trabajo colaborativo algebra lineal 301330

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  • 7/23/2019 Trabajo Colaborativo algebra lineal 301330

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    TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 3

    GRUPO N 3013301-433

    UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

    ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

    301301- ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

    NOVIEMBRE 2014

    INTRODUCCIN

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    En el presente trabajo se pondr en prctica los conocimientos estudiados en la Unidad 3acerca de las ecuaciones de la recta, la cual se puede entender como un conjunto infinito depuntos alineados en una nica direccin. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal,vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

    Tambin realizaremos ejercicios de seccin conica que es son todas las curvas resultantesde las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el

    vrtice, se obtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,parbola, hiprbola y circunferencia.

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    Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

    Ejercicio 1

    Desarrollado por: Soraida Borda Carranza

    Enunciado

    De la siguiente elipse determine:a. Centrob. Focosc. Vrtices

    Solucin

    La funcin se divide entre 27 para obtener la ecuacin de la forma general, encontrando

    A partir de esto es claro que el centro (h, k) en este caso es (0, 0) , pues no hay ningn valorsumando o restando a las variables.

    Los semiejes corresponden a las races de los denominadores, con lo cual se tendr que el

    semieje en x es , y el semieje en y es 3, por lo cual el eje principal es y, lo que hace que laelipse sea vertical. Con esta informacin y conociendo el centro se puede decir que losvrtices son los puntos (0, 3) y (0, 3)

    Los valores de los focos estarn ubicados a lo largo del eje mayor, y se determinan con la

    expresin , que con los datos del ejercicio ser , por lo tanto lospuntos donde estn ubicados los focos sern ( )y ( )

    Ejercicio 2

    Desarrollado por: Soraida Borda Carranza

    Enunciado

    Deduzca una ecuacin de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vrtices y focos en

    Solucin

    Con la informacin inicial, es claro que el centro (h, k) est ubicado en la coordenada (0, 0),pues tanto los focos como los vrtices estn ubicados sobre el eje x, simtricos al eje y.Tambin de la informacin inicial se deduce que el eje principal es x, es decir la elipse eshorizontal, y que el valor de a es 5 y el valor de c es 3, por lo tanto solo faltara determinar elvalor de b.

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    Por lo tanto al conocer que la distancia del semieje menor es 4, entonces se puede escribir la

    ecuacin de la elipse tanto en su forma general, como en su forma cannica, pues todos losparmetros son conocidos.

    Ejercicio 3

    Desarrollado por: Janneth Mercedes Martin

    Enunciado

    De la siguiente hiprbola Determine:a. Centrob. Focosc. Vrtices

    Solucin

    =

    La funcin se divide entre 225 para obtener la ecuacin de la forma general.

    El centro (h, k) es (0,0) porque no hay suma ni resta.

    Forma general o cannica:

    ( xh) 2 - (y-k)2 = 1 donde centro = (h.k)

    a bvrtices (-a,0) ; (a, 0)

    c2= a2+ b2

    Focos : F (h+c, k) y (h-c, k)

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    a) Centros (0,0)b) Focos c2= 52+ 32 = 259 =36

    c= 36 c=6 c= - 6F: (0,8), (0, - 6)

    Vrtices: (-5, 0) ; (5,0)y

    x-5 5

    Ejercicio 4

    Desarrollado por: Janneth Mercedes Martn

    Enunciado

    Deduzca una ecuacin de la hiprbola que satisfaga las condiciones indicadas: Centro en((1, - 3), un foco en (1, - 6) y un vrtice en (1, - 5).

    Solucin

    Centro: (1, - 3) Foco: (1, -6) Vrtice (1, -5)

    (h,k) = (1,-3)

    kc = - 6

    c = k + 6

    c = - 3 + 6

    c = 3

    32= a2+ b2

    b = -5 - (-3)

    b = - 2

    a = 9 4

    a = 5

    a = - 5

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    Ecuacin (y+3)2 - (x1)2 = 1

    2 5

    Entonces, grficamente, y:2 x: -5

    y

    x

    2

    5

    Ejercicio 5

    Desarrollado por: Karina Isabel RestrepoEnunciado

    Demostrar que la ecuacin es una circunferencia. Determine:a. Centrob. Radio

    Solucin

    x2+ y2+ 6x2y15 = 0 (x2 + 6y) + (y22y) = 15

    (x2 + 6x + 9) + (y22y + 1) = 15 + 9 + 1 (x + 3)

    2+ (y1)2= 25

    ( 6 )2 (- 2 )2 h =-3 k = 1 R22 2

    C -3,1 R = 5

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    Ejercicio 6

    Desarrollado por: Karina Isabel Restrepo

    Enunciado

    De la siguiente parbola . Determine:a. Vrticeb. Fococ. Directriz

    SolucinEcuacin de la parbola: x + 6x + 4y + 8 = 0

    - Organizamos la ecuacin:

    d. x + 6x = - 4y - 8

    - Completamos el trinomio :

    e. x + 6x + (b/2) = - 4y - 8 + (b/2)x + 6x + (6/2) = - 4y - 8 + (6/2)x + 6x + 3 = - 4y - 8 + 3x + 6x + 9 = - 4y - 8 + 9x + 6x + 9 = - 4y + 1 , factorizamos.

    Luego la ecuacin cannica es: (x + 3) = -4(y - )

    De la forma: (x - h) = 4p(y - k)

    - Vrtice:(h, k)

    - h = 3

    h = - 3

    - k = - k = V(-3, )

    - Foco :F(h, k + p)

    4p = - 4 p = - 4/4 p = -1

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    F[-3, + (-1)]F(-3, - 1)F(-3, - )

    -Directriz:

    L: y = k - p y = - (-1) y = + 1 y = 5

    Ejercicio 7

    Desarrollado por: Soraida Borda Carranza

    Enunciado

    Determine la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x + 6y - 7 = 0 en elpunto P (- 4, 1).

    Solucin

    Se debe encontrar el centro y el radio del crculo, y con ellos hallar la ecuacin de la rectaque une el centro del crculo con el punto indicado en el enunciado, la perpendicular a estarecta, ser la tangente buscada.

    Primero se completan cuadrados como sigue

    El centro est ubicado en el punto (2,3), por lo cual el radio que une el centro con el puntoindicado (4, 1) tendr como pendiente m el valor

    Como la pendiente del radio que une el centro y el punto indicado es 2, entonces lapendiente de la recta tangente debe ser el inverso reciproco de ese valor, es decir que debevaler 1/2, pues la pendiente de dos rectas perpendiculares deben dar como resultado 1cuando se multiplican entre si

    Como se sabe que la pendiente de la recta buscada es 1/2, solo falta encontrar el valor delcorte con el eje y, denominado b, el cual se halla de la siguiente manera reemplazando losdatos conocidos

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    Al conocer los parmetros m y b que definen cualquier recta, se puede concluir que la recta

    buscada que pasa por el punto indicado es la recta

    Ejercicio 8

    Desarrollado por: Soraida Borda Carranza

    Enunciado

    Calcular las siguientes sumatorias

    a.

    b. Solucin

    Al utilizar las propiedades de la sumatoria se tendr,

    [ ]

    [ ]

    Al utilizar las propiedades de la sumatoria se tendr,

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    Ejercicio 9

    Desarrollado por: Soraida Borda Carranza

    Enunciado

    Calcular las siguientes productorias:

    a.

    b.

    Solucin

    Se escriben todos los factores de la productoria y se realiza la multiplicacin

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    Se escriben todos los factores de la productoria, comenzando de la ms interna hasta la msexterna y se realiza la multiplicacin

    [ ]

    [ ] [

    ] [

    ]

    Uno de los factores se hace cero, lo que ocasiona que toda la productoria se haga cero, y portanto el resultado del ejercicio es cero

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    CONCLUSIONES

    Los focos son dos puntos, y respecto a esos puntos la suma de las distancias aotro punto es una constante.

    La sumatoria, se emplea para representar una suma de muchos o llamadosinfinitos que son sumandos, su signo representativo es el y el producto deuna constante por una variable es k, que es lo mismo que la suma de lavariable.

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    BIBLIOGRAFA