endicular a “x” , en cualquier punto siempre cor ta en un sólo punto la gráfica h.Pero :

g : no es función, porque al trazar una p erp endicular a “x” , corta en 2 p untos.

y

x

h

y

x

g

E N U N D I A G R A M AD E V E E N

A sí:

* Se llama función cuand o d e los e l em e n to s d e l co n ju n to d e p ar tida sale una so la flechita.Pero :

g : no es función, p orque d e 8, salen 2 flechas.

327

841

C onjunto depar tida

C onjunto del legad a

fA B

f: e s func ió n

789

341

gA B

To d a fu n ció n , esu n a re lació n , p ero n o

to d a fu n ció n esu n a re lació n .

Una función, se llama ap licación, cuand o su D ominioes ig ual al conjunto d e par tid a

GRÁFICA DE UN A FUN CIÓ NDE EN

F U N C I Ó NL I N E A L

A sí:

baxf )x(

La g ráfica s iem p rees una recta

a<0a>0

y

x

F U N C I Ó NC U A D R Á T I C A

F U N C I Ó NR A ÍZ C U A D R A D A

F U N C I Ó NC Ú B I C A

F U N C I Ó N I N V E R S OM U L T I P L I C A T I V O

A sí: A sí: A sí: A sí:

La g ráfica es unap aráb o la.

La g ráfica p ued e se runa d e estas 4 fo rm as:

a>0<0

yy

y y

x

x

x x

cb xaxf 2)x(

a>0>0

a<0>0

a<0<0

cbaxf )x(

y

x

y

x

y

x

3)x( xf 0x;

x

1f )x(

P O TEN CI ACI Ó N

2n,n:si;a...aaa

1n:si;aa

ve c e s"n"

n

0aa,1a0 n0a;

a

1a

nn

E X PO N E N T E N AT U R AL E X PO N E N T E C E R O E X PO N E N T E N E G AT IVO

D E F I N I C I ON E S

13

ve ces13

77...777 *

No tiene sentido

* = N o está d efi nid o00 * = N o está d efi nid o (n )n0

T E OR E M A SM ULT I PL I C AC I Ó N D E

B ASES I G UAL E SD I VI SI Ó N D E

B ASES I G UAL E SPO T E N C I A D E

PO T E N C I APO T E N C I A D E UN AM ULT I PL I C AC I Ó N

PO T E N C I A D E UN AD I VI SI Ó N

nmnm aaa 0a;aa

a nmn

m pnm

pnm aa

nnn ba)ba( 0b;b

aba

n

nn

pnm

pnm aa

0b

0a;

ab

ba nn

OJ O OJ O

L o s teo rem a s expuesto s p ara ba ses rea les y expo nentes na tu ra les, p ueden am p liarse a expo nentes rea les. P ara su estu d io es necesa rio ya o tro s e lem ento s de m atem ática su perio r.

RADI CACI Ó N

D E F I N I C I ÓN

nn rara

ín d ice d e la ra d ica l

ra d ica n d o ó ca n tid a d sub ra d ica l

ra íz

ra d ica lEXP O NENTE FR A C C IO N A R IO

T E OR E M A S

2nn;aaamnn mn

m

S i:

en

a

a

a

mn

n m

nm

e s una fracc ión ir re d uc tib le

M ULT I PL IC AC I Ó N D ER AD I C AL E S

D I VI SI Ó N D ER AD I C AL E S

R AD I C AC I Ó N D ER AD I C AC I Ó N

R AD I C AL E SSUC E SI VO S

e nbaba nnn 0b;b

aba

n

nn pnmm n p aa

xxxxn m p

*

xxxxn m p

*

pmnp)m(

pmnp)m(

( x+x +x +...) ex p o nentes

( x x +x ...) ex p o nentes

x + x +

x x +

Tam b ié n : Si n x n úm e ro re a l

p are snsi| ,x|

im p are snsi,xx

xx

n n

nn

Sie m p re y c uan d o lo s re p re se n te n n úm e ro s re a le s.

rad ic ales

8 888 )5(5

D o n d e : 8 5 N o e x is te e n

8 8)5( Si e x iste p u e s to q ue su rad ic an d o e s p o s itivo .

8)5(

TEO REM AS DE LO S LO GAR I TM O SA SI

01. Sea A .B>0 y b >0 b 1; se cum p le :

02. Sea A / B>0 y b >0 b 1; se cum p le :

03. Sea A >0 y b >0 b 1; se cum p le :

n 04. Sea A >0 y b >0 b 1; se cum p le :

n m

}0{mn;ALog

mnnALog

bmb |B|bLog|A|bLog)B.A(bLog |B|bLog|A|bLog

B

ALog

b

n;ALog.nnALogbb

2Log7Log)2.7(Log*555

3Log8Log3

8Log*

777

2Log

313

12Log3 2Log*

555 3Log43Log

2

883Log*5525

CAM BI O DE BASED emostr ar :

1b0b0n AALo g

n1n ALo g

bb

Obser vaci ón :

n

mmbLo g

K ALo gALo g

nb

K bb

A SI

Se an: N >0; b >0 b 1; a>0 a>1

Se cum p le:

bLog

NLogNLog

a

ab

D E A QU I

1bLogaLog:A d emás

bLog

1aLogaN:Si

ab

ab

I m p o r t a n t eenar itmoslogd e

cond ic iónlacump led;c;b;a:Si

aLogcLogbLogaLogddcb

R E G L A D E L A C A D E N A

:cump leSe

1b}c;b;a{:Sea

aLogc

cLoga bb

R E G L A D E L I N T E R C A M B I O

RELACIO N ES ESP ECI ALES

T E N E M OS

COL OGA R I T M O ( col og) A N T I L OGA R I T M O ( an t i l og)

NLo gN1

Lo gNlogC obbb 1b0b

0N

NNbNantilo gb 1b0b

P R OP I E DA D E S

N)Nloganti(Lo g

N)NLo g(loganti

bb

bb

> 0

> 0 1

> 0 1

N)Nloganti(logC obb

N1

)Nlogco(logantibb

> 0

> 0 1

> 0 1

SISTEM A DE LO GARI TM O S

I M P OR T A N T E S

SI ST E M A DE CI M A L O DE BR I G GS ( 1615) SI ST E M A H I P E R BÓL I CO O N E P E R I A N O

N O T A C IÓ N

0N/Log NNLog10

N O T A C IÓ N

0N/LNNLoge

D on de: e=2,718281828...N úm ero trascen den te de E uler

C um p le tod a las Id entid ad es, o b se r vac io nes, teoremas d e lo s Lo g ar i tm os estud iad os en e lante r io r.

P O LI N O M I O SE X P R E SI ON E S M A T E M Á T I C A S

N O T A C I Ó N

zzx

37)z;y;x( zzxlo g)xz(se nyx

8E

E s una rep resentac ión m atem áticad e núm ero s y le tras l ig ad as p o r losd i fe re ntes o p e rad o res m atem ático s.

C L A SI F I C A C I ÓN

E X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S(E .A .)

S E C L A S I F I C A N

E .A . R A C I O N A L

E .A .R . F R A C C I O N A R I A

E .A .R . E N T E R A

E xpon en tes d e las variablesso n o térm ino independ ien te+

E xpon en tes d e las variablesso n

E .A .R .

E .A . I R R A C I O N A L

E .A .I .

P O LI N O M I O

E X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S(E .A .)

E s aquella que está form ada po r variables y/oco nstantes do nde las variables están relacio nadas

co n las operacio nes m atem áticas A dició n, S ustracció n , M ultip licació n , D iv isió n Po tenciació n y R ad icació n ,

en un núm ero lim itado de veces.

L os expo nentes de las variables so n número s entero spo sitivo s, adem ás d ichas expresio nes están defin idas

para cualqu ier valo r que se de a sus variables

538)z;y;x( z3y

8

1x7Q

E xp resion es E xp on en cia les.. .E xp resion es L ogarí tm icas.. .E xp resion es T ri gon om étr icas.. .E xp resion es d e I n fi n i tos Térm in os...

T rascen d en tes

T É R M I N O A L G E B R A I C O 78)y;x( yx8P

E s aquella E .A . do nde no participa la o peración

E x po n en tes

Variab lesC o eficien te

M O N O M IOcuyo s expo nentes de

sus variab les so n +

D o s o m ás térm ino s algebraico s si lo s expo nentes

de sus respectivas variab les son iguales

sem e jantesso n

78)y;x(

78)y;x( yxDyyx73E

GRADO DE UN P O LI N O M I O

CL A SI F I CA C I ÓN

S e define co m o una característica exclusivam ente parapo lino m io s, relacio nado co n lo s exponentes de sus variables

GR A D O R E L A T I V OG.R

GR A D O A BSOL U T OG.A .

S e refiere a una so la variable S e refiere a to das las variab le

A S I : 89)y;x( yx4E

G .R =9x G .R =8yG .A =5 + 4 = 9(D)

45)y;x( yx7D

G .Rx G .Ry

593827)z;y;x( y zx7zyx

7zyx5P

9)P(R.G x 3)P(R.G y 5)P(R.G z

Tam b ié n :

G rad o A b so lu to d e P =G .A .(P )=º[P ]=15(x;y;z)

grado de P 9+1+5 El grado mayor de los términos del polinomio

I m por t an t eSi: n ;]Q[m]P[ )x()x(

E n to nc e s:

nmQ

P

nm]Q[P[

m]Q[P[

)x(

)x(

)x()x(

)x()x(

K

mP

m K))x(P(])P[(

K)x(

KK)x(

S i T (x)= x + 2H alle e l va lo r d e T (2 )

3R eso lució n : x 2

T (2 )= 2 + 2= 103

Valo r N um érico

nm

O b s :

P O LI N O M I O S ESP ECI ALESS o n po lin o m io s co n características defin id as,

qu e p erm iten d iferenciarlo s d e o tro s.

T E N E M OS

P O L INO M IO S I DÉ NTI CA M E NTENUL O SP O L INO M IO S I DÉ NTI CO SP O L INO M IO S CO M P L E TOSP O L INO M IO S O RD E NAD O SP O L INO M IO S H OM O GÉ NEO S

N ota:

0K;ZK:d o n d e

EK

E

)w;...z;y;x(

)K w;...;K z;Ky;K x(

xy zzyxP* 333)z;y;x(

es u n p o lin o m io h o m o gén eod e grad o 3

273452)y;x(

84)x(

yx3yx8yx7Q*

xxxT*

está o rd en ad o ascen den tem en teresp ecto a y descend en tem ente

resp ecto a .

8yxx yxyx8D*

x8xE*

22736)y;x(

2)x(

es co m p leto resp ecto a .

u n po lin o m io co m p leto n otiene q ue ser o rd enado y

viceversa

N ota:

* S ea :ax+ by+ cz 8x+ 2z 5yE nto nces:a= 8; b= 5; c= 2

* S ea :ax + by + cz 0E nto nces:a= 0; b= 0; c= 0

T E OR E M A S

D ad o un po lin o m io co m pleto en un a variab le,S i un po lin o m io es co m pleto y o rdenad o respecto

a u na variab le, se tiene qu e lo s grado s re lativo sa su variab le de d o s térm in o s co n secutivo s

la d iferencia es la u n id ad

DEFI N ICI O N ES ADI CI O N ALES

P O L I N O M IO M Ó N IC O P O L I N O M IO S C O N S TA N TE S

P o lino m io d e u na varia b le cuyoco eficien te p rin cip a l es

P o lino m io (d e u na o m ás variab lesd e la fo rm a:

)x( KE

S i: K 0 en to ncesd efin im o s el grado

d el po lin o m io co nstan teco m o C E R O .

S i: K = 0 en to ncesE (x) 0 es llam ad o

po lino m io id én ticam entenu lo , cuyo grad o no está

d efin ido

M ónicop o linom ioesN o

43)x(

m ó nicoes

92)x(

m ó nicoes

48)x(

5xx5x8D*

9x2xx3E*

8xx3xP*

C E ROg rad od etestanco nsSo n

)y;x()x( 9D;8E*

BIN O M I O DE N EWTO N

F A C T O R IA L D E U N N Ú M E R O N A T U R A L N Ú M E R O C O M B IN A T O R IO

N O T A C IÓ N

n !nn

;n

Se le e:factor ial d e n ó

facto r ialn

D E F IN IC IO N E S

1nn;n)1n(... .321

1n;1!n

Tam b ién: 0! = 1 (c onvenció n)

P R O P IE D A D E S

n)!;1n(n!n

b;a;ba!b!a:Si

n!n 0

n

!,n)!1n(!nn !n

PA Rn;n...8642!!n

IM PA Rn;n...7531!!n

!n)!!n)(!!n( El mayor

PA R I M PA R C onsecutivo

Se m ifac to r ial

Se le e:com b inac io ne s d e e le me ntosto mad os d e K en K .

n

N O T A C IÓ N

KnK

n

nK

CC

C

D E F IN IC IÓ NE l núm ero co mb inator io d e n e n K se d e fine :

!K)!Kn(

!nC n

K

D ond e :

KnK;n

factoresK

factoresK

nK K...321

)1Kn)...(2n)(1n(nC

P R O P IE D A D E SSie nd o:{n; K } n K

C O M B IN AC IO NESC O M PL EM E NTAR IO S

SU M A D EC O M B IN AC IO NES

D E GR AD AC IÓ N D EÍND IC ES

nKn

nK CC 1n

1Kn

1KnK CCC

n1K

nK

1nK

nK

1n1K

nK

CK

1knC

Kn;CKn

nC

CK

nC

nP

nK CC

T E O R E M A

K =P K +P =n

R E S U L T A D O S N O T A B L E S

1CC nn

n0 NCC n

1nn1 2

)1n(nCC n

2nn2

DESARR O LLO DEL BIN O M I O

E X P O N E N T E N A T U R A L

A S I :

d esarro l loe le s

3033

232

1231

0330

302112033

yxCxyCyxCyxC

yx1yx3yx3yx1)yx(

T E O R E M A

n0nn

22nn2

11nn1

0nn0

n yxC...yxCyxCyxC)yx(

1rabase

2dabase

T É R M I N O G E N E R A L )T( 1K Lugar b uscado

E n : n)y;x( )yx(Q

KKnnK1K )y(xCT

KKnnK1K x)y(CT

Sie n d o : e l té r m in o d e lu g ar (K +1) y 1KT nK0

C O E F I C I E N T E B I N O M I A L

D E F IN I C IÓ N

!K)1Kn).. .(2n)(1n(n

K

n

D o n d e : n K

A d e m ás: 10

n

n

n;n

1

n

E jem p lo

!4)35)(25)(15(5

4

5

T E O R E M A

Si: e s fr ac c io nar io o n e g ativo e ln ú m e ro d e té r m in o s e s .

ni l im i tad o

}0{K;yxK

n)yx( KKn

0K

n

M e jo r :n

)x( )x1(E

Siempre

K1K x

K

nT

Lugar b uscad o

FACTO RI ZACI Ó NC O N C E P T O S P R E V I O S

P O L I N O M I O D E F I N I D O D E N T R O D E U N C A M P O N U M É R I C O F A C TO R O D I V I S O R

C uand o sus c oefic ientes p e rtenec ena d icho c amp o num ér ico

es

así

2

1x3x5Q

3x5x2P

2)x(

2)x( en

en

C L A S E S D E F I N I C I Ó N

Factor A l gebr ai co

Tod o p o linom io no constante q ue d iv id e en fo rm a exacta a o tro p o linom io

es

así

)1y(xP )y;x(

sus d ivisoresalgeb raicos son:

eb raic olgaesno1P

)1y(xP

1yP

xP

)y;x(

)y;x(

)y;x(

)y;x(

1

4

3

2

Factor P r im o

A d mite p o r d iv iso re sa 1 y al si m ism o

2)y;x( xyP

2)y;x(

)y;x(

2)y;x(

)y;x(

)y;x(

)y;x(

xyP

xyP

yP

p r im osfactoresún icos

yP

xP

1P

6

5

4

3

2

1

Tod o p o linom io q ue d ivid e en fo rma e xac ta

a otro p o linom io

es

así

yxP )y;x(

sus d ivisoresson:

xyP

yP

xP

1P

)y;x(

)y;x(

)y;x(

)y;x(

4

3

2

1

así

si

C antid ad d e D iv iso res

así

)nx......()3x()2x()1x(P )x(

tenemos

pr im osnofactoreso

p r im o sfac to re s#.lge b rai co safac to re s#c o m p ue sto sfac to re s#

1fac to re s#c o se b r ailgafac to re s#

)nx() ;. . .;3x() ;2x() ;1x(np r im o sfac to re s#

)1) .. .(1) (1) (1(fac to re s#

CR ITER IO DE FACTO RI ZACI Ó N

F A C T O R C O M Ú N A G R U P A C I Ó N I D E N T I D A D E S A S P A S I M P L E A S P A D O B L EA S P A D O B L E

E S P E C I A LD I V I S O R E SB I N Ó M I C O S

Se

Eligen las basescomunes afectadasal menor exponente

así

6455)y;x( yb xyaxP

Factor común: 54yx

luego

Se

Seleccionan convenientementelos términos d e tal manera

que genere un factor común

así

agrupando de 3 en 3

luego

)byax(yxP 44)y;x(

yzyxyxzxyxP 22)y;x(

)yx)(zyx(P

)zxy(y)zyx(xP

)y;x(

)y;x(

E s

la ap l icación inme-diata de algunos

productos notables

p or ejemp lo

)BA BA)(BA(BA

)BA)(BA(BA2233

22

E s

A plicab le siguiendo3 pasos:

los cuales son

así

* Descomponer los extremos* Prueb a de aspa* Escr ib ir los factores

xy5xy4y2x

xyyx2y2xy5x2P 22

)y;x(

luego

)y2x)(yx2(P )y;x(

Forma general

6

f

5

ey

4

dx

3

cy

2

ybx

1

axPtt

m

t

n

t

m2

t

mn

t

n2)y;x(

Si le falta un término, completecon cero en el coeficiente.

Proced imientos

P aso 1: A sp a Sim p le : t t t1 2 3

P aso 2: A sp a Sim p le :

P aso 3: A sp a Sim p le :

t t t t t t

3 5 6

1 4 6

luego

Los factores se adoptanhorizontalmente

Se

Util iza para factor izar polinomiosde grado mayor o igual a tres

Proced imientos

Paso 1: D etermine e l rang o d e los p osibles valores racionales.

Paso 2

Paso 3

: E n b ase a estos valores real iza evaluaciones hasta conseguir a l g ú n v a l o r q u e l o g r e anularlos.

: Para conseg uir otros factores ap l icaremos Ruffi ni cuantas veces sea necesar io..

.P.Cd e lD i v is ore s

.I.Td e lD i v is ore sP RR

Sirve para factor izar polinomios de 6 términos

Sirve para factor izarpolinomios de cuarto grado

Forma:

EDxC xBxA xT 234)x(

...