Furaco Rita no Golfo do Mxico em 22 de setembro de 2005. Esse furaco atingiu o territrio americano na fronteira entre os estados do Texas e da Louisiana e causou bilhes de dlares de prejuzos por vendavais e inundaes. Embora muito mais dramtico do que as aplicaes prti-cas descritas neste livro, o furaco Rita um escoamento real de um fluido, fortemente influen-ciado pela rotao da Terra e pela temperatura do oceano. (Foto cortesia da Nasa.)

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Captulo 1Introduo

A mecnica dos fluidos o estudo dos fluidos em movimento (dinmica dos flui-dos) ou em repouso (esttica dos fluidos). Tanto os gases quanto os lquidos so classi-ficados como fluidos, e o nmero de aplicaes dos fluidos na engenharia enorme: respirao, circulao sangunea, natao, bombas, ventiladores, turbinas, avies, na-vios, rios, moinhos de vento, tubos, msseis, icebergs, motores, filtros, jatos e asperso-res, s para citar alguns exemplos. Quando pensamos nesse assunto, vemos que quase tudo neste planeta ou um fluido ou se move em um fluido ou prximo dele.

A essncia do estudo do escoamento dos fluidos um compromisso criterioso en-tre a teoria e a experimentao. Como o escoamento dos fluidos um ramo da mecni-ca, ele satisfaz a um conjunto de leis fundamentais bem definidas e, portanto, temos disponvel uma grande quantidade de tratados tericos. No entanto, a teoria frequente-mente frustrante porque ela se aplica principalmente a situaes idealizadas, que podem se tornar invlidas nos problemas prticos. Os dois principais obstculos va-lidade de uma teoria so a geometria e a viscosidade. As equaes bsicas do movi-mento dos fluidos (Captulo 4) so muito difceis para permitir ao analista estudar configuraes geomtricas arbitrrias. Assim, a maioria dos livros-texto se concentra em placas planas, tubos circulares e outras geometrias simples. possvel aplicar tc-nicas numricas computacionais a geometrias complexas, e h atualmente livros-texto especializados para explicar as novas aproximaes e mtodos da dinmica dos fluidos computacionais (CFD) [1-4]1. Este livro apresentar muitos resultados tericos, levan-do em considerao suas limitaes.

O segundo obstculo validade de uma teoria a ao da viscosidade, que s pode ser desprezada em certos escoamentos idealizados (Captulo 8). Primeiro, a viscosida-de aumenta a dificuldade das equaes bsicas, embora a aproximao de camada-limite proposta por Ludwig Prandtl em 1904 (Captulo 7) tenha simplificado bastante as an-lises de escoamentos viscosos. Segundo, a viscosidade tem um efeito desestabilizador sobre todos os fluidos, dando origem, em baixas velocidades, a um fenmeno desorde-nado e aleatrio chamado de turbulncia. A teoria do escoamento turbulento no est refinada e fortemente sustentada por experimentos (Captulo 6), contudo pode ser muito til como uma aproximao na engenharia. Este livro-texto apenas apresenta as correlaes experimentais padro para escoamento turbulento mdio no tempo. Por outro lado, h livros-texto avanados tanto sobre turbulncia e modelagem da turbu-lncia [5, 6] como sobre a nova tcnica de simulao numrica direta (direct numerical simulation DNS) da flutuao turbulenta [7, 8].

1As referncias numeradas aparecem no final de cada captulo.

1.1 Observaes preliminares

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16 Captulo 1 Introduo

H teoria disponvel para os problemas de escoamento de fluido, mas em todos os casos ela deve ser apoiada pelos experimentos. Frequentemente os dados experimen-tais so a principal fonte de informao sobre escoamentos especficos, tais como o arrasto e a sustentao em corpos imersos (Captulo 7). Felizmente, a mecnica dos fluidos um assunto altamente visual, com boa instrumentao [9-11], e o uso de con-ceitos de modelagem e de anlise dimensional (Captulo 5) est difundido. Assim, a anlise experimental proporciona um complemento natural e fcil para a teoria. Voc deve ter em mente que a teoria e a experimentao devem andar lado a lado em todos os estudos de mecnica dos fluidos.

Assim como a maioria das disciplinas cientficas, a mecnica dos fluidos tem uma histria errtica na sua evoluo inicial, seguida por uma era intermediria de descober-tas fundamentais nos sculos XVIII e XIX, levando era da prtica moderna do scu-lo XX, como costumamos chamar nosso conhecimento limitado porm atualizado. As civilizaes antigas tiveram conhecimentos suficientes para resolver certos problemas de escoamento. Navios a vela com remos e sistemas de irrigao eram conhecidos em tempos pr-histricos. Os gregos produziram informaes quantitativas. Arquimedes e Heron de Alexandria postularam a lei do paralelogramo para a soma de vetores no s-culo III a.C. Arquimedes (285212 a.C.) formulou as leis para a flutuao de corpos e as aplicou a corpos flutuantes e submersos, incluindo uma forma de clculo diferencial como parte da anlise. Os romanos construram grandes sistemas de aquedutos no s-culo IV a.C., mas no deixaram registros que nos mostrem qualquer conhecimento quantitativo dos princpios de projeto.

Desde o nascimento de Cristo at a Renascena, houve um progresso constante no projeto de sistemas de escoamento como navios e canais e condutores de gua, mas no foi registrada nenhuma evidncia de avanos fundamentais na anlise de escoa-mentos. Leonardo da Vinci (14521519) formulou a equao da conservao da massa em escoamento permanente unidimensional. Leonardo foi um excelente experimenta-lista, e suas anotaes contm descries precisas de ondas, jatos, ressaltos hidruli-cos, formao de turbilhes e projetos de dispositivos de baixo arrasto (aerodinmicos) e alto arrasto (paraquedas). Um francs, Edme Mariotte (16201684), construiu o pri-meiro tnel de vento e com ele testou modelos.

Problemas envolvendo a quantidade de movimento dos fluidos puderam finalmen-te ser analisados depois que Isaac Newton (16421727) postulou suas leis do movi-mento e a lei da viscosidade dos fluidos lineares, que agora so chamados de newtonianos. Primeiro a teoria levou hiptese de um fluido perfeito ou isento de atrito, e os matemticos do sculo XVIII (Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean dAlembert, Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace) produziram muitas solu-es belas de problemas de escoamento sem atrito. Euler, Figura 1.1, desenvolveu as equaes diferenciais de movimento e sua forma integral, conhecida por equao de Bernoulli. DAlembert as utilizou para mostrar seu famoso paradoxo: um corpo imerso em um fluido sem atrito tem arrasto nulo. Esses belos resultados se somaram at exce-der a sua validade, pois as hipteses de fluido perfeito tm aplicao muito limitada na prtica e a maior parte dos escoamentos na engenharia so dominados por efeitos de viscosidade. Os engenheiros comearam a rejeitar o que eles consideravam como uma teoria totalmente no realstica e desenvolveram a cincia chamada hidrulica, basea-da quase que integralmente em experimentos. Experimentalistas como Chzy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin e Weisbach produ-ziram dados sobre uma variedade de escoamentos em canais abertos, resistncia de embarcaes, escoamentos em tubos, ondas e turbinas. Muito frequentemente os dados eram usados em sua forma bruta sem levar em conta os fundamendos da fsica do es-coamento.

1.2 Histria e escopo da mecnica dos fluidos

Figura 1.1 Leonhard Euler (17071783) foi o maior matemtico do sculo XVIII e usou o clculo de Newton para desenvolver e resolver as equaes de movimento de um escoamento no viscoso. Ele publicou mais de 800 livros e artigos. [Cortesia da School of Mathematics and Statistics, University of St Andrew, Scotland.]

No final do sculo XIX, finalmente comeou a unificao entre a hidrulica expe-rimental e a hidrodinmica terica. William Froude (18101879) e seu filho Robert (18461924) desenvolveram leis para teste de modelos; Lord Rayleigh (18421919) props a tcnica da anlise dimensional; e Osborne Reynolds (18421912) publicou, em 1883, o clssico experimento em tubo que mostrou a importncia do adimensional nmero de Reynolds, assim denominado em sua homenagem. Enquanto isso, a teoria do escoamento viscoso foi disponibilizada, mas no explorada, desde que Navier (17851836) e Stokes (18191903) acrescentaram com sucesso termos viscosos Newtonianos s equaes de movimento. As equaes resultantes, chamadas de equa-es de Navier-Stokes, eram muito difceis de analisar para escoamentos arbitrrios. Foi ento, em 1904, que um engenheiro alemo, Ludwig Prandtl (18751953), Figura 1.2, publicou talvez o mais importante artigo j escrito sobre mecnica dos fluidos. Prandtl observou que os escoamentos de fluidos com baixa viscosidade, como os esco-amentos de gua e de ar, podem ser divididos em uma camada viscosa delgada, ou camada-limite, prxima s superfcies slidas e interfaces, ligada a uma camada exter-na que pode ser considerada no viscosa, em que so vlidas as equaes de Euler e Bernoulli. A teoria da camada-limite mostrou ser uma ferramenta muito importante na moderna anlise de escoamento. Os fundamentos do sculo XX para o atual estado da arte em mecnica dos fluidos foram estabelecidos em uma srie de experimentos e te-orias abrangentes por Prandtl e seus dois principais concorrentes e colegas, Theodore von Krmn (18811963) e Sir Geoffrey I. Taylor (18861975). Muitos dos resultados esboados aqui de um ponto de vista histrico sero naturalmente discutidos neste li-vro. Mais detalhes histricos podem ser encontrados nas Referncias 12 a 14.

Uma vez que 75% da Terra est coberta por gua e 100% por ar, o escopo da me-cnica dos fluidos vasto e faz parte da vida diria de todos os seres humanos. As ci-ncias da meteorologia, oceanografia fsica e hidrologia esto relacionadas com escoamentos de fluidos que ocorrem naturalmente, bem como os estudos mdicos da respirao e da circulao sangunea. Todos os problemas de transporte envolvem mo-vimento de fluidos, com especialidades bem desenvolvidas em aerodinmica de aero-naves e foguetes e em hidrodinmica de navios e submarinos. Quase toda a nossa energia eltrica gerada do escoamento de gua ou do escoamento de vapor atravs de turbinas geradoras. Todos os problemas de combusto envolvem movimento de fluido, assim como problemas mais clssicos de irrigao, controle de cheias, abastecimento de gua, disposio de esgotos, movimento de projteis, oleodutos e gasodutos. O objetivo deste livro apresentar conceitos fundamentais e aplicaes prticas em mecnica dos fluidos para prepar-lo para interagir tranquilamente em qualquer um desses campos es-pecializados da cincia do escoamento e estar ento preparado para acompanhar as novas tecnologias que surgirem.

A anlise do escoamento de fluidos gera muitos problemas a serem resolvidos. Este livro contm mais de 1.600 problemas propostos. A resoluo de um grande nmero desses problemas fundamental para aprender o assunto. preciso trabalhar com equaes, dados, tabelas, hipteses, sistemas de unidades e esquemas de solues. O grau de dificuldade ir variar e importante voc examinar todos os tipos de proble-mas, com ou sem as respostas no Apndice. Veja a seguir os passos recomendados para a soluo dos problemas:

1. Leia o problema e redefina-o com o seu resumo dos resultados desejados.

2. Das tabelas e grficos, obtenha os dados de propriedades necessrias: massa espe-cfica, viscosidade etc.

3. Verifique se voc entendeu o que est sendo solicitado. Os estudantes frequente-mente respondem a perguntas erradas por exemplo, presso em lugar de gra-

1.3 Tcnicas de soluo de problemas

1.3 Tcnicas de soluo de problemas 17

Figura 1.2 Ludwig Prandtl (18751953), frequentemente chamado de pai da mecnica dos fluidos moderna [15], desenvolveu a teoria da camada-limite e muitas outras anlises inovadoras. Ele e seus estudantes foram pioneiros nas tcnicas de visualizao de escoamento. [Aufnahme von Fr. Struckmeyer, Gottingen, cortesia AIP Emilio Segre Visual Archives, Lande Collection.]

18 Captulo 1 Introduo

diente de presso, fora de sustentao em lugar de fora de arrasto, ou vazo em massa em lugar de vazo em volume. Leia o problema cuidadosamente.

4. Faa um esboo detalhado e identificado do sistema ou volume de controle ne-cessrio.

5. Pense cuidadosamente e liste as suas hipteses. Voc tem de decidir se o escoa-mento permanente ou no permanente, compressvel ou incompressvel, viscoso ou no viscoso e se so necessrias equaes para volume de controle ou diferen-ciais parciais.

6. Encontre uma soluo algbrica se possvel. Depois, se for necessrio um valor numrico, use o sistema de unidades SI, que ser examinado na Seo 1.6.

7. Descreva a sua soluo, identificada, com as unidades adequadas e nmero ade-quado de dgitos significativos (usualmente dois ou trs) permitidos pela incerteza dos dados.

Seguiremos esses passos, no que forem apropriados, em nossos problemas resolvidos.

Do ponto de vista da mecnica dos fluidos, toda a matria encontra-se em so-mente dois estados, fluido e slido. A diferena entre esses dois estados perfeita-mente bvia para um leigo e um exerccio interessante pedir-lhe que expresse essa diferena em palavras. A distino tcnica entre os dois estados est na reao de cada um deles aplicao de uma tenso de cisalhamento ou tangencial. Um slido pode resistir a uma tenso de cisalhamento por uma deflexo esttica; um fluido no pode. Qualquer tenso de cisalhamento aplicada a um fluido, no importa quo pe-quena ela seja, resultar em movimento daquele fluido. O fluido escoa e se deforma continuamente enquanto a tenso de cisalhamento estiver sendo aplicada. Como co-rolrio, podemos dizer que um fluido em repouso deve estar em um estado de tenso de cisalhamento igual a zero, um estado geralmente chamado de condio de estado hidrosttico de tenso, em anlise estrutural. Nessa condio, o crculo de Mohr para a tenso se reduz a um ponto e no h nenhuma tenso de cisalhamento em qualquer corte plano passando pelo elemento sob tenso.

Dada essa definio de fluido, qualquer leigo tambm sabe que h duas classes de fluidos, lquidos e gases. Aqui novamente a distino tcnica, ligada aos efeitos das foras de coeso. Um lquido, sendo composto por molculas relativamente agrupadas com foras coesivas fortes, tende a manter seu volume e formar uma su-perfcie livre em um campo gravitacional, se no estiver confinado na parte superior. Os escoamentos com superfcie livre so dominados por efeitos gravitacionais e se-ro estudados nos Captulos 5 e 10. Como as molculas dos gases so amplamente espaadas, com foras coesivas desprezveis, um gs livre para se expandir at os limites das paredes que o confinam. Um gs no tem volume definido e, quando deixado sem confinamento, forma uma atmosfera que essencialmente hidrosttica. O comportamento hidrosttico dos lquidos e gases ser estudado no Captulo 2. Os gases no podem formar uma superfcie livre e, assim sendo, os escoamentos de gases raramente esto ligados aos efeitos gravitacionais, exceto o empuxo trmico.

A Figura 1.3 ilustra um bloco slido em repouso sobre um plano rgido e sujei-to ao seu prprio peso. O slido deforma-se em uma deflexo esttica, representada por uma linha tracejada de maneira bastante exagerada, resistindo ao cisalhamento sem escoar. Um diagrama de corpo livre do elemento A na lateral do bloco mostra que h cisalhamento no bloco ao longo de um plano de corte com um ngulo u atra-vs de A. Uma vez que os lados do bloco no so apoiados, o elemento A tem tenso zero nos lados esquerdo e direito e tenso de compresso s 5 p no topo e no

1.4 O conceito de fluido

fundo. O crculo de Mohr no se reduz a um ponto e h tenso de cisalhamento di-ferente de zero no bloco.

Ao contrrio, o lquido e o gs em repouso na Figura 1.3 requerem as paredes de apoio para eliminar a tenso de cisalhamento. As paredes exercem uma tenso de com-presso igual a p e reduzem o crculo de Mohr a um ponto com cisalhamento zero, ou seja, a condio hidrosttica. O lquido conserva seu volume e forma uma superfcie livre no recipiente. Se as paredes forem removidas, a tenso de cisalhamento se desen-volve no lquido e resulta em um grande derramamento. Se o recipiente for inclinado, novamente se desenvolve a tenso de cisalhamento, formam-se ondas, e a superfcie livre busca uma configurao horizontal, derramando por sobre a borda do recipiente se necessrio. Por outro lado, o gs fica sem restries e se expande para fora do reci-piente, ocupando todo o espao disponvel. O elemento A no gs tambm hidrostti-co e exerce uma tenso de compresso p sobre as paredes.

Na discusso anterior, foi possvel distinguir claramente entre slidos, lquidos e gases. A maioria dos problemas de mecnica dos fluidos em engenharia trata desses casos bem definidos, ou seja, os lquidos comuns como gua, leo, mercrio, gasoli-na, e lcool, e os gases comuns como ar, hlio, hidrognio e vapor nas suas faixas de temperatura e presso comuns. No entanto, h muitos casos intermedirios que voc precisa conhecer. Algumas substncias aparentemente slidas como o asfalto e o chumbo resistem tenso de cisalhamento por curtos perodos de tempo, mas na verdade se deformam lentamente e apresentam um comportamento definido de flui-do por longos perodos. Outras substncias, notadamente as misturas coloidais e de lama, resistem a pequenas tenses de cisalhamento, mas cedem a grandes tenses

Deflexoesttica

Superfcielivre

Condiohidrosttica

LquidoSlido

A A A

(a) (c)

(b) (d )

00

A A

Gs

(1)

p p

pp

p

= 0

t

qq

q2

1

= p = p

s

s

1

t

s

t

s

t

s

Figura 1.3 Um slido em repouso pode resistir tenso de cisalhamento. (a) Deflexo esttica do slido; (b) condio de equilbrio e crculo de Mohr para o elemento slido A. Um fluido no pode resistir tenso de cisalhamento. (c) Paredes de conteno so necessrias; (d) condio de equilbrio e crculo de Mohr para o elemento fluido A.

1.4 O conceito de fluido 19

20 Captulo 1 Introduo

e comeam a escoar como fluidos. H livros especializados dedicados a este estudo mais geral de deformao e escoamento, em um campo denominado reologia [16]. Alm disso, lquidos e gases podem coexistir em misturas de duas fases, tal como as misturas vapor-gua ou gua com bolhas de ar. Livros especializados apresentam a anlise desses escoamentos multifsicos [17]. Finalmente, h situaes em que a distino entre um lquido e um gs se torna nebulosa. Esse o caso que ocorre em temperaturas e presses acima do ponto chamado de ponto crtico de uma substn-cia, em que existe somente uma nica fase, com a aparncia principalmente de gs. medida que a presso aumenta muito acima do ponto crtico, a substncia com aspecto de gs torna-se to densa que h uma semelhana com um lquido, e as apro-ximaes termodinmicas usuais, como a lei dos gases perfeitos, tornam-se impreci-sas. A temperatura e a presso crticas da gua so Tc 5 647 K e pc 5 219 atm (atmosferas2), de modo que os problemas tpicos envolvendo gua e vapor esto abaixo do ponto crtico. O ar, sendo uma mistura de gases, no tem um ponto crtico preciso, mas seu componente principal, o nitrognio, tem Tc 5 126 K e pc 5 34 atm. Portanto os problemas tpicos envolvendo o ar esto no intervalo de alta temperatura e baixa presso em que o ar , sem dvida nenhuma, um gs. Este livro aborda so-mente os lquidos e gases claramente identificveis, e os casos-limite discutidos an-teriormente esto alm do nosso escopo.

J usamos termos tcnicos do tipo presso e massa especfica do fluido sem uma discusso rigorosa de suas definies. At onde sabemos, os fluidos so agregaes de molculas, amplamente espaadas para um gs e pouco espaadas para um lquido. A distncia entre molculas muito grande comparada com o dimetro molecular. As molculas no esto fixas em uma estrutura, mas movem-se livremente umas em rela-o s outras. Dessa maneira a massa especfica do fluido, ou massa por unidade de volume, no tem um significado preciso porque o nmero de molculas que ocupam um dado volume varia continuamente. Esse efeito torna-se sem importncia se a uni-dade de volume for grande, comparada com, digamos, o cubo do espaamento mole-cular, quando o nmero de molculas dentro do volume permanece aproximadamente constante, apesar do enorme intercmbio de partculas atravs das fronteiras. No en-tanto, se a unidade de volume escolhida for muito grande, poder haver uma variao notvel na agregao global das partculas. Essa situao ilustrada na Figura 1.4, na qual a massa especfica calculada por meio da massa molecular dm dentro de um dado volume d plotada em grfico em funo do tamanho da unidade de volume. H um volume-limite d* abaixo do qual as variaes moleculares podem ser impor-

1.5 O fluido como um meio contnuo

Figura 1.4 A definio-limite de massa especfica de um fluido contnuo: (a) um volume elementar em uma regio do fluido de massa especfica contnua varivel; (b) massa especfica calculada em funo do tamanho do volume elementar.

2Uma atmosfera (atm) igual a 101.300 Pa.

Incerteza microscpica

Incerteza macroscpica

0

1200d

d * 10-9 mm3

Volume elementar

Regio contendo fluido

= 1000 kg/m3

= 1100

= 1200

= 1300

(a) (b)

r

r

r

r

r d

tantes e acima do qual as variaes de agregaes podem ser importantes. A massa especfica r de um fluido mais bem definida como

r =d d

dd *

limm (1.1)

O volume-limite d* aproximadamente 109 mm3 para todos os lquidos e para os gases presso atmosfrica. Por exemplo, 109 mm3 de ar nas condies padro contm aproximadamente 3 107 molculas, que so suficientes para definir uma massa especfica aproximadamente constante de acordo com a Equao (1.1). A maio-ria dos problemas de engenharia trabalha com dimenses fsicas muito maiores do que esse volume-limite, de maneira que a massa especfica essencialmente uma funo pontual e as propriedades do fluido podem ser consideradas variando continuamente no espao como est representado na Figura 1.4a. Tal fluido chamado meio contnuo, que simplesmente significa que a variao de suas propriedades to suave que o cl-culo diferencial pode ser usado para analisar a substncia. Vamos supor que o clculo de meio contnuo seja vlido para todas as anlises neste livro. Uma vez mais, h ca-sos-limite para gases a presses to baixas que o espaamento molecular e o livre ca-minho mdio das molculas3 so comparveis a, ou maiores que, o tamanho fsico do sistema. Isso requer que a aproximao de meio contnuo seja abandonada em favor de uma teoria molecular do escoamento de gases rarefeitos [18]. Em princpio, todos os problemas de mecnica dos fluidos podem ser abordados do ponto de vista molecular, mas no faremos essa tentativa aqui. Note que o uso do clculo de meio contnuo no impede a possibilidade de saltos descontnuos nas propriedades do fluido atravs de uma superfcie livre ou interface do fluido ou atravs de uma onda de choque em um fluido compressvel (Captulo 9). Nosso clculo na anlise do escoamento de fluidos deve ser flexvel o bastante para lidar com condies de contorno descontnuas.

Uma dimenso a medida pela qual uma varivel fsica expressa quantitativamente. Uma unidade um modo particular de ligar um nmero dimenso quantitativa. Assim o comprimento uma dimenso associada a variveis como distncia, deslo-camento, largura, deflexo e altura, enquanto centmetros e polegadas so ambas unidades numricas para expressar o comprimento. A dimenso um conceito pode-roso sobre o qual foi desenvolvida uma esplndida ferramenta chamada anlise di-mensional (Captulo 5), enquanto as unidades so os valores numricos que o cliente quer como resposta final.

Em 1872 uma reunio internacional na Frana props um tratado chamado Con-veno Mtrica, assinado em 1875 por 17 pases, inclusive os Estados Unidos. Repre-sentou um avano sobre os sistemas britnicos porque o uso que ele faz da base decimal o fundamento do nosso sistema numrico, aprendido desde a infncia por todos ns. Os problemas ainda persistem porque at mesmo os pases que adotam o sistema m-trico diferiram no uso de quilogramas-fora em lugar de Newtons, quilogramas em lugar de gramas, ou calorias em lugar de joule. Para padronizar o sistema mtrico, a Conferncia Geral de Pesos e Medidas, realizada em 1960 por 40 pases, props o Sistema Internacional de Unidades (SI). Estamos agora passando por um penoso per-odo de transio para o SI, um ajuste que pode levar ainda mais alguns anos para se completar. As sociedades profissionais tm conduzido o trabalho. Desde 1o de julho de 1974, esto sendo exigidas unidades do SI para todos os artigos publicados pela

1.6 Dimenses e unidades

3A distncia mdia percorrida pelas molculas entre colises (veja o Problema P1.5).

1.6 Dimenses e unidades 21

22 Captulo 1 Introduo

American Society of Mechanical Engineers (ASME), e h um livro-texto para expli-car o SI [19]. Sero usadas unidades do SI em praticamente todo este livro.

Em mecnica dos fluidos h apenas quatro dimenses primrias das quais todas as outras podem ser derivadas: massa, comprimento, tempo e temperatura.4 Essas dimenses e suas unidades em ambos os sistemas so dadas na Tabela 1.1. Note que a unidade kelvin no usa o smbolo de grau. As chaves ao redor de um smbolo, como em {M}, significam a dimenso da massa. Todas as outras variveis em mecnica dos fluidos podem ser ex-pressas em termos de {M}, {L}, {T}, e {}. Por exemplo, a acelerao tem as dimenses {LT 2}. A mais crucial dessas dimenses secundrias a fora, que est diretamente rela-cionada com massa, comprimento e tempo pela segunda lei de Newton. A fora igual taxa de variao da quantidade de movimento com o tempo, ou, para massa constante,

F 5 ma (1.2)

Por meio dessa relao vemos que, dimensionalmente, {F} 5 {MLT 2}.

O uso de uma constante de proporcionalidade na lei de Newton, Equao (1.2), evitado definindo-se a unidade de fora exatamente em termos das outras unidades bsicas. No sistema SI, as unidades bsicas so newtons {F}, quilogramas {M}, me-tros {L} e segundos {T}. Definimos

1 newton de fora 5 1 N 5 1 kg 1 m/s2

O newton uma fora relativamente pequena, aproximadamente igual ao peso de uma ma. Alm disso, a unidade bsica de temperatura {} no sistema SI o grau Kelvin, K. O uso dessas unidades do SI (N, kg, m, s, K) no necessitar de fatores de converso em nossas equaes.

No sistema BG tambm evitada uma constante de proporcionalidade na Equao (1.2), definindo-se a unidade de fora exatamente em termos das outras unidades bsi-cas. No sistema BG, as unidades bsicas so libra-fora {F}, slugs {M}, ps {L} e segundos {T}. Definimos

1 libra-fora 5 1 lbf 5 1 slug 1 ft/s2

Uma lbf < 4,4482 N e tem o peso aproximado de 4 mas. Usa-se a abreviatura lbf para libra-fora e lbm para libra-massa. O slug uma massa razoavelmente grande, igual a 32,174 lbm. A unidade bsica de temperatura {} no sistema BG o grau Rankine, R. Lembre-se de que uma diferena de temperatura de 1 K 5 1,8 R. O uso

Dimenses primrias

O Sistema Internacional (SI)

O sistema britnico gravitacional (BG)

Tabela 1.1 Dimenses primrias nos sistemas SI e BG

Dimenso primria Unidade no SI Unidade no BG Fator de converso

Massa {M} Quilograma (kg) Slug 1 slug 5 14,5939 kg

Comprimento {L} Metro (m) P (ft) 1 ft 5 0,3048 m

Tempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s 5 1 s

Temperatura {} Kelvin (K) Rankine (R) 1 K 5 1,8R

4Se os efeitos eletromagnticos so importantes, uma quinta dimenso primria deve ser includa, trata-se da corrente eltrica {I}, cuja unidade no SI o ampre (A).

dessas unidades BG (lbf, slug, ft, s, R) no requer fatores de converso em nossas equaes. O presente livro far uso, na sua quase integralidade, do sistema SI, que o sistema de unidades oficial no Brasil e em Portugal.

H outros sistemas de unidades ainda em uso. Pelo menos um deles no necessita de constante de proporcionalidade: o sistema CGS (dina, grama, cm, s, K). No entanto, as unidades CGS so muito pequenas para a maioria das aplicaes (1 dina 5 105 N) e no sero usadas neste livro.

Nos Estados Unidos, alguns ainda usam o sistema ingls de Engenharia (lbf, lbm, ft, s, R), no qual a unidade bsica de massa a libra-massa. A lei de Newton (1.2) deve ser reescrita como:

Fa= =

mg

gc

c, ,em que 32 174 2ft lbmlbf s (1.3)

A constante de proporcionalidade, gc, tem dimenses e um valor numrico no igual a 1.

Na engenharia e na cincia, todas as equaes devem ser dimensionalmente homo-gneas, isto , cada termo aditivo em uma equao tem de ter as mesmas dimenses. Por exemplo, considere a equao de Bernoulli para escoamentos incompressveis, a ser estudada e utilizada neste livro:

p V gZ+ + =12

2r r constante

Cada um dos termos individuais nessa equao deve ter as dimenses de presso {ML1T 2}. Examinaremos a homogeneidade dimensional dessa equao em detalhe no Exemplo 1.3.

A Tabela 1.2 apresenta uma lista de algumas variveis secundrias importantes na mecnica dos fluidos, com dimenses derivadas como combinaes das quatro dimen-ses primrias. No Apndice C h uma lista mais completa dos fatores de converso.

Dimenso secundria Unidade no SI Unidade no BG Fator de converso

rea {L2} m2 ft2 1 m2 5 10,764 ft2

Volume {L3} m3 ft3 1 m3 5 35,315 ft3

Velocidade {LT 1} m/s ft/s 1 ft/s 5 0,3048 m/s

Acelerao {LT 2} m/s2 ft/s2 1 ft/s2 5 0,3048 m/s2

Presso ou tenso {ML1T 2} Pa 5 N/m2 lbf/ft2 1 lbf/ft2 5 47,88 Pa

Velocidade angular {T 1} s1 s1 1 s1 5 1 s1

Energia, calor, trabalho {ML2T 2} J 5 N m ft lbf 1 ft lbf 5 1,3558 J

Potncia {ML2T 3} W 5 J/s ft lbf/s 1 ft lbf/s 5 1,3558 W

Massa especfica {ML3} kg/m3 slugs/ft3 1 slug/ft3 5 515,4 kg/m3

Viscosidade {ML1T 1} kg/(m s) slugs/(ft s) 1 slug/(ft s) 5 47,88 kg/(m s)

Calor especfico {L2T 2 1} m2/(s2 K) ft2/(s2 R) 1 m2/(s2 K) 5 5,980 ft2/(s2 R)

Outros sistemas de unidades

O princpio da homogeneidade dimensional

Tabela 1.2 Dimenses secundrias em mecnica dos fluidos

1.6 Dimenses e unidades 23

24 Captulo 1 Introduo

EXEMPLO 1.1

Um corpo pesa 1.000 lbf quando submetido gravidade padro da Terra, cujo valor g 5 32,174 ft/s2. (a) Qual sua massa em kg? (b) Qual ser o peso desse corpo em N se ele estiver submetido gravidade da Lua, em que gLua 5 1,62 m/s

2? (c) Com que rapidez o corpo ir ace-lerar se uma fora de 400 lbf for aplicada a ele na Lua ou na Terra?

Soluo

Precisamos encontrar os valores (a) massa; (b) peso na Lua; e (c) acelerao desse corpo. Esse um problema razoavelmente simples de fatores de converso para diferentes sistemas de unidades. No necessrio nenhum dado de propriedades. O exemplo simples, no sendo necessrio nenhum esquema para representar.

Aplica-se a lei de Newton (1.2) a um peso e uma acelerao gravitacional conhecidos. Resol-vendo-a em relao a m:

F W mg m= = = = = =1000 32 174 100032 174

312 2lbf f s oulbfft s

( )( , / ,, /

,m 008 slugst )

Convertendo em quilogramas:

m 5 31,08 slugs 5 (31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) 5 454 kg Resposta (a)

A massa do corpo permanece 454 kg independentemente de sua localizao. A Equao (1.2) aplicada a uma nova acelerao gravitacional d origem a um novo peso:

F 5 WLua 5 mgLua 5 (454 kg)(1,62 m/s2) 5 735 N Resposta (b)

Esta parte no envolve peso, gravidade ou localizao. Ela simplesmente uma aplicao da lei de Newton a uma massa e uma fora conhecidas:

F 5 400 lbf 5 ma (31,08 slugs) a

Resolvendo tem-se:

a = = =

400 lbf31 08

12 87 0 3048 3 922 2,, , ,

slugsfts

mft

ms

Resposta (c)

Comentrio (c): Essa acelerao seria a mesma na Terra, na Lua ou em qualquer outro lugar.

Parte (a)

Parte (b)

Parte (c)

Muitos dados na literatura so fornecidos em unidades inconvenientes ou misterio-sas adequadas somente a algum tipo especial de atividade, especialidade ou pas. O engenheiro dever converter esses dados nos sistemas SI ou BG antes de us-los. Isso requer a aplicao sistemtica de fatores de converso, como no exemplo a seguir.

EXEMPLO 1.2

Indstrias envolvidas na medida de viscosidade [27, 36] continuam usando o sistema CGS de unidades, pois centmetros e gramas resultam em nmeros convenientes para muitos fluidos. A unidade da viscosidade absoluta (m) o poise, que recebeu esse nome em homenagem a J. L. M. Poiseuille, um mdico francs que em 1840 realizou experimentos pioneiros com esco-amento de gua em tubos; 1 poise 5 1 g/(cm.s). A unidade da viscosidade cinemtica () o stokes, que recebeu esse nome em homenagem a G. G. Stokes, um fsico britnico que em 1845 ajudou a desenvolver as equaes diferenciais parciais bsicas da quantidade de movimento

dos fluidos; 1 stokes 5 1 cm2/s. A gua a 20 C tem m < 0,01 poise e tambm < 0,01 stokes. Expresse esses resultados em unidades do (a) SI e do (b) BG.

Soluo

Abordagem: Converta gramas em kg ou slugs e converta centmetros em metros ou ps.Valores das propriedades: Dado m 5 0,01 g/(cm s) e 5 0,01 cm2/s.Passos da soluo: (a) Para converso em unidades do SI,

m =

= =

=

0 01 0 01 1 1 0000 01 m/cm)s

0 001, , ( / . )( ,

,gcm s

g kg gcm

kgm s

v 0,011cm2

scm2(0,01 m/cm)2

sms

= =0 01 0 0000012

, , Resposta (a)

Para converso em unidades do BG

m =

=0,01 g

cm s0 01 1 1 000 1 14 5939, ( / . )( / , )

(0,01 m /cm)(1 ft / 0,3048 m)sg kg g slug kg 0 0000209

0 01

slugft s

cm2(0,01 m /cm)2 (1 ft / 0,3048 m2)

,

,

=

= =v 0,01cms

2

sfts

,2

0 0000108=

Resposta (b)

Comentrios: Essa foi uma converso trabalhosa que poderia ter sido abreviada usando-se os fatores de converso direta de viscosidade do Apndice C. Por exemplo, mBG 5 mSI/47,88.

Parte (a)

Parte (b)

Repetimos nosso conselho: ao trabalhar com dados em unidades no usuais, converta-os imediatamente em unidades do SI ou do BG porque (1) uma maneira mais profissional de trabalhar e (2) as equaes tericas da mecnica dos fluidos so dimensionalmente consistentes e no requerem outros fatores de converso quando so usados esses dois sistemas fundamentais de unidades, como ilustra o exem-plo a seguir.

EXEMPLO 1.3

Uma equao terica til para calcular a relao entre presso, velocidade e altitude em um es-coamento permanente de um fluido considerado no viscoso e incompressvel com transferncia de calor e trabalho mecnico desprezveis5 a relao de Bernoulli, que recebeu esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, que publicou um livro sobre hidrodinmica em 1738:

p p V012

2= + +r rgZ (1)

em que p0 = presso de estagnao p = presso no fluido em movimento V = velocidade r = massa especfica Z = altitude g = acelerao da gravidade

5H uma grande quantidade de hipteses, que sero mais bem estudadas no Captulo 3.

1.6 Dimenses e unidades 25

26 Captulo 1 Introduo

(a) Mostre que a Equao (1) satisfaz o princpio de homogeneidade dimensional, que afirma que todos os termos aditivos em uma equao fsica devem ter as mesmas dimenses. (b) Mos-tre que resultam unidades consistentes, sem fatores de converso adicionais, em unidades do SI. (c) Repita o item (b) para unidades do BG.

Soluo

Podemos expressar a Equao (1) dimensionalmente, usando chaves, escrevendo as dimenses de cada termo da Tabela 1.2:

{ML1T 2} = {ML1T 2} 1 {ML3} {L2T 2} 1 {ML3} {LT 2} {L}

= {ML1T 2} para todos os termos Resposta (a)

Escreva as unidades do SI da Tabela 1.2 para cada grandeza:

{N/m2} = {N/m2} 1 {kg/m3} {m2/s2} 1 {kg/m3} {m/s2} {m} = {N/m2} 1 {kg/(m s2)}

O lado direito da expresso parece incorreto at lembrarmos da Equao (1.3), em que 1 kg 5 1 N s2/m.

{ /( )} {N s2/m}

{ }{N/m}2kg m s

m s =

=2 2 Resposta (b)

Assim todos os termos da equao de Bernoulli tero unidades pascals, ou newtons por metro quadrado, quando forem usadas as unidades do SI. No so necessrios fatores de converso, o que verdadeiro para todas as equaes tericas na mecnica dos fluidos.

Introduzindo as unidades do BG para cada termo, temos

{lbf/ft2} 5 {lbf/ft2} 1 {slugs/ft3} {ft2/s2} 1 {slugs/ft3} {ft/s2} {ft} = {lbf/ft2} 1 {slugs/(ft s2)}

Mas, pela Equao (1.3), 1 slug 5 1 lbf s2/ft, de maneira que

{ /( )}{lbf s2/ft}

{ }{lbf / ft2}slugs ft s

ft s =

=2 2 Resposta (c)

Todos os termos tem unidade de libra-fora por p quadrado. No so necessrios fatores de converso no sistema BG tambm.

Parte (a)

Parte (b)

Parte (c)

H ainda uma tendncia, nos pases de lngua inglesa, de usar libra-fora por pole-gada quadrada como unidade de presso porque os nmeros so mais convenientes. Por exemplo, a presso atmosfrica padro 14,7 lbf/in2 5 2.116 lbf/ft2 5 101.300 Pa. O pascal uma unidade pequena porque o newton menos do que 14 lbf e um metro qua-drado uma rea muito grande.

Note que no somente todas as equaes da mecnica (dos fluidos) devem ser dimen-sionalmente homogneas, mas se deve tambm usar unidades consistentes; isto , cada termo aditivo deve ter as mesmas unidades. No h nenhuma dificuldade nisso usando-se os sistemas SI e BG, como no Exemplo 1.3, mas h problemas para aqueles que experi-mentam misturar unidades inglesas coloquiais. Por exemplo, no Captulo 9, usamos fre-quentemente a hiptese de escoamento permanente compressvel adiabtico de um gs:

h V+ =122 constante

Unidades consistentes

em que h a entalpia do fluido e V 2/2 a sua energia cintica por unidade de massa. As tabelas termodinmicas coloquiais costumam fornecer h em unidades trmicas bri-tnicas por libra-massa (Btu/lb), ao passo que V comumente fornecida em ft/s. completamente errado adicionar Btu/lb a ft2/s2. A unidade apropriada para h neste caso ft lbf/slug, que idntica a ft2/s2. O fator de converso 1 Btu/lb < 25.040 ft2/s2 5 25.040 ft lbf/slug.

Todas as equaes tericas em mecnica (e em outras cincias fsicas) so dimen-sionalmente homogneas; isto , cada termo aditivo da equao tem as mesmas dimen-ses. No entanto, o leitor deve estar ciente de que muitas frmulas empricas na literatura da engenharia, resultantes principalmente das correlaes de dados, so di-mensionalmente inconsistentes. Suas unidades no podem ser harmonizadas sim-plesmente e alguns termos podem conter variveis ocultas. Um exemplo a frmula que os fabricantes de vlvulas hidrulicas citam para a vazo volumtrica de lquido Q (m3/s) atravs de uma vlvula parcialmente aberta:

Q C pdV

=

D 1 2/

na qual p a queda de presso na vlvula e d a densidade do lquido (a relao entre a massa especfica do lquido e a massa especfica da gua). A grandeza CV o coefi-ciente de vazo da vlvula, que os fabricantes apresentam em tabelas nos catlogos das vlvulas. Como d adimensional {1}, vemos que essa frmula totalmente inconsis-tente, tendo um lado a dimenso de vazo {L3/T} e o outro lado a raiz quadrada de uma diferena de presso {M1/2/L1/2T}. Conclui-se que CV tem de ter dimenses, e elas so bem estranhas: {L7/2/M1/2}. A resoluo dessa discrepncia no fica muito clara, embo-ra se saiba que os valores de CV na literatura aumentam linearmente com o quadrado do tamanho da vlvula. A apresentao de dados experimentais em forma homognea o assunto da anlise dimensional (Captulo 5). L iremos aprender que uma forma homognea para a relao de vazo em uma vlvula

Q C A pd=

abertura

Dr

1 2/

em que r a massa especfica do lquido e A a rea da abertura da vlvula. O coefi-ciente de descarga Cd adimensional e s varia ligeiramente com o tamanho da vlvu-la. Acredite at discutirmos o fato no Captulo 5 que essa ltima expresso uma formulao muito melhor dos dados.

Ao mesmo tempo, conclumos que equaes dimensionalmente inconsistentes, que ocorrem na prtica da engenharia, so confusas e vagas e at mesmo perigosas, no sentido de que elas frequentemente so mal usadas fora do seu campo de aplicao.

Os resultados na engenharia frequentemente so muito pequenos ou muito grandes para as unidades comuns, com muitos zeros de um modo ou de outro. Por exemplo, para escrever p 5 114.000.000 Pa, temos um nmero longo e inconveniente. Usando o prefixo M para representar 106, convertemos esse nmero em p 5 114 MPa (mega-pascals), muito mais simples. Da mesma forma, t 5 0,000000003 s um pesadelo para quem estiver lendo este livro, comparado com o equivalente t 5 3 ns (nanossegundos). Esses prefixos so comuns e convenientes, tanto no sistema SI quanto no BG. A Tabe-la 1.3 traz uma lista completa.

Equaes homogneas versus equaes dimensionalmente inconsistentes

Prefixos convenientes em potncias de 10

Tabela 1.3 Prefixos convenientes para unidades de engenharia

Fator multiplicativo Prefixo Smbolo

1012 tera T109 giga G106 mega M103 quilo k102 hecto h10 deca da

101 deci d102 centi c103 mili m106 micro m109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a

1.6 Dimenses e unidades 27

28 Captulo 1 Introduo

EXEMPLO 1.4

Em 1890, Robert Manning, um engenheiro irlands, props a seguinte frmula emprica para a velocidade mdia V em escoamento uniforme devido ao da gravidade em um canal aberto (unidades do BG):

Vn

R S= 1,49 2/3 1/2 (1)

em quem R = raio hidrulico do canal (Captulos 6 e 10) S = declividade do canal (tangente do ngulo que o fundo do canal faz com a ho-rizontal) n = fator de rugosidade de Manning (Captulo 10)

e n uma constante para uma dada condio da superfcie das paredes e do fundo do canal. (a) A frmula de Manning dimensionalmente consistente? (b) A Equao (1) comumente considerada vlida em unidades BG com n considerado como adimensional. Reescreva-a na forma do SI.

Soluo

Hiptese: A declividade S do canal a tangente de um ngulo e, portanto, uma relao adimensional com a notao {1} isto , no contendo M, L ou T.Abordagem (a): Reescreva as dimenses de cada termo na equao de Manning, usando chaves { }:

{ }V nR S L

T nL=

1,49 = l{ }{ } , { }{ }/ / /2 3 1 2 2 31 49ou

Essa frmula incompatvel a menos que {1,49/n} 5 {L1/3/T}. Se n adimensional (e ele nunca mencionado com unidades nos livros-texto), o nmero 1,49 tem de ter as dimenses de {L1/3/T}. Resposta ( )

Comentrio (a): Frmulas com coeficientes numricos com unidades podem ser desastro-sas para engenheiros que trabalhem em um sistema diferente ou com outro fluido. A frmula de Manning, embora popular, inconsistente tanto dimensionalmente quanto fisicamente e vlida somente para escoamento de gua com certa rugosidade nas paredes. Os efeitos de viscosidade e densidade da gua esto ocultos no valor numrico 1,49.

Abordagem (b): A parte (a) mostrou que 1,49 tem dimenses. Se a frmula for vlida nas unidades do BG, ento ele deve ser igual a 1,49 ft1/3/s. Usando a converso no SI no compri-mento, obtemos

(1,49 ft1/3/s)(0,3048m/ft)1/3 5 1,00 m1/3/s

Portanto a frmula inconsistente de Manning muda sua forma quando convertida no sistema SI:

unidades do SI: = 1,0VnR S2 3 1 2/ / Resposta (b)

com R em metros e V em metros por segundo.Comentrio (b): Na verdade, ns o enganamos: essa a maneira como Manning, um usurio do sistema mtrico, props inicialmente a frmula. Depois ela foi convertida em unidades do BG. Essas frmulas dimensionalmente inconsistentes so perigosas e devem ser reanalisadas ou tratadas como frmulas de aplicao muito limitada.

Em uma dada situao de escoamento, a determinao, por experimento ou teoria, das propriedades do fluido em funo da posio e do tempo considerada a soluo do problema. Em quase todos os casos, a nfase est na distribuio espao-tempo das propriedades do fluido. Raramente se d ateno ao destino das partculas especficas de fluido6. Esse tratamento das propriedades como funes de campo contnuas distin-gue a mecnica dos fluidos da mecnica dos slidos, na qual estamos mais interessados nas trajetrias das partculas individuais ou nos sistemas.

H dois pontos de vista diferentes na anlise de problemas em mecnica. O primei-ro, apropriado mecnica dos fluidos, preocupa-se com o campo de escoamento e chamado de mtodo euleriano de descrio. No mtodo euleriano, calculamos o cam-po de presso p(x, y, z, t) do padro de escoamento, no as variaes de presso p(t) que uma partcula experimenta quando ela se move no campo.

O segundo mtodo, que segue uma partcula individual movendo-se no escoamen-to, chamado de descrio lagrangiana. A abordagem lagrangiana, que mais apro-priada mecnica dos slidos, no ser tratada neste livro. No entanto, certas anlises numricas de escoamentos de fluidos claramente delimitados, tais como o movimento de gotas isoladas de fluido, so efetuadas muito convenientemente em coordenadas lagran-gianas [1].

Medidas fluidodinmicas so igualmente adequadas ao sistema euleriano. Por exemplo, quando uma sonda de presso introduzida em um escoamento em laborat-rio, ela fixada em uma posio especfica (x, y, z). Sua resposta contribui assim para a descrio do campo euleriano de presso p(x, y, z, t). Para simular a medida lagran-giana, a sonda deveria mover-se a jusante com as velocidades das partculas de fluido; isso feito algumas vezes em medidas oceanogrficas, em que os medidores de vazo se deslocam com as correntes principais.

As duas diferentes descries podem ser comparadas na anlise do fluxo de trfego ao longo de uma rodovia. Pode-se selecionar um certo trecho da rodovia para estudo, considerado campo de fluxo. Obviamente, com o passar do tempo, vrios carros entra-ro e sairo do campo, e a identidade dos carros especficos dentro do campo estar mudando constantemente. O engenheiro de trfego ignora carros especficos e concen-tra-se na sua velocidade mdia como uma funo do tempo e da posio dentro do campo, mais a taxa de fluxo ou o nmero de carros por hora que passam por uma dada seo da rodovia. Esse engenheiro est usando uma descrio euleriana do fluxo do trfego. Outros pesquisadores, como a polcia ou os socilogos, podem estar interessa-dos na trajetria, ou na velocidade, ou no destino de carros especficos no campo. Se-guindo um carro especfico em funo do tempo, eles esto usando uma descrio lagrangiana do fluxo.

Em primeiro lugar entre as propriedades de um escoamento est o campo de velo-cidade V(x, y, z, t). Na verdade, determinar a velocidade frequentemente equivale a resolver um problema de escoamento, uma vez que outras propriedades derivam dire-tamente do campo de velocidade. O Captulo 2 dedicado ao clculo do campo de presso uma vez conhecido o campo de velocidade. Livros sobre transferncia de calor (por exemplo, Referncia 20) dedicam-se a determinar o campo de temperatura com base em campos de velocidade conhecidos.

1.7 Propriedades do campo de velocidade

Descries euleriana e lagrangiana

O campo de velocidade

6Um exemplo em que as trajetrias de partculas de fluido so importantes na anlise da qualidade da gua quando se trata de descargas de contaminantes.

1.7 Propriedades do campo de velocidade 29

30 Captulo 1 Introduo

Em geral, a velocidade uma funo vetorial da posio e do tempo e, portanto, tem trs componentes u, v e w, sendo cada um deles um campo escalar:

V(x,y,z,t) 5 iu(x,y,z,t) 1 jv(x,y,z,t) 1 kw(x,y,z,t) (1.4)

O uso de u, v e w em lugar da notao mais lgica de componente Vx, Vy, e Vz resul-tado de uma prtica consolidada em mecnica dos fluidos. Grande parte deste livro, especialmente os Captulos 4, 7, 8 e 9, trata de encontrar a distribuio do vetor velo-cidade V para uma variedade de escoamentos prticos.

Embora o campo de velocidade V seja a propriedade mais importante de um flui-do, ele interage estreitamente com as propriedades termodinmicas do fluido. J intro-duzimos na discusso as trs propriedades mais comuns:

1. Presso p2. Massa especfica r3. Temperatura T

Essas trs propriedades so companheiras constantes do vetor velocidade nas anlises de escoamento. H outras quatro propriedades termodinmicas intensivas que se tornam importantes quando se trata com balanos de trabalho, calor e energia (Captulos 3 e 4):

4. Energia interna 5. Entalpia h 5 1 p/r6. Entropia s7. Calores especficos cp e cv

Alm disso, efeitos de atrito e conduo de calor so regidos por duas propriedades chamadas de propriedades de transporte:

8. Coeficiente de viscosidade m9. Condutividade trmica k

Essas nove grandezas so todas verdadeiras propriedades termodinmicas, determina-das pela condio termodinmica ou de estado do fluido. Por exemplo, para uma subs-tncia de fase nica, tal como a gua ou o oxignio, duas propriedades bsicas, como a presso e a temperatura, so suficientes para fixar o valor de todas as outras:

r 5 r(p, T) h 5 h(p, T) m 5 m(p, T) (1.5)

e assim por diante para todas as grandezas da lista. Note que o volume especfico, to importante em anlises termodinmicas, omitido aqui em favor do seu inverso, a massa especfica r.

Lembre-se de que as propriedades termodinmicas descrevem o estado de um sis-tema isto , uma poro de matria de identidade fixa que interage com suas vizi-nhanas. Aqui, na maioria dos casos, o sistema ser um pequeno elemento de fluido e todas as propriedades sero consideradas propriedades contnuas do campo de escoa-mento: r 5 r(x, y, z, t) e assim por diante.

Lembre-se tambm de que a termodinmica normalmente se ocupa com sistemas estticos, ao passo que os fluidos usualmente esto em movimento variado com pro-priedades variando constantemente.

1.8 Propriedades termodinmicas de um fluido

As propriedades conservam seu significado em um escoamento que tecnicamente no est em equilbrio? A resposta sim, de um ponto de vista estatstico. Em gases presso normal (e mais ainda para lquidos), ocorre uma quantidade enorme de coli-ses moleculares em uma distncia muito pequena, da ordem de 1 mm, de modo que um fluido sujeito a mudanas bruscas rapidamente se ajusta ao equilbrio. Conside-ramos ento que todas as propriedades termodinmicas listadas anteriormente exis-tem como funes de ponto em um fluido escoando e seguem todas as leis e relaes do estado de equilbrio comum da termodinmica. Existem, naturalmente, importan-tes efeitos de no equilbrio, tais como as reaes qumicas e nucleares em fluidos es-coando, que no so tratados neste livro.

Presso a tenso (de compresso) em um ponto no fluido esttico (Figura 1.3). Junto com a velocidade, a presso p a mais importante varivel dinmica em mecnica dos fluidos. Diferenas ou gradientes de presso geralmente causam o escoamento do fluido, especialmente em dutos. Em escoamentos a baixa velocidade, a intensidade real da presso nem sempre importante, a menos que caia a um valor to baixo que cause a formao de bolhas de vapor no lquido. Por convenincia, tratamos muitos dos proble-mas propostos em nvel de 1 atm 5 101.300 Pa. No entanto, os escoamentos de gs a alta velocidade (compressvel) (Captulo 9) so realmente sensveis ao valor da presso.

A temperatura T uma medida do nvel da energia interna de um fluido. Ela pode variar consideravelmente durante um escoamento em alta velocidade de um gs (Cap-tulo 9). Embora os engenheiros usem frequentemente as escalas Celsius ou Fahrenheit por convenincia, muitas aplicaes neste texto requerem escalas de temperatura ab-soluta (Kelvin ou Rankine):

R 5 F 1 459,69 K 5 C 1 273,16

Se as diferenas de temperatura forem grandes, a transferncia de calor pode ser im-portante [20], mas nossa preocupao aqui principalmente com os efeitos dinmi-cos.

A massa especfica de um fluido, representada por r (letra grega r minscula), a sua massa por unidade de volume. A massa especfica muito varivel em gases e au-menta quase proporcionalmente com a presso. A massa especfica dos lquidos qua-se constante; a massa especfica da gua (aproximadamente 1.000 kg/m3) aumenta somente 1% se a presso for aumentada por um fator de 220. Dessa maneira, a maioria dos escoamentos de lquidos tratada analiticamente como aproximadamente incom-pressvel.

Em geral, os lquidos so cerca de trs ordens de grandeza mais densos que os gases presso atmosfrica. O lquido comum mais pesado o mercrio, e o gs mais leve o hidrognio. Compare suas massas especficas a 20 C e 1 atm:

Mercrio: r 5 13.580 kg/m3 Hidrognio: r 5 0,0838 kg/m3

Elas diferem em um fator de 162.000! Assim, os parmetros fsicos em vrios escoa-mentos de lquidos e gases podem variar consideravelmente. As diferenas geralmente so resolvidas pelo uso da anlise dimensional (Captulo 5). Outras massas especficas de fluidos esto listadas nas Tabelas A.3 e A.4 (no Apndice A) e na Referncia 21.

Presso

Temperatura

Massa especfica

1.8 Propriedades termodinmicas de um fluido 31

32 Captulo 1 Introduo

O peso especfico de um fluido, representado por g (letra grega gama minscula), seu peso por unidade de volume. Assim como a massa tem um peso P 5 mg, a massa especfica e o peso especfico so simplesmente relacionados pela gravidade:

g 5 rg (1.6)

As unidades de g so peso por unidade de volume, em lbf/ft3 ou N/m3. Na gravidade padro da Terra, g 5 9,807 m/s2. Assim, por exemplo, os pesos especficos do ar e da gua a 20C e 1 atm so aproximadamente

gar 5 (1.205 kg/m3)(9.807 m/s2) 5 11,8 N/m3

ggua 5 (998 kg/m3)(9.807 m/s2) 5 9.790 N/m3

O peso especfico muito til nas aplicaes de presso hidrosttica do Captulo 2. Pesos especficos de outros fluidos so dados nas Tabelas A.3 e A.4.

A densidade, representada por d, a relao entre a massa especfica do fluido e a massa especfica de um fluido padro de referncia, usualmente a gua a 4 C (para l-quidos) e o ar (para gases):

d

d

gs = =

=

r

r

r

r

r

r

gs

ar

gs3

lquido

gua

lquido

1,205kg/m

lquido = 11 000 3. /kg m

(1.7)

Por exemplo, a densidade do mercrio (Hg) dHg 5 13.580/1.000 < 13,6. Os enge-nheiros acham essas relaes adimensionais mais fceis de lembrar do que os valores numricos reais de massa especfica de vrios fluidos.

Em termosttica, a nica energia de uma substncia aquela armazenada em um sistema por atividade molecular e foras de ligao molecular. Isso chamado comu-mente de energia interna . Um ajuste comumente aceito a essa situao esttica para um escoamento acrescentar mais dois termos de energia provenientes da mecnica newtoniana: a energia potencial e a energia cintica.

A energia potencial igual ao trabalho necessrio para mover o sistema de massa m da origem at uma posio vetorial r 5 ix 1 jy 1 kz contra o campo gravitacional g. Seu valor mg r, ou g r por unidade de massa. A energia cintica igual ao trabalho necessrio para variar a velocidade da massa de zero at a velocidade V. Seu valor 12 mV

2 ou 12V 2 por unidade de massa. Ento, por conveno, a energia total

armazenada e por unidade de massa em mecnica dos fluidos a soma desses trs ter-mos:

e u V= + ^ ( )12 2 + -g r (1.8)

Alm disso, neste livro, definiremos o sentido positivo de z para cima, tal que g 5 gk e g r 5 gz. A Equao (1.8) torna-se, ento,

e u V^= + +12 2 gz (1.9)

A energia interna molecular uma funo de T e p para substncias puras de uma nica fase, ao passo que as energias potencial e cintica so grandezas cinemticas.

Peso especfico

Densidade

Energias potencial e cintica

Sabemos que as propriedades termodinmicas esto relacionadas entre si terica e ex-perimentalmente por relaes de estado que diferem para cada substncia. Conforme j mencionamos, vamo-nos limitar aqui a substncias puras de uma nica fase, como, por exemplo, a gua em sua fase lquida. O segundo fluido mais comum, o ar, uma mistura de gases, mas como as relaes da mistura permanecem aproximadamente constantes entre 160 K e 2.200 K, nessa faixa de temperatura o ar pode ser considerado uma substncia pura.

Todos os gases a altas temperaturas e a baixas presses (relativas ao seu ponto crtico) esto em boa concordncia com a lei dos gases perfeitos.

p 5 rRT R 5 cp cv 5 constante do gs (1.10)

em que os calores especficos cp e cv esto definidos nas Equaes (1.14) e (1.15).Como a Equao (1.10) dimensionalmente consistente, R tem as mesmas dimen-

ses que o calor especfico, {L2T 21}, ou velocidade ao quadrado por unidade de temperatura (Kelvin). Cada gs tem sua prpria constante R, igual a uma constante universal dividida pelo peso molecular

R Mgs gs= (1.11)

em que 5 8.314 kJ/(kmol K). A maioria das aplicaes neste livro para o ar, cujo peso molecular M 5 28,97/mol:

RarkJ kmol

molm

s K= =

8 314

28 97287

2

2

. /(, /

K)

(1.12)

A presso atmosfrica padro 101.300 Pa, e a temperatura padro 15 C 5 288 K. Assim a massa especfica padro do ar

rar = =101 300

287 2881 22

2 23.

/( ), /

Pam s K K

kg m (1.13)

Esse um valor nominal adequado a problemas. Para outros gases, veja a Tabela A.4.

Demonstra-se em termodinmica que a Equao (1.10) requer que a energia inter-na molecular de um gs perfeito varie somente com a temperatura: 5 (T). Portan-to o calor especfico cv tambm varia somente com a temperatura:

cuT

dudT

c T

d u c T dT

v

^ ^

v

^v

=

= =

=

r

( )

( )

(1.14)

ou

De maneira semelhante, h e cp de um gs perfeito tambm variam somente com a tem-peratura:

h p RT h T

c hT

dhdT

c T

dh c T dT

pp

p

p

=

= = =

u u^ ^+

r=

=

( )

( )

( )

+ =

(1.15)

A razo entre os calores especficos de um gs perfeito um parmetro adimensional importante na anlise de escoamento compressvel (Captulo 9)

kcc

k Tpv

= = ( ) 1 (1.16)

Relaes de estado para gases

1.8 Propriedades termodinmicas de um fluido 33

34 Captulo 1 Introduo

Como primeira aproximao na anlise de escoamento de ar, consideramos comumen-te cp, cv e k como constantes:

kar < 1,4

c Rk

c kRk

v

p

= =

= =

-

-

1

1

718 m /(s K)

1.005 m /(s K)

2 2

2 2

(1.17)

Na verdade, para todos os gases, cp e cv aumentam gradualmente com a temperatura e k diminui gradualmente. A Figura 1.5 mostra valores experimentais da razo entre ca-lores especficos para oito gases comuns.

Muitos problemas de escoamento envolvem vapor. As condies tpicas de opera-o do vapor so relativamente prximas ao ponto crtico, de modo que a aproximao de gs perfeito imprecisa. Como no h frmulas simples que possam ser aplicadas com preciso, as propriedades do vapor esto disponveis no software EES (veja a Seo 1.12) e em um CD-ROM [23] e at na Internet, na forma de um aplicativo MathPad Corp. [24]. Por outro lado, o erro de utilizar a lei dos gases perfeitos pode ser moderado, como mostra o exemplo a seguir.

Figura 1.5 Razo entre calores especficos de oito gases comuns em funo da tempera-tura. [Dados da Referncia 22]

Argnio

Presso atmosfrica

H2

CO

Ar e N2

O2

Vapor

CO2

1,7

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,010000 3000 4000 5000

=kcpc

2000Temperatura, R (1 K = 1,8 R)

u

EXEMPLO 1.5

Calcule r e cp do vapor a 689,48 kPa e 204 oC, (a) pela aproximao de gs perfeito e (b) pelas

tabelas de vapor da ASME [23] ou pelo EES.

Soluo

Abordagem (a) lei dos gases perfeitos: Embora o vapor no seja um gs ideal, podemos estimar essas propriedades com preciso razovel por meio das Equaes (1.10) e (1.17). Use a temperatura absoluta, (204 C 1 273) 5 477 K. Da Tabela A.4, o peso molecular da gua (H2O) 18,02, ento, a constante do gs do vapor

R Mvapor H O2 2

2

kJ/(kmol.Kmol

m /(s .K)= = = 8 31418 02

461 38. ), /

,

Ento, da lei dos gases perfeitos resulta a massa especfica, Equao (1.10):

r pRT

= =689 480461 38 477

3 13.,

,N/mm /(s .K) K

kg/m2

2 23

Resposta (a)

A 477 K, da Figura 1.5, kvapor 5 cp /cv < 1,30. Ento, da Equao (1.17),

ckRkp

-

= -1

1 3 461 381 3 1

1 999 31 2 2, ,,

. ,m /(s .K)2 2

m /(s .K) Resposta (a)

Abordagem (b) tabelas ou software: Podemos consultar as tabelas de vapor ou progra-mar algumas linhas no software EES. Ao usar o software EES, certifique-se de que o menu Variable Information especifica as unidades no SI: kPa e oC. As instrues do EES para avaliao da massa especfica e calor especfico do vapor so, para essas condies,

Rho 5 DENSITY (steam; P 5 689,48; T 5 204) Cp 5 SPECHEAT(steam; P 5 689,48; T 5 204)

Observe que o software est configurado para kPa e C, sem necessidade de converso. O software EES retorna os valores de ajuste da curva

Rho 5 3,25 kg/m3 ; Cp 5 2,216 kJ/(kg.K)

Comentrios: As tabelas de vapor dariam resultados muito prximos aos do EES. A esti-mativa de r pela lei dos gases perfeitos 4% menor, e a estimativa de cp 9% menor. A principal razo para a discrepncia que essa temperatura e presso esto razoavelmente prximas do ponto crtico e da linha de saturao do vapor. A temperaturas mais altas e pres-ses mais baixas, digamos, 450 C e 340 kPa, a lei dos gases perfeitos resulta em proprieda-des com uma preciso de aproximadamente 1%.

1.8 Propriedades termodinmicas de um fluido 35

36 Captulo 1 Introduo

O autor desconhece qualquer lei dos lquidos perfeitos comparvel quela dos gases perfeitos. Os lquidos so quase incompressveis e tm um nico calor espec-fico razoavelmente constante. Dessa maneira uma relao de estado idealizada para um lquido

r < constante cp < cv < constante dh < cp dT (1.18)

A maioria dos problemas de escoamento neste livro pode ser resolvida com essas hip-teses simples. Normalmente se considera a gua com uma massa especfica igual a 998 kg/m3 e um calor especfico cp 5 4.210 m

2/(s2 K). Podem ser usadas as tabelas de vapor se for necessria uma maior preciso.

A massa especfica de um lquido usualmente decresce ligeiramente com a tempe-ratura e cresce moderadamente com a presso. Se desprezarmos o efeito da temperatu-ra, uma relao emprica presso-massa especfica para um lquido

pp

B Ba a

n

( )+ -1

rr (1.19)

em que B e n so parmetros adimensionais que variam ligeiramente com a temperatu-ra e pa e ra so valores para a atmosfera padro. Para a gua podemos estabelecer aproximadamente os valores B < 3.000 e n < 7.

A gua do mar uma mistura varivel de gua e sal e portanto requer trs pro-priedades termodinmicas para definir seu estado. Essas propriedades normalmente so a presso, a temperatura e a salinidade S^, definida como o peso do sal dissolvido dividido pelo peso da mistura. A salinidade mdia da gua do mar 0,035, escrita usualmente como 35 partes por 1.000, ou 35. A massa especfica mdia da gua do mar 2,00 slugs/ft3 < 1.030 kg/m3. Rigorosamente falando, a gua do mar tem trs calores especficos, todos aproximadamente iguais aos valores para a gua pura, de 25.200 ft2/(s2 R) 5 4.210 m2/(s2 K).

Relaes de estado para lquidos

EXEMPLO 1.6

A presso na parte mais profunda do oceano aproximadamente 1.100 atm. Calcule a massa especfica da gua do mar em kg/m3 nessa presso.

Soluo

A Equao (1.19) vale tanto para a gua pura quanto para a gua do mar. A razo p/pa 1.100:

1 100 3 001 3 0007

. ( . ) .r

ra

-

ou

r

ra=

=

4 1003 001

1 0461 7.

.,

/

Supondo uma densidade mdia da gua do mar na superfcie ra 5 1.030 kg/m3, calculamos

r < 1,046(1.030) 5 1.077,38 kg/m3 Resposta

Mesmo nessas presses imensas, o aumento da massa especfica menor que 5%, o que justi-fica o tratamento de um escoamento de lquido como essencialmente incompressvel.

Figura 1.6 As tenses de cisalhamento causam deforma-es tangenciais contnuas em um fluido: (a) um elemento de fluido deformando a uma taxa de du/dt; (b) distribuio de velocidade em uma camada cisalhada prxima a uma parede.

As grandezas como presso, temperatura e massa especfica discutidas na seo anterior so variveis termodinmicas primrias caractersticas de qualquer sistema. Existem tambm certas variveis secundrias que caracterizam o comportamento me-cnico de um fluido especfico. A mais importante delas a viscosidade, que relaciona as tenses locais em um fluido em movimento com a taxa de deformao por cisalha-mento do elemento de fluido.

A viscosidade uma medida quantitativa da resistncia de um fluido ao escoamen-to. Mais especificamente, ela determina a taxa de deformao do fluido que gerada pela aplicao de uma dada tenso de cisalhamento. Podemo-nos mover facilmente atravs do ar, que tem uma viscosidade muito baixa. O movimento mais difcil na gua, que tem uma viscosidade 50 vezes maior. Encontra-se uma resistncia ainda maior no leo SAE 30, que 300 vezes mais viscoso do que a gua. Tente mover sua mo atravs da glicerina, que 5 vezes mais viscosa do que o leo SAE 30, ou dos melaos de cana-de-acar, com um valor 5 vezes maior que a glicerina. Os fluidos podem ter uma ampla gama de viscosidades.

Considere um elemento de fluido sob cisalhamento em um plano por uma nica tenso de cisalhamento , como na Figura 1.6a. O ngulo de deformao devido ao cisalhamento du cresce continuamente com o tempo enquanto a tenso for mantida, a superfcie superior move-se com uma velocidade du maior que a inferior. Fluidos comuns como gua, leo e ar apresentam uma relao linear entre a tenso de cisalha-mento aplicada e a taxa de deformao resultante:

t dudt

(1.20)

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias

Viscosidade

(b) (a)

qd

du dt dqdt

t

du = u

u = 0dx

t

u(y)

y

t = dudy

du

dy

Sem deslizamentona parede

Perfil de velocidades

d y

0

mqd

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias 37

38 Captulo 1 Introduo

Da geometria da Figura 1.4a, vemos que

tg dud dd

= u ty (1.21)

Tomando-se o limite da variao infinitesimal, a equao acima se torna a relao entre a taxa de deformao e o gradiente de velocidade:

dudt

dudy

= (1.22)

Da Equao (1.20), ento, a tenso de cisalhamento aplicada tambm proporcional ao gradiente de velocidade para os fluidos lineares comuns. A constante de proporcio-nalidade o coeficiente de viscosidade m:

t mu

m= =ddt

dudy (1.23)

A Equao (1.23) dimensionalmente consistente; portanto m tem dimenses de ten-so-tempo: {FT/L2} ou {M/(LT)}. As unidades no SI so quilogramas por metro-se-gundo. Os fluidos lineares que seguem a Equao (1.23) so chamados de fluidos newtonianos, em homenagem a Sir Isaac Newton, que enunciou pela primeira vez essa lei de resistncia em 1687.

Na verdade, no nos importamos realmente com o ngulo de deformao u(t) em mecnica dos fluidos, concentrando-nos na distribuio de velocidades u(y), como na Figura 1.6b. Usaremos a Equao (1.23) no Captulo 4 para deduzir uma equao dife-rencial para determinar a distribuio de velocidades u(y) e, de uma forma mais geral, V(x, y, z, t) em um fluido viscoso. A Figura 1.6b ilustra uma camada cisalha-da, ou camada-limite, junto a uma parede slida. A tenso de cisalhamento propor-cional inclinao do perfil de velocidade e maior junto parede. Alm disso, na parede, a velocidade u zero em relao parede: essa chamada de condio de no escorregamento e caracterstica de todos os escoamentos de fluidos viscosos.

A viscosidade de fluidos newtonianos uma verdadeira propriedade termodinmi-ca e varia com a temperatura e a presso. Em um dado estado (p, T), h uma vasta gama de valores entre os fluidos comuns. A Tabela 1.4 lista a viscosidade de oito fluidos presso e temperatura padro. H uma variao de seis ordens de grandeza desde o hidrognio at a glicerina. Assim haver amplas diferenas entre fluidos submetidos s mesmas tenses aplicadas.

De uma forma geral, a viscosidade de um fluido aumenta ligeiramente com a pres-so. Por exemplo, aumentando p de 1 para 50 atm, a viscosidade m do ar aumentar em apenas 10%.

Fluidom,

kg/(m s)Razo m/m(H2)

r kg/m3

m2/sRazo /(Hg)

Hidrognio 9,0 E-6 1,0 0,084 1,05 E-4 910Ar 1,8 E-5 2,1 1,20 1,50 E-5 130Gasolina 2,9 E-4 33 680 4,22 E-7 3,7gua 1,0 E-3 114 998 1,01 E-6 8,7lcool etlico 1,2 E-3 135 789 1,52 E-6 13Mercrio 1,5 E-3 170 13.550 1,16 E-7 1,0leo SAE 30 0,29 33.000 891 3,25 E-4 2.850Glicerina 1,5 170.000 1.260 1,18 E-3 10.300

Tabela 1.4 Viscosidade dinmica e cinemtica de oito fluidos a 1 atm e 20 C

1 kg/(m . s) = 0,0209 slug/(ft . s); 1 m2/s = 10,76 ft2/s.

No entanto, a temperatura tem um forte efeito, com m aumentando com T para gases e diminuindo para lquidos. A Figura A.1 (no Apndice A) mostra essa variao de tem-peratura para vrios fluidos comuns. habitual, na maioria dos trabalhos de engenha-ria, desprezar a variao da viscosidade com a presso.

A variao m(p, T) para um fluido tpico est bem representada pela Figura 1.7, da Referncia 25, que normaliza os dados com o estado do ponto crtico (mc, pc, Tc). Esse comportamento, chamado de princpio de estados correspondentes, caracterstico de todos os fluidos, mas os valores numricos reais tm uma incerteza de 20% para qualquer fluido. Por exemplo, valores de m(T) para o ar a 1 atm, da Tabela A.2, caem cerca de 8% abaixo do limite de baixa densidade na Figura 1.7.

Observe na Figura 1.7 que as variaes com a temperatura ocorrem muito rapida-mente prximo ao ponto crtico. Em geral, as medidas no ponto crtico so extremamen-te difceis e imprecisas.

O principal parmetro que correlaciona o comportamento viscoso de todos os flui-dos newtonianos o adimensional nmero de Reynolds:

Re = =rmVL VL

v (1.24)

O nmero de Reynolds

Figura 1.7 Viscosidade adimensionalizada dos fluidos com relao s propriedades do ponto crtico. Esse grfico generalizado caracterstico de todos os fluidos, mas sua preciso somente de 20%. [Da Referncia 25.]

0,4

=

crm

Tr Tc=

T

mm

0,80,70,60,5

0,4

0,3

0,2

10,9

2

3

4

56789

10

0,6 0,8 1 2 3 4 5 76 8 9 10

Lquido

Regio bifsica

Pontocrtico

0,5

0

pr = p/p

c = 0,2

Limite de baixa densidade

1

23

5

10

25

Gs denso

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias 39

40 Captulo 1 Introduo

em que V e L so escalas de velocidade e de comprimento caractersticas do escoamen-to. A segunda forma de Re ilustra que a razo entre m e r tem seu prprio nome, que a viscosidade cinemtica:

v = mr

(1.25)

Ela chamada de cinemtica porque a unidade de massa no aparece, ficando somente as dimenses {L2/T}.

Geralmente, a primeira coisa que um engenheiro da rea de fluidos deve fazer estimar o intervalo do nmero de Reynolds do escoamento em estudo. Nmero de Reynolds Re muito baixo indica movimento viscoso muito lento, no qual os efeitos da inrcia so desprezveis. Nmero de Reynolds Re moderado implica escoamento laminar com variao suave. Nmero de Reynolds Re alto provavelmente indica escoamento turbulento, que pode variar lentamente no tempo, mas impe fortes flutuaes rand-micas de alta frequncia. No possvel definir aqui valores numricos explcitos para nmeros de Reynolds baixo, moderado e alto. Eles dependem da geometria do escoa-mento e sero discutidos nos Captulos 5 a 7.

A Tabela 1.4 tambm lista valores de para os mesmos oito fluidos. A ordem de grandeza muda consideravelmente, e o mercrio, o mais pesado, tem a menor viscosi-dade em relao ao seu prprio peso. Todos os gases tm alta em relao aos lquidos pouco viscosos, como a gasolina, a gua e o lcool. O leo e a glicerina ainda tm a mais alta, mas a relao menor. Para dados valores de V e L em um escoamento, esses fluidos apresentam uma variao de quatro ordens de grandeza no nmero de Reynolds.

Um problema clssico o escoamento induzido entre uma placa inferior fixa e uma placa superior, que se move uniformemente velocidade V, como mostra a Figura 1.8. O espaamento entre as placas h, e o fluido newtoniano e no apresenta escorrega-mento com relao s placas. Se as placas so largas, esse movimento cisalhado per-manente ter uma distribuio de velocidades u(y), como mostra a figura, com 5 w 5 0. A acelerao do fluido zero em todo o escoamento.

Com acelerao zero e supondo que no haja variao de presso na direo do escoamento, podemos mostrar que um balano de foras sobre um pequeno elemento de fluido resulta em que a tenso de cisalhamento constante atravs do fluido. Ento a Equao (1.23) torna-se

dudy

= =tm

constante

Escoamento entre placas

Figura 1.8 Escoamento viscoso induzido pelo movimento relativo entre duas placas paralelas.

y

x

h u(y)

V

Placa mvel:u = V

Fluidoviscoso

u = V

u = 0Placa fixa

que podemos integrar para obter u 5 a 1 byA distribuio de velocidade linear, como representa a Figura 1.8, e as constantes a e b podem ser calculadas com base na condio de no escorregamento nas paredes su-perior e inferior:

ua b y

V a b h y h=

++

0 0 0= == =

( )( )

emem

Portanto, a 5 0 e b 5 V/h. Assim, o perfil de velocidade entre as placas dado por

u V yh

= (1.26)

como indica a Figura 1.8. O escoamento turbulento (Captulo 6) no apresenta essa forma.

Embora a viscosidade tenha um forte efeito sobre o movimento do fluido, as ten-ses viscosas reais so muito pequenas numericamente, mesmo para leos, como mos-tra o exemplo a seguir.

EXEMPLO 1.7

Suponha que o fluido que est sendo cisalhado na Figura 1.8 seja o leo SAE 30 a 20 C. Cal-cule a tenso de cisalhamento no leo se V 5 3 m/s e h 5 2 cm.

Soluo

Esboo do sistema: Foi mostrado anteriormente na Figura 1.8.Hipteses: Perfil de velocidade linear, fluido newtoniano laminar, no h escorregamento com relao s superfcies das placas.

Abordagem: A anlise da Figura 1.8 conduz Equao (1.26) para escoamento laminar.Valores das propriedades: Da Tabela 1.4 para o leo SAE 30, a viscosidade do leo m 5 0,29 kg/(m.s).

Passos da soluo: Na Equao (1.26), a nica incgnita a tenso de cisalhamento do fluido:

t m= = = =Vh

0 290 02

43 5 43 5 442

2 2, ,, / ,kg

m s m

(3 m/s)( )

kg m sm

Nm

P a Resposta

Comentrios: Note a identidade das unidades, 1 kgm/s2 1 N e 1 N/m2 1 Pa. Embora o leo seja muito viscoso, o valor da tenso de cisalhamento modesto, cerca de 2.400 vezes menor que a presso atmosfrica. As tenses viscosas em gases e lquidos pouco viscosos (aquosos) so ainda menores.

A temperatura tem um forte efeito e a presso um efeito moderado sobre a visco-sidade. A viscosidade dos gases e da maioria dos lquidos aumenta lentamente com a presso. A gua tem um comportamento anormal, apresentando um decrscimo muito suave abaixo de 30 C. Como a variao na viscosidade muito pequena para presses de at 100 atm, vamos desprezar os efeitos da presso neste livro.

A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Duas aproximaes frequen-tes so a lei de potncia e a lei de Sutherland:

mm0

0

03 2

0

TT

T T T ST S

n

++

lei de potncia

lei de Sutherla( / ) ( )/

nnd

(1.27)

Variao da viscosidade com a temperatura

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias 41

42 Captulo 1 Introduo

em que m0 uma viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta T0 conhecida (usualmente 273 K). As constantes n e S so ajustadas aos dados, e ambas as frmulas so adequadas a uma ampla gama de temperaturas. Para o ar, n < 0,7 e S < 110 K. Outros valores so dados na Referncia 26.

A viscosidade dos lquidos diminui com a temperatura e aproximadamente expo-nencial, m < aebT; mas um ajuste melhor o resultado emprico em que ln m quadr-tico em 1/T, em que T a temperatura absoluta:

lnmm0

0 02

a b TT

c TT

+ +

(1.28)

Para a gua, com T0 5 273,16 K, m0 5 0,001792 kg/(m s), os valores sugeridos so a 5 21,94, b 5 24,80 e c 5 6,74, com preciso de 1%. A viscosidade da gua est representada na Tabela A.1. As frmulas de ajuste da curva de viscosidade para 355 lquidos orgnicos so dadas por Yaws et al. [27]. Para dados adicionais de viscosida-de, veja as Referncias 28 e 29.

Assim como a viscosidade relaciona a tenso aplicada com a taxa de deformao resultante, h uma propriedade chamada de condutividade trmica k que relaciona o vetor taxa de fluxo de calor por unidade de rea q ao vetor gradiente de temperatura T. Essa proporcionalidade, observada experimentalmente para fluidos e slidos, conhecida como lei de Fourier da conduo de calor:

q = - k T (1.29a)

que pode tambm ser escrita na forma de trs equaes escalares:

q k Txq k T

yq k T

zx y z= - = - = -

(1.29b)

O sinal de menos satisfaz a conveno de que o fluxo de calor positivo na direo da temperatura decrescente. A lei de Fourier dimensionalmente consistente, e k tem unidades no SI de joules por segundo-metro-kelvin. A condutividade trmica k uma propriedade termodinmica e varia com a temperatura e a presso de forma muito se-melhante viscosidade. A relao k/k0 pode ser correlacionada com T/T0 da mesma maneira que as Equaes (1.27) e (1.28) para gases e lquidos, respectivamente.

Dados adicionais sobre as variaes da viscosidade e da condutividade trmica podem ser encontrados na Referncia 21.

Os fluidos que no seguem a lei linear da Equao (1.23) so chamados de no newtonianos e so tratados em livros sobre reologia [16]. A Figura 1.9a compara al-guns exemplos com um fluido newtoniano.

Dilatante. No fluido dilatante a resistncia aumenta com o aumento da tenso aplicada. Exemplos so suspenses de amido ou gua com areia. O caso clssico a areia mo-vedia, que tende a endurecer quando a agitamos.

Pseudoplstico. Um fluido pseudoplstico diminui a resistncia com o aumento da tenso aplicada. Um fluido fortemente pseudoplstico chamado de plstico. Alguns exemplos so solues de polmeros, suspenses coloidais, polpa de papel em gua, tinta latex,

Condutividade trmica

Fluidos no newtonianos

plasma sanguneo, xarope e melados. O caso clssico a tinta, que grossa quando ver-tida, mas fina quando espalhada com o pincel sob uma forte tenso aplicada.

Plstico de Bingham. O caso-limite de uma substncia plstica aquele que requer uma tenso de escoamento finita para comear a escoar. A Figura 1.9a mostra um compor-tamento linear do escoamento, mas pode ocorrer o caso de um escoamento no linear. Alguns exemplos so suspenses de argila, lama de perfuratrizes, pasta de dente, maio-nese, chocolate e mostarda. O caso clssico o ketchup, que no sai do frasco at que uma tenso seja aplicada, apertando o tubo.

Uma outra complicao do comportamento no newtoniano o efeito transiente ilustrado na Figura 1.9b. Alguns fluidos requerem um aumento gradual da tenso de cisalhamento para manter uma taxa de deformao constante e so chamados reopti-cos. O caso oposto de um fluido que se adelgaa com o tempo e requer tenso de cisa-lhamento decrescente chamado tixotrpico. Neste livro, no consideramos os efeitos no newtonianos; para estudos adicionais, veja a Referncia 16.

Um lquido, no tendo a capacidade de se expandir livremente, formar uma inter-face com um segundo lquido ou um gs. A fsico-qumica dessas superfcies interfa-ciais bem complexa, e inmeros livros-texto so dedicados a essa especialidade [30]. As molculas no interior do lquido repelem-se umas s outras devido sua proximi-dade. As molculas na superfcie so menos densas e se atraem umas s outras. Como metade de sua vizinhana est ausente, o efeito mecnico que a superfcie est sob tenso. Podemos tratar adequadamente os efeitos superficiais em mecnica dos fluidos com o conceito de tenso superficial.

Se for feito um corte de comprimento dL em uma superfcie interfacial, foras iguais e opostas de intensidade YdL estaro presentes normais ao corte e paralelas superfcie, em que Y chamado de coeficiente de tenso superficial. As dimenses de Y so {F/L}, com unidades no SI de newtons por metro. Um conceito alternativo abrir o corte a uma rea dA; isso requer que se execute um trabalho de valor YdA. As-sim, o coeficiente Y pode ser considerado tambm a energia da superfcie por unidade de rea da interface, em N m/m2.

Tenso superficial

Figura 1.9 Comportamento reolgico de vrios materiais viscosos: (a) tenso versus taxa de deformao; (b) efeito do tempo sobre a tenso aplicada.

Tenso decisalhamento

Tenso decisalhamento

Tenso de escoamento

Plstico

Plstico ideal de Bingham

Dilatante

Newtoniano

Pseudoplstico

Taxa de deformao por cisalhamento

ddtq0 0 Tempo

(a) (b)

Taxa de deformaoconstante

Reoptico

Fluidos comuns

Tixotrpico

t

t

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias 43

44 Captulo 1 Introduo

As duas interfaces mais comuns so gua-ar e mercrio-ar. Para uma superfcie pura a 20 C 5 68 F, a tenso superficial medida

Y =

0,073 N/m ar-gua0,48 N/m ar-mercrio (1.30)

Esses so valores de projeto e podem variar consideravelmente quando a superfcie contm contaminantes como detergentes ou gorduras. Em geral Y diminui com a tem-peratura do lquido e zero no ponto crtico. Valores de Y para a gua so dados na Figura 1.10 e na Tabela A.5.

Se a interface curva, um balano mecnico mostra que h uma diferena de pres-so atravs da interface, sendo a presso mais alta no lado cncavo, como ilustra a Figura 1.11. Na Figura 1.11a, o aumento de presso no interior de um cilindro lquido equilibrado por duas foras devido tenso superficial:

ou

2 2RL p L

pR

D Y

D Y

=

= (1.31)

Figura 1.10 Tenso superficial de uma interface pura ar-gua. Dados da Tabela A.5

Figura 1.11 Variao de presso atravs de uma interface curva devido tenso superficial: (a) interior de um cilindro de lquido; (b) interior de uma gota esfrica; (c) interface curva geral.

00,050

0,060

0,070

0,080

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

T, C

Y, N

/m

2RL Dp

2RL

(a)

YL

YL

pR2 Dp

2pRY

(b) (c)

Dp dA

YdL2

YdL1

YdL2

YdL1

R2

R1

No consideramos o peso do lquido nesse clculo. Na Figura 1.11b, o aumento de presso no interior de uma gota esfrica equilibra um anel de fora devido tenso superficial:

ou

p pR p R

pR

2 2

2

D Y

D Y

=

= (1.32)

Podemos usar esse resultado para prever o aumento de presso no interior de uma bo-lha de sabo, que tem duas interfaces com o ar, uma superfcie interna e outra externa de aproximadamente o mesmo raio R:

D D Yp pRbolha gota

2 4= (1.33)

A Figura 1.11c mostra o caso geral de uma interface arbitrariamente curvada cujos raios principais de curvatura so R1 e R2. Um balano de foras normais superfcie mostrar que o aumento de presso sobre o lado cncavo

p R R= +- -( )11

21 (1.34)

As Equaes (1.31) a (1.33) podem ser deduzidas dessa relao geral; por exemplo, na Equao (1.31), R1 5 R e R2 5 .

Um segundo efeito de superfcie importante o ngulo de contato u, que aparece quando uma interface lquida tem contato com uma superfcie slida, como na Figura 1.12. O balano de foras envolveria ento Y e u. Se o ngulo de contato menor que 90, diz-se que o lquido molha o slido; se u . 90, diz-se que o lquido no molha o slido. Por exemplo, a gua molha o sabo, mas no molha a cera. A gua molha bas-tante uma superfcie limpa de vidro, com u < 0. Assim como Y, o ngulo de contato u sensvel s condies fsico-qumicas reais da interface slido-lquido. Para uma interface limpa mercrio-ar-vidro, u 5 130.

O Exemplo 1.8 ilustra como a tenso superficial faz uma interface de fluido subir ou descer em um tubo capilar.

Figura 1.12 Efeitos do ngulo de contato na interface lquido-gs-slido. Se u < 90, o lquido molha o slido; se u . 90, o lquido no molha o slido.

No molha

Slido

Lquido

Gs

q q

EXEMPLO 1.8

Deduza uma expresso para a variao na altura h em um tubo circular de um lquido com tenso superficial Y e ngulo de contato u, como na Figura E1.8.

1.9 Viscosidade e outras propriedades secundrias 45

46 Captulo 1 Introduo

Soluo

O componente vertical do anel de fora devido tenso superficial nas interfaces no tubo deve equilibrar o peso da coluna de fluido de altura h:

22p u gpR R h cos =

Resolvendo para h, temos o resultado desejado:

h R= 2 cosu

g Resposta

Assim a altura capilar aumenta inversamente com o raio R do tubo e positiva se u < 90 (o lquido molha o tubo) e negativa (depresso capilar) se u . 90. Suponha que R 5 1 mm. Ento a elevao capilar para uma interface gua-ar-vidro, u < 0, Y 5 0,073 N/m e r 5 1.000 kg/m3,

h = =2(0,073 N / m)(cos 0) 0,015 (N s2) / kg = 0,015 m = 1,5 cm

(1.000 kg /m3)(9,81 m /s2)(0,001 m)

Para uma interface mercrio-ar-vidro, com u 5 130, Y 5 0,48 N/m e r 5 13.600 kg/m3, a elevao capilar

h = =2 0 48 130

13 600 9 81 0 001-0,0046 m = -0,46 cm( , )(cos )

. ( , )( , )

Quando um tubo de pequeno dimetro usado para fazer medidas de presso (Captulo 2), esses efeitos de capilaridade devem ser levados em considerao.

E1.8

q

2R

h

A presso de vapor a presso na qual um lquido vaporiza e est em equilbrio com seu prprio vapor. Por exemplo, a presso de vapor da gua a 20 oC 2.346 Pa, enquanto a do mercrio somente 0,1676 Pa. Se a presso do lquido maior do que a presso de vapor, a nica troca entre lquido e vapor a evaporao na interface. Po-rm, se a presso do lquido cai abaixo da presso de vapor, comeam a aparecer bo-lhas de vapor no lquido. Se a gua aquecida a 100 oC, sua presso de vapor sobe para 101,3 kPa, e assim a gua na presso atmosfrica normal vaporizar. Quando a presso do lquido cai abaixo da presso de vapor devido a um fenmeno de escoamento, cha-mamos o processo de cavitao. Se a gua acelerada do repouso at aproximadamen-te 15 m/s, sua presso cai aproximadamente 1 atm. Isso pode causar cavitao [31].

O parmetro adimensional que descreve a vaporizao induzida pelo escoamento o nmero de cavitao.

Ca =p pa v-

12

2rV (1.35)

em que pa 5 presso ambiente pv 5 presso de vapor V 5 velocidade caracterstica do escoamento r 5 massa especfica do fluido

Dependendo da geometria, determinado escoamento tem um valor crtico de Ca abaixo do qual o escoamento comear a cavitar. A Tabela A.5 fornece valores de tenso su-perficial e presso de vapor para a gua. A presso de vapor da gua est representada no grfico da Figura 1.13.

Presso de vapor

A Figura 1.14a mostra as bolhas de cavitao sendo formadas sobre as superfcies de baixas presses de uma hlice martima. Quando essas bolhas se movem para uma regio de alta presso, elas entram em colapso de forma implosiva. O colapso por ca-vitao pode rapidamente provocar eroso em superfcies metlicas e finalmente des-tru-las, como mostra a Figura 1.14b.

Figura 1.13 Presso de vapor da gua. Dados da Tabela A.5.

100

80

60

40

20

0

p v, kP

a

0 20 40 60 80 100T, C

EXEMPLO 1.9

Um certo torpedo, movendo-se na gua doce a 10 C, tem um ponto de presso mnima dado pela frmula

pmn 5 p0 2 0,35 rV 2 (1)

em que p0 5 115 kPa, r a massa especfica da gua e V a velocidade do torpedo. Calcule a velocidade na qual bolhas de cavitao se formaro sobre o torpedo. A constante 0,35 adi-mensional.

Soluo

Hiptese: As bolhas de cavitao se formam quando a presso mnima se iguala presso de vapor pv.Abordagem: Resolva a Equao (1) acima, que est relacionada com a equao de Bernoulli do Exemplo 1.3, para a velocidade quando pmn 5 pv. Use unidades no SI (m, N, kg, s).Valores das propriedades: A 10 C, leia na Tabela A.1 que r 5 1.000 kg/m3 e na Tabela A.5 que pv 5 1,227 kPa.Passos da soluo: Insira os dados conhecidos na Equao (1) e resolva para a velocidade, usando unidades no SI:

pmin 5 pv 5 1.227 Pa 5 115.000 Pa 2 0,35 1.000 32kg

mV

, com V em m/s

Resolva V V22

2115 000 1 227

0 35 1 000325 325 18 0= = =( . . )

, ( . ),- m

sou m s / Resposta

Comentrios: Note que o uso da