5 - sistemas numericos

FIUNA Diseño Logico Digital 1

Objetivos� Estudiar los sistemas de numeración utilizados en

electrónica.

� Emplear dos métodos diferentes para llevar a cabo conversiones de decimal a binario.conversiones de decimal a binario.

� Mencionar algunas ventajas de los sistemas de numeración octal y hexadecimal.

� Efectuar conversiones de los sistemas de numeración octal o hexadecimal a los sistemas de numeración binario o decimal.


Introducción� En la actualidad la mayoría de los sistemas de

numeración utilizados son del tipo polinomial:

� se representa por una sucesión ordenada de símbolos

� cada uno de los dígitos tiene un valor fijo y diferente de los demás

� El número de posibles dígitos distintos a utilizarconstituyen su “base”


Introducción� Algunos ejemplos de Sistemas de numeración más

empleados son:

� Sistema Decimal

� Sistema Binario

� Sistema Hexadecimal

� Sistema Octal


Sistema Base Dígitos

Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Binario 2 0, 1


Binario 2 0, 1

Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Introducción� El valor numérico de una determinada

combinación de dígitos, en base de numeración dada, depende de dos factores:� del valor de los dígitos que lo componen,� del valor de los dígitos que lo componen,

� de la posición de cada uno de ellos respecto al punto de referencia.

• Cada posición del dígito tiene un valor intrínseco, denominado peso, que aumenta de derecha a izquierda según potencias sucesivas de la base.


Representación

� Dada la siguiente expresión:

aaaaaaaaaN = ...,...... qippb aaaaaaaaaN −−−−−= ...,...... 2101221

N

qipp aaaaaaaaa −−−−− ...,...... 2101221

qipp bbbbbbbbb −−−−− ...,...... 2101221


Sistema Decimal� Consta de 10 símbolos, de 0 a 9, y conjuntamente

pueden representar una determinada cantidad.

En esta posición el dígito 2tiene un peso de 10.

2 3

En esta posición el dígito 3tiene un peso de 1.

2 3

2 x 10 + 3 x 1

20 + 3

2310


Sistema binario� Este sistema es simplemente otra forma de representar magnitudes.

� Tiene sólo dos dígitos, 0 y 1.� Tiene sólo dos dígitos, 0 y 1.

� La posición de un 1 o un 0 en un número binario indica su peso, o valor dentro del número.

� Los pesos de un número binario están basados en una potencia de 2.


Sistema binario

� El máximo número decimal que puede contarse con n bits es igual a:

Máximo número decimal = 2n - 1


Máximo número decimal = 2n - 1

� Ejemplo, con cinco bits(n=5), tenemos:

25 - 1 = 32 - 1 = 31

Conversión Binario a Decimal� El sistema de numeración binario es un sistema

posicional donde cada dígito binario(bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB.


1 1 0 1 12 (binario)

24 23 0 21 20 = 16 + 8 + 2 + 1

= 2710 (decimal)

Conversiones de Decimal a Binario

� El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente, el número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits:adecuadas de los bits:


= + +4510 32 4 18 25+ = 0 23+ + 0 +22 ++ 20

= 1 1 10 0 12

= + +7610 64 48 26= 0 23+ + 0 +22 ++ 0

= 1 1 10 0 02

+ 0

0

Decimal a Binario� Otro método emplea

la división repetida por 2.

25

2= 12 + residuo 1

12

2= 6 + residuo 0


2

6

2= 3 + residuo 0

3

2= 1 + residuo 1

1

2= 0 + residuo 1

2510 = 1 1 0 0 12

MSB

Diagrama de flujo


Conversiones de fracciones

decimales a binario

� Una forma fácil de recordar los pesos binarios fraccionarios es que el peso más significativo es fraccionarios es que el peso más significativo es 0,5, es decir 2-1 ,y dividiendo por dos cualquier peso, se puede obtener el siguiente peso menor.

� Los primeros cuatro pesos binarios fraccionarios serían: 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625.


Métodos

� Suma de pesos:


0,625 = 0,5 + 0,125 = 2-1 + 2-3 = 0,101

Métodos

� Multiplicaciones sucesivas

Acarreo

MSB LSB


0,3125 x 2 = 0,625

0,625 x 2 = 1,25

0,25 x 2 = 0,50

0,50 x 2 = 1,00

0

1

0

1

, 0 1 0 1

Continuar hasta obtener el númerode posiciones decimales deseadas,o parar cuando la parte fraccional

sea cero.

Complemento a 1

� El complemento a 1 de un número se obtiene

cambiando todos los 1s por 0s, y todos los 0s por 1, como se ilustra a continuación:


1 0 1 0 11 0 1

0 1 0 1 00 1 0

Número binario

Complemento a 1

Complemento a 2

� El complemento a 2 de un número binario se obtiene sumando 1 al LSB del complemento a 1:


Complemento a 2 = (complemento a 1) + 1

Números con signo� Un número binario con signo queda determinado

por su magnitud y su signo.

� El signo indica si el número es positivo o negativo, y la magnitud es el valor del número.y la magnitud es el valor del número.

� Existen tres formatos:� signo-magnitud,

� complemento a 1 y,

� complemento a 2.


Número con signo� Bit de signo

� El bit más a la izquierda en un número binario con signo es el bit de signo, que indica si el número es positivo o negativo.positivo o negativo.


Se utiliza un 0 para el signo positivo y un 1 para elsigno negativo.

Número con signo� Sistema signo-magnitud

� El bit más a la izquierda es el bit de signo y los bits restantes son los bits de magnitud.

� Los bits de magnitud son el número binario real(no complementado) tanto para los números positivos Los bits de magnitud son el número binario real(no complementado) tanto para los números positivos como para los negativos.


1 1 0 0 10 0 0

Bit de signo

Bit de magnitud

= + 25

Número con signo

� Sistema signo magnitud:


Un número negativo tiene los mismos bits demagnitud que el correspondiente número positivo,

pero el bit de signo es un 1 en lugar de cero.

Número con signo

� Sistema de complemento a 1:


En el sistema complemento a 1, un número negativoes el complemento a 1 del correspondiente número

positivo.

Número con signo

� Sistema de complemento a 2:


En el sistema complemento a 2, un número negativoes el complemento a 2 del correspondiente número

positivo.

Decimal Signo-magnitudConvenio del Convenio del

complemento a uno complemento a dos

7 0111 0111 0111

6 0110 0110 0110

5 0101 0101 0101

4 0100 0100 0100

3 0011 0011 0011

2 0010 0010 0010

1 0001 0001 0001

0 0000 0000 0000


0 0000 0000 0000

-0 1000 1111 …..

-1 1001 1110 1111

-2 1010 1101 1110

-3 1011 1100 1101

-4 1100 1011 1100

-5 1101 1010 1011

-6 1110 1001 1010

-7 1111 1000 1001

-8 ….. ….. 1000

Sistema Octal� El sistema octal es muy importante en el trabajo que se

realiza en una computadora digital.

� Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene � Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene ocho posibles dígitos:0,1,2,3,4,5,6,7.


Sistema Octal� Las posiciones de los dígitos en un sistema octal tienen los

siguientes valores:


81 80 8-2 8-383 8284 8-1 8-4 8-5

Punto octal

Conversión de octal a decimal

� Puede convertirse multiplicando cada dígito octal por su valor posicional:

= x +372 3 7 8182 2x + 80x


= x +3728 3 7 8182 2x + 80x

= x +3 7 864 2x + 1x

= 25010

= x +24.68 2 4 8081 6x + 8-1x

= 20.7510

Conversión de decimal a octal

� Se puede obtener por el mismo método de división repetida que se usó en la conversión de decimal a binario.


266

8= 33 + residuo 2

33

8= 4 + residuo 1

4

8= 0 + residuo 4

26610 4 1 28=

Conversión de octal a binario� La principal ventaja del sistema de numeración octal

es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales.

� La conversión se lleva a cabo convirtiendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits.


Conversión de octal a binario

0 1 2 4 5 6 7

000 001 010 100 101 110 111

Digito Octal

Equivalente binario


Por ejemplo; convertir 4728 a binario

4 7 2

100 111 010

4728 = 100111010

Conversión binario a octal� La conversión de enteros binarios a octales es

simplemente la operación inversa del proceso anterior.

� Los bits del número binario se agrupan en conjuntos� Los bits del número binario se agrupan en conjuntosde tres comenzando por el LSB, luego, cada grupo seconvierte a su equivalente octal.


Conversión binario a octalConvertir a octal,1001110102

100 111 010


4 7 28

Conteo en octal� El dígito mayor es 7, así que cuando se cuenta en octal,

se incrementa un dígito hacia arriba de 0 a 7; una vez que llega a 7, se regresa a 0 en el siguiente conteo y ocasiona que se incremente el dígito de la izquierda.ocasiona que se incremente el dígito de la izquierda.

� Con N dígitos octales podemos contar de 0 a 8N-1, lo que da un total de 8N diferentes conteos. Ej., con tres dígitos octales podemos contar de 0008 a 7778, que da un total de 83=51210


Utilidad del sistema octal� La facilidad con que pueden hacerse conversiones entre el sistema octal

y el binario hace que el sistema octal sea atractivo como un medio “taquigráfico” de expresión de números binarios grandes.

� En las computadoras, los números binarios podrían representar:

� Datos numéricos reales� Datos numéricos reales

� Números correspondientes a una localidad en la memoria

� Un código de instrucción

� Un código que representa caracteres alfanuméricos y otros no numéricos

� Un grupo de bits que representan las condiciones en que se encuentran los dispositivos internos o externos a la computadora


Utilidad del sistema octal� Cuando trabajamos con una gran cantidad de número

binarios de muchos bits, es más conveniente y eficaz escribirlos en octal no en binario.

� Usamos el octal sólo por conveniencia de los � Usamos el octal sólo por conveniencia de los operadores del sistema.


Sistema de numeración

Hexadecimal� El sistema hexadecimal emplea una base de 16.

� Así, tiene 16 posibles símbolos digitales.

� Utiliza los dígitos 0 al 9 más las letras A,B,C,D,E,F como sus 16 símbolos digitales.como sus 16 símbolos digitales.


Hexadecimal

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0000

0001

0010

0011

0100

Hexadecimal Decimal Binario


4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Conversión de hexadecimal a

decimal� Un número hex se puede convertir a su equivalente decimal

utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hex tiene un valor que es una potencia de 16.

� El proceso de conversión sería:


= x +35616 3 5 161162 6x + 160x

= +768 80 6+

= 85410

= x +2AF16 2 10 161162 15x + 160x

= +512 160 15+

= 68710

Conversión decimal a hexadecimal423

16= 26 + residuo 7

26= 1 + residuo 10


16= 1 + residuo 10

1

16= 0 + residuo 1

42310 1 A 716=

Conversión de hexa a binario

9 F 29 F 216 =


00101001 1111

= 1001111100102

Conversión binario a hexa

11101001102 01100011 1010=


3 A 6

3A616=

Resumen de conversiones� El siguiente resumen le ayudará a efectuar las diferentes

conversiones:1. Al convertir de binario (u octal o hexadecimal) a decimal, utilice el

método de tomar la suma ponderada de cada posición de dígito.2. Al convertir de decimal a binario(u octal o hexadecimal), utilice el

método de la división repetida entre 2(o entre 8 o 16) y registre residuos.residuos.

3. Al convertir de binario a octal(o hexadecimal), agrupe los bits en grupos de tres(o de cuatro) y convierta cada grupo al dígito octal(o hexadecimal) correcto.

4. Al convertir de octal(o hexadecimal) a binario, convierta cada dígito al equivalente de tres bits(o de 4 bits)

5. Al convertir de octal a hexadecimal(o viceversa), primero convierta a binario; luego convierta el binario al sistema deseado de numeración.


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