TRABAJO COLABORATIVO No. 1

Presentado Por:JEYFREY JOHAN CALERO ROJASCDIGO: 94151787

GRUPO: 208046_11

Presentado a:VIVIAN YANETH ALVAREZDirectora de Curso

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGA E INGENIERA ECBTIALGEBRA LINEAL E-LEARNINGOCTUBRE DE 20141. PROBLEMAS DEAPLICACIN (VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES)1. Resolver el siguiente problema, graficando la situacin presentada. Un helicptero vuela 220 km rumbo al oeste desde la zona A hasta la zona B y despus 150 km en la direccin de 60 grados al noroeste de la zona B hasta la zona C. a) En lnea recta, que tan lejos est la zona C de la zona A. b) Respecto de la zona A en qu direccin est la zona C?

Solucin:

Para hallar la distancia de BX resolvemos:

Hallamos la distancia de R en X:

Hallamos la distancia de C en Y:

Por teorema de Pitgoras hallamos la distancia de A a C:

Para hallar la distancia de C con respecto a A, resolvemos:

La zona C se encuentra a 322,37 Km de distancia de la zona A en una direccin de 24,70 al noroeste.

2. En 4 semanas, las dos compaas, lvarez y McGinnis, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME):

1 semana:lvarez: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 MEagua. McGinnis: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua.

2 semana:lvarez: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua.McGinnis: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua.

3 semana:lvarez: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 MEagua.McGinnis: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua.

Actividades

Representa losdatospara saberelconsumode lasdoscompaas. Comparalosconsumosrespondiendo lasiguientepregunta:Qucantidad de materia prima se necesita para ambas compaas en cada semana? Cul es la diferencia de consumo de ambas compaas en cada semana? Cunto esel consumode materiaprima por semanapara 7compaas como lvarez, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compaa lvarez? Consideremos que laCompaa lvarezrecibe materia primade dos proveedores (ALFA Ltda. y Malt S.A.) Cul de los dos proveedores es mejor?

MaterialALFA Ltda.Malt S.A.

Levadura5055

Malta136127

Agua8079

Halla ala inversade lamatrizde consumode lacompaa McGinnis por Gauss Jordn y luego por Determinantes y compara los resultados adquiridos.

Solucin:

Teniendo en cuenta que:

X=Semana1A=LevaduraY=Semana2B=MaltaZ=Semana3C=Agua

La representacin grfica para cada compaa la podemos presentar por medio de un arreglo de la informacin como se muestra a continuacin:

lvarezXYZ

A81017

B468

C1255

XYZ

A697

B350

C1245

McGinnis

Para saber la cantidad de materia prima se necesita para ambas compaa encada semana se hace una suma de matrices donde la empresa lvarez es la matriz A y la empresa McGinnis es la empresa BA+B+

Para saber la diferencia de consumo de ambas compaas por semana se hace una resta entre la matriz A y la matriz BA-B+

Para determinar el consumo de 7 compaas como a lvarez por semana multiplicamos laprimera columnade la matriz A por7

Matriz inversa de la compaa lvarez por GaussJordan.

Divido la fila 1 sobre 8

Resto la fila 2 de la fila 1 multiplicada por 4 y resto la fila 3 de la fila 1 multiplicada por 12

Sumamos la fila 3 de la fila 2 multiplicada por 10

Dividimos la fila3por 316/8

Restamos la fila 2 de la fila 3 multiplicada por 36/8

Restamos la fila 1 de la fila 3 multiplicada por 7/8

Resto la fila 1 de la fila 2 multiplicada por 10/8

Se halla el determinante: 8 (6 x 5 - 5 x 8) - 4(10 x 5 - 5 x 7) +12(10 x 8 6 x 7) = 316PROBLEMAS DEAPLICACIN (SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES, RECTAS Y PLANOS)

1.Tres compuestos se combinan paraformar tres tipos defertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10kg del compuesto A, 30kg del compuesto B y 60kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20kg del A, 30kg del B, y 50kg del C. Una unidad III requiere 50kg del A y 50kg del C. Si hay disponibles 1600kg del A, 1200kg del B y 3200 del C. Cuntas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material qumico disponible? Resolver el problema a travs de Gauss Jordan para hallar el valor de las variables establecidas.

Solucin:Llamemos

X = Fertilizante tipo IY = Fertilizante tipo IIZ = Fertilizante tipo III

Como cada tipo de fertilizante tiene una cantidad de compuestos A, B y C entonces tenemos:

ABC

X103060

Y203050

Z50050

Como se sabe que:

DelcompuestoAsetienen1600

DelcompuestoBsetienen1200

DelcompuestoCsetienen3200

Establecemos el sistema de ecuaciones:

Reescribimos el sistema de ecuaciones en forma de una matriz y lo resolvemos por el mtodo de Gauss Jordan

Dividimos la primera fila por 10

De la fila 2 restamos la fila multiplicados por 30 y de la fila 3 restamos la fila 1 multiplicada por 60

Dividimos la fila 2 por 30

De la fila 1 restamos la fila 2 multiplicada por 2 y de la fila 3 restamos la fila 3 multiplicada por -70

Dividimos la fila por 100

De la fila 1 restamos la fila 3 multiplicada por - 5 y de la fila 2 restamos la fila 3 multiplicada por 5

Lo que nos por resultado que de cada tipo de fertilizante se deben fabricar 20 unidades para consumir la totalidad de los compuestos.

2.De la ecuacin dela recta que pasapor el punto (1, -1,1) yes paralela a la recta que pasa por los puntos A (-2, 0, 1), B (1, 2, 3).

Solucin:Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (-2, 0, 1) y B (1, 2, 3). Las ecuaciones simtricas para una recta cualquiera son:

Ahoradebemosencontrarlasconstantesa,b,cyparaencontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados:V=PQY este vector AB est dado por la diferencia de B menos A en X, Y y Z.V=AB= (1-(-2)) + (2-0) + (3-1)V=AB= (1+2) + (2-0) + (3-1)V=AB= 3 + 2 + 2Por lo tanto podemos definir que:a = 3 b = 2 c = 2

Con los anteriores valores la ecuacin simtrica de la recta que contiene los puntos A (-2, 0, 1) y B (1, 2, 3)

Tendiendo la ecuacin de la recta paralela podemos hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (1, -1, 1).Con la ecuacin de la recta paralela podemos determinar que:A = 3B = 2C = 2Y con esto hallamos el vector director que nos permitir hallar la ecuacin de la recta solicitada.

Despejamos y de esta forma hallamos la ecuacin dela recta solicitada.

3. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que contiene a los puntos P = (7, -1,1)y Q = (-1, 5,3).

Solucin:Ecuaciones paramtricas que definen una recta cualquiera.

Y las ecuaciones simtricas para una recta cualquiera son:

Ahoradebemosencontrarlasconstantesa,b,cyparaencontrarlasdebemos definir un vector dado por los puntos dados:V = PQY este vector PQ est dado por la diferencia de Q menos P en X, Y y Z.V = PQ = (-1-7)) + (5-(-1)) + (3-1)V = PQ = -8 + 6 + 2Por lo tanto podemos definir que:

a = -8 b = 6 c =2

Con los anteriores valores las ecuaciones paramtricas de la recta que contiene los puntos P = (7, -1,1) y Q = (-1, 5,3):

Y las ecuaciones simtricas son:

4.Encuentre la ecuacin general delplano que contiene a lospuntos P = (-8, 5, 0), Q = (5, -4, -8) y R = (-3, -5, 1)

Solucin:Para calcular la ecuacin del plano podemos utilizar la frmula:

Reemplazamos los valores de los puntos dados:

Resolviendo el determinante por producto cruz y aplicando la ley de los cofactores tenemos la ecuacin del plano.

5.Encuentre todos lospuntos deinterseccin delos planos:

Solucin:Teniendo los planos

Debemos hallar los puntos de interseccin entre ellos, como sabemos, los puntos de interseccin entre dos planos es una recta, entonces vamos a hallar la ecuacin simtrica de esa recta que por teora define los puntos de interseccin de dos planos. La ecuacin simtrica de una recta est definida como:

Para determinar la ecuacin simtrica que me define los puntos de interseccin, vamos a encontrar X en funcin de Y y X en funcin de Z con las ecuaciones de los planos dados. Para hallar X en funcin de Z, multiplicamos por -1 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2

Para hallar X en funcin de Y, multiplicamos por -7 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 multiplicado por 8.

3. PROBLEMAS DE APLICACIN (ESPACIOS VECTORIALES)

1.Dado el conjuntoS = {u1,u2} donde u1 =(5,1) y u2= (-3, -2). Demuestre que S genera a R2.

Solucin:Segn la definicin cualquier conjunto contenido en un determinado especio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinacin lineal del conjunto original. Por lo tanto: S = {u1, u2}

U1 = (5, 2)U2 = (-3, -2)S = {(5, 2), (-3, -2)}V = (x, y)(x, y) = k1 (5, 2) + k2 (-3, -2)V = k1 (5, 2) + k2 (-3, -2)

Se puede demostrar que S es generador de R2 ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinacin lineal.

2.Dado el conjunto V ={v1, v2, v3}definido en R4. Donde v1 =(-1, 2, -3,5), v2 = (0, 1, 2, 1), v3 = (2, 0, 1, -2). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.

SolucinDado un conjunto de vectores S= {V1, V2,, Vk} en un espacio vectorial V se dice que S es linealmente independiente si la ecuacin C1V1 + C2V2 + + CkVk = 0

Por lo tanto:

Dnde:

Por lo tanto:

Planteamos la ecuacin vectorial:

Como vemos se puede determinar que tenga una solucin trivial; entonces comenzamos a resolver

Planteamos la matriz y realizamos eliminacin por el mtodo de Gauss-Jordan

A la fila 1 la dividimos por -1

Si a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicado por -2, a la fila 3 le sumo la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por -5 la matriz reducida quedara:

Para poder tener una solucin debemos seguir reduciendo la matriz entonces hacemos nuevamente las siguientes operaciones: a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por -2 y a la fila 4 le sumola fila 2 multiplicado por -1

A la fila 3 la divido por -13

A la fila 4 le sumo la fila 3 multiplicada por -4

Alafila2lesumolafila3multiplicadapor-4yalafila1lesumolafila3 multiplicada por 2

Con lo anterior se deduce que

C1 = 0C2 = 0C3 = 0

Por lo tanto C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 es una solucin trivial por lo que se pudo de demostrar que los vectores V son linealmente independientes.

3.Dadalamatriz

Hallar el rango de dicha matriz.Solucin:

Ala fila2 lerestamos lafila 1multiplicada por3y ala fila3le restamosla fila 1 multiplicada por 3

Ala fila1lerestamos lafila 2y ala fila 3le restamosla fila 2multiplicada por 3

Dividimos la fila 3 por -42

A lafila 1le restamosla fila3 multiplicada por-6 ya lafila 2le restamosla fila 3 multiplicada por 11

Al simplificar la matriz nos muestra que hay 3 fila no nulas por lo que se determina que el rango de la matriz es de 3.

4.Dadoslosvectores u = -6i+9 j y V=-i+9 j es correcto afirmar que el vector W = -11i- 9 j es una combinacin lineal de u y V? Justifique su respuesta.Solucin:La forma de comprobar que W es una combinacin lineal de U y de V es hallando escalares tales que:C1U+ C1V= WPara esto hallamos la matriz y la reducimos por el mtodo de Gauss Jordan

Dividimos la primera fila por -6

De la fila 2 restamos la fila 1 multiplicada por 9

Dividimos la fila 2 por 45/6

De la fila 1restamos la fila 2 multiplicada por 1/6

Como se puede comprobar que el sistema es consistente se puede afirmar que el vector W es una combinacin lineal de los vectores U y V.

BIBLIOGRAFIA

Ziga,C.A.(2010).Algebra lineal (1a. ed.). Bogot: Copyright UNAD

Multiplicacin de matrices. (s.f.). Recuperado el 10 de octubre de 2014 de http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us Clculo del determinante. (s.f.). Recuperado el 10 de octubre de 2014 de http://www.youtube.com/watch?v=ZuaIjvBPTBc