CONTENIDO TEMTICOSISTEMA DE NUMERACINCambios de BasePropiedades de la NumeracinCUATRO OPERACIONESAdicinSustraccinMultiplicacinDivisinTEORA DE LA DIVISIBILDAD Divisibilidad en el Binomio de Newton Restos Potenciales

ARITMTSISTEMA DE NUMERACIN

INTRODUCCIN:

Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenan formas distintas de representar los nmeros, la base de su numeracin era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas. Por ejemplo, los babilnicos tenan como base el sesenta; los mayas en Amrica, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio los Hindes haban desarrollado un prctico sistema de numeracin numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Loa rabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir del siglo VII por eso nuestras cifras se llaman indoarbicos. En el siglo XVIII Leibnits descubri la numeracin de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeracin.En la actualidad el lenguaje de los nmeros en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en da se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeracin que utiliza las diez cifras del 0 al 9 Adems, el uso de los sistemas binarios y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus clculos.

NOCIONES PREVIAS

NUMERO:Idea o abstraccin de una cantidad observada en la realidad concreta.

NUMERAL:Smbolo empleado para representar un nmero. Es como un vehculo para comunicar ideas de nmeros. Por ejemplo, algunos numerales para representar al nmero cinco son: 5 ; V ; cinco ; 22 + 1 ; 32-22 ; , etc

ORDEN Lugar o posicin, contado de derecha a izquierda, que ocupan una cifra dentro de un numeral. Por ejemplo:

7 6 2 5 81er orden u orden 02do orden u orden 13er orden u orden 24to orden u orden 35to orden u orden 4

SISTEMA DE NUMERACINConjunto de smbolos, reglas y nomenclaturas que rigen la expresin de los cardinales de un conjunto.

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

La base de un sistema de numeracin debe ser un numeral entero y mayor que 1; en consecuencia, existen infinitos sistemas de numeracin, siendo los principales:

BaseSistema de NumeracinCifras que utiliza

23456789101112Binario o DualTernarioCuaternario QuinarioSenario o HexanarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimal o Dcuplo UndecimalDuodecimal 0;10;1;20;1;2;30;1;2;3;40;1;2;3;4;50;1;2;3;4;5;60;1;2;3;4;5;6;70;1;2;3;4;5;6;7;80;1;2;3;4;5;6;7;8;90;1;2;3;4;5;6;7;8;9;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;;

Otros sistemas utilizados son el hexadecimal (Base16) y el vigesimal (Base 20).REPRESENTACIN LITERAL DE NUMERALES

* Numeral de 3 cifras de base n:

* Numeral de 4 cifras del sistema decimal:

* Numeral de 3 cifras del sistema heptanario:

* Numeral capica: Es aquel cuyas cifras equidistantes del centro son iguales, y se les reconoce porque su escritura y lectura de izquierda a derecha es igual que de derecha a izquierda.

Capica de 2 cifras:

Capica de 3 cifras:

Capica de 4 cifras:

Capica de 5 cifras:

Capica de 6 cifras:

CAMBIOS DE BASE

Caso I: DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 1Ejemplo 2674 del sistema de numeracin octanario al sistema de numeracin decimal. Por el mtodo de la descomposicin cannica: 2 6 7 48= 2.83 + 6.82 + 7.8+4= 2 (512) + 6 (64) + 7(8) + 4 = 1 024 + 384 + 56 + 4= 1 468 2 6 7 48= 1 468

Por el mtodo de Ruffini:

2 6 7 4 (+) (+) (+) 8 16 176 1 464(x8) (x8) (x8)2 22 183 1468

26748 = 1 468

Caso II : DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Ejemplo: Convertir 7 426 al sistema de numeracin nonario.

Por el mtodo de las divisiones Sucesivas:

7426 9

1 925 9

7102 9

13 11 9

2

7426 = 1 2 3 7 19

Caso III : DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10Ejemplo: Convertir 3 5 2 67 al sistema de numeracin undecimal.

Paso1: Convertir 3 5 2 67 al sistema decimal (Caso I)

3 5 2 67 = 3 . 73 + 5 . 72 + 2 . 7 + 6 = 3 (348) + 5 (49) + 2 (7) + 6 = 1 029 + 245 + 14 + 6 = 1 294

Paso2: Convertir 1 294 al sistema de numeracin undecimal (Caso II)

1294 11 117 11

7 7 10

35267 = 7711 (: Diez)

CASOS ABREVIADOS DE CONVERSIN

Caso I: DE BASE n A BASE nR (RZ+)

Se divide al numeral de base n en grupos de R cifras (comenzando por la derecha) y luego a cada grupo se le convierte directamente (mediante descomposicin polinmica) al sistema de base nR.

Ejemplo: Convertir: 101001101011111000112 al sistema octanario.

De base 2 a base 8 = 23 (n = 2 R = 3) Por descomposicinpolinmica

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 12

2 4 6 5 7 4 3 101001101011111000112 = 24657438

Caso II : DE BASE nR A BASE n (nz+).

A cada una de las cifras del numeral de base nR se les convierte directamente (mediante divisiones sucesivas) al sistema de base n teniendo cuidado de obtener grupos de R cifras por cada cifra convertida (los grupos incompletos se llenan con ceros a la izquierda)Ejemplo: Convertir 6 4 2 6 7 38 al sistema de numeracin binario.

De base 23 a base 2 (n = 2 R = 3)

6 4 2 6 7 3

110 100 010 110 111 011

6426738 = 1101000101101110112

PROPIEDADES DE LA NUMERACIN

1. Toda base es mayor que cualquiera de sus cifras.BASE > CIFRA

* CIFRA MAYOR = BASE 1

2.Si un nmero se expresa en dos sistema de numeracin, se cumple que:A mayor representacin aparente le corresponde menor base y viceversa

Por ejemplo, en la igualdad:

Por tener una mayor nmero de cifras, se prevee que: x< y

CONSIDERACIONES FINALES

1.Para convertir al mayor numeral de R cifras de base n al sistema decimal se puede utilizar la siguiente relacin:

Ejemplos: * 6 6 67 = 73.1 = 343.1 = 342* 5 5 5 56 = 64.1 = 1296.1 = 1 295* 3 3 3 3 34 = 45.1 = 1 024.1 = 1 023

2. Para bases sucesivas, o bases de bases, puede usarse:

= n (a + b + c + + x)

PROBLEMAS APLICATIVOS

Convertir 235(6) a base 10

Convertir 134(8) a base 10

Convertir 423 a base 4

Convertir 524 a base 3

Convertir 231(4) a base 7Convertir 411(5) a base 3

Convertir 1001(2) a base 10

Convertir 2010(3) a base 10

1. Hallar: a + b + c

a) 4b) 5c) 8d) 9e) 10

2. Hallar: a2 + b2 + c2. Si:

a) 33b) 34c) 35d) 36e) 32

3. Hallar n en : 4210na)3 b)4 c)5 d)6 e)74. Hallar(a+b), si: a)1 b)2 c)3 d)4 e)55. Al responder una encuesta, un ganadero escribe en la ficha lo siguiente: n.de toros:24n. de vacas:32total de cabezas:100El sistema de numeracin que utiliza el ganadera es :a)3 b)4 c)5 d)6 e)76. A es el conjunto de los nmeros de 2 cifras en base 7;B es el conjunto de los nmeros de 3 cifras en base 4. El numero de elemento que tiene la interseccin de A y B es:a)23 b)25 c)31 d)33 e)357. Si a un nmero de tres cifras que empieza por 9, se le suprime esta cifra, el nmero resultante es 1/21 del nmero original. La suma de las tres cifras de dicho nmero es:a) 12 b)18 c)15 d)24 e)218. Se tiene un nmero de dos cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del nmero se convierte en un nmero igual a 5 veces el nmero original. Hallar la suma de las cifras de dicho nmeroa) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5

9. Si los siguientes numerales estn correctamente escritos: Calcular el mximo valor de (m+n+p+q)a)13 b)14 c)15 d)16 e)17

10. Hallar el valor numrico de a+b, si se cumple que: a) 5 b) 8 c)9 d)10 e)12

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar: a + b. Si: a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

2. Hallar: a + b. Si: a) 8b) 10c) 11d) 12e) 9

3. Si:

Hallar: a + b + c + e da) 9b) 11c) 12d) 10e) 13

4.

Hallar: A + M + P + E + R + Sa) 10b) 16c) 15d) 17e) 18

5. en cuantos sistemas de numeracin el numero 1234 se escribe con 3 cifrasa)10 b)15 c)30 d)25 e)206. Si los siguientes nmeros son diferentes de cero: 4 : Determinar:a)6 b)5 c)4 d)3 e)77. El menor nmero de 4 cifras de la base n se escribe en la base diez como . Hallar a + b + n y expresar el resultado en base 2.a) 1 0112b) 1012c) 1 1112d) 3542e) N.A.

8.

Un ciclista viaja por una carretera a velocidad constante parte en el km y una hora despus esta en el km . Si en la primera media hora llego al km . Hallar: (a + b)a) 3b) 14c) 15d) 16e) N.A.

9.

El cudruplo de un nmero es de la forma , pero si al nmero se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene .Hallar: (a - b)a) 1b) 2c) 3d) 5e) 8

10. Sabiendo que: Determinar el valor de: b-a+n+pa)17 b)18 c)19 d)20 e)21

CUATRO OPERACIONES

INTRODUCCIN:

En este captulo se va a estudiar las cuatro operaciones fundamentales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin)Daremos nfasis al anlisis de los problemas tipo; los cuales sern resueltos empleando slo operaciones bsicas, lo que no descarta que se den como notas adicionales algunos mtodos de solucin prcticos.

NOCIONES PREVIAS

SUMAS IMPORTANTES

A) Suma de los n primeros nmeros enteros positivos.Sn = 1+2+3++n=B) Suma de los n primeros pares positivos Sp = 2+4+6++(2n) = n (n+1)

C) Suma de los n primero nmeros impares positivos S1 = 1+3+5++(2n-1) = n2

D) Suma de los n primeros nmeros cuadrados perfectos (0)

Sn2 = 12+22+32++n2=E) Suma de los n primeros nmeros cubos perfectos (0)

SnB = 13+23+33++n3=

F) Suma de los n primeros productos de dos nmeros consecutivos.

S = 1+2+2+3+3++n2=G) Suma de los n primeros potencias naturales de un nmero A.

S = A0+A1+A2+A3++An-1=

H) Suma triangulares

a) Dadas las siguientes sumas:

S1 = 1+2+3+4++ nS2 = 2+3+4++ nS3 = 3+4++ n Se cumple que:

b) Dadas las siguientes sumas:

S1= 12+22+32+42++n2S2= 22+32+42++n2S3= 32+42++n2

Se cumple que:

SUSTRACCIN

M S = D; M Minuendo S Sustraendo D Diferencia PROPIEDAD (A):M = S + D

PROPIEDAD (B):M + S + D = 2MPROPIEDAD (C):Si a un nmero de 3 cifras (con su cifra de centenas mayor que su cifra de unidades) se le resta el nmero que resulta de invertir el orden de sus cifras, entonces en la diferencia, la cifra de decenas siempre es 9 y la suma de sus cifras de unidades y centenas es 9Sea el nmero donde a>c;

si: , se cumple:n = 9m + p = 9a c = m + 1

MTODO DE SUMAS Y DIFERENCIAS Se cumple cuando el problema a resolver tiene como datos tanto la suma como la diferencia de las cantidades desconocidas. Por lo general el clculo de estas cantidades se hace operando mecnicamente con los datos (suma y diferencia) de la manera como se indica en el siguiente cuadro:

Cantidad mayor =

Cantidad menor =

ESQUEMA ILUSTRATIVO:1) Suma Diferencia = dos veces menor 2) Diferencia + Menor = Mayor

MULTIPLICACIN

Donde: M Multiplicando m Multiplicador P Producto

FORMA GENERAL DE LA MULTIPLICACIN Multiplicando N Multiplicador a b cNcProductos NbparcialesNa

ProductoDIVISIN EN Z (DIVISIN ENTERA)Es aquel caso particular de la divisin, en el cual todos sus trminos nmeros enteros.Z= ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; Esquema:

D d qrDividendo Divisor (dZ+)(DZ)

Cociente (qZ)Resto o Residuo

(rZ+)

EXPRESIN GENERAL: D = d q + r

CLASES DE DIVISIN:

(I) Divisin Exacta (r = 0)

D = d x qD d0 q

II) Divisin Inexacta (r0)(A) Por Defecto

D = d x q + r () D d q r (0